设 $ \Sigma $ 是 $ \mathbb{R}^{2n} $ 中关于原点严格星型的一个 $ C^3 $ 紧超曲面,即, 在任意 $ x\in\Sigma $ 处的切超平面与原点不相交.我们把所有这些超曲面构成的集合记作 $ \mathcal{H}_{st}(2n) $, 并且把 $ \mathcal{H}_{st}(2n) $ 中所有凸超曲面的集合记作 $ \mathcal{H}(2n) $. 我们考虑 $ \Sigma $ 上闭特征 $ (\tau, y) $,它们是下面问题的解

这里 $ J=\left( \begin{array}{cc} 0 & -I_{n} \\ I_{n} & 0 \\ \end{array} \right) $, $ I_n $ 是 $ \mathbb{R}^{2n} $ 中单位矩阵, $ \tau>0 $, $ N_\Sigma(y) $ 是 $ \Sigma $ 上 $ y $ 处满足正规化条件 $ N_\Sigma(y)\cdot y=1 $ 的外法向量, 其中 $ a\cdot b $ 表示 $ a, b\in\mathbb{R}^{2n} $ 的标准内积. 一个闭特征 $ (\tau, y) $ 称作本原的, 如果 $ \tau $ 是 $ y $ 的极小周期. 两个闭特征 $ (\tau, y) $ 和 $ (\sigma, z) $ 称作几何不同, 如果 $ y(\mathbb{R})\not=z(\mathbb{R}) $. 我们把 $ \Sigma $ 上所有几何不同的闭特征的集合记作 $ \mathcal{T}(\Sigma) $.一个闭特征 $ (\tau, y) $ 称作非退化, 如果 1 是 $ y $ 的恰好具有代数重数 2 的Floquet 乘子; 称作椭圆, 如果 $ y $ 的所有 Floquet 乘子都在单位圆周 $ { \mathbb{U}}=\{z\in {\mathbb{C}}\mid |z|=1\} $ 上; 称作 双曲, 如果 $ 1 $ 是它的双重 Floquet 乘子并且其它所有 Floquet 乘子不在 $ { \mathbb{U}} $ 上;我们称 $ \Sigma $ 非退化, 如果 $ \Sigma $ 上所有闭特征及其所有迭代都是非退化的.

下面给出弱非共鸣椭球面的例子阐述闭特征问题

令 $ r_1,\cdots,r_n>0 $, 定义 $ \Sigma=H^{-1}(1) $,

此时, 系统 (1.1) 为线性哈密顿系统, 可以计算出其所有解: 若 $ \frac{r_i}{r_j}\notin \mathbb{Q} $ 对所有 $ i\neq j $ 成立, 则 $ ^{\#}\mathcal{T}(\Sigma) = n $, 所有的闭特征都是椭圆和非退化的; 若 $ \frac{r_i}{r_j}\in \mathbb{Q} $ 对某一对 $ i\neq j $ 成立, 则 $ ^{\#}\mathcal{T}(\Sigma) = +\infty $.

闭特征的研究至少可以追溯到 Liapunov 于 1892 年局部意义的工作: $ \mathbb{R}^{2n} $ 中哈密顿函数平衡点附近能量面上闭特征的多重性结果. 基于该事实及弱非共鸣椭球面的例子, 在哈密顿分析中有以下长期以来的多重性猜想^[18]

由于紧星型和凸超曲面都对应标准切触结构下的切触形式, 上述多重性猜想对紧星型超曲面同样适应, 见参考文献 [4].

在整体意义上闭特征的研究始于 1978 年, 关于 $ \Sigma \in\mathcal{H}_{st}(2n) $ 上一个闭特征的存在性首先由 Rabinowitz^[40] 以及由 Weinstein^[48] (对于凸超曲面) 各自独立建立, 自那以后关于 $ \Sigma \in\mathcal{H}(2n) $ 上闭特征的多重性被许多数学家深入的研究.

