VPB 方程的边界层分析——献给陈化教授 70 寿辰

VPB 方程的边界层分析——献给陈化教授 70 寿辰

刘慧^,¹, 江宁^,²^,^*, 罗益龙^,³, 唐少君^,⁴

1 淮南师范学院金融与数学学院安徽淮南 232038

2 武汉大学数学与统计学院, 武汉 430072

3 湖南大学数学学院长沙 410082

4 武汉理工大学数学与统计学院武汉 430070

Boundary Layer Analysis of the Vlasov-Poisson-Boltzmann Equations with Maxwell Reflection Boundary Conditon in Half-Space

Liu Hui^,¹, Jiang Ning^,²^,^*, Luo Yilong^,³, Tang Shaojun^,⁴

1 School of Finance and Mathematics, Huainan Normal University, Anhui Huainan 232038

2 School of Mathematics and Statistics, Wuhan University, Wuhan 430072

3 School of Mathematics, Hunan University, Changsha 410082

4 Department of Mathematics, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070

通讯作者: ^*江宁, Email：njiang@whu.edu.cn

收稿日期: 2026-04-6 修回日期: 2026-04-12

基金资助:

国家重点研发计划项目(2023YFA1010300)
安徽省高校科研项目(2024AH051744)
淮南师范学院科研基金(824001)
国家自然科学基金(12371224)
国家自然科学基金(11971360)
国家自然科学基金(11731008)
国家自然科学基金(12221001)
国家自然科学基金(12201220)
国家自然科学基金(12201480)
广东省基础与应用基础研究基金(2024A1515012358)
湖南大学中央高校基本科研业务费专项资金(531118011008)
中央高校基本科研业务费专项资金(223114007)
中央高校基本科研业务费专项资金(104972025KFYjc0117)

Received: 2026-04-6 Revised: 2026-04-12

Fund supported:

National Key R&D Program of China(2023YFA1010300)
Scientiffc Research Project of Universities in Anhui Province(2024AH051744)
Huainan Normal University Research Fund Program(824001)
NSFC(12371224)
NSFC(11971360)
NSFC(11731008)
NSFC(12221001)
NSFC(12201220)
NSFC(12201480)
Guang Dong Basic and Applied Basic Research Foundation(2024A1515012358)
Fundamental Research Funds for the Central Universities of Hunan University(531118011008)
Fundamental Research Funds for the Central Universities of Wuhan University of Technology(223114007)
Fundamental Research Funds for the Central Universities of Wuhan University of Technology(104972025KFYjc0117)

作者简介 About authors

刘慧,Email：huiliu@hnnu.edu.cn

罗益龙,Email：luoylmath@hnu.edu.cn

唐少君,Email：shaojun.tang@whut.edu.cn

摘要

作为动理学方程的典型模型, Vlasov-Poisson-Boltzmann 方程 (以下简称 VPB 方程) 描述了等离子体中带电粒子在粒子碰撞及电场的耦合作用下的运动过程. 对于尺度化的 VPB 方程, 当 Knudsen 数趋于零时, 其流体动力学极限在物理和数学上都是一个十分重要的问题. 该文对半空间上具有 Maxwell 反射边界条件的 VPB 方程, 利用 Hilbert 展开方法, 当 Knudsen 数足够小时, 得到可压缩 Euler-Poisson 方程的流体极限及其边界层的形式分析过程. 通过采用归纳的方法形式推导出各阶内部、粘性层的宏观流体方程, 以及 Knudsen 层满足的方程, 体现出了边界层之间的耦合关系以及形式上的求解过程.

关键词： Vlasov-Poisson-Boltzmann 方程; Maxwell 反射边界条件; 边界层分析; Hilbert 展开

Abstract

As a typical model of kinetic equations, the Vlasov-Poisson-Boltzmann (VPB) equation describes the motion of charged particles in a plasma under the coupled effects of particle collisions and electric fields. For the scaled VPB equation, its hydrodynamic limit as the Knudsen number tends to zero is a problem of great importance in both physics and mathematics. In this paper, for the VPB equation on a half-space with the Maxwell reflection boundary condition, using the Hilbert expansion method, we formally analyze the fluid limit of the compressible Euler-Poisson system and its boundary layer when the Knudsen number is sufficiently small. By means of an inductive approach, we formally derive the macroscopic fluid equations for the interior and viscous layer at each order, as well as the equations governing the Knudsen layer, thereby revealing the coupling relations among the boundary layers and presenting a formal solution procedure.

Keywords： Vlasov-Poisson-Boltzmann equations; Maxwell reflection boundary condition; boundary layer analysis; Hilbert expansion

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本文引用格式

刘慧, 江宁, 罗益龙, 唐少君. VPB 方程的边界层分析——献给陈化教授 70 寿辰[J]. 数学物理学报, 2026, 46(2): 840-876

Liu Hui, Jiang Ning, Luo Yilong, Tang Shaojun. Boundary Layer Analysis of the Vlasov-Poisson-Boltzmann Equations with Maxwell Reflection Boundary Conditon in Half-Space[J]. Acta Mathematica Scientia, 2026, 46(2): 840-876

1 引言

1.1 研究背景与意义

Vlasov 方程描述了带电粒子的运动, 它根据统计力学的原理, 用于描述粒子在相空间中的分布函数随时间的演化过程. Poisson 方程描述了电势与电荷密度之间的关系, 通过电磁场从而对粒子的运动产生影响. Boltzmann 方程是一种重要的动理学方程, 用于描述气体分子的速度分布函数随时间和空间的变化, 该方程在气体动力学、等离子体物理学、稀薄气体动力学、半导体物理学等领域具有广泛的应用. 它为深入理解气体行为和统计物理性质提供了重要工具, 并且为许多实际问题的建模和分析提供了基础. VPB 方程是一种用于描述带电粒子在电场中运动的方程, 它在多个领域中具有广泛的应用, 可以用于等离子体物理学、生物物理学、生物化学、凝聚态物理学和表面科学等多个领域的研究.

尺度化后的 VPB 方程是通过对原始方程进行无量纲化处理, 将各个物理量转化为没有量纲级的形式, 以简化方程和分析物理系统的特性. 在尺度化后的方程中, 各个物理量被无量纲化, 并且一些常数项也被合并到了方程中. 这样做的目的是简化方程, 使其更易于分析和求解. 无量纲化后的方程保留了原始方程的基本形式和物理意义, 但去除了具体的数值尺度, 使得我们可以研究方程的一般性质和行为. 尺度化后的 VPB 方程与可压缩 Euler-Poisson 方程是在不同尺度和假设条件下描述物理系统行为的方程. 这两个方程在描述物理系统时的尺度和假设条件有所不同.关于它们之间的关系, VPB 方程是一种更加详细和复杂的描述, 可以涵盖可压缩 Euler-Poisson 方程的情况. 当带电粒子的密度较高且相互作用显著时, VPB 方程更适用. 而当流体的密度变化较小且分子间相互作用可以忽略时, 可压缩 Euler-Poisson 方程可以作为 VPB 方程的一种近似. 在具体应用中, 选择适当的方程取决于研究对象的特性和所关注的物理现象. 实际上, 近年来相关流体-粒子混合模型也成为了非线性偏微分方程领域的热点研究问题. 此外, 该类模型的相关数学研究将有助于加深对经典的流体力学和复杂流体的进一步理解, 在理论和实际应用中将具有重要的意义. 对于该类宏观-微观耦合偏微分方程, 在数学上, 一方面关心的是模型解的适定性 (即解的存在性、正则性和唯一性); 另一方面, 对于无量纲化之后的方程, 当某些无量纲量趋于零时, 可以得到相应的流体方程, 即流体动力学极限问题, 严格证明这个极限过程是偏微分方程领域研究的核心问题之一.

1.2 研究现状

在 Maxwell^[28] 和 Boltzmann^[6] 的创始工作中, 表明 Boltzmann 方程与可压缩和不可压缩流动的流体动力系统密切相关. 1912 年, Hilbert 提出了 Boltzmann 方程关于克努森数 $Kn$ 远小于 1 的系统形式渐近展开. 后来, Enskog 和 Chapman 独立提出了一个不同的形式展开, 在 1916 年和 1917 年, Hilbert 或 Chapman-Enskog 展开产生可压缩和不可压缩流体方程, 例如可压缩 Euler 和 Navier-Stokes 系统, 不可压缩 Euler 和 Navier-Stokes (Fourier) 系统, 以及声波系统等, 证明这些形式近似的合理性是一个具有挑战性的问题. 从严格的数学角度来看, 其实 Hilbert 第六个问题^[18]的目的是从更微观的物理上建立连续运动定律模型, 如 Boltzmann 理论.基于截断的 Hilbert 展开, Caflish^[7] 证明了从 Boltzmann 方程的解到 Euler 方程的光滑解的的转化过程,后续工作有见^[17,30]. 事实上, 可压缩 Euler 的溶液方程一般会发展奇点, 例如冲击波. 一般而言可压缩 Euler 方程有三种基本波型: 冲击波, 稀疏波和接触不连续性. Boltzmann 对这种波型的流体动力学极限已经在一维中得到了证明^[19-21]. 对于多维情况, 唯一的结果是平面稀疏波^[33].声波方程是可压缩 Euler 方程的线性化关于空间均匀的流体状态. 本质上是波动方程, 它们构成了流体动力学中最简单的偏微分方程系统.

在不可压缩流体的极限理论方面, 如 Navier-Stokes 方程、Stokes 方程甚至 Euler 方程, 取得了许多重要的进展, 我们只列举一些代表性的结果, 其中一组结果是在 DiPerna-Lions 重整化解的框架下进行^[9]. 著名的 BGL 计划旨在证明不可压缩 Navier-Stokes 方程的 Leray 解的极限, 该计划最初由 Bardos-Golse-Levermore 提出^[3,4], 并由 Golse 和 Saint-Raymond 完成^[10,12]. 在有界域中的相应结果可参考[24,27], 我们还应该提到 Saint-Raymond 关于不可压缩 Euler 方程的极限^[29,30]. 另一组结果是在经典解的框架下, 这些解基于非线性能量方法、半群方法或超强制性 (后两者进一步依赖于线性化 Boltzmann 算子的谱分析),参考文献 [5,9,13,22,25].

对于 VPB 系统, 关于其动理学问题已经进行了一些研究^[15,26,35]. 关于带边的情形, 情况要复杂得多.^[31,32] 从带有 Maxwell 反射条件 (具有非零适应系数) 的 Boltzmann 方程导出可压缩 Euler 系统的方程需要两个耦合的边界层: 粘性层和动理学层. 前者通常被称为 Prandtl 层, 后者在物理文献中被称为 Knudsen 层. 这两种类型的边界层之所以需要是因为: 在内部, 主导项是可压缩 Euler 系统, 其自然边界条件是不可渗透条件 $u\cdot n=0$. 然而, 受这个条件控制的局部 Maxwellian 不满足 Maxwell 反射边界条件, 除非是镜像反射的情况 (即 $\alpha_\varepsilon=0$). 因此, 需要具有厚度为 $\varepsilon$ 的动理学层. 在这些层中, 每个项满足线性动理学边界层方程, 它需要四个可解性条件 (Golse-Perthame-Sulem 定理 ^[11]), 但可压缩 Euler 系统的边界条件数量为一个. 这种不匹配表明应该存在另一层, 其厚度为 $\sqrt{\varepsilon}$ 的Prandtl 层. 这个名称源于以下事实:在这个层中, 每项满足著名的可压缩 Prandtl 方程. 具体而言, 如果 $\alpha_\varepsilon=O(1)$, 主导项满足非线性可压缩 Prandtl 方程, 高阶项满足线性化可压缩 Prandtl 方程. 如果$\alpha_\varepsilon=O(\varepsilon^\beta)$, 其中 $\beta>0$, 边界层是弱的, 从而所有的边界项都出现在高阶中. 因此, 非线性 Prandtl 方程不会出现. 本文从具有 Maxwell 反射条件的 VPB 方程推导出可压缩 Euler-Poisson 系统的方程需要两个耦合的边界层: 粘性层和动理学层, 旨在对于 $\alpha_\varepsilon=O(\sqrt{\varepsilon})$ 的情况给出严格的证明.

在文献 [14] 中, Guo-Huang-Wang 使用 Hilbert 展开方法证明了可压缩 Euler 极限, 这个方法在 Sone 的著作中有形式化的推导. 他们考虑了 $\alpha_\varepsilon=0$, 即镜像反射. 我们强调, 在这种情况下, 由不可渗透条件控制的局部 Maxwellian 确实满足镜像反射条件. 从这个意义上说, 似乎不需要边界层. 在本文与文献 [23] 中, 使用了 Hilbert 展开, 在更高阶时, 边界条件不匹配. 因此, 需要同时考虑粘性层和动理学层. 在流体方程的背景下, 应用可压缩 Prandtl 方程并不是一件新鲜的事. 它已经在可压缩 Naver-Stokes 方程的粘性消失极限中进行了研究. 这个现象与文献 [14] 和 ^[23] 的论文是一致的, 因为具有粘性和热导率为 $O(\varepsilon)$ 阶的可压缩 Navier-Stokes 系统可以从 Boltzmann 方程导出 (更准确地说, 通过 Chapman-Enskog 展开). 这意味着文献 [14] 和 ^[23] 包含了这个极限, 但对于可压缩 Navier-Stokes 方程具有不同的边界条件: 文献 [14] 对应于 Neumann 边界, 文献 [23] 对应于混合 Robin 边界. Xin-Yanagisawa 在文献 [34] 中证明了带有 Dirichlet 条件的线性可压缩 Navier-Stokes 系统的零粘性极限, 其中也使用了线性可压缩 Prandtl 方程, 这个结果在文献 [8] 中扩展到包括温度方程的情况.

需要特别指出的是, 文献 [24] 的工作中已经使用了耦合的粘性层和动理学层, 尽管形式上与文献 [14] 和本文略有不同. 文献 [24] 讨论的是不可压缩 Navier-Stokes 极限, 实际上不需要粘性层. 然而, 文献 [24] 的主要问题是证明声波的作用, 而声波是可压缩的. 因此, 不可压缩 Navier-Stokes 极限 (在时间尺度 $O(\frac{1}{\varepsilon})$ 内发生) 在短时间尺度 $O(1)$ 内包含了声波极限. 从这个意义上说, 文献 [24] 中的两个边界层与本文和[14,23] 中的边界层是相同的 (再次强调, [14,23] 和本文中的所有边界层都是线性的, 因为它们出现在高阶项中). 主要的区别在于, 文献 [24] 采用了重整化解的框架, 无法展开. 因此, 在耦合的粘性层和动理学层中, 以对偶的形式考虑这些层, 这些层出现在测试函数中. 具体而言, 动理学层的方程与本文和文献 [14] 中的方程是相同的, 但边界条件不同. 文献 [23] 中的 Maxwell 反射情况下, 墙面 Maxwellian 是局部的且非平凡的, 而在文献 [24] 中, 墙面 Maxwellian 是全局的, 即 $M(v)$. 在文献 [14] 中, 由于考虑的是镜像反射边界条件, 因此没有墙面 Maxwellian. 对于粘性层的部分, 在文献 [24] 中使用了稳态版本, 即退化热算子, 而在文献 [14] 和 ^[23] 中使用了线性化的可压缩 Prandtl 方程. 除此之外, 本文考虑的系统还耦合了关于电势的 Poisson 方程, 边界层展开会产生新的困难.

1.3 研究内容与主要结论

本文, 我们考虑无量纲化后的 Vlasov-Poisson-Boltzmann 方程

(1.1) $\left\{\begin{array}{ll}\partial_{t} F_{\varepsilon}+v \cdot \nabla_{x} F_{\varepsilon}+\eta \nabla_{x} \phi_{\varepsilon} \cdot \nabla_{v} F_{\varepsilon}=\frac{1}{\varepsilon} B\left(F_{\varepsilon}, F_{\varepsilon}\right), & \mathbb{R}_{+} \times \mathbb{R}_{+}^{3} \times \mathbb{R}^{3} \\\Delta \phi_{\varepsilon}=\eta\left(\int_{\mathbb{R}^{3}} F_{\varepsilon} \mathrm{d} v-\bar{\rho}\right), & \mathbb{R}_{+} \times \mathbb{R}_{+}^{3}\end{array}\right.$

这里无量纲数 $\varepsilon>0$ 是 Knudsen 数, 表示分子平均自由程与宏观物理尺度的比值. $F_\varepsilon (t, x, v) \geq 0$ 是粒子在时间 $t$, 位置 $x \in \mathbb{R}^3_+ = \{ x \in \mathbb{R}^3; x_3 > 0 \}$ 具有速度 $v \in \mathbb{R}^3$ 的分布密度函数, 电势 $\phi(t, x)$ 通过泊松方程与分布函数F耦合, $\eta$ 是反映电感强度的常系数, $\bar{\rho}>0$ 是给定的背景密度, 这里假定为 1. 此外,方程 (1.1) 的初始条件为

(1.2) $F_{\varepsilon}(0, x, v)=F_{\varepsilon}^{i n}(x, v) \geq 0, \quad \quad \mathbb{R}_{+}^{3} \times \mathbb{R}^{3}$

关于从有量纲的 VPB 方程推导到无量纲形式的 (1.1) 式的过程的详细信息, 读者可以在文献 [1] 中找到.

Boltzmann 碰撞算子定义为

$B\left(f_{1}, f_{2}\right)(v)=\int_{R^{3}} \int_{\mathbb{S}^{2}}|v-u|^{\gamma_{0}} f_{1}\left(u^{\prime}\right) f_{2}\left(v^{\prime}\right) b(\theta) \mathrm{d} \omega \mathrm{~d} u-\int_{R^{3}} \int_{\mathbb{S}^{2}}|v-u|^{\gamma_{0}} f_{1}(u) f_{2}(v) b(\theta) \mathrm{d} \omega \mathrm{~d} u$

其中, $u' = u + [(v-u) \cdot \omega] \omega$, $v' = u + [(v-u) \cdot \omega] \omega$, $\cos \theta = (v-u) \cdot \omega / |v - u|$, 碰撞核 $b (\theta)$ 满足 $0 < b (\theta) \leq C |\cos \theta|$, 这里 $0 \leq \gamma_0 \leq 1$ 表示硬势, 这样的碰撞算子包含了带角截断的硬球情形.

我们将 $\vec{n} = (0, 0, -1)$ 表示为 $\mathbb{R}^3_+$ 的外法向量, $\Sigma := \partial \mathbb{R}^3_+ \times \mathbb{R}^3$ 为 $\mathbb{R}^3_+ \times \mathbb{R}^3$ 的相空间边界, 相空间边界 $\Sigma$ 可以分为出射边界 $\Sigma_+$, 入射边界 $\Sigma_-$ 和切向边界 $\Sigma_0$:

$\begin{array}{l}\Sigma_{+}=\left\{(x, v): x \in \partial \mathbb{R}_{+}^{3}, v \cdot n=-v_{3}>0\right\}, \\\Sigma_{-}=\left\{(x, v): x \in \partial \mathbb{R}_{+}^{3}, v \cdot n=-v_{3}＜0\right\}, \\\Sigma_{0}=\left\{(x, v): x \in \partial \mathbb{R}_{+}^{3}, v \cdot n=-v_{3}=0\right\} .\end{array}$

设 $\gamma_\pm F = \mathrm{1}_{\Sigma{\pm}} F$, 对于 VPB 方程 (1.1), $F_\varepsilon$ 具有 Maxwell 反射边界条件如下

(1.3) $ \begin{equation}\label{1.3} \begin{array}{l} \gamma_- F_\varepsilon = (1-\alpha_\varepsilon) L \gamma_+ F_\varepsilon + \alpha_\varepsilon K \gamma_+ F_\varepsilon, \quad \quad \mathbb{R}_+ \times \Sigma_- \,, \end{array}\end{equation}$

$\phi_\varepsilon$ 具有如下 Neumann 边界条件

$\left.\frac{\partial \phi_{\varepsilon}}{\partial n}\right|_{\partial \Omega}=0, \quad \quad \mathbb{R}_{+} \times \partial \mathbb{R}_{+}^{3}$

(1.3) 式的镜面反射边界条件 $L \gamma_+ F_\varepsilon$ 和扩散边界条件 $K \gamma_+ F_\varepsilon$ 分别为

$\begin{aligned}L \gamma_{+} F_{\varepsilon}(t, x, v) & =F_{\varepsilon}\left(t, x, R_{x} v\right), R_{x} v=v-2(v \cdot n) n=\left(\bar{v},-v_{3}\right) \\K \gamma_{+} F_{\varepsilon}(t, x, v) & =M_{w}(t, \bar{x}, v) \int_{v \cdot n>0} \gamma_{+} F_{\varepsilon}(v \cdot n) \mathrm{d} v\end{aligned}$

这里的局部 Maxwellian 分布函数 $M_w (t, \bar{x}, v)$ 是与具有以下形式的墙壁 (边界) 相对应的

$M_{w}(t, \bar{x}, v)=\frac{\rho_{w}(t, \bar{x})}{\left[2 \pi T_{w}(t, \bar{x})\right]^{\frac{3}{2}}} \exp \left\{-\frac{\left|v-u_{w}(t, \bar{x})\right|^{2}}{2 T_{w}(t, \bar{x})}\right\} .$

这里的 $u_w = (u_{w, 1}, u_{w, 2}, u_{w, 3}) \in \mathbb{R}^3$ 和 $T_w$ 分别表示边界的速度和温度, $\rho_w$ 是与 $T_w$, $u_{w, 3}$ 相关的满足如下关系的量

(1.4) $\int_{v \cdot n＜0}|v \cdot n| M_{w}(t, x, v) \mathrm{d} v \equiv 1$

也即

(1.5) $\rho_{w}=\sqrt{\frac{2 \pi}{T_{w}}}\left[\exp \left(-\frac{u_{w, 3}}{2 T_{w}}\right)+\frac{u_{w, 3}}{T_{w}} \int_{-u_{w, 3}}^{+\infty} \exp \left(-\frac{z^{2}}{2 T_{w}}\right) \mathrm{d} z\right]^{-1} .$

如果有

(1.6) $ \begin{equation}\label{1.6} \begin{aligned} u_{w, 3} = 0\,, \end{aligned}\end{equation}$

此时的 $u_w$ 表示固定边界墙, 从而 (1.5) 式中的 $\rho_w$为 $\rho_w = \sqrt{\tfrac{2 \pi}{T_w}}$. 换句话说, 在假设 (1.6) 下,

$ \begin{equation*} \begin{aligned} M_w = \sqrt{\frac{2 \pi}{T_w }} \frac{1}{(2 \pi T_w)^{3/2}} \exp\Big( - \frac{|v- u_w |^2}{2 T_w } \Big), \qquad\ \mathbb{R}_+ \times \Sigma \,. \end{aligned}\end{equation*}$

这里需要指出的是条件 (1.4) 表明被墙壁吸收的粒子将完全以高斯分布的形式完全释放出来.这与 Sone 的文献 [32] 中的形式一致, 在这里, 我们要注意的是粘性系数 $\alpha_\varepsilon \in [0,1]$ 描述了分子对壁面状态的适应程度. 特别地, $\alpha_\varepsilon=0$ 对应于镜面反射, 而 $\alpha_\varepsilon=1$ 表示完全扩散. 通常, 这个系数可以采用 $\chi \varepsilon^\beta$ 的形式, 其中 $\beta \geq 0$. 在本文中, 我们考虑 $\alpha_\varepsilon = \sqrt{2 \pi} \varepsilon^{\frac{1}{2}}$, 从分析角度来看, 当 $\beta \neq \frac{1}{2}, 0$ 时, 情况将类似于当前的论文 (但边界层的展开会更加复杂). 对于 $\beta=0$ 的情况, 形式分析将是相同的 (所有细节都在 Sone 的[31,32] 中), 只是在主导阶上涉及到了{非线性}可压缩 Prandtl 方程, 其在 Sobolev 类型空间中的适定性 (即使是局部适定性) 是一个未被解决的问题.

本文, 我们主要是通过 Hilbert 展开方法, 完成了半空间上带 Maxwell 反射边界条件的 Vlasov-Poisson-Boltzmann 方程流体极限及边界层问题的形式分析过程. 我们得到, 当 $\varepsilon \to 0$ 时, VPB 方程 (1.1) 的解 $F_\varepsilon$, $\phi_\varepsilon$ 收敛到 $M$ 和 $\phi_0$. $(\rho, u, T, \phi_0)$ 满足可压缩 Euler-Poisson 方程 (2.6), 具有初值条件 (2.8) 和边界条件 (2.7). 内部各阶流体变量 $(\rho_{k}, u_{k}, \theta_{k}, \phi_k) (k\geq1)$ 满足线性双曲-椭圆系统 (2.44), 满足初值条件 (2.45) 和边界条件 (2.46). 粘性边界层展开中, 由 2.5 节, 我们知道 $f^b_o=\phi^b_0=0$, 当 $k\geq1$ 时, 粘性边界层满足线性可压缩 Prandtl 型方程 (2.41), 具有初值条件 (2.16) 和 Robin 边界条件 (2.25). 动理学层展开中, Knudsen 边界层满足的方程为 (2.40), 其可解性条件为 (2.21). 至此, 我们系统推导了各阶内部流体方程、粘性边界层方程与 Knudsen 层方程, 清晰呈现了各边界层之间的耦合关系及形式上的求解过程. 对于上述方程的解的适定性的严格数学证明将在后续文章中给出.

2 半空间上具有 Maxwell 反射边界条件的 VPB 方程的边界层形式分析过程

本节内容, 我们主要利用 Hilbert 展开方法, 给出半空间中具有 Maxwell 反射边界条件的 VPB 方程到可压缩 Euler-Poisson 方程的流体极限及其边界层的形式分析过程. 通过形式分析, 采用归纳的方法形式推导出各阶内部、粘性层的宏观流体方程, 以及 Knudsen 层满足的方程, 体现出了边界层之间的耦合关系以及形式上的求解过程.

我们假设 $F_\varepsilon$, $\phi_\varepsilon$ 有如下的展开形式

(2.1) $ \begin{aligned} F_\varepsilon=\sum_{m\geq 0}[F_m(t, x, v)+F^b_m(t, \bar{x}, \frac{x_3}{\sqrt{\varepsilon}}, v)+F^{bb}_m(t, \bar{x}, \frac{x_3}{\varepsilon}, v)]\,,\end{aligned}$

(2.2) $\begin{aligned} \phi_\varepsilon=\sum_{m\geq 0}[\phi_m(t, x)+\phi^b_m(t, \bar{x}, \frac{x_3}{\sqrt{\varepsilon}})+\phi^{bb}_m(t, \bar{x}, \frac{x_3}{\varepsilon})]\,, \end{aligned}$

这里内部项的解记作 $F_{m}(t, x, v)$ 和 $\phi_{m}(t, x)$, 粘性边界层的解记作 $F^b_{m}(t, \overline{x}, \frac{x_3}{\sqrt{\varepsilon}}, v)$, $\phi^b_{m}(t, \overline{x}, \frac{x_3}{\sqrt{\varepsilon}})$, Knudsen 层的解记为 $F^{bb}_{m}(t, \overline{x}, \frac{x_3}{\varepsilon}, v)$, $\phi^{bb}_{m}(t, \overline{x}, \frac{x_3}{\varepsilon})$.

