在本文中, 考虑在区域 $\Omega$ 内的二维定常非均匀不可压缩 Euler 方程

这里 $\mathbf x=(x_1,x_2)\in \Omega\subset \mathbb R^2$ 表示空间坐标, $\mathbf{u}=(u_1,u_2)\in \mathbb R^2$ 表示流速, $p$ 与 $\rho$ 分别表示流体的压力和密度, 且 $(\rho, \mathbf u,p)$ 至少在 $\Omega$ 中是 $C^1$ 的, 还满足

$\inf\limits_{\Omega}\rho>0$. 本文始终假设流体不穿过固体边界 $\partial \Omega$, 即满足滑移边界条件

定常不可压缩 Euler 方程是椭圆-双曲特征耦合的系统, 已有大量研究工作. 当密度 $\rho$ 为常数时, 方程 (1.1) 即为定常均匀 Euler 方程. 对于定常均匀 Euler 方程的研究主要有两种方法 : 涡方法和流函数方法. 涡方法是通过涡/旋函数研究速度场的存在唯一性及相关性质. 利用涡方法研究二维定常均匀不可压缩 Euler 方程的结果可参见文献 [2,5,6,10,11]. 流函数方法则由不可压缩条件引入流函数, 将定常均匀 Euler 方程转化为关于流函数的椭圆方程.

对于二维定常均匀不可压缩 Euler 方程, 对动量守恒方程取旋并代入不可压缩条件可得

其中旋 $w=\partial_{x_1} u_2 -\partial_{x_2} u_1 $, 对应于其双曲传输特性, 表明旋沿着流线不变. 利用不可压缩条件引入流函数

则流函数 $\psi$ 满足椭圆方程

这里 $f$ 是仅依赖于流函数 $\psi$ 的单变量函数, 相关文献见 [1,4,7,8,21,22].

对于二维定常非均匀不可压缩 Euler 方程, 旋不再沿流线传输不变. 利用质量守恒方程和不可压缩条件可以得到

再结合 Bernoulli 律有

这两个方程刻画了非均匀情形下的双曲传输特性.其中 $B$ 是 Bernoulli 函数, 定义为

此时流函数 $\psi$ 满足的椭圆方程为

其中 $f$ 是依赖于 $\psi$ 和 $\nabla \psi$ 的双变量函数, 可参见文献 [9].

对 $\mathbf x=(x_1,x_2)\in \mathbb R^2\setminus \left \{ \mathbf 0 \right \} $, 记 $\left | \mathbf x\right | =\sqrt{x_1^2+x_2^2} $ 为模长. 定义

分别表示径向与切向单位向量.所谓环流,是指速度场与 $\mathbf e_{\theta}$ 平行, 即对任意 $\mathbf x\in \Omega$, 有 $\mathbf u \cdot \mathbf e_r=0 $.

在 Euler 方程的研究中, 刚性是指流动结构由区域的几何对称性决定^[16]. 对于具有旋转对称性的环形区域, 若解在给定条件下为环流, 则称该解具有刚性. 对于定常均匀不可压缩 Euler 方程, Koch 与 Nadirashvili^[19] 在速度分量 $u_1>0$ 的条件下, 证明了单位圆盘内流线的解析性质, 且速度场限制在流线上也是解析的. 随后, Hamel 与 Nadirashvili^[15] 在无停滞点的假设下, 系统研究了二维环形区域中 Euler 流的流线几何结构, 证明了环流的刚性. 对于其他几何区域, 他们也获得了类似的刚性结果: 在速度下确界严格大于零的条件下, 二维无限长直管道和半平面中的定常 Euler 流必为切向流^[17]; 在 $\inf\limits_{\mathbb R^2}|u|>0$ 的条件下, $\mathbb{R}^2$ 中的有界 $C^2(\mathbb{R}^2)$ 流必为平行流^[14]; 上述研究的综述请见文献^[16]. 最近, Li, Lv, Shahgholian 与 Xie^[20] 在来流为 Poiseuille 流的条件下, 证明了二维无限长管道中定常 Euler 流的刚性; Gui, Xie 与 Xu^[20] 则利用流角集对定常 Euler 流进行了分类, 得到了全平面, 半平面及无限长直管道中的刚性结果.

关于 Euler 方程相关的自由边界问题, Hmidi^[18] 在一定几何假设下, 证明了部分旋转速度对应的匀速旋转单连通涡斑必为圆盘. 随后, Gómez-Serrano, Park, Shi 与 Yao^[12] 系统推广了这一结果: 在更广泛的旋转速度范围内, 无需几何凸性假设, 即证明了匀速旋转单连通涡斑必为圆盘; 对于非负紧支集的光滑涡量, 也建立了自由边界问题解的刚性. 上述结果均包含定常解 (即旋转速度为 $0$) 的情形.

本文主要研究二维定常非均匀不可压缩 Euler 方程在环形区域内的刚性. 与均匀流的情形不同, 本文中流函数所满足的半线性椭圆方程包含梯度项, 非线性性更强, 给研究带来了新的挑战. 此外, 本文还探讨了接触间断解, 此时的非线性项不再具有 Lipschitz 连续性, 进一步增加了分析的难度.

对 $0\le a<b\le \infty$, 记 $\Omega_{a.b}$ 表示如下形式的二维环形区域

本文考虑这四类环形区域: $ \Omega_{a.b} $, $\Omega_{0.b}$, $\Omega_{a.\infty} $, $\Omega_{0.\infty}$. 并证明其刚性,下面介绍本文的主要结果.

区域 $\Omega_{a,b}$ 内的刚性结果

定理 1.1 设 $(\mathbf u, \rho) \in \left(C^2(\overline{\Omega_{a,b}})\right)^3$ 是区域 $\Omega_{a,b}$ 内满足 (1.1), (1.2) 式以及 $\inf\limits_{ \Omega_{a,b}}\rho>0$ 的解, 且满足

则在 $\overline{\Omega_{a,b}}$ 上成立 $\left | \mathbf u \right | >0$ 且 $\mathbf u$ 是环流. 具体而言, 存在一个严格定号的函数 $U\in C^2(\left [ a,b \right ] )$ 使得

其中 $C_a$ 表示以原点为中心, 半径为 $a$ 的圆周.

注 1.1 由定理 1.1 可知 $\psi$ 与 $\rho$ 是径向对称的, 且 $\psi$ 在 $\overline{\Omega_{a,b}}$ 中关于 $\left | \mathbf x \right |$ 严格单调, 这也是一种 Liouville 型的对称性结果. 该结果还表明流线是定义在 $ \mathbb R$ 上的周期函数且呈环形的.

注 1.2 这里关于停滞点的要求 (1.4) 式也可以替换为 $\left \{ \mathbf x\in \overline{\Omega_{a,b}}:\left | \mathbf u(\mathbf x) \right | =0 \right \} \subsetneq C_b$, 定理 1.1 的结论依然成立.

区域 $\Omega_{0,b}$ 内的刚性结果

定理 1.2 设 $(\mathbf u, \rho)\in \left(C^2(\overline{\Omega_{0,b}})\right)^3$ 是区域 $\Omega_{0,b}$ 内满足 (1.1), (1.2) 式及 $\inf\limits_{ \Omega_{0,b}}\rho>0$ 的解, 且满足

以及

则在 $\overline{\Omega_{0,b}}$ 上成立 $\left | \mathbf u \right | >0$, 且 $\mathbf u$ 是环流. 具体而言, 存在一个严格定号的函数 $U\in C^2( (0,b] )$, 使得

注 1.3 这里条件 (1.6) 是必要的, 否则可能会存在非环形流, 可参考文献 [15].

区域 $\Omega_{a,\infty}$ 内的刚性结果

定理 1.3 设 $(\mathbf u, \rho)\in \left(C^2(\overline{\Omega_{a,\infty}})\right)^3$ 是区域 $\Omega_{a,\infty}$ 内满足 (1.1), (1.2) 式及 $\inf\limits_{ \Omega_{a,\infty}}\rho>0$ 的解, 且满足

以及

则在 $\overline{\Omega_{a,\infty}}$ 上成立 $\left |\mathbf u \right |>0$ 且 $\mathbf u$ 是环流. 具体而言, 存在一个严格定号的函数 $U\in C^2( [ a,+\infty ) )$, 使得

定理 1.4 设 $(\mathbf u, \rho)\in \left(C^2(\overline{\Omega_{a,\infty}})\right)^3$ 是区域 $\Omega_{a,\infty}$ 内满足 (1.1), (1.2) 式, $\inf\limits_{ \Omega_{a,\infty}}\rho>0$ 的解, 且满足 $\inf\limits_{\Omega_{a,\infty}}\left | \mathbf u \right |>0 $. 若在 $ C_a$ 上 $\mathbf u\cdot \mathbf e_\theta>0$, 则

其中 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \psi}$ 表示沿流函数 $\psi$ 的导数.

注 1.4 由于本文考虑的是非均匀流, 在使用 Kelvin 变换后, 方程的非线性项较文献 [15] 更为复杂, 特别当 $\rho\equiv 1 $ 时$\frac{\mathrm{d} (\rho B)}{\mathrm{d} \psi}$ 退化为旋的符号, 即为文献 [15,定理 1.4] 的情形.

