本文研究二维 Grushin 算子的 Dirichlet 特征值问题

其中

为由 Grushin 向量场 $X=(X_1,X_2)=(\partial_{x_{1}}, x_{1}\partial_{x_{2}})$ 生成的 Hörmander 型平方和算子 (也称为 Grushin 算子), $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^2$ 中的有界开集, $H_{X,0}^1(\Omega)$ 为向量场 $X$ 生成的广义 Sobolev 空间. 由文献 [14,21,29] 中的次椭圆估计和 Friedrichs-Poincaré 型不等式易知 Grushin 算子 $-\triangle_X$ 在 $\Omega$ 上存在一列离散的 Dirichlet 特征值 $\{\lambda_k\}_{k=1}^{\infty}$, 其满足 $0<\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_k\leq \cdots$ 且

特征值问题是偏微分方程谱理论领域中的重要前沿课题, 其与物理学中的黑体辐射、量子跃迁、电磁散射、系统能谱等物理问题都有着密切的联系. 在数学上,特征值刻画了算子的基本特性以及流形的几何和拓扑性质, 并在非线性偏微分方程、反散射理论、谱方法的数值分析、湍流等其他数学分支中有着重要的应用. 同时,与特征值问题紧密相关的一系列反问题广泛应用于雷达与声呐、医学成像、地质勘探、无损探测等许多实际领域.

由 (1.2) 式可引出一个自然的问题: 当 $k\to+\infty$时,特征值 $\lambda_k$ 具备怎样的渐近行为? 对于经典的 Laplace 算子 $\triangle=\partial_{x_{1}}^2+\partial_{x_{2}}^2$, Weyl 在 1911年的开创性工作^[32]中给出了如下的 Weyl 法则 (Weyl's Law):

其中 $|\Omega|$ 表示有界区域的 2 维 Lebesgue 测度, $N(\lambda):=\#\{k|\lambda_k\leq \lambda\}$ 表示谱计数函数. 渐近式 (1.3) 等价于

其首项渐近式的系数刻画了区域 $\Omega$ 的 2 维 Lebesgue 测度 $|\Omega|$, 从而揭示了区域的体积是几何谱不变量. 继 Weyl 之后,多位杰出数学家如 Courant、Levitan、Hörmander、Singer、Guillemin、Seeley、Ivrii、Melrose、Safarov 等相继在椭圆算子特征值的渐近分析上做出了一系列杰出的结果,见文献[16,17,22-26,30,31]. 随着特征值问题的研究所产生的新理论和新方法极大地促进了微局部分析、半经典分析、几何分析等数学领域的发展.

在 1967 年, Hörmander 在研究退化椭圆算子亚椭圆性的过程中提出了下面的条件

定义 1.1 (Hörmander 条件, 见文献 [21]) 设 $W$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的开集, $X=(X_{1},\cdots,X_{m})$ 为定义在 $W$ 上的光滑实向量场. 对多重指标 $I=(j_{1},\cdots,j_{k})$ (其中 $1\leq j_{i}\leq m$), 记其长度为 $|I|=k$, 则向量场 $X$ 对应的 $k$ 阶交换子为$X_{I}=[X_{j_{1}},[X_{j_{2}},\cdots[X_{j_{k-1}},X_{j_{k}}]\cdots]]. $若存在一个最小的正整数 $r$, 使得$ \text{span}_{|I|\leq r}\{X_{I}(x)\}=T_{x}(W), \forall x\in W, $则称向量场 $X$ 在 $W$ 上满足 Hörmander 条件. 这里的使得 Hörmander 条件成立的最小正整数 $r$ 称之为向量场 $X$ 在 $W$上的 Hörmander 指标. 满足 Hörmander 条件的向量场称为Hörmander 向量场或有限阶退化的向量场.

注 1.1 Hörmander 条件可用 Lie 代数的语言来描述,即

此处 $\text{Lie}(X)$ 为 $\mathcal{X}(W)$ 中最小的 Lie 子代数且其包含元素 $X= (X_{1},\cdots,X_{m})$, $\mathcal{X}(W)$ 为 $W$ 上所有光滑实向量场集合, 同时也是 $\mathbb{R}$ 上的向量空间.

Hörmander 的开创性工作^[21]建立了著名的亚椭圆性定理, 揭示了 Hörmander 条件是这类由向量场 $X$ 生成的二阶退化椭圆算子 $\mathcal{L}=\sum_{j=1}^{m}X_{j}^2 $ 具备亚椭圆性的充分条件. 这类算子后来被称为 Hörmander 型退化椭圆算子.

Hörmander 算子的相关理论在诸多数学领域展现出极大地重要性. 在偏微分方程领域, Hörmander 的亚椭圆性定理为研究弱解的正则性和先验估计提供了强有力的工具; 在随机微分方程领域, 尤其是在 Malliavin 随机分析中, Hörmander 条件确保了扩散过程的光滑性, 从而推动了随机动力系统理论在金融数学、物理学和生物系统随机建模中的广泛应用. 在次黎曼几何中, Hörmander 算子涵盖了次黎曼流形上的 sub-Laplace 算子, 为研究由非完整分布定义的次黎曼结构 (如 Heisenberg 群和分层 Lie 群) 提供了重要工具. 同时, Hörmander 条件在几何上也称为 Chow-Rashevskii 条件, 对次黎曼流形上的测地 Hamiltonian 流和切触几何上的 Reeb 向量场的研究具有重要意义. 此外, 在复几何中, Hörmander 算子与 $\bar{\partial}$-Neumann 算子及 Cauchy-Riemann 流形的研究密切相关,充分展现了其丰富的理论价值.

本文研究的二维 Grushin 向量场 $X=(X_1,X_2)=(\partial_{x_1},x_1\partial_{x_2})$ 属于一类特殊的 Hörmander 向量场, 其满足额外的齐性性质. 具体而言, 有如下定义

定义 1.2 (齐次 Hörmander 向量场, 见文献 [2]) 设 $X=(X_1,\cdots,X_m)$ 为定义在 $\mathbb{R}^n$ 上的光滑实向量场且满足如下的假设

(H1) 存在形如

的伸缩变换 (dilation), 使得 $X_{1},\cdots,X_{m}$ 都是$\delta_{t}$-齐 $1$ 次向量场, 即

这里 $1=\alpha_{1}\leq \alpha_{2}\leq\cdots\leq \alpha_{n}$ 为正整数.

(H2) 向量场 $X_{1},\cdots,X_{m}$ 作为线性微分算子在$\mathcal{X}(\mathbb{R}^n)$ (见注 1.1) 中是线性无关的, 且在原点

$0\in \mathbb{R}^{n}$ 处满足 Hörmander 条件, 即

满足 (H1) 和 (H2) 的光滑实向量场 $X=(X_1,\cdots,X_m)$ 称为 齐次 Hörmander 向量场. 此外, 正整数

称为齐性维数.

