1 引言
设 $ (M, g_0) $ 是 $ n $ 维紧致带边的光滑黎曼流形, $ n\ge3 $. 本文拟研究 $ (M, g_0) $ 上一类退化的完全非线性方程
(1.1) $\left\{ \begin{array}{rll} &\label{816}\sigma_k\Big(-A^t_g\Big)=f(x)\ge0,\\ &h_g=0, \end{array} \right.$
其中度量 $ g\in [g_0]=\{\tilde{g}|\tilde{g}={\rm e}^{2w}g_0\} $, $ w $ 是未知函数,
$ t<1 $, $ Ric_g, R_g, h_g $ 分别是关于度量 $ g $ 的 Ricci 曲率, 数量曲率, 和边界的平均曲率.
$ \sigma_k(-A^t_g) $ 是指 $ \sigma_k $ 作用在 $ g^{-1}\cdot (-A^t_g) $ 的特征值上. 定义
若 $ f>0 $, 称方程 (1.1) 是非退的. 若 $ f $ 仅仅非负则称方程 (1.1) 是退化的.
关于退化的完全非线性方程的研究一直是几何分析中的一个热点问题. Guan-Li[19 ,20 ] 研究了退化的 Weyl 问题和退化的 Gauss 曲率问题. Guan[18 ] 考虑了退化的 Monge-Ampère 方程的齐次的 Dirichlet 问题. Guan-Trudinger-Wang[22 ] 研究了具有非齐次 Dirichlet 边界条件的退化的 Monge-Ampère 方程. 在
(1.2) $\label{90}f^{\frac{1}{k}}\in C^{1,1}$
的条件下, Krylov[38 41] 考虑了退化的 $ k $-Hessian 方程 $ \sigma_k(D^2u)=f $ 的解的 $ C^{1,1} $ 正则性. 在文献 [30 ] 中, Ivochkina-Trudinger-Wang 提出公开问题: 条件(1.2) 是否可以优化到 $ f^{\frac{1}{k-1}}\in C^{1,1} $? Wang[58 ] 给出的反例表明条件 $ f^{\frac{1}{k-1}}\in C^{1,1} $ 是最优的. 记 $ \tilde{f}=f^{\frac{1}{k-1}}. $ Dong[12 ] 在 $ \tilde{f}\in C^{1,1} $ 以及 $ |D\tilde{f}|\le C \tilde{f}^{\frac{1}{2}} $ 的条件下得到了具有齐次边界条件的退化的 $ k $-Hessian方程的解的 $ C^{1,1} $ 估计. 在文献 [32 ] 中, Jiao-Wang 在 $ \tilde{f}\in C^{1,1} $ 的条件下得到了具有齐次边界条件的退化的 $ k $-曲率方程解的 $ C^{1,1} $ 估计. Jiao-Wang[33 ] 得到了具有非齐次边界的退化的 $ k $-Hessian 方程的 Dirichlet 问题的 $ C^{1,1} $ 估计. Jiao-Jiao[31 ] 得到了退化的 $ k $-曲率方程和退化的 $ k $-Hessian 方程的 Pogorelov 估计. 在文献 [24 ] 里, Guan-Zhang 考虑了一类退化的混合型曲率方程的 Dirichlet 边值问题. Chen-Tu-Xiang[8 ] 则考虑了一类退化的 Hessian 商曲率方程的 Dirichlet 问题.
受以上工作的启发, 我们拟研究共形几何中的一类退化方程的边值问题. 共形几何中的一个重要问题是 $ k $-Yamabe 问题, 它由 Vioclovsky[56 ] 提出, 该问题是要在闭的背景流形 $ (M, g_0) $ 的共形类中找一个度量 $ g $, 使得
这里 Schouten 张量 $ A_g $ 的定义为
其中 $ \sigma_k $ 作用在 $ g^{-1}\cdot A_g $ 的特征值上. 当 $ k=1 $ 时, $ k $-Yamabe 问题就还原成了经典的 Yamabe 问题. Yamabe 问题被 Yamabe[59 ] , Trudinger[53 ] , Aubin[1 ] , Schoen[50 ] 等人完全解决. 当 $ n=4, k=2 $ 时, Chang-Gursky-Yang[3 ,4 ] 证明了只要 Yamabe 常数和 $ \int_M \sigma_2(A_{g_0}) $ 均为正, 方程
就是有解的. 文献 Guan-Wang[23 ] 和 Li-Li[42 ] 证明了当 $ 2\le k<n/2 $ 、流形局部共形平坦的时候, $ k $-Yamabe 问题是有解的. 文献 Gursky-Viaclovsky[26 ] 和 Trudinger-Wang[55 ] 考虑了 $ k> n/2 $ 的情形. 文献 Trudinger-Wang[54 ] 和 Li-Nguyen[47 ] 则讨论了 $ k=n/2 $ 的情形. 关于 Schouten 张量的共形问题的相关的工作还有文献 [15 17,21 ,43 ,51 ,57 ] 等等. 2003 年, 文献 Gursky-Viaclovsky[25 ] 和 Li-Li[42 ] 分别引入了下列 modified Schouten 张量
当 $ t=1 $ 时, $ A^t_g $ 就是 Schouten 张量; 当 $ t=0 $ 时, $ (n-2)A^t_g $ 就等于 Ricci 张量; 当 $ t=n-1 $ 时, $ (n-2)A^t_g $ 就是 Einstein 张量. 闭流形上关于 modified Schouten 张量的共形问题的工作包括文献 [5 ,25 ,45 ] 等等.
在带边流形上, 相应的 $ k $-Yamabe 问题可以描述为: 拟在带边的背景流形 $ (M, g_0) $ 的共形类中找一个度量 $ g $, 使得
其中 $ h_g $ 为边界的平均曲率, $ c $ 为常数. 相关的工作读者可以参看: Chen[6 ,7 ] , Jin-Li-Li[37 ] , Li-Li[44 ] , Li-Nguyen[48 ] , He-Sheng[27 ] , Sheng-Yuan[52 ] , Jiang-Trudinger[34 36] , Duncan-Nguyen[13 ] , Chen-Wei[9 ,10 ] 等等.
以上关于共形几何的工作都是考虑的非退化的情形 ($ f>0 $). 在方程退化的时候, Ge-Lin-Wang[14 ] 证明了当第二共形 Yamabe 常数 $ Y_{2,1}([g_0])=0 $ 时, 存在 $ C^{1, 1} $ 共形度量 $ {g} $ 使得 $ \sigma_2(A_{{g}})=0. $ Li[46 ] , Li-Nguyen-Wang[49 ] , Chu-Li-Li[11 ] 考虑了关于共形 Hessian 矩阵 $ A^u $ 的退化椭圆方程 $ A^u\in\partial \Gamma $. 文献 [29 ] 得到了闭流形上退化方程 $ \sigma_k(-A_g^t)=f\ge0 $ 的解. 在本文中, 在具有全测地边界的流形上我们证明了如下结果
定理 1.1 设 $ (M, g_0) $ 是 $ n $ 维具有全测地边界的光滑紧致流形, $ n\ge 3, $ $-A^t_{g_0}\in\Gamma_k,\ 2\le k\le n, t<1 $. 假设 $ f $ 非负, $ f^{\frac{1}{k-1}} \in C^{1, 1}, \frac{\partial (f^{\frac{1}{k-1}})}{\partial \nu}|_{\partial M}=0 $, 方程 (1.1) 存在 $ C^{1,1} $ 上解 $ \overline{w} $:
那么, 方程 (1.1) 存在 $ C^{1, 1} $ 解.
假设 $ g={\rm e}^{2w}g_0 $, 那么由公式可知
其中 $ L_g $ 和 $ L_{g_0} $ 分别是关于度量 $ g $ 和 $ g_0 $ 的第二基本形式, $ \nu $ 是 $ (M, g_0) $ 的边界的单位内法向. 方程 (1.1) 可改写为
(1.3) $\left\{\begin{array}{l} \sigma_{k}(W)=f \mathrm{e}^{2 k w} \\ w_{\nu}=0 \end{array}\right.$
其中 $ \sigma_k $ 作用在 $ g_0^{-1}\cdot W $ 上. 为了证明定理 1.1, 我们对下列扰动方程做先验估计
(1.4) $\left\{ \begin{array}{lll} &&\sigma_{k} \left(W \right) =\left(f^{\frac{1}{k-1}} \left(x\right)+\epsilon \right)^{k-1} {\rm e}^{2kw}, \\ &&w_{\nu}=0. \end{array} \right.$
定理 1.2 设 $ (M, g_0) $ 是 $ n $ 维具有全测地边界的光滑紧致流形, $ n\ge3. $ 假设 $ 2\le k\le n, t<1 $, 非负函数 $ f $ 满足$ f^{\frac{1}{k-1}}\in C^{1, 1}, \frac{\partial (f^{\frac{1}{k-1}})}{\partial \nu}|_{\partial M}=0 $. 若 $ w $ 是方程(1.4)的 $ C^4 $ 解, $ W\in \Gamma_2 $, 那么存在依赖于 $ g_0, n, k, t $, $\|f^{\frac{1}{k-1}}\|_{C^{1}}$, $\|w\|_{C^0}$ 的常数 $ C $ 使得
(1.5) $\begin{equation} \sup |\nabla w| \le C, \label{5D} \end{equation}$
以及存在依赖于 $ g_0, n, k, t $, $ \|f^{\frac{1}{k-1}}\|_{C^{1, 1}} $, $ \|\nabla w\|_{C^0} $ 的常数 $ C $ 使得
(1.6) $\begin{equation} \sup|\nabla^2 w|\le C(1+{\rm e}^{\frac{2k}{k-1}\sup w}), \label{5} \end{equation}$
这里的 $ C $ 不依赖于 $ \epsilon $.
本文的安排如下: 第 2 节介绍了一些需要的公式和引理. 定理 1.2 的证明在第 3 节中给出. 最后, 在第 4 节中我们证明了定理 1.1.
2 准备工作
记 $ \sigma_{k-1}(\lambda|i):=\frac{\partial \sigma_k}{\partial \lambda_i} $ 以及 $ \sigma_{k-2}(\lambda|ij):=\frac{\partial^2 \sigma_k}{\partial \lambda_i\partial \lambda_j} $. 以下是关于 $ \sigma_k $ 的性质.
命题 2.1 设 $ \lambda=(\lambda_1, \cdots, \lambda_n)\in\mathbb{R}^n $, $ 1\leq k\leq n $. 我们有
(1) $ \Gamma_1\supset \Gamma_2\supset \cdot\cdot\cdot\supset \Gamma_n $;
(2) 对于 $ \lambda \in \Gamma_k $ 以及 $ 1\leq i\leq n $, $ \sigma_{k-1}(\lambda|i)>0 $;
(3) 对于 $ 1\leq i\leq n $, $ \sigma_k(\lambda)=\sigma_k(\lambda|i) +\lambda_i\sigma_{k-1}(\lambda|i) $;
(4) 如果 $ \lambda \in \Gamma_k $ 以及 $ \lambda_1\geq \lambda_2\geq \cdot\cdot\cdot\geq \lambda_n $, 那么 $ \sigma_{k-1}(\lambda|1)\leq \sigma_{k-1}(\lambda|2)\leq \cdot\cdot\cdot\leq \sigma_{k-1}(\lambda|n) $;
(5) $ \sum_{i=1}^{n}\sigma_{k-1}(\lambda|i)=(n-k+1)\sigma_{k-1}(\lambda) $.
