本文研究定义在三维通道 $ Q= \Omega \times \mathbf{R} $ 中的 Benjamin-Bona-Mahony (BBM) 方程解的渐近行为, 其中 $ \Omega $ 是 $ \mathbf{R}^2 $ 的一个有界开子集. 首先引入 $ Q $ 上的 BBM 方程

其中 $ u(x,t) $ 是未知函数, $ \vec{F}(s)=\left(F_1(s), F_2(s), F_3(s)\right), s\in \mathbf{R} $ 是满足某些特定增长条件的非线性向量函数. 右端源项 $ g(x)\in L^2(Q) $ 是一个与时间变量 $ t $ 无关的给定函数. 方程中的系数 $ \nu $ 是一个正常数.

对于 BBM 方程 (1) 考虑如下边界条件

和初始条件

特别地, 本文考虑 BBM 方程 (1) 中的 $ F_k(s)\, (k=1,2,3) $ 是光滑函数, 并假设满足如下的增长性条件 (H )

记 $ G_k(s)=\int_{0}^{s}F_k(t) \,\mathrm{d}t, f_k(s)=F'_k(s) $, 则上述条件满足: 对于 $ k=1,2,3 $, 有

Benjamin-Bona-Mahony 方程最早于 1972 年提出, 由于同时考虑了非线性色散效应与耗散效应, 因此用于描述长波的传播 (见文献 [1]). 原始的 BBM 方程所研究的空间维数是一维, 方程的非线性项为 $ F(u) = u + \tfrac{1}{2}u^2 $, 且源项 $ g\equiv 0 $. 从这个意义上讲, 本文所研究的 BBM 方程 (1.1) 在文献中也常称为广义 (或一般) BBM 模型. 对于一般情形的 BBM 方程解的存在性和唯一性等适定性问题, 至今已有丰富的成果与研究, 也被用于刻画长波方程的初边值问题以及非线性色散方程的弱解问题 (见文献 [2-11]) 关于 BBM 方程全局吸引子的存在性问题已经有很多基于不同的约束条件下的结果, 包括对非线性项 $ F_k(s) $ 增长阶数条件下、或是空间变量 $ x $ 所属空间为有界/无界域、以及在适当的边界条件下的结果. 当定义域为有界时可以参考文献 [12-19] 中对于 BBM 方程的全局吸引子的研究；同时, 如果考虑无界域, 可参见文献 [20-25] 及其中涉及的参考文献.

特别地, Wang、Fussner 和 Bi 在文献 [24] 中, 对于任意 $ g\in L^2(Q) $, 证明了 BBM 方程全局吸引子的存在性. 他们所考虑的非线性项函数的增长阶数 $ m $ 要求严格小于 2, 即 $ 0\le m<2 $. 本文将在三维通道区域中建立 BBM 方程的全局吸引子的存在性, 我们主要处理了非线性项增长阶数 $ m=2 $ 的情形, 从而将增长阶数扩展至 $ 0\le m \le 2 $ 的范围, 见上述条件 (H ). 这里我们也需要注意到, 当非线性项的增长阶小于或等于二阶时, 也即在条件 (H ) 下, BBM 方程 (1.1) 解的适定性依然可以通过能量方法证明. 其证明是比较标准的过程, 而这些也是证明全局吸引子存在的前提条件. 实际上, 适定性的结果可以通过下一节中将要证明的能量先验估计, 结合 Gronwall 引理和紧性论证方法而得到.

本文的主要关注点在于无界通道域中全局吸引子的存在性. 如文献 [24,26-29]中所指出的, 由于 Sobolev 紧嵌入不再适用, 采用能量方程方法是比较合适的. 文献 [24] 中解的尾端均匀估计在证明渐近紧性方面发挥了重要作用. 然而, 采用与文献 [24] 相同的方法来处理非线性项的增长阶数 $ m=2 $ 情形的想法并非是平凡的推广过程就能实现的. 受到文献 [15,27,28] 的启发, 处理这种情形时, 我们首先考虑解半群的弱连续性, 然后再证明解在相应范数下收敛, 从而我们可以通过泛函分析关于强弱连续性等价的条件来达到证明本文的主要结论也即全局吸引子存在性. 另外, 在文献 [28] 中发展出来的思想也被用于处理弱阻尼的强迫 Korteweg-de Vries 方程在 $ H^1(\mathbf{R}) $ 中的渐近紧性.

