本文我们考虑以下带有部分束缚势和排斥扰动项的非线性 Schrödinger 问题

其中 $N\geq 3$, $\mu>0$, $2<p<q\leq \frac{2N}{N-2}$, 频率 $\lambda\in \mathbb{R}$ 是作为拉格朗日乘子出现的未知常数. 问题 (1.1) 来源于如下在 $\mathbb{R}^{+}\times \mathbb{R}^{N}$ 中含时 Schrödinger 问题驻波解的研究

问题 (1.2) 在物理学的许多模型中出现, 可以用来描述非线性光学、场论、超导性的平均场理论、玻色-爱因斯坦凝聚的运动以及等离子体物理中的 Langmuir 波. 具体地, 物理上相关的立方-五次非线性项^[32] (在 $N=3$ 时取 $q=6$ 和 $p=4$) 包含在我们的假设中, 其中立方项 (也称为 Kerr 非线性项) 是物理中非常自然的情况, 而引入散焦的五次项是为了稳定三维涡旋孤立子^[29]. 立方-五次非线性 Schrödinger 方程 (CQNLS) 描述了弱色散和弱非线性波过程, 近年来因其在玻色-爱因斯坦凝聚的平均场理论中的应用而引起了广泛关注^[31]. 关于问题 (1.2) 的更多物理背景可以参见文献 [1,7,12,13,30,40]. 事实上, 假设 $\psi(t,x)={\rm e}^{-{\rm i}\lambda t}u(x)$, 其中 $\lambda\in \mathbb{R}$, 则 $u:\mathbb{R}^{N}\rightarrow \mathbb{C}$ 满足 (1.1) 式.

注意到, 问题 (1.1) 要求解具有给定的 $L^2$-范数, 物理学家通常将这种解称为正规化解. 定义泛函 $I_{\mu}(u):\Sigma\rightarrow \mathbb{C}$ 如下

其中

Hilbert 空间 $\Sigma$ 定义为

并赋予内积和范数分别为

其中

根据著名的 Sobolev 不等式和 Gagliardo-Nirenberg 不等式可以得到下列带最佳常数的不等式^[38,41]: 对任意的 $u\in H^{1}(\mathbb{R}^{N},\mathbb{C})$,

其中 $Q_{\gamma}$ 是下列方程的唯一正径向解

因此, $I_{\mu}(u)$ 是一个定义良好的 $C^{1}$ 泛函.

如果移除部分束缚势 $(x _{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdot\cdot\cdot+x_{N-1}^{2})u$, 问题 (1.1) 转化为下列自由状态下的问题

当 $\mu=0$ 时, 可以通过对带固定 $\lambda$ 的问题 (1.6) 的解进行适当的伸缩变换来获得问题 (1.6) 的正规化解. 当 $\mu<0$ 时, 从变分的角度来看, 如果问题 (1.6) 是纯粹的 $L^2$-次临界问题, 即 $2 < q < p < 2 + \frac{4}{N}$, 则相应能量泛函约束在 $S_{c}$ 中是有下界的. 因此, 对任意的 $c> 0$, 可以通过寻找相应能量泛函约束在 $S_{c}$ 中的全局极小值点找到问题 (1.6) 基态解, 参见文献 [27,34,37]. 在纯粹的 $L^2$-超临界情况下, 即 $2 + \frac{4}{N} < q < p < \frac{2N}{N-2}$, 相应能量泛函约束在 $S_{c}$ 中是无界的. 通过利用山路引理和巧妙的紧性方法, Jeanjean^[18] 证明了问题 (1.6) 至少存在一个基态解. Soave^[35,36] 证明了当 $2 < q \leq 2 + \frac{4}{N}\leq p \leq \frac{2N}{N-2}$ 时问题 (1.1) 正规化解的存在性、渐近性与稳定性. 当 $\mu>0$ 时, Soave^[35] 证明了当 $2 < q \leq 2 + \frac{4}{N}< p<\frac{2N}{N-2}$ 时问题 (1.6) 存在基态解. Jeanjean 等^[19,20]证明了当 $2 < p < q\leq\frac{2N}{N-2}$ 时问题 (1.6) 正规化解的存在性、多重性与稳定性. 更多关于问题 (1.6) 的结果可参见文献 [8,9,11,22-24,39].

