经典扩散模型通常呈现扰动具有无限传播速度的特性, 这与物理介质中普遍观察到的有限传播现象并不一致. 针对这一有限传播机制的偏微分方程的直接表述可追溯至 1992 年 Rosenau 等^[19,31]提出的限流 (flux-limited 或 flux-saturated 或 flux-tempered) 扩散模型, 其核心想法是对扩散方程

中的通量 $\mathbf{a}$ 施加非线性修正, 使其呈现大梯度区域退化性

或兼具零值集退化性

特别地, 当 $|\nabla u|\to \infty$ 且通量 $\mathbf{a}(u,\nabla u)$ 渐近于一个与 $\nabla u$ 无关的向量场时, (1.1) 式在形式上可类比为双曲型守恒律

这一观察在一定程度上揭示了限流扩散方程与双曲守恒律之间的结构关联, 尤其是在有限传播速度及间断形成机制方面可能呈现相似特征.

限流思想的物理根源可追溯至 1979 年 Levermore、Pomraning 等人在辐射流体力学中的代表性工作^{[26,27,29,30]}. 该思想在多个领域中得到应用, 例如图像处理中的 Perona-Malik 型模型, 以及相对论型输运类问题^[7]等. 本文主要围绕扩散结构 (1.1) 及其常见的具体代表性模型展开综述, 包括相对论型 (relativistic) 多孔介质方程^[23]

其中 $0<\nu/c\leq 1$. 当 $m=1$ 时, 该方程亦被称为相对论型热方程.与之结构相近的另一模型是速度限制型 (speed-limited) 多孔介质方程

在空间一维时, (1.3) 和 (1.4) 式可分别形式化近似为

特别地, 当速度 $c\rightarrow +\infty$ 且令 $M=m$ 时, (1.3) 与 (1.4) 式的解在相差常数因子的意义下分别收敛到多孔介质型方程

的解^[14].

下面将围绕扩散结构 (1.1), 系统讨论熵解的定义、适定性以及定性性质等近年发展的主要方面.

如前所述, 方程 (1.1) 与双曲方程 (1.2) 的密切联系表明解可能出现间断. 若 $u$ 在某些点发生间断, 则其经典导数在正则化意义下可视为 $|\nabla u|\to \infty$, 这意味着方程 (1.1) 中的梯度 $\nabla u$ 及方程本身必须在适当的弱意义下加以刻画. 因此, 能够有效刻画间断特征的有界变差 ($BV$) 函数空间成为理想的分析框架.

具体而言^[1], 设 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^N$ $(N\ge 1)$ 及时间区间 $0<\hat{T}<+\infty$, 记 $Q=\Omega\times(0,\hat{T})$. 对于 $u\in BV(Q)$ (或 $BV_{\mathrm{loc}}(Q)$), 其分布导数 $Du=(D_t u,D_x u)$ 是(局部) 有限的向量值 Radon 测度, 并具有如下奇异分解

其中, 关于 $(N+1)$ 维 Lebesgue 测度 $\mathscr{L}^{N+1}$ 的绝对连续部分为

跳跃部分在 $N$ 维 Hausdorff 测度 $\mathscr{H}^N$ 的意义下可表示为

其中 $u^+$ 与 $u^-$ 分别为 $u$ 在跳跃点集 $J_u$ 上的逼近极限, $\vec{\nu}_u=(\nu_t, \nu_x)$ 为 $J_u$ 上从 $u^-$ 指向 $u^+$ 的单位外法向量, $\otimes$ 表示张量积, $\llcorner$ 表示测度在集合上的限制. Cantor 部分 $D^{\mathrm{Cantor}} u=Du\llcorner (Q\setminus S_u)$ 与前两者互相奇异, 其中 $S_u$ 为 $u$ 的逼近不连续点集, 满足 $\mathscr{H}^N(S_u \setminus J_u)=0$.

由此可知, $\nabla u$ 在 $D^{ac} u$ 中可视为 $\mathscr{L}^{N}$-局部可积函数, 但其奇异部分不具备经典梯度结构, 因此诱导的通量 $\mathbf{a}(u,\nabla u)$ 必须在测度框架下加以刻画. 考虑到 $\mathbf{a}$ 在大梯度区域的退化特征, 方程

应整体视为测度等式.基于此, 研究的首要目标就是捕捉在弱意义下满足 (2.1) 式的 $BV$ 解的结构, 并在尽量宽的条件下保证适定性.这类问题本质上具有很大的挑战性. 首先, 通量在大梯度下的强退化性导致解可能形成间断, 这超出经典抛物型理论的适用范围. 再者, 即便在 $BV$ 框架下, 解的定义、适定性、正则性及有限传播性质的严格描述仍需要逐步建立新的理论工具. 比如, 就适定性而言, 对通量结构不同的描述也往往对应不同的适定性框架^[6,9,32,34].

