数学物理学报, 2026, 46(2): 380-402

具奇异灵敏度的 Keller-Segel 模型解的整体适定性——献给陈化教授 70 寿辰

金春花,, 周浪豪,*

华南师范大学数学科学学院 广州 510631

Global Well-Posedness of Keller-Segel Model with Singular Sensitivity

Jin Chunhua,, Zhou Langhao,*

School of Mathematical Sciences, South China Normal University, Guangzhou 510631

通讯作者: *周浪豪，E-mail: zhoulanghao8@163.com

收稿日期: 2025-09-29   修回日期: 2025-12-16  

基金资助: 国家自然科学基金(12271186)

Received: 2025-09-29   Revised: 2025-12-16  

Fund supported: NSFC(12271186)

作者简介 About authors

金春花，E-mail:jinchhua@126.com

摘要

该文主要研究以下具有奇异灵敏度以及多孔介质扩散的消耗型 Keller-Segel 模型解的整体存在性$$\begin{align*} \left\{ \begin{aligned} &u_t=\Delta u^m-\chi\nabla\cdot\!\left(\frac{u}{v^\beta}\nabla v\right),\\ &v_t=\Delta v-vu^{\alpha}. \end{aligned}\right. \end{align*}$$对二维有界区域, 作者证明若 $m>1$, $\beta<\tfrac{11+8\sqrt{2}}{28}(\approx 0.797)$ 且 $\alpha<m+3(m-1)$, 则对于任意正初值都存在局部有界的整体弱解. 此外, 对于任意的 $p>1$, 该解在任意的 $L^p$ 范数意义下关于时间是一致有界的. 对三维情形, 对于任意 $m>\tfrac{10}{9}$, $\beta<\tfrac{3+\sqrt{3}}{6}(\approx 0.789)$, $\alpha<\min\{\tfrac{32}{5}(m-1),\, m+3(m-\tfrac{10}{9})\}$, 该问题存在局部有界的整体弱解, 并且该弱解在 $L^p$ 范数意义下是一致有界的, 其中 $1<p<9(m-1)$. 作者也进一步证明当 $t\to\infty$ 时, 趋化信号 $v$ 一致趋于零.值得注意的是, 该文解的整体存在性结论不需要对初值和模型中的参数施加任何小性限制, 扩展了现有研究中依赖 "小初值" 或 "小参数" 的适用范围.

关键词： 奇异灵敏度; 局部有界整体解; 长时间行为

Abstract

In this paper, we investigate the global existence of solutions to the following consumptive Keller-Segel model with singular sensitivity and porous medium diffusion $$\begin{align*} \left\{ \begin{aligned} &u_t=\Delta u^m-\chi\nabla\cdot(\frac{u}{v^\beta}\nabla v), \\ &v_t=\Delta v-vu^{\alpha}. \end{aligned}\right. \end{align*}$$ In the two dimensional space, it is shown that for any $m>1$, $\beta<\frac{11+8\sqrt 2}{28}(\approx 0.797)$, $\alpha<m+3(m-1)$, there exists a locally bounded global weak solution for any positive initial datum, furthermore, the solution is uniformly bounded in the sense of $L^p$-norm for any $p>1$. In the three dimensional space, it is shown that for any $m>\frac{10}9$, $\beta<\frac{3+\sqrt 3}{6}(\approx 0.789)$, $\alpha<\min\{\frac{32}5(m-1), m+3( m-\frac{10}9)\}$, there exists a locally bounded global weak solution, and the weak solution is uniformly bounded in the sense of $L^p$-norm for any $1<p<9(m-1)$. In addition, for any such solution, we prove that $v$ goes to zero uniformly as $t\to\infty$. It is worth noting that the global existence conclusion of the solution in this paper does not require any smallness restrictions on the initial values and parameters, thus expanding the scope of applicability of existing studies that rely on small initial values or small parameters.

Keywords： singular sensitivity; local bounded global solution; long time behavior

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本文引用格式

金春花, 周浪豪. 具奇异灵敏度的 Keller-Segel 模型解的整体适定性——献给陈化教授 70 寿辰[J]. 数学物理学报, 2026, 46(2): 380-402

Jin Chunhua, Zhou Langhao. Global Well-Posedness of Keller-Segel Model with Singular Sensitivity[J]. Acta Mathematica Scientia, 2026, 46(2): 380-402

1 引言

本文考虑如下具有奇异灵敏度以及多孔介质扩散的消耗型 Keller-Segel 模型

$\begin{aligned} \label{1-1}\left\{ \begin{aligned} &u_t=\Delta u^m-\chi\nabla\cdot(\frac{u}{v^\beta}\nabla v), && (x,t)\in Q, \\ &v_t=\Delta v-vu^{\alpha}, && (x,t)\in Q, \\ &\left.\frac{\partial u^m}{\partial n}\right|_{\partial\Omega} =\left.\frac{\partial v}{\partial n}\right|_{\partial\Omega}=0,&& \\ & u(x,0)=u_0(x), v(x,0)=v_0(x), && x\in\Omega, \end{aligned}\right. \end{aligned}$

其中 $m>1$, $\beta>0$, $\alpha>0$, $Q=\Omega\times \mathbb R^+$, $\Omega\subset \mathbb R^N$ ($N=2, 3$) 是一个具有光滑边界的有界区域.

趋化性是一种重要的生物学现象, 它描述了生物个体由于外部刺激而产生的运动变化, 是细胞最基本的生理反应. 具有信号消耗和奇异灵敏度的趋化模型最早由 Keller 和 Segel 于 1971 年提出[8]

$\begin{aligned}\label{1-2} \left\{ \begin{aligned} &u_t=D_u\Delta u-\nabla\cdot(\frac{u}{v}\nabla v), \\ &v_t-D_v\Delta v=-f(u,v). \end{aligned}\right. \end{aligned}$

用于描述在著名的 Adler 实验[1]中发现的大肠杆菌由于趋化作用而形成的行波现象. 在该实验中, 大肠杆菌, 氧气, 葡萄糖等能量源被放置在一根一端封闭的毛细管的一端时, 由于细菌对于氧气和能量源的趋化作用, 大肠杆菌会沿着着氧气(或能量来源)的梯度方向朝着氧气浓度高的方向移动，实验者就观察到两个光斑以恒定速度运动. 为了刻画该现象, Keller 和 Segel[8] 提出了上述模型, 在该文中，作者也指出: 只有当奇异性足够强时才会有行波解. 同时, 他们也对于氧气不扩散, 即$D_v=0$ 的情形, 给出了行波解的解析表达式. 随后 Keller 和 Odell 将这一结果推广到具更一般消耗项的情形[6,7].而对于 $D_v>0$ 的情形,该模型的行波解也被更多的研究者广泛关注[14,15,19,20,22].

除了行波解问题, 模型 (1.2) 的一般初值或者初边值问题的解是否整体存在, 亦或是否会在有限时间内发生爆破, 也是一类被广泛关注的问题. 注意到该模型 (1.2) 中的化学信号一直处于被消耗状态, 这导致 $v$ 持续下降, 当 $v\to 0$ 时, 趋化项将会产生奇性, 这也是该问题的本质困难所在. 对 $f(u,v)=uv$ 的情形, liu, Lankeit[9,11] 等人证明, 一维情形是不会发生爆破的, 即对任意的初值, 解都整体存在；对二维情形, 则只能得到弱解或者小初值的整体强解, 如 Winkler[25] 在 2016 年研究了二维情形下广义解的整体存在性; Wang, Xiang, Liu 和 Winkler[17,23] 证明了二维情形下的弱解或者小初值问题整体强解的存在性及渐近稳定性. 对更高维的情形, Winkler[26] 建立了整体重整化径向对称解的整体存在性, 且该解在 $L^p(\Omega)$ 空间中 $v\to 0$; Lu 等[16]证明了三维小初值经典解的存在性. 若 $f(u,v)=uv^\alpha$, 模型 (1.2) 解的有限时刻爆破性质也在文献 [5] 中被验证. 另一方面, 对于以下具有非线性扩散项 $\Delta u^m$ 和奇异敏感性的趋化模型

$\begin{aligned}\label{1.3} \left\{ \begin{aligned} &u_t=\Delta u^m-\chi\nabla\cdot\left(\frac{u}{v}\nabla v\right),\\ &v_t-\Delta v=-uv, \end{aligned}\right. \end{aligned}$

在 $N\ge 2$ 的情形下, 若 $m>1+\frac N4$,局部有界弱解整体存在[10]. 简而言之, 对于模型 (1.3) 或者当 $m<1+\frac N4$ 时的模型 (1.2), 在二维或三维空间中, 要验证解是否总是存在 (有界或局部有界), 或者是否会在有限时间内发生爆破, 是非常困难的. 因此, 人们把注意力放到具有弱奇性的情形. 例如模型

$\begin{align*} \left\{ \begin{aligned} &u_t=\Delta u-\chi\nabla\cdot(\frac{u}{v^\gamma}\nabla v), \\ &v_t-\Delta v=-vu^\beta, \end{aligned}\right. \end{align*}$

其中 $0<\beta<1$, $0<\gamma<1$. 当初值满足 $\|v_0\|_{L^\infty}\chi^{\frac1{1-\gamma}}<1$ 时, Viglialoro[21] 证明存在局部有界的整体经典解. 另一方面, 若$\gamma=1$, $0<\chi<1$, 在小初值情况下, 二维空间中的经典解整体存在且一致有界[13].除此之外, logistic 源项对解的存在性和一致有界性也会产生 "好" 的作用, 详细的结果可参考文献 [3,11,12,27,28].

受以上工作启发，本文研究问题 (1.1) 弱解的整体存在性, 主要挑战在于缺乏 $v$ 的下界估计, 需要克服奇异性带来的困难.

我们首先通过构造泛函

$\int_{\Omega}\left(\frac{|\nabla v|^2}{v^r}+\frac 1p u^p\right){\rm d}x$

建立 $\frac{\nabla v}{v^\beta}$ 的 $L^4$-范数估计, 然后利用迭代技巧, 进一步提高解的正则性, 进而验证弱解的整体存在性. 更具体地, 在二维情形下, 我们证明了对于任意的 $m>1$, $\beta<\frac{11+8\sqrt 2}{28}(\approx 0.797)$, $\alpha<m+3(m-1)$, 问题 (1.1) 对任意的初值, 存在整体弱解, 并且该弱解在 $L^p$-范数意义 ($\forall$ $p>1$) 下是一致有界的. 在三维情形下, 我们证明了对于任意 $m>\frac{10}9$, $\beta<\frac{3+\sqrt 3}{6} (\approx 0.789)$, $\alpha<\min\{\frac{32}5(m-1), m+3( m-\frac{10}9)\}$, 问题 (1.1) 存在整体弱解, 并且该弱解在 $L^\infty$-范数意义下是局部有界的, 同时在 $L^p$-范数 ($\forall$ $1<p<9(m-1)$) 意义下是一致有界的. 值得一提的是, 这里的局部有界弱解是在不对初值和 $\chi$ 施加小性假设的条件下获得的. 此外, 对于任意的弱解, 我们证明在 $L^\infty(\Omega)$ 意义下 $v(\cdot, t)\to 0$.

在本文中, 我们给出如下假设

$\begin{align*} \qquad \left\{ \begin{aligned} & u_0\ge 0, v_0>0, \\ & u_0\in L^\infty(\Omega),\quad \nabla u_0^m\in L^2(\Omega),\quad v_0\in W^{1,\infty}(\Omega)\cap W^{2,p}(\Omega), \quad p>1, \\ &v_0^{-\frac{r^*}2}\nabla v_0\in L^2(\Omega), \quad r^*<1+\frac{2}{3+N+4\sqrt N}. \end{aligned}\right. \hspace {1cm} \end{align*}$

定理 1.1 假设条件 (H) 成立, 并且 $N=2$, $m>1$, $\beta<\frac{11+8\sqrt 2}{28}(\approx 0.797)$, $\alpha<m+3(m-1)$. 则问题 (1.1) 存在局部有界的整体弱解 $(u, v)\in \mathcal X_1 \times \mathcal X_2$, 且对任意的 $r\ge 0$, $0\le r^*<\frac{8\sqrt 2-3}{7}$, $p>1$ 有

$\begin{aligned} &\sup_{t>0}\int_\Omega\left(u^{r+1}+ |\nabla u^m|^2\right){\rm d}x+ \sup_{t>0}\int_t^{t+1}\int_\Omega \left(u^{r+m-2}|\nabla u|^2+u^{m-1}|u_t|^2\right){\rm d}x{\rm d}s \le C_r, \end{aligned}$
$\begin{aligned} &\sup_{t>0}\int_\Omega \frac{|\nabla v|^2}{v_\varepsilon^{r^*}}{\rm d}x+\sup_{t>0}\int_t^{t+1}\int_\Omega \left(\frac{|\nabla^2 v|^2}{v^{r^*}}+\frac{u^\alpha|\nabla v|^2}{v^{r^*}} +\frac{|\nabla v|^4}{v^{r^*+2}}\right){\rm d}x{\rm d}s\le C, \end{aligned}$
$\begin{aligned} &\sup_{t\in (0,+\infty)}\|v\|_{W^{1,\infty}}+\sup_{t\in (0,+\infty)}\|v\|_{W_p^{2,1}(Q_1(t))} \le C_p, \end{aligned}$

且对任意给定的 $T>0$, 有

$\begin{aligned} \label{1.7} \sup_{t<T}\left(\|1/v\|_{L^\infty}+\|u(\cdot, t)\|_{L^\infty}\right)\le C_T, \end{aligned}$

其中 $Q_1(t)=\Omega\times (t, t+1)$, $C_r$, $C_p$, $C$, $C_T$ 依赖于 $m, \chi, \beta, \alpha, u_0, v_0$, 此外, $C_r$ 依赖于 $r$, $C_p$ 依赖于 $p$, 而 $C_T$ 依赖于 $T$.

这里

$\begin{align*} &\mathcal X_1=\{u\ge 0;\ u\in L^\infty(Q_T),\ \nabla u^m\in L^\infty((0,T);\ L^2(\Omega)),\ u^{\frac{m-2}2}\nabla u,\ u^{\frac{m-1}2}u_t\in L^2(Q_T),\ T>0\}, \\ &\mathcal X_2=\{v\in W^{1,\infty}(Q_T)\cap W_p^{2,1}(Q_T);\ v>0,\ p>1,\ T>0\}. \end{align*}$

定理 1.2 假设条件 $(H)$ 成立, $N=3$, $m>\frac{10}9$, $\beta<\frac{3+\sqrt 3}{6}(\approx 0.789)$, $\alpha<\min\{\frac{32}5(m-1), 4m-\frac{10}3\}$. 则问题 (1.1) 存在局部有界的整体弱解 $(u, v)\in \mathcal X_1\times \mathcal X_2$.

