定常 Navier-Stokes (Steady Navier-Stokes) 方程是描述粘性不可压缩流体运动的基本方程, 它的形式如下

其中 $u$ 表示流体的速度场, $p$ 表示压力, $f$ 为外力. 该方程组的一个重要性质是其尺度不变性 (scaling invariance). 具体而言, 对于任意 $\lambda > 0$, 若 $(u, p, f)$ 是方程组 (1.1) 的解, 令

则经过缩放后的函数组 $(u_\lambda, p_\lambda, f_\lambda)$ 也满足方程组 (1.1). 如果解满足 $(u_\lambda, p_\lambda) = (u, p)$ 对所有 $\lambda > 0$ 成立, 则称该解为自相似解 (Self-Similar Solution). 自相似解在理解 Navier-Stokes 方程解的奇点结构以及远场渐近行为方面起着至关重要的作用, 具体可参考文献 [2,15,21].

对于外力 $f=0$ 的情形, Navier-Stokes 方程 (1.1) 的自相似解的存在性与刚性 (Rigidity) 已被广泛研究. 例如, Jeffery 和 Hamel 早在 1915 年和 1917 年就给出了二维定常 Navier-Stokes 方程的一族显式自相似解, 现如今被称为 Jeffery-Hamel 解^[12,13]. Landau 在 1944 年给出了三维定常 Navier-Stokes 方程的一类显式自相似解, 这类解现在被称为 Landau 解^[17]. 随后的研究表明, 自相似解往往受到严格限制或表现出特定的刚性. 比如在二维时, 自相似解一定是 Jeffery-Hamel 解(参见[11,27]). 对三维定常 Navier-Stokes 方程, Tian 和 Xin 证明了轴对称自相似解一定是 Landau 解^[28]; 最近, Šverák 进一步证明了自相似解一定是 Landau 解^[27]. 在适当的小性条件下, Landau 解被证明可以作为具有 $O\left(1/|x|\right)$ 衰减速率的解在无穷远渐近展开的主项 (参见文献 [15]), 也可以作为在原点具有$O\left(1/|x|\right)$ 奇性的解的主要奇性部分(参见文献 [21]). Li 等^[19]研究并刻画了三维定常 Navier-Stokes 方程在单位球面上具有奇点的自相似解.

值得注意的是, 在维数 $n\geq 4$ 时, 人们早已知道不存在非零的自相似解, 这一结果可参见[27,29]. 最近, 对维数 $n\geq 4$ 的情形, 在文献 [2] 中, 在不需要任何小性或者轴对称的假设条件下, 作者证明了所有满足 $|u(x)|\leq C/|x|$ 的解均为零解, 从而推广了关于高维自相似解的刚性定理.

当外力 $f \neq 0$ 且属于某尺度不变空间时, 人们还关心解在相应的尺度不变空间的存在性, 这包括 $L^n$, $L^{n, \infty}$, Besov 空间 $\left(\dot{B}_{p, q}^{-1+\frac{n}{p}}, 1 \leq p＜n, 1 \leq q \leq \infty\right)$. 目前的存在性结果主要集中在小解的情形, 可参见文献 [14,16,22,31]. 特别地, 如果外力 $f$ 足够小, 则对于 $n\ge3$, 方程 (1.1) 自相似解的存在性可由^[16,22] 中的结果得出. ^[16,22] 中的核心思想是在相应的尺度不变空间中使用压缩映射原理. 当 $n=2$ 时, 即使在小性条件下, 压缩映射原理也不能用来构造自相似解. 这不仅是技术上的障碍, 实际上, 最近在文献 [1] 中, 作者发现若存在自相似解, 则外力必须满足相容性条件 $\int_{-\pi}^{\pi}f^\theta {\rm d}\theta = 0$, 其中 $f^\theta$ 是外力 $f$ 的切向分量. 具体来说, 如果该条件不满足, 那么无论外力多小, 都不存在自相似解. 当该条件满足时, 可以证明存在无穷多个自相似解.

