Grushin 算子作为一类典型的退化椭圆算子^[1], 在偏微分方程理论与几何分析中占有重要地位. 其标准形式定义为

其中: $z = (x, y) \in \mathbb{R}^N = \mathbb{R}_x^m \times \mathbb{R}_y^n$,$\Delta_x$ 和 $\Delta_y$ 分别是 $x$ 和 $y$ 方向上的标准拉普拉斯算子. 该算子在 $x \neq 0$ 时是椭圆型的, 但在子流形 $\{0\} \times \mathbb{R}^n$ 上退化, 其对应的齐次维度为

该类算子源于对 Hörmander 型向量场系统 $(\partial_x$, $|x|^{\alpha} \partial_y)$ 所生成的亚拉普拉斯算子的研究. 由于其在非各向同性介质、次黎曼几何以及退化型偏微分方程中的广泛应用, Grushin 算子近年来受到了广泛关注.

本文研究如下带有 Grushin 算子的非线性抛物方程的初边值问题

其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 为有界开区域, 非线性指数 $p > 2$ 满足次临界增长条件 $p < \frac{2Q}{Q-2}$.

在椭圆方程的理论框架中, 与 Grushin 算子对应的 Dirichlet 问题

已在加权 Sobolev 空间 $H_{\alpha,0}^1(\Omega)$ 中得到了系统研究. 通过建立该空间框架下的加权 Poincaré 不等式、Sobolev 紧嵌入定理及谱理论, 文献 [2-4] 已证明了弱解的存在性、多解性以及正则性. 这些结果为分析发展方程提供了必要的先验估计与函数空间工具.

在 Grushin 算子的研究进展中, 已有诸多学者从不同角度展开深入探讨. 例如, 变分法在Grushin 型算子相关问题的应用^[5-7]; 文献 [8] 通过构建 Almgren 型频率函数, 建立了高阶 Baouendi-Grushin 型算子在强奇异势下的强唯一延拓定理; 与之相对应的拟微分理论范畴^[9-11]; 以及有关该算子的 Hardy 不等式方面的研究^[12-14]. 此外, 文献 [15] 等人在笛卡尔积域上刻画了 Grushin 算子第一特征值的极小化问题, 揭示了最优域的球对称结构. 这些成果为 Grushin 算子的解析与几何性质奠定了坚实的理论基础.

对于发展方程, 现有成果主要集中在 Grushin 算子的线性与半线性抛物方程. 例如, Kogoj 与 Sonner^[16] 将 Grushin 算子的相关结果推广到更一般的退化椭圆算子 $\Delta_\lambda$ 上, 证明了在适当的增长与耗散条件下, 对应的半线性抛物系统具有有限维全局吸引子, 且所有有界解均收敛到平衡解集. 然而, 当非线性项 $f(u)$ 具有对数型源项特征 (如 $f(u) = |u|^{p-2}u{\rm log}|u|$) 时, 解的长时间行为强烈依赖于初值, 其整体存在性与有限时间爆破的精确门槛问题研究仍相对匮乏.

位势井方法是研究此类问题的有力工具, 该方法最初由 Payne 和 Sattinger^[17] 提出, 通过结合 Nehari 流形与能量水平集的几何结构, 有效地依据初始能量将空间划分为稳定集与不稳定集. ^[18,19]系统地发展了该方法并将其应用于半线性波方程和抛物方程, 证明了在次临界初始能量 $J(u_0) < d$ 下, 解具有整体存在性或发生有限时间爆破. 随后, 文献 [20] 将该理论推广至临界初值能量 $J(u_0) = d$ 的情形, 而文献 [21] 则进一步探讨了高初始能量情形. 迄今为止, 位势井方法已被成功应用于多种非线性演化方程, 如双曲方程、耦合抛物方程组及伪抛物方程等.

与已有文献中通常考虑的纯幂次非线性不同, 本文在 Grushin 算子的框架下系统分析具有对数型源项 $|u|^{p-2}u \log|u|$ 的发展方程. 该非线性项的增长特性使得能量泛函与 Nehari 流形的结构更为复杂, 传统的分析技巧需作实质性改进. 本文的结果不仅推广了经典抛物方程的理论结果至退化情形, 而且深化了位势井方法在处理此类退化算子与对数非线性项中的应用.

本文的主要工作分为两部分

1. 局部适定性理论: 通过建立非线性项在加权 Sobolev 空间 $H_{\alpha,0}^1(\Omega)$ 中的局部 Lipschitz 连续性, 并利用解析半群理论, 我们证明了该方程局部解的存在性与唯一性.

2. 结合位势井理论方法, 我们系统地研究了在不同初始条件下解的渐近行为. 将证明

(a) 当初始能量 $J(u_0) \leq d$ 且 $I(u_0) > 0$ 时, 问题存在整体解,并且其能量具有指数衰减性质;

(b) 当初始能量 $J(u_0) \leq d$ 且 $I(u_0) < 0$ 时, 解将在有限时间内发生爆破;

(c) 对于初始能量 $J(u_0) > d$ 的情形, 我们亦将给出解的行为分析, 从而完善解的整体存在与爆破的完整门槛.

