本文研究如下四阶薛定谔方程

(1.1)$\begin{equation} \label{eq1.1} {\Delta}^{2}u+\mu \Delta u-{\lambda}u={|u|}^{p-2}u, x \in \mathbb{R}^{N}. \\ \end{equation}$

在质量约束条件

(1.2)$\begin{equation}\label{eq1.2} \int_{{\mathbb{R}^N}} {{u}^2}=a^2 \end{equation}$

下解的存在性和渐近性, 其中 $N\!\geq\!5$, $a\!>\!0$, $\mu\!>\!0$, $2+\frac{8}{N}\!<\!p\!<\! 4^{*}:=\frac{2N}{N-4}$ 且 $\lambda\in\mathbb{R}$ 以未知的拉格朗日乘子出现. 由于 (1.2) 式给定了 (1.1) 式的解 $u$ 的 $L^{2}$ 质量, 我们称 $u$ 是方程 (1.1) 的归一化解. 方程 (1.1) 的归一化解可通过寻找其能量泛函

在约束集

(1.3)$\begin{equation}\label{eq1.3} S_a :=\bigg\{u \in H^2({\mathbb{R}^N}):\|u\|_2^2=\int_{{\mathbb{R}^N}}{{u}^2}=a^2\bigg\}, \end{equation}$

上的临界点来得到, $\lambda$ 表现为待定的拉格朗日乘子.

方程 (1.1)-(1.2) 源自寻找带时间的四阶薛定谔方程

(1.4)$\begin{equation}\label{eq1.4} {\rm i}\partial_t{\psi}-{\Delta}^{2}{\psi}-\mu \Delta \psi+ {|\psi|}^{p-2}{\psi}=0, \psi(0,x)=\psi_0(x), (t,x)\in {\mathbb{R}}\times {\mathbb{R}^N} \end{equation}$

的驻波解. 方程 (1.4) 的驻波解形如 ${\psi}(t,x)={\rm e}^{-{\rm i} {\lambda} t}u(x)$, 其中 $u$ 是方程 (1.1) 的解且 ${\lambda}\in \mathbb{R}$. 也称方程 (1.1) 是方程 (1.4) 的稳态方程, 更多相关背景可参阅文献 [1]. Karpman 在文献 [1] 中引入了方程

(1.5)$\begin{equation}\label{eq1.5} {\rm i}\partial_t{\psi}-\gamma {\Delta}^{2}{\psi}-\mu \Delta \psi+ {|\psi|}^{p-2}{\psi}=0, \psi(0,x)=\psi_0(x), (t,x)\in {\mathbb{R}}\times {\mathbb{R}^N}, \end{equation}$

及其对应的稳态方程

(1.6)$\begin{equation}\label{eq1.6} \gamma {\Delta}^{2}u+\mu \Delta u-{\lambda}u={|u|}^{p-2}u, x \in \mathbb{R}^{N}, \end{equation}$

其中 $\gamma>0$ 且 $\mu=-1$. 方程 (1.5) 满足能量守恒律和质量守恒律, 即

Bonheure 等^[2]采用全局极小化方法研究了 $S_a$ 中方程 (1.6) 在 $\gamma>0$, $\mu\leq0$ 且 $2<p<\frac{8}{N}+2$ 下的基态解. 此时, 由于 $\inf _{u \in S_{a}} E_{\mu,\gamma}(u)\!>\!-\infty$, (1.6) 式属于质量次临界问题, 作者证明了解的存在性、指数衰减性和轨道稳定性等结果.在文献 [3] 中, Luo-Zheng-Zhu 考虑了方程 (1.6) 在 $\gamma=1$, $\mu \in \mathbb{R}$ 且 $2<p\leq\frac{8}{N}+2$ 时的基态解. 需要注意的是, $p=\frac{8}{N}+2$ 时, (1.6) 式属于质量临界问题. 借助文献 [4] 建立的 $H^2$ 中有界序列的分解, Luo-Zheng-Zhu 等研究了 (1.6) 式对应的全局极小化问题 $m(a, \mu, \gamma):=\inf _{u \in S_{a}} E_{\mu,\gamma}(u)$. 显然, $\mu>0$ 时, $ \|\Delta u \|^{2}_{2}-\mu \|\nabla u\|^{2}_{2}+\|u\|^{2}_{2}$ 一般不能视为 $H^2({\mathbb{R}^N})$ 中的等价范数, 因此 (1.6) 式的研究变得更有趣. 后来, Boussaïd 等^[5]考虑了 (1.6) 式在 $\gamma>0$, $\mu>0$ 且 $2<p \leq \frac{8}{N}+2$ 时的基态解, 其关键点在于证明极小化序列非消失. 通过精确的估计和细致的分析, Boussaïd 等给出了极小化序列非消失的充要条件, 即 $ m(a, \mu, \gamma)<-\frac{a^2\mu^2}{8\gamma}$.

Bonheure 等^[6]研究了方程 (1.6) 在 $\gamma>0$, $\mu=-1$ 且 $\frac{8}{N}+2\leq p <4^*$ 时的基态解和无穷多径向解. 此时, 易知 $m(a, \mu, \gamma)=-\infty$, (16) 式属于质量超临界问题, 全局极小化方法失效. 为此, 作者引入了 (1.6) 式的 Pohozaev 恒等式

在新的约束集 $\mathcal{M}(a) :=\Big \{ u \in H^2({\mathbb{R}^N}): {\|u\|}_2^2=a^2, P_{\mu,\gamma}(u)=0 \Big \}$ 上, 作者证明了极小化问题

可达, 且其达到元是方程 (1.6) 在 $S_a$ 上的基态解.

