本文研究如下 Schrödinger 方程

其中 $\varepsilon$ 表示普朗克常数, $V(x)$ 是实函数, $\Gamma<0$ 是耦合常数. 形如 (1.1) 的方程被称为可饱和 Schrödinger 方程, 其与光脉冲在光折变介质中的传播密切相关 (详见文献 [12]). 当寻找方程 (1.1) 形如 $ \psi(x, t) = {\rm e}^{-{\rm i}\lambda\varepsilon^{-1}t}v(x) $ (其中 $v(x):\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$, $\lambda\in\mathbb{R}$) 的半经典稳态解时, 可知 $v(x)$ 满足

事实上, 设 $u(x): = v(\varepsilon x)$, 通过变量替换 $x\to\varepsilon x$, 方程 (1.2) 转化为

若 $\lambda$ 是固定实数, 方程 (1.3) 称为固定频率问题. 在过去几十年里, 关于可饱和 Schrödinger 方程 (1.3) 的解的相关研究有很多, 具体可见文献 [1,6,11-15,19] 及其引用的文献. 若 $\lambda$ 是未知量, 通过 Lagrange 乘子法能够寻找方程 (1.3) 在质量约束

下的解, 此时该解被称为正规化解. 当 $\varepsilon = 1$ 时, 关于方程 (1.3) 的正规化解的研究有很多, 例如 Lin 等^[7]证明了位势函数 $V(x)\equiv0$ 时, 方程 (1.3) 的基态解的存在性. 在文献 [8] 中, Lin, Wang 和 Wang 考虑非线性项为 $-\Gamma\frac{I(x) + u^{2}}{1 + I(x)+u^{2}}u$ 且 $V(x)\equiv0$ 时的方程 (1.3), 证明了其正规化解的存在性和稳定性. 当 $\varepsilon>0$ 时, 对于不同假设的 $I(x)$, 文献 [16,17] 证明了非线性项为 $-\Gamma\frac{I(x) + u^{2}}{1 + I(x)+u^{2}}u$ 且 $V(x)\equiv0$ 时的方程 (1.3) 的正规化解的存在性以及集中性. 在文献 [9] 中, Lin 和 Wu 考虑非线性项为 $-\Gamma\frac{I(x) + u^{2}}{1 + I(x)+u^{2}}u$ 且 $V(x)\equiv0$ 时的方程 (1.3), 证明了其多解的存在性.

据我们所知, 对于 $V(x)\not\equiv C$ 的可饱和 Schödinger 方程 (1.3), 关于其正规化解的存在性和集中性的相关研究比较少. 在文献 [10] 中, 作者考虑方程 (1.3) 的正规化解, 其中 $V(x)\not\equiv C$ 满足全局型假设

($ \hat{V} _1$) 存在 $x_0\in\mathbb{R}^2$, 使得 $V(x_0)=\min\limits_{x\in\mathbb{R}^2}V(x):=V_0>0$.

($\hat{V} _1$) $V_{0}:=\inf _{x \in \Omega} V(x)<\min _{x \in \partial \Omega} V(x).$.

而在本文中, 我们仍考虑方程 (1.3) 的正规化解, 但此时的 $V(x)\in C(\mathbb{R}^2)$ 仅满足局部型假设, 即

($ \hat{V} _1 $ ) 存在常数 $ C_1, C_2 > 0 $, 使得对任意的 $ x \in \mathbb{R}^2 $, 都有 $ C_1 \leq V(x) \leq C_2 $.

($ \hat{V} _2 $ ) 存在有界区域 $ \Omega\subset\mathbb{R}^2 $, 使得 $ V_0 := \inf\limits_{x\in\Omega} V(x) < \min\limits_{x\in\partial\Omega} V(x) $

为了后续方便, 记 $\Omega_\varepsilon:=\{x\in\mathbb{R}^2: \varepsilon x\in \Omega\}$, $\mathcal{V}:=\{x\in\Omega: V(x)=V_0\}\neq \emptyset$, 则 $\mathcal{V}\subset\subset \Omega$. 不失一般性, 我们设 $0\in\mathcal{V}$, 即 $V(0)=V_0$.

关于上述位势 $V(x)$ 的假设条件 $(V_2)$ 最初由 del Pino 和 Felmer 在文献 [2,3] 中提出. 他们通过惩罚方法研究了 Schrödinger 方程的半经典解的存在性以及集中性.

具体来说, 他们在给定区域 $\Omega$ 外对非线性项进行截断, 使得修正后的能量泛函在该区域 $\Omega$ 外是强制的, 从而证明了解的存在性. 同文献 [2,3] 相比, 由于本文研究的非线性项不同, 因此无法直接应用文献 [2,3] 中的修正泛函. 其次, 本文研究的是方程 (1.3) 带有规定质量 (1.4) 的解, 即正规化解.

为了寻找方程 (1.3) 的正规化解, 本文考虑泛函

限制在 $S(1)$ 上的临界点, 其中 $S(1):=\{u\in H^{1}(\mathbb{R}^{2}),\ \|u\|_{2}^{2} = 1\}$. 当 $u\in S(1)$, $\Gamma<0$ 时, 有 $J_{\varepsilon}(u)\geq\Gamma$.

