分段光滑动力系统广泛应用于机械工程、航空航天、土木工程、交通与能源等领域, 是数学、力学与工程学的重要研究热点 ^[1-3]. 其中, Filippov 系统^[4-6]作为经典分段光滑自治系统, 具有典型的不连续特性. 研究 Filippov 系统的滑动模式与非光滑动力学, 有助于揭示传统线性与非线性理论难以解释的现象^[7-9].

近年来, 众多学者对 Filippov 系统的分岔和混沌问题进行了深入研究. Yang 等人^[10] 建立了 Filippov 系统中三个 Shil'nikov 型异宿定理, 可以解析证明在某些假设条件下 Filippov 系统在奇异环附近具有混沌不变量集. Hamdallah 等人 ^[11] 利用阈值策略控制分析了 Filippov 食物链模型滑动和交叉段的区域以及伪平衡点的分岔集等. Zhou 等人^[12]提出了具有非线性阈值函数的 Filippov 模型, 并推导出了滑动段、滑动动力学和不同类型平衡点的存在条件, 揭示了不连续诱导的局部和全局分岔等. Tang 等人 ^[13]研究了一类三维 Filippov 型 Lorenz-Chen 系统, 探讨了滑模分岔、滑动 Hopf 分岔与类 Hopf 边界平衡点分岔的现象. 在现代工程和科学研究中, 复杂动力系统因其展现出的丰富行为而受到广泛关注^[14-16]. 作为一种典型的非线性动力学模型, Faraday 系统^[17]利用电磁感应原理, 广泛应用于各类发电设备和能源管理系统. 随着可再生能源的迅速发展, 对 Faraday 系统动力学特性的深入探讨变得愈发重要^[18]. 具体而言, 研究 Faraday 系统在不同操作条件下的稳定性与分岔现象, 不仅有助于提高设备的整体性能, 还能为新型发电技术的开发提供重要的理论依据 ^[19,20].

Faraday 圆盘发电机是一种基于 Faraday 电磁感应原理的装置, 通过旋转导体在磁场中切割磁力线, 将机械能高效转换为电能. 近年来, 由于其结构简单以及出色的能量转换效率, 这种发电机在可再生能源与小型发电系统中的应用引起了广泛关注. 目前, 大部分学者的研究主要集中于提升发电机的性能优化、电磁模拟以及新材料的应用等领域. Galvan 等人 ^[21]对 Faraday 圆盘发电机的设计进行了全面优化, 其着重于材料改进和能量采集技术的提升, 以增强发电效率. Patrinos^[22] 进一步探讨了由 Faraday 单极感应器引发的感应电动势现象, 并揭示了法拉第对磁场动态线的视角与相对论理论之间的差异. 该研究通过基于法拉第的实验设置进行了理论和实验的深入探索, 计算了感应电动势, 测量了磁场成分以验证结果, 为理解感应电动势的基本原理及其相关理论提供了重要的参考. Galvan 等人 ^[23]在他们的研究中使用了在恒定磁场中以不同速度旋转的环形导电固体材料, 探讨了其相互作用所产生的电位差, 并进行测量, 同时强调了理解 Faraday 圆盘这一小型直流发电机中电磁感应现象的重要性. 经典的 Faraday 模型具有以下形式 ^[24]

其中 $ x(t) $ 表示流经发电机的电流, $ y(t) $ 表示发电圆盘的角旋转速率, $ z(t) $ 表示电路中串联电机的角旋转速率. 此外, 该系统还包含了四个正的参数, 其中 $ k $ 和 $ \lambda $ 分别表示圆盘和电机的摩擦系数, $ \alpha $ 与驱动圆盘旋转的稳定机械耦合成正比, $ \beta^{-1} $ 表示电机电枢的转动惯量. 当电路运转超出阈值时, 系统自动进行策略切换. 当圆盘的转速 $ y(t) $ 的值超出阈值 $ Y_0 $ 时, 根据阈值控制, 降低 $ y(t) $ 的转速, 同理, 当圆盘的转速 $ y(t) $ 的值低于阈值 $ Y_0 $ 时, 可以适当的提高 $ y(t) $ 的转速, 从而保证电机可以安全正常高效的的运转工作.