在质量超临界情形 $N\!\geq\!5$, $\mu >0$ 且 $2+\frac{8}{N}\!<\!p\!<\! 4^{*}$ 时, Luo-Yang^[7] 证明了方程 (1.1) 在径向空间 $H^{2}_{rad}(\mathbb{R}^N)$ 中存在基态解和激发态解, 揭示了二阶色散项对能量泛函的结构和解的数量的影响. 作者利用径向空间的紧嵌入性质, 克服了 $\mu >0$ 时 Palais-Smale 序列紧性缺失的困难. 与文献 [7] 不同的是, Fernández 等^[8]直接在 $H^{2}({\mathbb{R}}^{N})$ 中的开集

上寻找 $E|_{ S_{a} }$ 的局部极小值点, 也得到了 (1.1) 式的基态解. 基于文献 [8] 的方法, Han 等在近期文献 [9] 中研究了低维的情形 ($1<N\!\leq\!4$). 对于 Sobolev 临界指标的情形 ($p=4^{*}$), Sun 等在文献 [10] 中也得到了丰富的结果.

然而, 文献 [7] 中所采用的方法在处理其它具有相同结构的方程时不易推广, 例如文献 [11] 中方程的能量泛函缺乏对称性, 无法利用径向空间的紧性. 虽然文献 [8] 中发展的方法不需要空间的对称性, 但是其分析方法较为复杂. 因此, 本文主要目标是在质量超临界情形 $N\!\geq\!5$, $\mu >0$ 且 $2+\frac{8}{N}\!<\!p\!<\! 4^{*}$ 下, 采用比文献 [8] 更简洁的方法, 证明 (1.1) 式在 $H^{2}(\mathbb{R}^N)$ 中存在基态解并讨论其渐近性.

为了叙述本文的主要结果, 令 $\bar{p}:=2+\frac{8}{N}$, 当 $\bar{p}< p <4^*$ 时, 引入下述正的常数

和

其中 $\bar{C}(N,p):=\Big[\frac{p}{2(p\gamma_{p}-1)C_{N,p}^p }\Big]^{\frac{1}{p-2}} \Big(\frac{p\gamma_p-1}{p\gamma_p-2}\Big)^\frac{p(1-\gamma_p)}{p-2}$ 且 $C_{N,p}$ 为不等式 (2.1) 中的最佳正常数.

由于 $\mu >0$ 且 $\bar{p}< p <4^*$, 通过保 $L^2$ 范数的伸缩变换可知 $\inf _{u \in S_{a}} E(u)=-\infty$, 所以我们引入一类局部极小化问题

这里

特别地, 当 $k$ 取 ${t}_{a_*}=\bar{C}(N,p)\mu^\frac{p(1-\gamma_p)}{p-2}$ 时, 就有极小化问题

(1.7)$\begin{equation}\label{eq1.8} m(a,{t}_{a_*}):=\inf _{u \in A^a_{{t}_{ a_*} }} E(u). \end{equation}$

本文的主要结果如下

定理 1.1 设 $N\!\geq\!5$, $\mu>0$, $\overline{p}\!<\!p\!<\!\min\{4,4^*\}$ 且 $0<a\leq a_*$, 则存在 $R_0=R_0(a,\mu)\in(\mu a, \frac{a}{a_*}{t}_{a_*}]$ 和 ${u}_{a,\mu} \in H^{2}(\mathbb{R}^N)\setminus\{0\}$ 使得

此外, ${u}_{a,\mu}$ 是方程 (1.1) 在 $S_{a}$ 上的基态解且 (1.1) 式的任意一个基态解都是 $E|_{A_{R_0}^a}$ 的局部极小值点.

定理1.2 设 $N\!\geq\!5$, $\overline{p}\!<\!p\!<\!\min\{4,4^*\}$ 且 $0<a\leq a_*$, 则 $ m(a,R_0)$ 的极小元 ${u}_{a,\mu}$ 及其对应的拉格朗日乘子 ${\lambda}_{a,\mu}$ 在 $\mu \to 0^{+}$ 时满足下述渐近性质

在定理 1.1 中, 证明解的存在性的主要困难在于目标问题的能量泛函在质量约束球面上无下界, 不能使用全局极小化方法. 受文献 [11,12] 的启发, 我们先用质量参数 $a$ 来估计能量泛函的下界, 构造出了合理的局部极小化问题 $m(a,R_0):=\inf _{u \in A^a_{ R_0 }} E(u)$ (见引理 2.2). 由于 $R_0=R_0(a,\mu)$ 依赖于质量 $a$, 研究极小化问题 $m(a, R_0)$ 必然会面临 $a$ 对 $R_0(a,\mu)$ 产生的干扰. 文献 [7] 考虑 $m(a, R_0)$ 时借助了 $H^{2}_{rad}(\mathbb{R}^N)\hookrightarrow L^{p}(\mathbb{R}^{N})$ 的紧性, 与文献 [7] 不同的是, 本文通过将 $m(a, R_0)$ 转化为 $m(a,{t}_{a_*})$, 克服了 $H^{2}(\mathbb{R}^N)\hookrightarrow L^{p}(\mathbb{R}^{N})$ 嵌入失紧的难题, 这也是本文的主要创新点所在. 在引理 2.1中, 我们证明了 $R_0=R_0(a,\mu)\in(\mu a, \frac{a}{a_*}{t}_{a_*}]$, 这一精确的上下界估计至关重要, 因为它表明了 $m(a, R_0)=m(a,{t}_{a_*})$.

其次, 要证明 $m(a,{t}_{a_*})$ 极小化序列的紧性. 一是要排除其消失, 二是要排除其出现分支. 在引理 2.2 中, 我们证明了 $m(a, {t}_{a_*})<-\frac{{a^2\mu}^2}{8}$, 从而可以排除极小化序列消失. 在处理分支时, 一般要使用严格次可加不等式, 因为 ${t}_{a_*} $ 与 $a$ 相互独立, 证明 $m(a,{t}_{a_*})$ 的严格次可加不等式要比证明 $m(a,R_0)$ 的严格次可加不等式容易得多 (见引理 3.1).