当 $ n\ge 2 $, 除了一些在挤压条件下得到的结果之外, 在 1987-1988 年,Ekeland-Lassoued, Ekeland-Hofer, 以及 Szulkin (参考文献 [19,20,42]) 证明了

1998 年, Hofer, Wysocki 和 Zehnder^[28] 证明了 $ \,^{\#}\mathcal{T}(\Sigma)=2 $ 或 $ \infty $, $ \forall\,\Sigma\in\mathcal{H}(4) $. 2002 年, 龙以明和朱朝锋^[38]进一步证明了

同年, 刘春根,龙以明和朱朝锋^[31]对关于原点中心对称的 $ \Sigma\in\mathcal{H}(2n) $ 证明了猜想 (2.1). 2007 年, 王嵬, 胡锡俊和龙以明^[47]证明了

2016 年, 王嵬^[45]证明了 $ \,^{\#}\mathcal{T}(\Sigma)\ge \left[\frac{n+1}{2}\right]+1 $, $ \forall\,\Sigma\in\mathcal{H}(2n) $, 王嵬^[46]证明了 $ \,^{\#}\mathcal{T}(\Sigma)\ge 4 $, $ \forall\,\Sigma\in\mathcal{H}(8) $. 近期, Cineli, Ginzburg 和 Gürel^[7] 对任意 $ \Sigma\in\mathcal{H}(2n) $ (甚至动力凸的 $ \Sigma\in\mathcal{H}_{st}(2n) $) 证明了猜想 (2.1).

关于星型超曲面的情形, 猜想 (2.1) 变得非常困难, 主要原因是缺乏凸性. 近年来在非退化和低维情形有一些重要的进展: 2002 年, 胡锡俊和龙以明^[27]对任意非退化的 $ \Sigma\in \mathcal{H}_{st}(2n) $ 证明了 $ \;^{\#}\mathcal{T}(\Sigma)\ge 2 $; 2003 年, Hofer, Wysocki 和 Zehnder^[29] 在假设所有双曲闭特征的稳定流形和不稳定流形横截相交的条件下, 对非退化的 $ \Sigma\in \mathcal{H}_{st}(4) $ 证明了 $ \,^{\#}\mathcal{T}(\Sigma)=2 $ 或 $ \infty $, 并提出猜想: $ \,^{\#}\mathcal{T}(\Sigma)=2 $ 或 $ \infty $, $ \forall\,\Sigma\in \mathcal{H}_{st}(4) $. 过去二十年来, 该猜想备受哈密顿系统与辛几何等领域的关注, 称之为 Hofer-Wysocki-Zehnder 猜想. 2019 年, Cristofaro-Gardiner, Hutchings 和 Pomerleano^[12] 对非退化的 $ \Sigma\in \mathcal{H}_{st}(4) $ 证明了$ \,^{\#}\mathcal{T}(\Sigma)=2 $ 或 $ \infty $.

关于紧凸超曲面上闭特征的多重性, 传统的研究办法是先把问题转化为给定能量哈密顿系统周期解问题

其中 $ H(x) = j(x)^{\alpha}, \forall x\in\mathbb{R}^{2n}, \alpha\in (1,2) $, $ j $ 是 $ \Sigma $ 的度规函数, 即: $ j(x)=\lambda $, 若 $ x=\lambda y $ 对某个 $ \lambda>0 $ 和 $ y\in\Sigma $ 成立, $ x\in\mathbb{R}^{2n} \{0\} $, 及 $ j(0)=0 $.

再用 Clarke-Ekeland 对偶作用原理把上述问题转化为哈密顿系统给定周期问题, 并对应为下述泛函的临界点

其中 $ \Pi: E\rightarrow E $ 满足 $ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\Pi u(t)=u(t) $, $ H^\ast (y) = \sup\{x\cdot y-H(x)\;|\; x\in \mathbb{R}^{2n}\} $.