对于大外力情形下自相似解的存在性问题, 维数 $n=4$ 具有特殊意义, 因为此时 Dirichlet 能量泛函 $\int |\nabla u|^2$ 也是尺度不变的. Shi 利用四维特有的能量恒等式

给出关键的先验能量估计, 并利用紧性和 Leray-Schauder定理证明了四维空间中任意大外力下自相似解的存在性^[23]. 近期, Bang, Gui, Liu, Wang 和 Xie将这一结果推广到了高维情形^[1]. 他们证明了对于 $4 \le n \le 16$, 只要外力满足 $(-3)$-齐次性且局部 Lipschitz 连续, 定常 Navier-Stokes 方程至少存在一个自相似解. 他们的工作利用了径向速度 $u^r$ 与总压头 (Total Head Pressure) $H = \frac{1}{2}|u|^2 + p$ 之间的特殊关系, 结合球面上的极大值原理和自相似性带来的 "降维" 效应, 克服了高维情形下能量估计失效的困难.

自相似解满足对所有$\lambda > 0$ 都有 $ u_\lambda =u$. 然而, 在动力系统和湍流理论中, 一种更广泛的对称性——离散自相似性 (Discrete Self-Similarity, DSS) 同样具有重要意义. 离散自相似性仅要求对特定的尺度变换因子 $\lambda$ 满足尺度不变性, 即

对某一 $\lambda > 1$ 成立 (这当然蕴含 (1.3) 式对尺度变换因子 $\lambda^k, k\in \mathbb{Z}$ 也成立). 特别地, 解在环域 $B_{\lambda} \setminus B_1$ 上的行为通过缩放决定了其在整个空间的行为.

与连续自相似解相比, 离散自相似解允许通过引入周期性结构 (log-periodic oscillations) 来描述更复杂的流体形态.在物理上, 离散自相似性可以被视为连续尺度不变性发生破缺时的结果. 因此, 离散自相似解能够刻画那些被连续自相似性所排除的、具有对数周期振荡特征的丰富动力学行为^[10,24],在湍流级联等复杂现象中有很多应用[24,6.2 节]. 然而, 这也带来了分析上的挑战: 定常 Navier-Stokes 方程不能再通过变量分离简化为球面 $S^{n-1}$ 上的椭圆方程组, 而必须在环域 $\bar{B}_\lambda \setminus B_1$ 上作为耦合的椭圆方程组进行处理. 目前还没有大外力情形下离散自相似解存在性的研究结果.

在这一节我们简要回顾一下定常 Navier-Stokes 方程有限能量解的存在性的一些相关结果. 定常 Navier-Stokes 方程 (1.1) 的弱解的研究非常广泛, 自 Leray的工作^[18]以来, 有限能量解的存在性已在各种情形下被建立. 特别地, 由 Leray 的相关工作和论证方法可以在任意维数下得到属于 $H^{1}$ 的弱解的存在性 (参见文献 [第 2 章]). 对于当外力 $f$ 是光滑函数时解的正则性问题, 可以证明如果维数 $n\le4$, 那么 $H^1$ 中的弱解是正则的(参见文献 [9]). 在更高维数中, $H^1$ 中的弱解是否光滑仍然是一个公开问题.

在 20 世纪 90 年代, Frehse 和 Růžička 以及 Struwe 开启了高维定常 Navier-Stokes 方程光滑解存在性的研究([3-5,26]). 本文的分析受到了[5,26] 中发展的方法的启发. Frehse 和 Růžička^[5] 证明了, 在 $\mathbb{R}^{5}$ 中的有界区域上, 带有齐次 Dirichlet 边界条件的 Navier-Stokes方程 (1.1) 具有 "几乎正则" 的弱解. Struwe^[26] 通过建立解的 $C^{1}$ 先验估计, 证明了 $\mathbb{R}^{5}$ 和环面 $\mathbb{T}^{5}$ 上正则解的存在性. Frehse 和 Růžička^[3,4] 随后建立了维数 $n=5, 6$ 的 Dirichlet 问题正则解的存在性, 并建立了 $5\leq n\leq 15$ 时 $\mathbb{T}^{n}$ 上正则解的存在性. 最近, Li 和 Yang^[20] 将 $\mathbb{R}^{n}$ 上正则解的存在性从 $n=5$ 推广到了 $5\le n\le15$. 需要注意的是, 在上述工作中, 当区域为全空间 $\mathbb{R}^{n}$ 时, 外力 $f$ 被假设为光滑且具有紧支集, 以便标准的先验能量估计成立. 这使得[20,26] 中的结果无法应用于具有 $(-3)$-齐次或者离散自相似外力的情形 (实际上容易看出, 自相似解不属于任何的 $L^p(\mathbb{R}^n), 1 \leq p \leq \infty$).

本文旨在研究四维空间中带任意外力的定常 Navier-Stokes 方程离散自相似解的存在性. 我们的主要结果如下.

