我们研究如下的 Hénon 型椭圆问题

其中 $\alpha > 0,\ \beta \geq 0,\ \lambda > 0,\ 0<q<1$, $B_1(0)$ 是 $\mathbb{R}^N$ 内的单位球, $N\geq 3$.

当 $\lambda = 0, f(u) = u^p$ 时, 上述方程变成了众所周知的 Hénon 方程

其中 $1 < p < \frac{N + 2 + 2\alpha}{N - 2}$. 上述问题由 Hénon^[13] 在研究旋转恒星结构模型中提出. Ni^[19] 首先应用变分的方法证明了在 $\Omega = B_1(0)$, $p \in\left(1, \frac{N + 2 + 2\alpha}{N-2}\right)$ 时, 问题 (1.2) 存在正径向对称解. 加权项 $|x|^\alpha$ 的出现给问题 (1.2) 的研究带来了许多新的现象. 2002 年Smets-Willem-Su^[23] 证明了在 $1 < p < \frac{N+2}{N -2}$ 的情况下, 当 $\alpha$ 足够大时, 上述问题存在一个非径向解. 当 $p = \frac{N + 2}{N-2}-\varepsilon$ 时, Cao-Peng^[9] 研究了基态解的渐近行为. 他们证明了当 $\varepsilon \rightarrow 0$ 时, 基态解在 $B_1(0)$ 的边界附近爆破. Peng^[20]证明了问题 (1.2) 存在多个边界峰值解. Wei-Yan^[24] 对 $\alpha > 0$ 时利用 Lyapunov-Schmidt约化方法构造了 (1.2) 的无穷多个非径向对称的正解. Byeon-Wang^[5,6] 系统研究了在不同条件下基态解的渐近行为, 特别地, 他们给出了在 $\alpha \rightarrow \infty$ 时其解在边界的集中性质. Cao-Peng-Yan^[8] 对 Hénon 方程在 $\alpha \rightarrow \infty$ 条件下基态解的渐近行为进行了精细的分析, 他们的研究结果揭示了基态的集中行为、对称性破坏以及能量估计. Hirano^[14] 证明了带临界 Sobolev 指标的 Hénon 方程正解的存在性. Serra^[22] 研究了 Hénon 方程在临界增长条件下的非径向正解的存在性.

对于超临界情况, 即 $p > \frac{2N}{N-2}$, 相对来说结果较少.Barutello-Secchi-Serra^[1] 证明了超临界 Hénon 方程存在正径向解. 应用 Pohozaev 恒等式^[21],在 $p \geq \frac{N + 2 + 2\alpha}{N-2}$ 时, 我们可以得到问题 (1.2) 没有非负解. 因此很自然会问在 $p \in \left(\frac{N+ 2}{N-2}, \frac{N +2+2\alpha}{N-2}\right)$ 时是否存在其他解. 由于 $H_0^1( B_1(0)) \nsubseteq L^p( B_1(0))$, 所以 (1.2) 式不存在变分结构. Liu-Peng^[18] 在 $p = \frac{N+2}{N-2} + \varepsilon$的条件下构造了 (1.2) 问题的多峰解. 其峰的数量随着参数 $\varepsilon$ 的变化而变化. 此外, 所有集中点都会接近单位球 $B_1(0)$ 的边界.当 $p_{\alpha} = \frac{N+2+2\alpha}{N-2}$ 且 $\varepsilon>0$ 足够小时, Gladiali-Grossi^[11] 研究了如下方程

当 $\varepsilon$ 足够小时, 该问题至少存在一个集中在原点的解.Liu-Luo-Xie^[17] 通过约化方法证明了在 $\varepsilon > 0$ 足够小时, 上述问题的单峰解具有非退化性和唯一性. 此外,Cao-Liu-Peng^[7] 研究了超临界 Hénon方程 (1.2) 存在集中在原点的变号的塔解. Figueroa-Neves^[10] 在单位球上研究了方程(1.3),对于足够小的 $\varepsilon >0$, 将 $\alpha$ 作为参数, 得到了非径向解的一个分支, 只要 $\alpha$ 接近正整数, 该分支就会从径向解中分叉出来.