特别地, $(u, v)$ 在如下意义下是一致有界的: 即对任意满足 $0\le r<9(m-1)-1$, $0\le r^*<\frac{2\sqrt 3}{3}$ 的 $r$ 和 $r^*$, 都存在常数 $C_r, C_{r^*}$, 使得

$\begin{aligned} \label{1.8} &\sup_{t>0}(\|u\|_{L^{r+1}}+\|v\|_{L^\infty})+ \sup_{t>0}\int_t^{t+1}\int_\Omega \left(u^{r+m-2}|\nabla u|^2+u^{r+m+\frac{2(r+1)}3}\right){\rm d}x{\rm d}s \le C_r, \end{aligned}$
$\begin{aligned} \label{1.9} &\sup_{t>0}\int_\Omega \frac{|\nabla v|^2}{v_\varepsilon^{r^*}}{\rm d}x+\sup_{t>0}\int_t^{t+1}\int_\Omega \left(\frac{|\nabla^2 v|^2}{v^{r^*}}+\frac{u^\alpha|\nabla v|^2}{v^{r^*}} +\frac{|\nabla v|^4}{v^{r^*+2}}\right){\rm d}x{\rm d}s\le C_{r^*}, \end{aligned}$
$\begin{aligned} \label{1.10} &\sup_{t>0}\int_\Omega |\nabla v|^{3.1}{\rm d}x+\sup_{t>0}\int_t^{t+1}\int_\Omega |\nabla v|^{5.1}{\rm d}x{\rm d}s\le C, \end{aligned}$

成立, 其中 $C_r$ 依赖于 $r$, $C_{r^*}$ 依赖于 $r^*$, 并且这些常数仅依赖于 $m, \chi, \beta, \alpha, u_0, v_0$.

基于上述两个定理所得到的整体解存在性, 我们得到了关于 $v$ 的如下大时间行为. 值得一提的是, 如果 $u_0\equiv 0$, 则容易得到 $u\equiv 0$, 并且 $v\to \frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega v_0 {\rm d}x$. 因此, 下面我们假设 $u_0\not\equiv 0$.

定理 1.3 假设 $u_0\not\equiv 0$. 令 $(u, v)$ 为定理 1.1 和定理 1.2 中得到的整体弱解.则有

$\lim_{t\to\infty}\|v\|_{L^\infty}=0.$

2 预备知识

首先, 我们考虑以下逼近问题

$\begin{aligned} \label{2.1}\left\{ \begin{aligned} &u_t=\Delta (u+\varepsilon)^m-\chi\nabla\cdot(\frac{u}{v^\beta+\varepsilon}\nabla v)-\varepsilon u^2, &&(x,t)\in Q, \\ &v_t=\Delta v-vu^{\alpha}, &&(x,t)\in Q, \\ &\left.\frac{\partial u}{\partial n}\right|_{\partial\Omega} =\left.\frac{\partial v}{\partial n}\right|_{\partial\Omega}=0, \\ & u(x,0)=u_{\varepsilon 0}(x),\ v(x,0)=v_{\varepsilon 0}(x), \quad &&x\in\Omega, \end{aligned}\right. \end{aligned}$

其中 $u_{\varepsilon 0}, v_{\varepsilon 0} \in C^{2+\beta}(\overline\Omega)$ 且对任意的 $p>1$ 满足

$\begin{align*} &\|u_{\varepsilon 0}\|_{L^\infty}+\|\nabla u_{{\varepsilon 0}}^m\|_{L^2}+\|v_{\varepsilon 0}\|_{W^{1,\infty}}+\|\nabla^2v_{\varepsilon 0}\|_{L^p}\\ \le& 2(\|u_0\|_{L^\infty}+\|\nabla u_{0}^m\|_{L^2}+\|v_0\|_{W^{1,\infty}}+\|\nabla^2v_0\|_{L^p}), \end{align*}$

另外, 我们假设 $v_{\varepsilon 0}\ge v_0$ 且 $v_{\varepsilon 0}$ 一致收敛到 $v_0$, 对任意的 $p>1$, $u_{\varepsilon 0}$ 在 $L^p$ 意义下收敛到 $u_0$.

我们注意到, 当 $\alpha\in(0,1)$ 时, 有 $|u^\alpha-v^\alpha|\le |u-v|^\alpha$,

因此 $u\in C^{\beta, \beta/2}(Q_T)$ 意味着 $u^\alpha\in C^{\alpha\beta, \alpha\beta/2}(Q_T)$.

另外, 在逼近问题中, 我们利用正则化逼近技巧去掉了 $v$ 的奇性, 因此类似于消耗型趋化模型的研究, 参见文献 [4,24], 问题 (2.1) 在二维和三维情形下对任意 $m>1$ 都存在唯一局部经典解. 特别地, 当 $\alpha\in (0, 1]$ 时, 该经典解整体存在. 尽管上述文献中只是证明了 $\alpha=1$ 的情形, 事实上, 该结论对于 $\alpha\in (0, 1]$ 时也是正确的.

引理2.1 假设 $u_{\varepsilon 0}$, $v_{\varepsilon 0}\in C^{2+\beta}(\overline\Omega)$. 则存在 $T_{\max}\in(0, +\infty]$ 使得问题 (2.1) 存在唯一经典解 $(u_\varepsilon, v_\varepsilon)\in C^{2+\beta, 1+\beta/2}(\Omega \times(0, T_{\max}))\cap C(\overline\Omega \times[0, T_{\max}))$, 使得

$\begin{equation} u_\varepsilon> 0, \quad v_\varepsilon>0, \ \ (x, t)\in \Omega\times (0, T_{\max}), \end{equation}$

此外满足以下性质: 要么 $T_{\max} = \infty$, 要么

$\limsup_{t\nearrow T_{\max}}\left(\|u_\varepsilon(\cdot, t)\|_{L^\infty}+\|v_\varepsilon\|_{W^{1,\infty}}\right)= \infty.$

事实上, 类似于文献 [4] 的证明, 当 $\alpha\le 1$ 时, 对任意的 $\varepsilon>0$, 经典解整体存在. 在下文中, 为了证明问题 (1.1) 解的整体存在性, 我们需要一些必要的能量估计. 为此, 我们引入如下引理.

由文献 [2,24], 可得如下两个引理.

引理 2.2 假设 $h\in C^2(\mathbb R)$, 则对任意在 $\partial\Omega$ 上满足 $\frac{\partial\varphi}{\partial n}=0$ 的 $\varphi\in C^2(\overline \Omega)$, 有

$\begin{align*} &\int_\Omega h'(\varphi)|\nabla\varphi|^2\Delta\varphi{\rm d}x+\frac23\int_\Omega h(\varphi)|\Delta\varphi|^2{\rm d}x\nonumber \\ =&\frac23\int_\Omega h(\varphi)|\nabla^2\varphi|^2{\rm d}x -\frac13\int_\Omega h"(\varphi)|\nabla\varphi|^4{\rm d}x-\frac13\int_{\partial\Omega} h(\varphi)\frac{\partial|\nabla\varphi|^2}{\partial n}{\rm d}s. \end{align*}$

引理 2.3 假设正函数 $h\in C^1(\mathbb R^+)$, 并令 $\theta(s)=\int_1^s\frac{1}{h(t)}{\rm d}t$ 其中 $s>0$. 若 $\varphi\in C^2(\overline \Omega)$ 满足 $\frac{\partial\varphi}{\partial n}\Big|_{\partial\Omega}=0$, 则

$\int_\Omega\frac{h'(\varphi)}{h^3(\varphi)}|\nabla \varphi|^4{\rm d}x\le (2+\sqrt N)^2\int_\Omega \frac{h(\varphi)}{h'(\varphi)}|\nabla^2\theta(\varphi)|^2{\rm d}x.$

由文献 [18] 可得如下引理.

引理2.4 假设 $\Omega$ 有界, 并且令 $\omega\in C^2(\overline\Omega)$ 满足 $\frac{\partial\omega}{\partial\nu}\Big|_{\partial\Omega}=0$. 则

$\frac{\partial|\nabla\omega|^2}{\partial\nu}\le 2\kappa|\nabla\omega|^2 \quad \text{在} \ \partial\Omega\text{ 上},$

其中 $\kappa>0$ 是 $\Omega$ 曲率的一个上界.

3 趋化信号的下界估计

由引理 2.1 可知, 逼近问题 (2.1) 存在局部经典解. 下面我们对问题 (2.1) 的解得到不依赖于 $\varepsilon$ 的一致先验估计. 令 $(u_\varepsilon, v_\varepsilon)$ 为问题 (2.1) 的局部经典解. 通过简单计算容易得到

$\begin{aligned} &\sup_{t>0}\|u_\varepsilon\|_{L^1}+\varepsilon\sup_{t>0}\int_t^{t+1}\|u_\varepsilon\|_{L^2}^2\le \|u_{\varepsilon 0}\|_{L^1}\le C, \end{aligned}$
$\begin{aligned} &\sup_{t>0}\|v_\varepsilon\|_{L^\infty}\le \|v_{\varepsilon 0}\|_{L^\infty}\le C. \end{aligned}$

接下来证明如下引理.

引理3.1 令 $(u_\varepsilon, v_\varepsilon)$ 是问题 (2.1) 在 $(0, T_{\max})$ 上的经典解. 则对任意的 $1<r<1+\frac{2}{3+N+4\sqrt N}$, 有

$\begin{align*} & \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega\frac{|\nabla v_\varepsilon|^2}{v_\varepsilon^r}{\rm d}x+\frac{2(r-1)}{2r-1}\int_\Omega \frac{|\Delta v_{\varepsilon}|^2}{v_{\varepsilon}^r}{\rm d}x \\ & +\frac{8r}{(2r-1)(r^2-1)}\left(\frac{r+1}{r-1}-(2+\sqrt N)^2\right)\int_\Omega v_{\varepsilon}|\nabla^2 v_{\varepsilon}^{\frac{1-r}2}|^2{\rm d}x \\ &\le 2\int_\Omega \frac{u_\varepsilon^\alpha\Delta v_{\varepsilon}}{v_\varepsilon^{r-1}}{\rm d}x -r\int_\Omega \frac{u_\varepsilon^\alpha|\nabla v_{\varepsilon}|^2}{v_\varepsilon^{r}}{\rm d}x +\frac{2\kappa r}{2r-1}\int_{\partial\Omega}v_{\varepsilon}^{-r}|\nabla v_{\varepsilon}|^2{\rm d}S, \\ &\text{或} \\ &\le -2\alpha\int_\Omega \frac{u_\varepsilon^{\alpha-1}\nabla v_{\varepsilon}\nabla u_{\varepsilon}}{v_\varepsilon^{r-1}}{\rm d}x -(2-r)\int_\Omega \frac{u_\varepsilon^\alpha|\nabla v_{\varepsilon}|^2}{v_\varepsilon^{r}}{\rm d}x +\frac{2\kappa r}{2r-1}\int_{\partial\Omega}v_{\varepsilon}^{-r}|\nabla v_{\varepsilon}|^2{\rm d}S. \end{align*}$

证 对任意的 $r>1$, 直接计算可得

$\begin{aligned} & \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega\frac{|\nabla v_\varepsilon|^2}{v_\varepsilon^r}{\rm d}x =2\int_\Omega\frac{\nabla v_\varepsilon}{v_\varepsilon^r}\nabla v_{\varepsilon t}{\rm d}x -r\int_\Omega\frac{|\nabla v_\varepsilon|^2}{v_\varepsilon^{r+1}}v_{\varepsilon t}{\rm d}x \nonumber \\ &=-\int_\Omega v_{\varepsilon t}\left(2\frac{\Delta v_{\varepsilon}}{v_{\varepsilon}^r} -2r\frac{|\nabla v_\varepsilon|^2}{v_\varepsilon^{r+1}}\right) -r\int_\Omega\frac{|\nabla v_\varepsilon|^2}{v_\varepsilon^{r+1}}v_{\varepsilon t}{\rm d}x \nonumber \\ &= \int_\Omega (-\Delta v_\varepsilon+v_\varepsilon u_\varepsilon^{\alpha})\left(2\frac{\Delta v_{\varepsilon}}{v_{\varepsilon}^r} -r\frac{|\nabla v_\varepsilon|^2}{v_\varepsilon^{r+1}}\right) \nonumber \\ &=-2\int_\Omega \frac{|\Delta v_{\varepsilon}|^2}{v_{\varepsilon}^r} +r\int_\Omega \frac{|\nabla v_\varepsilon|^2}{v_\varepsilon^{r+1}}\Delta v_{\varepsilon}{\rm d}x +2\int_\Omega \frac{u_\varepsilon^\alpha\Delta v_{\varepsilon}}{v_\varepsilon^{r-1}}{\rm d}x -r\int_\Omega \frac{u_\varepsilon^\alpha|\nabla v_{\varepsilon}|^2}{v_\varepsilon^{r}}{\rm d}x \\ &=-2\int_\Omega \frac{|\Delta v_{\varepsilon}|^2}{v_{\varepsilon}^r} +r\int_\Omega \frac{|\nabla v_\varepsilon|^2}{v_\varepsilon^{r+1}}\Delta v_{\varepsilon}{\rm d}x -2\alpha\int_\Omega \frac{u_\varepsilon^{\alpha-1}\nabla v_{\varepsilon}\nabla u_{\varepsilon}}{v_\varepsilon^{r-1}}{\rm d}x -(2-r)\int_\Omega \frac{u_\varepsilon^\alpha|\nabla v_{\varepsilon}|^2}{v_\varepsilon^{r}}{\rm d}x.\nonumber \end{aligned}$

注意到

$\begin{aligned} &\int_\Omega v_{\varepsilon}|\nabla^2 v_\varepsilon^{\frac{1-r}2}|^2{\rm d}x=\int_\Omega v_{\varepsilon}\left(\frac{1-r}2v_{\varepsilon}^{-\frac{1+r}2}\nabla^2 v_\varepsilon+\frac{r^2-1}4v_\varepsilon^{\frac{-(r+3)}2}\nabla v_\varepsilon\nabla v_\varepsilon\right)^2{\rm d}x\nonumber \\ =&\int_\Omega v_{\varepsilon}\left(\frac{(1-r)^2}4v_{\varepsilon}^{-r-1}|\nabla^2 v_\varepsilon|^2 +\frac{(r^2-1)^2}{16}v_{\varepsilon}^{-r-3}|\nabla v_\varepsilon|^4\right.\nonumber \\ &-\left.\frac{(r+1)(r-1)^2}4v_\varepsilon^{-r-2}\nabla v_\varepsilon\nabla^2 v_\varepsilon\nabla v_\varepsilon\right){\rm d}x \\ =&\int_\Omega \left(\frac{(1-r)^2}4v_{\varepsilon}^{-r}|\nabla^2 v_\varepsilon|^2 +\frac{(r^2-1)^2}{16}v_{\varepsilon}^{-r-2}|\nabla v_\varepsilon|^4-\frac{(r+1)(r-1)^2}8v_\varepsilon^{-r-1}\nabla v_\varepsilon\nabla |\nabla v_\varepsilon|^2\right){\rm d}x\nonumber \\ =&\int_\Omega \left(\frac{(1-r)^2}4v_{\varepsilon}^{-r}|\nabla^2 v_\varepsilon|^2-\frac{(r^2-1)^2}{16}v_{\varepsilon}^{-r-2}|\nabla v_\varepsilon|^4+\frac{(r+1)(r-1)^2}8v_\varepsilon^{-r-1} |\nabla v_\varepsilon|^2\Delta v_\varepsilon\right){\rm d}x,\nonumber \end{aligned}$

且由引理 2.2 可得

$\begin{aligned} \int_\Omega \frac{|\Delta v_{\varepsilon}|^2}{v_{\varepsilon}^{r}}{\rm d}x=&\int_\Omega \frac{|\nabla^2 v_{\varepsilon}|^2}{v_{\varepsilon}^{r}}{\rm d}x +\frac32r\int_\Omega \frac{|\nabla v_{\varepsilon}|^2\Delta v_{\varepsilon}}{v_{\varepsilon}^{r+1}}{\rm d}x\nonumber\\ &-\frac{r(r+1)}{2}\int_\Omega \frac{|\nabla v_\varepsilon|^4}{v_{\varepsilon}^{2+r}}{\rm d}x-\frac12\int_{\partial\Omega}v_{\varepsilon}^{-r}\frac{\partial |\nabla v_{\varepsilon}|^2}{\partial n}{\rm d}S. \end{aligned}$