本文不仅推广了经典抛物方程的理论结果至退化情形, 而且深化了位势井方法在退化型偏微分方程中的应用,为研究更复杂的非线性 Grushin 模型提供了系统的理论工具.

本节给出本文所需要的 Grushin 算子相关性质和不等式.

定义 2.1 (Grushin 向量场与算子^[22]) 设 $\Omega \subset \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n$ 是有界开区域,$\alpha > 0$, 定义 Grushin 向量场为

相应的 Grushin 算子定义为

Grushin 梯度定义为

定义 2.2 (加权 Sobolev 空间^[22,23]) 设 $\Omega \subset \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n$ 为一有界开区域, 空间

是一个 Hilbert 空间, 其范数为 $\|u\|_{H_{\alpha}^1}^2=\|u\|_{L^2}^2+\|\nabla_\alpha u\|_{L^2}^2.$ 子空间 $H_{\alpha,0}^1(\Omega)$ 定义为空间 $C_0^{\infty}(\Omega)$ 在 $H_{\alpha}^1(\Omega)$ 中的闭包.

该空间赋予如下内积与范数

命题 2.1 (加权 Poincaré 不等式^[15]) 设 $\Omega \subset \mathbb{R}^{N} $ 是有界区域, 则存在常数 $C_{\alpha}> 0$ 使得

注 2.1 结合加权 Sobolev 空间的定义和加权 Poincaré 不等式 (2.1), 范数 $\|\nabla_\alpha u\|_{L^2(\Omega)}$ 与由向量场 $X_1, \cdots, X_{m+n}$ (其中 $X_i$ 对应 Grushin 向量场) 生成的范数 $\left( \|u\|_{L^2}^2 + \sum_{i=1}^{m+n} \|X_i u\|_{L^2}^2 \right)^{1/2}$ 等价^[15]. 为简便, 本文记 $\|\nabla_\alpha u\|_{L^2(\Omega)}$ 为空间 $H_{\alpha,0}^1(\Omega)$ 中的范数.

命题 2.2 (加权 Sobolev 嵌入定理^[22,24]) 对任意的 $q\in [2^{*}]$, 则存在连续嵌入

且当 $q \in [1, 2^{*})$ 时, 该嵌入是紧的,其中临界嵌入指标 $2^{*}= \frac{2Q}{Q-2}.$

命题 2.3 (特征值^[4,15]) 在有界域 $\Omega \subset \mathbb{R}^{N}$ 中, 如下 Dirichlet 问题

的谱由有限重数的特征值构成, 这些特征值可排列为一个发散序列

命题 2.4 (解析半群^[16,25]) 算子 $A = -\Delta_\alpha$ 在 $L^2(\Omega)$ 上生成一个解析半群 $\{{\rm e}^{-At}\}_{t \geq 0}$.

证 首先,由命题 2.3 知, $A = -\Delta_{\alpha}$ 在 $L^2(\Omega)$ 上有离散正特征值序列及完备正交特征函数系, 结合其定义域

通过分部积分知 $A$ 自伴稠定的,再由特征值均正得 $A$ 正定;

其次, 因 $A$ 的谱 $\sigma(A) \subset [\lambda_1, \infty)$, 对扇形区域 $\Sigma_{\theta}$ ($\pi/2 < \theta < \pi$), 利用谱距离分析可得预解式估计

故 $A$ 是扇形算子;

最后, 根据解析半群理论, 扇形算子必生成解析半群 $\{{\rm e}^{-At}\}_{t\geq 0}$, 命题得证.

定义 2.3 (分数幂空间^[16,26]) 考虑算子 $A = -\Delta_\alpha$, 其定义域为 $D(A) = \{ u \in H_{\alpha,0}^1(\Omega): \Delta_\alpha u \in L^2(\Omega) \}$. 设 $\{\lambda_j, \psi_j\}_{j \in \mathbb{N}}$ 是 $A$ 的特征系统, 对于 $\alpha > 0$, 我们定义分数幂空间 $X^\alpha = D(A^\alpha)$ 如下

该空间赋予内积 $\langle u, v \rangle_{X^\alpha} = (A^\alpha u, A^\alpha v)_{L^2(\Omega)}$ 及相应的范数. 算子 $A$ 的分数幂定义为

特别地,则有 $\mathcal{X}^0 = L^2(\Omega)$, $\mathcal{X}^{1/2} = H_{\alpha,0}^1(\Omega)$, $\mathcal{X}^1 = D(A)=\left\{u\in\mathcal{X}^{1/2}|\Delta_\alpha u \in L^2(\Omega) \right \}$ 和 $\mathcal{X}^{-1/2} = (\mathcal{X}^{1/2})'$ (对偶空间).

定义 2.4 (弱解) 函数 $u = u(x,t)$ 称为问题 (1.1) 的弱解, 如果存在 $T > 0$ 使得 $u \in C([0,T); H_{\alpha,0}^1(\Omega))$, $u \in C^1((0,T); L^2(\Omega))$,$u(0) = u_0$, 且对任意 $v \in H_{\alpha,0}^1(\Omega)$ 和几乎处处 $t \in (0,T)$, 有

引理 2.1 (凹函数引理^[27,28]) 设 $F(t) \in C^2[0,T)$ 是非负函数, 满足

其中 $\gamma > 0$ 是常数. 如果 $F(0) > 0$ 和 $F'(0) > 0$, 则 $T < \infty$, 且

并且 $\displaystyle\lim_{t \to T^-} F(t) = +\infty$.