关于更加一般的非线性项 $f(u)$, 问题 (1.1) 解的存在性也被广泛研究. 例如, 当 $q = 1$, $f(u) = u^{\frac{N + 2 + 2\alpha}{N - 2} }$. Gladiali-Grossi^[12] 研究了方程

当 $\varepsilon \rightarrow 0$ 时, 存在一个解在 $x = 0$ 处集中. Liu^[16] 在 $q = 1$, $f(u) = u^{\frac{N + 2 + 2\alpha}{N - 2} + \varepsilon}$ 时构造了集中在原点的塔解. Iturriaga-Santos-Ubilla^[15] 证明了当 $f(u)=u^p$, $1<p\leq \frac{N+2+2\alpha}{N-2}$, 问题 (1.1) 有解. 此外, 需要指出的是, 当 $\alpha = 0,\beta=0,q=1$, 问题 (1.1) 即著名的 Brezis-Nirenberg 问题^[4].

该论文我们拟研究在 $f(u)$ 更弱的条件下问题 (1.1) 解的存在性. 假设非线性 $f$ 满足

其中 $2_\alpha^*=\frac{2(N+\alpha)}{N-2}$.

定理 1.1 假设函数 $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 是一个满足条件 (1.4) 的连续函数. 那么存在一个 $\lambda_\ast > 0$ 使得对 $\lambda \in (0, \lambda_\ast)$, 问题 (1.1) 有一个正径向解 $u \in \ H_0^1( B_1(0)) \cap C^{1, \theta}(\overline{ B_1(0)}), \theta \in (0, 1)$.

注 1.1 此非线性函数不满足 Ambrosetti-Rabinowitz 条件或其他紧性条件. 相信本文的方法能被用来研究其他相关的非线性椭圆问题. 如果 $\alpha = 0$, 定理 1.1 的结论在 $\mathbb{R^N}(N \geq 3)$ 中的光滑有界域同样成立.

命题 2.1^[15] 假设

如果 $u \in H_{0,\text{rad}}^1( B_1(0))$ 是方程

的一个弱解, 那么对于任意 $0 < \theta < 1$, $u \in C^{1, \theta}( \overline{B_1(0)})$.

证 令 $u \in H_{0,\text{rad}}^1( B_1(0)) \cap W_0^{1,t}( B_1(0))$是方程 (2.1) 的一个弱解. 在 $N = 1, 2$ 时, 对于 $t \geq 1$, $x \mapsto f(x, u(x)) \in L^t( B_1(0))$ 并且 $N \geq 3$ 时, $w \in W^{2, \frac{2N}{2+N}} \cap W_0^{1, \frac{2N}{N+2}}( B_1(0))$. 当 $N \geq 3$ 时, 可得

由

可知 $x \mapsto|x|^{\frac{2 N_a}{n+2}}|u(x)|^{\frac{4 N_a}{(N-2)\left(N+2\right)}} \in L^{\infty}( B_1(0))$.

那么当 $N \geq 3$ 时, $x \mapsto f(x, u(x)) \in L^{\frac{2 N}{N+2}}( B_1(0))$.

令 $\omega$ 是方程 (2.1) 的强解. 由二阶椭圆算子的标准正则性理论, 当 $N=1,2$, $t \geq 1$, $\omega \in W^{2, t}( B_1(0)) \cap W_0^{1, t}( B_1(0))$, 当 $N \geq 3$, $w \in W^{2, \frac{2 N}{N+2}}( B_1(0)) \cap W_0^{1, \frac{2 N}{N+2}}( B_1(0))$.

另外 $w$ 径向对称. 对于任意 $\varphi \in C_{0, \operatorname{rad}}^{\infty}(\overline{B_1(0)})$, 有

令 $\psi \in C_{0, \operatorname{rad}}^{\infty}( B_1(0))$ 是一个任意的函数并且 $\varphi$ 是

的解, 则 $\varphi \in C_{c, \operatorname{rad}}^{\infty}(\overline{B_1(0)})$.

由 (2.2) 式可知 $\int_B(w-u) \psi \text{d} x=0,\ \forall \psi \in C_{c, \operatorname{rad}}^{\infty}( B_1(0)),$则$\int_0^1[w(r)-u(r)] \psi(r) r^{n-1} \text{d} r=0, \ \forall \psi \in C_c^{\infty}(0,1),$ 因此, $\text{在} B_1(0)$ 中 $w=u$.

