数学物理学报, 2026, 46(2): 452-472

一类大初始扰动下非等熵可压缩 Navier-Stokes-Allen-Cahn 方程静态解的稳定性——献给陈化教授 70 寿辰

陈正争1, 雷丹1, 闫雨歆2, 赵会江,2,*

1 安徽大学数学科学学院 合肥 230601

2 武汉大学数学与统计学院 武汉 430072

Stability of Stationary Solutions to the Non-Isentropic Compressible Navier-Stokes-Allen-Cahn Equations Under a Class of Large Initial Data

Chen Zhengzheng1, Lei Dan1, Yan Yuxin2, Zhao Huijiang,2,*

1 School of Mathematical Sciences, Anhui University, Hefei 230601

2 School of Mathematics and Statistics, Wuhan University, Wuhan 430072

通讯作者: *赵会江，Email：hhjjzhao@whu.edu.cn

收稿日期: 2025-11-2   修回日期: 2026-01-2  

基金资助: 国家自然科学基金(12221001)
国家自然科学基金(12371225)
国家自然科学基金(12571242)
国家自然科学基金(12171001)

Received: 2025-11-2   Revised: 2026-01-2  

Fund supported: NSFC(12221001)
NSFC(12371225)
NSFC(12571242)
NSFC(12171001)

摘要

该文主要研究半空间 $\mathbb{R}^+$ 中非等熵可压缩 Navier-Stokes-Allen-Cahn 方程外流问题静态解的时间渐近稳定性. 该模型可用于描述两种宏观上互不相溶的粘性可压缩流体混合物的运动. 当绝热指数 $\gamma$ 接近 1 时, 证明了一维非等熵可压缩 Navier-Stokes-Allen-Cahn 方程存在唯一的整体解, 且当时间 $t\rightarrow\infty$ 时, 该整体解收敛到非退化静态解. 该文要求流体的温度函数和相场变量的初始扰动, 以及静态解的强度都很小, 但是流体的密度和速度函数的初始扰动都可以任意大. 作者的分析基于基本的 $L^2$- 能量方法以及一些新技巧, 这些技巧充分考虑到了相场变量和静态解的影响.

关键词： 可压缩 Navier-Stokes-Allen-Cahn 方程; 外流问题; 非退化静态解的稳定性

Abstract

This paper is mainly concerned with the time-asymptotic stability of stationary solutions to the outflow problem of the non-isentropic compressible Navier-Stokes-Allen-Cahn equations in the half space $\mathbb{R}^+$. The models can be used to describe the motion of a mixture of macroscopically immiscible two viscous compressible fluids. When the adiabatic exponent $\gamma$ is sufficiently close to $1$, we prove that the one-dimensional non-isentropic compressible Navier-Stokes-Allen-Cahn equations admits a unique global solution, which tends to the non-degenerate stationary solution as time goes to infinity. In this paper, the initial perturbations of temperature function and the phase field variable, and the strength of the stationary solution are required to be sufficiently small, but the initial perturbations of the density and velocity functions can be arbitrarily large. Our analysis is based on the basic $L^2$-energy method and some new techniques, which take into account the effect the phase field variable and the stationary solution.

Keywords： compressible Navier-Stokes-Allen-Cahn equations; outflow problem; stability of the non-degenerate stationary solution

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本文引用格式

陈正争, 雷丹, 闫雨歆, 赵会江. 一类大初始扰动下非等熵可压缩 Navier-Stokes-Allen-Cahn 方程静态解的稳定性——献给陈化教授 70 寿辰[J]. 数学物理学报, 2026, 46(2): 452-472

Chen Zhengzheng, Lei Dan, Yan Yuxin, Zhao Huijiang. Stability of Stationary Solutions to the Non-Isentropic Compressible Navier-Stokes-Allen-Cahn Equations Under a Class of Large Initial Data[J]. Acta Mathematica Scientia, 2026, 46(2): 452-472

1 引言

本文考虑半空间 $\mathbb{R}^{+}:=(0,+\infty)$ 上一维非等熵可压缩 Navier-Stokes-Allen-Cahn 方程初边值问题解的大时间行为

$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{ll} \rho_{t}+(\rho u)_{x}=0, \\[2mm] (\rho u)_{t}+(\rho u^{2}+P(\rho,\theta))_{x}=\nu u_{xx}-\frac{1}{2}(\theta\chi_x^2)_{x},\\[2mm] (\rho E)_t+(\rho uE)_x+(P(\rho,\theta)u)_x=\kappa\theta_{xx}+\nu(uu_x)_x-(\frac{\theta}{2}u\chi_x^2)_x,\\[2mm] (\rho\chi)_t+(\rho u\chi)_x=-\theta\mu,\\[2mm] \rho\mu=-\chi_{xx}+\rho(\chi^3-\chi), \end{array}\right. \end{aligned}$

其中 $(t,x)\in(0,+\infty)\times\mathbb{R}^+$, 该方程的初始及边界条件如下

$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{ll} (\rho,u,\theta,\chi)(t,x)\big|_{t=0}=(\rho_{0},u_{0},\theta_0,\chi_0)(x), x\geq 0, \quad\displaystyle \inf_{x\geq 0}\rho_0(x)>0, \displaystyle\inf_{x\geq 0}\theta_0(x)>0,\\[2mm] \displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}(\rho_0,u_{0},\theta_0,\chi_0)(x)=(\rho_+,u_{+},\theta_+,1),\\[2mm] (u,\theta,\chi)(t,0)=(u_{b},\theta_b,\chi_b), \forall t\geq 0.\end{array}\right. \end{aligned}$

这里 $ t $ 和 $ x $ 分别表示欧拉坐标下的时间变量和空间变量. 未知函数 $ \rho(t,x)>0 $, $ u(t,x)$, $ \theta(t,x)>0 $ 以及 $ \chi(t,x) $ 分别表示流体的总密度、平均速度、混合流体的温度以及两种流体之间的浓度差. $ P(\rho,\theta)$ 是混合流体的压强, $ E=e+\tfrac{1}{2}u^{2} $ 是混合物的总能量密度, $ e $ 是内能, $ \mu $ 称为化学势. 常数 $ \nu $ 和 $ \kappa $ 分别表示粘性系数和热传导系数. $ \rho_{0}(x)$, $ u_{0}(x)$, $ \theta_{0}(x)$, $ \chi_{0}(x)$ 是给定的函数, 且 $ \rho_{+}>0 $, $ u_{+} $, $ \theta_{+}>0 $, $ u_{b}<0 $, $ \theta_{b}>0 $ 和 $ \chi_{b} $ 都是实数. 不失一般性, 本文中我们假设 $ \nu=\kappa=1 $.

本文中, 我们假设压强 $ P(\rho,\theta)$ 和内能 $ e $ 由下式给出

$\begin{equation}\label{1.3} P(\rho,\theta)=R\rho\theta,\quad e=C_v\theta, \end{equation}$

其中 $ C_{v}=\frac{R}{\gamma-1} $ 是定容热容, $ R>0 $ 和 $ \gamma>1 $ 是常数. 此外, 我们还假设如下相容性条件成立

$\begin{aligned}\label{1.4} u_0(0)=u_b,\quad \theta_0(0)=\theta_b,\quad \chi_0(0)=\chi_b. \end{aligned}$

在 (1.2) 式中, 边界值 $ u(t,0)=u_{b}<0 $ 意味着流体从边界流出, 因此在这种情况下, 称问题 (1.1)-(1.2) 为外流问题. 而当 $ u_{b}=0 $ 或 $ u_{b}>0 $ 时, 问题 (1.1)-(1.2) 通常分别被称为无流问题或内流问题. 这种分类最初由 Matsumura[32] 在研究半空间 $ \mathbb{R}^{+} $ 中等熵可压缩 Navier-Stokes 方程的初边值问题时提出. 注意到在过去几十年间, 半空间 $ \mathbb{R}^{+} $ 上一维可压缩 Navier-Stokes 方程解的大时间行为已被广泛研究. 关于内流问题,可参考文献 [35,39,40]; 关于外流问题, 可参考文献 [19,21-23,37,38];关于无流问题, 可参考[33,34].

可压缩 Navier-Stokes-Allen-Cahn (简称 NSAC) 方程最初由 Blesgen[1] 提出, 该方程描述两种粘性可压缩流体混合物的运动. 对于这一模型, 两相流体之间的分界面是一个狭窄的过渡层, 在该过渡层中流体发生混合并产生相变. 人们通过引入一个相场变量 $ \chi(t,x)\in[0,1] $ 来标识界面的位置. 更准确地说, $ \chi(t,x)$ 在两种纯流体中分别取值为 $ 0 $ 和 $ 1 $, 并且它在两相分界面中连续地变化. 相场变量 $ \chi(t,x)$ 可由修正的 Allen-Cahn 方程来描述, 而流体混合物的运动则由可压缩 Navier-Stokes 方程来描述. 感兴趣的读者可参考文献 [16-18,25] 以获取关于此类模型的更多物理背景.

关于可压缩 NSAC 方程已有许多数学研究成果. 对于初值问题, 三维可压缩 NSAC 方程 Cauchy 问题小初值经典解的整体存在性和最优时间衰减率已在文献 [8,10,43] 中得到了证明. Luo等[29-31]以及 Chen, Huang 和 Shi[6,7] 证明了小初始扰动下, 一维可压缩 NSAC 方程中一些基本波 (如粘性激波、稀疏波、接触间断及其线性组合) 的非线性稳定性. Chen等[11,26] 研究了粘性系数依赖于密度或相场变量, 以及部分大初值情形下的一维等熵可压缩 NSAC 方程 Cauchy 问题强解的整体存在性和大时间行为.

关于可压缩 NSAC 方程初边值问题的研究, 也有诸多进展. 具体而言, Ding, Li 和 Luo[13] 在区间 $ [0,1] $ 上得到了一维等熵模型非真空弱解、强解和经典解的整体存在性. 随后, Chen 和 Guo[2] 将这一结果推广到解可包含真空的情况. Chen 和 Zhu[5] 研究了区间 $ [0,1] $ 上等熵NSAC 方程强解的爆破准则和整体存在性. Ding等[14,15] 也研究了一维等熵 NSAC 方程自由边值问题强解的整体存在性. Shi 等[9], 以及 Yan, Ding 和 Li[41] 证明了区间 $ [0,1] $ 上一维非等熵模型强解的整体适定性. Kotschote[24] 研究了 $ n $ 维有界域中非等熵 NSAC 方程强解的局部存在性与唯一性. Feireisl 等[16], 以及 Chen等[3,4]证明了三维有界域上等熵可压缩 NSAC 方程弱解的整体存在性. Li 等[27]证明了具有自由边界的一维等熵模型弱解的整体存在性. 需要注意的是, 上述文献 [2-5,9,13-16,24,27,41] 中的初始扰动都可以任意大. 此外, Yin 和 Zhu[42] 证明了小初始扰动下一维等熵 NSAC 方程内流问题由静态解和稀疏波的线性叠加而构成的复合波的非线性稳定性. Luo[28] 证明了小初始扰动下一维非等熵模型内流问题静态解的稳定性. Chen, Lei 和 Yin[12] 证明了小初始扰动下, 一维非等熵模型外流问题静态解的存在性、 稳定性以及收敛率.

从上述结果不难看出, 迄今为止, 关于一维非等熵可压缩 NSAC 方程初边值问题基本波的非线性稳定性研究成果尚少. 据我们所知, 这方面的第一个结果是由 Luo[28] 得到的, 其中证明了一维非等熵 NSAC 方程内流问题静态解 $ (\widetilde{\rho},\widetilde{u},\widetilde{\theta},1)(x)$ 的存在性和小初始扰动下的稳定性. 该静态解中的相场变量 $ \widetilde{\chi}=1 $ 是平凡的, 且 $ (\widetilde{\rho},\widetilde{u},\widetilde{\theta})(x)$ 满足一维非等熵可压缩 Navier-Stokes 方程的内流问题, 其存在性和衰减性质已由 Nakamura 和 Nishibata 在文献 [36] 中证明. 事实上, 我们更希望获得非等熵 NSAC 方程非平凡静态解 $ (\widetilde{\rho},\widetilde{u},\widetilde{\theta},\widetilde{\chi})(x)$ 的稳定性, 因为它们更具物理意义和挑战性. 在文献 [12] 中, 作者证明了小初始扰动下, 一维非等熵模型外流问题非平凡静态解 $ (\widetilde{\rho},\widetilde{u},\widetilde{\theta},\widetilde{\chi})(x)$ 的存在性、稳定性以及收敛率.然而在大初始扰动下, 一维可压缩 NSAC 方程外流问题静态解的非线性稳定性仍是未知的. 这正是本文将要考虑的问题, 即我们将在大初始扰动下, 证明方程组 (1.1) 外流问题的一个非平凡静态解 $ (\widetilde{\rho},\widetilde{u},\widetilde{\theta},\widetilde{\chi})(x)$ 的稳定性.

现在, 我们开始阐述本文的主要结果. 首先, 问题 (1.1)-(1.4) 的静态解 $ (\widetilde{\rho},\widetilde{u},\widetilde{\theta},\widetilde{\chi})(x)$ 满足

$\begin{aligned}\label{1.5} \left\{\begin{array}{ll} (\widetilde{\rho} \widetilde{u})_{x}=0, \\[2mm] (\widetilde{\rho} \widetilde{u}^{2}+\widetilde{P}(\widetilde{\rho},\widetilde{\theta}))_{x}= \widetilde{u}_{xx}-\frac{1}{2}(\widetilde{\theta}\widetilde{\chi}_x^2)_{x},\\[2mm] (\widetilde{\rho} \widetilde{u}\widetilde{E})_x+(\widetilde{P}(\widetilde{\rho},\widetilde{\theta})\widetilde{u})_x=\widetilde{\theta}_{xx}+(\widetilde{u}\widetilde{u}_x)_x-(\frac{\widetilde{\theta}}{2}\widetilde{u}\widetilde{\chi}_x^2)_x,\\[2mm] (\widetilde{\rho} \widetilde{u}\widetilde{\chi})_x=-\widetilde{\theta}\widetilde{\mu},\\ [2mm] \widetilde{\rho}\widetilde{\mu}=-\widetilde{\chi}_{xx}+\widetilde{\rho}(\widetilde{\chi}^3-\widetilde{\chi}), \end{array}\right.\,\,\,x\in\mathbb{R^+}, \end{aligned}$

其初始及边界条件如下

$\begin{equation}\label{1.6} (\widetilde{u},\widetilde{\theta},\widetilde{\chi})(0)=(u_b,\theta_b,\chi_b),\quad\lim_{x\rightarrow+\infty}(\widetilde{\rho},\widetilde{u},\widetilde{\theta},\widetilde{\chi})(x)=(\rho_+,u_{+},\theta_+,1), \end{equation}$

其中 $ \widetilde{P}(\widetilde{\rho},\widetilde{\theta})=R\widetilde{\rho}\widetilde{\theta} $ 和 $ \widetilde{E}=C_v\widetilde{\theta}+\frac{1}{2}\widetilde{u}^2 $.