Li 等^[25]研究了具有径向束缚势的三次-五次非线性薛定谔能量泛函

其中 $N = 1, 2, 3$, 参数 $\kappa = \pm 1$, 位势函数 $0\leq V(x)\in C^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 满足以下条件

(${{V_1}}$) $V$ 是递增的径向对称函数;

(${{V_2}}$) 存在常数 $C_0 > 0$ 和 $l \geq 2$, 使得

(${{V_3}}$) 存在常数 $C_1 \geq 0$ 和 $0 < \alpha < l$, 使得

(${{V_4}}$) 存在常数 $C_2 \geq 0$ 使得

他们表明能量泛函 $J$ 约束在集合

中存在全局极小值点. 进一步, 他们还证明了全局极小值点的 Thomas-Fermi 极限行为.

当 $\mu=0$ 时, 问题 (1.1) 转化为如下形式

当 $2+\frac{4}{N}\leq p < \frac{2N}{N-2}$ 时, 问题 (1.7) 是 $L^{2}$-(超) 临界问题. Bellazzini 等^[3]表明问题 (1.7) 存在正规化解, 并进一步证明了基态解的对称性、量化性质与稳定性. 然而, 当 $2< p < 2+\frac{4}{N}$ 时, 问题 (1.7) 是 $L^{2}$-次临界问题. Gou^[15] 证明了问题 (1.7) 在 $N=3$ 时存在正规化解. 实际上, 文献 [3] 中的方法和结果可以本质上推广到问题 (1.1) 取 $N\geq 3$, $\mu\leq 0$, $2+\frac{4}{N}\leq p<\frac{2N}{N-2}$ 时的情形. 类似地, 文献 [15] 中的方法和结果也可以推广到问题 (1.1) 取 $N\geq 3$, $\mu\leq 0$, $2<p<2+\frac{4}{N}$ 时的情形.

受上述工作的启发, 本文主要研究问题 (1.1) 在 $N\geq 3$, $\mu>0$, $2<p<q\leq \frac{2N}{N-2}$ 时的正规化解. 在这种情况下, 能量泛函中的排斥项占主导地位, 且对于任意的 $c > 0$, 约束泛函 $I_{\mu}|_{S_c}$ 有下界并且是强制的.

在陈述我们的主要结果之前, 先给出一些定义. 对于问题 (1.1), 如果 $(\lambda,u) \in \mathbb{R}\times \Sigma$ 满足对所有的 $\varphi\in C_0^\infty(\mathbb{R}^N)$, 都有

则称 $(\lambda,u) \in \mathbb{R}\times\Sigma$ 是问题 (1.1) 的一个弱解. 对任意的 $c>0$, 如果 $u\in S_{c}$ 是泛函 $I_{\mu}$ 约束在 $S_{c}$ 中的一个临界点, 即

则存在 $\lambda\in \mathbb{R}$ 使得 $(\lambda,u) \in \mathbb{R}\times S_{c}$ 是问题 (1.1) 的一个弱解. 如果

则称 $u \in S_{c}$ 为问题 (1.1) 的一个基态正规化解.

注意到, 当 $\mu>0$ 且 $2<p<q\leq \frac{2N}{N-2}$ 时, 能量泛函 $I_{\mu}$ 约束在 $S_{c}$ 中是有下界的. 因此, 我们引入以下极小化问题:

显然, $E_{c,\mu}$ 的极小值点对应于 $I_{\mu}|_{S_{c}}$ 的临界点, 并且是问题 (1.1) 的正规化解. 接下来, 我们陈述主要结果.

定理 1.1 设 $\mu>0$, $2<p<q\leq\frac{2N}{N-2}$. 则对任意的 $c>0$, $E_{c,\mu}<\frac{N-1}{2}c$ 是可达的. 因此, 问题 (1.1) 存在一个弱解 $(\lambda_{c,\mu},u_{c,\mu})\in \mathbb{R}\times S_{c}$, 其中

此外, $u_{c,\mu}$ 是问题 (1.1) 的基态正规化解, 并且存在 $s\in \mathbb{R}$ 使得 $u_{c,\mu}(x_1, x_2, \cdot\cdot\cdot,x_N - s)$ 关于 $(x_1, x_2, \cdot\cdot\cdot,x_{N-1})$ 和 $x_N$ 均是径向对称且递减的.

