本文将研究下面一类带有临界增长与对数非线性项的退化椭圆边值问题

其中 $ \xi=(z,t)=(x,y,t)\in\Omega \subset \mathbb{H}^N $, $ \Omega $ 为有界域, $ \lambda>0 $. 这里的 $ \Delta_{\mathbb{H}} $ 表示 Heisenberg 群 $ \mathbb{H}^N $ 上的 Kohn-Laplace 算子, $ \mathbb{H}^N $ 上的基础流形为 $ \mathbb{R}^{2N+1} $. $ Q=2N+2 \geq 4 $ 表示 $ \mathbb{H}^N $ 上的齐性维数.

事实上, 自 1987 年 Jerison 和 Lee 在文献 [11] 中证明了临界方程

解的唯一性, Heisenberg 群上的偏微分方程, 尤其是 Brézis-Nirenberg 型的方程受到了越来越多学者的关注. Garofalo-Lanconelli^[10] 在 1992 年研究了下面一类半线性方程

这里 $ \Omega $ 是 $ \mathbb{H}^N $ 上的一个开子集 (有界或无界). 作者证明了在某些条件下 (如非线性项 $ f(u) $ 满足适当的增长条件), 方程存在非平凡解. 同时, 作者还证明了在非线性项增长过快或方程具有某种对称性时方程不存在非平凡解. 接着, Zhang-Niu 在文献 [21] 中再次研究了方程 (1.3). 作者用 Leray-Schauder 度理论验证了当 $ f(u)=f((z,t),s):\Omega \times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}_+ $ 为 Caratheodory 连续, 并且满足增长性条件

此时方程 (1.3) 存在正的弱解. 在这里, $ a, c_1, c_2>0 $ 为常数, $ 1<\alpha<\frac{Q+2}{Q-2} $. 随后, 在文献 [18] 中, 作者借助 Pohozaev 恒等式证明了半空间 $ \Omega $ 上 Dirichlet 问题

非负非平凡弱解的不存在性. 接着, Wang 也在文献 [19] 中探究了在 $ \lambda>0 $ 的一定范围下, 下述临界退化方程正解的存在性

这一结果是对 Brézis-Nirenberg 在文献 [3] 中欧氏空间结果下的一个推广.

近几十年来, 带有对数扰动项的凹凸非线性方程因其较强的物理背景以及实际意义而被学者们关注. 这样一类方程开始很自然地出现在核物理, 量子力学, 量子光学, 膨胀宇宙学, 输运和生物扩散现象等领域 (参见文献 [4-6,22] 以及他们的参考文献). 同时, 一部分学者也将变分方法应用到对数非线性方程中, 尝试探索这一类方程正解, 基态解, 径向解, 非径向解, 多解以及解的正则性问题, 具体可以参考文献 [7,8,15-17,20] 等文献. 事实上, 区别于经典的扰动项, 对数非线性项不满足单调性条件, 增长性条件和 Ambrosetti-Rabinowitz 条件, 并且函数 $ s\log s^2 $ 在 $ s\in(0,+\infty) $ 上是变号的, 对这类方程的研究要更加困难. 因此需要借助如下的不等式: 对于 $ \delta>0 $, 有

其中 $ C_\delta>0 $ 是一个与 $ \delta $ 有关的常数. 基于这些结果, 我们想要探究带有对数型扰动项的临界退化方程正解的存在性, 下面为主要结果.

定理 1.1 对于 $ N\geq 1 $, $ \lambda>0 $, 方程 (1.1) 存在一个正基态弱解 $ u(\xi) $.

参考经典的临界 Brézis-Nirenberg^[3] 方程解的存在性, 对数非线性项的出现对方程解的存在性起到了一定的影响, 在某些条件下扩大了解存在的范围, 这是非常有意义的.

接下来, 在第二节中, 我们先回顾 Heisenberg 群上的基本记号与必要的预备知识, 并整理证明所需的若干命题与引理. 第三节将围绕能量泛函的各个组成部分建立关键估计, 并给出核心引理. 最后在第四节中完成定理 1.1 的证明.

在本节中, 我们先介绍一下 Heisenberg 群的基本知识以及相关结论.

Heisenberg 群 $ \mathbb{H}^N \simeq \mathbb{C}^N \times \mathbb{R} $ 是在基础流形 $ \mathbb{R}^{2N+1} $ 上赋予运算法则

所得的 Lie 群, 其中, $ x=(x_1, \cdots, x_n) $, $ y=(y_1, \cdots, y_n) \in \mathbb{R}^N $, $ t\in \mathbb{R} $.