在这方面, 早期代表性工作可追溯至 1992 年Bertsch-Passoµe^[6,9,32,34]. 对一维限流扩散方程

提出的熵解框架, 其中光滑实值函数 $\phi>0$, 实值奇函数 $\psi$ 光滑, 满足 $\psi'(s)>0$ 且具有大梯度退化

即 $\liminf_{s\rightarrow \infty} \psi'(s)=0$. 若取 $\psi(s)=\frac{s}{\sqrt{1+s^2}}$ 且 $\phi\equiv 1$, 方程 (2.2) 化为平均曲率流方程

对此, Bertsch-Passo 在 $u$ 的跳跃点集 $J_u$ 上, 采用连续函数替代通量 $\psi(u_x)$ 的方式, 并给出如下熵解的定义.

定义 2.1 函数 $u\in BV_{\mathrm{loc}}\big(\mathbb{R}\times[0,\infty)\big) \cap L^{\infty}(\mathbb{R}\times (0,+\infty))$ 称为 (2.2) 式初值问题的解, 如果满足

(i) 对任意 $t\geq 0$, $u(\cdot, t)\in BV_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R})$, 并存在连续函数 $\check{\psi}: \mathbb{R}\times[0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ 使得

对任意 $x\in \mathbb{R}$ 与 $t\geq 0$, 其中 $u(x\pm, t)$ 表示固定 $t$ 后的单边极限.

(ii) 对任意紧支集 $\eta\in C^1(\mathbb{R}\times[0,+\infty))$, 下式成立

他们利用正则化逼近及椭圆-抛物变换等技术, 建立了 $BV_{\mathrm{loc}}\big(\mathbb{R} \times [0,+\infty)\big)\cap L^\infty\big(\mathbb{R}\times(0,+\infty)\big)$解的存在性与唯一性^[21]. 这种连续化处理使得 $u$ 的间断集 $J_u$ 在 $xt$-平面上只能垂直于坐标轴 (见下一节对应的熵条件).

2003 年尹景学教授及合作者^[32-34]以平均曲率流方程 (2.3) 为例, 提出将通量函数替换为适当的 $BV_x$ 函数¹（¹符号: $u \in BV_x(\Omega\times(0,\hat{T}))$ 若 $u \in L^1_{\mathrm{loc}}(\Omega\times(0,\hat{T}))$ 且对 $\mathscr{L}^{1}$-a.e. $t \in (0,\hat{T})$, 分布导数 $D_x u(\cdot,t)$ 是 $\Omega$ 上有限 Radon 测度.） 的思路, 并给出熵解定义. 在此定义下, 他们构造出一类自相似熵解, 其间断线可非垂直于坐标轴.

定义 2.2 函数 $u\in BV_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}\times(0,+\infty))$ 称为 (2.3) 式的 $BV$ 解, 如果

(i) 存在$\Psi\in BV_x(\mathbb{R}\times(0,+\infty))$, 以及集合 $E\subset[0,+\infty)$, 满足 $\mathrm{meas}\,([0,+\infty)\setminus E)=0$, 使得对所有 $(x,t)\in \mathbb{R}\times E$:

其中 $u^r$ 和 $u^l$ 是固定 $t$ 后在 $L^1(\mathbb{R})$ 意义下的单侧逼近极限.

(ii) 对任意 $\varphi\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}\times(0,+\infty))$ 及 $k\in \mathbb{R}$, 积分不等式成立

对于高维限流扩散方程 (1.1), Andreu 等^[2,12,16]基于散度-测度向量场 (divergence-measure vector field) 结构^[15,17,18]对扩散主部进行了整体刻画. 主要包括

1) 假定通量 $\mathbf{a}(s, \xi)=\nabla_{\xi}f(s, \xi)$, $f$ 是一个凸函数且在 $|\xi|\rightarrow \infty$ 具有线性增长;

