肿瘤血管生成模型解的整体有界性和大时间行为——献给陈化教授 70 寿辰

肿瘤血管生成模型解的整体有界性和大时间行为——献给陈化教授 70 寿辰

张文杰^,¹^,², 穆春来^,³^,⁴^,^*

1 伊犁师范大学数学与统计学院伊宁 835000

2 伊犁师范大学应用数学研究所伊宁 835000

3 重庆大学数学与统计学院重庆 401331

4 重庆大学流体与趋化数学分析创新中心重庆 401331

Global Boundedness and Large Time Behavior for a Chemotaxis-convection Model Describing Tumor Angiogenesis

Zhang Wenjie^,¹^,², Mu Chunlai^,³^,⁴^,^*

1 College of Mathematics and Statistics, Yili Normal University, Yining 835000

2 Institute of Applied mathematics, Yili Normal University, Yining 835000

3 College of Mathematics and Statistics, Chongqing University, Chongqing 401331

4 Innovation Center for Mathematical Analysis of Fluid and Chemotaxis, Chongqing University, Chongqing 401331

通讯作者: ^*穆春来, Email：clmu2005@163.com

收稿日期: 2025-10-28 修回日期: 2026-01-6

基金资助:

新疆维吾尔自治区青年科学基金(2025D01C372)
国家自然科学基金(12271064)
重庆市人才支持计划(cstc2022ycjhbgzxm0169)
重庆市自然科学基金(CSTB2023NSCQ-LZX0089)
中央高校基本科研业务费(2022CDJJCLK002)
中央高校基本科研业务费(2021CDJZYJH004)

教育部非线性分析及其应用重点实验室(重庆大学)

Received: 2025-10-28 Revised: 2026-01-6

Fund supported:

Youth Science Foundation of Xinjiang Uygur Autonomous Region(2025D01C372)
NSFC(12271064)
Chongqing Talent Support program(cstc2022ycjhbgzxm0169)
Natural Science Foundation of Chongqing(CSTB2023NSCQ-LZX0089)
Fundamental Research Funds for the Central Universities(2022CDJJCLK002)
Fundamental Research Funds for the Central Universities(2021CDJZYJH004)

Key Laboratory of Nonlinear Analysis and its Applications (Chongqing University), Ministry of Education

作者简介 About authors

张文杰,Email：wenjoyz@163.com

摘要

该文主要研究一类描述肿瘤毛细血管芽生长的趋化--对流模型的初边值问题$$\begin{equation*} \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u-\chi_1\nabla\cdot(u\nabla v)+\chi_2\nabla\cdot(u\nabla w), &(x,t)\in\Omega\times(0, \infty),\\ \frac{\partial v}{\partial t}=\Delta v+\xi_1\nabla\cdot(v\nabla w) - v + u, &(x,t)\in\Omega\times(0, \infty),\\ \frac{\partial w}{\partial t}=\Delta w - w + u, &(x,t)\in\Omega\times(0, \infty), \end{cases} \end{equation*}$$其中 $\Omega\subset\mathbb{R}^N(N\ge1)$ 是具有光滑边界的有界区域, $\chi_1$, $\chi_2$, $\xi_1>0$. 当 $\chi_1$ 和 $\chi_2$ 充分小时, 存在整体有界的经典解. 进一步, 当 $\xi_1$ 和 $\chi_2$ 充分小时, 解以指数形式收敛到常平衡态 $(\bar{u}_0,\bar{u}_0,\bar{u}_0)$, 其中 $\bar{u}_0=\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega u \mathrm{d}x$.

关键词： 肿瘤血管生成; 趋化性; 有界性; 大时间行为

Abstract

This article mainly investigates the initial boundary value problem of a chemotaxis-convection model pertaining to the growth of capillary sprouts during tumor angiogenesis $$\begin{equation*} \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u-\chi_1\nabla\cdot(u\nabla v)+\chi_2\nabla\cdot(u\nabla w), &(x,t)\in\Omega\times(0, \infty),\\ \frac{\partial v}{\partial t}=\Delta v+\xi_1\nabla\cdot(v\nabla w) - v + u, &(x,t)\in\Omega\times(0, \infty),\\ \frac{\partial w}{\partial t}=\Delta w - w + u, &(x,t)\in\Omega\times(0, \infty), \end{cases} \end{equation*}$$ where $\Omega\subset\mathbb{R}^N(N\ge1)$ is a smoothly bounded domain with Neumman boundary condition. The parameters $\chi_1$, $\chi_2$ and $\xi_1>0$. We demonstrate that this model admits a globally bounded classical solution under the smallness condition on $\chi_1$ and $\chi_2$. Moreover, this solution will converge exponentially to its constant steady state $(\bar{u}_0,\bar{u}_0,\bar{u}_0)$ under the further smallness condition on $\xi_1$ and $\chi_2$, where $\bar{u}_0=\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega u \mathrm{d}x$.

Keywords： tumor angiogenesis; chemotaxis-convection; global boundedness; large time behavior

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本文引用格式

张文杰, 穆春来. 肿瘤血管生成模型解的整体有界性和大时间行为——献给陈化教授 70 寿辰[J]. 数学物理学报, 2026, 46(2): 415-427

Zhang Wenjie, Mu Chunlai. Global Boundedness and Large Time Behavior for a Chemotaxis-convection Model Describing Tumor Angiogenesis[J]. Acta Mathematica Scientia, 2026, 46(2): 415-427

1 引言及主要结论

为了模拟肿瘤血管生成过程中血管内皮细胞, 纤连蛋白及细胞外基质的演化动态, Orme 和 Chaplain^[12] 提出了如下趋化-对流模型

(1.1)$\begin{equation}\label{1.1} \begin{cases} u_t=\Delta u-\chi_1\nabla\cdot(u\nabla v) +\chi_2\nabla\cdot(u\nabla w), &x\in\Omega, t>0,\\ v_t=\Delta v+\xi_1\nabla\cdot(v\nabla w) - v + u, &x\in\Omega, t>0,\\ \tau w_t=\Delta w - w + u, &x\in\Omega, t>0,\\ \partial_\nu u=\partial_\nu v=\partial_\nu w=0,&x\in\partial\Omega, t>0,\\ u(x,0)=u_0(x),v(x,0)=v_0(x),w(x,0)=w_0(x),&x\in\Omega, \end{cases} \end{equation}$

其中 $\tau\in\{0,1\}$, $\chi_1$, $\chi_2$, $\xi_1>0$. $\Omega\subset\mathbb{R}^N(N\ge1)$ 是具有光滑边界 $\partial\Omega$ 的有界区域, $\nu$ 表示 $\partial \Omega$ 的单位外法向量. 未知函数 $u(x,t)$, $v(x,t)$, $w(x,t)$ 分别表示血管内皮细胞、纤连蛋白以及细胞外基质的密度. 实验研究表明^[13], 内皮细胞能够分泌纤连蛋白及细胞外基质, 且这两种物质会逐渐衰减. 基质向外扩散时携带内皮细胞和纤连蛋白, 同时, 纤连蛋白会向周围区域扩散形成粘附点位, 并诱导内皮细胞朝着粘附点位发生定向迁移. 在 (1.1) 式中, $+\chi_2\nabla\cdot(u\nabla w)$ 和 $+\xi_1\nabla\cdot(v\nabla w)$ 描述了细胞基质向外扩散过程中对内皮细胞和纤连蛋白的输运作用. $-\chi_1\nabla\cdot(u\nabla v)$ 表示内皮细胞因纤连蛋白形成的粘附点位而发生的定向迁移. 关于模型 (1.1) 更为详细的背景介绍也可参考[5,11].

