本文研究了改进的 Aw-Rascle-Zhang (ARZ) 交通流模型^[20]

的柯西问题, 其中 $(x,t)\in \mathbb{R}\times[0,+\infty)$. $\rho$ 和 $u$ 分别表示交通流的密度和速度, $p$ 表示压力满足

其中 $\gamma\geq1$ 是常数, $F(u)$ 满足

根据文献 [20,引理 3.1], 在 $(\rho,q)$ 平面上, 第一族波线仅有单个拐点, 其中 $q=\rho u$, 因此第一族特征是非真正非线性的. % 另外存在 $F(u)$ 满足 (3) 式.

假设柯西初值为

满足

及

其中 $\alpha >0 $ 是常数.

当 $F(u)=u$ 时, Aw-Rascle^[1] 和 Zhang^[40] 分别独立地提出了 Aw-Rascle-Zhang(ARZ) 交通流模型 (1.1). 在该模型中, 第一族特征场是真正非线性的, 第二族特征场是线性退化的. 此模型已被广泛研究并得到诸多拓展, 相关文献可参见文献 [2,4,5,10,11,13,14,16-18,25-27,30-32,35,37,41] 及其参考文献. 然而, 工程师^[19]和数学家^[23]均在实际交通观测中发现了流量-密度图存在非凹特性. 为此, 文献 [20] 的作者提出了一种改进的 ARZ 交通流模型 (1.1). 该模型采用压力项 (1.2), 其反应项 $F(u)$ 满足条件 (1.3), 并具有非真正非线性的特征场, 其结果验证了 Kerner^[24] 所发现的相变现象. 关于该模型更多研究进展可参考文献 [8,21,22].

我们现在回顾关于 $2\times2$ 非线性双曲系统柯西问题解的存在性研究. 在特征场为真正非线性或线性退化的情形下, Glimm 在其开创性工作^[15] 中首次证明了弱解的全局存在性. 随后, Nishida 在文献 [33] 中建立了弱解的大初值全局存在性定理. 对于具有非真正非线性特征场的 Temple 型模型, Temple^[38] 获得了其解的存在性结果. Chen-LeFloch^[7] 建立了含一般形式压力项的欧拉方程熵解的存在性理论. 文献 [2] 的作者通过平均化与随机抽样方法, 研究了特征场几乎处处真正非线性的 ARZ 模型, 但其初值被限制在区间 $ [0,1]$ 内. 关于 $2\times2$ 非线性双曲系统解存在性的更多结果, 可参阅文献 [3,6,9,12,28,29,34].

本文研究改进的 ARZ 模型 (1.1) 关于柯西初值 (1.4) 的弱解存在性问题. 在初值满足条件 (1.5) 和 (1.6) 的前提下, 我们证明对任意 $t>0$, 方程的弱解仍满足这些条件. 基于此, 我们通过压力项的全变差估计推导出密度的全变差估计. 由于模型 (1) 的第一特征场具有非真正非线性特性, 其黎曼问题的解中不仅包含激波, 稀疏波和接触间断 (见文献 [8,21]), 还会出现复合波结构. 为此, 我们引入黎曼不变量来定义各类波的强度, 并基于修正的 Glimm 格式, 推导出近似解的全变差的先验估计. 最终, 我们在不要求初始全变差足够小的条件下, 证明了弱解的全局存在性.

本文的结构安排如下: 第 2 节简要回顾系统 (1.1), (1.2) 及 (1.3) 的黎曼解; 第 3 节针对改进的 ARZ 模型, 介绍修正的 Glimm 格式方法; 第 4 节给出黎曼不变量全变差估计的证明; 第 5 节证明近似解的收敛性, 并最终得到柯西问题弱解的存在性结果.

本节我们简要地回顾改进的 ARZ 交通流模型 (1.1) 满足如下初值

的黎曼问题, 其中 (7) 式中 $\rho_{l,r}\geq\alpha>0$, $u_{l,r}\geq0$ 是常数且满足初始条件

改进的 ARZ 模型 (1.1), (1.2) 的特征值为 $\lambda _1=u- \rho p'(\rho)/{F'(u)}, \lambda_2=u$. 除了在真空处, 该模型是严格双曲系统.特征对应的右特征向量分别为 $\vec{r}_1=(1, - {p'({\rho})}/{F'(u)})^T$, $\vec{r}_2=(1,0)^T,$ 且满足

