设区域 $\mathbb{M} \subset [0,1) \times X \times [0,1)$ 是维数为 $ N = n + 2 \geq 3$ 的角奇异流形在角点附近的局部模型,具有有限角测度 $ |\mathbb{M}| = \int_\mathbb{M} \frac{\mathrm{d}r}{r} \mathrm{d}x \frac{\mathrm{d}w}{{r}w} $,此处, $ X $ 是可嵌入 $ \mathbb{R}^{n+1} $ 中单位球面的 $ n$ 维紧光滑子流形.令 $\mathbb{M}_0$ 表示 $ \mathbb{M} $ 的内部,$ \partial \mathbb{M} = \{0\} \times X \times \{0\}$ 表示 $\mathbb{M}$ 的边界.坐标表示为 $(r,x,w)=(r,x_1,\cdots,x_n,w)\in\mathbb{M}$.角奇异流形 $\mathbb{M}$ 上的 Laplace 算子定义为

它是一个在边界 $\partial\mathbb{M}$ 上退化的椭圆算子, 其中

是 $\mathbb{M}$ 上的梯度算子. 这类退化算子已被众多学者研究, 参见文献 [14,20{22,24,25].在文献 [5-8] 中,Chen 等在角奇异流形上引入了加权的 Sobolev 空间 $\mathcal{H}_{2,0}^{1, \left(\frac{N-1}{2},\frac{N}{2}\right)}(\mathbb{M})$,系统研究了连续嵌入, 紧嵌入, Laplace 算子的谱理论等,进而在角奇异流形上建立了 Sobolev 不等式, Poincaré 不等式, Hardy 不等式等基本不等式,并研究了角奇异流形上带势函数的椭圆方程解和变号解的存在性及其多解性.

本文研究角奇异流形上带奇异位势项的半线性抛物方程组的初边值问题

其中 $u_{0}, v_{0} \in \mathcal{H}_{2,0}^{1, (\frac{N-1}{2},\frac{N}{2})}(\mathbb{M})$,$u := u(r,x,w,t)$, $v := v(r,x,w,t)$ 是关于空间变量和时间变量的未知函数, $0<T\leq+\infty$ 是最大存在时间, $\mu$ 为满足下文 (1.4) 式的常数.正奇异势函数 $V_{i}:= V_{i}(r,x,w)(i=1,2)$ (详见本文命题 2.7)在 $ \partial \mathbb{M}$ 上是无界的, 且满足角型 Hardy 不等式

其中 $\mathrm{d}\sigma = \frac{\mathrm{d}r}{r} \mathrm{d}x \frac{\mathrm{d}w}{rw}$,

正常数 $C^{*}$ 定义为

并令常数 $\mu$ 满足

函数 $F:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ 是一个 $C^{1}$ 函数, 定义为

其中 $1<p<\frac{N+2}{N-2}, \alpha>1$ 且 $\beta>0$. 此外,

自 1984 年 Baras 和 Goldstein 的研究工作以来,带奇异位势项的热方程问题一直备受关注.特别地, 他们^[2]在 $u_{0}>0$ 的条件下, 研究了带奇异位势项的线性热方程

并发现正解的存在性与奇异势函数 $V\left(x\right) =c\left|x\right|^{-2}$ 中参数 $c$ 密切相关.对于非线性情形, Souplet 等^[26]研究了具有衰减势的抛物型方程的 Cauchy 问题

在势函数 $V(x)$ (无需是径向函数) 满足适当假设条件下,他们证明了问题 (1.8) 的解是整体存在的.此外, 当 $V(x)$ 和初值 $u_0$ 均为径向函数时, 某些整体解存在包含正平衡解的 $\omega$-极限集.特别地, 对于一般形式的经典非线性热方程

已被诸多学者研究, 建立了相应问题弱解的存在性,爆破性和渐近性, 参见文献 [9,10,17,19] 及其参考文献.处理上述问题的一个有效技术是由 Payne 和 Sattinger23] 在双曲方程背景下引入的位势井方法.特别地, 对于 $f(u)=\left|u\right|^{p-1}u$, Gazzola 和 Weth^[17]利用比较原理和变分法研究了方程 (1.9) 的初边值问题, 得到了高初始能量下解的整体存在性和有限时间爆破.

对于半线性反应扩散系统, Escobedo-Herrero^[15] 考虑了以下方程组的初边值问题

其中 $g_{1}(u,v)= v^p$, $g_{2}(u,v) = u^q$.在 $p$ 和 $q$ 的适当假设下, 他们得到了整体解的存在性或在有限时间内爆破.此外, 当 $g_{1}(u,v)= u^q v^p$, $g_{2}(u,v) = v^r u^s$ 时,Escobedo 和 Levine^[16] 在 Fujita 指标下给出了方程组 (1.10) 整体解的存在性.之后, Xu 等^[29]考虑了$g_{1}(u,v)= (|u|^{2p} + |v|^{p+1} |u|^{p-1})u$,$g_{2}(u,v) = (|v|^{2p} + |u|^{p+1} |v|^{p-1})v$ 时方程组 (1.10) 的初边值问题.利用位势井方法, 他们在次临界和临界初始能量下得到了解的整体存在性、长时间行为和有限时间爆破;在超临界初始能量条件下, 他们建立了抛物系统的比较原理, 并得到了解的整体存在性与有限时间爆破.与经典抛物方程组 (1.10) 相比,Chen 等^[12]在有限阶退化向量场上研究了耦合半线性抛物方程组的初边值问题,利用位势井方法得到了相应初边值问题在次临界与临界初始能量下解的整体存在性, 渐近行为以及有限时间爆破.

