拟微分算子由 Kohn-Nirenberg^[21] 和 Hörmander^[19] 首次明确定义, 用以连接奇异积分与微分算子. 这类算子可视为 Fourier 乘子的自然推广, 并且是现代分析与偏微分方程理论的核心.拟微分算子的定义如下: 设 $m, \rho, \delta$ 为满足 $0 \leq \delta \leq \rho \leq 1$ 的实数, 且排除情形 $(\rho, \delta) = (1, 1)$. 象征类 $S_{\rho, \delta}^m (\mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^d)$ 定义为全体函数 $\sigma \in C^\infty (\mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^d)$ 的集合, 使得对任意多重指标 $\alpha, \beta$, 存在常数 $C_{\alpha, \beta}$ 满足

进而, 与象征 $\sigma(x, \xi) \in S_{\rho, \delta}^m (\mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^d)$ 相关联的拟微分算子 $A$ 定义为作用于 Schwartz 空间 $\mathscr{S}(\mathbb{R}^d)$ 上的线性算子, 其积分表达式为

其中 $\hat{f}$ 表示 $f$ 的 Fourier 变换, $\bar{\rm d} \xi = (2 \pi)^{-d} {\rm d}\xi$. 众所周知, $P$ 定义了从$\mathscr{S}(\mathbb{R}^d)$ 到自身的一个线性映射. 文献中一般用 $\Psi_{\rho, \delta}^m (\mathbb{R}^d):= \{A : \sigma \in S^m_{\rho,\delta} (\mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^d)\}$ 表示阶数为 $m$ 的拟微分算子的全体. 本文主要考虑情形 $(\rho,\delta)= (1,0)$, 后面将略去角标 $\rho,\delta$.

拟微分算子理论被成功地推广到流形上、即弯曲的几何空间中. 其核心是通过局部化粘合的技术, 并将分析信息 (主象征) 几何化为余切丛上的函数. 这一理论为研究流形上的线性偏微分方程提供了强大的框架, 其顶点是连接分析、几何与拓扑的 Atiyah-Singer 指标定理, 成为现代数学中一个极为深刻和活跃的研究领域. 参见[35,42] 等重要著作.

1970-1980 年, Birman 和 Solomyak 给出了经典 $d$ 维紧流形上关于负阶拟微分算子的 Weyl 定律, 即描述了一个 (光滑的) 负阶拟微分算子的特征值衰减速度

其中 $\mu(j,P)$ 表示计重数按绝对值由大到小排列的算子的特征值. 更精确地, 对于正的自伴的拟微分算子$P$, 若其阶数为$-m$, 则

其中$\mathrm{Vol}_{S^*M}$是单位余球丛上Liouville体积形式, $\sigma(P)_{-m}$ 表示算子的主象征. 对于非正的自伴算子考虑正部和负部

这里 $\mu^\pm(j,P)$ 则表示算子的正 (负) 特征值序列, $\sigma(P)_{-m}^{\pm}$ 表示主象征的正 (负) 部. 该 Weyl 律表明本征值衰减的速度以及衰减的极限常数完全由算子的主象征决定.

Connes 在文献 [11] 中革命性地引入了非交换几何, 以此作为非交换设定下微分形代数的替代工具, 随后这一观点在数学物理中得到了应用^[12]. Connes 还成功运用其量子化微积分, 为平面上 Julia 集及拟 Fuchsian 群极限集的 Hausdorff 测度提供了计算公式见文献 [第 4 章第 3 节].

如文献 [11] 所述, 非交换几何的核心构成要素包括: 一个可分的 Hilbert 空间 $ H $、其上的一个酉自伴算子 $ F $, 以及一个在 $ H $ 上表示的 $ C^* $- 代数 $ A $, 使得对所有的 $ a \in A $, 交换子 $[F,a]$ 是 $ H $ 上的紧算子. 那么, 元素 $ a \in A $ 的量子微分定义为算子 $ da = [F,a] $. Connes 将 $ H $ 上的紧算子描述为 "无穷小" 算子, 而奇异值序列的衰减速率

在某种程度上对应于无穷小量 $ T $ 的 "大小". 在此框架下, 人们可以通过序列 $\{\mu(n,da)\}_{n=0}^\infty$ 的衰减速率来量化元素 $ a \in A $ 的光滑性. 特别令人感兴趣的是那些满足如下条件的元素 $ a \in A $:

其中 $ p \in (0,\infty) $. 上述第一个条件意味着 $ da $ 属于弱 Schatten 理想 $ \mathcal{L}_{p, \infty} $, 而第二个条件则意味着 $ da $ 属于 Schatten 理想 $ \mathcal{L}_p $. Connes 同时还定义量子积分为弱 Schatten 理想 $ \mathcal{L}_{1, \infty} $上的 Dixmier 迹. 当算子 $T \in \mathcal{L}_{1, \infty}$ 的奇异值渐近极限 $\lim_{n}\mu(n, T)$ 存在时, $T$ 的 Dixmier 迹刚好是该极限. 这一现象表明, 在非交换几何的框架中, 对算子的奇异值渐近性的研究以及渐近极限的计算至关重要. 而在人们熟知的一些 (非交换) 流形中, 交换子 $[F,a]$ 的 Schatten 性质与一类特殊的拟微分算子一致, 这表明 Birman 和Solomyak 等人关于拟微分算子渐近极限的公式 (1.1) 在非交换几何的研究中极其关键.

本文将在量子环这一非交换流形上研究拟微分算子的谱渐近极限, 以此推动量子环上非交换几何框架的完善. 在非交换情形, 拟微分算子理论已被众多学者推广, 尤其是量子环的情形; 参见文献 [15,23,24,30,40,44]. 本文此部分的主要参考文献为 [1,9,14], 更详细的讨论可参见文献 [16,17,22,27,28]. 2023 年, Sukochev、熊枭和 Zanin 在文献 [39] 中计算了量子环上一类特殊的拟微分算子 (形如 $0$ 阶古典拟微分算子乘以 $-1$ 阶的Riesz 位势) 的谱渐近极限、即 Weyl 律, 并进一步计算量子环上量子微分的 Dixmier 迹公式; McDonald 和 Ponge 在文献 [27] 中将该 Weyl 律推广到了带黎曼度量的弯曲量子环上. 但对于一般的椭圆拟微分算子, 该 Weyl 律还未被证明. McDonald 和 Ponge 在文献 [27] 中将一般情形列为以下猜想

设 $P=P^*\in \mathrm{C}\Psi^{-m}(\mathbb{T}_\theta^d),m>0$, 并且 $P$ 的主象征为 $\rho_{-m}(\xi)$, 设 $p=dm^{-1}$, 那么

其中积分是在单位球面 $\mathbb{S}^{d-1} \subset \mathbb{R}^d$ 上进行的, d$ \xi$ 表示球面的表面积测度.

本文将在一般情形验证这一猜想; 具体而言, 我们将证明以下结论 (见定理 6.3): 设 $T \in \mathrm{C}\Psi^{-m}(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$ 为阶数 $-m < 0$ 的古典拟微分算子, $\sigma(T)_{-m}$ 为其主象征, 那么

猜想 (1.2) 即成为这一结论与拟微分算子象征演算的推论 (见推论 6.2).

下面简要叙述我们证明 (1.3) 式的方法, 这与 Sukochev、熊枭和 Zanin^[39] 以及 McDonald 和 Ponge^[27] 对特殊拟微分算子的处理有本质不同. 我们的核心技术手段是将 Seeley^[34] 对椭圆算子复数次幂的构造推广到非交换的情形, 这个构造使得我们清晰地观察到拟微分算子复数次幂和其主象征复数次幂之间的关系, 从而捕捉到拟微分算子复数次幂的解析性质. 事实上, 拟微分算子复数次幂算子的迹即为算子的 Riemann $\zeta$-函数. 然后, 结合 Tauberian 定理,我们发现, 该 Riemann $\zeta$-函数最右侧奇点的留数即对应算子的谱渐近极限. 上述思路是自洽的, 所用到的背景知识只涉及到泛函分析、调和分析等领域中一些成熟的理论; 因此, 该方法更具一般性, 将来有望应用于更多 (非交换) 流形上的拟微分算子.

本文的结构如下: 第 2 节收集基本的预备知识, 包括非交换 $L_p$ 空间、量子环上的函数空间以及其上的拟微分算子理论. 第 3 节叙述量子环上的 Schwartz 核定理, 描述一般光滑化线性算子核的显式表示, 并利用此显式核计算算子的迹, 这对后面 Riemann $\zeta$-函数的定义及解析延拓至关重要. 第 4 节出于本文的整体完备性, 将^[17,22] 中量子环上的含参拟微分算子以及椭圆拟微分算子的预解式的相关结论完整叙述, 并对^[17,22] 中没有给出详细证明的部分加以证明. 第 5 节为本文的核心, 利用围道积分定义拟微分算子的复数次幂以及算子主象征的复数次幂, 通过分析它们之间的联系得到拟微分算子复数次幂的结构定理, 本节最后的定理指出, 拟微分算子复数次幂的核为定义在复平面上的 (算子值) 亚纯函数, 且其简单极点的留数均可具体计算. 本文最后一节基于第 5 节的拟微分算子复数次幂的结构定理, 结合 Tauberian 定理, 给出主要结论、即 (1.3) 式; 最后给出该结论的几个重要推论, 包括量子环上 Laplace-Beltrami 算子的 Weyl 律.

本节介绍非交换 $L_p$ 空间的定义及其基本性质. 关于非交换 $L_p$ 空间的更多细节, 可参见文献 [31,46,47].

设 $\mathcal{M}$ 是一个配备正规、半有限、忠实 (n.s.f.) 迹 $\tau$ 的 von Neumann 代数. 记 $\mathcal{S}_{+}(\mathcal{M})$ 为 $\mathcal{M}$ 中所有满足 $\tau(s(x)) < \infty$ 的正元素 $x$ 的集合, 其中 $s(x)$ 表示 $x$ 的支撑, 即满足 $ex = x = xe$ 的最小投影 $e \in \mathcal{M}$. 令 $\mathcal{S}(\mathcal{M}) = \operatorname{span}\big(\mathcal{S}_{+}(\mathcal{M})\big)$, 则 $\mathcal{S}(\mathcal{M})$ 中每个元素均具有有限迹, 且 $\mathcal{S}(\mathcal{M})$ 构成 $\mathcal{M}$ 的一个 $w^*$-稠密的 $*$-理想. 对于 $1 \le p < \infty$ 及任意 $x \in \mathcal{S}(\mathcal{M})$, 算子 $|x|^p$ 属于 $\mathcal{S}_{+}(\mathcal{M})$, 其中 $|x| = (x^* x)^{1/2}$ 为 $x$ 的模. 我们定义

该表达式在 $\mathcal{S}(\mathcal{M})$ 上诱导一个范数. 将 $\big(\mathcal{S}(\mathcal{M}), \|\cdot\|_p\big)$ 完备化所得的空间称为与 $(\mathcal{M}, \tau)$ 相关联的非交换 $L_p$ 空间, 记作 $L_p(\mathcal{M})$. 为统一表述, 定义 $L_\infty(\mathcal{M}) = \mathcal{M}$ 并赋予其算子范数 $\|\cdot\|_\infty$. 与经典 $L_p$ 空间类似, 非交换 $L_p$ 空间也具备对偶性与插值性等核心性质, 构成了非交换分析中的基本框架.

当 $\mathcal M = B(H)$ 时, $B(H)$ 上的标准迹 $\operatorname{Tr}$ 所对应的 $L_p$ 空间为 Schatten 类, 为了突出 Hilbert 空间, 记作 $\mathcal{S}_p(H)$. 下一小节, 我们还将从奇异值的角度理解非交换 $L_p$ 空间、包括 Schatten 类.

本节介绍关于算子理想与迹的内容, 更多细节可参考文献 [25,26,36]. 设 $H$ 为一个复可分的 Hilbert 空间, $B(H)$ 表示 $H$ 上的有界算子代数, $\mathcal{K}(H)$ 表示其紧算子理想. 对于任意 $T \in \mathcal{K}(H)$, 其奇异值序列 $\mu(T) = \{\mu(k, T)\}_{k=0}^{\infty}$ 定义为

等价地, $\mu(T)$ 是算子 $|T|$ 的特征值按非增顺序排列而成的序列, 计入重数.

对于配备正规、半有限、忠实迹 $\tau$ 的半有限 von Neumann 代数 $\mathcal{M}$, 奇异值序列的概念可推广为奇异值函数. 对 $x \in \mathcal{M}$, 定义

以及

其中 $e_s^{\perp}(|x|)$ 表示算子 $|x|$ 关于区间 $(s, \infty)$ 的谱投影.

对于紧算子 $x \in \mathcal{K}(H)$, 其奇异值函数 $\mu(t,x)$ 是一个右连续的阶梯函数, 满足 $\mu(t,x) = \mu(k,x)$ 对所有 $t \in [k-1, k)$ 成立, 其中 $\{\mu(k,x)\}_{k=1}^\infty$ 是 $x$ 的按递减顺序排列的奇异值序列. 因此, $\mu(t,x)$ 所蕴含的信息完全由离散序列 $\{\mu(k,x)\}_{k=1}^\infty$ 所决定.而在一般的半有限 von Neumann 代数中, 正规半有限忠实迹 $\tau$ 是连续的 (没有原子投影), 这迫使奇异值必须用连续函数 $\mu(t,x)$ 来描述.

以下两个关于奇异值的基本性质将经常在后文中使用

以及

参见例如文献 [25,第 2.3 节] 或文献 [46,第 1.5 节].

对于一般的半有限 von Neumann 代数 $\mathcal{M}$, 紧算子的概念可推广为 $\tau$-紧算子

定义 2.1 设 $\mathcal{M}$ 为半有限 von Neumann 代数. 若元素 $A \in \mathcal{M}$ 满足

则称 $A$ 为 $\tau$-紧的.

所有 $\tau$-紧元素构成的集合在算子范数下是 $\mathcal{M}$ 的一个闭双边理想, 记为 $\mathcal{C}_0(\mathcal{M})$. 特别地, 若 $\mathcal{M}$ 为有限 von Neumann 代数, 则 $\mathcal{M} = \mathcal{C}_0(\mathcal{M})$.