利用变分法找 $ f $ 的临界点, 使用 Morse 理论及 Maslov 型指标理论处理闭特征的迭代问题, 龙以明及其合作者建立的 Maslov 型指标迭代理论在处理迭代问题时发挥关键作用, 参考文献 [36].

研究紧星型超曲面上闭特征的多重性, 因缺乏凸性, 我们需要新的工具, 建立紧星型超曲面上闭特征的共振恒等式是一个潜在的工具. 先回顾一下共振恒等式的一些研究历史: 1984 年, Ekeland^[17]发现, 若 $ \,^{\#}\mathcal{T}(\Sigma)<+\infty $, 则存在共振关系把 $ \Sigma $ 上所有闭特征联系在一起, 但他没有明确给出. 1989 年, Viterbo^[44] 通过建立 $ \mathbb{R}^{2n} $ 中紧星型超曲面上闭特征的平均指标等式, 如果 $ \Sigma $ 上所有闭特征及它们所有迭代都是非退化的, 阐明了这样一个共振关系. 2007 年, 王嵬,胡锡俊和龙以明^[47]建立了紧凸超曲面上闭特征的共振恒等式. 2014 年, 刘会,龙以明和王嵬^[34]建立了紧星型超曲面上闭特征的共振恒等式, 该结果去掉了文献 [44] 中的非退化条件和文献 [47] 中的凸性条件

定理 1.1^[34] 设 $ \Sigma\in\mathcal{H}_{st}(2n) $ 满足 $ ^\#\mathcal{T}(\Sigma)<+\infty $, 记 $ \mathcal{T}(\Sigma)=\{(\tau_j,y_j)\}_{1\le j\le k} $. 则

其中 $ \hat{i}(y_j)= \lim_{m\rightarrow\infty}\frac{i(y_j^m)}{m} $ 是 $ y_j $ 的平均指标, $ k_l(y^m) $ 是 $ y^m $ 的临界型数, $ K(y) $ 是 $ y $ 的迭代的临界模的极小周期,

利用该定理, 刘会和龙以明^[32]对 $ \Sigma\in \mathcal{H}_{st}(4) $ 关于多重性猜想 (2.1) 式给出一个新证明, 在此之前, Cristofaro-Gardiner 和 Hutchings^[11] 证明了 $ \;^{\#}\mathcal{T}(\Sigma)\ge 2 $ 对任何三维切触流形 $ \Sigma $ 成立, Ginzburg, Hein, Hryniewicz 和 Macarini^[24] 利用切触同调理论对 $ \Sigma\in \mathcal{H}_{st}(4) $ 关于多重性猜想 (2.1) 式给了一个证明. 受上述共振恒等式的启发, Ginzburg 和 Goren^[22] 建立了切触流形上的类似于定理 3.1 的共振恒等式, 并对 $ \Sigma\in \mathcal{H}_{st}(4) $ 关于多重性猜想 (2.1) 又给出一个新证明. 利用定理 3.1, 刘会和龙以明^[33] 研究了闭特征的稳定性问题: 若 $ \Sigma\in \mathcal{H}_{st}(4) $ 满足 $ \;^{\#}\mathcal{T}(\Sigma)= 2 $ 及 $ \Sigma=-\Sigma $, 则两条闭特征都是椭圆的.

2017 年, 段华贵和刘会^[13]把 Ekeland-Hofer^[19] 中的理论推广至紧星型超曲面的情形, 并结合定理 3.1 证明了

若 $ \Sigma\in\mathcal{H}_{st}(2n) $ 动力凸, 则 $ ^\#\mathcal{T}(\Sigma)\geq [\frac{n+1}{2}]+1 $; 当 $ n=4 $ 时, $ ^\#\mathcal{T}(\Sigma)\geq n $.

2020 年, Ginzburg 和 Gürel^[23]对上述结论的前半部分给出了一个辛同调方法的证明. 这里的 "动力凸" 是比 "凸" 更广泛的辛不变概念, 由 Hofer, Wysocki 和 Zehnder^[28] 提出: 若 $ \Sigma\in\mathcal{H}_{st}(2n) $ 上所有闭特征的 Maslov 型指标大于或等于 $ n $, 则称 $ \Sigma $ 动力凸, 并且凸超曲面一定是动力凸的.