结合 (3.4) 和 (3.5) 式, 可得对任意给定常数 $A>0$, 有

$\begin{align*} &-A\int_\Omega \frac{|\Delta v_{\varepsilon}|^2}{v_{\varepsilon}^r}{\rm d}x +r\int_\Omega \frac{|\nabla v_\varepsilon|^2}{v_\varepsilon^{r+1}}\Delta v_{\varepsilon}{\rm d}x \\ =&-A\int_\Omega \frac{|\nabla^2 v_{\varepsilon}|^2}{v_{\varepsilon}^{r}}{\rm d}x -\left(\frac{3Ar}2-r\right)\int_\Omega\frac{|\nabla v_{\varepsilon}|^2\Delta v_{\varepsilon}}{v_{\varepsilon}^{r+1}}{\rm d}x \\ &+\frac{Ar(r+1)}{2}\int_\Omega \frac{|\nabla v_\varepsilon|^4}{v_{\varepsilon}^{2+r}}{\rm d}x+\frac A2\int_{\partial\Omega}v_{\varepsilon}^{-r}\frac{\partial |\nabla v_{\varepsilon}|^2}{\partial n}{\rm d}S \\ =&-\frac{8r}{(r+1)(r-1)^2}\left(\frac{3A}2-1\right)\int_\Omega v_{\varepsilon}|\nabla^2 v_{\varepsilon}^{\frac{1-r}2}|^2{\rm d}x+ \frac{(2r-1)A-2r}{r+1}\int_\Omega \frac{|\nabla^2 v_{\varepsilon}|^2}{v_{\varepsilon}^{r}}{\rm d}x \\ &+\frac{r(r+1)}{2}\left(1-\frac{A}2\right)\int_\Omega \frac{|\nabla v_\varepsilon|^4}{v_{\varepsilon}^{2+r}}{\rm d}x +\frac A2\int_{\partial\Omega}v_{\varepsilon}^{-r}\frac{\partial |\nabla v_{\varepsilon}|^2}{\partial n}{\rm d}S. \end{align*}$

取 $A=\frac{2r}{2r-1}$, 则

$\begin{aligned} &-\frac{2r}{2r-1}\int_\Omega \frac{|\Delta v_{\varepsilon}|^2}{v_{\varepsilon}^r}{\rm d}x +r\int_\Omega \frac{|\nabla v_\varepsilon|^2}{v_\varepsilon^{r+1}}\Delta v_{\varepsilon}{\rm d}x \\ =&-\frac{8r}{(2r-1)(r-1)^2}\int_\Omega v_{\varepsilon}|\nabla^2 v_{\varepsilon}^{\frac{1-r}2}|^2{\rm d}x+\frac{r(r^2-1)}{2(2r-1)}\int_\Omega \frac{|\nabla v_\varepsilon|^4}{v_{\varepsilon}^{2+r}}{\rm d}x +\frac{r}{2r-1}\int_{\partial\Omega}v_{\varepsilon}^{-r}\frac{\partial |\nabla v_{\varepsilon}|^2}{\partial n}{\rm d}S.\nonumber \end{aligned}$

利用引理 2.3, 取 $h(v)=v^{\frac{r+1}2}$, 可得

$\begin{equation} \int_\Omega v_{\varepsilon}^{-2-r}|\nabla v_\varepsilon|^4{\rm d}x \le\frac{16(2+\sqrt N)^2}{(r^2-1)^2}\int_\Omega v_{\varepsilon}|\nabla^2 v_\varepsilon^{\frac{1-r}2}|^2{\rm d}x. \end{equation}$

结合 (3.6), (3.7) 式以及引理 2.4, 可推出

$\begin{aligned} &-\frac{2r}{2r-1}\int_\Omega \frac{|\Delta v_{\varepsilon}|^2}{v_{\varepsilon}^r} +r\int_\Omega \frac{|\nabla v_\varepsilon|^2}{v_\varepsilon^{r+1}}\Delta v_{\varepsilon}{\rm d}x \\ \le &-\frac{8r}{(2r-1)(r^2-1)}\left(\frac{r+1}{r-1}-(2+\sqrt N)^2\right)\int_\Omega v_{\varepsilon}|\nabla^2 v_{\varepsilon}^{\frac{1-r}2}|^2{\rm d}x +\frac{2\kappa r}{2r-1}\int_{\partial\Omega}v_{\varepsilon}^{-r}|\nabla v_{\varepsilon}|^2{\rm d}S.\nonumber \end{aligned}$

然后将 (3.8) 式代入 (3.3) 式, 可得

$\begin{aligned} &\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega\frac{|\nabla v_\varepsilon|^2}{v_\varepsilon^r}{\rm d}x+\frac{2(r-1)}{2r-1}\int_\Omega \frac{|\Delta v_{\varepsilon}|^2}{v_{\varepsilon}^r}{\rm d}x\nonumber\\ &+\frac{8r}{(2r-1)(r^2-1)}\left(\frac{r+1}{r-1}-(2+\sqrt N)^2\right)\int_\Omega v_{\varepsilon}|\nabla^2 v_{\varepsilon}^{\frac{1-r}2}|^2{\rm d}x \nonumber \\ \le& 2\int_\Omega \frac{u_\varepsilon^\alpha\Delta v_{\varepsilon}}{v_\varepsilon^{r-1}}{\rm d}x -r\int_\Omega \frac{u_\varepsilon^\alpha|\nabla v_{\varepsilon}|^2}{v_\varepsilon^{r}}{\rm d}x +\frac{2\kappa r}{2r-1}\int_{\partial\Omega}v_{\varepsilon}^{-r}|\nabla v_{\varepsilon}|^2{\rm d}S. \end{aligned}$

另外, 由于

$2\int_\Omega \frac{u_\varepsilon^\alpha\Delta v_{\varepsilon}}{v_\varepsilon^{r-1}}{\rm d}x -r\int_\Omega \frac{u_\varepsilon^\alpha|\nabla v_{\varepsilon}|^2}{v_\varepsilon^{r}}{\rm d}x =-2\alpha\int_\Omega \frac{u_\varepsilon^{\alpha-1}\nabla v_{\varepsilon}\nabla u_{\varepsilon}}{v_\varepsilon^{r-1}}{\rm d}x -(2-r)\int_\Omega \frac{u_\varepsilon^\alpha|\nabla v_{\varepsilon}|^2}{v_\varepsilon^{r}}{\rm d}x,$

也可得

$\begin{aligned} &\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega\frac{|\nabla v_\varepsilon|^2}{v_\varepsilon^r}{\rm d}x+\frac{2(r-1)}{2r-1}\int_\Omega \frac{|\Delta v_{\varepsilon}|^2}{v_{\varepsilon}^r}{\rm d}x\nonumber \\ &+\frac{8r}{(2r-1)(r^2-1)}\left(\frac{r+1}{r-1}-(2+\sqrt N)^2\right)\int_\Omega v_{\varepsilon}|\nabla^2 v_{\varepsilon}^{\frac{1-r}2}|^2{\rm d}x \nonumber \\ \le&-2\alpha\int_\Omega \frac{u_\varepsilon^{\alpha-1}\nabla v_{\varepsilon}\nabla u_{\varepsilon}}{v_\varepsilon^{r-1}}{\rm d}x -(2-r)\int_\Omega \frac{u_\varepsilon^\alpha|\nabla v_{\varepsilon}|^2}{v_\varepsilon^{r}}{\rm d}x +\frac{2\kappa r}{2r-1}\int_{\partial\Omega}v_{\varepsilon}^{-r}|\nabla v_{\varepsilon}|^2{\rm d}S. \end{aligned}$

结合 (3.9) 和 (3.10) 式, 该引理得证.

引理 3.2 令 $(u_\varepsilon, v_\varepsilon)$ 为问题 (2.1) 在 $(0, T_{\max})$ 上的经典解. 则

(i) 当 $m>\frac{4N-2}{3N}$ 时, 对于任意 $0<r<3m+\frac{2}N-4$ 和任意给定的小常数 $\eta>0$, 存在一个依赖于 $\eta$ 的常数 $C_{\eta}$, 使得

$\begin{aligned} &\frac1{r+1}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega u_{\varepsilon}^{r+1}{\rm d}x +\frac{mr}2\int_\Omega (u_{\varepsilon}+\varepsilon)^{m-1}u_{\varepsilon}^{r-1}|\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x +\varepsilon\int_\Omega u_{\varepsilon}^{r+2}{\rm d}x\nonumber\\ \le& \eta\int_\Omega \frac1{|v_{\varepsilon}^\beta+\varepsilon|^4}|\nabla v_{\varepsilon}|^4{\rm d}x+C_\eta; \end{aligned}$

(ii) 当 $m\ge \frac{4N-2}{3N}$ 时, 存在一个常数 $C$ 使得

$\begin{aligned} &\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega u_{\varepsilon}\ln u_{\varepsilon}{\rm d}x+\frac{m}2\int_\Omega \frac{(u_{\varepsilon}+\varepsilon)^{m-1}}{u_{\varepsilon}}|\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x +\varepsilon\int_\Omega u_{\varepsilon}^2(1+\ln u_{\varepsilon}){\rm d}x \nonumber \\ \label{3-13} \le& C\int_\Omega \frac1{|v_{\varepsilon}^\beta+\varepsilon|^4}|\nabla v_{\varepsilon}|^4{\rm d}x+C. \end{aligned}$

这里 $C$, $C_\eta$ 都与 $\varepsilon$ 无关.

证 (i) 在问题 (2.1) 的第一个方程两端同乘以 $u_{\varepsilon}^r$, 其中 $0<r<3m+\frac{2}N-4$ 且 $m>\frac{4N-2}{3N}$, 并在 $\Omega$ 上积分, 注意到 $2(2+r-m)<r+m+\frac{2}N$, 则有如下不等式

$\begin{aligned} & \frac1{r+1}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega u_{\varepsilon}^{r+1}{\rm d}x+mr\int_\Omega (u_{\varepsilon}+\varepsilon)^{m-1}u_{\varepsilon}^{r-1}|\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x+\varepsilon\int_\Omega u_{\varepsilon}^{r+2}{\rm d}x\nonumber \\ &= \chi\int_\Omega \frac{r u_{\varepsilon}^r}{v_{\varepsilon}^\beta+\varepsilon}\nabla v_{\varepsilon}\nabla u_{\varepsilon}{\rm d}x\nonumber \\ &\le \frac{mr}4\int_\Omega u_{\varepsilon}^{m+r-2}|\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x+C_{\eta_1}\int_\Omega u_{\varepsilon}^{2(2+r-m)}{\rm d}x+\eta_1\int_\Omega \frac1{|v_{\varepsilon}^\beta+\varepsilon|^4}|\nabla v_{\varepsilon}|^4{\rm d}x\nonumber \\ &\le \frac{mr}4\int_\Omega u_{\varepsilon}^{m+r-2}|\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x+\eta_2\int_\Omega u_{\varepsilon}^{r+m+\frac2N}{\rm d}x +\eta_1\int_\Omega \frac1{|v_{\varepsilon}^\beta+\varepsilon|^4}|\nabla v_{\varepsilon}|^4{\rm d}x+C_{\eta_1, \eta_2}; \end{aligned}$

其中, $\eta_1, \eta_2>0$ 是任意小的正常数, $C_{\eta_1, \eta_2}$ 依赖于 $\eta_1, \eta_2$.根据 Gagliardo-Nirenberg 插值不等式, 对于任意的 $r\ge 0$, 有

$\begin{aligned} \|u_\varepsilon\|_{L^{r+m+\frac{2}N}}^{r+m+\frac{2}N}& =\|u_\varepsilon^{\frac{m+r}2}\|_{L^{\frac{2(r+m+\frac{2}N)}{m+r}}}^{\frac{2(r+m+\frac{2}N)}{m+r}} \le C_1\|u_\varepsilon^{\frac{m+r}{2}}\|_{L^{\frac{2}{m+r}}}^{\frac{4}{N(m+r)}} \|\nabla u_\varepsilon^{\frac{m+r}{2}}\|_{L^2}^2+C_2\|u_\varepsilon\|_{L^1}^{r+m+\frac{2}N}\nonumber \\ &\le C_1 \|u_\varepsilon\|_{L^1}^{\frac{2}{N}}\|\nabla u_\varepsilon^{\frac{m+r}{2}}\|_{L^2}^2+C_2\|u_\varepsilon\|_{L^1}^{r+m+\frac{2}N}\nonumber \\ &\le C_3 \|\nabla u_\varepsilon^{\frac{m+r}{2}}\|_{L^2}^2+C_4. \end{aligned}$

于是当 $\eta_2$ 取足够小的时候, 可以得到

$\begin{aligned} &\eta_2\int_\Omega u_{\varepsilon}^{r+m+\frac2N}{\rm d}x\le \frac{mr}4\int_\Omega u_{\varepsilon}^{m+r-2}|\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x+C. \end{aligned}$

结合 (3.13) 和 (3.15) 式, (3.11) 式得证.

(ii) 当 $m\ge \frac{4N-2}{3N}$ 时, 在问题 (2.1) 的第一个方程两端同乘以 $1+\ln u_{\varepsilon}$, 并在 $\Omega$ 上积分, 再结合 (3.14) 式, 可得

$\begin{align*} & \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega u_{\varepsilon}\ln u_{\varepsilon}{\rm d}x+m\int_\Omega\frac{(u _{\varepsilon}+\varepsilon)^{m-1}}{u_{\varepsilon}}|\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x+\varepsilon\int_\Omega u_{\varepsilon}^2(1+\ln u_{\varepsilon}){\rm d}x \\ &=\chi\int_\Omega \frac{1}{v_{\varepsilon}^\beta+\varepsilon}\nabla v_{\varepsilon}\nabla u_{\varepsilon}{\rm d}x \\ &\le \frac{m}4\int_\Omega u_{\varepsilon}^{m-2}|\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x+\tilde\eta_1\int_\Omega u_{\varepsilon}^{2(2-m)}{\rm d}x+C\int_\Omega \frac1{|v_{\varepsilon}^\beta+\varepsilon|^4}|\nabla v_{\varepsilon}|^4{\rm d}x \\ &\le \frac{m}4\int_\Omega u_{\varepsilon}^{m-2}|\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x+\tilde\eta_1\int_\Omega u_{\varepsilon}^{m+\frac2N}{\rm d}x+C\int_\Omega \frac1{|v_{\varepsilon}^\beta+\varepsilon|^4}|\nabla v_{\varepsilon}|^4{\rm d}x+C \\ &\le \frac{m}2\int_\Omega u_{\varepsilon}^{m-2}|\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x+C\int_\Omega \frac1{|v_{\varepsilon}^\beta+\varepsilon|^4}|\nabla v_{\varepsilon}|^4{\rm d}x+C. \end{align*}$

注意到 $\frac{(u _{\varepsilon}+\varepsilon)^{m-1}}{u_{\varepsilon}}|\nabla u_{\varepsilon}|^2\ge u_{\varepsilon}^{m-2}|\nabla u_{\varepsilon}|^2$, (3.12) 式得证.

在进行下一步计算之前, 先证明如下一个较为简单的结果.