2.1 内部展开

内部展开有如下形式

$ \begin{align*} F^{int}_\varepsilon (t, x, v) \thicksim \sum_{k \geq 0} \sqrt{\varepsilon}^k F_k (t, x, v) \,,\end{align*}$

$\begin{align*} \phi^{int}_\varepsilon (t, x) \thicksim \sum_{k \geq 0} \sqrt{\varepsilon}^k \phi_k (t, x) \,. \end{align*}$

将 $F_\varepsilon$ 的展开带入 (1.1) 式中, 阶数分析得

(2.3) $ \begin{equation}\label{2.3} \begin{aligned} \sqrt{\varepsilon}^{-2}:& \quad 0 = B(F_0, F_0)\,, \\ \sqrt{\varepsilon}^{-1}:& \quad 0 = B(F_0, F_1) + B(F_1, F_0)\,, \\ \sqrt{\varepsilon}^0:& \quad (\partial_t + v \cdot \nabla_x) F_0 +\eta\nabla_x\phi_{0}\cdot\nabla_v F_0= B(F_0, F_2) + B(F_2, F_0) + B(F_1, F_1)\,, \\ \sqrt{\varepsilon}^1:& \quad (\partial_t + v \cdot \nabla_x) F_1 +\eta\nabla_x\phi_{0}\cdot\nabla_v F_1 +\eta\nabla_x\phi_{1}\cdot\nabla_v F_0\\ &\quad = B(F_0, F_3) + B(F_3, F_0) + B(F_1, F_2) + B(F_2, F_1)\,, \\ \cdots \cdots &\\ \sqrt{\varepsilon}^k:& \quad (\partial_t + v \cdot \nabla_x) F_k+\eta\nabla_x\phi_{0}\cdot\nabla_v F_{k}+\eta\nabla_x\phi_{k}\cdot\nabla_v F_0+\sum_{\substack{i+j=k\,, \\ i, j\ge 1}}\eta\nabla_x\phi_{i}\cdot\nabla_v F_{j} \\ &\quad= B(F_0, F_{k+2}) + B(F_{k+2}, F_0) + \sum_{\substack{i+j=k+2\,, \\ i, j\ge 1}} B(F_i, F_j)\,. \end{aligned}\end{equation}$

将 $\phi_\varepsilon$ 的展开式带入 (1.1) 阶数分析有

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \sqrt{\varepsilon}^0:& \quad \Delta_x\phi_0=\eta(\int_{ \mathbb{R}^3}F_0 d v-1)\,, \\ \sqrt{\varepsilon}^1:& \quad \Delta_x\phi_1=\eta\int_{ \mathbb{R}^3}F_1 d v\,, \\ \cdots \cdots &\\ \sqrt{\varepsilon}^k:& \quad \Delta_x\phi_k=\eta\int_{ \mathbb{R}^3}F_k d v \,. \end{aligned}\end{equation*}$

令

$ \begin{equation*} \begin{aligned} f_k = \tfrac{F_k}{M} \,, \end{aligned}\end{equation*}$

可以分解为

$ f_{k}=\mathcal{P} f_{k}+(\mathcal{I}-\mathcal{P}) f_{k}=\left\{\frac{\rho_{k}}{\rho}+u_{k} \cdot \frac{v-\mathfrak{u}}{T}+\frac{\theta_{k}}{2 T}\left(\frac{|v-\mathfrak{u}|^{2}}{T}-3\right)\right\}+(\mathcal{I}-\mathcal{P}) f_{k}$

由 $H$)-定理得 $F_0$ 满足局部 Maxwell 函数

(2.4) $F_{0}(t, x, v):=\mathfrak{M}(t, x, v)=\frac{\rho(t, x, v)}{(2 \pi T(t, x, v))^{\frac{3}{2}}} \exp \left(-\frac{|v-\mathfrak{u}(t, x, v)|^{2}}{2 T(t, x, v)}\right) .$

这里 $\rho, u, T$ 分别代表宏观密度, 速度和温度. 当 $\varepsilon \to 0$ 时, VPB 方程 (1.1) 的解 $F_\varepsilon$, $\phi_\varepsilon$ 收敛到 $\mathfrak{M}$ 和 $\phi_0$. $(\rho, u, T, \phi_0)$ 满足下面的可压缩 Euler-Poisson 方程

(2.5) $ \left\{\begin{array}{l}\partial_{t} \rho+\operatorname{div}_{x}(\rho \mathfrak{u})=0 \\\partial_{t}(\rho \mathfrak{u})+\operatorname{div}_{x}(\rho \mathfrak{u} \otimes \mathfrak{u})+\nabla p=\eta \rho \nabla_{x} \phi_{0} \\\partial_{t}\left[\rho\left(\frac{3}{2} T+\frac{1}{2}|\mathfrak{u}|^{2}\right)\right]+\operatorname{div}_{x}\left[\rho \mathfrak{u}\left(\frac{3}{2} T+\frac{1}{2}|\mathfrak{u}|^{2}\right)\right]+\operatorname{div}_{x}(p \mathfrak{u})=\eta \rho \mathfrak{u} \nabla_{x} \phi_{0} \\\Delta_{x} \phi_{0}=\eta(\rho-1)\end{array}\right.$

简化如下

(2.6) $\left\{\begin{array}{l}\partial_{t} \rho+\operatorname{div}_{x}(\rho \mathfrak{u})=0 \\\rho\left(\partial_{t} \mathfrak{u}+\mathfrak{u} \cdot \nabla_{x} \mathfrak{u}\right)+\nabla_{x}(\rho T)=\eta \rho \nabla_{x} \phi_{0} \\\partial_{t} T+\mathfrak{u} \cdot \nabla_{x} T+\frac{2}{3} T \operatorname{div}_{x} \mathfrak{u}=0 \\\Delta_{x} \phi_{0}=\eta(\rho-1)\end{array}\right.$

在 $(t, x) \in \mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^3_+$ 上, 边界条件如下

(2.7) $\left\{\begin{aligned}\left.\mathfrak{u} \cdot n\right|_{x_{3}=0} & =0, \\\left.\frac{\partial \phi_{0}}{\partial n}\right|_{\partial \Omega} & =0 .\end{aligned}\right.$

这里 $p= \rho T$ 代表压力, 我们给定初始条件

(2.8) $(\rho, \mathfrak{u}, T)(0, x)=\left(\rho^{i n}, \mathfrak{u}^{i n}, T^{i n}\right)(x) .$

相容性条件

$\left.\mathfrak{u}^{i n} \cdot n\right|_{x_{3}}=0 .$

通过使用 $\mathfrak{M} (t, x, v)$, 线性碰撞算子 $L$ 定义为

$\mathcal{L} g=-\frac{1}{\mathfrak{M}}\{B(\mathfrak{M}, \mathfrak{M} g)+B(\mathfrak{M} g, \mathfrak{M})\}$

$L$ 的零空间 $\mathcal{N}$ 为 (见文献 [7])

$\begin{equation*} \begin{aligned} \tfrac{1}{\sqrt{\rho}} \mathfrak{M} \,, \ \tfrac{v_i - u_i}{\sqrt{\rho T}} \mathfrak{M}\ (i=1, 2, 3) \,, \ \tfrac{1}{\sqrt{6 \rho}} \left\{ \tfrac{|v - u|^2}{T} - 3 \right\} \mathfrak{M} \,. \end{aligned} \end{equation*}$

加权 $L^2$ 范数为

$\frac{1}{\sqrt{\rho}} \mathfrak{M}, \frac{v_{i}-\mathfrak{u}_{i}}{\sqrt{\rho T}} \mathfrak{M}(i=1,2,3), \frac{1}{\sqrt{6 \rho}}\left\{\frac{|v-\mathfrak{u}|^{2}}{T}-3\right\} \mathfrak{M} .$

碰撞频率 $\nu (v) \equiv \nu (\mathfrak{M}) (v)$ 定义为

(2.9) $\nu(\mathfrak{M})=\int_{\mathbb{R}^{3}} \int_{\mathbb{S}^{2}} b(\theta)\left|v-v^{\prime}\right|^{\gamma_{0}} \mathfrak{M}\left(v^{\prime}\right) \mathrm{d} v^{\prime} \mathrm{d} \omega$

对于 $0 \leq \gamma_0 \leq 1$,

(2.10) $ \begin{equation} \begin{aligned} \nu (\mathfrak{M}) \thicksim \rho \langle v \rangle^{\gamma_0} \,, \end{aligned}\end{equation}$

这里 $\langle v \rangle = \sqrt{1 + |v|^2}$. 令 $\mathcal{P} g$ 是 $L^2_v$ 到零空间 $\mathcal{N}$ 上的映射. 则 (见文献 [7]) 存在正常数 $c_0 > 0$ 使得

(2.11) $\langle\mathcal{L} g, g\rangle \geq c_{0}\|(\mathcal{I}-\mathcal{P}) g\|_{\nu}^{2}$

对于 $k \geq 1$, $\frac{F_k}{\mathfrak{M}}$ 可以分解成下面的宏观和微观部分

$ \begin{aligned}\frac{F_{k}}{\mathfrak{M}} & =\mathcal{P}\left(\frac{F_{k}}{\mathfrak{M}}\right)+(\mathcal{I}-\mathcal{P})\left(\frac{F_{k}}{\mathfrak{M}}\right) \\& \equiv\left\{\frac{\rho_{k}}{\rho}+u_{k} \cdot \frac{v-u}{T}+\frac{\theta_{k}}{2 T}\left(\frac{|v-u|^{2}}{T}-3\right)\right\}+(\mathcal{I}-\mathcal{P})\left(\frac{F_{k}}{\mathfrak{M}}\right)\end{aligned}$

如文献 [16], 对于 $k \geq 1$,

$ \begin{equation*} (\mathcal{I} - \mathcal{P} ) \big(\tfrac{F_k}{\mathfrak{M}}\big) = \mathcal{L}^{-1} \Big( - \tfrac{( \partial_t + v \cdot \nabla_x ) F_{k-2} - \sum_{\substack{i+j = k\,, \\ i, j \ge 1}} B (F_i, F_j) }{\mathfrak{M}}- \tfrac{\sum_{\substack{i+j=k}}\eta\nabla_x\phi_{i}\cdot\nabla_v F_{j} }{\mathfrak{M}} \Big) \,,\end{equation*}$

流体变量 $(\rho_{k}, u_{k}, \theta_{k}, \phi_k)$满足以下线性双曲-椭圆系统

(2.12) $\begin{aligned}\mathcal{F}_{u, i}^{\perp}\left(F_{k}\right)= & -\sum_{j=1}^{3} \partial_{x_{j}} \int_{\mathbb{R}^{3}} T \mathcal{A}_{i j} \frac{F_{k}}{\mathfrak{M}} \mathrm{~d} v+\sum_{\substack{m+j=k \\m, j \geq 1}} \rho_{j} \nabla_{x} \phi_{m}, \quad i=1,2,3, \\\mathcal{G}_{\theta}^{\perp}\left(F_{k}\right)= & -\operatorname{div}_{x}\left(2 T^{\frac{3}{2}} \int_{\mathbb{R}^{3}} \mathcal{B} \frac{F_{k}}{\mathfrak{M}} \mathrm{~d} v+\sum_{j=1}^{3} 2 T \mathfrak{u} \cdot \int_{\mathbb{R}^{3}} \mathcal{A} \frac{F_{k}}{\mathfrak{M}} \mathrm{~d} v\right)-2 u \cdot \mathcal{F}_{u}^{\perp}\left(F_{k}\right) \\& -2 u \sum_{\substack{i+j=k \\i, j \geq 1}} \rho_{j} \nabla_{x} \phi_{i}+\sum_{\substack{i+j=k \\i, j \geq 1}} \nabla_{x} \phi_{i}\left(2 \rho_{j} u+2 \rho u_{j}\right) .\end{aligned}$

其中 $(\rho, u, T, \phi_0)$ 是可压缩 Euler-Poisson 方程 (2.6) 的光滑解, 源项 $\mathcal{F}^\bot_u (F_{k})$ 和 $\mathcal{G}^\bot_\theta (F_{k})$ 的定义如下

$\begin{aligned}\mathcal{F}_{u, i}^{\perp}\left(F_{k}\right)= & -\sum_{j=1}^{3} \partial_{x_{j}} \int_{\mathbb{R}^{3}} T \mathcal{A}_{i j} \frac{F_{k}}{\mathfrak{M}} \mathrm{~d} v+\sum_{\substack{m+j=k \\m, j \geq 1}} \rho_{j} \nabla_{x} \phi_{m}, \quad i=1,2,3 \\\mathcal{G}_{\theta}^{\perp}\left(F_{k}\right)= & -\operatorname{div}_{x}\left(2 T^{\frac{3}{2}} \int_{\mathbb{R}^{3}} \mathcal{B} \frac{F_{k}}{\mathfrak{M}} \mathrm{~d} v+\sum_{j=1}^{3} 2 T \mathfrak{u} \cdot \int_{\mathbb{R}^{3}} \mathcal{A} \frac{F_{k}}{\mathfrak{M}} \mathrm{~d} v\right)-2 u \cdot \mathcal{F}_{u}^{\perp}\left(F_{k}\right) \\& -2 u \sum_{\substack{i+j=k \\i, j \geq 1}} \rho_{j} \nabla_{x} \phi_{i}+\sum_{\substack{i+j=k \\i, j \geq 1}} \nabla_{x} \phi_{i}\left(2 \rho_{j} u+2 \rho u_{j}\right)\end{aligned}$

这里 $\mathfrak{A} \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ 和 $\mathfrak{B} \in \mathbb{R}^3$ 是具有以下分量的 Burnett 函数

$\begin{aligned}\mathcal{A}_{i j} & =\left\{\frac{\left(v_{i}-\mathfrak{u}_{i}\right)\left(v_{j}-\mathfrak{u}_{j}\right)}{T}-\delta_{i j} \frac{|v-\mathfrak{u}|^{2}}{3 T}\right\} \mathfrak{M}, \quad 1 \leq i, j \leq 3, \\\mathcal{B}_{i} & =\frac{v_{i}-\mathfrak{u}_{i}}{2 \sqrt{T}}\left(\frac{|v-\mathfrak{u}|^{2}}{T}-5\right) \mathfrak{M}, \quad 1 \leq i \leq 3 .\end{aligned}$

最后, (2.12) 式的初值条件为

$ \begin{equation*} \begin{aligned} (\rho_{k}, u_{k}, \theta_{k}) (0, x) = (\rho_{k}^{in}, u_{k}^{in}, \theta_{k}^{in}) (x) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R} \,, \quad k = 1, 2, 3 \,, \cdots. \end{aligned}\end{equation*}$

而 (2.12) 式的边界条件将由 Knudsen 层方程的可解性条件以及粘性层方程的可解性条件联合给出, 详见 2.5 节.

2.2 粘性边界层展开

在粘性边界层, 尺度化的坐标定义为

$ \begin{align*} \zeta = \tfrac{x_3}{\sqrt{\varepsilon}} \,.\end{align*}$

如 Sone 的文献 [32] 中所示, 粘性边界层展开如下

$ \begin{align*} F^b_\varepsilon (t, \bar{x}, \zeta, v) \thicksim \sum_{k \geq 1} \sqrt{\varepsilon}^k F^b_k (t, \bar{x}, \zeta, v) \,,\end{align*}$

$\begin{align*} \phi^b_\varepsilon (t, \bar{x}, \zeta) \thicksim \sum_{k \geq 1} \sqrt{\varepsilon}^k \phi^b_k(t, \bar{x}, \zeta)\,. \end{align*}$

这里, 整篇文章中, 我们假设

$ \begin{align*} F^b_k (t, \bar{x}, \zeta, v) \to 0 \,, \quad \textrm{as } \zeta \to + \infty \,,\end{align*}$

$\begin{align*} \phi^b_k (t, \bar{x}, \zeta) \to 0 \,, \quad \textrm{as } \zeta \to + \infty\,. \end{align*}$

与文献 [14] 中计算类似, 将 $F_\varepsilon + F^b_\varepsilon$ 带入 Boltzmann 方程 (1.1) 中有

(2.13) $ \begin{aligned}\label{2.13} \sqrt{\varepsilon}^{-1}:\quad & 0= B(\mathfrak{M}^{0}, F^b_1) + B(F^b_1, \mathfrak{M}^{0})\,, \\ \sqrt{\varepsilon}^0:\quad & v_3 \cdot \partial_\zeta F^b_1+\eta\partial_\zeta\phi^b_1\partial_{v_3}F^{(0)}_0= \big[ B(\mathfrak{M}^{0}, F^b_2) + B(F^b_2, \mathfrak{M}^{0}) \big] + [ B(F^0_1, F^b_1) + B(F^b_1, F^0_1)] \\ & \qquad \qquad + B(F^b_1, F^b_1) + \zeta \big[ B(\mathfrak{M}^{(1)}, F^b_1) + B(F^b_1, \mathfrak{M}^{(1)})\big] \,, \\ \sqrt{\varepsilon}: \quad & \partial_t F^b_1 + \bar{v} \cdot \nabla_{\bar{x}} F^b_1 + v_3 \cdot \partial_\zeta F^b_2+\eta \nabla_{\overline{x}} \phi^{(0)}_0 \nabla _{\overline{v}} F^b_1+\eta \nabla_{\overline{x}} \phi^{b}_1 \nabla _{\overline{v}} F^{(0)}_0+\eta \partial_\zeta \phi^{b}_1\partial_{v_3} F^0_1\\ &\qquad \quad\quad+\eta \partial_\zeta \phi^{b}_1\partial_{v_3} F^b_1+\eta \partial_\zeta \phi^{b}_1\zeta\partial_{v_3} F^{(1)}_0+\eta \partial_\zeta \phi^{b}_2\partial_{v_3} F^{(0)}_0\\ & \qquad \quad = \big[ B(\mathfrak{M}^{0}, F^b_3) + B(F^b_3, \mathfrak{M}^{0}) \big] \\ & \qquad \quad\quad + \tfrac{\zeta}{1!} \big[ B(\mathfrak{M}^{(1)}, F^b_2) + B(F^b_2, \mathfrak{M}^{(1)}) \big] + \tfrac{\zeta^2}{2!} \big[ B(\mathfrak{M}^{(2)}, F^b_1) + B(F^b_1, \mathfrak{M}^{(2)}) \big]\\ & \qquad \quad \quad+ \big[ B(F^0_1, F^b_2) + B(F^b_2, F^0_1) \big] + \big[ B(F^0_2, F^b_1) + B(F^b_1, F^0_2) \big] \\ & \qquad \quad \quad+ \tfrac{\zeta}{1!} \big[ B(F^{(1)}_1, F^b_1) + B(F^b_1, F^{(1)}_1) \big] + \big[ B(F^b_1, F^b_2) + B(F^b_2, F^b_1) \big]\,, \\ & \cdots \cdots\\ \sqrt{\varepsilon}^k: \quad & \partial_t F^b_k \!+ \!\bar{v} \cdot \nabla_{\bar{x}} F^b_k \!+ \!v_3 \cdot \partial_\zeta F^b_{k+1} \!+\!\eta \sum_{\substack{i+l+j=k\,, \\ 0\leq l\leq N, j\geq 1}}\nabla_{\overline{x}} (\frac{\zeta^l}{l!}\phi^{(l)}_i)\nabla _{\overline{v}} F^b_j\\&\qquad\quad\!+\!\eta \sum_{\substack{i+l+j=k+1\,, \\ 0\leq l\leq N, j\geq 1}}\partial_{\zeta} (\frac{\zeta^l}{l!}\phi^{(l)}_i)\partial _{v_3} F^b_j+\eta \sum_{\substack{i+l+j=k\,, \\ 0\leq l\leq N, j\geq 1}}\nabla_{\overline{x}} \phi^{b}_i \nabla _{\overline{v}}(\frac{\zeta^l}{l!} F^{(l)}_j)\\ & \qquad\quad+\eta \sum_{\substack{i+j=k\,, \\ i, j\geq 1}}\nabla_{\overline{x}} \phi^{b}_i \nabla _{\overline{v}} F^b_j +\eta \sum_{\substack{i+l+j=k\,, \\ 0\leq l\leq N, j\geq 1}}\partial_\zeta \phi^{b}_i \partial_{v_3}(\frac{\zeta^l}{l!} F^{(l)}_j)\\ & \qquad\quad+\eta \sum_{\substack{i+l+j=k\,, \\ i, j\geq 1}}\partial_\zeta \phi^{b}_i \partial_{v_3} F^b_j\\ & \qquad = \sum_{\substack{i+j=k+2\,, \\ i, j \ge 1 }} B(F^b_i, F^b_j) + \Big[ B(\mathfrak{M}^0, F^b_{k+2}) + B(F^b_{k+2}, \mathfrak{M}^0) \Big]\\ & \qquad \quad + \sum_{\substack{l+j=k+2\,, \\ 1\le l \le N\,, j \ge 1}} \tfrac{\zeta^l}{l!} \Big[ B(\mathfrak{M}^{(l)}, F^b_j) + B(F^b_j, \mathfrak{M}^{(l)}) \Big] \\ & \qquad \quad + \sum_{\substack{i+j=k+2\,, \\ i, j \ge 1 }} \Big[ B(F^0_i, F^b_j) + B(F^b_j, F^0_i) \Big] \\ & \qquad \quad + \sum_{\substack{i+j+l = k+2\,, \\ 1\le l \le N\,, i, j \ge 1}} \tfrac{\zeta^l}{l!} \Big[ B(F^{(l)}_i, F^b_j) + B(F^b_j, F^{(l)}_i) \Big]\,, \quad {\text{当}}\ k \ge 1 \,.\end{aligned}$

将 $\phi_\varepsilon + \phi^b_\varepsilon$ 带入 (1.1) 式中有

$\begin{aligned}\sqrt{\varepsilon}^{-2}: & \partial_{\zeta \zeta}^{2} \phi_{0}^{b}=0 \\\sqrt{\varepsilon}^{-1}: & \partial_{\zeta \zeta}^{2} \phi_{1}^{b}=0 \\\sqrt{\varepsilon}^{0}: & \partial_{\zeta \zeta}^{2} \phi_{2}^{b}+\Delta_{\bar{x}} \phi_{0}^{b}=\eta \int_{\mathbb{R}^{3}} F_{0}^{b} \mathrm{~d} v \\\sqrt{\varepsilon}: & \partial_{\zeta \zeta}^{2} \phi_{3}^{b}+\Delta_{\bar{x}} \phi_{1}^{b}=\eta \int_{\mathbb{R}^{3}} F_{1}^{b} \mathrm{~d} v \\& \ldots \ldots \\\sqrt{\varepsilon}^{k}: & \partial_{\zeta \zeta}^{2} \phi_{k+2}^{b}+\Delta_{\bar{x}} \phi_{k}^{b}=\eta \int_{\mathbb{R}^{3}} F_{k}^{b} \mathrm{~d} v\end{aligned}$

在 $x_3 = 0$ 处的泰勒展开为

$ \begin{align*} \mathfrak{M} = \mathfrak{M}^0 + \sum_{1 \leq l \leq N} \tfrac{\zeta^l}{l !} \mathfrak{M}^{(l)} + \tfrac{\zeta^{N+1}}{(N+1) !} \widetilde{\mathfrak{M}}^{(N+1)} \,, \\ F_i = F_i^0 + \sum_{1 \leq l \leq N} \tfrac{\zeta^l}{l !} F_i^{(l)} + \tfrac{\zeta^{N+1}}{(N+1) !} \widetilde{F}_i^{(N+1)} \,, \\ \phi_i = \phi_i^0 + \sum_{1 \leq l \leq N} \tfrac{\zeta^l}{l !} \phi_i^{(l)} + \tfrac{\zeta^{N+1}}{(N+1) !} \widetilde{\phi}_i^{(N+1)} \,.\end{align*}$

这里 $N \in \mathbb{N}_+$. 令

$ \begin{align*} f^b_k = \tfrac{F^b_k}{\mathfrak{M}^0} \,,\end{align*}$

可以分解为

$f_{k}^{b}=\mathcal{P}^{0} f_{k}^{b}+\left(\mathcal{I}-\mathcal{P}^{0}\right) f_{k}^{b}=\left\{\frac{\rho_{k}^{b}}{\rho^{0}}+u_{k}^{b} \cdot \frac{v-u^{0}}{T^{0}}+\frac{\theta_{k}^{b}}{2 T^{0}}\left(\frac{\left|v-u^{0}\right|^{2}}{T^{0}}-3\right)\right\}+\left(\mathcal{I}-\mathcal{P}^{0}\right) f_{k}^{b}$

这里 $u^b_k = (u^b_{k, 1}, u^b_{k, 2}, u^b_{k, 3}) \in \mathbb{R}^3$. 此外, 令

$ \begin{align*} p^b_k = \rho^0 \theta^b_k + T^0 \rho^b_k\,.\end{align*}$

从 (2.13) 式的第一个方程, 与 $1$, $v_i$, $|v|^{2}$ 关于 $v$ 在 $ \mathbb{R}^{3}$ 上内积, 我们得 $F^b_1$ 的表达式

$F_{1}^{b}=\mathcal{P}^{0} F_{1}^{b}=\left\{\frac{\rho_{1}^{b}}{\rho^{0}}+u_{1}^{b} \cdot \frac{v-u^{0}}{T^{0}}+\frac{\theta_{1}^{b}}{2 T^{0}}\left(\frac{\left|v-u^{0}\right|^{2}}{T^{0}}-3\right)\right\} \mathfrak{M}^{0} .$

对于 $k \geq 1$, $(u^b_{k, i}, \theta^b_k)$\ (i=1, 2)满足下面的线性可压缩 Prandtl 型方程¹（¹在文献 [14] 中, 同样的系统称为线性抛物系统. ）

(2.14) $\left\{\begin{array}{l}\rho^{0}\left(\partial_{t}+\overline{\mathfrak{u}}^{0} \cdot \nabla_{\bar{x}}\right) u_{k, i}^{b}+\rho^{0}\left(\partial_{x_{3}} \mathfrak{u}_{3}^{0} \zeta+u_{1,3}^{0}\right) \partial_{\zeta} u_{k, i}^{b}+\rho^{0} \bar{u}_{k}^{b} \cdot \nabla_{\bar{x}} \mathfrak{u}_{i}^{0}+\frac{\partial_{x_{3}} p^{0}}{T^{0}} \theta_{k}^{b}=\mu\left(T^{0}\right) \partial_{\zeta}^{2} u_{k, i}^{b}+\mathrm{f}_{k-1, i}^{b}, \\\rho^{0} \partial_{t} \theta_{k}^{b}+\rho^{0} \overline{\mathfrak{u}}^{0} \cdot \nabla_{\bar{x}} \theta_{k}^{b}+\frac{1}{3} \rho^{0}\left(\partial_{x_{3}} u^{0} \zeta+\mathfrak{u}_{1,3}^{0}\right) \partial_{\zeta} \theta_{k}^{b}+\frac{2}{3} \rho^{0} \operatorname{div}_{x} \mathfrak{u}^{0} \theta_{k}^{b}=\frac{1}{5} \kappa\left(T^{0}\right) \partial_{\zeta \zeta} \theta_{k}^{b}+\mathrm{g}_{k-1}^{b}, \\\lim _{\zeta \rightarrow \infty}\left(\bar{u}_{k}^{b}, \theta_{k}^{b}\right)(t, \bar{x}, \zeta)=0 .\end{array}\right.$

$\left(\mathcal{I}-\mathcal{P}^{0}\right) f_{k+1}^{b}, u_{k+1,3}^{b}, p_{k+1}^{b}$ 由下面的方程定义

(2.15)$\begin{aligned}\left(\mathcal{I}-\mathcal{P}^{0}\right) f_{k+1}^{b}= & \left(\mathcal{L}^{0}\right)^{-1}\left\{-\left(\mathcal{I}-\mathcal{P}^{0}\right)\left(v_{3} \partial_{\zeta} \mathcal{P}^{0} f_{k}^{b}\right)+\frac{\zeta}{\mathfrak{M}^{0}}\left[B\left(\mathfrak{M}^{(1)}, \mathfrak{M}^{0} \mathcal{P}^{0} f_{k}^{b}\right)\right.\right. \\& \left.+B\left(\mathfrak{M}^{0} \mathcal{P}^{0} f_{k}^{b}, \mathfrak{M}^{(1)}\right)\right]+\frac{1}{\mathfrak{M}^{0}}\left[B\left(F_{1}^{0}, \mathfrak{M}^{0} \mathcal{P}^{0} f_{k}^{b}\right)+B\left(\mathfrak{M}^{0} \mathcal{P}^{0} f_{k}^{b}, F_{1}^{0}\right)\right] \\& \left.+\frac{1}{\mathfrak{M}^{0}}\left[B\left(\mathfrak{M}^{0} f_{1}^{b}, \mathfrak{M}^{0} \mathcal{P}^{0} f_{k}^{b}\right)+B\left(\mathfrak{M}^{0} \mathcal{P}^{0} f_{k}^{b}, \mathfrak{M}^{0} f_{1}^{b}\right)\right]\right\}+J_{k-1}^{b}\end{aligned}$

和

$\left\{\begin{array}{c}\partial_{\zeta} u_{k+1,3}^{b}=-\frac{1}{\rho^{0}}\left(\partial_{t} \rho_{k}^{b}+\operatorname{div}_{\bar{x}}\left(\rho^{0} \bar{u}_{k}^{b}+\rho_{k}^{b} \bar{u}^{0}\right)\right) \\\lim _{\zeta \rightarrow \infty} u_{k+1,3}^{b}(t, \bar{x}, \zeta)=0\end{array}\right.$

和

$\left\{\begin{array}{l} \partial_{\zeta} p_{k+1}^{b}=-\rho^{0} \partial_{t} u_{k, 3}^{b}-\rho^{0} \overline{\mathfrak{u}}^{0} \cdot \nabla_{\bar{x}} u_{k, 3}^{b}+\rho^{0} \partial_{x_{3}} \mathfrak{u}_{3}^{0} u_{k, 3}^{b}+\frac{4}{3} \mu\left(T^{0}\right) \partial_{\zeta \zeta} u_{k, 3}^{b} \\-\frac{4}{3} \rho^{0} \partial_{\zeta}\left[\left(\partial_{x_{3}} \mathfrak{u}^{0} \zeta+u_{1,3}^{0}\right) u_{k, 3}^{b}\right]-\partial_{\zeta}\left\langle T^{0} \mathcal{A}_{33}^{0}, J_{k-1}^{b}\right\rangle+W_{k-1,3}^{b} \\\lim _{\zeta \rightarrow \infty} \theta_{k+1}^{b}(t, \bar{x}, \zeta)=0 .\end{array}\right.$