为了更好地表述静态解 $ (\widetilde{\rho},\widetilde{u},\widetilde{\theta},\widetilde{\chi})(x)$ 的存在性, 我们引入空间渐近状态下的 Mach 数 $ M_{+} $ 为

$\begin{equation}\label{1.7} \quad M_+=\frac{|u_+|}{c_+}, \quad c_+=\sqrt{R\gamma\theta_+}, \end{equation}$

其中 $ c_{+} $ 称为声速. 此外, 静态解的强度可定义为

$\begin{equation}\label{1.8} \delta:=|(u_b-u_+,\theta_b-\theta_+,\chi_b-1)|. \end{equation}$

那么我们有以下定理.

定理 1.1 (静态解的存在性[12]) 假设 $ u_{b}<0 $ 成立, 且边界值 $ (u_{b},\theta_{b},\chi_{b})$ 满足

$\begin{equation}\label{1.9} (u_b,\theta_b,\chi_b)\in \mathcal{M}^+:=\biggl\{(\widetilde{u},\widetilde{\theta},\widetilde{\chi})\in\mathbb{R}^3:|(\widetilde{u}-u_+,\widetilde{\theta}-\theta_+,\widetilde{\chi}-1)|<\delta_0\biggr\}, \end{equation}$

其中 $ \delta_{0} $ 是某个小的正常数, 注意到, 条件 (1.9) 等价于 $ 0<\delta<\delta_{0} $.

(i) 对于超音速情形 $ M_{+}>1 $, 存在一个区域 $ \Gamma\subset\mathcal{M}^{+} $, 使得如果边界值 $ (u_{b},\theta_{b},\chi_{b})$ 满足条件

$\begin{equation}\label{1.10} (u_b,\theta_b,\chi_b)\in\Gamma, \end{equation}$

则问题 (1.5)-(1.6) 存在唯一光滑解 $ (\widetilde{\rho},\widetilde{u},\widetilde{\theta},\widetilde{\chi})(x)$, 且该解满足

$\begin{equation}\label{1.11} |\partial_x^k(\widetilde{\rho}-\rho_+,\widetilde{u}-u_+,\widetilde{\theta}-\theta_+,\widetilde{\chi}-1)(x)|\leq C\delta e^{-cx}, k=0,1,2,\cdots; \end{equation}$

(ii) 对于亚音速情形 $ M_{+}<1 $, 存在一个区域 $ \Omega\subset\mathcal{M}^{+} $, 使得如果边界值 $ (u_{b},\theta_{b},\chi_{b})$ 满足条件

$\begin{equation}\label{1.12} (u_b,\theta_b,\chi_b)\in\Omega, \end{equation}$

则问题 (1.5)-(1.6) 存在唯一光滑解 $ (\widetilde{\rho},\widetilde{u},\widetilde{\theta},\widetilde{\chi})(x)$, 且满足 (1.11) 式;

(iii) 对于跨音速情形 $ M_{+}=1 $, 存在一个区域 $ \Theta\subset\mathcal{M}^{+} $, 使得如果边界值 $ (u_{b},\theta_{b},\chi_{b})$ 满足条件

$\begin{equation} (u_{b},\theta_{b},\chi_{b})\in\Theta, \end{equation}$

则问题 (1.5)--(1.6) 存在唯一光滑解 $ (\widetilde{\rho},\widetilde{u},\widetilde{\theta},\widetilde{\chi})(x)$ 满足

$\widetilde{u}_{x}>0,\quad\widetilde{\theta}_{x}>0,$

且

$\begin{equation} |\partial^{k}_{x}(\widetilde{\rho}-\rho_{+},\widetilde{u}-u_{+}, \widetilde{\theta}-\theta_{+},\widetilde{\chi}-1)(x)|\leq\frac{C\delta^{k+1}}{ (1+\delta x)^{k+1}},\ k=0,1,2,\cdots. \end{equation}$

此外, 存在一个光滑函数 $ z(x)$, 使得

$\begin{equation}\label{1.15} \frac{c\delta}{1+\delta x}\leq z(x)\leq\frac{C\delta}{1+\delta x}, z_x(x)<0, |\partial_x^kz(x)|\leq\frac{C\delta^{k+1}}{(1+\delta x)^{k+1}}, k=1,2,\cdots, \end{equation} $
$\begin{equation}\label{1.16} \left\{\begin{array}{ll} (\widetilde{\rho},\widetilde{u},\widetilde{\theta})=\displaystyle(\rho_+,u_+,\theta_+) +\biggl(-\frac{\rho_+}{(\gamma-1)\theta_+},\frac{u_+}{(\gamma-1)\theta_+},-1\biggr)z+O(z^2+\delta e^{-Cx}),\\[3mm] (\widetilde{\mu},\widetilde{\chi})=(0,1)+O(z^2+\delta e^{-Cx}), \end{array}\right. \end{equation}$
$\begin{equation}\label{1.17} \left\{\begin{array}{ll} (\widetilde{\rho}_x,\widetilde{u}_x,\widetilde{\theta}_x)=\displaystyle\frac{\gamma^2(\gamma+1)R^2\rho_+}{2(\gamma-1)^2[\gamma R+(\gamma-1)^2]}\biggl(-\frac{\rho_+}{u_+},\frac{1}{\theta_+},-\frac{\gamma-1}{u_+}\biggr)z^2+O(z^3+\delta e^{-Cx}),\\[4mm] (\widetilde{\mu}_x,\widetilde{\chi}_x)=O(z^3+\delta e^{-Cx}), \end{array}\right. \end{equation}$

且

$\begin{equation}\label{1.18} \left\{\begin{array}{ll} (\partial_x^k\widetilde{\rho},\partial_x^k\widetilde{u},\partial_x^k\widetilde{\theta}) =O(z^{k+1}+\delta e^{-Cx}),\\ [2mm] (\partial_x^k\widetilde{\mu},\partial_x^k\widetilde{\chi})=O(z^{k+2}+\delta e^{-Cx}), \end{array}\right. k=2,3,\cdots. \end{equation}$

注 1.1 定理 1.1 中的区域 $ \Gamma, \Omega $ 和 $ \Theta $ 的具体定义, 可分别参见文献 [12,(2.28),(2.32) 和 (2.40) 式].

本文的主要结果如下

定理 1.2 假设定理 1.1 的条件成立, 且 $ (\widetilde{\rho},\widetilde{u},\widetilde{\theta},\widetilde{\chi})(x)$ 是定理 1.1 中所得到的对应于 $ M_+\neq1 $ 情形下的非平凡静态解. 此外, 我们假设初始值 $ (\rho_{0},u_{0},\theta_{0},\chi_{0})(x) $ 和函数 $ \widetilde{\theta}(x) $ 满足

$\begin{eqnarray*} &&(\rho_0,u_0,\theta_0)(x)-(\widetilde{\rho},\widetilde{u},\widetilde{\theta})(x)\in H^1(\mathbb{R}^+), (\chi_0-\widetilde{\chi})(x)\in H^2(\mathbb{R}^+),\\ &&\underline{V}\leq\rho_0(x)\leq\overline{V}, \underline{\Theta}\leq\theta_0(x)\leq\overline{\Theta}, \underline{\Theta}\leq\widetilde{\theta}(x)\leq\overline{\Theta}, 0\leq\chi_0(x)\leq 1, \forall x\in\mathbb{R}^+, \end{eqnarray*}$

其中 $ \underline{V}, \overline{V} $, $ \underline{\Theta}, \overline{\Theta} $ 是任意给定的正常数. 则存在三个小的正常数 $ \delta_1>0 $, $ \sigma_0>0 $ 以及 $ \varepsilon_0>0 $, 使得如果 $ \delta\leq\delta_1 $, $ \|\chi_0-\widetilde{\chi}\|\leq\sigma_0 $ 及 $ 0<\gamma-1<\varepsilon_0 $, 外流问题 (1.1)-(1.2) 存在唯一的整体解 $ (\rho,u,\theta,\chi)(t,x)$, 它满足

$\begin{aligned}\label{1.19} C_0^{-1}\leq \rho(t,x)\leq C_0, \underline{\Theta}/2\leq\theta(t,x)\leq 2\overline{\Theta}, \forall (t,x)\in[0,+\infty)\times\mathbb{R}^+, \end{aligned}$

及

$\begin{aligned}\label{1.20} &&(\rho-\widetilde{\rho},u-\widetilde{u},\theta-\widetilde{\theta})(t,x)\in C([0,\infty);(H^1(\mathbb{R}^+))^3),\nonumber\\[2mm] &&(\rho_x-\widetilde{\rho}_x,u_x-\widetilde{u}_x,\theta_x-\widetilde{\theta}_x)(t,x)\in L^2([0,\infty);L^2(\mathbb{R}^+)\times H^1(\mathbb{R}^+)\times H^1(\mathbb{R}^+)),\\[2mm] &&\chi(t,x)-\widetilde{\chi}(x)\in C([0,\infty);H^2(\mathbb{R}^+))\cap L^2([0,\infty);H^3(\mathbb{R}^+)),\nonumber \end{aligned}$

其中 $ C_0 $ 是一个仅依赖于 $ \underline{V}, \overline{V} $, $ \underline{\Theta}, \overline{\Theta} $, $ \|\rho_0-\widetilde{\rho}\|_1 $, $ \|u_0-\widetilde{u}\| $ 及 $ \left\|\frac{\theta_0-\widetilde{\theta}}{\sqrt{\gamma-1}}\right\| $ 的正常数.

此外, 当时间 $ t $ 趋于无穷时, 解 $ (\rho,u,\theta,\chi)(t,x)$ 在 $ L^{\infty} $ - 范数意义下收敛到静态解 $ (\widetilde{\rho},\widetilde{u},\widetilde{\theta},\widetilde{\chi})(x)$, 即

$\begin{equation}\label{1.21} \lim_{t\rightarrow\infty}\|(\rho-\widetilde{\rho},u-\widetilde{u},\theta-\widetilde{\theta},\chi-\widetilde{\chi})(t)\|_{L^\infty(\mathbb{R}^+)}=0. \end{equation}$

注 1.2 定理 1.2 中要求静态解的强度 $ \delta $ 和相场变量 $ \chi(t,x)$ 的初始扰动的 $ L^2 $ 范数任意小, 以及绝热指数 $ \gamma $ 接近 1, 但是流体的密度 $ \rho(t,x) $ 和速度 $ u(t,x) $ 的初始扰动, 以及相场变量的一阶和二阶导数的初始扰动都可以任意大. 因此, 本文在一类大初始扰动下得到了一维非等熵 NSAC 方程非平凡静态解的稳定性.

注 1.3 在定理 1.2 中, 我们只给出了 $ M_+\neq1 $ 情形下非平凡静态解在一类大初始扰动下的稳定性结果. 对于 $ M_+=1 $ 情形, 由于一些技术上的原因, 我们未能给出相应的稳定性结果. 这一问题将留在以后研究.

注 1.4 对于非等熵可压缩 NSAC 方程 (1.1)-(1.2) 的外流问题, 本文的方法也适用于研究该外流问题静态解与稀疏波的线性叠加而构成的复合波的非线性稳定性.

现在我们来阐述本文的主要证明思想. 为了证明定理 1.2, 我们主要运用基本的$L^2$-能量方法来推导出外流问题 (2.1)--(2.2) 解的先验估计. 证明的关键在于推导密度 $\rho(t, x)$ 和温度 $\theta(t, x)$ 关于时间一致的正上、下界估计. 为此, 本文假设参数 $\gamma - 1$ 足够小, 这意味着温度函数$\theta(t, x)$ 关于时间一致的正上、下界很容易得到. 此外, 我们运用 Kanel'Ya [20]的方法、基本能量估计、引理 2.3 以及静态解的强度 $ \delta $ 足够小, 证明了密度 $\rho(t, x)$ 关于空间和时间一致的正上、下界估计 (见引理 2.4). 需要注意的是, 在证明定理 1.2 的过程中, 主要困难来自于 Navier-Stokes 方程和 Allen-Cahn 方程的强耦合效应以及相场变量的高度非线性特征. 特别地, 我们需要处理高阶强非线性项 $\left( \frac{\theta\chi_x^2}{2} \right)_x$. 为此, 我们引入了先验假设 $ (2.6)_1 $, 其中常数 $ \sigma>0 $ 足够小. 本文通过充分利用 $ \sigma>0 $ 和 $ \gamma-1 $ 的小性假设来控制方程组 (1.1) 中的非线性项. 此外, 为了验证先验假设, 我们利用低阶能量估计, 参数 $ \gamma-1 $, $ \delta $ 和 $ \sigma $ 的小性假设, 以及 Gronwall 不等式, 证明了 (2.9) 式成立 (见引理 2.5). 有了流体密度和温度函数的上、下界估计后, 用能量方法较容易得到解的高阶能量估计, 从而我们可以得到解的先验估计 (见命题 2.2). 最后, 基于解的局部存在性结果和先验估计, 我们可以用标准的连续性技巧和分析方法得到主要定理 1.2.

符号约定 在本文中, 符号 $ C $ 和 $ c $ 表示一些通用的正常数, 这些常数在不同估计中可能不同, 但与时间变量 $ t $ 无关. 对于函数空间, $ L^p(\mathbb{R}^+) (1 \leq p \leq +\infty) $ 表示标准的 Lebesgue 空间, 其范数为 $ \| \cdot \|_{L^p} := \| \cdot \|_{L^p(\mathbb{R}^+)} $, 而 $ H^k(\mathbb{R}^+) (k \geq 0) $ 是通常的 $ k $ 阶 Sobolev 空间, 其范数为

$\| f \|_k := \left( \sum_{i=0}^{k} \| \partial_x^i f \|_{L^2}^2 \right)^{\frac{1}{2}}.$

为简便起见, 当 $ p = 2 $ 时, 记 $ \| \cdot \| := \| \cdot \|_{L^2} $.

2 静态解的稳定性证明

在本节中, 我们将证明定理 1.2. 为此, 我们先将初边值问题 (1.1)-(1.2) 进行转化.