2) 假定对 $\mathscr{L}^1$-a.e. 的 $t\in[0,\hat{T}]$ 满足²（²符号: $\|w\|_{BV_2(\mathbb{R}^N)}=\|w\|_{L^2(\mathbb{R}^N)}+|Dw|(\mathbb{R}^N)$, $\mathcal{D'}(\mathbb{R}^N)$ 表示 $\mathbb{R}^N$ 上的分布空间, $\mathcal{A}^*$ 表示 $\mathcal{A}$ 的对偶空间. ）

其中 $\mathbf{z}(x,t)=\mathbf{a}(u, \nabla u),$ 且至少存在一个 $\xi\in \big(L^1(0,\hat{T}; BV(\mathbb{R}^N)_2)\big)^*$;

3) 假定如下积分不等式成立³（³符号: 截断函数 $S, T\in \{T_{a, b}^l: \, 0<a<b, l\in \mathbb{R}, T_{a,b}\geq l\}$ 其中$T_{a,b}(r):=\max\{\min\{b,r\}, a\}, \,\,a<b$.函数 $J_{q}(r)=\int_{0}^{r}q(s)\mathrm{d}s$. 函数 $h(z,\xi):=\mathbf{a}(z,\xi)\cdot \xi,$函数 $h_{p}(z, \xi)=p(z)h(z,\xi)$\, $(p=S, T),$ 对于任意的 $z\in[a, b] $ 和任意的 $\xi\in \mathbb{R}^N$.）

其中光滑且具有紧支集的任意函数 $\eta(t,x)=\lambda(t)\rho(x), \lambda\in \mathcal{D}\big((0,\hat{T})\big), \rho\in \mathcal{D}(\mathbb{R}^N)$ 且 $\lambda, \rho\geq 0$.

在此结构假设下, Andreu 等人提出了另一类熵解定义 [第 4 章], 即解须在空间 $C([0,\hat{T}],$ $ L^1(\mathbb{R}^N))$ 中且其某个截断应在 $L_{\mathrm{loc}, w}^1\big(0,\hat{T}, BV(\mathbb{R}^N)\big)$ 中. 然后, 利用非线性半群理论及 Kružkov双变元方法^[25]可证明上述意义下熵解的存在性与唯一性.在此适定性框架下, 间断集上解的剖面呈现垂直于 $xt$坐标平面的轮廓^[9,15]. 需要强调, 这里的 "垂直性" 描述的是 $u$ 在间断集 $J_u$ 上的取值变化, 而非间断集 $J_u$ 本身的几何结构 (见下一节对应的熵条件).

关于一般限流扩散方程在有界域上的初边值问题的适定性, 可参见[5,22]. 据我们所知, 目前还没有研究工作针对对流效应下限流扩散模型的适定性理论框架.

注意到方程 (1.1) 在大梯度退化的情形下与双曲守恒律 (1.2) 存在某种结构联系. 这提醒我们方程 (1.1) 的 $BV$ 解在间断集上可能会呈现重要的数学结构——熵不等式.熵条件不仅保证所得到的理论解符合物理意义 (在间断集上熵不减), 同时对于证明解的唯一性, 以及刻画间断集 $J_u$ 和解在其上的剖面 (interface) 的几何特征, 也具有关键作用.

首先, Bertsch 和 Dal Passo^[6] 对方程 (2.2)的初值问题导出如下熵不等式: 如果对于某个点 $(x,t)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}^+$ 有

其中 $u(x\pm, t)$ 表示固定 $t$ 后 $u$ 的单边极限,那么满足定义2.1 的解 $u$ 一定满足如下的熵不等式

注意, 当 $\phi\equiv \text{constant}$ (方程是平均曲率流型扩散), 此不等式是平凡的.

而对平均曲率流方程 (2.3) 的初值问题, 尹景学教授与合作者^[32,34]给出在定义2.2 下解在间断集上满足如下的熵等式

其中 $(\nu_x, \nu_t)$ 为 $J_u$ 上由 $u^-$ 指向 $u^+$ 的单位外法向量.进一步, 根据这个熵条件, 如果按照 Bertsch 和Dal Passo^[6]的假定, $\Psi$ 是连续函数, 即 $\Psi^{r}=\Psi^{l}$, 那么

所以, 此时间断集合 $J_u$ 的外法向量为 $(\nu_x, 0)$, 即 $J_u$ 垂直于 $xt$- 平面的 $x$- 轴.