在本文中, 我们将研究三维通道 (无界域) 中 BBM 方程的全局吸引子的存在性. 根据上述定义, 我们利用以下判据证明全局吸引子的存在性

命题 1.1^[30-33] 假设 $ \mathcal{H} $ 是 Banach 空间, $ \left\{S(t)\right\}_{t\geq 0} $ 是定义在 $ \mathcal{H} $ 上的 $ C_0 $-半群算子, 满足

(1) 存在一个有界吸收集;

(2) $ \left\{S(t)\right\}_{t\geq 0} $ 在 $ \mathcal{H} $ 上是渐近紧的. 也就是说, 对于 $ \mathcal{H} $ 中的任何有界序列 $ \{u_n\}_{n=1}^{\infty} $ 以及 $ t_n\rightarrow\infty $, 序列 $ \left\{S(t_n)u_{n}\right\}_{n=1}^\infty $ 在 $ \mathcal{H} $ 中是相对紧致的.

那么, 在 $ \mathcal{H} $ 中存在一个全局吸引子, 它是紧致且不变的, 并吸引每一个有界集.

本文的主要结果可陈述如下

定理 1.1 假设 $ g \in L^2(Q) $ 且条件 (4) 成立, 则初边值问题 (1)-(3) 在 $ H^1_0(Q) $ 中存在一个全局吸引子 $ \mathcal{A} $, 它是紧致且不变的, 并且在 $ H^1_0(Q) $-范数意义下吸引每一个有界集.

证明思路 根据下面将要证明的定理 2.1 知, 动力系统 $ \left\{S(t)\right\}_{t\geq 0} $ 在 $ H^1_0(Q) $ 中存在有界吸收集, 又根据将证明的定理 3.1, $ \left\{S(t)\right\}_{t\geq 0} $ 是渐近紧的. 于是, 全局吸引子的存在性可从命题 1.1 中的判据得出.

本文的结构安排如下: 本文第 2 节将证明 BBM 方程解的适定性. 通过能量方程方法和 Gronwall 引理等技巧, 我们得到了当 $ t\rightarrow \infty $ 时, BBM 方程在三维通道中解的一致估计, 由此即可证明 BBM 方程的有界吸收集存在性 (见定理 2.1). 第 3 节致力于半群的渐近紧性论证, 此处我们是通过首先证明了半群的弱连续性, 然后证明相应的范数收敛性, 从而得到了强收敛的结果. 最后一节是结论与讨论.

另外, 我们在此介绍一些本文用到的符号. 首先 Banach 空间 $ X $ 中的范数记作 $ \| \cdot \|_X $. 符号 $ \| \cdot \|_{L^p(Q)} $ 和 $ \|\cdot\|_{H^1_0(Q)} $ 则表示 $ L^p(Q) $ 和 $ H^1_0(Q) $ 的范数, 具体来说, 其定义分别为

和

它们相应的内积分别记作 $ (\cdot,\cdot)_{L^2(Q)} $ 和 $ (\cdot,\cdot)_{H^1_0(Q)} $. 而为了符号书写方便, $ L^2(Q) $ 中的范数和相应的内积也仅用 $ \| \cdot \| $ 和 $ (\cdot,\cdot) $ 分别表示. 另外, 本文中的字母$ c $ 表示一个通用的正常数, 其具体取值则随上下文而可能有不同.

本节论证了 BBM 方程在三维通道中的动力系统具有有界吸收集.

引理 1.1 设 $ g\in L^2(Q) $, 初始条件 $ \| u_0 \|_{H_0^1(Q)}\leq M_0 $, 其中$ M_0>0 $ 为任意常数. 则存在一个仅依赖于已知数据 $ (\nu,Q,g) $ 的正数 $ M_1 $, 使得初边值问题 (1)-(3) 的解 $ u(x,t) $ 满足

其中 $ T_1=T_1(\nu, Q, g, M_0) $.

证 将 BBM 方程 (1) 与 $ u $ 作 $ L^2(Q) $ 内积, 由分部积分并注意到零边值条件 (2), 可以得到

由于 $\vec{G}=\int_{0}^{s} \vec{F}(\tau) \mathrm{d} \tau$ 是 $ \vec{F} $ 的原函数, 于是有 $ \nabla\cdot\vec{G}(u)=\vec{F}(u)\cdot\nabla u $. 再次利用边值条件 (1.2) 并进行分部积分, 可得

根据 Poincaré 不等式: $ \|u\|\leq\lambda\|\nabla u\| $, 其中 Poincaré 常数 $ \lambda $ 是一个正常数. 则对于任意 $ u\in H_0^1(Q) $, 我们有

现在我们考虑前式 (2.2) 的右端项. 根据 Hölder 不等式, 有

其中 $ \lambda>0 $, $ C_1>0 $ 均是常数.