设 $0 < p < \infty$. 非交换 $L_p$ 空间 $L_p(\mathcal{M})$ 上的范数可以用奇异值函数来表示

对于 $0 < p < \infty$ 和 $0 < q < \infty$, 非交换 Lorentz 空间 $L_{p,q}(\mathcal{M})$ 由所有满足

的 $A \in L_0(\mathcal{M})$ 构成. 当 $q = \infty$ 时, 空间 $L_{p,\infty}(\mathcal{M})$ 称为非交换弱 $L_p$-空间 (其中 $0 < p < \infty$), 其范数定义为

由文献 [29,引理 1.17] 可知, 当 $t \rightarrow \infty$ 时 $\mu(t, A)$ 的渐近性与当 $s \rightarrow 0$ 时 $\tau\big(e_{s}^{\perp}(A)\big)$ 的渐近性等价, 具体而言, 即为以下引理.

引理 2.1 设 $0 < p < \infty$ 且 $0 \le A \in L_{p, \infty}$, 则

如果其中一个极限存在.

对于非交换弱 $L_p$ 空间, 有如下形式的 Hölder 不等式

其中 $1/r = 1/p + 1/q$, $c_{p,q}$ 为仅依赖于 $p,q$ 的常数.

定义子集

该集合 $(L_{p,\infty})_0$ 恰好是 $L_{p,\infty}$ 中所有有限秩算子的闭包. 由 Hölder 不等式可知, 若 $T \in L_{p,\infty}$ 且 $A$ 为紧算子, 则 $TA, AT \in (L_{p,\infty})_0$; 进一步, 若 $T \in L_{p,\infty}$ 且 $S \in (L_{q,\infty})_0$, 则 $TS, ST \in (L_{r,\infty})_0$, 其中 $1/r = 1/p + 1/q$.

以下两个引理出自文献 [7], 在之后研究奇异谱渐近时会经常用到.

引理 2.2 设 $A \in L_{p,\infty}$ 且 $B \in (L_{p,\infty})_0$. 若极限 $\lim_{t \to \infty} t^{1/p} \mu(t, A)$ 存在, 则

引理 2.3 设序列 $(A_n)_{n \geq 0} \subset L_{p,\infty}$ 满足

(i) $A_n \to A$ 于 $L_{p,\infty}$ 中;

(ii) 对每个 $n \geq 0$, 极限 $\lim_{t \to \infty} t^{1/p} \mu(t, A_n) = c_n$ 存在.

则极限 $\lim_{t \to \infty} t^{1/p} \mu(t, A)$ 与 $\lim_{n \to \infty} c_n$ 均存在且相等.

量子环上的调和分析是一个发展成熟的研究领域. 这一节的阐述主要依据文献 [8] 和 ^[45], 下面介绍与之相关的基本定义.

固定整数 $d>1$, 并设 $\theta = \{\theta_{j,k}\}_{j,k=1}^d$ 为一个 $d \times d$ 实反对称矩阵. 非交换环面的连续函数构成的 $C^*$-代数, 记作 $C(\mathbb{T}_\theta^d)$, 是由 $d$ 个酉生成元 $U_1, \cdots, U_d$ 生成的单位 $C^*$-代数, 满足如下交换关系

对于 $n = (n_1, \cdots, n_d) \in \mathbb{Z}^d$, 我们采用简写记号

环面群 $\mathbb{T}^d$ 在 $C(\mathbb{T}_\theta^d)$ 上有一个作用 $\alpha$, 其在生成元上的定义为

该作用可唯一地延拓为 $C(\mathbb{T}_\theta^d)$ 上的一个范数连续自同构群. 通过在 $\alpha$ 上取平均, 可在 $C(\mathbb{T}_\theta^d)$ 上构造一个典范迹态 $\tau$: 具体而言, $C(\mathbb{T}_\theta^d)$ 在 $\alpha$ 下的不动点子代数恰好是 $\mathbb{C} \cdot 1$. 因此, 对任意 $x \in C(\mathbb{T}_\theta^d)$, 积分

关于 $\mathbb{T}^d$ 上的归一化 Haar 测度 $m$ 计算, 结果为单位元的某个标量倍. 定义

即得 $C(\mathbb{T}_\theta^d)$ 上的典范迹态 $\tau$.

利用 $\tau$ 可构造 GNS Hilbert 空间 $L_2(C(\mathbb{T}_\theta^d), \tau)$, 记为 $L_2(\mathbb{T}_\theta^d)$. 我们将 $C(\mathbb{T}_\theta^d)$ 视为 $L_2(\mathbb{T}_\theta^d)$ 上有界算子代数中的 $*$-子代数, 其中每个 $x \in C(\mathbb{T}_\theta^d)$ 通过左乘法作用于向量 $\xi \in L_2(\mathbb{T}_\theta^d)$. 在 $\mathcal{B}(L_2(\mathbb{T}_\theta^d))$ 中取弱算子闭包 $C(\mathbb{T}_\theta^d)^{\prime\prime}$, 得到一个 von Neumann 代数, 记为 $L_\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$.

对于 $p \in [1, \infty)$, $\mathbb{T}_\theta^d$ 上的 $L_p$ 空间定义为与 $(L_\infty(\mathbb{T}_\theta^d), \tau)$ 相关的非交换 $L_p$ 空间 $L_p(\mathbb{T}_\theta^d)$.对于 $x \in L_1(\mathbb{T}_\theta^d)$ 和 $n \in \mathbb{Z}^d$, 其 Fourier 系数定义为

由 $\tau$ 的定义可知 $\tau(U^n) = \delta_{n,0}$. 根据 Hilbert 空间理论, 每个 $x \in L_2(\mathbb{T}_\theta^d)$ 都具有 $L_2$ 收敛的 Fourier 展开式

并满足 Parseval 恒等式

在 (2.1) 式中所定义的作用是强连续的, 因此我们得到一个 $C^*$- 动力系统 $(C(\mathbb{T}_\theta^d), \mathbb{R}^d, \alpha)$. 该动力系统中的光滑元素所构成的子代数 $C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d)$, 也称为光滑量子环, 其定义为

酉元 $U^n$ (其中 $n \in \mathbb{Z}^d$) 均属于 $C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d)$, 因此 $C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d)$ 是 $C(\mathbb{T}_\theta^d)$ 和 $L_\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$ 的稠密 $*$- 子代数. 记 $\mathscr{S}(\mathbb{Z}^d)$ 为所有复数值速降序列组成的空间. 根据 Fourier 级数分解 (2.2)-(2.3), 可以得到

当 $\theta = 0$ 时, 上述构造退化为经典环面 $\mathbb{T}^d$ 上的光滑函数代数 $C^{\infty}(\mathbb{T}^d)$, 并与其 Fourier 级数表示一致. 该空间推广了经典环面上的 $C^\infty$ 函数, 并配备由半范数族 $\sup_n (1+|n|)^k |\widehat{x}(n)|$ 定义的 Fréchet 拓扑. 其拓扑对偶空间记为 $\mathcal{D}'(\mathbb{T}_\theta^d)$, 称为 $\mathbb{T}_\theta^d$ 上的分布空间.

结合本节之前的讨论, 在量子环上可以得到如下的包含关系 ($1\leq p \leq \infty$):

经典调和分析中许多关于 $\mathbb{T}^d$ 的结论可自然推广至 $\mathbb{T}_\theta^d$. 特别地, 偏微分算子 $\partial_j$ ($ j=1,\cdots,d$) 在基 $\{U^n\}$ 上定义为

每个 $\partial_j$ 可延拓为 $L_2(\mathbb{T}_\theta^d)$ 上稠定、闭且无界的算子, 其伴随算子为 $-\partial_j$. 定义拉普拉斯算子 $\Delta := \partial_1^2 + \cdots + \partial_d^2$, 则 $\Delta = -(\partial_1^*\partial_1 + \cdots + \partial_d^*\partial_d)$, 故 $-\Delta$ 是 $L_2(\mathbb{T}_\theta^d)$ 上的正算子, 其谱为 $\{ |n|^2 : n \in \mathbb{Z}^d\}$. 类比经典情形, 令 $D_j = -{\rm i}\partial_j$, 则 $D_j$ 为自伴算子. 对多重指标 $n = (n_1, \cdots, n_d) \in \mathbb{N}_0^d$, 定义微分算子 $D^n = D_1^{n_1} \cdots D_d^{n_d}$, 其阶数为 $|n|_1 = n_1 + \cdots + n_d$. 这些导数可通过对偶性延拓至 $\mathcal{D}'(\mathbb{T}_\theta^d)$.

对任意实数 $\alpha$, 记 $J_\theta^\alpha = (1 - \Delta)^{\alpha/2}$ 为阶数 $\alpha$ 的 Bessel 位势. 阶数为 $\alpha$ 的分数阶 Sobolev 空间 (或称位势 Sobolev 空间) 定义为

其范数为

由于 $J_\theta^0 = I$, 有 $H_p^0(\mathbb{T}_\theta^d) = L_p(\mathbb{T}_\theta^d)$. 当 $\alpha = k \in \mathbb{N}_0, 1<p<\infty$ 时, 空间 $H_p^k(\mathbb{T}_\theta^d)$ 存在一个等价范数, 可用不超过 $k$ 阶的导数表示

其范数为

上述范数与由 Bessel 位势定义的范数 $\|J_\theta^k x\|_p$ 的等价性是非交换调和分析中的基本结果. 当 $p=2$ 时, 该结论见于文献 [37,定理 2.1]; 对一般情形 $1 < p < \infty$, 参见文献 [45,定理 2.9].

本文主要研究 Hilbert 空间情形 $H_2^\alpha(\mathbb{T}_\theta^d)$. 对每个 $\alpha \in \mathbb{R}$, 该空间在如下内积下构成 Hilbert 空间

由文献 [37,定理 3.3] 和文献 [17,命题 9.2] 可知, 对任意实数 $\alpha > \beta$, 嵌入

是紧的.

量子环上的 Sobolev 空间为 $C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$ 提供了一族自然的 Hilbert 空间尺度, 具有拓扑结构意义, 可用于插值 $C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$ 与其对偶空间 $\mathcal{D}'(\mathbb{T}_\theta^d)$. 相关内容可参见文献 [17,32,37].

命题 2.1 设 $H_2^\alpha(\mathbb{T}_\theta^d)$ 为量子环上的 Sobolev 空间, 其中 $\alpha \in \mathbb{R}$. 则其满足以下性质

(i) 空间嵌入关系

(ii) 拓扑刻画: $C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$ 的拓扑由 Sobolev 范数 $\|\cdot\|_{H_2^\alpha}$ ($\alpha \in \mathbb{R}$) 所生成.

(iii) 对偶空间的强拓扑: $\mathcal{D}'(\mathbb{T}_\theta^d)$ 的强拓扑与 Sobolev 空间族 $\{H_2^\alpha(\mathbb{T}_\theta^d)\}_{\alpha \in \mathbb{R}}$ 的归纳极限拓扑一致.

接下来, 我们整理一些关于量子环上象征类与拟微分算子的基本定义和已知性质.记 $\langle\xi\rangle$ 为 $\mathbb{R}^d$ 上的函数 $(1+|\xi|^2)^{1/2}$. 对于任意 $m \in \mathbb{R}$, 象征类 $S^m(\mathbb{R}^d; C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d))$ 是由所有满足以下条件的映射 $\sigma \in C^{\infty}(\mathbb{R}^d; C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d))$ 构成: 对所有多重指标 $\alpha, \beta \in \mathbb{N}_0^d$, 存在常数 $C_{\alpha,\beta} > 0$, 使得

赋予由半范数族

生成的局部凸拓扑, 空间 $S^m(\mathbb{R}^d; C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d))$ 成为一个 Fréchet 空间.

设 $\sigma \in S^m(\mathbb{R}^d; C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d))$, 其中 $m \in \mathbb{R}$, 且对每个 $j \in \mathbb{N}$, 有 $\sigma_j(\xi) \in S^{m-j}(\mathbb{R}^d; C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d))$. 若对任意 $N \geq 1$,

则称 $\sigma(\xi) \sim \sum_{j \geq 0} \sigma_j(\xi)$, 称为象征 $\sigma$ 的渐近展开. 定义 $-\infty$ 阶象征为

下面我们给出量子环上基于上述象征的拟微分算子的定义. 设 $\alpha_s$ 为由

定义的 $d$-参数自同构群. 当通过对应关系 $(s_1,\cdots,s_d) \leftrightarrow ({\rm e}^{ {\rm i}s_1},\cdots,{\rm e}^{{\rm i} s_d})$ 将 $[0,2\pi]^d$ 与 $\mathbb{T}^d$ 对应时, 这是 (2.1) 式中作用的周期化形式. 对任意 $\sigma \in S^{m}(\mathbb{R}^d; C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d))$, 定义拟微分算子 $P_\sigma$ 为将任意 $x \in C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d)$ 映为

这里 $\bar{\rm d} \xi = (2 \pi)^{-d} {\rm d}\xi$.

需注意, 积分 (2.4) 作为振荡积分来定义, 更多细节可参见文献 [14,16,17,40]. 为处理该积分值, 通常引入振幅空间的概念 [16,定义 4.1]. 设 $m\in\mathbb{R}$, 振幅空间 $A^m(\mathbb{R}^d\times\mathbb{R}^d;C^{\infty}(\mathbb{T}_{\theta}^{d}))$是取值于 $C^{\infty}(\mathbb{T}_{\theta}^{d})$ 的所有光滑映射 $a(s,\xi)\in C^\infty(\mathbb{R}^d\times\mathbb{R}^d;C^{\infty}(\mathbb{T}_{\theta}^{d}))$ 的集合, 使得对于多重指标 $\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{N}^d$, 存在常数 $C_{\alpha\beta\gamma}>0$, 满足

当振幅的阶 $m<-2d$ 时, 积分 (2.4) 绝对收敛见文献 [16,(4.6) 式], 定义

则 $J_0:A^m\to C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d)$ 是连续线性映射. 而为处理任意阶振幅, 通常构造一个转置具有降阶性的算子$L$[16,引理 4.13], 即 $L^t:A^m\to A^{m-1}$.$L:=\chi(s,\xi)+\frac{1-\chi(s,\xi)}{|s|^2+|\xi|^2}\sum_{j=1}^n(\xi_jD_{s_j}+s_jD_{\xi_j}),$其中$\chi\in C_{c}^{\infty}$满足$\chi(0,0)=1,D_{x_j}=\frac{1}{i}\partial_{x_j}$.该算子满足$L(e^{is\cdot\xi})=e^{is\cdot\xi}$,其转置具有降阶性质.从而对任意阶的 $a\in A^m$, 取 $N\in\mathbb{N}$ 使得 $m-N<-2d$, 定义

为 (2.4) 式的震荡积分值, 可证明该定义不依赖于 $N$ 的选取. 设 $A^{+\infty}:=\bigcup_{m\in\mathbb{R}}A^m$, 即得到 $J:A^{+\infty}\to C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d)$ 是一个连续线性映射, 见于文献 [16,推论 4.14].