在定理 1.2 中, 证明解的渐近性主要借鉴了文献 [5,7] 中研究质量趋于零时解的渐近性的思想. 因为我们考虑的是 $\mu \to 0^{+}$ 时解的渐近性质, 该结论也完善了文献 [5,7] 中的结果.

注 利用文献 [8,(4.4)-(4.7) 式] 容易验证 $A^a_{{t}_{ a_*} } \subset S_a \cap \mathcal{O} $, 因此我们找解的集合更小, 可疑临界点落在更精确的范围内. 而且, 引理 2.1 也证实了我们采用的分析策略更为简洁. 概括而言, 本文去掉了文献 [7] 中的径向对称性条件, 给出了比文献 [8] 更简洁的证明方法.

记号 记 $L^{p}(\mathbb{R}^{N}) (p>1)$ 空间的范数为 $\|u\|_{p}=\Big(\int_{{\mathbb{R}^N}} {{|u(x)|}^p{\rm d}x}\Big)^{\frac{1}{p}}$. 定义

且其范数为

记 $H^{2}_{rad}(\mathbb{R}^N)=\left\{ u \in H^{2}(\mathbb{R}^N) : u(x)=u(|x|) \right\}$. 符号 $\rightharpoonup$ 和 $\rightarrow$ 分别表示相应空间中的弱收敛和强收敛. 符号 $C$ 和 $C_i$ 表示正常数. 符号 $\mathbb{N}^{+}=\{1,2,\cdots\}$ 是正自然数集. 符号 $\mathbb{R}$ 表示实数集. $o_{n}(1)$ 和 $O_{n}(1)$ 分别表示当 $n\to+\infty$ 时, $|o_{n}(1)|\to 0$ 且 $|O_{n}(1)|\leq C$.

在本节中, 我们给出一些预备知识.

对 $2<p<4^{*}$ 和 $\gamma_p=\frac{N(p-2)}{4p}$, 回忆下述 Gagliardo-Nirenberg 不等式

(2.1)$\begin{equation} \label{eq2.1} {\|u\|}_p^{p} \leq C_{N,p}^p {\|u\|}_2^{p(1-\gamma_p)} {\|\Delta u\|}_2^{p\gamma_p},\quad \forall u\in H^{2}(\mathbb{R}^N), \end{equation}$

其中 $C_{N,p}$ 是正常数 (详见文献 [6]). 此外, 文献 [6] 中也引入了插值不等式

(2.2)$\begin{equation}\label{eq2.2} {\|\nabla u\|}_2^2\leq{\|u\|}_2{\|\Delta u\|}_2, \forall u\in H^{2}(\mathbb{R}^N). \end{equation}$

对任意的 $\mu >0$, 由 (2.1) 和 (2.2) 式可以推出

利用 (2.3) 式可知 $\inf _{u \in S_{a}} E(u)>-\infty$ 倘若 $2<p<\bar{p}$. 然而, 通过伸缩变换 $u_{t}(x)=t^{\frac{N}{2}}u(tx)$, 我们可以推出当 $\bar{p}<p\leq4^*$ 时, $\inf _{u \in S_{a}} E(u)=-\infty$. 文献 [3,5,6] 中使用的全局极小化方法失效, 受文献 [7,8] 的启发, 我们引入一类局部极小化问题

其中 $A_{k}^a :=\left\{u \in S_{a} : {\|\Delta u\|}_2<k\right\}$ 且 $\partial A_{k}^a :=\left\{u \in S_{a} : {\|\Delta u\|}_2=k\right\}$. 基于 (2.3) 式, 定义函数 $h_{a,\mu}: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}$:

当 $\bar{p}<p<4^*$ 时, 计算可知 $p\gamma_p>2$, 于是可推出 $h_{a,\mu}(0^+)=0^{-}$ 且 $h_{a,\mu}(+\infty)=-\infty $.

针对 $h_{a,\mu}(t)$, 我们可以得到下述引理, 其在分析局部极小化问题 $m(a,k)$ 的性质时非常有效.

引理2.1 设 $a, \mu \!>\!0$, $\bar{p}<\!p\!<4^*$, $t_a\!:=\Big[\frac{p}{2(p\gamma_p-1)C_{N,p}^p a^{p(1-\gamma_p)}}\Big]^\frac{1}{p\gamma_p-2}$ 且 $\bar{t}_a:=\mu a$, 则

(i) 当 $0\!<\!a\!<\!a_*$ 时, $h_{a,\mu}(t)$ 有唯一取负值的局部极小值点, 还有唯一取正值的全局极大值点; 此外, 存在 $R_0=R_0(a,\mu)$ 和 $R_1=R_1(a,\mu)$ 使得 $h_{a,\mu}(R_0)=0=h_{a,\mu}(R_1)$ 且

(ii) 当 $a\!=\!a_*$ 时, $h_{a_*,\mu}(t)$ 有唯一取负值的局部极小值点, 还有唯一取 $0$ 的全局极大值点; 此外, 我们有

证 (i) 先证明 $h_{a,\mu}$ 恰好有两个临界点. 事实上, 记

则有

令

易知 $\psi_{a}'(\hat{t}_a)=0$, 并且 $\psi_a$ 在 $[0,\hat{t}_a)$ 上 $\nearrow$, 在 $(\hat{t}_a,+\infty)$ 上 $\searrow$. 若 $\bar{p}<\!p\!<4^*$, 计算可知 $p\gamma_p\!>\!2$,

因此

(2.4)$\begin{align*} \label{eq2.4} 0<a < a^* \Longleftrightarrow \max_{t\geq0}\psi_a(t)\!=\!\psi_a(\hat{t}_a) \!=\!\frac{(p\gamma_p-2)\hat{t}_a} {p\gamma_p-1}\!>\!\frac{\mu a}{2}, \end{align*}$

其中

又因为 $\psi_a(0^+)\!=\!0^+$, $\psi_a(+\infty)\!=\!-\infty$, 结合 (2.4) 式和 $\psi_a(t)$ 的增减性, 可推得 $h_{a,\mu}(t)$ 在 $0<a<a^*$ 时恰好有两个临界点.