本文将针对 Filippov 型 Faraday 系统的滑动区域进行深入研究, 重点讨论阈值控制策略对于该电路系统的分岔与混沌的影响, 以便于更好地提升发电设备的运行效率, 尽可能避免故障的发生. 该方法对各类发电设备和能源管理系统优化设计具有重要意义, 有利于推动能源管理系统的智能化发展, 从而实现更加可持续的能源利用.

本文考虑如下系统

其中, $ X=(x,y,z)^{T} $, $ \epsilon=\begin{cases} 0, Q(X)<0,\\ 1, Q(X)>0, \end{cases} $$ Q(X)=y-Y_0 $, $ Y_0 $ 为所选定的阈值, $ f_1(x)=0 $, $ f_2(y)=-m_1 y $, $ f_3(z)=0 $. 系统 (2.1) 拥有两个子区域: $ S_1=\{X \in R^3|Q(X)<0\} $, $ S_2=\{X \in R^3|Q(X)>0\} $. 当 $ \epsilon=0 $ 时, 系统 (2.1) 为子系统 $ F_{S_{1}} $, 位于区域 $ S_1 $. 当 $ \epsilon=1 $ 时, 系统 (2.1) 为子系统 $ F_{S_{2}} $, 位于区域 $ S_2 $. 定义切换边界为 $ \Sigma=\{X \in R^3|Q(X)=0\} $, 它将状态空间的两个区域 $ S_1 $ 和 $ S_2 $ 分开. 显然, $ R^3=S_1\cup \Sigma \cup S_2 $.

切换边界 $ \Sigma $ 可以划分为具有不同动力学行为的区域: (i) 穿越区域 $ (\Sigma_C) $, 其中一个向量场指向边界 $ \Sigma $, 另一个向量场远离边界 $ \Sigma $, 如图 1(a) 所示; (ii) 吸引的滑动区域 $ (\Sigma_{as}) $, 其中向量场 $ F_{S_1} $ 和 $ F_{S_2} $ 从两侧指向边界 $ \Sigma $, 如图 1(b) 所示; (iii) 排斥的滑动区域 $ (\Sigma_{rs}) $, 其中向量场 $ F_{S_1} $ 和 $ F_{S_2} $ 从两侧远离边界 $ \Sigma $, 如图 1(c) 所示

为了研究系统 (2.1) 在切换边界 $ \Sigma $ 上的动力学行为, 引入与向量场 $ F_{S_i} $ 有关的 $ Q(X) $ 的轨道导数, 用李导数来表示 ^[25]: $ L_{F_{S_i}}Q(X)=\left \langle \nabla Q(X), F_{S_i}(X)\right \rangle $, $ i=1,2 $, 其中 $ \nabla Q(X) $ 是光滑函数 $ Q(X) $ 的梯度, $ \langle \cdot,\cdot \rangle $ 表示向量内积. 同时, 高阶李导数可以定义为 ^[26]: $ L^{n}_{F_{S_i}} Q(X) = \left\langle \nabla^{n-1}_{F_{S_i}} Q(X), F_{S_i}(X) \right\rangle, ~ n=2,3,\cdots $. 因此, 可以明确地定义滑动区域 ( $ \Sigma_S $) 和穿越区域 ( $ \Sigma_C $) 如下所示

滑动集 $ \Sigma_{as} \bigcup \Sigma_{rs} $ 中的动力学由滑动向量场 $ F_{\Sigma_S} $ 来表示, 通过使用 Filippov 凸方法, 滑动向量场可以表示为两个向量场 $ F_{S_1} $ 和 $ F_{S_2} $ 的凸组合 ^[4,26]

并且对于每一个 $ X \in \Sigma_{as} \bigcup \Sigma_{rs} $, $ \rho $ 的取值都要满足 $ L_{F_{S}} Q(X)=0 $, 即

需要注意的是上式中的分母不为 0, 即 $ L_{F_{S_2}} Q(X)\ne L_{F_{S_1}} Q(X) $. 因此, 对于所有的 $ X \in \Sigma_{as} \bigcup \Sigma_{rs} $ 都满足 $ \rho \in (0,1) $. 当 $ \rho=0 $ 时, $ L_{F_{S_2}} Q(X)=0 $, 即 $ X $ 是向量场 $ F_{S_2} $ 和边界 $ \Sigma $ 的切点, 同理, 当 $ \rho=1 $ 时, $ L_{F_{S_1}} Q(X)=0 $, 即 $ X $ 是向量场 $ F_{S_1} $ 和边界 $ \Sigma $ 的切点.