命题 2.2 对于 $ \lambda \in \Gamma_m $, $ m > l \geq 0 $, $ r > s \geq 0 $, $ m \geq r $, $ l \geq s $, 我们有
下面的引理 2.1-引理 2.6 将用于证明定理 1.2.
引理 2.1 设 $ \alpha=\frac{1}{k-1}. $ 若 $ W\in\Gamma_k, $ 那么
(2.1) $-F^{i j, l m} W_{i j p} W_{l m p} \geq \sigma_{k}\left[\frac{\left(\sigma_{k}\right)_{p}}{\sigma_{k}}-\frac{\left(\sigma_{1}\right)_{p}}{\sigma_{1}}\right]\left[(\alpha-1) \frac{\left(\sigma_{k}\right)_{p}}{\sigma_{k}}-(\alpha+1) \frac{\left(\sigma_{1}\right)_{p}}{\sigma_{1}}\right]$
引理 2.2 假设 $-\mu\le s\le \mu, \mu>0, $ $ t<1. $ 那么我们可以选择依赖于 $ \mu $ 和 $ t $ 的常数 $ c, b, P $ 使得函数 $ \gamma(s):=c(b+s)^P $ 满足
(2.2) $\frac{1-t}{2(n-2)}\left(\gamma^{\prime \prime}(s)-\gamma^{\prime}(s)^{2}\right) \geq \gamma^{\prime}(s)>0$
选择 $ b=2\mu+\frac{8(1-t)}{n-2}, $ $ P= \frac{9(n-2)}{4(1-t)} (b+\mu), c= {(b+\mu)^{1-P}}{}\cdot \frac{n-2}{8P(1-t)} $. 故
流形 $ (M, g_0) $ 上的 Levi-Civita 联络记为 $ \nabla $, 黎曼曲率张量定义为
设 $ e_1, e_2, \cdots, e_n $ 是 $ M $ 上的局部标架, 记 $ (g_0)_{ij}=\langle e_i, e_j\rangle_{g_0} $, $ \{g_0^{ij}\}=\{(g_0)_{ij}\}^{-1} $. Christoffel 符号 $ \Gamma^l_{ij} $ 定义为 $ \nabla_{e_i}e_j=\Gamma^l_{ji}e_l $. 曲率张量的分量 $ R_{ijlm} $ 定义为
记 $ w_i=\nabla_i w $, $ w_{ji}=[\nabla\nabla w](e_j, e_i)=[\nabla_{i}(\nabla w)](e_j)=\nabla_i(\nabla_jw)-\Gamma^l_{ij}w_l $, $ w_{ijl}= [\nabla_l(\nabla\nabla w)](e_i, e_j), $等. 已知 $ w_{ij}= w_{ji} $,
(2.3) $\begin{equation}\label{req1} w_{ijl} -w_{lij}= R^m_{ijl}w_m, \end{equation}$
(2.4) $\begin{equation}\label{req3} w_{pilj}-w_{plij}=R^m_{pil, j}w_{m}+R^m_{pil}w_{mj}, \end{equation}$
(2.5) $\begin{equation}\label{req2} w_{pijl}-w_{pilj}=R^m_{ijl}w_{pm}+R^m_{pjl}w_{mi}. \end{equation}$
(2.6) $w_{i j p l}-w_{p l i j}=R_{i j p, l}^{m} w_{m}+R_{p i l, j}^{m} w_{m}+R_{i j p}^{m} w_{m l}+R_{p i l}^{m} w_{m j}+R_{i j l}^{m} w_{p m}+R_{p j l}^{m} w_{m i}.$
引理 2.3 设 $ W=-A^t_{g_0}+\nabla^{2} w+\frac{1-t}{n-2}\Delta wg_0-\nabla w\otimes \nabla w+ \frac{2-t}{2}|\nabla w|^{2}g_0 $. 则
其中, $ A^t_{ij} $ 是 $ A^t_{g_0} $ 的分量.
在边界附近我们选用 Fermi 坐标系: 设 $ 0 $ 是边界点, $ (x^1, \cdots, x^{n-1}) $ 是 $ 0 $ 附近 $ \partial M $ 上的法坐标系. 设 $ \gamma(t) $ 为从 $ (x^1, \cdots, x^{n-1}) $ 出发的沿法向的弧参测地线. 称 $ (x^1, \cdots, x^{n-1}, t) $ 为 $ 0 $ 附近的 Fermi 坐标系. 在 Fermi 坐标系下度量 $ g_0 $ 可以表示为 $ dx^ndx^n+(g_0)_{\alpha\beta}dx^\alpha dx^\beta $. 这里 $ \alpha, \beta, \gamma,\cdots $$ \in\{1,\cdots, n-1\} $ 是切向指标, 而 $ i, j, k,\cdots $$ \in\{1,\cdots, n\} $ 是全指标. 定义
(2.7) $B_{r}^{+}=\left\{x \mid \sum\left(x^{i}\right)^{2}＜r^{2}, x^{n} \geq 0\right\}, \quad \Sigma_{r}=\left\{x \mid \sum\left(x^{i}\right)^{2}＜r^{2}, x^{n}=0\right\}.$
在 Fermi 坐标系下, $ \Gamma^{n}_{nn}=\Gamma^\alpha_{nn}=\Gamma^n_{n\alpha}=0, $$ \Gamma_{\alpha\beta}^n=L_{\alpha\beta} $, $ \Gamma_{\beta n}^\alpha=-L_{\beta}^\alpha $, 其中 $ L_{\alpha\beta} $ 是关于度量 $ g_0 $ 第二基本形式的分量. 下面的引理成立
引理 2.4 设 $ (M, g_0) $ 具有全测地边界, $ w $ 是方程(1.4) 的 $ C^4 $ 解. 在 $ \Sigma_r $ 上下列等式成立
(2.8) $w_{\alpha n}=\partial_{\alpha}\left(w_{n}\right)-\Gamma_{n \alpha}^{k} w_{k}=\partial_{\alpha}\left(w_{n}\right)-\Gamma_{n \alpha}^{\beta} w_{\beta}=\partial_{\alpha}\left(w_{n}\right)+L_{\alpha \beta} w_{\beta}=0$
(2.9) $\begin{aligned} w_{\alpha \beta n} & =w_{\alpha n \beta}+R_{\alpha \beta n}^{l} w_{l}=\partial_{\beta}\left(w_{\alpha n}\right)-\Gamma_{\alpha \beta}^{l} w_{l n}-\Gamma_{n \beta}^{l} w_{\alpha l}+R_{\alpha \beta n}^{\gamma} w_{\gamma} \\ & =\partial_{\beta}\left(w_{\alpha n}\right)-\Gamma_{\alpha \beta}^{\gamma} w_{\gamma n}-L_{\alpha \beta} w_{n n}+L_{\beta}^{\gamma} w_{\alpha \gamma}-\Gamma_{n \beta}^{n} w_{\alpha n}+\left(-L_{\beta \alpha, \delta}+L_{\beta \delta, \alpha}\right) w^{\delta}=0. \end{aligned}$
引理 2.5 设 $ (M, g_0) $ 具有全测地边界, $ w $ 是方程 (1.4) 的 $ C^4 $ 解. 在 $ \Sigma_r $ 上下列等式成立
引理 2.6 [28 ] 设 $ (M, g_0) $ 具有全测地边界. 若 $ Q $ 为边界点, 那么存在共形度量 $ \bar{g}={\rm e}^{{2\bar{u}}}g_0 $, 使得 (i) $ (M, \bar{g}) $ 的边界是全测地的; (ii) $ (M, \bar{g}) $ 上 $ Ric_{\bar{g}} $ 的 $ l $ 阶协变导数 $ (l\ge 1) $ 的对称化张量在 $ Q $ 点处等于 0.
引理 2.7 设 $ t<1, w\in C^2, \overline{w}\in C^{1,1}, \bar{f}\in C^{1,1} $,
若 $ \sigma_k(W)= \bar{f}{\rm e}^{2k{w}} $, $ \frac{\partial {w}}{\partial \nu}|_{\partial M}= 0, $ $ W\in \Gamma_k $, $ \sigma_k(\overline{W})\le \bar{f}{\rm e}^{2k\overline{w}} $, $ \frac{\partial \overline{w}}{\partial \nu}|_{\partial M}= 0 $. 那么 $ w\le \overline{w} $.
证 设 $ v^{\frac{4}{n-2}}={\rm e}^{2w} $, $ \overline{v}^{\frac{4}{n-2}}={\rm e}^{2\overline{w}} $,
(2.10) $V=\frac{1-t}{n-2} \Delta v+\nabla^{2} v-\frac{n}{n-2} \frac{\nabla v \otimes \nabla v}{v}+\frac{1}{n-2} \frac{|\nabla v|^{2}}{v} g_{0}-\frac{n-2}{2} v A_{g_{0}}^{t},$
(2.11) $\bar{V}=\frac{1-t}{n-2} \Delta \bar{v}+\nabla^{2} \bar{v}-\frac{n}{n-2} \frac{\nabla \bar{v} \otimes \nabla \bar{v}}{\bar{v}}+\frac{1}{n-2} \frac{|\nabla \bar{v}|^{2}}{\bar{v}} g_{0}-\frac{n-2}{2} \bar{v} A_{g_{0}}^{t}.$
下证 $ v\le \overline{v} $. 反证. 否则存在正数 $ \beta>1 $ 使得 $ \beta\overline{v}\ge {v} $ 且 $ \beta \overline{v}(\bar{x})={v}(\bar{x}) $. 由条件 $ \frac{\partial \overline{w}}{\partial \nu}|_{\partial M}=\frac{\partial {w}}{\partial \nu}|_{\partial M}=0 $ 可知无论 $ \bar{x} $ 是边界点还是内点都成立
(2.12) $\nabla(\beta \bar{v})(\bar{x})=\nabla v(\bar{x}),\left[\nabla^{2}(\beta \bar{v})-\nabla^{2} v\right](\bar{x}) \geq 0$
3 定理 1.2 的证明
设 $ \alpha=\frac{1}{k-1}, F=\sigma_k $, $ \bar{f}=\big(f^{\frac{1}{k-1}} (x)+\epsilon \big)^{k-1} $,
其中 $ w $ 是方程 (1.4) 的 $ C^4 $ 解.