随后, Chen 等^[4]在角奇异流形上研究了带奇异位势项的耦合半线性抛物方程组的初边值问题 (1.1).利用位势井方法, 讨论了问题 (1.1) 在次临界与临界初始能量下解的整体存在性, 渐近行为以及有限时间爆破.在奇异流形或者退化向量场上单个半线性抛物方程的初边值问题已被众多学者研究, 参见文献 [1,3,11,13,27,28] 及其参考文献.

基于上述工作,本文研究了高初始能量下角奇异流形上带奇异位势项的半线性抛物方程组的初边值问题 (1.1).区域边界出现的奇性结构使经典分析技术方法失效, 需要依据区域奇性建立对应理论工具及研究方法.本文获得了超临界初始能量下判别解的整体存在性与有限时间爆破的充分条件,得到了任意初始能量下使得解有限时间爆破的充分条件和相应的爆破时间上界估计.

首先, 引入弱解的定义

定义 1.1 如果函数 $u, v \in L^\infty(0,T; \mathcal{H}_{2,0}^{1, (\frac{N-1}{2},\frac{N}{2})}(\mathbb{M}))$,$u_t, v_t \in L^2(0,T; \mathcal{L}_2^{\frac{N-1}{2},\frac{N}{2}}(\mathbb{M}))$,$u(r,x,w,0) = u_0(r,x,w)$, $v(r,x,w,0) = v_0(r,x,w)$,且

对任意 $\varphi \in \mathcal{H}_{2,0}^{1, (\frac{N-1}{2},\frac{N}{2})}(\mathbb{M})$, $t \in (0,T)$ 都成立,则称 $(u,v)$ 为问题 (1.1) 在 $\mathbb{M} \times [0,T)$ 上的弱解.本文约定记号 $(u,v) = (u(t), v(t))= (u(r,x,w,t), v(r,x,w,t))$,$(r,x,w) \in \mathbb{M}$, $T$ 是解的最大存在时间.

在空间$\mathcal{H}_{2,0}^{1, (\frac{N-1}{2},\frac{N}{2})}(\mathbb{M})$ 上引入能量泛函

Nehari 泛函

由此定义 Nehari 流形

该流形将空间分割为两个无界集合

借助 Nehari 流形, 可定义位势井的深度为

因此, 对所有 $\alpha > d$, 定义

其中 $ d_{\mathbb{M}} $ 是 $\mathbb{M}$ 的直径,

此外, 对任意 $\alpha > d$, 再定义两个变分数值

与

它们有以下单调性质

最后, 引入两个集合

借助上述记号, 本节将通过以下两个定理展示主要结果.对于高初始能量 $J(u_0, v_0) > d$,

定理 1.1 获得了问题 (1.1) 解的整体存在或有限时间爆破的充分条件,此外, 利用 Levine 的凹函数方法, 定理 1.2 得到了任意初始能量下使得解有限时间爆破的充分条件以及相应的爆破时间上界的估计.

定理 1.1 对任意 $\alpha \in (d, +\infty)$, 有下列结论

(i) 若 $(u_0, v_0) \in \mathcal{G}_{\alpha}$, 则问题 (1.1) 的弱解整体存在且当 $t \to +\infty$ 时 $(u(t), v(t)) \to (0, 0)$;

(ii) 若 $(u_0, v_0) \in \mathcal{B}_{\alpha}$, 则问题 (1.1) 的弱解在有限时间内爆破.

结合文献 [4,定理 1.4] 和定理 1.1 (ii), 我们可以得到以下推论.

推论 1.1 如果 $I(u_0, v_0) < 0$ 且以下两个条件之一成立

(i) $J(u_0, v_0) \leq d$;

(ii) $J(u_0, v_0) > d$ 且 $\|u_0\|^{2}_{\mathcal{L}_{2}^{\frac{N-1}{2},\frac{N}{2}}(\mathbb{M})} + \|v_0\|^{2}_{\mathcal{L}_{2}^{\frac{N-1}{2},\frac{N}{2}}(\mathbb{M})}> \Lambda_{J(u_0, v_0)}$,

则问题 (1.1) 的解在有限时间内爆破.

定理 1.2 设 $u_0, v_0 \in \mathcal{H}_{2,0}^{1,(\frac{N-1}{2},\frac{N}{2})}(\mathbb{M})$,若

则问题 (1.1) 的弱解 $(u, v)$ 在有限时间内爆破, 且

此外,

其中 $ d_{\mathbb{M}} $ 是 $\mathbb{M}$ 的直径.

本文的组织结构如下: 第 2 节给出一些预备知识,介绍角奇异流形及其上加权 $p$-Sobolev 空间的定义,并讨论其上连续嵌入、紧性和谱理论及一些基本不等式.第 3 节对于高初始能量 $J(u_0, v_0 ) > d$, 导出问题 (1.1) 的弱解整体存在或有限时间爆破的充分条件.第 4 节利用 Levine 的凹函数方法, 得到了任意初始能量下使得解有限时间爆破的充分条件以及相应的爆破时间的上界估计.