值得注意的是, 齐性条件 (H1) 结合原点 $0$ 处的 Hörmander 条件 (H2) 可推出 $X$ 在整个全空间 $\mathbb{R}^n$ 上满足 Hörmander 条件 (见文献 [13,命题 2.5]), 并且 Hörmander 指标 $r=\alpha_n$. 对于齐次 Hörmander 向量场, 其满足 $X_j^{*}=-X_j$, 此时

称为齐次 Hörmander 算子. 特别地, 对于二维 Grushin 向量场 $X=(X_1,X_2)=(\partial_{x_{1}},x_{1}\partial_{x_{2}})$ 而言, 其对应的伸缩变换为 $\delta_t(x)=(tx_1,t^2x_2)$, 齐性维数 $Q=3$.

自伴 Hörmander 算子 $\triangle_{X}=-\sum_{i=1}^{m}X_i^{*}X_{i}$ 的特征值问题早在上世纪 70 年代就引起了人们的广泛关注. 在 1976 年, 法国数学家 Métivier^[27]对 Hörmander 向量场 $X$ 提出了如下一致性假设:

定义 1.3 (Métivier 条件, 见文献 [27]) 对任意 $x\in W$, 记$V_{j}(x) (1\leq j\leq r)$ 为 $x$ 点处切空间 $T_{x}(W)$ 的一子空间, 其由长度不超过 $j$ 的向量场 $X_{1},\cdots,X_{m}$ 的交换子张成. 设 $\Omega\subset\subset W$ 为一有界开集, 如果在 $\overline{\Omega}$ 中的每一点 $x$ 的某一邻域内,维数 $\dim V_{j}(x)$ 为与点 $x$ 无关的常数 $\nu_{j}$, 则称 $X$ 在 $\Omega$ 上满足 Métivier 条件, 其对应的 Métivier 指标定义为

这里的 $\nu$ 也称为 $\Omega$ 关于向量场 $X$ 的 Hausdorff 维数 (或 齐性维数).

在这一更强的假设下, Métivier 首次建立了如下的渐近结果

命题 1.1 [27,定理 1.3] 假设 Hörmander 向量场 $X$ 进一步满足 Métivier 条件, 则自伴 Hörmander 算子 $\triangle_{X}=-\sum_{i=1}^{m}X_i^{*}X_{i}$在 $\Omega$ 上的 Dirichlet 特征值的谱计数函数 $N(\lambda)=\#\{k|\lambda_{k}\leq \lambda\}$ 满足

其中 $\gamma$ 是 $\Omega$ 上的严格正的连续函数, $\nu$ 为上面定义的 Métivier 指标. 渐近式 (1.7) 等价于

这里 $c$ 是依赖于 $\Omega$ 和 $X$ 的正常数.

渐近式 (1.8) 表明若 Hörmander 向量场 $X$ 进一步满足 Métivier 条件, 则 Dirichlet 特征值 $\lambda_{k}$ 将具有 $k^{\frac{2}{\nu}}$ 阶的增长速度.

值得指出的是, 尽管 Métivier 条件涵盖了许多 Hörmander 算子 (例如 Carnot 群上的 sub-Laplacian), 但这仍是一个适用性有限的假设. 在此假设下, 由向量场 $X_{1},X_{2},\cdots,X_{m}$ 生成的 Lie 代数具有等度正则 (equiregular) 结构,即其生成的各层子空间维数在流形上处处为常数 (结构逐点一致). 因此, 其退化点为正则的, 故在次黎曼几何领域 Métivier 条件也称为等度正则假设 (见文献 [1]).

然而, 在许多重要的退化方程中, Métivier 条件往往不再成立. 例如, 复几何中的弱拟凸 CR 流形,以及次黎曼几何中常见的 Grushin 算子和 Martinet 算子等, 都属于典型的非等度正则情形. 在这些情形下, Lie 代数各层向量空间的维数会在次黎曼流形上的某些特定点 (即奇异退化点) 处发生不连续的跳跃. 这类流形被称为非等度正则次黎曼流形. 特别需要注意的是, 在奇异退化点附近, 由 Hörmander 向量场诱导的几何结构失去了一致性, 此时 Métivier 的渐近公式可能不再适用.

在 1981 年, Fefferman-Phong^[18] 对紧无边流形上的二阶自伴次椭圆算子的闭特征值进行了研究, 他们证明了

对充分大的 $\lambda$ 成立, 其中 $C_1,C_2$ 为正常数, $\mu$ 为紧流形 $M$ 上的光滑测度, $B(x,r)$ 为次椭圆算子对应的 subunit 球. 然而,虽然他们的结果适用于 Métivier 条件不成立的情形, 但是即使是对于自伴 Hörmander 算子, 渐近式 (1.9) 中的抽象积分 $\int_{M}\frac{{\rm d}\mu}{\mu(B(x,\lambda^{-\frac{1}{2}}))}$ 仍无法给出特征值的显式阶. 此外, 渐近式 (1.9) 对 Dirichlet 特征值的适用性仍然不得而知. 关于一般自伴 Hörmander 算子的 Weyl 法则是一个长期悬而未决的公开问题.

近年来, 陈化教授和本文作者在非等度正则情形下对自伴 Hörmander 算子的特征值问题进行了一系列研究. 我们引入了如下的广义 Métivier 指标来刻画非等度正则情形下特征值的增长速度.

定义 1.4 (广义 Métivier 指标, 见文献 [12]) 假设 $ W$ 为 $\mathbb{R}^n$ 上的开集, 向量场 $X=(X_{1},\cdots,X_{m})$ 在 $W$ 上满足 Hörmander 条件, 其 Hörmander 指标为 $r$. 对 $W$ 中的任意一点 $x$, 令 $\nu_{j}(x)=\dim V_{j}(x)$, 则 $x$ 点处的 逐点齐性维数 $\nu(x)$ 定义如下

设 $\Omega\subset\subset W$ 为一开子集, 我们定义 $\tilde{\nu}$ 为 $\Omega$ 上的广义 Métivier 指标为

广义 Métivier 指标也称为 非各向同性维数 (non-isotropic dimension) (见文献 [33]). 借助该指标, 我们在 Dirichlet 特征值的渐近性方面得到了如下结果

命题 1.2^[12] 假设 $ W$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的开集, 向量场 $X=(X_{1},\cdots,X_{m})$ 在 $W$ 上满足 Hörmander 条件, $\Omega\subset\subset W$ 为一有界连通开集, 则在 $\overline{\Omega}$ 上存在一个非负的可测函数 $\gamma_{0}$, 其对任意的 $x\in \Omega$ 满足 $\gamma_{0}(x)>0$, 且有

这里 $H:=\{x\in \Omega | \nu(x)=\tilde{\nu}\}$ 是 $\Omega$ 的子集. 进一步可得

• 若 $|H|>0$, 有

• 若 $|H|=0$, 则有

由命题 1.2 可得如下推论.