这里源项 $\mathsf{f}^b_{k-1, i} \ (i = 1, 2)$ 和 $\mathsf{g}^b_{k-1}$ 分别为

$\begin{aligned}\mathrm{f}_{k-1, i}^{b} & =-\rho^{0} \partial_{\zeta}\left[\left(\partial_{x_{3}} \mathrm{u}_{i}^{0} \zeta+u_{1, i}^{0}+u_{1, i}^{b}\right) u_{k, 3}^{b}\right]-\left(\partial_{x_{i}}-\frac{\partial_{x_{i}} p^{0}}{p^{0}}\right) p_{k}^{b}+W_{k-1, i}^{b}-T^{0} \partial_{\zeta}\left\langle J_{k-1}^{b}, \mathcal{A}_{3 i}^{0}\right\rangle \\& +\eta \sum_{\substack{m+l+j=k, 0 \leq l \leq N, j \geq 1}} \nabla_{\bar{x}}\left(\frac{\zeta^{l}}{l!} \phi_{m}^{(l)}\right) \nabla_{\bar{v}} \rho_{j}^{b}+\eta \sum_{\substack{m+l+j=k \\0 \leq l \leq N, j \geq 1}} \frac{\zeta^{l}}{l!} \nabla_{\bar{x}} \phi_{m}^{b} \rho_{j}^{(l)}+\eta \sum_{\substack{m+l+j=k, m, j \geq 1}} \nabla_{\bar{x}} \phi_{m}^{b} \rho_{j}^{b}, \\\mathrm{~g}_{k-1}^{b} & =-\rho^{0} \partial_{\zeta}\left[\left(3 \partial_{\zeta} T^{0} \zeta+\theta_{1}^{0}+\theta_{1}^{b}\right) u_{k, 3}^{b}\right]+\frac{1}{5} H_{k-1}^{b}-\frac{2}{5}\left(T^{0}\right)^{\frac{3}{2}} \partial_{\zeta}\left\langle J_{k-1}^{b}, \mathcal{B}_{3}^{0}\right\rangle \\& +\frac{1}{5}\left\{2 \partial_{t}+2 \bar{u}^{0} \cdot \nabla_{\bar{x}}+\frac{10}{3} \operatorname{div}_{x} \mathcal{u}^{0}\right\} p_{k}^{b}+\frac{1}{5} \eta \sum_{\substack{i+l+j=k, 0 \leq l \leq N, j \geq 1}} \nabla_{\bar{x}}\left(\frac{\zeta^{l}}{l!} \phi_{i}^{(l)}\right)\left(2 \rho_{j}^{b} \bar{u}^{0}+2 \rho^{0} \bar{u}_{j}^{b}\right) \\& +\frac{1}{5} \eta \sum_{\substack{i+l+j=k+1, 0 \leq l \leq N, j \geq 1}} \partial_{\zeta}\left(\frac{\zeta^{l}}{l!} \phi_{i}^{(l)}\right)\left(2 \rho^{0} u_{j, 3}^{b}\right)+\frac{1}{5} \eta \sum_{\substack{i+l+j=k, 0 \leq l \leq N, j \geq 1}} \nabla_{\bar{x}} \phi_{i}^{b} \frac{\zeta^{l}}{l!}\left(2 \rho_{j}^{(l)} \bar{u}^{0}+2 \rho^{0} \bar{u}_{j}^{(l)}\right) \\& +\frac{1}{5} \eta \sum_{\substack{i+j=k+1, i, j \geq 1}} \partial_{\zeta} \phi_{i}^{b}\left(2 \rho u_{j, 3}^{b}\right)+\frac{1}{5} \eta \sum_{\substack{i+j=k+1, i, j \geq 1}} \nabla_{\bar{x}} \phi_{i}^{b}\left(2 \rho_{j}^{j} \bar{u}+2 \rho \bar{u}_{j}\right) \\& +\frac{1}{5} \eta \sum_{\substack{i+l+j=k+1 \\0 \leq l \leq N, j \geq 1}} \frac{\zeta}{l!} \partial_{\zeta} \phi_{i}^{b}\left(2 \rho u_{j, 3}^{(l)}\right)\end{aligned}$

和

$\begin{aligned}W_{k-1, i}^{b}= & -\sum_{j=1}^{2} \partial_{x_{j}}\left\langle T^{0}\left(\mathcal{I}-\mathcal{P}^{0}\right) f_{k}^{b}, \mathcal{A}_{i j}^{0}\right\rangle+\eta \sum_{\substack{m+l+j=k+1, 0 \leq l \leq N, j \geq 1}} \partial_{\zeta}\left(\frac{\zeta^{l}}{l!} \phi_{m}^{(l)}\right) \partial_{v_{3}} \\& +\eta \sum_{\substack{m+l+j=k+1, 0 \leq l \leq N, j \geq 1}} \frac{\zeta^{l}}{l!} \partial_{\zeta} \phi_{m}^{b} \rho_{j}^{(l)}+\eta \sum_{\substack{m+l+j=k+1, m, j \geq 1}} \partial_{\zeta} \phi_{m}^{b} \rho_{j}^{b}, \quad i=1,2,3,\end{aligned}$

$H_{k-1}^{b}=-\sum_{j=1}^{2} \partial_{x_{j}}\left\langle 2\left(T^{0}\right)^{\frac{3}{2}} \mathcal{B}_{j}^{0}+\sum_{l=1}^{2} 2 T^{0} \mathfrak{u}_{l}^{0} \mathcal{A}_{j l}^{0},\left(\mathcal{I}-\mathcal{P}^{0}\right) f_{k}^{b}\right\rangle-2 \overline{\mathfrak{u}}^{0} \cdot \bar{W}_{k-1}^{b}$

和

$ \begin{align*} J^b_{k-1} = & (L)^{-1} \Big\{ - (\mathcal{I}-\mathcal{P}^0) \Big( \tfrac{1}{\mathfrak{M}^0} \big\{ \partial_t + \bar{v} \cdot \nabla_{\bar{x}} \big\} F^b_{k-1} \Big) - (\mathcal{I}-\mathcal{P}^0) \big( v_3 \partial_\zeta ( \mathcal{I} - \mathcal{P}^0 \big) f^b_k \big) \\ & -(\mathcal{I}-\mathcal{P}^0)\eta \sum_{\substack{i+l+j=k-1\,, \\ 0\leq l\leq N, j\geq 1}}\nabla_{\overline{x}} (\frac{\zeta^l}{l!}\phi^{(l)}_i)\nabla _{\overline{v}} F^b_j-(\mathcal{I}-\mathcal{P}^0)\eta \sum_{\substack{i+l+j=k\,, \\ 0\leq l\leq N, j\geq 1}} \partial_{\zeta} (\frac{\zeta^l}{l!}\phi^{(l)}_i) p _{v_3} F^b_j\\ & + \sum_{\substack{l+j=k+1\,, \\2 \le l \le N, j\ge 1}} \tfrac{\zeta^l}{l!} \tfrac{1}{\mathfrak{M}^0} \big[ B(\mathfrak{M}^{(l)}, \mathfrak{M}^0f^b_j) + B(\mathfrak{M}^0 f^b_j, \mathfrak{M}^{(l)}) \big] \\ & + \sum_{\substack{l+j=k+1\,, \\i\ge 2, j\ge 1}} \tfrac{1}{\mathfrak{M}^0} \big[ B(F^0_i, \mathfrak{M}^0 f^b_j) + B(\mathfrak{M}^0 f^b_j, F^0_i) \big] \\ & + \sum_{\substack{l+j=k+1\,, \\ i, j\ge 2}} \tfrac{1}{\mathfrak{M}^0} \big[ B(\mathfrak{M}^0 f^b_i, \mathfrak{M}^0 f^b_j) + B(\mathfrak{M}^0 f^b_j, \mathfrak{M}^0 f^b_i) \big] \\ & + \sum_{\substack{i+j+k = k+1\,, \\1\le l \le N, i, j \ge 1}} \tfrac{1}{\mathfrak{M}^0} \tfrac{\zeta^l}{l!} \big[ B(F^{(l)}_i, \mathfrak{M}^0f^b_j) + B(\mathfrak{M}^0 f^b_j, F^{(l)}_i)\big] \\ & + \tfrac{\zeta}{\mathfrak{M}^0} \big[ B(\mathfrak{M}^{(1)}, \mathfrak{M}^0 (\mathcal{I} - \mathcal{P}^0) f^b_k) + B(\mathfrak{M}^0 (\mathcal{I} - \mathcal{P}^0) f^b_k, \mathfrak{M}^{(1)}) \big] \\ & + \tfrac{1}{\mathfrak{M}^0} \big[ B(F^0_1, \mathfrak{M}^0 (\mathcal{I} - \mathcal{P}^0) f^b_k) + B(\mathfrak{M}^0 (\mathcal{I} - \mathcal{P}^0) f^b_k, F^0_1) \big] \\ & + \tfrac{1}{\mathfrak{M}^0} \big[ B(\mathfrak{M}^0 f^b_1, \mathfrak{M}^0 (\mathcal{I} - \mathcal{P}^0) f^b_k) + B(\mathfrak{M}^0(\mathcal{I} - \mathcal{P}^0) f^b_k, \mathfrak{M}^0 f^b_1) \big] \Big\} \,.\end{align*}$

由 (2.5) 式, (2.5) 式中 $u_{1, 3}^0 = 0$. 最后, (2.14) 式的初始条件为

(2.16) $ \begin{equation} \begin{aligned} (\bar{u}^b_k, \theta^b_k) (0, \bar{x}, \zeta) = (\bar{u}^{b, in}_k, \theta^{b, in}_k ) (\bar{x}, \zeta) \in \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}_+ \,, \quad k = 1, 2, 3 \,, \cdots, \end{aligned}\end{equation}$

这里 $\displaystyle\lim_{\zeta \to \infty} (\bar{u}^{b, in}_k, \theta^{b, in}_k) (\bar{x}, \zeta) = 0$.

2.3 Knudsen 边界层展开

在 Knudsen 层, 新的尺度化的坐标为

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \xi = \tfrac{x_3}{\varepsilon} \,. \end{aligned}\end{equation*}$

Knudsen 层展开为

$ \begin{align*} F^{bb}_\varepsilon (t, \bar{x}, \xi, v) \thicksim \sum_{k \geq 1} \sqrt{\varepsilon}^k F^{bb}_k (t, \bar{x}, \xi, v) \,,\end{align*}$

$\begin{align*} \phi^{bb}_\varepsilon (t, \bar{x}, \xi) \thicksim \sum_{k \geq 1} \sqrt{\varepsilon}^k \phi^{bb}_k (t, \bar{x}, \xi)\,. \end{align*}$

这里, 有

$ \begin{align*} F^{bb}_k (t, \bar{x}, \xi, v) \to 0 \,, \quad \textrm{as } \xi\to + \infty \,,\end{align*}$

$\begin{align*} \phi^{bb}_\varepsilon (t, \bar{x}, \xi) \to 0 \,, \quad \textrm{as } \xi\to + \infty \,. \end{align*}$

将 $F_\varepsilon + F^b_\varepsilon + F^{bb}_\varepsilon$ 带入 (1.1) 式, 得

(2.17) $ \begin{aligned}\label{2.17} \sqrt{\varepsilon}^{-1} :\qquad & v_3 \cdot \partial_\xi F^{bb}_1 = B(\mathfrak{M}^0, F^{bb}_1) + B(F^{bb}_1, \mathfrak{M}^0)\,, \\ \sqrt{\varepsilon}^0 : \qquad & v_3 \cdot \partial_\xi F^{bb}_2 - \big[ B(\mathfrak{M}^0, F^{bb}_2) + B(F^{bb}_2, \mathfrak{M}^0) \big] \\ & = B(F^0_1 + F^{b, 0}_1, F^{bb}_1) + B(F^{bb}_1, F^0_1 + F^{b, 0}_1) + B(F^{bb}_1, F^{bb}_1)\,, \\ ...... &\\ \sqrt{\varepsilon}^k :\qquad & v_3 \cdot \partial_\xi F^{bb}_{k+2} - \big[ B(\mathfrak{M}^0, F^{bb}_{k+2}) + B(F^{bb}_{k+2}, \mathfrak{M}^0) \big] \\ &\quad+\eta \sum_{\substack{i+2l+j=k\,, \\ 0\leq l\leq N, i\geq 0, j\geq 1}}\frac{\xi^l}{l!}\nabla_{\overline{x}} \phi^{(l)}_i\nabla _{\overline{v}} F^{bb}_j+\eta \sum_{\substack{i+2l+j=k+2\,, \\ 0\leq l\leq N, i\geq 0, j\geq 1}}\frac{\xi^l}{l!} \partial_{\xi} \phi^{(l)}_i p _{v_3} F^{bb}_j\\ &\quad+\eta \sum_{\substack{i+2l+j=k\,, \\ 0\leq l\leq N, i\geq 1, j\geq 0}}\frac{\xi^l}{l!}\nabla_{\bar{x}} \phi^{bb}_i\nabla_{\bar{v}} F^{(l)}_j+\eta \sum_{\substack{i+j=k\,, \\ i, j\geq 1}}\nabla_{\bar{x}} \phi^{bb}_i\nabla_{\bar{v}} F^{bb}_j+\eta \sum_{\substack{i+j=k+2\,, \\ i, j\geq 1}} \partial_\xi \phi^{bb}_i \partial_{v_3} F^{bb}_j\\ &\quad+\eta \sum_{\substack{i+2l+j=k+2\,, \\ 0\leq l\leq N, i\geq 1, j\geq 0}}\frac{\xi^l}{l!} \partial_\xi \phi^{bb}_i \partial_{v_3} F^{(l)}_j+\eta \sum_{\substack{i+2l+j=k+2\,, \\ 0\leq l\leq N, i\geq 1, j\geq 0}}\frac{\zeta^l}{l!} \partial_\xi \phi^{bb}_i \partial_{v_3} F^{b, (l)}_j\\ &\quad+\eta \sum_{\substack{i+2l+j=k\,, \\ 0\leq l\leq N, i\geq 0, j\geq 1}}\nabla_{\overline{x}} \phi^{bb}_i\nabla _{\overline{v}} (F^{b, (l)}_j\frac{\xi^l}{l!})+\eta \sum_{\substack{i+2l+j=k\,, \\ 0\leq l\leq N, i\geq 0, j\geq 1}}\nabla_{\overline{x}} (\frac{\zeta^l}{l!}\phi^{b, (l)}_i)\nabla _{\overline{v}} F^{bb}_j\\ &= - \big\{ \partial_t + \bar{v} \cdot \nabla_{\bar{x}} \big\} F^{bb}_k + \sum_{\substack{j+2l=k+2\,, \\ 1 \le l \le N, j\ge 1}} \frac{\xi^l}{l!} \big[ B(\mathfrak{M}^{(l)}, F^{bb}_j) + B(F^{bb}_j, \mathfrak{M}^{(l)})\big] \\ &\quad + \sum_{\substack{i+j=k+2\,, \\ i, j\ge 1}} \big[ B(F^0_i + F^{b, 0}_i, F^{bb}_j) + B(F^{bb}_j, F^0_i + F^{b, 0}_i) + B(F^{bb}_i, F^{bb}_j) \big] \\ & \quad+ \sum_{\substack{i+2l+j=k+2\,, \\1\le l \le N, i, j\ge 1}} \frac{\xi^l}{l!} \big[ B(F^{(l)}_i, F^{bb}_j) + B(F^{bb}_j, F^{(l)}_i)\big] \\ & \quad+ \sum_{\substack{i+2l+j=k+2\,, \\1\le l \le N, i, j\ge 1}} \frac{\xi^l}{l!} \big[ B(F^{b, (l)}_i, F^{bb}_j) + B(F^{bb}_j, F^{b, (l)}_i)\big]\,.\end{aligned}$

将 $\phi_\varepsilon + \phi^b_\varepsilon + \phi^{bb}_\varepsilon$ 带入 (1.1) 式, 得

$ \begin{align*} \sqrt{\varepsilon}^{-4} :\qquad & \partial^2_{\xi\xi}\phi^{bb}_0=0\,, \\ \sqrt{\varepsilon}^{-3} :\qquad & \partial^1_{\xi\xi}\phi^{bb}_1=0\,, \\ \sqrt{\varepsilon}^{-2} :\qquad & \partial^2_{\xi\xi}\phi^{bb}_2=0\,, \\ \sqrt{\varepsilon}^{-1} :\qquad & \partial^2_{\xi\xi}\phi^{bb}_3=0\,, \\ \sqrt{\varepsilon}^{0} :\qquad & \partial^2_{\xi\xi}\phi^{bb}_4+\Delta_{\bar{x}}\phi^{bb}_0=\eta \int_{ \mathbb{R}^3}F^{bb}_0 d v=0\,, \\ ...... &\\ \sqrt{\varepsilon}^{k} :\qquad & \partial^2_{\xi\xi}\phi^{bb}_{k+4}+\Delta_{\bar{x}}\phi^{bb}_{k}=\eta \int_{ \mathbb{R}^3}F^{bb}_k d v\,.\end{align*}$

这里 $F^b_i$, $\phi^b_i$ 在 $\zeta = 0$ 处的泰勒展开为

$ \begin{equation*} \begin{aligned} F_i^b = F_i^{b, 0} + \sum_{1 \leq l \leq N} \tfrac{\zeta^l}{l!} F_i^{b, (l)} + \tfrac{\zeta^{N+1}}{(N+1)!} \widetilde{F}_i^{b, (N+1)} \,, \end{aligned}\end{equation*}$

$\begin{equation*} \begin{aligned} \phi_i^b = \phi_i^{b, 0} + \sum_{1 \leq l \leq N} \tfrac{\zeta^l}{l!} \phi_i^{b, (l)} + \tfrac{\zeta^{N+1}}{(N+1)!} \widetilde{\phi}_i^{b, (N+1)} \,. \end{aligned} \end{equation*}$

与粘性层类似, 令 $f^{bb}_k = \tfrac{F^{bb}_k}{\mathfrak{M}^0}$, 则 (2.17) 式可以写成

$v_{3} \partial_{\xi} f_{k}^{b b}+\mathcal{L} f_{k}^{b b}=S_{k}^{b b}, \quad k \geq 1,$

这里 $S^{bb}_k = S^{bb}_{k, 1} + S^{bb}_{k, 2}$ 有

$ \begin{align*}\label{Sbb_k} S^{bb}_{k, 1} =& - \mathcal{P}^0 \Big\{ \frac{( \partial_t + \bar{v} \cdot \nabla_{\bar{x}}) F^{bb}_{k-2}}{\mathfrak{M}^0}+ \eta \sum_{\substack{i+2l+j=k\,, \\ 0\leq l\leq N, i\geq 0, j\geq 1}}\frac{\xi^l}{l!}\nabla_{\overline{x}} \phi^{(l)}_i\nabla _{\overline{v}} F^{bb}_j\\&+\eta \sum_{\substack{i+2l+j=k+2\,, \\ 0\leq l\leq N, i\geq 0, j\geq 1}}\frac{\xi^l}{l!} \partial_{\xi} \phi^{(l)}_i p _{v_3} F^{bb}_j+\eta \sum_{\substack{i+2l+j=k\,, \\ 0\leq l\leq N, i\geq 1, j\geq 0}}\frac{\xi^l}{l!}\nabla_{\bar{x}} \phi^{bb}_i\nabla_{\bar{v}} F^{(l)}_j\\ &+\eta \sum_{\substack{i+j=k\,, \\ i, j\geq 1}}\nabla_{\bar{x}} \phi^{bb}_i\nabla_{\bar{v}} F^{bb}_j+\eta \sum_{\substack{i+j=k+2\,, \\ i, j\geq 1}} \partial_\xi \phi^{bb}_i \partial_{v_3} F^{bb}_j\\ &+\eta \sum_{\substack{i+2l+j=k+2\,, \\ 0\leq l\leq N, i\geq 1, j\geq 0}}\frac{\xi^l}{l!} \partial_\xi \phi^{bb}_i \partial_{v_3} F^{(l)}_j+\eta \sum_{\substack{i+2l+j=k+2\,, \\ 0\leq l\leq N, i\geq 1, j\geq 0}}\frac{\zeta^l}{l!} \partial_\xi \phi^{bb}_i \partial_{v_3} F^{b, (l)}_j\\ &+\eta \sum_{\substack{i+2l+j=k\,, \\ 0\leq l\leq N, i\geq 0, j\geq 1}}\nabla_{\overline{x}} \phi^{bb}_i\nabla _{\overline{v}} (F^{b, (l)}_j\frac{\xi^l}{l!})+\eta \sum_{\substack{i+2l+j=k\,, \\ 0\leq l\leq N, i\geq 0, j\geq 1}}\nabla_{\overline{x}} (\frac{\zeta^l}{l!}\phi^{b, (l)}_i)\nabla _{\overline{v}} F^{bb}_j \Big\} \in \mathcal{N}^0 \,, \\ S^{bb}_{k, 2} = & \sum_{\substack{j+2l=k\,, \\ 1 \le l \le N, j\ge 1}} \frac{\xi^l}{l!} \frac{1}{\mathfrak{M}^0} \big[ B(\mathfrak{M}^{(l)}, \mathfrak{M}^0 f^{bb}_j) + B(\mathfrak{M}^0 f^{bb}_j, \mathfrak{M}^{(l)})\big] \\ & + \sum_{\substack{i+j=k\,, \\ i, j\ge 1}} \frac{1}{\mathfrak{M}^0} \big[ B(F^0_i + F^{b, 0}_i, \mathfrak{M}^0 f^{bb}_j) + B(\mathfrak{M}^0 f^{bb}_j, F^0_i + F^{b, 0}_i)\big] \\ & + \sum_{\substack{i+2l+j=k\,, \\1\le l \le N, i, j\ge 1}} \frac{\xi^l}{l!} \frac{1}{\mathfrak{M}^0} \big[ B(F^{(l)}_i, \mathfrak{M}^0 f^{bb}_j) + B(\mathfrak{M}^0 f^{bb}_j, F^{(l)}_i)\big] \\ & + \sum_{\substack{i+2l+j=k\,, \\1\le l \le N, i, j\ge 1}} \frac{\xi^l}{l!} \frac{1}{\mathfrak{M}^0} \big[ B(F^{b, (l)}_i, \mathfrak{M}^0 f^{bb}_j) + B(\mathfrak{M}^0 f^{bb}_j, F^{b, (l)}_i)\big] \\ & + \sum_{\substack{i+j=k\,, \\ i, j\ge 1}} \frac{1}{\mathfrak{M}^0} B(\mathfrak{M}^0 f^{bb}_i, \mathfrak{M}^0 f^{bb}_j) - (\mathcal{I} - \mathcal{P}^0) \Big\{ \frac{\{ \partial_t + \bar{v} \cdot \nabla_{\bar{x}} \} F^{bb}_{k-2}}{\mathfrak{M}^0}\\ &+\eta \sum_{\substack{i+2l+j=k\,, \\ 0\leq l\leq N, i\geq 0, j\geq 1}}\frac{\xi^l}{l!}\nabla_{\overline{x}} \phi^{(l)}_i\nabla _{\overline{v}} F^{bb}_j+\eta \sum_{\substack{i+2l+j=k+2\,, \\ 0\leq l\leq N, i\geq 0, j\geq 1}}\frac{\xi^l}{l!} \partial_{\xi} \phi^{(l)}_i p _{v_3} F^{bb}_j \\ &+\eta \sum_{\substack{i+2l+j=k\,, \\ 0\leq l\leq N, i\geq 1, j\geq 0}}\frac{\xi^l}{l!}\nabla_{\bar{x}} \phi^{bb}_i\nabla_{\bar{v}} F^{(l)}_j+\eta \sum_{\substack{i+j=k\,, \\ i, j\geq 1}}\nabla_{\bar{x}} \phi^{bb}_i\nabla_{\bar{v}} F^{bb}_j+\eta \sum_{\substack{i+j=k+2\,, \\ i, j\geq 1}} \partial_\xi \phi^{bb}_i \partial_{v_3} F^{bb}_j\\ &+\eta \sum_{\substack{i+2l+j=k+2\,, \\ 0\leq l\leq N, i\geq 1, j\geq 0}}\frac{\xi^l}{l!} \partial_\xi \phi^{bb}_i \partial_{v_3} F^{(l)}_j+\eta \sum_{\substack{i+2l+j=k+2\,, \\ 0\leq l\leq N, i\geq 1, j\geq 0}}\frac{\zeta^l}{l!} \partial_\xi \phi^{bb}_i \partial_{v_3} F^{b, (l)}_j\\ &+\eta \sum_{\substack{i+2l+j=k\,, \\ 0\leq l\leq N, i\geq 0, j\geq 1}}\nabla_{\overline{x}} \phi^{bb}_i\nabla _{\overline{v}} (F^{b, (l)}_j\frac{\xi^l}{l!})+\eta \sum_{\substack{i+2l+j=k\,, \\ 0\leq l\leq N, i\geq 0, j\geq 1}}\nabla_{\overline{x}} (\frac{\zeta^l}{l!}\phi^{b, (l)}_i)\nabla _{\overline{v}} F^{bb}_j\Big\} \in (\mathcal{N}^0)^\bot \,.\end{align*}$

这里 $F^{bb}_{-1} = F^{bb}_0=0 $, 有

$ \begin{align*} S^{bb}_1 = S^{bb}_{1, 1} = S^{bb}_{1, 2} =0\,, \ S^{bb}_{2, 1} = \mathcal{P}^0 S^{bb}_2 =0 \,.\end{align*}$

引理 2.1^[2] 我们假设

$S_{k, 1}^{b b}=\left\{a_{k}+b_{k} \cdot\left(v-\mathfrak{u}^{0}\right)+c_{k}\left|v-\mathfrak{u}^{0}\right|^{2}\right\} \mathfrak{M}^{0},$

满足

$ \begin{align*} \displaystyle\lim_{\xi \to \infty} e^{\eta \xi} |(a_k, b_k, c_k) (t, \bar{x}, \xi)| = 0\,, \end{align*}$

对于 $\eta > 0$. 存在函数

$f_{k, 1}^{b b}=\left\{\Psi_{k} v_{3}+\Phi_{k, 1} v_{3}\left(v_{1}-\mathfrak{u}_{1}^{0}\right)+\Phi_{k, 2} v_{3}\left(v_{2}-\mathfrak{u}_{2}^{0}\right)+\Phi_{k, 3}+\Theta_{k} v_{3}\left|v-\mathfrak{u}^{0}\right|^{2}\right\} \mathfrak{M}^{0},$

使得

$ \begin{equation*} \begin{aligned} v_3 \partial_\xi f^{bb}_{k, 1} - S^{bb}_{k, 1} \in (\mathcal{N}^0)^\bot \,, \end{aligned} \end{equation*}$

这里

(2.18) $\begin{array}{l}\Psi_{k}(t, \bar{x}, \xi)=-\int_{\xi}^{+\infty}\left(\frac{2}{T^{0}} a_{k}+3 c_{k}\right)(t, \bar{x}, s) \mathrm{d} s, \\\Phi_{k, i}(t, \bar{x}, \xi)=-\int_{\xi}^{+\infty} \frac{1}{T^{0}} b_{k, i}(t, \bar{x}, s) \mathrm{d} s, i=1,2 \\\Phi_{k, 3}(t, \bar{x}, \xi)=-\int_{\xi}^{+\infty} b_{k, 3}(t, \bar{x}, s) \mathrm{d} s \\\Theta_{k}(t, \bar{x}, \xi)=\frac{1}{5\left(T^{0}\right)^{2}} \int_{\xi}^{+\infty} a_{k}(t, \bar{x}, s) \mathrm{d} s\end{array}$

此外, 有

$ \begin{equation*} \begin{aligned} & |v_3 \partial_\xi f^{bb}_{k, 1} - S^{bb}_{k, 1}| \leq C |(a_k, b_k, c_k) (t, \bar{x}, \xi)| \langle v \rangle^4 \mathfrak{M}^0 \,, \\ & |f^{bb}_{k, 1} (t, \bar{x}, \xi, v)| \leq C \langle v \rangle^3 \mathfrak{M}^0 \int_\xi^\infty |(a_k, b_k, c_k)| \to 0\,, \quad \xi \to \infty \,. \end{aligned} \end{equation*}$

容易得到 $a_1 = a_2 =0 $, $ b_1 =b_2=0$, $c_1 =c_2 =0$, $\Psi_1=\Psi_2 =0\,, \ \Phi_{1, i} = \Phi_{2, i} =0 \ (i = 1, 2, 3)$ 且 $ \Theta_1 = \Theta_2=0$.