本节介绍 Chen 等在文献 [6-8] 中引入的角奇异流形及其上的加权 Sobolev 空间,并讨论其连续嵌入性, 紧性, 谱理论以及一些基本不等式.

设 $X\subset S^{n}$ 是 $\mathbb{R}^{n+1}_{\tilde{x}}$ 中单位球面上的有界开集,则直锥 $X^{\Delta}$ 定义为

一般地, 定义 $\mathbb{R}^{n+1}$ 上无限锥是一个基底为 $X$ 的商空间

利用 $\mathbb{R}^{n+1} \backslash\{0\}$ 上柱形坐标,$(r, \varphi) \in X^{\Delta} \backslash\{0\}$ 是标准坐标系,可将 $X^{\Delta} \backslash\{0\}$ 描述为 $\mathbb{R}_{+} \times X$.展开锥定义为

设 $(r, x) \in X^{\wedge}$, 对于 $0 \leq r<1$,可得有限锥 $E \subset([0,1) \times X) /(\{0\} \times X)$,$E$ 的有限展开锥为带有光滑边界 $\partial \mathbb{E} \supset\{0\} \times X$ 的流形

一个无限角可定义为

其中基底 $E$ 是上述有限锥, 相应的展开角为 $E^{\wedge}=\mathbb{E} \times \overline{\mathbb{R}}_{+}$.

设 $(r, x, t) \in E^{\wedge}$, 对于 $0 \leq t<1$, 则有限角为

$M$ 的展开角是一个具有光滑边界$\partial\mathbb{M}=\{0\}\times X\times\{0\}$ 的流形

其内部记为 $\mathbb{M}_{0}$.

展开锥 $\mathbb{E}$ 上典型的退化微分算子 $A$ 具有如下形式

其中系数$a_{j}(r)\in C^{\infty}(\overline{\mathbb{R}}_{+},\operatorname{Diff}^{\mu-j}(X))$, $A_{\mathbb{E}}$ 是退化锥算子.记 $\operatorname{Diff}^{\mu}_{\deg}(\mathbb{E})$表示具有上述形式的微分算子 $A$ 构成的集合.展开角 $\mathbb{M}$ 上的典型微分算子 $B$ 则具有如下形式

其中系数 $b_{l}(w)\in C^{\infty}(\overline{\mathbb{R}}_{+},\operatorname{Diff}^{\nu-l}_{\deg}(\mathbb{E}))$, 即

此处 $a_{jl}(r,w)\in C^{\infty}(\overline{\mathbb{R}}_{+},\operatorname{Diff}^{\nu-l-j}(X))$.这意味着

这里 $\tilde{a}_{jl}(r,w)\in C^{\infty}(\overline{\mathbb{R}}_{+},\mathrm{Diff}^{\nu-l-j}(X))$, 算子 $B_{\mathbb{M}}$ 称为退化角算子.事实上, 角 $M$ 上有如下 Riemannian 度量

其中 $g_{X}$ 是 $X$ 上的 Riemannian 度量, 则相应的具有角退化的梯度算子为

Chen 等^[6]在 $\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}_{+}$ 上定义加权$L_{p}^{\gamma_{1},\gamma_{2}}$ 空间如下

定义 2.1 设 $(r,x,w)\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}_{+}$, 权 $\gamma_{i}\in\mathbb{R},i=1,2$且 $1\leq p<+\infty$,则加权空间 $\mathcal{L}_{p}^{\gamma_{1},\gamma_{2}}(\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}_{+},\frac{\mathrm{d}r}{r}\mathrm{d}x\frac{\mathrm{d}w}{rw})$ 表示所有满足

的函数 $u(r,x,w)\in\mathcal{D}^{\prime}(\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}_{+})$ 构成的空间.

基于上述加权 $L_{p}^{\gamma_{1},\gamma_{2}}$ 空间,Chen 等^[6]在 $\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}_{+}$ 上定义如下加权 $p$-Sobolev 空间

定义 2.2 设 $m\in\mathbb{N},\gamma_{i}\in\mathbb{R},i=1,2$, 并令 $N=n+2$, 加权 Sobolev 空间定义为

这里 $k, l \in\mathbb{N}$, 多重指标 $\alpha\in\mathbb{N}^{n}$ 且满足 $k+|\alpha|+l\leq m$. 此外, $C_{0}^{\infty}$ 函数在 $\mathcal{H}_{p}^{m,(\gamma_{1},\gamma_{2})}(\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}^{n} \times\mathbb{R}_{+})$ 中的闭包记为 $\mathcal{H}_{p,0}^{m,(\gamma_{1},\gamma_{2})}(\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}^{n} \times\mathbb{R}_{+})$.