推论 1.1 自伴 Hörmander 算子 $\triangle_{X}$ 在 $\Omega$ 上的 Dirichlet 特征值 $\lambda_k$ 具有渐近性 $\lambda_k \approx k^{\frac{2}{\tilde{\nu}}}$ ($k\to +\infty$) 当且仅当 $|H|>0$.

特别地, 当 Métivier 条件成立时, 有 $H=\Omega$, 从而 $|H|>0$. 这时, 渐近式 (1.13) 和 Métivier 的渐近公式 (1.8) 相一致, 这表明命题 1.2 推广了 Métivier^[27] 的渐近结果. 但是, 在 $|H|=0$ 的情形从 (1.14) 式只能得到 $\lambda_ {k}^{-1}=o(k^{-\frac{2}{\tilde{\nu}}})$. 一个自然的问题是, 在此情形下特征值究竟具有怎样的增长速度?

最近, 我们在文献 [13] 中对齐次 Hörmander 算子的 Dirichlet 特征值进行了研究. 在 $|H|=0$ 的情形, 我们证明了 Dirichlet 特征值 $\lambda_k\approx k^{\frac{2}{Q_0}} (\ln k)^{-\frac{2d_0}{Q_0}}$, 其中 $Q_0$ 是一正有理数, $d_0$ 为非负整数. 该结果表明, 退化椭圆算子的特征值问题相较于经典椭圆情形要复杂得多, 在 $|H|=0$ 的情形, 特征值可能呈现出不同于多项式的增长速度.

另一方面, 特征值的渐近行为刻画了流形的几何谱不变量. 对于经典 Laplace 算子, Weyl 法则表明区域的体积 $|\Omega|$ 和空间的维数均为几何谱不变量; 而对 Hörmander 算子, 推论 1.1 指出在 $|H|>0$ 时,广义 Métivier 指标是一个几何谱不变量. 这就引出一个自然的问题: 在 $|H|=0$ 的情形下, 何种几何量构成了谱不变量?

本文旨在通过建立二维 Grushin 算子的 Weyl 法则,对上述问题给出确切的刻画. 为此, 我们假设区域 $\Omega$ 的边界 $\partial\Omega$ 满足边界条件

条件 1(B) 对 $\mathbb{R}^2$ 中的一个有界开区域 $U$, 若 $m_1(\{x_2\in \mathbb{R}|(0,x_2)\in \partial U\})=0$, 则称 $\partial U$ 满足边界条件 (B), 这里 $m_1(E)$ 表示集合 $E$ 的一维 Lebesgue 测度.

现在我们给出我们的结果.

定理 1.1 假设 $X=(X_1,X_2)=(\partial_{x_{1}},x_{1}\partial_{x_{2}})$ 为二维 Grushin 型向量场, 且 $ \triangle_X=X_1^2+X_2^2$ 对应的 Grushin 型算子. 设 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^2$ 中的一个包含原点的有界开区域并满足条件 (B), 那么截面函数

在 $x_1=0$ 处是连续的, 其中 $\chi_{\Omega}$ 是特征函数. 此时,对于 Dirichlet 特征值问题 (1.1) 我们有 Weyl 法则

其等价于

注 1.2 对二维 Grushin 型向量场 $X=(X_1,X_2)=(\partial_{x_{1}},x_{1}\partial_{x_{2}})$, 集合 $H=\{x\in \Omega|\nu(x)=\tilde{\nu}\}=\{(0,x_2)|(x_1,x_2)\in \Omega\}$ 恰好是向量场 $X$ 在 $\Omega$上的奇异退化点集, 此时 $H$ 的二维 Lebesgue 测度 $|H|=0$, 集合 $s_{\Omega}(0)=m_1(\{x_2 \in \mathbb{R} \mid (x_1, x_2) \in \Omega\})$ 表示$H$ 在$x_2$轴上投影的一维 Lebesgue 测度. 因此, 渐近式 (1.17) 表明对于二维 Grushin 算子 $ \triangle_X=X_1^2+X_2^2$, 奇异退化点集 $H$ 在 $x_2$ 轴上投影的一维 Lebesgue 测度 $s_{\Omega}(0)$ 是几何谱不变量.

注 1.3 命题 1.2 对紧无边流形也成立, 见文献 [11]. 继文献 [13] 之后, 法国数学家 Colin de Verdiére-Hillairet-Trélat^[15] 对紧无边流形上的 Hörmander 算子的闭特征值的渐近性进行了研究, 他们在某种几何条件下得到了具备 $\log$ 项的 Weyl 型渐近式.

注 1.4 Dirichlet 热核的迹的渐近展开是建立 Dirichlet 特征值 Weyl 法则的关键, 对 Dirichlet 热核的估计涉及因 Dirichlet 边界条件产生的误差项 $E(x,y,t)$ 的积分估计 (见本文第 4.2 章), 这与紧无边流形的情形有着本质的不同. 此外, 边界条件 (B) 保证了截面函数 $s_{\Omega}(x_1)$ 在 $x_1=0$ 处的连续性, 这使得误差项 $E(x,y,t)$ 积分的阶具有小性, 从而为 Dirichlet 热核迹的渐近展开奠定了基础.

本文接下来的内容安排如下: 在第 2 节中, 我们介绍证明主要定理所需的 Hörmander 向量场理论; 在第 3 节中, 我们介绍齐次 Hörmander 算子的热核的相关性质并给出 Grushin 算子热核在对角情形下的展开式; 最后, 在第 4 节中, 我们将通过对 Dirichlet 热核的精细分析给出主要定理 1.1 的证明.

本节将介绍证明主要定理所需的 Hörmander 向量场理论. 关于该理论的更详细内容, 可参见文献 [7].

若光滑向量场 $X=(X_{1},\cdots,X_{m})$ 在$\mathbb{R}^n$ 上满足 Hörmander 条件

则其可以诱导一种 Carnot-Carathéodory 度量 (或称为 subunit 度量). 具体定义如下

定义 2.1 (Carnot-Carathéodory 度量, 见文献 [28]) 给定 $\delta>0$, $x,y\in \mathbb{R}^n$, 设 $\mathcal{C}(\delta,x,y)$ 是满足如下两个条件的映射集合

(i) $\varphi:[0,1]\to\mathbb{R}^n$ 为一绝对连续的曲线, 使得 $\varphi(0)=x, \varphi(1)=y$;

(ii) 对几乎处处的 $t\in[0,1]$, 有

其中 $\sum_{i=1}^{m}|a_{i}(t)|^2\leq \delta^2$ 对几乎处处的 $t\in[0,1]$ 成立.