其次证 $h_{a,\mu}(t)$ 的两个临界点一个表现为局部极小值点, 另一个表现为全局极大值点. 注意到

其中

设 $ t_a\!=\Big[\frac{p}{2(p\gamma_p-1)C_{N,p}^pa^{p(1-\gamma_p)}}\Big]^\frac{1}{p\gamma_p-2}$

且

易知 $\varphi_{a}'({t}_a)=0$, 并且 $\varphi_a$ 在 $[0,{t}_a)$ 上 $\nearrow$, 在 $({t}_a,+\infty)$ 上 $\searrow$. 与 (2.4) 式同理可知

(2.5)$\begin{align*} \label{eq2.4.1} 0<a<a_* \Longleftrightarrow \max_{t\geq0}\varphi_a(t)=\varphi_a({t}_a) =\frac{(p\gamma_p-2){t}_a} {2(p\gamma_p-1)}>\frac{\mu a }{2}. \end{align*}$

又因为 $\varphi_a(0^+)\!=\!0^+$, $\varphi_a(+\infty)\!=\!-\infty$, 结合 (2.5) 式和 $\varphi_a(t)$ 的增减性, 可推得 $h_{a,\mu}(t)$ 在 $0<a<a_*$ 时恰好有两个零点 $R_0$ 和 $R_1$ (不妨设 $R_0<R_1$). 此时, 进一步有

由于 $p\gamma_p<2^{p\gamma_p-1}$, 我们得到 $a_*\!<\!a^*$. 综上可知, 当 $0<a<a_*\!<\!a^*$ 时, $h_{a,\mu}(t)$ 在 $(0,R_0)$ 内有唯一取负值的局部极小值点, 在 $(R_0,R_1)$ 内有唯一取正值的全局极大值点.

最后, 我们证明 $R_0$ 和 $R_1$ 的上下界估计. 将 $a\!=\!a_*$ 代入 ${t}_{a}$, 则有

并且可验证

当 $0<a<a_*$ 时, 利用 $\varphi_a(t)$ 的定义和 $0<\frac{a}{a_*}<1$, 可推出

和

这就表明 $h_{a,\mu}({t}_{a_*})\!>\!0$ 且 $h_{a,\mu}(\frac{a}{a_*} {t}_{a_*})\!>\!0$, 进而有

再由 $h_{a,\mu}(t)\!\leq\!g_{a,\mu}(t)=\frac{1}{2}t^{2}-\frac{\mu a }{2}t$ 可推得 $R_0\!>\!\bar{t}_a$, 其中 $\bar{t}_a:=\mu a$.

(ii) 因为证明思路与 (i) 相似, 故而此处省略证明的细节. 只需注意下述事实

在 $m(a,k)=\inf _{u \in A^a_{k}} E(u)$ 中取 $k=R_0$ 和 $k={t}_{a_*}$ (见引理 2.1) 得到新的极小化问题 $m(a,R_0)$ 和 $m(a,{t}_{a_*})$. 下面证明 $m(a, {t}_{a_*}) <-\frac{{a^2\mu}^2}{8}$, 该估计可用来证明 $m(a, {t}_{a_*})$ 的极小化序列不消失.

引理 2.2 设 $N\!\geq\!5$, $\mu>0$, $\overline{p}\!<\!p\!<\!\min\{4,4^*\}$ 且 $0<a\leq a_*$, 则

证 先证

(2.6)$\begin{equation} \label{eq2.2-4.1} -\infty<m(a, {t}_{a_*})=\inf _{u \in A^a_{{t}_{a_*}}} E (u)<0 \leq \inf_{u \in \partial A^a_{{t}_{a_*}} } E(u). \end{equation}$

任取 $u\!\in\! A^a_{{t}_{a_*}}$, 当 $s \!>\!0$ 足够小时, 我们有 $u_{s}(x)\!:=\!s^{\frac{N}{2}}u(sx)\!\in\! S_a$, $\|\Delta u_{s} \|_{2}\!<\! {t}_{a_*}$ 且 $E(u_{s})\!<\!0$, 所以 $m(a, {t}_{a_*})\!<\!0$. 进一步, 我们从 (2.3) 式推得

取下确界即证得 $m(a, {t}_{a_*})>-\infty$. 如果 $u \!\in\! \partial A^a_{{t}_{a_*}}$, 我们得到 $u \!\in\! S_a$, $\|\Delta u\|_{2}\!=\!{t}_{a_*}$, 因此 $E(u)\!\geq\! h_{a,\mu}({t}_{a_*})\!\geq\! h_{a_*,\mu}({t}_{a_*})\!=\!0$. 于是, (2.6) 式得证.

再证当 $N\!\geq\!5$, $\mu>0$ 且 $\overline{p}\!<\!p\!<\!\min\{4,4^*\}$ 时, 有下述估计

(2.7)$\begin{equation} \label{eq2.2-4.2} m(a, {t}_{a_*})=m(a,R_0)<-\frac{{a^2\mu}^2}{8}. \end{equation}$

事实上, 引理2.1(i) 表明 $ R_0 < {t}_{a_*}< R_1$, 并且当 $t\!\in\! [R_0,R_1]$ 时, 又有 $h_{a,\mu}(t)\!\geq\!0$. 于是, 一方面, 由 $A_{R_0}^a\subset A_{t_{a_*}}^a$ 可推得

另一方面, 当 $\|\Delta u\|_{2}\!\in\! [R_{0}, R_{1}]$ 时, 由 (2.3) 和 (2.6) 式可知

这就说明 $m(a,t_{a_*})$ 的极小化序列必然落在 $A_{R_0}^a$ 中, 可推得当 $N\!\geq\!5$, $\mu>0$ 且 $\overline{p}\!<\!p\!<\!\min\{4,4^*\}$ 时, 文献 [7,引理 3.2] 表明 $m(a,R_0)<-\frac{{a^2\mu}^2}{8}$, 于是可推得 (2.7) 式. 综合 (2.6) 和 (2.7) 式即得引理结论.

