抛物粘合方法与奇性形成——献给陈化教授 70 寿辰

抛物粘合方法与奇性形成——献给陈化教授 70 寿辰

魏军城^,¹, 周一夫^,²^,^*

1 香港中文大学数学系香港 999077

2 武汉大学数学与统计学院武汉 430072

Parabolic Gluing Method and Singularity Formation

Wei Juncheng^,¹, Zhou Yifu^,²^,^*

1 Department of Mathematics, Chinese University of Hong Kong, Shatin, Hong Kong 999077

2 School of Mathematics and Statistics, Wuhan University, Wuhan 430072

通讯作者: ^*周一夫, Email：yifuzhou@whu.edu.cn

收稿日期: 2025-12-30 修回日期: 2026-01-13

基金资助:

香港研究资助局研究基金和中央高校基本科研业务费专项资金

Received: 2025-12-30 Revised: 2026-01-13

Fund supported:

HK RGC entitled "On supercritical Fujita equation" and the Fundamental Research Funds for the Central Universities

作者简介 About authors

魏军城,Email：wei@math.cuhk.edu.hk

摘要

近年来, 非线性偏微分方程的奇性形成问题备受关注. 此综述文章将介绍抛物粘合方法及其在一些来源于几何、物理、生物数学中的抛物型方程奇性形成研究中的广泛应用. 该文将回顾两个模型问题以具体阐明抛物粘合方法的基本思想.

关键词： 抛物粘合方法; 爆破分析; 能量临界抛物问题

Abstract

Singularity formation for nonlinear PDEs has attracted much attention in recent years. In this survey article, some recent progress on the parabolic gluing method and its wide applications in investigating the singularity formation for parabolic flows, originating from geometry, mathematical physics and mathematical biology, will be introduced. Two model problems will be revisited to illustrate the key ideas of the gluing method in detail.

Keywords： parabolic gluing method; blow-up analysis; energy-critical parabolic problems

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本文引用格式

魏军城, 周一夫. 抛物粘合方法与奇性形成——献给陈化教授 70 寿辰[J]. 数学物理学报, 2026, 46(2): 646-668

Wei Juncheng, Zhou Yifu. Parabolic Gluing Method and Singularity Formation[J]. Acta Mathematica Scientia, 2026, 46(2): 646-668

1 引言

发展方程的奇性形成问题近年来引起广泛关注, 这与不可压缩 Navier-Stokes 方程在 $\mathbb R^3$ 中可能存在奇性 (千禧年大奖问题之一), 以及来自几何流 (Ricci 流和平均曲率流) 的蓬勃发展密切相关. 事实上, Perelman 对 Poincaré 猜想 (千禧年大奖问题)的证明^[43,44]彰显了发展方程爆破分析的重要性. 许多方程, 如 Fujita 方程和调和映照热流, 本身具有重要的意义和价值, 同时也可被视为分析发展方程奇性形成的模型问题, 并将所发展的技术应用到更多其他问题中. 在本综述中, 我们将介绍抛物粘合方法及其在构造各类发展方程有限时间和无限时间爆破解方面应用的一些最新进展.

在椭圆情形, 内外粘合方法 (也被称为无穷维 Lyapunov-Schmidt 约化方法) 最早由 del Pino、Kowalczyk 和 Wei^[14,15]发展, 用于研究曲线和高维曲面上的集中现象. 该方法的理论顶峰是解决了维数大于 $8$ 时的 Giorgi猜想^[15]. 此后, 在 Allen-Cahn 方程、临界或超临界椭圆问题以及许多其他问题中发现了许多新现象和特征. 近年来, 由于对发展方程奇性形成的兴趣激增, 其抛物版本的粘合方法由 Dávila、del Pino、Musso 和 Wei 率先发展起来, 用于研究调和映照热流和能量临界热方程的有限时间和无限时间爆破现象^[7,12]. 随后, 粘合方法被推广并应用于更广泛的发展方程. 虽不逐一列举, 这些方程包括 Euler 方程及相关流体方程^[9-11]、几何发展方程 (如调和映照和半-调和映照流、Yamabe 流^{[12,34,49,50,57]}、临界热方程^[7,17-19], 以及来自生物数学和数学物理中的复杂系统, 如 Keller-Segel 系统^[8]、向列液晶流^[35,37]等. 关于抛物粘合方法的更多介绍, 可以参考[13,41] 和其中的参考文献.

首先, 我们以一种抽象的方式解释粘合方法的一些基本思想和最新进展, 然后给出两个具体例子以更好地阐明这些思想. 粗略地说, 抛物粘合方法是一种精细的摄动方法. 我们的目标是构造在 $t\to T$ 或 $t\to+\infty$ 时在某些集中点附近呈现奇异渐近行为的解. 构造从选择一个合适的爆破轮廓开始, 通常由能量集中驱动. 然后对爆破轮廓进行扰动, 将问题分解成内、外两部分; 其中内部部分是奇性形成的核心, 外部部分处理所有外部误差. 内、外分解从而导出一个耦合的内、外粘合系统, 涉及内部解、外部解以及 (通常是伸缩和平移) 调制参数函数. 如果能够为内、外问题以及确定参数动力学的约化问题建立合适的线性理论, 那么我们就能通过不动点论证来求解整个系统. 这里, 我们需要发展衰减足够好的线性理论, 随后基于此在点态意义上为解空间设计精细的加权拓扑使得整个系统解耦或耦合较弱, 即粘合过程可以实施. 另一方面, 在存在刚性不变性 (如伸缩、平移、旋转不变等) 的情况下, 内问题的线性化算子显然不可逆, 因此为了得到具有足够衰减的内解, 需要提正交性条件以确保线性理论的发展. 这些正交性反过来决定了参数的动力学, 从而对爆破速率和位置有一个精细的刻画.

一个典型的近似解是在伸缩和平移下不变的稳态解. 这些不变性自然意味着线性化算子存在非平凡核函数. 我们将所有核函数衰减足够快 ($\in L^2(\mathbb R^n)$) 的情形称为 $L^2$ 情形, 而核衰减较慢 ($\not\in L^2(\mathbb R^n)$) 的情形称为非 $L^2$ 情形. 通常非 $L^2$ 情形发生在较低维数, 在这种情况下, 需要引入非局部修正项以提升误差的空间衰减. 非局部修正引入的新误差项以主导项的形式进入 (相应 Fourier 频率的) 正交性条件, 导致约化方程中出现特定的积分-微分算子. 这种全局特性已在例如文献 [8,12,17,56] 中被观察到.

对于内问题, 只有在施加正交性条件的情况下, 才能期望得到在时、空上衰减足够快的解, 并且如果相应的线性化算子存在负的特征值, 可能需要仔细选取初值来控制由此产生的不稳定性 (更确切地说, 是余维稳定性). 这里, 线性算子的谱性质至关重要. 在内问题的线性问题中, 许多技术和工具得到了充分地发展, 例如, 通过二次粘合过程 (即另一个内-外粘合过程), 可以获得更加精细的内估计^[12]; 通过采用 distorted Fourier 变换, 有时我们可以对特定的 Fourier频率得到更好的估计^[51,55].与内问题相比, 外问题的线性理论发展通常更为直接. 在抛物情形, 可以利用极值原理, 或直接且细致地使用 Duhamel 公式. 然而, 在缺乏极值原理的情况下, 加权空间的设计可能需要更加精细. 事实上, 在很多极值原理缺失的问题中, 粘合方法也已得到广泛发展且同样适用; 例如, 关于不可压缩 Euler 方程和 LLG 方程的最新进展, 参见文献 [9 -11,55].

接下来, 我们将回顾两个模型问题: $\mathbb R^5$ 中带临界指数的 Fujita 方程 ($L^2$ 情形, 第 3 节) 和 $\mathbb R^4$ 中带临界指数的 Fujita 方程 (非 $L^2$ 情形, 第 4 节), 以具体阐明抛物粘合方法中的思想和技术. 在第 2 节, 我们首先简要介绍 Fujita 方程.

2 Fujita 方程的简要介绍

我们首先考虑 Fujita 方程

(2.1) $\begin{equation}u_t=\Delta u+ |u|^{p-1}u {\mbox{ 在 }}\Omega\times(0,T),\end{equation}$

这里 $\Omega$ 是全空间 $\mathbb R^n$ 或者是 $\mathbb R^n$ 中的一个光滑区域, $0<T\leq+\infty$. 这个半线性热方程 ($p>1$) 自从 Fujita 的著名工作^[25]以来已被广泛研究. Fujita 方程可能是看起来最简单的半线性抛物方程之一. 然而, 丰富而复杂的现象层出不穷, 并且这些现象以一种相当精确的方式与 $p$ 密切相关. 大量文献致力于研究关于奇性形成的这个问题. 关于这方面的全面综述, 我们推荐读者参考 Quittner 和 Souplet 的专著 ^[45].

对于有限时间爆破解, 如果

${\lim \sup}_{t\to T}(T-t)^{\frac{1}{p-1}}\|u(\cdot,t)\|_{\infty}<+\infty,$

则称解 $u$ 是 I 型爆破; 而如果

${\lim \sup}_{t\to T}(T-t)^{\frac{1}{p-1}}\|u(\cdot,t)\|_{\infty}=+\infty.$

则称其为 II 型爆破.I 型爆破更为普遍, 且类似于 ODE $u_t=u^p$ 的爆破, 而 Laplace 算子占主导的 II 型爆破则更难发现. 特别地, 问题 (2.1) 中两种不同类型的爆破现象对 $p$ 非常敏感. 例如, 经过一系列工作包括^[27,28], 已知在 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^n$ 或凸区域的情况下, 如果 $p<p_s$, 则 I 型是唯一可能的爆破方式, 其中 $p_s$ 是临界 Sobolev 指数

$p_s :=\begin{cases} \frac{n+2}{n-2} & \hbox{ 如果 } n\ge 3, \\ +\infty &\hbox{ 如果 } n=1,2. \end{cases}$

临界指数 $p_s$ 在许多方面都很特殊. 对于能量临界情况 $p= p_s$, 在正径向且单调递减的类中, Filippas、Herrero 和 Velázquez^[24] 排除了 $n\ge 3$ 时 II 型爆破的可能性, 而 Matano 和 Merle^[38] 去掉了单调性假设并得到了相同的结果. Wang 和 Wei^[54] 将结果推广到高维 $n\geq 7$ 中的非径向对称正解的最一般情形. 对于 $p<p_s$, 有限时间 I 型爆破解在文献 [39] 中被找到并研究了其稳定性. 对于 $n\geq 7$ 和 $p=p_s$ 的情形, 能量临界热方程的近基态解的动力学分类在文献 [5] 中得到证明. 在 II 型爆破方面, 第一个例子 (当 $p>p_{JL}(n)$ 时) 由 Herrero-Velázquez^[31,32] 发现, 其中 $p_{JL}(n)$ 是 Joseph-Lundgren 指数^[33]

$p_{JL}(n)=\begin{cases} 1+{4\over n-4-2\,\sqrt{n-1}} & \text{如果 $n\ge11$},\\ + \infty, & \text{如果 $ n\le 10$}.\\ \end{cases}$

例如, 关于 II 型爆破的存在性和构造的更多结果, 参见文献 [4,6,19,40,48] 及其中的参考文献. 对于 $n=3,4,5,6$ 维中的临界情况 $p=p_s$, Filippas、Herrero 和Velázquez^[24] 通过匹配渐近分析推测存在变号的 II 型爆破解, 并且最近在文献 [16,20,22,29,30,36,47] 中得到了严格构造.