故寻找方程 (1.3) 的正规化解转化为证明极小化问题 $m_{\varepsilon}(V(\varepsilon x)):=\inf\limits_{u\in S(1)}J_{\varepsilon}(u)$ 的可达性. 为了保证极小化序列的紧性和解在区域 $\Omega$ 附近的局部化特性, 本文给出了修正后的极小化问题 $\widetilde{m}_\varepsilon(V(\varepsilon x))$, 并证明其极小可达.

这里 $\widetilde{m}_\varepsilon(V(\varepsilon x))$ 的定义详见第二章.

本文解的存在性结果如下

定理 1.1 假设 $V(x)\in C(\mathbb{R}^2)$ 满足 $(V_1)$ 和 $(V_2)$. 则存在 $\Gamma_0<0$, 对任意的 $\Gamma<\Gamma_0$, 都存在足够小的 $\varepsilon_0>0$, 当 $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0)$ 时, 存在 $u_\varepsilon>0$, 使得极小化问题 $m_\varepsilon(V(\varepsilon x))$ 可达. 此外, 存在 $\lambda_\varepsilon<0$, 使得 $(u_\varepsilon,\lambda_\varepsilon)$ 是方程 (1.3) 的正解.

同时, 本文给出 $\varepsilon\to0$ 时, $u_\varepsilon$ 的集中性结果

定理 1.2 假设 $w_\varepsilon(x):=u_\varepsilon(x+x_\varepsilon)$, 其中 $u_\varepsilon$ 由定理 1.1 给出, $x_\varepsilon$ 是 $u_\varepsilon$ 的最大值点. 则当 $\varepsilon\to0$ 时, $w_\varepsilon$ 在空间 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 上强收敛到 $w_0$, 这里 $w_0$ 是极小化问题 $m(V_0)$ (由 (22) 式给出定义) 的极小元.

进一步, $u_\varepsilon$ 关于 $\varepsilon$ 是一致指数衰减的, 即存在 $\varepsilon_0>0$, 且存在与 $\varepsilon$ 无关的常数 $C,\ c>0$, 当 $\varepsilon\in (0,\varepsilon_0)$ 时, 对任意的 $x\in\mathbb{R}^2$, 都有 $u_\varepsilon(x)\leq C {\rm e}^{-c|x-x_\varepsilon|}$.

本文的结构如下: 在第二章中, 我们证明修正后的极小化问题 $\widetilde{m}_\varepsilon(V(\varepsilon x))$ 是可达的. 第三章证明了当 $\varepsilon>0$ 足够小时, 修正方程 (2.2) 的解也是原方程 (1.3) 的解, 即完成了定理 1.1 的证明. 同时, 当 $\varepsilon\to0$ 时, 我们证明了上述解的集中性.

关于符号, 在本文中, 符号 $\rightharpoonup$ 和 $\to$ 分别表示弱收敛和强收敛. $\|\cdot\|_2$ 表示 $L^2(\mathbb{R}^2)$ 上的范数. 字母 $C$, $\beta$, $\rho$ 和 $\delta$ 表示正常数, 它们可能依赖于一些参数, 其精确值随行文不同而变化.

正如前文所述, 我们无法直接应用文献 [2,3] 中的惩罚函数和修正泛函. 受到文献 [17] 的启发, 下面先来定义新的惩罚函数 $F_\varepsilon(x,u)$ 和修正泛函 $\widetilde{J}_\varepsilon(u)$:

设 $\varphi(x)=\frac{1}{1+|x|^4}$, 并定义函数 $\phi(x,t)$ 为

显然, $\phi$ 关于 $t$ 连续. 令

可知 $\widetilde{\phi}$ 关于 $t$ 是 $C^1$ 的. 此外, $\widetilde{\phi} \in [0,1]$, 且当 $t \leq \varphi(x)$ 时, $\widetilde{\phi}(x,t) = 1$; 当 $t \geq 3\varphi(x)$ 时, $\widetilde{\phi}(x,t) = 0$. 设 $\chi$ 为集合 $\overline{\Omega}$ 的特征函数. 我们记

和

其中 $\chi_\varepsilon(x) = \chi(\varepsilon x)$,则得到新的如下方程

方程 (2.2) 称为原方程 (1.3) 的修正方程, 相应的泛函 $\widetilde{J}_\varepsilon: H^1(\mathbb{R}^2)\to\mathbb{R}$

称为修正泛函, 即

由于 $\widetilde{J}_{\varepsilon}(u)$ 在 $S(1)$ 上下方有界, 本文通过极小化问题

的极小元来寻找修正方程 (2.2) 的正规化解.

我们首先考虑定义在 $H_0^1(B_n)$ 上的极小化问题

其中 $B_n$ 是以原点 $0\in\mathbb{R}^2$ 为中心, 半径为 $n\in\mathbb{N}^+$ 的开球. 可证存在非负函数 $u_{\varepsilon,n}\in H_0^1(B_n)$, $\|u_{\varepsilon,n}\|_2^2=1$ 使得极小化问题 $\widetilde{m}_{\varepsilon, n}(V(\varepsilon x))$ 可达.