现在我们概述在证明定理 1.1 中遇到的一些困难. 由于部分束缚势 $(x_1^2 + x_2^2+\cdot\cdot\cdot+x_{N-1}^2)$ 和排斥非线性项 $\mu|u|^{q-2}u$ 的出现, 导致问题 (1.1) 所对应的全局极小能量值可能为非负. 此外, 部分束缚势使得能量泛函 $I_{\mu}$ 关于变量 $x_N$ 是平移不变的, 从而导致紧性缺失. 事实上, 如果将问题 (1.1) 中的部分束缚势 $(x_1^2 + x_2^2+\cdot\cdot\cdot+x_{N-1}^2)$ 替换为径向位势 $V(x)$ 满足 $(V_{1})$ 和 $(V_{4})$ (例如多项式类型的位势 $\sum_{i=1}^{n}\omega_i |x|^{p_i}$, 其中 $\omega_i > 0$, $p_i \geq 2$) 或一般位势 $V(x) \in C^\beta_{\text{loc}}(\mathbb{R}^N)$, 其中 $0 < \beta < 1$ 且 $\lim_{|x| \to \infty} V(x) = \infty$, 则可以利用 $\Sigma$ 紧嵌入 $L^\gamma(\mathbb{R}^N)$ 的性质来克服紧性缺失, 其中 $\gamma \in [2, \frac{2N}{N-2})$, 请参见文献 [14,16,17,25,33,42]. 然而, 在我们的情况下, 这种紧性嵌入并不成立, 这使得讨论最小化序列的紧性变得更加困难.

定理 1.1 的证明基于集中紧方法, 其中要求排除消失和分歧的可能性. (i) 排除消失. 由于问题 (1.1) 所对应的全局极小能量值可能为非负, 并且能量泛函 $I_{\mu}$ 关于变量 $x_N$ 是平移不变的. 从而文献 [28,引理 1.1] 不能用来排除消失. 此外, 全局极小能量值的单调性方法 (参见文献 [20,引理 2.3]) 也不适用. 因此, 我们利用文献 [3] 中的方法来排除消失的情形. (ii) 排除分歧. 由于部分束缚势 $(x_1^2 + x_2^2+\cdot\cdot\cdot+x_{N-1}^2)$ 和排斥非线性项 $\mu|u|^{q-2}u$ 的竞争作用, 导致很难使用伸缩变换 (参见文献 [3,15,19]) 来建立严格次可加性不等式. 为了克服这一障碍, 我们借鉴了文献 [34] 中的思想, 采用耦合重排技术来建立严格次可加性不等式 (见 (3.7) 式), 这一技术本质上依赖于耦合重排严格减少两个函数的梯度 $L^2$-范数之和的性质 (见 (2.6) 式).

注意到, 与 (1.2) 式相关的柯西问题在 $H^1(\mathbb{R}^N, \mathbb{C})$ 中的局部适定性可以由文献 [2] 和文献 [10,定理 4.3.1] 得到, 即对任意的初始条件 $\psi_0 \in H^1(\mathbb{R}^N)$, 问题 (1.2) 存在唯一解 $\psi$, 且 $\psi \in C([0, T_{\text{max}}^\psi), H^1(\mathbb{R}^N))$ 并满足 $\psi(0, \cdot) = \psi_0$. 此外, 质量和能量在系统 (1.2) 下是守恒的, 即

用 $\mathcal{M}_{c,\mu}$ 表示 $I_{\mu}|_{S_{c}}$ 的基态正规化解的集合. 我们称 $\mathcal{M}_{c,\mu}$ 是轨道稳定的: 如果对于每个 $\epsilon > 0$, 存在 $\delta > 0$, 使得对于任意 $\psi_0 \in H^1(\mathbb{R}^{N})$, 若满足 $\inf_{v \in \mathcal{M}_{c,\mu}} \| \psi_0 - v \|_{H^1(\mathbb{R}^N)} < \delta$, 则有

其中 $\psi(t, \cdot)$ 表示初始数据为 $\psi_0$ 时问题 (1.2) 的解, $T_{\max}^\psi$ 表示解的最大存在时间.