${\bf定义2.1}$ 如果点 $ M(x,y,z) $ 满足 $ F_{S_i}(M)=0 $, $ i=1,2 $, 则称 $ M(x,y,z) $ 为 Filippov 系统 (2.1) 的正则平衡点. 此外, 如果点 $ M(x,y,z) $ 满足 $ F_{S_1}(M)=0 $ 且 $ Q(M)<0 $, 或者满足 $ F_{S_2}(M)=0 $ 且 $ Q(M)>0 $, 则称点 $ M(x,y,z) $ 为实 (可视) 平衡点. 反之, 如果点 $ M(x,y,z) $ 满足$ F_{S_1}(M)=0 $ 且 $ Q(M)>0 $, 或者满足 $ F_{S_2}(M)=0 $ 且 $ Q(M)<0 $, 则称点 $ M(x,y,z) $ 为虚拟 (不可视) 平衡点.

${\bf定义2.2}$ 如果点 $ M(x,y,z) $ 满足 $ F_{S_i}(M)=0 $, $ i=1,2 $, 即 $ F_{S_1}(M)=0 $ 且 $ Q(M)=0 $, 或者 $ F_{S_2}(M)=0 $ 且 $ Q(M)=0 $, 则称点 $ M(x,y,z) $ 为 Filippov 系统 (2.1) 的边界平衡点.

${\bf定义2.3}$ 如果点 $ M(x,y,z) $ 为滑动向量场 (2.2) 的平衡点, 则称点 $ M(x,y,z) $ 为 Filippov 系统 (2.1) 的伪平衡点. 此外, 如果点 $ M(x,y,z) $ 满足 $ F_{\Sigma_S}(M)=0 $ 且 $ Q(M)=0 $, 则称点 $ M(x,y,z) $ 为可视的伪平衡点. 反之, 如果点 $ M(x,y,z) $ 满足 $ F_{\Sigma_S}(M)=0 $ 且 $ Q(M)\ne 0 $, 则称点 $ M(x,y,z) $ 为不可视的伪平衡点.

${\bf定义2.4}$ 如果点 $ M(x,y,z) $ 满足 $ Q(M)=0 $ 且 $ L_{F_{S_1}}Q(M)=0 $, 或者 $ Q(M)=0 $ 且 $ L_{F_{S_2}}Q(M)=0 $, 则称点 $ M(x,y,z) $ 为 Filippov 系统 (2.1) 的切点, 定义为 $ T(x,y,z) $.

${\bf定义2.5}$ 如果切点 $ T(x,y,z) $ 满足 $ L^2_{F_{S_i}}Q(T) \ne 0 $, 则称切点 $ T(x,y,z) $ 为折点. 此外, 如果切点 $ T(x,y,z) $ 满足 $ L^2_{F_{S_1}}Q(T)<0 $ 或 $ L^2_{F_{S_2}}Q(T)>0 $, 则称切点 $ T(x,y,z) $ 是可视的, 反之, 如果切点 $ T(x,y,z) $ 满足 $ L^2_{F_{S_1}}Q(T)>0 $ 或 $ L^2_{F_{S_2}}Q(T)<0 $, 则称切点 $ T(x,y,z) $ 是不可视的.

${\bf定义2.6}$ 如果切点 $ T(x,y,z) $ 满足 $ L^2_{F_{S_i}}Q(T)=0 $, $ L^3_{F_{S_i}}Q(T) \ne 0 $ 且 $ (\nabla Q(T),\nabla L_{F_{S_i}}Q(T),\nabla L^2_{F_{S_i}}Q(T)) $ 是线性无关的, 则称切点 $ T(x,y,z) $ 为尖点.

${\bf定义2.7}$ 如果一个周期解完全位于 $ S_1 $ (或 $ S_2 $) 区域, 那么称这个周期解为 Filippov 系统 (2.1)的标准周期解; 同样的, 如果一个周期解完全位于滑动区域 $ \Sigma_S $ 上, 那么称这个周期解为 Filippov 系统 (2.1) 的伪周期解; 由 $ F_{S_1} $ (或 $ F_{S_2} $) 的轨道段和 $ F_{\Sigma_S} $ 的滑动轨道段组成的周期解, 定义为 Filippov 系统 (2.1) 的滑动周期解; 另外, 如果一个周期解只通过穿越区域 $ \Sigma_C $ 与 $ S_1 $ 和 $ S_2 $ 相交, 则将该周期解定义为 Filippov 系统 (2.1) 的穿越周期解.