则对任意 $x,y\in\mathbb{R}^n$, 我们定义其 Carnot-Carathéodory 度量 $d(x,y)$ 如下

Carnot-Carathéodory 度量和欧氏度量存在如下关系

命题 2.1 [7,定理 1.53] 设 $X=(X_1,\cdots,X_m)$ 为 $\mathbb{R}^n$ 上满足 Hörmander 条件的向量场, 其 Hörmander 指标为 $r$. 设 $d$ 为对应的 Carnot-Carathéodory 度量, 则对任意紧集 $K\subset\mathbb{R}^n$, 存在与 $K$ 相关的常数 $c_1,c_2>0$ 使得

由命题 2.1, 我们可以得到如下推论.

推论 2.1 令 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ 为一有界开区域, $x\in \Omega$, 并记 $d(x,\partial\Omega):=\inf_{y\in \partial\Omega}d(x,y)$ 和 $d_{E}(x, \partial\Omega):=\inf_{y\in \partial\Omega}|x-y|$ 分别表示 Carnot-Carathéodory 度量和欧式度量下点 $x$ 到边界的距离. 那么

其中 $c_1,c_2>0$ 是在命题 2.1 中给出的依赖于 $\overline{\Omega}$ 的常数.

证 设 $z\in\partial\Omega$ 满足 $ \inf_{y\in \partial\Omega}|x-y|=|x-z|$,则由命题 2.1 可知

另一方面, 我们有 $d(x,\partial\Omega)=\inf_{y\in \partial\Omega}d(x,y) \geq c_1\inf_{y\in \partial\Omega}|x-y|= c_1d_{E}(x, \partial\Omega)$.

在本文中, 我们记

为 Carnot-Carathéodory 度量形成的 subunit 球.

为刻画 subunit 球的体积, 我们引入 Nagel-Stein-Wainger 在文献 [28] 中提出的一些概念. 由于向量场 $X_{1},\cdots,X_{m}$ 和其长度不超过 $r$ 的交换子在 $\mathbb{R}^n$ 上的每一点 $x$ 处均能张成切空间 $T_{x}(\mathbb{R}^n)$, 若 $I=(j_{1},\cdots,j_{k})$ ($1\leq j_{i}\leq m$) 是一长度为 $k$ 的多重指标, 则可得到一个长度为 $k$ 的高阶交换子, 即

记 $ X^{(k)}=\{X_{I}|I=(j_{1},\cdots,j_{k}),1\leq j_{i}\leq m, |I|=k \}$ 为长度为 $k$ 的所有交换子组成的集合, 令 $Y_{1},\cdots,Y_{q}$ 为取遍集合 $X^{(1)},\cdots,X^{(r)}$ 中的所有向量场. 若 $Y_{i}$ 为集合 $X^{(k)}$ 的元素, 则称 $Y_{i}$ 的阶数 $d(Y_{i})=k$. 对任一 $n$ 重数组 $I=(i_{1},\cdots,i_{n}), 1\leq i_{j}\leq q$, 定义

(若 $Y_{i_{j}}=\sum_{k=1}^{n}a_{jk}(x)\partial_{x_{k}}$, 则 $\det(Y_{i_{1}},\cdots,Y_{i_{n}})(x)=\det(a_{jk}(x))$). 记

则可定义 Nagel-Stein-Wainger 多项式

其中角标 $I$ 的求和遍历所有的 $n$ 重数组.

Nagel-Stein-Wainger 在文献 [定理 1] 中首次对 subunit 球的体积进行的深入的研究,建立了如下的结果.

命题 2.2 [球盒子定理] 对任意的紧集 $ K \subset \mathbb{R}^n$, 存在与其相关的常数 $\delta_{0}>0$ 以及 $C_ {1},C_{2}>0$, 使得对任意的 $x\in K$ 和 $0< r\leq \delta_{0}$, 有

这里 $|B(x,r)|$ 为 subunit 球 $B(x,r)$的 Lebesgue 测度.

值得指出的是, 对一般的 Hörmander 向量场估计式 (2.4) 中球心 $x$ 的位置是限制在紧集 $K$ 上的, 球的半径 $r$ 也有限制 $0< r\leq \delta_{0}$. 然而, 对于性质更好的齐次 Hörmander 向量场,这两个限制可以去掉. 具体来说, 我们有

命题 2.3 [4, 定理 B] 设 $X=(X_{1},\cdots,X_{m})$ 为定义在 $\mathbb{R}^n$ 上的齐次 Hörmander 向量场, 则存在 $C_1, C_2>0$ 使得

特别地, 当 $X=(X_1,X_2)=(\partial_{x_{1}},x_{1}\partial_{x_{2}})$ 为二维 Grushin 型向量场时,

由命题 2.3 可得 subunit 球的 doubling 性质

命题 2.4 设$X=(X_1,\cdots,X_m)$为定义在$\mathbb{R}^n$上的齐次 Hörmander 向量场. 对于任意 $x\in \mathbb{R}^n$ 和 $0<r_1<r_2$, 存在一个正常数 $C_{3}>0$ 使得

特别地, 当 $X=(X_1,X_2)=(\partial_{x_{1}},x_{1}\partial_{x_{2}})$ 为二维 Grushin 型向量场时, $Q=3$.

接下来介绍与一般 Hörmander 向量场相关的带权 Sobolev 空间.

假设 $X=(X_{1},\cdots,X_{m})$ 是定义在 $\mathbb{R}^n$ 上的光滑向量场, 满足 Hörmander 条件. 带权 Sobolev 空间 $\mathcal{H}_{X}^{1}(\mathbb{R}^n)$ (也称为 Folland-Stein 空间 (参见文献 [第 2 章]) 是定义在 $\mathbb{R}^n$ 上的一个 Hilbert 空间, 其定义为

并赋有范数

对于任意开集 $\Omega\subset \mathbb{R}^n$, 我们用 $\mathcal{H}^{1}_{X,0}(\Omega)$ 表示 $C_{0}^{\infty}(\Omega)$ 在 $\mathcal{H}_{X}^{1}(\mathbb{R}^n)$ 中的闭包. 众所周知, $\mathcal{H}^{1}_{X,0}(\Omega)$ 也是一个 Hilbert 空间.

接着, 我们给出下面的稠密性结果.

命题 2.5 [13,命题 2.11] 设 $X=(X_{1},\cdots,X_{m})$ 是定义在 $\mathbb{R}^n$ 上的光滑向量场, 满足 Hörmander 条件和齐性条件 (H1). 那么空间 $C_ {0}^{\infty}(\mathbb{R}^n)$ 在 $\mathcal{H}_{X}^{1}(\mathbb{R}^n)$ 中是稠密的, 即 $\mathcal{H}_ {X,0}^{1}(\mathbb{R}^n)=\mathcal{H}_{X}^{1}(\mathbb{R}^n)$. $\mathcal{H}_{X}^{1}(\mathbb{R}^n)$ 和 $\mathcal{H}_{X,0}^{1}(\Omega)$ 之间存在如下的关系.