鉴于上述结果, 关于 Fujita 方程 (2.1) 正解的有限时间爆破, 我们提出三个有趣的未解决问题/猜想.

猜想 1 对于 $3\leq n \leq 6$ 和 $p=p_s$, 方程 (2.1) 的所有正的有限时间爆破解都是 I 型的.

猜想 2 对于 $n\geq 7$ 和 $p=p_s$, 方程 (2.1) 的所有 (变号) 有限时间爆破解都是 I 型的.

猜想 3 对于 $ p_s<p <p_{JL} (n)$ 且 $ p\not = \frac{ n-m+2}{n-m-2}$, 方程 (2.1) 的所有有限时间爆破解都是 I 型的.

另一方面, $p=p_s$ 时的无限时间爆破最近也受到了一些关注. 在 $n\geq 3$ 维中, Galaktionov 和 King^[26] 研究了问题 (2.1) 在单位球上具有 Dirichlet 边界条件下的正、径向对称、无限时间爆破解; 对于区域是凸且对称的情况, 也可参见文献 [53]. 在非径向对称情形, 问题 (2.1) 在零 Dirichlet 边界条件和 $n\geq 5$ 下的正无限时间爆破解在文献 [7] 中被构造, 其中研究了 Green 函数在泡泡现象中的作用, 类似于椭圆设置中的开创性工作文献 [2] 和 ^[3]. $n=3$的情形另见文献 [1]; 也可参考关于基于非退化皇冠解的无穷时间爆破解的构造^[21], 以及关于在高维情形正向、反向时间的泡泡塔 (bubble towers)^[18,52]. 低维 $n=3,4$ 中的无限时间爆破已在 ^[17,56] 中构造, 部分证实了 Fila 和 King的一个猜想^[23].

3 $L^2$ 情形: $\mathbb R^5$ 中的临界 Fujita 方程

在本节中, 我们介绍当核函数衰减较快时的抛物粘合方法.

第一个例子是 $\mathbb R^5$ 中具有临界指数的 Fujita 方程的 II 型奇点^[16]. 构造的第一步是找到一个合适的爆破轮廓, 其自然选择是稳态解. 我们回顾方程

$\Delta u + |u|^{\frac 4{n-2}}u = 0 \mbox{ 在 } \mathbb R^n$

的所有正整体解由 Aubin-Talenti 泡泡族给出

(3.1) $\begin{equation} U_{\mu,\xi} (x) = \mu^{-\frac {n-2}2} U\left (\frac {x-\xi}{\mu} \right ), \end{equation}$

其中

$U(y) = \alpha_n \left ( \frac 1{1+|y|^2}\right)^{\frac{n-2}2}, \quad \alpha_n = (n(n-2))^{\frac {n-2}4}.$

本节构造的解确实会变号, 并且在爆破点附近的主阶由 (3.1) 式给出, 其伸缩与平移参数与时间相关, 且 $\mu(t)\to 0$ 当 $t\to T$. 我们考虑方程

(3.2) $\begin{equation}\left\{ \begin{aligned} &u_t = \Delta u + |u|^{\frac 4{n-2}}u {\mbox{ 在 }} \Omega \times (0, T), \\ &u(\cdot,0) =u_0 {\mbox{ 在 }} \Omega \end{aligned}\right. \end{equation}$

在 $n=5$ 和 $p=7/3$ 的情况. 让我们固定任意点 $q_1, q_2,\cdots q_k \in \Omega$.我们考虑一个光滑函数 $Z_0^*\in L^\infty (\Omega)$, 其性质为

$Z^*_0(q_j) <0 \forall j=1,\cdots, k. $

这个符号条件是为了确保存在目标爆破动力学.

定理 3.1^[16] 令 $n=5$. 对于每个充分小的 $T>0$, 存在一个初始条件 $u_0$ 使得问题 (3.2) 的解在时间 $T$ 恰好在 $k$ 个点 $q_1,\cdots, q_k$ 处爆破. 解的形式为

$u(x,t) = \sum_{j=1}^k U_{\mu_j(t), \xi_j(t)} (x) +Z_0^*(x) + \theta(x,t)$

其中$\mu_j(t)\to 0, \quad \xi_j(t)\to q_j {\mbox{ 当 }} t\to T, $且$\|\theta \|_{L^\infty} \le T^a $ 对于某个 $a>0$.更精确地说, 对于某个常数 $\beta_j>0$, 我们有$\mu_j(t)\ =\ \beta_j (T-t)^2\, (1+ o(1)).$

我们观察到, 特别地, 定理 3.1 中构造的解是 II 型的, 因为

$\|u(\cdot, t) \|_{L^\infty(\mathbb R^5)} \sim (T-t)^{-3} \gg (T-t)^{-3/4}.$

为了符号简洁, 我们只概述单个泡泡情形 $k=1$ 的证明. 一般情况只需要相应地作非本质的修改.

•近似解与误差估计

我们固定一个点 $q\in \Omega$. 让我们考虑一个在 $\bar \Omega$ 中光滑的函数 $Z^*_0$, 且 $Z^*_0= 0$ 在 $\partial \Omega$ 上.我们另外假设

(3.3) $\begin{equation} Z^*_0(q) <0. \end{equation}$

记初边值问题

(3.4) $\begin{equation}\left\{ \begin{aligned} \partial_t Z^* & = \Delta Z^* {\mbox{ 在 }} \Omega \times (0, \infty), \\ Z^* & = 0 {\mbox{ 在 }} \partial \Omega \times (0,\infty), \quad Z^*(\cdot,0) = Z^*_0 {\mbox{ 在 }} \Omega. \end{aligned}\right. \end{equation}$

为$Z^*(x,t) $. 我们考虑参数函数 $\xi(t)\to q $, $\mu(t)\to 0$ 当 $t\to T$.我们寻找形如

(3.5)$\begin{equation} u(x,t) = U_{\mu(t),\xi(t)}(x) + Z^*(x,t) +\varphi(x,t)\end{equation}$

的解, 其中余项 $\varphi$ 由内部和外部两部分组成

(3.6) $ \begin{equation} \varphi(x,t) = \mu^{-\frac{n-2}2} \phi\left (y,t\right ) \eta_R(y) + \psi(x,t), \quad y = \frac{x-\xi(t)} {\mu(t)} \end{equation}$

其中

$\eta_R(y) = \eta_0\left ( \frac {|y |}{ R} \right )$

且 $\eta_0(s)$ 是一个光滑截断函数, 满足 $\eta_0(s) =1 $ 当 $s<1$, 且 $\eta_0(s)=0$ 当 $s>1$.

让我们定义 $u$ 的误差为

$S(u) = -u_t + \Delta u + u^p. $

那么

$ \begin{aligned} S(U_{\mu,\xi} + Z^* + \varphi )\ = &\ -\varphi_t + \Delta \varphi + pU_{\mu,\xi}^{p-1}(\varphi+ Z^*) + \mu^{-\frac {n+2}2}E + N ( Z^*+ \varphi) \\ = &\ \ \eta_R\mu^{-\frac{n+2}2} \big [ -\mu^2 \phi_t + \Delta_y \phi + pU(y)^{p-1}[\phi + \mu^{\frac{n-2}2} (Z^*+ \psi) ] + E\, \big ] \\ & \ -\psi_t + \Delta_x \psi + p \mu^{-2}(1-\eta_R) U(y)^{p-1}( Z^*+ \psi) + A[\phi] \\ & \ + B [\phi] + \mu^{-\frac {n+2}2}E(1-\eta_R) + N (Z^* +\varphi), \end{aligned}$

其中

(3.7) $ \begin{equation} E(y,t)\ := \mu \dot \mu [ y\cdot \nabla U(y) + \frac{n-2}2 U(y) ] + \mu \dot\xi \cdot \nabla U (y),\end{equation}$

$\begin{aligned} N_{\mu,\xi} (Z) := &\ |U_{\mu,\xi}+ Z|^{p-1}(U_{\mu,\xi}+Z) - U_{\mu,\xi}^p -p U_{\mu,\xi}^{p-1}Z,\\ A[\phi] := &\ \mu^{-\frac {n+2}2 } \left \{\, \Delta_y\eta_R \phi + 2 \nabla_y\eta_R \nabla_y \phi \right \}, \\ B [\phi] := &\ \mu^{-\frac{n}2 }\left \{\, \dot\mu \big [ y\cdot \nabla_y\phi + \frac{n-2}2\phi\big ]\eta_R + \dot\xi \cdot\nabla_y \phi\,\eta_R + \big[ \dot \mu y\cdot \nabla_y \eta_R + \dot \xi \cdot \nabla_y \eta_R\big ] \, \phi \right \}. \end{aligned}$

因此, 如果 $(\phi(y,t), \psi(x,t))$ 为以下内-外粘合系统的解, 我们将得到一个原问题的解

(3.8) $ \begin{equation} \mu^2 \phi_t\ = \ \Delta_y \phi + pU(y)^{p-1}\phi + H( \psi, \mu,\xi) \, {\mbox{ 在 }} B_{2R} (0)\times (0,T) \end{equation}$

(3.9) $\begin{equation} \left \{ \begin{aligned} \psi_t \ = &\ \Delta_x \psi + G(\phi,\psi, \mu,\xi) {\mbox{ 在 }} \Omega \times (0,T)\\ \psi \ = & - U_{\mu,\xi} \qquad\qquad \quad \ \, \, {\mbox{ 在 }} \partial \Omega \times (0,T),\\ \psi (\cdot,0) \ = &\ 0 \qquad\qquad \qquad\qquad {\mbox{ 在 }} \Omega, \end{aligned}\right.\end{equation}$

这里

(3.10) $ \begin{equation} \begin{aligned} H(\psi, \mu,\xi)(y,t)\ := & \ \mu^{\frac{n-2}2} pU(y)^{p-1} (Z^*(\xi + \mu y,t)+ \psi(\xi + \mu y,t)) + E(y,t), \\ G(\phi,\psi, \mu,\xi)(x,t)\ := &\ p \mu^{-2}(1-\eta_R) U(y)^{p-1}( Z^*+ \psi) + A[\phi] \ + B [\phi] \\ &\ + \mu^{-\frac {n+2}2}E(1-\eta_R) + N ( Z^*+ \varphi), \quad y = \frac{x-\xi}{\mu}. \end{aligned} \end{equation}$

•参数$\mu$ 和 $\xi$ 的形式推导

接下来我们做一个形式上的考虑, 这使我们能够在主阶上确定参数 $\mu(t)$ 和 $\xi(t)$.

