1 引言
本文关注一个由 Keller 和 Segel[1 ] 引入的趋化模型所产生的移动边界问题. 该模型如下所示
(1.1) $\begin{equation}\label{1.1} \left\{ \begin{array}{l} u_t = \Delta u-\chi\nabla(u\nabla v)\hfill\;\;\;x\in \Omega\;\;\;t>0\\ v_t=\gamma \Delta v-\mu v+\beta u\hfill\;\;\;x\in \Omega\;\;\;t>0\\ u(x,0)=u_0,\;v(x,0)=v_0,\quad u_0,v_0\geq 0\;\;\;x\in\Omega\\ \frac{\partial u}{\partial n}=\frac{\partial v}{\partial n}=0\;\;\quad \hfill x\in\partial\Omega\;\;\;t>0. \end{array} \right. \end{equation}$
此处 $u(x,t)$ 和 $v(x,t)$ 分别代表所研究物种的密度和引发运动的化学物质的密度. 常数 $\chi\;,\gamma\;,\mu\;,\beta$ 均为正值. $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^N (N\geq 1)$ 中的一个有界开集. $\partial\Omega$ 和 $n$ 分别表示 $\Omega$ 的边界和 $\partial\Omega$ 的外法向量. 问题 (1.1) 已被许多作者深入研究[2 9], 并且大量工作致力于研究与上述参数 $\chi\;,\gamma\;,\mu\;,\beta$ 的特定选择相对应的某些极限情况. 其中之一是 $v$ 的扩散速度趋于无穷大, 这引出了如下系统(参见文献 [10 ])
(1.2) $\begin{equation} \label{2} \left\{ \begin{array}{l} u_t = \Delta u-\chi\nabla(u\nabla v)\hfill\;\;\;x\in \Omega\;\;\;t>0\\ 0=\Delta v+(u-1)\hfill\;\;\;x\in \Omega\;\;\;t>0\\ \frac{\partial u}{\partial n}=\frac{\partial v}{\partial n}=0\;\;\;\hfill x\in\partial\Omega\;\;\;t>0\\ u(x,0)=u_0 \hfill u_0\geq 0\;\;\;x\in\Omega. \end{array} \right. \end{equation}$
对于某些 $\alpha>0$ 和 $\lambda>0$, 取 $\beta=\gamma\alpha$ 和 $\mu=\gamma\lambda$, 并假设 $\gamma\gg 1$, $\lambda$ 和 $\alpha$ 的数量级为 $O(1)$, 那么式 (1.1) 转换为
(1.3) $\begin{equation} \label{3} \left\{ \begin{array}{l} u_t = \Delta u-\chi\nabla(u\nabla v)\hfill\;\;\;x\in \Omega\;\;\;t>0\\ 0=\Delta v-\lambda v+\alpha u\hfill\;\;\;x\in \Omega\;\;\;t>0\\ \frac{\partial u}{\partial n}=\frac{\partial v}{\partial n}=0\;\;\;\hfill x\in\partial\Omega\;\;\;t>0\\ u(x,0)=u_0\hfill u_0\geq 0\;\;\;x\in\Omega. \end{array} \right. \end{equation}$
对于问题 (1.2), 一些作者已经获得了许多结果 (参加文献 [10 14]). 由于 $v$ 的空间扩散速度远快于 $u$ 的空间扩散速度, 因此可以认为 $u$ 占据的空间域是 $v$ 在同一时间占据的空间域的子集. 换句话说, 令 $\Omega\subset \mathbb{R}^{N}$ 是一个有界开域, $\Omega_0\subset\subset\Omega$ 是一个开子域. 假设一个种群密度 $u(x,0)$ 占据域 $\Omega_0$, 而在 $\Omega_0$ 外部, 种群密度 $u(x,0)\equiv 0$, 外部信号 $v$ 占据 $\Omega$. 对于 $t>0$, $u(x,t)$ 扩展到域 $\Omega_t\subset \Omega$. 令 $\partial \Omega_t$ 表示 $\Omega_t$ 的边界, $n_t$ 表示 $\partial \Omega_t$ 的外法向量, 则 $\Gamma_t=\partial \Omega_t\times (0,T)$ 是移动边界. 物种的空间扩散指的是在时间 $t\geq 0$ 时物种所占据的区域 $\Omega_t$ 的移动边界. 观察到通量随着物种密度的增加而增加, 因此假设通量与密度成正比是合理的, 进而我们在 $\partial\Omega_t$ 上有如下的通量条件
(1.4) $\begin{equation}\label{4} -\nabla u\cdot n_t=k(x,t)u\;\;\;\;\text{在边界 } \partial \Omega_t\text{ 上}, \end{equation}$
这里 $k(x,t)$ 是一个正函数. 另一方面, 注意到在 $\partial\Omega_t$ 上的全通量是
(1.5) $\begin{equation}\label{5} j=-\nabla u\cdot n_t+\chi u\nabla v\cdot n_t. \end{equation}$
(1.6) $\begin{equation} \label{6} uv_{n_t}=-\nabla u\cdot n_t+\chi u\nabla v\cdot n_t\;\;\;\text{在边界 }\partial\Omega_t\text{ 上}, \end{equation}$
其中 $v_{n_t}$ 是 $\partial\Omega_t$ 的法向扩散速度.假设 $\Gamma_t:\Phi(x,t)=0$, 则
(1.7) $\begin{equation}\label{7} v_{n_t}= (\frac{{\rm d}x_1}{{\rm d}t},\frac{{\rm d}x_2}{{\rm d}t},\cdots, \frac{{\rm d}x_n}{{\rm d}t})\cdot n_t =(\frac{{\rm d}x_1}{{\rm d}t},\frac{{\rm d}x_2}{{\rm d}t},\cdots, \frac{{\rm d}x_n}{{\rm d}t})\cdot \frac{ \nabla \Phi}{\left|\nabla\Phi \right|}, \end{equation}$
其中 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 并且 $\nabla=(\frac{\partial}{\partial x_1},\frac{\partial}{\partial x_2},\cdots,\frac{\partial}{\partial x_n})$.注意到
(1.8) $\begin{equation} \label{8} \frac{\partial\Phi}{\partial t}+\frac{\partial\Phi}{\partial x_1}\cdot \frac{{\rm d}x_1}{{\rm d}t}+\frac{\partial\Phi}{\partial x_2}\cdot \frac{{\rm d}x_2}{{\rm d}t}+\cdots+\frac{\partial\Phi}{\partial x_n}\cdot \frac{{\rm d}x_n}{{\rm d}t}=0. \end{equation}$
(1.9) $\begin{equation} v_{n_t}=-\frac{1}{\left|\nabla\Phi\right|}\cdot\frac{\partial\Phi}{\partial t}. \end{equation}$
(1.10) $\begin{equation} \label{10} u\frac{\partial\Phi}{\partial t}=\nabla u\cdot\nabla \Phi-\chi u\nabla v\cdot\nabla\Phi\;\;\; \text{在边界 }\partial\Omega_t\text{ 上}. \end{equation}$
