为了描述在实验中观察到的细菌运动中形成的条纹斑图, 文献 [15] 提出并分析了如下的密度抑制型模型

其中 $u$ 和 $v$ 分别表示大肠杆菌细胞密度和酰基高丝氨酸内酯 (AHL) 的浓度;

函数 $f(u)$ 描述了细菌的生长和死亡, $g(u)$ 表示 AHL 的生成量;$\gamma'(v)<0$ 刻画了化学信号浓度对细胞运动的抑制作用.

事实上, 系统 (1.1) 是一种特殊的 Keller-Segel 模型

此模型是由 Keller 和 Segel 在 1970 年建立并做出了开创性工作^[11]. 因其在数学、生物学及药理学领域的重要意义, 模型随后被众多学者从多方面展开了深入研究. 众所周知, 对于此模型来说, 一个有趣且具有挑战性的问题是研究解的全局存在性与爆破.

目前已有研究证实,在二维及更高维情形下解会产生爆破[37,39,40].然而,一个合适的 Logistic 项可有效抑制 Keller-Segel 模型解的爆破[3,12,13,23,28,30,32,34,36,42,44,46,47,49].

下文将对系统 (1.1) 的现有研究成果作简要综述. 除非另有说明, 这里总是假定系统满足齐次 Neumann 边界条件.

若 $f(u)\equiv0$ 且 $g(u)=u$. 文献 [27] 首次给出了该系统全局解的存在性结果: 当运动函数 $\gamma(v)$ 存在正的上下界时, 在二维空间中古典解全局有界, 三维及更高维空间中至少存在一个全局弱解. 然而 $\gamma(v)$ 未必存在先验的正下界/上界. 例如, 当 $\gamma(v)=\frac{c_0}{v^k}$ 时, 文献 [48] 证明了对任意 $k>0$ 只要 $c_0>0$ 很小, 该系统在任意维数的空间上都存在全局有界解. 若 $\gamma(v)=\frac{1}{c+v^k}$ (其中 $c\geqslant 0$), 当 $n=1$ 且 $k>0$, $n=2$ 且 $k\in(0,2)$ 或 $n=3$ 且 $k\in(0,\frac{3}{4})$ 时, 文献 [2] 证明了具有大初值的系统 (1.1) 的弱解的全局存在性. 文献 [33] 证明了在 $\gamma(v)$ 满足某些条件的基础上, 当 $2\leqslant n\leqslant4$ 时, 系统存在全局有界的古典解. 当 $\gamma(v)={\rm e}^{-\chi v}$ 时, 文献 [10] 发现了临界质量现象: 若 $n=2$, 则存在一个临界值 $m=4\pi/\chi>0$, 使得当初始细胞质量 $\|u_0\|_{L^1(\Omega)}>m$ 时, 系统 (1.1) 的解可能会发生爆破; 而当 $\|u_0\|_{L^1(\Omega)}<m$ 时, 则系统 (1.1) 的古典解全局存在且关于时间一致有界. 该结果在[4,5] 中得到了进一步的完善, 表明爆破发生在无穷远处.

若 $f(u)=\rho u-\mu u^\alpha$ 且 $g(u)=u$. 文献 [9] 证明了: 当运动函数 $\gamma(v)$ 在 $[0,\infty)$ 上满足 $\gamma\in C^3([0,+\infty))$, $\gamma(v)>0$, $\gamma'(v)<0$, $\lim\limits_{v \to +\infty}\gamma(v)=0$ 且 $\lim\limits_{v \to +\infty}\frac{\gamma'(v)}{\gamma(v)}$ 存在, 以及 $\mu>\frac{K_0}{16}$ (其中 $K_0=\max\limits_{0\leqslant v \leqslant +\infty}\frac{|\gamma'(v)|^2}{\gamma(v)}$) 时, 系统 (1.1) 在二维空间中存在唯一的全局古典解, 而且该解全局渐近收敛于平衡态 $(1,1)$. 随后, 文献 [14] 和 ^[31] 在 $\mu>0$ 足够大的条件下, 将类似结果推广到更高维 ($n\geqslant 3$) 的空间中. 对于广义 Logistic 源 (即, 把 $\mu u(1-u)$ 替换为 $\mu(u-u^\theta)$), 若 $\theta>\max\{2,\frac{n+2}{2}\}$ 且 $\gamma(v)$ 在 $[0,\infty)$ 上满足 $\gamma\in C^3([0,+\infty))$ 和 $\gamma(v)>0$, 则系统 (1.1) 在任意维数的空间中均存在全局解^[19,20].

