1 介绍以及主要结果
经典普朗特方程由 Prandtl 于 1904 年提出, 用于刻画流体在边界附近的流动行为. 该方程为退化抛物型, 由于缺乏切向扩散项, 会损失一阶切向导数. 到目前为止, 关于普朗特方程的研究已有大量的工作, 普朗特方程的适定性理论主要建立在 Sobolev 空间和解析空间 (或更一般的 Gevrey 空间) 这两个不同的框架下; 前者依赖于 Oleinik 单调性假设, 而后者一般对初始值的正则性有很高的要求. 在二维情形下, 如果初始值满足单调性条件, 则 Sobolev 空间的适定性理论由Oleinik[28 ] 所证明. 之后,Alexandre-Wang-Xu-Yang[2 ] 与 Masmoudi-Wong[27 ] 基于能量方法, 给出了 Oleinik 经典结果的重新证明. 需要指出的是, 目前关于三维普朗特方程的 Sobolev 适定性知之甚少, 目前仅有部分进展 (可参考 Liu-Wang-Yang[25 ] ). 另一方面, 如果 Oleinik 单调性条件不再成立, 则普朗特方程在 Sobolev 框架下不再适定, 关于其严格的数学验证可参考文献 [6 ,8 ,10 ,12 14,24 ,32 ] 以及所列文献. 另一方面, Sammartino-Caflisch 的经典工作[30 ] 证明了在没有任何结构性假设条件下, 二维和三维普朗特方程在解析空间中是适定的, 最近 Dietert-Gérard-Varet[9 ] 与 Li-Masmoudi-Yang[19 ] 在临界 Gevrey 空间中分别在二维和三维中证明了普朗特方程的适定性. 关于普朗特方程的研究,详细的讨论可以参考文献 [2, 5, 9-11, 15-17, 20, 21, 23-26, 29, 31{36] 以及这些工作中所列文献.
本文旨在研究双曲型普朗特方程的长时间适定性理论. 双曲型边界层方程的推导方式与经典普朗特系统类似, 只需在分析带有无滑移边界条件的双曲型 Navier-Stokes 方程关于粘性的渐近展开时, 沿用普朗特拟设即可. 双曲型 Navier-Stokes 方程由 Cattaneo[4 ] 首创, 其方法是在经典方程中加入一个小的双曲型扰动. 经典 Navier-Stokes 方程具有无限传播速度, 这一特性不符合物理实际; 为消除该非物理特征, Cattaneo 提出了以 Cattaneo 定律替代经典的傅里叶定律. 至今, 关于双曲型 Navier-Stokes 方程已有大量研究工作, 例如文献 [1 ,3 ,7 ] 及其参考文献. 与抛物型 Navier-Stokes 方程类似, 在研究带有无滑移边界条件的有界区域中的双曲型方程时也会出现边界层, 即双曲型普朗特方程. 推导过程完全遵循经典的普朗特拟设, 关于推导的更多细节见文献 [22 ]. 双曲型普朗特方程的具体表达式如下
(1.1) $ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & \partial_t^2u+ \partial_t u+u\partial_x\cdot u+ v\partial_y u- \partial_y^2u+\partial_xp=0,\ (x,y)\in\mathbb{R}^n_{+},\\ & \partial_x \cdot u + \partial_y v= 0,\ (x,y)\in\mathbb{R}^n_{+},\\ & (u,v)|_{y=0}=(0,0),\qquad \lim\limits_{y \to \infty}u(t,x,y)=U(t,x),\ x\in \mathbb{R}^{n-1},\\ & u|_{t=0}=u_0,\ \partial_t u|_{t=0}=u_1,\ (x,y)\in\mathbb{R}^n_{+}, \end{aligned} \right. \end{equation}$
其中流体域为 $\mathbb{R}^n_{+}=\{(x,y)\in \mathbb{R}^n; x \in \mathbb{R}^{n-1}, y>0\}$ ($n=2$ 或 $n=3$), $u$ 和 $v$ 分别表示切向与法向速度场, $U(t,x)$ 和 $p(t,x)$ 是由外流给出的已知函数, 且满足以下关系
为简便起见, 我们假设 $U\equiv 0$. 因此, 系统 (1.1) 退化为
(1.2) $ \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & \partial_t^2u+ \partial_t u+u\partial_x\cdot u+ v\partial_y u- \partial_y^2u=0,\ (x,y)\in\mathbb{R}^n_{+},\\ & \partial_x \cdot u + \partial_y v= 0,\ (x,y)\in\mathbb{R}^n_{+},\\ & (u,v)|_{y=0}=(0,0),\qquad \lim\limits_{y \to \infty}u(t,x,y)=0,\ x\in \mathbb{R}^{n-1},\\ & u|_{t=0}=u_0,\ \partial_t u|_{t=0}=u_1,\ (x,y)\in\mathbb{R}^n_{+}, \end{aligned} \right. \label{prandtl} \end{equation}$
到目前为止, 对于系统 (1.2) 的适定性研究仅有部分结果. Li-Xu[22 ] 结合方程的双曲特征在没有任何结构性假设的条件下建立了系统 (1.2) 在指标 $\leq 2$ 的 Gevrey 空间中的局部适定性理论. 本文旨在结合线性项相消机制以及半径关于时间的衰减速率去建立系统 (1.2) 在指标 $\leq 2$ 的 Gevrey 空间中的长时间适定性理论.
到目前为止, 对于系统 (1.2) 的适定性研究仅有部分结果. Li-Xu[22 ] 在无需任何结构性假设的条件下, 通过利用方程的双曲特性, 在 Gevrey 指标不超过 2 的 Gevrey 空间中建立了该系统的局部适定性理论. 本文旨在进一步结合线性项相消机制与半径关于时间的衰减速率, 在同一 Gevrey 函数类中建立系统 (1.2) 的长时间适定性理论.
符号. 给定 $n=2$ 或 $n=3$，我们将使用 $\|\cdot\|_{L^2}$ 和 $(\cdot,\cdot)_{L^2}$ 分别表示 $L^2=L^2(\mathbb{R}^n_{+})$ 的范数和内积: 对于特定变量 $x$, 则记为 $\|\cdot\|_{L^2_x}$ 和 $(\cdot,\cdot)_{L^2_x}$. 对于 $L^{\infty}$ 空间将采用类似的记法. 此外, 记 $L^p_xL^q_y=L^p(\mathbb{R}^{n-1};L^q(\mathbb{{R}}_{+}))$ 表示经典的混合范数 Sobolev 空间. 对于向量值函数 $F=(F_1, F_2,\cdots, F_n)$, 我们约定 $\|F\|^2_{L^2}=\sum_{1\leq j\leq n}\|F_j\|^2_{L^2}$. 全文固定记 $\langle y\rangle=\left(16+y^{2}\right)^{\frac{1}{2}} .$.
在陈述本文的主要结果之前, 我们首先给出如下 Gevrey 函数类空间
定义 1.1 对于给定的 $\rho>0$, 指标为 2 的 Gevrey 类函数空间 $X_{\rho}(\Omega)$ 由所有满足范数 $|f|_{X_{\rho}}＜+\infty$ 的函数 $f(t,x,y)$ 构成, 其中
(1.3) $ \begin{equation} \begin{aligned}|f|^2_{X_{\rho}}\stackrel{\rm def}{=}\sum^{n-1}_{j=1}\sum_{m=0}^{+\infty}L^2_{\rho,m}\Big(\|\langle y\rangle\partial_t\partial^m_{x_j} f\|^2_{L^2}+\|\langle y\rangle\partial_y\partial^m_{x_j} f\|^2_{L^2}+\|\langle y\rangle \partial^m_{x_j} f\|^2_{L^2}\Big), \end{aligned} \end{equation}$
(1.4) $ \begin{equation} \begin{aligned}L_{\rho,m}\stackrel{\rm def}{=}\frac{\rho^{m+1}(m+1)^7}{(m!)^2}, \ m\in \mathbb{Z}_+. \end{aligned} \end{equation}$
注 1.1 当 $n=3$ 时，上述定义的范数 $|f|_{X_{\rho}}$ 与标准 Gevrey 范数
是等价的，且等价关系如下 $\frac{1}{2}\|f(t)\|^2_{\frac{\rho}{2}}\leq |f(t)|^2_{X_{\rho}} \leq \|f(t)\|^2_{\rho},$ 其中第一个不等式由以下事实可得 $\forall \ \alpha\in \mathbb{Z}^2_{+},\ \|\partial^{\alpha}_{x} f\|^2_{L^2}\leq \|\partial^{|\alpha|}_{x_1} f\|^2_{L^2}+\|\partial^{|\alpha|}_{x_2} f\|^2_{L^2}.$
基于上述记号和定义, 系统 (1.2) 在 Gevrey 2 空间中的长时间适定性理论可表述如下
定理 1.1 设系统 (1.2) 中的初始数据 $(u_0,u_1)\in X_{2\rho_0}$, 其中 $0<\rho_0\leq 1$, 且满足 (1.2) 中的边界相容性条件. 若$|u_0|^2_{X_{2\rho_0}}+|u_1|^2_{X_{2\rho_0}}\leq\epsilon^2$对某个充分小的 $\epsilon>0$ 成立. 则存在常数 $C_0>0$ 以及正时间 $T_{\epsilon}=\frac{1}{8}C_0^{-\frac{1}{3}}\epsilon^{-\frac{1}{3}}$ (其中常数 $C_0$ 仅依赖于 Sobolev 嵌入常数和 $\rho_0$) 使得系统 (1.2) 存在唯一解 $ u\in L^\infty([0,T_\epsilon];X_\rho)$, 且该解满足
(1.5) $ \begin{equation}\rho(t)\stackrel{\rm def}{=}\rho_0(1+2C_0^{\frac{2}{3}}\epsilon^{\frac{2}{3}}t^2-C_0^{\frac{1}{3}}\epsilon^{\frac{1}{3}}t).\end{equation}$
注 1.2 双曲型普朗特方程 (1.2) 的长时间适定性对一般的 Gevrey 指标不超过 2 的 Gevrey 空间中也成立.
2 先验估计
定理 1.1 证明的核心在于为方程组 (1.2) 建立先验估计, 之后解的存在性与唯一性可由标准方法推得. 具体而言, 存在性与唯一性的证明包含两个主要部分: 一是基于经典抛物型与双曲型理论构造近似解; 二是对这些近似解进行一致估计, 其论证过程与先验估计的证明完全相同. 因此, 为简洁起见, 下文将仅给出先验估计的证明.