这里定义 $f^{bb}_{k, 2} = f^{bb}_k - f^{bb}_{k, 1}$. 我们有

(2.19) $ \begin{equation}\label{2.19} \begin{aligned} &v_3 \partial_\xi f^{bb}_{k, 2} + L f^{bb}_{k, 2} = S^{bb}_{k, 2} - (v_3 \partial_\xi f^{bb}_{k, 1} - S^{bb}_{k, 1} ) \in (\mathcal{N}^0)^\bot \,, \\ &\displaystyle\lim_{\xi \to \infty} f^{bb}_{k, 2} (t, \bar{x}, \xi, v) = 0 \,. \end{aligned}\end{equation}$

(2.19) 式边界条件为

(2.20) $ \begin{equation}\label{2.20} \begin{aligned} f^{bb}_{k, 2} (t, \bar{x}, 0, \bar{v}, v_3) |_{v_3 > 0} = f^{bb}_{k, 2} (t, \bar{x}, 0, \bar{v}, - v_3) + \mathrm{f}_k (t, \bar{x}, \bar{v}, - v_3)\,, \end{aligned}\end{equation}$

对于函数 $\mathrm{f}_k (t, \bar{x}, \bar{v}, v_3)$ 只定义在 $v_3 < 0$, 对于 $v_3 > 0$ 为 0, 文献^[11] 证明了 (2.19)-(2.20) 的可解性条件是

(2.21) $\int_{\mathbb{R}^{3}}\left(\begin{array}{c}1 \\\bar{v}-\overline{\mathfrak{u}}^{0} \\\left|v-\mathfrak{u}^{0}\right|^{2}\end{array}\right) v_{3} \mathrm{f}_{k}(t, \bar{x}, v) \mathfrak{M}^{0} \mathrm{~d} v \equiv 0 .$

2.4 Maxwell 反射边界条件展开

为了给出合适的边界条件, 使得内部, 粘性层和 Knudsen 层是适定的, 将 $F_\varepsilon + F^b_\varepsilon + F^{bb}_\varepsilon$ 的展开带入到 Maxwell 边界条件 (1.3) 中, 使用 Knudsen 层方程 (2.19)-(2.20) 的可解性条件 (2.21), 有

(2.22) $ \begin{equation}\label{2.22} \begin{aligned} \sqrt{\varepsilon}^0 : & \quad L^R \mathfrak{M} = 0 \,, \\ \sqrt{\varepsilon}^1 : & \quad L^R (F_1 + F_1^b + F_1^{bb}) = L^D \mathfrak{M} \,, \\ \cdots & \cdots \\ \sqrt{\varepsilon}^k : & \quad L^R (F_k + F^b_k + F^{bb}_k ) = L^D (F_{k-1} + F^b_{k-1} + F^{bb}_{k-1}), \quad k \geq 2 \,, \end{aligned}\end{equation}$

算子 $L^R$ 和 $L^D$ 分别定义为

$ \begin{equation*} \begin{aligned} L^R F = (\gamma_- - L \gamma_+ ) F \,, \quad L^D F = \sqrt{2 \pi} (K \gamma_+ - L \gamma_+ ) F \,. \end{aligned}\end{equation*}$

将 $\phi_\varepsilon+\phi^b_\varepsilon+\phi^{bb}_\varepsilon$ 带入 $\left.\frac{\partial \phi_{\varepsilon}}{\partial n}\right|_{\partial \Omega}=0$

$\begin{aligned}\sqrt{\varepsilon}^{0}: & \left.\frac{\partial \phi_{0}}{\partial n}\right|_{\partial \Omega}=\left.\left(\partial_{\zeta} \phi_{1}^{b}+\partial_{\xi} \phi_{2}^{b b}\right)\right|_{\partial \Omega}, \\\sqrt{\varepsilon}^{1}: & \left.\frac{\partial \phi_{1}}{\partial n}\right|_{\partial \Omega}=\left.\left(\partial_{\zeta} \phi_{2}^{b}+\partial_{\xi} \phi_{3}^{b b}\right)\right|_{\partial \Omega}, \\& \ldots \ldots \\\sqrt{\varepsilon}^{k} & :\left.\quad \frac{\partial \phi_{k}}{\partial n}\right|_{\partial \Omega}=\left.\left(\partial_{\zeta} \phi_{k+1}^{b}+\partial_{\xi} \phi_{k+2}^{b b}\right)\right|_{\partial \Omega},\end{aligned}$

事实上, (2.22) 式的 $\sqrt{\varepsilon}^0$ 阶可以推出可压缩 Euler-Poisson 方程 (2.5) 的滑动边界条件 $\left.\mathfrak{u} \cdot n\right|_{\partial \mathbb{R}_{+}^{3}}=0$. 由

$ \begin{equation*} \begin{aligned} f_k = \tfrac{F_k}{\mathfrak{M}^0} \,, \ f^b_k = \tfrac{F^b_k}{\mathfrak{M}^0} \,, \ f^{bb}_k = \tfrac{F^{bb}_k}{\mathfrak{M}^0} \,, \ f^{bb}_{k, 2} = f^{bb}_k - f^{bb}_{k, 1}\,. \end{aligned}\end{equation*}$

对 $k \geq 1$, 这里 $f^{bb}_{k, 1}$ 由引理 2.1 给出, 通过直接计算和 (2.22) 式, 函数 $\mathrm{f}_k (t, \bar{x}, \bar{v}, v_3)$ ($k \geq 1$) 如下

(2.23) $ \begin{equation}\label{2.23} \begin{aligned} \mathrm{f}_k (t, \bar{x}, \bar{v}, v_3) = \left\{ \begin{array}{l} 0\,, \qquad \textrm{当 } v_3 >0\,, \\ [1.5mm] (f_k + f^b_k + f^{bb}_{k, 1})(t, \bar{x}, 0, \bar{v}, v_3) - (f_k + f^b_k + f^{bb}_{k, 1}) (t, \bar{x}, 0, \bar{v}, -v_3) \\ \qquad + \sqrt{2\pi} \big\{ \big[ \langle \gamma_+ (f_{k-1} + f^b_{k-1} + f^{bb}_{k-1}) \rangle_{\partial \mathbb{R}^3_+} \mathfrak{M}^0 \big] \\ \qquad \qquad \qquad \quad - (f_{k-1} + f^b_{k-1} + f^{bb}_{k-1}) \big\} (t, \bar{x}, 0, \bar{v}, v_3)\,, \ \textrm{当} v_3 <0\,, \end{array} \right. \end{aligned}\end{equation}$

这里 $\langle \gamma_+ f \rangle_{\partial \mathbb{R}^3_+}$ 为

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \langle \gamma_+ f\rangle_{\partial \mathbb{R}^3_+} = \sqrt{2\pi} \tfrac{M_w (v)}{\mathfrak{M}^0} \int_{v \cdot n(x)>0} v \cdot n(x) (\gamma_+ f)\mathfrak{M}^0 d v\,, \end{aligned}\end{equation*}$

这里 $f_0 = \mathfrak{M}$, $f^b_0 = f^{bb}_0 = 0$, 我们有如下引理

引理 2.2 令 (1.3) 式中墙壁的局部 Maxwell 函数为 $M_w = \frac{1}{\sqrt{2\pi}^3}e^{-\frac{|v|^2}{2}}$, $\mathrm{f}_k (t, \bar{x}, \bar{v}, v_3)$ 由 (2.23) 式给出. 则由 Knudsen 层方程 (2.19)-(2.20) 的可解性条件 (2.21) 得出, 对于 $k \geq 1$, 线性双曲-椭圆系统 (2.44) 满足如下的滑动边界条件

(2.24) $ \begin{equation}\label{2.24} \begin{aligned} & u_{k, 3} (t, \bar{x}, 0) = - u^b_{k, 3} (t, \bar{x}, 0) - T^0 (\Psi_k + 5T^0 \Theta_k) (t, \bar{x}, 0)\,, \end{aligned} \end{equation}$

对于 $k \geq 2$, 线性 Prandtl 型方程 (2.41) 满足如下的 Robin 型边界条件

(2.25) $ \begin{equation}\label{2.25} \left\{ \begin{array}{l} \big( \partial_\zeta u^b_{k-1, i} - \tfrac{ \chi \rho^0 \sqrt{T^0})}{\mu(T^0)} u^b_{k-1, i} \big) (t, \bar{x}, 0) = \Lambda^b_{k-1, i} (t, \bar{x}), \quad i=1, 2\,, \\[1.5mm] \big( \partial_\zeta \theta^b_{k-1} - \tfrac{\chi \rho^0}{\kappa (T^0)} (4 + |\bar{u}^0|^2 + \tfrac{1}{3} \sqrt{T^0}) \theta^b_{k-1} \big) (t, \bar{x}, 0) = \Lambda^b_{k-1, \theta} (t, \bar{x})\,, \end{array} \right. \end{equation}$

其中, $\Psi_k$ 和 $\Theta_k$ 在方程 (2.18) 中给出, 且

$ \begin{aligned}\Lambda_{k-1, i}^{b}(t, \bar{x})= & \frac{\chi \sqrt{T^{0}} u_{i}^{0}}{\mu\left(T^{0}\right)} \rho_{k-1}^{b}(t, \bar{x}, 0)+\frac{1}{\mu\left(T^{0}\right)}\left\{\rho^{0}\left[\left(u_{1, i}+u_{1, i}^{b}\right) u_{k-1,3}^{b}\right]\right. \\& \left.+T^{0}\left\langle\mathcal{A}_{3 i}^{0}, J_{k-2}^{b}+\left(\mathcal{I}-\mathcal{P}_{0}\right) f_{k}\right\rangle+\rho^{0}\left(T^{0}\right)^{2} \Phi_{k, i}\right\}(t, \bar{x}, 0) \\& -\frac{\sqrt{2 \pi} \chi}{\mu\left(T^{0}\right)} \int_{\mathbb{R}^{2}} \int_{-\infty}^{0} v_{i} v_{3}\left[\left(\mathcal{I}-\mathcal{P}_{0}\right)\left(f_{k-1}+f_{k-1}^{b}\right)+f_{k-1}^{b b}\right]\left(t, \bar{x}, 0, \bar{v}, v_{3}\right) \mathfrak{M}^{0} \mathrm{~d} \bar{v} \mathrm{~d} v_{3} \\& +\frac{\chi \sqrt{T^{0}}}{\mu\left(T^{0}\right)}\left(\rho_{k-1} u_{i}^{0}+\rho^{0} u_{k-1, i}\right)(t, \bar{x}, 0)-\frac{\sqrt{2 \pi} \chi}{2 \mu\left(T^{0}\right)} \rho^{0} u_{i}^{0}\left(u_{k-1,3}+u_{k-1,3}^{b}\right)(t, \bar{x}, 0),\end{aligned}$

且

$\begin{aligned}\Lambda_{k-1, \theta}^{b}(t, \bar{x})= & \frac{2\left(T^{0}\right)^{\frac{3}{2}}}{\kappa\left(T^{0}\right)}\left\langle\mathcal{B}_{3}^{0},\left(\mathcal{I}-\mathcal{P}_{0}\right) f_{k}+J_{k-2}^{b}\right\rangle(t, \bar{x}, 0)+\frac{5}{3 \kappa\left(T^{0}\right)} \rho^{0}\left[\left(\theta_{1}+\theta_{1}^{b}\right) u_{k-1,3}^{b}\right](t, \bar{x}, 0) \\& +\frac{1}{\kappa}\left\{10 \rho^{0}\left(T^{0}\right)^{3} \Theta_{k}-\chi\left(4+\left|\bar{u}^{0}\right|^{2}-4 T^{0}\right) \sqrt{T^{0}}\left(\rho^{0}+\frac{1}{T^{0}} p_{k-1}^{b}\right)\right\}(t, \bar{x}, 0) \\& +\frac{1}{\kappa\left(T^{0}\right)}\left\{6 \chi \sqrt{T^{0}} \theta_{k-1}+\frac{1}{2} \sqrt{2 \pi} \chi \rho^{0} T^{0}\left(5 T^{0}-4-\left|\bar{u}^{0}\right|^{2}\right)\left(\Psi_{k}+5 T^{0} \Theta_{k}\right)\right\}(t, \bar{x}, 0) \\& -\frac{\sqrt{2 \pi}}{\kappa\left(T^{0}\right)} \int_{\mathbb{R}^{2}} \int_{-\infty}^{0} v_{3}\left(|\bar{v}|^{2}-2 \bar{u}^{0} \cdot \bar{v}+v_{3}^{2}-4\right)\left[\left(\mathcal{I}-\mathcal{P}_{0}\right)\left(f_{k-1}+f_{k-1}^{b}\right)\right. \\& \left.+f_{k-1}^{b b}\right]\left(t, \bar{x}, 0, \bar{v}, v_{3}\right) \mathfrak{M}^{0} \mathrm{~d} \bar{v} \mathrm{~d} v_{3} .\end{aligned}$

特别地, 取 $k=1$ 时, 有 $u_{1, 3}^0=0$. 此外, 如果将 Maxwell 反射边界条件 (1.3) 替换为镜面反射边界条件, 即令 $\alpha_\varepsilon = 0$, 则 Robin 型边界条件 (2.25) 将变为 Neumann 型边界条件, 详见文献 (2.25).

证引理 2.2 的证明我们将从可解性条件 (2.21) 推导我们的结论, 即,

$\int_{\mathbb{R}^{3}} v_{3} \mathrm{f}_{k}(t, \bar{x}, v)\left(\begin{array}{c}1 \\\left(\bar{v}-\overline{\mathfrak{u}}^{0}\right) \\\left|v-\mathfrak{u}^{0}\right|^{2}\end{array}\right) \mathfrak{M}^{0} \mathrm{~d} v=0$

其中 $\mathrm{f}_k (t, \bar{x}, v)$ 在 (2.23) 式中给出, 我们进行分解

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \mathrm{f}_k (t, \bar{x}, v) = \hat{g}_k (t, \bar{x}, v) + \mathrm{g}_k (t, \bar{x}, v) \,, \end{aligned} \end{equation*}$

这里, 对于 $v_3 < 0$,

$\begin{aligned}\hat{g}_{k}(t, \bar{x}, v) & =\left(f_{k}+f_{k}^{b}+f_{k, 1}^{b b}\right)\left(t, \bar{x}, 0, \bar{v}, v_{3}\right)-\left(f_{k}+f_{k}^{b}+f_{k, 1}^{b b}\right)\left(t, \bar{x}, 0, \bar{v},-v_{3}\right) \\\mathrm{g}_{k}(t, \bar{x}, v) & =\sqrt{2 \pi} \chi\left\{\left(\left\langle\gamma_{+}\left(f_{k-1}+f_{k-1}^{b}+f_{k-1}^{b b}\right)\right\rangle\right)_{\partial \mathbb{R}_{+}^{3}} \mathfrak{M}^{0}-\left(f_{k-1}+f_{k-1}^{b}+f_{k-1}^{b b}\right)\left(t, \bar{x}, 0, \bar{v}, v_{3}\right)\right\}\end{aligned}$

它们在 $v_3 > 0$ 时为 0, 我们指出, 在镜面反射边界条件的情况下, $\mathrm{g}_k (t, \bar{x}, v) \equiv 0$, 参见文献 [14].

首先,

$ 0=\int_{\mathbb{R}^{3}} v_{3} \mathrm{f}_{k}(t, \bar{x}, v) \mathfrak{M}^{0} \mathrm{~d} v=\int_{\mathbb{R}^{3}} v_{3} \hat{g}_{k}(t, \bar{x}, v) \mathfrak{M}^{0} \mathrm{~d} v+\int_{\mathbb{R}^{3}} v_{3} \mathrm{~g}_{k}(t, \bar{x}, v) \mathfrak{M}^{0} r \mathrm{~d} v$

根据文献 [14,第 2.4 节],

$\begin{aligned}& \int_{\mathbb{R}^{3}} v_{3} \hat{g}_{k}(t, \bar{x}, v) \mathfrak{M}^{0} \mathrm{~d} v \\= & \rho^{0}\left[u_{k, 3}^{0}+u_{k, 3}^{b, 0}+T^{0}\left(\Psi_{k}^{0}+5 T^{0} \Theta_{k}^{0}\right)\right] \\= & \rho^{0}\left\{u_{k, 3}^{0}+\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\rho^{0}}\left[\partial_{t} \rho_{k-1}^{b}+\operatorname{div}_{\bar{x}}\left(\rho^{0} \bar{u}_{k-1}^{b}+\rho_{k-1}^{b} \bar{u}^{0}\right)\right] \mathrm{d} \zeta+T^{0}\left(\Psi_{k}^{0}+5 T^{0} \Theta_{k}^{0}\right)\right\} .\end{aligned}$

由于 $M_w = \frac{1}{\sqrt{2\pi}^3}{\rm e}^{-\frac{|v|^2}{2}}$ 和 $\int_{ \mathbb{R}^2} \int_{- \infty}^0 v_3 M_w (v) d \bar{v} d v_3 = -\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$, 通过直接计算我们得到

$ \begin{equation*} \begin{aligned} & \int_{ \mathbb{R}^3} v_3 \mathrm{g}_k (t, \bar{x}, v) \mathfrak{M}^0 d v\\ & = \sqrt{2\pi}\chi\int_{ \mathbb{R}^2} \int_{-\infty}^0 v_3 M_\omega d \bar{v} d v_3 \int_{ \mathbb{R}^2} \int_{-\infty}^0 (-v_3) (f_{k-1} + f^b_{k-1} + f^{bb}_{k-1} )(t, \bar{x}, 0, \bar{v}, v_3) \mathfrak{M}^0 d \bar{v} d v_3\\ &\quad-\chi\int_{ \mathbb{R}^2} \int_{-\infty}^0 v_3 (f_{k-1} + f^b_{k-1} + f^{bb}_{k-1} )(t, \bar{x}, 0, \bar{v}, v_3) \mathfrak{M}^0 d \bar{v} d v_3\\ &=0\,. \end{aligned} \end{equation*}$

因此, 上述三个关系蕴含了 (2.24) 式, 并且通过令 $k=1$, (2.5) 式将自动成立.

其次, 对于 $i=1, 2$, 我们有

(2.26) $\begin{aligned}0 & =\int_{\mathbb{R}^{3}}\left(v_{i}-\mathfrak{u}_{i}^{0}\right) v_{3} \mathrm{f}_{k}(t, \bar{x}, v) \mathfrak{M}^{0} \mathrm{~d} v \\& =\int_{\mathbb{R}^{3}}\left(v_{i}-\mathfrak{u}_{i}^{0}\right) v_{3} \hat{g}_{k}(t, \bar{x}, v) \mathfrak{M}^{0} \mathrm{~d} v+\int_{\mathbb{R}^{3}}\left(v_{i}-\mathfrak{u}_{i}^{0}\right) v_{3} \mathrm{~g}_{k}(t, \bar{x}, v) \mathfrak{M}^{0} \mathrm{~d} v\end{aligned}$

如文献 [14] 所示, 结合 (2.5) 式, 我们有

(2.27) $\begin{aligned}& \int_{\mathbb{R}^{3}}\left(v_{i}-\mathfrak{u}_{i}^{0}\right) v_{3} \hat{g}_{k}(t, \bar{x}, v) \mathfrak{M}^{0} \mathrm{~d} v \\= & -\mu\left(T^{0}\right) \partial_{\zeta} u_{k-1, i}^{b}(t, \bar{x}, 0)+\rho^{0}\left[\left(u_{1, i}+u_{1, i}^{b}\right) u_{k-1,3}^{b}\right](t, \bar{x}, 0) \\& +T^{0}\left\langle\mathcal{A}_{3 i}^{0}, J_{k-2}^{b}+\left(\mathcal{I}-\mathcal{P}^{0}\right) f_{k}\right\rangle(t, \bar{x}, 0)+\rho^{0}\left(T^{0}\right)^{2}\left(\delta_{i 1} \Phi_{k, 1}+\delta_{i 2} \Phi_{k, 2}\right)(t, \bar{x}, 0) .\end{aligned}$

由于 $\sqrt{2 \pi} \int_{ \mathbb{R}^2} \int_{- \infty}^0 (v_i - u^0_i) v_3 M_w (v) d \bar{v} d v_3 = u^0_i$, 对于 $i = 1, 2$, 我们有

$ \begin{align*} & \int_{ \mathbb{R}^3} (v_i - u^0_i) v_3 \mathrm{g}_k (t, \bar{x}, v) \mathfrak{M}^0 d v\\ & = \chi \int_{ \mathbb{R}^2} \int_{- \infty}^0 (v_i - u^0_i) v_3 M_w (v) d \bar{v} d v_3 \int_{ \mathbb{R}^2} \int_{- \infty}^0 (- v_3) (f_{k-1} + f^b_{k-1} + f^{bb}_{k-1})\mathfrak{M}^0 d \bar{v} d v_3 \\ & \quad- \chi \int_{ \mathbb{R}^2} \int_{- \infty}^0 (v_i - u^0_i) v_3 (f_{k-1} + f^b_{k-1} + f^{bb}_{k-1}) \mathfrak{M}^0 d \bar{v} d v_3 \\ & = - \chi\int_{ \mathbb{R}^2} \int_{- \infty}^0 ( u^0_i) v_3 (f_{k-1} + f^b_{k-1} + f^{bb}_{k-1}) \mathfrak{M}^0 d \bar{v} d v_3 \\ & \quad- \chi\int_{ \mathbb{R}^2} \int_{- \infty}^0 (v_i - u^0_i) v_3 (f_{k-1} + f^b_{k-1} + f^{bb}_{k-1}) \mathfrak{M}^0 d \bar{v} d v_3\\ &= - \chi\int_{ \mathbb{R}^2} \int_{- \infty}^0 v_i v_3 (f_{k-1} + f^b_{k-1} + f^{bb}_{k-1}) \mathfrak{M}^0 d \bar{v} d v_3\,. \end{align*}$

注意到对于 $i = 1, 2$,

$ \begin{equation*} \begin{aligned} & \int_{ \mathbb{R}^2} \int_{-\infty}^0 v_i v_3 P (f_{k-1} + f_{k-1}^b) \mathfrak{M}^0 d \bar{v} d v_3\\ &= -\tfrac{\sqrt{T^0}}{\sqrt{2\pi}} \big[ (\rho_{k-1} + \rho^b_{k-1}) u^0_i + \rho^0 (u_{k-1, i} + u_{k-1, i}^b) \big] (t, \bar{x}, 0) + \tfrac{1}{2} \rho^0 u^0_i (u_{k-1, 3} + u^b_{k-1, 3}) (t, \bar{x}, 0)\,, \end{aligned} \end{equation*}$

$\int_{ \mathbb{R}^3} (v_i - u^0_i) v_3 \mathrm{g}_k (t, \bar{x}, v) \mathfrak{M}^0 d v $ 可以进一步计算为

(2.28) $\begin{equation}\label{2.28} \begin{aligned} & \int_{ \mathbb{R}^3} (v_i - u^0_i) v_3 \mathrm{g}_k (t, \bar{x}, v) \mathfrak{M}^0 d v \\ &= \tfrac{\chi\sqrt{T^0}}{\sqrt{2\pi}} \big[ (\rho_{k-1} + \rho^b_{k-1}) u^0_i + \rho^0 (u_{k-1, i} + u_{k-1, i}^b) \big] (t, \bar{x}, 0) - \tfrac{1}{2}\chi \rho^0 u^0_i (u_{k-1, 3} + u^b_{k-1, 3}) (t, \bar{x}, 0)\\ & \quad- \chi \int_{ \mathbb{R}^2} \int_{- \infty}^0 v_i v_3 [ (I - P)(f_{k-1} + f^b_{k-1}) + f^{bb}_{k-1}] \mathfrak{M}^0 d \bar{v} d v_3 \,. \end{aligned}\end{equation}$

将 (2.27) 和 (2.28) 式代入 (2.26) 式, 我们得到了 (2.25) 式的第一个边界条件.

最后

(2.29) $ \begin{equation}\label{2.29} \begin{aligned} 0 = & \int_{ \mathbb{R}^3} |v-u^0|^2 v_3 \mathrm{f}_k (t, \bar{x}, v) \mathfrak{M}^0 d v \\ = & \int_{ \mathbb{R}^3} |v-u^0|^2 v_3 \hat{g}_k (t, \bar{x}, v) \mathfrak{M}^0 d v + \int_{ \mathbb{R}^3} |v-u^0|^2 v_3 \mathrm{g}_k (t, \bar{x}, v) \mathfrak{M}^0d v. \end{aligned} \end{equation}$

如文献 [14,第 2.4 节] 中所计算的,

(2.30) $\begin{aligned}& \int_{\mathbb{R}^{3}}\left|v-\mathfrak{u}^{0}\right|^{2} v_{3} \hat{g}_{k}(t, \bar{x}, v) \mathfrak{M}^{0} \mathrm{~d} v \\= & -\kappa\left(T^{0}\right) \partial_{\zeta} \theta_{k-1}^{b}(t, \bar{x}, 0)+2\left(T^{0}\right)^{\frac{3}{2}}\left\langle\mathcal{B}_{3}^{0},\left(\mathcal{I}-\mathcal{P}_{0}\right) f_{k}+J_{k-2}^{b}\right\rangle(t, \bar{x}, 0) \\& +\frac{5}{3} \rho^{0}\left[\left(\theta_{1}+\theta_{1}^{b}\right) u_{k-1,3}^{b}\right](t, \bar{x}, 0)+10 \rho^{0}\left(T^{0}\right)^{3} \Theta_{k}(t, \bar{x}, 0) .\end{aligned}$

由于 $M_w = \frac{1}{\sqrt{2\pi}^3}{\rm e}^{-\frac{|v|^2}{2}}$ 和

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \int_{ \mathbb{R}^2} \int_{-\infty}^0 v_3 |v - u^0|^2 M_w (v) d \bar{v} d v_3 = - 4-|u^0|^2\,, \end{aligned} \end{equation*}$

我们得到

$ \begin{equation*} \begin{aligned} & \int_{ \mathbb{R}^3} |v-u^0|^2 v_3 \mathrm{g}_k (t, \bar{x}, v) \mathfrak{M}^0d v\\ &= \chi \int_{ \mathbb{R}^2} \int_{-\infty}^0 v_3 |v - u^0|^2 M_w (v) d \bar{v} d v_3 \times \int_{ \mathbb{R}^2} \int_{-\infty}^0 (- v_3) (f_{k-1} + f_{k-1}^b + f_{k-1}^{bb}) \mathfrak{M}^0d \bar{v} d v_3 \\ & \quad- \chi \int_{ \mathbb{R}^2} \int_{-\infty}^0 v_3 |v - u^0|^2 (f_{k-1} + f_{k-1}^b + f_{k-1}^{bb}) \mathfrak{M}^0d \bar{v} d v_3 \\ & = - \chi \int_{ \mathbb{R}^2} \int_{-\infty}^0 v_3 ( |v - u^0|^2 - 4-|u^0|^2 ) (f_{k-1} + f_{k-1}^b + f_{k-1}^{bb}) \mathfrak{M}^0d \bar{v} d v_3 \,. \end{aligned} \end{equation*}$

直接计算可得

$\begin{aligned}& \int_{\mathbb{R}^{2}} \int_{-\infty}^{0} v_{3}\left(\left|v-\mathfrak{u}^{0}\right|^{2}-4-\left|\mathfrak{u}^{0}\right|^{2}\right) \mathcal{P}\left(f_{k-1}+f_{k-1}^{b}\right) \mathfrak{M}^{0} \mathrm{~d} \bar{v} \mathrm{~d} v_{3} \\= & -\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \rho^{0}\left(4+\left|\bar{u}^{0}\right|^{2}+\frac{1}{3} \sqrt{T^{0}}\right) \theta_{k-1}^{b}(t, \bar{x}, 0)+\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\left(4+\left|\bar{u}^{0}\right|^{2}-4 T^{0}\right) \sqrt{T^{0}}\left(\rho_{k-1}+\frac{1}{T^{0}} p_{k-1}^{b}\right)(t, \bar{x}, 0) \\- & \frac{6}{\sqrt{2 \pi}} \rho^{0} \sqrt{T^{0}} \theta_{k-1}(t, \bar{x}, 0)-\frac{1}{2} \rho^{0} T^{0}\left(5 T^{0}-4-\left|\bar{u}^{0}\right|^{2}\right)\left(\Psi_{k}+5 T^{0} \Theta_{k}\right)(t, \bar{x}, 0) .\end{aligned}$

因此, 我们得到

(2.31) $\begin{aligned}& \int_{\mathbb{R}^{3}}\left|v-\mathfrak{u}^{0}\right|^{2} v_{3} \mathrm{~g}_{k}(t, \bar{x}, v) \mathfrak{M}^{0} \mathrm{~d} v \\= & \chi \rho^{0}\left(4+\left|\bar{u}^{0}\right|^{2}+\frac{1}{3} \sqrt{T^{0}}\right) \theta_{k-1}^{b}(t, \bar{x}, 0)-\chi\left(4+\left|\bar{u}^{0}\right|^{2}-4 T^{0}\right) \sqrt{T^{0}}\left(\rho_{k-1}+\frac{1}{T^{0}} p_{k-1}^{b}\right)(t, \bar{x}, 0) \\& +6 \chi \rho^{0} \sqrt{T^{0}} \theta_{k-1}(t, \bar{x}, 0)+\frac{1}{2} \sqrt{2 \pi} \chi \rho^{0} T^{0}\left(5 T^{0}-4-\left|\bar{u}^{0}\right|^{2}\right)\left(\Psi_{k}+5 T^{0} \Theta_{k}\right)(t, \bar{x}, 0) \\& -\sqrt{2 \pi} \chi \int_{\mathbb{R}^{2}} \int_{-\infty}^{0} v_{3}\left(|\bar{v}|^{2}-2 \bar{u}^{0} \cdot \bar{v}+v_{3}^{2}-4\right)\left[\left(\mathcal{I}-\mathcal{P}_{0}\right)\left(f_{k-1}+f_{k-1}^{b}\right)\right. \\& \left.+f_{k-1}^{b b}\right]\left(t, \bar{x}, 0, \bar{v}, v_{3}\right) \mathfrak{M}^{0} \mathrm{~d} \bar{v} \mathrm{~d} v_{3} .\end{aligned}$

因此, 通过使用 (2.24) 式, 将 (2.30)-(2.31) 式代入 (2.29) 式, 我们得到了 (2.25)式的第二个条件, 从而完成了引理 2.2 的证明.