首先, 我们定义扰动变量 $ (\varphi,\psi,\zeta,\xi)(t,x)$ 为

$\begin{equation*} \left(\varphi,\psi,\zeta,\xi\right)(t,x)=\left(\rho-\widetilde{\rho},u-\widetilde{u},\theta-\widetilde{\theta},\chi-\widetilde{\chi}\right)(t,x), \end{equation*}$

则由 (1.1)-(1.2) 和 (1.5)-(1.6) 式, 我们可以得到

$\begin{equation}\label{2.1} \left\{\begin{array}{ll} \varphi_t+u\varphi_x+\rho\psi_x=f,\\[2mm] \rho(\psi_t+u\psi_x)+(P-\widetilde{P})_x=\displaystyle\psi_{xx}-\frac{1}{2}(\zeta\xi _x^2)_x-(\rho\psi+\varphi\widetilde{u})\widetilde{u}_x+g,\\[2mm] \displaystyle C_v\rho(\zeta_t+u\zeta_x)+P\psi_x=\displaystyle\zeta_{xx}-\frac{\theta}{2}\psi_x\xi _{x}^2+\psi_x^2-C_v(\rho\psi+\varphi\widetilde{u})\widetilde{\theta}_x-(P-\widetilde{P})\widetilde{u}_x+h,\\[2mm] \rho(\xi_t+u\xi_x)-\displaystyle\frac{\theta}{\rho}\xi_{xx}+2\theta\xi=j, \end{array}\right. \end{equation}$

其初始和边界条件如下

$\begin{aligned}\label{2.2} \left\{\begin{array}{ll} (\varphi,\psi,\zeta,\xi)(0,x)=(\varphi_0,\psi_0,\zeta_0,\xi_0)(x):=(\rho_0-\widetilde{\rho},u_0-\widetilde{u},\theta_0-\widetilde{\theta},\chi_0-\widetilde{\chi})(x),\,\,x\geq0,\\[2mm] (\psi,\zeta,\xi)(t,0):=(0,0,0),\,\,t\geq0. \end{array}\right. \end{aligned}$

这里非线性边界项 $ f,g,h $ 和 $ j $ 的定义如下

$\begin{equation*} \begin{array}{ll} f= &\mkern-12mu-(\widetilde{\rho}_x\psi+\varphi\widetilde{u}_x),\quad g=\displaystyle-\frac{1}{2}\left(\zeta(\widetilde{\chi}_x^2+2\xi _x\widetilde{\chi}_x)+\widetilde{\theta}(\xi _x^2+2\xi _x\widetilde{\chi}_x)\right)_x,\\[2mm] h=&\mkern-12mu-\frac{\theta}{2}\psi_x(\widetilde{\chi}_x^2+2\widetilde{\chi}_x\xi _x)-\displaystyle\left(\frac{\theta}{2}(\xi _x^2+2\widetilde{\chi}_x\xi _x)+\frac{\zeta}{2}\widetilde{\chi}_x^2-2\psi_x\right)\widetilde{u}_x,\\[2mm] j=&\mkern-12mu\displaystyle\frac{\zeta}{\rho}\widetilde{\chi}_{xx}-(\rho\psi+\varphi\widetilde{u})\widetilde{\chi}_x-\frac{\varphi\widetilde{\theta}}{\rho\widetilde{\rho}}\widetilde{\chi}_{xx}-\zeta(\widetilde{\chi}^3-\widetilde{\chi})-\theta\xi[3(\widetilde{\chi}^2-1)+3\widetilde{\chi}\xi]-\theta\xi^3. \end{array} \end{equation*}$

为了证明定理 1.2, 只需证明以下定理即可.

定理 2.1 假设定理 1.2 的条件成立, 则初边值问题 (2.1)-(2.2) 存在唯一的整体解 $ (\varphi(t,x),\psi(t,x), \zeta(t,x),\xi(t,x))$ 满足

$\begin{aligned}\label{2.3} C_0^{-1}\leq\rho(t,x)\leq C_0, \underline{\Theta}/2\leq\theta(t,x)\leq 2\overline{\Theta}, \forall (t,x)\in[0,+\infty)\times\mathbb{R}^+, \end{aligned}$
$\begin{aligned} &&\left\|\left(\varphi,\psi,\frac{\zeta}{\sqrt{\gamma-1}}\right)(t)\right\|_1^2+\|\xi(t)\|_2^2+\int_0^t\left(\varphi^2(\tau,0)+\varphi_x^2(\tau,0)\right)\text{d}\tau\nonumber\\ &&+\int_0^t\left(\|\varphi_x(\tau)\|^2+\|(\psi_x,\zeta_x)(\tau)\|_1^2+\|\xi (\tau)\|^2_3\right)\text{d}\tau\nonumber\\ &\leq& C_1\left(\left\|\left(\varphi_0,\psi_0,\frac{\zeta_0}{\sqrt{\gamma-1}}\right)\right\|_1^2+\|\xi_0\|_2^2+1\right), \forall\,t>0, \end{aligned}$

其中 $ C_0 $ 是一个仅依赖于$ \underline{V},\overline{V} $, $ \underline{\Theta},\overline{\Theta} $, $ \|\varphi_0\|_1 $, $ \|\psi_0\| $ 及 $ \left\|\frac{\zeta_0}{\sqrt{\gamma-1}}\right\| $ 的正常数, $ C_1 $ 是一个仅依赖于 $ \underline{V},\overline{V} $, $ \underline{\Theta},\overline{\Theta} $, $ \|\varphi_0\|_1 $, $ \|\psi_0\|_1 $, $ \left\|\frac{\zeta_0}{\sqrt{\gamma-1}}\right\|_1 $ 及 $ \|\xi_0\|_2 $ 的正常数.

此外, 解 $ (\varphi(t,x),\psi(t,x),\zeta(t,x),\xi(t,x))$ 具有如下大时间行为

$\begin{equation}\label{2.5} \lim_{t\rightarrow+\infty}\|(\varphi,\psi,\zeta,\xi )(t)\|_{L^{\infty}(\mathbb{R}^+)}=0. \end{equation}$

接下来, 我们使用能量方法来证明定理 2.1. 为此, 我们首先定义如下函数集

$\begin{eqnarray*} &&X(0,T;m_1,M_1,m_2,M_2)\\ &=& \left\{(\varphi,\psi,\zeta,\xi )(t,x)\left| \begin{array}{ll} (\varphi,\psi,\zeta)(t,x)\in C(0, T; (H^{1}(\mathbb{R^+}))^3),\\[2mm] (\varphi_x,\psi_x,\zeta_x)(t,x)\in L^2(0, T; L^2(\mathbb{R^+})\times(H^{1}(\mathbb{R^+}))^2),\\[2mm] \xi(t,x)\in C(0, T; H^{2}(\mathbb{R^+}))\cap L^2(0, T; H^{3}(\mathbb{R^+})),\\[2mm] m_1\leq\rho(t,x) \leq M_1, m_2\leq\theta(t,x)\leq M_2, \forall(t,x)\in[T]\times\mathbb{R^+}, \end{array} \right.\right\}, \end{eqnarray*}$

其中 $ m_1,M_1,m_2,M_2 $ 是某些正常数.

为了证明定理 2.1,我们将采用标准的连续性技巧,该方法基于以下局部存在性结果和解的先验估计.

命题 2.1 (局部存在性) 在定理 1.2 的假设下, 存在一个仅依赖于 $ \underline{V} $, $ \overline{V} $, $ \underline{\Theta} $, $ \overline{\Theta} $, $ \Big\|\Big(\varphi_0,\psi_0,$ $\frac{\zeta_0}{\sqrt{\gamma-1}}\Big)\Big\|_1 $ 及 $ \|\xi_0\|_2 $ 的足够小的正常数 $ t_0>0 $, 使得初边值问题 (2.1)-(2.2) 存在唯一光滑解 $ (\varphi,\psi,\zeta,\xi)(t,x)\in X(0,t_0; \frac{1}{2}\underline{V},2\overline{V},\frac{1}{2}\underline{\Theta},2\overline{\Theta})$, 满足

$\left\{ \begin{aligned} &\sup_{0\leq t\leq t_0}\|\xi(t)\|^2+\int_{0}^{t_0}\|\xi(\tau)\|_1^2\text{d}\tau \leq 2\|\xi_0\|^2, \\ &\sup_{0\leq t\leq t_0}\left\|\left(\varphi,\psi,\frac{\zeta}{\sqrt{\gamma-1}}\right)(t)\right\|_{1}^{2}+\int_{0}^{t_0}(\varphi(\tau,0)^2+\varphi_x(\tau,0)^2)\text{d}\tau\\ &+\int_{0}^{t_0}(\|\varphi_x(\tau)\|^2+\|(\psi_x,\zeta_x)(\tau)\|_1^2)\text{d}\tau\leq b_1\left\|\left(\varphi_0,\psi_0,\frac{\zeta_0}{\sqrt{\gamma-1}}\right)\right\|_1^{2},\\ &\sup_{0\leq t\leq t_0}\|\xi_x(t)\|_1^2+\int_{0}^{t_0}\|\xi_{xx}(\tau)\|_1^2\text{d}\tau \leq b_2\|\xi_{0x}\|_1^2, \end{aligned} \right. $

其中, $ b_1,b_2>1 $ 是两个仅依赖于 $ \underline{V} $, $ \overline{V} $, $ \underline{\Theta} $ 和 $ \overline{\Theta} $ 的常数.

命题 2.1 可以通过标准的迭代技巧来证明,其具体过程类似于文献 [13,定理 2.1]. 为简洁起见, 在此省略其证明. 定理 2.1 的证明中的关键步骤是得到以下命题.

命题 2.2 (先验估计) 假设定理 1.2 的条件成立, 并且对于某些正常数 $ m_1,M_1,m_2,M_2 $ 和 $ T $, $ (\varphi,\psi,\zeta,\xi) (t,x)\in X(0,T;m_1,M_1,m_2,M_2) $ 是初边值问题 (2.1)-(2.2) 的一个解. 假设对于某些正常数 $ \sigma\ll 1 $, $ N_1>1 $ 和 $ N_2>1 $, 及 $ \forall t\in[T] $, 下述先验假设

$\begin{aligned}\label{2.6} \left\{ \begin{aligned} &\|\xi(t)\|^2+\int_{0}^{t}\|\xi(\tau)\|_1^2\text{d}\tau \leq \sigma^2, \\ &\left\|\left(\varphi,\psi,\frac{\zeta}{\sqrt{\gamma-1}}\right)(t)\right\|_{1}^{2}\!+\!\int_{0}^{t}(\varphi(\tau,0)^2\!+\!\varphi_x(\tau,0)^2\!+\!\|\varphi_x(\tau)\|^2\!+\!\|(\psi_x,\zeta_x)(\tau)\|_1^2)\text{d}\tau\!\leq\! N_1^{2}, \\ &\|\xi_x(t)\|_1^2+\int_{0}^{t}\|\xi_{xx}(\tau)\|_1^2\text{d}\tau \leq N_2^2, \\ &\|\zeta(t)\|_1\leq\min\left\{\underline{\Theta}/2,\overline{\Theta}\right\} \end{aligned} \right. \end{aligned}$

成立.

则存在三个正函数 $ \Xi_i(m_1^{-1},M_1;\underline{V},\overline{V},\underline{\Theta},\overline{\Theta})$, $ i=1,2,3 $, 它们关于 $ m_1^{-1} $ 和 $ M_1 $ 均为单调递增函数, 使得如果

$\begin{aligned}\label{2.7} \left\{ \begin{array}{ll} \Xi_1(m_1^{-1},M_1;\underline{V},\overline{V},\underline{\Theta},\overline{\Theta})(N_1^4+N_2^4)\delta^{\frac{3}{4}}<1,\\[2mm] \Xi_2(m_1^{-1},M_1;\underline{V},\overline{V},\underline{\Theta},\overline{\Theta})N_1^2N_2^4(\gamma-1)<1,\\[2mm] \Xi_3(m_1^{-1},M_1;\underline{V},\overline{V},\underline{\Theta},\overline{\Theta})N_1N_2^3\sigma<1, \end{array} \right. \end{aligned}$

那么

$\begin{equation}\label{2.8} C_0^{-1}\leq\rho(t,x)\leq C_0,\quad\underline{\Theta}/2\leq\theta(t,x)\leq 2\overline{\Theta}, \forall (t,x)\in[T]\times\mathbb{R}^+, \end{equation}$
$\begin{aligned} &&\|\xi(t) \|^2 + \int_0^t \| \xi(\tau) \|_1^2 \text{d}\tau \leq C_2(\|\xi_0\|^2+\delta^\frac{1}{4}), \forall t\in[T],\label{2.6-4}\\[2mm] &&\left\|\left(\varphi,\psi,\frac{\zeta}{\sqrt{\gamma-1}}\right)(t)\right\|_{1}^{2}+\int_{0}^{t}(\varphi(\tau,0)^2+\varphi_x(\tau,0)^2)\text{d}\tau+\int_{0}^{t}(\|\varphi_x(\tau)\|^2+\|(\psi_x,\zeta_x)(\tau)\|_1^2)\text{d}\tau\nonumber\\ &\leq& C_3 \left(\left\|\left(\varphi_0,\psi_0,\frac{\zeta_0}{\sqrt{\gamma-1}}\right)\right\|_{1}^{2}+\|\xi_0\|^2+1\right), \forall t\in[T], \label{2.6-5}\\[2mm] &&\|\xi_x(t)\|_1^2 + \int_0^t\|\xi_{xx}(\tau) \|_1^2 \text{d}\tau \leq C_4\left(\left\|\left(\varphi_0,\psi_0,\frac{\zeta_0}{\sqrt{\gamma-1}}\right)\right\|_{1}^{2}+\|\xi_0\|_2^2+1\right), \forall\,t\in[T].\label{2.9} \end{aligned}$

这里, 函数 $ \Xi_1(m_1^{-1},M_1;\underline{V},\overline{V},\underline{\Theta},\overline{\Theta})$, $ \Xi_2(m_1^{-1},M_1;\underline{V},\overline{V},\underline{\Theta},\overline{\Theta})$ 和 $ \Xi_3(m_1^{-1},M_1;\underline{V},\overline{V},\underline{\Theta},\overline{\Theta})$ 分别由下文的 (2.62) 式, (2.63) 式和 (2.64) 式所定义. $ C_0 $ 和 $ C_2 $ 是两个仅依赖于 $ \underline{V},\overline{V} $, $ \underline{\Theta},\overline{\Theta} $, $ \|\varphi_0\|_1 $, $ \|\psi_0\| $ 及 $ \left\|\frac{\zeta_0}{\sqrt{\gamma-1}}\right\| $的正常数, $ C_3 $ 是一个仅依赖于 $ \underline{V},\overline{V} $, $ \underline{\Theta},\overline{\Theta} $, $ \|\varphi_0\|_1 $, $ \|\psi_0\|_1 $, $ \left\|\frac{\zeta_0}{\sqrt{\gamma-1}}\right\|_1 $ 及 $ \|\xi_0\| $ 的正常数, $ C_4 $ 是一个仅依赖于 $ \underline{V},\overline{V} $, $ \underline{\Theta},\overline{\Theta} $, $ \|\varphi_0\|_1 $, $ \|\psi_0\|_1 $, $ \left\|\frac{\zeta_0}{\sqrt{\gamma-1}}\right\|_1 $ 及 $ \|\xi_0\|_1 $ 的正常数.

现在, 我们应用命题 2.1 和命题 2.2 来证明定理 2.1.