由此可知 $u$ 是方程 (2.1) 的强解, 当 $N=1,2$, $t \geq 1$ 时, $u \in W^{2, t}( B_1(0)) \cap W_0^{1, t}( B_1(0))$, 当$N \geq 3, u \in W^{2, \frac{2 N}{N+2}}( B_1(0)) \cap W_0^{1, \frac{2 N}{N+2}}( B_1(0))$.当 $N \geq 3$, 由于 $W^{2, \frac{2 N}{N+2}}( B_1(0)) \hookrightarrow H_0^1( B_1(0))$, $u \in W^{2, \frac{2 N}{N+2}} \cap W_0^{1, \frac{2 N}{N+2}}$是方程 (2.1) 的强解, 并且在 $H_0^1( B_1(0))$ 中 $u$是方程 (2.1) 的弱解.

其中 $a(x)=C|x|^\alpha \frac{1+|u|^{\frac{N+2+2 \alpha}{N-2}}}{1+|u|}$,

由逐点估计, 可推断出 $x \mapsto|x|^{\frac{\alpha N}{2}}|u(x)|^{\frac{\alpha N}{N-2}} \in L^{\infty}( B_1(0))$. 因此 $a \in L^{\frac{N}{2}}( B_1(0))$. 由 Brezis-Kato 定理^[3]和 Moser 迭代可知对 $t\geq 1$ 有 $u \in W^{2, t}( B_1(0)) \cap W_0^{1, t}( B_1(0))$. 由文献 [3] 可知 $u$ 是方程 (2.1) 的强解. 进而由 Sobolev 嵌入定理可知对于任意 $0 < \theta < 1$, $u \in C^{1, \theta}(\overline{B_1(0)})$.

接下来考虑一个与 (1.1) 式相对应的近似问题. 为此, 用下面的利普希次函数 $f_k \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 接近 $f$.

其中 $F(t) = \displaystyle \int_{0}^{t}f(s)\text{d}s$.近似函数 $f_k(t)$ 有以下性质.

引理 2.1 设 $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 是连续函数, 对于 $t \in \mathbb{R}, tf(t) \geq 0$ 存在一个 $f_k \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 的连续函数序列, 满足

(1) 对于任何 $t \in \mathbb{R},\ tf_k(t) \geq 0$;

(2) 对于 $k \in \mathbb{N}$, 存在一个大于 0 的常数 $L_k$, 使得对每一个 $s,t \in \mathbb{R}$, $|f_k(s)-f_k(t)| \leq L_k|s-t|$;

(3) 在 $\mathbb{R}$ 的有界集合 $D$ 上 $f_k$ 一致收敛于 $f$.

证 (1) 由于 $tf(t)\geq 0 \ (\forall t \in \mathbb{R})$, 且根据 $f_k(t)$ 的定义容易得到结论 (1);

(2) 定义 $M_k = \sup \left\{|f(t)| \colon t \in \left[-k - \frac{1}{k}, k + \frac{1}{k}\right]\right\}$. 当 $0 \leq t \leq \frac{1}{k},-\frac{1}{k} \leq s \leq 0$ 时,

其中 $\varepsilon_1 \in\left[\frac{1}{k}, \frac{2}{k}\right], \varepsilon_2 \in\left[-\frac{2}{k}, \frac{2}{k}\right], \varepsilon_3 \in\left[-\frac{1}{k}, \frac{1}{k}\right]$.

当 $0 \leq \frac{1}{k},\frac{1}{k} \leq s \leq k$,

此时 $\varepsilon_1 \in\left[s, s + \frac{1}{k}\right], \varepsilon_2 \in\left[\frac{2}{k}, s + \frac{1}{k}\right], \varepsilon_3 \in\left[\frac{1}{k}, s\right]$.

当 $0 \leq t \leq \frac{1}{k}, s \geq k$,

此时 $\varepsilon_1 \in\left[\frac{2}{k}, k + \frac{1}{k}\right], \varepsilon_2 \in\left[\frac{1}{k}, k\right], \varepsilon_3 \in\left[k, k + \frac{1}{k}\right]$.

当 $0 \leq t \leq \frac{1}{k}, 0 \leq s \leq \frac{1}{k}$,

此时 $\varepsilon_1 \in\left[\frac{1}{k}, \frac{2}{k}\right]$;

(3) 根据 $f_k(t)$ 的特性, 只需证明 $D = [0, x]$ 或者 $D = [x_1, x_2]$ 的情况, 其中 $x, x_1, x_2 \geq 0$.