其中 $\nabla=(\partial / \partial \rho, \partial / \partial u)$. 当 $\rho>0$ 时, 根据 (1.3) 式的第三个不等式可知, 除了单点 $(\rho_B,u_B)$ (该点满足 $\nabla\lambda_1\cdot \vec{r}_1(\rho_B,u_B)=0$), 第一族特征是真正非线性的. 该族特征对应的波型为激波, 稀疏波或者复合波^[20]. 第一族波线满足

第一族稀疏波满足 (2.4) 式, 记为 $R_1$, 且有

第一族复合波也满足 (2.4) 式, 记为 $SR_1$, 且有

其中 $(\rho_C,u_C)$ 满足

$s(\rho_l,u_l;\rho_C,u_C)$ 表示激波波速. 第一族激波同样满足 (2.4) 式, 记为 $S_1$, 且有

其中 $(\rho_C,u_C)$ 满足 (2.7) 式. 第二族特征是线性退化的且对应的基本波为接触间断, 用 $J$ 表示, 满足

另外, 两族特征对应的黎曼不变量分别为

本文针对改进的 ARZ 模型柯西问题 (1.1)-(1.6) 的弱解 ($\rho$, $u$) 定义如下.

定义 2.1 对任意的 $\varphi$, $\psi$\in$C_0^1((-\infty, +\infty)\times [0,+\infty))$, ($\rho(x,t)$, $u(x,t)$) 是有界可测的, 且满足积分等式

本节通过随机抽样变量构造阶梯函数对初值进行逼近, 并在有限时间 $t$ 内求解所有局部黎曼问题, 现给出黎曼解的如下结果.

引理 3.1 关于改进的 ARZ 模型 (1.1), (1.2) 满足黎曼初值 (2.1), (2.2), 存在分片光滑黎曼解 $(\rho(x,t), u(x,t))$ 满足

其中 (3.1) 式中的 $\alpha$ 与 (2.2) 式中的 $\alpha$ 相同, 及

证 若 $(\omega_{1},z_{1})$ 表示黎曼解的中间状态, 根据黎曼不变量的性质, 可知

则不等式 (3.2) 成立. (3.3) 式即为 $F(u_1)+p(\rho_1)=F(u_l)+p(\rho_l)$ 及 $u_1=u_r$, 于是 $F(u_r)=F(u_l)+p(\rho_l)-p(\rho_1)$, 根据 (2.2) 式, 有 $F(u_l)+p(\rho_l)-p(\rho_1)\leq F(u_l)+p(\rho_l)-p(\alpha)$ 成立, 即 $p(\rho_1)>p(\alpha)$. 再利用 $p$ 的单调性可知 (3.1) 式成立.

沿改进的 ARZ 模型 (式 (1.1)) 的第一特征方向, 其黎曼问题的解可能包含激波, 稀疏波或复合波^[20]. 文献 [36] 中通过关系式 $\lambda_k(u) = \lambda_k(u_l) + \varepsilon$ 定义的波强参数 $\varepsilon$ 在本研究中并不适用.原因在于 $\varepsilon$ 的符号依赖于波的类型 (激波或稀疏波), 并且该定义未涵盖复合波的情形. 为此, 我们采用第一族黎曼不变量 $\omega$ 来定义第二族波的波强: 若 $\omega_r \geq \omega_l$, 则波强为 $0$; 若 $\omega_r < \omega_l$, 则波强为 $|\omega_r - \omega_l|$. 类似地, 采用第二族黎曼不变量 $z$ 来定义第一族波的波强. 该定义的优势在于: 当黎曼不变量沿相应特征族单调递减时, 直接取其变差作为波强, 从而避免了对波型 (激波, 稀疏波或复合波) 的依赖. 于是设 $\varepsilon=(\varepsilon_1,\varepsilon_2)$, 其中 $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$ 满足

关于改进的 ARZ 模型 (1.1), 我们定义第一族波强为

即, 如果 $u_r<u_l$, 第一族波强为 $|\varepsilon_1|>0$, 否则波强为零. 如果 $F(u_r)+p(\rho_r)<F(u_l)+p(\rho_l)$, 第二族波强为

否则为零.

类似, 设 $\zeta=(\zeta_1, \zeta_2)$ 和 $\delta=(\delta_1, \delta_2)$ 分别是模型 (1.1) 满足如下初值的黎曼解

其中 $\mu>0$ 是常数. 于是, 可得

设网格点为 $(x_m,t_n)$, 满足 $x_m=mr$, $t_n= nh$, 其中 $m=0,\pm1,\pm2,\cdots$ 和 $n=0,1,2,\cdots$, 空间步长 $r=2^{-l}$, $l$ 为自然数. 利用阶梯函数

近似初值 (1.4) 式, 其中 $K=2^{2l+1}$, $m$ 是奇数.