定理 2.1 的证明 首先, 由 (2.9) 式可知, 只要选取 $ \|\xi_0\| $ 和 $ \delta $ 充分小, 使得

$C_2(\|\xi_0\|^2+\delta^\frac{1}{4})\leq\sigma^2,$

就可以得到 $ (2.6)_1 $ 式. 其次, 由 (2.10) 式可推出

$\begin{equation*} \|\zeta(t)\|_1\leq C_3\left(\left\|\left(\varphi_0,\psi_0,\frac{\zeta_0}{\sqrt{\gamma-1}}\right)\right\|_{1}+\|\xi_0\|^2+1\right)\sqrt{\gamma-1}. \end{equation*}$

因此只要 $ \gamma-1 $ 适当小, 使得

$\begin{aligned}\label{2.12} C_3\left(\left\|\left(\varphi_0,\psi_0,\frac{\zeta_0}{\sqrt{\gamma-1}}\right)\right\|_{2}+\|\xi_0\|^2+1\right)\sqrt{\gamma-1}\leq\min\left\{\frac{\underline{\Theta}}{2},\overline{\Theta}\right\}, \end{aligned}$

则有 $ (2.6)_4 $ 式成立. 这样我们就验证了先验假设 $ (2.6)_1 $ 和 $ (2.6)_4 $. 基于命题 2.1 和 2.2, 类似于文献 [11,定理 1.1] 的证明, 我们可以用标准的连续性技巧将局部解延拓为整体解, 即 $ T=+\infty $.

下面, 我们推导解的大时间行为 (2.5) 式. 事实上, 根据命题 2.2 和方程组 (2.1), 我们得到

$\begin{equation*} \int_0^{+\infty}\left(\|(\varphi_x,\psi_x,\zeta_x,\xi_x)(t)\|^2+\left|\frac{\text{d}}{\text{d}t}\|(\varphi_x,\psi_x,\zeta_x,\xi_x)(t)\|^2\right|\right)\text{d}x\leq +\infty. \end{equation*}$

这意味着

$\begin{equation*} \|(\varphi_x,\psi_x,\zeta_x,\xi_x)(t,\cdot)\|\rightarrow 0, t\rightarrow\infty. \end{equation*}$

因此, 我们有

$\begin{equation*} \|(\varphi,\psi,\zeta,\xi)(t,\cdot)\|_{L^\infty}\leq C \|(\varphi,\psi,\zeta,\xi)(t,\cdot)\|^\frac{1}{2}\|(\varphi_x,\psi_x,\zeta_x,\xi_x)(t,\cdot)\|^\frac{1}{2}\rightarrow 0, t\rightarrow\infty. \end{equation*}$

定理 2.1 证毕.

下面我们将致力于证明命题 2.2. 为了推导非退化情形 $ M_+\neq1 $ 下解的先验估计 (2.8)-(2.11), 首先, 我们在以下引理中给出一些 Poincaré 型不等式, 它们将在能量估计的证明中频繁使用.

引理 2.1 对于任意函数 $ f(t,x) \in H^1(\mathbb{R}^+)$ 和任意 $ \mathcal{A} \in \{\widetilde{\rho}-\rho_+, \widetilde{u}-u_+, \widetilde{\theta}-\theta_+, \widetilde{\chi}-1\} $, 下述结论成立

(i) 如果 $ M_+ \neq 1 $, 则对于 $ k=0,1,\cdots,\,\,j=1,2,\cdots, $ 有

$\begin{equation}\label{2.13} \int_0^\infty|\partial_x^k\mathcal{A}|^j|f(t,x)|^2\text{d}x\leq C\delta \left(f(t,0)^2+\|f_x(t)\|^2\right); \end{equation}$

(ii) 如果 $ M_+=1 $, 则对于 $ k,j=1,2,\cdots, 除了k=j=1, $ 有

$\begin{equation}\label{2.14)} \int_0^\infty|\partial_x^k\mathcal{A}|^j|f(t,x)|^2\text{d}x\leq C\delta \left(f(t,0)^2+\|f_x(t)\|^2\right). \end{equation}$

引理 2.1 的证明类似于文献 [21,引理 3.3]{Kawashima-Nishibata-Zhu-2003} 的证明. 为简洁起见, 此处省略其证明.

在证明能量估计之前, 首先我们注意到

$\begin{equation*} \theta(t,x)=\widetilde{\theta}(x)+\zeta(t,x), \underline{\Theta}\leq\widetilde{\theta}(x)\leq \overline{\Theta}, \forall(t,x)\in[T]\times\mathbb{R}^+, \end{equation*}$

此式结合 Sobolev 不等式和先验假设 $ (2:6)_4 $, 可以推出

$\begin{equation*} \underline{\Theta}/2\leq\underline{\Theta}-\|\zeta(t)\|_1\leq\theta(t,x)\leq\overline{\Theta}+\|\zeta(t)\|_1\leq2\overline{\Theta},\quad\forall (t,x)\in[T]\times\mathbb{R}^+. \end{equation*}$

这样就证明了估计式 $ (2:8)_2 $ 成立.

基于 $ (2:8)_2 $ 式, 我们给出如下基本能量估计.

引理 2.2 (基本能量估计) 假设 $ M_+\neq1 $, 并且命题 2.2 的条件成立, 则存在一个仅依赖于 $ \underline{V},\overline{V},\underline{\Theta},\overline{\Theta} $ 的正常数 $ C_5>0 $, 使得

$\begin{aligned}\label{2.15} && \int_{\mathbb{R^+}}\mathcal{E}\text{d}x+\int_0^t\int_{\mathbb{R^+}}\left(\frac{\widetilde{\theta}}{\theta}\psi_{x}^2+\frac{\widetilde{\theta}}{\theta^2}\zeta_x^2\right)\text{d}x\text{d}\tau-\int_0^tR\rho(\tau,0)u_b\theta_b\Phi\left(\frac{\rho_b}{\rho(\tau,0)}\right)\text{d}\tau\nonumber\\ &\leq& C_5\left(\left\|\left(\varphi_0,\psi_0,\frac{\zeta_0}{\sqrt{\gamma-1}}\right)\right\|^{2}+1\right), \forall t\in[T], \end{aligned}$

其中函数 $ \mathcal{E}=\mathcal{E}(t,x)$ 的定义见下面 $ (2:17)_1 $ 式.

证 将 $ (2:1)_1 $, $ (2:1)_2 $, $ (2:1)_3 $ 式分别乘以 $ R\widetilde{\theta}(1-\frac{\widetilde{\rho}}{\rho})$, $ \psi $ 和 $ \frac{\zeta}{\theta} $, 然后将所得结果相加, 我们有

$\begin{equation}\label{2.16} \mathcal{E}_t+\frac{\widetilde{\theta}}{\theta}\psi_{x}^2+\frac{\widetilde{\theta}}{\theta^2}\zeta_x^2+H_x=\widetilde{u}_xQ_1+\widetilde{\theta}_xQ_2+\frac{\zeta\zeta_x\widetilde{\theta}_x}{\theta^2}+g\psi+\frac{\zeta}{\theta}h, \end{equation}$

其中

$\begin{aligned}\label{2.17} &&\mathcal{E}(t,x)=R\rho\widetilde{\theta}\Phi\left(\frac{\widetilde{\rho}}{\rho}\right)+C_v\rho\widetilde{\theta}\Phi\left(\frac{\theta}{\widetilde{\theta}}\right)+\frac{\rho\psi^2}{2}, \Phi(s)=s-1-\ln s,\nonumber\\ &&H=u\mathcal{E}-\psi\psi_x+\frac{\psi}{2}\zeta\xi _x^2+R\psi(\rho\theta-\widetilde{\rho}\widetilde{\theta})-\frac{\zeta\zeta_x}{\theta},\\ &&Q_1=(R\frac{\widetilde{\theta}}{\widetilde{u}}-\widetilde{u})\varphi\psi-\rho\psi^2-R\frac{\zeta}{\theta}(\rho\theta-\widetilde{\rho}\widetilde{\theta}),\nonumber\\ &&Q_2=R\rho u\Phi\left(\frac{\widetilde{\rho}}{\rho}\right)-C_v\rho u\Phi\left(\frac{\widetilde{\theta}}{\theta}\right)-C_v\frac{\zeta}{\theta}(\widetilde{u}\varphi+\rho\psi).\nonumber \end{aligned}$

将 (2.16) 式在 $ [0,t]\times\mathbb{R}^+ $ 上关于 $ t $ 和 $ x $ 进行积分, 有

$\begin{aligned}\label{2.18} && \int_{\mathbb{R^+}}\mathcal{E}\text{d}x+\int_0^t\int_{\mathbb{R^+}}\left(\frac{\widetilde{\theta}}{\theta}\psi_{x}^2+\frac{\widetilde{\theta}}{\theta^2}\zeta_x^2\right)\text{d}x\text{d}\tau-\int_0^tH(\tau,0)\text{d}\tau\nonumber\\ &=& \int_{\mathbb{R^+}}\mathcal{E}(0,x)\text{d}x+\int_0^t\int_{\mathbb{R^+}}(\widetilde{u}_xQ_1+\widetilde{\theta}_xQ_2)\text{d}x\text{d}\tau +\int_0^t\int_{\mathbb{R^+}}\left(\frac{\zeta\zeta_x\widetilde{\theta}_x}{\theta^2}+g\psi+\frac{\zeta}{\theta}h\right)\text{d}x\text{d}\tau\nonumber\\ :&=& \int_{\mathbb{R^+}}\mathcal{E}(0,x)\text{d}x+\sum_{i=1}^2I_i. \end{aligned}$

由边界条件 (2.2)$ _2 $ 和 (1.6)$ _1 $, 可得

$\begin{aligned}\label{2.19} -\int_0^tH(\tau,0)\text{d}\tau=-\int_0^tR\rho(\tau,0)u_b\theta_b\Phi\left(\frac{\rho_b}{\rho(t,0)}\right)\text{d}\tau. \end{aligned}$

注意到对任意 $ \phi(x)\in H^1(\mathbb{R}^+)$, 有如下 Poincaré 型不等式

$\begin{equation}\label{2.20} |\phi(x)| = \left| \phi(0) + \int_{0}^{x} \phi_{y} \text{d}y \right| \leq |\phi(0)| + \sqrt{x} \| \phi_{x} \|, \quad \forall\,x \in \mathbb{R}^{+}, \end{equation}$

对于 $ I_1 $, 利用引理 2.1, (2.20) 式以及先验假设 $ (2.6)_2 $, 有

$\begin{equation} \begin{aligned}\label{2.21} I_1\leq & C(m_1^{-1},M_1;\underline{\Theta},\overline{\Theta})\int_{0}^{t}\|u(\tau)\|_{L^\infty}\int_{\mathbb{R}^+}|(\widetilde{u}_x,\widetilde{\theta}_x)| |(\varphi, \psi, \zeta ) |^2 \text{d}x\text{d}\tau\\ \leq & C_6(m_1^{-1},M_1;\underline{\Theta},\overline{\Theta})N_1\delta \int_{0}^{t}[\varphi^2(\tau, 0) + \|(\varphi_x, \psi_x, \zeta_x ) (\tau) \|^2] \text{d}\tau\\ \leq & C_6(m_1^{-1},M_1;\underline{\Theta},\overline{\Theta})N_1^3\delta. \end{aligned} \end{equation}$

对于 $ I_2 $, 考虑到有

$\begin{aligned}\label{2.22} &&|g|\sim|\zeta_x(\widetilde{\chi}_x^2+\xi_x\widetilde{\chi}_x)|+|\widetilde{\theta}_x(\xi_x^2+\xi_x\widetilde{\chi}_x)|+|\zeta(\widetilde{\chi}_x\widetilde{\chi}_{xx}+\xi_{xx}\widetilde{\chi}_x+\xi_{x}\widetilde{\chi}_{xx})|\nonumber\\ &&\qquad +|\widetilde{\theta}(\xi_x\xi_{xx}+\xi_{xx}\widetilde{\chi}_x+\xi_{x}\widetilde{\chi}_{xx})|,\\ &&|h|\sim|\psi_x(\widetilde{\chi}_x^2+\widetilde{\chi}_x\xi_x)|+|(\xi_x^2+\widetilde{\chi}_x\xi_x+\zeta\widetilde{\chi}_x^2+\psi_x)\widetilde{u}_x|,\nonumber \end{aligned}$

利用 Cauchy 不等式, Hölder 不等式, Young 不等式, Sobolev 不等式, 引理 2.1, (2.20) 式, 边界条件 $(2.2)_2 $ 以及 (2.6) 式, 可推出

$\begin{aligned}\label{2.23} I_2 &\leq& \frac{1}{4} \int_{0}^{t}\int_{\mathbb{R}^+} \left( \frac{\widetilde{\theta}}{\theta^2} \zeta_x^2 + \frac{\widetilde{\theta}}{\theta} \psi_x^2 \right) \text{d}x\text{d}\tau + C(\underline{\Theta},\overline{\Theta}) \int_{0}^{t}\int_{\mathbb{R}^+} |(\widetilde{u}_x, \widetilde{\theta}_x, \widetilde{\chi}_x, \widetilde{\chi}_{xx})|^2 |(\psi, \zeta) |^2 \text{d}x\text{d}\tau \nonumber\\ && + C(\underline{\Theta},\overline{\Theta})\delta \int_{0}^{t} \biggl[ \|\zeta(\tau)\|_{L^\infty}^2(\|\xi_{xx}(\tau)\|^2+\|\xi_x(\tau)\|^2)+ \bigl( \|\psi(\tau)\|_{L^\infty}^2 + \|\psi(\tau)\|_{L^\infty}\nonumber \\ && + \|\zeta(\tau)\|_{L^\infty} \bigr) \|\xi_x(\tau)\|^2\biggr] \text{d}\tau + C(\underline{\Theta},\overline{\Theta})\delta \int_{0}^{t} \left[ \|\xi_x(\tau)\|^2 + \|\xi_{xx}(\tau)\|^2 \right] \text{d}\tau\nonumber\\ && + C(\underline{\Theta},\overline{\Theta}) \int_{0}^{t} \left[\int_{\mathbb{R}^+} |\widetilde{\chi}_x|(\psi, \zeta)^2\text{d}x + \|\psi(\tau)\|_{L^\infty} \|\xi_x(\tau)\| \|\xi_{xx}(\tau)\| \right] \text{d}\tau \\ &\leq& \frac{1}{4} \int_{0}^{t} \int_{\mathbb{R}^+} \left( \frac{\widetilde{\theta}}{\theta^2} \zeta_x^2 + \frac{\widetilde{\theta}}{\theta} \psi_x^2 \right) \text{d}x\text{d}\tau+ C(\underline{\Theta},\overline{\Theta}) \delta \sigma^2 N_1^2+ C(\underline{\Theta},\overline{\Theta}) \delta N_1^2 N_2^2 \nonumber\\ && + C(\underline{\Theta},\overline{\Theta}) \delta (N_1^2 + N_2^2) + C(\underline{\Theta},\overline{\Theta}) N_1 \left( \int_{0}^{t} \|\xi_x(\tau)\|^2 \text{d}\tau \right)^{\frac{1}{2}} \left( \int_{0}^{t} \|\xi_{xx}(\tau)\|^2 \text{d}\tau \right)^{\frac{1}{2}} \nonumber\\ &\leq& \frac{1}{4} \int_{0}^{t} \int_{\mathbb{R}^+} \left( \frac{\widetilde{\theta}}{\theta^2} \zeta_x^2 + \frac{\widetilde{\theta}}{\theta} \psi_x^2 \right) \text{d}x\text{d}\tau + C_7(\underline{\Theta},\overline{\Theta}) \delta N_1^2N_2^2+ C_8(\underline{\Theta},\overline{\Theta}) N_1 N_2 \sigma.\nonumber \end{aligned}$

选取参数$\delta$及 $ \sigma $ 足够小, 使得

$\begin{aligned}\label{2.24} C_6(m_1^{-1},M_1;\underline{\Theta},\overline{\Theta})N_1^3\delta<1,\quad C_7(\underline{\Theta},\overline{\Theta}) \delta N_1^2 N_2^2<1,\quad C_8(\underline{\Theta},\overline{\Theta}) N_1 N_2 \sigma<1, \end{aligned}$

并联立 (2.18), (2.19), (2.21) 和 (2.23) 式, 可知 (2.15) 式成立. 引理 2.2 证毕.

