设 $(\Omega,\sigma)$ 为一个有限测度空间. 为简洁起见, 记 $L^{p}:=L^{p}{(\Omega,\sigma)}$ 为实 $L^p$ 空间, $\|\cdot\|_{p}:=\|\cdot\|_{L^{p}(\Omega)}$, $\langle \cdot,\cdot\rangle_2 :=\langle \cdot,\cdot\rangle_{L^2}$, 并用 $C$ 表示正的常数, 其值可在不同出现处不同. 设 $Q$ 是定义在 $L^2$ 的一个稠密子空间 $\mathrm{Dom}(Q)$ 上的实值、正定、对称的双线性型. 我们进一步假设 $Q$ 是闭的, 并满足以下 Beurling-Deny 条件

1. 若 $u\in \text{Dom}(Q)$, 则 $|u|\in \text{Dom}(Q)$ 且 $Q[|u|]\leq Q[u]$;

2. 若 $0\leq u\in \text{Dom}(Q)$, 则 $u\wedge1:=\text{min}(u,1)\in \text{Dom}(Q)$ 且 $Q[u\wedge1]\leq Q[u]$.

在此及后文中, $Q[u]$ 表示 $Q[u, u]$. 满足上述条件的二次型 $Q$ 被称为 Dirichlet 形式, 其对应的非负自伴算子 $\mathcal{A}_Q \ge 0$ 生成一个对称的 Markov 半群, 因此 $\mathcal{A}_Q$ 也称为一个 Markov 生成元. 关于 Dirichlet 形式的进一步内容, 可参考 Davies 文献 [12] 以及 Fukushima、Oshima 和 Takeda 的文献 [15].

此外, 我们假设存在指数 $q_0>2$ 使得

这里 $\text{Dom}(Q)$ 是一个 Hilbert 空间, 其内积定义为 $\langle u, v\rangle := Q[u,v]$, 由 $Q$ 诱导的范数为 $\| u\|:=\sqrt{Q[u]}$. 而且我们假设从 $\text{Dom}(Q)$ 到 $L^2$ 的嵌入是紧的. 因此, 存在一个函数序列 $\{\varphi_k\}_{k=1}^{\dim{L^2}}$ 构成 $L^2$ 的正交基, 也是 $\text{Dom}(Q)$ 的正交基. 而且存在一个递增的正数序列 $\{\lambda_k\}_{k=1}^{\dim{L^2}}$ 使得

这些 $\{\lambda_k\}_{k=1}^{\dim{L^2}}$ 称为 $\mathcal{A}_Q$ 的 Dirichlet 特征值, 对应的 $\{\varphi_k\}_{k=1}^{\dim{L^2}}$ 称为特征函数.

现在, 令 $p_0=(1-\frac{2}{q_0})^{-1}$, 并考虑一个满足 $0\leq V \in L^{p_0}$ 的势函数 $V(\cdot)$. 则利用 Hölder 不等式和 (1.1) 式, 可得

因此该二次型 $\int_{\Omega}{V uv {\rm d}\sigma}$ 在定义域 $\text{Dom}(Q)$ 中生成了一个有界非负算子 $T_{Q,V}:\text{Dom}(Q) \rightarrow \text{Dom}(Q)$, 满足

回顾一下, 算子 $T$ 的特征值分布函数被定义为 $n(\mu,T)=\sharp\{k;\mu_{k,T}>\mu\}$, 其中 $\mu_{k,T}$ 是 $T$ 在 $\text{Dom}(Q)$ 的特征值 (计算重数). Levin 和 Solomyak^[21] 证明了以下结果

命题 1.1 $T_{Q,V}$ 是紧的并且

利用 Birman-Schwinger 原理, 上式实际等价如下 Dirichlet 形式的 Cwike-Lieb-Rozenblum 不等式.

命题 1.2 二次型

在 $L^2$ 中有下界且是闭的. 相应自伴算子 $\mathcal{A}_{Q, V}=\mathcal{A}_Q-V$ 在 $L^2$ 空间中的负谱是离散的, 并且

其中 $\mathcal{N}{(\mathcal{A}_{Q, V})}:=\sharp\{k\mid\lambda_{k, \mathcal{A}_{Q, V}}<0\}$ 表示 $\mathcal{A}_{Q, V}$ 在 $L^2$ 的负特征值的个数.

现在我们给出 Dirichlet 形式的变分设定并阐述我们的主要结果. 关于变分方法的基础知识, 我们推荐读者参考Rabinowitz^[24] 和 Struwe^[30].

假设 $f:\Omega\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是一个 Carathéodory 函数, 即对几乎所有的 $x\in \Omega$ 函数 $f(x,\cdot)$ 是连续的, 并且对于所有的 $t\in \mathbb{R}$ 函数 $f(\cdot,t)$ 是可测的. 我们将作出以下假设

(H1) 存在 $2<q<q_0$ 和 $C>0$ 使得

对所有的 $x\in \Omega$ 和 $t\in \mathbb{R}$ 是成立的.

对 $u\in \text{Dom}(Q)$, 令

其中 $F(x,t)=\int_{0}^{t}f(x,s){\rm d}s$ 是 $f(x,t)$ 的原函数. 假设 (H1) 意味着 $I$ 在 $\text{Dom}(Q)$ 是 Fréchet-可微的, 并且 $I \in C^{1}(\text{Dom}(Q),\mathbb{R})$. 我们称 $u$ 是方程

的解, 若 $u$ 是 $I$ 的临界点.

此外, 我们可以假设

(H2) 存在 $\mu>2$ 和 $R_0>0$ 使得

对所有 $x\in \Omega$ 以及 $t\in \mathbb{R}$ 且 $|t|\geq R_0$ 成立;

(H3) $\lim_{t\to 0}{\frac{f(x,t)}{t}}= 0$ 在 $x\in\Omega$ 上一致成立.

假设 (H1) 和 (H2) 以及紧嵌入 表明, 函数 $I$ 满足 Palais-Smale 条件 (见文献 [14,18,23,24,30]). 由山路定理我们不难得到如下结果

定理 1.1 若 $f(x,t)$ 满足 (H1), (H2) 和 (H3), 则泛函 $I$ 至少存在一个非平凡的临界点. 若 $\dim L^2 =\infty,$ $f(x,t)$ 满足 (H1), (H2) 且 $f(x,t)=-f(x,-t)$, 那么泛函 $I$ 具有一串无界的临界点序列.