在 $\tau=0$ 的情形下, 当 $N\le3$, $\xi_1=\chi_1=1$ 且 $\chi_2$ 充分大时, Tao 和 Winkler^[16] 利用椭圆方程的正则性理论得到了 (1.1) 式解的整体有界性. 如果考虑内皮细胞的自我增殖, 即在第一个方程带有一般 Logistic 源项 $f(u)=au-bu^\gamma$, Zhao 等^[21]在以下条件之一成立时证明了解的整体有界性: (i) $N\ge4$ 且 $\gamma>\frac{4N-4+N\sqrt{2N^2-6N+8}}{2N}$; (ii) $N=3$, $\gamma>2$ 或 $\gamma=2$ 且 $b$ 充分大; (iii) $N=2$ 且 $\gamma \ge 2$. Chu 等^[3]考虑质量守恒的抛物-抛物-椭圆模型, 在以下条件之一成立时证明了解的整体有界性: (i) $\chi_2$ 充分大; (ii) $\gamma=2$, $b$ 充分大; (iii) $\gamma>1$. 进一步, 如果 $a=b=0$ 且 $\chi_1$ 充分小或者 $b$ 充分大时, 他们还考虑了解的大时间行为.

在 $\tau=1$ 的情形下, 当 $N=1$ 且 $\xi_1=\chi_1=\chi_2=1$ 时,Li 和 Tao^[11] 证明了 (1.1) 式解的整体有界性.Jin 等^[7]将解的整体有界性推广到 $\chi_1>0$, $\chi_2>0$ 且 $\xi_1\in (0,1]$, 且当 $\chi_2>\chi_1$ 且 $\xi_1$ 充分小时, 他们还得到了解的大时间行为. 当 $N=2$, $\xi_1=\chi_1=\chi_2=1$ 且 $\|u_0\|_{L^1(\Omega)}$ 和 $\|\nabla w_0\|_{L^2(\Omega)}$ 充分小时,Ren^[14] 证明了解的整体有界性与大时间行为. 最近, 对于带有一般 Logistic 源项 $f(u)=au-bu^\gamma$ 的模型 (1.1),Sun 和 Li^[15] 在 $N=2$ 且 $\gamma>3$ 时得到了解的整体有界性, 随后, Zheng 和 Ke^[22] 使用迭代的方法将解的整体有界性推广到 $\gamma>1+\frac{N}{2}$ ($N\ge1$). 关于 (1.1)式的衍生模型解的整体有界性和大时间行为也有较为丰富的研究结果, 如非线性扩散, 非线性趋化和密度依赖等情形^[4,8,18,20]. 然而, 当 $f(u)\equiv 0$ 时, (1.1) 的解在高维空间中是否整体有界仍不清楚. 基于此, 受 Keller--Segel 趋化模型相关研究^[19]的启发, 当 $\tau=1$ 时, 结合先验假设和极大 Sobolev 正则性理论 (参见 (2.6) 式), 本文探究 (1.1) 式解的整体有界性及其大时间行为, 主要结论叙述如下

定理 1.1 假设 $\tau=1$ 且 $N\ge3$, 并设参数 $\xi_1$, $\chi_1$, $\chi_2$ 和非负初值 $(u_0,v_0,w_0)$ 满足

(1.2)$\begin{equation}\label{1.2} u_0, v_0 \in W^{1,\infty}(\Omega),w_0\in W^{2,\infty}(\Omega) \end{equation}$

和

(1.3)$\begin{equation} \chi_1 \le \frac{1}{CM \xi_1^{\frac{N+1}{2N}} \left(1+\xi^{2N(N+1)}\right)^{\frac{2N+1}{2N}} }, \end{equation}$

且

(1.4)$\begin{equation}\label{1.4} \chi_2 \le \frac{1}{C\left(\|w_{0}\|_{{W^{1,\infty}}}+\|u_0\|_{L^\infty}\right)}, \end{equation}$

则 (1.1) 式存在唯一的经典解 $(u,v,w)$, 且存在不依赖于时间 $t$ 的常数 $K>0$, 使得

$\begin{equation*} \|u(\cdot,t)\|_{L^\infty } +\|v(\cdot,t)\|_{L^\infty } +\|w(\cdot,t)\|_{L^\infty } \le K, \quad\forall \ t>0, \end{equation*}$

其中正常数 $C:=C(|\Omega|)$, $M:=\left(\|u_0\|_{L^\infty} +\|v_0\|_{W^{1,\infty}}\right)\left(\|w_{0}\|_{W^{2,\infty}}+\|u_0\|_{L^\infty}\right)^{(2N^2+1)(N+1)}$.

注 1.1 与文献 [7] 中参数 $\xi_1$ 充分小的结果相比, 定理 1.1 更加精细地给出了参数 $\xi_1$, $\chi_1$ 和 $\chi_2$ 与初值的依赖关系.

注 1.2 当 $\xi_1=\chi_1=\chi_2=1$ 且 $u_0$ 和 $w_0$ 充分小时, 文献 [7] 仅在 $N=2$ 时证明了解的整体有界性. 定理 1.1 现将该结论推广至 $N\ge3$.

接下来, 通过构造与文献 [7] 中不同的 Lyapunov 泛函

$\begin{equation*} \mathcal{F}(t):= \beta\int_\Omega (u-\bar{u}_0)^2 + \int_\Omega (v-\bar{u}_0)^2 +\int_\Omega (w-\bar{u}_0)^2, \quad\beta>0 \text{ 且 }t>0, \end{equation*}$

我们研究解的大时间行为, 主要结果如下

定理 1.2 假设初值 $(u_0,v_0,w_0)$ 满足 (1.2) 式, $\xi_1$, $\chi_1$, $\chi_2$ 满足 (1.3), (1.4) 式且

(1.5)$\begin{equation}\label{1.5} \begin{split} \xi_1 < \min\left\{1, \frac{1}{C_1M}, \left(\frac{C_2\|u_0\|_{L^\infty}}{4C M} \right)^\frac{2N}{N+1} \right\} \end{split} \end{equation}$

和

(1.6)$\begin{equation}\label{1.6} \begin{split} \chi_2 \le \min\left\{\frac{\sqrt{2- 2C_1M\xi_1 }} {C_2 \|u_0\|_{L^\infty} }, \frac{1}{C\left(\|w_{0}\|_{{W^{1,\infty}}}+\|u_0\|_{L^\infty}\right)}\right\}, \end{split} \end{equation}$

则存在与 $t$ 无关的正常数 $C_3$ 和 $\sigma$, 使得整体有界解 $(u,v,w)$ 满足

(1.7)$\begin{equation} \|u-\bar{u}_0\|_{L^\infty} +\|v-\bar{u}_0\|_{L^\infty} +\|w-\bar{u}_0\|_{L^\infty} \le C_3 e^{-\sigma t}, \quad\forall t>0, \end{equation}$

其中 $C$ 和 $M$ 由定理 1.1 中所定义, 正常数 $C_1:=C_1(|\Omega|)$, $C_2:=C_2(|\Omega|)$ 和 $\bar{u}_0=\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega u$.