当 $D = [x_1, x_2]$ 时, 只需令 $k$ 足够大即可使得 $D \subseteq\left(\frac{1}{k}, k - \frac{1}{k}\right)$. 易得如果 $t \in D \subseteq\left(\frac{1}{k}, k - \frac{1}{k}\right)$, 则 $\exists \eta \in\left(t, t + \frac{1}{k}\right) \subseteq \left(\frac{1}{k}, k\right)$ 使得

因为 $D \subseteq\left[\frac{1}{k}, k-\frac{1}{k}\right]$, 所以 $f(t)$ 在 $D$ 内一致连续. 即, 对 $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$ 使得只要 $\left|x_1 - x_2\right| < \delta$, 就有 $\left|f\left(x_1\right) - f\left(x_2\right)\right|< \varepsilon.$只需令 $N = [\frac{1}{\delta}] + 1$, 则当 $n > N$ 时, $\forall t \in D, \exists \eta \in (t, t + \frac{1}{n})$ 使得$|\eta - t| < \frac{1}{n} < \delta \mbox{且} |f_n(t) - f(t)| = |f_n(\eta) - f(t)| < \varepsilon.$因此 $f_k(t)$ 在 $D$ 上一致收敛. 当 $D = [0, x]$, 考虑 $t \in [0, \frac{1}{k}]$, $f_k(t)=k^2\left[F\left(\frac{2}{k}\right)-F\left(\frac{1}{k}\right)\right]$. 根据 $tf(t) \geq 0$ 以及 $f(t)$ 的连续性, 易得 $f(0) = 0$.下证当 $k \rightarrow \infty$ 时, $\sup\limits_{t \in\left[0, \frac{1}{k}\right]}\left|f_k(t)-f(t)\right| \rightarrow 0$.

令 $\frac{1}{k} = m$, 则 $t \in [0, m]$, 当 $k \rightarrow \infty$ 时, $m \rightarrow 0$, 由泰勒展开可得

进而,

所以当 $k \rightarrow \infty$ 时, $\sup\limits_{t \in\left[0, \frac{1}{k}\right]}\left|f_k(t)-f(t)\right| \rightarrow 0$.

综上, 在 $\mathbb{R}$ 的有界集合 $D$ 上 $f_k$ 一致收敛于 $f$.

接下来研究 $f_k(t)$ 在接近 $t = 0, t \rightarrow \infty$ 时的增长函数.

引理 2.2 设 $f(t) \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 是一个满足条件 (1.4) 的连续函数. 则近似函数 $f_k(t)$ 满足

(1) 当 $|t| \geq \frac{1}{k}$ 时, $0 \leq tf_k(t) \leq C_{*}|t|^{2_{\alpha}^{\ast}}$;

(2) 当 $|t| \leq \frac{1}{k}$ 时, $0 \leq tf_k(t) \leq C_{*}|t|^{2}$,

其中 $C_\ast$ 是一个只与 $k$ 相关的常数.

证 我们分下面几步.

第一步 若 $\frac{1}{k} \leq t \leq k$, 存在 $\varepsilon \in\left[t, t + \frac{1}{k}\right]$ 满足

因此 $tf_k(t) = t f(\varepsilon)$. 由于 $t \leq \varepsilon \leq t + \frac{1}{k}$, $\frac{1}{k} \leq t \leq k$, 则 $tf(\varepsilon) \leq \varepsilon f(\varepsilon)$, $t + \frac{1}{k} \leq 2 t$. 因此

第二步 若 $t \geq k$, 存在 $\varepsilon \in \left[k, k + \frac{1}{k}\right]$ 满足

因此 $t f_k(t) = \frac{t}{\varepsilon} \varepsilon f(\varepsilon)$. 由于 $k \leq \varepsilon \leq k + \frac{1}{k}, k \leq t$, 则

第三步 若 $0 \leq t \leq \frac{1}{k}$, 存在 $\varepsilon \in \left[\frac{1}{k}, \frac{2}{k}\right]$ 满足