区域 $\Omega_{0,\infty}$ 内的刚性结果

定理 1.5 设 $(\mathbf u,\rho)\in \left(C^2(\overline{\Omega_{0,\infty}})\right)^3$ 是区域 $\Omega_{0, \infty}$ 内满足 (1.1) 式, $\inf\limits_{ \Omega_{0,\infty}}\rho>0$, $\left | \mathbf u \right | >0$ 及 $\varliminf\limits_{\left | \bf x \right | \to +\infty} \left | \bf u \right |>0$ 的解. 且满足

则在 $\overline{\Omega_{0,\infty}}$ 上成立 $\left | \mathbf u \right | >0$ 且 $\mathbf u$ 是环流. 具体而言, 存在一个严格定号的函数 $U\in C^2( (0,\infty] )$, 使得

Serrin 型定理

这里研究定常非均匀不可压缩 Euler 方程在光滑单连通或双连通有界区域内的 Serrin 型结果，这些区域的边界仅先验地为单连通或双连通, 属于自由边界问题. 通过附加适当的边界条件, 可以控制区域的形状.

定理 1.6 设 $\Omega\in\mathbb R^2$ 为一非空 $C^2$ 单连通区域, $(\mathbf u,\rho)\in \left(C^2(\overline{\Omega})\right)^3 $ 是满足 (1.1), (1.2) 式及 $ \inf\limits_{ \Omega}\rho>0$ 的解. 假设在边界 $\partial \Omega$ 上, $|\mathbf u| $ 恒为常数. 且 $\mathbf u$ 在 $\overline{\Omega}$ 中仅有一个停滞点. 则经过平移后, 存在 $R>0$ 使得

进一步地, 该停滞点位于圆盘 $B_R$ 的中心, 且 $\mathbf u$ 是环流, 即存在一个函数 $U\in C^2([R])$ 满足 $U\ne 0$ 在 $(0,R]$ 上, 且 $U(0)=0$, 并对任意 $\mathbf x\in \overline{B_R}\setminus \left \{ 0 \right \}$ 有 $\mathbf u=U(|\mathbf x|)\mathbf e_\theta(\mathbf x)$.

定理 1.7 设 $\omega_1$ 与 $\omega_2$ 是 $\mathbb R^2$ 中的两个非空 $C^2$ 单连通区域, 满足 $\overline{\omega_1}\subset \omega_2$, 记

设 $(\mathbf u,\rho)\in \left(C^2(\overline{\Omega})\right)^3 $ 是满足 (1.1), (1.2) 式及 $\inf\limits_{ \Omega}\rho>0$ 的解, 且在边界 $\partial \Omega$ 上 $|\mathbf u| $ 恒为常数. 并在 $\overline{\Omega}$ 上恒有 $|\mathbf u|>0$. 则经过平移后 $\omega_1, \omega_2$ 为同心圆, 即存在 $0<a<b<\infty$, $\Omega=\Omega_{a,b}.$

且 $\mathbf u$ 是环流, 满足定理 1.1 中的结论.

定常不可压缩 Euler 方程不仅有光滑解, 也存在分片光滑解. 分片光滑解的定义如下

1) $(\rho, \mathbf u, p)$ 在 $\Omega$ 的光滑子区域内满足 (1.1) 式, 其中光滑子区域由间断线 $\Gamma$ 划分;

2) 在间断线 $\Gamma$ 上几乎处处满足 Rankine-Hugoniot 条件

其中 $\mathbf n=(n_1, n_2)$ 为间断线 $\Gamma$ 上的单位法向量, $\left [ h \right ] (\mathbf x)=h_+(\mathbf x)-h_-(\mathbf x)$ 表示函数 $h$ 在 $\Gamma $ 上的跳跃. 记 $ \tau =(\tau_1,\tau_2)$ 为间断线 $\Gamma$ 上的单位切向量, 满足 $\mathbf n \cdot \tau=0$.

由 $(1.10)_1$ 式可得

即法向速度在穿过间断线 $\Gamma$ 时连续. 将 (1.11) 式代入 $(1.10)_2$ 式得

分别将 $(1.10)_3$ 与 $(1.10)_4$ 式点乘 $\mathbf n$ 与 $\tau$, 并化简得

将 (1.13) 和 (1.14) 式展开并代入 (1.11) 与 (1.12) 式得

{1.15} 式表明压力穿过间断线时不会产生间断. 在间断线 $\Gamma$ 上, 若 $\mathbf u\cdot \mathbf n\neq 0$, 由 $\rho>0$ 结合 (1.16) 式得 $[\mathbf u\cdot \tau]=0$, 即切向速度连续. 再由 (1.12) 式得 $[\rho ]=0$, 密度也连续. 因此在穿过间断线时所有量均连续, 这与间断线的定义相矛盾. 故在间断线上必有 $\mathbf u\cdot \mathbf n= 0$, 即间断线也是一条流线.此时 $(1.10)_1$, $(1.10)_2$ 及 $(1.10)_4$ 式均退化, 对密度以及切向速度无约束, 因此密度以及切向速度穿过间断线时可能发生间断. 此时 $(1.10)_3$ 式退化为 $[p]=0$, 即压力必须连续穿过间断线. 若 Bernoulli 函数穿过间断线后产生跳跃, 而密度连续, 此时称 $\Gamma$ 是 Bernoulli 跳跃间断; 若 Bernoulli 函数连续而密度发生跳跃, 此时称 $\Gamma$ 是密度跳跃间断.

最后来讨论区域 $\Omega_{a,b}$ 内的接触间断解, 其在接触间断线 $\Gamma_i $ 上解会产生跳跃 $(i=1,2,\cdots,k)$, 这些间断线将区域分为有限个小区域, 不失一般性假设只有一条间断线 $\Gamma$, 设间断线将环形区域划分为 $\Omega_1 $ 与 $\Omega_2 $. 而由于在接触间断线上自然满足滑移条件, 视其为子区域的边界, 根据 Serrin 型定理的结果, 只需要知道间断线上切向速度保持常值, 则间断线一定是个圆, 并且解 $\mathbf u$ 是环流, 于是自然的给出如下结论.

定理 1.8 设在区域 $\Omega_{a,b}$ 内, $(\mathbf u, \rho)\in \left(C^2( \overline{\Omega_1})\cap C^2(\overline{\Omega_2}) \right)^3 $ 是满足 (1.1), (1.2) 式与 $ \inf\limits_{\Omega_{a,b}}\rho>0 $ 的解. 且在区域 $\overline{\Omega}$ 上恒有 $|\mathbf u|>0$ 同时在间断线 $\Gamma$ 上满足 $\frac{\partial p}{\partial \tau} =0 $. 那么 $C_a $, $C_b $, $\Gamma$ 是三个同心圆, 即存在 $a<r<b$, 使得

并且 $\mathbf u$ 是环流满足在定理 1.1 中的结论.

注 1.5 对于本文中定理 1.3-1.5 中涉及的其它区域, 亦可类似讨论接触间断解的情形.

注 1.6 针对 Serrin 型定理, 也可以考虑接触间断的情形, 此时区域边界和间断线均是自由的, 但仍可在一定条件下控制其形状, 从而得到流体的刚性.

本文的章节安排如下: 第二章中主要给出了在一般区域内的流线性质, 并引出了流函数满足的半线性椭圆方程, 得到了基于区域对称性的比较原理; 第三章中证明了对称区域中 Euler 流的刚性与 Serrin 型结果, 并证明了区域 $\Omega_{a,b}$ 内的接触间断解的刚性.

本章目标是在一般环形区域内将 Euler 方程转化为椭圆方程, 并给出基于区域对称性的比较结果. 为此需先建立流线的结构性质, 这部分内容在文献 [15] 中已有部分结果. 引入以下记号: 考虑两条围绕原点的 $C^1$ Jordan 曲线 $l_1$ 与 $l_2$, 将它们围成的有界区域分别记为 $\omega_1$ 和 $\omega_2$. 进一步假设 $\overline{\omega _1} \subset \omega_2$, 并考虑以下四种区域

称 $\Omega$ 有界当且仅当 $\Omega=\omega_2\setminus \overline{\omega _1}$ 或 $\Omega=\omega_2\setminus \left \{ \mathbf 0 \right \} $, 统一称此类有界的属于集合 $A$. 称 $\Omega$ 为去心当且仅当 $\Omega=\omega_2\setminus \left \{ \mathbf 0 \right \} $ 或 $\Omega=\mathbb R^2\setminus \left \{ \mathbf 0 \right \} $, 统一称此类去心区域属于集合 $B$. 记

在本章中, 总假定成立

以及边界条件

首先给出关于流函数的基本性质.

引理 2.1 假设 $\mathbf u$ 满足 (2.2) 和 (2.3) 式, 则

i) 在相差一个常数的意义下, 存在唯一的流函数 $\psi \in C^2(D)$ 使得

并且存在常数 $\underline{c}$ 使得

ii) 若进一步成立外边界条件

那么类似地存在常数 $\overline{c}$ 使得

最后, 流函数 $\psi $ 在 $\Omega$ 内满足 $\min\limits\left \{ \underline c, \overline c \right \}<\psi <\max\limits\left \{ \underline c, \overline c \right \} $, 其中 $\overline {\mathbb R}= \mathbb R\cup\left \{ \pm \infty \right \} \textit{} $.

证 主要证明 i), ii) 可类似得到. 对于非去心情形, 根据不可压缩条件知存在流函数 $\psi\in C^3(D)$ 满足

且存在常数 $\underline{c}\in {\mathbb R} $ 使得 $\psi$ 在边界 $\partial\omega_1$ 上恒为常数 $\underline c $.