最后我们得到移动边界 $\Gamma_t$ 的条件
(1.11) $\begin{equation} \label{11} -\nabla u\cdot\frac{\nabla\Phi}{\left|\nabla\Phi\right|}=k(x,t)u\;\;\; \text{在移动边界 }\Gamma_t\text{ 上}, \end{equation}$
(1.12) $\begin{equation} \label{12} u\frac{\partial\Phi}{\partial t}=\nabla u\cdot\nabla \Phi-\chi u\nabla v\cdot\nabla\Phi\;\;\;\text{在移动边界 }\Gamma_t \text{ 上}. \end{equation}$
(1.13) $\begin{equation} \label{13} \left\{ \begin{array}{l} u_t=\nabla(\nabla u-\chi u\nabla v)\hfill \text{在 }\Omega_t\times(0,T)\text{ 内}\\ u=0 \hfill \text{在 }\Omega\times(0,T)\setminus \Omega_t\times(0,T)\text{ 内}\\ -\nabla u\cdot\frac{\nabla\Phi}{\left|\nabla\Phi\right|}=k(x,t)u\hfill \text{在 }\Gamma_t=\partial\Omega_t\times(0,T)\text{ 上}\\ u\frac{\partial\Phi}{\partial t}=\nabla u\cdot\nabla \Phi-\chi u\nabla v\cdot\nabla\Phi \quad\quad \text{在 }\Gamma_t=\partial\Omega_t\times(0,T)\text{ 上}\\ u(x,0)=u_0(x) \hfill \text{在 }\Omega_0\text{ 内}\\ 0=\Delta v+u-1 \hfill \text{在 }\Omega\times(0,T)\text{ 内}\\ \frac{\partial v}{\partial n}=0\hfill \text{在 }\partial\Omega\times(0,T)\text{ 上},\\ \end{array} \right. \end{equation}$
其中 $\Gamma_t:\Phi(x,t)=0$ 是移动边界.
上述自由边界问题已被 Chen 等在文献 [15 ] 中讨论. 本文考虑一个与 (1.3) 相关的移动边界问题, 即
(1.14) $\begin{equation} \label{1.14} \left\{ \begin{array}{l} u_t=\nabla(\nabla u-\chi u\nabla v)\hfill \text{在 }\Omega_t\times(0,T)\text{ 内}\\ u=0 \hfill \text{在 }\Omega\times(0,T)\setminus \Omega_t\times(0,T)\text{ 内}\\ -\nabla u\cdot\frac{\nabla\Phi}{\left|\nabla\Phi\right|}=k(x,t)u\hfill \text{在 }\Gamma_t=\partial\Omega_t\times(0,T)\text{ 上}\\ u\frac{\partial\Phi}{\partial t}=\nabla u\cdot\nabla \Phi-\chi u\nabla v\cdot\nabla\Phi \quad \quad \text{在 }\Gamma_t=\partial\Omega_t\times(0,T)\text{ 上}\\ u(x,0)=u_0(x) \hfill \text{在 }\Omega_0\text{ 内}\\ 0=\Delta v-\lambda v+\alpha u \hfill \text{在 }\Omega\times(0,T)\text{ 内}\\ \frac{\partial v}{\partial n}=0\hfill \text{在 }\partial\Omega\times(0,T)\text{ 上},\\ \end{array} \right. \end{equation}$
其中 $\Gamma_t:\Phi(x,t)=0$ 是移动边界.
注 1.1 如果 $N=1$ 且 $\Gamma_t: x-h(t)=0$, 则 $\nabla\Phi=1$ 且 $\frac{\partial\Phi}{\partial t}=-\frac{{\rm d}h}{{\rm d}t}$. 移动边界的条件转换为
(1.15) $\begin{equation} \label{15} -u_x(x,t)=k(x,t)u\;\;\;\text{在 }\Gamma_t: x=h(t)\text{ 上}\;\;0<t<T \end{equation}$
(1.16) $\begin{equation} \label{16} u\frac{{\rm d}h}{{\rm d}t}=-u_x(x,t)+\chi uv_x(x,t)\;\;\;\text{在 }\Gamma_t: x=h(t)\text{ 上}\;\;0<t<T. \end{equation}$
注 1.2 在注 1.1 的情况下, 如果在 $\Gamma_t$ 上 $u>0$, 则 (1.16) 式等价于
(1.17) $\begin{equation} \label{17} \frac{{\rm d}h}{{\rm d}t}=k(x,t)+\chi v_x(x,t)\;\;\;\text{在 }\Gamma_t: x=h(t)\;\text{上 }\;0<t<T. \end{equation}$
本文的方法是寻找移动边界问题 (1.14) 的一个径向对称解, 其中 $k(x,t)$ 是一个常数. 考虑 $N=1$ 的移动边界问题, 不失一般性, 取 $\Omega_0=(0,b)$, $\Omega=(0,1)$ 且 $0<b<1$, 设 $\chi=\lambda=\alpha= 1$, 则移动边界问题是寻找一对 $(u,v)$ 和一条曲线 $\Gamma_t: x=h(t),\;h(0)=b$, 使得
(1.18) $\begin{equation} \label{18} \left\{ \begin{array}{l} u_t=(u_x-uv_x)_x \hfill 0<x<h(t),\;0<t<T\\ u=0 \hfill h(t)<x<1,\;0<t<T\\ u_x(0,t)=0 \hfill 0<t<T\\ u_x(x,t)+ ku(x,t)=0\;\;\hfill \text{在 } \Gamma_t:x=h(t)\text{ 上},\;0<t<T\\ u\frac{dh}{dt}=-u_x(x,t)+uv_x(x,t)\;\;\text{在 }\Gamma_t:x=h(t)\text{ 上},\;0<t<T\\ u(x,0)=u_0(x)\hfill 0<x<b\\ 0=v_{xx}- v+ u\hfill 0<x<1,\;0<t<T\\ v_x(0,t)=0\hfill 0<t<T\\ v_x(1,t)=0\hfill 0<t<T,\\ \end{array} \right. \end{equation}$
其中 $k$ 是一个正常数. 对于问题 (1.3), Nagai[14 ] 证明了一维模型全局时间解的存在性. 问题 (1.18) 作为 (1.3) 的修正模型, 从数学角度看是一个有趣的问题, 因此可以期待它会有一些新的结果. 事实上, 我们发现如果初始平均种群密度足够大, 那么解将在有限时间内爆破, 并发生趋化崩塌, 即整个种群将集中在一个点上, 并且还得到了爆破时间的估计. 本文采用以下记号
这里 $ u(x,t)\in C([0,t_0]\;,\;H^\sigma(0,h(t))\cap\{u_x(0,t)=0\;,\;u_x(h(t),t)+ku(h(t),t)=0\})$ 意味着对于每个 $t\in [0,t_0]$, $u(x,t)\in H^\sigma(0,h(t))\cap\{u_x(0,t)=0\;,\;u_x(h(t),t) +ku(h(t),t)=0\}$ 并且 $\left\|u(t,\cdot)\right\|_{H^\sigma} \in C[0.t_0]$；$u(x,t)\in C^1([0,t_0 ], L^2(0,1))$ 意味着 $u(x,t)\in C([0,t_0 ],L^2(0,1))$ 且 $u_t(x,t)\in C([0,t_0],L^2(0,1))$ 等等. 某个正常数 $M_0< 1/2\cdot\frac{\min\{b,\;1-b\}}{t_0}$ 且常数 $\sigma\leq 2$.
