带有通量限制机制的三维趋化-Navier-Stokes 珊瑚受精模型的整体弱解

带有通量限制机制的三维趋化-Navier-Stokes 珊瑚受精模型的整体弱解

崔博洋^,, 刘吉^,^*

南京农业大学理学院南京 210014

Global Weak Solutions in a Three-Dimensional Coral Fertilization Model of Chemotaxis-Navier-Stokes Type with Flux Limitation

Cui Boyang^,, Liu Ji^,^*

College of Sciences, Nanjing Agricultural University, Nanjing 210014

通讯作者: *刘吉, E-mail:Liuji@njau.edu.cn

收稿日期: 2025-04-10 修回日期: 2026-01-19

基金资助:

国家自然科学基金(11223344)

Received: 2025-04-10 Revised: 2026-01-19

Fund supported:

NSFC(11223344)

作者简介 About authors

崔博洋,E-mail:1052070109@qq.com

摘要

该文致力于研究如下趋化-Navier-Stokes 珊瑚受精模型(*)$\left\{\begin{array}{ll}n_{t}+u \cdot \nabla n=\Delta n-\nabla \cdot\left(n f\left(|\nabla c|^{2}\right) \nabla c\right)-m n, & x \in \Omega, \\c_{t}+u \cdot \nabla c=\Delta c-c+m, & x \in \Omega, \\m_{t}+u \cdot \nabla m=\Delta m-m n, & x \in \Omega, \\u_{t}+(u \cdot \nabla) u=\Delta u-\nabla P+(n+m) \nabla \Phi, \nabla \cdot u=0, & x \in \Omega,\end{array}\right.$

其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^3 $ 是边界光滑的有界区域, 且函数 $f\in C^{2}([0,+\infty))$ 满足$|f(\xi)| \leq K_f \cdot (\xi + 1)^{-\frac{\theta}{2}}, \xi \geq 0,$

其中常数 $K_f > 0$ 且 $\theta \in \mathbb{R}$. 作者证明了只要$\theta > 0,$

则对于任意适当正则的初始值与 ($*$) 相关的初边值问题在适当的齐次边界条件下有整体存在的弱解.

关键词： 趋化; 纳维-斯托克斯; 通量限制.

Abstract

This paper is devoted to investigating the following coral fertilization model of chemotaxis-Navier-Stokes type(*)$\left\{\begin{array}{ll}n_{t}+u \cdot \nabla n=\Delta n-\nabla \cdot\left(n f\left(|\nabla c|^{2}\right) \nabla c\right)-m n, & x \in \Omega, \\c_{t}+u \cdot \nabla c=\Delta c-c+m, & x \in \Omega, \\m_{t}+u \cdot \nabla m=\Delta m-m n, & x \in \Omega, \\u_{t}+(u \cdot \nabla) u=\Delta u-\nabla P+(n+m) \nabla \Phi, \nabla \cdot u=0, & x \in \Omega,\end{array}\right.$

where $\Omega \subset \mathbb{R}^3 $ is a bounded domain with smooth boundary, and $f\in C^{2}([0,+\infty))$ fulfills$|f(\xi)| \leq K_f \cdot (\xi + 1)^{-\frac{\theta}{2}}, \xi \geq 0,$

with constants $K_f > 0$ and $\theta \in \mathbb{R}$. It is proved that if$\theta > 0,$

then for arbitrarily appropriately regular initial data an initial-boundary value problem associated with ($*$) subject to suitably homogeneous boundary conditions admits at least one global weak solution.

Keywords： chemotaxis; Navier-Stokes; flux limitation.

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本文引用格式

崔博洋, 刘吉. 带有通量限制机制的三维趋化-Navier-Stokes 珊瑚受精模型的整体弱解[J]. 数学物理学报, 2026, 46(3): 1054-1082

Cui Boyang, Liu Ji. Global Weak Solutions in a Three-Dimensional Coral Fertilization Model of Chemotaxis-Navier-Stokes Type with Flux Limitation[J]. Acta Mathematica Scientia, 2026, 46(3): 1054-1082

1 引言

一些生活在海洋里的无脊椎动物, 例如海胆、海葵和珊瑚, 它们在产卵的时候会由雄性群体和雌性群体分别向周围的洋流中释放精子和卵子. 对于珊瑚, 已经有实验证明: 其卵子会产生一种化学物质用以吸引精子^[1-4]. 这种吸引作用会使精子朝着卵子的方向运动. 生物学把这种微生物因受到化学物质的刺激而产生的定向移动叫做趋化. 理论上已经证明: 趋化会在很大程度提高受精效率, 使受精作用进行得更充分^[5,6], 相应的数学模型如下