类似地, Chen 等^[6]在展开角 $\mathbb{R}_{+}\times X\times\mathbb{R}_{+}$ 上定义如下加权 $p$-Sobolev 空间

其中 $k, l\in\mathbb{N}$, 多重指标 $\alpha\in\mathbb{N}^{n}$ 且满足 $k+|\alpha|+l\leq m$.$\mathcal{H}_{p}^{m,(\gamma_{1},\gamma_{2})}$ 上的范数定义为

按照这个范数, $\mathcal{H}_{p}^{m,(\gamma_{1},\gamma_{2})}$ 构成 Banach 空间.此外, $C_{0}^{\infty}$ 函数在 $\mathcal{H}_{p}^{m,(\gamma_{1},\gamma_{2})}(\mathbb{R}_{+}\times X\times \mathbb{R}_{+})$中构成的闭包记为 $\mathcal{H}_{p,0}^{m,(\gamma_{1},\gamma_{2})}(\mathbb{R}_{+}\times X\times \mathbb{R}_{+})$.

Chen 等^[6]在 (2.1) 式中定义的展开角 $\mathbb{M}$ 上引入如下加权 $p$-Sobolev 空间

定义 2.3 设 $m\in\mathbb{N},1\leq p<\infty, \gamma_{i}\in\mathbb{R}, i=1,2, $$W^{m,p}_{\mathrm{loc}}(\mathbb{M}_{0})$ 是经典的局部 Sobolev 空间, 定义其子空间

此处 $\omega=\omega(r,x)$, $\sigma=\sigma(x,w)$ 是任意的截断函数, 支集分别含于 $(0,1)\times\partial\mathbb{M}$,$\partial\mathbb{M}\times(0,1)$ 的柱形邻域.此外, $C_{0}^{\infty}$ 函数在 $\mathcal{H}_{p}^{m,\left(\gamma_{1}, \gamma_{2}\right)}(\mathbb{M})$ 中的闭包记为 $\mathcal{H}_{p, 0}^{m,\left(\gamma_{1}, \gamma_{2}\right)}(\mathbb{M})$.

由定义 2.3 可知, 当 $1\leq p<\infty$ 时,$\mathcal{H}^{m,({\gamma_{1}},{\gamma_{2}})}_{p}(\mathbb{M})$是 Banach 空间, 当 $p=2$ 时, 它是 Hilbert 空间.此外, $r^{\gamma_{1}^{\prime}}w^{\gamma_{2}^{\prime}}\mathcal{H}^{m,({\gamma_{1}},{ \gamma_{2}})}_{p}(\mathbb{M})=\mathcal{H}^{m,({\gamma_{1}}+{\gamma_{1}^{\prime}}, {\gamma_{2}}+{\gamma_{2}^{\prime}})}_{p}(\mathbb{M})$.

下述命题给出了加权 Sobolev 空间 $\mathcal{H}^{m,({\gamma_{1}},{\gamma_{2}})}_{p}(\mathbb{M})$ 的嵌入性质.

命题 2.1 [6,命题 2.4] 当 $m^{\prime}\geq m$, $\gamma_{1}^{\prime}\geq\gamma_{1}$, $\gamma_{2}^{\prime}\geq\gamma_{2}$ 时, 嵌入 $\mathcal{H}^{m^{\prime},({\gamma_{1}^{\prime}},{\gamma_{2}^{\prime}})}_{p,0}( \mathbb{M})\hookrightarrow\mathcal{H}^{m,({\gamma_{1}},{\gamma_{2}})}_{p,0}(\mathbb {M})$ 是连续的;当 $m^{\prime}> m$, $\gamma_{1}^{\prime}\geq\gamma_{1}$, $\gamma_{2}^{\prime}\geq\gamma_{2}$ 时,嵌入是紧的.

角型 Laplace 算子有如下谱分解理论

命题 2.2 [6,命题 2.5] Dirichlet 问题

有特征值

且相应的特征函数 $\{\varphi_k\}_{k\geq 1}$ 构成空间 $\mathcal{H}_{2,0}^{1,(\frac{N-1}{2},\frac{N}{2})}(\mathbb{M})$的标准正交基.

下面我们介绍角空间上的 Sobolev 不等式和 Poincaré 不等式.

命题 2.3 (角型 Sobolev 不等式, 见文献 [6,命题 3.1]) 假设 $1\leq p<N$, $\frac{1}{p^{*}}=\frac{1}{p}-\frac{1}{N}$, $N=1+n+1$ 且${\gamma_{1}},{\gamma_{2}}\in\mathbb{R}$.对于 $u(r,x,w)\in C^{\infty}_{0}(\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}_ {+})$,成立估计式

其中 ${\gamma_{1}^{*}}={\gamma_{1}}-1$,${\gamma_{2}^{*}}={\gamma_{2}}-1$, $\alpha=\frac{(N-1)p}{N-p}$,$c_{1}=\frac{1}{N}\left|\frac{(N-1)\left(N-\gamma_{1} p\right)}{N-p}\right|^{\frac{1}{N}} \left|\frac{(N-1)\left(N-\gamma_{2} p\right)}{N-p}\right|^{\frac{1}{N}}$,$c_{2}=\frac{1}{N}\left|\frac{(N-1)\left(N-\gamma_{1} p\right)}{N-p}\right|^{\frac{1}{N}}$, $c_{3}=\frac{1}{N}\left|\frac{(N-1)\left(N-\gamma_{2} p\right)}{N-p}\right|^{\frac{1}{N}}$, $c_{4}=\frac{1}{N}$.