定理 2.1 (先验估计) 设 $u\in L^{\infty}([0,T_{\epsilon}];X_{\rho})$ 为方程组 (1.2) 的任一解, 其初值 $u_0$ 与 $u_1$ 满足
(2.1) $ \begin{equation}|u_0|^2_{X_{2\rho_0}}+|u_1|^2_{X_{2\rho_0}}\leq\epsilon^2,\end{equation}$
(2.2) $ \begin{equation}\forall \ t \in [0,T_{\epsilon}],\quad |u|^2_{X_{\rho}}\leq 36\epsilon^2,\end{equation}$
双曲型普朗特方程 (1.2) 在 Gevrey 指标不超过 2 的 Gevrey 空间中的局部适定性已由文献 [22 ] 利用抽象 Cauchy-Kowalewski 定理及方程的双曲特性得以完成. 因此, 本文的关键在于如何获得其长时间适定性. 迄今为止, 在研究经典普朗特方程的全局适定性时, 寻找阻尼项的方法已较为成熟, 参见近期工作文献 [29 ,31 ,34 ,36 ] 及其所列参考文献. 然而, 由于双曲型系统的双曲特性, 这些衰减技巧无法直接应用于双曲型普朗特方程 (1.2). 因此, 我们希望在不依赖任何衰减结构的条件下获得 (1.2) 的长时间解, 其主要困难在于如何处理线性项. 具体而言, 在进行加权估计时, 得到
为克服该线性项 $\| u\|^2_{L^2}$ 的不利影响, 我们发现了一种新的相消机制: 通过对 $\int^{+\infty}_y u{\rm d}\bar{y}$ 进行非加权估计, 可以抵消线性项的负面影响, 并充分利用半径 $\rho$ 的衰减速率, 从而能够获得双曲型普朗特方程 (1.2) 的长时间解.
我们接下来开始定理 2.1 的证明. 在此之前, 我们首先给出在证明过程中常用的事实. 我们首先取 $\epsilon$ 足够小, 使得 $C_0\epsilon\leq 1$. 回顾 $\rho$ 的定义 (1.5) 式, 我们有对于给定的 $t\in[0,T_\epsilon]$ $(T_\epsilon=\frac{1}{8}C_0^{-\frac{1}{3}}\epsilon^{-\frac{1}{3}})$,
(2.3) $ \begin{equation} \frac{\rho_0}{2}\leq \rho(t) \leq\rho_0\quad\textrm{和}\quad\rho^{'}(t)=\rho_0(4C_0^{\frac{2}{3}}\epsilon^{\frac{2}{3}}t-C_0^{\frac{1}{3}}\epsilon^{\frac{1}{3}}),\end{equation}$
(2.4) $ \begin{equation} \rho^{'}\leq {\rho^{'}}^3\quad \textrm{和} \quad \rho^{"}-\frac{{\rho^{'}}^2}{\rho}\ge 4\rho_0 C_0^{\frac{2}{3}}\epsilon^{\frac{2}{3}}-2\rho_0(4C_0^{\frac{2}{3}}\epsilon^{\frac{2}{3}}t-C_0^{\frac{1}{3}}\epsilon^{\frac{1}{3}})^2\ge 0.\end{equation}$
回顾$L_{\rho,m}$的定义 (1.4), 我们有
(2.5) $ \begin{equation}\forall \ m\ge 0,\ \frac{\rm d}{{\rm d}t}L_{\rho,m}=\rho^{'}\frac{m+1}{\rho}L_{\rho,m}.\end{equation}$
在证明过程中, 我们将利用离散形式下的 Young 不等式
(2.6) $ \begin{equation}\Big{[}\sum^{+\infty}_{m=0}\Big{(}\sum^m_{j=0}p_jq_{m-j}\Big{)}^2\Big{]}^{1/2}\leq \Big{(}\sum^{+\infty}_{m=0}q_m^2\Big{)}^{1/2}\sum^{+\infty}_{j=0}p_j,\end{equation}$
其中 $\{p_j\}_{j\ge 0}$ 和 $\{q_j\}_{j\ge 0}$ 为正序列.
接下来我们只需证明定理 2.1 中所述先验估计的二维情形, 三维情形可类似处理. 为提取半径 $\rho$ 的衰减所带来的好处, 采用文献 [18 ] 中引入的辅助范数 $|\cdot|_{Y_{\rho}}$ 来获得系统 (1.2) 的适定性, 而非直接使用抽象的 Cauchy-Kowalewski 定理. 定义 $|\cdot|_{Y_{\rho}}$ 如下
(2.7) $ \begin{equation} \begin{aligned}|f(t)|^2_{Y_{\rho}}=&\sum_{m=0}^{+\infty}L^2_{\rho,m}\frac{m+1}{\rho}\Big(\|\langle y\rangle\partial_t\partial^m_{x} f\|^2_{L^2}+\|\langle y\rangle\partial_y\partial^m_{x} f\|^2_{L^2}\Big)\\&+\sum_{m=0}^{+\infty}L^2_{\rho,m}\frac{(m+1)^3}{\rho^3}\|\langle y\rangle \partial^m_{x} f\|^2_{L^2}, \end{aligned} \end{equation}$
对于合适的函数 $f$, 其中 $L_{\rho,m}$ 的定义见 (1.4) 式.
为叙述方便, 我们引入两个新的能量泛函 $|a|^2_{\tilde{X}_{\rho}}$ 和 $|b|^2_{\tilde{X}_{\rho}}$, 其具体定义如下
(2.8) $\begin{aligned}|a|_{\tilde{X}_{\rho}}^{2}= & \sum_{m=0}^{+\infty} L_{\rho, m}^{2}\left(\frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t}\left\|\langle y\rangle \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2}+\left\|\langle y\rangle \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2}\right. \\& \left.+2\left\|\langle y\rangle \partial_{t} \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2}+2\left\|\langle y\rangle \partial_{y} \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2}\right),\end{aligned}$
(2.9) $ \begin{equation} \begin{aligned}|b|^2_{\tilde{X}_{\rho}}=&\sum_{m=0}^{+\infty}L^2_{\rho,m}\Big(\frac{\rm d}{{\rm d}t}\Big\|\partial_x^m\int^{+\infty}_yu{\rm d}\bar{y}\Big\|^2_{L^2}+\Big\|\partial_x^m\int^{+\infty}_yu{\rm d}\bar{y}\Big\|^2_{L^2}\\&+2\Big\|\partial_t\partial_x^m\int^{+\infty}_yu{\rm d}\bar{y}\Big\|^2_{L^2}+2\|\partial_x^mu\|^2_{L^2}\Big). \end{aligned} \end{equation}$
利用 Cauchy 不等式 以及 Hardy 不等式 $\|f\|_{L^{2}}^{2} \leq\left\|\langle y\rangle \partial_{y} f\right\|_{L^{2}}^{2}$, 直接计算可得
(2.10) $ \begin{equation} \begin{aligned}\frac{1}{8}(|a|^2_{\tilde{X}_{\rho}}+|b|^2_{\tilde{X}_{\rho}})\leq |u(t)|^2_{X_{\rho}}\leq 4(|a|^2_{\tilde{X}_{\rho}}+|b|^2_{\tilde{X}_{\rho}}). \end{aligned} \end{equation}$
因此, 我们可以通过估计 $|a|^2_{\tilde{X}_{\rho}}$ 和 $|b|^2_{\tilde{X}_{\rho}}$ 来得到 $|u(t)|^2_{X_{\rho}}$ 的估计.
为简化记号, 在接下来的证明过程中统一使用大写字母 $C\ge 1$ 表示一个通用的正常数, 其值可能随行而异. 该常数依赖于 Sobolev 嵌入常数和 $\rho_0$, 但与 $C_0$ 和 $\epsilon$ 无关.
引理 2.1 (估计 $|a|^2_{\tilde{X}_{\rho}}$) 处于定理 2.1 的假设下, 有对任意的 $t\in [0,T_{\epsilon}]$,
(2.11) $ \begin{equation} \begin{aligned}& \frac{\rm d}{{\rm d}t}|a|^2_{\tilde{X}_{\rho}}+2\frac{\rm d}{{\rm d}t}\sum^{+\infty}_{m=0}\Big({\rho^{'}}^2\frac{(m+1)^2}{\rho^2}-\rho^{'}\frac{m+1}{\rho}\Big)L^2_{\rho,m}\| \langle y\rangle \partial_x^mu\|^2_{L^2}-{\rho^{'}}^3|u|^2_{Y_{\rho}}\\\leq & C |u|_{X_{\rho}}|u|^2_{Y_{\rho}}+2\sum_{m=0}^{+\infty}L^2_{\rho,m}\|\partial^m_{x} u\|^2_{L^2}, \end{aligned} \end{equation}$
其中 $|a|_{\tilde{X}_{\rho}}$的定义见 (2.8) 式, $|u|_{X_{\rho}}$ 的定义见 (1.3) 式, $|u|_{Y_{\rho}}$ 的定义见 (2.7) 式.