在本节中, 我们证明 $m(a, {t}_{a_*})$ 的极小化序列的紧性. 我们先证明 $m(a, {t}_{a_*})$ 关于 $a$ 的严格次可加不等式, 它将用来证明 $m(a, {t}_{a_*})$ 的极小化序列不会出现分支.

引理 3.1 设 $N\!\geq\!5$, $\mu>0$, $\overline{p}\!<\!p\!<\!\min\{4,4^*\}$ 且 $0<a\leq a_*$, 则

(i) 映射 $a\mapsto m(a, {t}_{a_*})$ 在 $(0,a_*]$ 上连续;

(ii) 若 $a_1\!\in\!(0,a)$ 且 $a_2\!=\!\sqrt{a^2-a^2_1}$, 则有 $ m(a, {t}_{a_*})\leq m(a_1, {t}_{a_*})+m(a_2, {t}_{a_*})$. 若 $m(a_1, {t}_{a_*})$ 或 $m(a_2, {t}_{a_*})$ 可达, 则 $ m(a, {t}_{a_*})<m(a_1, {t}_{a_*})+m(a_2, {t}_{a_*})$.

证 (i) 对于任意 $a\in(0,a_*]$ 以及 $\{a_n\}\subset(0,a_*]$ 使得 $a_n \to a$, 我们旨在证明 $m(a_n, {t}_{a_*}) \to m(a, {t}_{a_*})$. 对于任意足够小的 $\varepsilon > 0$, 由 $m(a_n,{t}_{a_*})<0$ 可推得, 存在序列 $\{u_n\}\subset A^{a_n}_{{t}_{a_*}}:=\left\{w \in S_{a_n}: \|\Delta w\|_{2}<{t}_{a_*}\right\}$, 使得

(3.1)$\begin{equation} \label{eq3.1} E (u_n)\leq m(a_n, {t}_{a_*})+\varepsilon \mbox{且} E (u_n)<0. \end{equation}$

记 $v_n:=\frac{a}{a_n}u_n$, 则 $v_n\in S_a$. 我们断言 $\|\Delta v_n\|_{2}\!<\! {t}_{a_*}$. 如果 $a_n\geq a$, 那么

如果 $a_n<a\leq a_*$, 那么引理 2.1(i) 意味着对于 $t\!\in\![\frac{{a_n}}{a_*} {t}_{a_*}, {t}_{a_*}]$, $h_{a_n,\mu}(t)\!>\!0$. 由于 $ 0>E(u_n)\geq h_{a_n,\mu}({\|\Delta u_n\|}_2)$, 我们推得对于任意 $n\in \mathbb{N}^+$, $\|\Delta u_n\|_{2}\!<\!\frac{a_n}{a_*} {t}_{a_*}$. 然后, 我们得到

因此 $\{v_n\}\subset A^a_{{t}_{a_*}}$. 由$a_n \to a$, $\{u_n\}\subset S_{a_n}$ 以及 $\|\Delta u_n\|_{2}\!<\! {t}_{a_*}$ 也可推得, 存在 $C>0$, 且与 $n$ 无关, 使得

所以, 我们得到

(3.2)$\begin{equation} \label{eq3.2} E (v_n)=\frac{1}{2}\frac{a^2}{a^2_n}{\|\Delta u_n\|}_2^2-\frac{\mu }{2} \frac{a^2}{a^2_n}\|\nabla u_n\|_2^2-\frac{1}{p}\frac{a^p}{a^p_n}\|u_n\|_{p}^{p} =E (u_n)+o_n(1). \end{equation}$

由 (3.1)-(3.2) 式, $\{v_n\}\subset A^{a }_{{t}_{a_*}}:=\left\{w \in S_{a}: \|\Delta w\|_{2}<{t}_{a_*}\right\}$, 我们有

另一方面, 设 $u \in A^{a}_{{t}_{a_*}}:=\left\{w \in S_{a}: \|\Delta w\|_{2}<{t}_{a_*}\right\}$, 使得

设 $w_n\!:=\!\frac{a_n}{a}u$, 则 $w_n\!\in\! S_{a_n}$. 由引理 2.1, 可推得 $\|\Delta w_n\|_{2}\!<\!{t}_{a_*}$. 类似 (3.2) 式, 我们有 $E(w_n)=$ $E(u)+o_n(1)$. 然后, (3.3) 式意味着

令 $n\to+\infty$, 然后 $\varepsilon\to 0$, 我们有 $ m(a_n, {t}_{a_*})\to m(a, {t}_{a_*})$.