当 ${\gamma_{1}}={\gamma_{2}}=\frac{N}{p}$ 时, (2.2) 式中的常数 $c_{1}=c_{2}=c_{3}=0$.此时对于 $u(r,x,w)\in\mathcal{H}^{1,({\gamma_{1}},{\gamma_{2}})}_{p}(\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}^{n}\times\mathbb{R}_{+})$,

其中 $\nabla_{\mathbb{M}}=(r\partial_{r},\partial_{x_{1}},\cdots,\partial_{x_{n}}, rw\partial_{w})$是角 $\mathbb{M}\subset[0,1)\times X\times[0,1)$ 上的梯度算子, $c=\frac{(N-1)p}{(N-p)N}$ 是最佳常数.

命题 2.4 (角型 Poincaré 不等式, 见文献 [6,命题 3.2]) 设 $u(r,x,w)\in\mathcal{H}^{1,({\gamma_{1}},{\gamma_{2}})}_{p,0}(\mathbb{M})$, $1\leq p<\infty$, 则成立不等式

其中 $ d_{\mathbb{M}}$ 是 $\mathbb{M}$ 的直径.

命题 2.5 [6,命题 3.3] 设 $1<l<2^{*}$, 则嵌入

是紧的.

命题 2.6 (角型 Hölder 不等式) 设 $p,q\in(1,\infty)$, 且 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$,则对任意 $u\in L_{p}^{\frac{N-1}{p}, \frac{N}{p}}(\mathbb{M})$,$v\in L_{q}^{\frac{N-1}{q}, \frac{N}{q}}(\mathbb{M})$,有

利用角型 Poincaré 不等式 (2.4) 与 Sobolev 嵌入不等式 (2.5) 定义一个正常数

命题 2.7 (角型 Hardy 不等式, 见文献 [7,命题 2.4]) 设 $(r, x, w) \in \mathbb{M} \subset [0,1) \times X \times [0,1)$.

(i) 令

则对于任意函数 $u \in \mathcal{H}_{2,0}^{1,(\frac{N-1}{2}, \frac{N}{2})}(\mathbb{M})$, 成立不等式

其中 $\mathrm{d}\sigma = \frac{\mathrm{d}r}{r} \mathrm{d}x \frac{\mathrm{d}w}{rw}$;

(ii) 令

则对于任意函数 $u \in \mathcal{H}_{2,0}^{1,(\frac{N-1}{2}, \frac{N}{2})}(\mathbb{M})$, 成立不等式

为了证明定理 1.1, 首先给出以下引理.

引理 3.1 设 $ (u,v) \in \mathcal{H}_{2,0}^{1, \left(\frac{N-1}{2},\frac{N}{2}\right)}(\mathbb{M}) \times \mathcal{H}_{2,0}^{1, \left(\frac{N-1}{2},\frac{N}{2}\right)}(\mathbb{M}) $), 则有下列结论

(i) 对任意 $ (u,v) \in \mathcal{N}_{+}$ 都有 $J(u,v) > 0$;

(ii) 对每个 $ \alpha > 0$,$J^\alpha \cap \mathcal{N}_{+}$ 都是空间$\mathcal{H}_{2,0}^{1, \left(\frac{N-1}{2},\frac{N}{2}\right)}(\mathbb{M}) \times \mathcal{H}_{2,0}^{1, \left(\frac{N-1}{2},\frac{N}{2}\right)}(\mathbb{M})$ 中的有界集;

(iii) 对任意 $ (u,v)\in \mathcal{N}_{-}$ 都有

证 由 (1.13) 式, (1.14) 式可得

(i) 对于 $(u,v) \in \mathcal{N}_{+}$, 即 $I(u,v) > 0$, 这意味着

则由 (3.1) 式和角型 Hardy 不等式 (1.2) 可得

(ii) 对于 $(u,v) \in J^\alpha \cap \mathcal{N}_{+}$,即 $J(u,v) \leq \alpha $ 且 $I(u,v) > 0$, 由 (3.2) 式, 可得

这意味着

(iii) 对于 $(u,v) \in \mathcal{N}_{-}, $ 即 $I(u,v)< 0 $,这意味着

则由 $I(u,v)$ 的定义 (1.14), (1.5) 式, Cauchy 不等式和 (2.7) 式, 可得

结合角型 Hardy 不等式 (1.2), 可得

因此,

为阐明问题 (1.1) 解的单调性以及关于 $t$ 的守恒律, 证明以下引理.

引理 3.2 设 $(u,v) \in \mathcal{H}_{2,0}^{1, (\frac{N-1}{2},\frac{N}{2})}(\mathbb{M}) \times \mathcal{H}_{2,0}^{1, (\frac{N-1}{2},\frac{N}{2})}(\mathbb{M}) $, 则对 $t \in [0,T)$ 成立下列关系式

证 设 $(u,v)$ 为问题 (1.1) 的任意弱解, 在 (1.11) 式, (1.12) 式中分别取 $\varphi = u$, $\varphi = v$, 可以推导出

两式相加, 由 (1.5) 式得

利用 $I(u,v)$ 的定义 (1.14) 式, 可得 (3.3) 式.

此外, 在 (1.11) 式和 (1.12) 式中分别取 $\varphi = u_t$, $\varphi = v_t$, 可得

利用 $J(u,v)$ 的定义, 可得 (3.4) 式.

最后，将 (3.4) 式关于 $t$ 从 0 到 $t$ 积分, 即可得 (3.5) 式.