对于高维的更一般的限流扩散方程 (1.1), 2013 年 Caselles[13,命题 6.8] 给出了如下的结论

命题 3.1 若 $u\in C([0,\hat{T}], L^1(\mathbb{R}^N))\cap BV_{\mathrm{loc}}\big((0,\hat{T})\times \mathbb{R}^N\big)$.假定 在分布 $\mathcal{D}'\big((0,\hat{T})\times \mathbb{R}^N\big)$ 意义下 有

其中 $\Theta$ 是 $[0,+\infty)$ 上的非负严格递增的连续函数满足

那么 $u$ 是

熵解的充分必要条件是: 对任意的 $(T, S)\in \mathcal{TSUB}$ (满足一定条件的 $W^{1,\infty}$ 函数类) 有4（4符号说明: 对于 $w\in BV$, $\mu^c$ 表示 $\mu$ 关于 $|D^cw|$ 的绝对连续部分. 对任意的 $t>0$, $J_{u(t)}$ 表示 $u(t)\equiv u(\cdot, t)\in BV_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^N),$ $\nu^{J_{u(t)}}$ 表示 $J_{u(t)}$ 的单位法向量. 在间断集合 $J_{u}$上, $[u]=:u^+- u^-$, 在间断集合 $J_{u(t)}$ 上 $[u(t)]:=u(t)^+ - u(t)^-$. 对于 $\mathbf{\eta}\in L^{\infty}(\mathbb{R}^N, \mathbb{R}^N)$ 使得 $\mathrm{div}\mathbf{\eta}$ 是 $\mathbb{R}^N$ 上的一个 Radon 测度[13,命题 6.2], 可记 $[\mathbf{\eta}\cdot \nu^{J_{u(t)}}]$ 为其在 $J_{u(t)}$ 上沿 $ \nu^{J_{u(t)}}$ 的迹, $[A]_{+-}$ 表示量 A 沿间断集的外法线方向上间断集两侧的迹的差.函数

$p(z)=\tilde{p}(T_{a,b}(z))$ $(p=S, T)$, 其中截断函数 $T_{a,b}(r)=\max\big\{\min\{b,r\}, a\big\}$,

$\tilde{p}$ 是 $[a, b]$ 上的可微函数, $0<a<b$.）

(i) Cantor 部分满足

(ii) 熵不等式: 对 $\mathscr{L}^1$-a.e. $t>0$, 在 $J_{u(t)}$ 上 $\mathscr{H}^{N-1}$-a.e. 的有

其中 $\mathscr{H}^{N}$-a.e. 地定义间断集 $J_u$ 的移动速度为 $v_0=v_0(x,t):=\frac{\nu_t(x,t)}{|\nu_x(x,t)|}$.

请注意上式里 ${\varphi^{\Theta}}'=\big\{\varphi^{\Theta} \big\}'$, 其中

$\varphi^\Theta $ 取极限 $\lim_{t\to 0^+} t \,\big\{\mathbf{a}\big(z, \xi \big) \cdot \xi\big\}$ 中与 $\xi$ 无关的部分, 即如果

那么当取 $\varphi=\Lambda$. 在这个结果之前, Caselles^[15]如对相对论型多孔介质类的限流扩散 (1.3) 式即

给出了如下更具体的熵条件, 此时 $\varphi=c u^m$:

命题 3.2 假定 $u\in C\big([0,\hat{T}]; L^1(\mathbb{R}^N)\big) \cap BV_{\mathrm{loc}}\big((0,\hat{T})\times \mathbb{R}^N\big)$.假定在分布 $\mathcal{D}'\big((0,\hat{T})\times \mathbb{R}^N\big)$ 意义下成立

那么 $u$ 是方程 (3.3) 的熵解, 当且仅当对任意的 $(T,S)\in \mathcal{TSUB}$ 有

(1) Cantor 部分满足5（5符号说明: 函数 $h_{p}(z, \xi)=p(z)h(z,\xi)$\, $(p=S, T),$ 对于任意的 $z\in[a, b] $ 和任意的 $\xi\in \mathbb{R}^N$.）

(2) 熵不等式: 任意 $\mathscr{L}^1$-a.e. $t>0$, 不等式

$\mathscr{H}^{N-1}$-a.e. 的 $J_{u(t)}$ 上成立.