对于去心情形, (2.3) 式表明 $\psi$ 在原点附近的振幅趋于零, 即

令 $F(r)=\min\limits_{\mathbf x\in C_r}\psi (\mathbf x)$, 则 $F$ 是单调的, 若不然则存在 $0<r_1<r_2<r_3$, 使得

这表明在圆环 $\overline{\Omega_{r_1,r_3}}$ 上, 最小值必在内部取得, 这与 $\psi$ 在 $\Omega$ 内无临界点 ($|\nabla\psi|\neq 0$) 产生矛盾. 因此极限 $\lim\limits_{r\to 0^+} F(r)$ 存在, 结合在原点附近振幅趋于零可得

这表明极限 $\lim\limits_{\left | \mathbf x \right | \to 0^+}\psi \left (\mathbf x \right ) $ 存在. 于是存在常数 $\underline{c}\in\overline{\mathbb R}$ 使得$\lim\limits_{\left | \mathbf x \right | \to 0^+}\psi \left (\mathbf x \right ) = \underline{c}$. 对于 ii) 中在无穷远处的情形, 证明与 i) 类似, 可得存在常数 $\overline{c}\in \overline{\mathbb R} $ 满足 (2.6) 式.

最后利用 (2.2) 式知流函数在内部没有临界点, 因而极值只能在边界上取得, 这表明 $\psi $ 在 $\Omega$ 内满足 $\min\limits\left \{ \underline c, \overline c \right \}<\psi <\max\limits\left \{ \underline c, \overline c \right \} $.

注 2.1 事实上条件 $(2.3)_2$ 可视为原点处的广义滑移边界条件.

在下文中, 不失一般性总假设流函数在区域的内边界上取值为 $c_1$, 外边界上取值为常数 $c_2$ 且 $c_1<c_2$.

记 $\sigma_{\mathbf x}$ 为方程

的解. 称之为流函数梯度流的轨迹, 有如下关于它的性质.

引理 2.2 对任意 $\mathbf x\in \Omega$, 存在 $-\infty\le t_{\mathbf x}^-< 0 < t_{\mathbf x}^+\le +\infty$ 使得 $\sigma_{\mathbf x}: \left ( t_{\mathbf x}^-, t_{\mathbf x}^+ \right ) \to \Omega $ 是 $C^1$ 的, 且在 $\left ( t_{\mathbf x}^-, t_{\mathbf x}^+ \right )$ 内成立 $\left ( \psi \circ \sigma \right ) ^\prime>0$. 还满足

i)

ii) 若 (2.5) 式成立, 则还有

iii) 进一步地在区域 $D$ 上, 记停滞点集为 $S=\left \{ \mathbf x\in D:\left | \mathbf u \right |=0 \right \} $. 若 $S$ 满足

那么存在一个 $\mathbf x\in \Omega$, 以及对应的 $-\infty\le t_{\text{in}}< 0 < t_{\text{out}}\le +\infty$, 使得 $\sigma_{\mathbf x}: \text{I} \to D $ 是 $C^1$ 的, 且在 I 上成立 $\left ( \psi \circ \sigma \right ) ^\prime>0$.

其中 $\text{I}\subset{\mathbb R}$ 为 $\left ( \psi \circ \sigma \right ) ^\prime>0$ 的最大区间.

证

i)--ii) 由文献 [15,引理 2.2] 可知, 对 $\mathbf x\in \Omega$, 存在 $-\infty\le t_{\mathbf x}^-< 0 < t_{\mathbf x}^+\le +\infty$ 使得 $\sigma_{\mathbf x}: \left ( t_{\mathbf x}^-, t_{\mathbf x}^+ \right ) \to \Omega $ 是 $C^1$ 的, 且在 $\left ( t_{\mathbf x}^-, t_{\mathbf x}^+ \right )$ 内成立 $\left ( \psi \circ \sigma \right ) ^\prime>0$, 并且

这里 dist 表示距离. 下面来证明 (2.9) 和 (2.10) 式. 只需分别考虑三种边界即可. 对于有界去心区域 $\Omega$, 边界 $\partial \Omega=\partial\omega_2\cup \left \{ 0 \right \} $. 由 (2.12) 式可得存在 $\mathbf y\in \partial \omega_2$ 使得 $\lim\limits_{t\to t_{\mathbf x}^+}\sigma_{\mathbf x}(t)=\mathbf y\in \partial\omega_2$. 对于固定边界和无界情形, 同样可得类似结论. 因此 (2.9) 和 (2.10) 式成立.

iii) 当 $\Omega=\omega_2\setminus \overline{\omega _1}$ 时,利用 (2.11) 式, 断言存在 $\mathbf x\in \Omega$ 及对应的 $t_{\mathbf x}^+$ 与 $t_{\mathbf x}^-$ 使得 $\mathbf y=\lim\limits_{t\to t_{\mathbf x}^-}\sigma_{\mathbf x}(t)\in \partial\omega_1$ 且 $|\mathbf u(\mathbf y)|\ne 0$. 若不然, 则对任意 $\mathbf x\in \Omega$ 均有 $|\mathbf u(\mathbf y)|= 0$. 这意味着 $\Omega$ 中所有梯度流轨迹 $\sigma$ 都不会趋向边界 $\partial \omega_1$ 上的非停滞点. 此时取 $\mathbf z\in \omega_1$ 且 $|\mathbf u(\mathbf z)|\ne 0$,则由方程 (2.8), 经过 $\mathbf z$ 点的 $\sigma_{\mathbf z}$ 必与 $\Omega$ 相交, 再结合方程 (2.8) 解的唯一性, $\sigma_{\mathbf z}$ 也是 $\Omega$ 内某点出发的梯度流轨迹. 这就产生了矛盾.于是令 $t_{\text{in}}=t_{\mathbf x}^-$, $t_{\text{out}}=t_{\mathbf x}^+$ 则在区间 $\text{I}=[t_{\text{in}},t_{\text{out}}]$ 上成立

类似 $\Omega=\omega_2\setminus \overline{\omega _1}$ 的情形,当 $\Omega=\mathbb R^2\setminus \overline{\omega _1}$, $\Omega=\omega_2\setminus\left \{ \mathbf 0 \right \} $ 以及 $\Omega=\mathbb R^2\setminus\left \{ \mathbf 0 \right \} $ 时, 分别可得到存在某个 $\mathbf x\in \Omega$ 及对应的 $t_{\text{in}}$ 与 $t_{\text{out}}$ 使得在区间 $[t_{\text{in}},t_{\text{out}})$, $(t_{\text{in}},t_{\text{out}}]$ 与 $(t_{\text{in}},t_{\text{out}})$ 上分别成立

接下来将证明流线是围绕原点的 $C^1$ Jordan 曲线, 且在适当的情况下趋于原点或者无穷远. 对 $\mathbf x\in\Omega $, 记 $ \xi_{\mathbf x}$ 表示方程

的解. 其定义在 $D$ 上, 包含 $0$ 的最大区间记为 $\text{I}_{\mathbf x} $. 记 $\Xi_{\mathbf x}=\xi_{\mathbf x}(\text{I}_{\mathbf x})$ 为穿过 $\mathbf x$ 的流线. 易知流函数沿着流线为常数.

引理 2.3 假设 $\mathbf u$ 满足 (2.2), (2.3) 和 (2.5) 式, 则

i) 对任意 $\mathbf x\in \Omega$, $\xi_{\mathbf x}$ 是定义在 $\mathbb R$ 上且是周期的, 并且流线 $\Xi_{\mathbf x}=\xi_{\mathbf x}(\text{I}_{\mathbf x})$ 是围绕原点的 $C^1$ Jordan 曲线, 同时满足

ii) 若 $\Omega$ 无界且 $\varliminf\limits_{\left | \bf x \right | \to +\infty} \left | \bf u(\mathbf x)\cdot \mathbf e_{\theta}(\mathbf x)\right |>0$, 则

证 i) 从引理 2.1 知存在 $\underline{c}<\overline{c}\in \overline{\mathbb R}$ 使得流函数 $\psi$ 满足 (2.4) 和 (2.6) 式. 结合 $\psi$ 的连续性以及沿流线守恒可得, 对 $\mathbf x\in \Omega$, 有 $\inf\limits_{\mathbf x\in I_{\mathbf x}}\text{dist}(\xi_{\mathbf x},\partial \Omega)>0$ 且流线 $\Xi_{\mathbf x}=\xi_{\mathbf x}(\text{I}_{\mathbf x})$ 有界. 下面说明流线是封闭的. 对给定 $\mathbf x$, 利用引理 2.2, 存在一个 $-\infty\le t_{\mathbf x}^-< 0 < t_{\mathbf x}^+\le +\infty$ 使得 $\sigma_{\mathbf x}: \left ( t_{\mathbf x}^-, t_{\mathbf x}^+ \right ) \to \Omega $ 是 $C^1$ 的, 且在 $\left ( t_{\mathbf x}^-, t_{\mathbf x}^+ \right )$ 内成立 $\left ( \psi \circ \sigma \right ) ^\prime>0$, 即梯度流 $\sigma$ 从内边界穿过 $\mathbf x$ 点直达外边界. 若通过 $\mathbf x$ 的流线不封闭, 则利用常微分方程的初值问题的可解性, 该流线会在 $\Omega$ 内无限延伸, 此时可能会出现以下两种情形

1) 流线 $\Xi_{\mathbf x}=\xi_{\mathbf x}(\text{I}_{\mathbf x})$ 趋于某个点 $\mathbf x\in\partial \Omega$;

2) 流线 $\Xi_{\mathbf x}=\xi_{\mathbf x}(\text{I}_{\mathbf x})$ 趋于某个点 $\mathbf x\in\Omega$.

对于情形 1), 其必然会与某个 $\sigma$ 产生至少两个交点, 在这两个交点处流函数取值相同, 这与 $\sigma$ 在 $\Omega$ 内严格递增产生矛盾;

对于 2), 因为在 $\mathbf x$ 处 $\mathbf u(\mathbf x)\neq\mathbf 0$, 利用常微分方程初值问题解的延拓定理, 可以将流线 $\Xi_{\mathbf x}$ 继续进行延伸, 这也产生矛盾.