根据 Filippov 系统 (2.1) 区分的子系统 $ S_1 $ 与 $ S_2 $, 将其改写为以下形式

对于系统 (3.1), 存在四种平衡点: 实平衡点, 虚拟平衡点, 边界平衡点和伪平衡点, 其中实平衡点和虚拟平衡点称为 Filippov 系统 (3.1) 的正则平衡点^[27]. 首先对子系统 $ S_1 $ 与 $ S_2 $ 的平衡点分别进行讨论. 子系统 $ S_1 $ 的平衡点满足以下代数方程

为了便于计算, 令 $ \overline{\alpha} = \dfrac{\alpha}{k} $, $ \overline{\beta} = \dfrac{\beta}{\lambda} $, 因此得出如下定理

${\bf引理3.1}$ 子系统 $ S_1 $ 有三个平衡点, 分别如下

(1) 平衡点 $ E_{S_1}^0 = (0, \overline{\alpha}, 0) $ 始终存在且可视;

(2) 当且仅当参数满足条件 $ 1-\dfrac{1}{\overline{\alpha}}(1+\overline{\beta})>0 $ 且 $ \overline{\beta}<Y_{0} -1 $ 时, 平衡点 $ E_{S_1}^1 = (x_1, y_1, z_1) $ 和 $ E_{S_1}^2 = (x_2, y_2, z_2) $ 是可视平衡点, 其中

(3) 当且仅当参数满足条件 $ 1-\dfrac{1}{\overline{\alpha}}(1+\overline{\beta})>0 $ 且 $ \overline{\beta}>Y_{0} -1 $ 时, 平衡点 $ E_{S_1}^1 = (x_1, y_1, z_1) $ 和 $ E_{S_1}^2 = (x_2, y_2, z_2) $ 是不可视平衡点;

(4) 当且仅当参数满足条件 $ 1-\dfrac{1}{\overline{\alpha}}(1+\overline{\beta})>0 $ 且 $ \overline{\beta}=Y_{0} -1 $ 时, 平衡点 $ E_{S_1}^1 = (x_1, y_1, z_1) $ 和 $ E_{S_1}^2 = (x_2, y_2, z_2) $ 是边界平衡点.

${\bf证}$ 引理 3.1 的证明显然所以省略.

${\bf定理3.1}$ 子系统 $ S_1 $ 的平衡点稳定性情况如下

(i) 当 $ 1-\overline{\alpha}+\lambda>0 $ 且 $ 0<\lambda(1-\overline{\alpha})+\beta<\dfrac{(1-\overline{\alpha}+ \lambda)^2}{4} $ 时, 平衡点 $ E_{S_1}^0 $ 是渐近稳定的;

(ii) 当 $ 1-\overline{\alpha}+\lambda<0 $ 且 $ \lambda(1-\overline{\alpha})+\beta<0 $ 时, 平衡点 $ E_{S_1}^0 $ 是鞍结点;

(iii) 当 $ 1-\overline{\alpha}+\lambda>0 $ 且 $ \lambda(1-\overline{\alpha})+\beta>\dfrac{(1-\overline{\alpha}+ \lambda)^2}{4} $ 时, 平衡点 $ E_{S_1}^0 $ 是稳定的鞍点;

(iv) 当 $ 1-\overline{\alpha}+\lambda<0 $ 且 $ \lambda(1-\overline{\alpha})+\beta>\dfrac{(1-\overline{\alpha}+ \lambda)^2}{4} $ 时, 平衡点 $ E_{S_1}^0 $ 是不稳定的鞍点;

(v) 当 $ k + 1 - y + \lambda>0 $ 且 $ (k + 1 - y + \lambda)(\beta + k - y k + 2 \alpha x^2 + \lambda k + \lambda - y \lambda)>\beta k + \lambda k - y \lambda k + 2 \alpha \lambda x^2 $ 时, 平衡点 $ E_{S_1}^1 $ 和 $ E_{S_1}^2 $ 是渐近稳定的.