注 1.3 由 (1.3)-(1.5) 式可得

$\begin{equation*} \begin{split} \chi_1\le\frac{\sqrt{2- 2C_1M\xi_1}}{C_2 \|u_0\|_{L^\infty}}\le\frac{1}{CM \xi_1^{\frac{N+1}{2N}} \left(1+\xi^{2N(N+1)}\right)^{\frac{2N+1}{2N}} }. \end{split} \end{equation*}$

结合 (1.3)-(1.6) 式, 可以证明定理 1.1 和定理 1.2 在初值 $u_0$ 和 $w_0$ 充分小时仍然成立.

注 1.4 与文献 [7] 中要求 $\chi_2>\chi_1$ 且 $\xi_1$ 充分小的条件相比, 当初值 $u_0$ 和 $w_0$ 充分小时, 定理 1.2 减弱了对 $\xi_1$, $\chi_1$ 和 $\chi_2$ 的约束条件. 另一方面, 与文献 [14] 中要求初值 $u_0$ 和 $w_0$ 充分小的条件相比, 在 $\xi_1$ 和 $\chi_2$ 充分小时, 定理 1.2 减弱了对初值 $u_0$ 和 $w_0$ 的约束条件.

本文的结构安排如下: 第二节给出了 (1.1) 式经典解的局部存在性和几个关键定义. 第三节旨在证明经典解的整体有界性, 即证明定理 1.1. 在第四节中, 通过构造一个适当的 Lyapunov 泛函, 我们进一步建立了解的大时间行为.

2 局部存在性和解的整体有界性

首先, 我们给出经典解的局部存在性.

引理 2.1 假设初值 $(u_0,v_0,w_0)$ 满足条件 (1.2), 则模型 (1.1) 存在唯一的非负经典解

(2.1)$\begin{equation}\label{2.1} (u,v,w)\in[C(\bar{\Omega}\times[0,T_{max}))\cap C^{2,1}(\bar{\Omega}\times(0,T_{max}))]^3, \end{equation}$

其中 $T_{max}\in(0,\infty]$. 如果 $T_{max}<\infty$, 那么

(2.2)$\begin{equation}\label{2.2} \limsup_{t\nearrow T_{max}}\left\{\|u(\cdot,t)\|_{L^\infty}+\| v(\cdot,t)\|_{L^\infty}\right\} = \infty. \end{equation}$

此外, (1.1) 式的解还具有如下性质

$\begin{equation}\label{2.3} \int_\Omega u(\cdot,t)=\int_\Omega u_0,\quad \int_\Omega w(\cdot,t) \le \int_\Omega w_0+ \int_\Omega u_0 \end{equation}$

以及

(2.3)$\begin{equation}\label{2.4} \int_\Omega v(\cdot,t) \le m_1:=\int_\Omega v_0+\int_\Omega u_0, \quad \forall t\in(0,T_{max}). \end{equation}$

证令 $\mathbf{z} =(u,v,w)^T$, 则可将 (1.1) 式改写为

(2.4)$\begin{equation*} \begin{cases} \mathbf{z}_t=\nabla\cdot( P(\mathbf{z}) \nabla \mathbf{z}) +Q(\mathbf{z}), &x\in\Omega, t>0,\\ \frac{\partial \mathbf{z}}{\partial\nu}=0, &x \in\partial\Omega, t>0,\\ \mathbf{z}(\cdot,0)=\mathbf{z}_0=(u_0,v_0,w_0), & x\in\Omega, \end{cases} \end{equation*}$

其中

$\begin{equation*} P(\mathbf{z})= \begin{pmatrix} 1 & -\chi_1 u & \chi_2 u \\ 0 & 1& \xi_1 v \\ 0 &0 & 1\\ \end{pmatrix} \mbox{ 和 } f(u,v,w)= \begin{pmatrix} 0\\ u-v\\ u-w\\ \end{pmatrix}, \end{equation*}$

由于矩阵 $P(\mathbf{z})$ 的特征值均为正数, 根据 Amann 理论见文献 [1,定理 14.4], 可得局部解的存在性 (2.2). 进一步,借鉴文献 [6] 中的方法, 应用 Banach 不动点定理可证明解的唯一性. 此外, 由极大值原理与质量守恒定律可得 (2.3) 和 (2.4) 式.

为证明定理 1.1, 我们引入以下关键定义. 令

(2.5)$\begin{equation}\label{2.5} A:=\max\left\{4 \|u_0\|_{L^\infty}, 4\int_\Omega u_0\right\}, \end{equation}$

以及

(2.6)$\begin{equation}\label{2.6} T=\sup\left\{ t\in(0,T_{\max})| \|u(\cdot,t)\|_{L^\infty}\leq A\right\}. \end{equation}$

由解的连续性, 知

(2.7)$\begin{equation}\label{2.7} \sup_{t\in[0,T)}\|u(\cdot,t)\|_{L^\infty}\leq A, \quad \forall \ T\in(0,T_{max}]. \end{equation}$

根据 (2.6) 式, 可导出 $\|w\|_{L^{\infty}}$ 和 $\|\nabla w\|_{L^{2p+2}}$ 的整体有界性, 以及 $\|\Delta w\|_{L^{p+1}}$ 的局部时空估计.

引理 2.2 令 $p=1+\left[\frac{N}{2}\right]$, 并假设初值 $(u_0,v_0,w_0)$ 满足 (1.2) 式, 则存在 $C_1:=C_1(|\Omega|)>0$ 和 $C_2:=C_2(|\Omega|)>0$ 使得

(2.8)$\begin{equation}\label{2.8} \|\nabla w\|_{L^{2p+2}}\leq C_1\left(\|w_0\|_{W^{1,\infty}}+A\right),\quad\forall \ t\in(0, T) \end{equation}$

和

(2.9)$\begin{equation}\label{2.9} \|w\|_{L^{\infty}}\leq C_1\left(\|w_0\|_{L^{\infty}}+A\right),\quad\forall \ t\in(0, T), \end{equation}$

以及

(2.10)$\begin{equation}\label{2.10} \int_t^{t+\tau}\int_\Omega|\Delta w(\cdot,t)|^{p+1} \le C_2(\|w_0\|_{W^{2, \infty}} +A)^{p+1}, \quad \forall \ t\in(0,T-\tau). \end{equation}$

其中 $\tau:=\min\left\{1,\frac{1}{2}T\right\}$.

证根据 (2.6) 式, 应用 Neumann 热半群理论^[19]可得 (2.8) 与 (2.9) 式. 进一步, 借助极大 Sobolev 正则性理论[2,引理 2.5], 可得 (2.10) 式.

根据引理 2.2, 可得如下引理.