定理 1.1 在 $u_0(x)\in H^2(0,b)$ 和 $u_0>0$ 的条件下, 存在一对 $(u,v)\in (X_h^\sigma\cap Y_h)\times X_v^{1+\frac{\sigma}{2}}$ 和一条曲线 $\Gamma_t:x=h(t)\in B$, 它们是 (1.18) 在某个足够小的 $t_0>0$ 上的解.
定理 1.2 如果 $\left\|u_0\right\|_{L^1}<\frac{k}{e}$, 则移动边界 $h(t)$ 是递增的.
定理 1.3 如果 $h(0)=b<x_0=1-\frac{1}{2}\ln(e^2-e+1)$ 且 $\left\|u_0\right\|_{L^1}>\frac{2k(e-1)}{e^{1-b}-(e-1+e^{-1})e^b}$, 则移动边界 $h(t)$ 是递减的, 且 $u(x,t)$ 在有限时间 $t^*$ 内塌陷, $t^*<\frac{b}{M_1}$, 其中 $M_1=-(k+\frac{1}{2(e-1)}\left\|u_0\right\|_{L^1}[(e-1+\frac{1}{e})e^b-e^{1-b}])$.
2 一些基本引理
本节建立一些在后续证明中至关重要的引理. 对于每个固定的 $h(t)\in B$, 考虑以下问题
(2.1) $\begin{equation} \label{2.1} \left\{ \begin{array}{l} u_t=(u_x-uv_x)_x \hfill 0<x<h(t),\;0<t<t_0\\ u=0 \hfill h(t)<x<1,\;0<t<t_0\\ u_x(0,t)=0 \hfill 0<t<t_0\\ u_x(x,t)+ku(x,t)=0\;\quad\hfill \text{在 } \Gamma_t:x=h(t) \text{ 上},\;0<t<t_0\\ u(x,0)=u_0(x)\hfill 0<x<b\\ \end{array} \right. \end{equation}$
(2.2) $\begin{equation} \label{2.2} \left\{ \begin{array}{l} 0=v_{xx}- v+ u\hfill\quad 0<x<1,\;0<t<t_0\\ v_x(0,t)=0\hfill 0<t<t_0\\ v_x(1,t)=0\hfill 0<t<t_0.\\ \end{array} \right. \end{equation}$
引理 2.1 对于 $h(t)\in B$, $u_0(x)\in H^2(0,b)$ 且 $v\in X_v^2$, 问题
(2.3) $\begin{equation} \label{21} \left\{ \begin{array}{l} u_t=(u_x-uv_x)_x \hfill 0<x<h(t),\;0<t<t_0\\ u_x(0,t)=0 \hfill 0<t<t_0\\ u_x(x,t)+ku(x,t)=0\;\quad\hfill \text{在 } \Gamma_t:x=h(t)\text{ 上},\;0<t<t_0\\ u(x,0)=u_0(x)\hfill 0<x<b,\\ \end{array} \right. \end{equation}$
存在唯一解 $u\in X_h^2\cap Y_h$, 并且对于每个 $1<\sigma< 2$ 和足够小的 $t_0$
(2.4) $\begin{equation}\label{22} \left\|u\right\|_{X_h^\sigma}\leq C\left\|u_0\right\|_{H^2}+ Ct_0^{\frac{1}{2}-\frac{\sigma}{4}}\left\|v\right\|_{X_v^{1+\frac{\sigma}{2}}}\cdot\left\|u\right\|_{X_h^\sigma}, \end{equation}$
其中 $C$ 依赖于 $M_0$ 但不依赖于 $t_0$ 和 $h\in B$.
显然, (2.3) 式的解 $u(x,t)$ 也是问题 (2.1) 的解.