若 $f(u)=\rho u-\mu u^\alpha$ 且 $g(u)=u^{\beta}$. 文献 [24] 证明了: 如果运动函数满足 $\gamma\in C^3([0,+\infty))$ 是正函数, 且在 $[0,\infty)$ 上 $\gamma'(v)\leqslant0$, 同时参数满足 $\rho$, $\mu>0$, $\alpha>1$ 及 $0<\beta<\frac{2\alpha}{n+2}$, 则系统存在全局有界解. 此外, 该文献还分析了时间趋于无穷大时解的渐近行为.

此外, 相关研究可参考文献[16-18,21,22,41,43,45] 及其参考文献.

本文考虑以下具有广义 Logistic 项的信号依赖于运动的模型

对于系统 (1.2), 假设其满足以下条件

• $\Omega\subset \mathbb{R}^n\,(n\geqslant1)$ 是一个具有光滑边界 $\partial\Omega$ 的有界区域, $\nu$ 是 $\partial\Omega$ 的单位外法向量.

• $u$ 和 $v$ 分别表示细菌密度与趋化因子浓度. 初始条件满足

其中 $C_0$ 为正常数.

• $\rho>0$, $\mu>0$ 且 $\alpha>1$, $\beta>0$ 均为常数.

• 假设运动函数 $\gamma\in C^3((0,+\infty))$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒正且满足

我们可以列举出很多满足条件 (1.4) 的函数. 例如

其中 $a>0$.

基于上述模型设定, 接下来陈述本文的主要结果.

定理 1.1 设 $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ 为具有光滑边界的有界区域, $\rho>0$, $\mu>0$ {且正函数 $\gamma\in C^3((0,+\infty))$.} 若满足下列条件之一

其中, $p_0>\frac{n\beta}{2}$ 为固定常数, 且 $M_{\frac{p_0+\alpha-1}{\alpha-1}}$ 为由引理 2.2 定义的常数. 则对于任意满足条件 (1.3) 的初值, 系统 (1.2) 存在唯一的非负古典解 $(u,v)$ 满足

此外, 若 $\gamma(0)>0$, 则该解关于时间一致有界, 即存在常数 $C > 0$, 使得

注 1.1 当 $n=2$ 时, 上述五个条件在坐标系中的范围如下

注 1.2 在定理 1.1 中对运动函数 $\gamma$ 的假设条件比文献 [20] 中的假设更弱. 文献^[20] 考虑了 $\beta=1$ 的特殊情形. 实际上, 即使无文献 [20] 中的如下条件

其中 $\varepsilon>0$, 我们依然可以得到此类系统的全局解存在.

注 1.3 定理 1.1 的结果表明, 在特定参数范围内, 系统的全局古典解的存在性可得到严格证明. 值得注意的是, 这个参数范围具有随空间维数增大而逐渐受限、范围收窄的特征. 事实上, 我们的分析表明: 当条件 (H1)--(H5) 中有一个成立时, 系统存在全局经典解. 相较于文献 [24] 中的条件

即仅为 (H1) 的条件, 本文给出的条件更为宽松.这一发现不仅拓展了对系统动力学行为的理解,还为阐释空间维数、参数取值与全局古典解之间的关联提供了更为全面的视角.