引理 2.3 令 $p=1+\left[\frac{N}{2}\right]$, 并假设初值 $(u_0,v_0,w_0)$ 满足 (1.2) 式, 则对任意 $t\in(0,T)$, 存在常数 $C:=C(|\Omega|)>0$ 使得

(2.11)$\begin{equation} \begin{aligned} \|v(\cdot,t)\|_{L^{\infty}}& \le C(\|u_0\|_{L^\infty} +\|v_0\|_{L^\infty})\left(\|w_{0}\|_{W^{1,\infty}}+A\right)^{2p(p+1)}\left( 1+\xi_1^{2p(p+1)}\right). \end{aligned} \end{equation}$

证对任意的 $t\in(0,T)$, 由常数变易公式得

$\begin{equation*}\label{3.8} \begin{aligned} v(\cdot,t)& = e^{(t-t_0)\Delta}v(\cdot,t_0)+\xi_1\int_{t_0}^te^{(t-s)\Delta}\nabla\cdot(v(\cdot,s)\nabla w(\cdot,s)){\rm d}s +\int_{t_0}^te^{(t-s)\Delta}(u(\cdot,s)-v(\cdot,s)){\rm d}s \\ & \le e^{(t-t_0)\Delta}v(\cdot,t_0)+\xi_1\int_{t_0}^te^{(t-s)\Delta}\nabla\cdot(v(\cdot,s)\nabla w(\cdot,s)){\rm d}s +\int_{t_0}^te^{(t-s)\Delta}u(\cdot,s){\rm d}s \\ &=:v_1(\cdot,t)+v_2(\cdot,t)+v_3(\cdot,t), \end{aligned} \end{equation*}$

其中 $t_0:= (t-1)_+$. 由极大值原理得

(2.12)$\begin{equation} \|v_1(\cdot,t)\|_{L^\infty} \leq \|v_0\|_{L^\infty},\quad\forall \ t\in(0,1]. \end{equation}$

对 $t\in (1,T]$, 由 (2.4) 式和 $L^p$-$L^q$ 估计得

(2.13)$\|v_1(\cdot,t)\|_{L^\infty} \leq (t-t_0)^{-\frac{n}{2}}\|v(\cdot,t_0)\|_{L^1} \le m_1.$

由 $p > \frac{N}{2}$, 得 $\frac{1}{2} + \frac{N}{4p} < 1$. 令 $q = 2p(p+1)$, 结合 (2.4) 与 (2.8) 式, 并应用 $L^p$-$L^q$ 估计、Hölder 不等式及 Young 不等式, 得

$\begin{equation*} \begin{split} \|v_2(\cdot,t)\|_{L^\infty}& \leq \xi_1\int_{t_0}^t\|e^{(t-s)\Delta} \nabla \cdot\left(v\nabla w\right)\|_{L^\infty}{\rm d}s \\ &\le c_1(|\Omega|)\xi_1 \int_{t_0}^t\left(1+(t-s)^{-\frac{1}{2} -\frac{N}{4p}}\right)e^{-\lambda(t-s)}\|v\nabla w\|_{L^{2p}}{\rm d}s \\ &\le c_1(|\Omega|)\xi_1 \int_{t_0}^t\left(1+(t-s)^{-\frac{1}{2} -\frac{N}{4p}}\right) e^{-\lambda(t-s)}\|v\|_{L^q}\|\nabla w\|_{L^{2p+2}}{\rm d}s \\ &\le c_1(|\Omega|)\xi_1 \int_{t_0}^t\left(1+(t-s)^{-\frac{1}{2} -\frac{N}{4p}}\right) e^{-\lambda(t-s)}\|v\|_{L^\infty}^{\frac{q-1}{q}} \|v\|_{L^1}^{\frac{1}{q}} \|\nabla w\|_{L^{2p+2}}{\rm d}s\\ &\leq c_2(|\Omega|)\xi_1 m_1^{\frac{1}{q}} \cdot\left(\|w_0\|_{W^{1,\infty}}+A\right) \left(\sup_{s\in(0,T)}\|v(\cdot,s)\|_{L^\infty}\right)^{\frac{q-1}q}\\ & \leq \frac{q-1}{q}\sup_{s\in(0,T)}\|v(\cdot,s)\|_{{L^{\infty}}} +\frac{1}{q}c_{3}(|\Omega|)\xi_1^{q}m_{1} \left(\|w_{0}\|_{{W^{1,\infty}}}+A\right)^{q}, \quad \forall \ t\in(0,T), \end{split} \end{equation*}$

根据极大值原理, 有

(2.14)$\begin{equation}\label{2.14} \begin{split} \|v_3(\cdot,t)\|_{L^\infty} \le A\int_{t_0}^te^{(t-s)\Delta}{\rm d}s \le A, \quad \forall \ t\in(0,T). \end{split} \end{equation}$

由 (2.13)-(2.14) 式, 知

$\begin{equation*} \begin{split} \|v(\cdot,t)\|_{L^{\infty}}&\le \frac{q-1}{q}\sup_{s\in(0,T)}\|v(\cdot,s)\|_{{L^{\infty}}}+\frac{1}{q}c_{3}(|\Omega|)\xi_1^{q}m_{1} \left(\|w_{0}\|_{{W^{1,\infty}}}+A\right)^{q}\\ &\quad +\max\{\|v_0\|_{L^\infty},m_1\} + A, \quad \forall \ t\in(0,T), \end{split} \end{equation*}$

从而, 对任意 $t\in(0,T)$, 有

$\begin{equation*} \begin{split} \|v(\cdot,t)\|_{L^{\infty}}&\le c_{3}(|\Omega|)\xi_1^{q}m_1^q \left(\|w_{0}\|_{{W^{1,\infty}}}+A\right)^{q} +q( \|v_0\|_{L^\infty}+m_1+A)\\ &\le c_4(|\Omega|)(\|u_0\|_{L^\infty} +\|v_0\|_{L^\infty}) \left(\|w_{0}\|_{W^{1,\infty}}+A\right)^{2p(p+1)} \left( 1+\xi_1^{2p(p+1)}\right). \end{split} \end{equation*}$

引理得证.

接下来, 借助 $\Delta w$ 的局部空时估计, 可进一步提升 $v$ 的正则性估计.

引理 2.4 令 $p=1+\left[\frac{N}{2}\right]$ 并假设初值 $(u_0,v_0,w_0)$ 满足 (1.2) 式, 则对任意 $t\in(0,T)$, 存在常数 $C:=C(|\Omega|)>0$ 使得

$\begin{equation*}\label{3.9} \|\nabla v ||_{L^{2p}} \le C\xi_1^{\frac{p+1}{2p}} \left(1+\xi^{2p(p+1)}\right)^{\frac{2p+1}{2p}}\left(\|u_0\|_{L^\infty} +\|v_0\|_{W^{1,\infty}}\right)\left(\|w_{0}\|_{W^{2,\infty}}+A\right)^{(2p^2+1)(p+1)}. \end{equation*}$