对于 $ s>0 $, $ \xi=(z,t)=(x,y,t) \in \mathbb{H}^N $, Heisenberg 群上的一组自然变换为

因此 $ \delta_s(\xi_0 {\scriptstyle \circ} \xi) = \delta_s(\xi_0) {\scriptstyle \circ} \delta_s(\xi) $.

Heisenberg 群上的左不变向量场定义为

在这里 $ j \in (1, \cdots, N) $. 由此向量场可以诱导出 $ \mathbb{H}^N $ 分层的 Lie 代数结构. 此外, $ \mathbb{H}^N $ 上梯度和 Kohn-Laplace 算子分别定义为

和

众所周知, $ \Delta_{\mathbb{H}} $ 是一个次椭圆算子, 满足下述 Vázquez 型强极值原理.

命题 2.1^[1] 令 $ X=(X_1,X_2,\cdots,X_m) $ 是定义在区域 $ \Omega \subset \mathbb{R}^N $ 上的一族光滑向量场, 并且满足 Hörmander 条件, 那么对于 $ \Omega $ 上的问题

这里 $ D_{\mathcal{X}} $ 表示 $ u $ 的 $ \mathcal{X} $-梯度 $ (X_1 u,X_2 u,\cdots,X_m u) $, 算子 $ \mathcal{F} $ 和 $ H $ 的定义见文献 [第四页], 那么对于方程 (2.2) 满足下半连续的非负上解 $ u $, 一定有 $ u\equiv 0 $, 或者是 $ u>0 $ 在 $ \Omega $ 内成立.

同时, 在 $ \mathbb{H}^N $ 中, 原点记为 $ (0,0) $, 对任意的点 $ \xi=(z,t) \in \mathbb{R}^{2N+1} $, 我们用

来表示 $ \mathbb{H}^N $ 上的齐性范数, 其中 $ |\cdot| $ 为 $ \mathbb{R}^{2N} $ 上的欧式范数. 记 $ \xi^{-1} $ 为 $ \xi $ 的逆, 则任意的 $ \eta, \xi \in \mathbb{H}^N $ 之间的距离可以定义为

接着, 记 $ B_R(\xi_0) $ 是空间 $ \mathcal{D}_0^{1}(\Omega) $ 上半径为 $ R $, 球心为 $ \xi_0 $ 的开球, 即

这里 $ \mathcal{D}_0^{1}(\Omega) $ 的定义如下所示.

Heisenberg 群 $ \mathbb{H}^N $ 上带权的 Sobolev 空间 $ \mathcal{D}^{1}(\Omega) $ 定义为

空间 $ \mathcal{D}_0^{1}(\Omega) $ 定义为 $ \mathcal{C}_0^{\infty}(\Omega) $ 空间在 $ \mathcal{D}^{1}(\Omega) $ 上的闭包, 并且其范数定义为

通过文献 [9] 知道 $ \mathcal{D}_0^{1}(\Omega) $ 空间为 Hilbert 空间, 并且 $ \mathcal{D}_0^{1}(\Omega) \hookrightarrow L^p(\Omega) $ 在 $ 1\leq p<2_{\mathbb{H}}^* $ 上为紧嵌入, 在 $ p=2_{\mathbb{H}}^* $ 时的嵌入仅仅为连续的. 在这里, $ 2_{\mathbb{H}}^*=\frac{2Q}{Q-2} $ 为 Heisenberg 群 $ \mathbb{H}^N $ 上的 Sobolev 临界指数. 在这种紧性缺失的情况下, 需要借助如下 Sobolev 不等式

命题 2.2^[13]

其中, $ 2_{\mathbb{H}}^*=\frac{2Q}{Q-2} $ 为 Heisenberg 群 $ \mathbb{H}^N $ 上的 Sobolev 临界指数, $ S_{\mathbb{H}}>0 $ 是使得下式成立的最大常数, 也就是最佳 Sobolev 常数

不等式 (2.6) 的极值函数与引言中提到的临界退化椭圆方程 (1.2) 密切相关. 1987 年, Jerison-Lee^[11,12] 证明了方程解的唯一性, 还给出了方程 (1.2) 的唯一解, 或者说 (2.5) 式所对应的极值函数表达式

此外, 对于这里给出的极值函数 $ U $, 有如下引理.