特别地文献 [15,命题 8.1], 熵条件 (3.4) 成立当且仅当

此外, 此时间断界面前沿 (discontinuity fronts) 移动速度

于是 $m=1$ 时 $v_0=c$.相应地, 对于通量为 (3.2) 式时, 其具有的熵条件 (3.1) 变成文献 [13,命题 6.9]

以及间断界面移动速度

另一方面, 这种熵条件意味着方程解形成的间断界面确实具有垂直的接触角. 例如, 对于 (3.5) 式, 假定 $\mathscr{H}^{N}$-a.e. 的 $(x,t)\in J_u$, 存在以 $(x,t)$ 为中心的球 $B(x,t)$, 满足下列情形之一

i) $u\big|_{B(x,t)}\ge \alpha>0$;

ii) $J_u \cap B(x,t)$ 是一个 Lipschitz 图, 且 $B(x,t)\setminus J_u = B^1(x,t)\cup B^2(x,t)$ 为两个连通开球. 在 $B^1(x,t)$ 上 $u\ge \alpha>0$, 而从 $B^2(x,t)$ 上 计算 $u$ 在$J_u\cap \partial B^2(x,t)$ 的迹为 0.

若 $0<\frac{\nu}{c} \le 1$, 根据文献 [15,引理 5.6] 与文献 [9,命题 1.3] 可得到

若 i) 成立, 则还有

此时, 我们注意到在正则化极限下, $u$ 在跳跃集合 $J_u$ 上出现梯度集中, 可形式上写为$|\nabla u|=\infty$. 因此方程的通量

其中 $\vec{\zeta}$ 为归一化梯度方向 (沿此方向 $u$ 增长最快).由上述条件可知, 对于$\mathscr{L}^1$-a.e.\ 的 $t>0$, 该方向与跳跃集合 $J_{u(t)}$ 的外法线$\nu^{J_{u(t)}}$ 平行.而在 $BV$ 框架下, 梯度集中的分布结构由跳跃分量

给出, 函数 $u$ 沿方向 $\nu^{J_u}$ 发生跳跃. 因此,$u$ 增长最快的方向 $\vec{\zeta}$ 与 $BV$ 意义下 $u$ 的跳跃方向平行. 由此可见, 该限流扩散方程的解在$J_u$ 上的间断界面 (跳跃界面) 确实会垂直于跳跃集合所在的空间坐标平面.

综上所述, 熵条件包含着限流扩散方程解间断行为的深刻信息, 是刻画限流扩散方程双曲特征的关键. 然而关于熵解间断进一步的几何性质的研究, 目前仍处于起始阶段.

如前述所言, 大梯度退化会使得方程 (1.1) 的 $BV$ 熵解呈现有限传播的特征. 以下我们将对具体的模型总结其 $BV$ 熵解的有限传播与正则性.

关于限流扩散有限传播特性的研究可以追溯到 2006 年Andreu^[4] 对如下形式的相对论型热方程方程的 Cauchy 问题

得到如下结论

命题 4.1 设有界开集 $E\subset \mathbb{R}^N$, 初值 $0\leq u_0\in L^{1}(\mathbb{R}^N) \cap L^{\infty}(\mathbb{R}^N)$, 其支撑集为 $\bar{E}$. 那么有

此外, 如果进一步假设对任意的闭集 $E_0\subset E,$ 存在一常数 $\alpha_{E_0}>0$ 使得 在 $E_0$ 上 $u_0\geq \alpha_{E_0},$ 那么

2010 年他们 对如下 Fisher-Kolmogorov 源情形^[3]得到了同样的有限传播性质

并且他们证明: 如果 $0\leq u_0\leq 1$ 那么

特别地, 当初值为球 $B_{R}$ 上的特征函数, 即 $u_0(x)=\alpha \chi_{B_R}(x), \alpha>0$ 时, 他们还对方程

给出了其熵解的显示表达式

2013 年 Caselles [13,命题 6.2] 证明 当 $u_0$ 满足一定条件且通量由 (3.2) 式给出时, 可以得到对所有的 $t>0$ 测度等式

两端都是有限 Radon 测度. 同年 Carrillo^[11]对空间一维的相对论型热方程 (1.3), 即

做了有限传播和更细致的正则性的刻画

命题 4.2 假定 $u_0\in L^{\infty}(\mathbb{R})$ 满足

并且要求 $u_0\in W^{1,\infty}([a, b]), \|u_0\|_{L^1(\mathbb{R})}=1.$ 于是方程 (4.2) 初值问题的解$u\in C\big([0,\hat{T}], L^1(\mathbb{R})\big)$ 满足下面的性质

(i) 有限传播

(ii) 对 a.e. $t\in(0,\hat{T})$ 有: $u(t)\in BV(\mathbb{R}),\, u(t)\in W^{1,1}(a-ct, b+ct)$, $u(t)$ 在其支集内光滑;

(iii) 如果 $u_0\in W^{2,1}(a,b),$ 那么 $u_t$ 是 $(0,\hat{T})\times \mathbb{R}$ 上的 Radon 测度.

