我们考虑非线性锥退化 Laplace 方程

以及其 Dirichlet 问题

这里维数 $n\geq 3$,

函数 $f:\mathbb{B}\to \mathbb{R}$ 是连续的. 函数 $h: \mathbb{R}\to \mathbb{R} $ 是连续非增的, 并且满足 $h(0)=0$. 区域 $\mathbb{B}= (0,1)\times X $是一个拉伸锥, $X$ 是 $\mathbb{R}^{n-1}$ 中的一个有界开区域. 对于 $t>0$ 以及 $x\in X$, 记

(1.1) 式源于带锥型奇点流形. 带锥型奇点的有限维流形 $B$ 是一个拓扑空间, 其包含一个锥型奇点的有限子集

$B$ 和 $ B_0$ 满足一下两点性质

1. $B \backslash B_0$ 是一个$C^{\infty}$ 流形;

2. 每一个 $b \in B_0$ 均有一个开邻域 $U\subset B$ 使得存在一个同胚映射 $\varphi: U \rightarrow X^{\Delta},$ 并且 $\varphi$ 限制为一个微分同胚$\varphi^{\prime}: U \backslash\{b\} \rightarrow X^{\wedge}.$ 这里 $X$ 是一个$\mathbb{R}^n$ 中的有界开集, 并且有光滑的边界. 令$X^{\Delta}=\overline{\mathbb{R}}_{+} \times X /(\{0\} \times X).$该局部模型可解释为以$X$ 为底的锥. 由于该分析是在奇点之外构建的, 因此过渡到$X^{\wedge}=\mathbb{R}_{+} \times X$是合理的.$X^{\wedge}$ 是 以 $X$ 为底的开的拉伸锥. 在 (1.1) 式中, 我们考虑有限拉伸锥的最简单情形

$X^{\wedge}=\mathbb{R}_{+} \times X$ 上的黎曼度量是

则

则梯度如下

现在计算锥型奇点附近的 Laplace 算子, 令$G=\sqrt{\left|\operatorname{det}\left(g_{i j}\right)\right|}=t^{n-1}$, 则

该 Laplace 算子可参见文献 [16, 第 7 章例 4].

关于该锥 Laplace 算子, Chen, Liu 和Wei^[9] 在锥 Sobolev 空间上建立了相应的 Sobolev 不等式与 Poincaré 不等式, 进而以这些不等式为工具, 证明了一类带锥型奇点流形上非线性椭圆方程 Dirichlet 边值问题非平凡弱解的存在性. 紧接着, Chen, Liu 和Wei^[10] 研究了一类具次临界或临界锥 Sobolev 指数的半线性全特征椭圆方程的 Dirichlet 问题, 并在两种指数情形下均得到了方程无穷多解的存在性结果. 在文献 [13] 中, Chen, Luo 和 Tian 研究了带锥型奇点流形上的渐近线性椭圆方程, 结合锥退化算子的性质, Pohozaev 流形等给出了方程的一个正解. 最近, Chen 等在文献 [7] 中给出了一类锥退化 $p$-Laplace 方程粘性解的 Alexandrov-Bakelman-Pucci 以及 Hölder 估计, 进一步通过函数收敛以及区域逼近得到了相应的 Dirichlet 问题粘性解的存在性. 关于该锥 Laplace 算子的相关研究, 亦可参见文献 [8,11,12] 等.

粘性解由 Crandall 和 Lions^[15] 针对 Hamilton-Jacobi 方程首次提出, 后来在^[6,19] 中被推广至二阶椭圆型方程.

比较原理在使用 Perron 方法研究粘性解的存在唯一性中起着至关重要的作用: 若存在能连续地满足 Dirichlet 问题边界条件的粘性下解与上解, 那么比较原理可保证方程存在唯一的粘性解, 具体参见文献 [14,17,19] 等. 考虑完全非线性的二阶退化椭圆方程

这里的退化与本文所说的锥型退化不同, 具体指的是: 对于任意的$(x,r,p,X)\in \Omega\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}^n \times S^n$, 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的开集, $S^n$ 是 $n\times n$ 实对称矩阵空间, 下式成立

在文献 [19] 中, 作者考虑 $\tilde{F}$ 是 $\Omega\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}^n \times S^n$ 上的实值连续函数,在假设条件 $(\text{G})$ 和 $(\text{H})$ 成立的情况下获得了方程 (1.5) 粘性解的比较原理, 并基于此通过 Perron 方法获得了粘性解的存在唯一性.