定理 1.1 设外力 $f$ 在 $\mathbb{R}^{4}\setminus\{0\}$ 上是离散自相似的, 即存在$\lambda>1$, 使得$f(x)= \lambda^3 f(\lambda x)$. 又设 $f$ 在 $\mathbb{R}^{4}\setminus\{0\}$ 上是局部 Lipschitz 连续的. 则我们有以下结果

(i) 定常 Navier-Stokes 方程 (1.1) 至少存在一个离散自相似解 $u$, 使得对于任意 $\alpha\in(0,1)$, $u \in C_{\mathrm{loc}}^{2, \alpha}\left(\mathbb{R}^{4} \backslash\{0\}\right)$ 且有

其中 $C>0$ 仅依赖于 $\alpha$, $\lambda$ 和 $\|f\|_{Lip(\bar{B}_\lambda \setminus B_1)}$.

(ii) 此外, 如果外力 $f$ 在 $\mathbb{R}^{4}\setminus\{0\}$ 上是光滑的, 那么我们构造的离散自相似解 $u$ 在 $\mathbb{R}^{4}\setminus\{0\}$ 上也是光滑的.

(iii) 存在一个绝对常数 $\epsilon>0$, 使得如果

则相应的离散自相似解在 $C^{2}(\mathbb{R}^{4}\setminus\{0\})$ 中是唯一的.

我们给出如下注记.

注 1.1 对于定理 1.1 中的存在性结果, 我们不需要 $f$ 的任何小性假设.

注 1.2 维数 $n=4$ 在建立基本的能量估计中起到非常关键的作用, 具体的信息可参见引理 2.3 的证明.

注 1.3 当 $n\ge4$ 时, Navier-Stokes 方程在 $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ 上满足 $|u(x)|\leq \frac{C}{|x|}$ 的解, 事实上在 $\mathbb{R}^n$ 上也满足 Navier-Stokes 方程 (1.1), 这是因为方程 (1.1) 的两边在原点附近都是局部可积的. 因此对于我们所考虑的离散自相似解, 其在分布意义下在 $\mathbb{R}^4$ 上满足 Navier-Stokes 方程 (1.1). 然而, 对于 $n=3$, 满足 $|u|\leq \frac{C}{|x|}$ 的解仅在 $\mathbb{R}^3\setminus\{0\}$ 上满足 Navier-Stokes 方程 (1.1), 若作为 $\mathbb{R}^3$ 上的分布来看, 方程右端项是 Dirac 测度的某个常数倍 (见文献 [21]).

和[1,23] 中关于高维自相似解存在性的工作类似, 我们采用首先给出先验估计然后应用 Leray-Schauder 不动点定理证明解的存在性的策略, 但针对离散自相似的几何结构进行了调整. 具体而言, 我们的证明包括以下四个关键步骤 (详见后文第 2 节和第 3 节)

1. $H^1$ 能量估计: 利用离散自相似性, 我们在环域 $\bar{B}_\lambda \setminus B_1$ 上建立能量不等式, 其中我们需要用到离散自相似函数的 Poincaré 型不等式;

2. 总压头的逐点估计: 为了获得解的正则性, 总压头 $H=\frac{1}{2}|u|^2+p$ 的 正部的 $L^\infty$ 估计至关重要. 受到文献 [6] 的启发, 我们构造了带有齐次边界条件的 Green 函数. 通过分析 Green 函数的积分性质并利用 $H$ 满足极值原理, 我们可以用外力和速度场的范数来给出 $H$ 的上界的逐点控制;

3. 正则性提升: 结合总压头 $H$ 的估计与椭圆方程的正则性理论, 我们通过 Bootstrap 方法提升速度场 $u$ 的正则性;

4. 证明解的存在性: 利用 Leray-Schauder 度理论和解的先验估计证明解的存在性.

本文的主要结构安排如下: 在第 2 节, 我们给出解的先验估计. 我们首先建立离散自相似函数的 Poincaré 型不等式, 然后给出解的能量估计. 通过构造带有齐次边界条件的 Green 函数, 我们给出 $H$ 的上界的逐点控制并以此提高 $u$ 的正则性估计. 在第 2 节, 我们利用 Leray-Schauder 度理论证明解的存在性.