忽略更小阶项, 内问题 (3.8) 近似地是一个形如

(3.11) $ \begin{equation} \begin{aligned} \mu^2\phi_t = \Delta_y \phi & + pU(y)^{p-1}\phi + h(y,t) {\mbox{ 在 }} \mathbb R^n\times (0,T) \\ \phi(y,t) &\to 0 {\mbox{ 当 }} |y|\to \infty \end{aligned} \end{equation}$

的方程, 其中

(3.12) $ \begin{equation} \begin{aligned} h(y,t)\ = & \ \mu\dot\mu \left ( U(y) + y\cdot \nabla U(y) \right ) + p \mu^{\frac{n-2}2}U(y)^{p-1} Z_0^*(q) \\ & +\ \mu\dot\xi\cdot \nabla U(y) + p \mu^{\frac{n}2}U(y)^{p-1} \nabla Z_0^*(q)\cdot y. \end{aligned} \end{equation}$

内问题的解 $\phi$的空间衰减条件减轻了 $\phi$ 在外问题 (3.9) 中的影响, 使得在主阶上 (3.8) 和 (3.9) 式解耦.粗略地说, 对于 $n\ge 5$, $g(y)= O( (1+|y|)^{-2-a}) $ 且 $0<a<1$,椭圆方程

$ \begin{aligned} L[\phi] := \Delta_y \phi & + pU(y)^{p-1}\phi = g (y) {\mbox{ 在 }} \mathbb R^n, \\ \phi(y) &\to 0 {\mbox{ 当 }} |y|\to \infty, \end{aligned}$

可解为 $\phi = O( (1+|y|)^{-a})$的前提是正交性条件

$\int_{\mathbb R^n} g(y) Z_i(y)\,{\rm d}y \ =\ 0 \quad \forall i= 1,\cdots, n+1$

成立, 其中

$Z_i(y) = \partial_{y_i} U (y),\quad i=1,\cdots, n, \quad Z_{n+1}(y) = \frac {n-2}2 U(y) + y\cdot \nabla U(y).$

这些实际上是线性化方程 $L[Z]=0$ 的所有有界解 ($L^\infty$-非退化性).

通过求解椭圆方程

$ \begin{aligned} \Delta_y \phi + pU(y)^{p-1}\phi & + h(y,t)= 0 {\mbox{ 在 }} \mathbb R^n\times (0,T), \\ \phi(y,t) &\to 0 {\mbox{ 当 }} |y|\to \infty, \end{aligned} $

来获得方程 (3.11) 解的近似 (对大的 $|y|$ 有效) 是合理的,实际上我们可以在正交性条件

(3.13) $ \begin{equation} \int_{\mathbb R^n} h(y,t) Z_i(y)\,{\rm d}y \ =\ 0 \quad\forall i= 1,\cdots, n+1,\quad t\in [0,T). \end{equation}$

下做到这一点.这些正交性揭示了参数的动力学. 实际上, 方程两边乘 $Z_{n+1}(y)$ 再积分,我们得到

$\int_{\mathbb R^n} h(y,t) Z_{n+1}(y)\,{\rm d}y \ = \ \mu\dot\mu(t) \int_{\mathbb R^n} Z_{n+1}^2{\rm d}y -\frac {n-2}2 \mu(t)^{\frac{n-2}2} Z^*_0(q) \int_{\mathbb R^n} U^p{\rm d}y.$

显然, 从上面可以看出, 低维情况会出现可积性问题, 产生非局部特性 ($n=4$ 的情况将在下一节讨论). 这个量为零当且仅当对于某个显式常数 $\beta_n>0$

$\dot \mu (t) = -\beta_n |Z^*_0(q) | \mu(t)^{\frac{n-4}2}, \quad \mu(T)= 0,$

因此对于 $n=5$,

(3.14)$\begin{equation} \mu_*(t) = \alpha (T-t)^2, \quad \alpha = \frac 14 \beta_n^2 |Z^*_0(q) |^2. \end{equation}$

类似地, 由 (3.13) 式中剩余的 $n$ 个正交性条件导出$\dot \xi(t) = \mu(t)^{\frac {n-2}2} b $ 对于某个向量 $b$. 因此 $\dot \xi(t) =O (T-t)^3 $ 且

$ \xi(t) = q + O (T-t)^2. $

为了求解实际的内问题 (3.11), 即使假设正交性 (3.13) 式也不足够, 还需要进一步的约束. 实际上,让我们回忆算子$L$ 有一个正径向对称有界特征函数 $Z_0$对应于问题

$L[ \phi ] = \lambda_0 \phi, \quad \phi \in L^\infty(\mathbb R^n).$

的唯一正特征值 $\lambda_0$.已知 $\lambda_0 $ 是一个单特征值且

$Z_0(y) \sim |y|^{-\frac{n-1}2} {\rm e}^{-\sqrt{\lambda_0 }\, |y|} {\mbox{ 当 }} |y| \to \infty. $

让我们记

$p(t) = \int_{\mathbb R^n} \phi(y,t)Z_0(y)\,{\rm d}y, \quad q(t) = \int_{\mathbb R^n} h(y,t)Z_0(y)\,{\rm d}y.$

在没有初值限制的情况下, 沿着 $Z_0$ 方向会导致时间上的指数增长. 事实上, $p(t)$ 满足方程

$\mu(t)^2 \dot p(t) -\lambda_0 p(t) = q(t).$

由于 $\mu(t) \sim (T-t)^{-2}$, 则 $p(t)$ 将具有时间上的指数增长 $p(t)\sim {\rm e}^{\frac c{T-t}}$, 除非

$p (t) = {\rm e}^{ \int_0^t \frac {d\tau}{\mu^2(\tau)} } \int_t^T {\rm e}^{ - \int_0^s \frac {d\tau}{\mu^2(\tau)}}\,\mu(s)^{-2}\, q(s)\,{\rm d}s$

这个关系对 (3.8) 式的初值 $\phi(y,0)$ 施加了一个线性约束

(3.15) $ \begin{equation} \int_{\mathbb R^n} \phi(y,0)Z_0(y)\,{\rm d}y\ = \int_0^T {\rm e}^{ - \int_0^s \frac {d\tau}{\mu^2(\tau)}}\,\mu(s)^{-2}\, \int_{\mathbb R^n} h(y,s)Z_0(y)\,{\rm d}y\,{\rm d}s. \end{equation}$

因此, 我们为内问题在 $Z_0$ 方向上施加一个初值限制以得到衰减的解.

•线性理论

外问题 (3.9) 的线性版本实际上比对应的 (3.18) 式更简单, 它恰好对应于具有几乎奇异的右侧和零初边值条件的热方程. 因此我们考虑问题

(3.16) $ \begin{equation} \left \{ \begin{aligned} \psi_t \ = &\ \Delta_x \psi + g(x,t) {\mbox{ 在 }} \Omega \times (0,T),\\ \psi \ = & \ 0 {\mbox{ 在 }} \partial \Omega \times (0,T),\\ \psi (\cdot,0) \ = &\ 0 {\mbox{ 在 }} \Omega. \end{aligned}\right. \end{equation}$

我们想要考虑的右侧 $g$ 的类别自然由以下范数控制.令 $0<a<1$, $q\in \Omega$ 且 $\mu_0(t)= (T-t)^2$.我们定义范数 $\| g\|_{o*}$ 和 $\| \psi\|_{o}$ 分别为最小的数 $K_1$ 和 $K_2$ 使得对所有 $ (x,t) \in \Omega \times [0,T)$ 都有

$ \begin{aligned} |g(x,t) | \ &\le \ K_1\, \left [ \frac 1{\mu_0 (t)^2 } \frac 1{1 +|y|^{2+a}} + 1 \right ] \\ |\psi(x,t)| \ &\le\ K_2\, \left [ \frac 1{1 +|y|^{a}} + T^{\frac 32a} \right ] \end{aligned}\, \qquad y = \frac {x- q} { \mu_0 (t)}.$

那么以下估计成立.

引理 3.1 [16,引理 4.2] 存在一个常数 $C$ 使得对于所有充分小的 $T>0$ 和任何满足 $ \|g \|_{o}<+\infty$ 的 $g$, 问题 (3.16) 的唯一解 $\psi = \mathcal T^{out} [g]$ 满足估计

(3.17) $ \begin{equation} \|\psi\|_{o*} \le C \|g \|_{o}. \end{equation}$

证明由极值原理或 Duhamel 公式完成.

内问题 (3.18) 的线性版本实际上比对应的 (3.9) 式更难且更微妙. 为了处理内问题 (3.8), 我们需要求解一个类似于 (3.11) 式的线性问题, 但限制在一个大球 $B_{2R}$ 上, 其中假设了类似 (3.13) 式的正交性条件, 并且解的初始条件依赖于一个标量参数, 该参数是未知量的一部分, 与约束 (3.15) 式相关联. 我们构造一个解 $(\phi, \ell )$, 它定义了一个线性算子, 将定义在

$\mathcal D_{2R} = B_{2R} \times (0,T)$

上的函数 $h(y,t)$ 映射到初值问题

(3.18) $ \begin{equation} \begin{aligned} \mu^2 \phi_t\ &= \ \Delta_y \phi + pU(y)^{p-1}\phi + h(y,t ) \, {\mbox{ 在 }} \mathcal D_{2R},\\ \phi(y,0)\ &=\ \ell Z_0(y) {\mbox{ 在 }} B_{2R}, \end{aligned} \end{equation}$

对于某个常数 $\ell $, 这里我们要求右端项满足正交性条件

(3.19) $ \begin{equation} \int_{B_{2R}} h(y,t)\, Z_i (y)\,{\rm d}y = 0 \quad \forall i= 1,\cdots, Z_{n+1},\ t\in [0,T). \end{equation}$

我们对参数函数 $\mu$ 施加以下约束, 这些约束基于之前的讨论:让我们记

$\mu_0 (t) = (T-t)^2.$

对于某些正常数 $\alpha$ 和 $\beta$ (稍后固定), 我们要求

$\alpha \mu_0 (t)\ \le\ \mu(t) \ \le\ \beta \mu_0 (t) \quad \forall t\in [T].$

让我们固定数 $0<a<1$ 和 $\nu>0$.我们将考虑满足

$ |h(y,t)| \lesssim \frac {\mu_0 (t)^\nu }{ 1+ |y|^{2+a}} {\mbox{ 在 }} \mathcal D_{2R}$

的函数 $h$.上一节的形式分析让我们希望找到 (3.18) 式的一个解, 使得

$|\phi(y,t)| \lesssim \frac {\mu_0 (t)^\nu }{ 1+ |y|^{a}} {\mbox{ 在 }} \mathcal D_{2R}.$

我们将找到一个解, 使得 $\phi(y,t)$ 在空间变量上有一个稍差的界, 但在粘合区域 $|y|\sim R$ 中与预期行为一致. 让我们定义以下范数. 我们令 $\|h\|_{2+a,\nu}$ 为最小的数 $K$ 使得

(3.20) $ \begin{equation} |h(y,t) | \ \le \ K \frac{\mu_0 (t)^{\nu}} { 1+ |y|^{2+a}} {\mbox{ 在 }} \mathcal D_{2R}, \end{equation}$

并令 $\|\phi\|_{* a, \nu}$ 为最小的数 $K$ 满足

(3.21) $ \begin{equation} |\phi(y,t) | \ \le \ K \mu_0 (t)^{\nu} \frac {R^{n+1-a}} { 1+ |y|^{n+1}} {\mbox{ 在 }} \mathcal D_{2R}.\end{equation}$

我们观察到 $\|\phi\|_{* a, \nu}\le \|\phi\|_{a, \nu}$.