证 [定理 1.1 的证明]

(i) 证明当 $ (u_{0}, v_{0}) \in \mathcal{G}_{\alpha}$ 时, 相应的弱解是整体存在的, 并且渐近地衰减到零.设 $T > 0$ 表示解的最大存在时间. 将证明分为以下两步;

第一步 证明 $(u,v) \in\mathcal{N}_+$ 与解的整体存在性.

由 $ (u_{0}, v_{0}) \in \mathcal{G}_{\alpha}$可知 $ (u_{0}, v_{0}) \in \mathcal{N}_{+} $, $J(u_{0}, v_{0}) \leq \alpha $,且

因此, 利用 $\lambda_{\alpha}$ 是非增的就得到

现证 $ \mathcal{N}_{+} $ 的不变性,即对任意 $t \in [0, T)$, 只要 $(u_0, v_0) \in \mathcal{N}_{+}$, 就有 $(u(t), v(t)) \in \mathcal{N}_{+}$.用反证法, 假设存在首个时刻 $t_{0} \in (0, T) $ 使得对$0 \leq t < t_{0}$ 有 $(u(t), v(t)) \in \mathcal{N}_+$, 而 $(u(t_{0}), v(t_{0})) \in \mathcal{N}$.因此, 由引理 3.2 与 (3.6) 式, 可得

因此, 由 $(u(t_{0}), v(t_{0})) \in \mathcal{N}$ 与 (3.8) 式,可得 $(u(t_{0}), v(t_{0})) \in \mathcal{N}_{J(u_{0}, v_{0})}$.然而, 根据 $\lambda_{J(u_{0}, v_{0})}$ 的定义及 $(u(t_{0}), v(t_{0})) \in \mathcal{N}_{J(u_0, v_0)}$,应有

这与 (3.7) 式矛盾, 故对一切 $t \in [0, T)$, 均有 $(u(t), v(t)) \in \mathcal{N}_+$.

此外, 再次应用引理 3.2 可得

结合引理 3.1 (ii) 可得

因此, 解的最大存在时间 $T = \infty$, 从而确立了弱解 $(u(t), v(t))$ 的整体存在性.

第二步 证明当 $t \to +\infty$ 时, 整体解衰减至零.

首先定义 $(u,v) \in \mathcal{H}_{2,0}^{1, (\frac{N-1}{2},\frac{N}{2})}(\mathbb{M}) \times \mathcal{H}_{2,0}^{1, (\frac{N-1}{2},\frac{N}{2})}(\mathbb{M}) $ 的 $\omega$-极限集如下

由于对任意 $ t \geq 0$ 都有 $(u(t),v(t)) \in \mathcal{N}_+$,因此, 对于任意 $(\tilde{u}_0, \tilde{v}_0) \in \omega(u_{0}, v_{0})$,由引理 3.2 与 (3.6) 式可知

这表明 $(\tilde{u}_0, \tilde{v}_0) \in J^{J(u_{0}, v_{0})}$.但是, $(\tilde{u}_0, \tilde{v}_0) \notin \mathcal{N}_{J(u_{0}, v_{0})}$, 即 $(\tilde{u}_0, \tilde{v}_0) \notin \mathcal{N}$.事实上, 如果 $(\tilde{u}_0, \tilde{v}_0) \in \mathcal{N}_{J(u_{0}, v_{0})}$,根据 $\lambda_\alpha$ 的定义, 有

这与 (3.10) 式矛盾.

因此,

现在证明

因为对于 $t \geq 0$ 有 $(u(t),v(t)) \in \mathcal{N}_+$, 根据引理 3.1 (i) 及 (3.4) 式,可知 $J(u,v)$ 是正的, 有下界且关于 $t$ 非增的函数, 这意味着存在常数 $C \geq 0$ 使得

对任意的 $(\tilde{u}_0, \tilde{v}_0) \in \omega(u_0,v_0)$,设 $(\tilde{u}(t),\tilde{v}(t))$ 是以 $(\tilde{u}_0, \tilde{v}_0)$ 为初值的问题 (3.4) 的弱解,则对所有 $t \geq 0$ 有 $J(\tilde{u}(t),\tilde{v}(t))= C$.因此, 由 (3.4) 式可知对任意的 $t \geq 0$, 有 $(\tilde{u}(t),\tilde{v}(t))=(\tilde{u}_0, \tilde{v}_0)$,更由 (3.3) 式可得 $I(\tilde{u}(t),\tilde{v}(t))= 0$.由于 $(\tilde{u}_0, \tilde{v}_0) \notin \mathcal{N}$, $I(\tilde{u}_0, \tilde{v}_0)=0$, 所以$(\tilde{u}_0, \tilde{v}_0)=(0,0)$,由此立刻推出 (3.12) 式.因此, 在 $\omega$-极限集 (3.9) 的意义下, 当 $t \to +\infty$ 时，$(u(t),v(t)) \to (0,0)$.

(ii) 假定 $(u_0, v_0) \in \mathcal{B}_{\alpha}$, 证明问题 (1.1) 的解在有限时间爆破.证明过程分为两步.

第一步 证明 $(u,v) \in\mathcal{N}_{-}$.