定理 1.2 设 $\mu>0$, $2<p<q\leq\frac{2N}{N-2}$.

(i) 对任意的$c>0$,

此外,

其中 $\Psi_0(x_1, x_2,\cdot\cdot\cdot,x_{N-1})$ 是量子谐振子 $-\sum_{i=1}^{N-1} \partial_{x_i}^2 + (x_1^2 + x_2^2+\cdot\cdot\cdot+x_{N-1}^2)$ 的唯一标准化正特征向量, 且

(ii) 集合 $\mathcal{M}_{c,\mu}$ 是轨道稳定的.

符号: 对于勒贝格可测集 $A$, 用 $|A|$ 表示 $A$ 的勒贝格测度. $L^{p}=L^{p}(\mathbb{R}^{N}) (1\leq p\leq\infty)$ 是通常的勒贝格空间, 赋予标准范数为 $|\cdot|_{p}$. 用 $``\rightarrow"$ 和 $``\rightharpoonup"$ 分别表示在相关函数空间中的强收敛和弱收敛. $B_{r}(x):=\{y\in \mathbb{R}^{N}||y-x|<r, x\in \mathbb{R}^{N}\}$. 除非特别说明, $C$ 和 $C_{i}$ 将表示正常数.

本文结构如下: 第二节, 提出需要用到的初步结果. 第三节, 给出主要结果的证明.

首先, 我们回顾一些关于 Steiner 重排和耦合重排的定义^[34]. 对任意的 $x\in \mathbb{R}^{N}$, 记 $x:=(x',x_{N})$, 其中 $x':=(x_{1},x_{2},\cdot\cdot\cdot,x_{N-1})\in \mathbb{R}^{N-1}$ 且 $x_{N}\in \mathbb{R}$. 令 $u:\mathbb{R}^{N}\rightarrow \mathbb{R}$ 为勒贝格可测函数, 并在无穷远处消失, 即 $\lim_{|x|\rightarrow \infty}u(x)=0$. 对任意的 $t>0$, $x'\in \mathbb{R}^{N-1}$, 令

定义 $u$ 的 Steiner 重排 $u^{*}$ 为

其中 $A^{*}\subset \mathbb{R}$ 表示集合 $A\subset \mathbb{R}$ 的 Steiner 重排

这里 $\mathcal{L}^{n}(A)$ 表示集合 $A\subset \mathbb{R}^{n}$ 的 $n$ 维勒贝格测度. 鉴于 (2.1) 式, 对任意的 $x'\in \mathbb{R}^{N-1}$, 我们观察到 $x_{N}\rightarrow u^{*}(x',x_{N})$ 关于 $|x_{N}|$ 是非增的, 且 $u^{*}(x',\cdot)$ 等测于 $|u(x',\cdot)|$, 即对任意的 $t>0$,

设 $u$, $v:\mathbb{R}^{N}\rightarrow \mathbb{R}$ 是勒贝格可测函数, 且在无穷远处消失. 对任意的 $t>0$ 和 $x'\in \mathbb{R}^{N-1}$, 定义 $u$ 和 $v$ 的耦合重排 $u\ast v$ 为

其中 $A\ast B\subset \mathbb{R}$ 表示集合 $A$, $B\subset \mathbb{R}$ 的耦合重排

由 (2.3) 式可知对任意的 $x'\in \mathbb{R}^{N-1}$, 函数 $x_{N}\rightarrow(u\ast v)(x',x_{N})$ 关于 $|x_{N}|$ 是非增的, 并且对任意的 $t>0$,

关于 Steiner 重排和耦合重排, 我们可以总结以下结果.