证 对任意固定的 $m\ge 0$, 作用 $\partial_x^m$ 于 (1.2) 式中 $u$ 的方程可得
(2.12) $ \begin{equation}\begin{aligned}(\partial_t^2+ \partial_t- \partial_y^2)\partial_x^mu=-\sum^m_{k=0}\binom{m}{k}\Big[(\partial_x^ku)\partial_x^{m-k+1}u+(\partial_x^kv)\partial_x^{m-k}\partial_yu\Big]\stackrel{\rm def}{=}A_m.\end{aligned}\end{equation}$
对上述等式两边同时与 $\langle y\rangle^2\partial_x^m u$ 和 $\langle y\rangle^2\partial_t\partial_x^m u$ 分别做 $L^2$-内积, 并注意到边界条件 $u|_{y=0}=0$,
(2.13) $\begin{aligned}& \frac{1}{2} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t}\left[\frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t}\left\|\langle y\rangle \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2}+\left\|\langle y\rangle \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2}\right]+\left\|\langle y\rangle \partial_{y} \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2} \\= & \left(A_{m},\langle y\rangle^{2} \partial_{x}^{m} u\right)_{L^{2}}+\left\|\langle y\rangle \partial_{t} \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2}+\left\|\partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2}\end{aligned}$
(2.14) $\begin{aligned}& \frac{1}{2} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t}\left(\left\|\langle y\rangle \partial_{t} \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2}+\left\|\langle y\rangle \partial_{y} \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2}\right)+\left\|\langle y\rangle \partial_{t} \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2} \\= & \left(A_{m},\langle y\rangle^{2} \partial_{t} \partial_{x}^{m} u\right)_{L^{2}}-2 \int_{\mathbb{R}_{+}^{2}} y\left(\partial_{t} \partial_{x}^{m} u\right) \partial_{y} \partial_{x}^{m} u \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .\end{aligned}$
进而, 将 (2.13) 与 (2.14) 式的两倍相加可得
(2.15) $-4 \int_{\Omega} y\left(\partial_{t} \partial_{x}^{m} u\right) \partial_{y} \partial_{x}^{m} u \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \leq \frac{1}{2}\left\|\langle y\rangle \partial_{y} \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2}+\frac{1}{2}\left\|\langle y\rangle \partial_{t} \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2}$
对于 (2.15) 式中的最后一项, 回顾 $ \langle y\rangle = (16+y^2)^{\frac{1}{2}}$, 有
(2.16) $ \begin{equation} \begin{aligned}-4\int_{\Omega}y(\partial_t\partial_x^mu)\partial_y\partial_x^mu{\rm d}x{\rm d}y\leq \frac{1}{2}\| \langle y\rangle \partial_y\partial_x^mu\|^2_{L^2}+\frac{1}{2}\| \langle y\rangle \partial_t\partial_x^mu\|^2_{L^2}. \end{aligned}\end{equation}$
利用 (2.5) 式, 对上述等式两边乘以 $L^2_{\rho,m}$ 并对 $m\ge 0$ 求和可得
(2.17) $\begin{aligned}\leq & 2 \rho^{\prime} \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{m+1}{\rho} L_{\rho, m}^{2}\left(\left\|\langle y\rangle \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2}+\left\|\langle y\rangle \partial_{t} \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2}+2\left\|\langle y\rangle \partial_{y} \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2}\right) \\& +2 \rho^{\prime} \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{m+1}{\rho} L_{\rho, m}^{2}\left\|\langle y\rangle \partial_{t} \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2}+2 \rho^{\prime} \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{m+1}{\rho} L_{\rho, m}^{2} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t}\left\|\langle y\rangle \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2} \\& +2 \sum_{m=0}^{+\infty} L_{\rho, m}^{2}\left(A_{m},\langle y\rangle^{2}\left(\partial_{x}^{m} u+2 \partial_{t} \partial_{x}^{m} u\right)\right)_{L^{2}}+2 \sum_{m=0}^{+\infty} L_{\rho, m}^{2}\left\|\partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2} .\end{aligned}$
注意到 $\rho^{'}\leq 0$, 对于 (2.17) 式中右边第二项, 有
(2.18) $\begin{aligned}& \rho^{\prime} \frac{m+1}{\rho} L_{\rho, m}^{2}\left\|\langle y\rangle \partial_{t} \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2} \\= & \rho^{\prime} \frac{m+1}{\rho}\left\|\langle y\rangle \partial_{t}\left(L_{\rho, m} \partial_{x}^{m} u\right)\right\|_{L^{2}}^{2}+\rho^{\prime 3} \frac{(m+1)^{3}}{\rho^{3}} L_{\rho, m}^{2}\left\|\langle y\rangle \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2} \\& -2 \rho^{\prime 2} \frac{(m+1)^{2}}{\rho^{2}}\left(\partial_{t}\left(\langle y\rangle L_{\rho, m} \partial_{x}^{m} u\right),\langle y\rangle L_{\rho, m} \partial_{x}^{m} u\right)_{L^{2}} \\\leq & \rho^{\prime 3} \frac{(m+1)^{3}}{\rho^{3}} L_{\rho, m}^{2}\left\|\langle y\rangle \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2}-\rho^{\prime 2} \frac{(m+1)^{2}}{\rho^{2}} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t}\left\|\langle y\rangle L_{\rho, m} \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2} .\end{aligned}$
其中, 对于 (2.18) 式右边的最后一项, 用 (2.4) 式计算可得
(2.19) $ \begin{equation} \begin{aligned}-{\rho^{'}}^2\frac{(m+1)^2}{\rho^2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\| \langle y\rangle L_{\rho,m}\partial_x^mu\|^2_{L^2}& =-\frac{\rm d}{{\rm d}t}\Big({\rho^{'}}^2\frac{(m+1)^2}{\rho^2}L^2_{\rho,m}\| \langle y\rangle \partial_x^mu\|^2_{L^2}\Big)\\& \quad+2\rho^{'}\Big(\rho^{"}-\frac{{\rho^{'}}^2}{\rho}\Big)\frac{(m+1)^2}{\rho^2}L^2_{\rho,m}\| \langle y\rangle \partial_x^mu\|^2_{L^2}\\& \leq -\frac{\rm d}{{\rm d}t}\Big({\rho^{'}}^2\frac{(m+1)^2}{\rho^2}L^2_{\rho,m}\| \langle y\rangle \partial_x^mu\|^2_{L^2}\Big).\end{aligned}\end{equation}$
(2.20) $ \begin{equation} \begin{aligned}& \rho^{'}\frac{m+1}{\rho}L^2_{\rho,m}\| \langle y\rangle \partial_t\partial_x^mu\|^2_{L^2}\\\leq& {\rho^{'}}^3\frac{(m+1)^3}{\rho^3}L^2_{\rho,m}\| \langle y\rangle \partial_x^mu\|^2_{L^2}-\frac{\rm d}{{\rm d}t}\Big({\rho^{'}}^2\frac{(m+1)^2}{\rho^2}L^2_{\rho,m}\| \langle y\rangle \partial_x^mu\|^2_{L^2}\Big).\end{aligned}\end{equation}$
对于 (2.17) 式中右边第三项, 再次利用 (2.4) 式, 有
(2.21) $ \begin{equation} \begin{aligned}& \rho^{'}\frac{m+1}{\rho}L^2_{\rho,m}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\| \langle y\rangle \partial_x^mu\|^2_{L^2}\\& =\frac{\rm d}{{\rm d}t}\Big(\rho^{'}\frac{m+1}{\rho}L^2_{\rho,m}\| \langle y\rangle \partial_x^mu\|^2_{L^2}\Big)-\Big(\rho^{"}-\frac{{\rho^{'}}^2}{\rho}\Big)\frac{m+1}{\rho}L^2_{\rho,m}\| \langle y\rangle \partial_x^mu\|^2_{L^2}\\& \quad -2{\rho^{'}}^2\frac{(m+1)^2}{\rho^2}\| \langle y\rangle L_{\rho,m}\partial_x^mu\|^2_{L^2}\\& \leq \frac{\rm d}{{\rm d}t}\Big(\rho^{'}\frac{m+1}{\rho}L^2_{\rho,m}\| \langle y\rangle \partial_x^mu\|^2_{L^2}\Big) -2{\rho^{'}}^2\frac{(m+1)^2}{\rho^2}L^2_{\rho,m}\| \langle y\rangle \partial_x^mu\|^2_{L^2}.\end{aligned}\end{equation}$
将 (2.20), (2.21) 式带入 (2.17) 式可得
(2.22) $\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}|a|_{\tilde{X}_{\rho}}^{2}+\sum_{m=0}^{+\infty} L_{\rho, m}^{2}\left(\left\|\langle y\rangle \partial_{y} \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2}+\left\|\langle y\rangle \partial_{t} \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2}\right)\\622\\\begin{aligned}& +4 \sum_{m=0}^{+\infty} \rho^{\prime 2} \frac{(m+1)^{2}}{\rho^{2}} L_{\rho, m}^{2}\left\|\langle y\rangle \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2} \\& +2 \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t} \sum_{m=0}^{+\infty}\left(\rho^{\prime 2} \frac{(m+1)^{2}}{\rho^{2}}-\rho^{\prime} \frac{m+1}{\rho}\right) L_{\rho, m}^{2}\left\|\langle y\rangle \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2} \\\leq & 2 \rho^{\prime} \sum_{m=0}^{+\infty} \frac{m+1}{\rho} L_{\rho, m}^{2}\left(\left\|\langle y\rangle \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2}+\left\|\langle y\rangle \partial_{t} \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2}+2\left\|\langle y\rangle \partial_{y} \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2}\right) \\& +2 \rho^{\prime 3} \frac{(m+1)^{3}}{\rho^{3}} \sum_{m=0}^{+\infty} L_{\rho, m}^{2}\left\|\langle y\rangle \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2}+2 \sum_{m=0}^{+\infty} L_{\rho, m}^{2}\left\|\partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2} \\& +2 \sum_{m=0}^{+\infty} L_{\rho, m}^{2}\left(A_{m},\langle y\rangle^{2}\left(\partial_{x}^{m} u+2 \partial_{t} \partial_{x}^{m} u\right)\right)_{L^{2}} .\end{aligned}\end{array}$
回顾 $|u|^2_{Y_{\rho}}$ 的定义 (2.7) 式, 利用 (2.4) 式可得
(2.23) $\begin{aligned}& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}|a|_{\tilde{X}_{\rho}}^{2}+2 \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t} \sum_{m=0}^{+\infty}\left(\rho^{\prime 2} \frac{(m+1)^{2}}{\rho^{2}}-\rho^{\prime} \frac{m+1}{\rho}\right) L_{\rho, m}^{2}\left\|\langle y\rangle \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2}-\rho^{\prime 3}|u|_{Y_{\rho}}^{2} \\& \leq 2 \sum_{m=0}^{+\infty} L_{\rho, m}^{2}\left(A_{m},\langle y\rangle^{2}\left(\partial_{x}^{m} u+2 \partial_{t} \partial_{x}^{m} u\right)\right)_{L^{2}}+2 \sum_{m=0}^{+\infty} L_{\rho, m}^{2}\left\|\partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2} .\end{aligned}$
(2.24) $2 \sum_{m=0}^{+\infty} L_{\rho, m}^{2}\left(A_{m},\langle y\rangle^{2}\left(\partial_{x}^{m} u+2 \partial_{t} \partial_{x}^{m} u\right)\right)_{L^{2}} \leq C|u|_{X_{\rho}}|u|_{Y_{\rho}}^{2}$
为表述简洁, 将断言 (2.24) 式的证明推迟至引理 2.2 之后. 将 (2.24) 式带入 (2.23) 式可得 (2.11) 式. 引理 2.1 因此得证.
引理 2.2 （估计 $|b|^2_{\tilde{X}_{\rho}}$) 处于定理 (1.1) 式的假设下, 我们有对任意的 $t\in [0,T_{\epsilon}]$,
(2.25) $ \begin{equation} \begin{aligned}&\frac{\rm d}{{\rm d}t}|b|^2_{\tilde{X}_{\rho}}+2\frac{\rm d}{{\rm d}t}\sum^{+\infty}_{m=0}\Big({\rho^{'}}^2\frac{(m+1)^2}{\rho^2}-\rho^{'}\frac{m+1}{\rho}\Big)L^2_{\rho,m}\Big\| \partial_x^m\int^{+\infty}_yu{\rm d}\bar{y}\Big\|^2_{L^2}\\& +2\sum_{m=0}^{+\infty}L^2_{\rho,m}\|\partial^m_{x} u\|^2_{L^2}\leq C |u|_{X_{\rho}}|u|^2_{Y_{\rho}}. \end{aligned} \end{equation}$
其中$|b|_{\tilde{X}_{\rho}}$的定义见 (2.9) 式, $|u|_{X_{\rho}}$ 的定义见 (1.3) 式, $|u|_{Y_{\rho}}$ 的定义见 (2.7) 式.