根据文献 [16,命题 5.9], 若 $x = \sum_{n \in \mathbb{Z}^d} \widehat{x}(n) U^n \in C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d)$ 且 $\sigma \in S^m(\mathbb{R}^d; C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d))$, 其中 $m \in \mathbb{R}$, 则

且该级数在算子范数下收敛于 $C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d)$ 中的一个元素. 换言之, 以 $\sigma$ 为象征的 $\mathbb{T}_\theta^d$ 上的拟微分算子完全由 $\sigma$ 在 $\mathbb{Z}^d$ 上的取值决定, 这与文献 [24] 中的定义一致.

若 $\sigma \in S^m(\mathbb{R}^d; C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d))$, 则称 $P_\sigma$ 为阶数为 $m$ 的拟微分算子, 记 $\Psi^m(C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d))$ 为相应的拟微分算子 $P_\sigma$ 的集合. 同时, 根据 (2.5) 式, 我们称 $\{\sigma(n)\}_{n\in \mathbb{Z}^d}$ 为算子 $P_\sigma$ 的 Fourier 系数.

还需指出, 由于非交换性, 若在 (2.4) 式中交换 $\sigma(\xi)$ 与 $\alpha_s(x)$ 的顺序 (或在 (2.5) 式中交换 $\sigma(n)$ 与 $U^n$ 的顺序), 会得到另一个具有相同象征的拟微分算子. 在文献 [44] 中, 这两种算子分别被称为列算子与行算子. 但本文无需考虑两者, 故仅关注形如 (2.4) 或 (2.5) 式的算子.

量子环面上的两个拟微分算子的复合仍是拟微分算子, 且其象征的渐近展开可通过如下方法计算. 以下命题是经典分析中 [38, p237] 结果的量子类比, 首次出现于文献 [14], 完整证明见文献 [17,命题 7.5].

命题 2.2 设 $A \in \Psi^{m_1}(C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d))$, $B \in \Psi^{m_2}(C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d))$. 则 $BA \in \Psi^{m_1+m_2}(C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d))$, 并且对任意 $N_0 \geq 0$, 有

其中 $D_{\xi}^\alpha$ 表示关于变量 $\xi \in \mathbb{R}^d$ 的导数, $D^\alpha$ 表示上一节所述的 $C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d)$ 上的导数.

与此同时, 文献 [17,命题 8.2] 证明了量子环上的拟微分算子的伴随仍是拟微分算子, 具体命题如下

命题 2.3 若 $A \in \Psi^{m}(C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d))$. 则$A^{*} \in \Psi^{m}(C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d))$, 并且对任意 $N_0 \geq 0$, 有

以下命题见于文献 [17,命题 10.1] 与文献 [40,推论 6.6].

命题 2.4 设 $\sigma \in S^0(\mathbb{R}^d; C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d))$. 则拟微分算子 $P_\sigma$ 可延拓为从 $L_2(\mathbb{T}_\theta^d)$ 到 $L_2(\mathbb{T}_\theta^d)$ 的有界算子.

负数阶象征自然属于零阶象征, 因此当 $m>0$ 且 $\sigma \in S^{-m}(\mathbb{R}^d; C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d))$ 时, $P_\sigma$ 在 $L_2(\mathbb{T}_\theta^d)$ 上有界. 然而, 对于严格负阶情形, 以下更精细结果出自文献 [17,引理 13.6].

命题 2.5 若 $\sigma \in S^{-m}(\mathbb{R}^d; C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d))$ 且 $m>0$, 则 $P_\sigma$ 是 $L_2(\mathbb{T}_\theta^d)$ 上的紧算子. 此外, $P_\sigma \in \mathcal{S}_{\frac{d}{m}, \infty}(L_2(\mathbb{T}_\theta^d))$.

本节研究量子环上的 Schwartz 核理论与光滑化算子, 最主要的目的是给出拟微分算子核的表示. 特别地, 当算子具有很好光滑性的时候, 本节将给出拟微分算子核的显式计算公式, 并进一步计算拟微分算子的迹.

在这一节中, 我们将证明量子环上的 Schwartz 核定理.该结论可视为经典紧流形上 Schwartz 核定理在量子环情形下的非交换推广.证明的关键在于$C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$ 的核 Fréchet 结构、其与 $\mathscr{S}(\mathbb{Z}^d)$ 之间的 Fourier 同构,以及核 Fréchet 空间投影张量积的对偶理论.

设 $\mathbb{T}_\theta^d$ 为 $d$ 维量子环, $C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$ 表示其光滑元所构成的核 Fréchet 代数.记 $\mathscr{S}(\mathbb{Z}^d)$ 为快速衰减序列空间 (即 Fourier 系数空间), 并令

为标准的 Fourier 同构.

定理 3.1 由 $\iota$ 诱导的代数张量映射

是连续的, 并且可唯一延拓为一个拓扑同构

其中 $\otimes_\pi$ 表示核 Fréchet 空间上完备的投影张量积 (projective tensor product), 其拓扑由相应的投影半范数族所生成.

证 们首先注意到如下 Fréchet 空间之间的规范同构

其中 $\{U^k\}_{k\in\mathbb{Z}^d}$ 表示量子环 $\mathbb{T}_\theta^d$ 的标准酉生成元.由此可得其代数张量积诱导的映射

由于 $\mathscr{S}(\mathbb{Z}^d)$ 是核 Fréchet 空间, 其投影张量积与注入张量积 (injective tensor product) 一致.因此, 规范映射

是一个拓扑同构.与 $\iota \otimes \iota$ 复合后, 即得到拓扑同构

基于上述关于投影张量积及其连续对偶的同构结果,我们可以得到量子环情形下的 Schwartz 核表示定理,作为前述结论的一个直接推论.

引入记号

定义连续对偶空间

推论 3.1 每个连续线性算子

都唯一对应一个核

使得对所有 $x,y \in C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$ 成立

证 由于 $C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$ 是核 Fréchet 空间, 根据文献 [41,命题 43.4], 对任意核 Fréchet 空间 $E = F$, 其投影张量积满足规范同构

其中 $\mathcal{L}(E, F')$ 表示从 $E$ 到 $F'$ 的连续线性算子空间, 并赋予强算子拓扑.将该结果应用于 $E = F = C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$, 可得

在此规范同构下, 每个连续线性算子$T \in \mathcal{L}\bigl( C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d), \mathcal{D}'(\mathbb{T}_\theta^d) \bigr)$ 都唯一对应一个核

使得

其中左边的对偶配对为 $\mathcal{D}'(\mathbb{T}_\theta^d)$ 与 $C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$, 右边的为 $ \mathcal{D}'(\mathbb{T}_\Theta^{2d})$ 与 $ C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d) \otimes_\pi C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d) $.

在量子环上, 一个连续线性算子

称为光滑化算子, 当且仅当它可以延拓为一个连续线性算子 $T: \mathcal{D}'(\mathbb{T}_\theta^d) \to C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$. 由于 $C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$ 在 $\mathcal{D}'(\mathbb{T}_\theta^d)$ 中稠密, 该延拓是唯一的. 以下关于量子环上光滑化算子的等价条件参见文献 [22,命题 3.38].

命题 3.1 设 $T: C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d) \to \mathcal{D}'(\mathbb{T}_\theta^d)$ 为一个连续线性算子, 则下列条件等价

(i) $T$ 是光滑化算子;

(ii) $T \in \Psi^{-\infty}(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$, 即其 Fourier 系数 $\sigma(n)$ 在 $C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$ 的 Fréchet 拓扑下快速衰减: 对任意半范数 $p_k$ 及任意 $N \ge 0$, 存在常数 $C_{k,N} > 0$, 使得

(iii) $T$ 可延拓为对所有 $s, t \in \mathbb{R}$ 成立的连续线性算子 $T: H_2^s(\mathbb{T}_\theta^d) \to H_2^t(\mathbb{T}_\theta^d)$.

由上一小节建立的 Schwartz 核定理可知,任意连续线性算子$T: C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d) \longrightarrow \mathcal{D}'(\mathbb{T}_\theta^d)$ 都唯一对应于一个分布核 $ K_T \in \mathcal{D}'(\mathbb{T}_\Theta^{2d}) $. 因此, 一个自然的问题是: 当算子 $T$ 具有附加正则性时, 这种正则性如何体现在其对应核 $K_T$ 的性质之中. 进一步, 对于具备一定正则性的算子, 能否给出方便计算的核的具体公式, 也是本小节所关注的问题.

在经典交换情形中, 光滑化算子恰好刻画为具有光滑 Schwartz 核的算子,其中核的光滑性可以通过逐点微分来理解. 然而, 在量子环这一非交换几何框架下, 底层空间不再由点集刻画, 核也不再是定义在 $\mathbb{T}^d \times \mathbb{T}^d$ 上的函数. 相应地, 核的正则性必须在核 Fréchet 代数的投影张量积拓扑意义下加以刻画.

为了处理底空间不再具备点态性质这个难点, 我们可将 von Neumann 代数 $ \mathcal{M}$ 上的算子 $T$ 形式地写作

此时, $K_T$ 被看作是从属于 $\mathcal{M}\overline{\otimes} \mathcal{M}$ 的算子. 对于量子环上的拟微分算子, 利用 (2.5) 式可形式地计算算子 $P_\sigma$ 的核

这是从属于代数 $\mathbb{T}_\theta^d\overline{\otimes} \mathbb{T}_\theta^d$ 的算子.

不难验证, 将 (3.3) 式带入 (3.2) 式即得

类似地, (3.1) 式也成立

下面的两个定理表明, 形式上由 (3.3) 式给出的核在算子光滑化的假定下具有很好的收敛性.

定理 3.2 设 $T: C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)\longrightarrow \mathcal{D}'(\mathbb{T}_\theta^d)$为一个连续线性算子.则下列条件等价

(i) $T \in \Psi^{-\infty}(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$;

(ii) $T$ 的 Schwartz 核

属于 $ C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d) \otimes_\pi C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$,其中上述级数在投影张量积 Fréchet 拓扑下收敛.

证 (i) $\implies$ (ii): 设 $\{p_k\}$ 是生成 $C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$ Fréchet 拓扑的一组可数半范数族, 则 $C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d) \otimes_\pi C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d) $ 上的投影张量积半范数定义为

对每个 $n \in \mathbb{Z}^d$, 有

由于 $U^n$ 是酉元, 其伴随 $U^n{}^*$ 的导数满足估计

其中 $m_k$ 是依赖于半范数 $p_k$ 的某个非负整数.

由假设 (i), $\sigma(n)$ 快速衰减, 故对任意 $N \ge m_k + d + 1$, 存在 $C_{\ell,N} > 0$, 使得

于是,

取 $N = m_k + d + 1$, 则 $-N + m_k = -d -1$, 从而

由于 $\sum_{n \in \mathbb{Z}^d} (1+|n|)^{-d-1} < \infty$, 可知级数

对所有 $k,\ell$ 收敛. 因此, 定义 $K_T$ 的级数在投影张量积拓扑中绝对收敛, 故

(ii) $\implies$ (i): 反之, 假定 $K_T$ 属于 $C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d) \otimes_\pi C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d) $, 即级数

在每个投影张量积半范数 $q_{k,\ell}$ 下收敛. 特别地, 对每个固定的 $k$, 因子 $p_k((U^n)^*)$ 关于 $|n|$ 至多多项式增长. 为了保证整个级数收敛, $p_\ell(\sigma(n))$ 必须以高于任意多项式的速率衰减. 换言之, 对任意 $N \ge 0$ 和任意半范数 $p_\ell$, 存在 $C_{\ell,N} > 0$, 使得

这正是 $T \in \Psi^{-\infty}(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$ 所要求的 Fourier 系数快速衰减条件.

定理 3.3 设 $P \in \Psi^m(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$ 且 $m < -d$, 其象征记为 $\sigma \in S^m(\mathbb{R}^d;C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$. 则其 Schwartz 核

属于投影张量积

证 考虑投影张量范数 $\|\cdot\|_\pi$ 在 $C(\mathbb{T}_\theta^d) \otimes_\pi C(\mathbb{T}_\theta^d) $ 上的定义

由于 $U^n$ 为标准酉元, 有 $\|U^n\| = \|(U^n)^*\| = 1$, 于是每一项的投影张量范数满足

另一方面, 象征 $\sigma \in S^m(\mathbb{R}^d;C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$ 且 $m < -d$, 这保证了

因此, 级数

在投影张量范数下绝对收敛, 从而 $K_P \in C(\mathbb{T}_\theta^d) \otimes_\pi C(\mathbb{T}_\theta^d)$.

接下来, 可通过量子环上的 Schwartz 核定理导出阶数小于 $-d$ 的拟微分算子的迹公式. 这一方法为文献 [17,第 13.3 节] 中基于显式 Fourier 基计算的迹公式提供了概念上的补充, 并强调了核的连续性在迹计算中的核心作用, 且算子的迹可以通过其 Schwartz 核的对角迹以内在方式加以刻画.

定义 3.1 定义对角迹泛函

为

其中 $\tau$ 是量子环 $\mathbb{T}_\theta^d$ 上的正规半有限忠实迹.

定理 3.4 设 $P \in \Psi^m(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$ 且 $m < -d$, 则 $P$ 为迹类算子, 其迹由下式给出

其中 $K_P$ 是 $P$ 的 Schwartz 核, $\sigma$ 为象征.