最后由常微分方程初值问题解的光滑性, 得到穿过 $\mathbf x$ 的流线都必须是围绕原点的 $C^1$ Jordan 曲线.

若区域 $\Omega$ 无界, 由引理 2.1 有 $\lim\limits_{|\mathbf x|\to +\infty}\psi (\mathbf x)=+\infty$, 考虑过点 $\mathbf x$ 的流线, 假设存在某个 $M>0$ 使得 $\min\limits_{t\in\mathbb R}|\xi_{\mathbf x}|\le M $ 对所有 $\mathbf x$ 成立, 令 $|\mathbf x|\to + \infty$ 则有 $\lim\limits_{|\mathbf x|\to +\infty}\min\limits_{\mathbf x\in \Xi_{\mathbf x}}\psi\le +\infty$, 这与流函数沿着流线 $\Xi_{\mathbf x}$ 恒为常数矛盾. 因此必有 $\min\limits_{t\in \mathbb R}\left | \xi_{\mathbf x} \right |\to +\infty $. 类似可证在去心情况下, 当 $|\mathbf x|\to 0$ 时 $\max\limits_{t\in \mathbb R}\left | \xi_{\mathbf x} \right | \to 0$.

ii) 在无界的情况下, 对任意 $\mathbf x\in\Omega$, 流线 $\Xi_{\mathbf x}$ 为围绕原点的 $C^1$ Jordan 曲线, 且满足 $\lim\limits_{|\mathbf x|\to +\infty}\min\limits_{t\in\mathbb R}|\xi_{\mathbf x}|=+\infty $. 下证 $\lim\limits_{|\mathbf x|\to +\infty}\left(\max\limits_{t\in \mathbb R}|\xi_{\mathbf x}|-\min\limits_{t\in \mathbb R}|\xi_{\mathbf x}|\right)=0$. 在 $\Omega$ 内挖去一个以原点为中心, 半径足够大的圆盘 $B_R$, 使得 $\mathbb R^2\setminus B_R\subset \Omega$. 结合条件 $\varliminf\limits_{\left | \bf x \right | \to +\infty} \left | \bf u(\mathbf x)\cdot \mathbf e_{\theta}(\mathbf x)\right |>0$ 可知, 存在 $\eta>0$ 使得在 $\mathbb R^2\setminus B_R$ 上成立 $\left | \nabla\psi (\mathbf x)\cdot \mathbf e_r(\mathbf x) \right | =\left | \mathbf u (\mathbf x)\cdot \mathbf e_\theta(\mathbf x) \right |\ge \eta, $ 由于 $\nabla\psi $ 连续且 $ \nabla\psi (\mathbf x)\cdot \mathbf e_r(\mathbf x)$ 在 $\mathbb R^2\setminus B_R$ 上定号, 不妨设

$ \nabla\psi (\mathbf x)\cdot \mathbf e_r(\mathbf x) \ge \eta \quad \mathbf x\in \mathbb R^2\setminus B_R.$ 由引理 2.1, 流函数 $\psi$ 在固定圆弧 $C_R$ 上的振幅满足

因此存在 $R_\varepsilon\ge R+\varepsilon$ 使得

且

其中 $\overline{\mathbf x}\in C_{|\mathbf x|-\varepsilon }$, $\underline{\mathbf x}\in C_{|\mathbf x|+\varepsilon } $ 这说明当 $|\mathbf x|$ 充分大时, 流线 $\Xi_{\mathbf x}$ 位于环形区域 $\Omega_{{|\mathbf x|-\varepsilon },{|\mathbf x|+\varepsilon }}$ 内, 且满足 $\max\limits_{t\in \mathbb R}\left | \xi_{\mathbf x} \right |-\min\limits_{t\in \mathbb R}\left | \xi_{\mathbf x} \right |< 2\varepsilon $.

下面一个引理是在另一种条件下, 关于区域 $\Omega=\mathbb R^2\setminus \overline{\omega_1}$ 内流线的性质.

引理 2.4 设区域 $\Omega=\mathbb R^2\setminus \overline{\omega_1}$, 满足 $S\subsetneq l_1$ 并将条件 (2.5) 替换为 $\varliminf\limits_{\left | \mathbf x \right | \to +\infty} \left | \mathbf u(\mathbf x) \right | >0$, 则存在 $-\infty\le t_{\mathbf x}^-< 0 < t_{\mathbf x}^+\le +\infty$ 及 $C^1$ 函数 $\sigma_{\mathbf x}: \text{I}=\left [ t_{\text{in}}, t_{out } \right ) \to D $ 使得 $\sigma_{\mathbf x}$ 在 I 上满足 $\left ( \psi \circ \sigma \right ) ^\prime>0 $, 且 $\sigma(t_{\text{in}})\in \partial \omega_1 $, $ \lim\limits_{t\to t_{\text{out}}}|\sigma(t)|\to +\infty$. 进一步, 对任意 $\mathbf x\in \Omega$, 流线 $\Xi_{\mathbf x}=\xi_{\mathbf x}(\mathbb R)$ 是围绕原点的 $C^1$ Jordan 曲线, 且满足 $\min\limits_{t\in \mathbb R}\left | \xi_{\mathbf x} \right |\to +\infty,\ \left | \psi (\mathbf x) \right | \to +\infty\ \left(\left | \mathbf x \right | \to +\infty\right),$ 以及 $\psi -c_{\text{in}}$ 不变号, 且在 $\partial \omega_1$ 上 $\psi\equiv c_{\text{in}}$.

详细证明过程参考文献 [14 引理 2.4].

本部分将利用流函数将区域上的定常非均匀不可压缩 Euler 方程组 (1.1) 转化为一个二阶半线性椭圆方程, 并应用移动平面法得到椭圆方程解的比较结果.

引理 2.5 设 $(\mathbf u, \rho)\in \left(C^2(D)\right)^3$ 为方程 (1.1) 的解, 且在 $D$ 上满足 (2.3) 式及 $\inf\limits_{ \Omega_{a,b}}\rho>0$. 则存在流函数 $\psi\in C^3(D)$ 满足 (2.7) 式. 记 $\psi$ 的值域为 $J=\left \{ \psi (\mathbf x):\mathbf x\in D \right \} $.

1) 若条件 (2.5) 和 (2.11) 成立, 则存在函数 $f\in C^1$ 使得流函数 $\psi$ 在 $D$ 上满足方程

2) 若 $\Omega=\mathbb R^2\setminus \overline{\omega _1}$ 且 $\inf\limits _{\Omega}\left | \mathbf u \right | >0$, 则上述结论同样成立.

证 i) 由 $\mathbf u\in C^2(D)$ 及引理 2.1 知 $\psi\in C^3(D)$; 利用 $\psi$ 的连续性和 $D$ 的连通性可知 $J$ 是一个区间. 在 (2.5) 和 (2.11) 式下, $J$ 的内部为 $(\underline{c},\overline{c})$. 进一步, $J$ 在 $\underline{c}$ 处为开的当且仅当 $\Omega\in B_2$ 的, $J$ 在 $\overline{c}$ 处为开的当且仅当 $\Omega\in A_2$ 的. 根据引理 2.2, 存在区间 I 及函数 $\sigma_{\mathbf x}: \text{I} \to D $, 满足 $-\infty\le t_{\text{in}}< 0 < t_{\text{out}}\le +\infty$, 且 $\sigma_{\mathbf x}$ 在 I 上为 $C^1$ 并满足 $\left ( \psi \circ \sigma \right ) ^\prime>0$, 以及 $\sigma(t_{\text{in}})\in\partial\omega_1, \sigma(t_{\text{out}})\in\partial\omega_2$, 于是 $g:=\psi \circ \sigma :\text{I}\to J$ 是 $C^1$ 的微分同胚. 其逆映射 $g^{-1}\in C^1(J)$.对任意 $\mathbf x\in \Omega$, 流线 $\Xi_{\mathbf x}$ 围绕原点并且与 $\sigma(I)$ 相交于某点 $s\in I$, 利用 $\psi, \rho, B$ 沿着流线为常数, 有

利用动量守恒方程, 得到

类似可以得到: $\frac{\mathrm{d} B}{\mathrm{d} \psi}u_1=u_1\Delta \psi - u_1 \frac{1}{\rho \left ( \sigma \left ( g^{-1}(\psi) \right ) \right ) } \frac{\mathrm{d}\rho } {\mathrm{d} \psi}\left ( B \left ( \sigma \left ( g^{-1}(\psi) \right ) \right ) -\frac{\left | \nabla\psi \right |^2 }{2} \right )$. 由区域化简得到方程

这里在流线 $\Xi_{\mathbf x}$ 上, 由 $(\mathbf{u}, \rho)$ 和 $w$, 可以确定关于 $\psi$ 的函数: $\frac{\mathrm{d} \left ( \rho B \right ) }{\mathrm{d} \psi}=-\rho \left ( \sigma \left ( g^{-1}(\psi) \right ) \right ) w+\frac{\mathrm{d}\rho } {\mathrm{d} \psi} \frac{\left | \mathbf{u} \right |^2 }{2}$, 由此唯一确定 $f(\psi,\nabla\psi )$. 由 $\rho $, $B$, $g^{-1}$ 的正则性知 $f\in C^1 $.