以下是内问题的关键线性结果.

引理 3.2 [7,命题 7.1], [16,引理 4.1] 存在 $C>0$ 使得对于所有充分大的 $R>0$ 和任何满足 $\|h\|_{2+a,\nu} <+\infty$ 和 (3.19) 式的 $h$, 存在线性算子 $\phi = \mathcal T^{in}_\mu [h],\quad \ell = \ell [h] $

为问题 (3.18) 的解, 并定义了关于 $h$ 线性的算子, 满足

$|\ell [h]| + \| (1+|y|)\nabla_y \phi \|_{* a, \nu} \ +\ \|\phi\|_{* a, \nu} \ \le \ C\,\|h\|_{ \nu, 2+a}.$

证明通过使用自相似变量 $(y,\tau)$, 其中

$\tau = \tau_0 + \int_0^t \mu(s)^{-2}{\rm d}s.$

将 $\phi$ 由 $\phi(y,\tau)$ 表示, 问题 (3.18) 则变为

$ \begin{aligned} \phi_\tau\ &= \ \Delta_y \phi + pU(y)^{p-1}\phi + h(y,\tau ) \, {\mbox{ 在 }} B_{2R}\times (\tau_0,\infty), \\ \phi(y,0)\ &=\ \ell Z_0(y) {\mbox{ 在 }} B_{2R}. \end{aligned}$

然后, 通过以下三个步骤找到时空衰减足够快的解

步骤 1 通过正交性求解椭圆方程;

步骤 2 通过谱隙估计 (见引理 4.1) 和能量估计求解具有较慢衰减的抛物方程, 然后改进逐点估计;

步骤 3 对步骤 2 中抛物方程两边作用线性化算子, 得到期望的解.

实际上, 对于高维情况 $n\geq 5$, 可以使用爆破论证来获得内问题线性理论的一个更精细的版本. 通过爆破论证得到的结果恰好是我们之前形式讨论的内容, 并且在最内部的区域没有 $R$ 的损失. 由于我们在爆破论证中没有使用极值原理, 这个论证相当一般和灵活, 可以应用于更广泛的方程类. 这个爆破论证的一个良好应用是分数阶 Fujita 方程

$ u_t + (-\Delta)^s u= |u|^{\frac{4s}{n-2s}} u $

的无限时间爆破的构造, 其中因为算子 $ (-\Delta)^s$ 必须全局定义, 前述的局部化论证无效. 另一个应用是 Fujita 方程变号爆破的无限时间爆破. 此部分可参见[21,42].

•定理 3.1 的证明: 不动点论证.

有了上述准备工作, 我们现在可以开始定理 3.1 对于 $k=1$ 情况的证明.我们想要找到内-外粘合系统 (3.8)-(3.9) 的一个解 $ \vec p = (\phi,\psi, \mu,\xi)$, 从而构造出期望的爆破解 $u$.这通过将问题表述为在一个合适的 Banach 空间中寻找 $\vec p$ 的不动点问题来实现.

我们首先建立内问题.对于定义在 $\mathcal D_{2R}$ 上的函数 $h(y,t)$, 我们记

$ c_j[h](t) = \frac {\int_{B_{2R} } h(y,t)\, Z_j(y)\,{\rm d}y}{\int_{B_{2R}} |Z_j(y)|^2{\rm d}y } $

使得函数

$ \bar h(y,t) = h(y,t) -\sum_{j=1}^{n+1} c_j[h](t)\, Z_j(y) $

满足

$ \int_{B_{2R}} \bar h(y,t)\, Z_j(y)\,{\rm d}y \ =\ 0 \quad \forall j=1,\cdots, n+1, \quad t\in [0,T), $

这使得引理 3.2 的结果可应用于方程

(3.22) $ \begin{equation}\left\{ \begin{aligned} \mu^2 \phi_t\, & = \, \Delta_y \phi + pU(y)^{p-1}\phi + {\bar H} ( \psi,\mu,\xi) \ \ {\mbox{ 在 }} \mathcal D_{2R}, \\ \phi(\cdot,0) & = \ell \, Z_0 {\mbox{ 在 }} B_{2R}, \end{aligned} \right. \end{equation}$

其中

${\bar H} ( \psi,\mu,\xi) = { H} (\psi,\mu,\xi) -\sum_{j=1}^{n+1} c_j[{ H} (\psi,\mu,\xi)]\, Z_j$

且 ${ H} (\psi,\mu,\xi)$ 由 3.23 定义. 使用引理 3.2, 如果以下方程成立, 我们可以找到 (3.22) 式的一个解

(3.23) $ \begin{equation} \phi = \mathcal T_{\mu}^{in} [\, {\bar H} ( \psi,\mu,\xi) \, ] =: \mathcal F_1 (\phi, \psi,\mu,\xi). \end{equation}$

如果我们另外有

(3.24) $ \begin{equation} c_j[{ H} (\psi,\mu,\xi)] = 0 \quad \forall j=1,\cdots, n+1, \end{equation}$

那么内问题 (3.8) 满足. 此外, 外问题 (3.9) 满足, 只要

(3.25) $ \begin{equation} \psi = \mathcal T^{out} [\, { G} (\phi, \psi,\mu,\xi) \, ] =: \mathcal F_2 (\phi, \psi,\mu,\xi). \end{equation}$

其中算子 ${ G} (\phi, \psi,\mu,\xi)$ 定义在 (3.10) 式中. 我们将使用拓扑度理论论证来解决系统 (3.22), (3.24), (3.25).

对于 $\lambda\in [0,1]$,我们定义同伦

$ \begin{aligned} H_\lambda (\psi, \mu,\xi)(y,t)\ = &\ \mu^{\frac{n-2}2} pU(y)^{p-1} Z_0^*( q) + \mu \dot \mu Z_{n+1}(y) + \mu \sum_{j=1}^n\dot\xi_j Z_j (y) \\ & +\, \lambda \, \mu^{\frac{n-2}2} pU(y)^{p-1} ( Z^*( \xi + \mu y,t) -Z_0^*(q)+ \psi(\xi + \mu y,t) \, ),\\ \end{aligned}$

并考虑方程组

(3.26) $ \begin{equation} \left \{ \begin{aligned} \phi\ =&\ \mathcal T_{\mu}^{in} [\, { H_\lambda} ( \psi,\mu,\xi) -\sum_{j=1}^{n+1} c_j[{ H_\lambda} (\psi,\mu,\xi)]\, Z_j \, ], \\ c_j[ { H_\lambda} &(\psi,\mu,\xi)] \ = \ 0 \quad \forall j=1,\cdots, n+1,\\ \psi\ = &\ \mathcal T^{out} [\, \lambda { G} (\phi, \psi,\mu,\xi) \, ]. \end{aligned} \right. \end{equation}$

我们注意到, 对于 $\lambda=1$, 这个问题恰好对应于我们想要解决的系统 (3.22)-(3.24)-(3.25).

方便起见, 我们记

$ \mu(t) = \mu_*(t) + \mu^{(1)}(t), \quad \xi(t) = q+ \xi^{(1)}(t), \quad t\in [T], $

其中 $\mu_*(t)$ 定义在 (3.14) 式中,且 $\mu^{(1)}(T)=0$, $\xi^{(1)}(t)=0$.

假设我们有一个系统 (3.26) 的解 $(\phi, \psi, \mu^{(1)}, \xi^{(1)})$,满足

(3.27) $ \begin{equation}\left\{ \begin{aligned} |\dot \mu^{(1)}(t)| + |\dot \xi^{(1)}(t)| \ \le &\ \delta_0, \,\\ \|\phi\|_{*a, \nu} +\|\psi\|_\infty \ \le &\ \delta_1, \end{aligned}\right. \end{equation}$

其中 $\delta_0, \delta_1$ 是稍后将调整的很小的正常数. 我们还将假设 $Z^*$ 充分小但固定, 独立于 $T$, 即 $\|Z^*\|_\infty \ll 1$.