接下来, 对 $2<q<q_0$, 我们考虑函数

通过引入一个由相对亏格定义的新的极小极大结构^[3], 我们可得以下结果

定理 1.2 对每个 $ \dim L^2 \geq k \geq 1,$ $I_q$ 存在一个非平凡临界点, 且其临界值等于 $\inf\{c\ge0:\gamma(I_{q}^{c};I_{q}^{0},I_q ^{-1})\ge k\}$, 并满足增广 Morse 指标大于等于 $k-1$ (其中 $\gamma(I_{q}^{c};I_{q}^{0},I_q ^{-1})$ 的定义将在定义 3.2 给出).

对于临界点的 Morse 指标型估计, 读者可以参考Bahri-Lions^[1,2] 和 Lazer-Solimini ^[20]. 对于更多扩展内容, 参见 Chang^[6], Coffman^[11], Ghoussoub^[16] 和 Solimini^[28]. 特别的, Morse 指标型估计在所谓的 "非对称扰动" 问题起重要作用. 我们考虑如下的 "非对称扰动" 问题

其中 $g:\Omega\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 是一个 Carathéodory 函数满足

(H4) 存在 $0\leq\varsigma<q-1$, $\beta\geq 0$ 和非负的 $\alpha(x) \in L^{\frac{\mu}{\mu-1}}$ 使得

对 $x\in \Omega, t\in \mathbb{R}$ 几乎处处成立.

通过定理 1.2 和 Cwike-Lieb-Rozenblum 不等式为所讨论的极小极大类提供了能量估计, 我们最终得出

定理 1.3 当 $\dim L^2 =\infty$, 若

则方程 (1.9) 有一串无界解序列, i.e., 能量泛函

存在一串无界的临界点序列. 这里 $G$ 是 $g$ 的原函数.

由于扰动项 $g$ 的存在, 能量泛函 $E$ 的对称性会遭到破坏, 这导致了很多困难. 当 $\mathcal{A}_Q$ 为拉普拉斯算子时, 许多作者已经研究了该问题, 包括 Rabinowitz^[25], Struwe^[29] 和 Tanaka^[31], 也可参见 Ramos, Tavares 和 Zou^[26]的变号解版本. 实际上, 由于参数范围 (1.10) 依赖于 Bahri-Lions^[2] 最先得到的 Morse 指标型估计, 在文献 [26] 中, 椭圆算子版本的定理 1.3 也被称为 Bahri-Lions 定理. 特别的, 若扰动函数 $g$ 还满足

(H5) $\lim_{t\to 0}{\frac{g(x,t)}{t}}= 0, g(x,t)t\geq 0 $ 对 $x\in \Omega, t\in \mathbb{R}$ 几乎处处成立.

则我们还有如下的变号解版本

定理 1.4 当 $\dim L^2 =\infty$, 若 (1.10) 式成立, 则方程 (1.9) 有一串无界的变号解序列.

记 $\varphi_{k}$ 是 $\mathcal{A}_ Q$ 的第 $k$ 个 Dirichlet 特征函数. 定义 $\text{Dom}(Q)$ 的子空间

以及 $W_j$ 在 $\text{Dom}(Q)$ 上的正交补

引理 2.1 对每个固定的 $k\ge1$, 若 $f$ 满足假设条件 (H1), (H2), 则

证 假设 (H2) 意味着对所有的 $|u|\geq R_0$ 和 $x\in \Omega$, 有

这表明

其中

若 $u\in W_k$ 满足 $\|u\|=\rho>0$. 令 $v=\frac{u}{\rho}$, 则存在独立于 $u$ 的常数 $\iota>0$, 使得

第二个不等式利用了在一个有限维空间中两种范数之间的等价关系.

该估计表明对任意有限维子空间 $W\subset \text{Dom}(Q)$, 存在常数 $R=R(W)>0$ 使得对任意 $u \in W$ 且 $ \|u\|\geq R$ 有 $I (u)< -1$. 特别地, 对每个 $j\geq 1$. 我们可以选择一串充分大的递增正序列 $\{R_j\}_{j=1}^{\infty}$ 使得对任意 $u\in W_j$ 且 $\|u\|\geq R_j$, $I(u)< -1$ 成立.

对每个 $j\in \mathbb{N}^{+}$, 令 $D_j:=B_{R_j}\cap W_j$,

其中 $B_{R}=\{u\in \text{Dom}(Q)\mid \|u\|\leq R\}$ 是 $\text{Dom}(Q)$ 上半径为 $R$ 的闭球, $\textbf{id}$ 表示恒等映射. 显然地, $\textbf{id}\in G_{j}$. 此外, 对每个 $k\in \mathbb{N}^{+}$, 我们定义

引理 2.2 对每个固定的 $k\ge 1$, 若 $f$ 满足假设条件 (H1), (H2), 则存在独立于 $k$ 的正常数 $C_1, C_2$ 使得

如果进一步假设 (H3) 成立, 我们可以取常数 $C_2 =0$.

证 对 $h\in G_k$ 且 $\rho <R_k$, 根据相交定理 (见文献 [25,引理 1.44]), 可得 $h(D_k)\cap \partial B_\rho \cap W_{k-1}^{\perp} \neq \emptyset.$ 则

对 $u\in W_{k-1}^{\bot}\cap\partial B_{\rho}$, Rayleigh-Ritz 公式表明

将 $r=\frac{2 (q_0 -q)}{q (q_0 -2)}$ 代入, 则 $\frac{1}{q} =\frac{r}{2} +\frac{1-r}{q_0}.$ 那么 (1.1) 和 (2.7) 式表明

因此, 由 (2.8) 式有

取 $\|u\|=C_0 {\lambda_k}^{\frac{qr}{2(q-2)}}$ 即可 (其中 $C_0$ 为一个适当小的正常数).

如果假设条件 (H3) 也成立, 则对每个 $\epsilon>0$, 存在 $C(\epsilon)$ 使得

有

因此, 这种情况下, 常数 $C_2$ 能取为 $0$.

证 [证明定理 1.1] 若 $f(x,t)$ 满足 (H1), (H2) 和 (H3), 容易看出 $I(0)=0$. 此外, 由引理 2.2 的证明知, 存在 $\rho, C_1>0$ 使得

结合引理 2.1, 由山路引理文献 [30,定理 6.1], 可得泛函 $I$ 至少存在一个非平凡的临界点. 若 $\dim L^2 =\infty$, 则可知 $\lambda_k\to \infty$. 根据 (2.5) 式, 可得 $b_k(I)\to \infty$. 由对称山路引理 (见文献 [30,定理 6.3]), 我们得到一串无界临界点序列.