引理 2.1 对于上述 (2.7) 式给出的极值函数 $ U(\xi)=U(z,t) $, 有

也就是说, 存在常数 $ C_1, C_2>0 $ 使得

证 上述估计已由 Bonfiglioli-Uguzzoni 在文献 [2] 中证明.

下面, 我们先给出方程 (1.1) 所对应的能量泛函 $ E:\mathcal{D}_0^{1}(\Omega) \rightarrow \mathbb{R} $ 的表达式

由于 $ \Omega\subset \mathbb{H}^N $ 是一个有界区域, 再结合 (1.4) 式及 Sobolev 嵌入, 可以验证出变分泛函 $ E(u) $ 在 $ \mathcal{D}_0^{1}(\Omega) $ 上是良定义的, 同时 $ E\in\mathcal{C}^{1} \big(\mathcal{D}_0^{1}(\Omega), \mathbb{R}\big) $. 因此对于任意 $ u, \varphi \in \mathcal{D}_0^{1}(\Omega) $, 即有

显然, 泛函 $ E $ 的临界点是方程 (1.1) 的弱解. 此外, 考虑如下泛函

反过来, 如果 $ u $ 是泛函 $ E_+ $ 的临界点, 那对于任意的 $ \varphi \in \mathcal{D}_0^{1}(\Omega) $, 有

同样地, 泛函 $ E_+ $ 的所有临界点都是方程 (1.1) 的非负解. 还要强调的是, 我们说 $ u\in \mathcal{D}_0^{1}(\Omega) $ 是方程 (1.1) 的基态解, 指的是 $ u $ 是使得泛函 $ E(u) $ 能量达到最小的解.

引理 2.2 如果 $ Q\geq 4 $, $ \lambda> 0 $, 那么泛函 $ E_+ $ 满足山路几何结构, 也就是说

(a) $ E_+(0)=0 $;

(b) 存在常数 $ \sigma $, $ \rho >0 $, 使得当 $ \|u\|_{\mathcal{D}_0^{1}(\Omega)}=\rho $ 时, $ E_+(u)>\sigma >0 $;

(c) 存在函数 $ v\in \mathcal{D}_0^1(\Omega) $, 使得当 $ \|v\|_{\mathcal{D}_0^{1}(\Omega)}>\rho $ 时, $ E_+(v)\leq 0 $,

其中 $ \|u\|_{\mathcal{D}_0^{1}(\Omega)} $ 由 (2.4) 式定义.

证 $ E_+(0)=0 $ 显然成立. 借助 (2.5) 式中给出的严格 Sobolev 型不等式, 对于 $ \lambda > 0 $ 以及 $ 0<\delta <\min\{2, 2_{\mathbb{H}}^*-2\} $, 存在 $ \sigma >0 $ 使得当 $ \| u\|=\rho>0 $ 很小时, 有

对于一个非零的函数 $ u\in \mathcal{D}_0^1(\Omega) $ 以及 $ u \geq 0 $ 几乎处处成立, 令 $ v:=tu $, $ t>0 $. 那么当 $ t>0 $ 非常大的时候, 就有

从而完成了证明.

引理 2.3 假设存在一串序列 $ \{u_{n}\}\subset \mathcal{D}_0^1(\Omega) $ 满足 $ u_{n}\rightharpoonup u $ 在 $ \mathcal{D}_0^1(\Omega) $ 中弱收敛, $ u_n \to u $ 在 $ \Omega $ 上几乎处处收敛. 那我们有

命题 2.3 $ Q\geq 4 $ 时, 若 $ \lambda > 0 $, $ c < \frac{1}{Q}S_{\mathbb{H}}^Q $, 那么 $ E(u) $ 和 $ E_+(u) $ 满足 $ (PS)_c^* $ 条件.

证 不失一般性地, 我们仅给出与泛函 $ E(u) $ 相关的证明, $ E_{+}(u) $ 的情况同理可得.

令 $ \{u_n\}\subset H_n $ 为 $ E $ 的一串 $ (PS)_c^* $ 序列, 也就是说, 当 $ n \rightarrow \infty $ 时, 可知

其中 $ H_n $ 为 $ \mathcal{D}_0^{1}(\Omega) $ 的有限维子空间, 并且满足

即 $ \bigcup_{n\geq 1}H_n $ 在 $ \mathcal D_0^{1}(\Omega) $ 中关于范数 $ \|\cdot\|_{\mathcal D_0^{1}(\Omega)} $ 是稠密的.