引理 3.3 令 $(u_\varepsilon, v_\varepsilon)$ 为问题 (2.1) 在 $(0, T_{\max})$ 上的经典解, 记 $\tau=\min\{1, \frac{T_{\max}}2\}$. 则当 $1<m<2$ 时, 对任意小常数 $\eta>0$, 有

$\begin{aligned} \sup_{t\in(\tau, T_{\max})}\int_{t-\tau}^{t}\int_\Omega (u_{\varepsilon}+\varepsilon)^{m-1}u_{\varepsilon}^{m-3}|\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x{\rm d}s \le \eta\sup_{t\in(\tau, T_{\max})}\int_{t-\tau}^{t}\int_\Omega\frac{1}{|v_{\varepsilon}^\beta+\varepsilon|^4}|\nabla v_{\varepsilon}|^4{\rm d}x{\rm d}s+C, \end{aligned}$

其中 $C$ 与 $\varepsilon$ 无关.

证 在问题 (2.1) 的第一个方程两端同乘以 $-u_{\varepsilon}^{m-2}$, 并在 $\Omega$ 上积分, 可得

$\begin{align*} & -\frac1{m-1}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega u_{\varepsilon}^{m-1}{\rm d}x +m(2-m)\int_\Omega (u_{\varepsilon}+\varepsilon)^{m-1}u_{\varepsilon}^{m-3}|\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x \\ &=-\chi(2-m)\int_\Omega \frac{ u_{\varepsilon}^{m-2}}{v_{\varepsilon}^\beta+\varepsilon}\nabla v_{\varepsilon}\nabla u_{\varepsilon}{\rm d}x +\varepsilon\int_\Omega u_{\varepsilon}^m dx \\ &\le \frac{(2-m)m}2\int_\Omega u_{\varepsilon}^{2m-4}|\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x +C\int_\Omega\frac{1}{|v_{\varepsilon}^\beta+\varepsilon|^2}|\nabla v_{\varepsilon}|^2{\rm d}x +\varepsilon\int_\Omega u_{\varepsilon}^2{\rm d}x+C\varepsilon \\ &\le \frac{(2-m)m}2\int_\Omega u_{\varepsilon}^{2m-4}|\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x +\eta\int_\Omega\frac{1}{|v_{\varepsilon}^\beta+\varepsilon|^4}|\nabla v_{\varepsilon}|^4{\rm d}x +\varepsilon\int_\Omega u_{\varepsilon}^2{\rm d}x+C \end{align*}$

其中, $\eta$ 是任意小的正常数.注意到 $(u_{\varepsilon}+\varepsilon)^{m-1}u_{\varepsilon}^{m-3}|\nabla u_{\varepsilon}|^2 \ge u_{\varepsilon}^{2m-4}|\nabla u_{\varepsilon}|^2$, 利用 (3.1) 式, 对上式直接积分, 则不等式 (3.16) 得证.

利用以上三个引理, 可以证明如下结果.

引理 3.4 假设 $m>\frac{4N-2}{3N}$, $\beta<\frac{3}4+\frac{1}{2(3+N+4\sqrt N)}$, $\alpha<4(m-1)+\frac{2}N$. 令 $(u_\varepsilon, v_\varepsilon)$ 为 (2.1) 式在 $(0, T_{\max})$ 上的经典解. 则对任意满足 $0\le r^*<1+\frac{2}{3+N+4\sqrt N}$, $m-2\le p^*<3m+\frac{2}N-4$ 的 $r^*$ 和 $p^*$, 都有

$\begin{aligned} &\sup_{t\in(0, T_{\max})}\int_\Omega\left(u_{\varepsilon}^{p^*+1}+\frac{|\nabla v_\varepsilon|^2}{v_\varepsilon^{r^*}}\right){\rm d}x +\sup_{t\in(\tau, T_{\max})}\int_{t-\tau}^{t}\int_\Omega \left(u_{\varepsilon}^{m+p^*+\frac2N}+\frac1{v_{\varepsilon}^{2+r^*}}|\nabla v_{\varepsilon}|^4\right){\rm d}x{\rm d}s\nonumber \\ &+\sup_{t\in(\tau, T_{\max})}\int_{t-\tau}^{t}\int_\Omega \left(\frac{|\nabla^2 v_{\varepsilon}|^2}{v_{\varepsilon}^{r^*}}+\frac{u_\varepsilon^\alpha|\nabla v_{\varepsilon}|^2}{v_\varepsilon^{r^*}}+(u_{\varepsilon}+\varepsilon)^{m-1}u_{\varepsilon}^{p^*-1}|\nabla u_{\varepsilon}|^2\right){\rm d}x{\rm d}s\le C, \end{aligned}$

其中 $\tau$ 与引理 3.3 中定义相同, $C$ 是不依赖于 $\varepsilon$ 的正常数.

证 回顾引理 3.1, 利用边界迹嵌入定理和 (3.7) 式, 并利用 $1<r<1+\frac{2}{3+N+4\sqrt N}$, 得到对任意小的常数 $\eta>0$, 有

$\begin{aligned} \frac{2\kappa r}{2r-1}\int_{\partial\Omega}v_{\varepsilon}^{-r}|\nabla v_{\varepsilon}|^2{\rm d}S&=\frac{8\kappa r}{(2r-1)(1-r)^2}\int_{\partial\Omega}v_{\varepsilon}|\nabla v_{\varepsilon}^{\frac{1-r}2}|^2{\rm d}S\nonumber \\ & \le \eta\int_{\Omega}|\nabla (v_{\varepsilon}^{\frac12}\nabla v_{\varepsilon}^{\frac{1-r}2})|^2{\rm d}x+C_{\eta} \int_{\Omega}v_{\varepsilon}^{-r}|\nabla v_{\varepsilon}|^2{\rm d}x\nonumber \\ &= \eta\int_{\Omega}\left|v_{\varepsilon}^{\frac12}\nabla^2 v_{\varepsilon}^{\frac{1-r}2}+\frac{1-r}{4}v_{\varepsilon}^{\frac{-2-r}2}|\nabla v_{\varepsilon}|^2\right|^2{\rm d}x+C_{\eta} \int_{\Omega}v_{\varepsilon}^{-r}|\nabla v_{\varepsilon}|^2{\rm d}x\nonumber \\ &\le C_1\eta\int_{\Omega}\left(v_{\varepsilon}\left|\nabla^2 v_{\varepsilon}^{\frac{1-r}2}\right|^2 \!+\!v_{\varepsilon}^{-2-r}|\nabla v_{\varepsilon}|^4\right){\rm d}x\!+\!\eta \int_{\Omega}v_{\varepsilon}^{-2-r}|\nabla v_{\varepsilon}|^4{\rm d}x\!+\!\tilde C_{\eta}\nonumber \\ \label{3-18} &\le C_2\eta\int_{\Omega}v_{\varepsilon}\left|\nabla^2 v_{\varepsilon}^{\frac{1-r}2}\right|^2+\tilde C_{\eta}, \end{aligned}$

其中常数 $C_{\eta}$, $\tilde C_{\eta}$ 依赖于 $\eta$.

我们首先考虑 $\alpha<2(m-1)+\frac{2}N$ 的情形.

由引理 3.1, 并结合 (3.18) 式, 可得

$\begin{align*} &\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega\frac{|\nabla v_\varepsilon|^2}{v_\varepsilon^r}{\rm d}x+\frac{2(r-1)}{2r-1}\int_\Omega \frac{|\Delta v_{\varepsilon}|^2}{v_{\varepsilon}^r}{\rm d}x\\ &+\frac{8r}{(2r-1)(r^2-1)}\left(\frac{r+1}{r-1}-(2+\sqrt N)\right)\int_\Omega v_{\varepsilon}|\nabla^2 v_{\varepsilon}^{\frac{1-r}2}|^2{\rm d}x \\ \le& 2\int_\Omega \frac{u_\varepsilon^\alpha\Delta v_{\varepsilon}}{v_\varepsilon^{r-1}}{\rm d}x -r\int_\Omega \frac{u_\varepsilon^\alpha|\nabla v_{\varepsilon}|^2}{v_\varepsilon^{r}}{\rm d}x +\frac{2\kappa r}{2r-1}\int_{\partial\Omega}v_{\varepsilon}^{-r}|\nabla v_{\varepsilon}|^2{\rm d}S \\ \le& \frac{r-1}{2r-1}\int_\Omega \frac{|\Delta v_{\varepsilon}|^2}{v_{\varepsilon}^r}{\rm d}x+ C\int_\Omega v_{\varepsilon}^{2-r}u_\varepsilon^{2\alpha}{\rm d}x-r\int_\Omega \frac{u_\varepsilon^\alpha|\nabla v_{\varepsilon}|^2}{v_\varepsilon^{r}}{\rm d}x +C_2\eta\int_{\Omega}v_{\varepsilon}\left|\nabla^2 v_{\varepsilon}^{\frac{1-r}2}\right|^2+\tilde C_{\eta} \\ \le& \frac{r-1}{2r-1}\int_\Omega \frac{|\Delta v_{\varepsilon}|^2}{v_{\varepsilon}^r}{\rm d}x+ C\int_\Omega u_\varepsilon^{2\alpha}{\rm d}x-r\int_\Omega \frac{u_\varepsilon^\alpha|\nabla v_{\varepsilon}|^2}{v_\varepsilon^{r}}{\rm d}x +C_2\eta\int_{\Omega}v_{\varepsilon}\left|\nabla^2 v_{\varepsilon}^{\frac{1-r}2}\right|^2+\tilde C_{\eta}. \end{align*}$

注意到当 $1<r<1+\frac{2}{3+N+4\sqrt N}$ 时, 有 $\frac{r+1}{r-1}-(2+\sqrt N)^2>0$, 此时不妨令 $C_2\eta=\frac{2r}{(2r-1)(r^2-1)}\left(\frac{r+1}{r-1}-(2+\sqrt N)^2\right),$

则

$\begin{aligned} &\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega\frac{|\nabla v_\varepsilon|^2}{v_\varepsilon^r}{\rm d}x+\frac{r-1}{2r-1}\int_\Omega \frac{|\Delta v_{\varepsilon}|^2}{v_{\varepsilon}^r}{\rm d}x +r\int_\Omega \frac{u_\varepsilon^\alpha|\nabla v_{\varepsilon}|^2}{v_\varepsilon^{r}}{\rm d}x\nonumber \\ &+\frac{6r}{(2r-1)(r^2-1)}\left(\frac{r+1}{r-1}-(2+\sqrt N)^2\right)\int_\Omega v_{\varepsilon}|\nabla^2 v_{\varepsilon}^{\frac{1-r}2}|^2{\rm d}x\nonumber \\ \label{3-19} \le& C\int_\Omega u_\varepsilon^{2\alpha}{\rm d}x+C. \end{aligned}$

此外在 (3.11) 式中取 $r=p^*$, 其中 $p^*$ 满足 $(2\alpha-m-\frac 2N)_+<p^*<3m+\frac{2}N-4$;在 (3.19) 式中取 $r=r^*$, 其中 $max\{(4\beta-2)_+, 1\}< r^*<1+\frac{2}{3+N+4\sqrt N}$, 并结合这两个不等式, 得到

$\begin{align*} &\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega\left(\frac1{p^*+1}u_{\varepsilon}^{p^*+1}+\frac{|\nabla v_\varepsilon|^2}{v_\varepsilon^{r^*}}\right){\rm d}x +\frac{r^*-1}{2r^*-1}\int_\Omega \frac{|\Delta v_{\varepsilon}|^2}{v_{\varepsilon}^{r^*}}{\rm d}x \\ &+\frac{mp^*}2\int_\Omega (u_{\varepsilon}+\varepsilon)^{m-1}u_{\varepsilon}^{p^*-1}|\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x +r^*\int_\Omega \frac{u_\varepsilon^\alpha|\nabla v_{\varepsilon}|^2}{v_\varepsilon^{r^*}}{\rm d}x \\ &+\frac{6r^*}{(2r^*-1)({r^*}^2-1)}\left(\frac{r^*+1}{r^*-1}-(2+\sqrt N)^2\right)\int_\Omega v_{\varepsilon}|\nabla^2 v_{\varepsilon}^{\frac{1-r^*}2}|^2{\rm d}x +\varepsilon\int_\Omega u_{\varepsilon}^{p^*+2}{\rm d}x \\ \le& \eta\int_\Omega \frac1{|v_{\varepsilon}^\beta+\varepsilon|^4}|\nabla v_{\varepsilon}|^4{\rm d}x +C\int_\Omega u_\varepsilon^{2\alpha}{\rm d}x+\tilde C_\eta \\ \le& C\eta\int_\Omega \frac1{v_{\varepsilon}^{2+r^*}}|\nabla v_{\varepsilon}|^4{\rm d}x +\eta\int_\Omega u_\varepsilon^{m+p^*+\frac 2N}{\rm d}x +\hat C_\eta. \end{align*}$

由 (3.7) 和 (3.14) 式, 注意到 $(u_{\varepsilon}+\varepsilon)^{m-1}u_{\varepsilon}^{p^*-1} > u_{\varepsilon}^{m+p^*-2}$,并在上述不等式中取 $\eta$ 足够小, 得到

$\begin{aligned} &\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega\left(\frac1{p^*+1}u_{\varepsilon}^{p^*+1}+\frac{|\nabla v_\varepsilon|^2}{v_\varepsilon^{r^*}}\right){\rm d}x +\frac{r^*-1}{2r^*-1}\int_\Omega \frac{|\Delta v_{\varepsilon}|^2}{v_{\varepsilon}^{r^*}}{\rm d}x +r^*\int_\Omega \frac{u_\varepsilon^\alpha|\nabla v_{\varepsilon}|^2}{v_\varepsilon^{r^*}}{\rm d}x\nonumber \\ &+\frac{mp^*}4\int_\Omega (u_{\varepsilon}+\varepsilon)^{m-1}u_{\varepsilon}^{p^*-1}|\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x +\sigma_1 \int_\Omega u_{\varepsilon}^{m+p^*+\frac2N}{\rm d}x +\sigma_2\int_\Omega \frac1{v_{\varepsilon}^{2+r^*}}|\nabla v_{\varepsilon}|^4{\rm d}x\nonumber \\ &+\frac{4r^*}{(2r^*-1)({r^*}^2-1)}\left(\frac{r^*+1}{r^*-1}-(2+\sqrt N)\right)\int_\Omega v_{\varepsilon}|\nabla^2 v_{\varepsilon}^{\frac{1-r^*}2}|^2{\rm d}x \le C. \end{aligned}$

这意味着对于任意 $p^*\in \big((2\alpha-m-\frac 2N)_+, 3m+\frac{2}N-4\big)$, 不等式 (3.17) 成立. 结合 (3.1) 和 (3.16) 式, 也得到对于任意 $p^*\in \big[m-2, 3m+\frac{2}N-4\big)$, 不等式 (3.17) 成立.