定义 $\omega_0=\sup\limits_{-\infty<x<\infty}{\omega(\rho_0(x), u_0(x))}>0$, $z_0=\inf\limits_{-\infty<x<\infty}{z(\rho_0(x),u_0(x))}\geq0$. 利用引理 3.1, 可知 $\omega=F(u)+p(\rho)\leq\omega_0$ 和 $z\geq z_0$. 由于 $ F(u), p(\rho)\geq 0$, 因此有 $0 \leq F(u),p(\rho) \leq \omega_0$ 和 $u\geq z_0$ 成立. 于是有 $|\lambda_1|=|u- {\gamma p(\rho)}/{F'(u)}|\leq F^{-1}(\omega_0)+ {\gamma \omega_0}/{F'(F^{-1}(\omega_0))}$ 和 $z_0\leq|\lambda_2|\leq F^{-1}(\omega_0)$ 成立. 为了满足 Courant-Friedrichs-Levy (CFL) 条件, 取时间步长 $h$ 和空间步长 $r$ 满足条件

设 $ \theta_1\in (-1,1)$ 为任意实数, 且 $m$ 是偶数. 令 $y_m=x_{m}+r\theta_1$, 则 $y_m\in (x_{m-1}, x_{m+1})$. 首先, 在时间 $t=t_1$ 处, 定义

由此可构造时间区间 $ [t_1, t_2)$ 上的黎曼解. 现设时间 $t<t_n$ 的黎曼解 $(\rho(x,t),u(x,t))$ 已知, 则对于任意 $ \theta_n\in (-1,1)$, 当 $m+n$ 为奇数时, 取 $y_m=x_{m}+r\theta_n$, 并定义

基于此, 可构造 $\{(x,t)|t_n\leq t<t_{n+1}, -\infty<x<+\infty\}$ 上的黎曼解.

我们首先证明: 对于任意满足条件 (1.5) 和 (1.6) 的初值, 以及任意 $t>0$, 该性质关于空间变量仍然成立.

引理 4.1 改进的 ARZ 模型 (1.1) (1.2), 当初始条件满足 (1.5), (1.6) 和 (3.7) 时, 存在分片光滑解 $(\rho(x,t), u(x,t))$, 且该解对任意的 $t>0$, 满足

其中 $\alpha>0$ 为 (5) 式中的同一常数.

证 改进的 ARZ 模型 (1.1) (1.2) (1.5) (1.6) 满足初值条件 (3.7) (即双黎曼问题) 下, 根据引理 3.1 的证明, 如果初始满足 (4.2) 式, 则存在分片光滑解 $(\rho(x,t),u(x,t))$ 满足 $\rho(x,t)\geq\alpha$. 下面通过将初值分为四种不同情形, 可证明不等式 (4.2) 成立.

情形 (i) $u_l<u_m<u_r$. 设状态 $(\rho_l,u_l)$ 与 $(\rho_m,u_m)$ 的中间状态 $(\rho_1,u_1)$; 状态 $(\rho_m,u_m)$ 与 $(\rho_r,u_r)$ 的中间状态为 $(\rho_2,u_2)$. 进一步, 当 $(\rho_l, u_l)$ 和 $(\rho_1, u_1)$ 通过第一族稀疏波连接时, 记其对应的中间状态为 $(\rho_-, u_-)$, 在图 2 中标记为 $\ominus $; 类似地, 当 $(\rho_m, u_m)$ 和 $(\rho_2, u_2)$ 通过稀疏波连接时, 记其对应的中间状态为 $(\rho_+, u_+)$, 在图 2 中标记为 ⊕. 设方程的分片光滑解 $(\rho(x,t),u(x,t))$, 对给定的 $t$, 按照 $x$ 从小到大为$(\rho_l,u_l)\rightarrow(\rho_-,u_-)\rightarrow(\rho_1,u_1)\rightarrow(\rho_m,u_m)\rightarrow(\rho_+,u_+) \rightarrow(\rho_2,u_2)\rightarrow(\rho_r,u_r)$, 其中 $(\rho_1,u_1)$ 和 $(\rho_2,u_2)$ 分别满足 $u_1=u_m$ 及 $u_2=u_r$. 由于 $F(u_m)\leq F(u_l)+p(\rho_l)-p(\alpha)$ 及 $u_-\leq u_m$, 利用 $F$ 的单调性, 可得

