设 $(M, g)$ 为 $3$ 维闭 (紧致无边) 黎曼流形. 本文在 $(M, g)$ 上考虑如下带奇异非线性项的静电型 Schrödinger-Bopp-Podolsky-Proca (SBPP) 系统

其中 $\Delta_g=-\operatorname{div}_g(\nabla_g\cdot)$ 为 Laplace-Beltrami 算子, $q, m, a, \mu>0$ 为正实数, $\eta=\pm1$, $r\in(0, +\infty)$, $\omega\in \mathbb{R}$.

系统 (1.1) 刻画了带电粒子在自生成电磁场中的运动. 具体而言, 带电粒子 $\psi: \mathbb{R}\times M\rightarrow \mathbb{C}$ 由非线性 Schrödinger 拉格朗日密度

控制, 其中 $\hbar>0$ (普朗克常数), $m_0\neq0$. 根据最小耦合原理

与外质量向量场 $(\phi,A)$ 的相互作用产生耦合拉格朗日量

向量场 $(\phi,A)$ 由 Bopp-Podolsky-Proca 拉格朗日密度描述

其中 $a>0$ 为 Bopp-Podolsky 参数, $m>0$ 为 Proca 质量. 因此, 总作用量的欧拉-拉格朗日方程定义为

当磁场消失 (即$A=0$) 时, 为寻求形式为 $\psi(t, x) = {\rm e}^{{\rm i}\omega t} u(x)$ ($u\ge 0$ 为实值振幅) 的驻波解, 代入总作用量的欧拉-拉格朗日方程, 经尺度变换与规范化后, 可得到静态椭圆型系统 (1.1), 严格推导可参见文献 [10].

在欧氏空间 $\mathbb{R}^3$ 中, d'Avenia 与 Siciliano^[6]首次研究了不含 Proca 项的 Schrödinger-Bopp-Podolsky 系统,运用变分方法建立了解的存在性并得到若干基本性质.此后, 众多学者研究了带各类非线性项的该类系统正解、归一化解及变号解的存在性, 相关结果可参见文献 [4,8,13,17-19] 等文献. 对于 $\mathbb{R}^3$ 中光滑有界区域, Alves^[1] 研究了一类带奇异非线性项的广义 Schrödinger-Bopp-Podolsky 系统, 通过非光滑泛函的临界点理论结合上下解方法, 得到了系统解的存在性、非存在性及多重性结果.

在紧黎曼流形上, Hebey 等建立了 SBPP 系统的基础理论, 证明了正则幂次项系统解的存在性、紧性及强收敛性 (参见文献 [10-12]). d'Avenia 与 Ghimenti^[5] 利用 Lusternik-Schnirelman 畴数理论, 得到半经典极限下解的多重性结果. 文献 [16] 进一步研究了双重扰动 SBPP 系统.最近, Liang-Chen-Liu^[14] 研究了一类奇异 Schrödinger-Poisson 系统 ($a=0$),通过 $\varepsilon$-逼近与变分方法得到了解的多重性.

据我们所知, 目前尚未有关于黎曼流形上带奇异项的 SBPP 系统 (1.1) 正解存在性的相关研究结果. 本文旨在研究带奇异非线性项的静电型 Schrödinger-Bopp-Podolsky-Proca 系统 (1.1) 正解的存在性、唯一性及多解性.

在本文中, 我们采用标准的记号: 对空间 $H^2(M)$、$H^1(M)$ 及 $L^p(M)$, 其范数分别定义为

设 $k_1$ 与 $k_2$ 分别为 Sobolev 嵌入 $H^1(M) \hookrightarrow L^6(M)$ 与 $H^2(M) \hookrightarrow C^0(M)$ 关于 (1.2) 中范数的嵌入常数, 即成立如下不等式

根据 Hebey 的结果[10, 对任意 $u\in H^1(M)$, $M$ 上四阶椭圆方程

存在唯一解 $\phi_u\in H^4(M)\cap C^2(M)$. 将 $\phi_u$ 代入 (1.1) 式的第一个方程, 系统可简化为

一般地, 若 $(u, \phi)\in H^1(M)\times H^2(M)$ 满足 $u \in H^1(M)$ 是 (1.5) 式的正弱解且 $\phi=\phi_u>0$, 即 $u>0$ 并满足

则称 $(u, \phi)$ 为系统 (1.1) 的正弱解, 其中 $\left\langle\cdot, \cdot\right\rangle_g$ 为黎曼度量诱导的切向量内积.