回顾一下

对任意 $c\in \mathbb{R},$ 我们采用以下记号

和

首先, 我们有

命题 3.1 函数 $I_q$ 具有以下性质

(P1) $I_q \in C^{2}(\text{Dom}(Q),\mathbb{R})$, 且对每个 $u\in \text{Dom}(Q), I_q"(u)$ 是 Fredholm 的;

(P2) 存在 $\varrho>0$ 使得 $K\cap I_{q}^{-1}{(0,\varrho]}=\emptyset$ 并且 $K\cap I_{q}^{-1}(0)=\{0\}$;

(P3) $I_q^{0}$ 是 $I_q^{\varrho}$ 的强形变收缩核.

证 易证 $I_q \in C^{2}(\text{Dom}(Q),\mathbb{R})$,

并且

这意味着

由命题 1.1 知 $T_{Q,|u|^{q-2}}$ 是一个紧算子. 因此, 对每个 $u\in \text{Dom}(Q), I"(u)$ 是一个 Fredholm 算子. 因为

是可逆的. 根据隐函数定理, 存在 $r>0$ 使得 $I_{q}'(u)=0$ 在 $B_{r}(0)$ 中仅有唯一解 $u=0$. 若 $w\in K \cap B_{r}^{c}(0)$, 则 $I_{q}'(w)(w)=0$. 因此,

进而

因此对 $0<\varrho<(\frac{1}{2}-\frac{1}{q}) r^2$, 必然有 $K\cap I_{q}^{-1}(0,\varrho]=\emptyset$. 此外, $K\cap I_{q}^{-1}(0)=\{0\}$, 从而由第二形变引理 (见文献 [5,定理 5.1.7]) 可得 (P3).

接下来, 我们介绍相对亏格 (见文献 [3,定义 4.1]) 的定义, 它是以下亏格 (见文献 [30]) 的推广.

定义 3.1 (亏格) 我们称线性空间上的集合 $A$ 是对称的, 若 $x\in A$ 可以推出 $-x\in A$. 对一个非空对称闭集 $A$, 令

并且定义 $\gamma(\emptyset)=0.$

定义 3.2 (相对亏格) 对对称闭子集 $A\subset B\subset L$, $L$ 相对于 $(B,A)$ 的亏格, 记为 $\gamma(L;B,A),$ 为最小的非负整数 $k\ge 0$, 使得存在对称闭子集 $U, V$ 满足

(1) $L\subset U\cup V, B \subset U,$ 以及 $\gamma(V)\leq k;$

(2) 存在一个奇的连续映射 $g:U\to B$ 且 $g(A)\subset A.$

若不存在这样的 $k$, 则我们说 $\gamma(L; B, A)=+\infty.$

注 3.1 对任意对称闭子集 $A\subset B$, 有 $\gamma(B; B, A)=0$. 且 $\gamma(B)=\gamma(B; \emptyset,\emptyset)$.

相对亏格具有以下性质, 可参见文献 [3,命题 4.2].

引理 3.1 假设 $A\subset B\subset L$ 是对称闭子集. 我们有

(1) 若存在对称闭子集 $L_0$ 和 $L_1$, 且满足 $L\subset L_0\cup L_1$ 和 $L_1\cap B=\varnothing,$ 那么

(2) 若 $L' \supset B$ 是 对称闭子集, 并且存在一个奇连续映射 $\varphi: L'\to L$ 满足 $\varphi(L')\subset L, \varphi(A)\subset A, \varphi(B)\subset B,$ 则

特别地, 如果 $L'\subset L$, 那么通过将 $\varphi=\mathbf{id}$ 代入, 就有 $\gamma(L'; B, A)\leq \gamma(L; B, A)$ 成立.

引理 3.2 对任意 $c>0$, 存在 $0<\delta<c$ 使得

证 见文献 [3,推论 4.4].

现在, 我们定义

我们有以下命题.

命题 3.2 对任意 $k\ge1$ 有 $b_k(I_q)\ge d_{k}(I_q)$.

证 因为对任意 $k\ge1$, $b_k(I_q)>0$, 所以相对亏格 $\gamma(I_{q}^{b_{k}(I_q)};I_{q}^{0},I_{q}^{-1})$ 是可以定义的. 我们使用反证法. 固定 $k\ge1, \varepsilon_0 >0$, 假设

成立. 由 $b_k$ 和相对亏格的定义, 我们可以选取一个 $h\in G_{k}$ 和对称闭子集 $U, V\subset \text{Dom}(Q)$ 使得

和一个奇的连续函数 $g$ 满足

接下来, 我们证明存在 $\rho_0 >0$ 使得 $I_q ^0 \cap B_{\rho_0}^{q} =\{0\},$ 这里

由 (1.1) 式知, 存在 $C>0$ 使得

由于 $q>2,$ 取 $\rho_0 \in (0,{C}^{\frac{1}{q-2}})$ 即可.然后我们定义

因为 $g$ 和 $h$ 是奇函数, $O$ 是 $D_k$ 上一个包含原点的有界对称开集.根据文献 [30,命题 5.2] 中介绍的关于亏格的性质, 可得

对于 $u\in \partial O$, 要么 $\|u\|=R_k$ 且 $\|g(h(u))\|_q \leq \rho_0,$ 要么 $\|g(h(u)\|_q =\rho_0$ 且 $\|u\|\leq R_k.$ 若 $u\in\partial O$ 满足 $\|u\|=R_k$ 和 $\|g(h(u))\|_q \leq \rho_0,$ 则 $R_k$ 的构造表明 $u\in I_q^{-1}.$ 由 $h\in G_k$ 可得

这与 $I_q ^0 \cap B_{\rho_0}^{q} =\{0\}$ 矛盾. 因此

其中 $S_{\rho_0}^q:=\{u\in \text{Dom}(Q):\|u\|_q =\rho_0\}$.

最后, $g:U\to I_q^0$ 和 (3.13) 式表明

根据 Krasnoselskii 亏格的性质, 有

注意到由 (3.9) 式可得

结合 (3.12), (3.13), (3.15) 和 (3.16) 式, 有

这导致了矛盾.

接下来我们证明 $d_k(I_q)$ 是 $I_q$ 的临界值, 首先有

引理 3.3 $d_1 (I_q)>0.$

证 根据命题 3.1 和引理 3.1, 存在 $\varrho>0$ 使得

因此, 由定义可得 $d_1(I_q)>\varrho>0.$

命题 3.3 对任意 $k\ge1$, $d_k(I_q)$ 是 $I_q$ 的临界值.

