本文考虑如下分数阶 Choquard 方程

其中$N \geq 3$, $0<\mu<N$, $2^*_{\mu,s}=\frac{2N-\mu}{N-2s}$, $g$ 为非负函数, $u^{+}=\max\left\{u,0\right\}$, $(-\Delta)^s$ 满足如下定义

其中 $P.V.$ 为主值积分, $C_{N,s}$ 为归一化系数. 该模型来源于经典的 Choquard 方程

的变形, 经典的 Choquard 方程主要刻画等离子体效应的非局部相互作用[4,5,8]. Lieb 在 1976 年给出了经典 Choquard 方程解的存在性和唯一性^[10]. 由于方程 $\left(P_k\right)$ 具有非局部性和临界指标下泛函不具有紧性, 且当 $k$ 趋于无穷大时, 解自然出现集中现象, 本文期望建立该方程非平凡正解的存在性和集中性. 为此, 需要考虑方程 $\left(P_k\right)$ 对应的极限问题

方程 $(P_\infty)$ 非平凡解的存在性依赖于区域的结构特征. 特别的, 如果$\Omega$ 是一个星形区域, Pohozaev 恒等式意味着方程 $(P_{\infty})$ 没有非平凡解. 因此, 为了找到 $(P_{\infty})$ 的非平凡解, 需要修改几何区域或者改变临界扰动项 $u^{2^*_{\mu,s}-1}$ (参见[1,11]). 受文献 Gazzola^[6] 和 Li-Xiang^[7] 的启发, 本文主要研究方程 $(P_k)$ 在扰动项 $g(x)\left[(u-k)^{+}\right]^{q-1}$ 变化时解的情况; 同时探究当 $k$ 趋于无穷大时, 解的集中性.

为了给出方程 $\left(P_k\right)$ 解的定义, 我们引入希尔伯特空间 $D^{s,2}(\mathbb{R}^N)$ 和函数空间 $X^s_0(\Omega)$

则方程 $(P_k)$ 的弱解 $u\in X^s_0$ 定义如下: 对任意的 $\phi\in X^s_0(\Omega)$, 满足

对任意的 $k\in (0,\infty)$, 引入方程 $(P_k)$ 的能量泛函$J_k:H_0^1(\Omega)\to\mathbb{R}$

其中 $u\in X^s_0(\Omega)$. 类似地, 方程 $(P_\infty)$ 的能量泛函记为

由分数阶 Sobolev 不等式^[3,10]和 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式^[9]可得, 对任意的 $u\in D^{s,2}(\mathbb{R}^N),$ 存在仅依赖于 $N,\mu$ 的正常数 $C(N,\mu),$ 使得

其中, $2^*_s=\frac{2N}{N-2s},$ $\|u\|_{L^p}$ 表示 $L^p$-范数. 据此引入

假设扰动项 $f(x,s)=g(x)(s^+)^{q-1}$ 满足

且

为了研究非平凡正解, 引入非负函数集合$\mathcal{M}\!\triangleq\!\left\{u\!\in\! X^s_0(\Omega)\mid \mbox{在 } \Omega\mbox{ 上,} u\geq 0 \mbox{几乎处处成立}\right\}.$不难发现存在 $u$, 使得 $J_\infty(u)<0$, 即$\mathcal{N}\triangleq\left\{u\in\mathcal{M}\mid J_\infty(u)<0\right\}\neq\emptyset.$取任意 $v\in\mathcal{N}$, 考虑集合$\Gamma_v=\left\{\gamma\in C([0,1],\mathcal{M})\mid\gamma(0)=0,\gamma(1)=v\right\}.$当 $k\in(0,\infty)$ 时, 对任意的 $u\in X^s_0(\Omega)$, 有$J_k(u)\le J_{\infty}(u)$; 故 $J_k(v)<0$. 由此可引入能量阈值

$\begin{equation*}c_k\triangleq \inf_{\gamma\in\Gamma_{v}}\max_{t\in[0,1]}J_k(\gamma(t)).\end{equation*}$

易知, $c_k$ 与 $v$ 的选择无关. 下面给出山路型解的定义

定义 1.1 对任意的 $k\in(0,\infty]$, 如果方程 $(P_k)$ 的解 $u_k\in X^s_0(\Omega)$ 满足 $J_k(u_k)=c_k$, 则称 $u_k$ 是方程 $(P_k)$ 的山路型解.