下面概述本文方法的核心思路.根据 (1.2) 的结构信息以及扩散与交叉扩散项的特定关系,首先推导 $v$ 的正下界与上界, 这是本文的主要创新点.为实现这一目标, 我们首先通过比较方法得到 $v$ 的下界;同时, 借助经典的半群方法得出 $v$ 的上界. 本文不依赖于文献 [5] 中的条件

换言之, 无需上述条件, 仍可得到此类系统的全局解存在.然后, 在获得 $v$ 的正下界与上界后, 便能处理 $\Delta(\gamma(v)u)$ 项, 并建立 $u$ 的关于时间的一致有界性估计.

在本节中, 我们给出线性热方程解的若干基本估计.

引理 2.1 设 $T\in(0,\infty]$, $q\geqslant 1$. 对每一个

和

存在常数 $C_i = C (r_i) > 0 \, (i = 1, 2,3,4)$, 使得当 $z_0\in W^{1,\infty}(\Omega)$ 且

满足如下初边值问题

时, 则对于所有 $ t\in(0,T)$ 有

及

证 不等式 (2.2) 的证明可参见文献 [21,引理 2.2],不等式 (2.3) 的证明可参见文献 [6,引理 4.1],不等式 (2.4) 的证明可参见文献 [20,引理 2.5].因此, 下面仅证明不等式 (2.1). 利用半群表示法, 对所有 $t\in (0,T)$, 得

利用带 Neumann 边界条件的 Laplace 半群的光滑性^[35]和 Hölder 不等式得,存在常数 $\lambda,\, C_1 > 0$, 对于所有的 $t\in (0,T)$, 有

当 $q\leqslant \frac{n}{2}$ 时, 有

当$q>\frac{n}{2}$ 时, 有

结合 (2.5) 和 (2.6) 式得, 存在常数 $C_2 > 0$ 使得对于所有 $t \in (0,T)$ 有

因此, 不等式 (2.1) 成立. 该引理得证.

关于线性热方程的极大 Sobolev 正则性, 我们有如下结论 (具体可参考文献 [7,引理 2.1] 与文献 [8]).

引理 2.2 设 $r \in (1, +\infty)$. 则存在常数 $M_r > 0$ 和 $C>0$, 使得对任意 $T \in (0, +\infty]$, $\tau_0 \in [0, T)$,$ z(\cdot,\tau_0 ) \in W^{2,r}(\Omega)$ 满足外法向导数条件$\displaystyle\frac{\partial z(\cdot,\tau_0)}{\partial \nu} = 0$ 且函数

满足

有

且

其中 $M_r$ 和 $C$ 都不依赖于 $T$.

下面给出一个 Grönwall 不等式^[29], 主要用于获得解关于时间的一致估计.

引理 2.3 设 $T_{\max}>0$, $\tau\in(0,T_{\max})$. 假设 $a,b,y$ 是定义在 $(0,T_{\max})$ 上的三个正的局部可积函数且$y'$ 在 $(0, T_{\max})$ 上是局部可积的, 若对于所有 $t\in(0,T_{\max})$ 满足

且对所有 $t\in[0, T_{\max}-\tau)$,

其中 $a_{i}(i=1,2,3)$ 是正数. 那么对所有 $t\in[\tau, T_{\max})$,

本节, 我们将证明系统 (1.2) 解的全局存在性与有界性.

引理 3.1 设 $\Omega\subset \mathbb{R}^n$ 是一个具有光滑边界的有界区域,运动函数 $\gamma$ 满足条件 (1.5), 以及$\rho>0,\,\mu>0$ 和 $\alpha>1$, $\beta>0$ 是常数.如果初值满足条件 (1.3),则存在 $T_{max}\in(0,\infty]$ 和一对非负函数 $(u,v)$

构成系统 (1.2) 在 $\Omega\times(0,T_{\max})$ 上的古典解.此外, 有

基于文献 [25] 中运用 Schauder 不动点定理的标准方法或者文献 [1]中的抽象理论都可以证明上述解的局部存在性, 这里省略这个引理的证明.