本节将利用半群的方法去证明问题 (1.1) 的局部解的存在性. 首先将问题 (1.1)改写为如下抽象发展方程形式:

其中 $A = -\Delta_\alpha$, 其定义域为 $D(A)$, 非线性项 $f(u) = |u|^{p-2}u\log|u|$. 我们将利用分数幂空间框架与解析半群理论, 证明该抽象方程存在唯一的局部温和解, 并进一步给出其正则性与最大存在时间.

为了获得解存在性, 需要下面这个引理.

引理 2.1 令$f(u) = |u|^{p-2}u\log|u|$, $p\in [\frac{2Q-2}{Q-2}, 2^*)$, 其中 $2^* = \frac{2Q}{Q-2}$, 则存在常数 $\beta \in (0,1)$ 使得非线性映射 $f: \mathcal{X}^{1/2} \rightarrow \mathcal{X}^{-\beta/2}$ 是局部 Lipschitz 连续的, 即对于任意 $R > 0$, 存在常数 $C(R) > 0$ 使得对于所有 $u,v \in \mathcal{X}^{1/2}\setminus \{0\}$ 满足 $\|u\|_{\mathcal{X}^{1/2}} \leq R, \|v\|_{\mathcal{X}^{1/2}} \leq R$, 有 $\|f(u) - f(v)\|_{\mathcal{X}^{-\beta/2}} \leq C(R) \|u - v\|_{\mathcal{X}^{1/2}}.$

证 由微分中值定理可得存在 $\eta\in(0,1)$ 使得$|f(u)-f(v)|=|[(p-1)|\xi|^{p-2}\log|\xi|+|\xi|^{p-2}]| |u-v|,$其中 $\xi=(1-\eta)u+\eta v$. 对任意 $\delta>0$, 利用基本不等式 $|s|^{p-2}|\log|s||\leq C_{\delta}(|s|^{p-2+\delta}+|s|^{p-2-\delta})$, 则有

由命题 2.2 可知恒等算子 $\mathcal{I}$ 是从 $\mathcal{X}^{0}=L^2(\Omega)$ 到 $L^2(\Omega)$ 及 $\mathcal{X}^{1/2}$ 到 $L^{2^*}(\Omega)$ 的连续线性算子.选择 $\delta$ 足够小满足 $0<\delta<\min\{p-2, 2^*-p\}$,现在取 $\gamma$ 满足 $\gamma = \frac{2^*}{2^* - (p + \delta - 1)},$ 注意到 $p\in [\frac{2Q-2}{Q-2}, 2^*)$, 易知 $\gamma \in (2, 2^*).$ 通过复插值理论, 存在 $\beta \in (0,1)$ 使得 $\mathcal{I}: \mathcal{X}^{\beta/2} = [\mathcal{X}^0, \mathcal{X}^{1/2}]_\beta \hookrightarrow [L^2, L^{2^*}]_{\beta} =L^\gamma(\Omega)$ 的连续线性映射, 其中插值参数满足 $\frac{1}{\gamma} = \frac{1-\beta}{2} + \frac{\beta}{2^*}.$ 由对偶性, 有连续嵌入 $L^{\gamma'}(\Omega) \hookrightarrow \mathcal{X}^{-\beta/2}$ 其中 $\gamma'$ 是 $\gamma$ 的共轭指数,满足 $\frac{1}{\gamma} + \frac{1}{\gamma'} = 1$.

下证明$f: \mathcal{X}^{1/2} \to L^{\gamma'}(\Omega)$ 的局部 Lipschitz 连续性. 事实上, 对于任意的 $u,v \in \mathcal{X}^{\frac{1}{2}}\backslash \{0\}$, $\|u\|_{\mathcal{X}^{1/2}} \leq R, \|v\|_{\mathcal{X}^{1/2}} \leq R$, $R>0$, 现在取$r = 2^*$,$s = \frac{2^*\gamma'}{2^* - \gamma'}$, 我们可以验证 $(p-2+\delta)s\leq 2^*$, 则由 Hölder 不等式和命题 2.2 可以得到 (3.2) 式即为

又由于 $L^{\gamma'}(\Omega) \hookrightarrow \mathcal{X}^{-\beta/2}$ 是连续嵌入, 从而得所需结论: $\|f(u) - f(v)\|_{\mathcal{X}^{-\beta/2}} \leq {C}(R) \|u - v\|_{\mathcal{X}^{1/2}}.$

定理 3.1 (局部温和解的存在性与唯一性^[29]) 对于任意初始值 $u_0 \in \mathcal{X}^{1/2}$,, 问题 (3.1) 存在最大时间 $T > 0$ 和唯一的局部温和解 $u \in C([T]; \mathcal{X}^{1/2})$, 满足积分方程

此外, 该解满足 $u \in C^1((0,T);\mathcal{ X}^r)$, 其中 $r \in [-\beta, 1-\beta]$, 且若 $T < \infty$, 则

证 我们将指数分为两种情况: (a): $2 < p < \frac{2Q-2}{Q-2}$ (b): $\frac{2Q-2}{Q-2} \leq p < 2^*$.