2015 年 Giacomelli^[23] 以及Calvo^[8] 对方程 (1.3) 和 (1.4) 的熵解[23,定义 2.1] 的有限传播性质给出如下优美简洁的刻画: 假定 初值 $u_0\in L^{\infty}(\mathbb{R}^N)$ 是非负的具有紧支集的函数, 那么

1) 对于 (1.3) 式, 我们有

2) 对于 (1.4)式, 我们有

这里的 "$\oplus$" 表示两个集合的 Minkowski 和. 更一般地, 对方程 (1.1) 本身的初值问题, 当 $\mathbf{a}$ 满足一定的条件时, 其熵解满足

其中 $\varphi$ 是 Lipschitz 连续的 来自 $\mathbf{a}$ 退化函数 (recession function) 的一部分 并满足适当条件.

另一方面, Giacomelli23 证明方程 (1.3) 和 (1.4) 初值问题的熵解具有等候时间现象. 具体如下

1) 对于 (1.3) 式, 如果

那么

其中 $A_m$ 仅依赖于$N$ 和 $m$;

2) 对于 (1.4) 式, 如果

那么

其中 $A_M$ 仅依赖于$N$ 和 $M$.

简言之,

如果 $u_0(x)$ 在点 $x_0$ 处快速衰减到零, 那么 $t<\tau_*$ 时 $u(t,x_0)=0$.

所以这个结果给出了等候时间的下界. 2017 年 Giacomelli^[24] 则给出了等候时间的最优上界, 他们的结果如下: 记

如果 $w_0\in \mathbb{S}^{N-1}$ ($N$ 维球面) 使得 如下条件成立 (蕴含 $ \operatorname{supp} (u_0)$ 具有内球条件)

(I) 对于 (1.3) 式

(II) 对于 (1.4) 式

那么一定存在一个正常数 $K$ 使得

其中 对于方程 (1.3) (方程 (1.4), resp.), $K$ 依赖于 $N$ 和 $m$ ($M$, resp.). 特别地, 如果 $L=+\infty$ 那么 $t_*=0$.

2017 年 Calvo^[10] 研究了两类空间一维的饱和流扩散方程的定性理论

以及 (4.1) 式的一维情形, 即

包括正则性、光滑效应、不连续界面、行波等.关于间断行波形成机制, Calvo^[9] 考虑了如下的多孔介质类限流反应扩散方程

并依据两个依赖于$c,\nu,m,k$ 的特征速度 $0<\sigma_{\mathrm{ent}}<\sigma_{\mathrm{smooth}}<mc$给出了行波的完整分类: 行波是光滑的 当波速 $\sigma\in(\sigma_{\mathrm{smooth}},+\infty)$, 连续但不光滑当 $\sigma=\sigma_{\mathrm{smooth}}$, 以及不连续当 $\sigma\in[\sigma_{\mathrm{ent}},\sigma_{\mathrm{smooth}})$.如果 $\sigma\in[\sigma_{\mathrm{ent}},+\infty)$, 在归一化之后, 其行波是唯一的且是逐片光滑的.

最后, 考虑对流效应时, 限流扩散的相应定性理论结果还十分有限.例如 2022 年 Andrea^[20] 对如下 Perona-Malik 型的 对流反应扩散方程

其中 $G$ 包含 $\frac{s}{1+s^2}$ 的形式, 他们研究了正则波前解的适定性和单调性. Bertsch-Passo^[6] 对方程(2.2)的研究表明, 在某些条件下平均曲率流型限流扩散方程会存在激波解, 然而当对流效应参与后, 其是否有激波解, 是否有类似 Burgers 方程的激波或粘性激波现象^[28], 目前还未可知.

综上所述, 有关纯限流扩散方程 (1.1) 的具体模型众多, 其熵解的基本理论框架近年来已逐渐成熟. 然而, 当对流效应参与后, 其适定性框架仍未可知. 并且, 关于纯限流扩散 $BV$ 熵解的最优正则性、间断界面的几何结构、以及在对流效应或更一般源项下的综合行为, 现有的研究仍然十分有限. 这些方向仍存在诸多开放问题, 值得进一步深入探索.