下面研究 $\widetilde{m}_{\varepsilon, n}(V(\varepsilon x))$ 和 $\widetilde{m}_{\varepsilon}(V(\varepsilon x))$ 之间的关系

引理 2.1 对任给的 $\varepsilon>0$, 下式成立

证 对任意的 $n\in\mathbb{N}^+$, 根据 $u_{\varepsilon,n}$ 是 $\widetilde{m}_{\varepsilon, n}(V(\varepsilon x))$ 的极小元可知 $u_{\varepsilon,n}\in H_0^1(B_n)$, 且 $\|u_{\varepsilon,n}\|_2^2=1$. 将 $u_{\varepsilon,n}$ 作零延拓, 可得 $u_{\varepsilon,n}\in H^1(\mathbb{R}^2)$. 因此,

这表明

另一方面, 对任意的 $\delta>0$, 存在 $\psi\in H^1(\mathbb{R}^2)$, 使得 $\|\psi\|_2^2=1$, 且

取光滑函数 $\eta\in C_0^\infty(B_1)$ 使得 $\eta\in [0,1]$, 且当 $x\in B_{\frac12}$ 时, 有 $\eta(x)=1$.记

可知 $\psi_n\in H_0^1(B_n)$, $\|\psi_n\|_2^2=1$, 且在空间 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 上, 有 $\psi_n\to\psi$, $n\to\infty$. 因此,

由 $\delta$ 的任意性可得,

结合不等式 (2.4) 和 (2.5) 可知 (2.3) 式成立.

接下来, 对 $\widetilde{m}_{\varepsilon, n}(V(\varepsilon x))$ 和 $\widetilde{m}_{\varepsilon}(V(\varepsilon x))$ 进行能量估计

引理 2.2 存在 $\Gamma_0<0$, 当 $\Gamma<\Gamma_0$ 时, 对任意的 $\varepsilon\in(0,1)$ 和 $n\in\mathbb{N}^+$,

常数 $\beta>0$ 与 $\varepsilon$ 和 $n$ 无关. 进一步,

证 因为 $0\leq F_\varepsilon (x,u)\leq u^2$, $x\in\mathbb{R}^2$, 所以当 $u\in S(1)$ 时, 有

另一方面, 设 $v\in C_0^\infty(\Omega)$ 满足 $\|v\|_2^2=1$, 并记 $v_k(x):=kv(kx)$, 其中 $k\in\mathbb{N}^+$, 则对任意的 $n\in\mathbb{N}^+$, 当 $k$ 足够大时, 有 $v_k\in H_0^1(B_n)$. 又 $\frac{1}{k^2}\ln(1+k^2v^2)\leq v^2, \ x\in\mathbb{R}^2$, 结合 Lebesgue 控制收敛定理和 $\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{\ln(1+at)}{t}=0$ (其中 $a>0$) 可得

令 $m_k:=\int_{\mathbb{R}^2}[v_k^2-\ln(1+v_k^2)]{\rm d}x$, 根据 (2.9) 式可知

从而存在 $k_0>0$ 和 $0<\beta '<1$, 使得 $m_{k_0}=\int_{\mathbb{R}^2}[v_{k_0}^2-\ln(1+v_{k_0}^2)]{\rm d}x>\beta '$. 当 $\varepsilon\in(0,1)$ 时, 有 $\text{supp} (v_{k_0})\subset \Omega_\varepsilon$, 且

这表明存在 $\Gamma_0<0$, 当 $\Gamma<\Gamma_0$ 时, 对所有的 $\varepsilon\in(0,1)$ 和 $n\in\mathbb{N}^+$,

常数 $\beta>0$ 与 $\varepsilon$ 和 $n$ 无关. 由不等式 (2.8) 和 (2.10) 推出 (2.6) 式. 结合引理 2.1 和 2.6) 式可知 (2.7) 式成立.

由 $u_{\varepsilon,n}$ 是 $\widetilde{m}_{\varepsilon, n}(V(\varepsilon x))$ 的极小元可知, 存在 Lagrange 乘子 $\lambda_{\varepsilon,n}\in \mathbb{R}$ 使得 $u_{\varepsilon,n}$ 满足方程

下面我们对 Lagrange 乘子 $\lambda_{\varepsilon,n}$ 进行估计, 为此先讨论 $F_\varepsilon(x,u)$ 和 $f_\varepsilon(x,u)$ 的相关性质

引理 2.3 对任意的 $u\in H^1(\mathbb{R}^2)$, 下式成立

证 由 $F_\varepsilon(x,u)$ 的定义可知

为了得到 (2.12) 式, 我们只需要证明 $\int_{\mathbb{R}^2}(1-\chi_\varepsilon)\widetilde{\phi}(x,|u|)u^2{\rm d}x=o_\varepsilon (1)$. 又 $\widetilde{\phi}(x,|u|)\in [0,1]$, 当 $|u|\geq 3\varphi$ 时, $\widetilde{\phi}(x,|u|)=0$, 且存在 $r>0$, 使得 $|x|\geq \frac r\varepsilon>0, \ x\in\mathbb{R}^2\setminus \Omega$, 所以

下述引理对 Lagrange 乘子 $\lambda_{\varepsilon,n}$ 进行估计

引理 2.4 设 $\Gamma<\Gamma_0$, 其中 $\Gamma_0$ 由引理 2.2 定义, 则 $\lambda_{\varepsilon,n}$ 满足

证 根据方程 (2.11) 可知

结合 $\ln(1+t)\geq \frac{t}{1+t}$, $t\geq0$, 引理 2.3 和 (2.16) 式可得

另一方面,

不等式 (2.17) 和 (2.18) 表明 (2.15) 式成立.