${\bf证}$ 子系统 $ S_1 $ 的雅可比矩阵如下

(1) 矩阵 $ J_{S_1} $ 关于平衡点 $ E_{S_1}^0 $ 的特征多项式为

因此平衡点 $ E_{S_1}^0 $ 的稳定性由其特征多项式求得的特征值决定, 其中

当 $ 1-\overline{\alpha}+\lambda>0 $ 且 $ 0<\lambda(1-\overline{\alpha})+\beta<\dfrac{(1-\overline{\alpha}+ \lambda)^2}{4} $ 时, $ \xi_i<0 $, $ i=1,2,3 $, 此时 $ E_{S_1}^0 $ 是渐近稳定的; 当 $ 1-\overline{\alpha}+\lambda<0 $ 且 $ \lambda(1-\overline{\alpha})+\beta<0 $ 时, $ \xi_1<0,\xi_2>0,\xi_3<0 $, 此时 $ E_{S_1}^0 $ 是一个鞍结点. 同理, 当 $ 1-\overline{\alpha}+\lambda>0 $ 且 $ \lambda(1-\overline{\alpha})+\beta>\dfrac{(1-\overline{\alpha}+ \lambda)^2}{4} $ 时, 平衡点 $ E_{S_1}^0 $ 是稳定的鞍点; 当 $ 1-\overline{\alpha}+\lambda<0 $ 且 $ \lambda(1-\overline{\alpha})+\beta>\dfrac{(1-\overline{\alpha}+ \lambda)^2}{4} $ 时, 平衡点 $ E_{S_1}^0 $ 是不稳定的鞍点.

(2) 矩阵 $ J_{S_1} $ 关于平衡点 $ E_{S_1}^1 $ 和 $ E_{S_1}^2 $ 的特征多项式为

其中

根据 Routh-Hurwitz 准则 ^[28], 当 $ \alpha^2_{S_1}>0 $ 且 $ \alpha^2_{S_1}\alpha^1_{S_1}>\alpha^0_{S_1} $ 成立时, 平衡点 $ E_{S_1}^1 $和 $ E_{S_1}^2 $ 是渐近稳定的.

子系统 $ S_2 $ 的平衡点满足以下代数方程

${\bf引理3.2}$ 子系统 $ S_2 $ 有三个平衡点, 分别如下

(1) 平衡点 $ E_{S_2}^0 = (0, \dfrac{\alpha}{k + m_1}, 0) $ 始终存在且不可视;

(2) 当且仅当参数满足条件 $ \dfrac{(k + m_1)(1 + \overline{\beta})}{\alpha}<1 $ 且 $ \overline{\beta} > Y_0 - 1 $ 时, 平衡点 $ E_{S_2}^1 = (x_1, y_1, z_1) $ 和 $ E_{S_2}^2 = (x_2, y_2, z_2) $ 是可视平衡点, 其中

(3) 当且仅当参数满足条件 $ \dfrac{(k + m_1)(1 + \overline{\beta})}{\alpha}<1 $ 且 $ \overline{\beta}<Y_0 - 1 $ 时, 平衡点 $ E_{S_2}^1 = (x_1, y_1, z_1) $ 和 $ E_{S_2}^2 = (x_2, y_2, z_2) $ 是不可视平衡点;

(4) 当且仅当参数满足条件 $ \dfrac{(k + m_1)(1 + \overline{\beta})}{\alpha}<1 $ 且 $ \overline{\beta} =Y_0 - 1 $ 时, 平衡点 $ E_{S_2}^1 = (x_1, y_1, z_1) $ 和 $ E_{S_2}^2 = (x_2, y_2, z_2) $ 是边界平衡点.

${\bf证}$ 引理 3.2 的证明显然所以省略.

${\bf定理3.2}$ 子系统 $ S_2 $ 的平衡点稳定性情况如下

(i) 当 $ 1-\frac{\alpha}{k + m_1} + \lambda > 0 $ 且 $ 0 < \lambda \left( 1 - \frac{\alpha}{k + m_1} \right) + \beta < \frac{\left( 1 - \frac{\alpha}{k + m_1} + \lambda \right)^2}{4} $ 时, $ \xi_i<0 $, $ i=1,2,3 $, 此时$ E_{S_2}^0 $ 是渐近稳定的;

(ii) 当 $ 1-\frac{\alpha}{k + m_1} + \lambda <0 $ 且 $ \lambda \left( 1 - \frac{\alpha}{k + m_1} \right) + \beta<0 $ 时, $ \xi_1<0,\xi_2>0,\xi_3<0 $, 此时 $ E_{S_2}^0 $ 是一个鞍结点;