证 由 $d_k (I_q)$ 的定义和引理 3.1 的结论, 有

引理 3.2 表明

这意味着 $K_{I_q,d_k(I_q)}\neq \emptyset$, 故 $d_k(I_q)$ 是 $I_q$ 的一个临界值.

定义 3.3 设 $u\in \text{Dom}(Q)$ 是 $I_q$ 的临界点. 将 $I_q"(u)$ 视为 $\text{Dom}(Q)$ 上的一个有界线性自伴 Fredholm 算子, 由谱理论有分解 $\text{Dom}(Q)=H_0\oplus H^-\oplus H^+$. 其中 $H_0$ 是 $I_q"(u)$ 的核空间, $H^-$ 是负谱空间, $H^+$ 是 正谱空间. 我们将 $H^-$ 的维数定义为 Morse 指标 $m(u)$, 将 $H_0\oplus H^-$ 的维数定义为增广 Morse 指标 $m^*(u)$. 此外, 若 $I_q"(u)$ 是可逆的, 就称 $I_q$ 的临界点 $u$ 是非退化的.

注 3.2 因为 $I_q"(u)=\textbf{id}-T_{Q,q(q-1)|u|^{q-2}}$, 故 $ m(u) = n(1, T_{Q,q(q-1)|u|^{q-2}})$.

证 [证明定理 1.2] 由 Marino-Prodi 扰动方法 (见 Marino-Prodi^[22], 以及^[16,28]), 不失一般性, 我们可以假设任意 $K_{I_q, d_k (I_q)}$ 的临界点 $u$ 是非退化的. 对于这样的点 $u$, 我们分解 $\text{Dom}(Q)= H^-\oplus H^+$. 若 $v\in \text{Dom}(Q)$, 我们能分解 $v=v_- +v_+$, 其中 $v_-\in H^-$, $v_+\in H^+.$ 由 Morse 引理, 存在一个从 $\text{Dom}(Q)$ 中 $0$ 的邻域映射到 $\text{Dom}(Q)$ 中 $u$ 的邻域 (记为 $U(u)$) 的 lipschitz 同胚映射 $\mathcal{H}$, 使得 $\mathcal{H}(0)=u$, 并满足

此外, 根据命题 3.1 中的 (P1) 可得 $I_q \in C^2(\text{Dom}(Q),\mathbb{R})$ 并且 $I_q (u)>0.$ 因此, 我们可以进一步要求 $U(u)$ 满足

选取正数 $r_1, r_2>0$ 足够小并满足 $4r_1^2 <r_2^2$, 令 $B^- (B^+)$ 表示在 $H^- (H^+)$ 中以 $0$ 为心以 $r_1 (r_2)$ 为半径的闭球. 定义

令 $\varphi:\mathbb{R}\to [0,1]$ 是一个 Lipschitz 函数, 满足当 $x\leq0$ 时 $\varphi(x)=0$; 当 $x\ge1$ 时 $\varphi(x)=1$. 定义

易证 $\Phi$ 是 $\text{Dom}(Q) \setminus \{\mathcal{H}(2B^- +\partial B^+)\cup -\mathcal{H}(2B^- +\partial B^+)\}$ 上的奇的连续函数. 并且对任意 $\alpha\in (0,r_2^2 -4 r_1^2)$, $\Phi$ 在 $I_{q}^{d_k (I_q)+\alpha}$ 上连续.

因为 $I_q$ 在 $d_k(I_q)$ 满足 Palais-Smale 条件, 所以 $K_{I_q,d_k(I_q)}$ 是 紧的. 又由每个在值为 $d_k(I_q)$ 的临界点都是非退化的, $K_{I_q,d_k(I_q)}$ 由孤立的临界点组成, 因此 $K_{I_q,d_k(I_q)}$ 由有限个点 $\{\pm u_j:1\leq j\leq n_0\}$ 组成. 对每个 $j\in\{1,2,\cdots,n_0\},$ 都存在对应的

此外, 我们可以要求 $i\neq j$ 时 $\overline{U(u_i)}\cap\overline{U(u_j)}=\emptyset$. 我们滥用一下记号, 重新记

对任意 $x\in N'(u_j)\cup -N'(u_j)$ 有 $\Phi(x)=\Phi_j(x)$. 令 $X_\xi =I_q^{d_k(I_q) +\xi}$, 其中 $\xi>0$. 由 (3.8) 式知它满足

由定义, 易证对每个 $1\leq j\leq n_0$, 和 $ 0<\xi< r_{2_j}^2 -4r_{1_j}^2,$ 有

更多细节参见文献 [20].

接下来我们在非退化假设下证明定理 1.2 的结论, 注意对于非退化临界点而言, 其 Morse 指标与增广 Morse 指标一致. 当 $k=1$ 时结论是显然的. 当 $k\ge2$ 我们将通过反证法来证明这一结论. 假设

注意到 $N:=\bigcup_{j=1}^{n_0} (N(u_j)\cup -N(u_j))$ 是 $K_{I_q,d_k(I_q)}$ 的一个对称邻域. 令

由形变引理文献 [30,定理 3.4] 知, 存在 $\delta_1 \in(0,\bar{\epsilon})$ 和一个奇的连续映射 $\psi:\text{Dom}(Q)\to \text{Dom}(Q)$ 使得

并且

因为 $I_q^0\subset N^c$, 故有 $I_q^0\subset \overline{\Phi(X_{\delta_1})}\setminus N$ 且 $\gamma(\overline{\Phi(X_{\delta_1})}\setminus N; I_q^0,I_q^{-1})$ 是可以定义的.