命题 2.6 [13,命题 2.13] 设 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^n$ 中的一个有界开子集. 对任意 $u\in \mathcal{H}_{X}^{1}(\mathbb{R}^n)$, 如果 ${\rm supp} u$ 是 $\Omega$ 的一个紧子集, 那么 $u\in \mathcal{H}_{X,0}^{1}(\Omega)$.

类似于经典的 Sobolev 空间, 带权 Sobolev 空间 $\mathcal{H}_{X}^{1}(\mathbb{R}^n)$ 空间上也具有相应的链式法则.

命题 2.7 (链式法则, 文献 [13,命题 2.12]) 假设 $F\in C^{1}(\mathbb{R})$ 且 $F'\in L^{\infty}(\mathbb{R})$. 那么对于任意 $u\in \mathcal{H}_{X}^{1}(\mathbb{R}^n)$ 我们有

此外, 如果 $F(0)=0$, 那么我们还有 $F(u)\in \mathcal{H}_{X}^{1}(\mathbb{R}^n)$.

由命题 2.7, 可得出下面推论.

推论 2.2 [13,推论 2.3] 对于任意 $u\in \mathcal{H}_{X}^{1}(\mathbb{R}^n)$, 函数 $u_{+}, u_{-},|u|\in \mathcal{H}_{X}^{1}(\mathbb{R}^n)$ 并且满足

在 $\mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ 中. 此外, 我们有 $X|u|={\rm sgn}(u)Xu$, 其中 ${\rm sgn}(u)$ 表示 $u$ 的符号. 另外, 对于任意非负常数 $c\geq 0$, $(u-c)_+\in \mathcal{H}_{X}^1(\mathbb{R}^n)$ 并且

本节介绍齐次 Hörmander 算子 $-\triangle_X$ 在 $\Omega$ 上的 Dirichlet 热核和在 $\mathbb{R}^n$ 上的全局热核, 这是研究特征值的重要工具.

基于 Dirichlet 型和热半群的抽象理论, 我们可以证明齐次 Hörmander 算子热核的存在性. 首先, 考虑双线性型 $\mathcal{Q}(\cdot,\cdot): \mathcal{H}_X^1(\mathbb{R}^n)\times \mathcal{H}_X^1(\mathbb{R}^n)\to \mathbb{R}$, 其定义为

结合命题 2.5 和推论 2.2, 我们可以得到如下命题.

命题 3.1 [13,命题 3.1] 假设 $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ 为一有界连通的开区域, 则

(1) $(\mathcal{Q}, \mathcal{H}_{X}^1(\mathbb{R}^n))$ 为局部正则的 Dirichlet 型;

(2) $(\mathcal{Q}, H_{X,0}^1(\Omega))$ 为局部正则的限制 Dirichlet 型.

由命题 3.1 和热半群的抽象理论 (见文献 [19]) 可知, 齐次 Hörmander 算子 $-\triangle_X$ 在 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 上的 (全局) 热半群 $\{P_t\}_{t\geq 0}$ 和 $L^2(\Omega)$ 上的 Dirichlet 热半群 $\{P^{D}_t\}_{t\geq 0}$ 都是定义良好的. 结合 Riesz 表示定理、次椭圆估计和热半群的超压缩性, 我们继而可以得到相应的热核. 我们指出, 对一般的流形 $M$, 其 $L^2(M)$ 上的热半群导出的热核 $H_t(x,y)$ 满足如下四个一般性的性质 (见文献 [20])

(P1) 对于所有的 $t>0$ 和几乎所有的 $x,y\in M$, $H_t(x,y)\geq 0$ 且 $\int_{M} H_t(x,y){\rm d}\mu(y)\leq 1$.

(P2) 对于所有的 $t,s>0$ 和几乎所有的 $x,y\in M$, $H_t(x,y)=H_t(y,x)$.

(P3) 对于所有的 $t,s>0$ 和几乎所有的 $x,y\in M$, $ H_{t+s}(x,y)=\int_{M} H_t(x,z)H_s(z,y){\rm d}\mu(z)$.

(P4) 对于任意的 $f\in L^2(M)$, $\lim_{t\to0^+}\left\|\int_{M}H_t(\cdot,y)f(y){\rm d}\mu(y)-f(\cdot)\right\|_{L^2(M)}=0$.

在本文中, 我们将使用 $P_t$ 和 $h(x,y,t)$ 表示齐次 Hörmander 算子 $-\triangle_X$ 的全局热半群和热核, 并用 $P^D_t$ 和 $h_D(x,y,t)$ 表示其在有界区域 $\Omega$ 上对应的 Dirichlet 热半群和热核.

在先前的 ^[3,5] 中, 作者将全局基本解视为齐次 Hörmander 算子的全局热核. 然而, ^[3,5] 中给出的全局热核的性质并不完备. 因为其缺乏 $L^2$ 框架, 使我们无法在弱意义下比较全局热核和 Dirichlet 热核. 近期, 我们在文献 [13] 中通过热半群的一般 $L^2$ 理论和次椭圆估计, 重构了齐次 Hörmander 算子的全局热核, 并证明了它与 ^[3,5] 中的全局基本解是等价的. 我们将这些结果及其附加性质总结如下

命题 3.2 [13,命题 3.3] 对于$\mathbb{R}^n$ 上的齐次 Hörmander 算子 $-\triangle_X$, 其对于的热半群 $\{P_{t}\}_{t\geq 0}$ 存在唯一的 (全局) 热核 $h(x,y,t)$, 使得对于任意的 $f\in L^2(\mathbb{R}^n)$,

对所有的 $x\in \mathbb{R}^n$ 和 $t>0$ 成立. $h(x,y,t)\in C^{\infty}(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^{+})$ 逐点地满足上述性质 (P1)--(P4) 并具有如下的性质

(1) 对于任意 $x,y\in\mathbb{R}^n$ 和 $t>0$, $h(x,y,t)=h(y,x,t)$;

(2) 对于任意 $x\in\mathbb{R}^n$ 和 $t>0$, $\int_{\mathbb{R}^n}h(x,y,t){\rm d}y=1$;

(3) 对于任意固定的点 $x\in \mathbb{R}^n$, $h(x,y,t)$ 是退化热方程的解

(4) 存在 $A_1\geq 1$ 使得对于任意 $x,y\in \mathbb{R}^n$ 和 $t>0$, 我们有

(5) 对任意 $f\in L^2(\mathbb{R}^n)$, $u(x,t)=P_{t}f(x)\in C^{\infty}(\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^+)$ 并且在 $\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^+$ 上满足退化热方程 $\partial_t u=\triangle_{X}u$.