(iii) 当 $ 1-\frac{\alpha}{k + m_1} + \lambda > 0 $ 且 $ \lambda \left( 1 - \frac{\alpha}{k + m_1} \right) + \beta > \frac{\left( 1 - \frac{\alpha}{k + m_1} + \lambda \right)^2}{4} $ 时, 平衡点 $ E_{S_2}^0 $ 是稳定的鞍点;

(iv) 当 $ 1-\frac{\alpha}{k + m_1} + \lambda <0 $ 且 $ \lambda \left( 1 - \frac{\alpha}{k + m_1} \right) + \beta > \frac{\left( 1 - \frac{\alpha}{k + m_1} + \lambda \right)^2}{4} $ 时, 平衡点 $ E_{S_2}^0 $ 是不稳定的鞍点;

(v) 当 $ k + m_1 + 1 - y + \lambda>0 $ 且 $ (k + m_1 + 1 - y + \lambda)(\beta + k + m_1 - yk- y m_1 + 2 \alpha x^2 + \lambda k + \lambda m_1 + \lambda - \lambda y)>\beta k + \beta m_1 + \lambda k + \lambda m_1 - \lambda y k - y \lambda m_1 + 2 \alpha \lambda x^2 $ 时, 平衡点 $ E_{S_2}^1 $ 和 $ E_{S_2}^2 $ 是渐近稳定的.

${\bf证}$ 子系统 $ S_2 $ 的雅可比矩阵如下

(1) 矩阵 $ J_{S_2} $ 关于平衡点 $ E_{S_2}^0 $ 的特征多项式为

因此平衡点 $ E_{S_2}^0 $ 的稳定性由其特征多项式求得的特征值决定, 其中

当且仅当 $ 1-\frac{\alpha}{k + m_1} + \lambda > 0 $ 且 $ 0 < \lambda \left( 1 - \frac{\alpha}{k + m_1} \right) + \beta < \frac{\left( 1 - \frac{\alpha}{k + m_1} + \lambda \right)^2}{4} $ 时, $ \xi_i<0 $, $ i=1,2,3 $, 此时 $ E_{S_2}^0 $ 是渐近稳定的; 当 $ 1-\frac{\alpha}{k + m_1} + \lambda <0 $ 且 $ \lambda \left( 1 - \frac{\alpha}{k + m_1} \right) + \beta<0 $ 时, $ \xi_1<0,\xi_2>0,\xi_3<0 $, 此时 $ E_{S_2}^0 $ 是一个鞍结点. 同时, 当 $ 1-\frac{\alpha}{k + m_1} + \lambda > 0 $ 且 $ \lambda \left( 1 - \frac{\alpha}{k + m_1} \right) + \beta > \frac{\left( 1 - \frac{\alpha}{k + m_1} + \lambda \right)^2}{4} $ 时, 平衡点 $ E_{S_2}^0 $ 是稳定的鞍点; 当 $ 1-\frac{\alpha}{k + m_1} + \lambda <0 $ 且 $ \lambda \left( 1 - \frac{\alpha}{k + m_1} \right) + \beta > \frac{\left( 1 - \frac{\alpha}{k + m_1} + \lambda \right)^2}{4} $ 时, 平衡点 $ E_{S_2}^0 $ 是不稳定的鞍点;

(2) 矩阵 $ J_{S_2} $ 关于平衡点 $ E_{S_2}^1 $ 和 $ E_{S_2}^2 $ 的特征多项式为

其中

根据 Routh-Hurwitz 准则^[28], 当 $ \alpha^2_{S_2}>0 $ 且$ \alpha^2_{S_2}\alpha^1_{S_2}>\alpha^0_{S_2} $ 成立时, 平衡点 $ E_{S_2}^1 $ 和 $ E_{S_2}^2 $ 是渐近稳定的.

本节将对于滑动向量场进行分析. 首先根据 2.2 节中对于切换边界的定义, 将切换边界划分为不同区域. 令 $ \mu(M) $ 表示 $ Q(M) $ 的梯度, 它在 $ \Sigma $ 上不为零, 且有

在 $ \Sigma $ 上区分了以下区域

(1)穿越区域: $ \Sigma_C = \{M(x,y,z) \,|\, M \in \Sigma, \, \mu(E) > 0\} $;

(2)滑动区域: $ \Sigma_S = \{M(x,y,z) \,|\, M \in \Sigma, \, \mu(E) < 0\} $;

(3)边界切线: $ T = \{M(x,y,z) \,|\, M \in \Sigma, \, \mu(E) = 0\} $.