由于 (1.5) 式对应的能量泛函含不可微项, 无法直接应用临界点理论建立解的存在性. 为克服奇异性, 我们首先考虑如下 $\varepsilon$-逼近方程

其中 $\varepsilon>0$ 为小参数. 方程 (1.7) 对应的能量泛函为 $J_{\mu, \eta, r}^\varepsilon: H^1(M) \rightarrow \mathbb{R}$:

其中 $E_{r}^\varepsilon: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 定义为

容易验证 $J_{\mu, \eta, r}^\varepsilon \in C^1(H^1(M), \mathbb{R})$ (见第 2 节引理 2.1), 其临界点对应逼近方程 (1.7) 的弱解. 本文的核心是在不同假设下证明当 $\varepsilon\rightarrow0^+$ 时逼近解的收敛性, 进而得到原系统的解.

下面给出本文的主要结果.

首先考虑 $\eta=1$ 的情形, 记 $V_g$ 为流形 $(M,g)$ 的体积.

定理 1.1 设 $(M, g)$ 为 $3$ 维光滑闭流形, $\omega\in \mathbb{R}$, $a, q, m>0$ 满足 $am<\frac{1}{2}$, $\eta=1$. 则

(1) 当 $r\in(0,1)\cup(1, +\infty)$ 且 $\mu>0$ 时, 系统 (1.1) 存在唯一正解;

(2) 当 $r=1$ 且 $0<\mu <\sigma\min\{1, \frac{q}{2}\}k_1^{-2}V_g^{-\frac{2}{3}}$ 时, 系统 (1.1) 存在唯一正解, 其中常数 $\sigma>0$ 如 (2.1) 所示.

当 $\eta=1$ 时, 在非线性项与耦合项的竞争中, 负幂次非线性项相比文献 [10] 中研究的正幂次非线性项竞争最弱, 此时正则化泛函 $J_{\mu, \eta, r}^\varepsilon$ 在 $H^1(M)$ 中有界, 这为解的存在唯一性提供了保证. 当 $\eta=-1$ 时, $J_{\mu, \eta, r}^\varepsilon$ 在 $H^1(M)$ 中无界. 不同于文献 [1] 中的方法, 我们借鉴文献 [14] 的 $\varepsilon$-逼近技巧, 结合山路引理与 Ekeland 变分原理, 建立系统的多解性 (见定理 4.1、定理 4.2 与定理 4.3). 进一步, 利用上下解方法分析解随参数 $\mu$ 的变化结构, 我们得到如下分歧结果.

定理 1.2 设 $(M, g)$ 为 $3$ 维光滑闭流形, $a, q, m>0$ 为正实数, $r\in(0, +\infty)$, $\eta=-1$. 若 $am<\frac{1}{2}$ 且 $\omega\neq0$, 则存在 $0<\mu_1\leq\mu_2\leq +\infty$, 使得系统

(1) 当 $\mu<\mu_1$ 时, 至少存在两个解;

(2) 当 $\mu_1\leq\mu<\mu_2$ 时, 至少存在一个解;

(3) 当 $\mu>\mu_2$ 时, 无解.

本文的存在性结果均采用 $\varepsilon$-逼近技巧与变分方法, 通过 $\varepsilon$- 逼近技巧将含奇异项的非可微泛函转化为正则化的可微泛函, 利用山路引理、Ekeland 变分原理构造 Palais-Smale 序列, 借助 Sobolev 嵌入不等式与能量估计证明序列有界性, 结合 Lebesgue 控制收敛定理与闭流形上的紧性论证等分析技巧获得强收敛性, 最终通过 $\varepsilon\rightarrow0^+$ 的极限过程恢复原系统的解. 针对不同参数范围 ($\eta=\pm1$ 及 $r\in(0,1)$、$r=1$、$r\in(1,+\infty)$), 通过分析泛函的山路几何结构与能量水平分离特性, 分别建立解的存在性、唯一性、多解性及分歧结果. 特别地, 条件 $am<\frac{1}{2}$ 是整个证明的关键前提, 其作用是保证耦合项对应的辅助函数 $\phi_u$ 非负, 这是能量泛函下界估计、山路几何验证及 Palais-Smale 序列有界性证明的基础, 若缺少该条件, $\phi_u$ 可能出现变号, 导致变分框架失效.

注 1.1 本文的方法可直接推广至如下带幂次耦合项的系统

其中 $1\leq p< 4$, 可得到与定理 1.1、1.2 类似的存在性、唯一性及多重性结果.

本文结构如下: 第 2 节给出预备知识, 证明能量泛函的基本性质并得到正解的先验性结果; 第 3 节给出定理 1.1 的完整证明; 第 4 节研究 $\eta=-1$ 时系统 (1.1) 解的多重性; 最后第 5 节给出定理 1.2 的证明.

本节中, 我们给出后面用到的一些基本引理. 首先回顾系统 (1.1) 中第二个方程的一些已知性质, 其证明可参见文献 [10,引理 3.1,3.2 及引理 4.1].