因此, 上述基本能量估计式 (2.2) 可以化简成

设 $ \eta=\min(1, \frac{1}{2\lambda^2}) $. 则对于任意 $ t\geq0 $, 成立

对上式直接计算可以推得

取时刻 $ T_1 = \frac{1}{\nu\eta}\ln(\frac{M_0^2\eta\nu^2}{\lambda^2C_1}) $, 则对于任意 $ t \ge T_1 $, 有

于是可得引理结论.

引理 2.2 假设 $ g\in L^2(Q) $ 且条件 (H ) 成立. 设初始条件 $ \| u_0 \|_{H_0^1(Q)}\leq M_0 $, 其中 $ M_0>0 $ 为任意常数. 则存在一个仅依赖于已知数据 $ (\nu,Q,g) $ 的正数 $ M_2 $, 使得初边值问题 (1.1)-(1.3) 的解 $ u(x,t) $ 满足

其中 $ T_2=T_2(\nu, Q, g, M_0) $.

证 将 (1.1)式与 $ u_t $ 作 $ L^2(Q) $ 内积, 结合零边值条件(1.2), 利用分部积分可以得到

由于 $ g\in L^2(Q) $, 根据 Young 不等式可得 (2.11) 式的右端可控制如下

根据引理 2.1 中结论, 并再次利用 Young 不等式, 对于 $ t\geq T $, 有

回顾条件 (1.4), 再次应用引理 2.1 的结论, 我们又可得到

其中 $ c_1,c_2 $ 是如 (1.4) 式中的常数.

根据三维情形的 Sobolev 嵌入不等式, $ H^1(Q)\hookrightarrow L^p(Q) $, 其中 $ 2\leq p\leq 6 $, 可以得到

其中 $ c=c(p) $ 是一个正常数. 则 (2.14) 式可化为

结合上述不等式 (2.11)-(2.13) 以及 (2.16) 式, 我们便可以推导出

其中最后一行是常数. 这就是引理所要证明的结果 (2.10) 式.

根据引理 2.1 和引理 2.2 可以导出, 在条件 (H ) 下, BBM 方程的初边值问题 (1.1)-(1.3) 在 $ H^1_0(Q) $ 中是适定的 (参见文献 [3]). 换言之, 对任意给定的 $ u_0\in H^1_0(Q) $, 初边值问题 (1.1)-(1.3) 存在唯一的解 $ u(x,t) $, 使得: $ u\in C^0([0, \infty), H^1_0(Q)) $, 并且对于任意 $ T>0 $, 有 $ \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\in L^\infty(0, T; H^1_0(Q)) $. 因此, 问题 (1.1）-(1.3) 可定义相应的解半群 $ \left\{{S(t)}\right\}_{t\geq0} $, 使得对于任意 $ t\geq0 $, $ S(t):\, H^1_0(Q) \to H^1_0(Q) $ 满足 $ S(t)u_0=u(t) $.

记球 $ \mathcal{B}=\left\{u\in H^1_0(Q):\|u\|_{H^1_0(Q)}\leq M_1\right\}. $ 根据引理 2.1, 我们可得如下定理

定理 2.1 球 $ \mathcal{B} $ 是半群 $ \left\{S(t)\right\}_{t\geq0} $ 在 $ H_0^1(Q) $ 中的有界吸收集. 也就是说, 对于 $ H_0^1(Q) $ 中的每一个有界集合$ X $, 存在一个时间 $ T=T(X) $, 使得 $ \forall~ t\geq T $, 都成立 $ S(t)X \subset \mathcal{B} $.

在本节中, 我们将证明在三维通道区域中解半群 $ \left\{S(t)\right\}_{t\geq0} $ 的渐近紧性. 在此我们先引入一些记号. 记 $A=\operatorname{Id}-\Delta$, 注意它是 $ L^2(Q) $ 中的一个正自伴算子. 算子 $ A $ 也可以视为从 $ H_0^1(Q) $ 到其对偶空间 $ H^{-1}(Q) $ 的同构. 我们也会用到 Sobolev 空间 $ H_0^2(Q) $ 和其对偶空间 $ H^{-2}(Q) $. 我们用记号 $ H_0^1(Q_r) $ 表示由 $ H_0^1(Q) $ 中的函数所成空间, 这些函数在区域 $ Q_r = \Omega \times (-r,r) $ 外部为零, 其中 $ r>0 $ ; 并将其对偶空间记为 $ H^{-1}(Q_r) $. 此外, 我们有以下关系

类似地, 存在常数 $ c_1,\, c_2 $, 使得下式成立

与引理 2.1 和引理 2.2 相应, 我们现在考虑如下的解空间 $ X_T $ ($ T>0 $), 其中函数 $ u:\, Q\times[T]\rightarrow \mathbf{R} $ 满足

实际上, 在文献 [28,34] 也有与我们这里类似的构造.