证 对于固定的 $m\ge 0$, 从等式 (2.12) 式可推出
对上述等式两边同时与 $\partial_x^m \int^{+\infty}_yu{\rm d}\bar{y}$ 和 $\partial_t\partial_x^m \int^{+\infty}_yu{\rm d}\bar{y}$ 分别做 $L^2$-内积, 并注意到边界条件 $u|_{y=0}=0$, 有
(2.26) $\begin{aligned}& \frac{1}{2} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t}\left[\frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t}\left\|\partial_{x}^{m} \int_{y}^{+\infty} u \mathrm{~d} \bar{y}\right\|_{L^{2}}^{2}+\left\|\partial_{x}^{m} \int_{y}^{+\infty} u \mathrm{~d} \bar{y}\right\|_{L^{2}}^{2}\right]+\left\|\partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2} \\= & \left(\int_{y}^{+\infty} A_{m} \mathrm{~d} \tilde{y}, \partial_{x}^{m} \int_{y}^{+\infty} u \mathrm{~d} \bar{y}\right)_{L^{2}}+\left\|\partial_{t} \partial_{x}^{m} \int_{y}^{+\infty} u \mathrm{~d} \bar{y}\right\|_{L^{2}}^{2}\end{aligned}$
(2.27) $\begin{aligned}& \frac{1}{2} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t}\left(\left\|\partial_{t} \partial_{x}^{m} \int_{y}^{+\infty} u \mathrm{~d} \bar{y}\right\|_{L^{2}}^{2}+\left\|\partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2}\right)+\left\|\partial_{t} \partial_{x}^{m} \int_{y}^{+\infty} u \mathrm{~d} \bar{y}\right\|_{L^{2}}^{2} \\= & \left(\int_{y}^{+\infty} A_{m} \mathrm{~d} \tilde{y}, \partial_{t} \partial_{x}^{m} \int_{y}^{+\infty} u \mathrm{~d} \bar{y}\right)_{L^{2}} .\end{aligned}$
那么回顾 $|b|_{\tilde{X}_{\rho}}$ 的定义 (2.9) 式, 仿照 (2.22) 式的推导可得
(2.28) $\begin{aligned}& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}|b|_{\tilde{X}_{\rho}}^{2}+2 \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t} \sum_{m=0}^{+\infty}\left(\rho^{\prime 2} \frac{(m+1)^{2}}{\rho^{2}}-\rho^{\prime} \frac{m+1}{\rho}\right) L_{\rho, m}^{2}\left\|\partial_{x}^{m} \int_{y}^{+\infty} u \mathrm{~d} \bar{y}\right\|_{L^{2}}^{2} \\& +2 \sum_{m=0}^{+\infty} L_{\rho, m}^{2}\left\|\partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2} \\\leq & 2 \sum_{m=0}^{+\infty} L_{\rho, m}^{2}\left(\int_{y}^{+\infty} A_{m} \mathrm{~d} \tilde{y},\left(\partial_{x}^{m} \int_{y}^{+\infty} u \mathrm{~d} \bar{y}+2 \partial_{t} \partial_{x}^{m} \int_{y}^{+\infty} u \mathrm{~d} \bar{y}\right)\right)_{L^{2}},\end{aligned}$
利用 Hardy 不等式, 可以仿照 (2.24) 式的证明得
将上式带入 (2.28) 式得 (2.25) 式. 引理 2.2 证毕.
证 [(2.24) 式的证明] 回顾 $A_m$ 的定义, 需要证明如下估计
(2.29) $\sum_{m=0}^{+\infty} \sum_{k=0}^{m} L_{\rho, m}^{2}\binom{m}{k}\left(\left(\partial_{x}^{k} u\right) \partial_{x}^{m-k+1} u+\left(\partial_{x}^{k} v\right) \partial_{x}^{m-k} \partial_{y} u,\langle y\rangle^{2} \partial_{x}^{m} u\right)_{L^{2}} \leq C|u|_{X_{\rho}}|u|_{Y_{\rho}}^{2},$
(2.30) $ \sum_{m=0}^{+\infty} \sum_{k=0}^{m} L_{\rho, m}^{2}\binom{m}{k}\left(\left(\partial_{x}^{k} u\right) \partial_{x}^{m-k+1} u+\left(\partial_{x}^{k} v\right) \partial_{x}^{m-k} \partial_{y} u,\langle y\rangle^{2} \partial_{t} \partial_{x}^{m} u\right)_{L^{2}} \leq C|u|_{X_{\rho}}|u|_{Y_{\rho}}^{2}$
(2.31) $\begin{array}{l}\quad \sum_{m=0}^{+\infty} \sum_{k=0}^{m} L_{\rho, m}^{2}\binom{m}{k}\left|\left(\left(\partial_{x}^{k} u\right) \partial_{x}^{m-k+1} u+\left(\partial_{x}^{k} v\right) \partial_{x}^{m-k} \partial_{y} u,\langle y\rangle^{2} \partial_{x}^{m} u\right)_{L^{2}}\right| \\\leq \sum_{m=0}^{+\infty} \sum_{k=0}^{m} L_{\rho, m}^{2}\binom{m}{k}\left\|\langle y\rangle\left(\partial_{x}^{k} u\right) \partial_{x}^{m-k+1} u\right\|_{L^{2}}\left\|\langle y\rangle \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}} \\\quad+\sum_{m=0}^{+\infty} \sum_{k=0}^{m} L_{\rho, m}^{2}\binom{m}{k}\left\|\langle y\rangle\left(\partial_{x}^{k} v\right) \partial_{x}^{m-k} \partial_{y} u\right\|_{L^{2}}\left\|\langle y\rangle \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}} \\\stackrel{\text { def }}{=} S_{1}+S_{2} .\end{array}$
得, ($[m/2]$ 表示不超过 $m/2$ 的最大整数),
(2.32) $\begin{aligned}S_{1}= & \sum_{m=0}^{+\infty} \sum_{k=0}^{[m / 2]} L_{\rho, m}^{2}\binom{m}{k}\left\|\langle y\rangle\left(\partial_{x}^{k} u\right) \partial_{x}^{m-k+1} u\right\|_{L^{2}}\left\|\langle y\rangle \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}} \\& +\sum_{m=0}^{+\infty} \sum_{k=[m / 2]+1}^{m} L_{\rho, m}^{2}\binom{m}{k}\left\|\langle y\rangle\left(\partial_{x}^{k} u\right) \partial_{x}^{m-k+1} u\right\|_{L^{2}}\left\|\langle y\rangle \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}} \\\leq & S_{11}+S_{12}\end{aligned}$
另一方面, 回顾 $L_{\rho,m}$ 的定义 (1.4), 有
(2.33) $ \begin{equation} \begin{aligned}& \frac{m!}{k!(m-k)!}\frac{\rho^2 L_{\rho,m}}{(m+1)^2L_{\rho,k+1}L_{\rho,m-k+1}}\\&=\frac{m!}{k!(m-k)!}\frac{\rho^2 \rho^{m+1}(m+1)^7((k+1)!)^2((m-k+1)!)^2}{(m+1)^2(m!)^2\rho^{k+2}(k+2)^7\rho^{m-k+2}(m-k+2)^7}\leq \frac{C}{(k+1)^5}, \end{aligned}\end{equation}$
对 $0\leq k\leq [m/2]$ 成立;
(2.34) $ \begin{equation} \begin{aligned}& \frac{m!}{k!(m-k)!}\frac{L_{\rho,m}}{L_{\rho,k}L_{\rho,m-k+2}}\\& = \frac{m!}{k!(m-k)!}\frac{ \rho^{m+1}(m+1)^7(k!)^2((m-k+2)!)^2}{(m!)^2\rho^{k+1}(k+1)^7\rho^{m-k+3}(m-k+3)^7}\leq \frac{C}{(m-k+1)^3}, \end{aligned}\end{equation}$
对 $[m/2]+1\leq k\leq m$ 成立.
对于 $S_{11}$, 利用 Young 不等式 (2.6) 和 (2.33) 可得
(2.35) $ \begin{equation} \begin{aligned}S_{11}\leq & C \sum^{+\infty}_{k=0}\frac{L_{\rho,k+1}\|\partial_x^ku\|_{L^{\infty}}}{(k+1)^5}|u|^2_{Y_{\rho}}. \end{aligned}\end{equation}$
利用 Sobolev 嵌入不等式$\|f\|_{L^{\infty}}\leq C\Big(\|f\|_{L^2}+\|\partial_xf\|_{L^2}+\|\partial_yf\|_{L^2}+\|\partial_x\partial_yf\|_{L^2}\Big),$以及 $L_{\rho,m+1}\leq CL_{\rho,m}$, $m\ge 0$, 有
(2.36) $ \begin{equation} \begin{aligned}\sum^{+\infty}_{k=0}\frac{L_{\rho,k+1}\|\partial_x^ku\|_{L^{\infty}}}{(k+1)^5}\leq C\Big(\sum^{+\infty}_{k=0}L^2_{\rho,k+1}\|\partial_x^ku\|_{L^{\infty}}^2\Big)^{1/2}\leq C |u|_{X_{\rho}}. \end{aligned}\end{equation}$
(2.37) $ \begin{equation} \begin{aligned}S_{11}\leq & C|u|_{X_{\rho}}|u|^2_{Y_{\rho}}. \end{aligned}\end{equation}$
(2.38) $ \begin{equation} \begin{aligned}S_{12}\leq C|u|^3_{X_{\rho}}\leq C|u|_{X_{\rho}}|u|^2_{Y_{\rho}}, \end{aligned}\end{equation}$
其中我们使用了估计 $|u|_{X_{\rho}}\leq C|u|_{Y_{\rho}}$. 将 (2.37) 和 (2.38) 式带入 (2.32) 式, 有$S_1\leq C|u|_{X_{\rho}}|u|^2_{Y_{\rho}}.$对于 $S_2$ 可做类似处理, 有$S_2\leq C|u|_{X_{\rho}}|u|^2_{Y_{\rho}}.$结合上述估计可得 (2.29) 式.仿照(2.29) 式的估计, 可以证明 (2.30) 式. 因而, 断言 (2.24) 式得证.
我们现在开始完成定理 2.1 在二维情形下的证明.