情况 (a) 在这种情况下, 非线性项 $f(u) = |u|^{p-2}u \log|u|$ 满足更强的正则性. 选择 $\theta $ 足够小满足 $0< \theta < \min\{p-2, \frac{2Q - 2}{Q - 2}-p\}$, 通过直接计算,利用 Hölder 不等式和加权 Sobolev 嵌入 (命题 2.2), 对于所有 $u,v \in\mathcal{X}^{1/2}\setminus\{0\}$, $\|u\|_{\mathcal{X}^{1/2}} \leq R$,$\|v\|_{\mathcal{X}^{1/2}} \leq R$, 存在常数 $C(R)> 0$,

这表明 $f$ 是从 $\mathcal{X}^{1/2}$ 到 $\mathcal{X}^0$ (即 $L^2(\Omega)$) 局部 Lipschitz 连续. 那么, 问题 (1.1) 的局部温和解的存在性、唯一性以及正则性是解析半群理论 (命题 2.5) 的直接推论.

情况 (b) 由引理 3.1, 存在常数 $\beta \in (0,1)$, 使得非线性项 $f$ 是从 $\mathcal{X}^{1/2}$ 到 $\mathcal{X}^{-\beta/2}$ 局部 Lipschitz 连续. 因此, 算子 $A$ 可以延拓为 $\mathcal{X}^{-\beta/2}$ 上的扇形算子, 且其定义域为 $\mathcal{X}^{1-\beta/2}$. 由于嵌入 $\mathcal{X}^{1-\beta/2} \hookrightarrow \mathcal{X}^{1/2} \hookrightarrow \mathcal{X}^{-\beta/2}$ 是连续的, 问题 (1.1) 的局部温和解的存在性、唯一性以及正则性同样是解析半群理论 (命题 2.4) 的直接推论.

基于第三节的解的局部存在性, 本节结合 Sattinger 在 1968 年提出的位势井方法, 讨论具 Grushin 算子和对数源项下的位势井理论.

定义势能泛函

Nehari 泛函

Nehari 流形

引理 4.1 设 $u \in H_{\alpha,0}^1(\Omega) \setminus \{0\}$, 则

(1) $\displaystyle\lim_{\lambda \to 0^+} J(\lambda u) = 0$,且 $\displaystyle\lim_{\lambda \to +\infty} J(\lambda u) = -\infty$;

(2) 存在唯一的 $\lambda_* = \lambda_*(u) > 0$ 使得 $J(\lambda u)$ 在 $(0, \lambda_*]$ 上严格递增, 在 $[\lambda_*, +\infty)$ 上严格递减, 并在 $\lambda_*$ 处取得最大值;

(3) 当$0 < \lambda < \lambda_*$时, $I(\lambda u) > 0$; 当 $\lambda_* < \lambda < +\infty$时, $I(\lambda u) < 0$, 且 $I(\lambda_* u) = 0$.

证 由定义 (4.1), 易知

注意到 $p>2$, 显然结论 (1) 成立.

对上式关于 $\lambda$ 求导化并简得

令 $\frac{\rm d}{{\rm d}\lambda}J(\lambda u)=0,$ 这是一个超越方程, 无法求解, 故令

则

注意到

且 $h(\lambda)$ 连续, 由介值定理知存在的 $\lambda_*=\lambda^*(u) > 0$ 使得 $h(\lambda_*) = 0$,即 $\frac{\rm d}{{\rm d}\lambda}J(\lambda u)|_{\lambda=\lambda^*}= 0$.

下证$\lambda^*$的唯一性. 注意到在 $\lambda = \lambda_*$时 由 $\frac{\rm d}{{\rm d}\lambda}J(\lambda u)|_{\lambda=\lambda^*}= 0$ 有

将上式带入 $\frac{{\rm d}^2}{{\rm d}\lambda^2}J(\lambda u)$, 得,

这说明 $J(\lambda u)$ 在 $\lambda_*$ 是唯一最大值点. 因此, $J(\lambda u)$ 在 $(0, \lambda_*]$ 递增, 在 $[\lambda_*, +\infty)$ 递减.

由 (4.2) 式得

与 $\frac{\rm d}{{\rm d}\lambda}J(\lambda u)$ 比较得到

因此, $I(\lambda u)$ 的符号由 $\frac{\rm d}{{\rm d}\lambda}J(\lambda u)$ 决定, 即当 $0 < \lambda < \lambda_*$ 时 $I(\lambda u) > 0$; 当 $\lambda > \lambda_*$ 时 $I(\lambda u) < 0$, 且 $I(\lambda_* u) = 0$.

引理 4.2 假设 $2 < p < \frac{2Q}{Q-2}$, $u\in H_{\alpha,0}^{1}(\Omega)\setminus \{0\}$, 则对于任意 $\delta$ 满足 $0 < \delta \leq \frac{2Q}{Q-2} - p$, 有

(1) 如果 $0 < \|\nabla_{\alpha}u\|_{L^2} \leq r(\delta)$, 则 $I(u) > 0$;

(2) 如果 $I(u) \leq 0$,则 $\|\nabla_{\alpha}u\|_{L^2} > r(\delta)$,

其中 $r(\delta):= \left( \frac{\delta}{C_*^{p+\delta}} \right)^{\frac{1}{p+\delta-2}} > 0,$ $C_*$ 是 $H_{\alpha,0}^{1}(\Omega) \hookrightarrow L^{p+\delta}(\Omega)$ 的嵌入常数.