引理 3.1 半群 $ \{S(t)\}_{t\geq0}:\, H_0^1(Q)\rightarrow H_0^1(Q) $ 在下述意义下是弱连续的: 如果当 $ n\rightarrow\infty $ 时, $ u_{0n} $ 在 $ H_0^1(Q) $ 中弱收敛到某个 $ u_0 $, 则对于 $ t\geq0 $, $ S(t)u_{0n} $ 在 $ H_0^1(Q) $ 中弱收敛于 $ S(t)u_0 $.

证 假设弱收敛 $ u_{0n} \rightharpoonup u_0 $ 在 $ H_0^1(Q) $ 中成立. 记$ T>0 $, 且 $ u_n(t)=S(t)u_{0n} $, 其中 $ t\in [T] $. 根据引理 2.1 和引理 2.2, 我们有

从而存在一个子序列 $ \{u_{n_k}\}_{k=1}^\infty $ 和一个函数 $ u\in X_T $, 使得 $ u_{n_k} $ 弱*收敛于 $ u $, 即

另一方面, 结合 BBM 方程 (1.1), 根据 (3.5) 式的结论又可得到, 序列 $ \left\{\frac{\partial u_n}{\partial t}\right\}_{n=1}^\infty $ 在空间 $ L^{\infty}(0,T; H^{-1}(Q)) $ 中是有界的, 而且序列 $\left\{A \frac{\partial u_{n}}{\partial t}\right\}_{n=1}^{\infty}=\left\{(\mathrm{Id}-\Delta) \frac{\partial u_{n}}{\partial t}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 在空间 $ L^{\infty}(0,T; H^{-1}(Q)) $ 中也是有界的. 因此, 我们可以得到对于任意测试函数 $ v(\cdot) \in C^2_0(Q) $, 并对所有 $ t, t+\tau\in [T] $, 成立

其中 $ c $ 是一个不依赖于 $ n $ 的常数.

注意到 (3.1) 式中的关系式, 我们在上面不等式中取测试函数 $ v=A^{-1}(u_n(t+\tau)-u_n(t)) $, 于是可得

考虑截断函数 $ \psi\in C_0^\infty(Q) $ 满足当 $ |s|\leq 1 $ 时, $ \psi(s)=1 $ ; 而在 $ |s| \geq 2 $ 时, $ \psi(s)=0 $. 对 $ r>0 $, 定义 $ \psi_r(s)=\psi(\tfrac{s}{r}) $. 则有 $ \psi_r u_n\in H_0^1(Q_{2r}) $. 进而, 我们从上述论证过程可以得到, 序列 $ \{\psi_r u_n\}_{n} $ 在 $ C^0([T]; H^{-1}(Q_{2r})) $ 中是一致有界和等度连续的. 因此, 根据 Arzela-Ascoli 紧性定理可知, 对于所有的 $ r >0 $, 序列 $ \left\{\psi_r u_n\right\}_n $ 在 $ C^0([T]; H^{-1}(Q_{2r})) $ 中是预紧的. 通过对角化的过程, 可取到一个子序列(为了简单起见, 依然用 $ \left\{n_k \right\} $ 表示), 使得成立下述强收敛关系

综上所述, 我们就知道极限函数 $ u $ 是方程 (1)的唯一解, 并且$ u(t)=S(t)u_0. $ 事实上, 在 (3.6) 和 (3.9) 式的意义下, 对整个序列 $ u_n(t) $ 也成立 $ u_n(t)\rightarrow u(t) $, 这点可以通过反证法来说明.

欲证 $ H_0^1(Q) $ 中的弱收敛性 $\left.S(t) u_{0 n} \rightharpoonup S(t) u_{0}\right) $ (即 $\left(u_{n}(t) \rightharpoonup u(t)\right)$ )), 我们取测试函数 $ v \in C_0^4(Q) $, 使得 $ Av \in H_0^1(Q_r) $, 其中 $ r $ 可取足够大. 再一次根据 (3.1) 式中的关系, 我们可得到

注意到 $ C^4_0(Q) $ 在 $ H_0^1(Q) $ 的稠密性, 从而可得引理结论, 即半群 $ \left\{S(t)\right\}_{t\geq 0} $ 在 $ H_0^1(Q) $ 中的弱连续性.