引理 2.3 假设 $ M_+\neq 1 $, 并且命题 2.2 的条件成立, 则存在一个仅依赖于 $ \underline{V},\overline{V},\underline{\Theta}, \overline{\Theta} $, $ \|\varphi_0\|, \|\psi_0\| $ 及 $ \left\|\frac{\zeta_0}{\sqrt{\gamma-1}}\right\| $ 的正常数 $ C_{9}>0 $, 使得如果

$\begin{aligned}\label{2.25} \left\{ \begin{array}{ll} \widetilde{\Xi}_1(m_1^{-1},M_1;\underline{V},\overline{V},\underline{\Theta},\overline{\Theta})(N_1^4+N_2^4)\delta<1,\\[2mm] \widetilde{\Xi}_2(m_1^{-1},M_1;\underline{V},\overline{V},\underline{\Theta},\overline{\Theta})N_1^2N_2^4(\gamma-1)<1,\\[2mm] \widetilde{\Xi}_3(m_1^{-1},M_1;\underline{V},\overline{V},\underline{\Theta},\overline{\Theta})N_2^3\sigma<1, \end{array} \right. \end{aligned}$

则下述不等式成立

$\begin{aligned}\label{2.26} && \int_{\mathbb{R}^+}\frac{\varphi_{x}^{2}}{2\rho^{3}}\text{d}x - \int_{0}^{t} \frac{u_b\varphi_{x}^{2}(\tau,0)}{2\rho^{3}(\tau,0)} \text{d}\tau + \int_{0}^{t}\int_{\mathbb{R}^+}\frac{R\theta}{\rho^{2}} \varphi_{x}^{2}\text{d}x\text{d}\tau \nonumber\\ &\leq& C_{9}\left(\left\|\left(\varphi_0,\varphi_{0x},\psi_0,\frac{\zeta_0}{\sqrt{\gamma-1}}\right)\right\|^{2}+1\right), \forall t\in[T]. \end{aligned}$

证 将 $(2.1)_{1} $ 式关于 $ x $ 求导, 然后乘以 $ \frac{\varphi_{x}}{\rho^{3}} $, 可以得到下式

$\begin{aligned}\label{2.27} \left( \frac{\varphi_{x}^{2}}{2\rho^{3}} \right)_{t} + \left( \frac{u\varphi_{x}^{2}}{2\rho^{3}} \right)_{x} - \widetilde{u}_{x} \frac{\varphi_{x}^{2}}{\rho^{3}} + \widetilde{\rho}_{x} \frac{\varphi_{x}\psi_{x}}{\rho^{3}} + \frac{\varphi_{x}\psi_{xx}}{\rho^{2}} = f_{x} \frac{\varphi_{x}}{\rho^{3}}. \end{aligned}$

将 $(2.1)_{2} $ 乘以 $ \frac{\varphi_{x}}{\rho^{2}} $ 可得

$\begin{aligned}\label{2.28} \frac{\varphi_{x}\psi_{xx}}{\rho^{2}} + g \frac{\varphi_{x}}{\rho^{2}} &=& \left( \frac{\varphi_{x}\psi}{\rho} \right)_{t} - \left( \frac{\varphi_{t}\psi}{\rho} \right)_{x} +\frac{{{\widetilde{\rho}_{x}}^{2}}{\psi}^{2}}{{\rho}^{2}}+ \frac{1}{2} \left( \zeta \xi_x^2 \right)_x \frac{\varphi_x}{\rho^2} + \frac{\psi \varphi \widetilde{\rho}_x \, \widetilde{u}_x}{\rho^2} \\ && + \frac{\psi^2 \varphi_x \widetilde{\rho}_x}{\rho^2} + \frac{(\varphi \psi + \varphi \widetilde{u}) \varphi_x \widetilde{u}_x}{\rho^2} - \psi_{x}^{2}-\frac{\widetilde{u}_{x}\varphi\psi_{x}}{\rho}+\frac{(p -\widetilde{p})_{x}\varphi_{x}}{\rho^{2}}.\nonumber \end{aligned}$

将 (2.27) 和 (2.28) 式相加, 有

$\begin{eqnarray*} && \left( \frac{\varphi_{x}^{2}}{2\rho^{3}} + \frac{\varphi_{x}\psi}{\rho} \right)_{t} + \left( \frac{u\varphi_{x}^{2}}{2\rho^{3}} - \frac{\varphi_{t}\psi}{\rho} \right)_{x} + \frac{R\theta}{\rho^{2}} \varphi_{x}^{2} \\ &=& \left\{ \psi_{x}^{2} - 2\widetilde{\rho}_{x} \frac{\varphi_{x}\psi_{x}}{\rho^{3}} - \frac{R\varphi_{x}\zeta_{x}}{\rho} \right\} - \left\{ \left( \frac{\widetilde{u}_{x}\widetilde{u}}{\rho^{2}} + \frac{R\widetilde{\theta}_{x}}{\rho^{2}} + \frac{\widetilde{u}_{xx}}{\rho^{3}} \right) \varphi\varphi_{x} + \frac{R\widetilde{\rho}_{x}\zeta\varphi_{x}}{\rho^{2}}+\frac{1}{2} \left( \zeta \xi_x^2 \right)_x \frac{\varphi_x}{\rho^2} \right\} \\ && -\left\{ \left( \frac{\varphi\widetilde{u}_{x}}{\rho^{2}} + \frac{\psi\widetilde{\rho}_{x}}{\rho^{2}} + \frac{\widetilde{\rho}_{xx}}{\rho^{3}} \right) \psi\varphi_{x} + \frac{\psi \varphi \widetilde{\rho}_x \, \widetilde{u}_x}{\rho^2}-\frac{\widetilde{u}_{x}\varphi\psi_{x}}{\rho}+\frac{{{\widetilde{\rho}_{x}}^{2}}{\psi}^{2}}{{\rho}^{2}}-\frac{g\varphi_{x}}{\rho^{2}} \right\}, \end{eqnarray*}$

其中我们使用到了

$ (p - \widetilde{p})_{x}=R(\rho\theta-\widetilde{\rho}\widetilde{\theta})_x=R\theta\varphi_x+R\zeta\widetilde{\rho}_{x}+R\varphi\widetilde{\theta}_{x}+R\rho\zeta_x. $

将上式在 $ [0,t]\times\mathbb{R}^+ $ 上关于 $ t $ 和 $ x $ 积分, 并利用边界条件 $(2.2)_2 $, 有

$\begin{aligned}\label{2.29} && \int_{\mathbb{R}^+}\left( \frac{\varphi_{x}^{2}}{2\rho^{3}} + \frac{\varphi_{x}\psi}{\rho} \right)\text{d}x - \int_{0}^{t} \frac{u_b\varphi_{x}^{2}(\tau,0)}{2\rho^{3}(\tau,0)} \text{d}\tau + \int_{0}^{t}\int_{\mathbb{R}^+}\frac{R\theta}{\rho^{2}} \varphi_{x}^{2}\text{d}x\text{d}\tau \nonumber\\ &=& \int_{\mathbb{R}^+}\left( \frac{\varphi_{0x}^{2}}{2{\rho}_{0}^{3}} + \frac{\varphi_{0x}{\psi}_{0}}{{\rho}_{0}} \right)\text{d}x+\int_{0}^{t}\int_{\mathbb{R}^+}\left\{ \psi_{x}^{2} - 2\widetilde{\rho}_{x} \frac{\varphi_{x}\psi_{x}}{\rho^{3}} - \frac{R\varphi_{x}\zeta_{x}}{\rho} \right\}\text{d}x\text{d}\tau \nonumber\\ && - \int_{0}^{t}\int_{\mathbb{R}^+}\left\{ \left( \frac{\widetilde{u}_{x}\widetilde{u}}{\rho^{2}} + \frac{R\widetilde{\theta}_{x}}{\rho^{2}} + \frac{\widetilde{u}_{xx}}{\rho^{3}} \right) \varphi\varphi_{x} + \frac{R\widetilde{\rho}_{x}\zeta\varphi_{x}}{\rho^{2}}+\frac{1}{2} \left( \zeta \xi_x^2 \right)_x \frac{\varphi_x}{\rho^2} \right\}\text{d}x\text{d}\tau\\ && -\int_{0}^{t}\int_{\mathbb{R}^+}\left\{ \left( \frac{\varphi\widetilde{u}_{x}}{\rho^{2}} + \frac{\psi\widetilde{\rho}_{x}}{\rho^{2}} + \frac{\widetilde{\rho}_{xx}}{\rho^{3}} \right) \psi\varphi_{x} + \frac{\psi \varphi \widetilde{\rho}_x \, \widetilde{u}_x}{\rho^2}-\frac{\widetilde{u}_{x}\varphi\psi_{x}}{\rho}+\frac{{{\widetilde{\rho}_{x}}^{2}}{\psi}^{2}}{{\rho}^{2}} \right\}\text{d}x\text{d}\tau\nonumber\\ && +\int_{0}^{t}\int_{\mathbb{R}^+}\frac{g\varphi_{x}}{\rho^{2}}\text{d}x\text{d}\tau\nonumber\\ :&=& \int_{\mathbb{R}^+}\left( \frac{\varphi_{0x}^{2}}{2{\rho}_{0}^{3}}+ \frac{\varphi_{0x}{\psi}_{0}}{{\rho}_{0}}\right)\text{d}x +\sum_{i=3}^6I_i.\nonumber \end{aligned}$

下面我们开始估计 $ I_i(i=3,4,5,6)$. 根据 Young 不等式, Sobolev 不等式, Cauchy 不等式, Hölder 不等式, 引理 2.1, 引理 2.2, (2.6) 及 $(2.22)_1 $ 式, 有