函数 $\mu_* (t)$ 求解方程

(3.28) $ \begin{equation} \dot\mu_*(t) \int_{\mathbb R^n} Z_{n+1}^2{\rm d}y + \mu_*(t)^{\frac{n-4}2} Z^*_0(q) \int_{\mathbb R^n} pU^{p-1}Z_{n+1}{\rm d}y = 0. \end{equation}$

方程

(3.29)$\begin{equation} c_{n+1} ( H_\lambda (\psi,\mu_* +\mu_1, \xi))(t) = 0,\quad t\in [0,T) \end{equation}$

对应于

$ \begin{aligned} 0 \ = & \quad \dot\mu(t) \big (\int_{B_{2R}} Z_{n+1}^2{\rm d}y \big) \ +\ \mu(t) ^{\frac{n-4}2} Z^*_0(q) \int_{B_{2R}} pU^{p-1}Z_{n+1}{\rm d}y \\ &\ +\ \lambda\,\mu(t) ^{\frac{n-4}2} \int_{\mathbb R^n} pU(y)^{p-1} ( Z^*( \xi(t) + \mu(t) y,t) -Z_0^*(q)+ \psi(\xi(t) + \mu(t) y,t) \, )Z_{n+1}(y)\,{\rm d}y. \end{aligned}$

因而可以写成

$\quad \dot\mu(t) + \beta \mu(t) ^{\frac{n-4}2} = \mu(t) ^{\frac{n-4}2}( \delta_R + \lambda \theta (\psi, \xi,\mu_1) ),$

对于某个合适的数 $\beta>0$, $\delta_R= O(R^{-2})$ 且算子 $\theta $ 满足

$|\theta (\psi, \xi,\mu_1)| \ \le \ C \, \left( T + \|\psi\|_\infty \right);$

对于某个常数 $C$. 由 (3.28) 式, $\mu_1$ 的方程可线性化为

$\dot \mu_1 + \frac {\gamma }{T-t} \mu_1 = (T-t)g_0(\psi,\mu,\xi),$

对于某个合适的 $\gamma>0$, 其中

$|g_0(\psi, \xi,\mu^{(1)},\lambda)(t)| \ \le \ C\, ( \|\psi\|_\infty + T+ R^{-2} ).$

线性问题

$\dot \mu + \frac {\gamma }{T-t} \mu = (T-t) g(t), \quad \mu_1(T) =0$

可以由以下算子唯一求解

$\mu(t) = \mathcal T^0[ g] (t) := - (T-t)^{-\gamma}\int_t^T (T-s)^{\gamma+1} g_0(s)\,{\rm d}s.$

它定义了 $g$ 上的一个线性算子, 具有估计

$\|(T-t)^{-1}\dot \mu\|_\infty + \|(T-t)^{-2}\mu\|_\infty \le C \|g_0\|_\infty.$

方程 (3.29) 则变为

$\mu^{(1)}(t) = \mathcal T^{(0)}[\, g_0(\psi, \xi,\mu^{(1)},\lambda) \, ] (t) \quad \forall t\in [0,T)$

我们得到

(3.30) $ \begin{equation} \|(T-t)^{-1}\dot \mu^{(1)}\|_\infty + \|(T-t)^{-2}\mu^{(1)}\|_\infty\ \le \ C\, ( \|\psi\|_\infty + T + R^{-2}). \end{equation}$

类似地, 方程

$c_j[ { H_\lambda} (\psi,\mu,\xi)] \ = \ 0 \quad \forall j=1,\cdots, n,\\$

可以写成向量形式为

(3.31) $ \begin{equation} \xi^{(1)}(t) = \mathcal T^{(1)}[ g_1(\psi,\mu_1, \xi_1)] (t) \quad \forall t\in[0,T), \end{equation}$

其中

$\mathcal T^{(1)}[g] := \int_t^T (T-s) g(s) \, {\rm d}s$

且

$|g_1(\psi, \xi,\mu^{(1)},\lambda)(t)| \le C\, ( \|\psi\|_\infty + T ).$

由方程 (3.31), 我们得到

(3.32) $ \begin{equation} \|(T-t)^{-1}\dot \xi^{(1)}\|_\infty + \|(T-t)^{-2}\xi^{(1)}\|_\infty\ \le \ C\, ( \|\psi\|_\infty + T ). \end{equation}$

另一方面, 我们有

$|H(\psi, \mu,\xi)(y,t)| \ \le \ C \frac {\mu(t)^{\frac{n-2}2}} {1 +|y|^4} (\|\psi\|_\infty+ \|Z^*\|_\infty) + \frac {\mu\dot\mu } { 1+|y|^{n-2}} + \frac {\mu|\dot\xi| } { 1+|y|^{n-1}}.$

因此

$|H(\psi, \mu,\xi)(y,t)| \ \le \ C \frac {\mu_0(t)^{\frac{n-2}2}} {1 +|y|^{2+a}} \big (\|\psi\|_\infty+ \|Z^*\|_\infty\big ),$

对于 $0<a<1$. 由 (3.26) 式的第一个方程和引理 3.2, 我们得到

(3.33) $ \begin{equation} \| \phi\|_{*a, \nu} \ \le \ C \big (\|\psi\|_\infty+ \|Z^*\|_\infty\big ), \quad \nu = \frac{n-2}2.\end{equation}$

其中 $\| \cdot\|_{*a, \nu}$-范数定义在 (3.21) 式中. 接下来我们考虑 (3.26) 式的最后一个方程. 让我们考虑例如误差项

$ g_1(x,t) = \mu^{-2} (1- \eta_R) U^{p-1} (Z^*+\psi), \quad g_2(x,t)= \mu^{-\frac {n+2}2}E(1-\eta_R).$

我们有

$|g_1 (x,t) | \ \le \frac 1{ R^{2-\sigma} } \mu^{-2} \frac C{ 1 + |y|^{2+\sigma} } (\|Z^*\|_\infty + \|\psi\|_\infty)$

和

$|g_2 (x,t) | \ \le \ \frac 1{\mu^2} \big[ \frac 1{|y|^{n-2}} \mu^{-\frac {n-2}2} ( |\mu\dot\mu|+ |\mu\dot\xi|) \ \le\ \frac 1 {R^{3-\sigma}} \mu^{-2}\frac C{1+ |y|^{2+\sigma}}.$

现在让我们估计项 $A[\phi]$. 让我们选择 $\sigma= \frac a2$, 其中 $a$ 是定义 $\|\phi \|_{*a,\nu}$ 时所用的参数. 我们有

$ \begin{aligned} \big |A[\phi](x,t) \big|\ \le &\ \mu^{-2} \frac 1{R^2} \frac 1 { 1 + R^{-2-\sigma } |y|^{2+\sigma }}\, \mu^{-\frac{n-2}2}\sup_{R<|y|<2R} (|\phi| + |y||\nabla \phi| ) \\ \ \le &\ \mu^{-2} \frac {R^{-\frac a2 }} {1 + |y|^{2+\sigma }} \|\phi\|_{*a,\frac{n-2}2}. \end{aligned}$

类似地,

$ \begin{aligned} \big |B[\phi](x,t)\big|\ \le &\ C \mu^{-2} [ \mu \dot \mu + \mu|\dot\xi|] \frac { R^{n+1 -a} }{ 1+|y|^{n+1} } \|\phi\|_{*a,\frac{n-2}2} \le C\mu^{-2} \frac { \mu^{\frac 32} R^{n+1-a}} {1 + |y|^{2+\sigma }} \|\phi\|_{*a,\frac{n-2}2}. \end{aligned}$

现在对于某个 $\sigma>0$, 我们有

$ \begin{aligned} \big | N ( Z^*+ \mu^{-\frac{n-2}2}\eta_R \phi + Z^*+ \psi ) \big | \ \le &\ C \mu^{-2} \frac {\mu^\sigma} {1 + |y|^{2+\sigma }} (\|\phi\|_{*a,\frac{n-2}2} R^{n+1-a} + \|Z_*\|_\infty + \|\psi\|_\infty )^2 \\ & \ + C(\|Z_*\|_\infty + \|\psi\|_\infty )^p. \end{aligned}$

根据上述估计, 由引理 3.1 可得

(3.34) $ \begin{equation} \|\psi\|_\infty \ \le \ C T^{\sigma'} \|Z_*\|_\infty + R^{-\sigma'}\|\phi\|_{*a,\frac{n-2}2}. \end{equation}$

结合 (3.33) 和 (3.34) 式, 然后使用 (3.30)-(3.32) 式, 我们最终得到

(3.35) $ \begin{equation} \left\{\begin{aligned} \|\psi\|_\infty \ \le &\ C T^{\sigma'} \|Z_*\|_\infty, \\ \|\phi\|_{*a,\frac{n-2}2} \ \le & \ C\|Z_*\|_\infty, \\ \|(T-t)^{-1}\dot \xi^{(1)}\|_\infty + \|(T-t)^{-2}\xi^{(1)}\|_\infty \ \le & \ C\, (T^{\sigma'} (\|Z_*\|_\infty + 1) + R^{-2} ),\\ \|(T-t)^{-1}\dot \mu^{(1)}\|_\infty + \|(T-t)^{-2}\mu^{(1)}\|_\infty\ \le &\ C\, T^{\sigma'} (\|Z_*\|_\infty + 1). \end{aligned}\right. \end{equation}$

我们将系统 (3.26) 写成形式

(3.36) $ \begin{equation} \left \{ \begin{aligned} \phi\ =&\ \mathcal T_{\mu}^{in} [\, {\bar H_\lambda} ( \mathcal T^{out} [\, \lambda { G} (\phi, \psi,\mu,\xi),\mu,\xi) ], \\ \psi\ = &\ \mathcal T^{out} [\, \lambda { G} (\phi, \psi,\mu,\xi) \, ], \\ \mu^{(1)}\ = &\ \mathcal T^{(0)}[\, \tilde g_0(\psi, \xi^{(1)},\mu^{(1)},\lambda) \, ],\\ \xi^{(1)}\ = &\ \mathcal T^{(1)}[ \tilde g_1(\psi,\mu^{(1)}, \xi^{(1)},\lambda)]. \end{aligned} \right. \end{equation}$

这里, 我们可以记

$ \begin{aligned} \tilde g_0(\psi, \xi^{(1)},\mu^{(1)},\lambda) = & c_R^1 \int _{B_{2R} } { H_\lambda} ( \mathcal T^{out} [\, \lambda { G} (\phi, \psi,\mu,\xi) ],\mu,\xi) Z_{n+1}(y){\rm d}y,\\ \tilde g_1(\psi, \xi^{(1)},\mu^{(1)},\lambda) = & c_R^2 \int _{B_{2R} } { H_\lambda} ( \mathcal T^{out} [\, \lambda { G} (\phi, \psi,\mu,\xi) ],\mu,\xi) \nabla U (y){\rm d}y, \end{aligned}$

对于合适的正常数 $c_R^\ell$, $\ell=0,1$.我们固定任意小的 $\epsilon>0$, 并仅考虑在时间 $t= T-\epsilon$ 之前定义的问题

(3.37) $ \begin{equation} \left \{ \begin{aligned} \phi\ =&\ \mathcal T_{\mu}^{in} [\, {\bar H_\lambda} ( \mathcal T^{out} [\, \lambda { G} (\phi, \psi,\mu,\xi),\mu,\xi)], \quad (y,t)\in \bar B_{2R} \times [0,T-\epsilon], \\ \psi\ = &\ \mathcal T^{out} [\, \lambda { G} (\phi, \psi,\mu,\xi) \, ], \quad (x,t)\in \bar\Omega \times [0,T-\epsilon], \\ \mu^{(1)}\ = &\ \mathcal T_\epsilon^{(0)}[\, \tilde g_0(\psi, \xi^{(1)},\mu^{(1)},\lambda) \, ], \quad t\in [0,T-\epsilon], \\ \xi^{(1)}\ = &\ \mathcal T^{(1)}_\epsilon [ \tilde g_1(\psi,\mu^{(1)}, \xi^{(1)},\lambda)], \quad t\in [0,T-\epsilon], \end{aligned} \right. \end{equation}$