引理 2.5 设 $u_{\varepsilon,n}\in H_0^1(B_n)$ 是 $\widetilde{m}_{\varepsilon,n}$ 的非负极小元, 则存在 $u_\varepsilon\not\equiv0\ (u_\varepsilon\geq0)$, 使得在空间 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 上,

证 将 $u_{\varepsilon,n}$ 作零延拓, 有 $u_{\varepsilon,n}\in H^1(\mathbb{R}^2)$. 由 $\widetilde{J}_\varepsilon(u_{\varepsilon,n})=\widetilde{m}_{\varepsilon,n}(V(\varepsilon x))$, 引理 2.2 和 $0\leq F_\varepsilon(x,u_{\varepsilon,n})\leq u_{\varepsilon,n}^2$ 可知, 当 $n$ 足够大时,

又 $\|u_{\varepsilon,n}\|_2^2=1$, 所以 $\|u_{\varepsilon,n}\|^2\leq -\Gamma+2$, 这表明 $\{u_{\varepsilon,n}\}$ 在空间 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 上有界. 因此, 至少存在子列, 不妨仍记为 $\{u_{\varepsilon,n}\}$, 且存在 $u_\varepsilon\in H^1(\mathbb{R}^2)$, 使得在空间 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 上, $u_{\varepsilon,n}\rightharpoonup u_\varepsilon$, $n\to\infty$.

接下来, 我们证明 $u_{\varepsilon}\not\equiv0$. 事实上, 对固定的 $\varepsilon>0$, $\Omega_\varepsilon$ 是有界区域. 根据 Sobolev 嵌入定理, 在空间 $L^p(\Omega_\varepsilon)$ 上, 有 $u_{\varepsilon,n}\to u_\varepsilon$, $n\to\infty$, 其中 $2\leq p<\infty$. 进一步, 存在 $w\in L^4(\Omega_\varepsilon)$, 使得对任意的 $n\in\mathbb{N}^+$, 当 $x\in\Omega_\varepsilon$ 时, 有 $u_{\varepsilon,n}(x)\leq w(x)$. 由 $F_\varepsilon(x,u)$ 的定义和上面的讨论可知, 对任给的 $n\in\mathbb{N}^+$,

根据 $0\leq F_\varepsilon(x,u)-\ln(1+F_\varepsilon(x,u))\leq CF_\varepsilon^2(x,u), \ x\in\mathbb{R}^2$, 不等式 (2.20) 和 Lebesgue 控制收敛定理可知, 当 $n\to\infty$ 时, 有

由此 $\int_{\mathbb{R}^2}\left[F_\varepsilon(x,\cdot)-\ln(1+F_\varepsilon(x,\cdot)\right]$ 是弱连续的. 进一步, $\widetilde{J}_\varepsilon(\cdot)$ 是弱下半连续的. 故

这表明 $u_\varepsilon\not\equiv0$.

设 $\lambda_\varepsilon=\lim\limits_{n\to\infty}\lambda_{\varepsilon,n}$. 上述引理表明 $u_\varepsilon$ 在弱意义下满足方程

由引理 2.4 可知, 存在 $\varepsilon_0>0$, 使得当 $\varepsilon\in (0,\varepsilon_0)$ 时, 有 $\Gamma-1<\lambda_\varepsilon<-\frac\beta2$.

下面我们证明极小化问题 $\widetilde{m}_\varepsilon(V(\varepsilon x))$ 的可达性.

引理 2.6 设 $\Gamma<\Gamma_0$. 若 $\varepsilon\in (0,\varepsilon_0)$, 则 $\widetilde{m}_\varepsilon(V(\varepsilon x))$ 存在极小元 $u_\varepsilon\in S(1)$.

证 对任给的 $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0)$, 由引理 2.5 可知 $\widetilde{J}_\varepsilon(u_\varepsilon)\leq \widetilde{m}_\varepsilon(V(\varepsilon x))$. 为了说明 $u_\varepsilon$ 是 $\widetilde{m}_\varepsilon(V(\varepsilon x))$ 的极小元, 接下来只需要验证 $\|u_\varepsilon\|_2^2=1$. 事实上, 根据方程 (2.11) 可知

类似于 (2.21) 式, 应用 Lebesgue 控制收敛定理可得

又 $\lambda_\varepsilon=\lambda_{\varepsilon,n}+o_n(1)$, $n\to\infty$, 由 (2.23) 和 (2.24) 式可知

根据方程 (2.22), 我们有

由方程 (2.25) 和 (2.26) 可得

这表明对所有的 $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0)$, 当 $n\to\infty$ 时, 在空间 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 上, 有 $u_{\varepsilon,n}\to u_\varepsilon$, 且 $\|u_\varepsilon\|_2^2=1$. 进一步可知, $u_\varepsilon\geq0$ 是 $\widetilde{m}_\varepsilon(V(\varepsilon x))$ 的极小元.