3.1 $ C^1 $ 估计
本小节将证明 (1.5) 式. 取 $ B^+_r $ 里 (见定义 (2.7) 式) 的辅助函数 $ H=K\eta {\rm e}^{x^n} $. 其中 $ K=(1+ \frac{|\nabla w|^2}{2}){\rm e}^{\gamma(w)}, $ $ \gamma(s)=c(b+s)^P $, $ \gamma(s) $ 满足 (2.2) 式. $ \eta(r) $ 是 $ B^+_r $ 里的截断函数, $ \eta|_{B^+_{r/2}}=1 $, $ \eta $ 在 $ {B^+_{r}} $ 外等于 $ 0 $, 且 $ |\nabla \eta|\le C\frac{\eta^{1/2}}{r} $, $ |\nabla^2 \eta|\le \frac{C}{r^2} $. 假设 $ \max H=H(\widetilde{x}) $. 以下的计算都在 $ \widetilde{x} $ 处进行. 对 $ H $ 求导
(3.1) $=\mathrm{e}^{x^{n}}\left(\mathrm{e}^{\gamma(w)}\left(\left(1+\frac{w_{l}^{2}}{2}\right) \gamma^{\prime} w_{i}+w_{l} w_{l i}\right) \eta+K \eta_{i}+\delta_{n i} K \eta\right).$
注意到在边界上 $ w_n=w_{\alpha n}=0, \eta_n=0 $. 于是在边界上成立
故 $ H $ 的最大值一定在 $ M $ 的内部达到. 记 $ d $ 为点到边界的距离. 取以 $ \widetilde{x} $ 为心的法坐标系, 且使 $ W $ 在该点处是对角的. 记
由于 $ M $ 具有全测地边界, 我们可以把两片相同的 $ (M, g_0) $ 沿边界粘起来, 得到一个 $ C^{2,1} $ 闭流形 $ \hat{M} $. 再将 $ \bar{f} $ 延拓到 $ \hat{M} $ 上. 由于 $ \frac{\partial (\bar{f}^{\frac{1}{k-1}})}{\partial \nu}|_{\partial M}=0 $, 故延拓后的 $ \bar{f} $ 依旧满足 $ \bar{f}^{\frac{1}{k-1}}\in $$ C^{1,1} $. 再由文献 [2 ] 知,
(3.2) $\bar{f}^{\frac{1}{k}} \in C^{1} \text { 且 }\left|\bar{f}_{i}\right| \leq C \bar{f}^{1-\frac{1}{k}} \text {. }$
(3.3) $\sum F^{i i}=C \sigma_{k-1} \geq C_{*} \sigma_{k}^{1-\frac{1}{k}}=C_{*}\left(\bar{f} \mathrm{e}^{2 k w}\right)^{1-\frac{1}{k}}$
取 $ \delta=\min\{\frac{1-t}{4(n-2)}(\gamma''-\gamma'^2)\} $. 直接计算得
(3.4) $\begin{equation}\label{d-} \begin{aligned} 0\ge& {F}^{ii}\Big((\gamma''-\gamma'^2) \frac{(1-t)w_s^2}{n-2} - \gamma' w^2_i \Big) \bigg(1+ \frac{w_l^2}{2}\bigg)\eta-C\bar{f}^{1-\frac{1}{k}}{\rm e}^{2kw}(|\nabla w|^2+1)\\ &-C \sum {F}^{ii} (|\nabla w|^{3}+|\nabla w|^2+1) \\ \ge& C_*\bar{f}^{1-\frac{1}{k}}{\rm e}^{2(k-1)w} \Big(\delta\frac{|\nabla w|^4}{2}\eta - C ({\rm e}^{2w}+1)(|\nabla w|^{3}+ |\nabla w|^2+1) \Big)\\ &+\sum {F}^{ii} \Big(\delta\frac{|\nabla w|^4}{2}\eta- C ({\rm e}^{2w}+1) (|\nabla w|^{3}+|\nabla w|^2+1) \Big)\\ =& \big(C_*\bar{f}^{1-\frac{1}{k}}{\rm e}^{2(k-1)w} +\sum {F}^{ii}\big) \Big(\delta\frac{|\nabla w|^4}{2}\eta - C ({\rm e}^{2w}+1)(|\nabla w|^{3}+ |\nabla w|^2+1) \Big). \end{aligned} \end{equation}$
3.2 $ C^2 $ 估计
本小节将证明 (1.6) 式. 取 $ B^+_r $ 里 (见 (2.7) 式) 的辅助函数 $ H =(\Delta w +a |\nabla w|^2)\eta {\rm e}^{Ax^n}:=K\eta {\rm e}^{Ax^n} $. 其中, $ \eta $ 是截断函数, 其选择方法和 3.1 中一样, $ a, A $ 是待定的较大的正数. 设 $ \breve{x} $ 是 $ H $ 的最大值点. 不妨假设 $ \Delta w>>1 $. 接下来分两步证明
(1) $ H $ 的最大值点 $ \breve{x} $ 在 $ M $ 的内部;
步骤 1 采用反证法. 假设 $ \breve{x} $ 是边界点. 可以看到只要证明了
(3.5) $w_{n n n}(\breve{x}) \geq-C$
估计 (3.5) 式意味着只要选 $ A>C $ 就有 $ {H}_n(\breve{x})>0 $. 这与 $ \breve{x} $ 是最大值点矛盾. 从而 $ \breve{x} $ 为内点.
接下来用引理 2.6 证明 (3.5) 式. 由该引理可知存在共形度量 $ \bar{g}={\rm e}^{2\bar{w}}g_0 $ 使得 (i) $ (M, \bar{g}) $ 的边界是全测地的; (ii) $ \breve{x} $ 处 $ Ric_{\bar{g}} $ 的 $1 $ 阶协变导数的对称化张量都等于 0. 将关于度量 $ \bar{g} $ 的几何量用 $ \bar{} $ 表示. 于是
(3.6) $\bar{\nabla}_{n} \bar{R}_{\alpha \beta}(\breve{x})=0, \quad \bar{\nabla}_{n} \bar{R}_{n n}(\breve{x})=0,\left.\quad \bar{w}_{n}\right|_{\theta M}=0.$
令 $ v=w-\bar{w} $. 那么 $ v $ 在 $ (M, \bar{g}) $ 上满足如下方程
(3.7) $\left\{\begin{array}{l} \bar{G}(\bar{V})=\bar{f} \mathrm{e}^{2 k v} \\ v_{n}=0 \end{array}\right.$
(3.8) $\bar{G}(\bar{V})=\sigma_{k}(\bar{V})$
类似于引理 2.4, 引理 2.5, 利用边值条件和 $ (M, \bar{g}) $ 具有全测地边界可得
再结合 (3.7) 式, $ \bar{V}_{\alpha n}=0 $ 可知
于是 $ \bar{\nabla}_{nnn}v=0 $ 以及 $ w_{nnn}=\bar{\nabla}_{nnn}w=\bar{\nabla}_{nnn}(\bar{w}+v)\ge-C $.
步骤 2 取 $ a\ge \frac{2-t}{1-t}(2n-4) $. 由于 $ |W_{ii}|\le \sigma_1(W), $ 故存在 $ C $ 使得
(3.9) $\left|w_{i j}\right| \leq C \Delta w$
进一步假设 $ W_{ij}(\breve{x}) $ 是对角的. 用 $ d $ 表示点到边界的距离. 对 $ H $ 求导得到
(3.10) $0=H_{i}(\breve{x})=\mathrm{e}^{A d}\left(K_{i} \eta+K \eta_{i}+K \eta A d_{i}\right)=\mathrm{e}^{A d}\left(\left(w_{q q i}+2 a w_{q i} w_{q}\right) \eta+K \eta_{i}+K \eta A d_{i}\right)$
(3.11) $\begin{aligned} 0 \geq & H_{i i}(\breve{x})=\mathrm{e}^{A d}\left(\left(w_{q q i i}+2 a w_{q i i} w_{q}+2 a w_{q i}^{2}\right) \eta+2\left(w_{q q i}+2 a w_{q i} w_{q}\right) \eta_{i}+K \eta_{i i}+K_{i} \eta A d_{i}\right. \\ & \left.+K \eta_{i} A d_{i}+K \eta A d_{i i}+\left(\left(w_{q q i}+2 a w_{q i} w_{q}\right) \eta+K \eta_{i}+K \eta A d_{i}\right) A d_{i}\right) \end{aligned}$
由 (3.9)-(3.11) 式, (2.3) 式, (2.6) 式和方程 (1.4), 可知
(3.12) $\begin{equation} |\bar{f}_i|\le C { \bar{f}^{{1-\alpha }}}\le C{\rm e}^{-2k(1-\alpha)w}\sum F^{ii}. \label{ssii2} \end{equation}$
又由于 $ \bar{f}^{\frac{1}{k-1}} \in C^{1, 1}, $ 故
(3.13) $\begin{equation} \bar{f}_{qq} \ge (1-\alpha)\frac{|\nabla \bar{f}|^2}{\bar{f}}-C\bar{f}^{1-\alpha}. \label{ssii5} \end{equation}$
(3.14) $F^{i i} W_{i i q q} \geq\left(\bar{f} \mathrm{e}^{2 k w}\right)_{q q}-F^{i j, l m} W_{i j q} W_{l m q},$
(3.15) $ -F^{i j, l m} W_{i j q} W_{l m q} \geq \sigma_{k}\left[\frac{\left(\sigma_{k}\right)_{q}}{\sigma_{k}}-\frac{\left(\sigma_{1}\right)_{q}}{\sigma_{1}}\right]\left[(\alpha-1) \frac{\left(\sigma_{k}\right)_{q}}{\sigma_{k}}-(\alpha+1) \frac{\left(\sigma_{1}\right)_{q}}{\sigma_{1}}\right].$
(3.16) $\left|\frac{\left(\sigma_{1}\right)_{q}}{\sigma_{1}}\right| \leq C \eta^{-1 / 2}.$
结合 (3.15) 式, (3.16) 式, (3.12) 式, 以及 $ \sigma_k=\bar{f}{\rm e}^{2kw}, $ 我们有
(3.17) $-F^{i j, l m} W_{i j q} W_{l m q} \geq(\alpha-1) \frac{|\nabla \bar{f}|^{2}}{\bar{f}} \mathrm{e}^{2 k w}-C \eta^{-1} \mathrm{e}^{2 k \alpha w} \sum F^{i i}(\Delta w+1).$
把 (3.17) 式和 (3.13) 式带入 (3.14) 式得到
(3.18) $\begin{aligned} 0 & \geq F^{i i}\left(\frac{2 a(1-t)}{n-2}-(2-t)\right) w_{l q}^{2} \eta+F^{i i} W_{i i q q} \eta-C\left(1+\mathrm{e}^{2 k \alpha w}\right) \sum F^{i i}(\Delta w+1) \\ & \geq F^{i i}\left(\frac{2 a(1-t)}{n-2}-(2-t)\right) w_{l q}^{2} \eta-C \mathrm{e}^{2 k w} \bar{f}^{1-\alpha}-C\left(1+\mathrm{e}^{2 k \alpha w}\right) \sum F^{i i}(\Delta w+1) \\ & \geq F^{i i}\left(\frac{a(1-t)}{(n-2) n^{2}}\right)(\Delta w)^{2} \eta-C \mathrm{e}^{2 k w} \bar{f}^{1-\alpha}-C\left(1+\mathrm{e}^{2 k \alpha w}\right) \sum F^{i i}(\Delta w+1) \\ & \geq F^{i i}\left[\left(\frac{a(1-t)}{(n-2) n^{2}}\right)(\Delta w)^{2} \eta-C \mathrm{e}^{2 k \alpha w}-C\left(1+\mathrm{e}^{2 k \alpha w}\right)(\Delta w+1)\right] \end{aligned}$
进而 $ \Big(\frac{a(1-t)}{(n-2)n^2} \Big)(\eta\Delta w)^2 -C {\rm e}^{2k\alpha w} -C(1+{\rm e}^{2k\alpha w}) (\eta\Delta w +1)\leq 0 $. 故
4 定理 1.1 的证明
(4.1) $\text { 对于每个 } \epsilon \text { ，方程（1．4）存在解 } w_{\epsilon} \text { ．}$
(4.2) $\left\{\begin{array}{l} \sigma_{k}\left(s W+(1-s) g_{0}\right)=\left(s \bar{f}+(1-s) C_{n}^{k}\right) \mathrm{e}^{2 k w} \\ w_{\nu}=0 \end{array}\right.$
(4.3) $\Phi_{s}: C^{2, \alpha} \cap\left\{w\left|\frac{\partial w}{\partial \nu}\right|_{\partial M}=0\right\} \rightarrow C^{\alpha} \quad w \mapsto \sigma_{k}\left(s W+(1-s) g_{0}\right)-\left(s \bar{f}+(1-s) C_{n}^{k}\right) \mathrm{e}^{2 k w},$
显然, $ \Phi_s $ 的线性化算子可逆, 故 $ \mathcal{I} $ 是开的. 接下来证明 $ C^0 $ 估计: 设 $ \bar{x} $ 是 $ w $ 的最大值点. 由边界条件可知 $ \nabla^2 w\le 0 $. 进一步由方程得到
故 $ w $ 有上界. 再设 $ \hat{x} $ 是 $ w $ 的最小值点. 同样地,
故 $ w $ 有下界. 从而 $ C^0 $ 估计成立. 进而由文献 [52 ] 可知 $ C^1 $ 和 $ C^2 $ 估计成立. 再由方程的一致椭圆性和正则性理论可知 $ C^{2,\alpha} $ 估计成立. 从而集合 $ \mathcal{I} $ 既开又闭. 注意到 $ w\equiv0 $ 是 $ \Phi_s=0 $ 在 $ s=0 $ 的解. 故 $ \mathcal{I} $ 不空, 且 $ \mathcal{I}=[0,1] $. 由此得到了方程 (1.4) 解的存在性. 从而 (4.1) 式成立.