引理 2.1^[34] 设 $1\leq \gamma<\infty$, 且 $u^{*}$ 是 $u$ 的 Steiner 重排, $u\ast v$ 是 $u$ 和 $v$ 的耦合重排. 则

(1) $u^{*}$ 和 $|u|$ 在 $\mathbb{R}^{N}$ 中是等测的, 即对任意的 $t>0$,

(2) 若 $u\in W^{1,\gamma}(\mathbb{R}^{N})$, 则 $u^{*}\in W^{1,\gamma}(\mathbb{R}^{N})$, 且

(3) 对任意的 $t>0$,

(4) 如果 $u$, $v\in W^{1,\gamma}(\mathbb{R}^{N})$, 则 $u\ast v\in W^{1,\gamma}(\mathbb{R}^{N})$, 且

此外, 如果 $u$, $v\in W^{1,\gamma}(\mathbb{R}^{N})\cap C^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 是正的, 且满足 $x_{N}\rightarrow u(x',x_{N})$ 和 $x_{N}\rightarrow v(x',x_{N})$ 关于 $|x_{N}|$ 是非增的, 则

引理 2.2^[2,3] 定义

则 $L_{0}=l_{0}=N-1$.

引理 2.3 设 $\mu>0$, $2<p<q\leq\frac{2N}{N-2}$. 假设 $\{u_{n}\}\subset S_{c}$ 满足

则存在 $\delta>0$ 使得

证 若 (2.9) 式不成立, 则由 (2.7) 式可得

由于 Sobolev 空间

因此, 根据 (2.8) 式可知存在 $\Psi_{0}\in H^1(\mathbb{R}^{N-1})$ 使得

设 $\zeta\in H^{1}(\mathbb{R})$ 使得 $\int_{\mathbb{R}}|\zeta|^{2}{\rm d}x_{N}=c$. 令

其中 $t>0$.

注意到 $u_{t}\in S_{c}$ 且

因为 $2<p<q\leq\frac{2N}{N-2}$ 且 $\int_{\mathbb{R}}|\partial_{x_{N}}\zeta|^{2}{\rm d}x_{N}$ 有界, 则对任意的 $t\ll 1$, 下列式子成立

因此, 当 $t$ 足够小时,

这与 (2.10) 式矛盾.

引理 2.4 设 $\mu>0$, $2<p<q\leq\frac{2N}{N-2}$. 假设 $\{u_{n}\}\subset S_{c}$ 满足

则存在 $\{k_{n}\}\subset \mathbb{R}$ 使得

证 首先, 结合引理 2.3 和插值不等式可知存在 $\eta_{0}>0$ 使得

由 Hölder 不等式和 Sobolev 不等式可得

其中

通过对 $k\in \mathbb{Z}$ 求和可得

因为 $\{u_{n}\}$ 在 $\Sigma$ 中有界, 从而由 (2.13) 式和 (2.14) 式可知存在 $k_{n}\in \mathbb{N}$ 使得

且序列 $w_{n}(x)=u_{n}(x_{1},x_{2},\cdot\cdot\cdot,x_{N}-k_{n})$ 满足

由于 $H^{1}(T_{0})\hookrightarrow L^{2}(T_{0})$ 是紧嵌入的, 从而存在 $\bar{u}\in \Sigma\backslash \{0\}$ 使得 $\{w_{n}\}$ 在 $\Sigma$ 中弱收敛于 $\bar{u}$.

引理 2.5 设 $\mu>0$, $2<p<q\leq\frac{2N}{N-2}$. 则下列结果成立

(i) $c\mapsto E_{c,\mu}$ 是连续的;

(ii) $E_{c,\mu}\leq E_{a,\mu}+E_{c-a,\mu}$, $\forall$$0<a<c$.

证 (i) 假设序列 $c_{n}$ 满足 $c_{n}\geq 0$, 且当 $n\rightarrow \infty$ 时 $c_{n}\rightarrow c$. 由 $E_{c_{n},\mu}$ 的定义可知, 对任意的 $\epsilon>0$, 存在序列 $\{u_{n}\}\subset S_{c_{n}}$ 使得 $I_{\mu}(u_{n})\leq E_{c_{n},\mu}+\epsilon$. 令 $\tilde{u}_{n}:=(\frac{c}{c_{n}})^{\frac{1}{2}}u_{n}$, 则 $\tilde{u}_{n}\in S_{c}$ 且

另一方面, 对于足够大的 $n\in \mathbb{N}$, 我们可以得到

因此, 当 $n\rightarrow \infty$ 时, $E_{c_{n},\mu}\rightarrow E_{c,\mu}$.