引理 2.1^[10] 对每个 $u\in{H^1(M)}$, 方程

存在唯一解 $\phi_u\in H^4(M)\cap C^2(M)$. 此外, 下列性质成立

(i) 对所有 $u \in {H^1(M)}$,

其中 $k_1$ 和 $k_2$ 分别是 (1.3) 和 (1.4) 式中定义的嵌入常数;

(ii) 若 $am<\frac{1}{2}$, 则对所有 $u \in {H^1(M)}$, 有 $\phi_u \geq 0$;

(iii) 对任意 $t \neq 0$, 有 $\phi_{t u}=t^2 \phi_u$;

(iv) 若 $u_n \rightharpoonup u$ 在 $H^1(M)$ 中弱收敛, 则 $\phi_{u_n} \rightarrow \phi_u$ 在 $H^2(M)$ 中强收敛,

且对任意 $v \in H^1(M)$, 有

(v) 设 $\mathcal{I}:H^1(M) \to \mathbb{R}$ 由 $\mathcal{I}(u) = \int_{M} \phi_u u^{2} \mathrm{d}v_{g}$ 定义, 则 $\mathcal{I}$ 是可微的, 且对所有 $u,h \in H^1(M)$, 有$\mathcal{I}^{\prime}(u)\cdot h = 4\int_{M} \phi_u u h \mathrm{d}v_{g}$;

(vi) 对 $u, v \in H^1(M)$, 有 $\int_M\left(\phi_u u-\phi_v v\right)(u-v)\mathrm{d} v_g \geq \frac{1}{8\pi q}\left\|\phi_u-\phi_v\right\|_{H^2}^2$；

(vii) 存在与 $u$ 无关的常数 $\sigma>0$, 使得对所有 $u \in H^1(M)$, 有

下面给出逼近方程 (1.7) 解的一些基本性质.

引理 2.2 设 $\eta=\pm1$, $r>0$ 且 $\mu>0$. 固定 $\varepsilon> 0$, 若 $u\in H^1(M)$ 是方程 (1.7) 的非负弱解, 则下列结论成立

(i) 若 $\varepsilon>0$, 则存在 $\alpha \in (0, 1)$ 使得 $u\in C^{2, \alpha}(M)$;

(ii) 若 $\varepsilon=0$ 且对所有 $s\geq 1$ 有 $u^{-1}\in L^s(M)$, 则存在 $\alpha \in (0, 1)$ 使得 $u\in C^{2, \alpha}(M)$.

证 (i) 可将 (1.7) 式改写为

利用给定假设, 可证得 $\omega^2 +\eta q\phi_{u}-\mu(\varepsilon+u^2)^{-\frac{r+1}{2}}\in L^{\frac{3}{2}}(M)$, 这蕴含 $u\in L^p(M)$ 对所有 $p\geq 1$ (参见文献^[3]).因此, $u\in H^{2, p}(M)$ 对所有 $p \geq 1$. 由 Sobolev 嵌入定理, 推得 (2.2) 式左端第二项属于 $ C^{0, \alpha}(M)$ $(0<\alpha<1)$. 由椭圆正则性理论, 进而可得 $u \in C^{2, \alpha}(M)$ $(0<\alpha<1)$.

(ii) 证明与 (i) 类似.

引理 2.3 设 $\eta=\pm1$, $r>0$ 且 $\mu>0$. 若 $u \in C^{2, \alpha}(M) (0<\alpha<1)$ 是方程 (1.7) 的正解, 则存在常数 $\delta >0$, 使得对任意 $\varepsilon>0$, 有

证 设 $x_k$ 为 $u$ 的最小值点, 则 $\Delta_g u(x_k) \leq 0$. 结合方程 (1.7) 可得

令 $\delta>0$ 为下述代数方程的唯一正解

假设 $u(x_k)<\delta$. 由于$\varepsilon<\delta^2$, 易知

这与 (2.4) 式矛盾.

本节建立 $\eta=1$ 时系统 (1.1) 正解的存在性与唯一性. 为方便, 记 $J_\varepsilon=J_{\mu, \eta, r}^\varepsilon $.

定理 1.1 的证明 我们将分六个步骤证明定理.

步骤 1 $J_\varepsilon$ 存在 Palais-Smale 序列.