对辛道路 $ \gamma\in\mathcal{P}_\tau(2n)\equiv\{\gamma\in C([0,\tau],Sp(2n))\ |\ \gamma(0)=I_{2n}\} $, 我们把 $ \gamma(t) $ 延拓定义至 $ t\in [0,m\tau] $, $ \forall m\in \mathbb{N} $:

$ \gamma^m $ 称之为 $ \gamma $ 的 $ m $ 次迭代, 记 $ \gamma^m $ 的 Maslov 型指标和零维数为 $ (i(\gamma,m),\nu(\gamma,m)) $.

2002 年, 龙以明和朱朝锋^[38]建立了平均指标为正的有限条辛道路的公共指标跳跃定理, 这是他们在紧凸超曲面上闭特征问题上取得突破的关键. 2016 年, 段华贵,龙以明和王嵬^[15]建立了平均指标为正的有限条辛道路的加强版的公共指标跳跃定理. 而紧星型超曲面上闭特征相关辛道路的平均指标不一定是正数, 为了研究紧星型超曲面上闭特征的多重性问题, 近期, 段华贵,刘会,龙以明和王嵬^[16]建立了平均指标为非零的有限条辛道路的加强版的公共指标跳跃定理

定理 3.2^[16] 设辛道路 $ \gamma_i\in\mathcal{P}_{\tau_i}(2n) $ 平均指标 $ \hat{i}(\gamma_i,1)\neq0 $, $ i=1,\cdots,q $. 记 $ M_i=\gamma_i(\tau_i) $.则对任意的 $ \bar{m}\in \mathbb{N} $, 存在无限多 $ (q+1) $ 元组 $ (N, m_1,\cdots,m_q) \in \mathbb{N}^{q+1} $ 使得

其中 $S_{M_{i}}^{ \pm}\left(e^{\sqrt{-1} \theta}\right)$ 表示分裂数, 参考文献 [第九章].

利用定理 3.1-3.2, 我们在一定条件下证明了紧星型超曲面上闭特征的多重性猜想 (2.1) 成立

定义 3.1 $ \Sigma\in \mathcal{H}_{st}(2n) $ 称为完美, 若任意本原闭特征 $ (\tau,y) $ 的 $ m $ 次迭代的 Maslov 型指标 $ i(y,m) $ 满足

定理 3.3^[16] 设 $ \Sigma\in\mathcal{H}_{st}(2n) $ 是完美和非退化的, 若所有闭特征的平均指标非零, 则$ \;^{\#}\mathcal{T}(\Sigma)\geq n $.

该定理的证明除了使用定理 3.1-3.2 外, 需要使用变分法和莫尔斯理论, 我们简单回顾如下

令 $ \hat{\tau}=\inf_{1\leq j\leq k}{\tau_j} $ 和 $ T $ 为固定正常数,由^[34,44], 对任意 $ a>\frac{\hat{\tau}}{T} $, 我们构造函数 $ \varphi_a\in C^{\infty}({\mathbb{R}}, {\mathbb{R}}^+) $, 它在 $ [0, +\infty) $ 上以 0 为唯一临界点, 并且 $ \frac{\varphi_a^{\prime}(t)}{t} $ 关于 $ t>0 $ 严格递增, 及 $ \varphi_a(0)=0=\varphi_a^{\prime}(0) $ 和 $ \varphi_a^{\prime\prime}(0)=1=\lim_{t\rightarrow 0^+}\frac{\varphi_a^{\prime}(t)}{t} $. $ \varphi_a $ 的精确定义及其关于 $ a $ 的依赖性由文献 [34,引理 2.2]{LLW} 和注记 2.3 给出. 如文献 [34], 我们定义哈密顿函数 $ H_a\in C^{3}(R^{2n} \setminus\{0\},R)\cap C^{1}(R^{2n},R) $ 满足: $ H_a(x)=a \varphi_a(j(x)) $, 当 $ x\in U_A=\{x\mid a \varphi_a(j(x))\leq A\} $ 时, 其中 $ A $ 为某个足够大的数; $ H_a(x)=\frac{1}{2}\epsilon_a|x|^2 $, 当 $ x $ 在某个更大的球之外, 其中 $ \epsilon_a>0 $ 足够小, 使得在 $ U_A $ 之外, $ \nabla H_a(x)\not= 0 $ 和 $ H_a^{\prime\prime}(x)<\epsilon_a $ 成立, 见文献 [34,引理 2.2, 2.4 和命题 2.5].