(ii) 对任意的 $\epsilon>0$, 存在 $u\in S_{a}$ 和 $v\in S_{c-a}$ 使得

不失一般性, 假设 $\text{supp} u\cap \text{supp} v=\emptyset$.

令 $w=u\ast v$, 则由 (2.5) 式和引理 2.1 可知 $w\in S_{c}$ 且

这表明 $E_{c,\mu}\leq E_{a,\mu}+E_{c-a,\mu}$.

定理 1.1 的证明 (A) 首先, 由 (2.12) 式可得 $E_{c,\mu}<\frac{N-1}{2}c$. 设 $\{u_{n}\}\subset S_{c}$ 满足 $\lim_{n\rightarrow \infty}I_{\mu}$$(u_{n})$$=E_{c,\mu}$. 根据引理 2.4 可知存在 $\{k_{n}\}\subset \mathbb{R}$ 使得 $v_{n}\rightharpoonup \bar{v}\neq 0$ 于 $\Sigma$, 其中 $v_{n}(x)=u_{n}(x_{1},x_{2},\cdot\cdot\cdot,x_{N}-k_{n})$. 设 $|\bar{v}|_{2}^{2}=a$. 如果 $a<c$, 令 $w_{n}=v_{n}-\bar{v}$. 根据 Brézis-Lieb 引理^[4]以及引理 2.5 可以得到 $|w_{n}|_{2}^{2}=c-a+o(1)$, 并且有

因此,

令 $\phi_{n}=\frac{\sqrt{c-a}}{|w_{n}|_{2}}\cdot w_{n}=\alpha_{n}w_{n}$, 则当 $n\rightarrow \infty$ 时, $\alpha_{n}\rightarrow 1$ 且满足

再次利用引理 2.4 可知存在 $\{z_{n}\}\subset \mathbb{R}$ 使得 $\phi_{n}(x_{1},x_{2},\cdot\cdot\cdot,x_{N}-z_{n})\rightharpoonup \bar{\phi}\neq 0$ 于 $\Sigma$. 设 $|\bar{\phi}|_{2}^{2}=c_{1}$, 由 Fatou 引理可知 $c_{1}\leq c-a$. 因此,

从而得出 $I_{\mu}(\bar{\phi})=E_{c_{1},\mu}$.

令 $\bar{v}^{*}$ 和 $\bar{\phi}^{*}$ 分别为 $\bar{v}$ 和 $\bar{\phi}$ 的 Steiner 重排. 根据 (2.2) 式, 我们有

因此, 结合 (3.3) 式, (3.4) 式和引理 2.1 可得

这表明存在常数 $\lambda_{\bar{v}^{*}}$ 和 $\lambda_{\bar{\phi}^{*}}$ 使得 $\bar{v}^{*}$ 和 $\bar{\phi}^{*}$ 分别满足以下方程

根据椭圆偏微分方程的正则理论可知 $\bar{v}^{*}$ 和 $\bar{\phi}^{*}$ 都属于 $C^{2}(\mathbb{R}^{N})$. 此外, 极值引理告诉我们 $\bar{v}^{*}$ 和 $\bar{\phi}^{*}$ 都是正函数. 由 (2.5) 式可得

因此, 由 (3.5) 式, (3.6) 式和引理 2.1 可知

结合 (3.1) 式, (3.2) 式和 (3.7) 式, 我们可得

这与引理 2.5(ii) 矛盾. 因此, $\bar{v}\in S_{c}$. 从而, $E_{c,\mu}<\frac{N-1}{2}c$ 是可达的. 不妨设达到函数为 $u_{c,\mu}\in S_{c}$. 因此, 存在 $\lambda_{c,\mu}\in \mathbb{R}$ 使得 $(\lambda_{c,\mu},u_{c,\mu})$ 是问题 (1.1) 的一个弱解, 即

用 $u_{c,\mu}$ 试探 (3.8) 式可得

由 $l_{0}$ 的定义可知

因此, 我们得到

(B) 下面我们证明 $u_{c,\mu}$ 的对称性. 为了得到这一结果, 我们遵循文献 [3] 引入的方法.