当 $2(m-1)+\frac{2}N\le \alpha <4(m-1)+\frac{2}N$ 时, 在引理 3.1 中, 取 $r=r^*$, 其中 $r^*$ 满足 $\max\{(4\beta-2)_+, 1\}< r^*<1+\frac{2}{3+N+4\sqrt N}$, 结合 (3.18) 式, 则对于任意的 $p\in \big((\alpha-m)_+, 3m+\frac2N-4\Big)$, 有

$\begin{align*} &\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega\frac{|\nabla v_\varepsilon|^2}{v_\varepsilon^{r^*}}{\rm d}x+\frac{2(r^*-1)}{2r^*-1}\int_\Omega \frac{|\Delta v_{\varepsilon}|^2}{v_{\varepsilon}^{r^*}}{\rm d}x \\ &+\frac{6r^*}{(2r^*-1)(r^{*2}-1)}\left(\frac{r^*+1}{r^*-1}-(2+\sqrt N)^2\right)\int_\Omega v_{\varepsilon}|\nabla^2 v_{\varepsilon}^{\frac{1-r^*}2}|^2{\rm d}x \\ \le& -2\alpha\int_\Omega \frac{u_\varepsilon^{\alpha-1}\nabla v_{\varepsilon}\nabla u_{\varepsilon}}{v_\varepsilon^{r^*-1}}{\rm d}x -(2-r^*)\int_\Omega \frac{u_\varepsilon^\alpha|\nabla v_{\varepsilon}|^2}{v_\varepsilon^{r^*}}{\rm d}x+C \\ \le& C\int_\Omega u_\varepsilon^{\alpha-2}|\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x -\frac{2-r^*}2\int_\Omega \frac{u_\varepsilon^\alpha|\nabla v_{\varepsilon}|^2}{v_\varepsilon^{r^*}}{\rm d}x +C \\ \le& \frac{mp}4\int_\Omega u_\varepsilon^{m+p-2}|\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x+ C\int_\Omega u_\varepsilon^{2m-4}|\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x -\frac{2-r^*}2\int_\Omega \frac{u_\varepsilon^\alpha|\nabla v_{\varepsilon}|^2}{v_\varepsilon^{r^*}}{\rm d}x +C. \end{align*}$

结合 (3.11) 式并使用 (3.7) 式, 得到

$\begin{align*} & \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega\left(\frac{|\nabla v_\varepsilon|^2}{v_\varepsilon^{r^*}}+\frac1{p+1}u_{\varepsilon}^{p+1}\right){\rm d}x+\frac{p}4\int_\Omega (u_{\varepsilon}+\varepsilon)^{m-1}u_{\varepsilon}^{p-1}|\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x +\frac{2(r^*-1)}{2r^*-1}\int_\Omega \frac{|\Delta v_{\varepsilon}|^2}{v_{\varepsilon}^{r^*}}{\rm d}x \\ & +\frac{6r^*}{(2r^*-1)(r^{*2}-1)}\left(\frac{r^*+1}{r^*-1}-(2+\sqrt N)^2\right)\int_\Omega v_{\varepsilon}|\nabla^2 v_{\varepsilon}^{\frac{1-r^*}2}|^2{\rm d}x +\frac{2-r^*}2\int_\Omega \frac{u_\varepsilon^\alpha|\nabla v_{\varepsilon}|^2}{v_\varepsilon^{r^*}}{\rm d}x \\ &\le C\int_\Omega u_\varepsilon^{2m-4}|\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x+ \eta\int_\Omega \frac1{|v_{\varepsilon}^\beta+\varepsilon|^4}|\nabla v_{\varepsilon}|^4{\rm d}x +C \\ &\le C\int_\Omega u_\varepsilon^{2m-4}|\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x+ C\eta\int_\Omega \frac1{v_{\varepsilon}^{r^*+2}}|\nabla v_{\varepsilon}|^4{\rm d}x +C \\ &\le C\int_\Omega u_\varepsilon^{2m-4}|\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x +\frac{2r^*}{(2r^*-1)(r^{*2}-1)}\left(\frac{r^*+1}{r^*-1}-(2+\sqrt N)^2\right)\int_\Omega v_{\varepsilon}|\nabla^2 v_{\varepsilon}^{\frac{1-r^*}2}|^2{\rm d}x +C. \end{align*}$

根据上述不等式, 我们得出，对任意的 $p\in\big((\alpha-m)_+, 3m+\frac2N-4\big)$, $ r^*\in\big(\max\{(4\beta-2)_+, 1\}, 1+\frac{2}{3+N+4\sqrt N}\big)$,

$\begin{aligned} &\sup_{t\in(0, T_{\max})}\int_\Omega\left(u_{\varepsilon}^{p+1}+\frac{|\nabla v_\varepsilon|^2}{v_\varepsilon^{r^*}}\right){\rm d}x\nonumber \\ &+\sup_{t\in(\tau, T_{\max})}\int_{t-\tau}^{t}\int_\Omega \left(\frac{|\Delta v_{\varepsilon}|^2}{v_{\varepsilon}^{r^*}}+\frac{u_\varepsilon^\alpha|\nabla v_{\varepsilon}|^2}{v_\varepsilon^{r^*}}+(u_{\varepsilon}+\varepsilon)^{m-1}u_{\varepsilon}^{p-1}|\nabla u_{\varepsilon}|^2\right){\rm d}x{\rm d}s\nonumber \\ \label{3-21} &+\sup_{t\in(\tau, T_{\max})}\int_{t-\tau}^{t}\int_\Omega \left(v_{\varepsilon}|\nabla^2 v_{\varepsilon}^{\frac{1-r^*}2}|^2 +u_{\varepsilon}^{m+p+\frac2N}+\frac1{v_{\varepsilon}^{2+r^*}}|\nabla v_{\varepsilon}|^4\right){\rm d}x{\rm d}s\le C \end{aligned}$

结合 (3.1) 和 (3.16) 式, 则 (3.21) 式对于任意的 $p\in[m-2, 3m+\frac{2}N-4)$ 都成立. 另一方面, 利用 (3.4) 式, 可得

$\begin{align*} \int_\Omega v_{\varepsilon}^{-r^*}|\nabla^2 v_\varepsilon|^2 =&\frac4{(r^*-1)^2}\int_\Omega v_{\varepsilon}|\nabla^2 v_\varepsilon^{\frac{1-r^*}2}|^2{\rm d}x +\frac{(r^*+1)^2}{4}\int_\Omega\frac{|\nabla v_\varepsilon|^4}{v_{\varepsilon}^{r^*+2}}{\rm d}x \\ &-\frac{r^*+1}2\int_\Omega v_\varepsilon^{-r^*-1} |\nabla v_\varepsilon|^2\Delta v_\varepsilon{\rm d}x, \end{align*}$

则进一步得到

$\int_{t-\tau}^{t}\int_\Omega\frac{|\nabla^2 v_{\varepsilon}|^2}{v_{\varepsilon}^{r^*}}{\rm d}x{\rm d}s \le C\int_{t-\tau}^{t}\int_\Omega \left(v_{\varepsilon}|\nabla^2 v_{\varepsilon}^{\frac{1-r^*}2}|^2 +\frac1{v_{\varepsilon}^{2+r^*}}|\nabla v_{\varepsilon}|^4+ \frac{|\Delta v_{\varepsilon}|^2}{v_{\varepsilon}^{r^*}}\right){\rm d}x{\rm d}s.$

结合 (3.21) 式, 我们得到 (3.17) 式对于任意的 $p\in\big(m-2, 3m+\frac2N-4\big)$, $ r^*\in\big(\max\{(4\beta-2)_+, 1\}, 1+\frac{2}{3+N+4\sqrt N}\big)$ 成立. 利用 (3.2) 式, 则 (3.17) 式对任意 $0\le r^*<1+\frac{2}{3+N+4\sqrt N}$ 成立.

接下来, 使用迭代技巧改善解的正则性. 先证明如下引理.

引理 3.5 假设 $m>\frac{4N-2}{3N}$, $\beta<\frac{3}4+\frac{1}{2(3+N+4\sqrt N)}$, $\alpha<4(m-1)+\frac{2}N$. 令 $(u_\varepsilon, v_\varepsilon)$ 为问题 (2.1) 在 $(0, T_{\max})$ 的经典解.若存在 $A>1$ 满足

$\sup_{t\in(0, T_{\max})}\|u_\varepsilon(\cdot, t)\|_{L^A}\le C,$

则存在常数 $\tilde C$ 使得

$\begin{aligned}\label{3.22} &\sup_{t\in(0, T_{\max})}\int_\Omega u_{\varepsilon}^{3(m-1)+\frac{2A}N}{\rm d}x +\sup_{t\in(\tau, T_{\max})}\int_{t-\tau}^{t}\int_\Omega u_{\varepsilon}^{3m-5+\frac{2A}N}(u_{\varepsilon}+\varepsilon)^{m-1}|\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x{\rm d}s \le \tilde C \end{aligned}$

成立, 其中 $C$ 和 $\tilde C$ 与 $\varepsilon$ 无关.

证 在问题 (2.1) 的第一个方程两端同乘以 $u_{\varepsilon}^r$, 并在 $\Omega$ 上积分, 可得

$\begin{aligned} & \frac1{r+1}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega u_{\varepsilon}^{r+1}{\rm d}x+rm\int_\Omega u_{\varepsilon}^{r-1}(u_{\varepsilon}+\varepsilon)^{m-1}|\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x+\varepsilon\int_\Omega u_{\varepsilon}^{r+2}{\rm d}x\nonumber \\ &\le \chi\int_\Omega \frac{r u_{\varepsilon}^r}{v_{\varepsilon}^\beta+\varepsilon}\nabla v_{\varepsilon}\nabla u_{\varepsilon}{\rm d}x\nonumber \\ \label{3-23} &\le \frac{rm}4\int_\Omega u_{\varepsilon}^{m+r-2}|\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x+\eta\int_\Omega u_{\varepsilon}^{2(2+r-m)}{\rm d}x+C\int_\Omega \frac1{|v_{\varepsilon}^\beta+\varepsilon|^4}|\nabla v_{\varepsilon}|^4{\rm d}x \end{aligned}$

对任意小常数 $\eta>0$ 成立.利用 Gagliardo-Nirenberg 插值不等式, 能得到

$\begin{aligned} \|u_\varepsilon\|_{L^{r+m+\frac{2A}N}}^{r+m+\frac{2A}N}& =\|u_\varepsilon^{\frac{m+r}2}\|_{L^{\frac{2(r+m+\frac{2A}N)}{m+r}}}^{\frac{2(r+m+\frac{2A}N)}{m+r}} \le C_1\|u_\varepsilon^{\frac{m+r}{2}}\|_{L^{\frac{2A}{m+r}}}^{\frac{4A}{N(m+r)}} \|\nabla u_\varepsilon^{\frac{m+r}{2}}\|_{L^2}^2+C_2\|u_\varepsilon\|_{L^1}^{r+m+\frac{2A}N}\nonumber \\ \label{3-24} &\le C_1 \|u_\varepsilon\|_{L^A}^{\frac{2A}{N}}\|\nabla u_\varepsilon^{\frac{m+r}{2}}\|_{L^2}^2+C_3\le C_4\|\nabla u_\varepsilon^{\frac{m+r}{2}}\|_{L^2}^2+C_3. \end{aligned}$

取 $r=3m-4+\frac{2A}N$ 代入 (3.23) 式, 此时 $2(2+r-m)=r+m+\frac{2A}N$, 注意到 $u_{\varepsilon}^{r-1}(u_{\varepsilon}+\varepsilon)^{m-1}\ge u_{\varepsilon}^{m+r-2}$, 并结合 (3.24) 式, 有

$\begin{aligned} &\frac1{3(m-1)+\frac{2A}N}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega u_{\varepsilon}^{3(m-1)+\frac{2A}N}{\rm d}x+m\left(\frac{3m}2-2+\frac AN\right)\int_\Omega u_{\varepsilon}^{3m-5+\frac{2A}N}(u_{\varepsilon}+\varepsilon)^{m-1} |\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x\nonumber \\ \label{3-25} &+\sigma \int_\Omega u_{\varepsilon}^{4(m-1)+\frac{4A}N}{\rm d}x \le C\int_\Omega \frac1{|v_{\varepsilon}^\beta+\varepsilon|^4}|\nabla v_{\varepsilon}|^4{\rm d}x+C. \end{aligned}$

回顾引理 3.4, 注意到$\beta<\frac{3}4+\frac{1}{2(3+N+4\sqrt N)}$, 易得存在 $r^*$ 使得 $4\beta<r^*+2$, 则由 (3.17) 式可推出 (3.22) 式成立.

引理 3.6 假设 $m>\frac{4N-2}{3N}$, $\beta<\frac{3}4+\frac{1}{2(3+N+4\sqrt N)}$, $\alpha<4(m-1)+\frac{2}N$. 令 $(u_\varepsilon, v_\varepsilon)$ 为问题 (2.1) 在 $(0, T_{\max})$ 的经典解. 则当 $N=2$ 时, 对任意 $r\ge 0$; 当 $N\ge 3$ 时, 对任意 $0\le r<\frac{3N}{N-2}(m-1)-1$, 有

$\begin{aligned}\label{3.26} &\sup_{t\in(0, T_{\max})}\int_\Omega u_{\varepsilon}^{r+1}{\rm d}x +\sup_{t\in(\tau, T_{\max})}\int_{t-\tau}^{t}\int_\Omega (u_{\varepsilon}+\varepsilon)^{m-1}u_{\varepsilon}^{r-1} |\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x{\rm d}s \nonumber\\ &+ \sup_{t\in(\tau, T_{\max})}\int_{t-\tau}^{t}\int_\Omega u_{\varepsilon}^{r+m+\frac{2(r+1)}3}{\rm d}x{\rm d}s \le C, \end{aligned}$

其中 $C$ 与 $\varepsilon$ 无关.

证 结合 (3.12) 和 (3.17) 式, 容易看出当 $r=0$ 时, (3.26) 式成立.

接下来考虑 $r>0$ 的情况.结合引理 3.4 和引理 3.5, 考虑序列 $\{A_n\}_n$, 其中 $A_{n+1}=3(m-1)+\frac{2A_n}{N}$, 并且有 $1<A_1<3(m-1)+\frac 2N$.当 $N=2$ 时, 显然 $A_n$ 单调增加, 并且

$\lim_{n\to\infty} A_n=+\infty.$

当 $N\ge 3$ 时, 通过递推法, 也容易验证 $A_n$ 单调增加, 且

$\lim_{n\to\infty} A_n=\frac{3N}{N-2}(m-1).$

利用引理 3.5, (3.26) 式中前两项的有界性能够得到.再利用 (3.24) 式, 容易得到第三项的有界性, 从而该引理得证.

引理 3.7 令 $(u_\varepsilon, v_\varepsilon)$ 为问题 (2.1) 在 $(0, T_{\max})$ 的经典解.假设 (3.26) 式成立. 则当 $N=2$; 或者 $N=3$ 且 $\alpha<\frac{32(m-1)}5$ 时, 有

$\begin{aligned}\label{3.27} \inf_{x\in\Omega}\{v_{\varepsilon}(x, t)\} \ge \|v_{0}\|_{L^\infty}{\rm e}^{-C(1+t)}, \end{aligned}$

其中 $C$ 与 $\varepsilon$ 和 $t$ 无关.