证 由基本不等式

则有

由嵌入定理 (2.2) 及 $\delta$ 的选取, 存在常数 $C_* > 0$ 使得

因此,

如果 $0 < \|\nabla u\|_{L^2} \leq r(\delta)$, 即 $\| \nabla_{\alpha}u \|_{L^2}^{p+\delta-2} \leq r(\delta)^{p+\delta-2} = \frac{\delta}{C_*^{p+\delta}}.$ 因此, 代入 (4.5) 式得 $I(u)>0.$

如果 $I(u) \leq 0$, 则由 (4.5) 式得 $\| \nabla_{\alpha}u \|_{L^2} > \left( \frac{\delta}{C_*^{p+\delta}} \right)^{\frac{1}{p+\delta-2}} = r(\delta).$

上述 $r(\delta)$ 是依赖于 $\delta$, 期望得到关于 $\delta$ 的一致估计. 我们有如下引理.

引理 4.3 假设引理 4.2 的条件成立, 则有

其中 $r_*:=\displaystyle\sup_{\delta\in(0,2^*-p]}r(\delta)$, $ r^*:=\displaystyle\sup_{\delta\in(0,2^*-p]}\sigma(\delta)$, $\sigma(\delta):=(\frac{\delta}{\kappa^{p+\delta}})^{\frac{1}{p+\delta-2}}|\Omega|^{\frac{\delta}{p(p+\delta-2)}}$, $\kappa$ 是 $H_{\alpha,0}^{1}(\Omega) \hookrightarrow L^{p}(\Omega)$ 的最佳嵌入常数.

证 由 $r_*$ 的定义知 $r_*$ 存在且 $r_*>0$. 现仅需要证明 $r(\delta)\leq\sigma(\delta)$, $r^*$ 存在且 $r^*<\infty.$

因 $u \in H_{\alpha,0}^1(\Omega)$, 由 $\delta$ 的选取和嵌入定理 (2.2) 得 $u\in L^p(\Omega)\cap L^{p+\delta}(\Omega)$, 由 Hölder 不等式得

结合 $C_*$ 和 $\kappa$ 的定义得

因此 $r(\delta)\leq \sigma(\delta).$ 注意到 $\delta\in (0, 2^*-p]$, $\sigma(\delta)$ 在 $[0, 2^*-p]$ 是连续的, 故 $r^*$ 存在, 且

结合引理 4.2 和引理 4.3, 则有

推论 4.1 设引理 4.2 和引理 4.3 的条件成立, $u\in H_{\alpha,0}^{1}(\Omega)\setminus \{0\}$, 则有

(1) 如果 $0 < \|\nabla_{\alpha}u\|_{L^2} < r_*$, 则 $I(u) > 0$;

(2) 如果 $I(u) \leq 0$,则 $\|\nabla_{\alpha}u\|_{L^2} \geq r_*$.

定理 4.1 设

则有

(1) $d=\displaystyle\inf_{v\in \mathcal{N}}J(v)>0$, $\mathcal{N}$ 非空;

(2) 存在 $u\in \mathcal{N}$ 使得 $J(u)=\displaystyle\inf_{v\in \mathcal{N}}J(v)=d.$

证 (1) 由引理 4.1 可知 $d=\inf\{J(\lambda_* u): u \in H_{\alpha,0}^{1}(\Omega), u\neq0\},$ 并且 $\displaystyle\sup J(\lambda u)=J(\lambda_*u)$ 当且仅当 $I(\lambda_*u)=0.$ 取 $v=\lambda_*u$ 即可知 $d=\displaystyle \inf_{v\in \mathcal{N}}J(v)$, $\mathcal{N}$ 非空. 进一步, 对任意的 $u\in \mathcal{N}$, 即 $u \in H_{\alpha,0}^{1}(\Omega), u\neq0$, $I(u)=0,$ 则由推论 4.1 得

故 $d>0;$

(2) 设 $\{u_k\}_{k=1}^{\infty}\subset \mathcal{N}$ 是 $J(u)$ 的极小化序列, 即 $\displaystyle\lim_{k\to\infty}J(u_k)=d$. 注意到 $|\nabla_{\alpha}|u_k||=|\nabla_{\alpha}u|$, 所以 $\{|u_k|\}_{k=1}^{\infty}\subset \mathcal{N}$ 也是 $J(u)$ 的极小化序列, 故不失一般性, 假设 $u_k>0$. 由 $I(u_k)=0,$ 得

从而 $\|\nabla_{\alpha}u_k\|_{L^2}$, $\|u_k\|_{L^p}$ 都有界, 注意到嵌入 $H_{\alpha,0}^1(\Omega)\hookrightarrow L^{p}$ 是紧的, 因此存在子序列仍记$\{u_k\}_{k=1}^{\infty}$) 和一个函数 $v_0$ 使得$u_k\rightharpoonup v_0$ 在 $H_{\alpha, 0}^{1}(\Omega)$ 中; $u_k\rightarrow v_0$ 在 $L^{p}(\Omega)$ 中; $u_k\rightarrow u$ a.e. 在 $\Omega$ 中. 因此 $u\geq0$. 由勒贝格控制收敛定理得