$(\textbf{G})$ 对于任意的$ R<+\infty,$ 存在 $\gamma_{R}>0$ 使得对于所有的 $x\in \Omega$, $R\geq r\geq s \geq -R$, $p\in \mathbb{R}^n$, $X\in S^n$, 下式成立

$(\textbf{H})$ 如果 $x,y\in \Omega$, $|r|\leq R$, $p\in \mathbb{R}^n$, $X\in S^n$, 对于所有的 $R<+\infty$, 下式成立

其中 $\omega_{R}$ 满足随着 $\mu\to 0^{+}$, $\omega_{R}(\mu)\to 0$. 相关研究也可以参见[14,18]. 另外文献 [14] 指出当方程 $\tilde{F}(x, r, p, M)$ 的结构性条件允许将粘性下解 (上解) 转化为严格的粘性下解 (上解) 时, 假设条件 $(\text{G})$ 可以被移除. 为了克服条件 $(\text{G})$ 不成立的困难, Barles G 和 Busca J^[1] 采取了完全不同的方法: 采用弱形式的 Hopf 引理以及变量替换的方法, 将原始方程转化成一个新的方程, 使得新方程满足假设条件 $(\text{G})$ 来进行研究. 值得一提的是文献 [1] 中研究的方程是齐次的. Kawohl 和 Kutev^[21] 扩展了文献 [14] 中的结论, 在更一般的结构性条件下以及比 $(\text{G})$ 更弱的条件下, $\gamma_{R}\geq0$, 得到粘性解的比较原理. 关于以 p-Laplace 算子为模型的奇异完全非线性方程粘性解比较原理的研究, 参见[4,5].这里奇异指的是 $1<p<2$. 对于形如 $\nabla^2\psi + L(x, \nabla\psi)$的一类非线性椭圆算子, Li[22-24] 研究了其粘性解的强比较原理以及 Hopf 引理.近年来, 粘性解的比较原理仍是研究热点. 具体而言, Bayraktar等^[2]证明了 Wasserstein 空间上二阶抛物型偏微分方程粘性解的比较原理; Jimenez 等^[20]则证明了一阶 HJB 方程在 Wasserstein 空间上粘性解的比较原理; Bieske 和Forrest^[3] 针对一类 Grushin 型向量场所对应的无穷 Laplace 方程, 也得到了类似结论. 上述研究为我们探究方程 (1.1) 粘性解的比较原理带来了启发.

现在, 我们提供以下本文将使用到的记号.

$\bullet\ S^n$: $n\times n$ 的实对称矩阵空间.

$\bullet \ USC$: 上半连续.

$\bullet\ LSC$: 下半连续.

$\bullet\ B((t,x),r)$: 以 $(t,x)$为圆心, 以 $r$ 为半径的欧式球.

$\bullet\ B_{\mathbb{B}}((t,x),r)$: 以 $(t,x)$为圆心, 以 $r$ 为半径的锥球, 具体参见 (1.11) 式.

当不强调圆心 $(t,x)$ 时, 将 $B((t,x),r)$ 和 $B_{\mathbb{B}}((t,x),r)$ 分别简写为 $B(r)$ 和 $B_{\mathbb{B}}(r)$.

定义 1.1 [锥距离] 因为锥上的度量是 ${\rm d}s^2=\frac{1}{t^2}({\rm d}t)^2+\sum_{i=1}^{n-1}( {\rm d}x_i)^2$, 则锥上两个点$(t,x)=(t,x_1,\cdot\cdot\cdot,x_{n-1})$ 和 $(t_0,x_0)=(t_0,x_1^0,\cdot\cdot\cdot,x_{n-1}^0)$ 之间的距离为

定义 $|(t,x)-(t_0,x_0)|_{\mathbb{B}}=: {\rm d}_{\mathbb{B}}((t,x),(t_0,x_0))$. 进一步, 定义 $ {\rm d}_{\partial\mathbb{B}}{(t,x)}$ 为点 $(t,x)$ 到锥边界 $\partial \mathbb{B}$ 的距离, 具体定义如下

为了方便, 在测度 $\frac{{\rm d}t}{t}{\rm d}x$ 意义下引入 $ \mathbb{R}_{+}^{n} $ 中的开球,其心为 $w=(s,y)=(s,y_1,\cdots,y_{n-1})\in \mathbb{R}_{+}^{n}$, 半径为 $r$, 定义如下

定理 1.1 (比较原理) 设 $u\in USC(\overline{\mathbb B})$ 是方程 (1.1) 的粘性下解, 且 $\mathop{\lim}\limits_{t \to 0} \sup u$ 存在; $v\in LSC(\overline{\mathbb B})$ 是方程 (1.1) 的粘性上解, 且 $\mathop{\lim}\limits_{t \to 0} \inf v$ 存在. 如果在 $\partial \mathbb B$ 上满足 $u\le v$, 则可推得在 $\mathbb B$ 内成立 $u\le v$.

定理 1.2 Dirichlet 问题 (1.2) 至多存在一个属于 $ C(\overline {\mathbb{B}})$ 的粘性解 $u$.

本文研究一类由锥退化 Laplace 算子导出的非散度型非线性椭圆方程, 具体参见[25,26]. 本文的主要贡献可概括如下: 首先, 锥退化 Laplace 算子刻画了直锥上锥型奇点的几何性质, 而目前关于该算子及其相关方程的研究仍较为匮乏. 再者, 锥退化给分析工作带来了本质困难, 对此我们建立了一套适用于锥退化算子的框架. 具体而言, 我们定义了锥距离这一核心概念, 见定义 1.1. 最后, 方程 (1.1) 中零阶项的缺失给相关分析带来了巨大挑战, 为此我们构造了一个特殊的辅助函数, 并且借鉴文献 [14,18,19] 等中的分析方法展开研究.