证 令 $\omega_{\varepsilon}=-\ln\frac{v_{\varepsilon}}{\|v_{\varepsilon 0}\|_{L^{\infty}}}$. 则

$\begin{equation}\label{3.28} \omega_{\varepsilon t}=\Delta\omega_{\varepsilon}-|\nabla \omega_{\varepsilon}|^2+u_{\varepsilon}^{\alpha}. \end{equation}$

考虑具有齐次 Neumann 边界条件的方程$\overline\omega_{\varepsilon t}=\Delta\overline\omega_{\varepsilon}+u_{\varepsilon}^{\alpha}.$因此有

$\overline\omega_{\varepsilon}={\rm e}^{t\Delta}\omega_{\varepsilon 0}+\int_0^t {\rm e}^{(t-s)\Delta}u_{\varepsilon}^\alpha(s){\rm d}s.$

当 $N=2$ 时,

$\begin{aligned} \|\overline\omega_{\varepsilon}\|_{L^\infty}&\le \|\omega_{\varepsilon 0}\|_{L^\infty}+\int_0^t \|{\rm e}^{(t-s)\Delta}u_{\varepsilon}^\alpha(s)\|_{L^\infty}{\rm d}s\nonumber \\ &\le \|\omega_{\varepsilon 0}\|_{L^\infty}+\int_0^t (1+(t-s)^{-\frac{1}{2}})\|u_{\varepsilon}^\alpha(s)\|_{L^2}{\rm d}s\nonumber \\ &\le \|\omega_{\varepsilon 0}\|_{L^\infty}+C\int_0^t (1+(t-s)^{-\frac{1}{2}}){\rm d}s\nonumber \\ \label{3-29} & \le \|\omega_{\varepsilon 0}\|_{L^\infty}+C(1+t). \end{aligned}$

而当 $N=3$ 时,

$\begin{aligned} \|\overline\omega_{\varepsilon}\|_{L^\infty}&\le \|\omega_{\varepsilon 0}\|_{L^\infty}+\int_0^t \|{\rm e}^{(t-s)\Delta}u_{\varepsilon}^\alpha(s)\|_{L^\infty}{\rm d}s\nonumber \\ &\le \|\omega_{\varepsilon 0}\|_{L^\infty}+\int_0^t (1+(t-s)^{-\frac{3}{2p}})\|u_{\varepsilon}^\alpha(s)\|_{L^p}{\rm d}s\nonumber \\ &\le \|\omega_{\varepsilon 0}\|_{L^\infty}+\left(\int_0^t (1+(t-s)^{-\frac{3}{2p}})^{\frac{p}{p-1}}{\rm d}s\right)^{\frac{p-1}{p}} \left(\int_0^t \|u_{\varepsilon}(s)\|_{L^{p\alpha}}^{p\alpha}{\rm d}s\right)^{\frac1p}\nonumber \\ \label{3-30} &\le \|\omega_{\varepsilon 0}\|_{L^\infty}+C\left(\int_0^t (1+(t-s)^{-\frac{3}{2(p-1)}}){\rm d}s\right)^{\frac{p-1}{p}}\left(\int_0^t \|u_{\varepsilon}(s)\|_{L^{p\alpha}}^{p\alpha}{\rm d}s\right)^{\frac1p}. \end{aligned}$

由 (3.26) 式可知, 当 $N=3$, 对任意 $r<16(m-1)$, 有

$\int_0^t \|u_{\varepsilon}(s)\|_{L^{r}}^r{\rm d}s \le Ct.$

回到 (3.30) 式, 当 $\frac{3}{2(p-1)}<1$ 且 $p\alpha<16(m-1)$ 时, 可得

$\begin{aligned}\label{3.31} \|\overline\omega_{\varepsilon}\|_{L^\infty}\le \|\omega_{\varepsilon 0}\|_{L^\infty}+C(1+t). \end{aligned}$

通过直接计算, 当 $\alpha<\frac{32}5(m-1)$ 时, 存在 $p$ 使得$\frac52\alpha<p\alpha<16(m-1)$ 成立, 即

$\frac{3}{2(p-1)}<1, p\alpha<16(m-1),$

这表明 (3.31) 式在 $\alpha<\frac{32}5(m-1)$ 时成立.由比较引理可得

$\|\omega_{\varepsilon}\|_{L^\infty}\le\|\overline\omega_{\varepsilon}\|_{L^\infty}\le \|\omega_{\varepsilon 0}\|_{L^\infty}+C(1+t).$

注意到在 $\overline\Omega$ 上 $v_0>0$, 则存在常数 $l$ 使得在 $\overline\Omega$ 上 $v_0\ge l$, 因此 $v_{\varepsilon 0}\ge v_0\ge l$, 所以 $\|\omega_{\varepsilon 0}\|_{L^\infty}$ 有界.综上, 证明完成.

为了便于读者, 我们将本节的所有重要估计总结如下.

结合 (3.2) 式, 引理 3.4, 引理 3.6 和引理 3.7, 得到

命题 3.1 假设 $m>\frac{4N-2}{3N}$, $\beta<\frac{3}4+\frac{1}{2(3+N+4\sqrt N)}$, $\alpha<4(m-1)+\frac{2}N$. 设 $(u_\varepsilon, v_\varepsilon)$ 为问题 (2.1) 在 $(0, T_{\max})$ 上的经典解. 则当 $N=2$ 时, 对任意 $r\ge 0$; 当 $N\ge 3$ 时, 对任意 $0\le r<9(m-1)-1$, 有

$\begin{aligned}\label{3.32} &\sup_{t\in(0, T_{\max})}\int_\Omega u_{\varepsilon}^{r+1}{\rm d}x +\sup_{t\in(\tau, T_{\max})}\int_{t-\tau}^{t}\int_\Omega u_{\varepsilon}^{r-1}(u_{\varepsilon}+\varepsilon)^{m-1} |\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x{\rm d}s\nonumber \\ &+\sup_{t\in(\tau, T_{\max})}\int_{t-\tau}^{t}\int_\Omega u_{\varepsilon}^{r+m+\frac{2(r+1)}3}{\rm d}x{\rm d}s \le C_r. \end{aligned}$

对任意 $0\le r^*<1+\frac{2}{3+N+4\sqrt N}$, 有

$\begin{aligned}\label{3.33} &\sup_{t\in(0, T_{\max})}\left(\|v_\varepsilon\|_{L^\infty}+\int_\Omega \frac{|\nabla v_\varepsilon|^2}{v_\varepsilon^{r^*}}{\rm d}x\right)\nonumber \\ &+\sup_{t\in(\tau, T_{\max})}\int_{t-\tau}^{t}\int_\Omega \left(\frac{|\nabla^2 v_{\varepsilon}|^2}{v_{\varepsilon}^{r^*}} +\frac{u_\varepsilon^\alpha|\nabla v_{\varepsilon}|^2}{v_\varepsilon^{r^*}} +\frac1{v_{\varepsilon}^{2+r^*}}|\nabla v_{\varepsilon}|^4\right){\rm d}x{\rm d}s \le C. \end{aligned}$

特别地, 当 $N=2$; 或者 $N=3$ 且 $\alpha<\frac{32(m-1)}5$ 时, 也有

$\begin{aligned}\label{3.34} \inf_{x\in\Omega}\{v_{\varepsilon}(x, t)\} \ge \|v_0\|_{L^\infty} {\rm e}^{-C(1+t)}. \end{aligned}$

这里, 这些常数 $C_r$, $C$ 仅依赖于 $m, r, k, \alpha, \beta$, $\|u_0\|_{L^\infty}$, $\|v_0\|_{L^\infty}$, $\|\frac1{v_0}\|_{L^\infty}$, $\Omega$, 且与 $\varepsilon$ 和 $T_{\max}$ 无关.

4 能量估计与整体可解性

我们首先考虑二维情况.

引理 4.1 假设 $N=2$, $m>1$, $\beta<\frac{11+8\sqrt 2}{28}$, $\alpha<3(m-1)+m$. 令 $(u_\varepsilon, v_\varepsilon)$ 为问题 (2.1) 在 $(0, T_{\max})$ 上的经典解. 则有

$\begin{aligned} \label{4.1} &\sup_{t\in(0, T_{\max})}\|\nabla v_\varepsilon\|_{L^\infty}\le C, \end{aligned}$
$\begin{aligned} \label{4.2} &\sup_{t\in(\tau, T_{\max})}\|v_\varepsilon\|_{W_p^{2,1}(Q_{\tau}(t))} \le C, \quad \text{对任意 } p>1, \end{aligned}$

并且对于任意给定 $0<T<T_{\max}$,

$\begin{aligned} \label{4.3} &\sup_{t\in(0, T)}\int_\Omega |\nabla ((u_\varepsilon+\varepsilon)^{m-1} u_\varepsilon)|^2{\rm d}x + \int_0^T (u_\varepsilon+\varepsilon)^{m-1} |u_{\varepsilon t}|^2{\rm d}x{\rm d}t \le C_T, \end{aligned}$
$\begin{aligned} \label{4.4} &\sup_{t<T}\|u_\varepsilon(\cdot, t)\|_{L^\infty}\le \tilde C_T, \end{aligned}$

其中 $Q_{\tau}(t)=\Omega\times (t-\tau, t)$,$\tau$ 为引理 3.3 中定义的正常数, $C$ 及 $C_T, \tilde C_T$ 与 $\varepsilon$ 和 $T_{\max}$ 无关, 且 $C_T, \tilde C_T$ 依赖于 $T$.

证 首先, 由 (3.32) 式, 利用 Neumann 热半群理论和 Moser 迭代方法,可以容易地得到 (4.1) 和 (4.4) 式. 注意到$v_{\varepsilon t}-\Delta v_{\varepsilon}+v_{\varepsilon}=v_{\varepsilon}-v_{\varepsilon}u_{\varepsilon}^{\alpha},$然后通过线性抛物方程的 $L^p$ 理论, 可得到 (4.2) 式.

接下来, 证明 (4.3) 式.在问题 (2.1) 的第一个方程两端同乘以$\frac{\partial ((u_\varepsilon+\varepsilon)^{m-1} u_\varepsilon)}{\partial t}$,然后在 $\Omega$ 上积分, 并利用 (3.27), (4.1) 式得到

$\begin{align*} &\frac1{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega|\nabla ((u_\varepsilon+\varepsilon)^{m-1} u_\varepsilon)|^2{\rm d}x + \int_\Omega(u_\varepsilon+\varepsilon)^{m-1} \left|\frac{\partial u_\varepsilon}{\partial t}\right|^2{\rm d}x \\ \le &- \chi\int_\Omega \left(\frac{u_{\varepsilon}\Delta v_{\varepsilon}}{v_{\varepsilon}^\beta+\varepsilon} +\frac{\nabla u_{\varepsilon}\cdot \nabla v_{\varepsilon}}{v_{\varepsilon}^\beta+\varepsilon} -\beta\frac{u_{\varepsilon}|\nabla v_{\varepsilon}|^2 v_{\varepsilon}^{\beta-1}}{|v_{\varepsilon}^\beta+\varepsilon|^2}\right) (m u_\varepsilon+\varepsilon)(u_\varepsilon+\varepsilon)^{m-2} \frac{\partial u_\varepsilon}{\partial t}{\rm d}x \\ \le & \frac12 \int_\Omega(u_\varepsilon+\varepsilon)^{m-1} \left|\frac{\partial u_\varepsilon}{\partial t}\right|^2{\rm d}x + C\int_\Omega (u_\varepsilon+\varepsilon)^{m-1}\big(u_{\varepsilon}^2|\Delta v_{\varepsilon}|^2+|\nabla u_{\varepsilon}|^2|\nabla v_{\varepsilon}|^2+u_{\varepsilon}^2\big){\rm d}x \\ \le & \frac12 \int_\Omega(u_\varepsilon+\varepsilon)^{m-1} \left|\frac{\partial u_\varepsilon}{\partial t}\right|^2{\rm d}x \\ &+ C\int_\Omega\big((u_\varepsilon+\varepsilon)^{2m+2}+|\Delta v_{\varepsilon}|^4+(u_\varepsilon+\varepsilon)^{m-1} |\nabla u_{\varepsilon}|^2 +(u_\varepsilon+\varepsilon)^{m+1} \big){\rm d}x. \end{align*}$

利用 (3.32) 和 (4.2) 式, 即可得到 (4.3) 式. 然后通过标准的 Moser 迭代方法, 也可得到 (4.4) 式, 从而证明了本引理.

接下来, 我们将主要关注三维情况, 在定理 1.2 的假设下.

引理 4.2 假设 $N=3$, $m>\frac{10}{9}$, $\beta<\frac{3+\sqrt 3}6$, $\alpha<\min\{\frac{32(m-1)}5, 4(m-1)+\frac{2}3\}$. 令 $(u_\varepsilon, v_\varepsilon)$ 为问题 (2.1) 在 $(0, T_{\max})$ 上的经典解.则有

$\sup_{t\in(0, T_{\max})}\int_\Omega |\nabla v_{\varepsilon}|^{3.1}{\rm d}x+ \sup_{t\in(\tau, T_{\max})}\int_{t-\tau}^{t}\int_\Omega |\nabla v_{\varepsilon}|^{5.1}{\rm d}x{\rm d}s \le C,$

其中 $C$ 与 $\varepsilon$ 无关.

证 对 (2.1) 式的第二个方程施加 $\nabla$ 运算,将得到的方程乘以 $|\nabla v_{\varepsilon}|^{r-2}\nabla v_{\varepsilon}$ 并在 $\Omega$ 上积分, 对任意 $r>3$, 结合引理 2.4, 得到

$\begin{aligned} & \frac1r\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega |\nabla v_{\varepsilon}|^{r}{\rm d}x +\int_{\Omega}|\nabla v_{\varepsilon}|^{r-2}|\nabla^2 v_{\varepsilon}|^2{\rm d}x+(r-2) \int_{\Omega}|\nabla v_{\varepsilon}|^{r-2}(\nabla|\nabla v_{\varepsilon}|)^2{\rm d}x\nonumber \\ &=\int_{\Omega}v_{\varepsilon} u_{\varepsilon}^{\alpha}\nabla\cdot(|\nabla v_{\varepsilon}|^{r-2}\nabla v_{\varepsilon}){\rm d}x+ \frac12\int_{\partial\Omega}\frac{\partial(|\nabla v_{\varepsilon}|^2)}{\partial n} |\nabla v_{\varepsilon}|^{r-2}{\rm d}S \nonumber \\ &\le\frac14\int_{\Omega}|\nabla v_{\varepsilon}|^{r-2}|\nabla^2 v_{\varepsilon}|^2{\rm d}x+\frac{r-2}4 \int_{\Omega}|\nabla v_{\varepsilon}|^{r-2}(\nabla|\nabla v_{\varepsilon}|)^2{\rm d}x\nonumber \\ \label{5-8} & +\eta\int_{\Omega}|\nabla v_{\varepsilon}|^{r+2}{\rm d}x+C_\eta\int_{\Omega} u_{\varepsilon}^{\frac{(r+2)\alpha}2}{\rm d}x+\kappa\int_{\partial\Omega}|\nabla v_{\varepsilon}|^r {\rm d}S \end{aligned}$

对任意小的 $\eta>0$ 都成立. 利用边界迹嵌入不等式, 并结合 (3.17) 式, 可得对任意小的 $\eta_1>0$, 有

$\begin{aligned}\label{4.6} \kappa\int_{\partial\Omega}|\nabla v_{\varepsilon}|^r{\rm d}s \le \eta_1\|\nabla(|\nabla v_{\varepsilon}|^{\frac r2})\|_{L^2}^2 +C_{\eta_1}\||\nabla v_{\varepsilon}|^{\frac r2}\|_{L^{\frac4r}}^2 \le \eta_1\|\nabla(|\nabla v_{\varepsilon}|^{\frac r2})\|_{L^2}^2 +\hat C_{\eta_1}. \end{aligned}$

另一方面, 注意到

$\begin{align*} \|\nabla v_{\varepsilon}\|_{r+2}^{r+2} =&\int_\Omega |\nabla v_{\varepsilon}|^{r}\nabla v_{\varepsilon}\nabla v_{\varepsilon}{\rm d}x \\ =&-\int_\Omega v_{\varepsilon}\left(|\nabla v_{\varepsilon}|^{r}\Delta v+ r|\nabla v_{\varepsilon}|^{r-1}\nabla v_{\varepsilon}\nabla|\nabla v_{\varepsilon}| \right){\rm d}x \\ \le& C\left(\int_\Omega |\nabla v_{\varepsilon}|^{r-2}|\nabla^2 v_{\varepsilon}|^2{\rm d}x\right)^{\frac12} \left(\int_\Omega |\nabla v_{\varepsilon}|^{r+2}{\rm d}x\right)^{\frac12} \\ &+\left(\int_{\Omega}|\nabla v_{\varepsilon}|^{r-2}(\nabla|\nabla v_{\varepsilon}|)^2{\rm d}x\right)^{\frac12} \left(\int_\Omega |\nabla v_{\varepsilon}|^{r+2}{\rm d}x\right)^{\frac12}. \end{align*}$