又 $F(u_l)+p(\rho_l)=F(u_-)+p(\rho_-)=F(u_1)+p(\rho_1)$, 可知

类似地, 由于 $F(u_r)\leq F(u_m)+p(\rho_m)-p(\alpha)$ 及 $u_+\leq u_r$,

成立. 根据 $F(u_m)+p(\rho_m)=F(u_+)+p(\rho_+)=F(u_2)+p(\rho_2)$, 有

由于 $F(u_r)\leq F(u_l)+p(\rho_l)-p(\alpha)$ 及 $u_+<u_r$, 可得

于是对于情形 (i), (4.2) 式成立.

情形 (ii) $u_r<u_m<u_l$. 对给定的 $t$, 按照 $x$ 从小到大为 $(\rho_l,u_l)\rightarrow(\rho_1,u_1)\rightarrow(\rho_m,u_m) \rightarrow(\rho_2,u_2)\rightarrow(\rho_r,u_r)$. 由于 $F(u_m)\leq F(u_l)+p(\rho_l)-p(\alpha)$ 及 $u_2=u_r< u_m=u_1$, 可得 $F(u_2)=F(u_r)<F(u_1)=F(u_m)\leq F(u_l)+p(\rho_l)-p(\alpha)=F(u_1)+F(\rho_1)-p(\alpha)$, 又 $F(u_r)\leq F(u_m)+p(\rho_m)-p(\alpha)$ 且 $u_2=u_m$, 可得 $F(u_2)\leq F(u_m)+p(\rho_m)-p(\alpha)$.

类似可证情形 (iii), $u_m<u_l,u_m<u_r$ 和情形 (iv), $u_m>u_l,u_m>u_r$, (4.2) 式均成立.

注 4.1 对于固定的 $t$, 若 $u(x,\cdot)$ 关于 $x$ 单调递减时, (4.2) 式恒成立.

接下来, 我们将估计黎曼不变量 $\omega$ 和 $z$ 的总变差. 当 $m+n$ 为奇数时, 取网格点为 $a_{m,n}=mr+\theta_nr$ (其中 $\theta_n$ 是在区间 $(-1,1)$ 中随机选取的参数). 设 $J_1$ 为连接网格点 $a_{m-1,n}$, $a_{m,n-1}$, $a_{m+1,n}$ 形成的折线, $J_2$ 为连接网格点 $a_{m-1,n}$, $a_{m,n+1}$, $a_{m+1,n}$ 形成的折线. 在 $J_1$ 和 $J_2$ 上定义泛函如下

其中 $|\varepsilon_1|$ 和 $|\varepsilon_2|$ 分别表示跨越 $J_i$ 的第一族波和第二族波的强度. 下文我们将证明 $\mathcal{F}$ 是非增的.

引理 4.2 (全变差估计) 对任意满足条件的折线 $J_i$, $i=1,2$, 不等式

成立.

证 假设 $\diamondsuit_{m,n}$ 表示相互作用菱形, $\tilde{\zeta}$ 和 $\tilde{\delta}$ 分别表示传入 $\diamondsuit_{m,n}$ 的波强, $\tilde{\varepsilon}$ 表示传出 $\diamondsuit_{m,n}$ 的波强. 为估计 $\diamondsuit_{m,n}$ 内弱解的变差, 我们将分析四种不同初值条件情形. 假设 $\theta_n\in(-1,0)$ (见图 1), 则有

(i)若 $|\zeta_2|=0, |\delta_1|=0$, 则 $\tilde{\zeta}=0$, $\tilde{\delta}=0$, $|\varepsilon_1|=0$ 且 $|\varepsilon_2|=0$; 见图 2;

(ii)若 $|\zeta_2|=0, |\delta_1|>0$, 则 $\tilde{\zeta}=0$, $\tilde{\delta}\leq|\delta_1|$, $|\varepsilon_1|\leq\tilde{\delta}$ 且 $|\varepsilon_2|=0$; 见图 3;

(iii)若 $|\zeta_2|>0, |\delta_1|=0$, 则 $\tilde{\zeta}=|\zeta_2| $, $\tilde{\delta}=0$, $|\varepsilon_1|=0$ 且 $|\varepsilon_2|=|\zeta_2|$; 见图 4;

(iv)若 $|\zeta_2|>0, |\delta_1|>0$, 则 $\tilde{\zeta}=|\zeta_2| $, $\tilde{\delta}\leq|\delta_1|$, $|\varepsilon_1|\leq\tilde{\delta}$ 且 $|\varepsilon_2|=|\zeta_2|$; 见图 5.