在这一章中, 我们先证明上述得到的修正方程 (2.2) 的解 $u_\varepsilon$ 是原方程 (1.3) 的解. 其次, 我们给出 $\varepsilon\to0$ 时, 正规化解 $u_\varepsilon$ 的集中性.

在这一节中, 我们将证明当 $\varepsilon>0$ 充分小时, 修正方程 (2.2) 的解 $u_\varepsilon$ 也是原方程 (1.3) 的解, 即证明定理 1.1. 为此, 我们只需要说明存在 $\varepsilon_0>0$, 对任意的 $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0)$, 当 $x\in\mathbb{R}^2\setminus \Omega_\varepsilon$ 时, 有 $u_\varepsilon(x)\leq \varphi(x)$.

首先给出极限方程的相关性质, 这有助于定理 1.1 的证明.记

这里$J_b(u)=\int_{\mathbb{R}^2}|\nabla u|^2+bu^2+\Gamma [u^2-\ln(1+u^2)]$, $b\in[C_1,C_2]$.

类似于文献[8,定理 2.1], 我们得到下述引理

引理 3.1 存在 $\Gamma_0<0$, 如果 $\Gamma<\Gamma_0$, $b\in[C_1,C_2]$, 那么存在 $u_b\in S(1)$, $u_b>0$, 使得极小化问题 $m(b)<0$ 极小可达. 此外, $m(b)$ 在区间 $[C_1,C_2]$ 上严格递增.

下面对 $\widetilde{m}_\varepsilon(V(\varepsilon x))$ 进行能量估计

引理 3.2 设 $\Gamma<\Gamma_0$, 则

证 设 $u_0$ 是 $m(V_0)$ 的极小元. 取光滑函数 $\eta\in C_0^\infty(B_1)$ 使得 $\eta\in [0,1]$, 且当 $x\in B_{\frac12}$ 时, 有 $\eta(x)=1$. 我们记 $u_k=\|\eta(k^{-1}x)u_0\|_2^{-1}\eta(k^{-1}x)u_0$, 则 $u_k\in H_0^1(B_k)$, $\text{supp}(u_k)\subset B_k\subset \Omega_\varepsilon$,

$\|u_k\|_2^2=1$, 且在空间 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 上, 有 $u_k\to u_0$, $k\to\infty$. 因此,

对任给的 $k\in\mathbb{N}^+$, 当 $\varepsilon>0$ 充分小时, 有 $B_k\subset \Omega_\varepsilon$. 又因为

所以

这表明

联合 (3.3) 和 (3.5) 式即得 (3.2) 式.

已知

对于任给的 $\rho>0$, 我们设

和$ \left(\mathcal{V}^\rho\right)_\varepsilon:=\{x\in\mathbb{R}^2:\varepsilon x\in \mathcal{V}^\rho\}. $

则有如下引理

引理 3.3 如果 $x\in\mathbb{R}^2\setminus \left(\mathcal{V}^\rho\right)_\varepsilon$, 那么

证 由 $f_\varepsilon(x,u)$, $u\in H^1(\mathbb{R}^2)$ 的定义可知 $|f_\varepsilon(x,u)|\leq C|u|$. 根据方程 (2.2), $\lambda_\varepsilon<0$ 和 $C_1\leq V(x)\leq C_2$ 可得

应用 De Giorgi-Nash-Moser 理论 (详见文献 [5,定理 4.1]), 我们有

因此, 我们只需要证明

如果 (3.6) 式不成立, 那么存在子列 $\{\varepsilon_k\}$ (当 $k\to\infty$ 时, 有 $\varepsilon_k\to0$), 且存在 $\{y_k\}\subset \mathbb{R}^2\setminus \left(\mathcal{V}^\rho\right)_\varepsilon$, 使得

记 $w_{\varepsilon_k}:=u_{\varepsilon_k}(\cdot+y_k)$. 由引理 3.2 可知 $\{u_{\varepsilon_k}\}$ 在空间 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 上一致有界. 进一步, $\{w_{\varepsilon_k}\}$ 在空间 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 上一致有界. 又因为 $\widetilde{J}_\varepsilon(\cdot)$ 是下半连续的, 所以存在 $w_0\not\equiv0$, 在空间 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 上, 有 $w_{\varepsilon_k}\rightharpoonup w_0$, $k\to\infty$. 根据假设 $(V_2)$, 存在 $\delta_0>0$ 和 $c_0>0$, 使得

剩余证明将分成三步

第一步 存在 $y_0\in \Omega^{\delta_0}\setminus \mathcal{V}^\rho$, 使得当 $k\to\infty$ 时, 有 $\varepsilon_k y_k\to y_0$.

首先证明 $\{\varepsilon_k y_k\}$ 在空间 $\mathbb{R}^2$ 上有界.

假设 $\{\varepsilon_k y_k\}$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上无界, 则至少存在子列, 仍记为 $\{\varepsilon_k y_k\}$, 使得当 $k\to\infty$ 时, 有 $|\varepsilon_k y_k|\to+\infty$.