本节主要证明四维定常 Navier-Stokes 方程解的能量估计和逐点估计. 我们首先根据 $u$ 的离散自相似性质证明压力 $p$ 也是离散自相似的. 为了证明能量估计, 我们将先建立离散自相似函数的 Poinc{a}ré 型不等式. 在得到能量估计之后, 我们引入相应的 Green 函数, 通过极值原理和 Green 函数的性质得到 $H_+$ 的估计. 从 $H_+$ 的估计出发, 我们可以得到 $u$ 的 $C^{2,\alpha}$ 估计.

引理 2.1 (压力 $p$ 的离散自相似性) 设 $f$ 是离散自相似的, 且 $f$ 在 $\mathbb{R}^{4}\setminus\{0\}$ 上是局部 Lipschitz 连续函数. 令 $u$ 为 Navier-Stokes 方程 (1.1) 在 $\mathbb{R}^{4}\setminus\{0\}$ 上分布意义下的离散自相似解, 且 $u \in C^{2}(\mathbb{R}^{4}\setminus\{0\})$. 那么对应的压强 $p \in C^{1}(\mathbb{R}^{4}\setminus\{0\})$ 在相差一个常数的意义下是唯一确定的, 并且可以选择为离散自相似的.

证 由文献 [7,引理 IV.1.1] 可知, 存在 $p\in C^1(\mathbb{R}^4\setminus\{0\})$, 使得方程组 (1.1) 在 $\mathbb{R}^4\setminus\{0\}$ 上成立. 我们注意到压强 $p$ 满足方程

因此 $p$ 可以表示为

其中 $h(x)$ 是 $\mathbb{R}^{4}\setminus\{0\}$ 上的一个调和函数. 我们将证明

由于 $u$ 是离散自相似解且 $u\in C^2(\mathbb{R}^4\setminus \{0\})$, 因此存在常数 $C$, 使得$ |u(x)|\leq \frac{C}{|x|}. $ 更进一步, 由 Stokes 方程的正则性理论可得

特别地, 存在一个常数 $C_0$, 使得 $|p(x)-C_0|\leq \frac{C}{|x|^2}$, (具体证明可见文献 [2,引理 2.1]). 由附录引理 1.1 可知, (2.2) 式右端的第一部分是离散自相似的, 且满足

因此, 我们有 $h(x)-C_0$ 也满足 $|h(x)-C_0|\leq \frac{C}{|x|^2}$. 另一方面, $h(x)-C_0$ 是 $\mathbb{R}^4\setminus\{0\}$ 上的调和函数, 从而存在一常数 $C_2$, 使得

或者说, 在整个 $\mathbb{R}^4$ 上,

由 Laplace 方程的 Liouville 定理可知, 存在常数 $C_1=\frac{C_2}{4\pi^2}$ 使得 (2.3) 式成立.

下面证明 $C_1=0$. 方程 (1.1) 左右两边都是 $(-3)$-次离散自相似, $(u, p)$ 事实上在整个 $\mathbb{R}^4$ 上按分布意义满足方程 (1.1). 因此, 方程 (2.1) 也在整个 $\mathbb{R}^4$ 上按分布意义成立. 若$C_1 \neq 0$, 则

令 $\varphi\in C_c^{\infty}(\mathbb{R}^4)$, 用向量场 $\nabla \varphi$ 作为 (1.1) 式的测试函数, 可得

另一方面, 在 (2.4) 式两边作用 $\varphi$ 可得

这是一个矛盾. 故 $C_1=0$, 且有

因此 $p(x)$ 相差一个常数的意义下是唯一确定的, 并且可以选择为离散自相似的.

在能量估计的证明中, 我们需要用到如下的关于离散自相似函数的 Poincaré 型不等式. 虽然我们只需用到 4 维的不等式, 但该不等式对 $n$ 维空间都成立. 我们叙述并证明 $n$ 维空间中的不等式.

引理 2.2 (离散自相似函数的 Poincaré 型不等式) 设 $\lambda > 1$. 令 $Y$ 为如下定义的离散自相似函数空间

则存在一个仅依赖于 $n$ 和 $\lambda$ 的常数 $C > 0$, 使得对于所有 $u \in Y$ 都有

证 我们采用反证法.