接下来, 我们给出系统 (1.2) 解的一些基本性质.

首先, 我们回顾解 $u$ 的有界性.

引理 3.2 如果 $\rho>0,\,\mu>0,\ \alpha>1$ 和$\beta>0$ 是常数, 则存在一个常数 $C>0$, 使得对于所有 $t \in (0,T_{\max})$, 有

且对任意 $0<\tau<\min\{T_{\max},1\}$, $t \in (0,T_{\max}-\tau)$, 有

此外, 对于每个 $a>0$, 存在 $C>0$, 使得对任意 $t \in (0,T_{\max})$, 有

证 对 (1.2) 式中的第一个方程在 $\Omega$ 上积分, 任意 $t \in (0,T_{\max})$ 有

利用 Young 不等式可得, 存在常数 $C_1>0$, 使得对任意 $ t \in (0,T_{\max})$ 有

结合比较原理, 由此可推出所需结论 (3.1).

对 (3.4) 式在 $(t,t+\tau)$ 上积分, 得到 (3.2) 式.

在 (3.4) 式的两端分别乘以 ${\rm e}^{as}$ 并在 $(0, t)$ 上对 $s$ 积分得,

存在常数 $C_2>0$, 使得对于任意 $ t \in (0,T_{\max})$ 有

即 (3.3) 式成立. 该引理得证.

接下来, 利用比较原理得 $v$ 的下界估计, 参见文献 [38].

引理 3.3 若 $T_{\max}<+\infty$, 则存在一个常数 $C>0$ 使得对所有 $t \in (0,T_{\max})$ 有

证 通过比较原理并结合 $u$ 的正性, 由系统 (1.2) 的第二个方程得, 对于所有 $(x,t) \in \Omega \times (0, T_{\max})$ 有

这意味着对任意 $ (x,t) \in \Omega \times (0, T_{\max})$ 有

该引理得证.

注 3.1 此引理仅针对解的全局存在性证明起作用, 对于解的一致有界性由于加了额外的条件, 这个引理完全不需要.

由半群的估计, 立即可得 $v$ 的上界估计.

引理 3.4 如果 $\frac{\alpha}{\beta}>\frac{n+2}{2}$, 则存在一个常数 $C>0$, 使得对于所有 $ t \in (0,T_{\max})$

证 由引理 2.1 中的 (2.2) 式和引理 3.2 中的 (3.3) 式, 可得到 (3.5) 式.

引理 3.5 假设 $\mu > 0$, $\rho > 0$. 若对于

存在 $K > 0$, 使得对任意 $ t \in (0,T_{\max})$ 有

或对于

存在 $K > 0$ 使得对任意 $t \in (0,T_{\max})$ 有

那么存在常数 $C > 0$, 使得对任意 $t \in (0,T_{\max})$ 有

证步骤 1 我们将证明: 存在 $p_0 > n$ 和 $C_1> 0$, 使得对任意 $t \in (0,T_{\max})$, 有

(3.6) 式对应的情形. 由引理 2.1 中 (2.3) 式知, 对任意 $\sigma \in [1,(\frac{np_1}{n\beta-p_1})_+)$, 存在常数 $C_2 > 0$, 使得对任意 $t \in (0,T_{\max})$ 有

鉴于 $(\frac{np_1}{n\beta-p_1})_+ >n$, 由此可以从 (3.9) 式中得到所要证明的结论.

(3.7) 式对应的情形. 根据引理 2.1 中 (2.4) 式得, 对任意 $\kappa\in [1,(\frac{np_2}{(n+2)\beta-p_2})_+)$, 存在常数 $C_3 > 0$, 使得对任意 $t \in (0,T_{\max})$ 有

鉴于$(\frac{np_2}{(n+2)\beta-p_2})_+>n$, 由此可从 (3.10) 式中得到所要证明的结论.