对于问题 (2.2), 根据常微分方程的存在性结果和直接计算, 可以得到
(2.5) $\begin{equation}\label{36} \begin{split} v(x,t)=&(-\frac{1}{2}\int_0^x{u(\xi,t)e^{-\xi}}{\rm d}\xi+ \frac{1}{2(e^2-1)}\int_0^1{u(\xi,t)(e^\xi+e^{2-\xi})}{\rm d}\xi)e^x\\ &+(\frac{1}{2}\int_0^x{u(\xi,t)e^\xi}{\rm d}\xi+ \frac{1}{2(e^2-1)}\int_0^1{u(\xi,t)(e^\xi+e^{2-\xi})}{\rm d}\xi)e^{-x}. \end{split} \end{equation}$
(2.6) $\begin{aligned}\label{37} v_x(x,t)=&(-\frac{1}{2}\int_0^x{u(\xi,t)e^{-\xi}}{\rm d}\xi +\frac{1}{2(e^2-1)}\int_0^1{u(\xi,t)(e^\xi+e^{2-\xi})}{\rm d}\xi)e^x\\ & -(\frac{1}{2}\int_0^x{u(\xi,t)e^\xi}{\rm d}\xi +\frac{1}{2(e^2-1)}\int_0^1{u(\xi,t)(e^\xi+e^{2-\xi})}{\rm d}\xi)e^{-x}\\ \geq & -\frac{e}{2}\int_0^1{u(\xi,t)e^{-\xi}}{\rm d}\xi +\frac{1}{2(e^2-1)}\int_0^1{u(\xi,t)(e^\xi+e^{2-\xi})}{\rm d}\xi\\ &-\frac{1}{2}\int_0^1{u(\xi,t)e^\xi}{\rm d}\xi -\frac{1}{2(e^2-1)}\int_0^1{u(\xi,t)(e^\xi+e^{2-\xi})}{\rm d}\xi\\ \geq & -\frac{e}{2}\int_0^1{u(\xi,t)}{\rm d}\xi-\frac{e}{2}\int_0^1{u(\xi,t)}{\rm d}\xi\\ = & -e\int_0^1{u(\xi,t)}{\rm d}\xi, \quad 0\leq x\leq 1. \end{aligned}$
(2.7) $\begin{equation}\label{38} \begin{split} v_x(x,t) \leq & -\frac{1}{2e}\int_0^x{u(\xi,t)}{\rm d}\xi\cdot e^x+\frac{1}{2(e^2-1)} \int_0^1{u(\xi,t)(e+e^2)}{\rm d}\xi\cdot e^x\\ & -\frac{1}{2}\int_0^x{u(\xi,t)}{\rm d}\xi\cdot e^{-x} -\frac{1}{2(e^2-1)}\int_0^1{u(\xi,t)(1+e)}{\rm d}\xi\cdot e^{-x}. \end{split} \end{equation}$
(2.8) $\begin{equation}\label{39} \begin{split} v_x(h(t),t) \leq & -\frac{1}{2e}\int_0^{h(t)}{u(\xi,t)}{\rm d}\xi\cdot e^{h(t)}+ \frac{1}{2(e^2-1)}\int_0^1{u(\xi,t)(e+e^2)}{\rm d}\xi\cdot e^{h(t)}\\ & -\frac{1}{2}\int_0^{h(t)}{u(\xi,t)}{\rm d}\xi\cdot e^{-h(t)} -\frac{1}{2(e^2-1)}\int_0^1{u(\xi,t)(1+e)}{\rm d}\xi\cdot e^{-h(t)}\\ \leq & -\frac{1}{2e}\int_0^{h(t)}{u(\xi,t)}{\rm d}\xi\cdot e^{h(t)}+ \frac{e}{2(e-1)}\int_0^1{u(\xi,t)}{\rm d}\xi\cdot e^{h(t)}\\ & -\frac{1}{2}\int_0^{h(t)}{u(\xi,t)}{\rm d}\xi\cdot e^{-h(t)} -\frac{1}{2(e-1)}\int_0^1{u(\xi,t)}{\rm d}\xi\cdot e^{-h(t)}. \end{split} \end{equation}$
在式(2.5) 中对 $x$ 求导两次, 可以得到以下结果.
引理 2.2 如果 $u\in C([0,t_0],L^2(0,1))$, 则 (2.2) 式有唯一解 $v\in X_v^2$,
(2.9) $\begin{aligned} v(x, t)= & \left(-\frac{1}{2} \int_{0}^{x} u(\xi, t) e^{-\xi} \mathrm{d} \xi+\frac{1}{2\left(e^{2}-1\right)} \int_{0}^{1} u(\xi, t)\left(e^{\xi}+e^{2-\xi}\right) \mathrm{d} \xi\right) e^{x} \\ & +\left(\frac{1}{2} \int_{0}^{x} u(\xi, t) e^{\xi} \mathrm{d} \xi+\frac{1}{2\left(e^{2}-1\right)} \int_{0}^{1} u(\xi, t)\left(e^{\xi}+e^{2-\xi}\right) \mathrm{d} \xi\right) e^{-x} \\ & 0 \leq x \leq 1,0 \leq t \leq t_{0} \end{aligned}$
(2.10) $\begin{equation} \label{2.10} \left\|v_{xx}(\cdot,t)\right\|_{L^\infty(0,1)}\leq C\left\|u(\cdot,t)\right\|_{L^\infty(0,1)},\;0\leq t\leq t_0, \end{equation}$
(2.11) $\begin{equation} \label{2.11} \left\|v(\cdot,t)\right\|_{L^1(0,1)}\leq C\left\|u(\cdot,t)\right\|_{L^1(0,1)},\;0\leq t\leq t_0, \end{equation}$
(2.12) $\begin{equation} \label{2.12} \int_0^1v(x,t){\rm d}x= \int_0^1u(x,t){\rm d}x,\;0\leq t\leq t_0. \end{equation}$
证 式 (2.9), (2.10), (2.11) 是显而易见的. 为了证明 (2.12) 式, 将 (2.2) 式中的方程对 $x$ 在 $(0,1)$ 上积分, 并应用 (2.2) 式的边界条件, 即可得到 (2.12) 式. 于是引理得证.
引理 2.3 如果 $h(t)\in B,\;u_0(x)\in H^2(0,b)$, 则对于某个足够小的 $t_0>0$, 系统 (2.1) 和 (2.2) 有唯一解 $(u,v)\in (X_h^\sigma\cap Y_h)\times X_v^{1+\frac{\sigma}{2}}$ 并且
其中 $\sigma< 2$ 且 $C$ 由 (1.13) 式给出, 且 $C$ 不依赖于 $t_0$.