接下来, 我们将在区域 $D$ 上考虑流函数满足方程 $\Delta\psi+f(\psi,\nabla \psi)=0$.

ii) 根据引理 2.1 和引理 2.4, 可得 $J=[0, +\infty)$ 且存在 $-\infty\le t_{\text{in}}< 0 < t_{\text{out}}\le +\infty$, 区间 I 及函数 $\sigma$, 使得 $\sigma_{\mathbf x}: \text{I} \to D $ 是 $C^1$ 的, 且在 I 上成立 $\left ( \psi \circ \sigma \right ) ^\prime>0$, 并满足 $\sigma(t_{\text{in}})\in\partial\omega_1, |\sigma(t_{\text{out}})|=+\infty $, 此时 $D=\overline{\Omega}$ 类似 i) 可以推得相同的结论.

注 2.2 如果在区域 $\Omega$ 内已知旋 $w$, 速度和密度函数 $( \mathbf u, \rho)$, 则可通过方程 (2.15) 确定 $\frac{\mathrm{d}\left ( \rho B \right ) } {\mathrm{d} \psi} $, 进而解出 $B$, 再利用关系式 $B=\frac{|\mathbf u|^2}{2}+\frac{p}{\rho}$ 可解得压力 $p$, 从而完全确定 Euler 方程 (1.1) 的解. 在这一求解过程中, 非均匀流表现出与均匀流不同的特性.

本文的主要研究思路是研究流函数 $\psi$ 所满足的半线性椭圆方程解的结构. 这依赖于若干方向比较结果, 而这些结果是基于双连通域上的移动平面方法得到的, 这些区域位于流函数的两个水平集之间. 由于这些水平集不是先验已知的圆, 其精确形状未知.因此需要在一般的框架下证明这一关键命题. 首先引入一些记号. 对 $\mathbf e\in \mathbb S^1=C_1$ 与 $\lambda\in \mathbb R$, 记

并对固定的 $\mathbf x\in \mathbb R^2$, 定义它关于直线 $T_{\mathbf e,\lambda}$ 的正交反射为

下面来建立一般的双连通区域中半线性椭圆方程的比较原理.

命题 2.1 设 $\Xi $ 与 $\Xi^\prime$ 为 $\mathbb R^n$ 的两个包含原点的 $C^1$ 的 $n-1$ 维球面同胚的子集, 它们都将 $\mathbb R^n$ 恰好分割成两个不同的连通区域, 一个是有界的称为内部, 一个无界的称为外部. 同时 $\Xi $ 与 $\Xi^\prime$ 分别为其内部和外部的边界, $\Omega$ 与 $\Omega^\prime$ 分别为 $ \Xi$ 与 $\Xi^\prime$ 所围成的有界连通区域. 设 $\overline{\Omega ^\prime} \subset \Omega $ 并记

为非空的双连通区域, 其边界为

记 $R^\prime=\min\limits_{\mathbf x\in \Xi^\prime}\left | \mathbf x \right |>0$, $R=\max\limits_{\mathbf x\in \Xi}\left | \mathbf x \right |>R^\prime$, $\mathbf e\in S^1 $, $\overline{\lambda}=\max\limits_{\mathbf x\in \Xi}\mathbf x\cdot \mathbf e>0$, $\varepsilon \in [ 0,\overline{\lambda } )$, $c_1<c_2$, $\varphi \in C^2(\overline{\omega } )$ 满足方程

这里连续函数 $F:\left [ R^\prime, R\right ] \times \left [ c_1, c_2 \right ] \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ 关于第一个变量单调递增, 关于第二个变量和第三个以及第四个变量均为 $C^1$ 的. 并设

则对每个 $\lambda \in [ \varepsilon, \overline{\lambda} )$, 成立

其中

注意, 由于 $\omega_{\mathbf e, \lambda }\subset \omega =\Omega \setminus \overline{\Omega^\prime }$, 对任意 $\lambda \in [ \varepsilon, \overline{\lambda} )$, $x\in \overline{\omega_{\mathbf e, \lambda }}$, 有 $R^\prime \le \left | \mathbf x \right | \le R$.

证 对任意 $\lambda\in (\varepsilon, \overline{\lambda} )$, $\mathbf x\in \omega_{\mathbf e,\lambda}$ 利用 (2.17) 式可得

又因为 $\mathbf x_{\mathbf e,\lambda}\notin \overline{\Omega^\prime}$, 故 $\mathbf x_{\mathbf e,\lambda}\in \omega$, 从而

此时 $\varphi_{\mathbf e,\lambda}=\varphi (\mathbf x_{\mathbf e,\lambda})\in C^2(\overline{\omega_{\mathbf e, \lambda}})$ 满足方程 $\Delta \varphi_{\mathbf e,\lambda} + F(|\mathbf x_{\mathbf e,\lambda}|, \varphi _{\mathbf e,\lambda},\nabla\varphi_{\mathbf e,\lambda} )=0$. 注意到对任意 $\mathbf x\in \overline{\omega_{\mathbf e, \lambda}}$, 有 $|\mathbf x_{\mathbf e,\lambda}|=|\mathbf x-2(\mathbf x\cdot \mathbf e-\lambda)\mathbf e|\le |\mathbf x|$, 且 $F$ 关于第一个变量单调递增, 于是

令 $\Phi _{\mathbf e,\lambda}=\varphi_{\mathbf e,\lambda}-\varphi $, 则 $\Phi _{\mathbf e,\lambda}\in C^2(\overline{\omega_{\mathbf e, \lambda}})$ 且满足

记 $\varphi_1=\varphi$, $\varphi_2=\varphi_{\mathbf e,\lambda}$, 则有

由于 $F$ 关于第二个和第三个变量以及第四个变量均为 $C^1$ 的, 故 $b_i, c\in L^\infty(\overline{\omega_{\mathbf e,\lambda}})$, 即存在 $M>0$ 使得

将 $\omega_{\mathbf e,\lambda}$ 的边界分为三部分, 对集合 $A,B,C$ 利用恒等式

注意到 $\partial \omega=\Xi\cup\Xi^\prime, \left ( H_{\mathbf e,\lambda}\cap \Xi^\prime \right ) \setminus R_{\mathbf e,\lambda}(\Omega^\prime)=\emptyset$. 因此对 $A=H_{\mathbf e,\lambda}, B=\omega, C=\mathbb R^2\setminus R_{\mathbf e,\lambda}(\overline{\omega^{\prime}})$ 有

记

注意 $T_{\mathbf e,\lambda }\cap \Xi$ 非空, 因此 $\partial_2 \omega_{\mathbf e,\lambda}, \partial_3 \omega_{\mathbf e,\lambda}$ 均为非空. 此外, 尽管 $\partial \omega_{\mathbf e,\lambda}$ 可能不连通, 但其每个连通分支的边界必定会与 $\partial_2 \omega_{\mathbf e,\lambda} \cup \partial_2 \omega_{\mathbf e,\lambda}$

相交.

在边界 $\partial_1 \omega_{\mathbf e,\lambda}\subset T_{\mathbf e,\lambda}$ 上, 有 $\varphi_{\mathbf e,\lambda}=\varphi $, 从而 $\Phi_{\mathbf e,\lambda}=0$.

在边界 $\partial_2 \omega_{\mathbf e,\lambda}$ 上, 取 $\mathbf x\in \partial_2 \omega_{\mathbf e,\lambda}=\left ( H_{\mathbf e,\lambda }\cap \Xi \right ) \setminus R_{\mathbf e,\lambda}(\Omega^\prime)$, 则

故 $\mathbf x_{\mathbf e,\lambda}\in \omega\cup \Xi^\prime$ 且 $c_1\le \varphi_{\mathbf e,\lambda}(\mathbf x)=\varphi (\mathbf x_{\mathbf e,\lambda})<c_2$, 而 $\mathbf x\in \Xi$ 时 $\varphi(\mathbf x)=c_2$, 因此 $\Phi_{\mathbf e,\lambda}(\mathbf x)=\varphi_{\mathbf e,\lambda}(\mathbf x)-\varphi(\mathbf x) <0$.

在边界 $\partial_3 \omega_{\mathbf e,\lambda}$ 上, 取 $\mathbf x\in \partial_3 \omega_{\mathbf e,\lambda}=H_{\mathbf e,\lambda }\cap \omega \cap R_{\mathbf e,\lambda}(\Xi^\prime)$, 则 $\mathbf x_{\mathbf e,\lambda}\in \Xi^{\prime}$, 故 $\varphi_{\mathbf e,\lambda}(\mathbf x)=\varphi (\mathbf x_{\mathbf e,\lambda})=c_1$, 同时 $\mathbf x\in \omega$ 且 $\varphi (\mathbf x)>c_1$, 因此 $\Phi_{\mathbf e,\lambda}(\mathbf x)=\varphi_{\mathbf e,\lambda}(\mathbf x)-\varphi(\mathbf x) <0$.于是, 在 $\omega_{\mathbf e,\lambda}$ 的每个连通分量的边界上恒有 $\Phi_{\mathbf e,\lambda}\le 0 $.

现考虑 $\lambda \sim \overline{\lambda}$ 但 $\lambda <\overline{\lambda} $ 的情形. 由于 $\Phi_{\mathbf e,\lambda}$ 满足 (2.19)-(2.21) 式且 $\omega_{\mathbf e,\lambda}\subset \Omega$, 由 $\overline{\lambda}$ 的定义可知, 当 $\lambda\to \overline{\lambda}$ 时, $\omega_{\mathbf e,\lambda }$ 的 Lebesgue 测度 $|\omega_{\mathbf e,\lambda }|\to 0 $. 利用文献 [3] 中小测度区域的极值原理, 存在 $\lambda_0\in (\varepsilon, \overline{\lambda})$, 使得对任意 $\lambda\in (\lambda_0,\overline{\lambda})$, $\mathbf x\in \omega_{\mathbf e,\lambda^\prime}$ 成立 $\Phi _{\mathbf e,\lambda^\prime} (\mathbf x)<0$.定义

那么 $\varepsilon\le \lambda_{\ast}\le \lambda_0<\overline{\lambda}$, 那么 $\lambda_{\ast}=\varepsilon$. 因为若 $\lambda_{\ast}>\varepsilon$, 由 $\Phi_{\mathbf e,\lambda_{\ast}}$ 的连续性可得在 $\overline{\omega_{\mathbf e,\lambda_{\ast}}}$ 中 $\Phi_{\mathbf e,\lambda_{\ast}}\le 0$, 再利用强极值原理得到在区域 $\omega_{\mathbf e,\lambda_{\ast}}$ 中 $\Phi_{\mathbf e,\lambda_{\ast}}<0$.