步骤 1 (构造矛盾序列) 假设不等式 (2.7) 不成立, 则对于每个正整数 $k $, 存在函数 $u_k \in Y$ 使得

通过归一化, 我们可以不失一般性地假设

因此, 结合反证假设, 我们有

步骤 2 (紧性与收敛性) 由 (2.9) 和 (2.10) 式可知, 序列 $\{u_k\}$ 在 Sobolev 空间 $H^1({B}_\lambda \setminus B_1)$ 中是一致有界的. 特别地,

由于环域 $\bar{B}_\lambda \setminus B_1$ 是具有 Lipschitz 边界的有界区域, 根据 Rellich-Kondrachov 紧嵌入定理, 嵌入映射 $H^1({B}_\lambda \setminus B_1) \hookrightarrow L^2({B}_\lambda \setminus B_1)$ 是紧的. 因此, 存在子列 $\{u_{k_j}\}$ 和极限函数 $u_\infty \in H^1({B}_\lambda \setminus B_1)$ 使得

1. $u_{k_j} $ 在 $L^2({B}_\lambda \setminus B_1)$ 中强收敛于 $ u_\infty$;

2. $\nabla u_{k_j} $ 在 $L^2({B}_\lambda \setminus B_1)$ 中弱收敛于 $\nabla u_\infty$.

步骤 3 (极限函数的性质) 由 $L^2$ 中的强收敛可知范数守恒

这意味着 $u_\infty$ 不是零函数 (即 $u_\infty \not\equiv 0$).

另一方面, 由弱收敛下范数的下半连续性以及 (2.10) 式可得

因此, 在 $\bar{B}_\lambda \setminus B_1$ 中几乎处处有 $\nabla u_\infty = 0$. 由于环域 $\bar{B}_\lambda \setminus B_1$ 是连通区域, 这意味着 $u_\infty$ 必须几乎处处为常数, 即

$u_\infty(x) \equiv C_0 \text{ 在$\bar{B}_\lambda \setminus B_1$上成立}, \quad \text{其中常数 } C_0 \neq 0.$

步骤 4 (与自相似性的矛盾) 由于每个 $u_{k_j}$ 都满足离散自相似条件 $u_{k_j}(\lambda x) = \lambda^{-1} u_{k_j}(x)$, 该性质在极限中 (几乎处处或在分布意义下) 保持不变. 因此, 极限常数 $C_0$ 必须满足

因为 $\lambda > 1$, 我们有 $1 - \frac{1}{\lambda} \neq 0$. 因此, 必然有 $C_0 = 0$.

然而, 这与之前得出的 $\|u_\infty\|_{L^2({B}_\lambda \setminus B_1)} = 1$ 相矛盾. 此矛盾说明初始假设是错误的, 因此不等式 (2.7) 成立.

这一节我们给出解的能量估计和高阶估计. 在具体的估计之前, 我们引入物理量--总压头 $H$. 设 $(u, p)$ 是 Navier-Stokes 方程的解, 定义总压头

我们接下来先利用引理 2.2 给出解的能量估计.

引理 2.3 设 $u$ 是 Navier-Stokes 方程 (1.1) 在 $\mathbb{R}^4\setminus \{0\}$ 上的离散自相似解, 且 $u\in C^2(\mathbb{R}^4\setminus$ $\{0\})$. 则有

其中 $C$ 是只依赖于 $\lambda$ 的常数.

证 对方程

两边同乘 $u$ 并在环域 $B_\lambda \setminus B_1$ 上积分. 经过分部积分后, 我们有

其中 $e_r$ 表示单位外法向, $\frac{\partial u}{\partial r}=\nabla u\cdot e_r$. 利用离散自相似性和关键的 $n=4$ 的条件可以发现上式中的边界积分刚好抵消掉, 因此我们有

由 (2.13) 式和引理 2.2 可得

因此

再次应用引理 2.2 可得

因此 (2.11) 式成立. 另一方面, 由 (2.5), (2.11) 式和附录引理 1.1, 可得关于 $p$ 的估计 (2.12).

接下来, 我们对 $H$ 的上界进行估计, 也就是估计 $H$ 的正部 $H_+=\max\{H,0\}$. 在得到 $H_+$ 的估计之后, $u$ 的 $L^\infty$ 估计将是经典结果的直接推论. 从 $L^\infty$ 估计结合靴带 (bootstrap) 论证方法, 我们可以得到 $u$ 的 $C^{2,\alpha}$ 估计. 对 $H_+$ 的估计将主要依赖于极值原理和 Green 函数的估计.