首先, 我们有如下不存在性结果.

定理 1.1 方程 $(P_\infty)$ 没有山路型解.

其次, 关于存在性结果如下.

定理 1.2 假设 (1.3) 和 $(G)$ 成立, 则

(i) 对于任意的 $k\in(0,\infty)$, 存在 $u_k\in X^{s}_0(\Omega)$ 是方程 $(P_k)$ 的山路型解;

(ii) 存在 $x^k_1\in\Omega$, 使得 $u_k(x^k_1)>k$;

(iii) 如果序列 $\left\{k_m\right\}\subset(0,\infty)$ 满足 $k_m\to k\in(0,\infty)$ 且 $\left\{u_{k_m}\right\}$ 是方程 $(P_{k_m})$ 的山路型解, 则存在方程 $(P_k)$ 的山路型解 $u_k$, 使得 $\left\{u_{k_m}\right\}$ 的子列 (仍记为 $\left\{u_{k_m}\right\}$) 在 $X^s_0(\Omega)$ 上满足 $u_{k_m}\to u_k$.

当 $k\to\infty$ 时, 山路型解的性态如下.

定理 1.3 假设 (1.3) 和 $(G)$ 成立. 对于任意的 $k\in(0,\infty)$, 设 $u_k$ 是方程 $(P_k)$ 的山路型解, 则当 $k\to\infty$ 时,

(i) 在 $X^{s}_0(\Omega)$ 上, $u_k\rightharpoonup0$;

存在 $x_0\in\bar{\Omega}$ 和一个子列$\left\{u_{k_m}\right\}\subset\left\{u_k\right\}$, 使得当 $k_m\to\infty$ 时, 有

(ii) 在拓扑测度意义下, $\displaystyle|D^s u_{k_m}|^2\rightharpoonup S^{\frac{2N-\mu}{N-\mu+2s}}_{\mu,s}\delta_{x_0}$;

(iii) 在拓扑测度意义下, $\displaystyle\left(\int_\Omega\frac{|u_{k_m}(y)|^{2^*_{\mu,s}}}{|x-y|^\mu}\mathrm{d}y\right)\left|u_{k_m}(x)\right|^{2^*_{\mu,s}}\rightharpoonup S^{\frac{2N-\mu}{N-\mu+2s}}_{\mu,s}\delta_{x_0}$;

其中, $\displaystyle\left|D^s u_{k_m}(x)\right|^2\triangleq\int_{\mathbb{R}^N}\frac{\left|u_{k_m}(x)-u_{k_m}(y)\right|^2}{\left|x-y\right|^{N+2s}}\mathrm{d}y$.

(iv) 如果 $x^{k_m}_1$ 为定理 1.2 中找到的点, 则当 $k_m\to\infty$ 时, $x^{k_m}_1\to x_0$.

由定理 1.2 可知, 集合 $\Omega(u_k)\triangleq\left\{x\in\Omega\mid u_k(x)>k\right\}$ 非空. 进而由定理 1.3 可得, 集合 $\Omega(u_k)$ 将坍塌为 $x_0$. 下面给出点 $x_0$ 确切的位置.

定理 1.4 假设 (1.3) 和 $(G)$ 成立. 对于任意的 $k\in(0,\infty)$, 设 $u_k$ 是方程 $(P_k)$ 的山路型解, 则

(i) 存在 $x^k_1\in\Omega_g\triangleq supp g$, 使得 $u_k(x^k_1)>k$;

(ii) 假设 $x_0$ 和 $u_{k_m}$ 是定理 1.3 中得到的解, 则当 $k\to\infty$ 时, $x^{k_m}_1\to x_0$, 且 $x_0\in\Omega_g$.

注 1.1 文献 [6] 考察了具有次临界位移扰动项的 $p$-拉普拉斯方程非平凡解的存在性, 文献 [7] 考察了分数阶拉普拉斯方程非平凡解的存在性和参数 $k\to\infty$ 时解的集中性质, 本文将相应结论推广到分数阶 Choquard 方程, 需要进行精细的估计来处理非局部项 $\int_{\Omega} \frac{u^{2^*_{\mu,s}}(y)}{|x-y|^\mu} \mathrm{d} y$.