步骤 2 我们断言, 对任意 $ p\geqslant2$, 存在常数 $C_4 > 0$, 使得对任意 $t \in (0,T_{\max})$ 有

实际上, 当 $\displaystyle\frac{\alpha}{\beta}>\frac{n+2}{2}$ 时, 结合引理 3.4 和引理 3.5; 当 $\displaystyle\frac{\alpha}{\beta}\leqslant\frac{n+2}{2}$ 时, 结合 (1.4) 式以及引理 3.3, 得存在常数 $\gamma_1, \gamma_2>0$, 使得对任意 $t \in (0,T_{\max})$ 有

利用 (1.2) 式的第一个方程、边界条件、分部积分公式和 Hölder 不等式, 可得对任意 $t \in (0,T_{\max})$

用 Gagliardo-Nirenberg 不等式和 Young 不等式得, 对任意 $t \in (0,T_{\max})$, 存在常数 $C_{5},C_{6}>0$ 满足

结合 (3.11) 和 (3.12) 式知, 存在常数 $C_{7}>0$, 使得对任意 $t \in (0,T_{\max})$ 有

然后, 利用 Young 不等式得上述断言.

步骤 3 应用文献 [26] 中的 Moser 迭代, 可以推断出存在常数 $C_{8}>0$, 使得对任意 $t \in (0,T_{\max})$ 有

相关细节可参见文献 [26]. 将引理 2.1 应用于系统 (1.2), 不难推出存在常数 $C_{9} > 0$, 满足对任意 $t \in (0,T_{\max})$ 有

至此, 该引理得证.

首先, 给出一个关于 $u$ 的 $L^p$ 估计的不等式, 该不等式对后续引理的证明至关重要.

引理3.6 设 $p>1$, $\rho>0,\,\mu>0,\ \alpha>1$, $\beta>0$ 且运动函数满足条件 (1.4), 那么对任意的 $\varepsilon>0$, 存在常数 $C>0$, 使得对任意 $\tau_0\in (0,T_{\max})$ 且 $t\in (\tau_0,T_{\max})$ 有

其中 $M_{\frac{p+\alpha-1}{\alpha-1}}$ 是引理 2.2 中的常数.

证 由 (1.4) 式得, 对任意 $t \in (0,T_{\max})$ 有

利用 (1.2) 式的第一个方程、边界条件和分部积分得, 对任意 $t \in (0,T_{\max})$ 有

接下来, 我们估计 (3.14) 式的右侧. 结合 (1.4) 式得, 对任意 $t \in (0,T_{\max})$ 有

利用 Young 不等式得, 对任意的 $\varepsilon>0$, 有对任意 $t \in (0,T_{\max})$

利用 (3.14) 和 (3.15) 式可得, 对任意 $t \in (0,T_{\max})$,

在 (3.16) 式两边加上 $\frac{p+\alpha-1}{\alpha-1}\int_\Omega u^p$ 可得, 对任意 $t \in (0,T_{\max})$,

这意味着对于所有 $t \in (\tau_0,T_{\max})$ 有

利用引理 2.2 可得, 对任意 $t \in (\tau_0,T_{\max})$ 有

将上述结果带入 (3.17) 式, 即得所求结论.

当 $\beta<\alpha-1$ 时, 现在给出 $u$ 的 $L^p$ 估计.

引理 3.7 设 $\rho>0,\,\mu>0,\ \alpha>1$, $0<\beta<\alpha-1$ 且运动函数满足条件 (1.4). 则对于任意的 $p > 1$, 存在常数 $C = C (p) > 0$, 使得对任意 $t \in (0,T_{\max})$ 有

证 根据引理 3.6, 取 $\displaystyle\varepsilon = \frac{\mu (p+\alpha-1)}{3(p-1)\gamma_2}$ 可以得到, 对任意 $\tau_0 \in (0,T_{\max})$ 和 $ t \in (\tau_0,T_{\max})$ 有

由 Young 不等式得, 存在常数 $C_1,C_2>0$, 使得对任意 $\tau \in (0,T_{\max})$ 有

且

该引理得证.