引理 2.4 设 $u$ 是 Navier-Stokes 方程组 (1.1) 在 $\mathbb{R}^4\setminus \{0\}$ 上的离散自相似解, 且 $u\in C^2(\mathbb{R}^4\setminus\{0\})$. 则有

其中, $C$ 为仅依赖于 $\|f\|_{\textrm{Lip}({B}_\lambda \setminus B_1)}$ 和 $\lambda$ 的常数.

证 不失一般性, 在接下来的步骤中我们假设 $\lambda=2$. 我们的证明分三步.

步骤 1 (引入 Green 函数进行逐点估计) 取定 $r$ 满足 $0< r < \frac{1}{2}$. 对于任意的 $x_0 \in B_2 \setminus B_1$, 构造 Green 函数 $G_h$, 满足以下方程

其中 $0< h\ll 1$, $\delta_{h, x_0} \in C^\infty$ 是满足如下的性质的 Dirac 函数 $\delta_{x_0}$ 的磨光逼近

$G_h$ 的存在性可由 Lax-Milgram 定理保证. 此外, $G_h$ 有如下性质

(1) $G_h \in C^2(B_r(x_0))$;

(2) $G_h(x) \ge 0$, \ $x\in B_r(x_0)$;

(3) $\{G_h\}$ 在空间 $L^{4}\left(B_{\frac{3}{4}r}(x_0) \setminus B_{\frac{1}{2}r}(x_0)\right) \cap W^{1, \frac{4}{3}-}(B_r(x_0)) \cap W^{1, 2}\left(B_{\frac{3}{4}r}(x_0) \setminus B_{\frac{1}{2}r}(x_0)\right)$中一致有界, 且一致上界仅依赖于 $\|f\|_{Lip(\bar{B}_2 \setminus B_1)}$, $\|u\|_{H^1({B}_2 \setminus B_1)}$.

上述关于函数 $G_h$ 的性质的证明可参考文献 [6].

步骤 2 ($H$ 的方程与积分估计) 注意到 $H$ 满足方程

选取一个光滑有紧支集的截断函数 $\zeta$ 满足

在方程 (2.16) 两边同乘测试函数 $G_h \zeta^2$ 并积分得

对左端项进行分部积分, 我们有

整理各项, 注意到 $-\Delta G_h - u \cdot \nabla G_h = \delta_{h, x_0}$, 我们有

因此, 结合不等式 (2.17) 我们有

由于当 $h\to 0$ 时 $\delta_{h, x_0} \to \delta_{x_0}$ 且在 $x_0$ 附近 $\zeta=1$, 故左端项极限为 $H(x_0)$. 我们只需证明不等式 (2.18) 右端关于 $h$ 一致有界.

步骤 3 (不等式 (2.18) 右端关于 $h$ 一致有界) 我们利用 Hölder 不等式及 $G_h$ 的性质对不等式 (2.18) 的右端进行逐项估计

(1). 第一项

(2). 第二项

(3). 第三项 (对流项)

(4). 第四项 (源项)

由于 $G_h$ 在相关区域上的上述范数是一致有界的, 且

因此 $H_{+}(x_0)$ 是有界的, 这就完成了引理 2.4 的证明.

在本节的最后, 我们给出 $u$ 的 $C^{2,\alpha}$ 估计. 我们先叙述一个经典结果.

命题 2.1 [命题 23] 对于 $n \ge 2$, $\gamma > \frac{n}{2}$, 以及 $f \in L^{\infty}(B_{1})$, 令 $(v,p)$ 为定常 Navier-Stokes 方程在 $B_{1} \subset \mathbb{R}^{n}$ 中的弱解

假设

那么存在一个依赖于 $n$, $C_{0}$ 和 $\gamma-\frac{n}{2}$ 的常数 $C>0$, 使得

现在我们可以给出 $u$ 的 $C^{2,\alpha}$ 估计.

命题 2.2 设 $f$ 是离散自相似外力, 即对某个 $\lambda>0$, $f(\lambda x) = \lambda^{-3}f(x)$, 且 $f$ 在 $\mathbb{R}^4\setminus \{0\}$ 上是局部 Lipschitz 的. 若 $u\in C^2(\mathbb{R}^4\setminus \{0\})$ 是定常 Navier-Stokes 方程 (1.1) 的离散自相似解, 则对任意的 $\alpha \in (0, 1), $ 我们有

其中 $C$ 仅依赖于 $\alpha$, $\lambda$ 以及 $\|f\|_{Lip(\overline{B}_\lambda\setminus B_1)}$.