证 由定理 3.3, 阶数 $m < -d$ 保证了 $P$ 的 Schwartz 核

属于投影张量积 $C(\mathbb{T}_\theta^d) \otimes_\pi C(\mathbb{T}_\theta^d) $.由于 $\sigma \in S^m(\mathbb{R}^d; C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$ 且 $m < -d$, 有

因此根据对角迹泛函的定义有

另一方面, 利用 $L_2(\mathbb{T}_\theta^d)$ 的规范正交基 $\{U^k\}_{k \in \mathbb{Z}^d}$, 算子 $P$ 的迹可表示为

其中$\langle a, b \rangle_{L_2(\mathbb{T}_\theta^d)} := \tau(ab^*)$ 为内积.综合以上两式即完成了定理的证明.

注 3.1 由于量子环面不存在点与对角线的几何概念,核的连续性不能理解为逐点连续性.

定理 3.3 中所证明的

正是非交换几何中连续核的自然替代, 对应于经典情形的二元连续函数. 定理 3.4 则可形象地理解为: 积分算子 $T_K f(x)= \int K(x, y ) f(y){\rm d}y$ 的迹为对角线积分 $\int K(x,x) {\rm d}x$.

本节介绍量子环上的含参拟微分算子, 以及椭圆拟微分算子的预解式, 主要的结论均引自[17,22], 因此本节大部分结论都不会给出证明, 请读者参考[17,22]. 但出于文章的完整性, 对[17,22] 中没有给出详细证明的部分结论, 本节会做重点讨论.

这节的含参拟微分算子主要作为预解式以及复幂和全纯函数演算的工具与保证. 考虑后文复幂以及全纯函数演算的需要, 我们先对参数$\lambda$的定义域作限制. 对于射线 ${\arg\lambda=\alpha_0}$ 和常数 $\alpha,r>0$, 定义钥匙孔形区域 $\Lambda=\Lambda(\alpha_0,\alpha,r)$:

至于量子环面上的含参象征类 $\sigma(\xi,\lambda)\in S_{h}^{m}(\mathbb{R}^d\times\Lambda;C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$ (即 $S_{\rho,\delta;h}^m$ 中的 $\rho$, $\delta$ 取 (1,0) 的情况) 则与不含参数的不同, 衰减性需要 $|\xi|+|\lambda|^{1/h}$ 组合量的控制.

依据 2.4 节的内容, 我们把含参象征及含参拟微分算子对应表述.

定义 4.1 设$\sigma\in C^{\infty}(\mathbb{R}^d\times\Lambda;C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)),\ m,h$ 为实数, 对每个固定的 $\lambda_0\in\Lambda$,有

且对任意多重指标 $\alpha$, $\beta$, 存在常数 $C_{\alpha,\beta}$, 有

则称 $\sigma(\xi,\lambda)$ 属于含参象征类 $S_{h}^m(\mathbb{R}^d \times \Lambda;C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$.记号 $\sigma(\xi)\in S^{m}(\mathbb{R}^{d};C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$ 表示 $S_{0}^{m}(\mathbb{R}^{d}\times\Lambda;C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$ 中一个不依赖于 $\lambda$ 的元素.

定义 4.2 令$\sigma(\xi,\lambda)\in S_{h}^{m}(\mathbb{R}^{d}\times\Lambda;C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$ 为上述定义的象征类, 则对于任意 $x\in{C^{\infty}(\mathbb{T}_{\theta}^{d})}$, 含参拟微分算子 $A_{\sigma}$ (简写 $A_{\lambda}$) 是一个映射 $x\mapsto A_{\sigma}x$, 由下式给出

其中 $\bar{\rm d} \xi = (2 \pi)^{-d} {\rm d}\xi$. 右端震荡积分的取值与 (2.4) 式的处理相同.

令 $\sigma\in S_{h}^m(\mathbb{R}^{d}\times\Lambda;C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$ 为上述定义的象征类, 类似 (2.5) 式的成立, 有

右端级数按算子范数收敛到 $C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$ 中的元素, 详见文献^[24].

事实上, 可以将 $\sigma(n,\lambda)$ 作为离散型象征来定义,两种不同的象征可相互转化

(i) 当 $\sigma (\xi,\lambda)\in S_{h}^m(\mathbb{R}^d\times\Lambda;C^{\infty}(\mathbb{T}_{\theta}^{d})),m\in\mathbb{R}$ 时,成立 $(\sigma(n,\lambda))_{n\in\mathbb{Z}^d}\in S_{h}^m(\mathbb{Z}^d\times\Lambda;C^{\infty}(\mathbb{T}_{\theta}^{d}))$. 其中环上象征的差分也可由标准象征所定义, 即 $(\Delta_iu)(\xi,\lambda):=u(\xi+e_i,\lambda)-u(\xi,\lambda),\ u\in C^{\infty}(\mathbb{T}_{\theta}^{d}),\ \xi\in\mathbb{R}^d$, 证明类似文献 [16,引理 6.10,推论 6.12].

(ii) 反之, 当 $(\sigma_n(\lambda))_{n\in\mathbb {Z}^d}\in S_{h}^m(\mathbb{Z}^d\times\Lambda;C^{\infty}(\mathbb{T}_{\theta}^{d} )),\ m\in\mathbb{R}$ 时, 设 $\phi(\xi)\in\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)$, 以及 $\tilde{\sigma}(\xi,\lambda)=\sum_{n\in\mathbb{Z}^d}\phi(\xi-n)\sigma_n(\lambda)$, 则成立$\tilde{\sigma}(\xi,\lambda)\in S_{h}^{m}(\mathbb{R}^{d}\times\Lambda;C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$, 并且对于 $n\in \mathbb{Z}^d$, 有 $\tilde{\sigma}(n,\lambda)=\sigma_{n}(\lambda)$, 其中象征 $\tilde{\sigma}(\xi,\lambda)$ 在相差/模去 $\mathscr{S}(\mathbb{R}^d\times\Lambda;C^{\infty}(\mathbb{T}_{\theta}^{d}))$ 的意义下是唯一的, 证明类似文献 [16,命题 6.24].

接下来阐述含参拟微分算子的一些基本性质, 参数同样需在上述钥匙孔形区域中讨论.

命题 4.1 设 $A_{\lambda}\in\Psi_{h_{1}}^{m_{1}}(\Lambda;C^{\infty}(\mathbb{T}_{\theta}^{d}))$, $B_{\lambda}\in\Psi_{h_{2}}^{m_{2}}(\Lambda;C^{\infty}(\mathbb{T}_{\theta}^{d}))$, 其象征分别为 $\sigma_{A_{\lambda}}(\xi,\lambda)$ 和 $\sigma_{B_{\lambda}}(\xi,\lambda)$, 那么复合 $C_{\lambda}=B_{\lambda}\circ A_{\lambda}\in\Psi_{h_{1}+h_{2}}^{m_{1}+m_{2}}(\Lambda;C^{\infty}(\mathbb{T}_{\theta}^{d}))$ 也是一个含参拟微分算子且满足

命题 4.2 设 $A_{\lambda}\in\Psi_{h}^{m}(\Lambda;C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$, 其象征为 $\sigma(\xi,\lambda)$, 那么 $A_{\lambda}^{*}\in\Psi_{h}^{m}(\Lambda;C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$, 并满足

以上这两条是命题 2.2 和命题 2.3 的含参形式, 证明可分别参考文献 [17,命题 7.6] 和文献 [17,命题 8.2].

命题 4.3 设 $\sigma(\xi,\lambda) \in S^0_{h}(\mathbb{R}^d\times\Lambda; C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d))$,则拟微分算子 $A_{\sigma(\xi,\lambda)}$ 可延拓为从 $L_2(\mathbb{T}_\theta^d)$ 到 $L_2(\mathbb{T}_\theta^d)$ 的有界算子, 并满足范数估计

命题 4.4 若 $\sigma(\xi,\lambda) \in S^{-m}_{h}(\mathbb{R}^d\times\Lambda; C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d))$ 且 $m>0$, 则对每个固定的$\lambda\in\Lambda$, $A_{\sigma(\xi,\lambda)}$ 是 $L_2(\mathbb{T}_\theta^d)$ 上的紧算子. 进一步, $A_{\sigma(\xi,\lambda)}$ 属于非交换弱 Schatten 类 $\mathcal{L}_{\frac{d}{m},\infty}$ 且满足估计

以上这两条是命题 2.4 和命题 2.5 的含参形式, 证明可分别参考文献 [17,命题 10.1] 和文献 [17,命题 13.8].

首先, 介绍量子环上古典拟微分算子的定义.

定义 4.3 令 $m \in \mathbb{C}$, 固定一个光滑函数

设 $\sigma(\xi) \in C^{\infty}(\mathbb{R}^d; C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d))$, 且对某个 $m \in \mathbb{C}$, 存在渐近展开

其中每个 $\sigma_{m-j}(\xi)$ 关于 $\xi$ 是次数为 $m-j$ 的正齐次函数, 即满足

将所有满足上述条件的象征 $\sigma(\xi)$ 称为古典象征, 其构成的集合记为 $\mathrm{C}S^m(\mathbb{R}^d; C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d))$.可以注意到, $\mathrm{C}S^m(\mathbb{R}^d; C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d)) \subset S^{\Re m}(\mathbb{R}^d; C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d))$.

注 4.1 此处 $\varphi$ 为固定截断函数, 用于使齐次分量远离奇点 $\xi = 0$, 从而保证 $\varphi(\xi)\sigma_{m-j}(\xi)$ 在 $\mathbb{R}^d$ 上全局光滑. 虽然径向条件并非必要, 但通常设 $\varphi(\xi) = \chi(|\xi|)$, 其中 $\chi \in C^{\infty}(\mathbb{R}_{+})$ 满足当 $r \leq \frac{1}{2}$ 时 $\chi(r) = 0$, 当 $r \geq 1$ 时 $\chi(r) = 1$.

定义 4.4 若 $\sigma(\xi) \in \mathrm{C}S^m(\mathbb{R}^d; C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d))$, 则称其对应的拟微分算子 $P_\sigma$ 属于 $\mathrm{C}\Psi^m(C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d))$, 即由公式 (2.4) (或 (2.5)) 所定义的算子. 这类算子称为量子环上的古典拟微分算子.

量子环上的古典拟微分算子在复合运算和伴随运算下也封闭的. 具体而言, 以下命题成立 [17,命题 7.6,命题 8.3]

命题 4.5 (i) 若 $A \in \mathrm{C}\Psi^m(C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d))$, 则 $A^* \in \mathrm{C}\Psi^{\bar{m}}(C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d))$, 并且有

故 $A^{\ast}$ 的主象征满足

(ii) 若 $A \in \mathrm{C}\Psi^{m_1}(C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d))$ 且 $B \in \mathrm{C}\Psi^{m_2}(C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d))$, 则 $B A \in \mathrm{C}\Psi^{m_1+m_2}(C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d))$, 并且有

故 $BA$ 的主象征满足

在量子环 $\mathbb{T}_\theta^d$ 上发展椭圆拟微分算子的谱理论时, 一个基本问题是如何在光滑代数的层次上刻画可逆性与谱的概念. 由于非交换情形下不存在点态结构, 谱与可逆性的定义必须通过代数结构及其在 Hilbert 空间上的表示来理解. 特别地, 为了后续构造椭圆拟微分算子的预解式以及复数次幂, 我们需要保证光滑代数在谱意义下是稳定的.

为此, 我们回顾量子环上光滑代数的若干基本性质. 在下文中, 分别记

为 $C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$ (相应地, $C(\mathbb{T}_\theta^d)$) 中所有可逆元构成的乘法群.

对于任意 $x \in C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$, 其谱定义为

命题 4.6^[10,16] 以下结论成立

(i) 光滑代数 $C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$ 中的可逆元恰好是 $C^*$ 代数 $C(\mathbb{T}_\theta^d)$ 中可逆元的光滑部分, 即

(ii) 光滑代数 $C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$ 在全纯泛函演算下是稳定的. 换言之, 若 $x \in C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$, 且 $f$ 是定义在包含 $\operatorname{Spec}(x)$ 的开集上的全纯函数, 则通过全纯泛函演算定义的元素 $f(x)$ 仍属于 $C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$;

(iii) 对任意 $x \in C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$, 其在光滑代数中的谱与其作为算子作用在 $L_2(\mathbb{T}_\theta^d)$ 上的谱一致, 即

上述命题表明, 在量子环 $\mathbb{T}_\theta^d$ 上, 光滑代数 $C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$ 在谱与可逆性方面具有良好的稳定性, 是一个行为良好的 Fréchet 代数: 其可逆性可在 $C^*$ 代数中检测; 元素在光滑代数中的可逆性可通过其在 $L_2(\mathbb{T}_\theta^d)$ 上的算子表示来刻画; 并且该代数在全纯泛函演算下封闭.

这些性质为在量子环上定义椭圆拟微分算子提供了自然的代数基础. 与经典情形类似, 椭圆性刻画的是算子在高频区域的可逆性, 其本质由主象征的可逆性决定. 在非交换几何的框架下, 主象征取值于量子环的光滑代数 $C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$, 因此其可逆性应在该代数中理解.

在量子环上, 古典拟微分算子的椭圆性定义见文献 [1,9,17], 具体如下

定义 4.5 对于 $A \in \mathrm{C}\Psi^m\big(C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d)\big)$, 其中 $m \in \mathbb{C}$, 若其主象征 $\sigma(A)_m(\xi)$ 在所有 $\xi \neq 0$ 处均为可逆元, 则称 $A$ 为椭圆拟微分算子.

命题 4.7 设 $A \in \mathrm{C}\Psi^m(C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d))$

为椭圆拟微分算子, 其中 $m \in \mathbb{C}$. 则存在常数 $C > 0$, 使得

证 由于主象征 $\sigma(A)_m$ 是关于 $\xi$ 的 $m$ 次正齐次函数, 对任意 $\xi \neq 0$ 有

由椭圆性假设, 对任意单位球面 $\mathbb S^{d-1}$ 上的点 $s$, 元素 $\sigma(A)_m(s)$ 在 $C(\mathbb{T}_\theta^d)$ 中可逆. 因此映射

是连续的. 由于 $\mathbb S^{d-1}$ 是紧集, 存在常数 $C_0 > 0$, 使得

于是对任意 $\xi \neq 0$,

从而得到所需估计.