证由 (1.1) 式的第二个方程可得

(2.15)$\begin{equation}\label{2.15} \begin{split} \frac{1}{2p}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega |\nabla v|^{2p} &=\int_\Omega|\nabla v |^{2p-2}\nabla v \cdot\nabla\left(\Delta v +\xi_1 \nabla\cdot( v \nabla w) -v +u \right) \\ &= \frac{1}{2}\int_{\Omega}|\nabla v |^{2p-2}\Delta|\nabla v |^2 -\int_{\Omega}|\nabla v |^{2p-2}| D^2 v |^2 -\int_\Omega|\nabla v |^{2p}\\ &\quad -(p-1)\int_\Omega u |\nabla v|^{2p-4}\nabla |\nabla v |^2 \cdot \nabla v -\int_\Omega u |\nabla v|^{2p-2} D^2 v\\ &\quad -\xi_1\int_{\Omega}\nabla\cdot\left(|\nabla v |^{2p-2}\nabla v \right)(\nabla\cdot( v \nabla w))\\ &\le -\frac{p-1}{4}\int_{\Omega}|\nabla v |^{2p-4}|\nabla|\nabla v |^{2}|^2 +\frac{1}{2}\int_{\partial\Omega}|\nabla v |^{2p-2}\frac{\partial|\nabla v |^{2}}{\partial {\nu}}{\rm d}S \\ &\quad -\xi_1\int_\Omega\left(\nabla|\nabla v |^{2p-2}\cdot\nabla v +|\nabla v |^{2p-2}\Delta v \right)(\nabla v \cdot\nabla w+ v \Delta w)\\ &\quad -\frac{3}{4}\int_{\Omega}|\nabla v |^{2p-2}|D^{2} v |^{2} - \int_\Omega|\nabla v |^{2p} +p\int_\Omega u^2|\nabla v |^{2p-2}\\ &=-\frac{p-1}{4}\int_{\Omega}|\nabla v |^{2p-4}|\nabla|\nabla v |^{2}|^{2} -\frac{3}{4}\int_{\Omega}|\nabla v |^{2p-2}|D^{2} v |^{2} -\int_{\Omega}|\nabla v |^{2p} \\ &\quad +\frac{1}{2}\int_{\partial\Omega}|\nabla v |^{2p-2}\frac{\partial |\nabla v |^2}{\partial \nu}{\rm d}S -\xi_1\int_{\Omega}\left(\nabla|\nabla v |^{2p-2}\cdot\nabla v \right)(\nabla v \cdot\nabla w) \\ &\quad -\xi_1\int_\Omega|\nabla v |^{2p-2}\Delta v (\nabla v \cdot\nabla w) -\xi_1\int_\Omega v \Delta w\left(\nabla|\nabla v |^{2p-2}\nabla v \right)\\ &\quad -\xi_1\int_\Omega v |\nabla v |^{2p-2}\Delta v \Delta w +p\int_\Omega u^2|\nabla v |^{2p-2} \\ &:= -\frac{p-1}{4}\int_{\Omega}|\nabla v |^{2p-4}|\nabla|\nabla v |^{2}|^{2} -\frac{3}{4}\int_{\Omega}|\nabla v |^{2p-2}|D^{2} v |^{2} -\int_{\Omega}|\nabla v |^{2p}\\ & \ \quad +G_1 +G_2 +G_3 +G_4 +G_5 +G_6, \quad \forall \ t\in(0,T_{max}). \end{split} \end{equation}$

根据引理 2.3, 存在常数 $c_1:=c_1(|\Omega|)>0$ 使得

$\begin{equation*} \begin{split} \sup\limits_{t\in[0,T)}\|v(\cdot,t)\|_{L^\infty} &\le M_1:= c_1 (\|u_0\|_{L^\infty} +\|v_0\|_{L^\infty})\left(\|w_{0}\|_{W^{1,\infty}}+A\right)^{2p(p+1)}\left( 1+\xi_1^{2p(p+1)}\right). \end{split} \end{equation*}$

由文献 [17, 引理 2.6 (i)], 得

(2.16)$\begin{equation}\label{3.11} \int_\Omega|\nabla v |^{2p+2} \leq M_2 \int_\Omega|\nabla v |^{2p-2} |D^2 v |^2, \quad\forall \ t\in(0,T), \end{equation}$

其中 $M_2=2(N+4p^2)M_1^2$. 根据文献 [17, 引理 2.6 (ii)], 存在正常数 $c_3:=c_3(|\Omega|)$ 和 $c_4=8^p c_3^{p+1}|\Omega|$, 使得

$\begin{equation*} \begin{split} G_1 &\le c_2\int_\Omega|\nabla v |^{2p} +\frac{p-1}{4}\int_\Omega|\nabla v |^{2p-4}|\nabla|\nabla v |^2|^2 \\ & \le \frac{p-1}{4}\int_\Omega|\nabla v |^{2p-4}|\nabla|\nabla v |^2|^2 + \frac{1}{8M_2}\int_\Omega|\nabla v |^{2p+2} +8^p c_2^{p+1}M_2^p|\Omega|\\ &\le \frac{1}{8}\int_\Omega |\nabla v |^{2p-2}|D^2v|^2 + \frac{p-1}{4}\int_\Omega|\nabla v |^{2p-4}|\nabla|\nabla v |^2|^2+c_3M_2^p. \end{split} \end{equation*}$

利用 $\nabla|\nabla v|^2=2D^2 v \cdot \nabla v$ 和 Young 不等式, 有

$\begin{equation*} \begin{aligned} G_{2}& = \xi_1(p-1)\int_{\Omega}\left(|\nabla v |^{2p-4}\cdot\nabla|\nabla v |^{2}\cdot\nabla v \right)(\nabla v \cdot\nabla w)\leq 2\xi_1(p-1)\int_\Omega|\nabla v |^{2p-1}|\nabla w||D^2 v | \\ &\leq \frac{1}{16}\int_{\Omega}|\nabla v |^{2p-2}| D^{2} v |^{2} +16\xi_1^{2}(p-1)^{2}\int_{\Omega}|\nabla v |^{2p}|\nabla w|^{2} \\ &\leq \frac{1}{16}\int_{\Omega}|\nabla v |^{2p-2}|D^{2} v |^{2} +\frac{1}{16M_2}\int_{\Omega}|\nabla v |^{2p+2} +16^{2p+1}M_2^{p}[\xi_1(p-1)]^{2p+2}\int_{\Omega}|\nabla w|^{2p+2} \\ &\leq \frac{1}{8}\int_{\Omega}|\nabla v |^{2p-2}|D^{2} v |^{2} +c_{5}M_2^{p}\xi_1^{2p+2}\int_{\Omega}|\nabla w|^{2p+2}, \end{aligned} \end{equation*}$

其中常数 $c_4=16^{2p+1}(p-1)^{2p+2}$. 利用 $|\Delta v|\le \sqrt{N} |D^2v| $ 和 Young 不等式, 由 (2.16) 式得

$\begin{equation*} \begin{aligned} G_{3}& \le \sqrt{N}\xi_1\int_{\Omega}|\nabla v |^{2p-1}|\nabla w| |D^2 v | \\ &\leq\frac{1}{16}\int_{\Omega}|\nabla v |^{2p-2}|D^2 v |^2 +4N\xi_1^2\int_{\Omega}|\nabla v |^{2p}|\nabla w|^2\\ &\le \frac1{16}\int_\Omega|\nabla v|^{2p-2}|D^2 v|^2+\frac1{16M_2}\int_\Omega|\nabla v|^{2p+2}+16^pM_2^p(4N\xi_1^2)^{p+1}\int_\Omega |\nabla w|^{2p+2} \\ &\le \frac{1}{8}\int_{\Omega}|\nabla v |^{2p-2}|D^{2} v |^{2} +c_{6}M_2^p\xi_1^{2p+2}\int_{\Omega}|\nabla w|^{2p+2}, \end{aligned} \end{equation*}$

其中常数 $c_5= 4^{3p+1}N^{p+1}$.