$\begin{aligned}I_{3} & \leq \frac{1}{8} \int_{0}^{t} \int_{\mathbb{R}^{+}} \frac{R \theta \varphi_{x}^{2}}{\rho^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} \tau+\left(C\left(m_{1}^{-1} ; \underline{\Theta}\right) \delta+C\right) \int_{0}^{t}\left\|\left(\psi_{x}, \zeta_{x}\right)(\tau)\right\|^{2} \mathrm{~d} \tau \\& \leq \frac{1}{8} \int_{0}^{t} \int_{\mathbb{R}^{+}} \frac{R \theta \varphi_{x}^{2}}{\rho^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} \tau+C_{10}\left(m_{1}^{-1} ; \underline{\Theta}\right) N_{1}^{2} \delta+C,\end{aligned}$
$\begin{aligned}I_{4} \leq & \frac{1}{8} \int_{0}^{t} \int_{\mathbb{R}^{+}} \frac{R \theta \varphi_{x}^{2}}{\rho^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} \tau+C\left(m_{1}^{-1} ; \underline{\Theta}\right) \int_{0}^{t} \int_{\mathbb{R}^{+}}\left|\left(\widetilde{u}_{x}, \widetilde{\theta}_{x}, \widetilde{u}_{x x}\right)\right|^{2}|(\varphi, \zeta)|^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} \tau \\& +C\left(m_{1}^{-1} ; \underline{\Theta}\right) \int_{0}^{t}\left[\left\|\zeta_{x}(\tau)\right\|^{2}\left\|\xi_{x}(\tau)\right\|_{L^{\infty}}^{4}+\|\zeta(\tau)\|_{L^{\infty}}^{2}\left\|\xi_{x}(\tau)\right\|_{L^{\infty}}^{2}\left\|\xi_{x x}(\tau)\right\|^{2}\right] \mathrm{d} \tau\end{aligned}$ $\begin{aligned}\leq & \left(\frac{1}{8}+C\left(m_{1}^{-1}, M_{1} ; \underline{\Theta}\right) \delta\right) \int_{0}^{t} \int_{\mathbb{R}^{+}} \frac{R \theta \varphi_{x}^{2}}{\rho^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} \tau+C\left(m_{1}^{-1} ; \underline{\Theta}\right) \delta \int_{0}^{t}\left[\varphi^{2}(\tau, 0)+\left\|\zeta_{x}(\tau)\right\|^{2}\right] \mathrm{d} \tau \\& +C\left(m_{1}^{-1} ; \underline{\Theta}\right)(\gamma-1) \sup _{\tau \in[0, t]}\left\{\left\|\xi_{x}(\tau)\right\|^{2}\left\|\frac{\zeta_{x}}{\sqrt{\gamma-1}}(\tau)\right\|^{2}\right\} \int_{0}^{t}\left\|\xi_{x x}(\tau)\right\|^{2} \mathrm{~d} \tau \\& +C\left(m_{1}^{-1} ; \underline{\Theta}\right)(\gamma-1) \sup _{\tau \in[0, t]}\left\{\left\|\frac{\zeta}{\sqrt{\gamma-1}}(\tau)\right\|\left\|\frac{\zeta_{x}}{\sqrt{\gamma-1}}(\tau)\right\|\left\|\xi_{x}(\tau)\right\|\left\|\xi_{x x}(\tau)\right\|\right\} \int_{0}^{t}\left\|\xi_{x x}(\tau)\right\|^{2} \mathrm{~d} \tau \\\leq & \frac{1}{8} \int_{0}^{t} \int_{\mathbb{R}^{+}} \frac{R \theta \varphi_{x}^{2}}{\rho^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} \tau+C_{11}\left(m_{1}^{-1} ; \underline{\Theta}\right) N_{1}^{2} N_{2}^{4}(\gamma-1)+C_{12}\left(m_{1}^{-1}, M_{1} ; \underline{\Theta}, \bar{\Theta}\right) N_{1}^{2} \delta\end{aligned}$
$\begin{aligned}I_{5} \leq & \frac{1}{8} \int_{0}^{t} \int_{\mathbb{R}^{+}} \frac{R \theta \varphi_{x}^{2}}{\rho^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} \tau+\frac{1}{4} \int_{0}^{t} \int_{\mathbb{R}^{+}} \frac{\tilde{\theta}}{\theta} \psi_{x}^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} \tau \\& +C\left(m_{1}^{-1} ; \underline{\Theta}\right) \int_{0}^{t} \int_{\mathbb{R}^{+}}\left(\psi^{4} \tilde{\rho}_{x}^{2}+\psi^{2} \varphi^{2} \widetilde{u}_{x}^{2}+\psi^{2} \widetilde{\rho}_{x x}^{2}+\varphi^{2} \widetilde{u}_{x}^{2}+\psi^{2} \widetilde{u}_{x}^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} \tau \\\leq & \left(\frac{1}{8}+C\left(m_{1}^{-1}, M_{1} ; \underline{\Theta}\right) \delta\right) \int_{0}^{t} \int_{\mathbb{R}^{+}} \frac{R \theta \varphi_{x}^{2}}{\rho^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} \tau+\left(\frac{1}{4}+C\left(m_{1}^{-1} ; \underline{\Theta}\right) \delta\right) \int_{0}^{t} \int_{\mathbb{R}^{+}} \frac{\tilde{\theta}}{\theta} \psi_{x}^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} \tau \\& +C\left(m_{1}^{-1} ; \underline{\Theta}\right) \int_{0}^{t}\|\psi(\tau)\|_{L^{\infty}}^{2} \int_{\mathbb{R}^{+}} \widetilde{u}_{x}^{2}|(\varphi, \psi)|^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} \tau+C\left(m_{1}^{-1} ; \underline{\Theta}\right) \delta \int_{0}^{t} \varphi^{2}(\tau, 0) \mathrm{d} x \mathrm{~d} \tau \\\leq & C_{13}\left(m_{1}^{-1} ; \underline{\Theta}, \bar{\Theta}\right) N_{1}^{2} \delta+\frac{1}{8} \int_{0}^{t} \int_{\mathbb{R}^{+}} \frac{R \theta \varphi_{x}^{2}}{\rho^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} \tau+\frac{1}{4} \int_{0}^{t} \int_{\mathbb{R}^{+}} \frac{\tilde{\theta}}{\theta} \psi_{x}^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} \tau \\& +C_{14}\left(m_{1}^{-1}, M_{1} ; \underline{\Theta}, \bar{\Theta}\right) N_{1}^{4} \delta,\end{aligned}$
$\begin{aligned}I_{6} \leq & \frac{1}{8} \int_{0}^{t} \int_{\mathbb{R}^{+}} \frac{R \theta \varphi_{x}^{2}}{\rho^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} \tau+C\left(m_{1}^{-1} ; \underline{\Theta}\right) \delta \int_{0}^{t}\left[\left\|\left(\zeta_{x}, \xi_{x}, \xi_{x x}\right)(\tau)\right\|^{2}+\left\|\xi_{x}(\tau)\right\|_{L^{\infty}}^{2}\left\|\xi_{x}(\tau)\right\|^{2}\right] \mathrm{d} \tau \\& +C\left(m_{1}^{-1}\right) \delta \int_{0}^{t}\left[\left\|\varphi_{x}(\tau)\right\|\left\|\zeta_{x}(\tau)\right\|\left\|\xi_{x}(\tau)\right\|_{L^{\infty}}+\|\zeta(\tau)\|_{L^{\infty}}^{2}\left(\left\|\xi_{x}(\tau)\right\|^{2}+\left\|\xi_{x x}(\tau)\right\|^{2}\right)\right] \mathrm{d} \tau \\& +C\left(m_{1}^{-1} ; \underline{\Theta}\right) \int_{0}^{t} \int_{\mathbb{R}^{+}} \zeta^{2} \widetilde{\chi}_{x}^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} \tau+C\left(m_{1}^{-1} ; \underline{\Theta}\right) \int_{0}^{t}\left\|\xi_{x}(\tau)\right\|_{L^{\infty}}^{2}\left\|\xi_{x x}(\tau)\right\|^{2} \mathrm{~d} \tau \\\leq & \left(\frac{1}{8}+C\left(m_{1}^{-1}, M_{1} ; \underline{\Theta}\right) \delta\right) \int_{0}^{t} \int_{\mathbb{R}^{+}} \frac{R \theta \varphi_{x}^{2}}{\rho^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} \tau+C\left(m_{1}^{-1} ; \underline{\Theta}\right) \delta \int_{0}^{t}\left\|\left(\zeta_{x}, \xi_{x}, \xi_{x x}\right)(\tau)\right\|^{2} \mathrm{~d} \tau \\& +C\left(m_{1}^{-1}\right) \delta N_{2}^{2} \int_{0}^{t}\left\|\zeta_{x}(\tau)\right\|^{2} \mathrm{~d} \tau+C\left(m_{1}^{-1} ; \underline{\Theta}\right) N_{1}^{2} N_{2}^{2}(\gamma-1)+C\left(m_{1}^{-1} ; \underline{\Theta}\right) N_{1}^{2} \delta+C\left(m_{1}^{-1} ; \underline{\Theta}\right) N_{2}^{3} \sigma \\\leq & \frac{1}{8} \int_{0}^{t} \int_{\mathbb{R}^{+}} \frac{R \theta \varphi_{x}^{2}}{\rho^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} \tau+C_{15}\left(m_{1}^{-1}, M_{1} ; \underline{\Theta}, \bar{\Theta}\right) N_{1}^{2} \delta+C_{16}\left(m_{1}^{-1} ; \underline{\Theta}\right) N_{1}^{2} N_{2}^{2} \delta \\& +C_{17}\left(m_{1}^{-1} ; \underline{\Theta}\right) N_{1}^{2} N_{2}^{2}(\gamma-1)+C_{18}\left(m_{1}^{-1} ; \underline{\Theta}\right) N_{2}^{3} \sigma\end{aligned}$

应用 Cauchy 不等式及引理 2.2, 我们得到

$\begin{aligned}\label{2.34} \int_{\mathbb{R}^+}\frac{\varphi_{x}\psi}{\rho}\text{d}x\leq\frac{1}{4}\int_{\mathbb{R}^+} \frac{\varphi_x^2}{2\rho^3} \text{d}x+C\int_{\mathbb{R}^+} \rho\psi^2\text{d}x\leq\frac{1}{4}\int_{\mathbb{R}^+} \frac{\varphi_x^2}{2\rho^3} \text{d}x+C. \end{aligned}$

定义

$\begin{aligned} \widetilde{\Xi}_1(m_1^{-1},M_1;\underline{V},\overline{V},\underline{\Theta},\overline{\Theta}):&=& C_{10}(m_1^{-1};\underline{\Theta})+(C_{12}+C_{14}+C_{15})(m_1^{-1},M_1;\underline{\Theta},\overline{\Theta})\nonumber\\ && +(C_{13}+C_{16})(m_1^{-1};\underline{\Theta},\overline{\Theta}),\label{2.26-2}\\ \widetilde{\Xi}_2(m_1^{-1},M_1;\underline{V},\overline{V},\underline{\Theta},\overline{\Theta}):&=& (C_{11}+C_{17})(m_1^{-1};\underline{\Theta}),\label{2.26-3}\\ \widetilde{\Xi}_3(m_1^{-1},M_1;\underline{V},\overline{V},\underline{\Theta},\overline{\Theta}):&=& C_{18}( m_1^{-1};\underline{\Theta}).\label{2.26-4} \end{aligned}$

选取 $ \gamma - 1, \sigma $ 和 $\delta$ 足够小, 使得 (2.25) 式成立, 通过联立 (2.29)-(2.34) 式, 并应用引理 2.2, 可得 (2.26) 式. 引理 2.3 证毕.

引理 2.4 假设 $ M_+\neq 1 $, 并且 命题 2.2 的条件成立, 则存在一个仅依赖于 $ \underline{V},\overline{V},\underline{\Theta},\overline{\Theta} $, $ \|\varphi_0\|_1,\|\psi_0\| $及 $ \left\|\frac{\zeta_0}{\sqrt{\gamma-1}}\right\| $ 的正常数 $ C_{19}>0 $, 使得

$\begin{equation}\label{2.38} C_{19}^{-1}\leq \rho(x, t) \leq C_{19}, \quad \forall\,(t,x)\in[T]\times\mathbb{R}^+. \end{equation}$

证 定义

$\begin{equation}\label{2.39} \Psi(\eta) \triangleq \int_{1}^{\eta} \frac{\sqrt{\Phi(s)}}{s} \text{d}s, \quad \eta \in \mathbb{R}^+, \end{equation}$

那么我们可以容易地得到

$\begin{equation}\label{2.40} \Psi(\eta) \rightarrow \begin{cases} -\infty, & \eta \to 0^+, \\ +\infty, & \eta \to \infty. \end{cases} \end{equation}$

另一方面, 可得

$\begin{aligned}\label{2.41} \left| \Psi \left( \frac{\widetilde{\rho}}{\rho} \right) \right| &=& \left| \int_{\infty}^{x} \left[ \Psi \left( \frac{\widetilde{\rho}}{\rho} \right) \right]_y \text{d}y \right| = \left| \int_{\infty}^{x} \sqrt{\Phi \left( \frac{\widetilde{\rho}}{\rho} \right)} \frac{\rho}{\widetilde{\rho}} \left( \frac{\widetilde{\rho}}{\rho} \right)_y \text{d}y \right|\nonumber\\ &\leq& \int_{\mathbb{R}_+} \left\{ \rho \Phi \left( \frac{\widetilde{\rho}}{\rho} \right) + \frac{\varphi_x^2}{\rho^3} + C(m_1^{-1})\varphi^2\widetilde{\rho}_y^2 \right\} \text{d}x\nonumber\\ &\leq& \int_{\mathbb{R}_+} \left\{ \rho \Phi \left( \frac{\widetilde{\rho}}{\rho} \right) + \frac{\varphi_x^2}{\rho^3} + C_{20}(m_1^{-1},M_1) {\delta}^2 \rho \Phi \left( \frac{\widetilde{\rho}}{\rho} \right) \right\} \text{d}x\\ &\leq& C \left(\left\| \left( \varphi_0, \psi_0, \frac{\zeta_0}{\sqrt{\gamma - 1}}, \varphi_{0x} \right) \right\|^2+1\right),\nonumber \end{aligned}$

其中我们应用引理 2.2-2.3, 并选取 ${\delta}$ 充分小, 使得

$\begin{equation}\label{2.42} C_{20}(m_1^{-1},M_1)\delta^2 < 1. \end{equation}$

由 (2.40) 和 (2.41) 式, 我们可以立即得到 (2.38) 式. 引理 2.4 证毕.

根据引理 2.2-2.4 以及函数 $ \Phi(s) := s - 1 - \ln s $ 的凸性, 我们可以得到下述推论

推论 2.1 假设 $ M_+\neq 1 $, 并且命题2.2 的条件成立, 则存在一个仅依赖于 $ \underline{V},\overline{V},\underline{\Theta},\overline{\Theta} $, $ \|\varphi_0\|_1,\|\psi_0\| $ 及 $ \left\|\frac{\zeta_0}{\sqrt{\gamma-1}}\right\| $ 的正常数 $ C_{21}>0 $, 使得

$\begin{aligned}\label{2.43} && \left\|\left(\varphi,\varphi_x,\psi,\frac{\zeta}{\sqrt{\gamma-1}}\right)(t)\right\|^2 + \int_0^t \left(\|(\varphi_x,\psi_x,\zeta_x)(\tau) \|^2 +\varphi^2(\tau,0)+\varphi_x^2(\tau,0)\right)\text{d}\tau \nonumber\\ &\leq& C_{21} \left(\left\|\left(\varphi_0,\varphi_{0x},\psi_0,\frac{\zeta_0}{\sqrt{\gamma-1}}\right)\right\|^{2}+1\right), \forall t\in[T]. \end{aligned}$

引理 2.5 假设 $ M_+\neq 1 $, 并且命题 2.2 的条件成立, 则存在一个仅依赖于 $ \underline{V},\overline{V},\underline{\Theta},\overline{\Theta} $, $ \|\varphi_0\|_1,\|\psi_0\| $ 及 $ \left\|\frac{\zeta_0}{\sqrt{\gamma-1}}\right\| $ 的正常数 $ C_{22}>0 $, 使得

$\begin{equation}\label{2.44} \| \xi(t) \|^2 + \int_0^t \| \xi(\tau) \|_1^2 \text{d}\tau \leq C_{22} \left( \| \xi_0 \|^2 + \delta^{\frac{1}{4}} \right), \forall t\in[T]. \end{equation}$

证 将 (2.1)$ _4 $ 式乘以 $ \xi $ 得到

$\begin{eqnarray*} && \left( \rho \frac{\xi^2}{2} \right)_t + \frac{\theta}{\rho} \xi_x^2 + \theta \xi^2 (\xi^2 + 2) \\ &=& \left( \frac{\theta}{\rho} \xi\xi_x - \rho u \frac{\xi^2}{2} \right)_x + \xi \xi_x \left( \frac{\theta(\varphi_x + \widetilde{\rho}_x)}{\rho^2} - \frac{\zeta_x + \widetilde{\theta}_x}{\rho} \right)\\ && +\xi\left(\frac{\zeta}{\rho}\widetilde{\chi}_{xx}-(\rho\psi+\varphi\widetilde{u})\widetilde{\chi}_x-\frac{\varphi\widetilde{\theta}}{\rho\widetilde{\rho}}\widetilde{\chi}_{xx}-\zeta(\widetilde{\chi}^3-\widetilde{\chi})\right)-3\theta\xi ^2(\widetilde{\chi}^2-1)-3\theta\widetilde{\chi}\xi^3. \end{eqnarray*}$

上述恒等式在 $ [0,t]\times\mathbb{R}^+ $ 上关于 $ t $ 和 $ x $ 进行积分, 并利用边界条件 (2.2)$_2 $ 有

$\begin{aligned}\label{2.45} && \int_{\mathbb{R}^+} \rho \frac{\xi^2}{2} \text{d}x + \int_0^t \int_{\mathbb{R}^+} \left[ \frac{\theta}{\rho} \xi_x^2 + \theta \xi^2 (\xi^2 + 2) \right] \text{d}x\text{d}\tau\nonumber\\ &=& \int_{\mathbb{R}^+} \rho_0 \frac{\xi_0^2}{2} \text{d}x + \int_0^t \int_{\mathbb{R}^+} \xi \xi_x \left( \frac{\theta(\varphi_x + \widetilde{\rho}_x)}{\rho^2} - \frac{\zeta_x + \widetilde{\theta}_x}{\rho} \right) \text{d}x\text{d}\tau \\ && + \int_0^t \int_{\mathbb{R}^+} \biggl[ \xi\left(\frac{\zeta}{\rho}\widetilde{\chi}_{xx}-(\rho\psi+\varphi\widetilde{u})\widetilde{\chi}_x-\frac{\varphi\widetilde{\theta}}{\rho\widetilde{\rho}}\widetilde{\chi}_{xx}-\zeta(\widetilde{\chi}^3-\widetilde{\chi})\right)-3\theta\xi ^2(\widetilde{\chi}^2-1)-3\theta\widetilde{\chi}\xi^3 \biggr] \text{d}x\text{d}\tau\nonumber\\ :&=& \int_{\mathbb{R}^+} \rho_0 \frac{\xi_0^2}{2} \text{d}x +\sum_{i=7}^8.\nonumber \end{aligned}$