接下来证明方程 (1.3) 是可解的. 设 $ \overline{w} $ 是方程 (1.3) 的上解, 那么它也是方程 (1.4) 的上解. 于是由引理 2.7,
再由定理 1.2 可知 $ |\nabla w_{\epsilon}|\le C $ 和 $ |\nabla^2 w_{\epsilon}|\le C. $ 其中, $ C $ 不依赖于 $ \epsilon $. 于是 $ \lim_{\epsilon \rightarrow 0}w_\epsilon $ 是方程 (1.1) 的 $ C^{1,1} $ 解.
参考文献
View Option
[1]
Aubin T Équations différentielles non linéaires et problème de Yamabe concernant la courbure scalaire
J Math Pures Appl , 1976 , 55 3 ): 269 -296
[本文引用: 1]
[3]
Chang A Gursky M Yang P An equation of Monge-Ampère type in conformal geometry and four-manifolds of positive Ricci curvature
Ann of Math , 2002 , 155 3 ): 709 -787
DOI:10.2307/3062131
URL
[本文引用: 1]
[4]
Chang A Gursky M Yang P An a priori estimate for a fully nonlinear equation on four-manifolds
J Anal Math , 2002 , 87 151 -186
DOI:10.1007/BF02868472
URL
[本文引用: 1]
[5]
Chen L He Y A class of fully nonlinear equations on Riemannian manifolds with negative curvature
Calc Var Partial Differential Equations , 2024 , 63 6 ): Article 158
[本文引用: 1]
[8]
Chen X J Tu Q Xiang N Dirichlet problem for degenerate Hessian quotient type curvature equations
Calc Var Partial Differential Equations , 2025 , 64 3 ): Article 99
[本文引用: 1]
[9]
Chen X Z Wei W The $\sigma_{2} $-curvature equation on a compact manifold with boundary
arXiv 2307.13942 , 2023
[本文引用: 1]
[10]
Chen X Z Wei W Estimates for modified $ \sigma_{2} $ curvature equation on compact manifolds with boundary
arXiv 2405.139134 , 2024
[本文引用: 1]
[11]
Chu B Z Li Y Y Li Z Y Liouville theorems for conformally invariant fully nonlinear equations
I. arXiv 2311.07542 , 2023
[本文引用: 1]
[13]
Duncan J A Nguyen L Local pointwise second derivative estimates for strong solutions to the $ k $-Yamabe equation on Euclidean domains
Calc Var Partial Differential Equations , 2021 , 60 5 ): Article 177
[本文引用: 1]
[14]
Ge Y X Lin C S Wang G F On the $ \sigma_2 $-scalar curvature
J Differential Geom , 2010 , 84 1 ): 45 -86
[本文引用: 1]
[15]
Ge Y X Wang G F On a fully nonlinear Yamabe problem
Ann Sci Ecole Norm Sup , 2006 , 39 4 ): 569 -598
[本文引用: 1]
[16]
Ge Y X Wang G F On a conformal quotient equation
II. Comm Anal Geom , 2013 , 21 1 ): 1 -38
[17]
Ge Y X Wang G F On a conformal quotient equation
Int Math Res Not IMRN , 2007 , 2007 6 ): Article 19
[本文引用: 1]
[18]
Guan P F $ C^2 $ a priori estimate for degenerate Monge-Ampère equations
Duke Math J , 1997 , 86 323 -346
[本文引用: 1]
[19]
Guan P F Li Y Y The Weyl problem with nonnegative Gauss curvature
J Differential Geom , 1994 , 39 331 -342
[本文引用: 1]
[22]
Guan P F Trudinger N S Wang X J On the Dirichlet problem for degenerate Monge-Ampère equations
Acta Math , 1999 , 182 1 ): 87 -104
DOI:10.1007/BF02392824
URL
[本文引用: 1]
[23]
Guan P F Wang G F A fully nonlinear conformal flow on locally conformally flat manifolds
J Reine Angew Math , 2003 , 557 219 -238
[本文引用: 1]
[26]
Gursky M J Viaclovsky J A Prescribing symmetric functions of the eigenvalues of the Ricci tensor
Ann of Math , 2007 , 166 475 -531
DOI:10.4007/annals
URL
[本文引用: 1]
[28]
He Y Sheng W M Local estimates for some elliptic equations arising from conformal geometry
Int Math Res Not IMRN , 2013 , 2013 2 ): 258 -290
DOI:10.1093/imrn/rnr262
URL
[本文引用: 1]
[29]
He Y Tu Q Xiang N Existence for some degenerate Hessian type equations arising in conformal geometry
Pacific J Math , 2025 , 335 1 ): 97 -117
DOI:10.2140/pjm
URL
[本文引用: 1]
[30]
Ivochkina N M Trudinger N S Wang X J The Dirichlet problem for degenerate Hessian equations
Comm Partial Differential Equations , 2004 , 29 219 -235
DOI:10.1081/PDE-120028851
URL
[本文引用: 1]
[31]
Jiao H M Jiao Y The Pogorelov estimates for degenerate curvature equations
Int Math Res Not IMRN , 2024 , 2024 18 ): 12504 -12529
DOI:10.1093/imrn/rnae161
URL
[本文引用: 1]
We establish the Pogorelov-type estimates for degenerate prescribed $k$-curvature equations as well as $k$-Hessian equations. Furthermore, we investigate the interior $C^{1,1}$ regularity of the solutions for Dirichlet problems. These techniques also enable us to improve the existence theorem for an asymptotic Plateau-type problem in hyperbolic space.
[32]
Jiao H M Wang Z Z The Dirichlet problem for degenerate curvature equations
J Funct Anal , 2022 , 283 1 ): Art 109485
[本文引用: 1]
[33]
Jiao H M Wang Z Z Second order estimates for convex solutions of degenerate $ k $-Hessian equations
J Funct Anal , 2024 , 286 3 ): Art 110248
[本文引用: 1]
[35]
Jiang F D Trudinger N S Oblique boundary value problems for augmented Hessian equations I
Bull Math Sci , 2018 , 8 2 ): 353 -411
DOI:10.1007/s13373-018-0124-2
[37]
Jin Q N Li A B Li Y Y Estimates and existence results for a fully nonlinear Yamabe problem on manifolds with boundary
Calc Var Partial Differential Equations , 2007 , 28 509 -543
DOI:10.1007/s00526-006-0057-6
URL
[本文引用: 1]
[38]
Krylov N V Weak interior second order derivative estimates for degenerate nonlinear elliptic equations
Differ Integral Equ , 1994 , 7 133 -156
[本文引用: 1]
[39]
Krylov N V Barriers for derivatives of solutions of nonlinear elliptic equations on a surface in Euclidean space
Comm Partial Differential Equations , 1994 , 19 1909 -1944
DOI:10.1080/03605309408821077
URL
[40]
Krylov N V A theorem on the degenerate elliptic Bellman equations in bounded domains
Differ Integral Equ , 1995 , 8 961 -980
[42]
Li A B Li Y Y On some conformally invariant fully nonlinear equations
Comm Pure Appl Math , 2003 , 56 1416 -1464
DOI:10.1002/cpa.v56:10
URL
[本文引用: 2]
[43]
Li A B Li Y Y On some conformally invariant fully nonlinear equations, part II: Liouville, Harnack and Yamabe
Acta Math , 2005 , 195 117 -154
DOI:10.1007/BF02588052
URL
[本文引用: 1]
[44]
Li A B Li Y Y A fully nonlinear version of the Yamabe problem on manifolds with boundary
J Eur Math Soc (JEMS) , 2006 , 8 295 -316
DOI:10.4171/jems
URL
[本文引用: 1]
[45]
Li J Y Sheng W M Deforming metrics with negative curvature by a fully nonlinear flow
Calc Var Partial Differential Equations , 2005 , 23 33 -50
DOI:10.1007/s00526-004-0287-4
URL
[本文引用: 1]
[46]
Li Y Y Local gradient estimates of solutions to some conformally invariant fully nonlinear equations
Comm Pure Appl Math , 2009 , 62 1293 -1326
DOI:10.1002/cpa.v62:10
URL
[本文引用: 1]
[47]
Li Y Y Nguyen L A compactness theorem for a fully nonlinear Yamabe problem under a lower Ricci curvature bound
J Funct Anal , 2014 , 266 6 ): 3741 -3771
DOI:10.1016/j.jfa.2013.08.004
URL
[本文引用: 1]
[48]
Li Y Y Nguyen L A fully nonlinear version of the Yamabe problem on locally conformally flat manifolds with umbilic boundary
Adv Math , 2014 , 251 87 -110
DOI:10.1016/j.aim.2013.10.011
URL
[本文引用: 1]
[49]
Li Y Y Nguyen L Wang B Comparison principles and Lipschitz regularity for some nonlinear degenerate elliptic equations
Calc Var Partial Differential Equations , 2018 , 57 1 -29
DOI:10.1007/s00526-017-1276-8
URL
[本文引用: 1]
[50]
Schoen R Conformal deformation of a Riemannian metric to constant scalar curvature
J Differential Geom , 1984 , 20 479 -495
[本文引用: 1]
[51]
Sheng W M Trudinger N Wang X J The Yamabe problem for higher order curvatures
J Differential Geom , 2007 , 77 515 -553
[本文引用: 1]
[52]
Sheng W M Yuan L X A class of Neumann problems arising in conformal geometry
Pacific J Math , 2014 , 270 1 ): 211 -235
DOI:10.2140/pjm
URL
[本文引用: 2]
[53]
Trudinger N S Remarks concerning the conformal deformation of Riemannian structures on compact manifolds
Ann Scuola Norm Sup Pisa , 1968 , 22 2 ): 265 -274
[本文引用: 1]
[54]
Trudinger N S Wang X J The intermediate case of the Yamabe problem for higher order curvatures
IMRN: Int Math Res Not , 2010 , 8 13 ): 2437 -2458
[本文引用: 1]
[55]
Trudinger N S Wang X J On Harnack inequalities and singularities of admissible metrics in the Yamabe problem
Calc Var Partial Differential Equations , 2009 , 35 3 ): 317 -338
DOI:10.1007/s00526-008-0207-0
URL
[本文引用: 1]
[56]
Viaclovsky J Conformal geometry, contact geometry and the calculus of variations
Duke Math J , 2000 , 101 283 -316
[本文引用: 1]
[57]
Wang X J A priori estimates and existence for a class of fully nonlinear elliptic equations in conformal geometry
Chin Ann Math Ser B , 2006 , 27 2 ): 1 -10
DOI:10.1007/s11401-005-0247-0
URL
[本文引用: 1]
[58]
Wang X J Some counterexamples to the regularity of Monge-Ampère equations
Proc Am Math Soc , 1995 , 123 841 -845
[本文引用: 1]
[59]
Ya Yamabe H On a deformation of Riemannian structures on compact manifolds
Osaka Math J , 1960 , 12 21 -37
[本文引用: 1]
équations différentielles non linéaires et problème de Yamabe concernant la courbure scalaire
1
1976
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1
2003
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1
2002
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1
2024
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Boundary value problems for some fully nonlinear elliptic equations
1
2007
... 其中 $ h_g $ 为边界的平均曲率, $ c $ 为常数. 相关的工作读者可以参看: Chen[6 ,7 ] , Jin-Li-Li[37 ] , Li-Li[44 ] , Li-Nguyen[48 ] , He-Sheng[27 ] , Sheng-Yuan[52 ] , Jiang-Trudinger[34 36 ] , Duncan-Nguyen[13 ] , Chen-Wei[9 ,10 ] 等等. ...