为了克服方程中算子的非局部性和临界指标下泛函失去紧性等困难, 本文主要采用能量估计和变分方法进行推导. 本文结构如下, 第一部分介绍基本结论, 第二部分介绍一些辅助性结论, 第三部分证明主要结论.

为后续方便, 引入记号

首先, 泛函 $J_k$ 满足山路几何结构.

引理 2.1 假设 $N>2s$, $0<s<1$, $0<\mu<N$, $(G)$ 成立, 那么泛函 $J_k$ 满足以下性质

(i) 存在 $r,a>0$, 使得当 $\left\|u\right\|_{D^{s,2}}=r$ 时, $J_k(u)\geq a$;

(ii) 存在 $e\in X^s_0(\Omega)$ 满足 $\left\|e\right\|_{D^{s,2}}>r$, 且 $J_k(e)<0$.

证 (i) 由条件 $(G)$ 和 Sobolev 嵌入定理, 利用 H$\mathrm{\ddot{o}}$lder 不等式与 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式可得, 对于 $u\in X^{s}_0(\Omega)\backslash\left\{0\right\}$, 当 $q=2$ 时,

当 $q>2$ 时,

因为 $2<2\cdot 2^*_{\mu,s}$, 故可找到 $r,a>0$, 使得当 $\left\|u\right\|_{D^{s,2}}=r$ 时, $J_k(u)\geq a$;

(ii) 对于 $u_1\in X^s_0(\Omega)(\Omega)\backslash\left\{0\right\}$, 当 $t$ 充分大时, 有

故存在 $t_1$, 使得 $e\triangleq t_1u_1$ 满足 $\left\|e\right\|_{D^{s,2}}>r$, 且 $J_k(e)<0$.

引入记号 $f(x,s)=g(x)(s^+)^{q-1}$ 和 $F(x,s)=\displaystyle\frac{1}{q}f(x,s)s,$ 则关于扰动项有如下估计.

引理 2.2 若子列 $\left\{k_m\right\}\subset(0,\infty)$ 满足 $k_m\to k\in(0,+\infty]$, $\left\{u_m\right\}\subset X^{s}_0(\Omega)$ 满足 $u_m\to u\in X^{s}_0(\Omega)$, 则 (i) 如果 $k<\infty$, 那么

(ii) 如果 $k=\infty$, 那么

证 由题设, 存在 $\bar{u}\in X^s_0(\bar{\Omega})$, 对于序列 $\left\{(u_m-k_m)^+\right\}$ 的子列 (仍记为 $\left\{(u_m-k_m)^+\right\}$) 有 $(u_m-k_m)^+\to\bar{u}$.根据逐点收敛可以得到, $\bar{u}=(u-k)^+, k<\infty$; $\bar{u}=0, k=\infty$. 因此,

由 Vitali 控制收敛定理可得引理结论.

在一定能量范围内 $J_k$ 满足 $(PS)_{c_k}$ 条件.

引理 2.3 设 $k\in(0,\infty)$, 且 $\displaystyle c_k\in\left(0,\frac{N-\mu+2s}{4N-2\mu}S^{\frac{2N-\mu}{N-2s}}_{\mu,s}\right)$, 那么 $J_k$ 满足 $(PS)_{c_k}$ 条件.

证 假设 $\left\{u_m\right\}$ 是 $J_k$ 的 $(PS)_{c_k}$ 序列, 当 $2<q<2\cdot 2^*_{\mu,s}$ 时, 有

但当 $q=2$ 时, 对任意 $\beta\in(2,2\cdot 2^*_{\mu,s})$, 有

故 $\left\{u_m\right\}$ 在 $X^{s}_0(\Omega)$ 上有界. 因此存在 $u\in X^{s}_0(\Omega)$, 使得 $\left\{u_m\right\}$ 的子列 (仍记为$\left\{u_m\right\}$) 满足 $u_m\rightharpoonup u$ 且 $J'_k(u)=0$. 故

由引理 2.2 得, $f(x,u_m-k)\to f(x,u-k)$. 结合式 (1.2) 可得

故 $\left\|u_m-u\right\|_{D^{s,2}}\to0$ 或 $o(1)\geq1-S^{-2^*_{\mu,s}}_{\mu,s}\cdot\left\|u_m-u\right\|^{2(2^*_{\mu,s}-1)}_{D^{s,2}}$.