2.5 边界层建立过程

这一节我们主要给出内部, 粘性层以及 Knudsen 边界层方程的解, 每一层之间相互关系以及具体的求解过程. 我们发现, 内部 $\phi$ 和 $F$ 是同阶求解的, 由于粘性层厚度为 $\sqrt{\varepsilon}$, 所以 $\phi^b$ 和 $F^b$ 是差 2 阶求解的, 而Knudsen 层厚度为 $\varepsilon$, 所以 $\phi^{bb}$ 和 $F^{bb}$ 是差 4 阶求解的, 不同步. 不难发现, 我们只需先求解出 $F^b_k$, $F^{bb}_k$, 则对应可以解出 $\phi^{b}_{k+2}$ 和 $\phi^{bb}_{k+4}$.

在开始归纳之前, 我们先求解 $\phi^b_0$ 和 $\phi^{bb}_0$和 $\phi^{bb}_1$. 我们首先考虑厚度为 $\varepsilon$ 的 Knudsen 边界层, 该边界层更窄. 根据动理学层中 $O({\sqrt{\varepsilon}}^{-4})$ 阶的项给出了

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \partial^2_{\xi\xi}\phi^{bb}_0 =0\,, \end{aligned}\end{equation*}$

通过结合边界条件 $\displaystyle\lim_{\xi \to \infty} \phi^{bb}_0=0 $, 从而得到 $\phi^{bb}_0 =0$, 同理, 我们有 $\phi^{bb}_1=0$.

然后我们求解 $\phi^b_0$, 首先, 从粘性层的 $O({\sqrt{\varepsilon}}^{-2})$ 阶项中, 我们有 $ \partial^2_{\zeta\zeta}\phi^b_{0}=0$.因此, 我们推断 $\phi^b_i$ 在 $\zeta \geq 0$ 上是线性增长的, 因为 $ \displaystyle\lim_{\zeta \to \infty} \phi^{b}_0=0$, 所以我们有 $\phi^b_0=0$.

归纳过程第 0 轮

现在我们开始归纳论证, 每一轮包括分别考虑动理学边界层、粘性边界层和内部项.

第 1 步 动理学边界层中的 $O(\sqrt{\varepsilon}^{-2})$ 阶项. Knudsen边界层$f^{bb}_{0}$的方程为

(2.32) $\left\{\begin{array}{l}v_{3} \cdot \partial_{\xi} f_{0}^{b b}+\mathcal{L} f_{0}^{b b}=0 \\L^{R} f_{0}^{b b}=-L^{R}\left(f_{0}+f_{0}^{b}\right) \\\lim _{\xi \rightarrow \infty} f_{0}^{b b}(t, \bar{x}, \xi, v)=0\end{array}\right.$

这里

$ \begin{equation*}\label{lr} \begin{aligned} L^R(f_0+f^b_0)=2(u_0+u^b_0)_3\cdot v_3\,, \end{aligned}\end{equation*}$

(2.32) 式的边界条件为

$ \begin{equation*} \int_{ \mathbb{R}^3} \left( \begin{array}{c} 1 \\ \bar{v} - \bar{u}^0 \\ |v - u^0|^2 \end{array} \right) v_3 L^R(f_0+f^b_0) d v \equiv 0 \,.\end{equation*}$

$f^{bb}_0$ 方程的可解性条件给出

$\begin{equation*} \begin{aligned} (u_0+u^b_0)\cdot n|_{\partial \mathbb{R}^3_+}=0\,. \end{aligned} \end{equation*}$

因此我们有 $f^{bb}_0\equiv 0$, 以及 $f^{b}_0=0$, 因此 $f_0$ 没有边界层.

Knudsen 边界层 $\phi^{bb}_{2}$ 方程为

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \partial^2_{\xi\xi}\phi^{bb}_2=0\,, \end{aligned}\end{equation*}$

通过结合边界条件 $\displaystyle\lim_{\xi \to \infty} \phi^{bb}_2=0 $, 我们有 $\phi^{bb}_2=0 $.

第 1 步后, 我们得到

• $f^{bb}_0=0$.

• $\phi^{bb}_2=0$.

第 2 步 粘性边界层中的 $O(\sqrt{\varepsilon}^{-1})$ 阶项. 接下来, 粘性边界层中 $O(\sqrt{\varepsilon}^{-1})$ 阶项给出

$ \begin{equation*} \begin{aligned} & \mathcal{L}^0 F^b_1= 0\,. \end{aligned}\end{equation*}$

所以 $F^b_1$ 只有流体部分, 形式为

$ \begin{align*} \frac{F^b_1}{\mathfrak{M}^0}:=B_0(U^b_1) = U^b_1\cdot V = \rho^b_1 + u^b_1\cdot v + \theta^b_1(\frac{|v|^2}{2} - \frac{3}{2}) \,.\end{align*}$

这里 $U^b_1=(\rho^b_1, u^b_1, \theta^b_1)$ 待定, 将在第 2 轮完全确定, $V=(1, v, \frac{|v|^2}{2} - \frac{3}{2})^T$.

粘性边界层 $\phi^b_1$ 的方程为

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \partial^2_{\zeta\zeta}\phi^b_1=0\,, \end{aligned}\end{equation*}$

通过结合边界条件 $\displaystyle \lim_{\zeta \to \infty} \phi^{b}_1=0$, 我们得到 $\phi^{b}_1=0$.

第 2 步后, 我们得到

• $f^{b}_1$ 的表达式.

• $\phi^{b}_1=0$.

第 3 步 在内部部分, 考虑 $O(\sqrt{\varepsilon}^{0})$ 阶项. 为了找到满足 ($\rho, u, \theta, \phi_0$) 的方程, 由内部部分的 $O(\sqrt{\varepsilon}^{-1})$ 阶项

$ \begin{align*} \frac{F_1}{\mathfrak{M}}:=I_0(U_1) = U_1\cdot V = \rho_1 + u_1\cdot v + \theta_1(\frac{|v|^2}{2} - \frac{3}{2}) \,.\end{align*}$

这里 $U_1=(\rho_1, u_1, \theta_1)$ 待定, 将在第 1 轮完全确定, $V=(1, v, \frac{|v|^2}{2} - \frac{3}{2})^T$.

我们考虑内部部分的 $O(\sqrt{\varepsilon}^{0})$ 阶项

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \mathcal{L}F_2= -( \partial_t + v \cdot \nabla_x) F_0 -\eta\nabla_x\phi_{0}\cdot\nabla_v F_0 + B(F_1, F_1) \,, \end{aligned}\end{equation*}$

由此, 这里 $F_2$ 表达式为

$ \begin{align*} \frac{F_2}{\mathfrak{M}}:=P \frac{F_2}{\mathfrak{M}}+(I-P) \frac{F_2}{\mathfrak{M}} \,,\end{align*}$

$\begin{align*} P \frac{F_2}{\mathfrak{M}}:=I_0(U_2) = U_2\cdot V = \rho_2 + u_2\cdot v + \theta_2(\frac{|v|^2}{2} - \frac{3}{2}) \,. \end{align*}$

这里 $U_2=(\rho_2, u_2, \theta_2)$ 待定, 将在第2轮完全确定.

$(I-P) \frac{F_2}{\mathfrak{M}}:=I_2(U_0)=L^{-1}(I-P)\{-( \partial_t + v \cdot \nabla_x) F_0 -\eta\nabla_x \phi_{0}\cdot \nabla_v F_0\}+L^{-1} B(F_1, F_1)\,, $

$(I-P) \frac{F_2}{\mathfrak{M}}$ 将在第 1 轮完全确定.

内部部分中 $O(\sqrt{\varepsilon}^{0})$ 阶方程的可解性给

(2.33) $ \begin{equation}\label{2.33} \left\{ \begin{aligned} & \partial_t \rho + \div_x (\rho u) = 0\,, \\ &\rho ( \partial_{t}u+u \cdot \nabla_x u) + \nabla_x (\rho T) = \eta\rho \nabla_x\phi_0\,, \\ & \partial_t T+u\cdot \nabla_x T+\frac{2}{3}T\div_x u=0\,, \\ &\Delta_x\phi_0=\eta(\rho-1)\,. \end{aligned} \right.\end{equation}$

其中 $(\rho, u, T, \phi_0)$ 是可压缩 Euler-Poisson 方程 (2.33) 的光滑解.初始条件

$ \begin{equation*} \begin{aligned} (\rho, u, T) (0, x) = (\rho^{in}, u^{in}, T^{in}) (x)\,, \end{aligned}\end{equation*}$

边界条件

$ \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} u \cdot n |_{x_3 =0}& = 0 \,, \\ \frac{p \phi_0}{p n}|_{p \Omega}&=0 \,. \end{aligned} \right.\end{equation*}$

第 3 步后, 我们得到

• $F_0$ 完全确定 (Euler-Poisson 的解).

• $F_1$ (只有流体项), $F_2$ 的表达式.

总结第 0 轮以后, 我们可以得出

• $f^{bb}_0=0$.

• $\phi^{bb}_2=0$.

• $F^{b}_1$ 的表达式.

• $\phi^{b}_1=0$.

• $F_0, \phi_0$ 完全确定.

• $F_1, F_2$ 的表达式.

归纳过程: 第 1 轮

现在我们进入第 1 轮, 分别研究动理学边界层、粘性边界层和内部项.

第 1 步 动理学边界层中的 $O(\sqrt{\varepsilon}^{-1})$ 阶项.Knudsen 边界层 $f^{bb}_{1}$ 的方程为

(2.34) $ \begin{equation} \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} v_3 \cdot \partial_\xi f^{bb}_1 + L f^{bb}_1=0 \,, \\ [1.5mm] f^{bb}_{1}(t, \bar{x}, 0, \bar{v}, v_3)|_{v_3 > 0}=f^{bb}_{1} (t, \bar{x}, 0, \bar{v}, -v_3) + (f_{1} + f^b_{1} )(t, \bar{x}, 0, \bar{v}, -v_3)\\ -(f_{1} + f^b_{1} )(t, \bar{x}, 0, \bar{v}, v_3)+L^D(f_0) \,, \\ [1.5mm] \displaystyle\lim_{_\xi \to \infty}f^{bb}_{1}(t, \bar{x}, \xi, v) = 0\,. \end{array} \right. \end{aligned}\end{equation}$

$f^{bb}_{1}$ 方程的可解性条件给出流体变量 $(\rho_1, u_1, \theta_1, \phi_1)$ 边界条件 (见引理 2.2)

$\begin{equation*} \begin{aligned} u^b_{1, 3}(t, \bar{x}, 0) + u_{1, 3} (t, \bar{x}, 0) = 0\,. \end{aligned} \end{equation*}$

Knudsen 边界层 $\phi^{bb}_{3}$ 方程为

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \partial^2_{\xi\xi}\phi^{bb}_3=0\,. \end{aligned}\end{equation*}$

通过结合边界条件 $\displaystyle\lim_{\xi \to \infty} \phi^{bb}_3=0 $, 有 $\phi^{bb}_3=0 $.第 1 步后, 我们得到

• $u^b_{1, 3}(t, \bar{x}, 0) + u_{1, 3} (t, \bar{x}, 0) = 0$.

• $\phi^{bb}_{3}=0$.

第 2 步 粘性边界层中的 $O(\sqrt{\varepsilon}^{0})$ 阶项. 接下来, 粘性边界层中 $O(\sqrt{\varepsilon}^{0})$ 阶项给出

$ \begin{equation*} \begin{aligned} & \mathcal{L}^0 F^b_2= -v_3 \cdot \partial_\zeta F^b_1 +\eta \partial_\zeta \phi^b_1 p _{v_3} F^{(0)}_0+ [ B(F^0_1, F^b_1) + B(F^b_1, F^0_1)] \\ & \qquad \qquad + B(F^b_1, F^b_1) + \zeta \big[ B(\mathfrak{M}^{(1)}, F^b_1) + B(F^b_1, \mathfrak{M}^{(1)})\big]\,. \end{aligned}\end{equation*}$

这里 $F^b_2$ 的表达式为

$ \begin{align*} P^0 \frac{F^b_2}{\mathfrak{M}^0}:=B_0(U^b_2) = U^b_2\cdot V = \rho^b_2 + u^b_2\cdot v + \theta^b_2(\frac{|v|^2}{2} - \frac{3}{2}) \,.\end{align*}$

这里 $U^b_2=(\rho^b_2, u^b_2, \theta^b_2)$ 待定, 将在第 3 轮完全确定.

$\begin{aligned}\left(I-\mathcal{P}^{0}\right) F_{2}^{b} & :=B_{1}\left(U_{1}^{b}\right)=\mathcal{L}^{-1}\left(I-\mathcal{P}^{0}\right)\left\{v_{3} \cdot \partial_{\zeta} F_{1}^{b}+\eta \partial_{\zeta} \phi_{1}^{b} \partial_{v_{3}} F_{0}^{(0)}\right\}+\mathcal{L}^{-1}\left[B\left(F_{1}^{0}, F_{1}^{b}\right)\right. \\& \left.+B\left(F_{1}^{b}, F_{1}^{0}\right)\right]+\mathcal{L}^{-1} B\left(F_{1}^{b}, F_{1}^{b}\right)+\mathcal{L}^{-1} \zeta\left[B\left(\mathfrak{M}^{(1)}, F_{1}^{b}\right)+B\left(F_{1}^{b}, \mathfrak{M}^{(1)}\right)\right] .\end{aligned}$

这里 $(I-P^0)F^b_2$ 将在第 2 轮完全解出.

粘性边界层 $\phi^b_2$ 的方程为

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \partial^2_{\zeta\zeta}\phi^b_2+\Delta_{\bar{x}}\phi_0^b=\eta\int_{ \mathbb{R}^3}F^b_0 d v=0\,. \end{aligned}\end{equation*}$

通过结合边界条件 $ \displaystyle\lim_{\zeta \to \infty} \phi^{b}_2=0$, 我们得到 $\phi^{b}_2=0$.

粘性边界层的可解性条件给出

$ \begin{align*} \partial_\zeta u^b_{1, 3} = 0\,, \\ \ \partial_\zeta p^b_1 (t, \bar{x}, \zeta) \equiv \eta\rho^0_0 \partial_\zeta \phi^{b}_1=0\,,\end{align*}$

对于 $ \forall (t, \bar{x}, \zeta) \in [0, \tau] \times \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}_+ $.

(1) 解 $p^b_1$. 由

$ \partial_\zeta p^b_1 (t, \bar{x}, \zeta) =0\,, $ 结合边界条件 $\displaystyle\lim_{\zeta \to \infty} p^b_1(t, \bar{x}, \zeta)= 0$, 我们得到 $T^0\rho^b_1+\theta^b_1\rho^0=0$;

(2) 解 $u^b_{2, 3}$. 由

$ \partial_\zeta u^b_{1, 3} = 0$

结合边界条件 $\displaystyle\lim_{\zeta \to \infty} u^b_{1, 3}(t, \bar{x}, \zeta)= 0$, 得到 $u^b_{1, 3} = 0$.第 2 步后, 我们得到

• $F^b_2$ 的表达式.

• $\phi^{b}_2=0$.

• $T^0\rho^b_1+\theta^b_1\rho^0=0$.

• $u^b_{1, 3} = 0$.

第 3 步 在内部部分, 考虑 $O(\sqrt{\varepsilon}^{1})$ 阶项. 为了找到满足 ($\rho_1, u_1, \theta_1, \phi_1$) 的方程, 我们考虑内部部分的 $O(\sqrt{\varepsilon}^{1})$ 阶项

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \mathcal{L}F_3= -( \partial_t + v \cdot \nabla_x) F_1 -\eta\nabla_x\phi_{0}\cdot\nabla_v F_1 -\eta\nabla_x\phi_{1}\cdot\nabla_v F_0+ B(F_1, F_2) + B(F_2, F_1) \,, \end{aligned}\end{equation*}$

由此, 这里 $F_3$ 表达式为

$ \begin{align*} P \frac{F_2}{\mathfrak{M}}:=P \frac{F_3}{\mathfrak{M}}+(I-P) \frac{F_3}{\mathfrak{M}} \,.\end{align*}$

$\begin{align*} P \frac{F_3}{\mathfrak{M}}:=I_0(U_3) = U_3\cdot V = \rho_3 + u_3\cdot v + \theta_3(\frac{|v|^2}{2} - \frac{3}{2}) \,. \end{align*}$

这里 $U_3=(\rho_3, u_3, \theta_3)$ 待定, 将在第 3 轮完全确定.

$ \begin{aligned}(I-\mathcal{P}) \frac{F_{3}}{\mathfrak{M}}= & \mathcal{L}^{-1}(I-P)\left\{-\left(\partial_{t}+v \cdot \nabla_{x}\right) F_{1}-\eta \nabla_{x} \phi_{0} \cdot \nabla_{v} F_{1}-\eta \nabla_{x} \phi_{1} \cdot \nabla_{v} F_{0}\right\} \\& +\mathcal{L}^{-1} B\left(F_{1}, F_{2}\right)+\mathcal{L}^{-1} B\left(F_{2}, F_{1}\right),\end{aligned}$

$(I-P) \frac{F_3}{\mathfrak{M}}$ 将在第 2 轮完全确定.

内部部分中 $O(\sqrt{\varepsilon}^{1})$ 阶方程的可解性给出粘性变量 $(\rho_1, u_1, \theta_1, \phi_1)$ 满足以下线性双曲-椭圆系统

$ \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} & \partial_t \rho_1 + \div_x (\rho u_1 + \rho_1 u) = 0 \,, \\ & \rho \big( \partial_t u_1 + u_1 \cdot \nabla_x u + u \cdot \nabla_x u_1 -\eta\nabla_x \phi_1 \big)- \tfrac{\nabla_x (\rho T)}{\rho} \rho_1 + \nabla_x ( \rho \theta_1 + T \rho_1)= 0 \,, \\ & \rho \Big( 3 \partial_t \theta_1 +3 u \cdot \nabla_x \theta_1 + 2( \theta_1 \div_x u + T \div_x u_1 ) \Big)+ 3 \rho u_1 \cdot \nabla_x T = 0\,, \\ &\Delta_x \phi_1=\eta\rho_1\,. \end{aligned} \right.\end{equation*}$

其中 $(\rho, \mathbf{u}, T, \phi_0)$ 是可压缩 Euler-Poissom 方程 (2.6) 的光滑解.

(2.5) 式的初值条件为

$ \begin{equation*} \begin{aligned} (\rho_1, u_1, \theta_1)(0, x) = (\rho_1^{in}, u_1^{in}, \theta_1^{in}) (x) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R} \,, \end{aligned}\end{equation*}$

边界条件为

$ \begin{equation*} \begin{aligned} u_{1, 3} (t, \bar{x}, 0)=-u^b_{1, 3}(t, \bar{x}, 0)=0\,. \end{aligned}\end{equation*}$

$\begin{equation*} \begin{aligned} \frac{p \phi_1}{p n}|_{p \Omega}=( \partial_\zeta\phi^b_2+ \partial_\xi \phi^{bb}_3)|_{p\Omega}=0\,. \end{aligned}\end{equation*}$

第 3 步后, 我们得到

• $F_3$ 的表达式.

• $F_1$ 完全解出, $\phi_1$ 也完全确定.

总结第 1 轮以后, 我们可以完全解出

• $F^{bb}_1$ 待定, $\phi^{bb}_{3}=0$.

• $F^b_2$ 的表达式, $F^b_1$ 部分解出, 待定, $\phi^{b}_2=0$.

• $F_3$ 的表达式.

• $F_1$ 完全解出, $\phi_1$ 也完全确定.

归纳过程第 2 轮

现在我们进入第 2 轮, 分别研究动理学边界层、粘性边界层和内部项.

第 1 步 动理学边界层中的 $O(\sqrt{\varepsilon}^{0})$ 阶项.Knudsen 边界层 $f^{bb}_{2, 2}$ 的方程为

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} v_3 \cdot \partial_\xi f^{bb}_{2, 2} + L f^{bb}_{2, 2}=S^{bb}_{2, 2} \,, \\ [1.5mm] f^{bb}_{2, 2}(t, \bar{x}, 0, \bar{v}, v_3)|_{v_3 > 0}=f^{bb}_{2, 2} (t, \bar{x}, 0, \bar{v}, -v_3) + (f_{2} + f^b_{2} )(t, \bar{x}, 0, \bar{v}, -v_3)\\ -(f_{2} + f^b_{2} )(t, \bar{x}, 0, \bar{v}, v_3)+L^D(f_1+f^b_1+f^{bb}_1) \,, \\ [1.5mm] \displaystyle \lim_{\xi \to \infty}f^{bb}_{2, 2}(t, \bar{x}, \xi, v) = 0\,. \end{array} \right. \end{aligned}\end{equation*}$

它的可解性条件给出流体变量 $(\rho_2, u_2, \theta_2, \phi_2)$ 方程的边界条件以及 Prandtl 层方程的 Robin 边界条件 (见引理 2.2)

(2.35) $ \begin{equation}\label{2.35} \left\{ \begin{array}{l} u^b_{2, 3}(t, \bar{x}, 0) + u_{2, 3} (t, \bar{x}, 0) = 0\,, \\[1.5mm] \big( \partial_\zeta u^b_{1, i} - \tfrac{ \chi \rho^0 \sqrt{T^0})}{\mu(T^0)} u^b_{1, i} \big) (t, \bar{x}, 0) = \Lambda^b_{1, i} (t, \bar{x}), \quad i=1, 2\,, \\[1.5mm] \big( \partial_\zeta \theta^b_{1} -\tfrac{\chi \rho^0}{\kappa (T^0)} (4 + |\bar{u}^0|^2 + \tfrac{1}{3} \sqrt{T^0}) \theta^b_{1} \big) (t, \bar{x}, 0) = \Lambda^b_{1, \theta} (t, \bar{x})\,. \end{array} \right.\end{equation}$

这里

$\begin{aligned}\Lambda_{1, \theta}^{b}(t, \bar{x})= & \frac{2\left(T^{0}\right)^{\frac{3}{2}}}{\kappa\left(T^{0}\right)}\left\langle\mathcal{B}_{3}^{0},\left(\mathcal{I}-\mathcal{P}^{0}\right) f_{2}\right\rangle(t, \bar{x}, 0)+\frac{5}{3 \kappa\left(T^{0}\right)} \rho^{0}\left[\left(\theta_{1}+\theta_{1}^{b}\right) u_{1,3}^{b}\right](t, \bar{x}, 0) \\& +\frac{4 \chi \rho^{0} \sqrt{T^{0}}}{3 \sqrt{2 \pi} \kappa\left(T^{0}\right)} \theta_{1}(t, \bar{x}, 0)+\frac{\chi}{\kappa\left(T^{0}\right)} \int_{\mathbb{R}^{2}} \int_{-\infty}^{0} v_{3}\left(|\bar{v}|^{2}-2 \bar{u}^{0} \cdot \bar{v}+v_{3}^{2}-4\right) f_{1}^{b b}\left(t, \bar{x}, 0, \bar{v}, v_{3}\right) \mathfrak{M}^{0} \mathrm{~d} \bar{v} \mathrm{~d} v_{3}\end{aligned}$

且

Knudsen 边界层 $\phi^{bb}_{4}$ 方程为

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \partial^2_{\xi\xi}\phi^{bb}_4+\Delta_{\bar{x}}\phi^{bb}_0=\eta \int_{ \mathbb{R}^3}F^{bb}_0 d v=0 \,. \end{aligned}\end{equation*}$

通过结合边界条件 $\displaystyle\lim_{\xi \to \infty} \phi^{bb}_4=0 $, 我们有 $\phi^{bb}_4=0 $.

第 1 步后, 我们得到

• $u^b_{2, 3}(t, \bar{x}, 0) + u_{2, 3} (t, \bar{x}, 0) = 0$.

• 求解 $(\bar{u}^b_1, \theta^b_1)$ 方程所需要的 Robin 边界条件.

• $\phi^{bb}_4=0 $.

第 2 步 粘性边界层中的 $O(\sqrt{\varepsilon}^{1})$ 阶项. 接下来, 粘性边界层中 $O(\sqrt{\varepsilon}^{1})$ 阶项为

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \mathcal{L}^0 F^b_3= & - \partial_t F^b_1 - \bar{v} \cdot \nabla_{\bar{x}} F^b_1 - v_3 \cdot \partial_\zeta F^b_2-\eta \nabla_{\overline{x}} \phi^{(0)}_0 \nabla _{\overline{v}} F^b_1-\eta \nabla_{\overline{x}} \phi^{b}_1 \nabla _{\overline{v}} F^0_0 -\eta \partial_\zeta\phi^b_1 \partial_{v_3}F^0_1 \\ &-\eta \partial_\zeta\phi^b_1 \partial_{v_3}F^b_1-\eta \partial_\zeta\phi^b_1 \partial_{v_3}F^{(1)}_0-\eta \partial_\zeta\phi^b_2 \partial_{v_3}F^{(0)}_0\\ &\!+\!\tfrac{\zeta^2}{2!} \big[ B(\mathfrak{M}^{(2)}, F^b_1)\! + \!B(F^b_1, \mathfrak{M}^{(2)}) \big]\!+ \!\big[ B(F^0_1, F^b_2) \!+\! B(F^b_2, F^0_1) \big] \!+ \!\big[ B(F^0_2, F^b_1)\! +\! B(F^b_1, F^0_2) \big] \\ &\! +\!\frac{\zeta}{1!} \big[ B(\mathfrak{M}^1, F^b_2)\! +\! B(F^b_2, \mathfrak{M}^1) \big] \!+\! \tfrac{\zeta}{1!} \big[ B(F^{(1)}_1, F^b_1) \!+ \!B(F^b_1, F^{(1)}_1) \big] \!+ \!\big[ B(F^b_1, F^b_2) \!+\! B(F^b_2, F^b_1) \big]\,. \end{aligned}\end{equation*}$

这里 $F^b_3$ 的表达式为

$ \begin{align*} P^0 \frac{F^b_3}{\mathfrak{M}^0}:=B_0(U^b_3) = U^b_3\cdot V = \rho^b_3 + u^b_3\cdot v + \theta^b_3(\frac{|v|^2}{2} - \frac{3}{2}) \,.\end{align*}$

这里 $U^b_3=(\rho^b_3, u^b_3, \theta^b_3)$ 待定, 将在第 4 轮完全确定.这里 $(I-P^0)F^b_3$ 将在第 3 轮给出形式并完全解出.