由 $ (u_{0}, v_{0}) \in \mathcal{B}_{\alpha}$ 可知 $ (u_{0}, v_{0}) \in \mathcal{N}_{-} $, $J(u_{0}, v_{0}) \leq \alpha $,且

因此, 根据 $\Lambda_{\alpha}$ 是非减的, 可得

现证对任意 $t \in [0, T)$, 有 $(u(t), v(t)) \in \mathcal{N}_{-}$.反证法, 假设存在首个时刻 $t_{0} \in (0, T) $ 使得对$0 \leq t < t_{0}$ 有 $(u(t), v(t)) \in \mathcal{N}_{-}$, 而 $(u(t_{0}), v(t_{0})) \in \mathcal{N}$.因此, 由引理 3.2 与 (3.13) 式, 可得

结合 $(u(t_{0}), v(t_{0})) \in \mathcal{N}$,可得 $(u(t_{0}), v(t_{0})) \in \mathcal{N}_{J(u_{0}, v_{0})}$.然而, 根据 $\Lambda_{J(u_{0}, v_{0})}$ 的定义应有

这与 (3.14) 式矛盾, 故对一切 $t \in [0, T)$, 均有 $(u(t), v(t)) \in \mathcal{N}_{-}$.

第二步 证明 $T<+\infty$.反证法, 假设 $T =+ \infty$. 由 (3.4) 式可知 $J(u(t),v(t))$ 是关于 $t$ 非增的函数, 故仅有以下两种可能情形

(1) 存在常数 $C$ 使得

或

(2)

下证上述两种情形都不可能发生,从而推出解在有限时间爆破.

若情形 (1) 发生, 由引理 3.2 及 $\lim\limits_{t \to +\infty} J(u(t),v(t)) = C,$可知

这表明当 \( t \to +\infty \) 时, \((u(t), v(t))\) 趋近于问题 (1.1) 的稳态解,即 \((u(t), v(t)) \in \mathcal{N}\)或 \((u(t), v(t)) = (0, 0)\).然而, 对任意 \( t > 0 \), \((u(t), v(t)) \in \mathcal{N}_-\)意味着 \((u(t), v(t)) \notin \mathcal{N}\),故当 \( t \to +\infty \) 时, \((u(t), v(t)) = (0, 0)\).另一方面, 由 \((u(t), v(t)) \in \mathcal{N}_-\) 及引理 3.1 (iii) 可知,当 \( t \to +\infty \) 时, \((u(t), v(t)) \neq (0, 0)\),这与 \((u(t), v(t)) = (0, 0)\) 矛盾.因此, 情形 (1) 不可能发生.

假设情形 (2) 成立,由 $J(u(t),v(t))$ 关于 $t$ 的连续性, 必存在首个时刻 $t_1 < T$ 使得

由于已证对任意 $t \in [0, T)$ 有 $(u(t),v(t)) \in \mathcal{N}_{-}$,故 $(u(t_1),v(t_1)) \in \mathcal{N}_{-}$.于是, 取 $(u(t_1),v(t_1))$ 为初值, 根据文献 [4,定理 1.4] 可知相应解 $ (u(t_1+t),v(t_1+t))$ 在有限时间爆破, 这与 $T= +\infty$ 矛盾.因此情形 (2) 亦不会发生.

综上所述, 可知 $T < \infty$, 即当 $ (u_0, v_0) \in \mathcal{B}_{\alpha}$ 时问题 (1.1) 的解在有限时间爆破.

注 3.1 在条件 \( d < J(u_0, v_0) \leq \alpha \) 下, 由定理 1.1 可知

• 若 \(\|u_0\|^{2}_{\mathcal{L}_{2}^{\frac{N-1}{2},\frac{N}{2}}(\mathbb{M})} + \|v_0\|^{2}_{\mathcal{L}_{2}^{\frac{N-1}{2},\frac{N}{2}}(\mathbb{M})} < \lambda_\alpha\), 则问题 (1.1) 的解整体存在;

• 若 \(\|u_0\|^{2}_{\mathcal{L}_{2}^{\frac{N-1}{2},\frac{N}{2}}(\mathbb{M})} + \|v_0\|^{2}_{\mathcal{L}_{2}^{\frac{N-1}{2},\frac{N}{2}}(\mathbb{M})} > \Lambda_\alpha\), 则问题 (1.1) 的解在有限时间爆破.

然而, 当 \(\|u_0\|^{2}_{\mathcal{L}_{2}^{\frac{N-1}{2},\frac{N}{2}}(\mathbb{M})} + \|v_0\|^{2}_{\mathcal{L}_{2}^{\frac{N-1}{2},\frac{N}{2}}(\mathbb{M})} \in [\lambda_\alpha, \Lambda_\alpha]\) 时, 问题 (1.1) 的解尚无相关性质, 这仍是一个有趣且未解决的问题.

本节证明: 在任意高初始能量条件下, 问题 (1.1) 的解在有限时间爆破, 并推导出爆破时间的上界.

引理 4.1^[18] 设 $\phi(t)$ 是一个非负的二阶可微函数, 满足不等式

其中 \(\gamma > 0\) 为常数. 若 \(\phi(0) > 0\) 且 \(\phi'(0) > 0\), 则存在 \(0 < T^* \leq \frac{\phi(0)}{\gamma\phi'(0)}\) 使得

建立以下不变性引理, 该引理在爆破定理证明中起关键作用.