下面用反证法证明 $o(1)\geq1-S^{-2^*_{\mu,s}}_{\mu,s}\cdot\left\|u_m-u\right\|^{2(2^*_{\mu,s}-1)}_{D^{s,2}}$ 不会发生. 假设

根据引理 2.2 及式 (2.1) 中的第一个等式可以得到

因为 $J'_k(u)=0$, 将 $\langle J'_k(u),u\rangle=0$ 代入 $J_k(u)$, 得 $J_k(u)\geq0.$ 因此,

这与条件 $\displaystyle c_k<\frac{N-\mu+2s}{4N-2\mu}S^{\frac{2N-\mu}{N-\mu+2s}}_{\mu,s}$ 矛盾.从而 $\left\|u_m-u\right\|_{D^{s,2}}\to0,$ 即泛函 $J_k$ 满足 $(PS)_{c_k}$ 条件.

引理 2.4 对任意的 $k\in(0,\infty)$, 有 $\displaystyle c_k<\frac{N-\mu+2s}{4N-2\mu}S^{\frac{2N-\mu}{N-\mu+2s}}_{\mu,s}$.

证 根据 $(G)$ 可知, 存在常数 $b>0$ 和非空开集 $A\subset\Omega$, 使得

不失一般性, 假设 $0\in A$. 取截断函数 $\eta\in C^\infty_0(A)$,

其中, $\delta$ 是大于 0 的常数且足够小.

定义

其中 $\tilde{k}$ 是常数. 令 $u_\epsilon(x)=\eta U_\epsilon(x)\in X^s_0(\Omega)$, 下面证明如果 $\epsilon$ 足够小, 则

反证法. 如果 (2.3) 式不成立, 即存在 $t_\epsilon>0$, 使得

通过计算可以得到,

且取得最大值的 $t_\epsilon$ 在有界集合中取到.

先估计上述 $J_k(t_\epsilon u_\epsilon)$ 的前两项. 由 (2.4) 式可知, $t_\epsilon$ 有上下界. 参见文献 [11], 可得

于是,

上式用到 $\displaystyle Z(a)=\frac{t^a_\epsilon-1}{a}$ 是递增的, 而 $\displaystyle2\cdot2^*_{\mu,s}>2$, 故 $\displaystyle\frac{t^2_\epsilon-1}{2}-\frac{t^{2\cdot2^*_{\mu,s}-1}_\epsilon-1}{2\cdot2^*_{\mu,s}}<0.$

接下来估计 $\displaystyle\int_\Omega g(x)[(t_\epsilon u_\epsilon-k)^+]^q\mathrm{d}x$. 对严格小的 $\epsilon<\delta$ 且 $x\in B(\epsilon)$, 有 $t_\epsilon u_\epsilon=U_\epsilon(x)\geq C\epsilon^{-\frac{N-2s}{2}}\geq2k$. 由 (2.2) 式可知,

当 $N>2s$ 且 $N\neq4s$, $q\in[2,2^*_s)$ 时, 有 $N-\frac{q(N-2s)}{2}<N-2s$,

当 $N=4s$ 时, 如果 $q>2$, 则 $N-\frac{q(N-2s)}{2}<2s$, 此时仍可以得到式 (2.6); 如果 $q=2$, 则对所有的 $k>0$, 存在 $c_k>0$, 使得对足够小的 $\epsilon$, 有 $t_\epsilon u_\epsilon-k\geq\frac{1}{2}t_\epsilon u_\epsilon$, 其中 $|x|<c_k\epsilon^{\frac{1}{2}}$. 因此

综合上式与 (2.5) 式, 可得

显然, (2.6) (2.7) 与 (2.4) 式矛盾. 所以对任意的 $k\in(0,\infty)$, 有 $c_k<\frac{N-\mu+2s}{4N-2\mu}S^{\frac{2N-\mu}{N-\mu+2s}}_{\mu,s}.$

根据上述引理, 可得方程 $(P_k)$ 存在山路型解.