利用范数的弱下半连续性得

结合 (4.6), (4.7) 式以及 $J(u), I(u)$ 的定义得 $J(u) \leq\displaystyle \varliminf_{k \rightarrow \infty} J\left(u_k\right)=d, \quad I(u) \leq\displaystyle\varliminf_{k \rightarrow \infty} I\left(u_k\right)=0.$

下面证明 $u\in \mathcal{N}$, 即 $u\neq0$, $I(u)=0.$ 事实上, 由基本不等式 (4.4) 得

从而 $\|\nabla_{\alpha}u_k\|_{L^2}\geq C^{-\frac{1}{p+\delta-2}}$. 这意味着着

由收敛性 (4.6), 可得 $\int_{\Omega}|u|^p\log|u|{\rm d}z\geq C^{-\frac{2}{p+\delta-2}},$ 从而 $u\neq0.$

另一方面, 由于

若 $I(u)<0$, 由引理 4.1 可知存在 $\lambda\in(0,1)$ 使得 $I(\lambda u)=0.$ 因此,

这与 $\lambda<1$ 矛盾. 故 $I(u)=0$. 综上所述, $u\in \mathcal{N}$, 并且 $J(u)=d$.

基于能量泛函 $J(u)$ 与 Nehari 泛函 $I(u)$ 的关系, 定义以下集合

势井 (稳定区域)

势井外部 (不稳定区域)

以及

引理 4.4 设 $u(t)$ 是问题 (1.1)的弱解, 其最大存在时间区间为 $[0, T)$. 如果 $J(u_0)\leq d$, 则 $\mathcal{N}^+$ 和 $\mathcal{N}^-$ 均是 $u(t)$ 的不变集, 即若 $u_0 \in \mathcal{N}^+$, 则对任意 $t \in [0,T)$, 有 $u(t) \in \mathcal{N}^+$; 若 $u_0 \in \mathcal{N}^{-}$, 则对任意 $t \in [0,T)$, 有 $u(t) \in \mathcal{N}^{-}$.

证 仅证明 $\mathcal{N}^-$是不变集. 首先证明情形 $J(u_0)<d$. 假设结论不成立, 则存在首个存在时间 $t_0\in(0,T)$ 使得 $I(u(t_0))=0$ 和 $I(u(t))<0$, $t\in [0,t_0)$. 由推论 4.1 得 $\|\nabla_{\alpha}u\|_{L^2}\geq r_*>0,\,t\in[0, t_0)$. 利用 $\|\nabla_{\alpha}u(t)\|_{L^2}$ 关于 $t$ 的连续性, 则有 $\|\nabla_{\alpha}u(t_0)\|_{L^2}\geq r_*>0$, 这表明 $u(t_0)\in \mathcal{N}$, 从而 $J(u(t_0))\geq d.$ 但这与能量不等式

矛盾. 其次证明情形 $J(u_0)=d$. 假设结论不成立, 由 $I(u_0)<0$ 得存在首个存在时间 $t_1\in(0,T)$ 使得 $I(u(t_1))=0$ 和 $I(u(t))<0$, $t\in [0,t_1)$. 同情形 $J(u_0)$ 时的证明知 $u(t_1)\in \mathcal{N}$. 因此, 由定理 4.1得

另一方面, 注意到 $(u_t, u)=-I(u(t))>0$, $t\in [0, t_1)$, $u(t)\mid_{\partial\Omega}$, 可得 $u_t\neq 0$ 和 $\int_0^{t_1}\|u_{\tau}\|^2_{L^2}{\rm d}\tau>0.$ 因此, 由 (4.8) 式得

这与 (4.9) 式矛盾. 故命题得证.

引理 4.5 设 $u(t)$ 满足 $I(u)<0,$ 则 $I(u)<p(J(u)-d)$.

证 因 $I(u)<0$, 由引理 4.1 得存在 $\lambda^*\in(0,1)$ 使得 $I(\lambda^*u)=0,$ 即 $\lambda^*u\in\mathcal{N}$. 令

直接计算可得 $g(\lambda)=\frac{(p-2)\lambda^2}{2}\|\nabla_{\alpha}u\|_{L^2}^2+\frac{\lambda^p}{p}\|u\|_{L^p}^p$. 因此由推论 4.1 得

这意味着当 $\lambda>0$ 时, $g(\lambda)$ 是严格单调递增的. 因此, 由 $\lambda^*\in (0, 1)$ 得 $g(1)>g(\lambda^*)$, 即

这里用到定理 4.1(1). 引理得证.

本节主要讨论当初始能量 $J(u_0)\leq d$ 时解的性质.