(ii) 对于任意固定的 $a_1\in(0,a)$, 我们断言

(3.4)$\begin{equation} \label{eq3.4} m(\theta a_1, {t}_{a_*})\leq \theta^2 m(a_1, {t}_{a_*}), \forall \theta \in \Big(1,\frac{a}{a_1}\Big]. \end{equation}$

并且, 如果 $m(a_1, {t}_{a_*})$ 能取到, 该不等式是严格的. 事实上, (3.4) 式可推得

当 $m(a_1, {t}_{a_*})$ 取到时, 上式为严格不等式. 对于任意充分小的 $\varepsilon > 0$, 存在 $u\in A^{a_1 }_{{t}_{a_*}}:=\{w \in S_{a_1 }:$ $ \|\Delta w\|_{2}<{t}_{a_*}\}$ 使得

(3.5)$\begin{equation} \label{eq3.5} E(u)\leq m(a_1, {t}_{a_*})+\varepsilon \mbox{且} E(u)<0. \end{equation}$

类似 (i), 引理 2.1(i) 意味着 $\|\Delta u\|_{2}\!<\!\frac{a_1}{a_*} {t}_{a_*}$. 设 $v=\theta u$, 则

因此 $v\in A^{\theta a_1 }_{{t}_{a_*}}:=\left\{w \in S_{\theta a_1 }: \|\Delta w\|_{2}<{t}_{a_*}\right\}$. 最后, 我们推得

由于 $\varepsilon>0$ 是任意的, 我们有 $m(\theta a_1, {t}_{a_*})\leq\theta^2 m(a_1, {t}_{a_*})$. 如果 $m(a_1, {t}_{a_*})$ 能取到, 那么在 (3.5) 式中我们可以令 $\varepsilon=0$, 从而严格不等式成立.

应用引理 3.1, 接下来我们证明 $m(a,t_{a_*})$ 的极小化序列的紧性.

引理 3.1 设 $N\!\geq\!5$, $\mu>0$, $\overline{p}\!<\!p\!<\!\min\{4,4^*\}$ 且 $0<a\leq a_*$. 若序列 $\{u_{n}\} \subset H^2(\mathbb{R}^N)$ 满足

则 $\{u_{n}\}$ 在 $H^2(\mathbb{R}^N)$ 中 (在平移意义下) 是相对紧的, 且 $m(a, {t}_{a_*})$ 可达.

证 显然 $\{u_{n}\}$ 在 $H^2(\mathbb{R}^N)$ 中有界. 若对任意的 $R\!>\!0$, 均有

则可推出 $\left\|u_{n}\right\|_{p} \to 0$ ($2<p<4^*$) (见文献 [13,引理 1.1] 或文献 [14,引理 4.1]. 然而, 文献 [5,引理 3.1] 表明 $\inf_{v \in S_{a}} \Big\{ \frac{1}{2}{\|\Delta v\|}_2^2\!-\!\frac{\mu}{2}{\|\nabla v\|}_2^2 \Big\}\!=-\frac{a^2\mu^2}{8}$, 这就导致了矛盾

从而, 存在 $R>0$, $\varepsilon_0>0$ 以及序列 $\{y_{n}\} \subset \mathbb{R}^{N}$ 使得

因此, 必然存在 $u_{a,\mu} \in H^2(\mathbb{R}^N)$ 使得 $u_{n}(x+y_n)\rightharpoonup u_{a,\mu} \not\equiv0$ 于 $H^2(\mathbb{R}^N)$. 令

则有 $v_{n}\rightharpoonup 0$ 于 $H^2(\mathbb{R}^N)$. 所以, 可推出

(3.6)$\begin{align*} \label{eq3.6} &\left\|u_{n}\right\|_{2}^2 =\left\|u_{n}(\cdot+y_n)\right\|_{2}^2=\left\|v_{n}\right\|_{2}^2 +\left\| u_{a,\mu} \right\|_{2}^2+o_n(1), \nonumber \\ &\left\|\nabla u_{n}\right\|_{2}^2 =\left\|\nabla u_{n}(\cdot+y_n)\right\|_{2}^2=\left\|\nabla v_{n}\right\|_{2}^2 +\left\|\nabla u_{a,\mu} \right\|_{2}^2+o_n(1), \nonumber \\ &\left\|\Delta u_{n}\right\|_{2}^2 =\left\|\Delta u_{n}(\cdot+y_n)\right\|_{2}^2=\left\|\Delta v_{n}\right\|_{2}^2 +\left\|\Delta u_{a,\mu} \right\|_{2}^2+o_n(1). \end{align*}$

根据文献 [15, Brézis-Lieb 引理], 我们有

(3.7)$\begin{align*} \label{eq3.7} \left\|u_{n}\right\|_{p}^p=\left\|u_{n}(\cdot+y_n)\right\|_{p}^p=\left\|v_{n}\right\|_{p}^p +\left\| u_{a,\mu} \right\|_{p}^p+o_n(1). \end{align*}$

现在证明 $u_{n}(x+y_n)\rightarrow u_{a,\mu} \not\equiv0$ 于 $L^2(\mathbb{R}^N)$, 只需证明

(3.8)$\begin{align*} \label{eq3.7.0} v_ {n}\!\rightarrow \!0 \mbox{ 于 } L^2(\mathbb{R}^N). \end{align*}$

记 $\left\| u_{a,\mu} \right\|_{2}\!=\!a_1$. 若 $a_1\!=\!a$, 则 (3.8) 式得证. 若 $a_1\!<\!a$, 当 $n$ 足够大时, 由 (3.6)式可知 $\left\|v_{n}\right\|_{2}\!\leq\! a$ 且 $\left\|\Delta v_{n}\right\|_{2} \!\leq\! \left\|\Delta u_{n}\right\|_{2} \!<\! {t}_{a_*}$. 进一步, (3.6)-(3.7) 式表明

因为 $E\left(u_{n}\right)\to m(a,{t}_{a_*})$ 且 $v_{n} \!\in\! A^{\left\| v_{n}\right\|_{2}}_{{t}_{a_*}}\!:=\!\left\{w \!\in\! S_{\left\| v_{n}\right\|_{2}}: \|\Delta w\|_{2}\!<\!{t}_{a_*}\right\}$, 可推得

(3.9)$\begin{align*} \label{eq3.8} m(a,{t}_{a_*})=E\left(v_{n} \right)+E\left(u_{a,\mu} \right)+o_n(1)\geq m(\left\| v_{n}\right\|_{2}, {t}_{a_*})+E\left(u_{a,\mu} \right)+o_n(1). \end{align*}$