当 $\beta=\alpha-1$ 时, $u$ 的 $L^p$ 估计是在 $\mu > 0$ 足够大的条件下推导出来的.

引理 3.8 设 $\rho>0,\,\alpha>1$, $\beta=\alpha-1$, $p_0>\frac{n\beta}{2}$ 且运动函数满足条件 (1.4). 若

则存在常数 $C = C(p_0) > 0$, 使得对任意 $\tau \in (0,T_{\max})$ 有

证 设

则有

故当 $\varepsilon=M_{\frac{p_0+\alpha-1}{\alpha-1}}^{\frac{\alpha-1}{p_0+\alpha-1}}$ 时, $g(\varepsilon)$ 取最小值

由于

及函数 $g(\varepsilon)$ 的连续性可得, 存在一个常数 $\varepsilon_0 > 0$, 使得

由引理 3.6, 取 $p = p_0$ 和 $\varepsilon = \varepsilon_0$, 可推出对任意 $\tau_0 \in (0,T_{\max})$ 和 $t \in (\tau_0,T_{\max})$ 有

由 (3.19) 式和 Young 不等式得, 存在一个常数 $C_1>0$, 使得

再结合 (3.20) 式, 即得所求结论.

当 $\displaystyle\alpha=\frac{n+2}{n}$ 和 $\displaystyle\beta=\frac{2}{n}$ 时,利用引理 2.3 可导出 $u$ 的 $ L^p$ 估计.

引理3.9 设 $\rho>0,\,\mu>0$, $\displaystyle\alpha=\frac{n+2}{n}$, $\displaystyle\beta=\frac{2}{n}$ 且运动函数满足 (1.4) 式. 那么存在常数 $C>0$, 使得对任意 $t \in (0,T_{\max})$ 有

证 利用系统 (1.2) 的第一个方程、边界条件和分部积分得, 对任意 $t \in (0,T_{\max})$ 有

接下来, 估计 (3.21) 式的右侧. 结合 (1.4) 式得, 对任意 $t \in (0,T_{\max})$ 有

该式与 (3.21) 式和 Young 不等式相结合可得, 对任意 $t \in (0,T_{\max})$ 有

再次利用 Young 不等式, 对任意 $t \in (0,T_{\max})$ 有

将上述不等式代入 (3.22) 式得, 对任意 $t \in (0,T_{\max})$ 有

由引理 3.2 和引理 2.2 得, 存在常数 $C>0$, 满足对任意 $t \in (0,T_{\max}-\tau)$ 有

和

利用引理 2.3, 即得所求结论.

基于上述分析, 证明系统 (1.2) 解的全局存在性和有界性.

证 [定理 1.1 的证明] 这里将分五种不同情形进行讨论.

情况 1 如果 (H1) 成立, 则

利用引理 3.2 的 (3.3) 和引理 3.5, 得到 (3.8) 式.

情况 2 如果 (H2) 成立, 则

利用引理 3.2 的 (3.1) 和引理 3.5, 得到 (3.8) 式.

情况 3 如果 (H3) 成立, 则

利用引理 3.9 和引理 3.5, 得到 (3.8) 式.

情况 4 如果 (H4) 成立, 则

利用结合引理 3.7 和引理 3.5, 得到 (3.8) 式.

情况 5 如果 (H5) 成立, 则

利用引理 3.8 和引理 3.5, 得到 (3.8) 式.

由 (3.8) 式得, 系统 (1.2) 的解在任意 $(0,T_{\max})$ 内均满足一致有界. 利用引理 3.1, 即可得到解的全局存在性.