证 [定理 2.1 的证明 (二维情形)] 结合引理 2.1 和 2.2 中的估计, 我们有对于任意给定的 $t \in [0,T_{\epsilon}]$,
(2.39) $\begin{aligned}& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}\left(|a|_{\tilde{X}_{\rho}}^{2}+|b|_{\tilde{X}_{\rho}}^{2}\right)+2 \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t} \sum_{m=0}^{+\infty}\left(\rho^{\prime 2} \frac{(m+1)^{2}}{\rho^{2}}-\rho^{\prime} \frac{m+1}{\rho}\right) L_{\rho, m}^{2}\left\|\langle y\rangle \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2} \\& +2 \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t} \sum_{m=0}^{+\infty}\left(\rho^{\prime 2} \frac{(m+1)^{2}}{\rho^{2}}-\rho^{\prime} \frac{m+1}{\rho}\right) L_{\rho, m}^{2}\left\|\partial_{x}^{m} \int_{y}^{+\infty} u \mathrm{~d} \bar{y}\right\|_{L^{2}}^{2} \\\leq & \left(\rho^{\prime 3}+C|u|_{X_{\rho}}\right)|u|_{Y_{\rho}}^{2} .\end{aligned}$
我们将利用 bootstrap 推论去证明 (2.2) 式. 即我们将在如下条件
(2.40) $ \begin{equation}\forall \ t\in [0, T_{\epsilon}],\ |u|^2_{X_{\rho}}\leq 40\epsilon^2\end{equation}$
回顾 (2.3) 式中 $\rho^{'}$ 的定义, 我们取 $C_0=\frac{200C}{\rho_0^3}$ 使得在 (2.40) 式成立的情况下, 对任意的 $t \in [0,T_{\epsilon}]$,
(2.41) $ \begin{equation}{\rho^{'}}^3+C |u|_{X_{\rho}}\leq 0.\end{equation}$
将 (2.41) 式带入 (2.39) 式并利用 Gronwall 不等式, 我们有对任意的 $t \in [0,T_{\epsilon}]$,
(2.42) $\begin{aligned}& |a|_{\tilde{X}_{\rho}}^{2}+|b|_{\tilde{X}_{\rho}}^{2}+2 \sum_{m=0}^{+\infty}\left(\rho^{\prime 2} \frac{(m+1)^{2}}{\rho^{2}}-\rho^{\prime} \frac{m+1}{\rho}\right) L_{\rho, m}^{2}\left\|\langle y\rangle \partial_{x}^{m} u\right\|_{L^{2}}^{2} \\& +2 \sum_{m=0}^{+\infty}\left(\rho^{\prime 2} \frac{(m+1)^{2}}{\rho^{2}}-\rho^{\prime} \frac{m+1}{\rho}\right) L_{\rho, m}^{2}\left\|\partial_{x}^{m} \int_{y}^{+\infty} u \mathrm{~d} \bar{y}\right\|_{L^{2}}^{2} \\\leq & 2 \sum_{m=0}^{+\infty}\left(\rho^{\prime 2}(0) \frac{(m+1)^{2}}{\rho_{0}^{2}}-\rho^{\prime}(0) \frac{m+1}{\rho_{0}}\right) L_{\rho, m}^{2}\left\|\langle y\rangle \partial_{x}^{m} u(0)\right\|_{L^{2}}^{2} \\& +2 \sum_{m=0}^{+\infty}\left(\rho^{\prime 2}(0) \frac{(m+1)^{2}}{\rho_{0}^{2}}-\rho^{\prime}(0) \frac{m+1}{\rho_{0}}\right) L_{\rho, m}^{2}\left\|\partial_{x}^{m} \int_{y}^{+\infty} u(0) \mathrm{d} \bar{y}\right\|_{L^{2}}^{2} \\& +|a(0)|_{\tilde{X}_{\rho_{0}}}^{2}+|b(0)|_{\tilde{X}_{\rho_{0}}}^{2} .\end{aligned}$
对于 (2.38) 式右边的第一项和第二项, 我们利用 Hardy 不等式以及 (2.3) 式可得
(2.43) $\begin{aligned}& 2 \sum_{m=0}^{+\infty}\left(\rho^{\prime 2}(0) \frac{(m+1)^{2}}{\rho_{0}^{2}}-\rho^{\prime}(0) \frac{m+1}{\rho_{0}}\right) L_{\rho, m}^{2}\left\|\langle y\rangle \partial_{x}^{m} u(0)\right\|_{L^{2}}^{2} \\& +2 \sum_{m=0}^{+\infty}\left(\rho^{\prime 2}(0) \frac{(m+1)^{2}}{\rho_{0}^{2}}-\rho^{\prime}(0) \frac{m+1}{\rho_{0}}\right) L_{\rho, m}^{2}\left\|\partial_{x}^{m} \int_{y}^{+\infty} u(0) \mathrm{d} \bar{y}\right\|_{L^{2}}^{2} \\\leq & C \epsilon^{1 / 3}\left|u_{0}\right|_{X_{2 \rho_{0}}}^{2}\end{aligned}$
(2.44) $ \begin{equation} \begin{aligned}\Big(|a(0)|^2_{\tilde{X}_{\rho_0}}+|b(0)|^2_{\tilde{X}_{\rho_0}}\Big)\leq 8\Big(|u_0|^2_{X_{\rho_0}}+|u_1|^2_{X_{\rho_0}}\Big), \end{aligned} \end{equation}$
(2.45) $ \begin{equation} \begin{aligned}|u|^2_{X_{\rho}}\leq 4\big(|a|^2_{\tilde{X}_{\rho}}+|b|^2_{\tilde{X}_{\rho}}\big). \end{aligned} \end{equation}$
我们选取 $\epsilon$ 足够小使得 $C\epsilon^{1/3}\leq 1$ 并结合估计 (2.42)-(2.45) 式可得
其中最后一个不等式利用初值假设 (2.1). 因此, (2.2) 式得证, 这完成了定理 2.1 二维情形下的证明.
证 [定理 2.1 的证明 (三维情形)] 三维情形可沿用二维情形的证明方法, 其间并无额外困难, 兹不赘述.
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J Differential Equations , 2017 , 263 12 ): 8749-8803
[本文引用: 1]
[35]
Yang T Vector fields of Cancellation for the Prandtl Operators. arXiv:2201.10139
[36]
Zhang P Zhang Z Long time well-posedness of Prandtl system with small and analytic initial data
J Funct Anal , 2016 , 270 7 ): 2591-2615
[本文引用: 1]
Global existence of solutions for hyperbolic Navier-Stokes equations in three space dimensions
1
2019
... 本文旨在研究双曲型普朗特方程的长时间适定性理论. 双曲型边界层方程的推导方式与经典普朗特系统类似, 只需在分析带有无滑移边界条件的双曲型 Navier-Stokes 方程关于粘性的渐近展开时, 沿用普朗特拟设即可. 双曲型 Navier-Stokes 方程由 Cattaneo[4 ] 首创, 其方法是在经典方程中加入一个小的双曲型扰动. 经典 Navier-Stokes 方程具有无限传播速度, 这一特性不符合物理实际; 为消除该非物理特征, Cattaneo 提出了以 Cattaneo 定律替代经典的傅里叶定律. 至今, 关于双曲型 Navier-Stokes 方程已有大量研究工作, 例如文献 [1 ,3 ,7 ] 及其参考文献. 与抛物型 Navier-Stokes 方程类似, 在研究带有无滑移边界条件的有界区域中的双曲型方程时也会出现边界层, 即双曲型普朗特方程. 推导过程完全遵循经典的普朗特拟设, 关于推导的更多细节见文献 [22 ]. 双曲型普朗特方程的具体表达式如下 ...
Well-posedness of the Prandtl equation in Sobolev spaces
1
2015
... 经典普朗特方程由 Prandtl 于 1904 年提出, 用于刻画流体在边界附近的流动行为. 该方程为退化抛物型, 由于缺乏切向扩散项, 会损失一阶切向导数. 到目前为止, 关于普朗特方程的研究已有大量的工作, 普朗特方程的适定性理论主要建立在 Sobolev 空间和解析空间 (或更一般的 Gevrey 空间) 这两个不同的框架下; 前者依赖于 Oleinik 单调性假设, 而后者一般对初始值的正则性有很高的要求. 在二维情形下, 如果初始值满足单调性条件, 则 Sobolev 空间的适定性理论由Oleinik[28 ] 所证明. 之后,Alexandre-Wang-Xu-Yang[2 ] 与 Masmoudi-Wong[27 ] 基于能量方法, 给出了 Oleinik 经典结果的重新证明. 需要指出的是, 目前关于三维普朗特方程的 Sobolev 适定性知之甚少, 目前仅有部分进展 (可参考 Liu-Wang-Yang[25 ] ). 另一方面, 如果 Oleinik 单调性条件不再成立, 则普朗特方程在 Sobolev 框架下不再适定, 关于其严格的数学验证可参考文献 [6 ,8 ,10 ,12 14 ,24 ,32 ] 以及所列文献. 另一方面, Sammartino-Caflisch 的经典工作[30 ] 证明了在没有任何结构性假设条件下, 二维和三维普朗特方程在解析空间中是适定的, 最近 Dietert-Gérard-Varet[9 ] 与 Li-Masmoudi-Yang[19 ] 在临界 Gevrey 空间中分别在二维和三维中证明了普朗特方程的适定性. 关于普朗特方程的研究,详细的讨论可以参考文献 [2, 5, 9-11, 15-17, 20, 21, 23-26, 29, 31{36] 以及这些工作中所列文献. ...
On a relaxation approximation of the incompressible Navier-Stokes equations
1
2004
... 本文旨在研究双曲型普朗特方程的长时间适定性理论. 双曲型边界层方程的推导方式与经典普朗特系统类似, 只需在分析带有无滑移边界条件的双曲型 Navier-Stokes 方程关于粘性的渐近展开时, 沿用普朗特拟设即可. 双曲型 Navier-Stokes 方程由 Cattaneo[4 ] 首创, 其方法是在经典方程中加入一个小的双曲型扰动. 经典 Navier-Stokes 方程具有无限传播速度, 这一特性不符合物理实际; 为消除该非物理特征, Cattaneo 提出了以 Cattaneo 定律替代经典的傅里叶定律. 至今, 关于双曲型 Navier-Stokes 方程已有大量研究工作, 例如文献 [1 ,3 ,7 ] 及其参考文献. 与抛物型 Navier-Stokes 方程类似, 在研究带有无滑移边界条件的有界区域中的双曲型方程时也会出现边界层, 即双曲型普朗特方程. 推导过程完全遵循经典的普朗特拟设, 关于推导的更多细节见文献 [22 ]. 双曲型普朗特方程的具体表达式如下 ...
Sulla conduzione del calore
1
1949
... 本文旨在研究双曲型普朗特方程的长时间适定性理论. 双曲型边界层方程的推导方式与经典普朗特系统类似, 只需在分析带有无滑移边界条件的双曲型 Navier-Stokes 方程关于粘性的渐近展开时, 沿用普朗特拟设即可. 双曲型 Navier-Stokes 方程由 Cattaneo[4 ] 首创, 其方法是在经典方程中加入一个小的双曲型扰动. 经典 Navier-Stokes 方程具有无限传播速度, 这一特性不符合物理实际; 为消除该非物理特征, Cattaneo 提出了以 Cattaneo 定律替代经典的傅里叶定律. 至今, 关于双曲型 Navier-Stokes 方程已有大量研究工作, 例如文献 [1 ,3 ,7 ] 及其参考文献. 与抛物型 Navier-Stokes 方程类似, 在研究带有无滑移边界条件的有界区域中的双曲型方程时也会出现边界层, 即双曲型普朗特方程. 推导过程完全遵循经典的普朗特拟设, 关于推导的更多细节见文献 [22 ]. 双曲型普朗特方程的具体表达式如下 ...