设 $K$ 为 $\omega_{\mathbf e,\lambda_{\ast}}$ 的紧子集, 且偏离直线 $T_{\mathbf e,\lambda_{\ast}}$ 使得

其中 $\delta>0$ 充分小, 满足文献 [3] 中极值原理时的小测度条件. 此时 $\max\limits_{K}\Phi_{\mathbf e,\lambda_{\ast}}<0$, 由 $\varphi$ 在 $\overline{\omega}$ 上的连续性知, 存在$\underline{\lambda}\in (\varepsilon,\lambda_{\ast})$ 使得对任意 $\lambda\in [\underline{\lambda},\lambda_\ast]$ 成立

此时在区域 $\omega_{\mathbf e,\lambda}\setminus K$ 的边界上仍有 $\Phi_{\mathbf e,\lambda}\le 0$, 应用小测度区域上的极值原理得到在 $\omega_{\mathbf e,\lambda}\setminus K$ 上 $\Phi_{\mathbf e,\lambda}< 0$, 从而在整个 $\omega_{\mathbf e,\lambda}$ 中 $\Phi_{\mathbf e,\lambda}< 0$, 这与 $\lambda_*$ 的定义矛盾. 因此必有 $\lambda_\ast=\varepsilon$, 这表明对任意 $\lambda\in (\varepsilon, \overline{\lambda})$, 成立 $\Phi_{\mathbf e,\lambda}< 0$, 即在区域 $\omega_{\mathbf e,\lambda}$ 中有 $\varphi_{\mathbf e,\lambda}<\varphi$, 由连续性可得在 $\overline{\omega_{\mathbf e,\lambda}}$ 上 $\varphi_{\mathbf e,\lambda}\le \varphi$. 令 $\lambda\to \varepsilon^+$ 即得

注 2.3 作为该命题的对称形式, 若 $F$ 关于第一个变量单调递减的且 $c_1>c_2$, 则相应的结论变为

该结论将在定理 1.4 和定理 1.6 的证明中用到.

对 $\mathbf x\in \Omega_{a, \infty}$, 记 $\Omega_{\mathbf x}$ 为流线 $ \Xi_{\mathbf x} $ 围成的有界区域. 此时 $\Omega_{\mathbf x}$ 是唯一确定的. 且由前文假设知

在本章的最后给出如下引理, 它保证了在某些条件下移动平面法的区域是一定是非空的. 证明请参见文献 [15].

引理 2.6 在定理 1.3 的条件下, 对任意 $\varepsilon>0$, 存在 $R_{\varepsilon}>a$ 使得对任意方向 $\mathbf e\in S^1$ 及满足 $|\mathbf x|\ge R_\varepsilon$ 的 $\mathbf x$, 当 $\lambda>\varepsilon$ 时成立 $R_{\mathbf e, \lambda}(H_{\mathbf e, \lambda}\cap \overline{\Omega_{\mathbf x}})\subset \Omega_{\mathbf x}. $

本章主要致力于定理的证明. 这些证明依赖于第三章中得到的椭圆方程分析, 以及命题 2.1 在无界和去心情况下的具体应用和进一步论证.

定理 1.1 的证明 由引理 2.1 知, 存在常数$c_1$, $c_2$ 使得流函数 $\psi$ 满足

结合引理 2.5 可知, 存在函数 $f\in C^1$, 使得流函数 $\psi$ 满足方程

取 $\mathbf x\ne \mathbf y\in \Omega_{a, b}$ 满足 $ \left | \mathbf x \right |= \left | \mathbf y \right | >a$, 令

由圆环区域的对称性, 条件 (2.17) 和 (2.18) 自动成立. 于是命题 2.1 的所有的条件均满足, 从而对任意 $\varepsilon\in [0,b)$, 有

其中

由此可得

令 $\varepsilon \to 0^+$ 得

由对称性同样可得 $\psi(\mathbf x)\le \psi(\mathbf y)$. 这表明 $\psi$ 在 $\overline{\Omega_{a, b}}$ 上是径向对称的, 且在 $\overline{\Omega_{a,b}}$ 上关于 $\left | \mathbf x \right | $ 严格单调递增. 因此存在一个 $C^3( [a, b ] )$ 严格递增函数 $\Phi :\left [ a,b \right ] \to\mathbb R$ 使 $\psi (\mathbf x)=\Phi\left ( \left | \mathbf x \right | \right )$, $\mathbf x\in \overline{\Omega_{a,b}}$, 且

最后, 由于 $\left | \mathbf u \right | $ 在 $\overline{\Omega_{a,b}}$ 上连续且在 $\Omega_{a,b}$ 内非零, 在 $C_a$ 上不恒为零, 结合其径向对称性即得 $\left | \mathbf u \right | >0$ 在 $\overline{\Omega_{a,b}}$ 上成立.

定理 1.2 的证明 利用引理 2.1 与引理 2.5 i) 知, $\psi\in C^3(\overline{\Omega_{0,b}}\setminus \left \{ 0 \right \} ) $, 且存在常数 $c_1$, $c_2$ 与函数 $f\in C^1$, 使得流函数满足方程

现取 $\mathbf x\neq\mathbf y\in \overline{\Omega_{0,b}} \setminus \left \{ 0 \right \}$ 满足 $\left | \mathbf x \right | = \left | \mathbf y \right | $. 令

并取 $\varepsilon \in \mathbb R$ 使得

利用引理 2.3 i) 知, 存在点 $\mathbf x_{\varepsilon}\in \Omega_{0,b}$ 使得 $0<\min\limits_{t\in \mathbb R}|\xi_{\mathbf x_{\varepsilon}}|\le \max\limits_{t\in \mathbb R}|\xi_{\mathbf x_{\varepsilon}}|<\varepsilon<b$. 注意流线 $\Xi_{\mathbf x_\varepsilon}$ 围绕原点且在流线上 $\psi=\psi(\mathbf x_\varepsilon)<c_2$.记 $\Xi=C_b$, $\Xi^\prime =\Xi_{\mathbf x_{\varepsilon}}$, $\Omega=B_b$, $\Omega^\prime=\Omega_{\mathbf x_{\varepsilon}}$ 为 $\mathbb R^2\setminus \Xi_{\mathbf x_{\varepsilon}}$ 的有界连通子集, 令

由 $\psi$ 在 $\Omega_{0,b}$ 内没有临界点可知, 在 $\omega$ 中成立 $\psi(\mathbf x_{\varepsilon})<\psi <c_2$.记 $R=b$, $0<R^\prime=\min\limits_{\mathbf z\in \Xi^\prime}|\mathbf z|<\varepsilon <R$, $\overline{\lambda}=\max\limits_{\mathbf z\in \Xi}\mathbf z\cdot\mathbf e=b>0 $. 考虑在区域 $\omega$ 中对函数 $\psi$ 使用命题 2.1. 此时 $\psi \in C^3(\overline{\omega})$ 且满足方程

其中 $F$ 满足命题 2.1 的条件. 由于 $\Omega= B_b$, 条件 (2.17) 成立, 并且对任意 $\lambda>\varepsilon$, 成立 $\Xi^\prime \subset B_\varepsilon$, 所以 $H_{\mathbf e, \lambda }\cap \Xi^\prime = \varnothing$, 从而条件 (2.18) 也成立. 于是根据命题 2.1 得到

其中

由于 $\mathbf y\cdot \mathbf e>0$ 且 $\overline{\Omega^\prime}\subset B_\varepsilon$, $R_{\mathbf e, \varepsilon}(\overline{\Omega^\prime})\subset B_{3\varepsilon}$, 因此当 $\varepsilon$ 充分小时, $\mathbf y \in \omega_{\mathbf e, \varepsilon}$. 于是

令 $\varepsilon \to 0^+$ 得

由对称性同样可得 $\psi(\mathbf x)\le \psi(\mathbf y)$. 这表明 $\psi$ 在 $ \overline{\Omega_{0,b}}\setminus \left \{\mathbf 0 \right \} $ 上是径向对称的, 因此存在函数 $\Psi\in C^3\left((0,b]\right) $ 使得 $\psi=\Psi(|\mathbf x|)$, 且 $\Psi^\prime =U$. 进而 $\mathbf u(\mathbf x)=\Psi^\prime(|\mathbf x|)\mathbf e_\theta(\mathbf x)$.