利用 $a\mapsto m(a,{t}_{a_*})$ 的连续性(见引理 3.1(i)), 可将 (3.9) 式化简为

(3.10)$\begin{align*} \label{eq3.9} m(a,{t}_{a_*})\geq m(a_2,{t}_{a_*})+E\left(u_{a,\mu}\right), \end{align*}$

其中 $a_2\!=\!\sqrt{a^2-a^2_1}\!>\!0$. 由 $\left\|u_{a,\mu}\right\|_{2}\!=\!a_1$ 和 $\left\|\Delta u_{a,\mu}\right\|_{2} \!\leq\! \left\|\Delta u_{n}\right\|_{2} \!<\! {t}_{a_*}$ 可知, $E\left(u_{a,\mu} \right)\!\geq\! m(a_1, {t}_{a_*})$. 若 $E\left(u_{a,\mu} \right)\!>\! m(a_1, {t}_{a_*})$, 则由 (3.10) 式和引理 3.1 导出矛盾

若 $E\left(u_{a,\mu} \right)=m(a_1, {t}_{a_*})$, 即 $m(a_1, {t}_{a_*})$ 被 $u_{a,\mu}$ 取到, 则由引理 3.1(ii) 可知, $m(a_2, {t}_{a_*})+m(a_1, {t}_{a_*})> m(a, {t}_{a_*})$, 进而得到矛盾

因此, $\left\|u_{a,\mu}\right\|_{2}\!=\!a$, 即 $v_{n}\!\rightarrow \!0$ 于 $L^2(\mathbb{R}^N)$, (3.8) 式得证. 这就导致了

最后, 我们得到

这表明 ${\|\Delta v_{n}\|}_2\leq o_n(1)$. 再利用 (3.8) 式易知 $v_{n}\!\rightarrow \!0$ 于 $H^2(\mathbb{R}^N)$, 即 $u_{n}(x+y_n) \to u_{a,\mu} \not\equiv0$ 于 $H^2(\mathbb{R}^N)$, 从而 $m(a,{t}_{a_*})=E(u_{a,\mu})$ 可达.

在本节中, 我们证明本文的主要结果. 需要强调的是 $R_{0}=R_{0}(a,\mu)$ 和 $R_{1}=R_{1}(a,\mu)$ (详见引理 2.1), 为简洁起见, 证明中我们略去角标.

定理 1.1 的证明 引理 3.2 表明, $m(a,{t}_{a_*})$ 可由某个 $u_{a,\mu} \!\in\! A^a_{ {t}_{a_*}} \!:=\!\left\{u \!\in\! S_a :\|\Delta u\|_{2}\!<\! {t}_{a_*}\right\}$ 取到. 结合 (2.7) 式, 可推得 $\|\Delta u_{a,\mu}\|_{2}\!<\!R_{0}$ 且

下面证明 $u_{a,\mu}$ 是 (1.1) 式的基态解, 并且 (1.1) 式的任意一个基态解都是 $E$ 在 $A^a_ {R_0}$ 中的局部极小值点. 由文献 [6] 可知 $E|_{S_{a}}$ 的所有临界点都落在下述 Pohozaev 约束集:

(4.1)$\begin{equation}\label{eq4.2} \mathcal{P}_{a}=\left\{v \in S_{a} : P(v):=2{\|\Delta v\|}_2^2-\mu \|\nabla v\|_2^2-2\gamma_p\|v\|_p^p\right\}. \end{equation}$

因此, $P(u_{a,\mu})\!=\!0$ 且 $\mathcal{P}_{a}$ 包含 $E|_{S_{a}}$ 的所有基态解. 对任意 $s\!>\!0$ 和 $v \!\in \!S_a$, 易知 $v_s(x)\!:=\!s^{\frac{N}{2}} v\left(s x\right)\!\in\! S_a$. 考虑纤维映射

(4.2)$\begin{equation} \label{eq4.3} \Psi_{v}(s) :=E(v_s)=\frac{s^4}{2} {\|\Delta v\|}_2^2-\frac{\mu s^2}{2}\|\nabla v\|_2^2-\frac{s^{2p\gamma_p}}{p}{\|v\|}_p^p, \forall s\!>\!0. \end{equation}$

简单计算表明

(4.3)$\begin{equation} \label{eq4.4} \Psi_{v}^{\prime}(s)=\frac{{\rm d} \Psi_{v}(s) }{{\rm d}s}=2s^3{\|\Delta v\|}_2^2-\mu s\|\nabla v\|_2^2-2\gamma_ps^{2p\gamma_p-1}\|v\|_p^p =\frac{P(v_s)}{s}. \end{equation}$

观察以 $s$ 为自变量的函数

易知

显然, $\varphi_v(s)$ 在 $(0,\bar{s}_v)$ 上 $\nearrow$, 在 $(\bar{s}_v,+\infty)$ 上 $\searrow$, 其中

当 $0<a\!\leq\!a_*\!<\!a^*$ (见 (2.4) 式) 时, 由 Gagliardo-Nirenberg 不等式 (2.1) 和 (2.2) 式, 可推得

这一事实再结合 $\varphi_v(0^{+})\!=\!0^{+}$, $\varphi_v(+\infty)\!=\!-\infty$ 以及 $\varphi_v(s)$ 的增减性就说明 $\Psi_{v}^{\prime}(s)=0$ 只有两个解, 即 $\Psi_{v}(s)$ 恰好有两个临界点. 由 (2.3) 式可推得

所以, 当 $0<a\!<\!a_*$ 时,

当 $a\!=\!a_*$ 时, $\Psi_{v}(\sqrt{\frac{ {t}_{a_*}}{\|\Delta v\|_{2}}})\!\geq\! h_{{a_*},\mu}({t}_{a_*})\!=\!0$. 显然, $\Psi_{v}(0^{+})=0^{-}$, $\Psi_{v}(+\infty)=-\infty$. 进一步可发现, $\Psi_{v}(s)$ 有一个局部极小值点 $\xi_v \in (0, \sqrt{\frac{R_{0}}{\|\Delta v\|_{2}}})$ 满足 $\Psi_{v}(\xi_v)<0$, 还有一个全局部极大值点 $\eta_v$ 满足 $\Psi_{v}(\eta_v) \geq 0$, 且 $\xi_v\!<\!\eta_v$.