步骤一 我们证明对任意的 $x_N\in \mathbb{R}$, $u_{c,\mu}(x)$ 关于 $x'$ 都是径向对称且递减的. 定义 $u_{c,\mu}(x)$ 关于 $x'$ 的 Schwartz 重排为 $u_{c,\mu}^{\sharp}(x)$^[26]. 则下列性质成立^[3,5]

由 (3.9) 式可知

因此 $u_{c,\mu}^{\sharp}\in S_{c}$ 满足 $I_{\mu}(u_{c,\mu}^{\sharp})=E_{c,\mu}$. 从而

根据 (3.9) 式和 (3.10) 式可得

根据文献 [3, 定理 4] 可知

又由于 $u_{c,\mu}(x)$ 是连续的, 因此对每个 $x_N\in \mathbb{R}$, $u_{c,\mu}(x)$ 关于 $x'$ 都是径向对称且递减的.

步骤二 我们证明 $u_{c,\mu}(x)$ 在对 $x_N$-方向适当的平移 $k$ 个单位后关于变量 $x_N$ 是径向对称的. 显然, 通过沿 $(0, 0,\cdot\cdot\cdot,0, 1)$ 方向适当的平移, 我们可以假设

定义

设 $v_{c,\mu}$ 是 $u_{c,\mu}$ 在 $\mathbb{R}^{N-1} \times [0, +\infty)$ 上关于 $x_N = 0$ 的反射, 即

利用 $u_{c,\mu}$ 的正则性, 我们可以推出 $v_{c,\mu} \in S_c$, 且 $F_{+}(u_{c,\mu}) + F_{-}(u_{c,\mu}) \leq 2F_{+}(u_{c,\mu})$. 类似地, 通过考虑

我们得到 $F_{+}(u_{c,\mu}) + F_{-}(u_{c,\mu}) \leq 2F_{-}(u_{c,\mu})$. 因此, $F_{-}(u_{c,\mu})= F_{+}(u_{c,\mu})$. 从而 $v_{c,\mu}\in S_c$ 也满足 $I_{\mu}(v_{c,\mu})=E_{c,\mu}$. 因此存在 $\lambda_{u_{c,\mu}}, \lambda_{v_{c,\mu}} \in \mathbb{R}$, 使得

由于 $u_{c,\mu} = v_{c,\mu}$ 于 $\mathbb{R}^{N-1} \times [0, +\infty)$, 因此 $\lambda_{u_{c,\mu}}= \lambda_{v_{c,\mu}}:= \lambda$, 从而 $z_{c,\mu} = u_{c,\mu} - v_{c,\mu}$ 满足线性方程

其中

根据文献 [21] 中的唯一延拓原理可以推出 $z_{c,\mu} = 0$. 因此, $u_{c,\mu}=v_{c,\mu}$.

步骤三 我们证明 $u_{c,\mu}(x)$ 关于变量 $x_N$ 是递减的. 由第二步可知, $u_{c,\mu}(x)$ 在对 $x_N$-方向适当的平移 $k$ 个单位后关于变量 $x_N$ 是径向对称的. 不失一般性, 我们可以假设 $k=0$, 即 $u_{c,\mu}$ 关于变量 $x_N$ 是径向对称的. 定义 $u_{c,\mu}(x)$ 关于 $x_N$ 的 Schwartz 重排为 $u_{c,\mu}^{\dagger}(x)$. 则以下性质成立^[5]

从而我们得到

因此, $u_{c,\mu}^{\dagger}\in S_{c}$ 满足 $I_{\mu}(u_{c,\mu}^{\dagger})=E_{c,\mu}$, 且有