因此 $t f_k(t) = k t^2 f(\varepsilon)$. 由于 $0 \leq t \leq \frac{1}{k}$, 则

第四步 若 $-\frac{1}{k} \leq t \leq 0$, $\exists \varepsilon \in\left[-\frac{2}{k}, -\frac{1}{k}\right]$ 满足

因此 $tf_k(t) = -kt^2f(\varepsilon) = -\frac{kt^2}{\varepsilon} \cdot \varepsilon f(\varepsilon)$. 因为 $\varepsilon f(\varepsilon) \geq 0, k > 0, t^2 > 0, \frac{1}{\varepsilon} < 0$, 则

第五步 若 $-k \leq t \leq-\frac{1}{k}$, $\exists \varepsilon \in \left[t-\frac{1}{k}, t\right]$ 满足

因此 $tf_k(t) = tf(\varepsilon) = \frac{t}{\varepsilon} \cdot \varepsilon f(\varepsilon)$. 因为 $t < 0, \varepsilon f(\varepsilon) \geq 0, \varepsilon < 0$, 则

第六步 若 $t \leq -k$, $\exists \varepsilon \in\left[-k - \frac{1}{k}, -k\right]$ 满足

因此 $tf_k(t) = t f(\varepsilon) = \frac{t}{\varepsilon} \cdot \varepsilon f(\varepsilon)$. 因为 $t < 0, \varepsilon f(\varepsilon) \geq 0, \varepsilon<0$, 则

取 $C_* = 2^{2_\alpha^\ast}C_0$, 命题得证.

为了研究在一般非线性项下的问题 (1.1), 考虑以下的近似问题, 对于任何$k \in \mathbb{N}$,

此时 $f_k$ 定义及相关性质由引理 2.1, 引理 2.2 给出, $v^{+} = \max \{v, 0\}, v^{-} = v - v^{+}$, 应用 Galerkin 方法来解决近似问题解的存在性.

引理 3.1 存在 $\lambda^\ast \geq 0, K \geq 1$, 使得对 $ \lambda \in (0, \lambda_\ast)$, 当 $k \geq K $ 时, (3.1) 式有一个正径向解 $u_k \in H_{0, \operatorname{rad}}^1( B_1(0)) \cap C^{1, \theta}(\overline{B_1(0)})$, 此时 $\theta \in (0,1)$.

证 我们分下面几步.

第一步 有限维空间.

令 $W = \left\{w_1, w_2, w_3 \cdots, w_n, \cdots\right\}$ 是 $H_{0, \operatorname{rad}}^1( B_1(0))$ 的一个标准正交基, 对于任何正整数 $n$, 使$V_n = \operatorname{span}\left\{w_1, w_2, w_3, \cdots, w_n\right\},$是 $H_{0, \operatorname{rad}}^1( B_1(0))$ 的 $n$ 维子空间. 对于 $a = \left(a_1, \ldots, a_n\right) \in \mathbb{R}^n$, $|a|_n:= \left\| \displaystyle \sum_{i = 1}^n a_i w_i\right\|_{H_{0, \operatorname{rad}}^1( B_1(0))}$,定义了 $\mathbb{R}^n$ 中的一个范数.事实上, 令 $a^i = \left(a_1^i, \ldots, a_n^i\right) \in \mathbb{R}^n, i = 1, 2$ 并且令 $\lambda \in \mathbb{R}$, 则

(1) $\left|a^1+a^2\right|_n \leq\left|a^1\right|_n + \left|a^2\right|_n$,

(2)$\left|\lambda a^1\right|_n = |\lambda|\left|a^1\right|_n$,

(3)$\left|a^1\right|_n = 0 \Leftrightarrow a^1 = 0$,

可知 $\displaystyle \sum_{i = 1}^n a_i^1 w_i = 0$, 由唯一性可知 $a^1 = 0$. $\Leftarrow$ 显然成立.

由上述过程可定义赋范空间 $\left(V_n, \|\cdot\|_{H_{0, \operatorname{rad}}^1( B_1(0))}\right)$, 对于 $\forall a \in \mathbb{R}^n, v = \displaystyle \sum_{i = 1}^n a_i w_i$, 发现 $\|v\| = |a|_n$.

第二步 存在性.