定理 5.1 (整体存在性与衰减性) 若初始值 $u_0\in H_{\alpha, 0}^{1}(\Omega)$ 满足 $J(u_0) \leq d$ 且 $I(u_0) >0$, 则问题 (1.1) 存在全局弱解 $u(t)$, 且解具有以下衰减性质: 对于任意 $\delta \in (0, 2^* - p]$, 如果 $J(u_0) < d(\delta)$, 则有衰减估计

其中

证 (整体解存在性) 由 $J(u_0)\leq d$, $I(u_0)>0$ 和引理 4.4 知对 $t\in[0, T)$, 有 $u(t) \in \mathcal{N}^+$, 即 $I(u(t))>0.$ 因此, 由能量不等式 (4.8), 有

这意味着

结合加权 Sobolev 嵌入定理命题 2.2 $\|u\|_{L^p}\leq \kappa \|\nabla_{\alpha}u\|_{L^2}$ 得: $\| \nabla_\alpha u(t) \|_{L^2}$ 一致有界. 因此, 由定理 3.1 得整体解的存在性, 最大存在时间 $T = \infty$.

(衰减估计) 首先说明 $d(\delta)\leq d.$ 事实上, 对 $u\in\mathcal{N}$, 由引理 4.2(2) 得 $\|\nabla_{\alpha}u\|_{L^2}>r(\delta)$. 因此,

结合 $d$ 的定义 (定理 1.1) 得 $d(\delta)\leq d.$

由 (4.8) 和 (5.1) 式得

因此,

因此,

由弱解定义 2.4 知

利用 (4.4) 式有

因此联立 (5.2) 和 (5.3) 式得

当 $J(u_0)<d(\delta)$ 时, 易知 $\delta_0>0.$ 由 Poincaré 不等式 (命题 2.1)) 得

解此微分不等式得

其中

定理 5.2 (有限时间爆破) 若初始值 $u_0\in H_{\alpha, 0}^{1}(\Omega)$ 满足 $J(u_0) \leq d$ 且 $I(u_0)<0$, 则问题 (1.1) 的弱解 $u$ 在有限时间内爆破, 即存在 $T^* \in (0,+\infty)$, 使得

证 设 $u(t), t\in[0, T)$, $T$ 为解的最大存在时间. 由引理 4.4 得 $u(t)\in \mathcal{N}^-.$ 利用反证法证明解在有限时刻爆破. 假设 $T=+\infty$, 令

则利用引理 4.4 得

由能量不等式 (4.8),

将上式代入 (5.4) 式, 结合 (2.1) 式得

由 Schwartz 不等式

注意到

有

利用 Schwartz 不等式, 联立 (5.5) 和 (5.6) 式得

情形 (a) $J(u_0)<d.$ 由 (4.8), (5.4) 式和引理 4.5 得

因此, 对 $t\geq0$ 有

这意味着 $\displaystyle\lim_{t\to\infty}M(t)=\infty,\,\,\displaystyle\lim_{t\to\infty}M'(t)=\infty.$ 故存在 $t_0\geq0$ 使得当 $t\geq t_0$ 时有

因此, 由 (5.7) 式得

由凹方法引理 (引理 2.1), 取 $\gamma = \frac{p}{2} - 1$, 有

且

情形 (b) $J(u_0)=d,$ $I(u_0) < 0$. 由引理 4.5 知 $u(t)\in \mathcal{N}^{-}$, 即 $I(u(t))<0$, $t\in[0,T),$ 因此

从而 $\|u_t\|_{L^2}>0,$ 存在 $t_0>0$, 由能量不等式得

以 $t_0$ 为初始时刻, 类似上述论证, 解在有限时间 $T^{*} \in (t_0,+\infty)$ 爆破.

在这一部分, 为了证明 $J(u_0) > d$ 时, 问题 (1.1) 的弱解在什么条件下能够全局存在或者在有限时间爆破, 我们进一步引入以下集合和定义. 令

定义

因此, 定义

则高能量集合 (\(\beta > d\)) 定义为

设 \(T\) 是以 $u_0\in H^{1}_{\alpha,0}(\Omega)$ 为初值解的最大存在时间. 如果 \(T = +\infty\), 则 \(u_0\in H^{1}_{\alpha,0}(\Omega)\) 的 \(\omega -\) 极限集为

定理 6.1 (整体存在性与有限时间爆破) 对于任意的 $\beta > d$, 我们有如下结论

(1) 若 $u_0 \in \Phi_{\beta}$, 则问题 (1.1) 的弱解 $u(t)$ 整体存在 $($最大存在时间 $T=+\infty),$ 且 $u(t) \to 0 (t \to +\infty)$, 即 $\omega(u_0) = \{0\}$;

(2) 若 $u_0 \in \Psi_{\beta}$, 则问题 (1.1) 的弱解 $u(t)$ 有限时间爆破 $($最大存在时间 $T<+\infty).$

证 (1) 若 \(u_0 \in \Phi_{\beta}\), 由定义 (6.2) 得 $u_0\in \mathcal{N}_+$ 且

首先可证明 $u(t)\in \mathcal{N}_+$, $t\in [0, T).$ 假设存在首个时刻 $t_0 \in (0,T)$, 使得对 $t \in [0,t_0)$, 有 $u(t) \in\mathcal N_+$, $u(t_0) \in \mathcal N$, 即 $I(u(t_0)) = 0$, $J(u(t_0))\leq J(u_0), u(t_0)\in\mathcal{N}_{J(u_0)}$. 因此由