定理 1.3 的证明 根据 (1.8) 式得到 (2.5) 式成立, 由引理 2.1 知, 在 $C_a$ 上 $\psi =c_1$, 且 $ \lim\limits_{\left | \mathbf x \right | \to +\infty}\psi(\mathbf x)=c_2>c_1 $, 其中 $c_2\in \overline{\mathbb R^{+}}$. 取 $\mathbf x\ne \mathbf y\in \Omega_{a, \infty}$ 满足 $ \left | \mathbf x \right |= \left | \mathbf y \right | >a$, 令

利用 $\varliminf\limits_{\left | \bf x \right | \to +\infty} \left | \bf u \right |>0$, 得到存在一个 $R>0$, $M>0$ 使得在 $\Omega_{a,\infty}\setminus B_{R}$ 上成立

所以 $\varliminf\limits_{\left | \bf x \right | \to +\infty} \left | \bf u(\mathbf x)\cdot \mathbf e_{\theta}(\mathbf x)\right |>0$. 根据引理 2.3 与引理 2.6, 流线 $\Xi_{\mathbf x}=\xi_{\mathbf x}(\mathbb R)$ 围绕原点, 且满足当 $|\mathbf{x}|\rightarrow\infty$,

由引理 2.6, 对任意 $0<\varepsilon <a$, 存在 $R_{\varepsilon }>a$, 使得对任意 $\lambda>\varepsilon$ 和 $\left | \mathbf x \right | \ge R_{\varepsilon }$, 有 $R_{\mathbf e, \lambda }(H_{\mathbf e, \lambda }\cap \overline{\Omega_{\mathbf x}})\subset \Omega_\mathbf x $. 进而存在 $\mathbf x_{\varepsilon}\in \Omega_{a.\infty}$, 满足 $\left | \mathbf x_{\varepsilon } \right |\ge R_{\varepsilon}$ 且 $\min\limits_{t\in \mathbb R}\left | \xi_{\mathbf x_{\varepsilon }} \right | >\left | \mathbf x \right | =\left | \mathbf y \right | $. 现应用命题 2.1, 取

注意 $\Xi^{\prime}=C_a$, 由对称性知 (2.18) 式成立. 于是对任意 $ \mathbf x\in \overline{\omega_{\mathbf e,\varepsilon}}$ 成立 $\psi_{\mathbf e, \varepsilon}\le \psi $. 其中

由于 $\mathbf y\cdot \mathbf e=\left ( \left | \mathbf y \right |^2-\mathbf x\cdot \mathbf y \right )\frac{1}{\left | \mathbf y-\mathbf x \right | }> 0$, 当 $\varepsilon$ 充分小时有 $\mathbf y\in \omega_{\mathbf e,\varepsilon}$. 于是

令 $\varepsilon \to 0^+$ 得

类似可证 $\psi (\mathbf x) \ge \psi (\mathbf y)$, 从而 $\psi (\mathbf x) = \psi (\mathbf y)$. 由 $\mathbf x, \mathbf y $ 的任意性知 $\psi$ 是径向对称的. 因此存在函数 $\Phi\in C^3([a,\infty)) $, 满足在 $[a, \infty) $ 上 $\Phi^\prime>0$, 且 $\Phi (\mathbf x)= \Phi \left ( \left | \mathbf x \right | \right ) $. 进而

定理 1.4 的证明 由于 $\inf\limits_{\Omega_{a,\infty}}\left | \mathbf u \right |>0 $, 所以存在 $\eta>0 $ 使得

结合 (1.2) 式及在 $ C_a$ 上 $\mathbf u\cdot \mathbf e_\theta>0 $ 可得

由引理 2.5 ii) 可知, 存在函数 $f \in C^1$ 使得流函数满足方程

若定理的结论不成立, 则在 $\overline{\Omega_{a,\infty}}$ 上成立 $\frac{\mathrm{d} (\rho B)}{\mathrm{d} \psi} \le 0$. 接下来证明流函数 $\psi$ 是径向对称的, 进而结合单调性导出矛盾. 注意此时引理 2.3 的 ii) 的条件并不成立, 故无法直接断言两条流线所围成的区域一定是有界的, 也无法直接利用命题 2.1. 为此引入 Kelvin 变换

计算可得 $G$ 满足方程

记

则 $F\in C^1$, 关于 $|\mathbf z|$ 单调递减. 取 $\mathbf z_1\ne \mathbf z_2\in \overline{\Omega_{0,\frac{1}{a} }}\setminus \left \{ 0 \right \}$ 满足 $\left | \mathbf z_1 \right | = \left | \mathbf z_2 \right | $. 令

并取 $\varepsilon \in \mathbb R$, 使得

由引理 2.3 iii) 知, 存在点 $\mathbf x_{\varepsilon}\in \Omega_{a,\infty}$ 使 $\min\limits_{t\in \mathbb R}|\xi_{\mathbf x_{\varepsilon}}|>\frac{1}{\varepsilon}>a$. 记 $\Xi=C_{\frac{1}{a}}$ 以及 $\Xi^\prime =\left \{ \mathbf z\in \mathbb R^2 : \frac{1}{\left | \mathbf z \right |^2 }\mathbf z \in \Xi_{\mathbf x_{\varepsilon}} \right \} $, 注意 $\Xi^\prime\subset B_\varepsilon \subset B_{\frac{1}{a} }$ 且围绕原点, 设 $\Omega=B_{\frac{1}{a}}, \Omega^\prime$ 为 $\mathbb R^2\setminus \Xi^\prime$ 的有界连通子集, 并令

记 $R=\frac{1}{a}$, $0<R^\prime =\min\limits_{\mathbf z\in \Xi^\prime}|\mathbf z|=\le\max\limits_{\mathbf z\in \Xi^\prime}|\mathbf z|=\frac{1}{\min\limits_{t\in \mathbb R} |\xi_{\mathbf x_{\varepsilon}}|}<\varepsilon<R$, $\overline{\lambda}=\max\limits_{\mathbf z\in \Xi}\mathbf z\cdot\mathbf e=\frac{1}{a}>0 $. 注意到 $0<\varepsilon<\frac{1}{a}$, 故 $\varepsilon\in [0,\overline{\lambda}]$. 现对函数 $G$ 在区域 $\omega$ 中使用命题 2.1. 此时 $G\in C^3(\overline{\omega})$ 且满足方程

其中 $F$ 满足命题 2.1 的假设. 由 $\Omega= B_{\frac{1}{a}}$ 的对称性可知 (2.17) 式成立, 又因为对任意 $\lambda>\varepsilon,$ $ \Xi^\prime \subset B_\varepsilon$, 所以 $H_{\mathbf e, \lambda }\cap \Xi^\prime = \varnothing$, 故 (2.18) 式也成立. 根据命题 2.1 得

其中

由于 $\mathbf z_2\cdot \mathbf e>0$ 且 $\overline{\Omega^\prime}\subset B_\varepsilon $, $R_{\mathbf e, \varepsilon}(\overline{\Omega^\prime})\subset B_{3\varepsilon}$, 因此当 $\varepsilon$ 充分小时有 $\mathbf z_2 \in \omega_{\mathbf e, \varepsilon}$. 于是

令 $\varepsilon \to 0^+$ 得

由对称性同样有 $G(\mathbf z_1)\le G(\mathbf z_2)$. 这表明 $G$ 在 $ \overline{\Omega_{0,\frac{1}{a} }}\setminus \left \{ 0 \right \}$ 上是径向对称的, 从而 $\psi$ 在 $\overline{\Omega_{a, \infty}}$ 上也是径向对称的. 因此存在函数 $\Psi\in C^3\left([a, +\infty\right))$ 使得 $\psi=\Psi(|\mathbf x|)$, 且在 $[a, +\infty)$ 上 $\Psi^\prime =U\ge \eta >0$. 所以得到

注意此时密度函数 $\rho$ 也是径向对称的, 所以

根据引理 2.5 中 $f$ 的表达式得到

这意味着函数 $r\rho U^2(r)$ 在 $[a, +\infty)$ 中单调递减, 结合 $r\rho U^2(r)$ 在 $\overline{\Omega_{a,\infty}}$ 上的连续性得到, 存在 $M>0$ 使得

令 $r\to \infty$ 得到 $\lim\limits_{r \to \infty}U^2(r)=0$. 这与 $U\ge \eta >0$ 产生矛盾. 因此假设不成立, 从而必有 $\sup\limits_{\Omega_{a,\infty}}\frac{\mathrm{d} (\rho B)}{\mathrm{d} \psi} >0$.

定理 1.5 的证明 由引理 2.1 与引理 2.5 i) 知, $\psi\in C^3(\Omega_{0,\infty}) $, 且存在常数 $c_1, c_2\in \overline{\mathbb R},c_1<c_2$ 以及函数 $f\in C^1$ 使得流函数满足方程

此外, (1.9) 式及 $\varliminf\limits_{|\mathbf x|\to +\infty}|\mathbf u(\mathbf x)|>0$ 可得 $\varliminf\limits_{|\mathbf x|\to +\infty}|\mathbf u(\mathbf x)\cdot \mathbf e_{\theta}(\mathbf x)|>0$. 利用引理 2.3 i), ii) 可知: 每条流线 $\Xi_{\mathbf x}=\xi_{\mathbf x}(\mathbb R)$ 是围绕原点的 $C^1$ Jordan 曲线, 且满足

对 $\mathbf x\in \Omega_{0,\infty}$, 记 $\Omega_{\mathbf x}$ 为 $\mathbb R^2\setminus \Xi_{\mathbf x}$ 的有界连通子集. 则在 $\Omega_{\mathbf x}\setminus \left \{ \mathbf 0 \right \} $ 内成立 $\psi<\psi(\mathbf x)$, 在 $\mathbb R^2\setminus \Omega_{\mathbf x}$ 中成立 $\psi>\psi(\mathbf x)$. 由 $\psi$ 的定义, $\mathbf u$ 与 $\Omega_{\mathbf x}$ 的法向量正交, 因此引理 2.4 也可应用于 $\omega_1=\Omega_{\mathbf x}$ 的情形, 此时 $c_2=+\infty$. 利用引理 2.6, 对任意 $\varepsilon>0$, 存在 $R_{\varepsilon}>0$, 使得对任意方向 $\mathbf e\in S^1$, 任意 $\lambda> \varepsilon$ 和 $|\mathbf x|>R_{\varepsilon}$, 有