我们先来说明序列 $ \|u_n\|_{\mathcal{D}_0^1(\Omega)} $ 是有界的. 事实上, 根据 (2.9) 和 (2.10) 式, 当 $ n \rightarrow \infty $ 时, 我们有

和

接着由 (2.15) 和 (2.16) 式, 当 $ n $ 充分大时, 可以推出

也就说明 $ \|u_n\|_{2_{\mathbb{H}}^*}^{2_{\mathbb{H}}^*} \leq C + o_n(1)\|u_n\|_{\mathcal{D}_0^{1}(\Omega)} $. 再次借助 (2.16) 式, 当 $ n $ 足够大时, 我们有

那么就存在 $ C>0 $ 使得 $ \|u_n\|_{\mathcal{D}_0^{1}(\Omega)} \leq C $, 即说明 $ \{u_n\} $ 在 $ H_n $ 中是有界的. 从而, 存在子列仍记为 $ \{u_n\} $ 以及 $ u \in \mathcal{D}_0^1(\Omega) $ 使得

由于 $ (E|_{H_n})'(u_n) \rightarrow 0 $, 那么对于每一个 $ \varphi_k\in H_k $, 我们有

对 $ \varphi \in \mathcal{D}_0^1(\Omega) $ 以及任意 $ \varepsilon>0 $ 和足够大的 $ k_0 $, 存在 $ \varphi_{k_0}\in H_{k_0} $, 使得 $ \|\varphi-\varphi_{k_0}\|_{\mathcal{D}_0^1(\Omega)}\leq \varepsilon $, 因此有

令 $ \varepsilon\to 0, $ 就得到 $ \langle E'(u), \varphi \rangle =0 $. 这就推出 $ u $ 是方程 (1:1) 的一个弱解. 那么由此可得

由于 $ \langle E'(u_n), u_n \rangle \rightarrow 0 $, 根据引理 2.3 和 (2.14)-(2.16) 式, 不妨令 $ v_n=u_n-u $, 即有

和

因此可以假设当 $ n \rightarrow \infty $ 时, 有

借助 (2.5) 式中给出的 Sobolev 型不等式, 可以推断

若 $ l=0 $, 那么证明完成. 反之, 则有 $ l \geq S_{\mathbb{H}}^Q $. 将其与 (2.17) 和 (2.18) 式相结合, 对 $ \lambda > 0 $ 有

这与 $ c < \frac{1}{Q}S_{\mathbb{H}}^Q $ 相矛盾. 因此 $ l=0 $, $ u_n \rightarrow u $ 强收敛到 $ \mathcal{D}_0^1(\Omega) $ 并且 $ E(u) $ 满足 $ (PS)_c^* $ 条件.

事实上, 要证明方程 (1.1) 正基态解存在性, 核心在于借鉴 Brézis-Niernberg 在文献 [3] 中给出的方法, 证明方程所对应的山路水平值会小于非紧的能量门槛, 那就需要对能量泛函的各项进行估计, 下面展示具体过程并给出几个重要引理.

我们先回顾齐次群上关于径向函数的极坐标变换公式, 这在后面将会用到. 对于任意的 $ 0\leq r_1<r_2 $ 以及每个可测函数 $ f:[r_1,r_2]\rightarrow \mathbb{R} $, 有

这里的两个积分中至少有一个存在.

令 $ U(\xi) $ 为 Sobolev 不等式 (2.5) 所对应的极值函数 (2.7). 对于 $ \varepsilon>0 $, 缩放后的函数定义为

并且在 $ \mathbb{H}^N $ 中满足 $-\Delta_{\mathbb{H}} u =u^{\frac{Q+2}{Q-2}} $, 其中自然伸缩变换 $ \delta_{\frac{1}{\varepsilon}} $ 由 (2.1) 式给出. 同时有

对于所有的 $ \varepsilon>0 $ 成立. 由于 $ \Omega \cap \{x=0\} \neq \emptyset $, 不失一般性地, 我们可以假设 $ 0\in \Omega $. 取合适的小量 $ R>0 $ 满足

以及 $ \eta(\xi) \in \mathcal{C}_{0}^{\infty}(\Omega) $ 在 $ B_R(0) $ 上满足 $ \eta(\xi)=1 $, 在 $ B_{2R}(0) $ 上满足 $ 0 \leq \eta(\xi) \leq 1 $, 同时 $ \text{supp} (\eta(\xi)) \subset B_{2R}(0) $, 接着令

关于 (3.2) 式给出的 $ u_{\varepsilon}(\xi) $, 有如下估计.