我们考虑以下固定周期问题

则 (3.1) 式的解为 $ x\equiv 0 $ 和 $ x=\rho y(\tau t/T) $, 其中 $\frac{\varphi_{a}^{\prime}(\rho)}{\rho}=\frac{\tau}{a T}$, $ (\tau, y) $ 是 (1.1) 式的解. 特别地, (3.1) 式的非零解和 (1.1) 式的周期 $ \tau<aT $ 的解一一对应.

对任意 $ a>\frac{\hat{\tau}}{T} $, 我们选取足够大的常数 $ K $ 使得

是严格凸函数, 即

对所有 $ x, y\in {\mathbb{R}}^{2n} $ 和正数 $ \epsilon $ 成立. 设 $ H_{a,K}^* $ 为 $ H_{a,K} $ 的 Fenchel 对偶, 定义为

$ X=W^{1, 2}({\mathbb{R}}/{T { \mathbb{Z}}}, {\mathbb{R}}^{2n}) $ 上的对偶作用泛函定义为

则 $ F_{a,K}\in C^{1,1}(X, \mathbb{R}) $. 对 $ KT\not\in 2\pi{ \mathbb{Z}} $, $ F_{a,K} $ 满足 Palais-Smale 条件, 且 $ x $ 是 $ F_{a, K} $ 的临界点当且仅当它是 (3.1) 式的解, 及 $ F_{a, K} $ 对每个临界点 $ x_a\neq 0 $ 的值不依赖于 $ K $ 且 $ F_{a, K}(x_a)<0 $.

令 $ \epsilon>0 $ 足够小使得 $ [-\epsilon, 0) $ 不含 $ F_{a, K} $ 的临界值. 对 $ b $ 足够大, $ F_{a, K} $ 在 $ X^{-\epsilon}\setminus X^{-b} $ 中的正规化莫尔斯序列定义为

其中 $ \{S^1\cdot v_1, \cdots, S^1\cdot v_p\} $ 表示 $ F_{a, K} $ 的临界值小于 $ -\epsilon $ 的临界轨道. $ H_{S^1, *}( X, X^{-\epsilon}) $ 的 Poincaré 序列记作 $ t^{d(K)}Q_a(t) $, 其中 $ Q_a(t)=\sum_{k\in \mathbb{Z}}{q_kt^k} $, 则根据文献 [34,定理 5.1],

其中 $ I $ 是 $ \mathbb{Z} $ 的一个区间使得 $ I \cap [i(\tau, y), i(\tau, y)+\nu(\tau, y)-1]=\emptyset $ 对 $ \Sigma $ 上所有闭特征 $ (\tau,\, y) $ 满足 $ \tau\ge aT $ 成立.由文献 [第六节], 我们有

其中 $ U_a(t)=\sum_{i\in \mathbb{Z}}{u_it^i} $ 是系数非负的 Laurent 级数.