Well-posedness of the linearized Prandtl equation around a non-monotonic shear flow
0
2018
Singularities and unsteady separation for the inviscid two-dimensional Prandtl system
1
2021
... 经典普朗特方程由 Prandtl 于 1904 年提出, 用于刻画流体在边界附近的流动行为. 该方程为退化抛物型, 由于缺乏切向扩散项, 会损失一阶切向导数. 到目前为止, 关于普朗特方程的研究已有大量的工作, 普朗特方程的适定性理论主要建立在 Sobolev 空间和解析空间 (或更一般的 Gevrey 空间) 这两个不同的框架下; 前者依赖于 Oleinik 单调性假设, 而后者一般对初始值的正则性有很高的要求. 在二维情形下, 如果初始值满足单调性条件, 则 Sobolev 空间的适定性理论由Oleinik[28 ] 所证明. 之后,Alexandre-Wang-Xu-Yang[2 ] 与 Masmoudi-Wong[27 ] 基于能量方法, 给出了 Oleinik 经典结果的重新证明. 需要指出的是, 目前关于三维普朗特方程的 Sobolev 适定性知之甚少, 目前仅有部分进展 (可参考 Liu-Wang-Yang[25 ] ). 另一方面, 如果 Oleinik 单调性条件不再成立, 则普朗特方程在 Sobolev 框架下不再适定, 关于其严格的数学验证可参考文献 [6 ,8 ,10 ,12 14 ,24 ,32 ] 以及所列文献. 另一方面, Sammartino-Caflisch 的经典工作[30 ] 证明了在没有任何结构性假设条件下, 二维和三维普朗特方程在解析空间中是适定的, 最近 Dietert-Gérard-Varet[9 ] 与 Li-Masmoudi-Yang[19 ] 在临界 Gevrey 空间中分别在二维和三维中证明了普朗特方程的适定性. 关于普朗特方程的研究,详细的讨论可以参考文献 [2, 5, 9-11, 15-17, 20, 21, 23-26, 29, 31{36] 以及这些工作中所列文献. ...
Hyperbolic quasilinear Navier-Stokes equations in $\mathbb{R}^2$
1
2022
... 本文旨在研究双曲型普朗特方程的长时间适定性理论. 双曲型边界层方程的推导方式与经典普朗特系统类似, 只需在分析带有无滑移边界条件的双曲型 Navier-Stokes 方程关于粘性的渐近展开时, 沿用普朗特拟设即可. 双曲型 Navier-Stokes 方程由 Cattaneo[4 ] 首创, 其方法是在经典方程中加入一个小的双曲型扰动. 经典 Navier-Stokes 方程具有无限传播速度, 这一特性不符合物理实际; 为消除该非物理特征, Cattaneo 提出了以 Cattaneo 定律替代经典的傅里叶定律. 至今, 关于双曲型 Navier-Stokes 方程已有大量研究工作, 例如文献 [1 ,3 ,7 ] 及其参考文献. 与抛物型 Navier-Stokes 方程类似, 在研究带有无滑移边界条件的有界区域中的双曲型方程时也会出现边界层, 即双曲型普朗特方程. 推导过程完全遵循经典的普朗特拟设, 关于推导的更多细节见文献 [22 ]. 双曲型普朗特方程的具体表达式如下 ...
Separation for the stationary Prandtl equation
1
2019
... 经典普朗特方程由 Prandtl 于 1904 年提出, 用于刻画流体在边界附近的流动行为. 该方程为退化抛物型, 由于缺乏切向扩散项, 会损失一阶切向导数. 到目前为止, 关于普朗特方程的研究已有大量的工作, 普朗特方程的适定性理论主要建立在 Sobolev 空间和解析空间 (或更一般的 Gevrey 空间) 这两个不同的框架下; 前者依赖于 Oleinik 单调性假设, 而后者一般对初始值的正则性有很高的要求. 在二维情形下, 如果初始值满足单调性条件, 则 Sobolev 空间的适定性理论由Oleinik[28 ] 所证明. 之后,Alexandre-Wang-Xu-Yang[2 ] 与 Masmoudi-Wong[27 ] 基于能量方法, 给出了 Oleinik 经典结果的重新证明. 需要指出的是, 目前关于三维普朗特方程的 Sobolev 适定性知之甚少, 目前仅有部分进展 (可参考 Liu-Wang-Yang[25 ] ). 另一方面, 如果 Oleinik 单调性条件不再成立, 则普朗特方程在 Sobolev 框架下不再适定, 关于其严格的数学验证可参考文献 [6 ,8 ,10 ,12 14 ,24 ,32 ] 以及所列文献. 另一方面, Sammartino-Caflisch 的经典工作[30 ] 证明了在没有任何结构性假设条件下, 二维和三维普朗特方程在解析空间中是适定的, 最近 Dietert-Gérard-Varet[9 ] 与 Li-Masmoudi-Yang[19 ] 在临界 Gevrey 空间中分别在二维和三维中证明了普朗特方程的适定性. 关于普朗特方程的研究,详细的讨论可以参考文献 [2, 5, 9-11, 15-17, 20, 21, 23-26, 29, 31{36] 以及这些工作中所列文献. ...
Well-posedness of the Prandtl equations without any structural assumption
1
2019
... 经典普朗特方程由 Prandtl 于 1904 年提出, 用于刻画流体在边界附近的流动行为. 该方程为退化抛物型, 由于缺乏切向扩散项, 会损失一阶切向导数. 到目前为止, 关于普朗特方程的研究已有大量的工作, 普朗特方程的适定性理论主要建立在 Sobolev 空间和解析空间 (或更一般的 Gevrey 空间) 这两个不同的框架下; 前者依赖于 Oleinik 单调性假设, 而后者一般对初始值的正则性有很高的要求. 在二维情形下, 如果初始值满足单调性条件, 则 Sobolev 空间的适定性理论由Oleinik[28 ] 所证明. 之后,Alexandre-Wang-Xu-Yang[2 ] 与 Masmoudi-Wong[27 ] 基于能量方法, 给出了 Oleinik 经典结果的重新证明. 需要指出的是, 目前关于三维普朗特方程的 Sobolev 适定性知之甚少, 目前仅有部分进展 (可参考 Liu-Wang-Yang[25 ] ). 另一方面, 如果 Oleinik 单调性条件不再成立, 则普朗特方程在 Sobolev 框架下不再适定, 关于其严格的数学验证可参考文献 [6 ,8 ,10 ,12 14 ,24 ,32 ] 以及所列文献. 另一方面, Sammartino-Caflisch 的经典工作[30 ] 证明了在没有任何结构性假设条件下, 二维和三维普朗特方程在解析空间中是适定的, 最近 Dietert-Gérard-Varet[9 ] 与 Li-Masmoudi-Yang[19 ] 在临界 Gevrey 空间中分别在二维和三维中证明了普朗特方程的适定性. 关于普朗特方程的研究,详细的讨论可以参考文献 [2, 5, 9-11, 15-17, 20, 21, 23-26, 29, 31{36] 以及这些工作中所列文献. ...
On the ill-posedness of the Prandtl equation
1
2010
... 经典普朗特方程由 Prandtl 于 1904 年提出, 用于刻画流体在边界附近的流动行为. 该方程为退化抛物型, 由于缺乏切向扩散项, 会损失一阶切向导数. 到目前为止, 关于普朗特方程的研究已有大量的工作, 普朗特方程的适定性理论主要建立在 Sobolev 空间和解析空间 (或更一般的 Gevrey 空间) 这两个不同的框架下; 前者依赖于 Oleinik 单调性假设, 而后者一般对初始值的正则性有很高的要求. 在二维情形下, 如果初始值满足单调性条件, 则 Sobolev 空间的适定性理论由Oleinik[28 ] 所证明. 之后,Alexandre-Wang-Xu-Yang[2 ] 与 Masmoudi-Wong[27 ] 基于能量方法, 给出了 Oleinik 经典结果的重新证明. 需要指出的是, 目前关于三维普朗特方程的 Sobolev 适定性知之甚少, 目前仅有部分进展 (可参考 Liu-Wang-Yang[25 ] ). 另一方面, 如果 Oleinik 单调性条件不再成立, 则普朗特方程在 Sobolev 框架下不再适定, 关于其严格的数学验证可参考文献 [6 ,8 ,10 ,12 14 ,24 ,32 ] 以及所列文献. 另一方面, Sammartino-Caflisch 的经典工作[30 ] 证明了在没有任何结构性假设条件下, 二维和三维普朗特方程在解析空间中是适定的, 最近 Dietert-Gérard-Varet[9 ] 与 Li-Masmoudi-Yang[19 ] 在临界 Gevrey 空间中分别在二维和三维中证明了普朗特方程的适定性. 关于普朗特方程的研究,详细的讨论可以参考文献 [2, 5, 9-11, 15-17, 20, 21, 23-26, 29, 31{36] 以及这些工作中所列文献. ...
Well-posedness for the Prandtl system without analyticity or monotonicity
0
2015
On the nonlinear instability of Euler and Prandtl equations
1
2000
... 经典普朗特方程由 Prandtl 于 1904 年提出, 用于刻画流体在边界附近的流动行为. 该方程为退化抛物型, 由于缺乏切向扩散项, 会损失一阶切向导数. 到目前为止, 关于普朗特方程的研究已有大量的工作, 普朗特方程的适定性理论主要建立在 Sobolev 空间和解析空间 (或更一般的 Gevrey 空间) 这两个不同的框架下; 前者依赖于 Oleinik 单调性假设, 而后者一般对初始值的正则性有很高的要求. 在二维情形下, 如果初始值满足单调性条件, 则 Sobolev 空间的适定性理论由Oleinik[28 ] 所证明. 之后,Alexandre-Wang-Xu-Yang[2 ] 与 Masmoudi-Wong[27 ] 基于能量方法, 给出了 Oleinik 经典结果的重新证明. 需要指出的是, 目前关于三维普朗特方程的 Sobolev 适定性知之甚少, 目前仅有部分进展 (可参考 Liu-Wang-Yang[25 ] ). 另一方面, 如果 Oleinik 单调性条件不再成立, 则普朗特方程在 Sobolev 框架下不再适定, 关于其严格的数学验证可参考文献 [6 ,8 ,10 ,12 14 ,24 ,32 ] 以及所列文献. 另一方面, Sammartino-Caflisch 的经典工作[30 ] 证明了在没有任何结构性假设条件下, 二维和三维普朗特方程在解析空间中是适定的, 最近 Dietert-Gérard-Varet[9 ] 与 Li-Masmoudi-Yang[19 ] 在临界 Gevrey 空间中分别在二维和三维中证明了普朗特方程的适定性. 关于普朗特方程的研究,详细的讨论可以参考文献 [2, 5, 9-11, 15-17, 20, 21, 23-26, 29, 31{36] 以及这些工作中所列文献. ...