情形 1 当 $r \in (0, 1)$, $\mu >0$ 且 $u \in H^1(M)$ 时, 由 Hölder 不等式与 (1.3) 式, 有

结合引理 2.1 (vii) 与 (3.1) 式, 可得

由于 $1-r<2<4$, 故 $m_\varepsilon=\inf_{H^1(M)}J_\varepsilon$ 有定义. 由引理 2.1 (iii), 对任意 $h \in H^1(M) \backslash\{0\}$, 有

因此, 对所有 $h \neq 0$, 当 $t$ 与 $\varepsilon$ 充分小时, $J_\varepsilon(t h)<0$. 由 (3.2) 式可知, 对所有充分小的 $\varepsilon$, 存在与 $\varepsilon$ 无关的常数 $c>0$, 使得

情形 2 当 $r=1$, $0<\mu <\sigma\min\left\{1, \frac{q}{2}\right\}k_1^{-2}V_g^{-\frac{2}{3}}$ 且 $u \in H^1(M)$ 时, 有

结合引理 2.1 (vii) 与 (3.4) 式, 可得

故 $m_\varepsilon=\inf _{H^1(M)} J_\varepsilon$ 有定义. 此外, 存在 $u_0 \in H^1(M)$ 使得 $\int_M\frac{1}{u_0^{2}}\mathrm{d}v_g < +\infty$, 由此可得

因此, 存在与 $\varepsilon$ 无关的常数 $c_1, c_2>0$, 使得

情形 3 当 $r\in (1, +\infty)$, $\mu >0$ 且 $u \in H^1(M)$ 时, 由引理 2.1 (vii), 有

故 $m_\varepsilon=\inf _{H^1(M)} J_\varepsilon \geq 0$ 有定义. 此外, 存在 $u_0 \in H^1(M)$ 使得 $\int_M|u_0|^{1-r}\mathrm{d}v_g < +\infty$, 由此推得

因此, 存在与 $\varepsilon$ 无关的常数 $c>0$, 使得

结合情形1、2、3, 由 Ekeland 变分原理 (参见文献^[7]), 存在极小化序列 $\left\{u_n\right\}_n \subset H^1(M)$ 满足

步骤 2 $\left\{u_n\right\}_n$ 在 $H^1(M)$ 中有界.

由 Palais-Smale条件, $J_\varepsilon(u_n)=m_\varepsilon+o(1)$. 结合引理 2.1 (vii) 与 (3.2), (3.5) 和 (3.6) 式, 可得

由于 $r\in(0,1)$ 时 $\mu >0$, $r=1$ 时 $0<\mu <\sigma\min\left\{1, \frac{q}{2}\right\}k_1^{-2}V_g^{-\frac{2}{3}}$, 故

步骤 3 $J_\varepsilon$ 的临界点即为 (1.7) 式的非负弱解.

注意到 $J_\varepsilon\left(u_n\right)=J_\varepsilon\left(\left|u_n\right|\right)$, 可设 $u_n \geqslant 0$. 由 (3.9) 式, 存在非负函数 $u_\varepsilon \in H^1(M)$, 及某个子列 (仍记为 $\left\{u_n\right\}_n$) 满足

再注意到

由引理 3.10 (iv), 右端第二项当 $n\rightarrow +\infty$ 时收敛到 $0$. 应用 Hölder 不等式, 有

由于

应用 Lebesgue 控制收敛定理, 得

最后, 由于 $\lim _{n \rightarrow \infty}(\delta J_{\mu, \eta, r}^\varepsilon(u_n)-\delta J_{\mu, \eta, r}^\varepsilon(u_\varepsilon))(u_n-u_\varepsilon)=0$, 由 (3.10) 式立即推得

故 $u_n \rightarrow u_\varepsilon$ 在 $H^1(M)$ 中强收敛. 结合 (3.7) 式, 可知 $u_\varepsilon$ 是 $J_\varepsilon$ 的临界点且 $J_\varepsilon(u_\varepsilon)=m_\varepsilon$.

步骤 4 $u_\varepsilon \in C^{2,\alpha}(M)$ 且 $u_\varepsilon>0$.

由正则性结果 (见引理 2.2), 存在 $0<\alpha<1$ 使得 $u_{\varepsilon}\in C^{2,\alpha}(M)$. 下面分情形证明 $u_\varepsilon \not\equiv0$.

情形 1 当 $r\in(0, 1)$ 时, $J_\varepsilon(u_\varepsilon)=m_\varepsilon<0=J_\varepsilon(0)$, 故 $u_\varepsilon \geq 0$ 且 $u_\varepsilon \not\equiv 0$.

情形 2 当 $r\in[1, \infty)$时, 由于 $\left\{u_n\right\}_n$ 是 $J_\varepsilon$ 的 Palais-Smale序列, 我们有

及

根据 (3.11) 与 (3.12) 式, 得

结合引理 2.1(i), 有

由于 $m_{\varepsilon}$ 一致有界且 $\|u_n\|_{H^1}$ 有界, 令 $n \rightarrow +\infty$, 推得

其中 $c$ 是 $m_\varepsilon$ 的上界. 若存在序列 $\varepsilon_j \rightarrow 0$ 使得 $u_{\varepsilon_j}=0$, 则由 (3.13)式得

与 $\mu >0$ 矛盾. 因此, 当 $\varepsilon$充分小时, $u_\varepsilon \not\equiv0$.