Conformal deformation on manifolds with boundary
1
2009
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1
2025
... 的条件下, Krylov[38 41 ] 考虑了退化的 $ k $-Hessian 方程 $ \sigma_k(D^2u)=f $ 的解的 $ C^{1,1} $ 正则性. 在文献 [30 ] 中, Ivochkina-Trudinger-Wang 提出公开问题: 条件(1.2) 是否可以优化到 $ f^{\frac{1}{k-1}}\in C^{1,1} $? Wang[58 ] 给出的反例表明条件 $ f^{\frac{1}{k-1}}\in C^{1,1} $ 是最优的. 记 $ \tilde{f}=f^{\frac{1}{k-1}}. $ Dong[12 ] 在 $ \tilde{f}\in C^{1,1} $ 以及 $ |D\tilde{f}|\le C \tilde{f}^{\frac{1}{2}} $ 的条件下得到了具有齐次边界条件的退化的 $ k $-Hessian方程的解的 $ C^{1,1} $ 估计. 在文献 [32 ] 中, Jiao-Wang 在 $ \tilde{f}\in C^{1,1} $ 的条件下得到了具有齐次边界条件的退化的 $ k $-曲率方程解的 $ C^{1,1} $ 估计. Jiao-Wang[33 ] 得到了具有非齐次边界的退化的 $ k $-Hessian 方程的 Dirichlet 问题的 $ C^{1,1} $ 估计. Jiao-Jiao[31 ] 得到了退化的 $ k $-曲率方程和退化的 $ k $-Hessian 方程的 Pogorelov 估计. 在文献 [24 ] 里, Guan-Zhang 考虑了一类退化的混合型曲率方程的 Dirichlet 边值问题. Chen-Tu-Xiang[8 ] 则考虑了一类退化的 Hessian 商曲率方程的 Dirichlet 问题. ...
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... 其中 $ h_g $ 为边界的平均曲率, $ c $ 为常数. 相关的工作读者可以参看: Chen[6 ,7 ] , Jin-Li-Li[37 ] , Li-Li[44 ] , Li-Nguyen[48 ] , He-Sheng[27 ] , Sheng-Yuan[52 ] , Jiang-Trudinger[34 36 ] , Duncan-Nguyen[13 ] , Chen-Wei[9 ,10 ] 等等. ...
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1
2024
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... 以上关于共形几何的工作都是考虑的非退化的情形 ($ f>0 $). 在方程退化的时候, Ge-Lin-Wang[14 ] 证明了当第二共形 Yamabe 常数 $ Y_{2,1}([g_0])=0 $ 时, 存在 $ C^{1, 1} $ 共形度量 $ {g} $ 使得 $ \sigma_2(A_{{g}})=0. $ Li[46 ] , Li-Nguyen-Wang[49 ] , Chu-Li-Li[11 ] 考虑了关于共形 Hessian 矩阵 $ A^u $ 的退化椭圆方程 $ A^u\in\partial \Gamma $. 文献 [29 ] 得到了闭流形上退化方程 $ \sigma_k(-A_g^t)=f\ge0 $ 的解. 在本文中, 在具有全测地边界的流形上我们证明了如下结果 ...
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1
2021
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... 以上关于共形几何的工作都是考虑的非退化的情形 ($ f>0 $). 在方程退化的时候, Ge-Lin-Wang[14 ] 证明了当第二共形 Yamabe 常数 $ Y_{2,1}([g_0])=0 $ 时, 存在 $ C^{1, 1} $ 共形度量 $ {g} $ 使得 $ \sigma_2(A_{{g}})=0. $ Li[46 ] , Li-Nguyen-Wang[49 ] , Chu-Li-Li[11 ] 考虑了关于共形 Hessian 矩阵 $ A^u $ 的退化椭圆方程 $ A^u\in\partial \Gamma $. 文献 [29 ] 得到了闭流形上退化方程 $ \sigma_k(-A_g^t)=f\ge0 $ 的解. 在本文中, 在具有全测地边界的流形上我们证明了如下结果 ...
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1
2006
... 就是有解的. 文献 Guan-Wang[23 ] 和 Li-Li[42 ] 证明了当 $ 2\le k<n/2 $ 、流形局部共形平坦的时候, $ k $-Yamabe 问题是有解的. 文献 Gursky-Viaclovsky[26 ] 和 Trudinger-Wang[55 ] 考虑了 $ k> n/2 $ 的情形. 文献 Trudinger-Wang[54 ] 和 Li-Nguyen[47 ] 则讨论了 $ k=n/2 $ 的情形. 关于 Schouten 张量的共形问题的相关的工作还有文献 [15 17 ,21 ,43 ,51 ,57 ] 等等. 2003 年, 文献 Gursky-Viaclovsky[25 ] 和 Li-Li[42 ] 分别引入了下列 modified Schouten 张量 ...
On a conformal quotient equation
0
2013
On a conformal quotient equation
1
2007
... 就是有解的. 文献 Guan-Wang[23 ] 和 Li-Li[42 ] 证明了当 $ 2\le k<n/2 $ 、流形局部共形平坦的时候, $ k $-Yamabe 问题是有解的. 文献 Gursky-Viaclovsky[26 ] 和 Trudinger-Wang[55 ] 考虑了 $ k> n/2 $ 的情形. 文献 Trudinger-Wang[54 ] 和 Li-Nguyen[47 ] 则讨论了 $ k=n/2 $ 的情形. 关于 Schouten 张量的共形问题的相关的工作还有文献 [15 17 ,21 ,43 ,51 ,57 ] 等等. 2003 年, 文献 Gursky-Viaclovsky[25 ] 和 Li-Li[42 ] 分别引入了下列 modified Schouten 张量 ...
$ C^2 $ a priori estimate for degenerate Monge-Ampère equations
1
1997
... 关于退化的完全非线性方程的研究一直是几何分析中的一个热点问题. Guan-Li[19 ,20 ] 研究了退化的 Weyl 问题和退化的 Gauss 曲率问题. Guan[18 ] 考虑了退化的 Monge-Ampère 方程的齐次的 Dirichlet 问题. Guan-Trudinger-Wang[22 ] 研究了具有非齐次 Dirichlet 边界条件的退化的 Monge-Ampère 方程. 在 ...
The Weyl problem with nonnegative Gauss curvature
1
1994
... 关于退化的完全非线性方程的研究一直是几何分析中的一个热点问题. Guan-Li[19 ,20 ] 研究了退化的 Weyl 问题和退化的 Gauss 曲率问题. Guan[18 ] 考虑了退化的 Monge-Ampère 方程的齐次的 Dirichlet 问题. Guan-Trudinger-Wang[22 ] 研究了具有非齐次 Dirichlet 边界条件的退化的 Monge-Ampère 方程. 在 ...
$ C^1$, 1 estimates for solutions of a problem of Alexandrov
1
1997
... 关于退化的完全非线性方程的研究一直是几何分析中的一个热点问题. Guan-Li[19 ,20 ] 研究了退化的 Weyl 问题和退化的 Gauss 曲率问题. Guan[18 ] 考虑了退化的 Monge-Ampère 方程的齐次的 Dirichlet 问题. Guan-Trudinger-Wang[22 ] 研究了具有非齐次 Dirichlet 边界条件的退化的 Monge-Ampère 方程. 在 ...
Application of the method of moving planes to conformally invariant equations
1
2004
... 就是有解的. 文献 Guan-Wang[23 ] 和 Li-Li[42 ] 证明了当 $ 2\le k<n/2 $ 、流形局部共形平坦的时候, $ k $-Yamabe 问题是有解的. 文献 Gursky-Viaclovsky[26 ] 和 Trudinger-Wang[55 ] 考虑了 $ k> n/2 $ 的情形. 文献 Trudinger-Wang[54 ] 和 Li-Nguyen[47 ] 则讨论了 $ k=n/2 $ 的情形. 关于 Schouten 张量的共形问题的相关的工作还有文献 [15 17 ,21 ,43 ,51 ,57 ] 等等. 2003 年, 文献 Gursky-Viaclovsky[25 ] 和 Li-Li[42 ] 分别引入了下列 modified Schouten 张量 ...
On the Dirichlet problem for degenerate Monge-Ampère equations
1
1999
... 关于退化的完全非线性方程的研究一直是几何分析中的一个热点问题. Guan-Li[19 ,20 ] 研究了退化的 Weyl 问题和退化的 Gauss 曲率问题. Guan[18 ] 考虑了退化的 Monge-Ampère 方程的齐次的 Dirichlet 问题. Guan-Trudinger-Wang[22 ] 研究了具有非齐次 Dirichlet 边界条件的退化的 Monge-Ampère 方程. 在 ...
A fully nonlinear conformal flow on locally conformally flat manifolds
1
2003
... 就是有解的. 文献 Guan-Wang[23 ] 和 Li-Li[42 ] 证明了当 $ 2\le k<n/2 $ 、流形局部共形平坦的时候, $ k $-Yamabe 问题是有解的. 文献 Gursky-Viaclovsky[26 ] 和 Trudinger-Wang[55 ] 考虑了 $ k> n/2 $ 的情形. 文献 Trudinger-Wang[54 ] 和 Li-Nguyen[47 ] 则讨论了 $ k=n/2 $ 的情形. 关于 Schouten 张量的共形问题的相关的工作还有文献 [15 17 ,21 ,43 ,51 ,57 ] 等等. 2003 年, 文献 Gursky-Viaclovsky[25 ] 和 Li-Li[42 ] 分别引入了下列 modified Schouten 张量 ...