证 如果 $\left\|u_0\right\|_{H^2}=0$, 则引理成立.在接下来的部分, 我们考虑 $\left\|u_0\right\|_{H^2}>0$. 对于 $w\in X_h^\sigma$, $w(x,0)=u_0(x)$ 且 $w(x,t)=0$, $(x,t)\in \{(x,t)\mid h(t)<x<1,\;0<t<t_0\}$, 则 $w\in C([0,t_0],L^2(0,1))$. 根据引理 2.2, 在 (2.2) 式中用 $w$ 替换 $u$, 并令 $v=v(w)$ 为 (2.2) 式的相应解, 则 $v\in X_h^\sigma$ 并且
(2.13) $\begin{equation} \label{2.13} \left\|v(\cdot,t)\right\|_{H^2(0,1)}\leq C\left\|w(\cdot,t)\right\|_{L^2(0,1)},\;0\leq t\leq t_0. \end{equation}$
其次, 对于 $v=v(w)$, 我们定义 $u=u(v(w))$ 为 (2.1) 式的相应解, 根据引理 2.1, 我们知道 $u(v(w))\in X_h^2\cap Y_h$, 并且对于 $1<\sigma<2$ 和足够小的 $t_0>0$,
(2.14) $\begin{equation}\label{2.14} \left\|u\right\|_{X_h^\sigma}\leq C\left\|u_0\right\|_{H^2}+ Ct_0^{\frac{1}{2}-\frac{\sigma}{4}}\left\|v(w)\right\|_{X_v^{1+\frac{\sigma}{2}}}\cdot\left\|u\right\|_{X_h^\sigma}, \end{equation}$
其中 $C$ 依赖于 $M_0$ 但不依赖于 $t_0$ 和 $h\in B$. 定义 $Gw=u(v(w))$, 我们有 $G$: $X_h^\sigma\rightarrow X_h^\sigma$.
选择 $M=2C\left\|u_0\right\|_{H^2}$ 和一个球
其中常数 $C$ 由 (2.4) 式给出. 从 (2.13) 和 (2.14) 式, 可以推断出
(2.15) $\begin{equation}\label{46} \begin{split} \left\|Gw\right\|_{X_h^\sigma}\leq & C\left\|u_0\right\|_{H^2}+ Ct_0^{\frac{1}{2}-\frac{\sigma}{4}}\left\|v(w)\right\|_{X_v^{1+\frac{\sigma}{2}}}\cdot\left\|Gw\right\|_{X_h^\sigma}\\ \leq & C\left\|u_0\right\|_{H^2}+ Ct_0^{\frac{1}{2}-\frac{\sigma}{4}}M\left\|Gw\right\|_{X_h^\sigma}, \end{split} \end{equation}$
这表明对于足够小的 $t_0>0$, $\left\|Gw\right\|_{X_h^\sigma}\leq 2C\left\|u_0\right\|_{H^2}$. 现在已经证明了 $G$ 将 $B_M$ 映射到 $B_M$. 接下来我们将证明, 对于足够小的 $t_0$, $G$ 是一个压缩映射. 事实上, 令 $w_1,\;w_2\in B_M$, $v_1,\;v_2$ 表示 ((2.2) 式的相应解, 则 $Gw_1-Gw_2=u_1-u_2$ 满足
(2.16) $\begin{equation}\label{47} \left\{ \begin{array}{l} (u_1-u_2)_t=(u_1-u_2)_{xx}-v_{1x}(u_1-u_2)_x +(v_1-v_2)_xu_{2x}\\\hfill-v_{1xx}(u_1-u_2)+(v_1-v_2)_{xx}u_2\quad \quad 0<x<h(t),\;0<t<t_0\\ (u_1-u_2)_x(0,t)=0\hfill 0<t<t_0\\ (u_1-u_2)_x+(u_1-u_2)(x,t)=0\hfill \text{在 }\Gamma_t=h(t)\text{ 上},\;0<t<t_0\\ (u_1-u_2)(x,0)=0\hfill 0<x<b.\end{array}\right. \end{equation}$
(2.17) $\begin{equation} \begin{array}{c} \left\|u_1-u_2\right\|_{X_h^\sigma}\leq Ct_0^{\frac{1}{2}-\frac{\sigma}{4}}(\left\|v_1-v_2\right\|_{X_v^{1+\frac{\sigma}{2}}}+\left\|u_1-u_2\right\|_{X_h^\sigma}),\\ \end{array} \end{equation}$
其中常数 $C$ 依赖于 $M$, 但不依赖于 $t_0$. 注意到 $v_1-v_2$ 满足
(2.18) $\begin{equation} \label{49} \left\{ \begin{array}{l} 0=(v_1-v_2)_{xx}- (v_1-v_2)+ (w_1-w_2)\quad0<x<1,\;0<t<t_0\\ (v_1-v_2)_x(0,t)=0\hfill 0<t<t_0\\ (v_1-v_2)_x(1,t)=0\hfill 0<t<t_0.\\ \end{array} \right. \end{equation}$
(2.19) $\begin{equation}\label{50} \begin{array}{c} \left\|u_1-u_2\right\|_{X_h^\sigma}\leq Ct_0^{\frac{1}{2}-\frac{\sigma}{4}}(\left\|w_1-w_2\right\|_{X_v^{1+\frac{\sigma}{2}}}+\left\|u_1-u_2\right\|_{X_h^\sigma}).\\ \end{array} \end{equation}$
根据 (2.19) 式容易推断出对于足够小的 $t_0>0$, $G$ 是一个压缩映射.引理 2.3 得证.
3 定理 1.1 的证明
(3.1) $\begin{equation} \label{51} \left\{ \begin{array}{l} u_t=(u_x-uv_x)_x \hfill 0<x<h(t),\;0<t<t_0\\ u=0 \hfill h(t)<x<1,\;0<t<t_0\\ u_x(0,t)=0 \hfill 0<t<t_0\\ u_x(x,t)+k u(x,t)=0\quad\hfill \text{在 } \Gamma_t:x=h(t)\text{ 上},\;0<t<t_0\\ \frac{dh}{dt}=k+v_x(x,t)\quad\hfill \text{在 }\Gamma_t:x=h(t)\text{ 上},\;0<t<t_0\\ u(x,0)=u_0(x)\hfill 0<x<b\\ 0=v_{xx}-v+u\hfill 0<x<1,\;0<t<t_0\\ v_x(0,t)=0\hfill 0<t<t_0\\ v_x(1,t)=0\hfill 0<t<t_0.\\ \end{array} \right. \end{equation}$
引理 3.1 在 $u_0(x)\in H^2(0,b)$ 的条件下, 存在一对 $(u,v)\in (X_h^\sigma\cap Y_h)\times X_v^{1+\frac{\sigma}{2}}$ 和一条曲线 $\Gamma_t:x=h(t)\in B$ 是 (3.1) 式在某个足够小的 $t_0>0$ 上的解.