其中

$\mathcal T^0_\epsilon [ g] (t) := - (T-t)^{-\gamma}\int_t^{T-\epsilon} (T-s)^{\gamma+1} g_0(s)\,{\rm d}s, \quad \mathcal T^{(1)}_\epsilon [g] := \int_t^{T-\epsilon} (T-s) g(s)\,{\rm d}s.$

这里的关键是 (3.37) 式右边的算子当我们将它们视为定义在函数空间

$(\phi,\psi, \mu^{(1)}, \xi^{(1)} ) \in X_1 \times X_2\times X_3 \times X_4$

时是紧的. 其中各自的范数定义为

$ \begin{aligned} X^1 = & \{\phi \ /\ \phi \in C( B_{2R}\times [0,T-\epsilon] ), \ \nabla_y \phi \in C( B_{2R}\times [0,T-\epsilon] ) \}, \quad \| \phi \|_{X_1} = \| \phi \|_{\infty}+ \| \nabla_y \phi \|_{\infty}, \\ X^2 = &\{\psi \ /\ \phi \in C(\bar\Omega \times [0,T-ve] )\},\quad \|\psi \|_{X_2} =\|\psi \|_\infty, \\ X^3 = & \{ \mu^{(1)} \ /\ \mu^{(1)} \in C^1[0,T-\epsilon ] \}, \quad \|\mu^{(1)} \|_{X_3}=\|\mu^{(1)} \|_\infty + \|\dot \mu^{(1)} \|_\infty, \\ X^4 = &\{ \xi^{(1)} \ /\ \xi^{(1)} \in C^1[0,T-\epsilon] \}, \quad \|\xi^{(1)} \|_{X_4}=\|\xi^{(1)} \|_\infty+ \|\dot \xi^{(1)} \|_\infty. \end{aligned}$

所有涉及算子在有界集上的紧性直接源于算子 $\mathcal T^{out}$ 的 Hölder 估计和 Arzela-Ascoli 定理. 另一方面, 我们在 $\epsilon=0$ 时得到的先验估计同样成立, 且对任意小的 $\epsilon>0$ 一致.

Leray-Schauder 度理论适用于这个空间中包含原点的合适的球. 实际上, 同伦在 $\lambda=0$ 时与恒等映射连接, 因此在由关系 (3.35) 式定义的区域中的总拓扑度等于 1. 于是满足界 (3.35) 式的近似问题的解的存在性随之成立. 最后, 由标准对角线论证可得具有所需渐近行为的原问题的解. 定理 3.1 对于 $k=1$ 情况的证明结束.

4 非 $L^2$ 情形: $\mathbb R^4$ 中的临界 Fujita 方程

在本节中, 我们将介绍当核函数不属于 $L^2$ 时的第二种抛物粘合方法. 我们考虑 $n=4$ 且 $p=3$ 情形下的有限时间爆破问题.

在下文中, 令 $\Omega$ 为 $\mathbb R^4$ 中的光滑有界区域或 $\Omega=\mathbb R^4$, 并考虑方程

(4.1) $ \begin{equation}\left\{\begin{aligned}u_t & = \Delta u + u^3 {\mbox{ 在 }}\ \Omega \times (0, T), \\u & =0 {\mbox{ 在 }} \partial\Omega\times (0,T),\\u(\cdot,0) & =u_0 {\mbox{ 在 }} \Omega.\end{aligned}\right.\end{equation}$

固定 $\Omega$ 中的任意点 $q_1, q_2,\cdots q_k$.我们考虑一个光滑函数 $Z_0^*\in L^\infty (\Omega)$, 其满足性质

$Z^*_0(q_j) <0 \quad\forall j=1,\cdots, k. $

定理 4.1^[22] 对于每个足够小的 $T>0$, 存在一个初始条件 $u_0$, 使得问题 (4.1) 的解在时刻$T$恰好在 $k$ 个点 $q_1,\cdots, q_k$ 处爆破.

该解具有如下形式

$u(x,t) = \sum_{j=1}^k U_{\lambda_j(t), \xi_j(t)} (x) + Z_0^*(x) + \theta(x,t),$

其中$\lambda_j(t)\to 0, \quad \xi_j(t)\to q_j {\mbox{ 当 }} t\to T, $以及对于某个$a>0$, 有 $\|\theta \|_{L^\infty} \le T^a $.更精确地,

$ \lambda_j(t)\sim \frac{T-t}{|\log(T-t)|^2} {\mbox{ 当 }} t \to T.$

我们观察到, 定理 4.1 中构造的解是 II 型的. 定理 4.1 中的结果正是定理 3.1 在五维情况下的精确类比. 我们遵循{{抛物粘合方法}}的一般思路. 然而, 由于决定 $\lambda(t)$ 的方程涉及一个精细的非局部积分-微分算子, 导致本质性的差异和困难. 在五维情形中, $\lambda(t)$ 的动力学只需通过求解一个常微分方程就能直接得到. 这种非局部效应与低维中 Aubin-Talenti 泡泡的伸缩线性生成元的衰减较慢有关, 即 $Z_5\not\in L^2(\mathbb R^4)$ (参见 (4.4) 式). 在关于调和映射流爆破的工作^[12]中已经遇到了类似的困难, 其中这种非局部算子出现在 Fourier $0$ 频系统中. 在具有对称性的情况下, 这些问题之间的相似性已经在[46,47] 中被注意到.

•近似与修正

我们首先为 (4.1) 式选择一个合适的近似解并计算其误差. 为简单起见, 我们考虑 $k=1$ 的情形. 我们定义误差

$\mathcal S (u):=-u_t+\Delta u+u^3.$

回忆 Aubin-Talenti 泡泡

(4.2) $ \begin{equation}U(y)=\frac{\alpha_{0}}{1+|y|^2}\end{equation}$

是 Yamabe 问题

$ \begin{equation*}\Delta_y U+U^3=0 {\mbox{ 在 }}\mathbb R^4\end{equation*}$

的解, 其中 $\alpha_0=2\sqrt{2}.$ 众所周知, 关于泡泡线性化的算子

(4.3) $ \begin{equation}L_0(\phi):=\Delta \phi+3U^2\phi\end{equation}$

是非退化的, 即所有 $L_0(\phi)=0$ 的有界解都是以下函数的线性组合

(4.4) $ \begin{equation}Z_i(y):=\partial_{y_i} U(y), i=1,2,3,4, Z_5(y):=U(y)+\nabla U(y)\cdot y.\end{equation}$

我们选择的首次近似解是

$ \begin{equation*}U_{\lambda(t),\xi(t)}=\lambda^{-1}(t)U\left(\frac{x-\xi(t)}{\lambda(t)}\right),\end{equation*}$

其中 $\lambda(t)$ 和 $\xi(t)$ 是待调整的伸缩和平移参数函数. 直接计算得到

(4.5) $ \begin{equation}\begin{aligned}S(U_{\lambda(t),\xi(t)})=-\partial_t U_{\lambda(t),\xi(t)}=& \lambda^{-2}(t)\dot{\lambda}(t)\left(-\frac{\alpha_0}{1+|y|^2}+\frac{2\alpha_0}{(1+|y|^2)^2}\right)+\lambda^{-2}(t)\nabla_y U(y)\cdot \dot{\xi}(t),\end{aligned}\end{equation}$

其中 $y=\frac{x-\xi(t)}{\lambda(t)}$. 观察到 (4.5) 式中衰减缓慢的误差是

$\mathcal E_0=-\frac{\alpha_0\dot\lambda(t)}{\lambda^2(t)+\rho^2}\approx -\frac{\alpha_0\dot \lambda(t)}{\rho^2}\not\in L^2(\mathbb R^4),$

其中 $\rho:=|x-\xi(t)|.$ 为了改进近似, 我们考虑

(4.6) $ \begin{equation}\partial_t u_1=\Delta u_1+\mathcal E_0{\mbox{ 在 }}\mathbb R^4\times(0,T).\end{equation}$

通过类似于文献 [12] 中的计算, (4.6) 式的一个解由下式显式给出

$ \begin{equation*}u_1=-\alpha_0 \int_{-T}^t \dot\lambda(s) k(\rho,t-s){\rm d}s,\end{equation*}$

其中

(4.7) $ \begin{equation}k(\rho,t):=\frac{1-{\rm e}^{-\frac{\rho^2}{4t}}}{\rho^2}.\end{equation}$

我们将上述 $u_1$ 正则化, 并选择修正项 $\Psi_0$ 为

(4.8) $ \begin{equation}\Psi_0(x,t)=-\alpha_0\int_{-T}^t \dot\lambda(s) k(\zeta(\rho,t),t-s){\rm d}s,\end{equation}$

其中

$ \begin{equation*}\zeta(\rho,t)=\sqrt{\rho^2+\lambda^2(t)}.\end{equation*}$

那么由 $\Psi_0$ 产生的新误差为

(4.9) $ \begin{equation}\begin{aligned}& \partial_t \Psi_0-\Delta \Psi_0-\mathcal E_0\\=& \alpha_0\left[\frac{y\cdot\dot\xi-\dot{\lambda}(t)}{(1+|y|^2)^{1/2}}\right]\int_{-T}^t \dot{\lambda}(s) k_{\zeta}(\zeta,t-s){\rm d}s\\& +\frac{\alpha_0}{\lambda(t)(1+|y|^2)^{3/2}}\int_{-T}^t \dot{\lambda}(s)\left[-\zeta k_{\zeta\zeta}(\zeta,t-s)+k_\zeta(\zeta,t-s)\right]{\rm d}s\\:=& \mathcal R[\lambda].\end{aligned}\end{equation}$

因此, 选择修正后的近似为

$u^*=U_{\lambda(t),\xi(t)}+\Psi_0$

是合理的, 其误差为

$ \begin{equation*}\begin{aligned}\mathcal S(u^*)=& \mathcal S(U_{\lambda(t),\xi(t)})-\mathcal E_0+(U_{\lambda(t),\xi(t)}+\Psi_0)^3-U_{\lambda(t),\xi(t)}^3\\=& \mathcal K[\lambda,\xi]+(U_{\lambda(t),\xi(t)}+\Psi_0)^3-U_{\lambda(t),\xi(t)}^3,\\\end{aligned}\end{equation*}$

其中 $\mathcal K[\lambda,\xi]$ 定义为

(4.10) $ \begin{equation}\mathcal K[\lambda,\xi]:=\frac{2\alpha_0 \lambda^{-2}(t)\dot{\lambda}(t)}{(1+|y|^2)^2}+\lambda^{-2}(t)\nabla U(y)\cdot \dot{\xi}(t)-\mathcal R[\lambda],\end{equation}$

其中 $\mathcal R[\lambda]$ 由 (4.9) 式给出.