显然, 对于几乎所有的 $x'\in \mathbb{R}^{N-1}$, $u_{c,\mu}$ 关于变量 $x_N$ 的偏导数是平方可积的. 又因为 $u_{c,\mu}$ 是连续可微的, 因此, 对于所有的 $x'\in \mathbb{R}^{N-1}$, $u_{c,\mu}$ 关于变量 $x_N$ 的偏导数都是平方可积的. 从而 $u_{c,\mu}$ 在 $x_N \to \infty$ 时趋向于零. 因此, 对于任意的 $\tau> 0$, $(u_{c,\mu}- \tau)_{+} \in H^1(\mathbb{R^{N}})$ 都具有紧支撑, 其中 $(u_{c,\mu}- \tau)_{+}$ 表示函数 $u_{c,\mu}- \tau$ 的正部. 由此, 结合文献 [6,引理 3.2], 我们可知对于几乎所有的 $x'\in \mathbb{R}^{N-1}$, 水平集 $\{|u(x', \cdot)| > \tau\}$ 是 $\mathbb{R}$ 中的区间. 又由于 $u$ 是连续的, 从而 $\{|u(x', \cdot)| > \tau\}$ 是开区间. 进一步, 由于 $\{|u(x', \cdot)| \geq \tau \}= \bigcap_{s < \tau} \{ |u(x', \cdot)| > s \}$, 因此 $\{|u(x', \cdot)| > \tau\}$ 是闭区间. 从而, 对于任意给定的 $x'\in \mathbb{R}^{N-1}$, 当 $x_N \geq k_{x'}$ 时, $u_{c,\mu}$ 关于 $x_N$ 是递减的, 而当 $x_N \leq k_{x'}$ 时, $u_{c,\mu}$ 关于 $x_N$ 是递增的, 其中 $k_{x'}$ 是 $u_{c,\mu}$ 关于 $x_N$ 的任意一个极大值点. 由于 $u_{c,\mu}$ 关于变量 $x_N$ 是径向对称的, 因此, $k_{x'}= 0$.

定理 1.2 的证明 (i)(A) 设 $v\in \mathcal{M}_{c,\mu}$, 则 $I_{\mu}(v)=E_{c,\mu}$; 由于

因此 $I_{\mu}(|v|)\leq I_{\mu}(v)$, 这意味着 $|\nabla |v||_{2}=|\nabla v|_{2}$, 并且 $|v|$ 是问题 (1.1) 的非负实值解. 由正则性理论可知 $|v|\in C^{2}(\mathbb{R}^{N})$, 进而根据强极值原理得到 $|v|>0$. 令 $v=\kappa|v|$, 我们知道 $\kappa\in C^{1}(\mathbb{R}^{N},\mathbb{C}\backslash \{0\})$. 由于 $|\kappa|=1$, 则有

因此可以得出 Re$(\bar{\kappa}\nabla\kappa)=0$, 即 $\bar{\kappa}\nabla\kappa$ 为纯虚数. 从而, 有 $|\nabla v|^{2}=|\nabla |v||^{2}+|v|^{2}|\nabla \kappa|^{2}$, 并且

因此, $||v|\nabla\kappa|_{2}^{2}=0$, 这表明 $\nabla \kappa=0$, 即 $\kappa={\rm e}^{{\rm i}\theta}$, 且 $v={\rm e}^{{\rm i}\theta}|v|$.

(B) 对任意的 $u\in \mathcal{M}_{c,\mu}$, 利用傅里叶分解可知

其中

且 $\{\Psi_{j}\}$ 是 $L^{2}(\mathbb{R}^{N-1})$ 的一组 Hilbert 基. 因此,

因为

从而由 (3.11) 式可知

即

因此,

对任意的 $u\in \mathcal{M}_{c,\mu}$, 结合 (3.12) 式和 (3.13) 式可得

和

因此,

(ii) 用反证法, 假设存在 $\varepsilon_{0}>0$, 初始值序列 $\{u_{n}^{0}\}\subset \Sigma$ 和时间序列 $\{t_{n}\}\subset \mathbb{R}^{+}$ 使得系统 (1.2) 带初始条件 $u_{n}(0,\cdot)=u_{n}^{0}(\cdot)$ 的解序列 $\{u_{n}\}$ 满足

不失一般性, 假设 $\{u_{n}^{0}\}\subset S_{c}$. 因为当 $n\rightarrow \infty$ 时,

由能量与质量的守恒性质可知 $\{u_{n}({t_{n},\cdot})\}$ 是 $E_{c,\mu}$ 的极小化序列. 类似于定理 1.1 的证明, 我们可以得到在平移的意义下, 序列 $\{u_{n}({t_{n},\cdot})\}$ 在 $\Sigma$ 中是紧的, 这与假设

矛盾.