推论 4.1 设 $A \in \mathrm{C}\Psi^m(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$. 则 $A$ 是椭圆算子当且仅当存在常数 $c > 0$, 使得对任意 $\xi \neq 0$, 有

当且仅当存在常数 $c > 0$, 使得

其中不等式在 $C^*$-代数 $C(\mathbb{T}_\theta^d)$ 的正锥意义下成立. 此处无需假设 $\sigma(A)_m(\xi)$ 为正规元, 等价性由量子环的单性保证.

文献 [1,2,9,17] 证明了在量子环上, 椭圆拟微分算子存在拟逆算子, 具体命题如下

命题 4.8 设 $A \in \mathrm{C}\Psi^m(C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d))$ 为椭圆拟微分算子, 其中 $m \in \mathbb{C}$, 其象征满足渐近展开 $\sigma(A)(\xi) \sim \sum_{j \geqslant 0} \sigma(A)_{m-j}(\xi)$, 那么

(i) $A$ 存在一个拟逆算子 $B \in \mathrm{C}\Psi^{-m}(C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d))$, 使得

(ii) 任意拟逆算子 $B \in \mathrm{C}\Psi^{-m}(C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d))$ 的象征具有渐近展开 $\sigma(B)(\xi) \sim \sum_{j \geqslant 0} \sigma(B)_{-m-j}(\xi)$, 其中

定理 4.1 设 $A \in \mathrm{C}\Psi^{m}(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$ 为椭圆拟微分算子, 其中 $\Re m > 0$. 假设存在 $s \in \mathbb{R}$, 使得算子

作为有界线性算子是可逆的. 则其逆算子

仍然是一个阶为 $-m$ 的古典拟微分算子, 即 $A^{-1} \in \mathrm{C}\Psi^{-m}(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$.

证 由于 $A$ 是椭圆拟微分算子, 根据命题 4.8, 存在拟逆算子 $B \in \mathrm{C}\Psi^{-m}(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$, 使得

其中 $R, R' \in \Psi^{-\infty}(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$ 是量子环上的光滑化算子.

首先证明 $A$ 在任意 Sobolev 空间上均为单射. 取任意 $t \in \mathbb{R}$, 设 $u \in H^t(\mathbb{T}_\theta^d)$ 满足 $Au = 0$. 由左拟逆关系得

由于 $R$ 是光滑化算子, 对任意 $N \geq 0$, 存在常数 $C_{t,N} > 0$, 使得

选取充分大的 $N$, 使得 $t + N \geq s$, 则 $u \in H^s(\mathbb{T}_\theta^d)$. 由假设, $A$ 在 $H^s(\mathbb{T}_\theta^d)$ 上是单射, 故 $u = 0$. 因此, $A$ 在所有 $H^t(\mathbb{T}_\theta^d)$ 上都是单射.

接下来证明 $A$ 在任意 Sobolev 空间上均为满射. 设 $f \in H^{t - \Re m}(\mathbb{T}_\theta^d)$, 令

则$Au_0 = ABf = f - R'f.$

由于 $R'$ 是光滑化算子, 有

由 $A$ 在 $H^s(\mathbb{T}_\theta^d)$ 上的满射性, 存在 $v \in H^s(\mathbb{T}_\theta^d)$, 使得 $Av = R'f$. 根据量子环上的椭圆正则性, 有

特别地, $v \in H^t(\mathbb{T}_\theta^d)$. 令 $u := u_0 + v \in H^t(\mathbb{T}_\theta^d)$, 则

因此, $A$ 在 $H^t(\mathbb{T}_\theta^d)$ 上是满射的.

综上, 对任意 $t \in \mathbb{R}$, 算子

是有界双射. 由有界逆算子定理, 该逆算子连续, 即存在常数 $C_t > 0$, 使得

最后利用恒等式

已知 $B \in \mathrm{C}\Psi^{-m}(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$. 另一方面, 由于 $R'$ 是光滑化算子, 它对任意 $t$ 都满足

连续; 而椭圆正则性保证

也是连续的. 因此复合算子

连续成立.

根据命题 3.1 与定理 3.2, 任何将 $H^t(\mathbb{T}_\theta^d)$ 连续映入 $C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$ 的算子均属于 $\Psi^{-\infty}(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$. 因此,

最终得到

结论得证.

与前文一致, 设

为作用在稠密定义域 $ C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d) \subset L_2(\mathbb{T}_\theta^d) $ 上的一个椭圆拟微分算子, 其中 $\Re m > 0$. 对任意 $f \in C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$, 算子 $A^*A$ 的二次型满足

因此, $A^*A$ 是一个对称的、稠密定义且半正定的算子.

需要指出的是, 虽然 Friedrichs 扩张定理保证了任意下有界对称算子都存在唯一的自伴扩张, 但该扩张并不必然等于 $A^*A$ 在 $C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$ 上的闭包; 此外, 在无额外假设的情形下, $A^*A$ 也未必是本质自伴的.但是在当前情形中, 由于 $A$ 是椭圆算子, $A^*A$ 也是一个阶为 $2\Re m > 0$ 的椭圆拟微分算子. 利用量子环上的椭圆正则性可知, 若 $u \in L_2(\mathbb{T}_\theta^d)$ 满足

则必有 $u \in C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$. 将此类 $u$ 代入 (4.4) 式, 可以得到 $u = 0$, 即

因此, $A^*A$ 在 $C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$ 上是本质自伴的, 其闭包

给出了唯一的自伴扩张. 由于 $A^*A$ 下界为零, 该扩张与 Friedrichs 扩张一致.

进一步地, 对任意 $f \in D(\overline{A^*A})$, 存在一列 $\{f_n\} \subset C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$ 使得

结合 (4.4) 式及内积的连续性, 有

因此, $\overline{A^*A}$ 是一个正的自伴算子.

由前述命题可知, $A^*A$ 的主象征为

其在 $\xi \ne 0$ 时是 $C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$ 中的正元. 由椭圆性, 存在常数 $C_e > 0$, 使得

从而对所有 $\xi \ne 0$, 该主象征在 $C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$ 中可逆.

由于我们主要关注的是算子 $A$ 的奇异值, 即 $|A| = (A^* A)^{\frac{1}{2}}$ 的谱, 故研究 $A^*A$ 已足够. 从现在起, 为记号简洁起见, 我们不妨假设 $A$ 是正算子, 且其主象征 $\sigma(A)_m(\xi)$ 对所有 $\xi \ne 0$ 均为正. 在此情形下, 由命题 4.8 可知, $A$ 的阶数 $m$ 为实数.

注 4.2 若 $A$ 为正定, 则可写成 $A = B^2$, 其中 $B$ 是 $L_2(\mathbb{T}_\theta^d)$ 上的稠定无界自伴算子. 若已知 $B$ 为古典拟微分算子, 则根据命题 4.8 可得其主象征 $\sigma(A)_m(\xi)$ 为正. 我们将在某些特定条件下证明 $A^{\frac{1}{2}}$ 也是古典拟微分算子; 但目前, 我们仅作如下假设: $A$ 为正算子, 且其主象征 $\sigma(A)_m(\xi)$ 在 $\xi \ne 0$ 上处处为正.

接下来定义钥匙孔型参数区域

其中

于是, 对任意 $\lambda \in \Lambda_\xi$, 算子

在 $C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$ 中是可逆的.

定义带参数的象征为

它在变量 $(\xi, \lambda^{\frac{1}{m}})$ 中是 $m$ 次正齐次的.

我们现在构造一个量子环上的拟微分算子 $B(\lambda)$, 使其满足

为此, 考虑以下象征方程

以及对 $j \ge 1$,

命题 4.9 设 $A \in \mathrm{C}\Psi^m(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$ 为正的椭圆拟微分算子, 其中$m > 0$, 且 $\sigma(A)_m(\xi)$ 为正元. 则存在唯一一族$C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$-值函数

使其对所有 $\xi \ne 0$、$\lambda \in \Lambda_\xi$ 满足 (4.5) 与 (4.6) 式.

证 当 $j=0$ 时, 由 $\sigma(A)_m(\xi,\lambda)$ 的可逆性可知

唯一确定. 假设 $\sigma(B)_{-m-k}^0$ 已对所有 $k < j$ 构造完成, 则由 (4.6) 式可得

其中 $r_j$ 由低阶项完全确定. 从而 $\sigma(B)_{-m-j}^0$ 唯一存在.

由 (4.5) 和 (4.6) 式所确定的$C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$-值函数族 $\big\{\sigma(B)_{-m-j}^0(\xi,\lambda)\big\}_{j\ge 0}$ 的性质将在下述命题中予以阐述.

命题 4.10 对 $\xi \ne 0$ 以及$\lambda \in \Lambda_\xi$, 有

(i)存在常数 $C>0$, 使得

(ii) 对任意 $j\ge0$、多重指标 $\alpha,\beta$ 及 $t>0$, 有齐次性关系

(iii) 若 $j+|\alpha|+|\beta|>0$, 则存在常数 $C>0$, 使得

证 (i) 由于 $A$ 的主象征 $\sigma(A)_m(\xi)$ 是正的且椭圆的, 存在常数 $C_e > 0$, 使得

当 $0 < |\lambda| < \frac{1}{2} C_e(\xi)$ 时,

当 $|\arg\lambda - \pi| < \frac{\pi}{4}$ 且 $\lambda \ne 0$ 时,

因此, 存在常数 $C > 0$, 使得

而 $\sigma(B)_{-m}^0(\xi, \lambda) = \big(\sigma(A)_m(\xi) - \lambda\big)^{-1}$, 从而得到结论;

(ii) 由主象征的参数齐次性,

可得

利用逆元的导数公式

对该式求导, 并结合 $\sigma(A)_m$ 的齐次性, 得到

现设 $j \ge 1$, 并假设齐次性结论对所有 $k < j$ 成立. 由递归公式

将 $(t\xi, t^m \lambda)$ 代入, 每一项按归纳假设变换为

因此

进而得到对应导数的齐次性;

(iii) 先考虑 $j = 0$ 且 $|\alpha| + |\beta| > 0$ 的情形. 由逆元导数公式,

现设 $j \ge 1$, 并假设估计对所有 $k < j$ 成立. 对递归公式应用 Leibniz 法则, 每一项均可表示为

由归纳假设,

而古典象征估计给出

两者相乘, 并利用 $k + l + |\gamma| = j$, 得

归纳完成证明.

在构造算子族 $B(\lambda)$ 之前, 我们首先说明如何从给定的齐次象征族 $\{\sigma(B)_{-m-j}^0(\xi,\lambda)\}_{j\ge 0}$ 构造一个全象征. 为此, 需要在参数 $\lambda$ 的复平面中选取一个合适的扇形区域, 以统一控制 $|\xi| \ge \tfrac{1}{2}$ 时的象征估计.

为此, 引入如下钥匙孔型区域

定理 4.2 设 $A \in \mathrm{C}\Psi^m(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$ 为阶数 $m > 0$ 的椭圆拟微分算子, 且假设 $A$ 及其主象征 $\sigma(A)_m(\xi)$ 均为正算子. 若 $\lambda \in \Lambda_0$, 则存在常数 $l > 0$, 使得当

时, 算子 $A - \lambda$ 在 $L_2(\mathbb{T}_\theta^d)$ 上可逆, 并满足估计

证 为消除象征在 $\xi = 0$ 处的奇性, 取光滑截断函数 $\varphi \in C^\infty(\mathbb{R}^d)$, 满足 $\varphi(\xi) = 1$ 当 $|\xi| \ge 1$, $\varphi(\xi) = 0$ 当 $|\xi| \le \tfrac{1}{2}$. 定义正则化后的象征

并记 $B_{-m-j}(\lambda)$ 为对应的拟微分算子, 则 $B_{-m-j}(\lambda) \in \mathrm{C}\Psi^{-m-j}(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$.

接下来证明存在一列正数 $\{t_j\}_{j \ge 0}$, 使得对任意满足 $|\alpha| \le j$ 的多重指标 $\alpha$, 有

对固定的 $\alpha$, 利用 Leibniz 法则可得

由截断函数的性质, 存在常数 $C > 0$, 使得

其中最后一个不等式利用了 $\partial_\xi^{\alpha_1} \varphi(t_j^{-1} \xi)$ 的支集包含于 $\tfrac{1}{2} t_j \le |\xi| \le t_j$ 中.

另一方面, 由象征假设,

综合上述估计可得

因此, 只要 $t_j$ 足够大, 即可保证不等式 (4.8) 成立. 由于对每个固定的 $j$, 满足 $|\alpha| \le j$ 的多指标仅有有限个, 故可一致地选取序列 $\{t_j\}$.

定义

并记 $B(\lambda)$ 为对应的拟微分算子. 由构造可知, 对任意 $N > 0$,

从而

其中 $R(\lambda), R'(\lambda) \in \Psi^{-\infty}_{-1}$.

由命题 4.4 可知, 存在常数 $C_1, C_2, C_3 > 0$, 使得

取 $l > 0$ 足够大, 即可保证 $\|R(\lambda)\|, \|R'(\lambda)\| < \tfrac{1}{2}$, 从而 $I + R(\lambda)$ 可逆. 于是

并得到估计 (4.7) 式.

推论 4.2 在定理 4.2 的假设下, 存在 $l > 0$, 使得当 $\lambda \in \Lambda_l$ 时,

注 4.3 若 $\lambda \in \Lambda_0$ 属于算子 $A$ 的预解集, 则其预解式 $(A - \lambda)^{-1}$ 是量子环上的拟微分算子, 且

事实上, $(A - \lambda)^{-1} \in B(L_2(\mathbb{T}_\theta^d))$, 并且有

由命题 3.1 与定理 3.2 可知, $R(\lambda)(A - \lambda)^{-1} \in \Psi^{-\infty}(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$, 因此 $ (A - \lambda)^{-1} $ 属于 $ \Psi^{-m}(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)) $, 结论得证.