由紧流形上的最大值原理 (参见文献 [9,定理 5.7.2], 得 $u_\varepsilon >0$. 步骤 4 证毕.

步骤 5 $\varepsilon \rightarrow0^+$ 时, $u_\varepsilon$ 收敛到 (1.5) 式的解.

设 $\{\varepsilon_k \}_k$ 是正实数序列且 $\varepsilon_k \rightarrow 0$ ($k \rightarrow +\infty$), 令 $u_k=u_{\varepsilon_k}$, 则 $u_k$ 是 $M$ 上的正函数且在 $M$ 中满足

由 (3.8) 式及 $m_{\varepsilon}$ 一致有界, 序列 $\{u_k \}_k$ 在 $H^1(M)$ 中有界. 因此, 存在 $u \in H^1(M)$, 使得其某个子列满足

由引理 2.3, 存在 $\delta>0$ 使得 $u_k \geqslant \delta$, 故 $u \geq \delta$ 在 $M$ 上几乎处处成立.因此,

由 Lebesgue 控制收敛定理, 得

由 (3.14) 式, 对所有 $h \in H^1(M)$, 有

结合引理 2.1 (iv) 与 (3.15) 式, 令 $k \rightarrow +\infty$, 由 (3.16) 式得

这表明 $(u,\phi_u)$ 是问题 (1.5) 的弱解. 由引理 2.2 (ii) 与紧流形上的最大值原理 (参见文献 [9,定理 5.7.2]), 知 $(u,\phi_u)$ 是系统 (1.1) 的正解.

步骤 6 唯一性.

设 $(v, \phi_v)$ 也是系统 (1.1) 的解, 由 (1.6) 式, 有

以及

两式相减得

由于 $r \in(0, +\infty)$ 且 $u, v>0$ 在 $M$ 中, 成立下述不等式

结合引理 2.1 (vi) 与 (3.18) 式, 得

故 $\phi_u=\phi_v$. 由 $\phi_u$ 的唯一性得 $u=v$. 因此, $(u, \phi_u)$ 是系统 (1.1) 的唯一解.

本节考虑 $\eta=-1$ 时系统 (1.1) 解的存在性与多重性. 为简洁起见, 记 $\omega_0 = \min\{1, \omega^2\}$, $\omega_1 = \max\{1, \omega^2\}$, 并令 $J_\varepsilon=J_{\mu, \eta, r}^\varepsilon$. 首先讨论 $r\in (1, +\infty)$ 的情形.

定理 4.1 设 $(M, g)$ 为 $3$ 维光滑闭流形, $\eta=-1$, $r \in(1,+\infty)$, $a, q, m>0$ 为满足 $am<\frac{1}{2}$ 的正实数, $\omega\neq0$ 为实数. 若存在仅依赖于 $r$ 和 $\omega$ 的常数 $C(r, \omega)>0$, 使得对 $M$ 上某个光滑正函数 $\varphi>0$, 有

则系统 (1.1) 至少存在两个正解.

证 我们分如下四个步骤进行.

步骤 1 构造 $J_\varepsilon$ 的两个不同 Palais-Smale 序列.

定义泛函 $J^{(1)}: H^1(M) \rightarrow \mathbb{R}$ 如下

对固定 $\varepsilon>0$, 进一步定义 $J_{\varepsilon}^{(2)}: H^1(M) \rightarrow \mathbb{R}$ 为

则 $J_{\varepsilon}=J^{(1)}+J_{\varepsilon}^{(2)}$.

由引理 2.1 (i) 和 (ii), 对任意 $u \in H^1(M)$, 有

其中函数 $H, K:[0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ 定义为

函数 $H(t)$ 在 $\left[0, t_0\right]$ 上递增, 在 $\left[t_0,+\infty\right)$ 上递减, 其中

且$H\left(t_0\right)=\frac{\omega_0}{4}{t_0}^2.$

定义 $\theta>0$ 满足

易证

设 $\varphi \in C^{\infty}(M), \varphi>0$ 为定理 4.1 中所述的函数, 不失一般性, 可设 $\|\varphi\|_{H^1}=1$. 若选取 (4.1) 式中的常数 $C(r, \omega)$ 为

则 (4.1) 式等价于

结合 (4.4) 和 (4.5) 式, 得

由于 $\mu>0$, 有

因此

由引理 2.1 (iii), 对任意 $t>0$, 有

这蕴含 $\lim _{t \rightarrow +\infty}J_{\varepsilon}(t \varphi)=-\infty$. 因此可选取 $t_2>t_0$ 使得

令

则泛函 $J_\varepsilon$ 满足山路几何条件.