根据滑动区域 $ \Sigma_S $ 的定义, 不等式 $ \mu(E) < 0 $ 等价于

(1) 当 $ m_1<0 $ 时, $ \alpha(1 - x^2) - kY_0 <\alpha(1 - x^2) - kY_0 - m_1 Y_0 $, 即 $ L_{F_{S_1}}<0 $, $ L_{F_{S_2}}>0 $, 此时滑动区域为排斥的滑动区域

(2) 当 $ m_1>0 $ 时, $ \alpha(1 - x^2) - kY_0 >\alpha(1 - x^2) - kY_0 - m_1 Y_0 $, 即 $ L_{F_{S_1}}>0 $, $ L_{F_{S_2}}<0 $, 此时滑动区域为吸引的滑动区域

(3) 根据定义 2.4 可以得出子系统 $ S_1 $ 和 $ S_2 $ 的切线集

Filippov 系统 (3.1) 可能会出现一个滑动向量场, 该向量场是否存在取决于切换面是否存在滑动区域. 滑动区域 $ \Sigma_S $ 内的滑动动力学微分方程可以用 Filippov 凸方法 ^[4,26] 来表示

其中 $ y=Y_0 $.

由定义 2.4 知, 若 $ F_{\Sigma_S}(M)=0 $, 则称点 $ M(x,y,z) $ 为系统 (3.1) 的伪平衡点. 经过计算得知, 滑动向量场 (4.1) 总是存在一个半平凡平衡点 $ (0,Y_0,0)\in \Sigma_C $, 并且系统满足在坐标变换 $ (x,y,z) \to (-x,y,-z) $ 下的对称性. 下面将对滑动向量场 (4.1) 的非平凡伪平衡点 $ E_P(x^P, Y_0, z^P) $ 进行分析, 可以将系统 (4.1) 简化为以下形式

因此, 对于非平凡伪平衡点 $ E_P(x^P, Y_0, z^P) $ 的动力学行为的分析可以通过特征矩阵来表示

其特征方程为: $ \xi^2 - (Y_0 - 1 - \lambda) \xi + (1 - Y_0) \lambda + \beta = 0 $. 则有定理如下

${\bf定理4.1}$ Filippov 系统 (3.1) 的伪平衡点稳定性如下

(1) 当 $ \Delta = (Y_0 - 1 - \lambda)^2-4[(1 - Y_0) \lambda + \beta]\geq 0 $ 且 $ (1-Y_0) \lambda + \beta<0 $ 时, 点 $ E_P(x^P, Y_0, z^P) $ 是个不稳定的鞍点;

(2) 当 $ \Delta = (Y_0 - 1 - \lambda)^2-4[(1 - Y_0) \lambda + \beta]\geq 0 $ 且 $ (1-Y_0) \lambda + \beta>0 $ 时, 若 $ Y_0-1- \lambda<0 $, 则点 $ E_P(x^P, Y_0, z^P) $ 是个稳定的结点; 若 $ Y_0-1- \lambda>0 $, 则点 $ E_P(x^P, Y_0, z^P) $ 是个不稳定的结点;

(3) 当 $ \Delta = (Y_0 - 1 - \lambda)^2-4[(1 - Y_0) \lambda + \beta]<0 $ 时, 若 $ Y_0-1- \lambda<0 $, 则点 $ E_P(x^P, Y_0, z^P) $ 是个稳定的焦点; 若 $ Y_0-1- \lambda>0 $, 则点 $ E_P(x^P, Y_0, z^P) $ 是个不稳定的焦点.

${\bf定理4.2}$ 当伪平衡点 $ E_P(x^P, Y_0, z^P) $ 中有 $ x^P=T_{S_i},i=1,2 $ 时, 由定义 2.2 可以确认此时伪平衡点 $ E_P(x^P, Y_0, z^P) $亦是系统 (3.1) 的边界平衡点, 因此, 边界平衡点分岔发生. 对于 Filippov 系统 (3.1), 子系统 $ S_1 $ 有边界平衡点

以及子系统 $ S_2 $ 的边界平衡点

其中 $ Y_0=8/3 $.