类似地, 对任意 $t\in(0,T)$, 有

$\begin{equation*} \begin{aligned} G_{4}& = -\xi_1 (p-1)\int_\Omega v \Delta w\cdot|\nabla v |^{2p-4}\cdot\nabla|\nabla v |^2\cdot\nabla v \le 2\xi_1(p-1)\int_{\Omega} v |\Delta w||\nabla v |^{2p-2}|D^{2} v | \\ & \le \frac{1}{16}\int_{\Omega}|\nabla v |^{2p-2}|D^{2} v |^{2} +16\xi_1^{2}(p-1)^{2}\int_{\Omega} v ^{2}|\nabla v |^{2p-2}|\Delta w| \\ &\leq\frac{1}{16}\int_{\Omega}|\nabla v |^{2p-2}| D^2 v |^2 +\frac{1}{16 M_2}\int_{\Omega}|\nabla v |^{2p+2} +16^p M_2^{\frac{p-1}2}\xi_1^{p+1}(p-1)^{p+1}\int_{\Omega} v ^{p+1}|\Delta w|^{p+1} \\ &\leq\frac{1}{8}\int_{\Omega}|\nabla v |^{2p-2}| D^{2} v |^{2} +16^{p}M_2^{{\frac{p-1}{2}}}\xi_1^{p+1}(p-1)^{p+1} \|v\|_{{L^{\infty} }}^{p+1}\int_{\Omega}|\Delta w|^{p+1} \\ &\leq\frac{1}{8}\int_{\Omega}|\nabla v |^{2p-2}| D^{2} v |^{2} +c_{7} M_2^{p}\xi_1^{p+1}\int_{\Omega}|\Delta w|^{p+1} \end{aligned} \end{equation*}$

和

$\begin{equation*} \begin{aligned} G_{5}& \leq\sqrt{N}\xi_1\int_{\Omega} v |\nabla v |^{2p-2} |D^2 v | |\Delta w| \le \frac{1}{16}\int_{\Omega}|\nabla v |^{2p-2}|D^{2} v |^{2} +4N\xi_1^{2}\int_{\Omega} v ^{2}|\nabla v |^{2p-2}|\Delta w|^{2} \\ &\le \frac{1}{16}\int_{\Omega}|\nabla v |^{2p-2}|D^{2} v |^{2} +\frac{1}{16M_2}\int_{\Omega}|\nabla v |^{2p+2}+(16M_2)^{\frac{p-1}{2}}\left(4N\xi_1^{2}\right)^{\frac{p+1}{2}}\int_{\Omega} v ^{p+1}|\Delta w|^{p+1} \\ &\leq\frac18\int_\Omega|\nabla v |^{2p-2}|D^2 v |^2 +2^{3p-1}N^{\frac{p+1}{2}}M_2^{\frac{p-1}2}\xi_1^{p+1}\| v \|_{L^\infty}^{p+1}\int_\Omega|\Delta w|^{p+1} \\ &\leq\frac{1}{8}\int_{\Omega}|\nabla v |^{2p-2}| D^{2} v |^{2} +c_{8}M_2^p\xi_1^{p+1}\int_{\Omega}|\Delta w|^{p+1}, \end{aligned} \end{equation*}$

以及

$\begin{align*} G_{6}& \leq \frac{1}{16M_2}\int_\Omega|\nabla v |^{2p+2} +(16M_2)^{\frac{p-1}2}p^{\frac{p+1}{2}}\int_\Omega u^{p+1} \\ &\leq\frac{1}{8}\int_\Omega|\nabla v |^{2p-2}|D^2 v |^2 +4^{p-1}M_2^{\frac{p-1}2}p^{\frac{p+1}{2}} \|u\|_{L^\infty}^{p+1}|\Omega| \\ &\leq\frac{1}{8}\int_{\Omega}|\nabla v |^{2p-2}|D^{2} v |^{2} +c_{9}M_2^{p}, \end{align*}$

其中常数 $c_6= 16^{p}(p-1)^{p+1} [2(N+4p^2)]^{-\frac{p+1}{2}}$, $c_7= 2^{\frac{5p-3}{2}}N^{\frac{p+1}{2}}(N+4p^2)^{-\frac{p+1}{2}}$, $c_8= 4^{p-1}(N+4p^2)^{-\frac{p+1}{2}} p^{\frac{p+1}{2}}|\Omega|$.

对任意 $t\in(0,T)$, 将 $G_1$--$G_6$ 代入 (2.15) 式, 得

(2.17)$\begin{equation} \begin{aligned} & \frac1{2p}\frac {\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega|\nabla v |^{2p}+\int_\Omega|\nabla v |^{2p} \\ &\le (c_4+c_5)M_2^p\xi_1^{2p+2}\int_\Omega|\nabla w|^{2p+2} +(c_6+c_7)M_2^p\xi_1^{p+1}\int_\Omega|\Delta w|^{p+1} +(c_3+c_8) M_2^p\\ &\le c_{9}M_2^p \left(\xi_1^{2p+2}\int_\Omega|\nabla w|^{2p+2} +\xi_1^{p+1}\int_\Omega|\Delta w|^{p+1} +1\right), \end{aligned} \end{equation}$

其中常数 $c_{9}=\max\{c_4+c_5,c_6+c_7, c_3+c_8\}$. 根据 (2.8) 和 (2.10)式, 存在正常数 $c_{10}:=c_{10}(|\Omega|)$ 和 $c_{11}:=c_{11}(|\Omega|)$ 使得

$\begin{equation*} \begin{aligned} & c_{10}M_1^{2p} \int_t^{t+\tau}\left(\xi_1^{2p+2}\int_\Omega|\nabla w|^{2p+2} +\xi_1^{p+1}\int_\Omega|\Delta w|^{p+1} +1\right)\\ &\le c_{10}M_1^{2p} \left(\xi_1^{2p+2}\left(\|w_0\|_{W^{1,\infty}}+A\right)^{2p+2} +\xi_1^{p+1}(\|w_0\|_{W^{2, \infty}} +A)^{p+1}\right)\\ &\le c_{11} \xi_1^{p+1} (\|u_0\|_{L^\infty} +\|v_0\|_{L^\infty})^{2p}\left(\|w_{0}\|_{W^{2,\infty}}+A\right)^{(4p^2+2)(p+1)}\left(1+\xi^{2p(p+1)}\right)^{2p+1}. \end{aligned} \end{equation*}$

由比较原理, 对任意 $t\in(0,T)$, 有

$\begin{equation*} \begin{aligned} \int_\Omega|\nabla v |^{2p} \le c_{12} \xi_1^{p+1} (\|u_0\|_{L^\infty} +\|v_0\|_{W^{1,\infty}})^{2p}\left(\|w_{0}\|_{W^{2,\infty}}+A\right)^{(4p^2+2)(p+1)}\left(1+\xi^{2p(p+1)}\right)^{2p+1}, \end{aligned} \end{equation*}$

其中 $c_{12}:=c_{12}(|\Omega|)>0$, 从而引理得证.

再次借助 Neumann 热半群理论, 我们将证明 $T=T_{max}$.

引理 2.5 令 $p=1+\left[\frac{N}{2}\right]$, 并假设初值 $(u_0,v_0,w_0)$ 满足 (1.2), 若参数 $\xi_1$, $\chi_1$ 和 $\chi_2$ 满足

$\begin{equation*} \chi_1 \le \frac{1}{4C\xi_1^{\frac{p+1}{2p}}\left(\|u_0\|_{L^\infty} +\|v_0\|_{W^{1,\infty}}\right)\left(\|w_{0}\|_{W^{2,\infty}}+\|u_0\|_{L^\infty}\right)^{(2p^2+1)(p+1)} \left(1+\xi^{2p(p+1)}\right)^{\frac{2p+1}{2p}}} \end{equation*}$

和

$\begin{equation*} \chi_2 \le \frac{1}{4C\left(\|w_{0}\|_{{W^{1,2p+2}}}+\|u_0\|_{L^\infty}\right)}, \end{equation*}$

则有

(2.18)$\begin{equation}\label{2.18} \|u(\cdot,t)\|_{L^\infty} \leq A, \quad \forall \ t\in(0,T_{\max}). \end{equation}$

其中, 常数 $C :=C (|\Omega|)>0$.