如果不存在闭特征具有平均指标 $ \hat{i}=0 $, 则

其中 $ M(t)=\sum_{p\in \mathbb{Z}}{M_pt^p} $ 表示 $ M_a(t) $ 当 $ a $ 趋于无穷时的值, $ U(t) $ 表示 $ U_a(t) $ 当 $ a $ 趋于无穷时的值, 此外我们记 $ \frac{1}{1-t^2}=\sum_{p\in \mathbb{Z}}{b_pt^p} $, 即: $ b_p=1 $, $ \forall p\in 2 \mathbb{N}_0 $; $ b_p=0 $, $ \forall p \not\in 2 \mathbb{N}_0 $.

对任意两个正整数 $ n_1 $ 和 $ n_2 $, 由 (3.2) 式可得

令 $ t=-1 $, 得到 Morse 不等式

类似地, 我们有

关于闭测地线, V. Bangert 和 W. Klingenberg^[3] 证明: 若 $ c $ 是紧黎曼 (或 Finsler) 流形 $ M $ 上的一条闭测地线, $ c $ 具有零平均指标且它既不是同调不可见也不是能量泛函的最小值点, 那么 $ M $ 上存在无穷条本原闭测地线. 事实上, 我们倾向于相信当紧 Finsler 流形上存在有限条本原闭测地线, 或 $ \mathbb{R}^{2n} $ 中紧星型超曲面上存在有限条本原闭特征时, 它们都是同调可见和变分可见的, 相关定义参考[3,36]. 受文献 [3] 和弱非共鸣椭球面的例子的启发, 我们倾向于关于闭特征的如下猜想成立

猜想 1^[16] 若 $ \mathbb{R}^{2n} $ 中紧星型超曲面 $ \Sigma $ 上存在有限条本原闭特征, 那么它们的平均指标非零.

当 $ n=3 $ 时, 我们对非退化的紧星型超曲面证明了上述猜想

定理 3.4^[16] 若 $ \mathbb{R}^{6} $ 中非退化紧星型超曲面 $ \Sigma $ 上存在有限条本原闭特征, 那么它们的平均指标非零.

该定理的证明当中的一个关键引理是: 具有零平均指标的闭特征及其迭代的 Maslov 型指标总是 $-1$, 再结合文献 [44] 和莫尔斯理论完成证明.

结合定理 3.3-3.4, 我们得到

推论 3.1^[16] 设 $ \Sigma\in \mathcal{H}_{st}(6) $ 是完美和非退化的, 则 $ \;^{\#}\mathcal{T}(\Sigma)\geq 3 $.

利用定理 3.1-3.2 及定理 3.4 的证明的想法, 我们还得到 Hofer-Wysocki-Zehnder 猜想的任意维推广在一定条件下成立

定理 3.5^[14] 若 $ \Sigma\in \mathcal{H}_{st}(2n) $ 上所有闭特征都是非退化和椭圆的, 则 $ \;^{\#}\mathcal{T}(\Sigma)= n $ 或 $ \infty $.

我们在流形上考虑闭特征对应的问题. 设 $ Y $ 是 $ 2n-1 $ 维可定向闭流形, 1-形式 $ \lambda $ 是 $ Y $ 上的一个切触形式使得 $ \lambda \wedge (d \lambda )^{n-1}> 0 $, 它诱导了 Reeb 向量场 $ R $ 满足

定义 Reeb 闭轨道为 $ R $ 的周期轨道, 即

其中周期 $ T $ 称为 $ \gamma $ 的辛作用; 若 $ \gamma $ 是一个嵌入, 则称 $ \gamma $ 为简单的. 当 $ Y $ 是紧星型超曲面 $ \Sigma $ 时, Reeb 闭轨道就是闭特征.

关于 Reeb 闭轨道的存在性, 1979 年, Weinstein 根据 Rabinowitz 的结果提出著名的 Weinstein 猜想: 任意 2n+1 维闭切触流形上存在 Reeb 闭轨道.