本文的内容安排如下: 在第2节, 我们说明本文将用到的一些定义和引理; 在第3 节中, 我们借助特殊的辅助函数通过反证法得到方程 (1.1) 粘性解的比较原理, 进一步我们获得 Dirichlet 问题 (1.2) 有界粘性解的唯一性结果.

定义 2.1^{[7, 粘性解]} 设 $G$ 为定义在 $\Gamma:=\mathbb B\times \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \times S^n$ 上的实值连续函数. 对于任意的实对称矩阵 $A\ge B$, 有

一个函数 $u\in LSC(\mathbb{B})\ (\text{resp}.\ u\in USC(\mathbb{B}))$ 被称为方程 (2.1)的粘性上解 $(resp. 下解)$

如果对于任意 ${\phi}\in C^2(\mathbb{B})$, 在 $u-{\phi}$ 的极小值 $($resp. 极大值$)$ 点 $(t_0,x_0)\in \mathbb{B}$ 处, 下述不等式成立

称 $u$ 是方程 (2.1) 的粘性解, 如果 $u$ 既是方程 (2.1) 的粘性上解, 又是方程 (2.1) 的粘性下解.

定义 2.2 (上 $\epsilon$-包络) 设 $u \in USC(\mathbb{B})$, 在 $\mathbb B_{\epsilon}$ 上定义 $u$ 的上 $\epsilon$-包络, 如下

其中

定义 2.3 (下 $\epsilon$-包络) 设 $u \in LSC(\mathbb{B})$, 在 $\mathbb B_{\epsilon}$ 上定义 $u$ 的下 $\epsilon$-包络, 如下

$\mathbb B_{\epsilon}$的定义见 (2.3)式.

引理 2.1 [18,命题 4.3] 设 $\epsilon>0$, $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的开集, 且 $\phi \in C^1(\Omega)$. 设 $u\in USC(\Omega)$, 定义 $u$ 的上 $(\epsilon,E)$-包络 $u^{\epsilon,E}$, 如下

其中

如果 $u^{\epsilon,E}-\phi$ 在点 $x_0 \in \Omega_{\epsilon,E}$ 处取得最大值, 则 $u^{\epsilon,E}$ 在 $x_0$ 的某个邻域内是半凸的. 更精确地说, 存在依赖于 $\epsilon$ 和 $|\nabla\phi (x_0)|$ 的常数 $C$, 以及 $x_0$的一个邻域 $V$, 使得函数 $ u^{\epsilon,E}(x)+C|x|^2$ 在 $V$ 上是凸的.

引理 2.2 [18,引理 5.2] 设 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的一个有界开集, $w$ 是 $\overline{\Omega}$ 上一个 Lipschitz 连续函数. 假设存在 $y \in \Omega$, 使得 $w(y)=\mathop{\max}\limits_\Omega w>\mathop{\max}\limits_{\partial \Omega} w$, 且 $w$ 在 $\Omega$ 上是半凸的. 则对于任意的 $\varepsilon>0$, 存在点 $p \in \mathbb{R}^n$ 和点 $z \in \Omega$ 满足 $|p| \leq \varepsilon$, 使得函数 $ w(x)+\langle p, x\rangle$ 在点 $z$ 处取得最大值, 且该函数在点 $z$ 处二阶可微. 这里 $\langle p, x\rangle$ 是向量 $p$ 和 $x$ 的欧式内积.

引理 2.2 [18,引理 5.3] 对于任意的常数 $C>0$, 集合 $K=\left\{X \in S^n\ | \ -C I \leq X \leq C I\right\}$ 是 $S^n$ 中的紧集合. 其中 $S^n$ 是 $n\times n$ 的实对称矩阵空间.

引理 3.1 设 $G$ 是 $\Gamma=\mathbb B\times \mathbb{R} \times \mathbb{R} ^n \times S^n$ 上的实值连续函数. 这里 $S^n$ 是 $n\times n$ 的实对称矩阵空间. 设 $u$ 是方程 (3.1) 的上半连续的粘性下解

对于任意的 $\epsilon >0$, 定义 $\Gamma _\epsilon :=\mathbb{B}_\epsilon \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} ^n \times S^n$ 上的一个连续函数 $G^{\epsilon}$, 如下

其中 $\mathbb{B}_\epsilon$ 的定义见 (2.3) 式. 则函数 $u$ 的上 $\epsilon$-包络 $u^\epsilon$ 是方程 (3.3) 的一个粘性下解

证 对于任意的 $\phi \in C^2\left(\mathbb{B}_{\epsilon}\right)$, 如果 $u^{\epsilon}-\phi$ 在点 $(t_0,x_0) \in \mathbb{B}_{\epsilon}$ 处取得极大值, 则存在 $(t_0,x_0)$ 的一个邻域 $U$, 使得对于任意的 $(t,x)\in U $, 下式成立

因为 $u\in USC(\mathbb{B})$, 则由定义 2.2 中上 $\epsilon$-包络的定义可知, 存在点 $({s_0},y_0)$ 满足 $|({s_0},y_0)-({t_0},x_0)|_{\mathbb{B}}\leq \epsilon$, 使得下式成立