引理 4.2 设 $(u_{0},v_{0}) \in \mathcal{H}_{2,0}^{1, (\frac{N-1}{2},\frac{N}{2})}(\mathbb{M}) \times \mathcal{H}_{2,0}^{1, (\frac{N-1}{2},\frac{N}{2})}(\mathbb{M}) $ 满足 (1.15) 式, 则成立下列结论

(1) 初始条件 (1.15) 是有意义的, 即存在满足条件 (1.15) 的初值 $(u_{0},v_{0})$;

(2) 对任意 $ t \in [0, T)$ 都有 $(u(t),v(t)) \in \mathcal{N}_{-} $.

证 (1) 设 $\lambda_1$ 是椭圆算子 $-\Delta_{\mathbb{M}}$ 在齐次 Dirichlet 边界条件下的主特征值, $\varphi_1$ 是对应的特征函数, 则

为了验证 (1.15) 式的可行性,考虑形如 $(u_{0}, v_{0})= (\delta \varphi_1, \eta \varphi_1 )$(其中 $ \delta > 0,\eta>0$) 的初值,相应的能量泛函为

结合 (4.1) 式与 (1.5) 式可得

因此, 对于任意满足

的 $\delta,\eta$, 初值 $(u_{0}, v_{0})= (\delta \varphi_1, \eta \varphi_1)$ 满足条件 (1.15);

(2) 首先, 断言: $(u_{0}, v_{0}) \in \mathcal{N}_{-} $. 由 (3.1) 式, 角型 Hardy 不等式 (1.2) 和角型 Poincaré 不等式 (2.4) 可知

因此, 由 (4.2) 式与条件 (1.15) 可知 $(u_{0}, v_{0}) \in \mathcal{N}_{-} $.

下证对任意 $t \in (0, T)$ 都有 $(u(t), v(t)) \in \mathcal{N}_-$.反证法, 由 $I(u(t), v(t))$ 关于 $t$ 的连续性, 假设存在首个时刻 $ t_0 \in (0, T)$,使得对 $ t \in [0, t_0)$ 有 $(u(t), v(t)) \in \mathcal{N}_-$,但 $(u(t_{0}), v(t_{0})) \in \mathcal{N}$,则由引理 3.2 可得

由 $ (u(t_0), v(t_0)) \in \mathcal{N} $ 可知 $ I(u(t_0), v(t_0)) = 0 $,

于是, 根据 (3.1) 式与 (4.3) 式, 类似于 (4.2) 式的推导过程可得

结合 (4.4) 式可得

再利用条件 (1.15) 可得

这与 (4.3) 式矛盾.

因此, 对任意 $ t \in [0, T)$ 都有 $ (u(t), v(t)) \in \mathcal{N}_-$.

证 [定理 1.2 的证明] 将证明分为以下两步

第一步 证明解在有限时间爆破, 即 $T < +\infty$.用反证法, 假设 $T =+ \infty$.由引理 4.2 可知对任意 $ t \geq 0$ 都有 $(u(t), v(t)) \in \mathcal{N}_- $, 即 $I(u(t), v(t)) < 0$.对任意 $\tilde{T}> 0$ 定义

其中 $\gamma, s$ 是两个正的待定常数. 因此

方程 (4.6) 两端关于 $t$ 求导, 可得

这蕴含了

方程 (4.8) 两端关于 $t$ 求导, 可得

对方程 (4.8) 应用角型 Hölder 不等式 (2.6), 可得

对上式应用 Cauchy-Schwarz 不等式, 可推得

结合 (4.6) 式, 可得

再结合 (4.6) 式与 (4.10) 式, 可得

应用 (3.1) 式, (3.5) 式, 角型 Hardy 不等式 (1.2) 和角型 Poincaré 不等式 (2.4),可改进估计式 (4.12) 为

由引理 (4.12) 和引理 4.2 (2) 可知$\|u(t)\|^{2}_{\mathcal{L}_{2}^{\frac{N-1}{2},\frac{N}{2}}(\mathbb{M})} + \|v(t)\|^{2}_{\mathcal{L}_{2}^{\frac{N-1}{2},\frac{N}{2}}(\mathbb{M})} $ 在 $[0, T )$ 上是严格递增的.

于是

借助 (1.15) 式, 可选择一个充分小的正常数 $\gamma$ 使得

因此,

选择充分大的 $ s $ 使得

考虑到 $\tilde{T}$ 的任意性, 设

根据引理 4.1, 结合 (4.16) 式, (4.7) 式及 (4.9) 式, 可知存在

使得

即

这与假设矛盾. 因此, $T < +\infty$, 即问题 (1.1) 的解在有限时间爆破.

第二步 爆破时间的上界估计. 由 (4.18) 式和 (4.19) 式可知最大存在时间 $T$ 满足

其中

定义函数

关于 $s$ 求导, 可得

可以验证 $ f(s) $ 在

处达到唯一最小值. 结合 (4.15) 式, 可得

再结合 (4.20) 式可得 (1.16) 式.

注 4.1 由定理 1.2 中的条件 (1.15) 与角型 Poincaré 不等式 (2.4) 可知

根据引理 4.2 (1), 可以选择一个足够大的初值 $(u_{0}, v_{0})$ 使得

因此, 本文将条件 (1.15) 称为高初始能量或超临界初始能量.