A class of curvature type equations
1
2021
... 的条件下, Krylov[38 41 ] 考虑了退化的 $ k $-Hessian 方程 $ \sigma_k(D^2u)=f $ 的解的 $ C^{1,1} $ 正则性. 在文献 [30 ] 中, Ivochkina-Trudinger-Wang 提出公开问题: 条件(1.2) 是否可以优化到 $ f^{\frac{1}{k-1}}\in C^{1,1} $? Wang[58 ] 给出的反例表明条件 $ f^{\frac{1}{k-1}}\in C^{1,1} $ 是最优的. 记 $ \tilde{f}=f^{\frac{1}{k-1}}. $ Dong[12 ] 在 $ \tilde{f}\in C^{1,1} $ 以及 $ |D\tilde{f}|\le C \tilde{f}^{\frac{1}{2}} $ 的条件下得到了具有齐次边界条件的退化的 $ k $-Hessian方程的解的 $ C^{1,1} $ 估计. 在文献 [32 ] 中, Jiao-Wang 在 $ \tilde{f}\in C^{1,1} $ 的条件下得到了具有齐次边界条件的退化的 $ k $-曲率方程解的 $ C^{1,1} $ 估计. Jiao-Wang[33 ] 得到了具有非齐次边界的退化的 $ k $-Hessian 方程的 Dirichlet 问题的 $ C^{1,1} $ 估计. Jiao-Jiao[31 ] 得到了退化的 $ k $-曲率方程和退化的 $ k $-Hessian 方程的 Pogorelov 估计. 在文献 [24 ] 里, Guan-Zhang 考虑了一类退化的混合型曲率方程的 Dirichlet 边值问题. Chen-Tu-Xiang[8 ] 则考虑了一类退化的 Hessian 商曲率方程的 Dirichlet 问题. ...
Fully nonlinear equations on Riemannian manifolds with negative curvature
2
2003
... 就是有解的. 文献 Guan-Wang[23 ] 和 Li-Li[42 ] 证明了当 $ 2\le k<n/2 $ 、流形局部共形平坦的时候, $ k $-Yamabe 问题是有解的. 文献 Gursky-Viaclovsky[26 ] 和 Trudinger-Wang[55 ] 考虑了 $ k> n/2 $ 的情形. 文献 Trudinger-Wang[54 ] 和 Li-Nguyen[47 ] 则讨论了 $ k=n/2 $ 的情形. 关于 Schouten 张量的共形问题的相关的工作还有文献 [15 17 ,21 ,43 ,51 ,57 ] 等等. 2003 年, 文献 Gursky-Viaclovsky[25 ] 和 Li-Li[42 ] 分别引入了下列 modified Schouten 张量 ...
... 当 $ t=1 $ 时, $ A^t_g $ 就是 Schouten 张量; 当 $ t=0 $ 时, $ (n-2)A^t_g $ 就等于 Ricci 张量; 当 $ t=n-1 $ 时, $ (n-2)A^t_g $ 就是 Einstein 张量. 闭流形上关于 modified Schouten 张量的共形问题的工作包括文献 [5 ,25 ,45 ] 等等. ...
Prescribing symmetric functions of the eigenvalues of the Ricci tensor
1
2007
... 就是有解的. 文献 Guan-Wang[23 ] 和 Li-Li[42 ] 证明了当 $ 2\le k<n/2 $ 、流形局部共形平坦的时候, $ k $-Yamabe 问题是有解的. 文献 Gursky-Viaclovsky[26 ] 和 Trudinger-Wang[55 ] 考虑了 $ k> n/2 $ 的情形. 文献 Trudinger-Wang[54 ] 和 Li-Nguyen[47 ] 则讨论了 $ k=n/2 $ 的情形. 关于 Schouten 张量的共形问题的相关的工作还有文献 [15 17 ,21 ,43 ,51 ,57 ] 等等. 2003 年, 文献 Gursky-Viaclovsky[25 ] 和 Li-Li[42 ] 分别引入了下列 modified Schouten 张量 ...
On existence of the prescribing $ k $-curvature problem on manifolds with boundary
1
2011
... 其中 $ h_g $ 为边界的平均曲率, $ c $ 为常数. 相关的工作读者可以参看: Chen[6 ,7 ] , Jin-Li-Li[37 ] , Li-Li[44 ] , Li-Nguyen[48 ] , He-Sheng[27 ] , Sheng-Yuan[52 ] , Jiang-Trudinger[34 36 ] , Duncan-Nguyen[13 ] , Chen-Wei[9 ,10 ] 等等. ...
Local estimates for some elliptic equations arising from conformal geometry
1
2013
... 引理 2.6 [28 ] 设 $ (M, g_0) $ 具有全测地边界. 若 $ Q $ 为边界点, 那么存在共形度量 $ \bar{g}={\rm e}^{{2\bar{u}}}g_0 $, 使得 (i) $ (M, \bar{g}) $ 的边界是全测地的; (ii) $ (M, \bar{g}) $ 上 $ Ric_{\bar{g}} $ 的 $ l $ 阶协变导数 $ (l\ge 1) $ 的对称化张量在 $ Q $ 点处等于 0. ...
Existence for some degenerate Hessian type equations arising in conformal geometry
1
2025
... 以上关于共形几何的工作都是考虑的非退化的情形 ($ f>0 $). 在方程退化的时候, Ge-Lin-Wang[14 ] 证明了当第二共形 Yamabe 常数 $ Y_{2,1}([g_0])=0 $ 时, 存在 $ C^{1, 1} $ 共形度量 $ {g} $ 使得 $ \sigma_2(A_{{g}})=0. $ Li[46 ] , Li-Nguyen-Wang[49 ] , Chu-Li-Li[11 ] 考虑了关于共形 Hessian 矩阵 $ A^u $ 的退化椭圆方程 $ A^u\in\partial \Gamma $. 文献 [29 ] 得到了闭流形上退化方程 $ \sigma_k(-A_g^t)=f\ge0 $ 的解. 在本文中, 在具有全测地边界的流形上我们证明了如下结果 ...
The Dirichlet problem for degenerate Hessian equations
1
2004
... 的条件下, Krylov[38 41 ] 考虑了退化的 $ k $-Hessian 方程 $ \sigma_k(D^2u)=f $ 的解的 $ C^{1,1} $ 正则性. 在文献 [30 ] 中, Ivochkina-Trudinger-Wang 提出公开问题: 条件(1.2) 是否可以优化到 $ f^{\frac{1}{k-1}}\in C^{1,1} $? Wang[58 ] 给出的反例表明条件 $ f^{\frac{1}{k-1}}\in C^{1,1} $ 是最优的. 记 $ \tilde{f}=f^{\frac{1}{k-1}}. $ Dong[12 ] 在 $ \tilde{f}\in C^{1,1} $ 以及 $ |D\tilde{f}|\le C \tilde{f}^{\frac{1}{2}} $ 的条件下得到了具有齐次边界条件的退化的 $ k $-Hessian方程的解的 $ C^{1,1} $ 估计. 在文献 [32 ] 中, Jiao-Wang 在 $ \tilde{f}\in C^{1,1} $ 的条件下得到了具有齐次边界条件的退化的 $ k $-曲率方程解的 $ C^{1,1} $ 估计. Jiao-Wang[33 ] 得到了具有非齐次边界的退化的 $ k $-Hessian 方程的 Dirichlet 问题的 $ C^{1,1} $ 估计. Jiao-Jiao[31 ] 得到了退化的 $ k $-曲率方程和退化的 $ k $-Hessian 方程的 Pogorelov 估计. 在文献 [24 ] 里, Guan-Zhang 考虑了一类退化的混合型曲率方程的 Dirichlet 边值问题. Chen-Tu-Xiang[8 ] 则考虑了一类退化的 Hessian 商曲率方程的 Dirichlet 问题. ...
The Pogorelov estimates for degenerate curvature equations
1
2024
... 的条件下, Krylov[38 41 ] 考虑了退化的 $ k $-Hessian 方程 $ \sigma_k(D^2u)=f $ 的解的 $ C^{1,1} $ 正则性. 在文献 [30 ] 中, Ivochkina-Trudinger-Wang 提出公开问题: 条件(1.2) 是否可以优化到 $ f^{\frac{1}{k-1}}\in C^{1,1} $? Wang[58 ] 给出的反例表明条件 $ f^{\frac{1}{k-1}}\in C^{1,1} $ 是最优的. 记 $ \tilde{f}=f^{\frac{1}{k-1}}. $ Dong[12 ] 在 $ \tilde{f}\in C^{1,1} $ 以及 $ |D\tilde{f}|\le C \tilde{f}^{\frac{1}{2}} $ 的条件下得到了具有齐次边界条件的退化的 $ k $-Hessian方程的解的 $ C^{1,1} $ 估计. 在文献 [32 ] 中, Jiao-Wang 在 $ \tilde{f}\in C^{1,1} $ 的条件下得到了具有齐次边界条件的退化的 $ k $-曲率方程解的 $ C^{1,1} $ 估计. Jiao-Wang[33 ] 得到了具有非齐次边界的退化的 $ k $-Hessian 方程的 Dirichlet 问题的 $ C^{1,1} $ 估计. Jiao-Jiao[31 ] 得到了退化的 $ k $-曲率方程和退化的 $ k $-Hessian 方程的 Pogorelov 估计. 在文献 [24 ] 里, Guan-Zhang 考虑了一类退化的混合型曲率方程的 Dirichlet 边值问题. Chen-Tu-Xiang[8 ] 则考虑了一类退化的 Hessian 商曲率方程的 Dirichlet 问题. ...
The Dirichlet problem for degenerate curvature equations
1
2022
... 的条件下, Krylov[38 41 ] 考虑了退化的 $ k $-Hessian 方程 $ \sigma_k(D^2u)=f $ 的解的 $ C^{1,1} $ 正则性. 在文献 [30 ] 中, Ivochkina-Trudinger-Wang 提出公开问题: 条件(1.2) 是否可以优化到 $ f^{\frac{1}{k-1}}\in C^{1,1} $? Wang[58 ] 给出的反例表明条件 $ f^{\frac{1}{k-1}}\in C^{1,1} $ 是最优的. 记 $ \tilde{f}=f^{\frac{1}{k-1}}. $ Dong[12 ] 在 $ \tilde{f}\in C^{1,1} $ 以及 $ |D\tilde{f}|\le C \tilde{f}^{\frac{1}{2}} $ 的条件下得到了具有齐次边界条件的退化的 $ k $-Hessian方程的解的 $ C^{1,1} $ 估计. 在文献 [32 ] 中, Jiao-Wang 在 $ \tilde{f}\in C^{1,1} $ 的条件下得到了具有齐次边界条件的退化的 $ k $-曲率方程解的 $ C^{1,1} $ 估计. Jiao-Wang[33 ] 得到了具有非齐次边界的退化的 $ k $-Hessian 方程的 Dirichlet 问题的 $ C^{1,1} $ 估计. Jiao-Jiao[31 ] 得到了退化的 $ k $-曲率方程和退化的 $ k $-Hessian 方程的 Pogorelov 估计. 在文献 [24 ] 里, Guan-Zhang 考虑了一类退化的混合型曲率方程的 Dirichlet 边值问题. Chen-Tu-Xiang[8 ] 则考虑了一类退化的 Hessian 商曲率方程的 Dirichlet 问题. ...