引理 2.5 对任意的 $k\in(0,\infty)$, 方程 $(P_k)$ 存在山路型解.

证 由引理 2.1 可知, $J_k$ 满足山路几何结构, 故可得 $J_k$ 存在 PS 序列 $\left\{u_m\right\}$.

因为对 $\forall u\in X^s_0(\Omega)$, 有 $J_k(|u|)\le J_k(u)$. 令 $u_k\in\mathcal{M}$, 由引理 2.4 得, $\displaystyle c_k<\displaystyle\frac{N-\mu+2s}{4N-2\mu}S^{\frac{2N-\mu}{N-\mu+2s}}_{\mu,s}$. 再由引理 2.3 得, $J_k$ 满足 $(PS)_{c_k}$ 条件, 故方程 $(P_k)$ 存在山路型解 $u_k\in\mathcal{M}$.

于是, 在 $\Omega$ 上, $(-\Delta)^s u_k\geq0$. 根据文献 [引理 5], 在 $\Omega$ 上, $u_k>0$.

由引理 2.4 和引理 2.3 的计算过程可知, 山路型解在 $X^s_0(\Omega)$ 上是一致有界性的.

引理 2.6 存在常数 $M>0$, 使得对任意的 $k>0$ 和方程 $(P_k)$ 的山路型解 $u_k,$ 有 $\left\|u_k\right\|_{D^{s,2}}$ $\le M.$山路型解的弱极限仍是一个解.

引理 2.7 设 $\left\{k_m\right\}\subset(0,\infty)$ 满足 $k_m\to k\in(0,\infty]$. 记 $\left\{u_{k_m}\right\}$ 是方程 $(P_{k_m})$ 的山路型解序列, 则存在 $u\in X^s_0(\Omega)$, 使得 $\left\{u_{k_m}\right\}$ 的子列 (仍记为$\left\{u_{k_m}\right\}$) 满足在 $X^s_0(\Omega)$ 上 $u_{k_m}\rightharpoonup u$, 且 $u$ 是方程 $(P_k)$ 的解.

证 由引理 2.6 可知, $\left\{u_{k_m}\right\}$ 在 $X^s_0(\Omega)$ 上一致有界, 所以存在 $u\in X^s_0(\Omega)$, 使得 $\left\{u_{k_m}\right\}$ 的子列 (仍记为 $\left\{u_{k_m}\right\}$) 满足在 $X^s_0(\Omega)$ 上 $u_{k_m}\rightharpoonup u$. 又因为 ${u_{k_m}}$ 是方程 $(P_{k_m})$ 的山路型解, 所以 $J'(u_{k_m})=0$. 因此对任意的 $\phi\in X^s_0(\Omega)$, 有

由引理 2.2 和 Vitali 定理, 令 $k_m\to k$, 可得 $u$ 是 $(P_k)$ 的解.

定理 1.1 的证明

证 根据 (1.3) 和 (2.5) 式, 可得

然而, 对于问题 $(P_\infty)$ 的任意的非平凡解 $u$, 有

设 $u$ 是 $(P_\infty)$ 的非平凡解, 则

因此

而由 (1.2) 式可知, $S_{\mu,s}<\frac{\left\|u\right\|^2_{D^{s,2}}}{\left\|u\right\|^2_{2^*_{\mu,s}}}.$ 结合 (3.1) 式, 可得

故 $\displaystyle J_\infty(u)>\frac{N-\mu+2s}{4N-2s}S^{\frac{2N-\mu}{N-\mu+2s}}_{\mu,s}$.

因此不存在 $c_\infty$ 使得 $J_\infty(u)=c_\infty$, 即方程 $(P_\infty)$ 没有山路型解.

为了证明定理 1.2, 需要引入以下两个结论.

引理 3.1 对任意的 $k\in(0,\infty)$, 如果 $u_k$ 是 $(P_k)$ 的一个山路型解, 则存在 $\lambda>0$, 使得区间$\displaystyle\gamma_k=[0,\lambda\frac{u_k}{\left\|u_k\right\|}]$, 满足 $\displaystyle\max_{u\in\gamma_k}J_k(u)=c_k$. 其中, $\lambda$ 与 $k$ 的取值无关.