定理 3.2 半群 $ \left\{S(t)\right\}_{t\geq 0} $ 是渐近紧的.

证 设 $ \{u_{0n}\}_{n=1}^\infty $ 在 $ H_0^1(Q) $ 中有界, 并令 $ t_n\rightarrow\infty $. 由定理 2.1 可知有界吸收集的存在性, 即存在一个下标为 $ \left\{n_k \right\} $ 的子序列和函数 $ u \in H_0^1(Q) $, 使得 $ \left\{S(t_{n_k})u_{0n_k}\right\}_{k=1}^\infty $ 在 $ H_0^1(Q) $ 中弱收敛到 $ u $. 固定 $ T>0 $, 因为序列 $ \left\{S(t_{n_k}-T)u_{0n_k}\right\}_{k=1}^\infty $ 在 $ H_0^1(Q) $ 中是有界的, 因此, 存在一个函数 $ w\in H_0^1(Q) $, 使得当 $ n_k\rightarrow\infty $ 时, 成立如下弱收敛式

事实上, 我们有 $ u =S(T)w $.

记 $u_{n_{k}}(t)=S\left(t_{n_{k}}+t-T\right) u_{0 n_{k}}=S(t) S\left(t_{n_{k}}-T\right) u_{0 n_{k}}$. 则由 (3.11) 式和引理 3.1, 我们可以得到弱收敛关系 $u_{n_{k}}(t) \rightharpoonup S(t) w \text { 在 } H_{0}^{1}(Q)$ 中成立.

回顾我们将方程 (2.2) 与 $ u $ 作 $ L^2 $ 内积所得能量方程 (1.1), 并且注意到 (2.3) 式中的消失性关系, 有

或等价地表示为

考虑时间区间为从 $ s $ 到 $ s+t $, 利用常数变易方法, 可得

这里我们使用了记号 $ K(u)=2\nu \| u\|^2 + 2(g,u) $.

我们现在来考虑时间区间为 $ t_{n_k}-T $ 到 $ t+t_{n_k}-T $ 上的解序列 $ u_{n_k}(t)=S(t+t_{n_k}-T)u_{0n_k} $, 有

上式中取 $ t=T$, 根据 Lebesgue 控制收敛定理, 有

其中 $C$ 是一个正常数. 这里在证明 $K(S(t_{n_k}+\tau-T)u_{0n_k})$ 的收敛性时, 我们已经用到了 $H_0^1(Q)$ 到 $L^2(Q)$ 的紧嵌入关系, 以及 (给定外力项 $g$ 的) 弱收敛性 (3.11) 式.

类似地, 对于解 $u=S(T)w$, 可得

结合上述不等式 (3.16)-(3.17), 我们可以得到

令 $T\rightarrow\infty$, 则成立

另一方面, 由于序列 $\left\{S(t_{n_k})u_{0n_k}\right\}_{k=1}^\infty$ 在 $H_0^1(Q)$ 中弱收敛到 $u$, 则由 Fatou 引理可得

因此, 我们最后可以得到

上式关于取范数后的收敛性, 结合之前得到的弱收敛性, 则可以最后得到了所期望的强收敛性结论, 即当 $n_k\rightarrow \infty$ 时, 下述强收敛性成立

本文证明了广义 Benjamin-Bona-Mahony (BBM) 方程 (1.1) 在三维通道区域$Q= \Omega \times \mathbf{R}$ 中全局吸引子的存在性. 本文改进了文献 [4] 中考虑的增长性指标的适用范围, 将增长阶数扩展到了 $0\le m \le 2$ 的情形, 见条件 (H ). 另外, 由于所证明的全局吸引子是紧致且不变的, 因此其分形维数也有研究的意义. 这一问题将在后续工作中讨论.

为了读者阅读方便, 在此陈述全局吸引子 $\mathcal{A}$ 的概念.

定义 A.1^[35] 假设 $\mathcal{H}$ 是一个完备度量空间, $S(t)$ 是定义在 $\mathcal{H}$ 上的非线性 $C_0$-半群算子. 如果集合 $\mathcal{A}\subset \mathcal{H}$ 满足以下条件, 则称 $\mathcal{A}$ 为吸引子

(1) $\mathcal{A}$ 是一个不变集, 即

(2) $\mathcal{A}$ 具有一个开邻域 $\mathcal{B}$, 使得对于任意元素

定义 A.2^[35]

如果 $\mathcal{A}$ 是一个紧致吸引子, 并且它吸引 $\mathcal{H}$ 的有界集合, 那么 $\mathcal{A}$ 被称为全局或一致吸引子.