Second order estimates for convex solutions of degenerate $ k $-Hessian equations
1
2024
... 的条件下, Krylov[38 41 ] 考虑了退化的 $ k $-Hessian 方程 $ \sigma_k(D^2u)=f $ 的解的 $ C^{1,1} $ 正则性. 在文献 [30 ] 中, Ivochkina-Trudinger-Wang 提出公开问题: 条件(1.2) 是否可以优化到 $ f^{\frac{1}{k-1}}\in C^{1,1} $? Wang[58 ] 给出的反例表明条件 $ f^{\frac{1}{k-1}}\in C^{1,1} $ 是最优的. 记 $ \tilde{f}=f^{\frac{1}{k-1}}. $ Dong[12 ] 在 $ \tilde{f}\in C^{1,1} $ 以及 $ |D\tilde{f}|\le C \tilde{f}^{\frac{1}{2}} $ 的条件下得到了具有齐次边界条件的退化的 $ k $-Hessian方程的解的 $ C^{1,1} $ 估计. 在文献 [32 ] 中, Jiao-Wang 在 $ \tilde{f}\in C^{1,1} $ 的条件下得到了具有齐次边界条件的退化的 $ k $-曲率方程解的 $ C^{1,1} $ 估计. Jiao-Wang[33 ] 得到了具有非齐次边界的退化的 $ k $-Hessian 方程的 Dirichlet 问题的 $ C^{1,1} $ 估计. Jiao-Jiao[31 ] 得到了退化的 $ k $-曲率方程和退化的 $ k $-Hessian 方程的 Pogorelov 估计. 在文献 [24 ] 里, Guan-Zhang 考虑了一类退化的混合型曲率方程的 Dirichlet 边值问题. Chen-Tu-Xiang[8 ] 则考虑了一类退化的 Hessian 商曲率方程的 Dirichlet 问题. ...
Oblique boundary value problems for augmented Hessian equations III
1
2019
... 其中 $ h_g $ 为边界的平均曲率, $ c $ 为常数. 相关的工作读者可以参看: Chen[6 ,7 ] , Jin-Li-Li[37 ] , Li-Li[44 ] , Li-Nguyen[48 ] , He-Sheng[27 ] , Sheng-Yuan[52 ] , Jiang-Trudinger[34 36 ] , Duncan-Nguyen[13 ] , Chen-Wei[9 ,10 ] 等等. ...
Oblique boundary value problems for augmented Hessian equations I
0
2018
Oblique boundary value problems for augmented Hessian equations II
1
2017
... 其中 $ h_g $ 为边界的平均曲率, $ c $ 为常数. 相关的工作读者可以参看: Chen[6 ,7 ] , Jin-Li-Li[37 ] , Li-Li[44 ] , Li-Nguyen[48 ] , He-Sheng[27 ] , Sheng-Yuan[52 ] , Jiang-Trudinger[34 36 ] , Duncan-Nguyen[13 ] , Chen-Wei[9 ,10 ] 等等. ...
Estimates and existence results for a fully nonlinear Yamabe problem on manifolds with boundary
1
2007
... 其中 $ h_g $ 为边界的平均曲率, $ c $ 为常数. 相关的工作读者可以参看: Chen[6 ,7 ] , Jin-Li-Li[37 ] , Li-Li[44 ] , Li-Nguyen[48 ] , He-Sheng[27 ] , Sheng-Yuan[52 ] , Jiang-Trudinger[34 36 ] , Duncan-Nguyen[13 ] , Chen-Wei[9 ,10 ] 等等. ...
Weak interior second order derivative estimates for degenerate nonlinear elliptic equations
1
1994
... 的条件下, Krylov[38 41 ] 考虑了退化的 $ k $-Hessian 方程 $ \sigma_k(D^2u)=f $ 的解的 $ C^{1,1} $ 正则性. 在文献 [30 ] 中, Ivochkina-Trudinger-Wang 提出公开问题: 条件(1.2) 是否可以优化到 $ f^{\frac{1}{k-1}}\in C^{1,1} $? Wang[58 ] 给出的反例表明条件 $ f^{\frac{1}{k-1}}\in C^{1,1} $ 是最优的. 记 $ \tilde{f}=f^{\frac{1}{k-1}}. $ Dong[12 ] 在 $ \tilde{f}\in C^{1,1} $ 以及 $ |D\tilde{f}|\le C \tilde{f}^{\frac{1}{2}} $ 的条件下得到了具有齐次边界条件的退化的 $ k $-Hessian方程的解的 $ C^{1,1} $ 估计. 在文献 [32 ] 中, Jiao-Wang 在 $ \tilde{f}\in C^{1,1} $ 的条件下得到了具有齐次边界条件的退化的 $ k $-曲率方程解的 $ C^{1,1} $ 估计. Jiao-Wang[33 ] 得到了具有非齐次边界的退化的 $ k $-Hessian 方程的 Dirichlet 问题的 $ C^{1,1} $ 估计. Jiao-Jiao[31 ] 得到了退化的 $ k $-曲率方程和退化的 $ k $-Hessian 方程的 Pogorelov 估计. 在文献 [24 ] 里, Guan-Zhang 考虑了一类退化的混合型曲率方程的 Dirichlet 边值问题. Chen-Tu-Xiang[8 ] 则考虑了一类退化的 Hessian 商曲率方程的 Dirichlet 问题. ...
Barriers for derivatives of solutions of nonlinear elliptic equations on a surface in Euclidean space
0
1994
A theorem on the degenerate elliptic Bellman equations in bounded domains
0
1995
On the general notion of fully nonlinear second-order elliptic equations
1
1995
... 的条件下, Krylov[38 41 ] 考虑了退化的 $ k $-Hessian 方程 $ \sigma_k(D^2u)=f $ 的解的 $ C^{1,1} $ 正则性. 在文献 [30 ] 中, Ivochkina-Trudinger-Wang 提出公开问题: 条件(1.2) 是否可以优化到 $ f^{\frac{1}{k-1}}\in C^{1,1} $? Wang[58 ] 给出的反例表明条件 $ f^{\frac{1}{k-1}}\in C^{1,1} $ 是最优的. 记 $ \tilde{f}=f^{\frac{1}{k-1}}. $ Dong[12 ] 在 $ \tilde{f}\in C^{1,1} $ 以及 $ |D\tilde{f}|\le C \tilde{f}^{\frac{1}{2}} $ 的条件下得到了具有齐次边界条件的退化的 $ k $-Hessian方程的解的 $ C^{1,1} $ 估计. 在文献 [32 ] 中, Jiao-Wang 在 $ \tilde{f}\in C^{1,1} $ 的条件下得到了具有齐次边界条件的退化的 $ k $-曲率方程解的 $ C^{1,1} $ 估计. Jiao-Wang[33 ] 得到了具有非齐次边界的退化的 $ k $-Hessian 方程的 Dirichlet 问题的 $ C^{1,1} $ 估计. Jiao-Jiao[31 ] 得到了退化的 $ k $-曲率方程和退化的 $ k $-Hessian 方程的 Pogorelov 估计. 在文献 [24 ] 里, Guan-Zhang 考虑了一类退化的混合型曲率方程的 Dirichlet 边值问题. Chen-Tu-Xiang[8 ] 则考虑了一类退化的 Hessian 商曲率方程的 Dirichlet 问题. ...
On some conformally invariant fully nonlinear equations
2
2003
... 就是有解的. 文献 Guan-Wang[23 ] 和 Li-Li[42 ] 证明了当 $ 2\le k<n/2 $ 、流形局部共形平坦的时候, $ k $-Yamabe 问题是有解的. 文献 Gursky-Viaclovsky[26 ] 和 Trudinger-Wang[55 ] 考虑了 $ k> n/2 $ 的情形. 文献 Trudinger-Wang[54 ] 和 Li-Nguyen[47 ] 则讨论了 $ k=n/2 $ 的情形. 关于 Schouten 张量的共形问题的相关的工作还有文献 [15 17 ,21 ,43 ,51 ,57 ] 等等. 2003 年, 文献 Gursky-Viaclovsky[25 ] 和 Li-Li[42 ] 分别引入了下列 modified Schouten 张量 ...
... [42 ] 分别引入了下列 modified Schouten 张量 ...
On some conformally invariant fully nonlinear equations, part II: Liouville, Harnack and Yamabe
1
2005
... 就是有解的. 文献 Guan-Wang[23 ] 和 Li-Li[42 ] 证明了当 $ 2\le k<n/2 $ 、流形局部共形平坦的时候, $ k $-Yamabe 问题是有解的. 文献 Gursky-Viaclovsky[26 ] 和 Trudinger-Wang[55 ] 考虑了 $ k> n/2 $ 的情形. 文献 Trudinger-Wang[54 ] 和 Li-Nguyen[47 ] 则讨论了 $ k=n/2 $ 的情形. 关于 Schouten 张量的共形问题的相关的工作还有文献 [15 17 ,21 ,43 ,51 ,57 ] 等等. 2003 年, 文献 Gursky-Viaclovsky[25 ] 和 Li-Li[42 ] 分别引入了下列 modified Schouten 张量 ...
A fully nonlinear version of the Yamabe problem on manifolds with boundary
1
2006
... 其中 $ h_g $ 为边界的平均曲率, $ c $ 为常数. 相关的工作读者可以参看: Chen[6 ,7 ] , Jin-Li-Li[37 ] , Li-Li[44 ] , Li-Nguyen[48 ] , He-Sheng[27 ] , Sheng-Yuan[52 ] , Jiang-Trudinger[34 36 ] , Duncan-Nguyen[13 ] , Chen-Wei[9 ,10 ] 等等. ...
Deforming metrics with negative curvature by a fully nonlinear flow
1
2005
... 当 $ t=1 $ 时, $ A^t_g $ 就是 Schouten 张量; 当 $ t=0 $ 时, $ (n-2)A^t_g $ 就等于 Ricci 张量; 当 $ t=n-1 $ 时, $ (n-2)A^t_g $ 就是 Einstein 张量. 闭流形上关于 modified Schouten 张量的共形问题的工作包括文献 [5 ,25 ,45 ] 等等. ...
Local gradient estimates of solutions to some conformally invariant fully nonlinear equations
1
2009
... 以上关于共形几何的工作都是考虑的非退化的情形 ($ f>0 $). 在方程退化的时候, Ge-Lin-Wang[14 ] 证明了当第二共形 Yamabe 常数 $ Y_{2,1}([g_0])=0 $ 时, 存在 $ C^{1, 1} $ 共形度量 $ {g} $ 使得 $ \sigma_2(A_{{g}})=0. $ Li[46 ] , Li-Nguyen-Wang[49 ] , Chu-Li-Li[11 ] 考虑了关于共形 Hessian 矩阵 $ A^u $ 的退化椭圆方程 $ A^u\in\partial \Gamma $. 文献 [29 ] 得到了闭流形上退化方程 $ \sigma_k(-A_g^t)=f\ge0 $ 的解. 在本文中, 在具有全测地边界的流形上我们证明了如下结果 ...