命题 2.2 是引理 2.3, 引理 2.4 和命题 2.1 的推论, 具体证明可参见文献^[1].

基于第 2 节建立的先验估计, 我们在这一节利用 Leray-Schauder 度理论证明四维空间中离散自相似解的存在性. 我们先陈述如下的 Leray-Schauder 定理见文献 ([30,定理 7.12]).

定理 3.1 令 $X$ 为一个 Banach 空间, 且 $T$ 是一个从 $[0,1]\times X$ 到 $X$ 的紧映射. 如果方程 $T(0,x)=x$ 有且只有一个解, 并且存在一个常数 $M>0$, 使得对于所有满足 $T(s,x)=x$ 的 $(s,x)\in[0,1]\times X$, 都有 $||x||_{X}\le M$ 成立, 那么 $T(1,\cdot)$ 作为从 $X$ 映入其自身的映射, 至少拥有一个不动点.

现在我们应用定理 3.1 给出定理 1.1 的证明.

证 [定理 1.1 的证明] 我们将证明分为如下的四步.

步骤 1 (函数空间的选取和同伦映射的构造) 考虑四维空间 $\mathbb{R}^4 \setminus \{0\}$ 中的定常 Navier-Stokes 方程. 对给定的离散自相似外力 $f$, 我们想证明离散自相似解的存在性. 我们定义 Banach 空间 $X$ 如下

其范数为 $\|u\|_X = \|u\|_{C^{1,\alpha}(\bar{B}_\lambda \setminus B_1 )}$.

引入同伦参数 $s \in [0,1]$. 我们考虑如下一族带参数的方程组

这可以改写为含外力的 Stokes 方程的形式

设 $S$ 为 $\mathbb{R}^4 $ 上 Stokes 算子的逆算子 (即 $u$= $S(F)$ 是 $-\Delta u + \nabla p = F$ 的解). 定义映射 $T: [0,1] \times X \to X$ 为

那么, 寻找方程 (3.2) 的解 $u$ 等价于寻找映射 $T$ 的不动点: $u = T(s, u)$.

步骤 2 (存在性) 我们先利用 Leray-Schauder定理 (定理 3.1) 证明定理 1.1 中的存在性部分. 我们需要验证以下三个条件

(1) 映射的紧性; 令 $\Omega= B_\lambda \setminus B_1$. 对于任意有界序列 $v_k \in X$, 其在 $C^{1,\alpha}(\overline{\Omega})$ 中有界. 非线性项 $\text{div}(v_k \otimes v_k)$ 在 $C^{\alpha}(\overline{\Omega})$ 空间中有界. 根据 Stokes 算子 $S$ 的正则性估计^[8], $T(s, v_k)$ 在 $C^{2,\alpha}(\overline{\Omega})$ 中一致有界. 根据紧嵌入定理 $C^{2,\alpha}(\overline{\Omega}) \hookrightarrow C^{1,\alpha}(\overline{\Omega})$, 映射 $T$ 是从 $[0,1] \times X$ 到 $X$ 的紧映射.

(2) $s=0$ 时解的唯一性; 当 $s=0$ 时, 方程变为

由文献 [2] 中的结果可知, 对维数 $n\geq 4$ 时, 上述方程满足 $|u|\leq \frac{C}{|x|}$ 的解一定是平凡解. 特别地, 对于四维情形, 上述方程在 $X$ 中的解一定为平凡解 $u \equiv 0$. } 因此, $T(0, u) = u$ 只有唯一解 $u=0$.

(3) 一致先验估计. 一致先验估计由命题 2.2 给出.

由上述讨论可知, 映射 $T$ 满足 Leray-Schauder 度理论的所有假设条件. 因此, $T(1, \cdot)$ 在 $X$ 中至少存在一个不动点. 这证明了在四维空间中, 对于给定的局部 Lipschitz 连续的离散自相似外力 $f$, 存在至少一个离散自相似解 $u \in C_{\mathrm{loc}}^{2, \alpha}\left(\mathbb{R}^{4} \backslash\{0\}\right)$.

步骤 3 (正则性) 更进一步, 若 $f$ 是光滑的, 由 Stokes 方程解的正则性理论可知, 该离散自相似解 $u$ 在 $\mathbb{R}^4\setminus\{0\}$ 上也是光滑的.