证 首先证明, 存在 $\tau>0$, 使得 $c_k\geq\tau.$

由引理 2.1 的证明可知,

因此 $\exists\rho>0$ 和 $\tau>0$ 足够小, 使得: 当 $\left\|u\right\|_{D^{s,2}}=\rho$ 时, $J_k(u)\geq\tau$; 当 $\left\|u\right\|_{D^{s,2}}<\rho$ 时, $J_k(u)>0$. 由 $c_k$ 的定义可知, $c_k\geq\tau$.

又因为 $\langle J'_\infty(u_k),u_k\rangle=0$, 故

因此, 对任意的 $k\in(0,\infty)$, 存在 $\delta>0$, 使得

接下来证明, 对任意的 $k\in(0,\infty)$, 有 $\displaystyle c_k=\max_{t\ge0}J_k(tu_k)$.

令 $\Phi_k(t)=J_k(tu_k)$, 由 $\langle J'_\infty(u_k),u_k\rangle=0$, 可得

由此 $\Phi_k(t)$ 在 $(0,1)$ 上递增, 在 $(1,+\infty)$ 上递减. 故 $\displaystyle \max_{t\ge0}\Phi_k(t)=\Phi_k(1)=c_k$.

还需考虑 $\displaystyle\lambda\frac{u_k}{\left\|u_k\right\|}$ 与 $1$ 的大小关系. 记 $\displaystyle T\triangleq\max\left\{1,\left(\frac{(2N-\mu)\cdot M^2}{(N-2s)\delta^{2\cdot2^*_{\mu,s}}}\right)^{\frac{N-2s}{2N-2\nu+4s}}\right\}$, 其中 $M$ 见引理 2.6, 则有

令 $\lambda=MT$, 而$\displaystyle\frac{M}{\left\|u_k\right\|_{D^{s,2}}}\ge1$ 且 $J_k(tu_k)$ 在 $(1,\infty)$ 上递减, 则有

命题得证.

接下来证明能量阈值 $c_k$ 关于 $k$ 是连续的.

引理 3.2 令序列 ${k_m}\subset(0,\infty)$, 满足对任意的 $k\in(0,\infty)$, 有 $k_m\to k<\infty$, 则 $c_{k_m}\to c_k$.\noindent 同时, 对任意的紧集 $I\subset(0,\infty)$, 存在 $\delta_I>0$,使得当 $k\in I$ 时, 有

证 首先证明, 对任意的 $X^s_0(\Omega)$ 的有界集, $J_{k_m}\to J_k$ 一致收敛.

取 $B_R=\left\{u\in X^s_0(\Omega)\mid\left\|u\right\|_{D^{s,2}}\le R,R>0\right\}$, 根据中值定理, 存在 $\sigma_m(x)\in(k_m,k)$ (不妨假设$k_m<k$), 使得

由此可得

因此,若 $k_m\to k<\infty$, $\forall \epsilon>0$, 有

即 $k_m\to k<\infty$ 时, $J_{k_m}\to J_k$ 一致收敛.

接下来证明 $c_{k_m}\to c_k$.

记 $\displaystyle \Sigma\triangleq\left\{\gamma_j\mid j=k_1,k_2,\cdots,\mbox{ 或 }j=k\right\}$. 其中 $\gamma_j$见引理 3.1, 则 $\Sigma\subset B_\lambda$. 由上面计算可知,

最后证明 $\displaystyle c_k\le\frac{N-\mu+2s}{4N-2\mu}S^{\frac{2N-\mu}{N-\mu+2s}}_{\mu,s}-\delta_I$.