已知对于任意满足 $|({s},y)-({t},x)|_{\mathbb{B}}\leq \epsilon$ 的点 $({s},y)$, 有

结合 (3.4), (3.5) 和 (3.6) 式, 对于任意的 $(t,x) \in U$ 和满足 $|({s},y)-({t},x)|_{\mathbb{B}}\leq \epsilon$ 的点 $(s,y)$, 我们得到

选择 $y=x-x_0+y_0$, $\displaystyle s=\frac{ts_0}{t_0}$, 由 (3.7) 式可知, 对于 $(s_0,y_0)$ 某个邻域中的任意点 $(s,y)$, 下式成立

由上述不等式, 可知

在 $(s_0,y_0)$ 点取得极大值. 因此, 由粘性下解的定义可知, $G((s_0,y_0), u\left(s_0,y_0\right), \nabla_{\mathbb{B}} \phi\left(t_0,x_0\right), \nabla_{\mathbb{B}}^2 \phi$ $\left(t_0,x_0\right)) \geq 0.$ 由 (3.5) 式可知, $\left|({s_0},y_0)-({t_0},x_0)\right|_{\mathbb{B}}^2+\left(u\left(s_0,y_0\right)-u^{\epsilon}\left(t_0,x_0\right)\right)^2=\epsilon^2,$ 结合 (3.2) 式, 可得 $G^\epsilon((t_0,x_0), u^{\epsilon}\left(t_0,x_0\right), \nabla_{\mathbb{B}} \phi\left(t_0,x_0\right), \nabla_{\mathbb{B}}^2 \phi\left(t_0,x_0\right))\geq 0.$ 即, $u^\epsilon$ 是下列方程的粘性下解

引理 3.2 设 $G$ 是 $\Gamma=\mathbb B\times \mathbb{R} \times \mathbb{R} ^n \times S^n$ 上的实值连续函数. 这里 $S^n$ 是 $n\times n$ 的实对称矩阵空间. 设 $u$ 是方程 (3.8) 的下半连续的粘性上解

对于任意的 $\epsilon >0$, 定义 $\Gamma _\epsilon =\mathbb{B}_\epsilon \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} ^n \times S^n$ 上的一个连续函数 $G_{\epsilon}$, 如下

其中 $\mathbb{B}_\epsilon$ 的定义见 (2.3) 式. 则函数 $u$ 的下 $\epsilon$-包络 $u_\epsilon$ 是方程 (3.10) 的一个粘性上解

这个引理的证明类似于引理 3.1.

引理 3.3 设 $\epsilon>0$, $\phi \in C^1(\mathbb{B})$, $u\in USC(\mathbb{B})$, 且$u^{\epsilon}$ 是 $u$ 的上 $\epsilon$-包络, 具体见定义 2.2. 如果 $u^{\epsilon}-\phi$ 在点 $(t_0,x_0) \in \mathbb{B}_{\epsilon}$ 处取得最大值, 则 $u^{\epsilon}$ 在 $(t_0, x_0)$ 的某个邻域中关于 $(\ln t, x)$ 是半凸的. 更精确地说, 存在依赖于 $\epsilon$ 和 $|\nabla_{\mathbb{B}}\phi(t_0,x_0)|$ 的常数 $C$ 以及 $(t_0,x_0)$ 的一个邻域 $V$ 使得函数 $u^{\epsilon}(t,x)+C|(\ln t,x)|^2$ 在 $V$ 上关于 $(\ln t,x)$ 是凸的.

证 令

则 $\overset{T}{}\mathbb{B}$ 是 $ \mathbb{R}^{n}$ 中的一个开区域. 记 $\partial_{E} (\overset{T}{}\mathbb{B})$ 为 欧式度量下 $\overset{T}{}\mathbb{B}$ 的边界. 则

由定义 1.1 和 (2.6) 式可知,

其中 $b=\ln s$. 令

首先, 因为

则

再者, 由定义 2.2 和 (3.12) 式可知,

令 $b=\ln s$, 由定义 1.1, $a=\ln t$ 以及 (2.5), (3.12)式可知,

如果 $u^{\epsilon}-\phi$ 在 $(t_0,x_0) \in \mathbb{B}_{\epsilon}$ 点处取得最大值. 则由 (3.11) 和 (3.12) 式可知, $ \overset{T}{}(u^{\epsilon})(a,x) -\overset{T}{}\phi(a,x)$ 在 $(a_0,x_0) \in(\overset{T}{}\mathbb{B})_{\epsilon,E}$ 点处取得最大值, 其中 $a_0=\ln t_0$. 进一步, 由 (3.14) 式可得 $({\overset{T}{}u})^{\epsilon,E}(a,x) -\overset{T}{}\phi(a,x)$ 在 $(a_0,x_0) $ 点处取得最大值. 由引理 2.1 可知, $({\overset{T}{}u})^{\epsilon,E}(a,x)$ 在$(a_0,x_0)$ 的某个邻域内是半凸的. 更精确地说, 存在一个依赖于 $\epsilon$ 和 $|\nabla (\overset{T}{}\phi) (a_0, x_0)|$ 的常数 $C$ 和一个 $(a_0, x_0)$ 的邻域 $\overset{T}{}V$ 使得函数 $({\overset{T}{}u})^{\epsilon,E}(a,x)+C|(a,x)|^2$ 在 $\overset{T}{}V$ 上是凸的. 令 $V:=\{(t,x) : (a,x)\in \overset{T}{}V\}$, 由 (3.12), (3.13) 和 (3.14) 式可知, 存在依赖于 $\epsilon$ 和 $|\nabla_{\mathbb{B}}\phi(t_0,x_0)|$ 的常数 $C$ 以及 $(t_0,x_0)$ 的一个邻域 $V$ 使得函数 $u^{\epsilon}(t,x)+C|(\ln t,x)|^2$ 在 $V$ 上关于 $(\ln t,x)$ 是凸的.