步骤 4 (唯一性) 由文献 [16,定理 1.2] 可知, 存在一绝对常数 $\epsilon_0>0$, 使得 Navier-Stokes 方程 (1.1) 有且只有一个离散自相似解 $u(x)$ 满足

当 $\|f\|_{Lip(\bar{B}_\lambda \setminus B_1)}$ 足够小时, 由第二节和第三节中的先验估计可知, 其对应的解 $u$ 满足 (3.6) 式, 因此该离散自相似解是唯一的.

附录

在这个附录中, 我们给出一个关于离散自相似函数 Riesz 变换的 $ L^\beta$ 估计的引理. 该引理在引理 2.3 中证明压力 $p$ 的估计时起到重要作用.

引理 2.1 令 $g$ 为一个 $(-2)$-次离散自相似 (或 $(-3)$-次离散自相似) 函数, 即

对某个$\lambda>1$成立. 且 $g|_{S^{n-1}} \in L^{\beta}(S^{n-1})$, 其中 $1 < \beta < \infty$. 令 $T$ 表示 Riesz 变换. 那么 $Tg$也是 $(-2)$-次离散自相似的(或 $(-3)$-次离散自相似的). 此外, 存在一个依赖于 $n$, $\lambda$ 和 $\beta$ 的常数 $C(n,\lambda, \beta)$, 使得

证 我们先考虑$g$ 是 $(-2)$-次离散自相似的的情形, 此时根据定义很容易验证 $Tg$ 也是 $(-2)$-次离散自相似的. 定义 $L_{a}^{\beta}(\mathbb{R}^{n})$ 空间为

其中 $a(x) = a(|x|) = \frac{|x|^{2\beta-n+1}}{(1+|x|)^{2}}$. 我们先证明若 $g$ 是 $(-2)$-次离散自相似的且 $g|_{S^{n-1}} \in L^{\beta}(S^{n-1})$, 则 $\|g\|_{L_{a}^{\beta}(\mathbb{R}^{n})}$ 和 $\|g\|_{L^{\beta}(B_{\lambda}\setminus B_1)}$ 是等价的. 实际上, 直接计算有

一方面,

另一方面,

这说明存在 $C=C(n,\lambda, \beta)$, 使得

此外, 由于 $Tg$ 也是 $(-2)$-次离散自相似的, 同理可得

我们断言 $a(x)$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 上的一个 $A_{\beta}$ 权. 如果是这样, 利用 $L_{a}^{\beta}(\mathbb{R}^{n})$ 上的 Calderon-Zygmund 定理 (参见文献 [V 章]), 我们就有

结合 (A2) 和 (A3) 式就完成了当 $g$ 为$(-2)$-次离散自相似时 (A1) 式的证明.

现在我们证明 $a(x)$ 是 $\mathbb{R}^{n}$ 上的 $A_{\beta}$ 权. 只需证明对于任意 $x_{0} \in \mathbb{R}^{n}$, $0 < R < \infty$, 都有

其中 $M$ 是仅依赖于 $n$ 和 $\beta$ 的常数.

如果 $x_{0}=0$ 且 $0 < R < 2$, 我们有

另一方面,

结合 (A5) 和 (A6) 式可得 $x_{0}=0$ 且 $0 < R < 2$ 时的 (A4) 式.

如果 $x_{0}=0$ 且 $R \ge 2$, 我们有

另一方面,

结合 (A7) 和 (A8) 式, 我们证明了 $x_{0}=0$ 且 $R \ge 2$ 时的 (A4) 式.

如果 $x_{0} \ne 0$ 且 $R > \frac{1}{2}|x_{0}|$, 则 $B_{R}(x_{0}) \subset B_{3R}(0)$, 于是

结合上述 $x_{0}=0$ 的结果, 即可证明 $x_{0} \ne 0$ 且 $R > \frac{1}{2}|x_{0}|$ 时的 (A4) 式.

最后, 考虑 $x_{0} \ne 0$ 且 $0 < R \le \frac{1}{2}|x_{0}|$ 的情况.

如果 $|x_{0}| \ge 2$, 则对于任意 $x \in B_{R}(x_{0})$, 且 $2\beta-n+1 \ge 0$,

由此可以直接验证当 $x_{0} \ne 0$ 且 $0 < R \le \frac{1}{2}|x_{0}|$ 时 (A4) 式成立. 其他情况 (如 $|x_{0}| \ge 2$ 且指数小于 0, 或 $|x_{0}| < 2$ 的不同指数情况) 类似可得.

对于 $(-3)$-次离散自相似函数的证明几乎相同, 故省略. 引理证毕.