得 $\|u(t)\|_{L^2}^2$ 在 $[0,t_0)$ 上严格递减, 故由 (6.5)式得

另一方面, 由定义由 $\lambda_{J(u_0)}$ 的定义和 $u(t_0)\in \mathcal{N}_{J(u_0)}$ 知

这与 (6.5) 式矛盾. 因此 $u(t) \in\mathcal N_+,\,\,t\in[0,T).$

其次证明 $u(t)\in J^{J(u_0)}\cap\mathcal{N}$, $t\geq0.$ 事实上, 由 $J(u(t))\leq J(u_0),\,I(u_0)>0$ 和 (5.1) 式得

上式右边与 $t$ 无关, 由弱解延拓定理 (参见文献 [16]) 最大存在时间 $T = +\infty$, 即解整体存在. 因此 $u(t)\in J^{J(u_0)}\cap\mathcal{N}$, $t\geq0.$

对任意 $\omega \in \omega(u_0)$, 由极限集定义, (6.6) 式及 $\|u(t)\|_{L^2}^2$ 在 $[0,\infty)$ 上严格递减, 则

因此 $\omega \in J^{J(u_0)}$, $\omega \notin \mathcal N_{J(u_0)}$, $\omega(u_0) \cap \mathcal N = \emptyset$. 进一步有 $\omega(u_0) = \{0\}$.事实上,由 (5.1) 式和 $u(t) \in \mathcal N_+$ 对所有 $t \geq 0$ 成立, 可知 $J(u)$ 有下界. 由于 $J(u(t))$ 是非增函数(由 (4.8) 式), 存在常数 $\kappa$ 使得

因此, 对任意 $\omega \in \omega(u_0)$ 和所有 $t \geq 0$, 有 $J(u_\omega(t)) = \kappa$, 其中 $u_\omega(t)$ 是以 $\omega$ 为初值的问题 (1.1) 的弱解. 从而对任意 $\omega \in \omega(u_0)$, 有 $u_\omega(t) = \omega$ 且 $I(\omega) = 0$. 另一方面, 由 $\omega \notin\mathcal N$ 和 $\mathcal N$ 的定义, 我们得到 $\omega(u_0) = \{0\}$. 因此, 当 $t \to +\infty$ 时, 在 $\omega$-极限集的意义下解 $u(x,t) \to 0$.

(2) 若 \(u_0 \in \Psi_{\beta}\), 由 (6.3) 式得 $u_0\in \mathcal{N}_-$ 且

首先可证明 $u(t)\in \mathcal{N}_-$, $t\in [0, T).$ 假设存在首个时刻 $t_0 \in (0,T)$, 使得对 $t \in [0,t_0)$, 有 $u(t) \in\mathcal N_-$, $u(t_0) \in \mathcal N$, 即 $I(u(t_0)) = 0$, $J(u(t_0))\leq J(u_0), u(t_0)\in\mathcal{N}_{J(u_0)}$. 因此由

得$\|u(t)\|_{L^2}^2$在 $[0,t_0)$ 上严格递增, 故由 (6.7) 式得

另一方面, 由定义由 $\Lambda_{J(u_0)}$ 的定义和 $u(t_0)\in \mathcal{N}_{J(u_0)}$ 知

这与 (6.8) 式矛盾. 因此 $u(t) \in\mathcal N_-,\,\,t\in[0,T).$

假设 $T = +\infty$ (解全局存在), 则对任意的 $\omega \in \omega(u_0)$, 类似于 (6.8) 式的证明, 有

这意味着 $\omega \in J^{J(u_0)}$, $\omega \notin \mathcal N_{J(u_0)}$, $\omega(u_0) \cap \mathcal N = \emptyset$. 注意到 $\frac{\rm d}{{\rm d}t}J(u(t))=-\|u_t\|_{L^2}^2, $ 则有下面两种可能情况

(a) $\lim_{t \to +\infty} J(u(t)) = k$ (常数); (b) $\lim_{t \to +\infty} J(u(t)) = -\infty$.

对于情形 (a). 与情形 (1) 的证明类似有对任意的 $\omega \in \omega(u_0)$ 有 $I(\omega)=0.$ 由已证 $\omega(u_0) \cap \mathcal N = \emptyset$和$\mathcal{N}$的定义 得 $\omega(u_0)=\{0\}$.另一方面, 由推论 4.1 有 $ dist\{0, \mathcal{N}_{-}\}>0$, 则 $0\in \omega(u_0)$. 因此导出矛盾, 情形 (a) 不可能.

对于情形 (b). 由 $\displaystyle\lim_{t \to +\infty} J(u(t)) = -\infty$, 则存在 $t_1 > 0$, 使得 $J(u(t_1)) < d$. 由已证 $u(t)\in \mathcal{N}_{-},\, t\geq0$. 故以 $u(t_1)$ 为初始值, 问题 (1.1) 的解记为 $v(t) = u(t + t_1)$, 满足

由低能量爆破定理 (定理 5.2), $v(t)$ 在有限时间内爆破, 故 $u(t)$ 也在有限时间内爆破, 与 $T = +\infty$ 矛盾.

因此, 假设不成立, 问题 (1.1) 的解在有限时间内爆破.

联立定理 5.2 和定理 6.1, 则有

推论 6.1 设 $u_0\in H_{\alpha,0}^1(\Omega)$, $I(u_0)<0,$ 若下列两种情况之一成立

则问题 (1.1) 的解在有限时刻爆破.