设 $w$ 是 $E |_{S_{a}}$ 的基态解, 则

在 (4.2)-(4.3) 式中取 $s=1$ 且 $v\equiv w$, 我们有

我们已经证得 $\Psi_{w}(s)$ 恰好有两个临界点 $\xi_w$ 和 $\eta_w$, 于是必然有 $\xi_w\!=\!1\!<\!\sqrt{\frac{R_{0}}{\|\Delta w\|_{2}}}$. 因此, $\|\Delta w\|_{2}\!<\!R_{0}$ 且 $w\!\in\! A^a_{R_0}$, 也就是说 (1.1) 式的任意一个基态解都是 $E|_{A_{R_0}^a}$ 的局部极小值点. 此外, 由 $E(w)\!\leq\! E ({u}_{a,\mu})\!=\!\inf _{u\in A^a_{R_{0}}} E (u)\!\leq\!E (w)$, 可知 ${u}_{a,\mu}$ 是 $E |_{S_{a}}$ 的基态解.

定理 1.2 的证明 主要思想源自文献 [5,7], 其中文献 [5] 考虑的是 $p\in(2,\bar{p})$ 且 $a \to 0^{+}$ 的情形, 而文献 [7] 研究的是 $p\in(\bar{p},4^*)$ 且 $a \to 0^{+}$ 的情形. 设 $ m(a,R_0)$ 的极小元为 ${u}_{a,\mu}$ 且其对应的拉格朗日乘子为 ${\lambda}_{a,\mu}$. 当 $\mu \to 0^{+}$ 时, 我们要证明 $\{\frac{\left\|\Delta {u}_{a,\mu} \right\|_{2}}{ \mu }\}$ 是有界的, 且 $\frac{\left\| {u}_{a,\mu} \right\|_{p}^{p}}{ \mu^{2} }\to 0$. 事实上, 文献 [7,引理 3.2] 表明 $m(a,R_0)<-\frac{{a^2\mu}^2}{8}$, 再结合 $P({u}_{a,\mu})=0$ 则有

因此可得

这表明

(4.4)$\begin{equation} \label{eq4.5.0} \frac{\|\Delta {u}_{a,\mu} \|_{2}}{ \mu }\leq\frac{(p\gamma_{p}-1)a}{p\gamma_{p}-2}. \end{equation}$

根据 Gagliardo-Nirenberg 不等式 (2.1) 和 (4.4) 式, 可推得

所以, 当 $\mu \to 0^{+}$ 时,

(4.5)$\begin{equation} \label{eq4.5.1} \frac{ \left\| {u}_{a,\mu} \right\|_{p}^{p} }{ \mu^{2} } \!\leq \! C_{N,p}^p \Big[ \frac{p\gamma_{p}-1}{p\gamma_{p}-2} \Big]^{p\gamma_p} a^{ p } \mu^{ p\gamma_{p}-2 } \to 0^+. \end{equation}$

由文献 [5,引理 3.1] 可知

这就表明

再结合 (4.5) 式可得 $m(a,R_0)\!=\!-\frac{ a^2 \mu^2 }{8}+o(\mu^2)$, 从而定理 1.2 中 $\frac{ m(a,R_0) }{ \mu^2 }\to-\frac{ a^2 }{8}$ 得证.

下面证明定理 1.2 中剩余的三个结论. 一方面, 由 $P({u}_{a,\mu})=0$ 可推出

(4.6)$\begin{equation} \label{eq4.5} {\lambda}_{a,\mu} a^2=-\frac{\mu}{2}\|\nabla u_{a,\mu} \|_{2}^{2}+(\gamma_{p}-1)\| u_{a,\mu} \|_{p}^{p} \end{equation}$

和

(4.7)$\begin{equation} \label{eq4.6} -\frac{\mu}{4} \|\nabla u_{a,\mu} \|_{2}^{2}+\frac{p \gamma_{p}-2} {2p} \| u_{a,\mu} \|_{p}^{p}=E\left(u_{a,\mu} \right) <-\frac{a^2\mu^2}{8}. \end{equation}$

因此, 由 (4.6) 和 (4.7) 式可得

于是有 ${\lambda}_{a,\mu} <-\frac{ {\mu}^2 }{4}$.

另一方面, 因为 $u_{a,\mu}$ 是方程 (1.1)-(1.2) 的解, 所以

将 (4.5) 式代入可得 $\frac{ \lambda_{a,\mu} }{ \mu^2 } \to -\frac{ 1 }{4}$. 利用 $m(a,R_0)\!=\!E(u_{a,\mu})\!=\!-\frac{ a^2\mu^2 }{8}\!+\!o(\mu^2)$ 得到

(4.8)$\begin{align*} \label{eq4.7} -\frac{a^2}{8}\!+\!o(1)\!=\! \frac{ E(u_{a,\mu}) }{ \mu^{2} } \!=\! \frac{1}{2}\frac{{\|\Delta u_{a,\mu} \|}_2^2}{ \mu^{2} }\!-\!\frac{1}{2}\frac{ {\|\nabla u_{a,\mu} \| }_2^2}{ \mu }\!+\!o(1). \end{align*}$

又由 $P(u_{a,\mu})=0$ 可知,

进而有

因此, 由 (4.8)-(4.9) 式推得

致谢: 本文作者衷心感谢匿名审稿人仔细推敲论文并提出宝贵建议.