本节介绍拟微分算子的复数次幂的结构, 我们将在第一小节给出复数次幂的定义, 这部分内容及结论主要引自文献 [22], 但会对关键的结论给出详细证明; 第二小节讨论椭圆拟微分算子复数次幂的结构, 这部分内容并未在现有文献中出现过, 是全文的核心内容, 是下一节讨论算子谱渐近性的关键步骤.

为研究量子环上奇异值函数, 我们对相关的$\zeta$函数进行解析延拓, 先回顾向量值全纯函数的概念.

定义 5.1 区域是复平面$\mathbb{C}$上的一个连通开集. 若$D\subseteq\mathbb{C}$是一个区域, $X$是一个 Banach 空间. 一个函数 $f:D\to X$ 称为全纯的, 若对于任意 $z_{0}\in D$, 有

在 $X$ 中存在.

当函数值取复数时, 该定义与通常的全纯概念相同, 并且我们可以用复分析的工具来处理这里的算子情形, 例如柯西积分准则和解析延拓原理. 同定理 4.2, 我们仍假设 $A \in \mathrm{C}\Psi^m(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$ 为正的椭圆拟微分算子, $m > 0$, 且 $\sigma(A)_m(\xi)$ 为正元. 不失一般性, 我们后续还假设 $\sigma(A)_m(\xi)$ 是严格正的.

先假设此处的钥匙孔形区域

定义 5.2 设 $\Gamma_{\frac{\rho}{2}}$ 是如下路径 (见图1): 先沿 $\arg\lambda=\pi$ 从 $-\infty+ {\rm i}\epsilon$ 到 $-\sqrt{(\frac {\rho}{2})^{2}-\epsilon^{2}}+ {\rm i}\epsilon$ 递减, 再绕原点以半径 $\frac{\rho}{2}$ 从 $-\sqrt{(\frac{\rho}{2})^{2}-\epsilon^{2}}+ {\rm i}\epsilon$ 到$-\sqrt{(\frac{\rho}{2})^{2}-\epsilon^{2}}- {\rm i}\epsilon$ 顺时针旋转, 最后沿 $\arg\lambda=-\pi$从 $-\sqrt{(\frac{\rho}{2})^{2}-\epsilon^{2}}- {\rm i}\epsilon$ 到 $-\infty- {\rm i}\epsilon$ 递增, 此处 $\epsilon>0$ 为一个任意小的固定参数. 设 $A\in\mathrm{C}\Psi^{m}(C^{\infty}(\mathbb{T}_{\theta}^{d}))$, $m>0$, 并通过 Dunford 积分定义 $A$ 的复幂

此处 $\Re z<0$, 复对数是根据 $(-\infty,0]$ 标准分割定义的, 即 $\lambda^{z}:={\rm e}^{z(\ln|\lambda|+ {\rm i}\arg\lambda)}$, $\lambda\in\mathbb{C}\setminus(-\infty,0]$, 因此沿着 $\Gamma_{\frac{\rho}{2}}$ 定义

由 $\Re z<0$ 讨论 $|\lambda|\geq l$ 的情况知 (5.1) 式在无穷远处收敛 (设 $l>0$ 是定理 4.2 中的常数, 考虑 $O(|\lambda|^{\Re z-1})$ 的衰减速率). 而在圆弧 $|\lambda|=\frac{\rho}{2}$ 上, 对于每个固定 $\lambda_{0}$, 由 $\lambda_0\notin\mathrm{Spec}(A)$ 可知 $(A-\lambda_{0})^{-1}\in B(L_2(\mathbb{T}_\theta^d))$ 是有定义的. 故存在 $\lambda_{0}$ 的一个邻域, 对于其中任意的 $\lambda$, 有

当$\left|\lambda-\lambda_{0}\right|<\left\|(A-\lambda_{0})^{-1}\right\|_{B(L_2(\mathbb{T}_\theta^d))}^{-1}$ 时, Neumann 级数

按算子范数收敛, 并给出局部展开

这说明 $(A-\lambda)^{-1}$ 在 $\lambda_{0}$ 的邻域内是解析的. 由圆弧的紧性, $(A-\lambda)^{-1}$ 在整个圆弧上解析. 又由连续性, 积分$\int_{|\lambda|=\frac{\rho}{2}}\lambda^{z}(A-\lambda)^{-1}{\rm d}\lambda$ 按算子范数绝对收敛, 并有

其中 $M(\rho)=\sup_{|\lambda|=\frac{\rho}{2}}\left\|(A-\lambda)^{-1}\right\|_{B(L_2(\mathbb{T}_\theta^d))}$. 因此积分 (5.1) 是收敛的.

另一方面, 设 $\Gamma_{\frac{\rho^{\prime}}{2}}$ 是另一条积分路径, 其中 $\rho<\rho^{\prime}<2\rho$, $0<\delta<\frac{\pi}{4}$, 径向部分沿 $\arg\lambda=\pi-\delta$ 和 $\arg\lambda=-\pi+\delta$ 方向 (见图2). 由于预解式 $(A-\lambda)^{-1}$ 在 $\mathbb{C}\setminus\mathrm{Spec}(A)$ 中是全纯的, 并且 $\mathrm{Spec}(A)\cap\Lambda_{\rho}=\emptyset$, 故 $\Gamma_{\frac{\rho}{2}}$ 和 $\Gamma_{\frac{\rho^{\prime}}{2}}$ 在 $\Lambda_{\rho}$ 中是同伦的. 由柯西积分定理, 有

从而定义 5.2 中的路径不依赖于 $\rho$ 和 $\delta$ 的选取, 并将 $\Gamma_{\frac{\rho}{2}}$ 记为 $\Gamma$.

命题 5.1 由 (5.1) 式所定义的复幂有如下性质

(i)当 $\Re z<0$, $\Re w<0$ 时, 成立半群性质

(ii) 对于 $k\in\mathbb{N}$,

(iii) 当 $\Re z<0$ 时, $A_z$ 定义了$C(\mathbb{T}_\theta^d)$ 值的全纯函数. 事实上, 根据命题 4.6, 也可看作是 $B(L_2(\mathbb{T}_\theta^d))$ 值的.

证 (i) 设 $\Gamma^{\prime}$ 是如下路径 (见图3): 先沿 $\arg\lambda=\frac{7\pi}{8}$ 从 $-\infty$ 径向递减到 $-\frac{3\rho}{4}$, 再绕原点以半径 $\frac{3\rho}{4}$ 顺时针旋转到共轭点, 最后沿 $\arg\lambda=-\frac{7\pi}{8}$ 从 $-\frac{3\rho}{4}$ 径向递减到 $-\infty$. 此处 $\Gamma^{\prime}$ 避开了所有谱, 并由之前讨论可知积分 (5.1) 在路径改变下同伦, 根据预解式和 Fubini 定理, 可得

(ii)若 $z=-1,-2,\cdots$, 那么 $(r{\rm e}^{{\rm i}\pi})^z=(r{\rm e}^{-{\rm i}\pi})^z$, 并且 (5.1) 式中沿 $\Gamma$ 直线部分的积分互相抵消, 有

变量替换 $\lambda=\mu^{-1}$ 后, d$\mu=-\lambda^{-2}{\rm d}\lambda$, 有

(iii) 对于 $\Re z\leq-\varepsilon<0$, 通过对 (5.1) 式中 $z$ 求微分, 可得

由定理 4.2 得到的径向上 $O(|\lambda|^{\Re z-1})$ 的衰减速率, 以及圆弧路径上 $(\ln\lambda)^n(A-\lambda)^{-1}$ 的一致有界性, 可知上述积分在算子范数下绝对收敛. 这就建立了 $z\mapsto A_{z}$ 的全纯性质.

接下来我们使复指数 $z\in\mathbb{C}$ 满足 $\Re z<k$ ($k\in\mathbb{Z}$) 的条件来拓展复幂算子.

定义 5.3 设 $z\in\mathbb{C}$, $k=\lfloor\Re z\rfloor+1$, 我们定义

其中 $A_{z-k}$ 由 (5.1) 式定义.

以下为拓展后的复幂的基本性质.

定理 5.1 (i)若 $\Re z<k$, 则由 (5.4) 定义的算子 $A^{z}$ 与整数 $k$ 的选择无关;

(ii)若 $\Re z<0$, 则 $A^{z}=A_{z}$;

(iii)对于任意的 $z,w\in \mathbb{C}$, 有群性质成立

(iv) 对于 $k\in \mathbb{Z}$, (5.4) 式退化为标准的算子幂, 即 $A^0=I,A^1=A$, 特别地, $A^{-1}$ 就是逆算子.

证 (i) 设 $k,l\in\mathbb{Z}$ 并且 $k,l>\Re z$. 不失一般性, 假定 $k>l$, 并设 $p:=k-l\in\mathbb{N}, w:=z-k$. 在等式 $A^{k}A_{z-k}=A^{l}A_{z-l}$ 两端左乘 ${A^{-l}}$ 可得

因为 $\Re\left(w+p\right)=\Re\left(z-l\right)<0$, 由 (5.3) 和 (5.2) 式可得

(ii) 由 (1) 中的 $k$ 取 0 即可;

(iii) 选取 $k,j\in\mathbb{Z}$ 使得 $k>\Re z,j>\Re w$, 则有

(iv) 当 $k=0$ 时,

并且正整数情形遵循归纳准则, 有

负整数情形则由 (5.3) 式保证. 逆的性质$A^{-1}A=I$, 在 (5.3) 式中取 $k=1$ 即可.

同之前一样, 我们仍然假设 $A \in \mathrm{C}\Psi^m(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$ 为阶数 $m > 0$ 的椭圆拟微分算子, 且假设 $A$ 及其主象征 $\sigma(A)_m(\xi)$ 均为正算子. 并由推论 4.1 可知存在常数$C_e$, 有 $|\sigma(A)_m(\xi)| \ge C_e, \xi \neq 0$. 为了处理 $A^{z}$ 象征的齐次分量, 我们通过预解式的相关积分来拓展拟逆构造.

回顾 $\Lambda_\xi$ 的定义

其中

对于 $\Re z<0$ 的象征演算, 我们用 $\Lambda_{\xi}$ 中的路径$\Gamma_{\xi}$ 和 $\Gamma_{\xi}^{\prime}$ 来代替 5.1 小节中的 $\Gamma$ 和 $\Gamma'$, 用 $\frac{1}{2}C_{e}(\xi)$ 来代替参数 $\rho$.

定义 5.4 对于 $\Re z<0$, 定义 $mz-j$ 阶的齐次象征分量为

该式在 $\xi\neq0$ 时是有定义的. 特别地, 对于 $j=0$,有柯西积分成立

命题 5.2 对于 $\Re z<0$ 和 $\xi\neq0$, 象征 $\sigma(B)_{mz-j}^{(z),0}$ 具有 $mz-j$ 阶的正齐次性

证 设 $\Gamma_\xi^t=t^{-m}\Gamma_\xi$. 由齐次性 $\sigma(B)_{-m-j}^{0}(t\xi,t^{m}\lambda)=t^{-m-j}\sigma(B)_{-m-j}^{0}(\xi,\lambda)$ (命题 4.10), 有

自然地, 下面将象征演算推广到复幂情形.

命题 5.3 (i)对于 $\Re w<0,\Re z<0$, $|\xi|\geq1$, 以及 $j\in \mathbb{N}_{0}$, 有半群性质成立

(ii)对任意 $k\in \mathbb{N}$, 序列 $\left\{\sigma(B)_{-mk-j}^{(-k),0}(\xi)\right\}_{j\geq0}$ 构成了 $A^{k}$ 的拟逆的齐次分量;

(iii)对于任意的多重指标 $\alpha,\beta$, $\partial_{\xi}^{\alpha}D^{\beta}\sigma(B)_{mz-j}^{(z),0}(\xi)$ 是一个在 $\Re z<0$ 上, $\xi \neq0$, 取值为 $C(\mathbb{T}_\theta^d)$ 的全纯函数,

证

(i) 由预解式相关等式, 有

已知

以及

我们对相关参数 $j\in\mathbb{N}_0$ 的齐次分量进行配对, 得到

按照定义 5.4, 得出

(ii) 对于 $k\in\mathbb{N}$, 命题 5.1(ii) 表明 $A_{-k}=(A^{-1})^{k}$, 而 $A^{k}$ 拟逆的构造反映了定义 5.4 生成的象征序列;

(iii) 对于任意多重指标 $\alpha,\beta$, 有

在积分两端对 $z$ 求微分, 得到

由命题 4.10 可知当 $\Re z\leq-\varepsilon<0$ 时, 上述积分收敛到 $C(\mathbb{T}_\theta^d)$. 因此, $\partial_{\xi}^{\alpha} D^{\beta}\sigma(B)_{mz-j}^{(z),0}(\xi)$ 是关于 $z$ 的全纯函数, 其中 $\Re z<0$ 且 $\xi\neq0$.

我们需要将 $\sigma(B)_{mz-j}^{(z),0}$ 的构造延拓到整个复平面 $z\in\mathbb{C}$ 上, 为此先用齐次分量 $\sigma(B)_{mz-j}^{(z),0}$ 研究 $\Re z<0$ 时 $A^z$ 的结构问题.

对于任意 $k\in \mathbb{N}$, 令 $\sigma(A^{k})_{j}(\xi)$ 表示 $\sigma(A^{k})(\xi)$ 的 $j$ 次齐次分量, 有渐近展开

我们将定义 4.3 中的固定光滑截断函数 $\phi$ 用于 5.2 小节中齐次象征分量的构造, 并引入正则化象征.

\begin{definition}

设 $\Re z<0$, 对于每个 $j\in \mathbb{N}_{0}$, 定义正则化象征

其中 $\sigma(B)_{mz-j}^{(z),0}$ 是 (5.6) 式定义的齐次分量, 对应的拟微分算子记为 $B_{mz-j}^{(z)}$.

定义 5.6 对任意 $N\in \mathbb{N}$, 定义截断和

当 $\Re z<0$ 时, 存在古典拟微分算子 $B^{(z)}\in\mathrm{C} \Psi^{mz}({C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)})$ 的象征满足渐近展开

等价地, 对于每个 $N$, 有

记象征 $\sigma(B)_{-m-j}(\xi,\lambda)=\varphi(\xi)\sigma(B)_{-m-j}^{0}(\xi,\lambda)$ 所对应的拟微分算子为 $B_{-m-j}(\lambda)$, 并记截断和 $B_{(N)}(\lambda)=\sum_{j=0}^{N-1}B_{-m-j}(\lambda)$.