根据 Young 不等式, Sobolev 不等式, Cauchy 不等式, Hölder 不等式, (2.6) 式, 引理 2.1 及引理 2.4, 有

$\begin{aligned}\label{2.46} && I_7+I_8\nonumber\\ &\leq& \frac{1}{4} \int_0^t \int_{\mathbb{R}^+} \frac{\theta}{\rho} \xi_x^2 \text{d}x\text{d}\tau + C \int_0^t \int_{\mathbb{R}^+} | (\varphi_x, \zeta_x, \widetilde{\rho}_x, \widetilde{\theta}_x) |^2 \xi^2 \text{d}x\text{d}\tau + C \int_0^t \int_{\mathbb{R}^+} \xi^4 \text{d}x\text{d}\tau\nonumber\\ && + C \int_0^t \int_{\mathbb{R}^+} | (\widetilde{\chi}_x, \widetilde{\chi}_{xx}, \widetilde{\chi} - 1) |^2 | (\varphi, \psi, \zeta, \xi) |^2 \text{d}x\text{d}\tau + \frac{1}{4} \int_0^t \int_{\mathbb{R}^+} \theta \xi^2 (\xi^2 + 2) \text{d}x\text{d}\tau\nonumber \\ &\leq& \frac{1}{4} \int_0^t \int_{\mathbb{R}^+} \theta \xi^2 (\xi^2 + 2) \text{d}x\text{d}\tau + \left( \frac{1}{4} + C \delta \right) \int_0^t \int_{\mathbb{R}^+} \frac{\theta}{\rho} \xi_x^2 \text{d}x\text{d}\tau\nonumber\\ && + C \delta\int_0^t (\varphi(\tau,0)^2+\|(\varphi_x,\psi_x,\zeta_x)(\tau)\|^2)\text{d}\tau + C \int_0^t \| \xi (\tau) \| \| \xi_x (\tau) \| \| (\varphi_x, \zeta_x, \xi) (\tau) \|^2 \text{d}\tau \nonumber\\ &\leq& \frac{1}{4} \int_0^t \int_{\mathbb{R}^+} \theta \xi^2 (\xi^2 + 2) \text{d}x\text{d}\tau + \left( \frac{1}{2} + C \delta \right) \int_0^t \int_{\mathbb{R}^+} \frac{\theta}{\rho} \xi_x^2 \text{d}x\text{d}\tau+ C \delta N_1^2 \nonumber\\ && + C \sup_{t\in[T]}\{\| (\varphi_x, \xi) (t) \|^2 \}\int_0^t \| \xi (\tau) \|^2 \| (\varphi_x, \xi) (\tau) \|^2 \text{d}\tau \\ && + C (\gamma-1)\sup_{t\in[T]}\left\{\left\| \frac{\zeta_x}{\sqrt{\gamma-1}} (t) \right\|^2 \right\} \int_0^t \| \xi (\tau) \|^2 \| \zeta_x (\tau) \|^2 \text{d}\tau \nonumber\\ &\leq& \left(\frac{1}{4}+C_{23}\sigma^4\right) \int_0^t \int_{\mathbb{R}^+} \theta \xi^2 (\xi^2 + 2) \text{d}x\text{d}\tau + \left( \frac{1}{2} + C_{24} \delta \right) \int_0^t \int_{\mathbb{R}^+} \frac{\theta}{\rho} \xi_x^2 \text{d}x\text{d}\tau+ C \delta^\frac{1}{4}\delta^\frac{3}{4} N_1^2 \nonumber\\ && + C \sup_{t\in[T]}\{\| \varphi_x (t) \|^2 \}\int_0^t \| \xi (\tau) \|^2 \| \varphi_x (\tau) \|^2 \text{d}\tau+ C (\gamma-1) N_1^2\int_0^t \| \xi (\tau) \|^2 \| \zeta_x (\tau) \|^2 \text{d}\tau.\nonumber \end{aligned}$

将 (2.46) 式代入到 (2.45) 式, 应用 (2.6) 式, 推论 2.1, 并且注意到如果 $ \gamma-1 $, $ \sigma $ 和 $ {\delta} $ 足够小, 使得

$ C_{23}\sigma^4<\frac{1}{2}, C_{24} \delta<\frac{1}{2}, \delta^\frac{3}{4} N_1^2<1, (\gamma-1) N_1^2<1, $

则

$\begin{aligned} && \int_{\mathbb{R}^+} \rho \frac{\xi^2}{2} \text{d}x + \int_0^t \int_{\mathbb{R}^+} \left[ \frac{\theta}{\rho} \xi_x^2 + \theta \xi^2 (\xi^2 + 2) \right] \text{d}x\text{d}\tau\nonumber\\ &\leq& C \| \xi_0 \|^2 + C \delta^\frac{1}{4} + CC_{21}\int_0^t \| \xi (\tau) \|^2 \| \varphi_x(\tau) \|^2 \text{d}\tau+ C\int_0^t \| \xi (\tau) \|^2 \| \zeta_x (\tau) \|^2 \text{d}\tau.\nonumber \end{aligned}$

应用 Gronwall 不等式和推论 2.1, 可知 (2.44) 式成立. 引理 2.5 证毕.

引理 2.6 假设 $ M_+\neq 1 $, 并且命题 2.2 的条件成立, 则存在一个仅依赖于 $ \underline{V},\overline{V},\underline{\Theta},\overline{\Theta} $, $ \|\varphi_0\|_1,\|\psi_0\| $, $ \|\xi_0\| $ 及 $ \left\|\frac{\zeta_0}{\sqrt{\gamma-1}}\right\| $ 的正常数 $ C_{25}>0 $, 使得

$\begin{equation}\label{2.47} \| \psi_x(t) \|^2 + \int_0^t \| \psi_{xx}(\tau) \|^2 \text{d}\tau \leq C_{25} \left(\|(\varphi_0,\psi_0)\|_1^2+\left\|\left(\frac{\zeta_0}{\sqrt{\gamma-1}},\xi_0\right)\right\|^{2}+1\right), \forall t\in[T]. \end{equation}$

证 将 (2.1)$_2$ 式乘以 $-\frac{\psi_{xx}}{\rho}$, 得到

\begin{eqnarray*} \left( \frac{\psi_x^2}{2} \right)_t + \frac{\psi_{xx}^2}{\rho} &=& (\psi_t \psi_x)_x + u \psi_x \psi_{xx} + R \frac{\psi_{xx}}{\rho} \left( \widetilde{\rho}_x \zeta + \varphi \widetilde{\theta}_x + \varphi_x \theta + \rho \zeta_x \right) \\ && + \frac{1}{2} (\zeta \xi_x^2)_x \frac{\psi_{xx}}{\rho} + \frac{(\rho \psi + \varphi \widetilde{u}) \psi_{xx}}{\rho} \widetilde{u}_x - g \frac{\psi_{xx}}{\rho}. \end{eqnarray*}

将上述恒等式在 $[0,t] \times \mathbb{R}^+$上积分, 有

$\begin{aligned}\label{2.48} && \int_{\mathbb{R}^+} \frac{\psi_x^2}{2} \text{d}x + \int_0^t \int_{\mathbb{R}^+} \frac{\psi_{xx}^2}{\rho} \text{d}x \text{d}\tau\nonumber \\ &=& \int_{\mathbb{R}^+} \frac{\psi_{0x}^2}{2} \text{d}x + \int_0^t \int_{\mathbb{R}^+} \frac{\psi_{xx}}{\rho} \left[ R \left( \widetilde{\rho}_x \zeta + \varphi \widetilde{\theta}_x + \varphi_x \theta + \rho \zeta_x \right) + \rho u \psi_x + (\rho \psi + \varphi \widetilde{u}) \widetilde{u}_x \right] \text{d}x \text{d}\tau \nonumber \\ && + \int_0^t \int_{\mathbb{R}^+} \left[ \left( \frac{1}{2} (\zeta \xi_x^2)_x - g \right) \right] \frac{\psi_{xx}}{\rho} \text{d}x \text{d}\tau \\ :&=& \int_{\mathbb{R}^+} \frac{\psi_{0x}^2}{2} \text{d}x + I_9 + I_{10}.\nonumber \end{aligned}$

根据 Sobolev 不等式, Cauchy 不等式, (2.6) 式, Hölder 不等式, 引理 2.1, 推论 2.1 及引理 2.4, 可以得到下列估计

$\begin{aligned}\label{2.49} I_9 &\leq& \frac{1}{8} \int_0^t \int_{\mathbb{R}^+} \frac{\psi_{xx}^2}{\rho} \text{d}x \text{d}\tau + C \int_0^t\|\psi_{x}(\tau)\|_{L^\infty}^2 \|\psi(\tau)\|^2\text{d}\tau+ C \int_0^t \left[ \varphi^2(\tau, 0) + \| (\varphi_x, \psi_x, \zeta_x)(\tau) \|^2 \right] \text{d}\tau\nonumber\\ &\leq& \frac{1}{4} \int_0^t \int_{\mathbb{R}^+} \frac{\psi_{xx}^2}{\rho} \text{d}x \text{d}\tau + C\int_0^t \left[ \varphi^2(\tau, 0) + \| (\varphi_x, \psi_x, \zeta_x)(\tau) \|^2 \right] \text{d}\tau, \end{aligned}$

以及

$\begin{aligned}\label{2.50} I_{10} &\leq& \frac{1}{8} \int_0^t \int_{\mathbb{R}^+} \frac{\psi_{xx}^2}{\rho} \text{d}x \text{d}\tau + C\delta \int_0^t \| (\zeta_x,\xi_x, \xi_{xx})(\tau) \|^2 \text{d}\tau \\ && + C \int_0^t \left[ \| \zeta_x(\tau) \|^2 (\| \xi_x(\tau) \|_{L^\infty}^4+\| \xi_x(\tau) \|_{L^\infty}^2) + \| \zeta(\tau) \|_{L^\infty}^2 \| \xi_x(\tau) \|_{L^\infty}^2 \| \xi_{xx}(\tau) \|^2\right.\nonumber \\ && \left. + \| (\xi_x, \xi_{xx})(\tau) \|^2 \| \xi_x(\tau) \|_{L^\infty}^2 + \| \zeta(\tau) \|_{L^\infty}^2 \| (\xi_x, \xi_{xx})(\tau) \|^2 \right] \text{d}\tau \nonumber\\ &\leq& \frac{1}{8} \int_0^t \int_{\mathbb{R}^+} \frac{\psi_{xx}^2}{\rho} \text{d}x \text{d}\tau + C \delta (N_1^2 + N_2^2) + C (\gamma - 1) N_1^2 N_2^4 + C N_2^3 \sigma.\nonumber \end{aligned}$

将 (2.49) 和 (2.50) 式代入 (2.48) 式中, 应用推论 2.1, 并选取 $\gamma - 1, \sigma$ 和 $\delta$ 足够小, 使得

$\begin{equation}\label{2.51} \delta (N_1^2 + N_2^2) < 1, \quad (\gamma - 1)N_1^2 N_2^4 < 1, \quad N_2^3 \sigma< 1, \end{equation}$

进而得到 (2.47) 式. 引理 2.6 证毕.

引理 2.7 假设 $ M_+\neq 1 $, 并且 命题 2.2 的条件成立, 则存在一个仅依赖于 $ \underline{V},\overline{V},\underline{\Theta},\overline{\Theta} $, $ \|\varphi_0\|_1,\|\psi_0\|_1 $, $ \|\xi_0\| $ 及 $ \left\|\frac{\zeta_0}{\sqrt{\gamma-1}}\right\| $ 的正常数 $ C_{26}>0 $, 使得

$\begin{equation}\label{2.52} \left\| \frac{\zeta_x}{\sqrt{\gamma-1}}(t) \right\|^2 + \int_0^t \| \zeta_{xx}(\tau) \|^2 \text{d}\tau \leq C_{26} \left(\left\|\left(\varphi_0,\psi_0,\frac{\zeta_0}{\sqrt{\gamma-1}}\right)\right\|_1^{2}+\|\xi_0\|^2+1\right),\forall t\in[T]. \end{equation}$

证 将 (2.1)$_3$ 式乘以 $-\frac{\zeta_{xx}}{\rho}$, 然后在 $[0,t] \times \mathbb{R}^+$ 上积分, 并利用边界条件 (2.2)$ _2 $,Sobolev 不等式, Hölder 不等式, Cauchy 不等式, 推论 2.1, 引理 2.1, 引理 2.4 及 (2.6) 式, 可得到