A compactness theorem for a fully nonlinear Yamabe problem under a lower Ricci curvature bound
1
2014
... 就是有解的. 文献 Guan-Wang[23 ] 和 Li-Li[42 ] 证明了当 $ 2\le k<n/2 $ 、流形局部共形平坦的时候, $ k $-Yamabe 问题是有解的. 文献 Gursky-Viaclovsky[26 ] 和 Trudinger-Wang[55 ] 考虑了 $ k> n/2 $ 的情形. 文献 Trudinger-Wang[54 ] 和 Li-Nguyen[47 ] 则讨论了 $ k=n/2 $ 的情形. 关于 Schouten 张量的共形问题的相关的工作还有文献 [15 17 ,21 ,43 ,51 ,57 ] 等等. 2003 年, 文献 Gursky-Viaclovsky[25 ] 和 Li-Li[42 ] 分别引入了下列 modified Schouten 张量 ...
A fully nonlinear version of the Yamabe problem on locally conformally flat manifolds with umbilic boundary
1
2014
... 其中 $ h_g $ 为边界的平均曲率, $ c $ 为常数. 相关的工作读者可以参看: Chen[6 ,7 ] , Jin-Li-Li[37 ] , Li-Li[44 ] , Li-Nguyen[48 ] , He-Sheng[27 ] , Sheng-Yuan[52 ] , Jiang-Trudinger[34 36 ] , Duncan-Nguyen[13 ] , Chen-Wei[9 ,10 ] 等等. ...
Comparison principles and Lipschitz regularity for some nonlinear degenerate elliptic equations
1
2018
... 以上关于共形几何的工作都是考虑的非退化的情形 ($ f>0 $). 在方程退化的时候, Ge-Lin-Wang[14 ] 证明了当第二共形 Yamabe 常数 $ Y_{2,1}([g_0])=0 $ 时, 存在 $ C^{1, 1} $ 共形度量 $ {g} $ 使得 $ \sigma_2(A_{{g}})=0. $ Li[46 ] , Li-Nguyen-Wang[49 ] , Chu-Li-Li[11 ] 考虑了关于共形 Hessian 矩阵 $ A^u $ 的退化椭圆方程 $ A^u\in\partial \Gamma $. 文献 [29 ] 得到了闭流形上退化方程 $ \sigma_k(-A_g^t)=f\ge0 $ 的解. 在本文中, 在具有全测地边界的流形上我们证明了如下结果 ...
Conformal deformation of a Riemannian metric to constant scalar curvature
1
1984
... 其中 $ \sigma_k $ 作用在 $ g^{-1}\cdot A_g $ 的特征值上. 当 $ k=1 $ 时, $ k $-Yamabe 问题就还原成了经典的 Yamabe 问题. Yamabe 问题被 Yamabe[59 ] , Trudinger[53 ] , Aubin[1 ] , Schoen[50 ] 等人完全解决. 当 $ n=4, k=2 $ 时, Chang-Gursky-Yang[3 ,4 ] 证明了只要 Yamabe 常数和 $ \int_M \sigma_2(A_{g_0}) $ 均为正, 方程 ...
The Yamabe problem for higher order curvatures
1
2007
... 就是有解的. 文献 Guan-Wang[23 ] 和 Li-Li[42 ] 证明了当 $ 2\le k<n/2 $ 、流形局部共形平坦的时候, $ k $-Yamabe 问题是有解的. 文献 Gursky-Viaclovsky[26 ] 和 Trudinger-Wang[55 ] 考虑了 $ k> n/2 $ 的情形. 文献 Trudinger-Wang[54 ] 和 Li-Nguyen[47 ] 则讨论了 $ k=n/2 $ 的情形. 关于 Schouten 张量的共形问题的相关的工作还有文献 [15 17 ,21 ,43 ,51 ,57 ] 等等. 2003 年, 文献 Gursky-Viaclovsky[25 ] 和 Li-Li[42 ] 分别引入了下列 modified Schouten 张量 ...
A class of Neumann problems arising in conformal geometry
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2014
... 其中 $ h_g $ 为边界的平均曲率, $ c $ 为常数. 相关的工作读者可以参看: Chen[6 ,7 ] , Jin-Li-Li[37 ] , Li-Li[44 ] , Li-Nguyen[48 ] , He-Sheng[27 ] , Sheng-Yuan[52 ] , Jiang-Trudinger[34 36 ] , Duncan-Nguyen[13 ] , Chen-Wei[9 ,10 ] 等等. ...
... 故 $ w $ 有下界. 从而 $ C^0 $ 估计成立. 进而由文献 [52 ] 可知 $ C^1 $ 和 $ C^2 $ 估计成立. 再由方程的一致椭圆性和正则性理论可知 $ C^{2,\alpha} $ 估计成立. 从而集合 $ \mathcal{I} $ 既开又闭. 注意到 $ w\equiv0 $ 是 $ \Phi_s=0 $ 在 $ s=0 $ 的解. 故 $ \mathcal{I} $ 不空, 且 $ \mathcal{I}=[0,1] $. 由此得到了方程 (1.4) 解的存在性. 从而 (4.1) 式成立. ...
Remarks concerning the conformal deformation of Riemannian structures on compact manifolds
1
1968
... 其中 $ \sigma_k $ 作用在 $ g^{-1}\cdot A_g $ 的特征值上. 当 $ k=1 $ 时, $ k $-Yamabe 问题就还原成了经典的 Yamabe 问题. Yamabe 问题被 Yamabe[59 ] , Trudinger[53 ] , Aubin[1 ] , Schoen[50 ] 等人完全解决. 当 $ n=4, k=2 $ 时, Chang-Gursky-Yang[3 ,4 ] 证明了只要 Yamabe 常数和 $ \int_M \sigma_2(A_{g_0}) $ 均为正, 方程 ...
The intermediate case of the Yamabe problem for higher order curvatures
1
2010
... 就是有解的. 文献 Guan-Wang[23 ] 和 Li-Li[42 ] 证明了当 $ 2\le k<n/2 $ 、流形局部共形平坦的时候, $ k $-Yamabe 问题是有解的. 文献 Gursky-Viaclovsky[26 ] 和 Trudinger-Wang[55 ] 考虑了 $ k> n/2 $ 的情形. 文献 Trudinger-Wang[54 ] 和 Li-Nguyen[47 ] 则讨论了 $ k=n/2 $ 的情形. 关于 Schouten 张量的共形问题的相关的工作还有文献 [15 17 ,21 ,43 ,51 ,57 ] 等等. 2003 年, 文献 Gursky-Viaclovsky[25 ] 和 Li-Li[42 ] 分别引入了下列 modified Schouten 张量 ...
On Harnack inequalities and singularities of admissible metrics in the Yamabe problem
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2009
... 就是有解的. 文献 Guan-Wang[23 ] 和 Li-Li[42 ] 证明了当 $ 2\le k<n/2 $ 、流形局部共形平坦的时候, $ k $-Yamabe 问题是有解的. 文献 Gursky-Viaclovsky[26 ] 和 Trudinger-Wang[55 ] 考虑了 $ k> n/2 $ 的情形. 文献 Trudinger-Wang[54 ] 和 Li-Nguyen[47 ] 则讨论了 $ k=n/2 $ 的情形. 关于 Schouten 张量的共形问题的相关的工作还有文献 [15 17 ,21 ,43 ,51 ,57 ] 等等. 2003 年, 文献 Gursky-Viaclovsky[25 ] 和 Li-Li[42 ] 分别引入了下列 modified Schouten 张量 ...
Conformal geometry, contact geometry and the calculus of variations
1
2000
... 受以上工作的启发, 我们拟研究共形几何中的一类退化方程的边值问题. 共形几何中的一个重要问题是 $ k $-Yamabe 问题, 它由 Vioclovsky[56 ] 提出, 该问题是要在闭的背景流形 $ (M, g_0) $ 的共形类中找一个度量 $ g $, 使得 ...
A priori estimates and existence for a class of fully nonlinear elliptic equations in conformal geometry
1
2006
... 就是有解的. 文献 Guan-Wang[23 ] 和 Li-Li[42 ] 证明了当 $ 2\le k<n/2 $ 、流形局部共形平坦的时候, $ k $-Yamabe 问题是有解的. 文献 Gursky-Viaclovsky[26 ] 和 Trudinger-Wang[55 ] 考虑了 $ k> n/2 $ 的情形. 文献 Trudinger-Wang[54 ] 和 Li-Nguyen[47 ] 则讨论了 $ k=n/2 $ 的情形. 关于 Schouten 张量的共形问题的相关的工作还有文献 [15 17 ,21 ,43 ,51 ,57 ] 等等. 2003 年, 文献 Gursky-Viaclovsky[25 ] 和 Li-Li[42 ] 分别引入了下列 modified Schouten 张量 ...
Some counterexamples to the regularity of Monge-Ampère equations
1
1995
... 的条件下, Krylov[38 41 ] 考虑了退化的 $ k $-Hessian 方程 $ \sigma_k(D^2u)=f $ 的解的 $ C^{1,1} $ 正则性. 在文献 [30 ] 中, Ivochkina-Trudinger-Wang 提出公开问题: 条件(1.2) 是否可以优化到 $ f^{\frac{1}{k-1}}\in C^{1,1} $? Wang[58 ] 给出的反例表明条件 $ f^{\frac{1}{k-1}}\in C^{1,1} $ 是最优的. 记 $ \tilde{f}=f^{\frac{1}{k-1}}. $ Dong[12 ] 在 $ \tilde{f}\in C^{1,1} $ 以及 $ |D\tilde{f}|\le C \tilde{f}^{\frac{1}{2}} $ 的条件下得到了具有齐次边界条件的退化的 $ k $-Hessian方程的解的 $ C^{1,1} $ 估计. 在文献 [32 ] 中, Jiao-Wang 在 $ \tilde{f}\in C^{1,1} $ 的条件下得到了具有齐次边界条件的退化的 $ k $-曲率方程解的 $ C^{1,1} $ 估计. Jiao-Wang[33 ] 得到了具有非齐次边界的退化的 $ k $-Hessian 方程的 Dirichlet 问题的 $ C^{1,1} $ 估计. Jiao-Jiao[31 ] 得到了退化的 $ k $-曲率方程和退化的 $ k $-Hessian 方程的 Pogorelov 估计. 在文献 [24 ] 里, Guan-Zhang 考虑了一类退化的混合型曲率方程的 Dirichlet 边值问题. Chen-Tu-Xiang[8 ] 则考虑了一类退化的 Hessian 商曲率方程的 Dirichlet 问题. ...
On a deformation of Riemannian structures on compact manifolds
1
1960
... 其中 $ \sigma_k $ 作用在 $ g^{-1}\cdot A_g $ 的特征值上. 当 $ k=1 $ 时, $ k $-Yamabe 问题就还原成了经典的 Yamabe 问题. Yamabe 问题被 Yamabe[59 ] , Trudinger[53 ] , Aubin[1 ] , Schoen[50 ] 等人完全解决. 当 $ n=4, k=2 $ 时, Chang-Gursky-Yang[3 ,4 ] 证明了只要 Yamabe 常数和 $ \int_M \sigma_2(A_{g_0}) $ 均为正, 方程 ...