粘性边界层中 $O(\sqrt{\varepsilon}^{1})$ 可解性给出$(u^b_{1, i}, \theta^b_1)$ \ (i=1, 2) 满足下面的线性可压缩 Prandtl 型方程

$ \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &\rho^0 ( \partial_t + \bar{u}^0 \cdot \nabla_{\bar{x}}) u^b_{1, i} + \rho^0 ( \partial_{x_3} u^0_3 \zeta + u^0_{1, 3}) \partial_{\zeta} u^b_{1, i} + \rho^0 \bar{u}^b_1 \cdot \nabla_{\bar{x}} u^0_i +\tfrac{ \partial_{x_3} p^0}{ T^0} \theta^b_1-\eta \rho^b_1 \nabla_{\overline{x}} \phi^{(0)} _0\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad= \mu (T^0) \partial_{\zeta}^2 u^b_{1, i} \!- \!(\! \partial_{x_i}\! - \!\tfrac{ \partial_{x_i} p^0}{p^0}\! ) p^b_1 \,, \\ & \rho^0 \! \partial_t \theta^b_1 \!+\! \rho^0 \!\bar{u}^0 \cdot \!\nabla_{\bar{x}} \theta^b_1 \!+\!\frac{1}{3}\! \rho^0 \!\big( \partial_{x_3} u^0 \zeta \!+\! u^0_{1, 3} \big) \partial_\zeta \!\theta^b_1 \!+\! \tfrac{2}{3}\! \rho^0 \!\div_{x}u^0 \!\theta^b_1\!-\!\tfrac{1}{5}\eta\! \nabla_{\overline{x}}\phi^{(0)}_0(2\rho^b_1\!\overline{u}^0\!+\!2\rho^0\!\overline{u}^b_1)\!-\!\tfrac{1}{5}\! \kappa(T^0)\! \partial_{\zeta\zeta}\! \theta^b_1 \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad=-\! \tfrac{1}{5} \!\big\{\! 2 \partial_t\! + \!2 \bar{u} ^0 \!\cdot\! \nabla_{\bar{x}} \!+ \!\tfrac{10}{3} \!\div_{x} u^0 \!\big\}\! p^b_1\,, \\ &\displaystyle\lim_{\zeta \to \infty} (\bar{u}^b_1, \theta^b_1) (t, \bar{x}, \zeta) = (0, 0) \,. \end{aligned} \right.\end{equation*}$

并且 $(\mathbf{I} - \mathbf{P}^0) f^b_{2}$、$u^b_{2, 3}$、$p^b_{2}$ 由以下方程确定

$\begin{aligned}\left(\mathcal{I}-\mathcal{P}^{0}\right) f_{2}^{b}= & \left(\mathcal{L}^{0}\right)^{-1}\left\{-\left(\mathcal{I}-\mathcal{P}^{0}\right)\left(v_{3} \partial_{\zeta} \mathcal{P} f_{1}^{b}\right)-\left(\mathcal{I}-\mathcal{P}^{0}\right) \eta \partial_{\zeta} \phi_{0}^{(0)} \partial_{v_{3}} f_{1}^{b}+\frac{\zeta}{\mathfrak{M}^{0}}\left[B\left(\mathfrak{M}^{(1)}, \mathfrak{M}^{0} \mathcal{P} f_{1}^{b}\right)\right.\right. \\& \left.+B\left(\mathfrak{M}^{0} \mathcal{P} f_{1}^{b}, \mathfrak{M}^{(1)}\right)\right]+\frac{1}{\mathfrak{M}^{0}}\left[B\left(F_{1}^{0}, \mathfrak{M}^{0} \mathcal{P} f_{1}^{b}\right)+B\left(\mathfrak{M}^{0} \mathcal{P} f_{1}^{b}, F_{1}^{0}\right)\right] \\& \left.+\frac{1}{\mathfrak{M}^{0}}\left[B\left(\mathfrak{M}^{0} f_{1}^{b}, \mathfrak{M}^{0} \mathcal{P} f_{1}^{b}\right)+B\left(\mathfrak{M}^{0} \mathcal{P} f_{1}^{b}, \mathfrak{M}^{0} f_{1}^{b}\right)\right]\right\},\end{aligned}$

且

(2.36) $ \begin{equation}\label{2.36} \left\{ \begin{aligned} & \partial_\zeta u^b_{2, 3} = - \frac{1}{\rho^0} ( \partial_t \rho^b_1 + \div_{\bar{x}} ( \rho^0 \bar{u}^b_1 + \rho^b_1 \bar{u}^0 ) )\,, \\ &\displaystyle \lim_{\zeta \to \infty} u^b_{2, 3} (t, \bar{x}, \zeta) = 0 \,. \end{aligned} \right.\end{equation}$

且

(2.37) $ \begin{equation}\label{2.37} \left\{ \begin{aligned} \partial_\zeta p^b_{2} =\eta \rho^{(1)}_0 \partial_\zeta \phi^{b}_1 \,, \\ \displaystyle\lim_{\zeta \to \infty} \theta^b_{2} (t, \bar{x}, \zeta) = 0 \,. \end{aligned} \right.\end{equation}$

对 $ \forall (t, \bar{x}, \zeta) \in [0, \tau] \times \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}_+ $.

(1) 解 $p^b_{2}$. 由 (2.37) 式, 我们可以给出 $\rho^0 \theta^b_2+T^0\rho^b_2$ 的关系式子, $\theta^b_2, \rho^b_2$ 将在第 3 轮完全确定;

(2) 解 $u^b_{2, 3}$. 由 (2.36) 式是一个线性一阶常微分方程, 我们需要先解出 $\bar{u}^b_1$ 和 $\theta^b_1$;

(3) 解 $\bar{u}^b_1$ 和 $\theta^b_1$. 由 $\bar{u}^b_1$ 和 $\theta^b_1$ 满足的方程 (2.5) 以及对应 Robin 边界条件 (2.35), 我们可以解出 $\bar{u}^b_1$ 和 $\theta^b_1$, 从而 $F^b_1$ 完全解出, $u^b_{2, 3}$ 也解出;

(4) 解 $\phi^b_3$. 粘性边界层 $\phi^b_3$ 的方程为

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \partial^2_{\zeta\zeta}\phi^b_3+\Delta_{\bar{x}}\phi_1^b=\eta\int_{ \mathbb{R}^3}F^b_1 d v \,. \end{aligned}\end{equation*}$

通过结合边界条件 $ \displaystyle\lim_{\zeta \to \infty} \phi^{b}_3=0$ 以及 $\phi_1^b=0$, 我们可以形式解出 $\phi^{b}_3$:

$\phi^b_3(t, \bar{x}, \zeta)=\int^\infty_\zeta(s-\zeta)\eta\rho^b_1(t, \bar{x}, s) d s. $

由于 $F^b_1$ 完全解出, 所以这里 $\phi^{b}_3$ 确定;

(5) 解 $f^{bb}_1$. 由第 1 轮方程 (2.34), $f^{bb}_1$ 满足方程为

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} v_3 \cdot \partial_\xi f^{bb}_1 + L f^{bb}_1=0, \qquad \xi>0\,, \\ [1.5mm] L^R f^{bb}_{1}=H^{bb}_1, \qquad\qquad \text{on } \Sigma_+ \,, \\ [1.5mm] \displaystyle\lim_{_\xi \to \infty}f^{bb}_{1}(t, \bar{x}, \xi, v) = 0\,. \end{array} \right. \end{aligned}\end{equation*}$

这里 $H^{bb}_1$ 形式如下

$ \begin{align*} H^{bb}_1&=-L^R(f_1+f_1^b)+L^D(f_0)\\ &=-L^R(I_0(U_1)+B_0(U^b_1))+L^D(I_0(U_0)).\end{align*}$

对 $\forall g(x, v)=\rho+v\cdot u+(\frac{|v|^2}{2} - \frac{3}{2})\in Null L$, 我们有

$ \begin{align*}L^Rg&=\gamma_-g-L\gamma_+g=g(x, v)-g(x, v-2(v\cdot n)\cdot n)\\ &=v\cdot u-(v-2(v\cdot n)\cdot n)u=2v_3u_3,\end{align*}$

且

$ \begin{align*} L^Dg & =\langle \gamma_+g\rangle_{p \Omega}-L\gamma_+g\\ &=-\sqrt{\frac{\pi}{2}}u_3-\bar{u}\bar{v}+u_3v_3-\theta(\frac{|v|^2}{2}-2),\end{align*}$

由此可得

$ \begin{align*} H^{bb}_1&=2(u_{1, 3}+u^b_{1, 3})v_3-\sqrt{\frac{\pi}{2}}u_{0, 3}-\bar{u}_0\bar{v}+u_{0, 3}v_3-\theta(\frac{|v|^2}{2}-2)\\ &=-\sqrt{\frac{\pi}{2}}u_{0, 3}-\bar{u}_0\bar{v}+u_{0, 3}v_3-\theta(\frac{|v|^2}{2}-2)\\ &:=H^{bb}_1(U_0),\end{align*}$

$H^{bb}_1$ 是关于 $U_0$ 的线性函数, 所以 $f^{bb}_1$ 可解为

$\begin{align*} f^{bb}_1(t, \bar{x}, \xi, v)=K_1(t, \xi, v, U_0). \end{align*}$

这里 $K_1(t, \xi, v, U_0)$ 是一个线性函数;

(6) 解 $\phi^{bb}_5$. 结合第 3 轮中 Knudsen 层的 $\phi^{bb}_5$ 的方程以及边界条件, 以及这里的已知的 $f^{bb}_1$, 我们可以得到 $\phi^{bb}_5$ 完全确定.

第 2 步后, 我们得到

• $p^b_{2}$.

• $u^b_{2, 3}$.

• $F^b_1$, $\phi^b_3$ 完全解出.

• $f^{bb}_1$ 完全解出, $\phi^{bb}_5$ 确定.

第 3 步 内部部分中的 $O(\sqrt{\varepsilon}^{2})$ 阶项. 为了找到满足 $(\rho_2, u_2, \theta_2, \phi_2)$ 的方程, 我们考虑内部部分中的 $O(\sqrt{\varepsilon}^{2})$ 阶项

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \mathcal{L}F_4= &-( \partial_t + v \cdot \nabla_x) F_2 -\eta\nabla_x\phi_{0}\cdot\nabla_v F_2-\eta\nabla_x\phi_{2}\cdot\nabla_v F_0 -\eta\nabla_x\phi_{1}\cdot\nabla_v F_1\\ &+ B(F_1, F_3) + B(F_3, F_1)+B(F_2, F_2) \,, \end{aligned}\end{equation*}$

由此, 这里 $F_4$ 表达式为

$ \begin{align*} P \frac{F_4}{\mathfrak{M}}:=P \frac{F_4}{\mathfrak{M}}+(I-P) \frac{F_4}{\mathfrak{M}} \,.\end{align*}$

$\begin{align*} P \frac{F_4}{\mathfrak{M}}:=I_0(U_4) = U_4\cdot V = \rho_4 + u_4\cdot v + \theta_4(\frac{|v|^2}{2} - \frac{3}{2}) \,. \end{align*}$

这里 $U_4=(\rho_4, u_4, \theta_4)$ 待定, 将在第 4 轮完全确定.

$ \begin{aligned}(I-\mathcal{P}) \frac{F_{4}}{\mathcal{M}}= & \mathcal{L}^{-1}(I-P)\left\{-\left(\partial_{t}+v \cdot \nabla_{x}\right) F_{2}-\eta \nabla_{x} \phi_{0} \cdot \nabla_{v} F_{2}-\eta \nabla_{x} \phi_{2} \cdot \nabla_{v} F_{0}-\eta \nabla_{x} \phi_{1} \cdot \nabla_{v} F_{1}\right\} \\& +\mathcal{L}^{-1}\left\{B\left(F_{1}, F_{3}\right)+B\left(F_{3}, F_{1}\right)\right\}+\mathcal{L}^{-1} B\left(F_{2}, F_{2}\right),\end{aligned}$

$(I-P) \frac{F_4}{\mathfrak{M}}$ 将在第 3 轮完全确定.

内部部分中 $O(\sqrt{\varepsilon}^{2})$ 阶方程的可解性给出流体变量 $(\rho_2, u_2, \theta_2, \phi_2)$ 满足以下线性双曲-椭圆系统:

(2.38) $ \begin{equation}\label{2.38} \left\{ \begin{aligned} & \partial_t \rho_2 + \div_x (\rho u_2 + \rho_2 u) = 0 \,, \\ & \rho \big( \partial_t u_2 + u_2 \cdot \nabla_x u + u \cdot \nabla_x u_2 -\eta\nabla_x \phi_2 \big)- \tfrac{\nabla_x (\rho T)}{\rho} \rho_2 + \nabla_x ( \rho \theta_2 + T \rho_2)= \mathcal{F}^\bot_u (F_2) \,, \\ & \rho \Big( 3 \partial_t \theta_2 +3 u \cdot \nabla_x \theta_2 + 2( \theta_2 \div_x u + T \div_x u_2 ) \Big)+ 3 \rho u_2 \cdot \nabla_x T = \mathcal{G}^\bot_\theta (F_2)\,, \\ &\Delta_x \phi_2=\eta\rho_2\,. \end{aligned} \right.\end{equation}$

其中 $(\rho, \mathbf{u}, T, \phi_0)$ 是可压缩 Euler-Poisson 方程 (2.6) 的光滑解, 源项 $\mathcal{F}^\bot_u (F_2)$ 和 $\mathcal{G}^\bot_\theta (F_2)$ 定义为

$ \begin{aligned}\mathcal{F}_{u, i}^{\perp}\left(F_{2}\right)= & -\sum_{j=1}^{3} \partial_{x_{j}} \int_{\mathbb{R}^{3}} T \mathcal{A}_{i j} \frac{F_{k+1}}{\mathfrak{M}} \mathrm{~d} v+\sum_{\substack{m+j=2, m, j \geq 1}} \rho_{j} \nabla_{x} \phi_{m}, \quad(i=1,2,3), \\\mathcal{G}_{\theta}^{\perp}\left(F_{2}\right)= & -\operatorname{div}_{x}\left(2 T^{\frac{3}{2}} \int_{\mathbb{R}^{3}} \mathcal{B} \frac{F_{2}}{\mathfrak{M}} \mathrm{~d} v+\sum_{j=1}^{3} 2 T \mathfrak{u} \cdot \int_{\mathbb{R}^{3}} \mathcal{A} \frac{F_{2}}{\mathfrak{M}} \mathrm{~d} v\right)-2 u \cdot \mathcal{F}_{u}^{\perp}\left(F_{2}\right) \\& -2 u \sum_{\substack{i+j=2, i, j \geq 1}} \rho_{j} \nabla_{x} \phi_{i}+\sum_{\substack{i+j=2, i, j \geq 1}} \nabla_{x} \phi_{i}\left(2 \rho_{j} u+2 \rho u_{j}\right) .\end{aligned}$

方程 (2.38) 的初值条件为

$ \begin{equation*} \begin{aligned} (\rho_2, u_2, \theta_2)(0, x) = (\rho_2^{in}, u_2^{in}, \theta_2^{in}) (x) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R} \,. \end{aligned}\end{equation*}$

边界条件为

$ \begin{equation*} \begin{aligned} u_{2, 3} =-u^b_{2, 3}=& \int^{+\infty}_\zeta \frac{1}{\rho^0} ( \partial_t \rho^b_1 + \div_{\bar{x}} ( \rho^0 \bar{u}^b_1 + \rho^b_1 \bar{u}^0 ) ) d \overline{\zeta} \quad \ p \Omega\,. \end{aligned}\end{equation*}$

$\begin{equation*}\label{phi2} \begin{aligned} \frac{p \phi_2}{p n}|_{p \Omega}=( \partial_\zeta \phi^b_3+ \partial_\xi\phi^{bb}_4)|_{p \Omega}\,. \end{aligned} \end{equation*}$

这里由于 $f^b_1$ 和 $\phi^b_3$, $\phi^{bb}_4$ 前面已经求解, 所以是已知项, 至此 $F_2$ 完全确定, $\phi_2$ 解出.

总结第 2 轮后, 我们可以完全解出

• $f^{bb}_{1}, \phi^{bb}_4$ 完全解出.

• $F^{b}_1, \phi^{b}_3$ 完全解出.

• $F^b_2, F_4$ 的表达式.

• $F_2, \phi_2$ 完全解出.

一般情况归纳猜想 对于 $k \geq 3$, 我们假设我们已经完成了第 $(k-1)$ 轮, 即利用了动理学边界层、粘性边界层和内部部分的信息, 分别达到了 $O(\sqrt{\varepsilon}^{k-3})$、$O(\sqrt{\varepsilon}^{k-2})$ 和 $O(\sqrt{\varepsilon}^{k-1})$ 的阶数. 在解下一轮之前, 我们将这个假设写下来, 总结我们目前所能构建的内容. 我们将其写下

总结第 k-1 轮后, 我们可以解出

• $f^{bb}_{k-2}, \phi^{bb}_{k+2}$ 完全解出.

• $F^{b}_{k-2}, \phi^{b}_k$ 完全解出.

• $F^b_{k-1}, F_{k+1}$ 的表达式.

• $F_{k-1}, \phi_{k-1}$ 完全解出.

归纳过程第 k 轮

对于 $k \geq 3$, 我们假设我们已完成归纳过程中的第 $k-1$ 轮. 对于第 $k$ 轮, 与之前一样, 它包括三个步骤, 分别考虑动理学边界层、粘性边界层和内部项中的项.

第 1 步 动理学边界层中的 $O(\sqrt{\varepsilon}^{k-2})$ 阶项.

Knudsen 边界层的方程为 $f^{bb}_{k}$:

(2.39) $ \begin{equation}\label{2.39} \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} v_3 \cdot \partial_\xi f^{bb}_{k, 2} + L f^{bb}_{k, 2}=S^{bb}_{k, 2} \,, \\ [1.5mm] f^{bb}_{k, 2}(t, \bar{x}, 0, \bar{v}, v_3)|_{v_3 > 0}=f^{bb}_{k, 2} (t, \bar{x}, 0, \bar{v}, -v_3) + (f_{k} + f^b_{k} )(t, \bar{x}, 0, \bar{v}, -v_3)\\ -(f_{k} + f^b_{k} )(t, \bar{x}, 0, \bar{v}, v_3)+L^D(f_{k-1}+f^b_{k-1}+f^{bb}_{k-1}) \,, \\ [1.5mm] \displaystyle\lim_{_\xi \to \infty}f^{bb}_{k, 2}(t, \bar{x}, \xi, v) = 0\,, \end{array} \right. \end{aligned}\end{equation}$

它的可解性条件推出流体变量 $(\rho_k, u_k, \theta_k, \phi_k)$ 方程的边界条件以 Prandtl 层的 Robin 边界条件为 (见引理 2.2)

(2.40) $ \begin{equation}\label{2.40} \left\{ \begin{array}{l} u^b_{k, 3}(t, \bar{x}, 0) + u_{k, 3} (t, \bar{x}, 0) = - T^0 (\Psi_k + 5T^0 \Theta_k) (t, \bar{x}, 0)\,, \\[1.5mm] \big( \partial_\zeta u^b_{k-1, i} - \tfrac{ \chi \rho^0 \sqrt{T^0})}{\mu(T^0)} u^b_{k-1, i} \big) (t, \bar{x}, 0) = \Lambda^b_{k-1, i} (t, \bar{x}), \quad i=1, 2\,, \\[1.5mm] \big( \partial_\zeta \theta^b_{k-1} - \tfrac{ \chi \rho^0}{\kappa (T^0)} (4 + |\bar{u}^0|^2 + \tfrac{1}{3} \sqrt{T^0}) \theta^b_{k-1} \big) (t, \bar{x}, 0) = \Lambda^b_{k-1, \theta} (t, \bar{x})\,, \end{array} \right.\end{equation}$

这里

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \Lambda_{k-1, i}^b (t, \bar{x}) &=\tfrac{\chi \sqrt{T^0} u^0_i}{\mu(T^0)} \rho^b_{k-1} (t, \bar{x}, 0)+ \tfrac{1}{\mu(T^0)} \Big\{ \rho^0 \big[ (u_{1, i} + u^b_{1, i}) u^b_{k-1, 3} \big]\\ & \quad + T^0 l A^0_{3i}, J^b_{k-2} + (\mathcal{I} - \mathcal{P}_0) f_k r + \rho^0 (T^0)^2 \Phi_{k, i} \Big\} (t, \bar{x}, 0)\\ & \quad - \tfrac{\sqrt{2\pi} \chi}{\mu(T^0)} \int_{ \mathbb{R}^2} \int_{-\infty}^0 v_i v_3 \big[ (\mathcal{I} - \mathcal{P}_0) (f_{k-1} + f^b_{k-1}) + f^{bb}_{k-1} \big] (t, \bar{x}, 0, \bar{v}, v_3) \mathfrak{M}^0 d \bar{v} d v_3\\ &\quad + \tfrac{\chi\sqrt{T^0}}{\mu(T^0)} (\rho_{k-1} u^0_i + \rho^0 u_{k-1, i}) (t, \bar{x}, 0) - \tfrac{\sqrt{2\pi} \chi}{2 \mu(T^0)} \rho^0 u^0_i (u_{k-1, 3} + u^b_{k-1, 3}) (t, \bar{x}, 0)\,, \end{aligned}\end{equation*}$

且

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \Lambda_{k-1, \theta}^b (t, \bar{x}) &= \tfrac{2 (T^0)^{\frac{3}{2}}}{\kappa(T^0)} l B^0_3, (\mathcal{I}-\mathcal{P}_0) f_k + J^b_{k-2} r (t, \bar{x}, 0) + \tfrac{5}{3\kappa(T^0)} \rho^0 \big[ (\theta_1 + \theta^b_1) u^b_{k-1, 3} \big] (t, \bar{x}, 0)\\ & \quad+ \tfrac{1}{\kappa} \big\{ 10 \rho^0 (T^0)^3 \Theta_k - \chi (4 + |\bar{u}^0|^2 - 4T^0) \sqrt{T^0} (\rho^0 + \tfrac{1}{T^0} p^b_{k-1}) \big\} (t, \bar{x}, 0) \\ &\quad + \tfrac{1}{\kappa(T^0)} \big\{ 6 \chi \sqrt{T^0} \theta_{k-1} + \tfrac{1}{2} \sqrt{2\pi} \chi \rho^0 T^0 (5 T^0 - 4 - |\bar{u}^0|^2) (\Psi_k + 5T^0 \Theta_k) \big\} (t, \bar{x}, 0) \\ & \quad - \tfrac{\sqrt{2\pi}}{\kappa(T^0)} \int_{ \mathbb{R}^2} \int_{-\infty}^0 v_3 (|\bar{v}|^2 - 2 \bar{u}^0 \cdot \bar{v} + v_3^2 - 4) \big[ (\mathcal{I}-\mathcal{P}_0) (f_{k-1} + f^b_{k-1}) \\ & \quad + f^{bb}_{k-1} \big](t, \bar{x}, 0, \bar{v}, v_3) \mathfrak{M}^0 d \bar{v} d v_3 \,. \end{aligned}\end{equation*}$

Knudsen 边界层 $\phi^{bb}_{k+2}$ 的方程为

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \partial^2_{\xi\xi}\phi^{bb}_{k+2}+\Delta_{\bar{x}}\phi^{bb}_{k-2}=\eta \int_{ \mathbb{R}^3}F^{bb}_{k-2} d v \,. \end{aligned}\end{equation*}$

通过结合边界条件 $\displaystyle\lim_{\xi \to \infty} \phi^{bb}_{k+2}=0 $, 以及第 $k-1$ 轮解出的 $F^{bb}_{k-2}$ 和第 $k-5$ 轮解出的 $\phi^{bb}_{k-2}$, 我们可以解出 $ \phi^{bb}_{k+2}$:

$\phi^{bb}_{k+2}(t, \bar{x}, \xi)=\int^\infty_\xi(s-\xi)(\eta \int_{ \mathbb{R}^3}F^{bb}_{k-2}-\Delta_{\bar{x}}\phi^{bb}_{k-2})(t, \bar{x}, s) d v d s. $

第 1 步后, 我们得到

• $u^b_{k, 3}(t, \bar{x}, 0) + u_{k, 3} (t, \bar{x}, 0) = 0$.

• 求解 $(\bar{u}^b_{k-1}, \theta^b_{k-1})$ 方程所需要的 Robin 边界条件.

• $\phi^{bb}_{k+2} $ 确定解出.

第 2 步 粘性边界层中的 $O(\sqrt{\varepsilon}^{k-1})$ 阶项. 接下来, 粘性边界层中 $O(\sqrt{\varepsilon}^{k})$ 阶项为

$ \begin{align*} \mathcal{L}^0 F^b_{k+1}= &- \partial_t F^b_{k-1} -\bar{v} \cdot \nabla_{\bar{x}} F^b_{k-1} - v_3 \cdot \partial_\zeta F^b_{k} -\eta \sum_{\substack{i+l+j=k-1\,, \\ 0\leq l\leq N, j\geq 1}}\nabla_{\overline{x}} (\frac{\zeta^l}{l!}\phi^{(l)}_i)\nabla _{\overline{v}} F^b_j\\ &-\eta \sum_{\substack{i+l+j=k\,, \\ 0\leq l\leq N, j\geq 1}} \partial_{\zeta} (\frac{\zeta^l}{l!}\phi^{(l)}_i)p _{v_3} F^b_j-\eta \sum_{\substack{i+l+j=k-1\,, \\ 0\leq l\leq N, j\geq 1}}\nabla_{\overline{x}} \phi^{b}_i \nabla _{\overline{v}}(\frac{\zeta^l}{l!} F^{(l)}_j)-\eta \sum_{\substack{i+j=k-1\,, \\ i, j\geq 1}}\nabla_{\overline{x}} \phi^{b}_i \nabla _{\overline{v}} F^b_j\\ & -\eta \sum_{\substack{i+l+j=k-1\,, \\ 0\leq l\leq N, j\geq 1}} \partial_\zeta \phi^{b}_i \partial_{v_3}(\frac{\zeta^l}{l!} F^{(l)}_j)-\eta \sum_{\substack{i+l+j=k-1\,, \\ i, j\geq 1}} \partial_\zeta \phi^{b}_i \partial_{v_3} F^b_j\\ & +\sum_{\substack{i+j=k+1\,, \\ i, j \ge 1 }} B(F^b_i, F^b_j) + \sum_{\substack{l+j=k+1\,, \\ 1\le l \le N\,, j \ge 1}} \tfrac{\zeta^l}{l!} \Big[ B(\mathfrak{M}^{(l)}, F^b_j) + B(F^b_j, \mathfrak{M}^{(l)}) \Big] \\ & + \sum_{\substack{i+j=k+1\,, \\ i, j \ge 1 }} \Big[ B(F^0_i, F^b_j) + B(F^b_j, F^0_i) \Big] + \sum_{\substack{i+j+l = k+1\,, \\ 1\le l \le N\,, i, j \ge 1}} \tfrac{\zeta^l}{l!} \Big[ B(F^{(l)}_i, F^b_j) + B(F^b_j, F^{(l)}_i) \Big]\,. \end{align*}$

这里 $F^b_{k+1}$ 的表达式为

$ \begin{align*} P^0 \frac{F^b_{k+1}}{\mathfrak{M}^0}:=B_0(U^b_3) = U^b_{k+1}\cdot V = \rho^b_{k+1} + u^b_{k+1}\cdot v + \theta^b_{k+1}(\frac{|v|^2}{2} - \frac{3}{2}) \,.\end{align*}$

这里 $U^b_{k+1}=(\rho^b_{k+1}, u^b_{k+1}, \theta^b_{k+1})$ 待定, 将在第 $k+2$ 轮完全确定. 这里 $(I-P^0)F^b_{k+1}$ 将在第 $k+1$ 轮给出形式并完全解出.