于是得到

$\begin{equation} \label{4.7} \|\nabla v_{\varepsilon}\|_{r+2}^{r+2}\le C\int_\Omega |\nabla v_{\varepsilon}|^{r-2}|\nabla^2 v_{\varepsilon}|^2{\rm d}x +C\int_{\Omega}|\nabla v_{\varepsilon}|^{r-2}(\nabla|\nabla v_{\varepsilon}|)^2{\rm d}x. \end{equation}$

取 $\eta$ 和 $\eta_1$ 足够小, 并将 (4.6) 和 (4.7) 式代入 (4.5) 式中, 则存在常数 $\sigma>0$, 使得

$\begin{aligned} & \frac1r\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega |\nabla v_{\varepsilon}|^{r}{\rm d}x \!+\!\frac14\int_{\Omega}\left(|\nabla v_{\varepsilon}|^{r-2}|\nabla^2 v_{\varepsilon}|^2\!+\!(r-2)|\nabla v_{\varepsilon}|^{r-2}(\nabla|\nabla v_{\varepsilon}|)^2\right){\rm d}x\!+\!\sigma\int_{\Omega}|\nabla v_{\varepsilon}|^{r+2}{\rm d}x\nonumber \\ \label{5-11} &\le C\int_{\Omega} u_{\varepsilon}^{\frac{(r+2)\alpha}2}{\rm d}x+C. \end{aligned}$

回顾 (3.26) 式, 有

$\sup_{t\in(\tau, T_{\max})}\int_{t-\tau}^{t}\int_\Omega u_{\varepsilon}^p {\rm d}x{\rm d}s \le C,\quad \text{对任意 $p<16(m-1)$}.$

令 $r=3.2$, 则对任意 $\alpha\le 6(m-1)$, 有 $\frac{(r+2)\alpha}2\le 15.6(m-1)$. 结合 (4.8) 式, 当 $\alpha\le 6(m-1)$ 时, 有

$\begin{aligned}\label{4.9} &\sup_{t\in(0, T_{\max})}\int_\Omega |\nabla v_{\varepsilon}|^{3.2}{\rm d}x\nonumber \\ &+\sup_{t\in(\tau, T_{\max})}\int_{t-\tau}^{t}\int_{\Omega}\left(|\nabla v_{\varepsilon}|^{1.2}|\nabla^2 v_{\varepsilon}|^2+|\nabla v_{\varepsilon}|^{1.2}(\nabla|\nabla v_{\varepsilon}|)^2+ |\nabla v_{\varepsilon}|^{5.2}\right){\rm d}x{\rm d}s\le C. \end{aligned}$

接下来考虑 $6(m-1)<\alpha<\min\{\frac{32}5(m-1), 4m-\frac{10}3\}$ 的情况. 类似于 (4.5) 式, 并利用 (4.6) 和 (4.7) 式, 对任意 $3<r<4$ 有

$\begin{align*} &\frac1r\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega |\nabla v_{\varepsilon}|^{r}{\rm d}x +\int_{\Omega}|\nabla v_{\varepsilon}|^{r-2}|\nabla^2 v_{\varepsilon}|^2{\rm d}x+(r-2) \int_{\Omega}|\nabla v_{\varepsilon}|^{r-2}(\nabla|\nabla v_{\varepsilon}|)^2{\rm d}x \\ =&-\int_{\Omega}\nabla(v_{\varepsilon} u_{\varepsilon}^{\alpha})(|\nabla v_{\varepsilon}|^{r-2}\nabla v_{\varepsilon}){\rm d}x+ \frac12\int_{\partial\Omega}\frac{\partial(|\nabla v_{\varepsilon}|^2)}{\partial n} |\nabla v_{\varepsilon}|^{r-2}{\rm d}S \\ \le& -\int_{\Omega}u_{\varepsilon}^{\alpha}|\nabla v_{\varepsilon}|^{r}{\rm d}x-\alpha\int_{\Omega}u_{\varepsilon}^{\alpha-1}|\nabla v_{\varepsilon}|^{r-2}\nabla v_{\varepsilon}\nabla u_{\varepsilon}{\rm d}x +\kappa\int_{\partial\Omega}|\nabla v_{\varepsilon}|^r{\rm d}S \\ \le& -\int_{\Omega}u_{\varepsilon}^{\alpha}|\nabla v_{\varepsilon}|^{r}{\rm d}x+C\int_{\Omega}u_{\varepsilon}^{(A+1)(m-1)-2}|\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x+ \eta\int_{\Omega}|\nabla v_{\varepsilon}|^{r+2}{\rm d}x \\ &+\int_{\Omega}u_{\varepsilon}^{(2\alpha-(A+1)(m-1))\frac{2+r}{4-r}}{\rm d}x +\kappa\int_{\partial\Omega}|\nabla v_{\varepsilon}|^r{\rm d}S \\ \le& -\int_{\Omega}u_{\varepsilon}^{\alpha}|\nabla v_{\varepsilon}|^{r}{\rm d}x+C\int_{\Omega}u_{\varepsilon}^{(A+1)(m-1)-2}|\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x+\int_{\Omega}u_{\varepsilon}^{(2\alpha-(A+1)(m-1))\frac{2+r}{4-r}}{\rm d}x \\ &+\frac14\int_{\Omega}|\nabla v_{\varepsilon}|^{r-2}|\nabla^2 v_{\varepsilon}|^2{\rm d}x+\frac{r-2}4 \int_{\Omega}|\nabla v_{\varepsilon}|^{r-2}(\nabla|\nabla v_{\varepsilon}|)^2{\rm d}x+C, \end{align*}$

其中 $A$ 是待定的正常数. 回顾 (4.7) 式, 注意 $\alpha<\frac{32}5(m-1)$, 取 $A=8.98$, $r=3.1$, 则存在 $\sigma>0$ 使得

$\begin{aligned} &\frac1r\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega |\nabla v_{\varepsilon}|^{3.1}{\rm d}x+\frac12\int_{\Omega}\left(|\nabla v_{\varepsilon}|^{1.1}|\nabla^2 v_{\varepsilon}|^2+ |\nabla v_{\varepsilon}|^{1.1}(\nabla|\nabla v_{\varepsilon}|)^2\right){\rm d}x\nonumber \\ &+\int_{\Omega}u_{\varepsilon}^{\alpha}|\nabla v_{\varepsilon}|^{1.1}{\rm d}x+\sigma\int_\Omega |\nabla v_{\varepsilon}|^{5.1}{\rm d}x \nonumber \\ \label{5-13} \le& C\int_{\Omega}u_{\varepsilon}^{9.98(m-1)-2}|\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x+\int_{\Omega}u_{\varepsilon}^{(2\alpha-9.98(m-1))\frac{5.1}{0.9}}+C. \end{aligned}$

由 $6(m-1)<\alpha<\frac{32}5(m-1)$, 则 $0<(2\alpha-9.98(m-1))\frac{5.1}{0.9}<\frac{2.82\times 5.1}{0.9}(m-1)=15.98(m-1)$.结合 (4.10) 和 (3.26) 式, 则对 $6(m-1)<\alpha<\min\{\frac{32}5(m-1), 4m-\frac{10}3\}$ 有

$\begin{aligned}\label{4.11} &\sup_{t>0}\int_\Omega |\nabla v_{\varepsilon}|^{3.1}{\rm d}x \\ &+\sup_{t>0}\int_{t}^{t+1}\int_{\Omega}(|\nabla v_{\varepsilon}|^{1.1}|\nabla^2 v_{\varepsilon}|^2 +|\nabla v_{\varepsilon}|^{1.1}(\nabla|\nabla v_{\varepsilon}|)^2 +u_{\varepsilon}^{\alpha}|\nabla v_{\varepsilon}|^{1.1}+ |\nabla v_{\varepsilon}|^{5.1}){\rm d}x{\rm d}s\le C.\nonumber \end{aligned}$

综上, 该引理得证.

为了得到与引理 4.1 类似的结果, 在三维情形下我们也证明如下引理.

引理 4.3 假设 $N=3$, $m>\frac{10}9$, $\beta<\frac{3+\sqrt 3}{6}$,

$\alpha<\min\left\{\frac{32(m-1)}5, 4m-\frac{10}3\right\}.$

令 $(u_\varepsilon, v_\varepsilon)$ 为问题 (2.1) 在 $(0, T_{\max})$ 的经典解. 则对于任意 $r\ge 0$ 和 $T\in (0, T_{\max})$, 有

$\begin{aligned}\label{4.12} &\sup_{0<t<T}\int_\Omega u_{\varepsilon}^{r+1}{\rm d}x+\int_0^T\int_\Omega u_{\varepsilon}^{r-1}(u_{\varepsilon}+\varepsilon)^{m-1}|\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x{\rm d}t\le C, \end{aligned}$

其中常数 $C$ 依赖于 $r$ 和 $T$, 但与 $\varepsilon$ 和 $T_{\max}$ 无关.

证 在问题 (2.1) 的第一个方程两端同乘以 $u_{\varepsilon}^r$, 其中 $r>0$,并在 $\Omega$ 上对其积分, 再利用 (3.34) 式, 可得

$\begin{aligned} & \frac1{r+1}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega u_{\varepsilon}^{r+1}{\rm d}x+\int_\Omega u_{\varepsilon}^{r-1}(u_{\varepsilon}+\varepsilon)^{m-1}|\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x+\varepsilon\int_\Omega u_{\varepsilon}^{r+2}{\rm d}x \nonumber \\ &=\chi\int_\Omega \frac{r u_{\varepsilon}^r}{v_{\varepsilon}^\beta+\varepsilon}\nabla v_{\varepsilon}\nabla u_{\varepsilon}{\rm d}x \nonumber \\ &=-\frac{r\chi}{r+1}\int_\Omega u_{\varepsilon}^{r+1}\left(\frac{\Delta v_{\varepsilon}}{v_{\varepsilon}^\beta+\varepsilon}-\beta\frac{|\nabla v_{\varepsilon}|^2}{(v_{\varepsilon}^\beta+\varepsilon)^2v_{\varepsilon}^{1-\beta}}\right){\rm d}x \nonumber \\ &\le C_T \int_\Omega\left(u_{\varepsilon}^{r+1+\alpha}+|\Delta v_{\varepsilon}|^{\frac{r+1+\alpha}{\alpha}}+|\nabla v_{\varepsilon}|^{\frac{2(r+1+\alpha)}{\alpha}}\right){\rm d}x\nonumber \\ \label{4-6} &\le C_T \int_\Omega\left(u_{\varepsilon}^{r+1+\alpha}+|\Delta v_{\varepsilon}|^{\frac{r+1+\alpha}{\alpha}}\right){\rm d}x+C_T \end{aligned}$

对任意 $t<T$ 都成立, 这里, 运用了如下不等式

$\|\nabla v_{\varepsilon}\|_{L^{\frac{2(r+1+\alpha)}{\alpha}}}^{\frac{2(r+1+\alpha)}{\alpha}}\le C\|v_{\varepsilon}\|_{L^\infty}^{\frac{r+1+\alpha}{\alpha}}\|\Delta v_{\varepsilon}\|_{L^{\frac{r+1+\alpha}{\alpha}}}^{\frac{r+1+\alpha}{\alpha}}+C\|v_{\varepsilon}\|_{L^\infty}^{\frac{2(r+1+\alpha)}{\alpha}}.$

注意到

$v_{\varepsilon t}-\Delta v_{\varepsilon}+v_{\varepsilon}=v_{\varepsilon}-v_{\varepsilon}u_{\varepsilon}^{\alpha},$

于是, 由线性抛物型方程的 $L^p$ 理论, 则可推出

$\begin{aligned}\label{4.14} \int_{0}^{T}\|v_{\varepsilon}\|_{W^{2,p}}^p{\rm d}t\le C\int_{0}^{T}(1+\|u_{\varepsilon}\|_{L^{p\alpha}}^{p\alpha}) {\rm d}t+C\|v_{\varepsilon 0}\|_{W^{2,p}}^p, \quad \text{对任意 } \ p>1. \end{aligned}$

利用 (3.32) 式, 并结合 (3.24) 式, 令其中的 $A=8.7(m-1)$ 的, 可得

$\begin{equation}\label{4.15} \|u_\varepsilon\|_{L^{r+m+5.8(m-1)}}^{r+m+5.8(m-1)}\le C(1+\|\nabla u_\varepsilon^{\frac{m+r}{2}}\|_{L^2}^2). \end{equation}$

结合 (4.13), (4.14) 和 (4.15) 式, 得到

$\begin{align*} & \sup_{t\in(0, T)}\int_\Omega u_{\varepsilon}^{r+1}{\rm d}x+ \int_0^T\int_\Omega u_{\varepsilon}^{r-1}(u_{\varepsilon}+\varepsilon)^{m-1}|\nabla u_{\varepsilon}|^2{\rm d}x{\rm d}t \\ &\le \tilde C_T\int_0^T\int_\Omega \left(u_{\varepsilon}^{r+1+\alpha}+|\Delta v_{\varepsilon}|^{\frac{r+1+\alpha}{\alpha}}\right){\rm d}x{\rm d}t+\tilde C_T \\ & \le \hat C_T\int_0^T\int_\Omega u_{\varepsilon}^{r+1+\alpha}{\rm d}x{\rm d}t+\hat C_T \\ & \le \frac12 \int_0^T\int_\Omega u_{\varepsilon}^{r+m+5.8(m-1)}{\rm d}x{\rm d}t +M_T, \end{align*}$

其中 $\alpha<\frac{32}5(m-1)$.于是 (4.12) 式得证.

基于这个引理, 类似于引理 4.1, 我们得到如下引理.

引理 4.4 假设 $N=3$, $m>\frac{10}9$, $\beta<\frac{3+\sqrt 3}{6}$, $\alpha<\min\left\{\frac{32(m-1)}5, 4m-\frac{10}3\right\}$. 令 $(u_\varepsilon, v_\varepsilon)$ 为问题 (2.1) 在 $(0, T_{\max})$ 的经典解. 则对任意 $T<T_{\max}$, 有

$\begin{aligned}\label{4.16}&\sup_{t<T}\left(\|\nabla v_\varepsilon(\cdot, t)\|_{L^\infty}+\|u_\varepsilon(\cdot, t)\|_{L^\infty}\right)\le C_T,\end{aligned}$
$\begin{aligned} \label{4.17} &\|v_\varepsilon\|_{W_p^{2,1}(Q_T)} \le C_T, \ p>1,\end{aligned}$
$\begin{aligned} \label{4.18} &\sup_{t\in(0, T)}\int_\Omega |\nabla ((u_\varepsilon+\varepsilon)^{m-1} u_\varepsilon)|^2{\rm d}x+ \int_0^T (u_\varepsilon+\varepsilon)^{m-1} |u_{\varepsilon t}|^2{\rm d}x{\rm d}t \le C_T, \end{aligned}$

其中这些常数 $C_T$ 与 $\varepsilon$ 无关, 并且它们依赖于 $T$.