(1.1)$\left\{\begin{array}{l}n_{t}+u \cdot \nabla n=\Delta n-\chi \nabla \cdot(n \nabla c)-\mu n^{q}, \\0=\Delta c+n.\end{array}\right.$

该模型是在假设精子与卵子的密度相等且卵子产生的化学物质不随洋流传播的前提下建立的. 模型中的未知函数 $n$ 和 $c$ 分别表示配子 (即精子和卵子) 的密度和化学物质的浓度. 给定的向量函数 $u$ 表示海水流动的速度, 它是一个无散度向量场. 常数 $\chi>0, \mu>0$ 和 $q\geq2$ 各自表示趋化敏感度系数、反应项阻尼系数以及反应项衰减指数.

为了使模型 (1.1) 更贴近生物学实际, Espejo 和 Suzuki^[7] 在精子和卵子密度相等的前提下考虑了洋流对化学物质的传播作用并假定海水流动的速度场 $u$ 是未知的向量函数, 且 $u$ 的演化遵循 Stokes 方程. 相应的数学模型如下

(1.2)$\begin{cases}n_t + u \cdot \nabla n = \Delta n - \chi \nabla \cdot (n \nabla c) - \mu n^q, \\c_t + u \cdot \nabla c = \Delta c - c + n, \\u_t + \kappa (u \cdot \nabla) u = \Delta u - \nabla P + n \nabla\Phi, \nabla \cdot u = 0,\end{cases}$

其中$\kappa = 0, q=2$. 随后, 对于与模型 (1.2) 相关的初边值问题, 人们又陆续考虑了其在 2 维或 3 维有界区域上耦合 Stokes 方程或 Navier-Stokes 方程时阻尼系数 $\mu$ 和衰减指数 $q$ 的取值对解的整体存在性、稳定性以及正则性的影响, 相关结果可参见文献 [7 -15].

事实上, 在具体的受精过程中, 精子和卵子的密度往往是不相等的. 这就意味着在模型 (1.2) 中还需要增加一个刻画微生物种群演化的方程, 相应的数学模型就成为

(1.3)$\begin{cases}n_{t}+ u\cdot \nabla n = \Delta n - \chi\nabla\cdot(n \nabla c)- \mu_1 nm, \\c_{ t} + u \cdot \nabla c = \Delta c - c + m, & \\m_{ t} + u \cdot \nabla m = \Delta m - \mu_2 nm, & \\u_{t} + \kappa(u \cdot \nabla)u = \Delta u - \nabla P+ (n+m) \nabla {\Phi}, \nabla \cdot u = 0,\end{cases}$

其中未知函数 $n$ 和 $m$ 分别表示精子和卵子的密度, 未知函数 $c$ 和 $u$ 的含义与模型 (1.2) 相同^[16], 常数 $\mu_1>0$ 和 $\mu_2>0$ 分别表示精子和卵子的衰减系数. 对于给定的海水流速函数 $u$, 且在不考虑化学物质随洋流传播以及在化学物质的扩散速度远高于配子扩散速度的假设下, Espejo 和 Suzuki^[17] 研究了模型 (1.3) 的简化形式在 2 维有界区域上的初边值问题古典解的整体存在性和渐近行为, 并在理论上证实了对于精子和卵子两者密度不相等的受精过程趋化仍然发挥着至关重要的作用. 而对于完整形式的模型 (1.3), Espejo 和 Winkler^[16] 在$\kappa = 1$ 的情形下对其在 2 维有界区域上的初边值问题得到了完整的适定性结论. 随后, 与模型 (1.3) 相关的初边值问题开始越来越受到关注, 其在不同空间维数的有界区域上以及在不同假设下解的整体存在性、有界性和稳定性的结论先后被建立, 例如文献 [18 -26].