假设

根据定义 3.2, 存在对称闭子集 $U, V\subset \text{Dom}(Q)$ 使得

这表明存在一个奇连续映射 $f:V\to \mathbb{S}^{k-2}$. 此外, 存在一个奇连续映射

一方面, (3.24) 式意味着 $M_j:=\Phi(X_{\delta_1})\cap N(u_j) $ 与 $\mathbb{R}^{m(u_j)}$ (其 $m(u_j)\le k-2$) 中的球同胚. 使用文献 [16,定理 D.9] 中的延拓定理, 对每个 $1\le j\le n_0$, $f$ 可以延拓为一个连续映射 $f_j:\overline{M_j \cup -M_j}\to \mathbb{S}^{k-2}$, 满足对

因为 $\frac{f_j(x)-f_j(-x)}{2}$ 是奇的, 我们可以进一步假定 $f_j$ 是奇的. 令

进而 $\hat{f}:V\cup M\to \mathbb{S}^{k-2}$ 是一个奇的连续映射, 其中 $M:=\bigcup\limits_{j=1}^{n_0} \overline{M_j\cup -M_j}.$ 因此 $\gamma(V\cup M)\le k-1.$

故

这表明 $\gamma(\overline{\Phi(X_{\delta_1})};I_q^0,I_q^{-1})\le k-1.$ 另一方面, 由引理 3.1 中的结论, 有

这导致了矛盾. 因此

由 $\Phi$ 定义和 (3.23) 式, 可得 $\sup\limits_{u\in \overline{\Phi(X_{\delta_1})}} I_q(u)\le d_k(I_q)+\delta_1.$ 这意味着

结合 (3.25) 式知 $\psi(\overline{\Phi(X_ {\delta_1})}\setminus N)\subset I_q^{d_k(I_q) -\delta_1}.$ 因此我们有

与 $d_k(I_q)$ 的定义矛盾.

相似地, 我们能得到下列关于 $b_k(I_q)$ 的 Morse 型 估计

命题 3.4 对任意整数 $\dim L^2\ge k\ge1$, 存在 $u\in K_{I_q,b_k(I_q)}$ 使得

证 见文献 [28].

在本小节, 我们将证明一些能量估计.

引理 4.1 对任意整数 $k\ge1$, 我们有

证 令 $(Q[u])^{\frac{1}{2}}=a\|u\|_{q}:=at.$ 对 $u\in W_k$, 由 Rayleigh-Ritz 公式和 Hölder 不等式可知

因此, $a\le C\lambda_k^{\frac{1}{2}}$. 另一方面, 有

显然 $b_k (I_q )\le\max\limits_{u\in W_k} I_q(u)$, 因此

命题 4.1 对 $k\ge1$, 有

证

结合命题 1.1, 对任意的 $u\in K_{I_q,d_k(I_q)}, k\ge 1$, 有

此外, 由 $u\in K_{I_q,d_k(I_q)}$ 和 (4.5) 式可得

由命题 (4.5) 命题 4.1 和引理 4.1, 有

事实上, 由于

也有

命题 4.2 存在 $k_0\geq 1$, 使得对任意 $k\geq k_0$,

证第一步 依据文献 [26] 的思路, 不失一般性我们可假设

确实, 否则就如同文献 [24] 中所述, 存在一个扰动泛函 $\widetilde{E}$ 使得上述不等式对 $\widetilde{E}$ 成立. 而且当临界值足够大时 $\widetilde{E}$ 和 $E$ 有相同的临界点.

第二步 我们定义

和

由 Dugundji 延拓定理和文献 [13,定理 4.1] 知, $\Lambda_k \neq \emptyset.$我们也定义

我们断言, 如果 $c_k( E) >b_ k(E) +1,$ 则 $c_k(E)$ 是 $E$ 的临界值. 我们将该断言的证明放在最后一步.

第三步 我们将通过迭代完成该证明. 否则, 对每个足够大的 $k$ 有 $c_k(E) \leq b_ k(E) +1$. 因为

可以得到

由迭代, 必然有

这与 (1.10) 式和命题 4.2 矛盾.

第四步 假设 $c_k(E)$ 不是 $E$ 的临界值. 令 $\tilde{\varepsilon}:=\frac{1}{2} (c_k (E) -b_k (E ) -1)>0$. 由形变引理, 存在 $\varepsilon_1 \in (0,\tilde{\varepsilon})$ 和 $\eta_1 \in C([0,1]\times \text{Dom}(Q), \text{Dom}(Q))$ 使得

且

根据 $c_k(E)$ 的定义, 我们可以选取 $h\in \Lambda_k$ 满足

易证 $\eta_1(1,h(\cdot))\in \Lambda_k.$ 此外, 由 (4.12) 和 (4.13) 式, 可得

这导致了矛盾.

本节的主要想法来自参考文献 [10]. 在给出定理证明之前我们先介绍寻找变号解的一些必要的设定.

记 $u^{+}:=\max\{u,0\}$, $u^{-}:=\min\{u,0\}$. 对任意 $a>0$, 我们记

这里 ${\rm dist}(u,P^{\pm})=\inf_{w\in P^\pm }\|u-w\|$. 然后, 我们定义

显然任何一个 $u\in S_a$ 都是变号的.

为了构造泛函的变号临界点与临界值, 一个更精细的相交引理 (intersection lemma) 是必须的. 首先, 我们给出

引理 5.1 若 $f$ 满足假设 (H1)-(H3), 则对 $k\geq 1$, 存在与 $k$ 无关的正常数 $C, C_0$ 使得

这里

证 仿照引理 2.2 即可.

同时我们有

引理 5.2 对任意 $\rho>0$ 和 $a>0$, 令

这里 $\overline{P_{a}}$ 是 $P_{a}$ 在 $\text{Dom}(Q)$ 中的闭包. 则存在常数 $\bar{a}>0$ 使得

对任意 $0<a<\bar{a}$ 成立.

证 记 $\psi: Z_{a}(\rho)\to\mathbb{R}$ 为如下奇映射

若对某些 $u_0\in Z_{a_{0}}(\rho)$ 有 $\psi(u_0)=0$, 则 ${\rm dist}(u_0,P^+)={\rm dist}(u_0,P^-)$. 由 $Z_{a}(\rho)$ 定义,

当 $0<a<\frac{\rho}{C}$ 时矛盾. 所以, 由 Krasnoselskii 亏格的定义, 此时我们有 $\gamma(Z_{a}(\rho))\leq1$.

于是我们有

引理 5.3 (相交引理) 存在正数 $R_k^0 $ 和 $\bar{a}$ (这里为记号简便仍使用 $\bar{a}$, 选取最小的即可, 下同) 使得对 $R >R_k^0 $ 和任意 $0<a<\bar{a}$ 有

对任意 $\phi \in G_k$ 成立.

证 对任意奇映射 $\phi \in C(W_k, \text{Dom}(Q))$ 满足 $\phi|_{W_k\cap B_{R}^c}=\mathbf{id }$, 定义

显然, $T$ 是 $W_k$ 中包含原点的一个有界对称开集. 根据 Krasnoselskii 亏格的性质 (参见文献 [30,命题 5.2]), 我们有 $\gamma(\partial T)=k$.