我们在文献 [13] 中还证明了 Dirichlet 热核的存在性.

命题 3.3[13,命题 3.6] 对于齐次 Hörmander 算子 $-\triangle_X$, 其在 $\Omega$ 上的 Dirichlet 热半群 $\{P_{t}^{D}\}_{t\geq 0}$ 存在唯一的热核 $h_{D}(x,y,t)$, 使得对于任意 $f\in L^{2}(\Omega)$,

对于所有的 $x\in \Omega$ 和 $t>0$ 成立. $h_{D}(x,y,t)\in C^{\infty}(\Omega\times \Omega\times\mathbb{R}^{+})$ 逐点满足上述性质 (P1)--(P4). 这里 $\triangle_X|_{\Omega}$表示齐次 Hörmander 算子 $-\triangle_X$ 在 $C_{0}^{\infty}(\Omega)$ 上的自伴延拓算子, 其定义域为 ${\rm dom}(\triangle_X|_{\Omega})=\{u\in \mathcal{H}_{X,0}^{1}(\Omega)|-\triangle_X u\in L^2(\Omega)\}$. 此外, 我们有

(i) 对于任意 $t>0$ 和任意 $k\in \mathbb{N}$, $h_{D}(\cdot,\cdot,t)\in L^2(\Omega\times \Omega)$ 且

这里 $\{\phi_{j}\}_{j=1}^{\infty} \subset L^{\infty}(\Omega)\cap C^{\infty}(\Omega)$ 为齐次 Hörmander 算子 $-\triangle_X$ 在 $\Omega$ 上的 Dirichlet 特征函数, 并且级数 (3.5) 对任意的 $a>0$ 在 $\Omega\times\Omega\times [a,+\infty)$ 上绝对且一致收敛.

(ii) 对于任意固定的 $y\in \Omega$, $h_D(x,y,t)$ 是方程

的解;

(iii) 对于所有的 $t>0$ 和 $y\in \Omega$,

由于 $h_{D}(x,y,t)$ 在弱意义下满足 Dirichlet 边界条件, 因此通常被称为 $\triangle_{X}$ 的 Dirichlet 热核.

基于上述命题 3.2 和命题 3.3, 我们还可以建立关于全局热核 $h(x,y,t)$ 和 $h_D(x,y,t)$的比较定理, 该定理是研究 特征值 Weyl 法则的关键. 具体来说, 对于任意的 $(x,y,t)\in \Omega\times \Omega\times \mathbb{R}^{+}$, 我们定义误差项

于是, 我们有

命题 3.4[13,命题 3.7] 设 $X=(X_{1},\cdots,X_{m})$ 为定义在 $\mathbb{R}^n$ 上的齐次 Hörmander 向量场, $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ 是一个有界开区域. 令 $\eta(x):=\frac{d^{2}(x,\partial\Omega)}{A_{1}Q}$ 是定义在 $\Omega$ 上的连续函数, 其中 $A_{1}$ 是 (3.3) 式中的正常数, $Q$ 是齐次维数, 并且 $ d(x,\partial\Omega):=\inf_{y\in \partial\Omega}d(x,y)$. 那么我们有如下估计

• 对于任意 $x\in \Omega$ 和 $0<t\leq \eta(x)$,

其中 $C_{3}$ 是推论 2.4 中的正常数.

• 对于任意 $x\in \Omega$ 和 $t>0$,

特别地, Grushin 算子的全局热核满足如下性质, 这也是我们建立 Weyl 法则的关键.

命题 3.5[8-10] 设$X=(X_1,X_2)=(\partial_{x_{1}},x_{1}\partial_{x_{2}})$ 为定义在 $\mathbb{R}^2$ 上的 Grushin 型向量场, $\triangle_{X}=\partial_{x_{1}}^{2}+x_{1}^2\partial_{x_{2}}^2$ 为对应的 Grushin 算子, 其全局热核在对角线上具有如下表达式

其中 $x=(x_1,x_2)$.

命题 4.1 设 $U$ 为 $\mathbb{R}^2$ 中的一个有界开集, 并且 $\partial U$ 满足条件 (B), 则其截面函数

在 $x_1=0$ 处是连续的.

证 设$\{y_n\}_{n=1}^{\infty}\subset \mathbb{R}$ 为任意一个数列并满足 $y_n\to 0$ (当 $n\to\infty$). 令 $f_n(x_2):=\chi_{U} (y_n,x_2)$, 注意到

根据条件 (B), $m_{1}(\{x_2\in \mathbb{R}|(0,x_2)\in \partial U\})=0$. 因此,

另一方面, 由于 $U$ 是有界集, 存在常数 $M, N > 0$ 使得 $U \subset [-M, M] \times [-N, N]$. 因此, 对于任意的 $n\geq 1$ 和 $x_2\in \mathbb{R}$, 我们有 $|f_n(x_2)| = |\chi_{U}(y_n, x_2)| \le \chi_{[-N, N]}(x_2)$. 其中 $\chi_{[-N, N]}(x_2)$ 满足 $\int_{\mathbb{R}^2} \chi_{[-N, N]}(x_2){\rm d}x_2 = 2N < +\infty$. 根据 Lebesgue 控制收敛定理,

因此, $ s_{U}(x_1)$ 在 $x_1=0$ 处连续.

给定一个包含原点且满足条件 (B) 的有界开集 $\Omega$, 我们现在考虑其内部管状区域. 对于任意 $a>0$, 我们将 $\Omega$ 的内部管状区域定义为

显然, 对于足够小的 $a>0$, $R_a(\Omega)$ 是一个有界开集. 我们定义该管状邻域的截面函数为

我们证明 $s_{R_a(\Omega)}(x_1)$ 表现出与 $s_{\Omega}(x_1)$ 相似的连续性性质. 为此, 我们先证明如下的引理.

引理 4.1 设 $W\subset\mathbb{R}$ 为一 Lebesgue 可测集, $g:W\to \mathbb{R}$ 为一 Lebesgue 可测函数. 假设 $m_1(W)<+\infty$. 则集合 $\{a\in\mathbb{R}|m_1(g^{-1}(a))>0\}$ 至多是可数的, 其中 $g^{-1}(a)=\{x\in W|g(x)=a\}$ 是水平集.

证 注意到

其中 $A_n:=\{a\in\mathbb{R}|m_1(g^{-1}(a))>\frac{1}{n}\}$. 现证明对于任意固定的 $n\in \mathbb{N}^{+}$, 若 $A_n\neq \varnothing$, 则 $A_n$ 是有限集. 假设 $a_1,\cdots,a_k$ 是 $A_n$ 中不同的元素, 则 $g^{-1}(a_1),\cdots,g^{-1}(a_k)$ 是 $W$ 的不相交子集. 因此

这蕴含了 $k<n \cdot m_1(W)<+\infty$. 故 $A_n$ 是有限集. 因此 $\{a\in\mathbb{R}|m_1(g^{-1}(a))>0\}$ 至多是可数的.