又当 $k\to\infty$ 时, 对几乎处处的 $x\in\mathbb{R}^2$, 都有 $\chi(\varepsilon_kx+\varepsilon_ky_k)\to0$ 成立. 根据引理 2.3 可知

联合 $\int_{\mathbb{R}^2}\ln(1+F_\varepsilon(x,u_{\varepsilon_k})){\rm d}x\leq \int_{\mathbb{R}^2}F_\varepsilon(x,u_{\varepsilon_k}){\rm d}x$ 和 (3.9) 式可得

由引理 3.2, (3.8) 和 (3.9) 式可知, 当 $k\to\infty$ 时,

这是不可能发生的, 从而假设不成立, 即 $\{\varepsilon_ky_k\}$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上有界. 由上述讨论可知, 至少存在子列, 不妨仍记为 $\{\varepsilon_ky_k\}$, 存在 $y_0\in\mathbb{R}^2$, 使得当 $k\to\infty$ 时, $\varepsilon_ky_k\to y_0$. 又因为 $\{y_k\}\subset \mathbb{R}^2\setminus \left(\mathcal{V}^\rho\right)_\varepsilon$, 所以 $y_0\not\in \mathcal{V}^\rho$.

为了完成第一步的证明, 接下来只需证明 $y_0\in\Omega^{\delta_0}$.

若 $y_0\not\in\Omega^{\delta_0}$, 则当 $k\to\infty$ 时, 对几乎处处的 $x\in\mathbb{R}^2$, 都有 $\chi(\varepsilon_kx+\varepsilon_\varepsilon y_k)\to0$. 类似于引理 2.3 可得

这表明

进一步,

根据 (3.14) 式, 将 $w_0(x-y_k)$ 代入方程 (2.22), 两边积分可得

由 $w_{\varepsilon_k}$ 在空间 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 上弱收敛到 $w_0$ 可知

根据(3.15), (3.16) 式, $V(\varepsilon_kx+\varepsilon_ky_k)\geq0$ 和 $-\lambda_{\varepsilon_k}\geq \frac{\beta}{2}$ 可得

这与 $w_0\not\equiv0$ 矛盾.

因此, $y_0\in\Omega^{\delta_0}\setminus \mathcal{V}^{\rho}$.

第二步 记 $s_0:=\|w_0\|_2^2$ 和 $v_{\varepsilon_k}:=w_{\varepsilon_k}-w_0$, 则当 $k\to\infty$ 时,

其中 $\bar{w}_0=\frac{w_0}{\|w_0\|_2}$, $\bar{v}_{\varepsilon_k}=\frac{v_{\varepsilon_k}}{\|v_{\varepsilon_k}\|_2}$.

根据引理 2.3 可知

由于 $w_{\varepsilon_k}$ 在空间 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 上弱收敛到 $w_0$, 其中 $k\to\infty$, 根据 Brezis-Lieb 引理, 我们有

类似于(3.19) 式, 结合 $\ln(1+t), \ t\geq0$ 是凹函数可知

联合 (3.19) 和 (3.20)} 式可知

其中 $\widetilde{v}_{\varepsilon_k}=\bar{v}_{\varepsilon_k}(x-y_k)$. 又 $t-\ln(1+t),\ t\in(0,+\infty)$ 是单调递增函数, 且 $\chi_{\varepsilon_k}(x+y_k) \bar{w}_0^2\leq \bar{w}_0^2$, 从而

根据不等式 (3.21) 和 (3.22) 可知, 当 $k\to\infty$ 时,

第三步 (3.6) 式成立.

由第二步和 $\widetilde{m}_{\varepsilon}(V(\varepsilon x))=\widetilde{J}_\varepsilon(u_\varepsilon)$ 可以推出 $ \widetilde{m}_{\varepsilon_k}(V(\varepsilon_k x)) \geq s_0 J_{V(y_0)}(\bar{w}_0)+(1-s_0)\widetilde{J}_{\varepsilon_k}(\widetilde{v}_{\varepsilon_k})+o_{\varepsilon_k}(1).\nonumber $ 又 $\|\widetilde{v}_{\varepsilon_k}\|_2^2=\|\bar{w}_0\|_2^2=1$, 所以

根据引理 3.2 和不等式 (3.24) 可得

结合不等式 (3.25) 和 $s_0=\|\bar{w}_0\|_2^2>0$, 我们有

根据 $y_0\in\Omega^{\delta_0}\setminus \mathcal{V}^\rho$ 可知 $V_0+c_\rho\leq V(y_0)$. 又 $m(b)$ 在 $(C_1,C_2)$ 上严格单调递增 (见引理 3.1), 所以 $m(V_0)< m(y_0)$, 这与 (3.26) 式矛盾, 从而假设不成立, 即 (3.6) 式成立. 进一步, 引理 3.3 得证.

引理 3.4 设 $\rho>0$, 则存在 $\varepsilon_0>0$, 使得当 $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0)$ 时, 有 $ |u_\varepsilon(x)|\leq C e^{-c\text{dist}(x,\left(\mathcal{V}^\rho\right)_\varepsilon)},\ \ x\in\mathbb{R}^2\setminus \left(\mathcal{V}^\rho\right)_\varepsilon, $ 这里常数 $C$, $c>0$ 与 $\rho$ 有关, 且与 $\varepsilon$ 无关.