综上可知, 传入 $\diamondsuit_{m,n}$ 的波强 $\tilde{\zeta}+\tilde{\delta}$ 不小于传出波强 $\tilde{\varepsilon}$, 即满足 (4.4) 式.

注 4.2 随机变量 $\theta_n$ 可在区间 $(-1,1)$ 内任意取值.

下面可将局部折线 $J_{1,2}$ 拓展为全局折线 $\hat{J}$. 该折线通过连接相邻随机网格点 $a_{m,n}$ 形成连续路径, 其中指标 $m$ 沿路径单调遍历所有整数. 定义泛函 $\mathcal{F}(\hat{J})=\Sigma_{\hat{J}}|\varepsilon|$, 则由不等式 (4.4) 可得 $\mathcal{F}(\hat{J})\leq \mathcal{F}(O)$, 其中 $O$ 为连接 $t=0$ 和 $t=h$ 处网格点的基准曲线.由于初值条件满足

且沿曲线 $\hat{J}$ 有以下估计

可得总变差估计 $\text{TV}(\omega, \hat{J})+\text{TV}(z, \hat{J})\leq 5M_0,$ 其中 $M_0=\text{TV}(\omega(\rho_0(x),u_0(x)),(-\infty,+\infty))+\text{TV}(z(\rho_0(x),u_0(x)),(-\infty,+\infty))$ 为初始总变差. 这意味着以下全局总变差估计成立 $\text{TV}(u(\cdot,t)$,$ (-\infty, \infty)) \leq 5M_0$ 和 $\text{TV}(F(u)+p(\rho)(\cdot,t), (-\infty, \infty))\leq 5M_0, $ 因此 $F(u)$ 和 $p(\rho)$ 均为有界变差函数. 由关系式 (4.1) 及压力函数导数 $p'(\rho)=\gamma\rho^{\gamma-1} (\gamma\geq1)$, 可知密度函数 $\rho$ 也是有界变差的, 且满足

利用 (4.6) 式, 可得 $\rho(F(u)+p(\rho))(\cdot,t)$ 的总变差估计

注 4.3 由估计式 (4.6) 与 (4.7) 可知, 该结论不依赖于初始值总变差的大小. 因此, 我们可在有界变差函数空间中研究初值问题.

基于估计式 (4.6) 和 (4.7), 我们得到改进的 ARZ 模型 (1) 守恒量关于时间 $t$ 的连续性估计.

引理 4.3 对任意的时间 $t_1, t_2\geq 0$, 存在与 $l$ 和 $\theta$ 无关正常数 $K_0$ 和 $K_1$, 使得

证 设 $t_1$, $t_2$ 满足 $nh\leq t_1<(n+1)h<\cdots<(n+d)h<t_2\leq(n+d+1)h$, 其中 $n$ 和 $d$ 为非负整数且 $m+n$ 是奇数, 则对任意 $x\in (mr,(m+2)r)$, 有

由此可得

此即 (4.8) 式的第一个不等式, 其中正常数 $K_0$ 与 $l$, $\theta$ 无关. 类似地, 利用 (4.7) 式可得 (4.8) 式的第二个不等式.

引理 4.4 在满足估计式 (4.6), (4.8) 的第一个不等式, 及参数空间 $\theta\in \Theta=\Pi[(-1,1)\times{nh}]$ 的条件下, 存在 $\{\rho_{\theta}^l\}_{l=1}^\infty$ 的子列 $\{\rho_{\theta}^{l_i}\}_{i=1}^\infty$ 收敛于有界可测函数 $\rho_{\theta}(x,t)$, 即对任意 $X>0$, $T>0$ 及固定 $t>0$, 当 $i\rightarrow\infty$ 时满足

证 对任意固定 $t>0$, 由 (4.6) 式及 Helly 选择原理, 存在 $\{\rho_{\theta}^l\}_{l=1}^{\infty}$ 在 $[-X,X]$ 上几乎处处收敛. 进一步, 利用对角线法则, 对于有理数的时间 $t'$, 存在子列 $\{\rho_{\theta}^{l_i}\}_{i=1}^{\infty}$ 几乎处处收敛. 于是有

对任意的时间 $t>0$, 由三角不等式可得

当 $i,j \rightarrow \infty$( 对应$h\rightarrow0$), 取有理序列 $t'\rightarrow t$, 利用 (4.8) 式可得

因此, 对任意 $t>0$, 在 $L^1$ 空间中可定义 $\rho_{\theta}(x,t)$. 于是根据 Lebesgue 控制收敛定理, 对任意 $T>0$, 有

即子列 $\{\rho_{\theta}^{l_i}\}$ 在 $L^{1}([-X,X]\times[T])$ 中收敛.