设 $\Gamma=\left\{\gamma \in C\left([0,1], H^1(M) \right): \gamma(0)=t_1\varphi, \gamma(1)=t_2\varphi\right\}$, 定义

显然 $c_{\varepsilon} \geq H\left(t_0\right)$. 取路径 $\gamma(t)=t \varphi$ （$t \in\left[t_1, t_2\right]$）, 可知 $c_{\varepsilon}$ 一致有界, 即

其中 $c>0$ 是与 $\varepsilon$ 无关的常数. 由山路引理 (参见文献 [2]), 存在水平值为 $c_\varepsilon$ 的 Palais-Smale 序列 $\left\{u_n\right\}_n \subset H^1(M)$ 满足

接下来, 令

其中 $t_0$ 由 (4.2) 式给出. 由 (4.7) 式及 $H$ 在 $\left(0,t_0\right)$ 上递增, 知 $m_\varepsilon$ 有定义且

在 $\overline{B_{t_0}(0)}$ 上应用Ekeland变分原理, 存在序列 $\left\{v_n\right\}_n \subset \overline{B_{t_0}(0)}$ 满足

及

断言: 当 $n$ 充分大时, $\left\|v_n\right\|_{H^1}<t_0$. 否则, 其某个子列满足 $\left\|v_n\right\|_{H^1}=t_0$. 由 (4.8), 当 $\left\|v_n\right\|_{H^1}=t_0$ 时 $J_\varepsilon\left(v_n\right) > H(t_0)$. 令 $n \rightarrow +\infty$ 并结合 (4.11) 式, 得 $\frac{1}{2}H(t_0)\geq m_\varepsilon \geq H(t_0)$, 矛盾. 因此可设对所有 $n \in \mathbb{N}$, $\left\|v_n\right\|_{H^1}<t_0$.

下面证明 $\delta J_\varepsilon\left(v_n\right) \rightarrow 0$ 在 $\left[H^1(M)\right]^*$ 中成立. 对任意满足 $\|z\|_{H^1}=1$ 的 $z \in H^1(M)$,选取充分小的 $\theta>0$ 使得对所有 $|T|<\theta$, $\left\|v_n+T z\right\|_{H^1} \leq t_0$. 由 (4.12) 式, 得

令 $T \rightarrow 0$, 得 $\delta J_\varepsilon\left(v_n\right)(z) \geq-\frac{1}{n}$. 同理, 将 $z$ 替换为 $-z$, 得 $\delta J_\varepsilon\left(v_n\right)(z) \leq \frac{1}{n}$.

因此, 对任意满足 $\|z\|_{H^1}=1$ 的 $z \in H^1(M)$, $\delta J_\varepsilon\left(v_n\right)(z) \rightarrow 0$（$n \rightarrow +\infty$）,即 $\left\{v_n\right\}_n\subset H^1(M)$ 是 $J_\varepsilon$ 在水平 $m_\varepsilon$ 处的 Palais-Smale 序列

步骤 2 Palais-Smale 序列在 $H^1(M)$ 中有界.

由 Palais-Smale条件, 可推得

及

由 (4.14) 和 (4.15) 式, 得

因此 $\|u_n\|_{H^1}$ 有界.

步骤 3 (1.7) 式存在两个不同正解.

沿用定理 1.1 证明中步骤 3 - 4 的方法, 存在函数 $u_\varepsilon, v_\varepsilon \in C^{2,\alpha}(M)$ 使得

$ u_\varepsilon$ 和 $v_\varepsilon$ 是 (1.7) 式的两个正解, 满足

步骤 4 $\varepsilon\rightarrow0^+$ 时, 序列 $u_\varepsilon$ 和 $v_\varepsilon$ 收敛到 (1.5) 式的不同解.

设 $\{\varepsilon_k \}_k$ 是正实数序列且 $\varepsilon_k \rightarrow 0$（$k \rightarrow +\infty$）, 令 $u_k=u_{\varepsilon_k}, v_k=v_{\varepsilon_k}$, 则 $u_k$ 是 $M$ 上的正函数且满足

类似定理 1.1 证明中步骤 5 的方法, 有

此外, 对所有 $h \in H^1(M)$, 成立

及

在 (4.20) 式中取 $h=u_k$ 并令 $k \rightarrow +\infty$, 得

在 (4.21) 式中取 $h=u$, 得

结合 (4.22) 与 (4.23) 式, 得 $\lim _{k \rightarrow +\infty} \int_M |\nabla_g u_k|_g^2\mathrm{d}v_g=\int_M |\nabla_g u|_g^2\mathrm{d}v_g$, 因此

由 (4.17) 和 (4.24) 式, 得

这表明 $(u,\phi_u)$ 和 $(v,\phi_v)$ 是系统 (1.1) 的两个不同正解.