对 $u\in \partial T$, 只有如下两种可能

• $\|u\|=R$ 且 $\|\phi(u)\|_{q}\leq \rho_{k-1}$;

• $\|\phi(u)\|_{q}=\rho_{k-1}$ 且 $\|u\|< R$.

若 $\|u\| = R$ 且 $u\in \partial T$, 则由 $\phi$ 定义我们有 $\phi(u)=u$ 和

当 $R$ 足够大时会导致矛盾. 因此, 对任意的 $u\in \partial T$, 我们有 $\|\phi(u)\|_{q}=\rho_{k-1}$ 和 $\|u\|<R$.

假设对某个固定的 $a>0$ 有 $\phi(\partial T)\cap S_a\cap Q_{k-1}=\varnothing$. 考虑投影

因为 $\phi(\partial T)\cap W_{k-2}^\perp\subset Q_{k-1}$, 故有 $0\notin \mathcal{P}(\phi(\partial T)\cap S_a)$. 实际上, 如果 $\mathcal{P}(y)=0$ 对某个 $y\in \phi(\partial T)\cap S_a$, 则 $y\in W_{k-2}^\perp$ 且 $\phi(\partial T)\cap S_a\cap W_{k-2}^\perp\neq \varnothing$, 这与 $\phi(\partial T)\cap S_a\cap Q_{k-1}=\varnothing$ 矛盾. 又因为 $\mathcal{P}|_{\phi(\partial T)\cap S_a}$ 在 $\phi(\partial T)\cap S_a$ 上奇且连续, 有

根据 Krasnoselskii 亏格的性质和引理 5.2,

这导致了矛盾. 所以, $\phi(\partial T)\cap Q_{k-1}\cap S_{a}\neq \varnothing$. 因为 $\partial T\subset B_{R}\cap W_k$, 得到

定义紧算子 $K= \mathbf{id}-E'$, 则有

则有

引理 5.4 在定理 1.4 假设下, 存在 $\bar{a}$ 使得对任意的 $0<a<\bar{a}$ 有

证 我们记 $z=K(u)$, $u\in P_a^{\pm}$. 由 Beurling--Deny条件有

则

这意味着 ${\rm dist}(z, P^{\pm}) \leq \varepsilon {\rm dist}(u, P^{\pm}) +C(\varepsilon) {\rm dist}(u, P^{\pm}) ^{q-1}$ 对任意$\varepsilon>0$ 成立, 故引理得证.

引理 5.5 给定 $a>0$, 以及局部李普希茨映射 $\tau$ 满足

记 $h(u):=\frac{1}{1+\|\tau(u)\|}.$ 若 $\zeta$ 是使得下述 Cauchy 问题全局适定的函数

则 $\eta(t,P_{a}^{\pm})\subset P_{a}^{\pm}$ 对任意 $t\geq 0$ 成立.

证 令 $u\in P_{a}^{\pm}$. 若 $\zeta(u)h(u)=0$, 解的唯一性定理告诉我们 $\eta(t,u)=u\in P_{a}^{\pm}$ 对所有 $t\geq 0$ 成立. 在 $\zeta(u)h(u)>0$ 的情况, 使用泰勒展开, 有

对充分小的 $t>0$ 成立, 这里余项 $\alpha_{u}(t)$ 满足 $\lim_{t\to 0^+}\frac{\alpha_u(t)}{t}=0$ 于 $\text{Dom}(Q)$.

故对充分小的 $t>0$ 有 $\xi:=\zeta(u)h(u)t\in (0,1)$, 且

这表明 $\eta(t,u)\in P_{a}^{\pm}$ 对充分小的 $t>0$ 成立. 连续性方法说明这对所有的 $t\geq 0$ 成立.

仿照文献 [10], 为了找到变号解,定义

注意 $\mathbf{id } \in G_k$ 并且引理 5.3 给出 $\phi(W_k\cap B_{R_k})\cap S_{a}\neq \varnothing$ 对任意 $\phi\in G_k$ 和 $0<a<\bar{a}$ 成立. 所以, 由引理 5.1 有

固定 $0<a<\bar{a}$, 定义

接下来我们将验证 $d_{k,a}(I_q)$ 对充分小的 $a$ 是可以定义的. 并且我们将证明 $\{d_{k,a}(I_q)\}_{k=1}^{\infty}$ 是 $I_q$ 的一串变号临界值.

命题 5.1 对 $k\ge1 $, 存在 $\bar{a} $ 使得对任意 $a\in (0,\bar{a})$ 以及 $\varepsilon>0$ 我们有

因此 $b_{k+2,a}(I_q)\geq d_{k,a}(I_q)$.

证 选出 $\phi\in G_{k+2}$ 使得

以及对称闭集 $U, V \subset {\rm Dom}(Q)$ 使得

和奇映射 $h$ 满足

因此, 有

定义

其中 $\rho_0$ 在命题 3.2 的证明中给出.有

且

另一方面

由引理 5.2 和 Krasnoselskii 亏格的性质, 存在只依赖于 $\rho_0$ 的 $\bar{a}>0$ 使得对任意 $a\in(0,\bar{a})$,

结合 (5.12), (5.16), (5.17) 和 (5.19) 式, 得到

这意味着 (5.11) 式成立.

命题 5.2 $d_{1,a}(I_q)>0$, $d_{k,a}(I_q)$ 是$I_q$ 的临界点且 $K_{I_q,d_{k,a}(I_q)}\cap S_{a}\neq \varnothing$.

证 参见文献 [3].

定理 5.1 存在 $u\in K_{I_q,d_{k,a}(I_q)}\cap S_{a}$ 使得 $m^*(u)\geq k-1$.

证 我们仍假设 $K_{I_q,d_{k,a}(I_q)}$ 内都是非退化临界点. $K_{I_q,d_{k,a}(I_q)}\cap S_{a}$ 由有限个点 $\{\pm u_j:1\leq j\leq n_0\}$ 组成. 对每个 $j\in\{1,2,\cdots,n_0\},$ 都存在对应的

此外, $i\neq j$ 时 $\overline{U(u_i)}\cap\overline{U(u_j)}=\emptyset$. 我们仍记

对任意 $x\in N'(u_j)\cup -N'(u_j)$ 有 $\Phi(x)=\Phi_j(x)$. 令 $X_\xi =I_q^{d_k(I_q) +\xi}$, 其中 $\xi>0$. 对 $0<\xi<\min_{1\leq i\leq n_{0}}\{(r_i^+)^2-(2r_i^-)^2\}$, 有

用反证法, 若

仍记

类似 定理 1.2 的证明, 因为 $\overline{\Phi(X_\xi)}\cap N$ 拓扑同胚一个至多 $k-2$ 维空间的子集, 有

然而, 由文献 [3], 存在 $\xi$ 以及梯度流 $\eta=\eta(1, \cdot)$ 使得

故有 $\gamma( I_q^{d_{k,a}(I_q)-\xi}\cup \overline{P_a} ; I_q^{0}\cup \overline{P_a}, I_q^{-1})\geq k$, 与定义矛盾, 证毕.