证 对于每个 $h(t)\in B $, 根据引理 2.3 可知, 存在一对 $(u,v)\in (X_h^\sigma\cap Y_h)\times X_v^{1+\frac{\sigma}{2}}$, 是如下问题的解
(3.2) $\begin{equation} \label{3.2} \left\{ \begin{array}{l} u_t=(u_x-uv_x)_x \hfill 0<x<h(t),\;0<t<t_0\\ u=0 \hfill h(t)<x<1,\;0<t<t_0\\ u_x(0,t)=0 \hfill 0<t<t_0\\ u_x(x,t)+k u(x,t)=0\quad\hfill \text{在 } \Gamma_t:x=h(t)\text{ 上},\;0<t<t_0\\ u(x,0)=u_0(x)\hfill 0<x<b\\ 0=v_{xx}-v+u\hfill 0<x<1,\;0<t<t_0\\ v_x(0,t)=0\hfill 0<t<t_0\\ v_x(1,t)=0\hfill 0<t<t_0.\\ \end{array} \right. \end{equation}$
(3.3) $\begin{equation}\label{3.3}s(t)=b+kt+\int_0^t{v_x(h(\tau),\tau)}{\rm d}\tau. \end{equation}$
根据 (2.6)、(2.7) 式和引理 2.3, 可得
(3.4) $\begin{equation} \label{54} \begin{split} \left|\frac{s(t_1)-s(t_2)}{t_1-t_2}\right|\leq & k+\left|\frac{1}{t_1-t_2}\right|\int_{t_1}^{t_2} \left|v_x(h(t),t)\right| {\rm d}t\\ \leq & k+C\left\|u\right\|_{L^1(0,1)}\\ \leq & k+C\left\|u_0\right\|_{H^2}, \qquad 0\leq t_1<t_2\leq t_0, \end{split} \end{equation}$
其中 $C$ 不依赖于 $t_0$.令 $M_2$ 表示 (3.4) 式右侧的常数, 如果 $t_0$ 足够小, 则
(3.5) $\begin{equation} \label{55} 1/2\cdot\frac{\min\{b,\;1-b\}}{t_0}>M_2. \end{equation}$
在 $B$ 中取 $M_0=M_2$, 显然 $B\subset C[0,t_0]$ 是一个紧的闭凸集. 定义 $G:h(t)\rightarrow s(t)$, 因此 $G$ 将 $B$ 映射到 $B$.接下来我们将证明 $G$ 是连续的, 然后根据 Schauder 定理将得出存在一对 $(u,v)$ 和一条曲线 $\Gamma_t:x=h(t)$ 是 (3.1) 式的解. 对于 $h_1(t),\;h_2(t)\in B$, 令 $(u_1,v_1)$ 和 $(u_2,v_2)$ 分别表示 (2.1)、(2.2) 式的相应解, 则
(3.6) $\begin{equation} \label{3.6} \begin{split} &G(h_1)-G(h_2) =s_1(t)-s_2(t) =\int_0^t{v_{1x}(h_1(\tau),\tau)}{\rm d}\tau-\int_0^t{v_{2x}(h_2(\tau),\tau)}{\rm d}\tau\\ =&\int_0^t{(v_{1x}(h_1(\tau),\tau)-v_{1x}(h_2(\tau),\tau))}{\rm d}\tau+ \int_0^t{(v_{1x}(h_2(\tau),\tau)-v_{2x}(h_2(\tau),\tau))}{\rm d}\tau. \end{split} \end{equation}$
(3.7) $\begin{equation} \label{3.7} \begin{split} \left|v_{1x}(h_1(\tau),\tau)-v_{1x}(h_2(\tau),\tau)\right| \leq & \left\|v_{1xx}(\cdot,\tau)\right\|_{L^\infty(0,1)}\sup\limits_{0\leq \tau\leq t_0}\left|h_1-h_2\right|\;\;\;\;\;\\ \leq & c\left\|u_0\right\|_{H^2}\sup\limits_{0\leq \tau\leq t_0}\left|h_1-h_2\right|,\;0\leq\tau\leq t_0. \end{split} \end{equation}$
(3.8) $\begin{equation} \label{58} \left\{ \begin{array}{l} 0=(v_1-v_2)_{xx}-(v_1-v_2)+u_1-u_2\\ (v_1-v_2)_x(0,t)=0\;,\hfill (v_1-v_2)_x(1,t)=0\;,\;0\leq t\leq t_0.\\ \end{array} \right. \end{equation}$
(3.9) $\begin{equation} \label{3.9} \begin{array}{l} \left\|v_1(\cdot,t)-v_2(\cdot,t)\right\|_{H^2}\leq C\left\|u_1(\cdot,t)-u_2(\cdot,t)\right\|_{L^2},\;\; 0\leq t \leq t_0. \end{array} \end{equation}$
令 $\overline{h}(t)=\max\{h_1(t),h_2(t)\}$ 且 $\underline{h}(t)=\min\{h_1(t),h_2(t)\}$.