引理 3.1 对 (3.2) 式定义的 $ u_{\varepsilon}(\xi) $ 以及 $ Q\geq 4 $, 当 $ \varepsilon \rightarrow 0^+ $, 我们有

上面出现的所有常数 $ C $ 都与 $ R $ 和 $ \varepsilon $ 无关.

证 具体的证明过程已经由 Loiudice 在文献 [14,引理 3.3] 中给出.

下面我们给出 $ Q\geq 4 $ 时对数非线性项的重要估计.

引理 3.2 对 (3.2) 式定义的 $ u_{\varepsilon}(\xi) $ 以及 $ Q> 4 $, 当 $ \varepsilon \rightarrow 0^+ $, 我们有

证 我们先回忆前面给出的齐次距离 $ d_{\mathbb{H}}(\xi)=(|z|^4 +t^2)^{\frac{1}{4}} $. 与 $ Q=4 $ 的情况相比, $ Q>4 $ 时的运算相对简单, 并且与 $ U(\xi) $ 的具体表达式无关. 我们的证明仅需要借助 (2.8) 式给出的渐近估计.

首先, 我们将 $ \log u_{\varepsilon}^{2} $ 分成如下所示的 $ \log \eta^{2}+\log U_{\varepsilon}^{2} $ 两项之和.

考虑到 $ \log\eta $ 在 $ B_R(0) $ 中等于 0, 以及当 $ 0 \leq t \leq 1 $ 时 $ |t^2 \log t^2| \leq C $, 我们有

这意味着

至于 $ A_2 $, 我们有

对 $ \delta \in (0,1) $, 借助 (1.4) 式, 得到

我们不妨取 $ \delta>0 $ 足够小, 那就有

因此得到

下面我们计算

由 (2.8) 式, 对于任意满足 $ (Q-2)(2-\varrho)> Q $ 的常数 $ \varrho $, 有

由于函数 $ U $ 在 $ B_{1}(0) $ 中有界, 我们推出 $ U(z,t) \in L^{2-\varrho}(\mathbb{R}^{2N+1}) $. 因此得到

另一方面, 也有

将 (3.8) 式与 (3.9)-(3.11) 式相结合, 即得

也就完成了引理 3.2 的证明.

引理 3.3 对 (3.2) 式定义的 $ u_{\varepsilon}(\xi) $ 以及 $ Q= 4 $, 当 $ \varepsilon \rightarrow 0^+ $, 我们有

其中 $ \bar{C}>0 $ 是一个与 $ \varepsilon $ 和 $ R $ 无关的常数, 并且当 $ R\rightarrow 0^+ $ 时, $ C(R)\rightarrow +\infty $.

证 由于对数扰动项本身的复杂性以及空间维数 $ Q=4 $ 的特殊性, 想要仿照我们在引理 3.2 中做的那样直接利用解 $ U(\xi) $ 在无穷远处的渐近估计, 对于完成证明是不可行的. 为了克服这一困难, 我们必须推导出下界估计中 $ \varepsilon^2|\log \varepsilon|^2 $ 项系数的精确系数, 这是本文的难点之一. 首先, 在 $ Q=4 $ 的情况下, $ U_{\varepsilon}(\xi) $ 有如下表达式

现在, 我们需要在齐次距离 $ d_{\mathbb{H}}(\xi)=(|z|^4+t^2)^{\frac{1}{4}} $ 下估计出 $ \int_{\Omega} u_{\varepsilon}^{2} \log u_{\varepsilon}^{2} \mathrm{d} \xi $ 的下界.

与 (3.7) 式类似地, 我们得到

对于 $ B_2 $, 我们有

估计 $ B_2 $ 的下界相当于要估计 $ B_3 $ 的下界与 $ B_4 $ 的上界. 具体为

以及 $ B_4=:B_5-B_6, $ 其中

接着根据不定积分理论, 我们有

$ B_{6} $ 的下界估计相对复杂, 需要通过加减项来完成. 具体可以写为

即

由于 $ \frac{1}{2}\leq \frac{|z|^{4}+t^{2}+\varepsilon^{4}}{(|z|^{2}+\varepsilon^{2})^{2}+t^2}\leq 1 $, 就有

以及

也就有

由 (3.13)-(3.17) 式看到, $ \varepsilon^2\log^2\varepsilon $ 项系数为 0, 从而得到

即完成本引理的证明.