Spectral instability of characteristic boundary layer flows
0
2016
Spectral instability of general symmetric shear flows in a two-dimensional channel
1
2016
... 经典普朗特方程由 Prandtl 于 1904 年提出, 用于刻画流体在边界附近的流动行为. 该方程为退化抛物型, 由于缺乏切向扩散项, 会损失一阶切向导数. 到目前为止, 关于普朗特方程的研究已有大量的工作, 普朗特方程的适定性理论主要建立在 Sobolev 空间和解析空间 (或更一般的 Gevrey 空间) 这两个不同的框架下; 前者依赖于 Oleinik 单调性假设, 而后者一般对初始值的正则性有很高的要求. 在二维情形下, 如果初始值满足单调性条件, 则 Sobolev 空间的适定性理论由Oleinik[28 ] 所证明. 之后,Alexandre-Wang-Xu-Yang[2 ] 与 Masmoudi-Wong[27 ] 基于能量方法, 给出了 Oleinik 经典结果的重新证明. 需要指出的是, 目前关于三维普朗特方程的 Sobolev 适定性知之甚少, 目前仅有部分进展 (可参考 Liu-Wang-Yang[25 ] ). 另一方面, 如果 Oleinik 单调性条件不再成立, 则普朗特方程在 Sobolev 框架下不再适定, 关于其严格的数学验证可参考文献 [6 ,8 ,10 ,12 14 ,24 ,32 ] 以及所列文献. 另一方面, Sammartino-Caflisch 的经典工作[30 ] 证明了在没有任何结构性假设条件下, 二维和三维普朗特方程在解析空间中是适定的, 最近 Dietert-Gérard-Varet[9 ] 与 Li-Masmoudi-Yang[19 ] 在临界 Gevrey 空间中分别在二维和三维中证明了普朗特方程的适定性. 关于普朗特方程的研究,详细的讨论可以参考文献 [2, 5, 9-11, 15-17, 20, 21, 23-26, 29, 31{36] 以及这些工作中所列文献. ...
A note on Prandtl boundary layers
0
2011
Almost global existence for the Prandtl boundary layer equations
0
2016
On the local well-posedness of the Prandtl and hydrostatic Euler equations with multiple monotonicity regions
0
2014
Local existence and uniqueness for the hydrostatic Euler equations on a bounded domain
1
2011
... 接下来我们只需证明定理 2.1 中所述先验估计的二维情形, 三维情形可类似处理. 为提取半径 $\rho$ 的衰减所带来的好处, 采用文献 [18 ] 中引入的辅助范数 $|\cdot|_{Y_{\rho}}$ 来获得系统 (1.2) 的适定性, 而非直接使用抽象的 Cauchy-Kowalewski 定理. 定义 $|\cdot|_{Y_{\rho}}$ 如下 ...
Well-posedness in Gevrey function space for 3D Prandtl equations without structural assumption
1
2022
... 经典普朗特方程由 Prandtl 于 1904 年提出, 用于刻画流体在边界附近的流动行为. 该方程为退化抛物型, 由于缺乏切向扩散项, 会损失一阶切向导数. 到目前为止, 关于普朗特方程的研究已有大量的工作, 普朗特方程的适定性理论主要建立在 Sobolev 空间和解析空间 (或更一般的 Gevrey 空间) 这两个不同的框架下; 前者依赖于 Oleinik 单调性假设, 而后者一般对初始值的正则性有很高的要求. 在二维情形下, 如果初始值满足单调性条件, 则 Sobolev 空间的适定性理论由Oleinik[28 ] 所证明. 之后,Alexandre-Wang-Xu-Yang[2 ] 与 Masmoudi-Wong[27 ] 基于能量方法, 给出了 Oleinik 经典结果的重新证明. 需要指出的是, 目前关于三维普朗特方程的 Sobolev 适定性知之甚少, 目前仅有部分进展 (可参考 Liu-Wang-Yang[25 ] ). 另一方面, 如果 Oleinik 单调性条件不再成立, 则普朗特方程在 Sobolev 框架下不再适定, 关于其严格的数学验证可参考文献 [6 ,8 ,10 ,12 14 ,24 ,32 ] 以及所列文献. 另一方面, Sammartino-Caflisch 的经典工作[30 ] 证明了在没有任何结构性假设条件下, 二维和三维普朗特方程在解析空间中是适定的, 最近 Dietert-Gérard-Varet[9 ] 与 Li-Masmoudi-Yang[19 ] 在临界 Gevrey 空间中分别在二维和三维中证明了普朗特方程的适定性. 关于普朗特方程的研究,详细的讨论可以参考文献 [2, 5, 9-11, 15-17, 20, 21, 23-26, 29, 31{36] 以及这些工作中所列文献. ...
Boundary layer analysis for the fast horizontal rotating fluids
0
2019
Gevrey class smoothing effect for the Prandtl equation
0
2016
Gevrey well-posedness of the hyperbolic Prandtl equations
4
2022
... 本文旨在研究双曲型普朗特方程的长时间适定性理论. 双曲型边界层方程的推导方式与经典普朗特系统类似, 只需在分析带有无滑移边界条件的双曲型 Navier-Stokes 方程关于粘性的渐近展开时, 沿用普朗特拟设即可. 双曲型 Navier-Stokes 方程由 Cattaneo[4 ] 首创, 其方法是在经典方程中加入一个小的双曲型扰动. 经典 Navier-Stokes 方程具有无限传播速度, 这一特性不符合物理实际; 为消除该非物理特征, Cattaneo 提出了以 Cattaneo 定律替代经典的傅里叶定律. 至今, 关于双曲型 Navier-Stokes 方程已有大量研究工作, 例如文献 [1 ,3 ,7 ] 及其参考文献. 与抛物型 Navier-Stokes 方程类似, 在研究带有无滑移边界条件的有界区域中的双曲型方程时也会出现边界层, 即双曲型普朗特方程. 推导过程完全遵循经典的普朗特拟设, 关于推导的更多细节见文献 [22 ]. 双曲型普朗特方程的具体表达式如下 ...
... 到目前为止, 对于系统 (1.2) 的适定性研究仅有部分结果. Li-Xu[22 ] 结合方程的双曲特征在没有任何结构性假设的条件下建立了系统 (1.2) 在指标 $\leq 2$ 的 Gevrey 空间中的局部适定性理论. 本文旨在结合线性项相消机制以及半径关于时间的衰减速率去建立系统 (1.2) 在指标 $\leq 2$ 的 Gevrey 空间中的长时间适定性理论. ...
... 到目前为止, 对于系统 (1.2) 的适定性研究仅有部分结果. Li-Xu[22 ] 在无需任何结构性假设的条件下, 通过利用方程的双曲特性, 在 Gevrey 指标不超过 2 的 Gevrey 空间中建立了该系统的局部适定性理论. 本文旨在进一步结合线性项相消机制与半径关于时间的衰减速率, 在同一 Gevrey 函数类中建立系统 (1.2) 的长时间适定性理论. ...
... 双曲型普朗特方程 (1.2) 在 Gevrey 指标不超过 2 的 Gevrey 空间中的局部适定性已由文献 [22 ] 利用抽象 Cauchy-Kowalewski 定理及方程的双曲特性得以完成. 因此, 本文的关键在于如何获得其长时间适定性. 迄今为止, 在研究经典普朗特方程的全局适定性时, 寻找阻尼项的方法已较为成熟, 参见近期工作文献 [29 ,31 ,34 ,36 ] 及其所列参考文献. 然而, 由于双曲型系统的双曲特性, 这些衰减技巧无法直接应用于双曲型普朗特方程 (1.2). 因此, 我们希望在不依赖任何衰减结构的条件下获得 (1.2) 的长时间解, 其主要困难在于如何处理线性项. 具体而言, 在进行加权估计时, 得到 ...
Well-posedness in Gevrey function spaces for the Prandtl equations with non-degenerate critical points
0
2020
On the ill-posedness of the Prandtl equations in three-dimensional space
1
2016
... 经典普朗特方程由 Prandtl 于 1904 年提出, 用于刻画流体在边界附近的流动行为. 该方程为退化抛物型, 由于缺乏切向扩散项, 会损失一阶切向导数. 到目前为止, 关于普朗特方程的研究已有大量的工作, 普朗特方程的适定性理论主要建立在 Sobolev 空间和解析空间 (或更一般的 Gevrey 空间) 这两个不同的框架下; 前者依赖于 Oleinik 单调性假设, 而后者一般对初始值的正则性有很高的要求. 在二维情形下, 如果初始值满足单调性条件, 则 Sobolev 空间的适定性理论由Oleinik[28 ] 所证明. 之后,Alexandre-Wang-Xu-Yang[2 ] 与 Masmoudi-Wong[27 ] 基于能量方法, 给出了 Oleinik 经典结果的重新证明. 需要指出的是, 目前关于三维普朗特方程的 Sobolev 适定性知之甚少, 目前仅有部分进展 (可参考 Liu-Wang-Yang[25 ] ). 另一方面, 如果 Oleinik 单调性条件不再成立, 则普朗特方程在 Sobolev 框架下不再适定, 关于其严格的数学验证可参考文献 [6 ,8 ,10 ,12 14 ,24 ,32 ] 以及所列文献. 另一方面, Sammartino-Caflisch 的经典工作[30 ] 证明了在没有任何结构性假设条件下, 二维和三维普朗特方程在解析空间中是适定的, 最近 Dietert-Gérard-Varet[9 ] 与 Li-Masmoudi-Yang[19 ] 在临界 Gevrey 空间中分别在二维和三维中证明了普朗特方程的适定性. 关于普朗特方程的研究,详细的讨论可以参考文献 [2, 5, 9-11, 15-17, 20, 21, 23-26, 29, 31{36] 以及这些工作中所列文献. ...
A well-posedness theory for the Prandtl equations in three space variables
1
2017
... 经典普朗特方程由 Prandtl 于 1904 年提出, 用于刻画流体在边界附近的流动行为. 该方程为退化抛物型, 由于缺乏切向扩散项, 会损失一阶切向导数. 到目前为止, 关于普朗特方程的研究已有大量的工作, 普朗特方程的适定性理论主要建立在 Sobolev 空间和解析空间 (或更一般的 Gevrey 空间) 这两个不同的框架下; 前者依赖于 Oleinik 单调性假设, 而后者一般对初始值的正则性有很高的要求. 在二维情形下, 如果初始值满足单调性条件, 则 Sobolev 空间的适定性理论由Oleinik[28 ] 所证明. 之后,Alexandre-Wang-Xu-Yang[2 ] 与 Masmoudi-Wong[27 ] 基于能量方法, 给出了 Oleinik 经典结果的重新证明. 需要指出的是, 目前关于三维普朗特方程的 Sobolev 适定性知之甚少, 目前仅有部分进展 (可参考 Liu-Wang-Yang[25 ] ). 另一方面, 如果 Oleinik 单调性条件不再成立, 则普朗特方程在 Sobolev 框架下不再适定, 关于其严格的数学验证可参考文献 [6 ,8 ,10 ,12 14 ,24 ,32 ] 以及所列文献. 另一方面, Sammartino-Caflisch 的经典工作[30 ] 证明了在没有任何结构性假设条件下, 二维和三维普朗特方程在解析空间中是适定的, 最近 Dietert-Gérard-Varet[9 ] 与 Li-Masmoudi-Yang[19 ] 在临界 Gevrey 空间中分别在二维和三维中证明了普朗特方程的适定性. 关于普朗特方程的研究,详细的讨论可以参考文献 [2, 5, 9-11, 15-17, 20, 21, 23-26, 29, 31{36] 以及这些工作中所列文献. ...