可解性条件给出$(u^b_{k-1, i}, \theta^b_{k-1})$\ $(i=1, 2)$ 满足下面的线性可压缩 Prandtl 型方程

(2.41) $ \begin{equation}\label{2.41} \left\{ \begin{aligned} &\!\rho^0\! ( \partial_t \!+\! \bar{u}^0 \!\cdot\! \nabla_{\bar{x}}) \!u^b_{k-1, i} \!+\! \rho^0 \partial_{x_3} u^0_3 \zeta \! \partial_{\zeta} u^b_{k-1, i}\!+\! \rho^0 \!\bar{u}^b_{k-1}\! \cdot \!\nabla_{\bar{x}} \!u^0_i \!+\!\tfrac{ \partial_{x_3} p^0}{ T^0} \theta^b_{k-1} \!= \!\mu (T^0) \partial_{\zeta}^2 u^b_{k-1, i}\! +\! \mathsf{f}^b_{k-2, i} \,, \\ & \rho^0 \partial_t \theta^b_{k-1} \!+\! \rho^0 \bar{u}^0 \cdot \nabla_{\bar{x}} \theta^b_{k-1} \!+\!\frac{1}{3} \rho^0 \partial_{x_3} u^0 \zeta\! \partial_\zeta \theta^b_{k-1}\! +\! \tfrac{2}{3} \rho^0 \div_{x} u^0 \theta^b_{k-1} =\tfrac{1}{5} \!\kappa(T^0)\! \partial_{\zeta\zeta} \theta^b_{k-1} \!+\! \mathsf{g}^b_{k-2} \,, \\ &\displaystyle\lim_{\zeta \to \infty} (\bar{u}^b_{k-1}, \theta^b_{k-1})(t, \bar{x}, \zeta) = (0, 0) \,, \end{aligned} \right.\end{equation}$

并且 $(\mathbf{I} - \mathbf{P}^0) f^b_{k}$、$u^b_{k, 3}$、$p^b_{k}$ 由以下方程确定

$\begin{aligned}\left(\mathcal{I}-\mathcal{P}^{0}\right) f_{k}^{b}= & (\mathcal{L})^{-1}\left\{-\left(\mathcal{I}-\mathcal{P}^{0}\right)\left(v_{3} \partial_{\zeta} \mathcal{P}^{0} f_{k-1}^{b}\right)+\frac{\zeta}{\mathfrak{M}^{0}}\left[B\left(\mathfrak{M}^{(1)}, \mathfrak{M}^{0} \mathcal{P}^{0} f_{k-1}^{b}\right)\right.\right. \\& \left.+B\left(\mathfrak{M}^{0} \mathcal{P}^{0} f_{k-1}^{b}, \mathfrak{M}^{(1)}\right)\right]+\frac{1}{\mathfrak{M}^{0}}\left[B\left(F_{1}^{0}, \mathfrak{M}^{0} \mathcal{P}^{0} f_{k-1}^{b}\right)+B\left(\mathfrak{M}^{0} \mathcal{P}^{0} f_{k-1}^{b}, F_{1}^{0}\right)\right] \\& \left.+\frac{1}{\mathfrak{M}^{0}}\left[B\left(\mathfrak{M}^{0} f_{1}^{b}, \mathfrak{M}^{0} \mathcal{P}^{0} f_{k-1}^{b}\right)+B\left(\mathfrak{M}^{0} \mathcal{P}^{0} f_{k-1}^{b}, \mathfrak{M}^{0} f_{1}^{b}\right)\right]\right\}+J_{k-2}^{b},\end{aligned}$

且

(2.42) $ \begin{equation}\label{2.42} \left\{ \begin{aligned} & \partial_\zeta u^b_{k, 3} = - \frac{1}{\rho^0} ( \partial_t \rho^b_{k-1} + \div_{\bar{x}} ( \rho^0 \bar{u}^b_{k-1} + \rho^b_{k-1} \bar{u}^0 ) )\,, \\ & \displaystyle\lim_{\zeta \to \infty} u^b_{k, 3} (t, \bar{x}, \zeta) = 0 \,, \end{aligned} \right.\end{equation}$

且

(2.43) $ \begin{equation}\label{2.43} \left\{ \begin{aligned} & \partial_\zeta p^b_{k} = - \rho^0 \partial_t u^b_{k-1, 3} - \rho^0 \bar{u}^0 \!\cdot\! \nabla_{\bar{x}} u^b_{k-1, 3} + \rho^0 \partial_{x_3} u^0_3 u^b_{k-1, 3} + \tfrac{4}{3} \mu(T^0) \partial_{\zeta\zeta} u^b_{k-1, 3} \\ &\qquad\quad - \tfrac{4}{3} \rho^0 \partial_\zeta \Big[ \big( \partial_{x_3} u^0 \zeta + u^0_{1, 3} \big) u^b_{k-1, 3} \Big] - \partial_\zeta \langle T^0 A^0_{33}, J^b_{k-2} \rangle + W^b_{k-2, 3}\,, \\ &\displaystyle\lim_{\zeta \to \infty} \theta^b_{k} (t, \bar{x}, \zeta) = 0 \,, \end{aligned} \right.\end{equation}$

源项 $\mathsf{f}^b_{k-2, i} \ (i = 1, 2)$ 和 $\mathsf{g}^b_{k-2}$ 为

$ \begin{align*} \mathsf{f}^b_{k-2, i}& = -\rho^0 \partial_\zeta [ ( \partial_{x_3} u^0_i \zeta + u^0_{1, i} + u^b_{1, i} ) u^b_{k-1, 3} ] - ( \partial_{x_i} - \tfrac{ \partial_{x_i} p^0}{p^0} ) p^b_k+ W^b_{k-2, i} - T^0 \partial_\zeta \langle J^b_{k-2}, A^0_{3i} \rangle \\ &\quad +\eta \sum_{\substack{m+l+j=k-1\,, \\ 0\leq l\leq N, j\geq 1}}\nabla_{\overline{x}} (\frac{\zeta^l}{l!}\phi^{(l)}_m)\nabla _{\overline{v}} \rho^b_j +\eta \sum_{\substack{m+l+j=k-1\,, \\ 0\leq l\leq N, j\geq 1}}\frac{\zeta^l}{l!}\nabla_{\overline{x}} \phi^b_m\rho^{(l)}_j+\eta \sum_{\substack{m+l+j=k-1\,, \\m, j\geq 1}}\nabla_{\overline{x}} \phi^b_m\rho^b_j\,, \\ \mathsf{g}^b_{k-2} &= - \rho^0 \partial_\zeta \Big[ \big( 3 \partial_\zeta T^0 \zeta + \theta^0_1 + \theta^b_1 \big) u^b_{k-1, 3}\Big] + \tfrac{1}{5} H^b_{k-2} - \tfrac{2}{5} (T^0)^{\frac{3}{2}} \partial_\zeta \langle J^b_{k-2}, B^0_3 \rangle\\ &\quad+ \tfrac{1}{5} \big\{ 2 \partial_t + 2 \bar{u} ^0 \cdot \nabla_{\bar{x}} + \tfrac{10}{3} \div_{x} u^0 \big\} p^b_{k-1} +\tfrac{1}{5}\eta \sum_{\substack{i+l+j=k-1\,, \\ 0\leq l\leq N, j\geq 1}}\nabla_{\overline{x}} (\frac{\zeta^l}{l!}\phi^{(l)}_i) (2\rho^b_j\overline{u}^0+2\rho^0\overline{u}^b_j)\\ &\quad+\!\tfrac{1}{5}\eta \!\sum_{\substack{i+l+j=k\,, \\ 0\leq l\leq N, j\geq 1}}\! \partial_{\zeta} (\frac{\zeta^l}{l!}\phi^{(l)}_i)(2\rho^0 u^b_{j, 3})\!+\!\tfrac{1}{5}\eta\! \sum_{\substack{i+l+j=k-1\,, \\ 0\leq l\leq N, j\geq 1}}\!\nabla_{\overline{x}} \phi^b_i\frac{\zeta^l}{l!} (2\rho^{(l)}_j\overline{u}^0+2\rho^0\overline{u}^{(l)}_j)\!\\ &\quad+\!\tfrac{1}{5}\eta\! \sum_{\substack{i+j=k\,, \\i, j\geq 1}}\! \partial_{\zeta} \phi^b_i(2\rho u^b_{j, 3})+ \! \tfrac{1}{5}\eta \!\sum_{\substack{i+j=k\,, \\i, j\geq 1}} \! \nabla_{\overline{x}} \phi^b_i (2\rho^j_j\overline{u}+2\rho\overline{u}_j) \!+\tfrac{1}{5}\eta \!\sum_{\substack{i+l+j=k\,, \\ 0\leq l\leq N, j\geq 1}}\frac{\zeta^l}{l!} \partial_{\zeta} \phi^b_i(2\rho u^{(l)}_{j, 3}) \,, \\ \end{align*}$

且

$\begin{aligned}W_{k-2, i}^{b} & =-\sum_{j=1}^{2} \partial_{x_{j}}\left\langle T^{0}\left(\mathcal{I}-\mathcal{P}^{0}\right) f_{k-1}^{b}, \mathcal{A}_{i j}^{0}\right\rangle+\eta \sum_{\substack{m+l+j=k \\0 \leq l \leq N, j \geq 1}} \partial_{\zeta}\left(\frac{\zeta^{l}}{l!} \phi_{m}^{(l)}\right) \partial_{v_{3}} f_{j}^{b} \\& +\eta \sum_{\substack{m+l+j=k \\0 \leq l \leq N, j \geq 1}} \frac{\zeta^{l}}{l!} \partial_{\zeta} \phi_{m}^{b} \rho_{j}^{(l)}+\eta \sum_{\substack{m+l+j=k \\m, j \geq 1}} \partial_{\zeta} \phi_{m}^{b} \rho_{j}^{b}, \quad \text { for } i=1,2,3, \\H_{k-2}^{b} & =-\sum_{j=1}^{2} \partial_{x_{j}}\left\langle 2\left(T^{0}\right)^{\frac{3}{2}} \mathcal{B}_{j}^{0}+\sum_{l=1}^{2} 2 T^{0} \mathfrak{u}_{l}^{0} \mathcal{A}_{j l}^{0},(\mathcal{I}-\mathcal{P}) f_{k-1}^{b}\right\rangle-2 \overline{\mathfrak{u}}^{0} \cdot \bar{W}_{k-2}^{b},\end{aligned}$

且

$ \begin{align*} J^b_{k-2} = & (L)^{-1} \Big\{ - (\mathcal{I}-\mathcal{P}^0) \Big( \tfrac{1}{\mathfrak{M}^0} \big\{ \partial_t + \bar{v} \cdot \nabla_{\bar{x}} \big\} F^b_{k-2} \Big) - (\mathcal{I}-\mathcal{P}^0) \big( v_3 \partial_\zeta ( \mathcal{I} - \mathcal{P}^0 \big) f^b_{k-1} \big) \\ & -(\mathcal{I}-\mathcal{P}^0)\eta \sum_{\substack{i+l+j=k-2\,, \\ 0\leq l\leq N, j\geq 1}}\nabla_{\overline{x}} (\frac{\zeta^l}{l!}\phi^{(l)}_i)\nabla _{\overline{v}} F^b_j-(\mathcal{I}-\mathcal{P}^0)\eta \sum_{\substack{i+l+j=k-1\,, \\ 0\leq l\leq N, j\geq 1}} \partial_{\zeta} (\frac{\zeta^l}{l!}\phi^{(l)}_i) p _{v_3} F^b_j\\ & + \sum_{\substack{l+j=k\,, \\2 \le l \le N, j\ge 1}} \tfrac{\zeta^l}{l!} \tfrac{1}{\mathfrak{M}^0} \big[ B(\mathfrak{M}^{(l)}, \mathfrak{M}^0f^b_j) + B(\mathfrak{M}^0 f^b_j, \mathfrak{M}^{(l)}) \big] \\ & + \sum_{\substack{l+j=k\,, \\i\ge 2, j\ge 1}} \tfrac{1}{\mathfrak{M}^0} \big[ B(F^0_i, \mathfrak{M}^0 f^b_j) + B(\mathfrak{M}^0 f^b_j, F^0_i) \big] \\ & + \sum_{\substack{l+j=k\,, \\ i, j\ge 2}} \tfrac{1}{\mathfrak{M}^0} \big[ B(\mathfrak{M}^0 f^b_i, \mathfrak{M}^0 f^b_j) + B(\mathfrak{M}^0 f^b_j, \mathfrak{M}^0 f^b_i) \big] \\ & + \sum_{\substack{i+j+k = k\,, \\1\le l \le N, i, j \ge 1}} \tfrac{1}{\mathfrak{M}^0} \tfrac{\zeta^l}{l!} \big[ B(F^{(l)}_i, \mathfrak{M}^0f^b_j) + B(\mathfrak{M}^0 f^b_j, F^{(l)}_i)\big] \\ & + \tfrac{\zeta}{\mathfrak{M}^0} \big[ B(\mathfrak{M}^{(1)}, \mathfrak{M}^0 (\mathcal{I} - \mathcal{P}^0) f^b_{k-1}) + B(\mathfrak{M}^0 (\mathcal{I} - \mathcal{P}^0) f^b_{k-1}, \mathfrak{M}^{(1)}) \big] \\ & + \tfrac{1}{\mathfrak{M}^0} \big[ B(F^0_1, \mathfrak{M}^0 (\mathcal{I} - \mathcal{P}^0) f^b_{k-1}) + B(\mathfrak{M}^0 (\mathcal{I} - \mathcal{P}^0) f^b_{k-1}, F^0_1) \big] \\ & + \tfrac{1}{\mathfrak{M}^0} \big[ B(\mathfrak{M}^0 f^b_1, \mathfrak{M}^0 (\mathcal{I} - \mathcal{P}^0) f^b_{k-1}) + B(\mathfrak{M}^0(\mathcal{I} - \mathcal{P}^0) f^b_{k-1}, \mathfrak{M}^0 f^b_1) \big] \Big\} \,.\end{align*}$

对于 $ \forall (t, \bar{x}, \zeta) \in [0, \tau] \times \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}_+ $.

(1) 解 $p^b_{k}$. 由 (2.43) 式, 我们可以给出 $\rho^0 \theta^b_k+T^0\rho^k_2$ 的关系式子, $\theta^b_{k}, \rho^b_k$ 将在第 $k+1$ 轮完全确定;

(2) 解 $u^b_{k, 3}$. 由 (2.42) 式是一个线性一阶常微分方程, 我们需要先解出 $\bar{u}^b_{k-1}$ 和 $\theta^b_{k-1}$;

(3) 解 $\bar{u}^b_{k-1}$ 和 $\theta^b_{k-1}$. 由 $\bar{u}^b_{k-1}$ 和 $\theta^b_{k-1}$ 满足的方程 (2.41) 以及对应 Robin 边界条件 (2.40), 我们可以解出 $\bar{u}^b_{k-1}$ 和 $\theta^b_{k-1}$, 从而 $F^b_{k-1}$ 完全解出, $u^b_{k, 3}$ 也解出;

(4) 解 $\phi^b_{k+1}$. 粘性边界层 $\phi^{b}_{k+1}$ 的方程为

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \partial^2_{\zeta\zeta}\phi^b_{k+1}+\Delta_{\bar{x}}\phi_{k-1}^b=\eta\int_{ \mathbb{R}^3}F^b_{k-1} d v\,. \end{aligned}\end{equation*}$

通过结合边界条件 $ \displaystyle\lim_{\zeta \to \infty} \phi^{b}_{k+1}=0$ 以及第 $k-2$ 轮解出的 $\phi_{k-1}^b$, 我们可以形式解出 $\phi^{b}_{k+1}$:

$\phi^b_{k+1}(t, \bar{x}, \zeta)=\int^\infty_\zeta(s-\zeta)(\eta\rho^b_{k-1}-\Delta_{\bar{x}}\phi_{k-1}^b)(t, \bar{x}, s) d s. $

由于 $F^b_{k-1}$ 完全解出, 所以这里 $\phi^{b}_{k+1}$ 确定:

(5) 解 $f^{bb}_{k-1}$. 由第 1 轮方程 (2.39), $f^{bb}_{k-1}$ 满足方程为

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} v_3 \cdot \partial_\xi f^{bb}_{k-1, 2} + L f^{bb}_{k-1, 2}=S^{bb}_{k-1, 2} \,, \\ [1.5mm] L^R f^{bb}_{k-1, 2}=H^{bb}_{k-1}\,, \\ [1.5mm] \displaystyle\lim_{_\xi \to \infty}f^{bb}_{k, 2}(t, \bar{x}, \xi, v) = 0\,, \end{array} \right. \end{aligned}\end{equation*}$

这里 $H^{bb}_{k-1}$ 形式如下

$ \begin{align*} H^{bb}_{k-1}&=-L^R(f_{k-1}+f_{k-1}^b)+L^D(f_{k-2}+f^b_{k-2}+f^{bb}_{k-2})\,,\end{align*}$

由第 $k-2$ 轮解出的 $f_{k-2}$, 第 $k-1$ 轮解出的 $f_{k-1}, f^b_{k-2}, f^{bb}_{k-2}$ 以及本轮解出的 $f^b_{k-1}$, 所以 $H^{bb}_{k-1}$ 已知, 本轮 $f^{bb}_{k-1}$ 可解出;

(6) 解 $\phi^{bb}_{k+3}$. 结合第 $k+1$ 轮中 Knudsen 层的 $\phi^{bb}_{k+3}$ 的方程以及边界条件, 以及这里的解出的 $f^{bb}_{k-1}$, 我们可以得到 $\phi^{bb}_{k+3}$ 完全确定.

第 2 步后, 我们得到

• $p^b_{k}$.

• $u^b_{k, 3}$.

• $F^b_{k-1}$, $\phi^b_{k+1}$ 完全解出.

• $f^{bb}_{k-1}$ 完全解出, $\phi^{bb}_{k+3}$ 确定.

第 3 步 内部部分中的 $O(\sqrt{\varepsilon}^{k})$ 阶项. 为了找到满足 ($\rho_k, u_k, \theta_k, \phi_k$) 的方程, 我们考虑内部部分中的 $O(\sqrt{\varepsilon}^{k})$ 阶项

$ \begin{equation*} \begin{aligned} \mathcal{L}F_{k+2}= &-( \partial_t + v \cdot \nabla_x) F_{k}-\eta\nabla_x\phi_{0}\cdot\nabla_v F_{k}-\eta\nabla_x\phi_{k+1}\cdot\nabla_v F_0+\sum_{\substack{i+j=k\,, \\ i, j\ge 1}}\eta\nabla_x\phi_{i}\cdot\nabla_v F_{j} \\ &+ \sum_{\substack{i+j=k+2\,, \\ i, j\ge 1}} B(F_i, F_j) \,, \end{aligned}\end{equation*}$

由此, 这里 $F_{k+2}$ 表达式为

$ \begin{align*} & P\frac{F_{k+2}}{\mathfrak{M}}:=P \frac{F_{k+2}}{\mathfrak{M}}+(I-P) \frac{F_{k+2}}{\mathfrak{M}} \,, \\ & P \frac{F_{k+2}}{\mathfrak{M}}:=I_0(U_{k+2}) = U_{k+2}\cdot V = \rho_{k+2} + u_{k+2}\cdot v + \theta_{k+2}(\frac{|v|^2}{2} - \frac{3}{2}) \,.\end{align*}$

这里 $U_{k+2}=(\rho_{k+2}, u_{k+2}, \theta_{k+2})$ 待定, 将在第 $k+2$ 轮完全确定.$(I-P) \frac{F_{k+2}}{\mathfrak{M}}$ 将在第 $k+1$ 轮完全确定.

内部部分中 $O(\sqrt{\varepsilon}^{k})$ 阶方程的可解性给出流体变量 $(\rho_{k}, u_{k}, \theta_{k}, \phi_k)$ 遵循以下线性双曲-椭圆系统

(2.44) $ \begin{equation}\label{2.44} \left\{ \begin{aligned} & \partial_t \rho_{k} + \div_x (\rho u_{k} + \rho_{k+1} u) = 0 \,, \\ & \rho \big( \partial_t u_{k} + u_{k} \cdot \nabla_x u + u \cdot \nabla_x u_{k} -\eta\nabla_x \phi_{k} \big) - \tfrac{\nabla_x (\rho T)}{\rho} \rho_{k} + \nabla_x ( \rho \theta_{k} + T \rho_{k}) = \mathcal{F}^\bot_u (F_{k}) \,, \\ & \rho \Big( 3 \partial_t \theta_{k} +3 u \cdot \nabla_x \theta_{k} + \tfrac{2}{3} \big( 3\theta_{k} \div_x u + 3 T \div_x u_{k} \big) + 3 \rho u_{k} \cdot \nabla_x T = \mathcal{G}^\bot_\theta (F_{k})\,, \\ &\Delta_x \phi_{k}=\eta\rho_{k}\,, \end{aligned} \right.\end{equation}$

其中 $(\rho, \mathbf{u}, T, \phi_0)$ 是可压缩 Euler-Poisson 方程 (2.6) 的光滑解, 源项 $\mathcal{F}^\bot_u (F_{k})$ 和 $\mathcal{G}^\bot_\theta (F_{k})$ 的定义如下

$\begin{aligned}\mathcal{F}_{u, i}^{\perp}\left(F_{k}\right)= & -\sum_{j=1}^{3} \partial_{x_{j}} \int_{\mathbb{R}^{3}} T \mathcal{A}_{i j} \frac{F_{k}}{\mathfrak{M}} \mathrm{~d} v+\sum_{\substack{m+j=k \\m, j \geq 1}} \rho_{j} \nabla_{x} \phi_{m} \quad(i=1,2,3), \\\mathcal{G}_{\theta}^{\perp}\left(F_{k}\right)= & -\operatorname{div}_{x}\left(2 T^{\frac{3}{2}} \int_{\mathbb{R}^{3}} \mathcal{B} \frac{F_{k}}{\mathfrak{M}} \mathrm{~d} v+\sum_{j=1}^{3} 2 T \mathfrak{u} \cdot \int_{\mathbb{R}^{3}} \mathcal{A} \frac{F_{k}}{\mathfrak{M}} \mathrm{~d} v\right)-2 u \cdot \mathcal{F}_{u}^{\perp}\left(F_{k}\right) \\& -2 u \sum_{\substack{i+j=k, i, j \geq 1}} \rho_{j} \nabla_{x} \phi_{i}+\sum_{\substack{i+j=k, i, j \geq 1}} \nabla_{x} \phi_{i}\left(2 \rho_{j} u+2 \rho u_{j}\right) .\end{aligned}$

这里 $A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ 和 $B \in \mathbb{R}^3$ 是具有以下分量的 Burnett 函数

$ \begin{equation*} \begin{aligned} A_{ij} = & \Big\{ \tfrac{(v_i - u_i) (v_j - u_j)}{T} - \delta_{ij} \tfrac{|v - u|^2}{3 T} \Big\} \mathfrak{M}, \quad 1 \leq i, j \leq 3 \,, \\ B_i = & \tfrac{v_i - u_i}{2 \sqrt{T}} \Big( \tfrac{|v - u|^2}{T} - 5 \Big) \mathfrak{M}, \quad 1 \leq i \leq 3 \,. \end{aligned}\end{equation*}$

最后, (2.44) 式的初值条件为

(2.45) $ \begin{equation} \begin{aligned} (\rho_{k}, u_{k}, \theta_{k}) (0, x) = (\rho_{k}^{in}, u_{k}^{in}, \theta_{k}^{in}) (x) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R} \,, \quad k = 1, 2, 3 \,, \cdots. \end{aligned}\end{equation}$

边界条件为

(2.46) $\begin{aligned}u_{k, 3}(t, \bar{x}, 0)= & -u_{k, 3}^{b}(t, \bar{x}, 0)-T^{0}\left(\Psi_{k}+5 T^{0} \Theta_{k}\right)(t, \bar{x}, 0) \\= & \int_{\zeta}^{+\infty} \frac{1}{\rho^{0}}\left(\partial_{t} \rho_{k-1}^{b}+\operatorname{div}_{\bar{x}}\left(\rho^{0} \bar{u}_{k-1}^{b}+\rho_{k-1}^{b} \bar{u}^{0}\right)\right) d \bar{\zeta} \\& -T^{0}\left(\Psi_{k}+5 T^{0} \Theta_{k}\right)(t, \bar{x}, 0), \quad \partial \Omega . \\\left.\frac{\partial \phi_{k}}{\partial n}\right|_{\partial \Omega}= & \left.\left(\partial_{\zeta} \phi_{k+1}^{b}+\partial_{\xi} \phi_{k+2}^{b b}\right)\right|_{\partial \Omega} .\end{aligned}$

这里 $\Psi_k, \Theta_k$ 在 (2.18)式中给出, $\rho^b_{k-1}, \bar{u}^b_{k-1}$ 在本轮第二步解出. 这里由于 $f^b_{k-1}$ 和 $\phi^b_{k+1}, \phi^{bb}_{k+2}$ 前面已经求解, 所以是已知项, 至此 $F_k$ 完全确定, $\phi_k$ 解出.

总结第 $k$ 轮后, 我们可以完全解出

• $f^{bb}_{k-1}, \phi^{bb}_{k+3}$ 完全解出.

• $F^{b}_{k-1}, \phi^{b}_{k+1}$ 完全解出.

• $F^b_k, F_{k+2}$ 的表达式.

• $F_k, \phi_k$ 完全解出.

3 未来展望

基于本文的工作, 我们已经通过 Hilbert 展开方法, 完成了半空间上带 Maxwell 反射边界条件的 Vlasov-Poisson-Boltzmann 方程流体极限及边界层问题的形式分析过程. 当 $\varepsilon \to 0$ 时, VPB 方程 (1.1) 的解 $F_\varepsilon$, $\phi_\varepsilon$ 收敛到 $\mathfrak{M}$ 和 $\phi_0$. $(\rho, u, T, \phi_0)$ 满足可压缩 Euler-Poisson 方程 (2.6), 具有初值条件 (2.8) 和边界条件 (2.7). 内部各阶流体变量 $(\rho_{k}, u_{k}, \theta_{k}, \phi_k) (k\geq1)$ 满足线性双曲-椭圆系统 (2.44),满足初值条件 (2.45) 和边界条件 (2.46). 粘性边界层展开中, 由 2.5 节, 我们知道 $f^b_o=\phi^b_0=0$, 当 $k\geq1$ 时, 粘性边界层满足线性可压缩 Prandtl 型方程 (2.41),具有初值条件 (2.16) 和 Robin 边界条件 (2.25). 动理学层展开中, Knudsen 边界层满足的方程为 (2.40), 其可解性条件为 (2.21). 至此, 我们系统推导了各阶内部流体方程、粘性边界层方程与 Knudsen 层方程, 清晰呈现了各边界层之间的耦合关系及形式上的求解过程. 后续研究将围绕形式分析对应的严格数学证明及相关核心内容逐步推进:首先, 完善余项方程的具体形式, 明确本文主定理的核心表述; 其次, 针对可压缩 Euler-Poisson 方程、高阶线性双曲-椭圆耦合系统、流体粘性边界层及 Knudsen 层方程建立完整的适定性理论与一致能量估计; 在此基础上, 进一步利用能量方法完成余项方程的能量估计与误差分析, 最终给出主定理的完整证明, 从而实现形式分析与严格数学证明的有机统一, 完善该类动理学方程边界层问题的理论体系.

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The Incompressible Navier-Stokes Limit of the Boltzmann Equation for Hard Cutoff Potentials

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Guo

Boltzmann diffusive limit beyond the Navier-Stokes approximation

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Hilbert expansion of the Boltzmann equation with specular boundary condition in half-space

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Guo

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Global Hilbert Expansion for the Vlasov-Poisson-Boltzmann System

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Local Hilbert expansion for the Boltzmann equation

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Guo

, Jang

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Acoustic limit for the Boltzmann equation in optimal scaling

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Fluid dynamic limit to the Riemann solutions of Euler equations: I. Superposition of rarefaction waves and contact discontinuity

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Huang

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Compressible Euler limit from Boltzmann equation with Maxwell reflection boundary condition in half-spaces. arXiv:2101.11199

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Boundary layers and incompressible Navier-Stokes-Fourier limit of the Boltzmann equation in bounded domain I

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Global Euler-Poisson limit to the Vlasov-Poisson-Boltzmann System with soft potential

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Hydrodynamic limit of the Boltzmann equation to the planar rarefaction wave in three dimensional space

SIAM J Math Anal, 2021, 53(4): 4692-4726

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Xin

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Zero-viscosity limit of the linearized Navier-Stokes equations for a compressible viscous fluid in the half-plane

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Yang

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H J

Optimal convergence rates of classical solutions for Vlasov-Poisson-Boltzmann system

Comm Math Phys, 2011, 301(2): 319-355

[本文引用: 1]

2019

... 关于从有量纲的 VPB 方程推导到无量纲形式的 (1.1) 式的过程的详细信息, 读者可以在文献 [1] 中找到. ...

The Milne and Kramers problems for the Boltzmann equation of a hard sphere gas

1986

... 引理 2.1^[2] 我们假设 ...

Fluid dynamic limits of kinetic equations I Formal derivations

1991

... 在不可压缩流体的极限理论方面, 如 Navier-Stokes 方程、Stokes 方程甚至 Euler 方程, 取得了许多重要的进展, 我们只列举一些代表性的结果, 其中一组结果是在 DiPerna-Lions 重整化解的框架下进行^[9]. 著名的 BGL 计划旨在证明不可压缩 Navier-Stokes 方程的 Leray 解的极限, 该计划最初由 Bardos-Golse-Levermore 提出^[3,4], 并由 Golse 和 Saint-Raymond 完成^[10,12]. 在有界域中的相应结果可参考[24,27], 我们还应该提到 Saint-Raymond 关于不可压缩 Euler 方程的极限^[29,30]. 另一组结果是在经典解的框架下, 这些解基于非线性能量方法、半群方法或超强制性 (后两者进一步依赖于线性化 Boltzmann 算子的谱分析),参考文献 [5,9,13,22,25]. ...