(3.10) $\begin{equation} \label{3.10} \begin{split} \left\|u_1-u_2\right\|_{L^2}^2 =& \int_0^{\underline{h}}{\left|u_1-u_2\right|^2}{\rm d}x+ \int_{\underline{h}}^{\overline{h}}{\left|u_1-u_2\right|^2}{\rm d}x\\ \leq & \int_0^{\underline{h}}{\left|u_1-u_2\right|^2}{\rm d}x+C \left\|u_0\right\|_{H^2}^2\left|h_1-h_2\right|,\;0\leq t\leq t_0. \end{split} \end{equation}$
(3.11) $\begin{equation} \label{3.11} \left\{ \begin{array}{l} \xi=\frac{x}{\underline{h}(t)}\\ \tau=t,\\ \end{array} \right. \end{equation}$
并设 $\widetilde{u}_i(\xi,\tau)=u_i(\xi \underline{h}(t),t)$, $\widetilde{v}_i(\xi,\tau)=v_i(\xi \underline{h}(t),t)$ $(i=1,2)$, 因此 $\widetilde{u}_1-\widetilde{u}_2$ 满足
(3.12) $\begin{equation} \label{3.12} \left\{ \begin{array}{l} (\widetilde{u}_1-\widetilde{u}_2)_\tau=\frac{1}{\underline{h}^2}(\widetilde{u}_1-\widetilde{u}_2)_{\xi\xi}+(\frac{\xi \underline{h}^\prime}{\underline{h}}-\frac{\widetilde{v}_{1\xi}}{\underline{h}^2})(\widetilde{u}_1-\widetilde{u}_2)_\xi -\frac{1}{\underline{h}^2}\widetilde{v}_{1\xi\xi}(\widetilde{u}_1-\widetilde{u}_2)\\ -(\frac{\widetilde{v}_{1\xi\xi}-\widetilde{v}_{2\xi\xi}}{\underline{h}^2})\widetilde{u}_2 +(\frac{\widetilde{v}_{2\xi}-\widetilde{v}_{1\xi}}{\underline{h}^2})\widetilde{u}_{2\xi}\;\hfill0<\xi<1\;,\;0<\tau<t_0\\ (\widetilde{u}_1-\widetilde{u}_2)_\xi(0,\tau)=0\hfill\\ (\widetilde{u}_1-\widetilde{u}_2)_\xi(1,\tau)+k \underline{h} (\tau)(\widetilde{u}_1-\widetilde{u}_2)(1,\tau)=\Theta\hfill 0<\tau<t_0\\ (\widetilde{u}_1-\widetilde{u}_2)(\xi,0)=0\hfill 0<\xi<1, \end{array} \right. \end{equation}$
从 (3.12) 式中我们得到, 如果 $h_1\rightarrow h_2\;\text{in}\;\;C[0,t_0]$, 则
(3.13) $\begin{equation} \label{63} \begin{split} \int_0^{\underline{h}}{(u_1-u_2)^2}{\rm d}x = & \int_0^1{(\widetilde{u}_1}-\widetilde{u}_2)^2\left|\underline{h}(t)\right|{\rm d}\xi\\ = & \left|\underline{h}(t)\right|\int_0^1{(\widetilde{u}_1}-\widetilde{u}_2)^2{\rm d}\xi, \quad 0\leq t\leq t_0. \end{split} \end{equation}$
(3.14) $\begin{equation} \label{64} \begin{split} & \left|G(h_1)-G(h_2)\right| =\left|s_1(t)-s_2(t)\right|\\ \leq & \int_0^t{\left|v_{1x}(h_1(\tau),\tau)-v_{1x}(h_2(\tau),\tau)\right|}{\rm d}\tau +\int_0^t{\left|v_{1x}(h_2(\tau),\tau)-v_{2x}(h_2(\tau),\tau)\right|}{\rm d}\tau\\ \leq & Ct_0\sup\limits_{0\leq \tau\leq t_0}\left|h_1-h_2\right|+ Ct_0\sup\limits_{0\leq t\leq t_0}\left\|u_1-u_2\right\|_{L^2}\\ \leq & Ct_0\sup\limits_{0\leq \tau\leq t_0}\left|h_1-h_2\right|+Ct_0(\sup\limits_{0\leq t\leq t_0}\left|h_1-h_2\right| +\sup\limits_{0\leq t\leq t_0}\int_0^{\underline{h}}{(u_1-u_2)^2}{\rm d}x)^{\frac{1}{2}}\;,\quad0\leq t\leq t_0. \end{split} \end{equation}$
当 $\left\|h_1-h_2\right\|_{C[0,t_0]}$ 收敛于零时, (3.14) 式的右侧也趋于零. 由此得 $\sup\limits_{0\leq t\leq t_0}\left|G(h_1)-G(h_2)\right|$ 也趋于零, 这表明映射 $G$ 在 $C[0,t_0]$ 上是连续的. 根据 Schauder 定理可知, 存在一对 $(u,v)\in X_h^\sigma\times X_v^{1+\frac{\sigma}{2}}$ 和一条曲线 $\Gamma_t:x=h(t)\in B$ 是 (3.1) 式的解.
如果 $u_0(x)> 0$, 那么从 (3.1) 式的第一个方程, 我们可以推断出局部解 $(u,v)$ 满足 $u>0$.
引理 3.2 如果 $u_0(x)> 0$ 且 $(u,v)$ 是 (3.1) 式的一个局部解, 那么 $(u,v)$ 满足
(3.15) $\begin{equation}\label{3.15} \left\|u(\cdot,t)\right\|_{L^1}=\left\|u_0\right\|_{L^1}. \end{equation}$
证 将 (3.1) 式的第一个方程在 $(0,h(t))$ 上积分, 得
(3.16) $\begin{equation}\label{3.16} \begin{split} \int_0^{h(t)}{u_t(x,t)}{\rm d}x =& \int_0^{h(t)}{(u_x(x,t)-u(x,t)v_x(x,t))_x}{\rm d}x\\ =& u_x(h(t),t)-u(h(t),t)v_x(h(t),t)\\ =& u(h(t),t)(-k-v_x(h(t),t)). \end{split} \end{equation}$
(3.17) $\begin{equation}\label{67} \begin{split} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_0^{h(t)}{u(x,t)}{\rm d}x =& \int_0^{h(t)}{u_t(x,t)}{\rm d}x+u(h(t),t)\frac{{\rm d}h}{{\rm d}t}\\ =& u(h(t),t)(\frac{{\rm d}h}{{\rm d}t}-k-v_x(h(t),t))\\ =& 0. \end{split} \end{equation}$
(3.18) $\begin{equation} \label{68}\begin{array}{l}\left\|u\right\|_{L^1} =\int_0^{h(t)}{u(x,t)}{\rm d}x =\int_0^{h(0)}{u(x,0)}{\rm d}x =\int_0^b{u_0}{\rm d}x =\left\|u_0\right\|_{L^1}. \end{array} \end{equation}$
证 [定理 1.1 的证明] 从引理 3.1、引理 3.2 和注 1.2 可知, 这对 $(u,v)\in (X_h^\sigma\cap Y_h)\times X_v^{1+\frac{\sigma}{2}}$ 和曲线 $\Gamma_t:x=h(t)\in B$ 也是问题 (1.18) 的解.
4 移动边界的性质
证 [定理 1.2 的证明] 从引理 3.2 和 (2.6) 式, 可以很容易地得到
(4.1) $\begin{equation} \label{4.1} \begin{array}{c} v_x(h(t),t) \geq-e\int_0^1{u(\xi,t)}{\rm d}\xi =-e\left\|u_0\right\|_{L^1}. \end{array} \end{equation}$
另一方面, 我们知道 $h^\prime(t)=k+v_x(h(t),t)$.如果 $\left\|u_0\right\|_{L^1}<\frac{k}{e}$, 那么 $h^\prime(t)>0$, 如所要求.