定理 4.2 设 $(M, g)$ 为 $3$ 维光滑闭流形, $a, q, m>0$ 为满足 $am<\frac{1}{2}$ 的正实数, $\omega\neq0$ 为实数. 若 $\eta=-1$ 且 $r =1$, 且存在仅依赖于 $r$ 和 $\omega$ 的常数 $C(r, \omega)>0$,使得对 $M$ 上某个光滑正函数 $\psi>0$, 有

则系统 (1.1) 至少存在两个正解.

证 借鉴定理 4.1 的证明思路, 只需证明存在两个不同能量水平的有界 Palais-Smale 序列.

对 $u \in H^1(M)$, 若 $\mu<\frac{\omega_0}{2}k_1^{-2}V_g^{-\frac{2}{3}}$, 由引理 2.1 (i) 与 (3.4) 式, 有

定义 $Q(t)=\frac{\omega_0}{4} t^{2}- \pi q^2k_1^4k_2^2 V_g^{\frac{4}{3}}t^{4}$ （$t\geq 0$）, 则 $Q(t)$ 在

处取得最大值, 且

定义 $t_3=\frac{1}{4}\left(\frac{\omega_0}{\omega_1}\right)^{\frac{1}{2}}d<d$, 易证

设 $\psi \in C^{\infty}(M)$ 为定理 1.2 中所述的正函数, 不失一般性, 可设 $\|\psi\|_{H^1}=1$. 若选取 (4.25) 式中的常数 $C(r, \omega)=\frac{\omega_0^4}{2048\omega_1}$, 由引理 2.1 (ii) 与 (4.27) 式, 当 $\varepsilon$ 充分小时, 有

对 $t>0$, 有

这蕴含 $\lim _{t \rightarrow +\infty}J_{\varepsilon}(t \psi)=-\infty$. 因此可选取 $t_4>d$ 使得

由 (4.26) 式, 得

令

则泛函 $J_\varepsilon$ 满足山路几何条件.

定义

显然 $c_{\varepsilon}\geq Q\left(d\right)$. 取路径 $\gamma(t)=t \psi$（$t \in\left[t_3, t_4\right]$）, 可知 $c_{\varepsilon}$ 一致有界, 即存在与 $\varepsilon$ 无关的常数 $c>0$, 使得

由山路引理, 存在序列 $\left\{u_n\right\}_n \subset H^1(M)$ 满足

由 (4.26) 式, $m_\varepsilon=\inf _{\overline{B_{d}(0)}} J_\varepsilon$ 有定义 (其中 $\overline{B_{d}(0)}=\{ u\in H^1(M):\|u\|_{H^1} \leq d\}$), 且

在 $\overline{B_{d}(0)}$ 上应用 Ekeland 变分原理, 存在序列 $\left\{v_n\right\}_n \subset \overline{B_{d}(0)}$ 满足

由标准的证明可知, $\left\{v_n\right\}_n $ 是 $J_\varepsilon$ 在水平 $m_ {\varepsilon}$ 处的 Palais-Smale 序列.

下面证明 Palais-Smale 序列的有界性. 借鉴 (4.16) 式的论证思路, 由 (3.4) 式可得

因此

由于 $\mu <\frac{\omega_0}{2}k_1^{-2}V_g^{-\frac{2}{3}}$, 故 $\|u_n\|_{H^1}$ 有界.

进而, $u_n$ 和 $v_n$ 分别收敛到问题 (1.7) 的两个不同解 $u_\varepsilon$ 和 $v_\varepsilon$, 满足

此外, 当 $\varepsilon\rightarrow 0^+$ 时, $u_\varepsilon$ 和 $v_\varepsilon$ 收敛到 (1.5) 式的两个不同解 $u$ 和 $v$.

定理 4.3 设 $(M, g)$ 为 $3$ 维光滑闭流形, $a, q, m>0$ 为满足 $am<\frac{1}{2}$ 的正实数, $\omega\neq0$ 为实数. 若 $\eta=-1$ 且 $r \in(0,1)$, 则存在常数

使得对任意 $\mu \in\left(0, \overline{\mu}\right)$, 系统 (1.1) 至少存在两个正解.

证 借鉴定理 1.1 和 4.1 的证明思路, 只需证明存在两个不同能量水平的有界 Palais-Smale 序列. 对 $u \in H^1(M)$, 由引理 2.1 (i) 与 (3.1) 式, 有

定义 $G(t)=\frac{\omega_0}{2} t^{1+r}- \pi q^2k_1^4k_2^2 V_g^{\frac{4}{3}}t^{3+r}$（$t\geq 0$）, 则 $G(t)$ 在

处取得最大值, 且

由 (4.36) 式可知, 若 $\mu<\overline{\mu}$ (其中 $\overline{\mu}$ 由 (4.35) 式定义), 则存在

使得 $\left.J_\varepsilon(u)\right|_{\|u\|_{H^1}=b} \geq \rho>0$.