注 4.4 类似地, 在 (4.7) 和 (4.8) 条件下, 当 $i\rightarrow \infty$ 时, 我们有

本节将验证通过 Glimm 方法构造的近似解收敛到满足定义 2.1 所述的弱解. 设测试函数 $\varphi(x,t)\in C_0^1(\mathbb{R}\times [0,\infty))$, 由于在时间条带 $[nh, (n+1)h)$ 内, 近似解 $(\rho_{\theta}^l, u_{\theta}^l)$ 为黎曼问题的精确解, 则有

引理 5.1 存在零测集 $\mathfrak{N}\subset\Theta$ 和子列指标 $\{l_i\}_{i=1}^{\infty}$, 使得对所有的 $\theta\in \Theta-\mathfrak{N}$ 及 $\varphi \in C_0^{1}(\mathbb{R} \times (0,\infty))$, 成立

证 首先, 我们有

其中 $N_0= {2M_0\|\varphi\|_{L^\infty}}\gamma^{-1}\alpha^{1-\gamma} $.

其次, 测试函数 $\varphi$ 可通过一列分片常值函数 $\{\varphi_i\}_1^{\infty}$ 在 $L^{\infty}$ 范数下逼近, 其中每个 $\varphi_i$ 在顶点为 $(m-1,n)$, $(m+1,n)$, $(m,n+1)$ 或 $(m,n-1)$ 的三角形上取常值 (此处 $m+n$ 为奇数). 由于 $r=2^{-l}$, 当参数 $l$ 增大时, $\varphi$ 的逼近性质保持一致. 下证

及

事实上, $\Delta_{n_1}(l,\cdot,\varphi_i)$ 与 $\Delta_{n_2}(l,\cdot,\varphi_i) $ 的内积可表示为若干形如

的有限项之和, 其中 $\hat{\Theta}=(\theta_1,\cdots,\theta_{n_2-1},\theta_{n_2+1},\cdots)$. 由于 $n_1<n_2$, 且方程的解直到 $t=n_1h$ 与 $\theta_{n_2}$ 无关, 有

其中常数 $\tilde{C}$ 与 $\theta_{n_2}$ 无关. 当 $x\in((m_2-1)r,(m_2+1)r)$ 且 $m_2+n_2$ 为奇数时, $\varphi_i(x, n_2h)=\varphi_i(m_2r,n_2h)$. 利用 (5.5), (5.4) 式变成

由于

得知 (5.6) 式恒为零, 故正交性 (5.20) 式成立.

因为 $\varphi_i$ 有紧支集, 利用正交性得

当 $r\rightarrow0$ 时, 有 $\|\Delta(l,\cdot,\varphi_i)\|_{L^2(\Theta)}\rightarrow0$, 即 (5.3) 式成立. 利用 $\varphi$ 的分片常数逼近性质, 存在子序列 $\{l_i\}$ 使得

利用对角线法则, 进一步取子列 $\{l_j\}$ 使得对所有 $\{\varphi_i\}_{i=0}^{\infty}$, 有

成立. 因为 $\{\varphi_i\}_{i=0}^{\infty}$ 在 $C_0^{1}$ 中以 $L^{\infty}$ 范数稠密, 所以 $\varphi-\varphi_i$ 满足估计式 (39). 引理得证.

类似地, 可证近似解极限满足 (2.11) 式中的第二个方程. 基于引理 5.1, 得到弱解的全局存在性结果

定理 5.1 若初值 $\rho_0(x), u_0(x)\in BV(\mathbb{R})$ 满足条件 (1.5) 和 (1.6),则存在零测集 $\mathfrak{N} \subset \Theta=\Pi[(-1,1)\times{n \Delta t}]$, $t=n \Delta t$, $r_i=\Delta x_i=2^{-l_i}$, $i=1,2,\cdots$, 使得 $\theta\in \Theta- \mathfrak{N}$, 极限

是改进的 ARZ 模型 (1.1) (1.2) (1.3) 满足柯西初值 (1.4) 式的弱解, 且 $(\rho,u) \in BV(\mathbb{R}\times [0,+\infty))$.