命题 4.2 对于任意一个包含原点且满足条件 (B) 的有界开集 $\Omega$, 存在数列 $\{a_k\}_{k=1}^{\infty}\subset \mathbb{R}^{+}$ 且当 $k\to \infty$ 时 $a_k\to 0^+$, 使得对于任意 $k\geq 1$, $R_{a_k}(\Omega)$ 均满足条件 (B). 因此, $s_{R_{a_k}(\Omega)}(x_1)$ 在 $x_1=0$ 处连续.

证 由于 $d_E(x,\Omega)$ 为 $\mathbb{R}^2$ 上的 Lipschitz 函数, 故它也是 Lebesgue 可测函数. 定义

其中 $x_2\in Y:=\{x_2\in\mathbb{R}|(0,x_2)\in\Omega\}$. 显然, $g: Y\to \mathbb{R}$ 为 Lebesgue 可测函数. 由于 $\Omega$ 是有界集, $m_1(Y)<+\infty$. 根据引理 4.1, 集合 $\{a\in \mathbb{R}|m_1(g^{-1}(a))>0\}$ 至多是可数的, 根据实数的稠密性这意味着 $0\in \overline{\{a\in \mathbb{R}|m_1(g^{-1}(a))=0\}}$. 因此, 存在数列 $\{a_k\}_{k=1}^{\infty}\subset \mathbb{R}^{+}$ 且 $a_k\to 0^+$,

注意到

由于 $\Omega$ 满足条件 (B), $m_1(\{x_2\in \mathbb{R}| (0,x_2)\in \partial \Omega\})=0$. 结合 (4.2) 式可知, $R_{a_k}(\Omega)$ 满足条件 (B). 根据命题 4.1, 对任意 $k\geq 1$, $s_{R_{a_k}(\Omega)}(x_1)$ 在 $x_1=0$ 处连续.

最后我们有如下结果.

命题 4.3 对于任意一个包含原点且满足条件 (B) 的有界开集 $\Omega$, $\lim_{a\to 0^+}s_{R_{a}(\Omega)}(0) =0$.

证 由于对于任意 $(0,x_2)\in\Omega$ 都有 $\lim_{a\to0^+}\chi_{R_{a}(\Omega)}(0,x_2)=0$, 该结论可由控制收敛定理直接得出.

设 $\Omega\subset \mathbb{R}^2$ 为一个包含原点且满足条件 (B) 的有界开集, $X=(X_1,X_2)=(\partial_{x_{1}},x_{1}\partial_{x_{2}})$ 为二维 Grushin 型向量场, $ \triangle_X=X_1^2+X_2^2$ 对应的 Grushin 型算子. 由命题 2.3, 命题 3.2 和命题 3.4 可知对 Grushin 算子, 其全局热核 $h(x,y,t)$ 和误差项$E(x,y,t)$ 满足估计

(1) 对任意 $(x,t)\in \mathbb{R}^{2}\times \mathbb{R}^{+}$,

(2) 对于任意 $x\in \Omega$ 和 $0<t\leq \eta(x)=\frac{d^{2}(x,\partial\Omega)}{3A_{1}}$,

其中 $A_1\geq 1$ 是 (3.3) 式中的正常数.

(3) 对于任意 $x\in \Omega$ 和 $t>0$,

对 $\mathbb{R}^2$ 中的任意 Lebesgue 可测集 $K$和 $t>0$, 我们定义函数

引理 4.2 对任意给定的 $\beta>0$, 若 $t<\frac{c_1^2 \beta}{3A_{1}}$, 则

其中 $C>1$为一正常数, $R_\beta(\Omega) = \{x \in \Omega | d_{E}(x,\partial\Omega) < \beta \}$ 为 $\Omega$ 关于欧式距离的内部管状区域.

证 由于 $h_D(x,x,t)\geq 0$, 故对任意 $(x,t)\in \Omega\times \mathbb{R}^{+}$ $E(x,x,t)\leq h(x,x,t)$. 结合 (4.3), (4.4) 式和推论 2.1,

对任意给定的 $\beta>0$, 若 $3A_1 t c_1^{-2}<\beta$, 则 $R_{3A_1 tc_{1}^{-2}}(\Omega)\subset R_{\beta}(\Omega)$. 根据推论 2.1, 在 $\Omega\setminus R_{\beta}(\Omega)$ 中我们有 $d^2(x,\partial\Omega)\geq c_1^2 d_{E}^2(x,\partial\Omega)\geq c_1^2\beta^2$. 因此, 由估计 (4.8) 式可得

证毕.

接着, 我们有如下引理.

引理 4.3 假设 $\beta>0$ 使得 $\Omega$ 的内部管状区域 $R_\beta(\Omega)$ 满足条件 (B), 则有

其中 $s_{R_\beta(\Omega)}$ 表示 $R_\beta(\Omega)$ 的截面函数, $s_{\Omega}$ 表示 $\Omega$ 的截面函数.

证 对任意 $\varepsilon\in(0,1)$, 由于 $s_{R_\beta(\Omega)}(x_1)$ 和 $s_{\Omega}(x_1)$ 在 $x_1=0$ 处连续, 存在 $\delta>0$ 使得对任意 $|x_1|<\delta$ 有

由于 $\Omega$ 有界,存在 $R>\delta>0$ 使得 $\Omega\subset \{ (x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2 ||x_1|\leq R, |x_2|\leq R\}$. 根据 Fubini 定理,

由于 $0\leq s_{R_\beta(\Omega)}(x_1)\leq s_{\Omega}(x_1)\leq 2R$. 故对 $I_2(t)$ 有

对 $I_1(t)$, 我们有

其中 $S_{\delta}(t):=\frac{2}{t}\ln\left(1+\frac{\delta}{\sqrt{t}}\right)$. 由 (4.11) 式可知对任意 $t>0$,

因此, 结合 (4.13) 和 (4.15) 式,

这表明

类似地, 对于 $\Omega$ 也有

故 (4.10) 式得证.