接着, 在给出定理 1.1 的证明前, 我们先强调如下引理. 主要是借鉴 Brézis 和 Nirenberg 的思想, 证明山路水平值小于能量门槛, 从而得到正解的存在性.

引理 4.1 若 $ Q \geq4 $, $ \lambda>0 $, 那么存在函数 $ v \in \mathcal{D}_0^1(\Omega) $ 满足

证 由泛函 $ E_+ $ 的定义以及 $ E_+ \in \mathcal{C}^{1} \big(\mathcal{D}_0^{1}(\Omega),\mathbb{R}\big) $, 我们有

其中 $ u_{\varepsilon} $ 由 (3.2) 式定义, 同时有

将 (4.2) 和 (4.3) 式相结合, 可知存在 $ t_{\varepsilon}>0 $ 使得 $ E_+(t_{\varepsilon}u_{\varepsilon})=\max \limits_{t \geq 0}E_+(tu_{\varepsilon}) $. 自然地, 我们有 $ \frac{\rm d}{{\rm d}t} E_+(tu_{\varepsilon})\Big|_{t=t_{\varepsilon}}=0 $, 也就意味着

因而对于 $ \varepsilon>0 $ 充分小, 我们有

根据引理 3.1-3.3 的结果, 当 $ \varepsilon \to 0^+ $ 时, 我们有 $ \int_{\Omega} u_{\varepsilon}^{2} \mathrm{d} \xi, \int_{\Omega} u_{\varepsilon}^{2}\log u_\varepsilon^2 \mathrm{d} \xi\to 0 $. 因此,

令 $ t>0 $, $ g_1(t)=\frac{t^{2}}{2}-\frac{t^{2_{\mathbb{H}}^*}}{2_{\mathbb{H}}^*} $. 那么 $ g_1'(t)=0 $ 推出 $ t=1 $. 由于 $ 0<t<1 $ 时 $ g_1'(t)>0 $, $ t>1 $ 时 $ g_1'(t)<0 $, 因此 $ \max\limits_{t\in\mathbb{R}^+}g_1(t)=g_1(1)=\frac{1}{Q} $. 根据引理 3.1, 我们有

将 (4.6) 式, (4.7) 式, 引理 3.1-3.3 相结合, 我们可以推断出: 若选择一个更小的量 $ R $, 那么对于 $ \varepsilon \to 0^{+} $, 有

因此, 如果我们令 $ v=u_{\varepsilon} $, 并且 $ R $ 和 $ \varepsilon $ 很小, 那么 (4.1) 式的结果在 $ Q \geq 4 $ 都成立.

证 [定理 1.1 的证明] 由引理 2.2, 方程 (1.1) 所对应的能量泛函泛函 $ E_+ $ 在 $ \lambda>0 $ 下具有山路几何结构. 山路水平值可以定义为

其中, 在 $ \mathcal{D}_0^1 (\Omega) $ 中连接 $ 0 $ 和 $ \bar{R}u_{\varepsilon} $ 的连续路径集定义为

且 $ \bar{R}>0 $ 足够大, 使得 $ E_+(\bar{R}v)<0 $, 并且 $ v $ 由引理 4.1 所定义. 很显然的是, 路径 $ \gamma_{\varepsilon}(t)=tv $ 属于 $ \Gamma $, 其中 $ t\in [0, \bar{R}] $.

选择一串 $ (PS)_{\hat{c}_{\lambda}} $ 序列 $ \{u_n \} \subset \mathcal{D}_0^1 (\Omega) $, 使得

由命题 2.3, 对 $ \lambda>0 $ 与$ c<\frac{1}{Q}S_{\mathbb{H}}^{Q} $, 泛函 $ E_+ $ 满足 $ (PS)_c^* $ 条件. 再结合引理 4.1 和 (4.9) 式, $ \hat{c}_{\lambda}<\frac{1}{Q}S_{\mathbb{H}}^{Q} $, 同时存在 $ u \in \mathcal{D}_0^1 (\Omega) $ 使得 $ u_n \rightarrow u $ 在 $ \mathcal{D}_0^1 (\Omega) $ 中成立. 因此我们有

参考 (2.12) 式的定义, 我们可以推断出 $ u $ 是方程 (1.1) 的非平凡非负基态解. 最后, 利用命题 2.1 给出的强极值原理, 即可得出 $ u> 0 $, 定理 1.1 得证.