本节基于前三节的结果进行数值模拟. 为了研究阈值控制对于 Filippov 型 Faraday 系统的影响, 设置分岔参数为 $ Y_0 $, 且 $ Y_0 $ 的范围为 $ (0,15) $. 其余参数固定如下

根据 Hide 等人在 1996 年的研究^[17], 该组参数适用于 Faraday 系统, 是系统能够表现出混沌行为的一组参数, 该参数已在类似研究中得到验证 ^[24,29].

图 2 给出了初始值为 $ (x,y,z)=(0.9,2.6,0.7) $ 时的分岔图, 发现了丰富而复杂的分岔和动力学行为, 包括倍周期分岔和周期减半现象等. 图 3-12显示了当阈值参数 $ Y_0 $ 取不同的值时, 系统 (3.1) 在相平面 $ x-y $ 上的投影的一些典型结果.

(1) 当 $ Y_0=3.6 $ 时, 轨迹收敛到一周期的滑动周期解, 该周期解由子系统 $ S_1 $ 到达切换面 $ \Sigma $ 停留了一段之后到达子系统 $ S_2 $, 如图 3(a) 所示;

(2) 当 $ Y_0=4.7 $ 时, 轨迹收敛到一周期的穿越周期解, 该周期解与滑动段没有交点, 此时发生了穿越分岔, 如图 3(b) 所示;

(3) 当 $ Y_0=6.12 $ 时, 轨迹收敛到四周期的穿越周期解, 该周期解与滑动段没有交点, 此时发生了倍周期分岔, 如图 3(c) 所示;

(4) 当 $ Y_0=6.42 $ 时, 轨迹收敛到三周期的穿越周期解, 该周期解与滑动段没有交点, 此时发生了周期减半现象, 如图 3(d) 所示;

(5) 当 $ Y_0=7.15 $ 时, 轨迹收敛到二周期的穿越周期解, 该周期解与滑动段没有交点, 此时发生了周期减半现象, 如图 3(e) 所示;

(6) 当 $ Y_0=8.54 $ 时, 轨迹收敛到一周期的滑动周期解, 该周期解由子系统 $ S_1 $ 到达切换面 $ \Sigma $ 停留了一段之后又回到了子系统 $ S_1 $, 此时发生了周期减半现象, 如图 3(f) 所示;

(7) 当 $ Y_0=9.15 $ 时, 轨迹收敛到二周期的滑动周期解, 该周期解由子系统 $ S_1 $ 到达切换面 $ \Sigma $ 停留了一段之后又回到了子系统 $ S_1 $, 此时发生了倍周期分岔, 如图 3(g) 所示;

(8) 当 $ Y_0=9.6 $ 时, 轨迹收敛到六周期的滑动周期解, 该周期解由子系统 $ S_1 $ 到达切换面 $ \Sigma $ 停留了一段之后又回到了子系统 $ S_1 $, 此时发生了倍周期分岔, 如图 3(h) 所示;

(9) 当 $ Y_0=10.1 $ 时, 轨迹为带有滑动段的混沌吸引子, 如图 3(i) 所示;

(10) 当 $ Y_0=15 $ 时, 轨迹为混沌吸引子并且完全位于子系统 $ S_1 $ 上, 如图 3(j) 所示.

本文建立了一类三维 Filippov 型 Faraday 模型, 并分析了其在阈值控制策略下的稳定性和多种分岔行为. 首先, 计算了子系统的平衡点及其稳定性, 并探讨了滑动向量场的动力学及其分岔现象. 通过对切换面上的不同区域进行分类, 重点分析了不连续边界和滑动区域稳定性对系统动力学的影响. 研究发现, 相较于传统 Faraday 系统, 该非光滑系统中出现了混沌吸引子、穿越分岔等复杂动力学行为. 此外, 本文基于研究内容进行了数值模拟, 使用切换面阈值作为参数从而观察阈值控制对于 Filippov 型 Faraday 模型的影响, 同时验证了在特定条件下参数阈值的变化对倍周期分岔及混沌现象的影响, 这说明了设置合理的阈值控制有助于进一步优化 Filippov 型 Faraday 模型, 从而设计出更加稳定、运行效率更高且故障发生率更低的发电机.

基于 Filippov 型 Faraday 系统的研究在电路设计应用领域拓展具有一定实际意义. 这一研究的开展不仅有助于设置合理的阈值控制, 为优化电路提供更加可行的解决方案, 同时也将促进更多关于非光滑动力系统的深入研究, 从而推动智能电网及可再生能源应用的发展.