证对任意的 $t\in(0,T)$, 由 (1.1) 式的第一个方程可得

(2.19)$\begin{equation}\label{2.19} \begin{aligned} u(\cdot,t)& =e^{(t-t_0)\Delta}u(\cdot,t_0) -\chi_1 \int_{t_0}^te^{(t-s)\Delta}\nabla\cdot(u\nabla v){\rm d}s +{\chi_2\int_{t_0}^t e^{(t-s) \Delta} \nabla\cdot(u\nabla w){\rm d}s} \\ &=:u_1(\cdot,t)+u_2(\cdot,t)+u_3(\cdot,t), \end{aligned} \end{equation}$

其中 $t_0:=(t-1)_+$. 类似于引理 2.3, 有

(2.20)$ \|u_1(\cdot,t)\|_{L^\infty} \le \max\left\{\|u_0\|_{L^\infty},\|u_0\|_{L^1}\right\}, \quad\forall \ t\in(0,T). $

对任意 $ t\in(0,T)$, 由 Hölder 不等式、Young 不等式和 $L^p$-$L^q$ 估计, 得

$\begin{aligned}\left\|u_{2}(\cdot, t)\right\|_{L^{\infty}} & \leq \chi_{1} \int_{t_{0}}^{t}\left\|e^{(t-s) \Delta} \nabla \cdot(u \nabla v)\right\|_{L^{\infty}} \mathrm{d} s \\& \leq c_{1} \chi_{1} \int_{t_{0}}^{t}\left(1+(t-s)^{-\frac{1}{2}-\frac{N}{4 p}}\right) e^{-\lambda(t-s)}\|u\|_{L^{\infty}}\|\nabla v\|_{L^{2 p}} \mathrm{~d} s \\& \leq c_{2} \chi_{1} A \xi_{1}^{\frac{p+1}{2 p}}\left(\left\|u_{0}\right\|_{L^{\infty}}+\left\|v_{0}\right\|_{W^{1, \infty}}\right)\left(\left\|w_{0}\right\|_{W^{2, \infty}}+A\right)^{\left(2 p^{2}+1\right)(p+1)}\left(1+\xi^{2 p(p+1)}\right)^{\frac{2 p+1}{2 p}},\end{aligned}$

其中常数 $c_1:=c_1(|\Omega|)$ 和 $c_2:=c_2(|\Omega|)$. 类似地, 有

(2.21)$\begin{equation} \begin{aligned} \|u_3(\cdot,t)\|_{L^\infty} & \le \chi_2 \int_{t_0}^t\|e^{(t-s)\Delta}\nabla\cdot(u\nabla w)\|_{L^\infty}{\rm d}s \\ &\le c_3\chi_2 \int_{t_0}^t\left(1+(t-s)^{-\frac{1}{2}-\frac{N}{4p+4}}\right)e^{-\lambda(t-s)} \|u\|_{L^\infty}\|\nabla w\|_{L^{2p+2}}{\rm d}s \\ &\le c_4\chi_2 A\left(\|w_{0}\|_{{W^{1,\infty}}}+A\right)\int_{t_0}^t\left(1+(t-s)^{-\frac{1}{2}-\frac{N}{4p+4}}\right)e^{-\lambda(t-s)}{\rm d}s \\ &\le c_5\chi_2 A\left(\|w_{0}\|_{{W^{1,\infty}}}+A\right), \quad\forall \ t\in(0,T), \end{aligned} \end{equation}$

$\begin{equation*} \begin{aligned} \|u(\cdot,t)\|_{L^\infty} &\le c_2\chi_1 A \xi_1^{\frac{p+1}{2p}} \left(\|u_0\|_{L^\infty} +\|v_0\|_{W^{1,\infty}}\right)\left(\|w_{0}\|_{W^{2,\infty}}+A\right)^{(2p^2+1)(p+1)} \left(1+\xi^{2p(p+1)}\right)^{\frac{2p+1}{2p}}\\ & \quad + c_5\chi_2 A\left(\|w_{0}\|_{{W^{2,\infty}}}+A\right) +\max\left\{\|u_0\|_{L^\infty},\|u_0\|_{L^1}\right\}. \end{aligned} \end{equation*}$

从而, 当

(2.22)$\begin{equation} \chi_1 \le \frac{1}{4c_2\xi_1^{\frac{p+1}{2p}}\left(\|u_0\|_{L^\infty} +\|v_0\|_{W^{1,\infty}}\right)\left(\|w_{0}\|_{W^{2,\infty}}+A\right)^{(2p^2+1)(p+1)} \left(1+\xi^{2p(p+1)}\right)^{\frac{2p+1}{2p}}} \end{equation}$

且

(2.23)$\begin{equation} \chi_2 \le \frac{1}{4c_5\left(\|w_{0}\|_{{W^{1,\infty}}}+A\right)} \end{equation}$

时, 由 (2.5) 式得

$\|u(\cdot,t)\|_{L^\infty}\le \frac{3A}{4}<A, \quad \forall \ t\in (0,T).$

因此, 由 (2.6) 和 (2.7) 式得 $T=T_{max}$.

定理 1.1 的证明 对任意 $N\ge3$, 有 $p=1+\left[\frac{N}{2}\right]<N$, 结合局部存在准则 (2.2) 式和引理 2.2、2.3 和 2.5 可得定理 1.1.

3 解的大时间行为

本部分旨在讨论解的收敛性质. 注意到 (1.1) 式的常数稳态解为 $(\bar{u}_0,\bar{u}_0,\bar{u}_0)$, 其中 $\bar{u}_0 =\frac{1}{|\Omega|}\int_\Omega u$. 为研究解的大时间行为, 我们引入如下 Lyapunov 泛函

$\begin{equation*} \mathcal{F}(t):= \beta\int_\Omega (u-\bar{u}_0)^2 + \int_\Omega (v-\bar{u}_0)^2 +\int_\Omega (w-\bar{u}_0)^2, \quad\beta>0 \text{ 且 }t>0. \end{equation*}$

引理 3.1 假设条件 (1.2)-(1.4) 成立, 若参数 $\xi_1$, $\chi_1$, $\chi_2$ 满足

$\begin{equation*} \begin{split} \xi_1 < \min\left\{1, \frac{1}{C_1M}\right\} \end{split} \end{equation*}$

和

$\begin{equation*} \chi_1\le\frac{\sqrt{2- C_1M\xi_1\left( 1+\xi_1^{2N(N+1)}\right)}}{C_2 \|u_0\|_{L^\infty} }, \end{equation*}$

且

$\begin{equation*} \chi_2\le \frac{\sqrt{2- C_1M\xi_1\left( 1+\xi_1^{2N(N+1)}\right) }} {C_2 \|u_0\|_{L^\infty} }, \end{equation*}$

则整体有界解 $(u,v,w)$ 将在 $t\to\infty$ 时以指数形式收敛于 $(\bar{u}_0,\bar{u}_0,\bar{u}_0)$, 其中正常数

$C_1:=C_1(|\Omega|)$

和 $C_2:=C_2(|\Omega|), M:=\left(\|u_0\|_{L^\infty} +\|v_0\|_{W^{1,\infty}}\right)\left(\|w_{0}\|_{W^{2,\infty}}+A\right)^{(2N^2+1)(N+1)}.$

证对任意 $ t>0$, 由 (2.7), (2.11) 式和定理 1.1 有

(3.1)$\begin{equation} \|u(\cdot,t)\|_{L^\infty}\le 4(1+|\Omega|) \|u_0\|_{L^\infty} \end{equation}$