为完成定理 1.4 的证明, 我们选取 $\{a_{k}\}_{k=1}^{\infty} \subset (0,\bar{a})$ 和合适的充分大的 $\{R_k \}_{k=1}^\infty$ 分别满足

定义

以及

由 Morse 指数估计, 也有

命题 5.3 存在 $k_0\geq 1$, 使得对任意 $k\geq k_0$,

证 [定理 1.4 的证明] 重复定理 1.3 的证明过程, 我们只需要验证当 $\bar{c}_k(E) >b_{k,a_k}(E) +1,$ $\bar{c}_k(E)$ 是 $E$ 的临界值, 且存在变号临界点.我们不妨假设 $E'$ 是局部李普希兹的, 否则我们可以考虑一个小扰动下的拟梯度.

反之, 若存在 $0<\varepsilon<\min\{\frac{\bar{c}_k(E)-b_{k,a_k}(E)-1}{2}, a_1,\frac{1}{10}\}$ 使得 $ \|E'(u)\| \geq \varepsilon$ 对任意$u\in Y$ 成立, 这里

记

和

显然, $B\subset Y$ 且 $\overline{A}\cap \overline{B}=\varnothing$. 在引理 5.5 中取 $\tau =E', \zeta(u)=\frac{\text{dist} (u,A)}{\text{dist} (u,A)+\text{dist} (u,B)}$. 则 $0\leq \zeta\leq 1$ 并满足

则对任意 $t\geq 0$, 梯度流 $\eta$ 满足 $\eta(t,P_{a_{k+1}}^{\pm})\in P_{a_{k+1}}^{\pm}$.

由 $\bar{c}_k(E)$ 定义, 我们可以选出一个映射 $\phi_0\in \bar{\Lambda}_k$ 使得

我们接下来证明

假设 $E(u)> \bar{c}_k(E)-\varepsilon$ 对某个 $u\in \eta(T,\phi_0(U_k \cap B_{R_{k+1}}))\cap S_{a_{k+1}}$ 成立, 由流不变性质我们有$u=\eta(T,v)\in S_{a_{k+1}}$ 对某个 $v\in \phi_{0}(U_k \cap B_{R_{k+1}}) \cap S_{a_{k+1}}$. 于是

这与 $E(u)\geq \bar{c}_k(E)-\varepsilon$ 矛盾. 因此我们得到了 (5.28) 式.

接下来我们验证

假设存在 $t_{0}>0$ 以及 $u\in \eta(t_{0},\phi_0(W_k\cap B_{R_k}))\cap S_{a_k}$ 使得 $E(u)>b_{k,a_k}(E)+1$. 则 $u=\eta(t_{0},v)\in S_{a_k}$ 对某个 $v\in \phi_{0}(W_k\cap B_{R_k})\cap S_{a_{k}}$. 因此,

矛盾. 因此, 我们很容易得到 $\eta(t,\phi_0(\cdot))\in \bar{\Lambda}_k$ 对任意 $t\geq 0$ 成立, 这与 (5.28) 式和 $\bar{c}_k(E)$ 定义矛盾, 从而完成证明.

在椭圆与退化椭圆方程中有许多 Markov 生成元, 其对应的 Dirichlet 形式满足我们上述假设. 这一节我们将对这些例子进行详细的阐述.

例 6.1 取 $\Omega$ 为 $d$ 维闭黎曼流形, $\sigma$ 是 $\Omega$ 上的黎曼体积测度, 令

$\text{Dom}(Q)$ 为 流形 $\Omega$ 上的 Sobolev 空间 $H^1(\Omega)$. 则 $Q$ 是一个 Dirichlet 形式, 其对应的 Markov 生成元 是 $-\Delta_{\Omega}+\mathbf{id}$, 其中 $\nabla_{\Omega}, \Delta_{\Omega}$ 分别是流形 $\Omega$ 上的 梯度 Laplace-Beltrami 算子. Sobolev 嵌入告诉我们

并且从 $\text{Dom}(Q)$ 到 $L^2$ 的嵌入是紧的, 所以此时 $Q$ 满足我们所有的假设.

例 6.2 对 $d\geq 2$, 令 $X=(X_{1},X_{2},\cdots,X_{m})$ 是定义在开区域 $W\subset \mathbb{R}^{d}$ 上的一组实值光滑向量场. 如果向量场 $X_{1}, X_{2},\cdots, X_{m}$ 及其在一固定长度的交换子能够在 $W$ 的每一点张成该点的切空间, 我们就称 $X= (X_{1},X_{2},\cdots,X_{m})$ 在 $W$ 满足 Hörmander 条件 (见文献 [18]). 如果向量场 $X=(X_{1},X_{2},\cdots, X_{m})$ 在 $\mathbb{R}^d$ 中的开区域 $W$ 上满足 Hörmander 条件, 则对任意光滑有界区域 $\Omega\subset\subset W$, 存在一个最小的正整数 $r\geq 1$, 使得 $\Omega$ 中任意一点 $x\in\overline{\Omega}$, 向量场 $X_ {1},X_{2},\cdots,X_{m}$ 及其长度不超过 $r$ 的交换子可以张成该点的切空间 $T_{x}(W)$. 这个整数 $r$ 被称为 $\overline{\Omega}$ 相对于 $X$ 的Hörmander 指数. 对于满足 Hörmander 条件的向量场 $X$, 可定义广义 Métivier 指数, 也称为 $\Omega$ 相对于 $X$ 的非各向同性维数 (文献 [8,32]).