•构建内-外粘合系统

我们寻找如下形式的解

$ \begin{align*}& u=u^*+\mathtt{w},\\& \mathtt{w}=\varphi_{\rm in}+\varphi_{\rm out}, \varphi_{\rm in}=\lambda^{-1}(t)\eta_R \phi(y,t), \varphi_{\rm out}=\psi(x,t)+Z^*(x,t).\end{align*}$

这里截断函数定义为

$ \begin{equation*}\eta_R=\eta_{R(t)}(x,t)=\eta\left(\frac{|x-\xi(t)|}{\lambda(t)R(t)}\right)\end{equation*}$

其中光滑截断函数 $\eta(s)=1$ 当 $s<1$, $\eta(s)=0$ 当 $s>2$, 且 $Z^*$ 满足

$ \begin{equation*}\begin{cases}Z_t^*=\Delta_x Z^* & {\mbox{ 在 }}\Omega\times (0,T),\\Z^*(\cdot,t)=0 & {\mbox{ 在 }}\partial \Omega\times (0,T),\\Z^*(\cdot,0)=Z_0^* & {\mbox{ 在 }}\Omega.\end{cases}\end{equation*}$

记

$B_{2R}=\left\{x\in \Omega:|x-\xi(t)|\leq 2\lambda R\right\}, \mathcal D_{2R}=B_{2R}\times(0,T),$

$\Psi^*=\psi+Z^*$. 那么 $u$ 是原始问题 (4.1) 的解, 如果

• $\phi$ 求解内问题

(4.11) $ \begin{equation}\begin{aligned}\lambda^2 \phi_t = \Delta_y \phi +3U^2(y)\phi+\mathcal H(\phi,\psi,\lambda,\xi) {\mbox{ 在 }}\mathcal D_{2R},\end{aligned}\end{equation}$

其中

(4.12) $ \begin{equation}\begin{aligned}\mathcal H(\phi,\psi,\lambda,\xi)(y,t):=& 3\lambda U^{2}(y)[\Psi_0+\psi+Z^*](\lambda y+\xi,t)\\& +\lambda\left[\dot\lambda (\nabla_y\phi\cdot y+\phi)+\nabla_y \phi\cdot\dot\xi\right]\\& +\lambda^3 \mathcal N(\mathtt w)+\lambda^3 \mathcal K[\lambda,\xi],\end{aligned}\end{equation}$

其中 $\mathcal K[\lambda,\xi]$ 由 (4.10) 式定义, 且

(4.13) $ \begin{equation}\mathcal N(\mathtt w):=(U_{\lambda,\xi}+\Psi_0+\mathtt w)^3-U_{\lambda,\xi}^3-3U_{\lambda,\xi}^2(\Psi_0+\mathtt w).\end{equation}$

• $\psi$ 求解外问题

(4.14) $ \begin{equation}\psi_t =\Delta \psi + \mathcal G(\phi,\psi,\lambda,\xi) {\mbox{ 在 }}\Omega\times (0,T), \end{equation}$

其中

(4.15) $ \begin{equation}\begin{aligned}\mathcal G(\phi,\psi,\lambda,\xi):=& 3\lambda^{-2}(1-\eta_R)U^2(y)(\Psi_0+\psi+Z^*)\\& +\lambda^{-3}\left[(\Delta_y \eta_R) \phi+2\nabla_y\eta_R\cdot\nabla_y \phi-\lambda^2\phi\partial_t \eta_R\right]\\& +(1-\eta_R)\mathcal K[\lambda,\xi]+(1-\eta_R)\mathcal N(\mathtt w).\end{aligned}\end{equation}$

•参数的选择

我们选择参数函数 $\lambda(t)$ 和 $\xi(t)$ 的主项 $\lambda(t)$, $\xi(t)$. 如前所述, 只要近似满足以下正交条件

(4.16) $ \begin{equation}\int_{\mathbb R^4} \mathcal H(\phi,\psi,\lambda,\xi) Z_j (y){\rm d}y=0 \mbox{ 对所有 } j=1,\cdots,5, t\in (0,T),\end{equation}$

就可以找到一个好的内部解. 这里 $Z_j$ 是由 (4.3) 式定义的线性化算子 $L_0$ 的核函数 (参见 (4.4) 式). 基本上, 伸缩和平移参数 $\lambda(t)$ 和 $\xi(t)$ 的主项将从正交条件 (4.16) 导出.

分离出 $\mathcal H$ 的主项 $\mathcal H_*$ 并计算

$\int_{\mathbb R^4} \mathcal H_*[\lambda,\xi,\Psi^*] Z_{\ell}(y){\rm d}y=0,\quad \ell=1,\cdots,4,$

其中

$ \begin{equation*}\begin{aligned}\mathcal H_*[\lambda,\xi,\Psi^*]:=& 3\lambda U^{2}(y)[\Psi_0+\Psi^*](\lambda y+\xi,t)+\lambda^3 \mathcal K[\lambda,\xi]\\=& 3\lambda U^{2}(y)[\Psi_0+\Psi^*](\lambda y+\xi,t)+\frac{2\alpha_0 \lambda(t)\dot{\lambda}(t)}{(1+|y|^2)^2}+\lambda(t) \nabla U(y)\cdot \dot{\xi}(t)\\& -\frac{\alpha_0\lambda^2(t)}{(1+|y|^2)^{3/2}}\int_{-T}^t \dot{\lambda}(s)\left[-\zeta k_{\zeta\zeta}(\zeta,t-s)+k_\zeta(\zeta,t-s)\right]{\rm d}s\\& -\alpha_0 \lambda^3(t)\left[\frac{y\cdot\dot\xi-\dot{\lambda}(t)}{(1+|y|^2)^{1/2}}\right]\int_{-T}^t \dot{\lambda}(s) k_{\zeta}(\zeta,t-s){\rm d}s,\\\end{aligned}\end{equation*}$

可推出$\dot{\xi}_{\ell}=o(1),$这里$\Psi^*=\psi+Z^*$且 $o(1)\to 0$ 当 $t\nearrow T.$ 因此 $\xi(t)$ 的主项选择为

$ \begin{equation*}\xi(t)=q,\end{equation*}$

其中 $q$ 是 $\Omega$ 中一个预先指定的点.

从

$\int_{\mathbb R^4} \mathcal H_*[\lambda,\xi,\Psi^*] Z_5(y){\rm d}y=0,$

导出的 $\lambda(t)$ 的动力系统由于非局部修正而变得更加复杂, 简化后的问题涉及以下积分-微分算子

(4.17) $ \begin{equation}c_*\int_{-T}^{t-\lambda^2(t)}\frac{\dot{\lambda}(s)}{t-s}{\rm d}s=-3c_0[Z_0^*(q)+\psi(q,0)]+o(1),\end{equation}$

其中

$c_0:=\int_{\mathbb R^4} U^2(y) Z_5(y){\rm d}y<0.$

这里需要对非局部项进行仔细计算, 详细的推导可以在文献 [第 4 节] 中找到. 由于 $\lambda(t)$ 在 $t\nearrow T$ 时趋于 $0$,我们施加条件

$ \begin{equation*}a_*:=Z_0^*(q)+\psi(q,0)<0.\end{equation*}$

现在我们声称, $\lambda(t)$ 主项的一个好的选择是

(4.18) $ \begin{equation}\dot{\lambda}(t)=-\frac{c}{|\log(T-t)|^2},\end{equation}$

其中 $c>0$ 是一个待定常数.事实上, 通过代入我们得到

$ \begin{equation*}\begin{aligned}\int_{-T}^{t-\lambda^2(t)}\frac{\dot{\lambda}(s)}{t-s}{\rm d}s=&\int_{-T}^{t-(T-t)}\frac{\dot{\lambda}(s)}{t-s}{\rm d}s+\int_{t-(T-t)}^{t-\lambda^2(t)} \frac{\dot{\lambda}(t)}{t-s}{\rm d}s-\int_{t-(T-t)}^{t-\lambda^2(t)} \frac{\dot{\lambda}(t)-\dot{\lambda}(s)}{t-s}{\rm d}s\\=&\int_{-T}^{t-(T-t)}\frac{\dot{\lambda}(s)}{t-s}{\rm d}s+\dot{\lambda}(t)(\log(T-t)-2\log\lambda(t))-\int_{t-(T-t)}^{t-\lambda^2(t)} \frac{\dot{\lambda}(t)-\dot{\lambda}(s)}{t-s}{\rm d}s\\\approx&\int_{-T}^{t}\frac{\dot{\lambda}(s)}{T-s}{\rm d}s-\dot{\lambda}(t)\log(T-t):=\beta(t).\end{aligned}\end{equation*}$

由 (4.18) 式, 我们得到

$\log(T-t)\frac{{\rm d}\beta}{{\rm d}t}(t)=\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(-\log^2(T-t)\dot{\lambda}(t)\right)=0,$

这意味着 $\beta(t)$ 是一个常数. 因此, 方程 (4.17) 可以近似求解为

$\dot{\lambda}(t)=-\frac{c}{|\log(T-t)|^2},$

其中常数 $c$ 选择为

$-c\int_{-T}^T \frac{{\rm d}s}{(T-s)|\log(T-s)|^2}=\kappa_*,$

其中 $\kappa_*:=-\frac{3c_0 a_*}{c_*}.$在主项上, 我们得到

$\dot{\lambda}(t)=\kappa_*\dot{\lambda}_*(t),$

其中

$\dot{\lambda}_*(t)=-\frac{|\log T|}{|\log(T-t)|^2}.$

若令 $\lambda_*(T)=0$, 我们得到

$ \begin{equation*}\lambda_*(t)=\frac{|\log T|(T-t)}{|\log(T-t)|^2}(1+o(1)) \mbox{ as } t\nearrow T.\end{equation*}$

•线性理论

我们从外问题 (4.14) 开始, 考虑

(4.19) $ \begin{equation}\begin{cases}\psi_t=\Delta \psi+ f, &{\mbox{ 在 }}\Omega\times (0,T),\\\psi=0, &{\mbox{ 在 }}\partial \Omega\times (0,T),\\\psi(x,0)=0, &{\mbox{ 在 }}\Omega,\\\end{cases}\end{equation}$

其中 (4.19) 式中的非齐次项 $f$ 假设关于外问题 (4.14) 中出现的权是有界的. 于是定义权函数

(4.20) $ \begin{equation}\begin{cases}\varrho_1:=\lambda_*^{\nu-3}(t)R^{-2-\alpha}(t)\chi_{\{|x-\xi(t)|\leq 2\lambda_* R\}},\\\varrho_2:=\frac{\lambda_*^{\nu_2}}{|x-\xi(t)|^2}\chi_{\{|x-\xi(t)|\geq \lambda_* R\}},\\\varrho_3:=1,\\\end{cases}\end{equation}$