命题 3.1 设 $u$ 和 $v$ 分别是方程 (3.15) 的上半连续的粘性下解和下半连续的粘性上解, $u^\epsilon$ 是 $u$ 的上 $\epsilon$-包络, $v_\epsilon$ 是 $v$ 的下 $\epsilon$-包络,

对于任意的 $\epsilon>0$ 以及 $((t,x),(s,y))\in \mathbb B_\epsilon \times \mathbb B_\epsilon$, 令

对于任意的 $\phi \in C^2(\mathbb{B})$, 如果 $w-\phi$ 在点 $((\overline t,\overline x),(\overline s,\overline y))\in \mathbb B_\epsilon\times \mathbb B_\epsilon$ 取得最大值, 则存在矩阵 $X,Y \in S^n$ 以及一个依赖于 $\epsilon$ 和 $\overline{\nabla}_{\mathbb{B}}\phi((\overline t,\overline x),(\overline s,\overline y))$ 的正常数 $C$ 使得下式成立

其中 $G^\epsilon$ 和 $G_\epsilon$ 的定义见 (3.2) 和 (3.9) 式, $ \overline{\nabla}_{\mathbb{B}}=(t \partial_ t,\partial x_1,...,\partial x_{n-1}, s\partial s,\partial y_1,...,\partial y_{n-1}).$

证 分三步进行这个命题的证明.

步骤 1 进行一些准备工作来证明 (3.17), (3.18) 和 (3.19) 式. 不妨假设 $w-\phi$ 在点 $\left((\bar{t},\bar{x}), (\bar{s},\bar{y})\right)\in \mathbb{B}_{\epsilon} \times \mathbb{B}_{\epsilon}$ 处取得严格最大值. 否则可以用

来代替 $ \phi$. 由 (3.16) 式可知$-v_{\epsilon}(s,y)-\phi((\bar{t},\bar{x}),(s,y))$ 在 $(\bar{s},\bar{y})$ 处取得 $\mathbb{B}_{\epsilon}$ 上的严格最大值.由定义 2.2 和 2.3 可知, $(-v)^{\epsilon}=-v_{\epsilon}$. 则 $(-v)^{\epsilon}(s,y)-\phi((\bar{t},\bar{x}),(s,y))$ 在点 $(\bar{s},\bar{y})\in\mathbb{B}_{\epsilon}$ 处取得严格最大值. 因为 $v\in LSC(\mathbb{B})$, 则 $-v\in USC(\mathbb{B})$.对 $-v$ 应用引理 3.3, 则存在 $(\bar{s},\bar{y})$ 的一个开邻域 $V_1$ 使得 $(-v)^{\epsilon}$ 关于 $(\ln s, y)$ 是半凸的. 因为半凸函数是局部 Lipschitz 连续的, 则可以选择 $(\bar{s},\bar{y})$ 的一个开邻域 $V_2\Subset V_1$ 使得 $(-v)^{\epsilon}$ 在 $\overline V_2$ 上关于 $(\ln s, y)$ 是 Lipschitz 连续的.

类似的, 存在 $(\bar{t},\bar{x})$ 的一个开邻域 $V_3$ 使得 $u^{\epsilon}$ 在 $V_3$ 上是半凸的, 且在 $\overline V_3$ 上关于 $(\ln t,x)$ 是 Lipschitz 连续的. 由 (3.16) 式可知存在 $((\bar{t},\bar{x}),(\bar{s},\bar{y}))$ 的一个邻域 $V\subset V_2\times V_3$ 使得 $w$ 在 ${V}$ 上是半凸的, 且在 $\overline V$ 上关于 $(\ln t,x,\ln s,y)$ 是 Lipschitz 连续的. 因此, $w-\phi$ 在 ${V}$ 上是半凸的, 且在 $\overline V$ 上关于 $(\ln t,x,\ln s,y)$ 是 Lipschitz 连续的.

应用引理 2.2 到 $w-\phi$, 可知存在两个序列

和

满足性质 (i)-(iii).

(i) 随着 $k \rightarrow \infty$,

(ii) 对于 $k \in \mathbb{N}$, $w-\phi$ 在点 $\left((t_k,x_k), (s_k,y_k)\right) $ 处二阶可微;

(iii) 对于 $k \in \mathbb{N}$, 在 $V$ 上, 函数

于 $\left((t_k,x_k), (s_k,y_k)\right) $ 处取得最大值.