定义 5.7 象征族 $\sigma(A)(\xi,z)\in C^{\infty}(\mathbb{R}^{d}\times G;C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$ 称为属于 $\operatorname{Hol}\left(G,S_{\rho,\delta}^m(\mathbb{R}^d;C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))\right)$, 若满足以下条件

(i)$z\mapsto\sigma(A)(\xi,z)$ 在 $G\subset\mathbb{C}$ 上解析;

(ii) 对任意多重指标 $\alpha,\beta$ 和任意 $k\in \mathbb{N}$ 以及紧子集 $K\subset G$, 存在常数 $C=C(\alpha,\beta,k,K)>0$, 使得

在 $(\xi,z)\in\mathbb{R}^{d}\times K$ 上一致成立.

当象征族 $\sigma(A)(\xi,z)$ 满足上述条件时, 称对应算子族$A(z)$ 属于$\mathrm{Hol}\left(G,\Psi_{\rho,\delta}^m(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))\right)$. 由文献 [17,推论 2.6] 以及 4.2 小节可知, 当椭圆拟微分算子拟逆的椭圆性关于 $z$ 一致成立时, 全纯拟微分算子族在复合与伴随运算下闭合.

命题 5.4 设 $\Lambda_0=\left\{\lambda\in\mathbb{C}\setminus\{0\}:|\lambda|<\frac{1}{2^{m+1}}C_e \text{ 或 } |\arg\lambda-\pi|<\frac{\pi}{4}\right\}$, 那么对于任意 $N\in\mathbb{N}$ 以及 $\lambda\in\Lambda_{0}$, 有

证 由 (4.9) 式知 $B(\lambda)$ 的渐近展开为

记 $r_{N}(\xi,\lambda)$ 为 $(A-\lambda)^{-1}-B_{(N)}(\lambda)$ 的象征, 并对算子分解得到

由展开式 $\sigma(B)(\xi,\lambda)-\sum_{j=0}^{N-1}\sigma(B)_{-m-j}(\xi,\lambda)\in S_{-1}^{-m-N}(\mathbb{R}^d\times\Lambda_0;C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$ 可知第一项

又由定理 4.2 可知第二项

其中$R(\lambda):=I-B(\lambda)(A-\lambda)\in\Psi_{-1}^{-\infty}(\Lambda_0;C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$.

最终得到

以及

下面将 $A^{z}$ 与 $B^{(z)}$ ($\Re z<0$) 联系起来.

命题 5.5 设 $A\in\mathrm{C}\Psi^{m}(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$ ($m>0$) 是椭圆的, 并且是严格正的. 假定它的主象征 $\sigma(A)_{m}(\xi)$ 在 $\xi\ne 0$ 时都是正的, 那么对于任意$N\in{\mathbb{N}}_{0}$, 有

证 设 5.1 小节中的 $\rho$ 为 $\frac{1}{2^{m+1}}C_{e}$, 并保持 $\Gamma$ 与 $\Gamma'$ 的形状不变.

对于 $\Gamma$ 上的积分

以及

定义

其象征对应为

由 (5.10) 式可知

在 $\Re z<0, k\in\mathbb{N}$ 条件下, 对积分 (5.11) 求微分, 有

因此

$R_N^{(z)}\in\operatorname{Hol}\left(\Re z<0,\Psi_{1,0}^{-N}(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))\right)$.

我们可以通过 5.1 节的内容把 $\sigma(B)_{mz-j}^{(z),0}$ 的定义延拓到整个复平面上. 由命题 5.5,

并由 $B^{(z-k)}$ 渐近展开的定义有

当 $N$ 足够大时, 上述两项变得足够光滑, 进而有

对于 $k=\lfloor\Re z\rfloor+1$, 我们定义$B^{(z)}:=A^{k}B^{(z-k)}$. 由 (5.4) 和 (5.12) 式可以得到

自然地, 当 $j\in\mathbb{N}_{0},|\xi|\geq1$ 时, 可将象征分量 $\sigma(B)_{mz-j}^{(z),0}(\xi)$ 定义为

其中 $\sigma(A^{k})_{mk-p}(\xi)$ 和 $\sigma(B)_{m(z-k)-q}^{(z-k),0}(\xi)$ 可互换, 亦即

定理 5.2

推广后的象征满足如下性质

(i)当整数 $k$ 满足 $\Re z<k$ 时, 由 (5.13) 式定义得到的$\sigma(B)_{mz-j}^{(z),0}(\xi)$ 与 $k$ 的选择无关;

(ii)当 $\Re z<0$ 时, 由 (5.13) 式定义得到的 $\sigma(B)_{mz-j}^{(z),0}(\xi)$ 与由路径积分 (5.6) 定义得到的相同;

(iii)当 $z,w\in \mathbb{C}$ 时, 群性质 (5.8) 成立;

(iv)若 $k\in\mathbb{Z}$, 那么

(v)对于任意多重指标 $\alpha,\beta$, 若 $\xi \neq0$ 且 $j\in \mathbb{N}_0$, 那么 $\partial_\xi^\alpha D^\beta\sigma(B)_{mz-j}^{(z),0}(\xi)$ 是关于 $z$ 的整函数.

证 (i) 令 $k_{1},k_{2}\in\mathbb{Z}$ 且 $\Re_{z}<k_{1},k_{2}$, 由定理 5.1(ii) 和 (5.12) 式可知

即 $\sigma(B)_{mz-j}^{(z),0}(\xi)$ 与 $k$ 的选取无关 ($|\xi|\geq1$);

(ii) 由 $\Re z <0$, 令 (i) 中的 $k$ 为 0 即得;

(iii) 令 $z,w\in\mathbb{C}$ 并选取 $k,l\in\mathbb{Z}$ 使得 $\Re z<k$ 以及 $\Re w<l$, 由 (5.5) 式可知

因此, 对于每一个 $j\in\mathbb{N}_0$, 对应象征满足

(iv) 令 $z=k\in\mathbb{Z}$, 可得

(v) 选取 $k\in\mathbb{Z}$ 使得 $\Re z<k$. 对于任意多重指标 $\alpha,\beta$, 若 $\xi \neq0$ 且 $j\in\mathbb{N}_0$, 我们有

对于任意 $n\in\mathbb{N}$, 我们关于 $z$ 求微分, 可以得到 $\frac{d^{n}}{dz^{n}}\partial_{\xi}^{\alpha} D^{\beta}\sigma(B)_{mz-j}^{(z),0}(\xi)$ 就等于

由推论 4.10(i) 和 (iii) 可知, 当 $\Re(z-k)\leq-\varepsilon<0$ 时, 上述积分绝对收敛. 又因为 $k$ 的选取是任意的, 故对任意点 $z\in \mathbb{C}$, $\partial_{\xi}^{\alpha} D^{\beta}\sigma(B)_{mz-j}^{(z),0}(\xi)$ 是解析的, 因此是全纯的. 从而证明了 $\partial_{\xi}^{\alpha} D^{\beta}\sigma(B)_{mz-j}^{(z),0}(\xi)$ 是关于 $z$ 的整函数.

由上述命题, 可得到下面的结构定理.

定理 5.3 设 $A\in\mathrm{C}\Psi^{m}(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$ 是椭圆的并且是严格正的, 假定主象征 $\sigma(A)_{m}(\xi)$ 在 $\xi \ne0$ 时是正的, 那么 $A$ 的复幂满足

(i) 对任意 $N\in\mathbb{N}_{0}$, $t\in\mathbb{R}$, 有

(ii)对任意 $z\in\mathbb{C}$, 有$A^{z}\in\mathrm{C}\Psi^{mz}(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$.

证 (i) 由命题 5.5 中, 我们已经建立 $t=0$ 的情况. 对于一般情况, 设 $w=z+t$, 有

由定理 5.1 和定理 5.2 的群性质可知全纯族的组合仍是全纯族, 我们有

(ii) 固定 $z\in\mathbb{C}$ 并选取 $t$,使得 $t>\Re z$. 另一方面, 存在拟微分算子 $B^{(z)}$ 使得它的象征$\sigma(B^{(z)})(\xi)$ 满足

并且有$B^{(z)}\in\mathrm{C}\Psi^{mz}(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$, 令 (i) 中 $N\rightarrow\infty$, 得到

定理 5.3 证明了 $A^{z}$ 是 $mz$ 阶拟微分算子, 接下来需确定这类算子的主象征. 特别地, 对于 $|A|=(A^*A)^{\frac{1}{2}}$ 来说, $|A|^{z}$ 的复幂结构非常重要. 下述推论证明了 $|A|^{z}$ 的主象征是 $A$ 主象征的模的 $z$ 次幂.

推论 5.1 设 $A\in\mathrm{C}\Psi^{m}(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$ 是椭圆的, $\mathrm{m}=\Re m>0$, 并且 $A^*A$ 是严格正的, 那么 $|A|^{z}\in\mathrm{C}\Psi^{\mathrm{m}z}(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$ 的主象征满足

证 由命题 5.3 可知$A^{*}A\in\mathrm{C}\Psi^{2\mathrm{m}}(\mathcal{M})$,对应地, 其主象征为

结合定理 5.3 可知$|A|^{z}=(A^{*}A)^{\frac{z}{2}}\in\mathrm{C}\Psi^{\mathrm{m}z}(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$, 并由 (5.7) 式有

由上述推论可知, 若 $A$ 是椭圆的并且是严格正的, 可推出主象征 $\sigma(A)_{m}(\xi)$ 在 $\xi\neq0$ 时也是正的. 因此, 后文都假定所涉及的拟微分算子为椭圆的, 并且是严格正的, 而不用假设主象征的正性.

本节首先给出椭圆拟微分算子 Riemann $\zeta$-函数的定义, 然后利用上一节的结构定理 5.3 分析 $\zeta$-函数的解析性质. 结合 Tauberian 定理, 可导出本文的核心结论, 即椭圆拟微分算子的谱渐近极限. 我们还会给出谱渐近极限的几个推论.

定理 3.4 指出, 拟微分算子的阶数小于 $-d$ 时, 可用算子的符号计算算子的迹. 这保证了 $\zeta$-函数定义的合理性

定义 6.1 设 $A \in \mathrm{C}\Psi^m(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$ 为阶数 $m > 0$ 的严格正椭圆拟微分算子. 算子 $A$ 与其主象征 $\sigma(A)_m(\xi)$ 的 $\zeta$-函数分别定义为

与

然而, 离散的求和 $ \sum_{k \in \mathbb{Z}^d} \sigma(A)_m(k)^{-z} $ 并不利于计算, 考虑其连续版本可简化此计算

下面的引理表明, 离散和与连续积分的解析性质是等价的.

引理 6.1 设 $ A \in \mathrm{C}\Psi^m(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)) $ 为阶数 $ m > 0 $ 的严格正椭圆拟微分算子. 定义

则映射 $ z \mapsto S(z) - I(z) $ 在半平面 $ \{ z \in \mathbb{C} : \Re z > \frac{d - 1}{m} \} $ 上全纯, 且 $ S(z) $ 可由 $ I(z) $ 的亚纯延拓唯一确定

其中 $ F(z) $ 是定义在 $ \{ z \in \mathbb{C} : \Re z > \frac{d - 1}{m} \} $ 上的全纯函数.

证 本证明借鉴文献 [39,引理 4.4] 的方法, 将其整理至一般椭圆拟微分算子的情形. 原文处理的是标量函数情形, 本文通过正规半有限忠实迹$ \tau $ 将结论整理至算子值函数情形.

对每个格点 $ k \in \mathbb{Z}^d \setminus \{-1,0\}^d $, 定义 Riemann 误差函数

由于 $ \sigma(A)_m(\xi) $ 在 $ \xi \neq 0 $ 处光滑, 经取迹 $ \tau $ 后得到标量函数 $ \xi \mapsto \tau(\sigma(A)_m(\xi)) $, 该函数关于 $ \xi $ 光滑. 应用中值定理可得

其中 $ K \subset \{ z : \Re z > \frac{d - 1}{m} \} $ 为任意紧集, 常数 $ C_K $ 仅依赖于 $ K $.

因此, 级数

在任意紧集 $ K $ 上一致收敛, 其极限为全纯函数 $ F_1(z) $. 于是有

其中 $ D = [-1,1]^d \setminus \{ s : |s| \le 1 \} $. 右侧各项均在区域 $ \{ z : \Re z > \frac{d - 1}{m} \} $ 上全纯, 故 $ S(z) - I(z) $ 在该区域内全纯.

最后, 利用 $ \sigma(A)_m $ 的齐次性, 可通过极坐标变换对 $ I(z) $ 进行积分, 从而获得其在 $ \Re z > \frac{d}{m} $ 上的亚纯表达式. 由此可推出 $ S(z) $ 可通过 $ I(z) $ 的全纯延拓唯一确定.

设 $ A \in \mathrm{C}\Psi^m\big(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)\big) $ 为阶数 $ m > 0 $ 的严格正椭圆拟微分算子, 下面我们来研究 $\zeta_{A}(z) = \operatorname{Tr}(A^{-z}) $ 的解析性质. 当 $ \Re z> \frac{d}{m} $ 时, 根据定理 3.4,

我们无法直接计算 $A^{-z}$ 的象征, 需借助定理 5.3 分析算子 $A^{-z}$ 的各齐次分量.