定义函数

并且对于 $i = 1, 2,\cdots, n$ 有

那么, 存在 $\lambda^\ast > 0, K \geq 1, \rho > 0$, 使得对 $\forall \lambda \in \left(0, \lambda^*\right), \forall k \geq K$, $n \in \mathbb{N}, |a| = \rho$, 有 $\langle G(a), a \rangle \geq 0$, 其中 $\rho$ 是一个只与 $n$ 有关的正数. 证明如下

令 $v \in V_n,\ B_k^1 =\displaystyle \left\{x \in B_1(0) \colon |v| \geq \frac{1}{k} \displaystyle \right\}$ 并且 $B_k^2 = \displaystyle \left\{x \in B_1(0) \colon |v| < \frac{1}{k} \displaystyle \right\}$,

其中

$i = 1, 2$. 已知 $H_{0, \operatorname{rad}}^{1} ( B_1(0)) \subset L^{2_\alpha^*}\left(B_1(0), |x|^\alpha \text{d}x \right)$, 由引理2.2, 当 $|v| \geq \frac{1}{k}$ 时,$\begin{equation*} 0 \leq v f_k(v) \leq C_*|v|^{2^*_\alpha}.\end{equation*}.$

可得

这里 $C_1,C_2,C_3$ 都是只与 $N$ 有关的常数.

由引理 2.2, 当 $|v| \leq \frac{1}{k}$, $0 \leq v f_k(v) \leq c_*|v|^2$. 可以推断

其中 $|{B_1(0)}|$ 是这个单位球的体积. 因此

令 $\|v\| = \rho$, 并且令 $0 < \rho \leq \left(\frac{1}{2 C_1}\right)^{\frac{1}{2_\alpha^* - 2}}$, 则$0 < \rho^{2_\alpha^*-2} \leqslant \frac{1}{2C_1}, C_1 \rho^{2_\alpha^*} \leqslant \frac{\rho^2}{2},$ 因此 $\rho^2-C_1 \rho^{2^* _\alpha} \geq \frac{\rho^2}{2}$, 且

假设

则对于 $\lambda \in \left(0, \lambda^*\right)$,

选择足够大的 $K \geq 1$, 使得当 $k \geq K$ 时,

此时 $|a|_n = \|v\| = \rho$. 则对于任何 $n \in \mathbb{N}, $ 存在 $a \in \mathbb{R}^n$, 使得 $G(a) = 0$. $\exists a_k \in \mathbb{R}^n, \left|a_k\right| \leq \rho$ 使得对 $n \in \mathbb{N},\displaystyle \left\langle G\left(a_k\right), a_k\displaystyle \right\rangle=0$, 有 $v_n \in V_n$ 满足 $\left\|v_n\right\| \leq \rho$ 使得

由于 $V_n \subset H_{0, \operatorname{rad}}^1( B_1(0)), \displaystyle \left\|v_n\displaystyle \right\| \leq \rho$. $\{\left\|v_n\right\|\}$ 是 $H_{0, \operatorname{rad}}^1( B_1(0))$ 内的闭子集. 对于一些子序列, $\exists u_k \in H_{0, \operatorname{rad}}^1( B_1(0))$ 使得

由范数的弱下半连续性可知

因为 $W=\left\{w_1, w_2, \cdots, w_n \cdots\right\}$ 是 $H_{0, \operatorname{rad}}^1( B_1(0))$ 的一个标准正交基,对于任意 $u_k \in H_{0, \operatorname{rad}}^1( B_1(0))$, 存在唯一的一个子序列 $\left(a_{n k}\right)_{n \geq 1}$ 使得 $u_k=\displaystyle \sum_{j=1}^{\infty} a_{j k} w_j$, 则

令 $w = \left(u_k-\psi_n\right) $,

易知,

下证

由 $f_n$ 的连续性可知在 ${B_1(0)}$ 中 $f_k\left(v_n^{+}\right) \rightarrow f_k\left(u_k^{+}\right)$. 另一方面, 由条件 (1.4), 发现