过去 40 年来, Weinstein 猜想、Arnold 猜想、Conley 猜想是促进辛几何领域发展的三大猜想, 其中三维切触流形的 Weinstein 猜想的相关研究, 取得了一系列深入的成果: 2007 年, Taube^[43] 证明了 Weinstein 猜想对三维闭切触流形成立; 2016 年, Cristofaro-Gardiner 和 Hutchings^[11] 证明了三维闭切触流形上至少存在两条 Reeb 闭轨道; 2019 年, Cristofaro-Gardiner, Hutchings 和 Pomerleano^[12] 证明了具有挠切触形式的非退化连通闭三维切触流形存在恰好两条或无穷条 Reeb 闭轨道; 2023 年, Colin, Dehornoy 和 Rechtman^[8]证明了非退化连通闭三维切触流形上存在恰好两条或无穷条 Reeb 闭轨道.

基于上述结果, 考虑恰好具有两条 Reeb 闭轨道的三维切触流形的几何、拓扑与动力系统性质是很自然的问题. 龙以明^[35]、王嵬,胡锡俊和龙以明^[47]、刘会和龙以明^[33]考虑了恰好具有两条闭特征的紧 (凸) 星型超曲面上的相关问题, 受此启发, 近期 Cristofaro-Gardiner, Hryniewicz, Hutchings 和刘会^[9]完整刻画了恰有两条 Reeb 闭轨道的三维切触流形的几何、拓扑与动力系统性质

定理 4.1^[9] 设 $ Y $ 是闭三维切触流形, $ \lambda $ 是 $ Y $ 上的切触形式并且具有恰好两条 Reeb 闭轨道: $ \gamma_1 $ 和 $ \gamma_2 $, 我们有如下结论

(1) $ \lambda $ 非退化, 两条闭轨道都是椭圆的;

(2) 该流形微分同胚于球面或透镜空间;

(3) 令 $ p = | \pi_1(Y)| < \infty $, $ T_i\in{\mathbb R} $ 为 $ \gamma_i $ 的周期, $ \phi_i\in{\mathbb R} $ 为 $ \gamma_i $ 的 Seifert 旋转数, 则

(4) $ \lambda $ 动力凸, 切触结构 $ \xi=Ker(\lambda) $ 万有紧, 即: 它拉回至 $ Y $ 的万有覆盖是紧的.

注 4.1 当 $ Y $ 是紧凸超曲面时, 定理 4.1(1) 在参考文献 [47]中已被证明; 当 $ \lambda $ 非退化时, 定理 4.1(2) 在参考文献 [30] 中已被证明; 当 $ Y=S^3 $ 时, 定理 4.1(3) 蕴含 $ Y $ 上闭轨道周期 $ T_i $, 旋转数 $ \phi_i $, 切触体积 $ vol(Y,\lambda) $ 的关系和椭球面上的关系一致; 若 $ Y=S^3 $, $ \lambda $ 非退化, $ \xi $ 是标准切触结构时, 定理 4.1(1) 和 (3) 在参考[5,26] 中已被证明; 定理 4.1(3) 中 $ vol(Y,\lambda)=T_1T_2 $ 回答了参考文献 [41] 中的公开问题 2. 定理 4.1 的证明的主要创新性思路是定义退化情形下的嵌入切触同调指标, 并估计其在非退化扰动下的误差, 从而得到退化情形下的指标展开式, 结合嵌入切触同调谱不变量的外尔定律完成证明.

基于上述工作, 我们进一步得到如下结果

定理 4.2^[10] 设 $ Y $ 是闭连通三维切触流形, $ \lambda $ 是 $ Y $ 上的切触形式, $ \xi=ker(\lambda) $ 为相关切触结构, 第一陈类 $ c_1(\xi)=H^2(Y;\mathbb{Z}) $ 是挠的, 那么 $ \lambda $ 具有恰好两条或无穷条 Reeb 闭轨道.

该定理相比于文献 [12] 中的主要结果, 主要是体现在去掉了非退化条件. 一般来说, 非退化条件是难以验证的条件, 因此上述定理比[8,12] 中的主要结果更具一般性. 作为推论, 我们完全解决了 Hofer-Wysocki-Zehnder 猜想

推论 4.1 $ \mathbb{R}^4 $ 中任意紧星型超曲面上存在恰好两条或无穷条闭特征.