对任意固定的 $\psi\in H^1(M)\backslash\{0\}$, 由引理 2.1 (iii), 估计得

这蕴含 $\lim _{t \rightarrow +\infty}J_{\varepsilon}(t\psi)=-\infty$. 因此可选取 $t_*>0$ 使得 $\left\|t_*\psi\right\|_{H^1}>b$ 且 $J_\varepsilon \left(t_*\psi\right)<0<\rho$ (其中 $b$ 和 $\rho$ 分别由 (4.37) 和 (4.38) 式定义).

定义山路水平

其中 $\Gamma=\left\{\gamma \in C\left([0,1], H^1(M)\right): \gamma(0)=0, \gamma(1)=t_*\psi\right\}$. 由于对 $u \in H^1(M)$ 有 $J_\varepsilon(u) \leq \frac{\omega_1}{2} \|u\|_{H^1}^2$,故当 $\varepsilon\rightarrow 0^+$ 时 $c_{\varepsilon}$ 一致有界, 即对所有充分小的 $\varepsilon$, 存在与 $\varepsilon$ 无关的常数 $c>0$, 使得

由山路引理, 存在序列 $\left\{u_n\right\}_n \subset H^1(M)$ 满足

由 (4.36) 式, $m_\varepsilon=\inf _{\overline{B_{b}(0)}} J_\varepsilon$ 有定义 (其中 $\overline{B_{b}(0)}=\{ u\in H^1(M):\|u\|_{H^1} \leq b\}$). 对任意 $h \in H^1(M) \backslash\{0\}$, 成立

因此, 对所有 $h \neq 0$, 当 $t$ 与 $\varepsilon$ 充分小时 $J_\varepsilon(t h)<0$. 由 (4.36) 式可知, 对所有充分小的 $\varepsilon$, 存在与 $\varepsilon$ 无关的常数 $c>0$, 使得

在 $\overline{B_{b}(0)}$ 上应用 Ekeland 变分原理, 存在序列 $\left\{v_n\right\}_n \subset \overline{B_{b}(0)}$ 满足

通过标准的证明可知, $\left\{v_n\right\}_n $ 是 $J_\varepsilon$ 在水平 $m_ {\varepsilon}$ 处的 Palais-Smale 序列.

下面证明 Palais-Smale 序列的有界性. 借鉴 (4.16) 式的论证思路, 由 (3.1) 式可得

因此 $\|u_n\|_{H^1}$ 有界.

进而, $u_n$ 和 $v_n$ 分别收敛到问题 (1.7) 的两个不同解 $u_\varepsilon$ 和 $v_\varepsilon$, 满足

此外, 当 $\varepsilon\rightarrow 0^+$ 时, $u_\varepsilon$ 和 $v_\varepsilon$ 收敛到 (1.5)式的两个不同解 $u$ 和 $v$.

借鉴文献 [15,定理 2.4] 和文献 [1,定理 4.2] 的证明技巧, 可得下述上下解定理

定理 5.1 设 $(M, g)$ 为 $3$ 维光滑闭流形, $a, q, m>0$ 为正实数, $r\in(0, +\infty)$, $\eta=-1$. 若 $am<\frac{1}{2}$ 且 $\omega\neq0$, 且存在 $0<\underline{u}\leq\overline{u}$ 分别为 (1.5) 式的下解和上解,则存在 $\alpha \in(0,1)$ 使得 (1.5) 式有解 $u \in C^{2, \alpha}(M)$, 且在 $M$ 中满足 $\underline{u} \leq u \leq \overline{u}$.

定义

定理 1.2 的证明 由定理 4.1-4.3, 可得 $\mu_1$ 的一个下界

其中下确界取遍 $M$ 上所有满足 $ \|\varphi\|_{H^1}=1 $ 的光滑正函数 $ \varphi $.

当 $\mu_1\leq\mu<\mu_2$ 时, 由 $\mu_2$ 的定义, 存在 $\mu<\mu_0<\mu_2$ 使得(1.5) 式在 $\mu=\mu_0$ 时有解 $u_0$. 因此 $u_0$ 满足

即 $u_0$ 是 (1.5) 式的上解.

设 $e$ 是方程

的解. 由正则性理论和最大值原理, $e \in C^2(M)$ 且 $e>0$. 考虑 $\theta=te$ （$t>0$）, 当 $t$ 充分小时, 有

因此, 存在 $t_0>0$ 使得对所有 $t\in(0, t_0)$, $\theta$ 是 (1.5) 式的下解, 且 $\theta\leq u_0$.

综上, 应用定理 5.1 可得, 对所有 $\mu_1\leq\mu<\mu_2$, (1.5) 式有解.

当 $\mu>\mu_2$ 时, 由 $\mu_2$ 的定义, (1.5) 式无解. 定理得证.