定义 6.1 (广义 Métivier 指数) 对每个 $x\in \overline{\Omega}$ 和 $1\leq j\leq r$, 令 $V_{j}(x)$ 为在点 $x$ 处的切空间中所有长度不超过 $j$ 的 $X_{1},\cdots,X_{m}$ 的交换子所构成的子空间. 我们用 $\nu_{j}(x)$ 表示在 $x\in \overline{\Omega}$ 的向量场 $V_{j}(x)$ 的维数. $x$ 处的逐点齐次维数定义为

然后我们定义

取 ${\rm d}\sigma$ 为 Lebesgue 测度, 令

并取 $\text{Dom}(Q)$ 为 $C_c^{\infty} (\Omega)$ 在内积 $Q[\cdot,\cdot]$ 下 的完备化. $Q$ 是一个 Dirichlet 形式并且其 Markov 生成元为 Hörmander 算子 $\sum_{j=1}^{m} X_{j}^* X_{j}$.文献 [32] 证明了下列 Sobolev 不等式

此外, 从 $\text{Dom}(Q)$ 到 $L^2$ 的嵌入是紧的. 感兴趣的读者可以参见 (文献 [7-10,27]) 了解更多 Hörmander 算子相关性质.

例 6.3 齐次 $\triangle_\lambda$-Laplacians

对 $1 \le i \le d$ 取 $\lambda_i \in C^1 (\mathbb{R}^{d} \backslash \Pi)$, 其中

若 $\{\lambda_i \}_{1 \le i \le d}$ 满足下列条件 (文献 [19])

1. 存在一组伸缩系数 $(\delta_t)_{t>0},$

并且 $1=\varepsilon_1\leq \varepsilon_2 \cdots \leq \varepsilon_d,$ 使得 $\lambda_i(\delta_t(x))=t^{\varepsilon_i-1}\lambda_i(x);$

2. $\lambda_1=1, \lambda_i(x)=\lambda_i(|x_1|, \cdots, |x_{i-1}|);$

3. 存在一个常数 $\rho\ge0$ 满足对任意 $x\in \{x\in \mathbb{R}^{d}: x_i\geq 0 \forall i\}$, 有

取 ${\rm d}\sigma$ 为 Lebesgue 测度,在上述条件下, 若 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^{d}$ 上有界区域且 $0\in\Omega$, 则 有 Dirichlet 形式

其定义域 $\text{Dom}(Q)$ 是 $C_c^{\infty} (\Omega)$ 在内积 $Q$ 下的完备化. 文献 [19] 证明了下列 Sobolev 不等式

其中 $\vartheta=\varepsilon_1+\varepsilon_2+\cdots+\varepsilon_d$ 是 $R^d$ 相对于 $(\delta_t)_{t>0}$ 的齐次维数, 并且从 $\text{Dom}(Q)$ 到 $L^2$ 的嵌入是紧的. 其相应的 Markov 生成元 $-\triangle_\lambda$ 定义为

这类算子的一个典型例子是 $\mathbb{R}^2$ 上的 Grushin 算子 $-\partial_{x}^2 - x^2 \partial_{y}^2$.

例 6.4 Carnot 群上分数阶拉普拉斯算子

定义 6.2 (齐次 Carnot 群) 设 $\mathbb{G}=(\mathbb{R}^{n},\circ)$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的李群, 且 $\mathfrak{g}$ 是 $\mathbb{G}$ 对应的李代数. 若满足以下两个条件, 则称李群 $\mathbb{G}$ 是一个齐次 Carnot 群 (或分层李群)

1. 存在正整数 $n_{1},\cdots, n_{r}$, 使得 $n_{1}+n_{2}+\cdots+n_{r}=n$ 且 $\mathbb{R} ^{n}=\mathbb{R}^{n_{1}}\times \mathbb{R}^{n_{2}}\times \cdots\times \mathbb{R}^{n_{r}}$. 对任意 $t>0$, 存在伸缩

它是群 $\mathbb{G}$ 的一个自同构. 其中 $x=(\xi_1,\xi_2,\cdots, \xi_r)$ 且 $\xi_i\in \mathbb{R}^{n_{i}}$;

2. 设 $X_{1},\cdots,X_{n_{1}}$ 是 $\mathbb{G}$ 上的左不变向量场, 满足 $X_{k}(0)=\partial_{x_{k}}|_{0}$. 则

为 $\mathbb{G}$ 对应的李代数.

整数 $r$ 称为 $\mathbb{G}$ 的步长, 且李代数 $\mathfrak{g}$ 具有 $r$ 分层, i.e., 存在线性子空间 $V_1,\cdots,V_r $, 使得 $V_{1}=\text{span} \{X_{1},X_{2},\cdots,X_{n_{1}}\}$ 且对 $1\leq i\leq r-1$ 有 $[V_1,V_i ]=V_{i+1}$, 其中 $V_r \neq \{0\}$, 而 $V_j =\{0\}$ 当 $j>r$. 这表明向量场 $\{X_{1},X_{2},\cdots,X_{n_{1}}\}$ 满足 Hörmander 条件, 其 Hörmander 指数为 $r$. 我们用 $Q$ 表示 $\mathbb{G}$ 的齐次维数, 即

令 $\mathbb{G}=(\mathbb{R}^d,\circ)$ 是齐次维数为 $Q$ 的齐次 Carnot 群, 取 ${\rm d}\sigma$ 为 群上的左平移不变 Haar 测度, 记 $\|\cdot \|_{\mathbb{G}}$ 为其齐次范数^[4]. 取 $\Omega\subset\mathbb{G}$ 为有界开区域, 对 $s\in (0,1)$, 定义 Dirichlet 形式为

其定义域为

其相应的 Markov 生成元是 Carnot 群上 Dirichlet 型分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta_{\mathbb{G}} )^s$^[4].文献 [17] 给出了当 $0<s<1$ 且 $Q>2s$, 有

并且从 $\text{Dom}(Q)$ 到 $L^2$ 的嵌入是紧的.

例 6.5 离散拉普拉斯算子

设 $\Omega$ 是一个图的顶点集合. 对于给定的两个顶点 $x$ 和 $y$, 若 $(x,y)$ 是一条边, 则记作 $x\sim y$. 我们假设对于任意 $x\in \Omega$, 邻接点的个数 $n(x):=\{y\in \Omega: x\sim y\}$ 是有限的, 并且在 $\Omega$ 上赋予测度 $\sigma(A)=\sum_{x\in A} n(x).$ 则二次型^[12,21]

是一个 Dirichlet 形式. 其相应的 Markov 生成元被称为离散拉普拉斯算子, 其确切的表达为

当 $\sigma$ 是有限测度时, 对 $Q$ 而言不存在通常意义下的 Sobolev 不等式. 然而, 如果图是有限的, 由于空间是有限维的, 下列 Dirichlet 形式

在整个 $L^2$ 上可以定义, 并满足

且有限维空间的嵌入是显然是紧的.