步骤 2 证明 (3.17) 式成立. 一方面, 由于 $w-\phi$ 达到严格最大值在 $\left((\bar{t},\bar{x}), (\bar{s},\bar{y})\right)\in\mathbb{B}_{\epsilon} \times \mathbb{B}_{\epsilon}$, 从 (3.21) 和 (3.22) 式可以推出

进一步, 回顾 $\omega$ 的定义 (3.16), 对 (3.24) 式化简可得

对于 $k \in \mathbb{N}$, 令

回顾 $\omega$ 的定义 (3.16), 对 (3.25) 式进行移项可得

另一方面, 因为 $\mathbb{B}$ 是一个开集, 并且 $w-\phi$ 在点 $\left((\bar{t},\bar{x}), (\bar{s},\bar{y})\right)\in \mathbb{B}_{\epsilon} \times \mathbb{B}_{\epsilon}$ 处取得严格最大值, 则$u^{\epsilon}(t,x)-\phi(t,x,\bar{s},\bar{y})$ 在 $(\bar{t},\bar{x})\in \mathbb{B}_{\epsilon}$ 处取得严格最大值. 对 $u$ 应用引理 3.3, 结合 (3.20) 式可知, 存在一个依赖于$\epsilon$ 和 $|{\nabla_{\mathbb{B}}}_{(t,x)}\phi((\bar{t},\bar{x}),(\bar{s},\bar{y}))|$ 的常数 $C_1 $ 使得

类似的, 因为 $v\in LSC(\mathbb{B}),$ 则 $-v\in USC(\mathbb{B})$. 对 $-v$ 应用引理 3.3, 结合 (3.20) 式可知, 存在一个依赖于$\epsilon$ 和 $|{\nabla_{\mathbb{B}}}_{(s,y)}\phi((\bar{t},\bar{x}),(\bar{s},\bar{y}))|$ 的常数 $C_2 $ 使得

总的来说, 存在依赖于$\epsilon$ 和 $|\overline{\nabla}_{\mathbb{B}}\phi((\bar{t},\bar{x}),(\bar{s},\bar{y}))|$ 的常数 $C $ 使得下式成立

已知 $V$ 是 $\left((\bar{t},\bar{x}), (\bar{s},\bar{y})\right)$ 的一个开邻域, $\phi\in C^2(\mathbb{B})$. 则由 (3.31) 和 (3.29) 式可知, 存在一个常数 $C$ 满足 $0<C<+\infty$, 使得对于任意的 $k \in \mathbb{N}$ 有 $-C I \leq X_k, Y_k \leq CI$ 成立. 则从引理 2.3 可知, 存在一列增序列 $\left\{k_j\right\} \subset \mathbb{N}$ 以及矩阵 $X$, $Y \in S^n$ 使得, 随着 $j \rightarrow \infty$, 有 $X_{k_j} \rightarrow X, Y_{k_j} \rightarrow Y$. 因此当 $k=k_j \rightarrow \infty$ 时, 有

上式中的 $C$ 依赖于 $\epsilon$ 和$\overline{\nabla}_{\mathbb{B}}\phi((\bar{t},\bar{x}),(\bar{s},\bar{y}))$.

步骤 3 证明 (3.18) 和 (3.19) 式成立. 由引理 3.1 可知 $u^{\epsilon} $ 是

一个粘性下解. 由 (3.22) 和 (3.16) 式可知

在 $(t_k,x_k)$ 处取得最大值. 从 (ii) 可知 $w-\phi$ 在 $\left((t_k,x_k), (s_k,y_k)\right)$ 处二阶可微. 进一步结合 (3.26) 和 (3.28) 式可得

同理, 由引理 3.2 可知 $v_{\epsilon} $ 是

的一个粘性上解. 由 (3.22) 和 (3.16) 式可知

在 $(s_k,y_k)$ 处取得最小值. 从 (ii) 可知 $w-\phi$ 在 $\left((t_k,x_k), (s_k,y_k)\right)$ 处二阶可微. 进一步结合 (3.27) 和 (3.28) 式可得

因为 $u^{\epsilon}$ 和 $v_{\epsilon}$ 在 $\overline{V}$ 上是连续的, 并且, 随着 $k\to \infty,$ $ \left((t_k,x_k), (s_k,y_k)\right) \rightarrow\left((\bar{t},\bar{x}), (\bar{s},\bar{y})\right)$, 则当 $k=k_j\to \infty$ 时, 有

定理 1.1 的证明 该定理的目的是证明如果 $ \mathop{\lim}\limits_{t \to 0}\sup u$ 和 $ \mathop{\lim}\limits_{t \to 0}\inf v$ 存在, 则下式成立

其中 $u$ 是 Dirichlet 问题 (1.2) 的粘性下解, $v$ 是 Dirichlet 问题 (1.2) 的粘性上解. 我们将分两步通过反证法进行证明.

步骤 1 进行一些准备工作. 如果 (3.32) 式不成立, 则意味着 $\sup\limits_{\mathbb B} (u-v)> 0.$ 那么, 对于任意小的固定常数 $\lambda>0$, 有 $\sup\limits_{\mathbb B} (u-v+\lambda \ln t)> 0$. 假设 $\sup\limits_{\mathbb B} (u-v+\lambda \ln t)=\delta$, 定义

其中 $\alpha>0,\lambda>0$, $\mathbb{B}_{\epsilon}$ 的定义具体见 (2.3) 式. 这里我们说明因为 $u\in USC(\overline{\mathbb{B}})$, $v\in LSC(\overline{\mathbb{B}})$, 所以 ${{u}}^{\epsilon}$ 和 ${{v}}_{{\epsilon}}$ 可以定义在 $\overline{\mathbb{B}}_{\epsilon}$ 上.