因为该紧星型超曲面同胚于 $ S^3 $, 因而满足定理 4.2 的条件.

我们的结果也能应用至 Finsler 几何, 并解决了一个长期的猜想

推论 4.1^[1,6,37] $ S^2 $ 上任意 Finsler 度量具有恰好两条或无穷条闭测地线.

因为 $ S^2 $ 的单位切丛为 $ \mathbb{R}P^3 $, 其上的测地流与相应的切触形式的 Reeb 流一致, 而 $ \mathbb{R}P^3 $ 满足定理 4.2 的条件. 由 Lyusternik-Schnirelmann 定理 ^[25,39], $ S^2 $ 上任意 Riemann 度量具有至少三条简单闭测地线, 这结合我们的推论 4.2 可得: $ S^2 $ 上任意 Riemann 度量具有无穷条闭测地线. 因此我们的推论 4.2 覆盖了 Bangert^[2] 和 Franks^[21] 的著名结果: $ S^2 $ 上任意 Riemann 度量具有无穷条闭测地线.

注 4.2 定理 4.2 的证明的创新性思路如下: 利用嵌入切触同调理论得到非退化扰动下的一序列切触形式具有对应的一序列柱面型的整体截面曲面, 其能量具有一致上界并且其两条渐近闭轨道的旋转数具有良好的控制, 再通过取极限及一些紧性和横截性方法得到原切触形式的整体截面曲面, 最终利用 Franks 定理完成证明.

事实上, 我们需要在假设 $ \lambda $ 具有有限条 Reeb 闭轨道和 $ c_1(\xi)=H^2(Y;\mathbb{Z}) $ 是挠的条件下, 找到一个圆环型整体截面曲面, 即: 一个紧的圆环 $ S $ 满足如下条件

(1) $ S $ 浸入至 $ Y $ 中, $ S $ 的内部 $ int(S) $ 嵌入至 $ Y $ 中, $ S $ 和 Reeb 向量场横截, $ S $ 的边界由 Reeb 闭轨道组成;

(2) 每条 Reeb 流在时间上都向前和向后与 $ S $ 相交.

如果这样的 $ S $ 存在, 则可以定义一个保面积的第一回复映射 $ P: int(S)\rightarrow int(S) $, 通过取一个点至 Reeb 流穿过该点与 $ int(S) $ 相交的下一个位置, 那么 $ P $ 的周期轨和 Reeb 闭轨道一一对应. Franks 定理表明: 任何开圆环的保面积同胚如果有周期点, 那么一定存在无穷多周期点. 我们已经知道 $ S $ 的两个边界是两条 Reeb 闭轨道, 如果还有其它 Reeb 闭轨道, 则由 Franks 定理得到存在无穷多条 Reeb 闭轨道.

近年来, 紧星型超曲面上闭特征问题及切触流形上 Reeb 闭轨道问题的研究取得了较大的进展, 但仍有许多困难的问题没有解决, 最后我们罗列几个问题如下

问题 1 (多重性猜想) $ {\mathbb{R}}^{2n} $ 中任意紧星型超曲面上至少存在 $ n $ 条闭特征.

问题 2 (稳定性猜想) $ {\mathbb{R}}^{2n} $ 中任意紧凸超曲面上总存在椭圆闭特征.

问题 3 (2 或 $ \infty $ 猜想) 任意闭连通三维切触流形上存在恰好两条或无穷条 Reeb 闭轨道.

近年来, 作者在紧星型超曲面上闭特征问题的研究上取得了若干进展, 离不开许多老师的帮助和支持. 特别是 10 年前, 时任武汉大学数学与统计学院院长的陈化教授把作者引进至武汉大学数学与统计学院和协同创新中心, 一直以来在工作上给予支持和帮助, 值此陈化教授 70 岁华诞之际, 谨以此文献给陈老师, 祝他学术长青, 身体健康, 万事如意!