证 [定理 1.3 的证明] 根据式 (2.8) 式可得
(4.2) $\begin{equation}\label{4.2} \begin{split} v_x(h(t),t) \leq& -\frac{1}{2e}\int_0^{h(t)}{u(\xi,t)}{\rm d}\xi\cdot e^{h(t)}+ \frac{e}{2(e-1)}\int_0^1{u(\xi,t)}{\rm d}\xi\cdot e^{h(t)}\\ & -\frac{1}{2}\int_0^{h(t)}{u(\xi,t)}{\rm d}\xi\cdot e^{-h(t)} -\frac{1}{2(e-1)}\int_0^1{u(\xi,t)}{\rm d}\xi\cdot e^{-h(t)}\\ =& -\frac{1}{2e}\left\|u_0\right\|_{L^1}\cdot e^{h(t)}+ \frac{e}{2(e-1)}\left\|u_0\right\|_{L^1}\cdot e^{h(t)}\\ & -\frac{1}{2}\left\|u_0\right\|_{L^1}\cdot e^{-h(t)} -\frac{1}{2(e-1)}\left\|u_0\right\|_{L^1}\cdot e^{-h(t)}\\ =& \frac{1}{2(e-1)}\left\|u_0\right\|_{L^1}[(e-1+\frac{1}{e})e^{h(t)}- e^{1-h(t)}]. \end{split} \end{equation}$
设 $f(x)=(e-1+\frac{1}{e})e^x- e^{1-x}$, 很明显 $f(x)$ 是严格递增的, 并且对于 $x_0=1-\frac{1}{2}\ln(e^2-e+1)>0$, $f(x_0)=0$. 如果 $h(0)=b<x_0$, 那么
(4.3) $\begin{equation} \label{4.3} \begin{array}{c} v_x(h(0),0)=\frac{1}{2(e-1)}\left\|u_0\right\|_{L^1}[(e-1+\frac{1}{e})e^b- e^{1-b}] <0, \end{array} \end{equation}$
(4.4) $\begin{equation} \label{4.4} \begin{array}{c} \left\|u_0\right\|_{L^1} >\frac{2k(e-1)}{e^{1-b}-(e-1+e^{-1})e^b},\\ \end{array} \end{equation}$
(4.5) $\begin{equation} \label{4.5} \begin{array}{c} h^\prime(0)=k+v_x(b,0)<0. \end{array} \end{equation}$
注意到 (4.3) 式并且 $f(x)$ 是递增的, 我们知道对于 $t>0$, $h^\prime(t)<0$. 因为
(4.6) $\begin{equation}\label{4.6} \begin{split} h^\prime(t)=& k+v_x(h(t),t)\\ \leq& k+\frac{1}{2(e-1)}\left\|u_0\right\|_{L^1}[(e-1+\frac{1}{e})e^{h(t)}- e^{1-h(t)}]\\ \leq& k+\frac{1}{2(e-1)}\left\|u_0\right\|_{L^1}[(e-1+\frac{1}{e})e^b- e^{1-b}] = h^\prime(0)<0, \end{split} \end{equation}$
很容易看出存在唯一的时间 $t^*>0$, 使得 $h(t^*)=0$, 在这种情况下, 当 $t\rightarrow t^*$ 时, $h(t)\rightarrow 0$, 并且在 $[0,h(t)]$ 之外, $u\equiv 0$. 引理 3.2 意味着当 $t\rightarrow t^*$ 时, $u(x,t)\rightarrow \left\|u_0\right\|_{L^1}\cdot\delta(x)$, 这表明 $u(x,t)$ 在有限时间 $t^*$ 内具有狄拉克$\delta$型奇点. 对于 $t>0$, $h^\prime(t)<h^\prime(0)=k+\frac{1}{2(e-1)}\left\|u_0\right\|_{L^1}[(e-1+\frac{1}{e})e^b-e^{1-b}]=:-M_1$, 我们有 $h(t^*)-h(0)=0-b<-M_1t^*$. 因此 $t^*<\frac{b}{M_1}$.
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1995
... 对于问题 (1.2), 一些作者已经获得了许多结果 (参加文献 [10 14 ]). 由于 $v$ 的空间扩散速度远快于 $u$ 的空间扩散速度, 因此可以认为 $u$ 占据的空间域是 $v$ 在同一时间占据的空间域的子集. 换句话说, 令 $\Omega\subset \mathbb{R}^{N}$ 是一个有界开域, $\Omega_0\subset\subset\Omega$ 是一个开子域. 假设一个种群密度 $u(x,0)$ 占据域 $\Omega_0$, 而在 $\Omega_0$ 外部, 种群密度 $u(x,0)\equiv 0$, 外部信号 $v$ 占据 $\Omega$. 对于 $t>0$, $u(x,t)$ 扩展到域 $\Omega_t\subset \Omega$. 令 $\partial \Omega_t$ 表示 $\Omega_t$ 的边界, $n_t$ 表示 $\partial \Omega_t$ 的外法向量, 则 $\Gamma_t=\partial \Omega_t\times (0,T)$ 是移动边界. 物种的空间扩散指的是在时间 $t\geq 0$ 时物种所占据的区域 $\Omega_t$ 的移动边界. 观察到通量随着物种密度的增加而增加, 因此假设通量与密度成正比是合理的, 进而我们在 $\partial\Omega_t$ 上有如下的通量条件 ...
... 其中 $k$ 是一个正常数. 对于问题 (1.3), Nagai[14 ] 证明了一维模型全局时间解的存在性. 问题 (1.18) 作为 (1.3) 的修正模型, 从数学角度看是一个有趣的问题, 因此可以期待它会有一些新的结果. 事实上, 我们发现如果初始平均种群密度足够大, 那么解将在有限时间内爆破, 并发生趋化崩塌, 即整个种群将集中在一个点上, 并且还得到了爆破时间的估计. 本文采用以下记号 ...
The moving boundary problem in a chemotaxis model
2
2012
... 上述自由边界问题已被 Chen 等在文献 [15 ] 中讨论. 本文考虑一个与 (1.3) 相关的移动边界问题, 即 ...
... 证 参见文献 [15 ,引理 3.1]. ...