定理 1.1 和定理 1.2 的证明 利用命题 3.1, 引理 4.1, 引理 4.3 和引理 4.4, 对任意 $T>0$, 有 (必要时取其子列, 为简便起见, 仍记作 $u_\varepsilon, v_\varepsilon$)

$\begin{align*} &u_\varepsilon \stackrel{*}{\rightharpoonup} u, && \text{在 $L^\infty(Q_T)$ 意义下}, \\ &u_\varepsilon^{\frac{m+1}2} \rightharpoonup u^{\frac{m+1}2}, &&\text{在 $W^{1,1}_2(Q_T)$ 意义下}, \\ &u_\varepsilon \rightarrow u, && \text{在 $L^p(Q_T)$ 意义下}, \\ &\varepsilon u_\varepsilon^2 \to 0, && \text{在 $L^2(Q_T)$ 意义下}, \\ &v_\varepsilon \rightharpoonup v, && \text{在 $W^{2,1}_p(Q_T) (\forall p\in (1,+\infty)) $ 意义下.} \end{align*}$

注意到

$\begin{align*} |(u_{\varepsilon}+\varepsilon)^{m-1}u_{\varepsilon}-u_{\varepsilon}^m|\le \left\{\begin{aligned} &u_{\varepsilon} \varepsilon^{m-1},&& 1<m\le 2, \\ &(m-1)(u_{\varepsilon}+\varepsilon)^{m-1}\varepsilon, && m>2, \end{aligned}\right. \end{align*}$

于是也有

$(u_{\varepsilon}+\varepsilon)^{m-1}u_{\varepsilon}\rightarrow u,\ \text{在 $L^\infty(Q_T)$ 中.}$

由 (4.2) 和 (4.17) 式, 并注意到 $W_{p}^{2,1}(Q_T)\hookrightarrow C^{\alpha, \frac{\alpha}2}(Q_T)$ 对于足够大的 $p$ 成立. 因此, 得到 $v_\varepsilon$ 一致收敛到 $v$.注意到对任意 $\varphi\in C^\infty(\overline Q_T)$, 并满足$\left.\frac{\partial\varphi}{\partial n}\right|_{\partial\Omega}=0$ 且 $\varphi(x,T)=0$, 有

$\begin{align*} &-\iint_{Q_T}u_\varepsilon\varphi_t {\rm d}x{\rm d}t-\int_\Omega u_{\varepsilon 0}\varphi(x,0){\rm d}x -\iint_{Q_T} (u_{\varepsilon}+\varepsilon)^{m-1}u_{\varepsilon}\Delta\varphi{\rm d}x{\rm d}t \\ =&\chi\iint_{Q_T}\frac{u_{\varepsilon}}{v_{\varepsilon}^\beta+\varepsilon}\nabla v_{\varepsilon}\nabla\varphi{\rm d}x{\rm d}t -\varepsilon\iint_{Q_T}u_{\varepsilon}^{2}\varphi{\rm d}x{\rm d}t \\ &\iint_{Q_T}v_{\varepsilon}\varphi_t{\rm d}x{\rm d}t-\int_\Omega v_{\varepsilon 0}\varphi(x,0){\rm d}x +\iint_{Q_T}\nabla v_{\varepsilon}\nabla\varphi{\rm d}x{\rm d}t+\iint_{Q_T} u_{\varepsilon}^{\alpha}v_{\varepsilon}\varphi{\rm d}x{\rm d}t=0. \end{align*}$

令 $\varepsilon\to 0$, 则我们得到

$\begin{align*} &-\iint_{Q_T}u\varphi_t {\rm d}x{\rm d}t-\int_\Omega u_0(x)\varphi(x,0){\rm d}x-\iint_{Q_T}u^m\Delta\varphi{\rm d}x{\rm d}t =\chi\iint_{Q_T}\frac{u}{v^\beta}\nabla v\nabla\varphi{\rm d}x{\rm d}t \\ &-\iint_{Q_T}v\varphi_t{\rm d}x{\rm d}t-\int_\Omega v_0(x)\varphi(x,0){\rm d}x+\iint_{Q_T}\nabla v\nabla\varphi{\rm d}x{\rm d}t+\iint_{Q_T} u^{\alpha} v\varphi{\rm d}x{\rm d}t=0. \end{align*}$

分部积分得到

$\begin{align*} &-\iint_{Q_T}u\varphi_t {\rm d}x{\rm d}t-\int_\Omega u_0(x)\varphi(x,0){\rm d}x+\iint_{Q_T}\nabla u^m\nabla\varphi{\rm d}x{\rm d}t =\chi\iint_{Q_T}\frac{u}{v^\beta}\nabla v\nabla\varphi{\rm d}x{\rm d}t \\ &-\iint_{Q_T}v\varphi_t{\rm d}x{\rm d}t-\int_\Omega v_0(x)\varphi(x,0){\rm d}x+\iint_{Q_T}\nabla v\nabla\varphi{\rm d}x{\rm d}t+\iint_{Q_T} u^{\alpha} v\varphi{\rm d}x{\rm d}t=0. \end{align*}$

这意味着 $(u,v)$ 是问题 (1.1) 的整体弱解, 其中 $u\in\mathcal X_1$, $v\in\mathcal X_2$.回顾命题 3.1 和引理 4.2 中的一致能量估计, 也得到了 (1.8)-(1.10) 式.

5 长时间渐近性质

在本节中, 我们考虑弱解的长时间行为.

首先, 很容易看出

$\int_\Omega u(x,t){\rm d}x\equiv \int_\Omega u_0(x){\rm d}x.$

令 $\overline v(t)=\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega v(x,t){\rm d}x$. 通过直接计算, 得到

$\overline v'(t)=-\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega vu^{\alpha}\le 0.$

这意味着 $\overline v(t)\ge 0$ 是单调递减的, 记

$\begin{equation}\label{5.1} \lim_{t\to\infty}\overline v(t)=A\ge 0. \end{equation}$

接下来, 将证明 $\|v-A\|_{L^\infty}\to 0$.

引理 5.1 设 $(u, v)$ 是由定理 1.1 和定理 1.2 得到的整体弱解.那么有

$\lim_{t\to\infty}\|v-A\|_{L^\infty}=0.$

证 将问题 (1.1) 的第二个方程乘以 $v$, 并在 $Q_t$ 上积分, 则有

$\int_\Omega |v(x,t)|^2{\rm d}x+\int_0^t\int_\Omega|\nabla v|^2{\rm d}x{\rm d}s+\int_0^t\int_\Omega v^2u^\alpha {\rm d}x{\rm d}s=\int_\Omega |v_0(x)|^2{\rm d}x.$

令 $t\to\infty$, 得到

$\begin{equation}\label{5.2} \int_0^\infty\int_\Omega|\nabla v|^2{\rm d}x{\rm d}t+\int_0^\infty\int_\Omega v^2u^\alpha {\rm d}x{\rm d}t\le \int_\Omega |v_0(x)|^2{\rm d}x. \end{equation}$

由 Poincaré 不等式, 可得到

$\begin{equation}\label{5.3} \int_0^\infty\int_\Omega|v-\overline v(t)|^2{\rm d}x{\rm d}t\le C\int_\Omega |v_0(x)|^2{\rm d}x. \end{equation}$

注意到

$\begin{align*} &\left|\int_\Omega |v(x,t_2)-\overline v(t_2)|^2{\rm d}x-\int_\Omega |v(x,t_1)-\overline v(t_1)|^2{\rm d}x\right| \\ =& \left|\int_{t_1}^{t_2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega |v-\overline v(t)|^2{\rm d}x{\rm d}t\right| =2\left|\int_{t_1}^{t_2}\int_\Omega (v-\overline v(t))v_t{\rm d}x{\rm d}t\right| \\ =&\left| -2\int_{t_1}^{t_2}\int_\Omega(|\nabla v|^2+v^2u^{\alpha}){\rm d}x{\rm d}t+2\int_{t_1}^{t_2}\overline v(t)\int_\Omega vu^{\alpha}{\rm d}x{\rm d}t\right| \le C|t_2-t_1|, \end{align*}$

由 (5.3) 式, 则

$\begin{equation}\label{5.4} \lim_{t\to\infty}\int_\Omega|v-\overline v(t)|^2{\rm d}x=0. \end{equation}$

结合 (5.1) 和 (5.4) 式, 得到

$\begin{equation}\label{5.5} \lim_{t\to\infty}\int_\Omega|v-A|^2{\rm d}x=0. \end{equation}$

特别地, 当 $N=2$ 时, 结合 (1.6) 式, 并利用 Gagliardo-Nirenberg 插值不等式, 可进一步得到当 $t\to\infty$ 时, 有

$\|v-A\|_{L^\infty}\le C_1\|v-A\|_{L^2}^{\frac12}\|\nabla v\|_{L^\infty}^{\frac12}+C_2\|v-A\|_{L^2}\to 0.$

当 $N=3$ 时, 结合 (1.10) 式, 同样有

$\|v-A\|_{L^\infty}\le C_1\|v-A\|_{L^2}^{\frac{2}{95}}\|\nabla v_{\varepsilon}\|_{L^{3.1}}^{\frac{93}{95}}+C_2\|v-A\|_{L^2}\to 0.$

至此, 完成了该引理的证明.

接下来, 我们将注意力转向证明 $A=0$.

引理 5.2 假设 $u_0\not\equiv 0$.

令 $(u, v)$ 为定理 1.1 和定理 1.2 所得到的整体弱解.则当 $\alpha\ge 1$ 时,

$\lim_{t\to\infty}\|v\|_{L^\infty}=0.$

证 根据引理 5.1, 只需证明 $A=0$. 若不然, $A>0$. 则存在 $T>0$ 使得当 $t>T$ 时, 对任意 $x\in \Omega$, 有

$v\ge \frac{A}2.$

通过直接积分, 得到

$\int_0^\infty\int_\Omega vu^\alpha {\rm d}x{\rm d}t\le \int_\Omega v_0(x){\rm d}x.$

这意味着

$\frac{A}2\int_T^\infty\int_\Omega u^\alpha {\rm d}x{\rm d}t\le \int_\Omega v_0(x){\rm d}x.$

注意到当 $\alpha\ge 1$ 时,

$\left(\int_\Omega u_0{\rm d}x\right)^{\alpha}=\left(\int_\Omega u{\rm d}x\right)^{\alpha}\le |\Omega|^{\alpha-1}\int_\Omega u^\alpha {\rm d}x,$

于是得到

$\frac{A}2\left(\int_\Omega u_0{\rm d}x\right)^{\alpha}|\Omega|^{1-\alpha}\int_T^\infty {\rm d}t\le \int_\Omega v_0(x){\rm d}x.$

这是一个矛盾. 因此当 $\alpha\ge 1$ 时, 有 $A=0$.

以上，证明了 $\alpha\ge 1$ 时定理 1.3 依然成立. 接下来, 证明 $\alpha<1$ 时定理 1.3 依然成立. 我们仍然通过反证法来证明这一结论.

定理 1.3 的证明 假设相反, 即 $A>0$. 类似于引理 5.2 的证明, 存在 $T>0$ 使得当 $t>T$时, 对任意 $x\in \Omega$, 有

$v\ge \frac{A}2.$

结合定理 1.1 和定理 1.2, 这意味着 $v$ 在 $\Omega\times\mathbb R^+$ 上有一个正下界.然后类似于第四节的证明, 得到 $(u, v)$ 的一致有界性估计, 特别地,有

$\begin{equation}\label{5.6} \sup_{t>0}(\|u(\cdot, t)\|_{L^\infty}+\|v(\cdot, t)\|_{W^{1,\infty}}+\|\nabla u^m\|_{L^2})\le C. \end{equation}$

取问题 (1.1) 的第一个方程并将 $u^r$ 作为检验函数, 其中 $r>\max\{m-2, 0\}$, 则有

$\begin{align*} & \frac{1}{r+1}\int_\Omega u^{r+1}{\rm d}x+mr\int_0^t\int_\Omega u^{m+r-2}|\nabla u|^2{\rm d}x{\rm d}s\\ =&\frac{1}{r+1}\int_\Omega u_0^{r+1}{\rm d}x+r\chi\int_0^t\int_\Omega \frac{u^r}{v^{\beta}}\nabla v\nabla u {\rm d}x{\rm d}s \\ \le&\frac{1}{r+1}\int_\Omega u_0^{r+1}{\rm d}x+ \frac{mr}2\int_0^t\int_\Omega u^{m+r-2}|\nabla u|^2{\rm d}x{\rm d}s+C\int_0^t\int_\Omega u^{r+2-m} |\nabla v|^2{\rm d}x{\rm d}s \\ \le&\frac{1}{r+1}\int_\Omega u_0^{r+1}{\rm d}x+ \frac{mr}2\int_0^t\int_\Omega u^{m+r-2}|\nabla u|^2{\rm d}x{\rm d}s+\tilde C\int_0^t\int_\Omega |\nabla v|^2{\rm d}x{\rm d}s. \end{align*}$

结合 (5.2) 式, 意味着对于任意 $r>\max\{m-2, 0\}$, 有

$\begin{equation}\label{5.7} \int_0^\infty\int_\Omega u^{m+r-2}|\nabla u|^2{\rm d}x{\rm d}t\le C. \end{equation}$

另一方面, 通过直接计算, 得到

$\begin{align*} &\int_\Omega u^{r}v {\rm d}x-\int_\Omega u_0^{r}v_0 {\rm d}x+\int_0^t\int_\Omega vu^{\alpha+r}{\rm d}x{\rm d}s+mr(r-1)\int_0^t\int_\Omega u^{m+r-3}v|\nabla u|^2{\rm d}x{\rm d}s \\ =&-r\int_0^t\int_\Omega u^{r-1}\nabla v\nabla u {\rm d}x{\rm d}s-mr\int_0^t\int_\Omega u^{m+r-2}\nabla v\nabla u {\rm d}x{\rm d}s +\chi r\int_0^t\int_\Omega \frac{u^{r}}{v^{\beta}}|\nabla v|^2{\rm d}x \\ &+\chi r(r-1)\int_0^t\int_\Omega u^{r-1}v^{1-\beta}\nabla v\nabla u {\rm d}x{\rm d}s \\ \le& C\int_0^t\int_\Omega |\nabla v|^2{\rm d}x{\rm d}s+C\int_0^t\int_\Omega (u^{2r-2}+u^{2(m+r-2)})|\nabla u|^2{\rm d}x{\rm d}s. \end{align*}$

令 $r=m$ 并代入 (5.7) 式及上述不等式, 并结合 (5.2) 式, 得到

$\begin{align*} &\int_\Omega u^{m}v {\rm d}x-\int_\Omega u_0^{m}v_0 {\rm d}x+\int_0^t\int_\Omega vu^{\alpha+m}{\rm d}x{\rm d}s+m^2(m-1)\int_0^t\int_\Omega u^{2m-3}v|\nabla u|^2{\rm d}x{\rm d}s \\ \le& C\int_0^t\int_\Omega |\nabla v|^2{\rm d}x{\rm d}s+C\int_0^t\int_\Omega (u^{2(m-1)}+u^{4(m-1)})|\nabla u|^2{\rm d}x{\rm d}s \le\tilde C. \end{align*}$

当 $t\to\infty$ 时, 得到

$\int_0^\infty\int_\Omega vu^{\alpha+m}{\rm d}x{\rm d}s \le \hat C.$

注意到 $\alpha+m>1$, 然后完全类似于引理 5.2 的证明, 我们得到 $A=0$. 结合引理 5.1, 定理 1.3 得证.

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