因为 $I\subset(0,\infty)$ 是紧集, 故当 $k\in I$ 时, 映射 $k\mapsto c_k$ 是连续的, 故 $c_k$ 在区域 $I$ 中可取到最大值 $\bar{c}$.再结合引理 2.4 可知, 对任意的 $k\in I$, $\displaystyle c_k<\frac{N-\mu+2s}{4N-2\mu}S^{\frac{2N-\mu}{N-\mu+2s}}_{\mu,s}$.因此存在 $\delta_I>0$, 使得 $\displaystyle \bar{c}=\frac{N-\mu+2s}{4N-2\mu}S^{\frac{2N-\mu}{N-\mu+2s}}_{\mu,s}-\delta_I.$ 进而$\begin{equation*}\mbox{当 }k\in I\mbox{ 时}, c_k<\bar{c}=\frac{N-\mu+2s}{4N-2\mu}S^{\frac{2N-\mu}{N-\mu+2s}}_{\mu,s}-\delta_I.\end{equation*}$

定理 1.2 的证明

证 结论 (i) 可由引理 2.5 得到.

下面证明结论 (ii). 假设 $P_k$ 的山路型解 $u_k$ 满足 $\left\|u_k\right\|_\infty\le k$, 则 $(u_k-k)^+\equiv0$, 因此 $u_k$ 也是 $P_\infty$ 的山路型解. 但是定理 1.1 已指出, $P_\infty$ 没有山路型解. 因此可得 $\left\|u_k\right\|_\infty>k$ 且 $\Omega(u_k)$ 非空, 即存在 $x^k_1\in\Omega(u_k)$, 满足 $u_k(x^k_1)>k$.

下面证明结论 (iii). 由引理 2.7 知, 存在 $u\in X^s_0(\Omega)$, 使得 $\left\{u_{k_m}\right\}$ 的子列 (仍记为 $\left\{u_{k_m}\right\}$) 满足在 $X^s_0(\Omega)$ 上, $u_{k_m}\rightharpoonup u$ 且 $u$ 是 $(P_k)$ 的解. 由引理 2.2 可知,

由引理 3.2 和引理 2.4 可知,

同时, 由引理 2.2 可知

而 $\left\{u_{k_m}\right\}$ 是 $(P_{k_m})$ 的山路型解, 因此 $J'_{k_m}(u_{k_m})=0$. 故 $J'_k(u_{k_m})\to0$.

由引理 2.3 可知, 存在 $u_k\in X^s_0(\Omega)$, 使得 $\left\{u_{k_m}\right\}$ 的子列 (仍记为 $\left\{u_{k_m}\right\}$) 满足 $u_{k_m}\to u_k$.

最后由 $\displaystyle J_k(u_k)=\lim_{m\to\infty}J_{k_m}(u_{k_m})=\lim_{m\to\infty}c_{k_m}=c_k$, 可得 $u_k$ 是方程 $(P_k)$ 的山路型解.

结合以上内容可知, 当 $k\to\infty$ 时, 次临界扰动项会消失. 接下来考虑 $k\to\infty$ 的情形.

引理 3.3 对任意的 $k\in(0,\infty)$, $u_k$ 是方程 $(P_k)$ 的山路型解, 则

证 由引理 2.7 可知, 存在 $u\in X^s_0(\Omega)$, 满足在 $X^s_0(\Omega)$ 中, $u_k\rightharpoonup u$, $u$ 是方程 $(P_\infty)$ 的山路型解. 根据引理 2.2 和 (1.2) 式, 有

令 $\Psi(t)=\frac{1}{2}t^2-\frac{1}{2\cdot2^*_{\mu,s}}S^{-2^*_{\mu,s}}_{\mu,s}\cdot t^{2\cdot2^*_{\mu,s}}$, 则 $\Psi'(t)=t\left(1-S^{-2^*_{\mu,s}}_{\mu,s}t^{2\cdot2^*_{\mu,s}-2}\right)$, 于是,

因此, 半径为 $S^{\frac{2N-\mu}{2(N-\mu+2s)}}_{\mu,s}$ 的 $X^s_0$- 球面将 $0$ 和 $\mathcal{N}$ 分开. 由 $c_k$ 的定义, 可知

同时, 由引理 2.4 得,

命题得证.

定理 1.3 的证明

证 由引理 2.7 知, 存在 $u\in X^s_0(\Omega)$ 是方程 $(P_\infty)$ 的山路型解且在 $X^s_0(\Omega)$ 中, $\left\{u_k\right\}$ 的子列 (仍记为 $\left\{u_k\right\}$), 满足 $u_k\rightharpoonup u$.