我们断言当 $\alpha$ 充分大, $\epsilon$ 充分小时, 存在

和

使得下面这些性质成立.

(i)

(ii)

(iii) 存在 $\mathbb{B}\times\mathbb{B}$ 中的点 $((t_{\infty},x_{\infty}), (t_{\infty},x_{\infty}))$ 使得

(iv)

(V)

接下来, 我们进行分析. 因为 $u\in USC(\overline{\mathbb{B}})$, 且 $ \mathop{\lim}\limits_{t \to 0}\sup u$ 存在, 则 $u$ 有上界. $v\in LSC(\overline{\mathbb{B}})$, 且 $ \mathop{\lim}\limits_{t \to 0}\inf v$ 存在, 则 $v$ 有下界. 则 $M_{\alpha}$ 存在, 并且

容易观察到当 $\alpha\to +\infty $ 时,

如果 $\left((\ln\frac{t}{s})^2+|x-y|^2\right)\nrightarrow 0 $, 则

如果 $\left((\ln\frac{t}{s})^2+|x-y|^2\right)\to 0 $,且 $(t,x)\to \partial{\mathbb{B}}$, 则

如果 $\left((\ln\frac{t}{s})^2+|x-y|^2\right)\to 0 $, 且 $t \to 0$, 则

$\begin{equation}\label{3.45} u(t,x)-v(s,y)-\frac{\alpha}{2}\left((\ln\frac{t}{s})^2+(|x-y|)^2\right)+\lambda \ln t\to -\infty.\end{equation}$(3.45

基于上述分析, 当 $\alpha$ 充分大, 存在 $((t_{\alpha},x_{\alpha}), (s_{\alpha},y_{\alpha}))\in \mathbb{B}\times\mathbb{B}$ 使得 (3.37) 式成立. 额外地, 当 $\alpha $ 充分大时, 存在$((t_{\alpha},x_{\alpha}), (s_{\alpha},y_{\alpha}))$ 的一个子列, 为了方便我们依然记作 $((t_{\alpha},x_{\alpha}), (s_{\alpha},y_{\alpha}))$, 收敛到 $ \mathbb{B}\times\mathbb{B}$ 中的某点$((t_{\infty},x_{\infty}),\left(t_{\infty},x_{\infty})\right).$ 至此, (3.37) 和 (3.39) 式成立. 回顾 $M_{\alpha,\epsilon}$ 的定义

因为 $u(t,x)$ 有上界, 不妨设为 $c_1$; $v$ 有下界, 不妨设为 $c_2$, 由定义 2.2 和定义 2.3 可知, $u(t,x)\leq {u}^{\epsilon}(t,x)\leq c_1+\epsilon$, $ c_2-\epsilon\leq {v}_{\epsilon}(s,y)\leq v(s,y).$ 则 $M_{\alpha,\epsilon}$ 存在, 且

则当 $\alpha$ 充分大时, 由 (3.35) 和 (3.37) 式, 可知, 当 $\epsilon$ 充分小时,

类似的, 通过在 (3.43) 和 (3.45) 式处的分析, 当 $\alpha$ 充分大时, $\epsilon$ 充分小时, 存在 $((t_{\alpha,\epsilon},x_{\alpha,\epsilon}), (s_{\alpha,\epsilon},$ $y_{\alpha,\epsilon}))\in{\overline{\mathbb B}_{\epsilon}\times \overline{\mathbb B}_{\epsilon}}$ 使得

当 $\epsilon\to 0,$ 存在 $((t_{\alpha,\epsilon},x_{\alpha,\epsilon}), (s_{\alpha,\epsilon},y_{\alpha,\epsilon}))$ 的一个子列, 为了方便我们依然记作 $((t_{\alpha,\epsilon},x_{\alpha,\epsilon}), (s_{\alpha,\epsilon},$ $y_{\alpha,\epsilon})),$ 收敛到某一个点 $((t_{\alpha,0},x_{\alpha,0}),\left(s_{\alpha,0},y_{\alpha,0})\right).$

如果 $t_{\alpha,0}=0$, 当 $\epsilon\to 0$ 时,

如果 $t_{\alpha,0}\neq 0$, $s_{\alpha,0}=0$, 当 $\epsilon\to 0$ 时,

由 (3.46) 式可知, $M_{\alpha,\epsilon}\geq \delta$, 则 $t_{\alpha,0}\neq 0, s_{\alpha,0}\neq 0$. 由定义 2.2 和 2.3 可知,

其中 $|({t_{\alpha,\epsilon}},x_{\alpha,\epsilon})-({\bar{t}_{\alpha,\epsilon}},\bar{x}_{\alpha,\epsilon})|_{\mathbb{B}}\leq \epsilon$, $|({s_{\alpha,\epsilon}},y_{\alpha,\epsilon})-({\bar{s}_{\alpha,\epsilon}},\bar{y}_{\alpha,\epsilon})|_{\mathbb{B}}\leq \epsilon$. 因此, 由 (3.46) 式可知,