则 $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \displaystyle \int_{\Omega} \nabla v_n \nabla w \text{d} x=0$, 其中 $ \displaystyle \left\{f_k\left(v_n^{+}\right)\displaystyle \right\}_{n = 1}^{\infty}$ 是 $L^{\frac{2_\alpha^*}{2_\alpha^* - 1}}\displaystyle \left({B_1(0)}, |x|^\alpha \text{d}x\displaystyle \right)$ 中的闭序列. 因为在 ${B_1(0)}$ 中 $f_k\left(v_n^{+}\right) \to f_k\left(u_k^{+}\right) $, 所以推断在 $L^{\frac{2_\alpha^*}{2_\alpha^* - 1}}\displaystyle \left({B_1(0)}, |x|^\alpha \text{d}x\displaystyle \right)$ 中 $f_k\left(v_n^{+}\right) \rightharpoonup f_k\left(u_k^{+}\right)$. 令 $K \in \mathbb{N}$, 则对 $n \geq k$, 有

固定 $l \in \mathbb{N}$, 使 $n \rightarrow \infty$, 可得

因为 $\left\{V_n\right\}_{n = 1}^{\infty}$ 在 $H_{0, \operatorname{rad}}^1( B_1(0))$ 中是紧的, 因此对于 $\varphi \in H_{0, \operatorname{rad}}^1( B_1(0))$ 有

令 $\varphi = u_k^{-}$, 于是

因此, $u^{-}_k = 0$, 即 $u_k \geq 0$. 由极值原理可知在 ${B_1(0)}$ 中 $u_k>0$. 由命题 2.1, 可知 $u_k \in C^{1, \theta}$ $({B_1(0)}), \ \theta \in(0, 1)$.

现应用上述近似解来证明定理 2.1 考虑下列问题

其中 $\alpha > 0, \beta \geq 0, \lambda>0, 1 > q > 0, {B_1(0)}$ 是 $\mathbb{R}^N$ 内的单位球, $N\geq 3$, $f$ 满足 $0 \leq tf(t) \leq C_0t^{2^*_{\alpha}}, t \in \mathbb{R}$, 其中 $2^*_{\alpha} = \frac{2(N + \alpha)}{N - 2}$. 假设 $u_k$ 是近似问题 3.1 的解, $\lVert u_k \rVert \leq \rho$. 根据子序列, 可以假设

定理 1.1 的证明 根据范数的弱下半连续性, 有

根据引理 3.1 可知 $u_k \in C^{1, \theta}(\overline{{B_1(0)}})$, 根据引理 2.1 发现

注意到

因此, 在 $L^{\frac{2_{\alpha}^*}{2_{\alpha}^*-1}}\left({B_1(0)}, |x|^\alpha \text{d}x\right)$ 中 $f_k\left(u_k^{+}\right) \rightharpoonup f(u^{+})$.

对 $\forall \varphi \in H_{0, \operatorname{rad}}^1( B_1(0))$, 有

令 $\varphi=（(u_k-u$),

令 $k \rightarrow \infty$,

令 $\varphi = u^-$,

则在 ${B_1(0)}$ 内 $u \geq 0$. 根据对称临界原理, $u$是问题 (1.1) 的一个弱解. 由命题(2.1), $u \in C^{(1,\theta)}$ $(\overline{{B_1(0)}}), \theta \in (0, 1)$. 通过极值原理推断出在 ${B_1(0)}$ 中 $u > 0$ 或 $u = 0$.

为了完成定理 1.1, 只需证明在 ${B_1(0)}$ 中 $u>0$. 考虑剩下的辅助问题

根据文献 [2], 可得方程 (3.2) 有一个解 $h$. 令 $\tilde{h}=\lambda^{\frac{1}{1-q}} h$, 则 $-\Delta \tilde{h}=\lambda|x|^\beta \tilde{h}^q \text{ 在 } {B_1(0)}$, 令 $a=\lambda^{\frac{1}{1-q}}$, 则 $\widetilde{h}=a h, h=\frac{\widetilde{h}}{a}$, 由于 $-\Delta h=|x|^\beta h^q$, $-\Delta \frac{\tilde{h}}{a}=|x|^\beta \frac{\tilde{h}^q}{a^q}$, 则 $ -\Delta \tilde{h}=a^{1-q}|x|^\beta \tilde{h}^q $, $-\Delta \tilde{h}=\lambda|x|^\beta \tilde{h}^q$.又因为

于是有 $-\Delta\left(u_k-\tilde{h}\right) \geq 0$, $u _k \geq \tilde{h}>0$ 在 ${B_1(0)}$.令 $k \rightarrow \infty$, $u \geq h>0 \ \text{ 在 }{B_1(0)}$.