取 $\mathbf x\neq\mathbf y\in \Omega_{0,\infty}$ 满足 $\left | \mathbf x \right | = \left | \mathbf y \right | $. 记

对 $0<\varepsilon <\left | \mathbf x \right | =\left |\mathbf y \right | $, 类似于定理 1.2 与 定理 1.3 的证明, 存在 $\mathbf x_\varepsilon\in \mathbb R^2 \setminus \overline{\Omega_{\mathbf x}}$ 与 $\mathbf x_\varepsilon^\prime\in \Omega_{\mathbf x}$ 使得 $\min\limits_{t\in \mathbb R}|\xi_{\mathbf x_\varepsilon }|>|\mathbf x|=|\mathbf y|>\varepsilon>\max\limits_{t\in \mathbb R}|\xi_{\mathbf x^\prime_\varepsilon }|\ge\min\limits_{t\in \mathbb R}|\xi_{\mathbf x^\prime_\varepsilon }|>0$, 且对任意 $ \lambda > \epsilon$, 成立

流线 $\Xi=\Xi_{\mathbf x_{\varepsilon}}$ 与 $\Xi^\prime=\Xi_{\mathbf x_{\varepsilon}^\prime}$均围绕原点, $\psi(\mathbf x_{\varepsilon}^\prime)<\psi(\mathbf x_{\varepsilon})$ 且 $\psi \mid _{\mathbf z\in \Xi }=\psi(\mathbf x_{\varepsilon})$, $\psi \mid _{\mathbf z\in \Xi^\prime }=\psi(\mathbf x_{\varepsilon}^\prime)$. 因此在区域 $\omega=\Omega_{\mathbf x_{\varepsilon}}\setminus\overline{\Omega_{\mathbf x_{\varepsilon}^\prime}}$ 中成立 $\psi(\mathbf x_{\varepsilon}^\prime)<\psi<\psi(\mathbf x_{\varepsilon})$.考虑在区域 $\omega$ 中对函数 $\psi$ 应用命题 2.1.. 此时 $\psi \in C^3(\overline{\omega})$ 且满足方程

其中 $f$ 满足命题 2.1 的条件. 由 (3.10) 式知对任意 $\lambda>\varepsilon$, 有 $H_{\mathbf e, \lambda }\cap \Xi^\prime = \varnothing$, 从而 (2.17) 和 (2.18) 式均成立. 应用命题 2.1 得 $\psi\le \psi_{\mathbf e, \lambda}, \mathbf x\in \overline{\omega_{\mathbf e, \varepsilon}}, $ 其中 $\omega_{\mathbf{e},\varepsilon} = (H_{\mathbf{e},\varepsilon} \cap (\Omega_{\mathbf{x}_\varepsilon} \setminus \overline{\Omega_{\mathbf{x}'_\varepsilon}})) \setminus R_{\mathbf{e},\varepsilon}(\overline{\Omega_{\mathbf{x}'_\varepsilon}}).$ 类似于定理 1.2 的推导, 当 $\varepsilon$ 充分小时 $\mathbf y \in \omega_{\mathbf e, \varepsilon}$. 于是 $\psi(\mathbf y)\le \psi_{\mathbf e, \varepsilon}(\mathbf y)=\psi(\mathbf y_{\mathbf e,\varepsilon})=\psi\left (\mathbf y-2(\mathbf y\cdot \mathbf e-\varepsilon)\mathbf e\right), $ 令 $\varepsilon \to 0^+$ 得 $\psi(\mathbf y)\le \psi\left(\mathbf y-2(\mathbf y\cdot \mathbf e)\mathbf e\right)=\psi(\mathbf x).$ 由对称性同样可得 $\psi(\mathbf x)\le \psi(\mathbf y)$, 所以 $\psi$ 在 $ \Omega_{0,\infty} $ 内是径向对称的, 因此存在函数 $\Psi\in C^3\left((0,\infty)\right)$ 使得 $\psi=\Psi(|\mathbf x|)$, 从而 $\mathbf u(\mathbf x)=\Psi^\prime(|\mathbf x|)\mathbf e_\theta(\mathbf x)$.

定理 1.6 的证明 由假设存在常数 $q>0$ 使得在边界上 $\left | \nabla\psi \right | =\left | \mathbf u \right |=q$, 结合滑移边界条件. 存在常数 $c_2$, 在边界 $\partial \Omega$ 上 $\psi=c_2$, 所以 $\frac{\partial \psi}{\partial \tau}=0$, 这里 $ \tau$ 为边界上的单位切向量. 利用 $\left | \nabla\psi \right |^2=|\frac{\partial \psi}{\partial \mathbf n}|^2+|\frac{\partial \psi}{\partial \tau}|^2 $ 得到在边界上 $|\frac{\partial \psi}{\partial \mathbf n}|=q$. 再根据 $\frac{\partial \psi}{\partial \mathbf n}$ 的连续性得到它在边界上不变号. 故不妨假设

其中 $\mathbf n$ 为单位外法向量 (否则可令 $\varphi=-\psi$ 转化为这种情形). 由此可知, $\psi$ 在 $\Omega$ 内取得最大值. 利用 Fermat 引理和题设, 最大值点就是 $\psi$ 在 $\overline{\Omega}$ 上唯一的临界点. 存在一个平移, 使得平移之后将临界点置于原点, 则有$c_2<\psi<\psi(\mathbf 0), \mathbf x\in \Omega\setminus \left \{\mathbf 0 \right \}. $ 这正好对应于第二部分中讨论的情形, 即 $l_2=\partial \Omega$, $\omega_2=\Omega$, $\stackrel\frown{\Omega}=\Omega\setminus\left \{\mathbf 0 \right \}$, $D=\overline{\Omega}\setminus \left \{\mathbf 0 \right \}$ (这里以示区分, 文章第二部分的 $\Omega$ 以 $\stackrel\frown{\Omega}$ 表示) 此时引理 2.1, 2.3 和 2.5 的条件均满足 (特别地, 由 $\mathbf u$ 连续且 $|\mathbf u (\mathbf 0)|=0$ 可知去心情形下的条件也成立). 利用引理 2.5, 存在函数 $f\in C^1$ 在区域 $\overline{\Omega}\setminus \left \{\mathbf 0 \right \}$ 上满足方程 $\Delta \psi +f(\psi,\nabla\psi)=0$.

取常数 $\hat{\rho} >0$ 使得 $\overline{B_{\hat{\rho}}}\subset \Omega$ 且对任意单位向量 $\mathbf e$ 和常数 $\eta\in (0,\hat{\rho})$, 有 $\overline{\lambda_{\mathbf e}}=\max\limits_{\mathbf x\in \partial \Omega}\mathbf x\cdot \mathbf e>\hat{\rho}>\eta.$

根据文献 [15,定理 1.10], 对任意 $ \lambda\in (\eta,\overline{\lambda_{\mathbf e}})$, 成立 $R_{\mathbf e,\lambda}(H_{\mathbf e,\lambda}\cap\overline{\Omega})\subset \Omega $.由于该式对任意 $\mathbf e\in S^1$ 和 $ \eta\in(0,\hat{\rho})$ 成立, 可推出对某个 $R>0$ 使得 $\Omega=B_R$. 最后, 取 $\varepsilon=\eta$ 并应用命题 2.1 可得 $\psi\le \psi_{\mathbf e,\lambda}, \mathbf x\in \omega_{\mathbf e,\lambda}, \lambda\in [\eta, \overline{\lambda_{\mathbf e}}),$ 其中 $\omega_{\mathbf e,\lambda}=(H_{\mathbf e,\lambda}\cap\widetilde{\omega})\setminus R_{\mathbf e,\lambda}(\overline{\Omega^\prime})$. 接下来和定理 1.2 的证明类似, 可得在 $\Omega=B_R$ 内 $\psi $ 是径向的, 并且存在函数 $U\in C^2([R])$ 满足 $U(0)=0$, $U\ne 0$. 且任意 $\mathbf x\in \overline{B_R}\setminus \left \{ \mathbf 0 \right \}$ 有 $\mathbf u=U(|\mathbf x|)\mathbf e_\theta(\mathbf x)$.

定理 1.7 的证明 由题设, $\mathbf u$ 在区域 $ \overline{\Omega}$ 上满足滑移边界条件并且严格无停滞点, 所以引理 2.1 和 2.3 的条件均满足, 于是存在常数 $c_2>c_1$, 流函数 $\psi\in C^3(\overline{\Omega})$ 以及函数 $f\in C^1$ 使得

由于在边界 $\partial \Omega$ 上成立

根据^[23,24] 中的结论, 存在 $0<a<b<\infty$ 以及一个平移, 使得 $\Omega=\Omega_{a,b} $. 进一步, $\psi$ 是径向对称的且关于 $|\mathbf x|$ 单调递增, 满足定理 1.1 中的假设与结论.

定理 1.8 的证明 由于在间断线 $\Gamma$ 上满足滑移条件, 因此 $\Gamma$ 也是一条流线. 结合在 $\Gamma$ 上 $\frac{\partial p}{\partial \tau} =0$ 可知, 沿间断线压力 $p$ 为常数. 利用 Bernoulli 函数 $\frac{ u_1^2+ u_2^2}{2}+\frac{ p}{\rho}$

和密度函数 $\rho$ 沿流线传输的性质, 可得 $\left | \mathbf u \right |$ 在间断线 $\Gamma$ 上取常值. 利用定理 1.7 得到 $C_a $, $C_b $, $\Gamma$ 为三个同心圆, 且 $\mathbf u$ 为环流, 满足在定理 1.1 中的结论.