$\begin{aligned}\label{2.53} && \frac{C_v}{2} \int_{\mathbb{R}^+} \zeta_x^2 \text{d}x + \int_0^t \int_{\mathbb{R}^+} \frac{\zeta_{xx}^2}{\rho} \text{d}x \text{d}\tau\nonumber \\ &=& \frac{C_v}{2} \int_{\mathbb{R}^+} \zeta_{0x}^2 \text{d}x + \int_0^t \int_{\mathbb{R}^+} \biggl[ C_v \rho u \zeta_x + P \psi_x + \frac{\theta}{2} \psi_x \xi_x^2 - \psi_x^2 \nonumber\\ && + C_v (\rho \psi + \varphi \widetilde{u}) \widetilde{\theta}_x + (P - \widetilde{P})\widetilde{u}_x - h \biggr] \frac{\zeta_{xx}}{\rho} \text{d}x \text{d}\tau \nonumber\\ &\leq& C\left\|\frac{\zeta_{0x}}{\sqrt{\gamma-1}}\right\|^2 + \frac{1}{4} \int_0^t \int_{\mathbb{R}^+} \frac{\zeta_{xx}^2}{\rho} \text{d}x \text{d}\tau + C \int_0^t \left[ \varphi^2(\tau, 0) + \| (\varphi_x, \psi_x, \zeta_x, \xi_x)(\tau) \|^2 \right]\text{d}\tau \nonumber\\ && + C \int_0^t\biggl[\|\psi(\tau)\|^2_{L^\infty}\|\zeta_{x}(\tau)\|^2+\|\psi_x(\tau)\|^2(\|\psi_{x}(\tau)\|_{L^\infty}^2+\|\xi_{x}(\tau)\|_{L^\infty}^4+\|\xi_{x}(\tau)\|_{L^\infty}^2)\nonumber\\ && +\|\xi_{x}(\tau)\|_{L^\infty}^2\|\xi_{x}(\tau)\|^2\biggr]\text{d}\tau\\ &\leq& C\left\|\frac{\zeta_{0x}}{\sqrt{\gamma-1}}\right\|^2 + \frac{1}{4} \int_0^t \int_{\mathbb{R}^+} \frac{\zeta_{xx}^2}{\rho} \text{d}x \text{d}\tau + C \int_0^t \left[ \varphi^2(\tau, 0) + \| (\varphi_x, \psi_x, \zeta_x, \xi_x, \psi_{xx})(\tau) \|^2 \right] \text{d}\tau \nonumber\\ && + C N_2^2 \left[ \left( \int_0^t \| \xi_x(\tau) \|^2 \text{d}\tau \right)^{\frac{1}{2}} \left( \int_0^t \| \xi_{xx}(\tau) \|^2 \text{d}\tau \right)^{\frac{1}{2}} + \int_0^t \| \xi_x(\tau) \|^2 \text{d}\tau \right] \nonumber\\ && + C \left( \int_0^t \| \xi_x(\tau) \|^2 \text{d}\tau \right)^{\frac{1}{2}} \left( \int_0^t \| \xi_{xx}(\tau) \|^2 \text{d}\tau \right)^{\frac{1}{2}}\nonumber\\ &\leq& C\left\|\frac{\zeta_{0x}}{\sqrt{\gamma-1}}\right\|^2 + \frac{1}{4} \int_0^t \int_{\mathbb{R}^+} \frac{\zeta_{xx}^2}{\rho} \text{d}x \text{d}\tau + C N_2^3 \sigma\nonumber\\ &&+ C \int_0^t \left[ \varphi^2(\tau, 0) + \| (\varphi_x, \psi_x, \zeta_x, \xi_x, \psi_{xx})(\tau) \|^2 \right] \text{d}\tau.\nonumber \end{aligned}$

选取 $\sigma$ 足够小, 使得

$\begin{equation}\label{2.54} N_2^3 \sigma < 1, \end{equation}$

并应用推论 2.1 和引理 2.5-2.6, 可得 (2.52) 式. 引理 2.7 证毕.

引理 2.8 假设 $ M_+\neq 1 $, 并且命题 2.2 的条件成立, 则存在一个仅依赖于 $ \underline{V},\overline{V},\underline{\Theta},\overline{\Theta} $, $ \|\varphi_0\|_1,\|\psi_0\|_1 $, $ \|\xi_0\| $ 及 $ \left\|\frac{\zeta_0}{\sqrt{\gamma-1}}\right\|_1 $ 的正常数 $ C_{27}>0 $, 一个仅依赖于 $ \underline{V},\overline{V},\underline{\Theta},\overline{\Theta} $, $ \|\varphi_0\|_1,\|\psi_0\|_1 $, $ \|\xi_0\|_1 $ 及 $ \left\|\frac{\zeta_0}{\sqrt{\gamma-1}}\right\|_1 $ 的正常数 $ C_{28}>0 $, 使得对 $ \forall\,t\in[T] $,

$\begin{aligned} &&\|\xi_x(t)\|^2+\int_0^t\|\xi_{xx}(\tau)\|^2\text{d}\tau \leq C_{27}\left(\left\|\left(\varphi_0,\psi_0,\frac{\zeta_0}{\sqrt{\gamma-1}}\right)\right\|_1^{2}+\|\xi_0\|_1^2+1\right),\label{2.55}\\ &&\|\xi_{xx}(t)\|^2+\int_0^t\|\xi_{xxx}(\tau)\|^2\text{d}\tau \leq C_{28}\left(\left\|\left(\varphi_0,\psi_0,\frac{\zeta_0}{\sqrt{\gamma-1}}\right)\right\|_1^{2}+\|\xi_0\|_2^2+1\right).\label{2.56} \end{aligned}$(2.55)

证 将 (2.1)$_4$ 乘以 $-\frac{\xi_{xx}}{\rho}$, 然后将所得等式在 $[0,t]\times\mathbb{R}^{+}$ 上积分, 并利用边界条件 (2.2)$ _2 $, 我们有

$\begin{aligned}\label{2.57} && \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^+}\xi_x^2\text{d}x + \int_0^t\int_{\mathbb{R}^+}\frac{\theta\xi_{xx}^2}{\rho^2}\text{d}x\text{d}\tau \nonumber \\ &=& \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^+}\xi_{0x}^2\text{d}x + \int_0^t\int_{\mathbb{R}^+}\left(\rho u\xi_x+\theta\xi[\xi^2+(3\widetilde{\chi}^2-1)+3\widetilde{\chi}\xi]+\zeta(\widetilde{\chi}^3-\widetilde{\chi})\right)\frac{\xi_{xx}}{\rho}\text{d}x\text{d}\tau \nonumber \\ && - \int_0^t\int_{\mathbb{R}^+}\left(\frac{\zeta}{\rho}\widetilde{\chi}_{xx}-(\rho\psi+\widetilde{u}\varphi)\widetilde{\chi}_x-\frac{\widetilde{\theta}\varphi}{\rho\widetilde{\rho}}\widetilde{\chi}_{xx}\right)\frac{\xi_{xx}}{\rho}\text{d}x\text{d}\tau \\ :&=& \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^+}\xi_{0x}^2\text{d}x + I_{11} + I_{12}. \nonumber \end{aligned}$

相似于引理 2.6-2.7, 我们应用 Cauchy 不等式, Sobolev 不等式, Hölder 不等式, 推论 2.1 和先验假设 (2.6), 容易推导出

$\begin{equation}\label{2.58} |I_{11}|+|I_{12}| \leq\frac{1}{4}\int_0^t\int_{\mathbb{R^+}}\frac{\theta\xi _{xx}^2}{\rho^2}\text{d}x\text{d}\tau+C\delta \int_0^t\varphi^2(\tau,0)\text{d}\tau+C\int_0^t\|(\zeta_x,\varphi_x,\psi_{x},\xi,\xi _{x})(\tau)\|^2\text{d}\tau. \end{equation}$

将 (2.58) 式代入 (2.57) 式, 并利用推论 2.1 及引理 2.5-2.7, 我们可以得到 (2.55) 式.

此外, 将 $ (2:1)_{4x} $ 乘以 $ -\frac{\xi_{xxx}}{\rho} $, 然后将所得等式在 $ [0,t]\times\mathbb{R}^{+} $ 上积分, 并利用边界条件 $ (2.2)_2 $, 我们得到

$\begin{aligned}\label{2.59} && \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^+}\xi_{xx}^2\text{d}x + \int_0^t\int_{\mathbb{R}^+}\frac{\theta\xi_{xxx}^2}{\rho^2}\text{d}x\text{d}\tau \nonumber \\ &=& \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^+}\xi_{0xx}^2\text{d}x + \int_0^t\int_{\mathbb{R}^+}\biggl((\widetilde{\rho}_x+\varphi_x)(\xi_t+u\xi_x+\frac{\theta\xi_{xx}}{\rho^2})+\rho u\xi_{xx}-\frac{(\widetilde{\theta}_x+\zeta_x)\xi_{xx}}{\rho} \nonumber \\ && -\rho (\psi_x+\widetilde{u}_x)\xi_{x}\biggr)\frac{\xi_{xxx}}{\rho}\text{d}x\text{d}\tau - \int_0^t\int_{\mathbb{R}^+}\left(\frac{\zeta}{\rho}\widetilde{\chi}_{xx}-(\rho\psi+\widetilde{u}\varphi)\widetilde{\chi}_x-\frac{\widetilde{\theta}\varphi}{\rho\widetilde{\rho}}\widetilde{\chi}_{xx}\right)_x\frac{\xi_{xxx}}{\rho}\text{d}x\text{d}\tau \nonumber \\ && + \int_0^t\int_{\mathbb{R}^+}\left(\theta\xi[\xi^2+(3\widetilde{\chi}^2-1)+3\widetilde{\chi}\xi]+\zeta(\widetilde{\chi}^3-\widetilde{\chi})\right)_x\frac{\xi_{xxx}}{\rho}\text{d}x\text{d}\tau \\ :&=& \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^+}\xi_{0x}^2\text{d}x + I_{13} + I_{14} + I_{15}. \nonumber \end{aligned}$

由 (2.1)$_4$ 式, Cauchy 不等式, Sobolev 不等式, 推论 2.1, 引理 2.5-2.7, (2.55) 式和引理 2.1, 我们有

$\begin{aligned}\label{2.60} |I_{13}| &\leq& \frac{1}{8}\int_0^t\int_{\mathbb{R}^+}\frac{\theta\xi_{xxx}^2}{\rho^2}\text{d}x\text{d}\tau + C\delta\int_0^t\varphi^2(\tau,0)\text{d}\tau + C\int_0^t\|(\zeta_x,\varphi_x,\psi_{x},\xi_x,\xi_{xx})(\tau)\|^2\text{d}\tau \nonumber \\ && + C\int_0^t\int_{\mathbb{R}^+}\left[\varphi_x^2(\varphi^2+\zeta^2+\psi^2+\xi^2+\xi_{x}^2+\xi_{xx}^2)+\zeta_x^2\xi_{xx}^2+\psi_x^2\xi_x^2\right] \text{d}x\text{d}\tau \\ &\leq& \frac{1}{8}\int_0^t\int_{\mathbb{R}^+}\frac{\theta\xi_{xxx}^2}{\rho^2}\text{d}x\text{d}\tau + C\int_0^t\varphi^2(\tau,0)\text{d}\tau + C\int_0^t\|(\zeta_x,\varphi_x,\psi_{x},\xi_x,\xi_{xx})(\tau)\|^2\text{d}\tau \nonumber \\ && + C\int_0^t\left(\|(\varphi_x,\zeta_x)(\tau)\|^2\|(\zeta,\varphi,\psi,\xi,\xi_x,\xi_{xx})(\tau)\|^2_{L^\infty}+\|\psi_x(\tau)\|^2\|\xi_x(\tau)\|^2_{L^\infty}\right) \text{d}\tau\nonumber \\ &\leq& \frac{1}{4}\int_0^t\int_{\mathbb{R}^+}\frac{\theta\xi_{xxx}^2}{\rho^2}\text{d}x\text{d}\tau + C\int_0^t\left(\varphi^2(\tau,0)+\|(\zeta_x,\varphi_x,\psi_{x},\xi_x,\xi_{xx})(\tau)\|^2\right)\text{d}\tau. \nonumber \end{aligned}$

类似地, 我们也可以得到

$\begin{aligned}\label{2.61} && |I_{14}|+|I_{15}| \leq \frac{1}{4}\int_{0}^{t}\int_{\mathbb{R}^{+}}\frac{\theta \xi_{xxx}^{2}}{\rho^{2}}\text{d}x\text{d}\tau+C\int_{0}^{t}\big{(}\varphi^{2}(\tau,0)+\|( \zeta_{x},\varphi_{x},\psi_{x},\xi_{x})(\tau)\|^{2}\big{)} \text{d}\tau. \end{aligned}$

将 (2.60)-(2.61) 式代入 (2.59) 式, 应用推论 2.1 和引理 2.5-2.7, 我们可以得到 (2.56) 式. 引理 2.8 证毕.

现在我们来证明命题 2.2.

命题 2.2 的证明 在已有上述引理和推论的基础上, 我们分别在 (2.35)-(2.37) 式中给出 $ \widetilde{\Xi}_i(m_1^{-1}, M_1;\underline{V},\overline{V},\underline{\Theta},\overline{\Theta}), i=1,2,3 $ 的定义, 令

$\begin{aligned}\Xi_{1}\left(m_{1}^{-1}, M_{1} ; \underline{V}, \bar{V}, \underline{\Theta}, \bar{\Theta}\right):= & \widetilde{\Xi}_{1}\left(m_{1}^{-1}, M_{1} ; \underline{V}, \bar{V}, \underline{\Theta}, \bar{\Theta}\right)+C_{6}\left(m_{1}^{-1}, M_{1} ; \underline{\Theta}, \bar{\Theta}\right)+C_{7}(\underline{\Theta}, \bar{\Theta}) \\& +C_{20}\left(m_{1}^{-1}, M_{1}\right)+2 C_{24},\end{aligned}$
$\Xi_{2}\left(m_{1}^{-1}, M_{1} ; \underline{V}, \bar{V}, \underline{\Theta}, \bar{\Theta}\right):=\widetilde{\Xi}_{2}\left(m_{1}^{-1}, M_{1} ; \underline{V}, \bar{V}, \underline{\Theta}, \bar{\Theta}\right),$
$\Xi_{3}\left(m_{1}^{-1}, M_{1} ; \underline{V}, \bar{V}, \underline{\Theta}, \bar{\Theta}\right):=\widetilde{\Xi}_{3}\left(m_{1}^{-1}, M_{1} ; \underline{V}, \bar{V}, \underline{\Theta}, \bar{\Theta}\right)+C_{8}(\underline{\Theta}, \bar{\Theta})+2 C_{23},$

其中常数 $ C_6(m_1^{-1},M_1;\underline{\Theta},\overline{\Theta})$, $ C_7(\underline{\Theta},\overline{\Theta}) $ 和 $ C_8(\underline{\Theta},\overline{\Theta}) $ 在引理 2.2 的证明中给出, $ C_{20}(m_1^{-1},M_1) $ 由(2.42) 式给出, $ C_{23} $ 和 $ C_{24} $ 由引理 2.5 的证明给出. 由于 $ \widetilde{\Xi}_i(m_1^{-1},M_1;\underline{V},\overline{V}, \underline{\Theta},\overline{\Theta})(i=1,2,3)$, $ C_6(m_1^{-1},M_1;\underline{V},\overline{V})$ 及 $ C_{20} (m_1^{-1},M_1)$ 关于 $m_1^{-1}$ 和 $ M_1 $ 均为递增函数, 故 (2.62)-(2.64) 式中定义的函数 $\Xi_i (m_1^{-1},M_1;\underline{V},\overline{V},\underline{\Theta},\overline{\Theta})(i=1,2,3)$ 关于 $m_1^{-1}$ 和 $ M_1 $ 也均为递增函数. 因此, 对于非退化情形 $M_+ \neq 1$, 若 $\gamma-1$, $\delta$ 以及 $\sigma$ 充分小, 使得 (2.7) 式成立, 那么引理 2.2-2.8 和推论 2.1 中列出的所有关于 $\gamma-1$, $\delta$ 以及 $\sigma$ 的条件都将满足. 由此, 这些引理和推论的所有结论都成立. 进而, 对所有 $t \in [T]$, 估计 (2.8)-(2.11) 式可直接由引理 2.2-2.8 和推论 2.1 推出. 命题 2.2 证毕.

参考文献

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