下面证明 $u\equiv0$. 由 $u_k$ 是山路型解可得, $\langle J'_k(u_k),u_k\rangle=0.$ 将其带入 $J_k(u_k)$ 得,

结合引理 2.3 可知, 当 $k\to\infty$ 时,

因此 $\left\|u_k\right\|^2_{D^{s,2}}\to S^{\frac{2N-\mu}{N-\mu+2s}}_{\mu,s}$. 又因为 $\langle J'_\infty(u),u\rangle=0$, 则

由定理 1.1 的证明可知, 若 $u$ 是非平凡解, 则 $J_\infty(u)>\displaystyle\frac{N-\mu+2s}{4N-2\mu}S^{\frac{2N-\mu}{N-\mu+2s}}_{\mu,s}$. 矛盾. 因此 $u\equiv0$.

由文献 [2,定理 1.2] 可知,

其中 $\mathcal{J}$ 是至多可数集. 故 $\mu_j\ge S_{\mu,s}\nu_j^{\frac{2}{2^*_{\mu,s}}}$, 因此 $\displaystyle\left|D^s u_{k_m}\right|^2\rightharpoonup\mu\ge\sum_{j\in\mathcal{J}}S_{\mu,s}\nu_j^{\frac{2}{2^*_{\mu,s}}}\delta_{x_j}$.

下面证明 $\displaystyle\nu_j\ge S_{\mu,s}^{\frac{2N-\mu}{N-\mu+2s}}$. 令截断函数 $\xi_\delta\in C^\infty_0(\mathbb{R}^N)$ 满足

由 $\langle J'_k(u_k),\xi_\delta u_k\rangle=0,$ 结合 H$\mathrm{\ddot{o}}$lder 不等式, 可得

进而

由引理 2.2 中关于次临界扰动项的极限估计可得

因为 $\left|D^s\xi_\delta(y)\right|^2$ 是非局部梯度,

由文献 [2,推论 2.3], 得

当 $|y|\ge\delta$ 时, $\min\left\{\delta^{-2s},\delta^N|y|^{-(N+2s)}\right\}=\delta^N|y|^{-(N+2s)}$; 当 $|y|\le\delta$ 时, $\min\left\{\delta^{-2s},\delta^N|y|^{-(N+2s)}\right\}$ $=\delta^{-2s}$. 因此,

其中, $\displaystyle C=\frac{(2^{i+1}\delta)^{\frac{4s-\mu}{2N-\mu}}}{2^{i\cdot2s}\cdot\delta^{2s}}$. 上式用到, $\displaystyle\sum^\infty_{i=0}\frac{1}{2^{iN}}$ 是收敛的, 故存在极小值 $i_0$, 使得 $\displaystyle\sum^\infty_{i=i_0}\frac{1}{2^{iN}}<\delta$.

综上, 令 $k\to\infty$, 可得

当 $\delta$ 足够小时, $\mu_j-\nu_j\le0$. 如果 $\nu_j\neq0$, 则 $\nu_j\ge S^{\frac{2N-\mu}{N-\mu+2s}}_{\mu,s}$. 根据引理 3.3 和 (3.3) 式可得, 存在唯一的下标值 $j_0$, 使得 $\mu_{j_0}=\nu_{j_0}=S^{\frac{2N-\mu}{N-\mu+2s}}_{\mu,s}$. 从而, 可选择子列, 仍记为 $\left\{u_{k_m}\right\}$, 使得序列 $\left\{x_1^{k_m}\right\}$ 收敛至同一点 $x_0\in\bar{\Omega}$.

定理 1.4 的证明

证 应用反证法. 令 $u_k$ 是 $(P_k)$ 的任意山路型解, 假设 $\displaystyle \Omega(u_k)\cap\Omega_g=\emptyset$, 则

由此可知 $u_k$ 是方程 $(P_\infty)$ 的山路型解, 与定理 1.1 矛盾. 因此对任意的 $k\in(0,\infty)$, 存在 $x^k_1\in\Omega(u_k)\cap\Omega_g$. 类似于定理 1.3 的证明, 可以得到 $\left\{x_1^{k_m}\right\}$ 的极限 $x_0\in\Omega_g$.