进一步, 对任意的 $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0)$, 都有

证 由引理3.3 可知, 对任意的 $x\not\in \left(\mathcal{V}^\rho\right)_\varepsilon$, 有 $0\leq F_\varepsilon(x,u_\varepsilon)\leq u_\varepsilon^2(x)=o_\varepsilon(1)$. 同样地,

根据条件 $(V_1)$, 方程 (2.22) 和 (3.27) 式可得

又因为 $\Gamma-1<\lambda_\varepsilon<-\frac{\beta}{2}$, $\varepsilon\to0$, 所以存在 $\varepsilon_0>0$, 使得当 $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0)$ 时, 有 $-\lambda_\varepsilon+o_\varepsilon(1)\geq\frac\beta2$. 故对任意的 $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0)$, 都有 $ -\Delta u_\varepsilon+\frac\beta4u_\varepsilon\leq0,\ \ x\in\mathbb{R}^2\setminus \left(\mathcal{V}^\rho\right)_\varepsilon. $ 由比较原理可知, 当 $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0)$ 时,

取充分小的 $\rho>0$ 满足 $\mathcal{V}^{2\rho}\subset \Omega$, 则存在 $c'>0$, 使得

由不等式 (3.28) 和 (3.29) 可知, $u_\varepsilon(x)\leq C e^{-c|x|},\ \ x\in\mathbb{R}^2\setminus \left(\mathcal{V}^\rho\right)_\varepsilon,$ 其中 $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0)$. 设 $r_0>0$ 满足 $B_{r_0}(0)\subset \Omega$, 则对任意的 $x\in\mathbb{R}^2\setminus \Omega_\varepsilon$, 有 $|x|\geq \frac{r_0}{\varepsilon}$.

进一步, 由 $\varphi(x)$ 的定义可知, 当 $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0)$ 时, 有

下面我们证明定理 1.1.

证 由引理 3.4 可知, 存在 $\varepsilon_0>0$, 当 $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0)$ 时, $u_\varepsilon$ 是方程 (1.3) 的正规化解, 且 $\Gamma-1<\lambda_\varepsilon<-\frac\beta2$. 又 $u_\varepsilon\geq0$, $V(\varepsilon x)-\lambda_\varepsilon>0$, 应用强极值原理可知 $u_\varepsilon>0$, $x\in\mathbb{R}^2$. 根据 Calderon-Zygmund 估计 (参考文献 [4,第 9 章]), Sobolev 嵌入定理和方程 (1.3) 可得 $u_{\varepsilon}\in C^{1,\alpha}(\mathbb{R}^{2})$, 其中 $\alpha\in(0,1)$. 再由 $L^p$ 估计可知

其中 $p\in[2,+\infty)$.

我们将给出 $\varepsilon\to0$ 时, 上述正解 $u_\varepsilon$ 的集中性, 即证明定理 1.2.

首先, 定理 1.1 的证明表明

结合引理 3.2, 当 $\Gamma<\Gamma_0$ 时,

且 $\{u_\varepsilon\}$ 在空间 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 上关于 $\varepsilon$ 一致有界.

引理 3.5 存在与 $\varepsilon$ 无关的常数 $\delta>0$, 使得

其中 $u_\varepsilon$ 是方程 (1.3) 的正解.

证 假设 (3.33) 式不成立, 则存在 $\{y_n\}\subset\mathbb{R}^2$, 使得

由文献 [8,引理 1.21] 和 $\{u_\varepsilon\}$ 在空间 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 上的有界性可知, 在空间 $L^p(\mathbb{R}^2)$ 上, 有 $ u_{\varepsilon_n}\to0, \ \ \varepsilon_n\to0, $ 其中 $p\in(2,+\infty)$. 又 $0\leq t-\ln(1+t)\leq Ct^2$, $t\geq0$, 根据 Lebesgue 控制收敛定理可知,

由条件 $(V_1)$ 和 (3.34) 式可得

此外, 引理 2.2 和 (3.32) 式表明 $J_{\varepsilon_n}(u_{\varepsilon_n})<-\beta$, 其中 $\beta>0$ 与 $\varepsilon_n$ 无关. 这与不等式 (3.35) 矛盾.

所以假设不成立, 即 (3.33) 式成立.

引理 3.5 表明存在 $\delta'>0$, 使得

对于任给的 $\varepsilon>0$ ($\varepsilon$ 充分小), 由引理 3.5 得 $\lim\limits_{|x|\to0}u_\varepsilon(x)=0$. 因此,

类似于引理 3.3 的证明, 对任意的 $\rho>0$ 和 $x\not\in\left(\mathcal{V}^\rho\right)_\varepsilon$, 有 $\lim\limits_{\varepsilon\to0}u_\varepsilon(x)=0$. 故 $\{x_\varepsilon\}\subset \left(\mathcal{V}^\rho\right)_\varepsilon$. 由 $\rho>0$ 的任意性可知, 存在 $y_1\in\mathcal{V}$ 使得

记 $w_\varepsilon(x):=u_\varepsilon(x+x_\varepsilon)$. 下述引理给出 $\varepsilon\to0$ 时, $w_\varepsilon$ 的集中性.