最后, 我们有

引理 4.4 设 $\Omega\subset \mathbb{R}^2$ 为一个包含原点且满足条件 (B) 的有界开集, $X=(X_1,X_2)=(\partial_{x_{1}},x_{1}\partial_{x_{2}})$ 为二维 Grushin 型向量场, 则

证 根据命题 4.3, $\lim_{a\to 0^+}s_{R_{a}(\Omega)}(0) =0$. 因此, 对任意 $\varepsilon\in(0,1)$, 存在 $a_0>0$ 使得当 $|a|<a_0$ 时, 有 $0\leq s_{R_{a}(\Omega)}(0)<\varepsilon$. 另一方面, 根据命题 4.2, 存在数列 $\{a_k\}_{k=1}^{\infty}\subset \mathbb{R}^{+}$ 且当 $k\to \infty$ 时 $a_k\to 0^+$, 使得对于任意 $k\geq 1$, $R_{a_k}(\Omega)$ 均满足条件 (B). 因此, 存在 $k_0\in \mathbb{N}^{+}$ 使得当$k\geq k_0$ 时有 $|a_k|<a_0$ 和 $0\leq s_{R_{a_k}(\Omega)}(0)<\varepsilon$. 结合引理 4.2 和引理 4.3, 对 $k\geq k_0$ 可得

由于 $\varepsilon$ 的任意性, 结论得证. 这里注意到由于 $0\in \Omega$, 我们有 $s_\Omega(0)>0$.

结合 (3.8), (4.3) 式, 命题 3.3 和引理 4.4, 我们得到如下结论.

命题 4.4 设 $\Omega\subset \mathbb{R}^2$ 为一个包含原点且满足条件 (B) 的有界开集, $X=(X_1,X_2)=(\partial_{x_{1}},x_{1}\partial_{x_{2}})$ 为二维 Grushin 型向量场, 则

在本节中, 我们处理积分

其中 $h(x,x,t)$ 的表达式在命题 3.5 中给出.

由于 $\Omega$ 是有界的, 故存在 $R>0$ 使得 $\Omega\subset \{ (x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2 ||x_1|\leq R, |x_2|\leq R\}$. 这意味着 ${\rm supp} s_{\Omega}(x_1)\subset [-R,R]$. 注意到 $h(x,x,t)$ 与变量 $x_2$ 无关, 根据 Fubini 定理我们有

我们定义函数

则

引理 4.5 对于 (4.17) 式中的函数 $G$, 当 $|\xi|\to +\infty$ 时我们有渐近展开

证 由于振幅函数 $g(u):=\left(\frac{u}{\sinh u}\right)^{\frac{1}{2}}$ 在 $\mathbb{R}$ 上可积, 因此 $G(\xi)$ 是一个连续函数. 令 $\phi(u):=u\tanh(\frac{u}{2})$ 为相位函数, 易知 $\phi(u)$ 在 $u=0$ 处取得积分区间 $(-\infty, +\infty)$ 上唯一的全局极小值, 且 $\phi(0)=0$, $\phi"(0)=1$. 此外, $g(0)=1$. 通过 Laplace 方法可知当 $|\xi|\to +\infty$ 时有 $G(\xi)\sim \frac{1}{|\xi|}$.

由引理 4.5, 我们有

引理 4.6 设 $\Omega\subset \mathbb{R}^2$ 为一个包含原点且满足条件 (B) 的有界开集, 则当 $t\to 0^{+}$时, (4.16) 式中的 $I(t)$ 满足如下渐近展开式

其中 $s_{\Omega}(x_1)$ 是由 (1.15) 式定义的关于$\Omega$ 的截面函数.

证 首先, 选取足够大的 $M$ 使得当 $|\xi|>M$ 时,

对于 $0<t<T_1:=\min\left\{1,\frac{1}{2}\left(\frac{R}{M}\right)^2\right\}$, 我们分解

由于 $|s_{\Omega}(x_1)|\leq 2R$, 可得

我们现在分析 $I_2(t)$. 对于 $0<t<T_1$,

对于 $I_{2,1}(t)$, 由于 $G(\xi)$ 是连续的, 结合引理 4.5 和 L'Hospital 法则可得

现在我们分析 $I_{2,2}(t)$. 根据命题 4.1, 条件 (B) 保证了 $s_{\Omega}(x_1)$ 在 $x_1=0$ 处的连续性. 因此, 对任意 $\varepsilon>0$ 存在 $\delta\in (0,R)$ 使得当 $|u|<\delta$ 时有 $|s(u)-s(0)|<\varepsilon$. 对于 $0<t<\min\{T_1,\frac{1}{2}\left(\frac{\delta}{M}\right)^2 \}$, 有

因此

由 $\varepsilon$ 的任意性并结合 (4.20) 式可得

类似地, 对于 $I_3(t)$ 也有

将各项贡献相加得到

因此由 (4.18) 式可得当 $t\to 0^{+}$ 有渐近展开

证毕.

综合命题 3.3, 命题 4.4 和引理 4.5, 可得如下结论.

命题 4.5 设 $\Omega\subset \mathbb{R}^2$ 为一个包含原点且满足条件 (B) 的有界开集, $X=(X_1,X_2)=(\partial_{x_{1}},x_{1}\partial_{x_{2}})$ 为二维 Grushin 型向量场, 则当$t\to 0^{+}$时 Dirichlet 热核的迹满足如下渐近展开

我们采用 Karamata-Tauberian 定理从 (4.21) 式反演出谱计数函数 $N(\lambda)$ 的渐近行为, 从而给出定理 1.1 的证明.

定义 1.1 ([缓变函数, 见文献 [6,1.2 章节])

假设 $\ell(x)$ 为定义在 $[x_0, \infty)$ 上的一个正可测函数, 其中 $x_0\in \mathbb{R}$. 如果对于任意常数 $c>0$ 均有

那么我们称 $\ell$ 为缓变函数.

命题 4.6 (Karamata-Tauberian 定理, 见文献 [6,定理 1.7.1]) 设 $\alpha(\lambda)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的一个递增右连续函数且 $\alpha(\lambda)=0$ 对任意 $\lambda<0$ 成立, 其 Laplace-Stieltjes 变换 $L(t) = \int_0^\infty e^{-\lambda t} {\rm d}\alpha(\lambda)$ 对所有 $t>0$ 收敛. 如果 $L(t)$ 满足渐近关系

其中 $C_0\geq 0$, $\rho > 0$ 为常数, $\ell(x)$ 是一个缓变函数, 那么 $\alpha(\lambda)$ 满足

其中 $\Gamma(s)=\int_{0}^{\infty}t^{s-1}e^{-t}{\rm d}t$ 是 Gamma 函数.

我们现在证明定理 1.1.

证 [定理 1.1 的证明] 注意到

其中 $N(\lambda)=\#\{k|\lambda_k\leq \lambda\}$ 为特征值对应的谱函数. 显然, $N(\lambda)$ 在 $\mathbb{R}$ 上是一个递增右连续函数且 $N(\lambda)=0$ 对 $\lambda<0$ 成立, $\ln x$ 为定义在 $[2,+\infty)$ 上的缓变函数. 结合 (4.22) 式, 命题 4.5 和命题 4.6 可得

这等价于

证毕.