定理 6.1 设 $ A \in \mathrm{C}\Psi^m\big(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)\big) $ 为阶数 $ m > 0 $ 的严格正椭圆拟微分算子. 则其对应的Riemann $\zeta$-函数 $\zeta_A(z)$ 可亚纯延拓至整个复平面 $ \mathbb{C} $, 其极点至多为单极点, 位于

在 $ z = z_j $ 处的留数为

其中 $ d\xi $ 是单位球面 $ \mathbb{S}^{d-1} \subset \mathbb{R}^d $ 上的表面积测度. 特别地, $\zeta_A(z)$ 最右侧的极点为位于 $z = \frac{d}{m}$ 处, 在该点的留数为

证 根据定理 5.3, $z\mapsto \operatorname{Tr}(A^z - B_{(N)}^{(z)})$ 是区域 $\Re z < \frac{N-d}{m}$ 上的全纯函数. 因此, $ \operatorname{Tr}(A^z)$ 的奇点及留数完全由 $ \operatorname{Tr}(B_{(N)}^{(z)})$ 决定. 为了计算后者, 利用定理 3.4, 有

然后, 利用 $B_{(N)}^{(z)}$ 的齐次分量构成, 可知, 在每个点 $n\in \mathbb{Z}^d$,

如此, $\operatorname{Tr}(B_{(N)}^{(z)}) $ 的齐次分量构成如下

对每个固定的 $j$, 由引理 6.1 知 $ \tau \Big(\sum_{n\in \mathbb{Z}^d} \sigma(B)^{(z),0}_{mz-j}(n)\Big)$ 与 $\int_{|s|\geq 1} \tau \Big( \sigma(B)^{(z),0}_{mz-j}(s)\Big){\rm d}s$ 之差为一全纯函数, 这表明, $ \operatorname{Tr}(B_{(N)}^{(z)})$ 的奇点都来自于齐次项积分

设极坐标 $\xi = r\xi'$ ($r \geq 1$), $\xi' \in \mathbb{S}^{d-1}$, 由齐次性 $\sigma(B)^{(z),0}_{mz-j}(r\xi') = r^{mz-j} \sigma(B)^{(z),0}_{mz-j}(\xi')$ 可知积分为

由于 $\int_{1}^{\infty} r^{mz-j+d-1} \, {\rm d}r= -\frac{1}{mz-j+d}$, 因此积分为

上式在复平面上除点 $-z_j=\frac{j - d}{m}$ 外全纯, 且在 $z_j$ 处有单极点, 注意到 $-mz_j - j = -d$, 故留数为

因此, $\zeta_A(z)$ 在 $z_j = \frac{d-j}{m}, j \in \mathbb{N}_0$ 处的留数为 $\frac{1}{m} \int_{|\xi| = 1} \tau\big(\sigma(B)_{-d}^{(z_j),0}(\xi)\big)\,{\rm d}\xi$.

推论 6.1 设 $A\in \mathrm{C}\Psi^m\big(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)\big)$ 为阶数 $m > 0$ 的严格正椭圆拟微分算子. 主象征 $\sigma(A)_m(\xi)$ 的求和与积分

初始定义于区域 $\Re z >\frac{d}{m}$.

则该求和与积分均可亚纯延拓至 $\Re z >\frac{d-1}{m}$, $\frac{ d}{m}$ 处简单极点的留数为 $\frac{1}{m} \tau \int_{|\xi| = 1} \sigma(B)_{-d}^{(z_j),0}(\xi)\,{\rm d}\xi$.

证 将主象征 $\sigma(A)_m(\xi)$ 看作一个拟微分算子的象征, 并由定理 5.3 和推论 5.1 得到其正性与椭圆性, 由引理 6.1 和定理 6.1 得到相同留数.

当 $\Re m \ge 0$, 由命题 2.5 可得如下包含关系

对于 $T \in \mathrm{C}\Psi^{-m}(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$ (其中 $\Re m > 0$), 其奇异值函数 (序列) 定义为

其中 $e_s^{\perp}(|T|)$ 表示算子 $|T|$ 关于区间 $(s, \infty)$ 的谱投影.

$|T|$ 的主象征为 $|\sigma(T)_{-m}|$, 属于半有限 von Neumann 代数 $L_{\infty}(\mathbb{S}^{d-1}) \overline{\otimes} L_{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d)$. 其对应的奇异值函数为

注 6.1 需要强调的是, 尽管负数阶拟微分算子$T \in \mathrm{C}\Psi^{-m}(C^\infty(\mathbb T_\theta^d))$在 $L_2(\mathbb T_\theta^d)$ 上是紧算子,其主象征 $\sigma(T)_{-m}$ 并不是紧算子.根据定义 2.1, 由于主象征 $\sigma(T)_{-m}$ 属于有限 von Neumann 代数 $L_\infty(\mathbb{S}^{d-1}) \overline{\otimes} L_\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$, 因此是 $\tau$-紧算子. 该主象征的奇异值函数在非交换测度框架下刻画了算子 $T$ 的谱渐近性.

定理 6.2 设 $A \in \mathrm{C}\Psi^m(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$ 为阶数 $m > 0$ 的椭圆拟微分算子, 且假设 $|A|$ 是严格正的, 则有

定理 6.2 的证明依赖于上一节所引入的谱$\zeta$-函数的分析, 并结合下面引理将要介绍的 Wiener-Ikehara Tauberian 定理, 可参见[20,43].

引理 6.2 设 $F: \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R}_{+}$ 为单调非减函数, 且当 $t \le \epsilon$ 时 $F(t) = 0$, 其中 $\epsilon > 0$. 假设

在 $\Re z > k_0$ 时绝对收敛, 并存在常数 $\gamma$, 使得

可延拓为 $\Re z \ge k_0$ 上的连续函数. 则有

下面给出定理 6.2 的证明.

证 [定理 6.2 的证明] 由推论 5.1 可知, 椭圆拟微分算子 $|A|^{-1}$ 与其主象征 $|\sigma(A)_m(\xi)|^{-1}$ 均为正算子. 根据 (6.2) 式, 有 $|A|^{-1} \in \mathcal{S}_{\frac{d}{m}, \infty}(L_2(\mathbb{T}_\theta^d))$, 因此其谱半径有限, 记为 $r$. 于是

令 $u = s^{-1}$, 则当 $s \to 0^+$ 时 $u \to \infty$, 变换积分变量得

由定理 6.1 可知, 函数

在 $\Re z \geq \frac{d}{m}$ 上全纯. 结合引理 6.2, 可得

等价地, 在原变量下表示为

与引理 2.1 结合, 推出

类似地, 对主象征 $|\sigma(A)_m(\xi)|^{-1}$ 对应

$\zeta$-函数 $\zeta_{\sigma}(z)$ 的推论 6.1, 可知

同样在 $\Re z \geq \frac{d}{m}$ 上全纯. 同理可得

注 6.2 比较定理 6.2 的证明与文献 [29,定理 3.19] 以及文献 [39,定理 4.1] 的证明, 上面的证明有以下优点: 无需应用非交换版本的 Tauberian 定理 [29,定理 1.2], 只需要经典的 Tauberian 定理 (引理 6.2). 但为此, 付出的额外代价是, 我们需要事先分析整个拟微分算子的 $\zeta$-函数的解析性质, 即引理 6.1 的内容.

通过应用引理 2.2 与引理 2.3, 推广了 Birman-Solomyak 在文献 [第 4 节] 中提出的扰动技术. 该推广将紧算子的奇异值序列 ($\mu(k,\cdot), k \in \mathbb{N}$) 拓展至半有限 von Neumann 代数中元素的奇异值函数 ($\mu(t,\cdot), t \in \mathbb{R}_{+}$). 进一步地, 与文献 [4-6] 及 [33,定理 6.1] 中的证明策略相似, 我们将定理 6.2 中关于量子环上严格正的椭圆拟微分算子 (阶数 $m > 0$) 之逆的奇异值渐近极限, 推广至一般的负数阶古典拟微分算子.

定理 6.3 设 $T \in \mathrm{C}\Psi^{-m}(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$ 为 $-m$ 阶的古典拟微分算子, 其中 $m>0$. 那么 $T \in \mathcal{S}_{\frac{d}{m}, \infty}(L_2(\mathbb{T}_\theta^d))$, $\sigma(T)_{-m} \in \mathcal{L}_{\frac{d}{m}, \infty}(L_{\infty}(\mathbb{S}^{d-1}) \overline{\otimes} L_{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d))$, 并且有

证 对于 $\varepsilon > 0$, 定义正则化算子

由命题 4.5 可知 $|T|^2 \in \mathrm{C}\Psi^{-2m}(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$, 而根据 (6.2) 式有

因此当 $\varepsilon \to 0$ 时, $P_\varepsilon^2$ 在 $\mathcal{S}_{\frac{d}{2m}, \infty}(L_2(\mathbb{T}_\theta^d))$ 中收敛于 $|T|^2$.

设 $A_\varepsilon \in \mathrm{C}\Psi^m(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$ 为一个严格正的椭圆拟微分算子, 其主象征为

该表达式保证了 $A_\varepsilon$ 的椭圆性; 通过引入一个小的正项 $\varepsilon^2 |\xi|^{-2m}$ 可确保其逆算子的严格正性. 因此可应用定理 6.2 得到

令 $\varepsilon \to 0$, 利用控制收敛定理得

接下来, 我们将 $T$ 的奇异值渐近极限与等式 (6.3) 建立联系. 注意到 $|T|^2 + \varepsilon^2 J_\theta^{-2m}$ 的主象征为 $|\sigma(T)_{-m}(\xi)|^2 + \varepsilon^2 |\xi|^{-2m}$, 故有

由此可得

进而根据 (6.2) 式有

因此, 由引理 2.2 可知, $P_\varepsilon^2$ 与 $|A_\varepsilon|^{-2}$ 具有相同的奇异值渐近极限, 即

又因当 $\varepsilon \to 0$ 时, $P_\varepsilon^2 \to |T|^2$ 在 $\mathcal{S}_{\frac{d}{2m}, \infty}(L_2(\mathbb{T}_\theta^d))$ 中成立, 结合引理 2.3 可得

代入等式 (6.3), 即得

关于奇异值渐近极限 $\lim_{t \to \infty} t^{\frac{m}{d}} \mu(t, \sigma(T)_{-m})$ 的证明可沿用定理 6.2 中的方法, 同理可证.

推论 6.2 设 $T=T^*\in \mathrm{C}\Psi^{-m}(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$ 为 $-m$ 阶的古典拟微分算子, 其中 $m>0$. 那么有

证 沿用定理 6.3 中的构造方法, 对自伴算子 $T$ 及 $\varepsilon > 0$, 定义

由 (6.4) 式可知, 当 $\varepsilon \to 0$ 时, $Q_\varepsilon$ 在 $\mathcal{S}_{\frac{d}{m}, \infty}(L_2(\mathbb{T}_\theta^d))$ 中收敛于 $\frac{1}{2}(|T|+T)$, 即 $T$ 的正部 $T^{+}$.

设 $\widetilde{A_\varepsilon} \in \mathrm{C}\Psi^m(C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d))$ 为一个严格正的椭圆拟微分算子, 其主象征为

应用定理 6.2 得到

令 $\varepsilon \to 0$, 利用控制收敛定理得

注意到

由此可得

进而根据 (6.2) 式有

结合已知关系

可得

因此, 由引理 2.2 可知, $Q_\varepsilon$ 与 $|\widetilde{A_\varepsilon}|^{-1}$ 具有相同的奇异值渐近行为, 即

又因当 $\varepsilon \to 0$ 时, $Q_\varepsilon \to T^{+}$ 在 $\mathcal{S}_{\frac{d}{m}, \infty}(L_2(\mathbb{T}_\theta^d))$ 中成立, 结合引理 2.3 可得

代入等式 (6.5), 即得

这给出了 $T$ 正特征值的 Weyl 律. 类似地, 将 $T$ 替换为 $-T$, 即可得到负特征值的 Weyl 律.

关于极限 $\lim_{t \to \infty} t^{\frac{m}{d}} \mu(t, \sigma(T)_{-m}^{\pm})$ 的证明, 可沿用定理 6.2 中的方法, 论证过程相似, 此处从略.

接下来, 我们将利用前述椭圆拟微分算子的奇异值渐近定理, 直接推导出量子环上 Laplace-Beltrami 算子的 Weyl 律, 即文献 [18] 中尚未证明的注 9.15 所述结论. 为此, 我们首先简要回顾量子环上的 Riemann 几何结构, 并引入相应的谱体积概念; 更多细节可参见[18,27].

设 $\mathcal{X}_\theta$ 是由 $\partial_1, \cdots, \partial_d$ 生成的自由左 $C^\infty(\mathbb{T}_\theta^d)$-模, 称为量子环上的向量场模. 量子环 $\mathbb{T}_\theta^d$ 上的一个 Riemann 度量由一个正定可逆矩阵

给出, 其中各分量 $g_{ij}$ 均为自伴元. 在量子环 $\mathbb{T}_\theta^d$ 上赋予一个 Riemann 度量 $g$, 所得的非交换几何对象 $(\mathbb{T}_\theta^d, g)$ 在文献中常被称为弯曲量子环. 对应的 Riemann 密度定义为

由此诱导的 Riemann 权定义为

其 Riemann 体积为

设 $g = (g_{ij})$ 为 Riemann 度量, 其逆矩阵为 $g^{-1} = (g^{ij})$. Laplace-Beltrami 算子 $\Delta_g: C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d) \to C^{\infty}(\mathbb{T}_\theta^d)$ 定义为

进一步定义谱 Riemann 密度为

相应的谱体积为

基于上述构造, 结合定理 6.2, 我们可得如下推论

推论 6.3 设 $(\mathbb{T}_\theta^d, g)$ 为弯曲量子环,$\Delta_g$ 为其上由 Riemann 度量 $g$ 诱导的Laplace-Beltrami 算子, 其特征值按递增顺序排列为 $\{\lambda_j(\Delta_g)\}_{j \geq 1}$. 则当 $j \to \infty$ 时, 有渐近公式

证 设$\varepsilon>0$, 考虑严格正算子

其主象征为

由定理 6.3 可知, $T_\varepsilon$ 的奇异值 $\mu(t,T_\varepsilon)$ 在 $t\to\infty$ 时满足

代入主象征 $\sigma(T_\varepsilon)_{-2}(\xi) = |\xi|_g^{-2}$, 得到

于是

由于 $T_\varepsilon = (\varepsilon+\Delta_g)^{-1}$ 是严格正自伴算子, 其特征值 $\lambda_j(T_\varepsilon)$ 与奇异值完全相同

此外, 由 $T_\varepsilon = (\varepsilon+\Delta_g)^{-1}$ 可知特征值之间的关系为

当 $j \to \infty$ 时, $\lambda_j(T_\varepsilon) \to 0$, 得到

但由于 $\lambda_j(\varepsilon+\Delta_g) \sim \lambda_j( \Delta_g)$, 结合 (6.7) 式, 即得到