引理 3.6 存在 $w_0\in S(1)$, 使得当 $\varepsilon\to0$ 时, $w_\varepsilon$ 在空间 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 上强收敛到 $w_0$.

证 根据 $\{u_\varepsilon\}$ 在空间 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 上的有界性可知, $\{w_\varepsilon\}$ 在空间 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 上有界. 故至少存在 $\{w_\varepsilon\}$ 的子列, 不妨仍记为 $\{w_\varepsilon\}$, 存在 $w_0\in H^1(\mathbb{R}^2)$, 在空间 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 上, 有

由 (3.30) 和 (3.39) 式可知, 在空间 $C^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^2)$ 上, 有

结合 (3.37) 式和 $w_\varepsilon(x)$ 的定义可知, $w_\varepsilon(x)$ 在 $0$ 处取得最大值, 即 $w_\varepsilon(0)\geq\delta'>0$. 由 (3.40) 式可得 $w_0(0)\geq\delta'>0$, 这表明 $w_0\not\equiv0$.

下面我们证明 $\|w_0\|_2^2=1$.

若 $s_0:=\|w_0\|_2^2\neq1$, 则 $s_0\in(0,1)$. 由 $w_0(0)\geq \delta'>0$ 和 $w_0(x)\in C^1_{\rm loc}(\mathbb{R}^2)$ 可知, 存在足够小的 $r>0$, 使得

记 $v_\varepsilon(x):=w_\varepsilon(x)-w_0(x)$, 由 (4.40) 式可知, 当 $\varepsilon\to0$ 时, $v_\varepsilon(x)$ 在 $x\in B_r(0)$ 上一致收敛到 $0$. 定义 $\bar{w}_0=\frac{w_0}{\|w_0\|_2}$ 和 $\bar{v}_\varepsilon=\frac{v_\varepsilon}{\|v_\varepsilon\|_2}$. 联合 (3.40) 和 (3.41) 式可知, 存在 $\sigma>0$ 和 $\delta''>0$, 使得

根据文献 [8,定理 5.2] 可知, 对任意的 $x\in B_r(0)$, 存在 $\delta'''>0$, $\delta'''$ 与 $\varepsilon$ 无关, 使得

又 $t-\ln(1+t)$, $t\geq0$ 是凸函数, 所以当 $x\in\mathbb{R}^2\setminus B_r(0)$ 时,

类似于引理 3.3 中的第二步, 有

根据 $u_\varepsilon$ 是 $m_\varepsilon(V(\varepsilon x))$ 的极小元, (46) 式和 $\|\bar{v}_\varepsilon(x-x_\varepsilon)\|_2^2=1$ 可知

联合 (3.45) 和 (3.32) 式即得

这是不可能发生的. 因此, 假设不成立, 从而 $\|w_0\|_2^2=1$.

接下来, 我们证明在空间 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 上, 有

根据 Gaglardo-Nirenberg 不等式和 $\|w_0\|_2^2=1$ 可知, 在空间 $L^p(\mathbb{R}^2)$ 上,

又 $0\leq t-\ln(1+t)\leq Ct^2$, $t\geq 0$, 应用 Lebesgue 控制收敛定理, 有

和

由方程 (3.46), (3.47) 和 $w_\varepsilon$ 在空间 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 上弱收敛到 $w_0$ 可知

这表明 $\lim\limits_{\varepsilon\to0}\|\nabla w_\varepsilon\|_2^2=\|w_0\|_2^2$, 且 $w_0$ 是极小化问题 $m(V_0)$ 的极小元. 综上可知, 当 $\varepsilon\to0$ 时, $w_\varepsilon$ 在空间 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 上强收敛到 $w_0$.

最后, 我们证明定理 1.2.

证 由引理 3.6 可知, 当 $\varepsilon\to0$ 时, $w_\varepsilon$ 在空间 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 上强收敛到 $w_0$. 为了完成定理 1.2 的证明, 下面我们只需要说明 $u_\varepsilon$ 关于 $\varepsilon$ 是一致指数衰减的.

根据不等式 (3.30) 和 $w_\varepsilon$ 在 $H^1(\mathbb{R}^2)$ 上强收敛到 $w_0$ 可知, 任给充分小的 $\tau>0$, 存在足够大的 $R>0$ 和足够小的 $\varepsilon_0>0$, 当 $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0)$ 时, 对任意的 $|x|\geq R$, 都有 $w_\varepsilon(x)\leq \tau$. 又 $w_\varepsilon$ 满足

其中 $\lambda_\varepsilon<-\frac{\beta}{2}, \varepsilon\in(0,\varepsilon_0)$. 所以当 $\tau>0$ 充分小时, 有

由经典的比较原理可知, 存在与 $\varepsilon$ 无关的常数 $C,\ c>0$, 当 $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0)$ 时,对所有的 $x\in\mathbb{R}^2$,

又 $w_\varepsilon(x)=u_\varepsilon(x+x_\varepsilon)$, 故对任意的 $x\in\mathbb{R}^2$,