其中我们选择 $R(t)=\lambda_*^{-\beta}(t)$, $\beta\in(0,1/2)$. 我们定义范数

(4.21) $ \begin{equation}\|f\|_{**}:=\sup_{(x,t)\in \Omega\times(0,T)} \left(\sum\limits_{i=1}^3 \varrho_i(x,t)\right)^{-1}|f(x,t)|,\end{equation}$

(4.22) $\begin{aligned}\|\psi\|_{*}:=& \frac{\lambda_*^{1-\nu}(0)R^{\alpha}(0)}{|\log T|}\|\psi\|_{L^{\infty}(\Omega\times(0,T))}+\frac{\lambda_*^{2-\nu}(0)R^{1+\alpha}(0)}{|\log T|}\|\nabla\psi\|_{L^{\infty}(\Omega\times(0,T))}\\& +\sup_{(x,t)\in \Omega\times(0,T)}\left[ \frac{\lambda_*^{1-\nu}(t)R^{\alpha}(t)}{|\log(T-t)|}\left|\psi(x,t)-\psi(x,T)\right|\right]\\& +\sup_{(x,t)\in \Omega\times(0,T)}\left[\frac{\lambda_*^{2-\nu}(t)R^{1+\alpha}(t)|}{|\log (T-t)|}\left|\nabla\psi(x,t)-\nabla\psi(x,T)\right|\right]\\& +\sup_{\Omega\times I_T} \frac{\lambda_*^{2\gamma+1-\nu}(t_2)R^{2\gamma+\alpha}(t_2)}{(t_2-t_1)^{\gamma}} |\psi(x,t_2)-\psi(x,t_1)|,\end{aligned}$

其中 $\nu,\alpha,\gamma\in(0,1)$, 最后一个上确界取自

$\Omega\times I_T=\left\{(x,t_1,t_2): x\in\Omega, 0\leq t_1\leq t_2\leq T, t_2-t_1\leq \frac{1}{10}(T-t_2)\right\}.$

对于问题 (4.19), 我们有如下估计.

命题 4.1 [附录 A],[命题 1] 设 $\psi$ 是问题 (4.19) 的解, 且 $\|f\|_{**}<+\infty$. 则成立

$ \begin{equation*}\|\psi\|_*\lesssim \|f\|_{**}.\end{equation*}$

命题 4.1 是通过仔细估计具有不同右端项的 Duhamel 公式而建立的.

为了求解内问题 (4.11), 我们考虑对应的线性问题

(4.23) $ \begin{equation}\lambda^{2} \phi_t=\Delta_y \phi+3U^{2}(y) \phi+h(y,t) {\mbox{ 在 }} \mathcal D_{2R}.\end{equation}$

回忆线性化算子 $L_0=\Delta +3U^{2}$只有一个正特征值 $\mu_0$, 使得

$L_0(Z_0)=\mu_0 Z_0, Z_0\in L^{\infty}(\mathbb R^4),$

其中对应的特征函数 $Z_0$ 是径向对称的, 且具有渐近行为

$ \begin{equation*}\label{decay-Z_0}Z_0(y)\sim |y|^{-3/2}{\rm e}^{-\sqrt{\mu_0}|y|}{\mbox{ 当 }}|y|\to+\infty.\end{equation*}$

类似于上一节的讨论, 这种不稳定性反映在需要仔细选择初值以确保解衰减良好. 因此, 我们考虑内问题 (4.11) 的关联线性 Cauchy 问题

(4.24) $ \begin{equation}\begin{cases} \lambda^2\phi_{t}=\Delta_y\phi + 3U^{2}(y)\phi + h(y,t), & {\mbox{ 在 }} \mathcal D_{2R}, \\ \phi(y,0)=e_0 Z_0(y), & {\mbox{ 在 }} B_{2R(0)},\end{cases}\end{equation}$

其中 $R=R(t)=\lambda_*^{-\beta}(t)$, $\beta\in (0,1/2)$.

另一方面, 抛物算子 $-\lambda^2\partial_t+L_0$ 显然不是可逆的, 因为 $L_0$ 的 5 维核 (参见 (4.4) 式) 中所有与时间无关的元素也属于 $-\lambda^2\partial_t+L_0$ 的核空间. 为了构造具有合适时空衰减的解, 我们将在正交条件

(4.25) $ \begin{equation}\int_{B_{2R}} h(y,t)Z_{\ell}(y){\rm d}y =0\quad \forall\ell=1,\cdots,5, t\in(0,T).\end{equation}$

下构造问题 (4.24) 的解 $(\phi,e_0)$.定义

(4.26) $ \begin{equation}\|h\|_{\nu,2+a}:=\sup_{(y,t)\in \mathcal D_{2R}} \lambda_*^{-\nu}(t)(1+|y|^{2+a})\left[|h(y,t)|+(1+|y|)|\nabla h(y,t)|\right].\end{equation}$

这种解的构造是通过使用球谐函数将方程分解为不同的频率来实现的. 考虑由 $L^2(\mathbb{S}^{3})$ 中的球谐函数构成的正交基 $\{\Theta_i\}_{i=0}^{\infty}$, 即

$\Delta_{\mathbb{S}^{3}}\Theta_i+\lambda_i \Theta_i=0 {\mbox{ 在 }} \mathbb{S}^{3}$

其中 $0=\lambda_0<\lambda_1=\cdots=\lambda_4=3<\lambda_5\leq\cdots.$ 更精确地说, $\Theta_0(y)=a_0, \Theta_i(y)=a_1y_i, i=1,\cdots,4$, 其中 $a_0$, $a_1$ 是两个常数, 且

$\lambda_i=i(2+i) \mbox{ 其重数为 } \frac{(3+i)!}{6i!} \mbox{ 对于 } i\geq 0.$

对于 $h\in L^2(\mathcal D_{2R})$, 我们分解

$ \begin{equation*}h(y,t)=\sum\limits_{j=0}^{\infty} h_j(r,t)\Theta_j(y/r), r=|y|, h_j(r,t)=\int_{\mathbb{S}^{3}} h(r\theta,t)\Theta_j(\theta){\rm d}\theta\end{equation*}$

并记 $h=h^0+h^1+h^{\perp}$, 其中

$h^0=h_0(r,t), h^1=\sum\limits_{j=1}^4 h_j(r,t)\Theta_j, h^{\perp}=\sum\limits_{j=5}^{\infty} h_j(r,t)\Theta_j.$

类似地, 我们也将 $\phi$ 分解为 $\phi=\phi^0+\phi^1+\phi^{\perp}$ 的形式. 那么寻找问题 (4.24) 的解等价于在各个 Fourier 频率中寻找 $(\phi^0,h^0), (\phi^1,h^1), (\phi^{\perp},h^{\perp})$.

内部问题的关键线性结果如下所述.

命题 4.2 给定常数 $a,\nu,\nu_1\in(0,1)$, $a_1\in(1,2)$. 对于充分小的 $T>0$ 和任何满足 $\|h\|_{\nu,2+a}<+\infty$, $\|h^1\|_{\nu_1,2+a_1}<+\infty$ 以及正交条件 (4.25) 的 $h(y,t)$, 存在一对 $(\phi,e_0)$ 求解 (4.24), 且 $(\phi,e_0)=(\phi[h],e_0[h])$ 定义了 $h(y,t)$ 的一个线性算子, 满足估计

$ \begin{equation*}\begin{aligned}&\quad|\phi(y,t)|+(1+|y|)|\nabla \phi(y,t)|\\&\lesssim \frac{\lambda_*^{\nu}(t) R^{\delta} } {1+|y|^a}\|h^0\|_{\nu,2+a} +\frac{\lambda_*^{\nu_1}(t)}{1+|y|^{a_1}}\|h^1\|_{\nu_1,2+a_1}+\frac{\lambda_*^{\nu}(t)}{1+|y|^a}\|h^{\perp}\|_{\nu,2+a}\\\end{aligned}\end{equation*}$

以及

$ \begin{equation*}|e_0[h]|\lesssim \|h\|_{\nu,2+a}\end{equation*}$

在命题 4.2 的证明中, $0$ 频和更高频可以通过类似于文献 [56,命题 7.1] 中细致的二次粘合过程来完成. 较为粗糙的版本可在文献 [7,命题 7.1] 中找到. $1$ 频是通过爆破论证得到的. 限制 $a_1\in(1,2)$ 是为了保证 $1$ 频的爆破论证中的可积性.

如果我们定义范数

(4.27) $ \begin{equation}\|\phi^0\|_{*,\nu,a,\delta}:=\sup_{(y,t)\in \mathcal D_{2R}} \lambda_*^{-\nu}(t) R^{-\delta}(1+|y|^a)\left[|\phi^0(y,t)|+(1+|y|)|\nabla \phi^0(y,t)|\right],\end{equation}$

那么命题 4.2 意味着

$\|\phi^0\|_{*,\nu,a,\delta}\lesssim \|h^0\|_{\nu,2+a}.$

在求解内-外粘合系统时, 我们将使用范数 (4.27).

以下谱隙在证明上述命题中起着关键作用, 事实上, 我们有

引理 4.1 对于充分大的 $R$ 和任意径向对称的 $\varphi\in H_0^1(B_R)$ 且满足 $\int_{B_{2R}}\varphi Z_0=0$, 存在一个与 $R$ 无关的正常数 $\gamma$ 使得

$ \begin{equation*}\int_{B_{2R}} \left(|\nabla \varphi|^2-pU^{p-1}\varphi^2 \right) \geq \gamma\left\{\begin{aligned}&\frac{1}{R^2}\int_{B_{2R}}\varphi^2, & {\mbox{ 对于 }} n=3,\\&\frac{1}{R^2\log R}\int_{B_{2R}}\varphi^2, &{\mbox{ 对于 }} n=4,\\&\frac{1}{R^{n-2}}\int_{B_{2R}}\varphi^2, &{\mbox{ 对于 }} n\geq 5.\\\end{aligned}\right.\end{equation*}$

与上一节的讨论类似, 有了命题 4.1 和命题 4.2, 就可以相应地设计内、外问题的加权空间, 随后利用不动点论证证明解的存在性. 需要指出的是, 由于关于 $\lambda(t)$ 的非局部问题的求解会更加复杂, 在此不再赘述, 可参考文献 [12,命题 6.5] 和文献 [22].

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

Ageno

, del

Pino M

Infinite time blow-up for the three dimensional energy critical heat equation in bounded domains

Math Ann, 2025, 391(1): 1-94