Ill-posedness of the Prandtl equations in Sobolev spaces around a shear flow with general decay
0
2017
Local-in-time existence and uniqueness of solutions to the Prandtl equations by energy methods
1
2015
... 经典普朗特方程由 Prandtl 于 1904 年提出, 用于刻画流体在边界附近的流动行为. 该方程为退化抛物型, 由于缺乏切向扩散项, 会损失一阶切向导数. 到目前为止, 关于普朗特方程的研究已有大量的工作, 普朗特方程的适定性理论主要建立在 Sobolev 空间和解析空间 (或更一般的 Gevrey 空间) 这两个不同的框架下; 前者依赖于 Oleinik 单调性假设, 而后者一般对初始值的正则性有很高的要求. 在二维情形下, 如果初始值满足单调性条件, 则 Sobolev 空间的适定性理论由Oleinik[28 ] 所证明. 之后,Alexandre-Wang-Xu-Yang[2 ] 与 Masmoudi-Wong[27 ] 基于能量方法, 给出了 Oleinik 经典结果的重新证明. 需要指出的是, 目前关于三维普朗特方程的 Sobolev 适定性知之甚少, 目前仅有部分进展 (可参考 Liu-Wang-Yang[25 ] ). 另一方面, 如果 Oleinik 单调性条件不再成立, 则普朗特方程在 Sobolev 框架下不再适定, 关于其严格的数学验证可参考文献 [6 ,8 ,10 ,12 14 ,24 ,32 ] 以及所列文献. 另一方面, Sammartino-Caflisch 的经典工作[30 ] 证明了在没有任何结构性假设条件下, 二维和三维普朗特方程在解析空间中是适定的, 最近 Dietert-Gérard-Varet[9 ] 与 Li-Masmoudi-Yang[19 ] 在临界 Gevrey 空间中分别在二维和三维中证明了普朗特方程的适定性. 关于普朗特方程的研究,详细的讨论可以参考文献 [2, 5, 9-11, 15-17, 20, 21, 23-26, 29, 31{36] 以及这些工作中所列文献. ...
1
1999
... 经典普朗特方程由 Prandtl 于 1904 年提出, 用于刻画流体在边界附近的流动行为. 该方程为退化抛物型, 由于缺乏切向扩散项, 会损失一阶切向导数. 到目前为止, 关于普朗特方程的研究已有大量的工作, 普朗特方程的适定性理论主要建立在 Sobolev 空间和解析空间 (或更一般的 Gevrey 空间) 这两个不同的框架下; 前者依赖于 Oleinik 单调性假设, 而后者一般对初始值的正则性有很高的要求. 在二维情形下, 如果初始值满足单调性条件, 则 Sobolev 空间的适定性理论由Oleinik[28 ] 所证明. 之后,Alexandre-Wang-Xu-Yang[2 ] 与 Masmoudi-Wong[27 ] 基于能量方法, 给出了 Oleinik 经典结果的重新证明. 需要指出的是, 目前关于三维普朗特方程的 Sobolev 适定性知之甚少, 目前仅有部分进展 (可参考 Liu-Wang-Yang[25 ] ). 另一方面, 如果 Oleinik 单调性条件不再成立, 则普朗特方程在 Sobolev 框架下不再适定, 关于其严格的数学验证可参考文献 [6 ,8 ,10 ,12 14 ,24 ,32 ] 以及所列文献. 另一方面, Sammartino-Caflisch 的经典工作[30 ] 证明了在没有任何结构性假设条件下, 二维和三维普朗特方程在解析空间中是适定的, 最近 Dietert-Gérard-Varet[9 ] 与 Li-Masmoudi-Yang[19 ] 在临界 Gevrey 空间中分别在二维和三维中证明了普朗特方程的适定性. 关于普朗特方程的研究,详细的讨论可以参考文献 [2, 5, 9-11, 15-17, 20, 21, 23-26, 29, 31{36] 以及这些工作中所列文献. ...
Global existence and the decay of solutions to the Prandtl system with small analytic data
1
2021
... 双曲型普朗特方程 (1.2) 在 Gevrey 指标不超过 2 的 Gevrey 空间中的局部适定性已由文献 [22 ] 利用抽象 Cauchy-Kowalewski 定理及方程的双曲特性得以完成. 因此, 本文的关键在于如何获得其长时间适定性. 迄今为止, 在研究经典普朗特方程的全局适定性时, 寻找阻尼项的方法已较为成熟, 参见近期工作文献 [29 ,31 ,34 ,36 ] 及其所列参考文献. 然而, 由于双曲型系统的双曲特性, 这些衰减技巧无法直接应用于双曲型普朗特方程 (1.2). 因此, 我们希望在不依赖任何衰减结构的条件下获得 (1.2) 的长时间解, 其主要困难在于如何处理线性项. 具体而言, 在进行加权估计时, 得到 ...
Existence for Euler and Prandtl equations
1
1998
... 经典普朗特方程由 Prandtl 于 1904 年提出, 用于刻画流体在边界附近的流动行为. 该方程为退化抛物型, 由于缺乏切向扩散项, 会损失一阶切向导数. 到目前为止, 关于普朗特方程的研究已有大量的工作, 普朗特方程的适定性理论主要建立在 Sobolev 空间和解析空间 (或更一般的 Gevrey 空间) 这两个不同的框架下; 前者依赖于 Oleinik 单调性假设, 而后者一般对初始值的正则性有很高的要求. 在二维情形下, 如果初始值满足单调性条件, 则 Sobolev 空间的适定性理论由Oleinik[28 ] 所证明. 之后,Alexandre-Wang-Xu-Yang[2 ] 与 Masmoudi-Wong[27 ] 基于能量方法, 给出了 Oleinik 经典结果的重新证明. 需要指出的是, 目前关于三维普朗特方程的 Sobolev 适定性知之甚少, 目前仅有部分进展 (可参考 Liu-Wang-Yang[25 ] ). 另一方面, 如果 Oleinik 单调性条件不再成立, 则普朗特方程在 Sobolev 框架下不再适定, 关于其严格的数学验证可参考文献 [6 ,8 ,10 ,12 14 ,24 ,32 ] 以及所列文献. 另一方面, Sammartino-Caflisch 的经典工作[30 ] 证明了在没有任何结构性假设条件下, 二维和三维普朗特方程在解析空间中是适定的, 最近 Dietert-Gérard-Varet[9 ] 与 Li-Masmoudi-Yang[19 ] 在临界 Gevrey 空间中分别在二维和三维中证明了普朗特方程的适定性. 关于普朗特方程的研究,详细的讨论可以参考文献 [2, 5, 9-11, 15-17, 20, 21, 23-26, 29, 31{36] 以及这些工作中所列文献. ...
On the global small solution of 2-D Prandtl system with initial data in the optimal Gevrey class
1
2024
... 双曲型普朗特方程 (1.2) 在 Gevrey 指标不超过 2 的 Gevrey 空间中的局部适定性已由文献 [22 ] 利用抽象 Cauchy-Kowalewski 定理及方程的双曲特性得以完成. 因此, 本文的关键在于如何获得其长时间适定性. 迄今为止, 在研究经典普朗特方程的全局适定性时, 寻找阻尼项的方法已较为成熟, 参见近期工作文献 [29 ,31 ,34 ,36 ] 及其所列参考文献. 然而, 由于双曲型系统的双曲特性, 这些衰减技巧无法直接应用于双曲型普朗特方程 (1.2). 因此, 我们希望在不依赖任何衰减结构的条件下获得 (1.2) 的长时间解, 其主要困难在于如何处理线性项. 具体而言, 在进行加权估计时, 得到 ...
Blowup of solutions of the unsteady Prandtl's equation
1
1997
... 经典普朗特方程由 Prandtl 于 1904 年提出, 用于刻画流体在边界附近的流动行为. 该方程为退化抛物型, 由于缺乏切向扩散项, 会损失一阶切向导数. 到目前为止, 关于普朗特方程的研究已有大量的工作, 普朗特方程的适定性理论主要建立在 Sobolev 空间和解析空间 (或更一般的 Gevrey 空间) 这两个不同的框架下; 前者依赖于 Oleinik 单调性假设, 而后者一般对初始值的正则性有很高的要求. 在二维情形下, 如果初始值满足单调性条件, 则 Sobolev 空间的适定性理论由Oleinik[28 ] 所证明. 之后,Alexandre-Wang-Xu-Yang[2 ] 与 Masmoudi-Wong[27 ] 基于能量方法, 给出了 Oleinik 经典结果的重新证明. 需要指出的是, 目前关于三维普朗特方程的 Sobolev 适定性知之甚少, 目前仅有部分进展 (可参考 Liu-Wang-Yang[25 ] ). 另一方面, 如果 Oleinik 单调性条件不再成立, 则普朗特方程在 Sobolev 框架下不再适定, 关于其严格的数学验证可参考文献 [6 ,8 ,10 ,12 14 ,24 ,32 ] 以及所列文献. 另一方面, Sammartino-Caflisch 的经典工作[30 ] 证明了在没有任何结构性假设条件下, 二维和三维普朗特方程在解析空间中是适定的, 最近 Dietert-Gérard-Varet[9 ] 与 Li-Masmoudi-Yang[19 ] 在临界 Gevrey 空间中分别在二维和三维中证明了普朗特方程的适定性. 关于普朗特方程的研究,详细的讨论可以参考文献 [2, 5, 9-11, 15-17, 20, 21, 23-26, 29, 31{36] 以及这些工作中所列文献. ...
On the global existence of solutions to the Prandtl's system
0
2004
Long time well-posedness of Prandtl equations in Sobolev space
1
2017
... 双曲型普朗特方程 (1.2) 在 Gevrey 指标不超过 2 的 Gevrey 空间中的局部适定性已由文献 [22 ] 利用抽象 Cauchy-Kowalewski 定理及方程的双曲特性得以完成. 因此, 本文的关键在于如何获得其长时间适定性. 迄今为止, 在研究经典普朗特方程的全局适定性时, 寻找阻尼项的方法已较为成熟, 参见近期工作文献 [29 ,31 ,34 ,36 ] 及其所列参考文献. 然而, 由于双曲型系统的双曲特性, 这些衰减技巧无法直接应用于双曲型普朗特方程 (1.2). 因此, 我们希望在不依赖任何衰减结构的条件下获得 (1.2) 的长时间解, 其主要困难在于如何处理线性项. 具体而言, 在进行加权估计时, 得到 ...
Long time well-posedness of Prandtl system with small and analytic initial data
1
2016
... 双曲型普朗特方程 (1.2) 在 Gevrey 指标不超过 2 的 Gevrey 空间中的局部适定性已由文献 [22 ] 利用抽象 Cauchy-Kowalewski 定理及方程的双曲特性得以完成. 因此, 本文的关键在于如何获得其长时间适定性. 迄今为止, 在研究经典普朗特方程的全局适定性时, 寻找阻尼项的方法已较为成熟, 参见近期工作文献 [29 ,31 ,34 ,36 ] 及其所列参考文献. 然而, 由于双曲型系统的双曲特性, 这些衰减技巧无法直接应用于双曲型普朗特方程 (1.2). 因此, 我们希望在不依赖任何衰减结构的条件下获得 (1.2) 的长时间解, 其主要困难在于如何处理线性项. 具体而言, 在进行加权估计时, 得到 ...