根据 (3.37) 式, 可以假设 $((t_{\alpha,0},x_{\alpha,0}),(s_{\alpha,0},y_{\alpha,0}))= \left((t_{\alpha},x_{\alpha}),(s_{\alpha},y_{\alpha})\right). $ 已知当 $\alpha$ 充分大时, $\left((t_{\alpha},x_{\alpha}),(s_{\alpha},y_{\alpha})\right) \in \mathbb{B}\times \mathbb{B}$. 则当 $\alpha$ 充分大, $\epsilon$ 充分小时, 有

额外地, 由 (3.47), (3.48) 和 (3.49) 式, 可知

因此 (3.38), (3.40) 和 (3.41) 式成立.

步骤 2 通过给出一个矛盾证明 (3.32) 式成立. 接下来, 我们在 $\alpha$ 充分大, $\epsilon$ 充分小使得 (3.35)-(3.41) 式均成立的情况下进行分析.

为了方便, 将方程 (1.1) 化简为

定义

点 $ (t_{\alpha},x_{\alpha}) $ 和点 $(s_{\alpha},y_{\alpha})$ 来自于 (3.37) 式, 在后边的分析中确定 $q, X$.

因为 $u$ 是方程 (1.1) 的粘性下解, $v$ 是方程 (1.1) 的粘性上解, 则 $u$ 是方程 (3.50) 的粘性下解, $v$ 是方程 (3.50) 的粘性上解. 一方面, 由 (3.37) 和 (3.42) 式可知, $u(t_{\alpha},x_{\alpha})>v(s_{\alpha},y_{\alpha})$. 因为 $h$ 是非增的, 可以得到

另一方面,

对于 $J_2$, 从 (3.36) 式可知 $((t_{\alpha,\epsilon},x_{\alpha,\epsilon}),(s_{\alpha,\epsilon},y_{\alpha,\epsilon}))\in \mathbb{B}_{\epsilon}\times \mathbb{B}_{\epsilon}.$ 令

由 (3.34) 和 (3.38) 式可知, $u^{\epsilon}(t,x)-v_{\epsilon}(s,y)-\phi(t,x,s,y)$ 在 $((t_{\alpha,\epsilon},x_{\alpha,\epsilon}),(s_{\alpha,\epsilon},y_{\alpha,\epsilon}))$ 处取得最大值. 对 $u$, $v$ 和 $\phi$ 应用命题 3:1. 根据命题 3:1, 可知存在矩阵 $X,\ Y$ 使得下式成立

其中

因此 $J_2\geq 0$.

对于 $J_3$, 对于任意的列向量 $\zeta\in \mathbb{R}^n$, 由 (3.54) 式可知

化简可得 $\zeta^{T}(X+Y)\zeta\leq 0, $ 即, $X+Y\leq O.$ 由(3.51) 式以及 $G_{\epsilon}$ 的定义, 具体见 (3.9) 式, 可知下式成立

对于 $J_1$, $J_4$ 和 $J_5$, 由 (3.51) 式, $G^{\epsilon}$ 和 $G_{\epsilon}$ 的定义, 具体见 (3.2) 和 (3.9) 式, 可知

将上面三个式子相加, 得

根据 (3.40) 和 (3.41) 式可知, 存在 $\epsilon$ 的子列 $\epsilon_{j}$ 使得下式成立

则

由 (3.37) 和 (3.42) 式, 可知 $v(s_{\alpha},y_{\alpha})< u(t_{\alpha},x_{\alpha})$. 由于 $u$ 有上界, $v$ 有下界, 则 $v(s_{\alpha},y_{\alpha})$ 有界. 由 (3.39) 式可知, $ \lim \limits_{\alpha \to +\infty}((t_{\alpha},x_{\alpha}), (s_{\alpha},y_{\alpha}))=((t_{\infty},x_{\infty}), (t_{\infty},x_{\infty})).$ 因为 $f, h$ 是连续的, 则 $\lim \limits_{\alpha \to +\infty}\lim \limits_{\epsilon_{j}\to 0}J_1+J_4+J_5= 0$.

总的来说, 当 $\epsilon_{j}\to 0$, $\alpha\to +\infty$, $J\geq (n-2)\lambda>0$. 则存在 $\alpha$ 充分大, $\epsilon$ 充分小, 使得 $J\geq \frac{n-2}{2}\lambda>0$. 这与 (3.53) 式矛盾. 因此 (3.32) 式成立.

定理 1.2 的证明 不妨假设 Dirichlet 问题 (1.2) 有两个有界的粘性解. 取 $u$ 作为一个粘性下解, $v$ 作为一个粘性上解. 由定理 1.1 可知在 $\mathbb{B}$ 上成立$u(t,x)\leq v(t,x)$. 同理, 也可将 $u$ 视为一个粘性上解, $v$ 视为一个粘性下解, 则在 $\mathbb{B}$ 上亦有 $v(t,x)\leq u(t,x)$. 最终, 在 $\mathbb{B}$ 上得到 $v(t,x)=u(t,x)$.