Fluid dynamic limits of kinetic equations II convergence proof for the Boltzmann equation

1993

The classical incompressible Navier-Stokes limit of the Boltzmann equation

1991

Weitere studien über das wärmegleichgewicht unter gasmolekülen

1872

... 在 Maxwell^[28] 和 Boltzmann^[6] 的创始工作中, 表明 Boltzmann 方程与可压缩和不可压缩流动的流体动力系统密切相关. 1912 年, Hilbert 提出了 Boltzmann 方程关于克努森数 $Kn$ 远小于 1 的系统形式渐近展开. 后来, Enskog 和 Chapman 独立提出了一个不同的形式展开, 在 1916 年和 1917 年, Hilbert 或 Chapman-Enskog 展开产生可压缩和不可压缩流体方程, 例如可压缩 Euler 和 Navier-Stokes 系统, 不可压缩 Euler 和 Navier-Stokes (Fourier) 系统, 以及声波系统等, 证明这些形式近似的合理性是一个具有挑战性的问题. 从严格的数学角度来看, 其实 Hilbert 第六个问题^[18]的目的是从更微观的物理上建立连续运动定律模型, 如 Boltzmann 理论.基于截断的 Hilbert 展开, Caflish^[7] 证明了从 Boltzmann 方程的解到 Euler 方程的光滑解的的转化过程,后续工作有见^[17,30]. 事实上, 可压缩 Euler 的溶液方程一般会发展奇点, 例如冲击波. 一般而言可压缩 Euler 方程有三种基本波型: 冲击波, 稀疏波和接触不连续性. Boltzmann 对这种波型的流体动力学极限已经在一维中得到了证明^[19-21]. 对于多维情况, 唯一的结果是平面稀疏波^[33].声波方程是可压缩 Euler 方程的线性化关于空间均匀的流体状态. 本质上是波动方程, 它们构成了流体动力学中最简单的偏微分方程系统. ...

The fluid dynamic limit of the nonlinear Boltzmann equation

1980

... $L$ 的零空间 $\mathcal{N}$ 为 (见文献 [7]) ...

... 这里 $\langle v \rangle = \sqrt{1 + |v|^2}$. 令 $\mathcal{P} g$ 是 $L^2_v$ 到零空间 $\mathcal{N}$ 上的映射. 则 (见文献 [7]) 存在正常数 $c_0 > 0$ 使得 ...

Zero viscosity and thermal diffusivity limit of the linearized compressible Navier-Stokes-Fourier equations in the half plane

2022

... 在文献 [14] 中, Guo-Huang-Wang 使用 Hilbert 展开方法证明了可压缩 Euler 极限, 这个方法在 Sone 的著作中有形式化的推导. 他们考虑了 $\alpha_\varepsilon=0$, 即镜像反射. 我们强调, 在这种情况下, 由不可渗透条件控制的局部 Maxwellian 确实满足镜像反射条件. 从这个意义上说, 似乎不需要边界层. 在本文与文献 [23] 中, 使用了 Hilbert 展开, 在更高阶时, 边界条件不匹配. 因此, 需要同时考虑粘性层和动理学层. 在流体方程的背景下, 应用可压缩 Prandtl 方程并不是一件新鲜的事. 它已经在可压缩 Naver-Stokes 方程的粘性消失极限中进行了研究. 这个现象与文献 [14] 和 ^[23] 的论文是一致的, 因为具有粘性和热导率为 $O(\varepsilon)$ 阶的可压缩 Navier-Stokes 系统可以从 Boltzmann 方程导出 (更准确地说, 通过 Chapman-Enskog 展开). 这意味着文献 [14] 和 ^[23] 包含了这个极限, 但对于可压缩 Navier-Stokes 方程具有不同的边界条件: 文献 [14] 对应于 Neumann 边界, 文献 [23] 对应于混合 Robin 边界. Xin-Yanagisawa 在文献 [34] 中证明了带有 Dirichlet 条件的线性可压缩 Navier-Stokes 系统的零粘性极限, 其中也使用了线性可压缩 Prandtl 方程, 这个结果在文献 [8] 中扩展到包括温度方程的情况. ...

On the Cauchy problem for the Boltzmann equation: global existence and weak stability

1989

... ,9,13,22,25]. ...

The Navier-Stokes limit of the Boltzmann equation for bounded collision kernels

2004

On a boundary layer problem for the nonlinear Boltzmann equation

1988

... 对于 VPB 系统, 关于其动理学问题已经进行了一些研究^[15,26,35]. 关于带边的情形, 情况要复杂得多.^[31,32] 从带有 Maxwell 反射条件 (具有非零适应系数) 的 Boltzmann 方程导出可压缩 Euler 系统的方程需要两个耦合的边界层: 粘性层和动理学层. 前者通常被称为 Prandtl 层, 后者在物理文献中被称为 Knudsen 层. 这两种类型的边界层之所以需要是因为: 在内部, 主导项是可压缩 Euler 系统, 其自然边界条件是不可渗透条件 $u\cdot n=0$. 然而, 受这个条件控制的局部 Maxwellian 不满足 Maxwell 反射边界条件, 除非是镜像反射的情况 (即 $\alpha_\varepsilon=0$). 因此, 需要具有厚度为 $\varepsilon$ 的动理学层. 在这些层中, 每个项满足线性动理学边界层方程, 它需要四个可解性条件 (Golse-Perthame-Sulem 定理 ^[11]), 但可压缩 Euler 系统的边界条件数量为一个. 这种不匹配表明应该存在另一层, 其厚度为 $\sqrt{\varepsilon}$ 的Prandtl 层. 这个名称源于以下事实:在这个层中, 每项满足著名的可压缩 Prandtl 方程. 具体而言, 如果 $\alpha_\varepsilon=O(1)$, 主导项满足非线性可压缩 Prandtl 方程, 高阶项满足线性化可压缩 Prandtl 方程. 如果$\alpha_\varepsilon=O(\varepsilon^\beta)$, 其中 $\beta>0$, 边界层是弱的, 从而所有的边界项都出现在高阶中. 因此, 非线性 Prandtl 方程不会出现. 本文从具有 Maxwell 反射条件的 VPB 方程推导出可压缩 Euler-Poisson 系统的方程需要两个耦合的边界层: 粘性层和动理学层, 旨在对于 $\alpha_\varepsilon=O(\sqrt{\varepsilon})$ 的情况给出严格的证明. ...

... 对于函数 $\mathrm{f}_k (t, \bar{x}, \bar{v}, v_3)$ 只定义在 $v_3 < 0$, 对于 $v_3 > 0$ 为 0, 文献^[11] 证明了 (2.19)-(2.20) 的可解性条件是 ...

The Incompressible Navier-Stokes Limit of the Boltzmann Equation for Hard Cutoff Potentials

2009

Boltzmann diffusive limit beyond the Navier-Stokes approximation

2006

Hilbert expansion of the Boltzmann equation with specular boundary condition in half-space

2021

... ] 中, 使用了 Hilbert 展开, 在更高阶时, 边界条件不匹配. 因此, 需要同时考虑粘性层和动理学层. 在流体方程的背景下, 应用可压缩 Prandtl 方程并不是一件新鲜的事. 它已经在可压缩 Naver-Stokes 方程的粘性消失极限中进行了研究. 这个现象与文献 [14] 和 ^[23] 的论文是一致的, 因为具有粘性和热导率为 $O(\varepsilon)$ 阶的可压缩 Navier-Stokes 系统可以从 Boltzmann 方程导出 (更准确地说, 通过 Chapman-Enskog 展开). 这意味着文献 [14] 和 ^[23] 包含了这个极限, 但对于可压缩 Navier-Stokes 方程具有不同的边界条件: 文献 [14] 对应于 Neumann 边界, 文献 [23] 对应于混合 Robin 边界. Xin-Yanagisawa 在文献 [34] 中证明了带有 Dirichlet 条件的线性可压缩 Navier-Stokes 系统的零粘性极限, 其中也使用了线性可压缩 Prandtl 方程, 这个结果在文献 [8] 中扩展到包括温度方程的情况. ...

... 的论文是一致的, 因为具有粘性和热导率为 $O(\varepsilon)$ 阶的可压缩 Navier-Stokes 系统可以从 Boltzmann 方程导出 (更准确地说, 通过 Chapman-Enskog 展开). 这意味着文献 [14] 和 ^[23] 包含了这个极限, 但对于可压缩 Navier-Stokes 方程具有不同的边界条件: 文献 [14] 对应于 Neumann 边界, 文献 [23] 对应于混合 Robin 边界. Xin-Yanagisawa 在文献 [34] 中证明了带有 Dirichlet 条件的线性可压缩 Navier-Stokes 系统的零粘性极限, 其中也使用了线性可压缩 Prandtl 方程, 这个结果在文献 [8] 中扩展到包括温度方程的情况. ...

... 包含了这个极限, 但对于可压缩 Navier-Stokes 方程具有不同的边界条件: 文献 [14] 对应于 Neumann 边界, 文献 [23] 对应于混合 Robin 边界. Xin-Yanagisawa 在文献 [34] 中证明了带有 Dirichlet 条件的线性可压缩 Navier-Stokes 系统的零粘性极限, 其中也使用了线性可压缩 Prandtl 方程, 这个结果在文献 [8] 中扩展到包括温度方程的情况. ...

... 需要特别指出的是, 文献 [24] 的工作中已经使用了耦合的粘性层和动理学层, 尽管形式上与文献 [14] 和本文略有不同. 文献 [24] 讨论的是不可压缩 Navier-Stokes 极限, 实际上不需要粘性层. 然而, 文献 [24] 的主要问题是证明声波的作用, 而声波是可压缩的. 因此, 不可压缩 Navier-Stokes 极限 (在时间尺度 $O(\frac{1}{\varepsilon})$ 内发生) 在短时间尺度 $O(1)$ 内包含了声波极限. 从这个意义上说, 文献 [24] 中的两个边界层与本文和[14,23] 中的边界层是相同的 (再次强调, [14,23] 和本文中的所有边界层都是线性的, 因为它们出现在高阶项中). 主要的区别在于, 文献 [24] 采用了重整化解的框架, 无法展开. 因此, 在耦合的粘性层和动理学层中, 以对偶的形式考虑这些层, 这些层出现在测试函数中. 具体而言, 动理学层的方程与本文和文献 [14] 中的方程是相同的, 但边界条件不同. 文献 [23] 中的 Maxwell 反射情况下, 墙面 Maxwellian 是局部的且非平凡的, 而在文献 [24] 中, 墙面 Maxwellian 是全局的, 即 $M(v)$. 在文献 [14] 中, 由于考虑的是镜像反射边界条件, 因此没有墙面 Maxwellian. 对于粘性层的部分, 在文献 [24] 中使用了稳态版本, 即退化热算子, 而在文献 [14] 和 ^[23] 中使用了线性化的可压缩 Prandtl 方程. 除此之外, 本文考虑的系统还耦合了关于电势的 Poisson 方程, 边界层展开会产生新的困难. ...

... ] 中的两个边界层与本文和[14,23] 中的边界层是相同的 (再次强调, [14,23] 和本文中的所有边界层都是线性的, 因为它们出现在高阶项中). 主要的区别在于, 文献 [24] 采用了重整化解的框架, 无法展开. 因此, 在耦合的粘性层和动理学层中, 以对偶的形式考虑这些层, 这些层出现在测试函数中. 具体而言, 动理学层的方程与本文和文献 [14] 中的方程是相同的, 但边界条件不同. 文献 [23] 中的 Maxwell 反射情况下, 墙面 Maxwellian 是局部的且非平凡的, 而在文献 [24] 中, 墙面 Maxwellian 是全局的, 即 $M(v)$. 在文献 [14] 中, 由于考虑的是镜像反射边界条件, 因此没有墙面 Maxwellian. 对于粘性层的部分, 在文献 [24] 中使用了稳态版本, 即退化热算子, 而在文献 [14] 和 ^[23] 中使用了线性化的可压缩 Prandtl 方程. 除此之外, 本文考虑的系统还耦合了关于电势的 Poisson 方程, 边界层展开会产生新的困难. ...

... ] 中的边界层是相同的 (再次强调, [14,23] 和本文中的所有边界层都是线性的, 因为它们出现在高阶项中). 主要的区别在于, 文献 [24] 采用了重整化解的框架, 无法展开. 因此, 在耦合的粘性层和动理学层中, 以对偶的形式考虑这些层, 这些层出现在测试函数中. 具体而言, 动理学层的方程与本文和文献 [14] 中的方程是相同的, 但边界条件不同. 文献 [23] 中的 Maxwell 反射情况下, 墙面 Maxwellian 是局部的且非平凡的, 而在文献 [24] 中, 墙面 Maxwellian 是全局的, 即 $M(v)$. 在文献 [14] 中, 由于考虑的是镜像反射边界条件, 因此没有墙面 Maxwellian. 对于粘性层的部分, 在文献 [24] 中使用了稳态版本, 即退化热算子, 而在文献 [14] 和 ^[23] 中使用了线性化的可压缩 Prandtl 方程. 除此之外, 本文考虑的系统还耦合了关于电势的 Poisson 方程, 边界层展开会产生新的困难. ...

... ] 采用了重整化解的框架, 无法展开. 因此, 在耦合的粘性层和动理学层中, 以对偶的形式考虑这些层, 这些层出现在测试函数中. 具体而言, 动理学层的方程与本文和文献 [14] 中的方程是相同的, 但边界条件不同. 文献 [23] 中的 Maxwell 反射情况下, 墙面 Maxwellian 是局部的且非平凡的, 而在文献 [24] 中, 墙面 Maxwellian 是全局的, 即 $M(v)$. 在文献 [14] 中, 由于考虑的是镜像反射边界条件, 因此没有墙面 Maxwellian. 对于粘性层的部分, 在文献 [24] 中使用了稳态版本, 即退化热算子, 而在文献 [14] 和 ^[23] 中使用了线性化的可压缩 Prandtl 方程. 除此之外, 本文考虑的系统还耦合了关于电势的 Poisson 方程, 边界层展开会产生新的困难. ...

... ] 中, 墙面 Maxwellian 是全局的, 即 $M(v)$. 在文献 [14] 中, 由于考虑的是镜像反射边界条件, 因此没有墙面 Maxwellian. 对于粘性层的部分, 在文献 [24] 中使用了稳态版本, 即退化热算子, 而在文献 [14] 和 ^[23] 中使用了线性化的可压缩 Prandtl 方程. 除此之外, 本文考虑的系统还耦合了关于电势的 Poisson 方程, 边界层展开会产生新的困难. ...

... ] 中使用了稳态版本, 即退化热算子, 而在文献 [14] 和 ^[23] 中使用了线性化的可压缩 Prandtl 方程. 除此之外, 本文考虑的系统还耦合了关于电势的 Poisson 方程, 边界层展开会产生新的困难. ...

... 与文献 [14] 中计算类似, 将 $F_\varepsilon + F^b_\varepsilon$ 带入 Boltzmann 方程 (1.1) 中有 ...

... 对于 $k \geq 1$, $(u^b_{k, i}, \theta^b_k)$\ (i=1, 2)满足下面的线性可压缩 Prandtl 型方程¹（¹在文献 [14] 中, 同样的系统称为线性抛物系统. ） ...

... 它们在 $v_3 > 0$ 时为 0, 我们指出, 在镜面反射边界条件的情况下, $\mathrm{g}_k (t, \bar{x}, v) \equiv 0$, 参见文献 [14]. ...

... 根据文献 [14,第 2.4 节], ...

... 如文献 [14] 所示, 结合 (2.5) 式, 我们有 ...

... 如文献 [14,第 2.4 节] 中所计算的, ...

Global Hilbert Expansion for the Vlasov-Poisson-Boltzmann System

2010

Local Hilbert expansion for the Boltzmann equation

2009

... 如文献 [16], 对于 $k \geq 1$, ...

Acoustic limit for the Boltzmann equation in optimal scaling

2010

Mathematical Problems

2000

Hydrodynamic limit of the Boltzmann equation with contact discontinuities

2010

Fluid dynamic limit to the Riemann solutions of Euler equations: I. Superposition of rarefaction waves and contact discontinuity

2010

The limit of the Boltzmann equation to the Euler equations for Riemann problems

2013

Incompressible Euler limit from Boltzmann equation with Diffuse Boundary Condition for Analytic data

2021

... [23] 的论文是一致的, 因为具有粘性和热导率为 $O(\varepsilon)$ 阶的可压缩 Navier-Stokes 系统可以从 Boltzmann 方程导出 (更准确地说, 通过 Chapman-Enskog 展开). 这意味着文献 [14] 和 ^[23] 包含了这个极限, 但对于可压缩 Navier-Stokes 方程具有不同的边界条件: 文献 [14] 对应于 Neumann 边界, 文献 [23] 对应于混合 Robin 边界. Xin-Yanagisawa 在文献 [34] 中证明了带有 Dirichlet 条件的线性可压缩 Navier-Stokes 系统的零粘性极限, 其中也使用了线性可压缩 Prandtl 方程, 这个结果在文献 [8] 中扩展到包括温度方程的情况. ...

... [23] 包含了这个极限, 但对于可压缩 Navier-Stokes 方程具有不同的边界条件: 文献 [14] 对应于 Neumann 边界, 文献 [23] 对应于混合 Robin 边界. Xin-Yanagisawa 在文献 [34] 中证明了带有 Dirichlet 条件的线性可压缩 Navier-Stokes 系统的零粘性极限, 其中也使用了线性可压缩 Prandtl 方程, 这个结果在文献 [8] 中扩展到包括温度方程的情况. ...

... ] 对应于 Neumann 边界, 文献 [23] 对应于混合 Robin 边界. Xin-Yanagisawa 在文献 [34] 中证明了带有 Dirichlet 条件的线性可压缩 Navier-Stokes 系统的零粘性极限, 其中也使用了线性可压缩 Prandtl 方程, 这个结果在文献 [8] 中扩展到包括温度方程的情况. ...

... ,23] 和本文中的所有边界层都是线性的, 因为它们出现在高阶项中). 主要的区别在于, 文献 [24] 采用了重整化解的框架, 无法展开. 因此, 在耦合的粘性层和动理学层中, 以对偶的形式考虑这些层, 这些层出现在测试函数中. 具体而言, 动理学层的方程与本文和文献 [14] 中的方程是相同的, 但边界条件不同. 文献 [23] 中的 Maxwell 反射情况下, 墙面 Maxwellian 是局部的且非平凡的, 而在文献 [24] 中, 墙面 Maxwellian 是全局的, 即 $M(v)$. 在文献 [14] 中, 由于考虑的是镜像反射边界条件, 因此没有墙面 Maxwellian. 对于粘性层的部分, 在文献 [24] 中使用了稳态版本, 即退化热算子, 而在文献 [14] 和 ^[23] 中使用了线性化的可压缩 Prandtl 方程. 除此之外, 本文考虑的系统还耦合了关于电势的 Poisson 方程, 边界层展开会产生新的困难. ...

... ] 中的方程是相同的, 但边界条件不同. 文献 [23] 中的 Maxwell 反射情况下, 墙面 Maxwellian 是局部的且非平凡的, 而在文献 [24] 中, 墙面 Maxwellian 是全局的, 即 $M(v)$. 在文献 [14] 中, 由于考虑的是镜像反射边界条件, 因此没有墙面 Maxwellian. 对于粘性层的部分, 在文献 [24] 中使用了稳态版本, 即退化热算子, 而在文献 [14] 和 ^[23] 中使用了线性化的可压缩 Prandtl 方程. 除此之外, 本文考虑的系统还耦合了关于电势的 Poisson 方程, 边界层展开会产生新的困难. ...

... [23] 中使用了线性化的可压缩 Prandtl 方程. 除此之外, 本文考虑的系统还耦合了关于电势的 Poisson 方程, 边界层展开会产生新的困难. ...

Boundary layers and incompressible Navier-Stokes-Fourier limit of the Boltzmann equation in bounded domain I

2017

... ] 和本文略有不同. 文献 [24] 讨论的是不可压缩 Navier-Stokes 极限, 实际上不需要粘性层. 然而, 文献 [24] 的主要问题是证明声波的作用, 而声波是可压缩的. 因此, 不可压缩 Navier-Stokes 极限 (在时间尺度 $O(\frac{1}{\varepsilon})$ 内发生) 在短时间尺度 $O(1)$ 内包含了声波极限. 从这个意义上说, 文献 [24] 中的两个边界层与本文和[14,23] 中的边界层是相同的 (再次强调, [14,23] 和本文中的所有边界层都是线性的, 因为它们出现在高阶项中). 主要的区别在于, 文献 [24] 采用了重整化解的框架, 无法展开. 因此, 在耦合的粘性层和动理学层中, 以对偶的形式考虑这些层, 这些层出现在测试函数中. 具体而言, 动理学层的方程与本文和文献 [14] 中的方程是相同的, 但边界条件不同. 文献 [23] 中的 Maxwell 反射情况下, 墙面 Maxwellian 是局部的且非平凡的, 而在文献 [24] 中, 墙面 Maxwellian 是全局的, 即 $M(v)$. 在文献 [14] 中, 由于考虑的是镜像反射边界条件, 因此没有墙面 Maxwellian. 对于粘性层的部分, 在文献 [24] 中使用了稳态版本, 即退化热算子, 而在文献 [14] 和 ^[23] 中使用了线性化的可压缩 Prandtl 方程. 除此之外, 本文考虑的系统还耦合了关于电势的 Poisson 方程, 边界层展开会产生新的困难. ...

... ] 讨论的是不可压缩 Navier-Stokes 极限, 实际上不需要粘性层. 然而, 文献 [24] 的主要问题是证明声波的作用, 而声波是可压缩的. 因此, 不可压缩 Navier-Stokes 极限 (在时间尺度 $O(\frac{1}{\varepsilon})$ 内发生) 在短时间尺度 $O(1)$ 内包含了声波极限. 从这个意义上说, 文献 [24] 中的两个边界层与本文和[14,23] 中的边界层是相同的 (再次强调, [14,23] 和本文中的所有边界层都是线性的, 因为它们出现在高阶项中). 主要的区别在于, 文献 [24] 采用了重整化解的框架, 无法展开. 因此, 在耦合的粘性层和动理学层中, 以对偶的形式考虑这些层, 这些层出现在测试函数中. 具体而言, 动理学层的方程与本文和文献 [14] 中的方程是相同的, 但边界条件不同. 文献 [23] 中的 Maxwell 反射情况下, 墙面 Maxwellian 是局部的且非平凡的, 而在文献 [24] 中, 墙面 Maxwellian 是全局的, 即 $M(v)$. 在文献 [14] 中, 由于考虑的是镜像反射边界条件, 因此没有墙面 Maxwellian. 对于粘性层的部分, 在文献 [24] 中使用了稳态版本, 即退化热算子, 而在文献 [14] 和 ^[23] 中使用了线性化的可压缩 Prandtl 方程. 除此之外, 本文考虑的系统还耦合了关于电势的 Poisson 方程, 边界层展开会产生新的困难. ...

... ] 的主要问题是证明声波的作用, 而声波是可压缩的. 因此, 不可压缩 Navier-Stokes 极限 (在时间尺度 $O(\frac{1}{\varepsilon})$ 内发生) 在短时间尺度 $O(1)$ 内包含了声波极限. 从这个意义上说, 文献 [24] 中的两个边界层与本文和[14,23] 中的边界层是相同的 (再次强调, [14,23] 和本文中的所有边界层都是线性的, 因为它们出现在高阶项中). 主要的区别在于, 文献 [24] 采用了重整化解的框架, 无法展开. 因此, 在耦合的粘性层和动理学层中, 以对偶的形式考虑这些层, 这些层出现在测试函数中. 具体而言, 动理学层的方程与本文和文献 [14] 中的方程是相同的, 但边界条件不同. 文献 [23] 中的 Maxwell 反射情况下, 墙面 Maxwellian 是局部的且非平凡的, 而在文献 [24] 中, 墙面 Maxwellian 是全局的, 即 $M(v)$. 在文献 [14] 中, 由于考虑的是镜像反射边界条件, 因此没有墙面 Maxwellian. 对于粘性层的部分, 在文献 [24] 中使用了稳态版本, 即退化热算子, 而在文献 [14] 和 ^[23] 中使用了线性化的可压缩 Prandtl 方程. 除此之外, 本文考虑的系统还耦合了关于电势的 Poisson 方程, 边界层展开会产生新的困难. ...

... ] 和本文中的所有边界层都是线性的, 因为它们出现在高阶项中). 主要的区别在于, 文献 [24] 采用了重整化解的框架, 无法展开. 因此, 在耦合的粘性层和动理学层中, 以对偶的形式考虑这些层, 这些层出现在测试函数中. 具体而言, 动理学层的方程与本文和文献 [14] 中的方程是相同的, 但边界条件不同. 文献 [23] 中的 Maxwell 反射情况下, 墙面 Maxwellian 是局部的且非平凡的, 而在文献 [24] 中, 墙面 Maxwellian 是全局的, 即 $M(v)$. 在文献 [14] 中, 由于考虑的是镜像反射边界条件, 因此没有墙面 Maxwellian. 对于粘性层的部分, 在文献 [24] 中使用了稳态版本, 即退化热算子, 而在文献 [14] 和 ^[23] 中使用了线性化的可压缩 Prandtl 方程. 除此之外, 本文考虑的系统还耦合了关于电势的 Poisson 方程, 边界层展开会产生新的困难. ...

... ] 中的 Maxwell 反射情况下, 墙面 Maxwellian 是局部的且非平凡的, 而在文献 [24] 中, 墙面 Maxwellian 是全局的, 即 $M(v)$. 在文献 [14] 中, 由于考虑的是镜像反射边界条件, 因此没有墙面 Maxwellian. 对于粘性层的部分, 在文献 [24] 中使用了稳态版本, 即退化热算子, 而在文献 [14] 和 ^[23] 中使用了线性化的可压缩 Prandtl 方程. 除此之外, 本文考虑的系统还耦合了关于电势的 Poisson 方程, 边界层展开会产生新的困难. ...

... ] 中, 由于考虑的是镜像反射边界条件, 因此没有墙面 Maxwellian. 对于粘性层的部分, 在文献 [24] 中使用了稳态版本, 即退化热算子, 而在文献 [14] 和 ^[23] 中使用了线性化的可压缩 Prandtl 方程. 除此之外, 本文考虑的系统还耦合了关于电势的 Poisson 方程, 边界层展开会产生新的困难. ...

Incompressible Navier-Stokes-Fourier limit from the Boltzmann equation: classical solutions

2018

Global Euler-Poisson limit to the Vlasov-Poisson-Boltzmann System with soft potential

2023

From the Boltzmann equation to the Stokes-Fourier system in a bounded domain

2003

1965

Convergence of solutions to the Boltzmann equation in the incompressible Euler limit

2003

Hydrodynamic limits: some improvements of the relative entropy method

2009

2002

... 这里需要指出的是条件 (1.4) 表明被墙壁吸收的粒子将完全以高斯分布的形式完全释放出来.这与 Sone 的文献 [32] 中的形式一致, 在这里, 我们要注意的是粘性系数 $\alpha_\varepsilon \in [0,1]$ 描述了分子对壁面状态的适应程度. 特别地, $\alpha_\varepsilon=0$ 对应于镜面反射, 而 $\alpha_\varepsilon=1$ 表示完全扩散. 通常, 这个系数可以采用 $\chi \varepsilon^\beta$ 的形式, 其中 $\beta \geq 0$. 在本文中, 我们考虑 $\alpha_\varepsilon = \sqrt{2 \pi} \varepsilon^{\frac{1}{2}}$, 从分析角度来看, 当 $\beta \neq \frac{1}{2}, 0$ 时, 情况将类似于当前的论文 (但边界层的展开会更加复杂). 对于 $\beta=0$ 的情况, 形式分析将是相同的 (所有细节都在 Sone 的[31,32] 中), 只是在主导阶上涉及到了{非线性}可压缩 Prandtl 方程, 其在 Sobolev 类型空间中的适定性 (即使是局部适定性) 是一个未被解决的问题. ...

2007

... ,32] 中), 只是在主导阶上涉及到了{非线性}可压缩 Prandtl 方程, 其在 Sobolev 类型空间中的适定性 (即使是局部适定性) 是一个未被解决的问题. ...

... 如 Sone 的文献 [32] 中所示, 粘性边界层展开如下 ...

Hydrodynamic limit of the Boltzmann equation to the planar rarefaction wave in three dimensional space

2021

Zero-viscosity limit of the linearized Navier-Stokes equations for a compressible viscous fluid in the half-plane

1999

Optimal convergence rates of classical solutions for Vlasov-Poisson-Boltzmann system

2011

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