和

(3.2)$\begin{equation} \begin{split} \|v(\cdot,t)\|_{L^\infty} &\le c_1(|\Omega|) (\|u_0\|_{L^\infty} +\|v_0\|_{L^\infty})\left(\|w_{0}\|_{W^{1,\infty}}+A\right)^{2N(N+1)}\left( 1+\xi_1^{2N(N+1)}\right)\\ &\le M_3 \left( 1+\xi_1^{2N(N+1)}\right), \end{split} \end{equation}$

其中正常数

$M_3:= c_2(|\Omega|)(\|u_0\|_{L^\infty} +\|v_0\|_{L^\infty})\left(\|w_{0}\|_{W^{2,\infty}}+\|u_0\|_{L^\infty}\right)^{2N(N+1)}.$

根据 (1.1) 式的三个方程可得

(3.3)$\begin{equation}\label{3.3} \begin{split} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega (u-\bar{u}_0)^2 & =\int_\Omega (u-\bar{u}_0)(\Delta u-\chi_1\nabla\cdot(u\nabla v) +\chi_2\nabla\cdot(u\nabla w))\\ &\le -\frac{1}{2}\int_\Omega |\nabla u|^2 + 16(1+|\Omega|)^2 \chi_1^2 \|u_0\|_{L^\infty}^2 \int_\Omega|\nabla v|^2 \\ & \quad +16(1+|\Omega|)^2 \chi_2^2 \|u_0\|_{L^\infty}^2 \int_\Omega |\nabla w|^2 \end{split} \end{equation}$

和

(3.4)$\begin{equation}\label{3.4} \begin{split} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega (v-\bar{u}_0)^2 & =\int_\Omega (v-\bar{u}_0)(\Delta v +\xi_1\nabla\cdot(v\nabla w) +u -v)\\ & \le \left(\frac{M_3 \xi_1\left( 1+\xi_1^{2N(N+1)}\right)}{2}-1\right)\int_\Omega |\nabla v|^2 +\frac{1}{2}\int_\Omega (u-\bar{u}_0)^2\\ & \quad +\frac{M_3 \xi_1\left( 1+\xi_1^{2N(N+1)}\right)}{2}\int_\Omega |\nabla w|^2 -\frac{1}{2}\int_\Omega (v-\bar{u}_0)^2, \end{split} \end{equation}$

以及

(3.5)$\begin{equation}\label{3.5} \begin{split} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega (w-\bar{u}_0)^2 & =\int_\Omega (u-\bar{u}_0)(\Delta w +u -w)\\ &\le -\int_\Omega |\nabla w|^2 +\frac{1}{2}\int_\Omega (u-\bar{u}_0)^2 -\frac{1}{2}\int_\Omega (w-\bar{u}_0)^2. \end{split} \end{equation}$

由 (3.3)-(3.5) 式和 Poincaré 不等式^[10], 存在正常数 $C_p:=C_p(|\Omega|)$ 使得

(3.6)$\begin{equation}\label{3.41} \begin{split} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d} t}\mathcal{F}(t) &\le -\left(\frac{\beta}{2}-\frac{3C_p}{2}\right)\int_\Omega |\nabla u|^2 -\frac{c_2}{2}\mathcal{F}(t)\\ &\quad -\left(1-\frac{M_3 \xi_1\left( 1+\xi_1^{2N(N+1)}\right)}{2}-16\beta(1+|\Omega|)^2 \chi_1^2 \|u_0\|_{L^\infty}^2\right)\int_\Omega |\nabla v|^2 \\ &\quad -\left(1-\frac{M_3 \xi_1\left( 1+\xi_1^{2N(N+1)}\right)}{2}-16\beta(1+|\Omega|)^2 \chi_2^2 \|u_0\|_{L^\infty}^2\right)\int_\Omega |\nabla w|^2, \end{split} \end{equation}$

其中 $c_2:=\min\left\{1,\beta\right\}$. 令 $\beta= 4C_p$, 则 $\frac{\beta}{2}-\frac{3C_p}{2}>0$. 当 $\xi_1$, $\chi_1$ 和 $\chi_2$ 满足

$\begin{equation*} \begin{split} \xi_1 < \min\left\{1, \frac{1}{M_3}\right\} \end{split} \end{equation*}$

和

$\chi_{1} \leq \sqrt{\frac{2-M_{3} \xi_{1}\left(1+\xi_{1}^{2 N(N+1)}\right)}{64 C_{p}(1+|\Omega|)^{2}\left\|u_{0}\right\|_{L^{\infty}}^{2}}},$

且

$\chi_{2} \leq \sqrt{\frac{2-M_{3} \xi_{1}\left(1+\xi_{1}^{2 N(N+1)}\right)}{64 C_{p}(1+|\Omega|)^{2}\left\|u_{0}\right\|_{L^{\infty}}^{2}}}$

时, 有

(3.7)$\begin{equation}\label{4.8} \begin{split} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d} t}\mathcal{F}(t) &\le -\frac{c_2}{2}\mathcal{F}(t). \end{split} \end{equation}$

从而

(3.8)$\begin{equation} \begin{split} \mathcal{F}(t) \le \mathcal{F}(0) e^{-c_2 t}, \quad \forall \ t>0. \end{split} \end{equation}$

应用 Gagliardo-Nirenberg 不等式和 Hölder 连续性理论^[9], 得

(3.9)$\begin{equation} \begin{split} \|u-\bar{u}_0\|_{L^\infty} +\|v-\bar{u}_0\|_{L^\infty} +\|w-\bar{u}_0\|_{L^\infty} \le c_3e^{-c_4 t} \quad \forall \ t>0. \end{split} \end{equation}$

记 $C_1:=c_2(|\Omega|)$ 和 $C_2:=64C_p(1+|\Omega|)^2$, 则引理得证.

定理 1.2 的证明 根据定理 1.1 和引理 3.1, 当

$\xi_1 < \min\left\{1, \frac{1}{C_1M}, \left(\frac{C_2\|u_0\|_{L^\infty}}{4C M} \right)^\frac{2N}{N+1} \right\}$

时, 有

$\chi_1\le \frac{\sqrt{2- 2C_1M\xi_1} }{C_2 \|u_0\|_{L^\infty}} \le\frac{\sqrt{2- C_1M\xi_1\left( 1+\xi_1^{2N(N+1)}\right)}}{C_2 \|u_0\|_{L^\infty}}\le\frac{1}{CM \xi_1^{\frac{N+1}{2N}}\left(1+\xi^{2N(N+1)}\right)^{\frac{2N+1}{2N}} }$

和

$\chi_2\le\frac{\sqrt{2- 2C_1M\xi_1} }{C_2 \|u_0\|_{L^\infty}} \le\frac{\sqrt{2- C_1M\xi_1\left( 1+\xi_1^{2N(N+1)}\right)}} {C_2 \|u_0\|_{L^\infty}},$

其中 $M:=(\|u_0\|_{L^\infty}+\|v_0\|_{L^\infty})\left(\|w_{0}\|_{W^{2,\infty}}+\|u_0\|_{L^\infty}\right)^{2N(N+1)}$, $C:=C(|\Omega|)$, $C_1:=C_1(|\Omega|)$ 和 $C_2:=C_2(|\Omega|)$, 即定理 1.2.

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

Amann

Nonhomogeneous linear and quasilinear elliptic and parabolic boundary value problems

Function Spaces, Differential Operators and Nonlinear Analysis, 1993, 133: 9-126