若在受精过程中化学物质的扩散不是任意的, 而是沿着特定的曲线, 则第一个方程中的交叉扩散项变为

(1.4)$-\chi \nabla\cdot(n f(\left|\nabla c\right|^2) \nabla c),$

其中函数 $f$ 叫做依赖趋化物浓度的通量限制函数 (以下简称通量限制函数), 且满足

(1.5)$|f(\xi)| \leq K_f \cdot (\xi + 1)^{-\frac{\theta}{2}},$

其中常数 $K_f > 0$ 且 $\theta \in \mathbb{R}$. 对含有交叉扩散项 (1.4) 的抛物-椭圆型 Keller-Segel 模型的初边值问题, Winkler^[27] 得到了古典解爆破的临界指数 $\theta=\frac{N-2}{2(N-1)}$, 其中 $N$ 表示空间维数. 在此基础上, Marras 等^[28]又进一步弱化了爆破解所在的拓扑空间并给出了爆破发生的最小时间; 不仅如此, Jaiswal 和 Tyagi^[29] 还发现对于适当大的初始值, 相应的弱解也会在有限时间发生爆破; 最近, Mao 和 Li^[30] 研究了古典解在 $\theta$ 取临界指数时的动力学性质, 证明了其在大初始值条件下的无界性. 在耦合了一个 Navier-Stokes 方程之后, Winkler^[31,32] 先后验证了对于满足超临界假设的 $\theta$, 相应的初边值问题在 2 维和 3 维光滑有界区域上是整体可解的. 这也在一定程度上表明: 相较于抛物-椭圆型的 Keller-Segel 系统初边值问题的研究结果^[27], 耦合 Navier-Stokes 方程并没有影响超临界假设 $\theta>\frac{N-2}{2(N-1)}$ 的有效性.

对于与模型 (1.3) 相关的初边值问题, 当函数 $f$ 满足 (1.5) 式时, 交叉扩散项 (1.4) 依然可以对解的整体存在 (有界) 性产生影响. 特别地, 在空间 2 维情形下, 张明华^[33]给出了比较完整的研究结果; 而在 3 维光滑有界区域上且$\kappa = 0$ 时, 相应的初边值问题在 $\theta>0$ 的假设下具有整体有界的古典解且该解渐近稳定地趋于某一常数平衡态^[34]. 最近, 对于 $\kappa = 1$ 以及满足 (1.5) 式的函数 $f$, Bao 等^[35]研究了与 (1.3) 式相关的 Cauchy 问题在交叉扩散项 (1.4) 作用下解的整体适定性. 然而, 据我们所知, 在$\kappa = 1$ 的情形下, 对于交叉扩散项 (4) 如何影响模型 (3) 在 3 维光滑有界区域上初边值问题的整体可解性, 目前还没有相关的研究结果.

因此, 本文旨在围绕这一问题展开研究.

由于在常数 $\chi>0,\mu_1>0$ 且 $\mu_2>0$ 的假设下, 本文的理论分析并不依赖于 $\chi,\mu_1$ 和 $\mu_2$ 的具体取值. 因此, 为了便于研究, 我们这里假定 $\chi=\mu_1=\mu_2=1.$ 于是, 用 (1.4) 式替换 (1.3) 式第一个方程中的交叉扩散项并联合齐次边界条件和适当正则的初始值可得如下初边值问题

(1.6)$\left\{\begin{array}{ll}n_{t}+u \cdot \nabla n=\Delta n-\nabla \cdot\left(n f\left(|\nabla c|^{2}\right) \nabla c\right)-m n, & x \in \Omega, t>0, \\c_{t}+u \cdot \nabla c=\Delta c-c+m, & x \in \Omega, t>0, \\m_{t}+u \cdot \nabla m=\Delta m-m n, & x \in \Omega, t>0, \\u_{t}+(u \cdot \nabla) u=\Delta u-\nabla P+(n+m) \nabla \Phi, \nabla \cdot u=0, & x \in \Omega, t>0, \\\frac{\partial n}{\partial \nu}=\frac{\partial c}{\partial \nu}=\frac{\partial m}{\partial \nu}=0, u=0, & x \in \partial \Omega, t>0, \\n(x, 0)=n_{0}(x), c(x, 0)=c_{0}(x), m(x, 0)=m_{0}(x), u(x, 0)=u_{0}(x), & x \in \Omega,\end{array}\right.$

其中 $\Omega \subset \mathbb{R}^3 $ 是边界光滑的有界区域, 初始值 $(n_{0}, c_{0}, m_{0}, u_{0})$ 满足

(1.7)$\left\{\begin{array}{l}n_{0} \in C^{0}(\bar{\Omega}) \text { 其中 } n_{0}>0, \\c_{0} \in L^{\infty}(\Omega) \text { 其中 } c_{0} \geq 0, \sqrt{c_{0}} \in W^{1,2}(\Omega), \\m_{0} \in C^{0}(\bar{\Omega}) \text { 其中 } m_{0} \geq 0, \\u_{0} \in L_{\sigma}^{2}(\Omega).\end{array}\right.$

(1.7) 式中 $u_{0}$ 所在的空间 $L^{2}_{\sigma}(\Omega) := \{ \omega \in L^{2}(\Omega; \mathbb{R}^{3})|\nabla \cdot \omega = 0\}$. 此外, 给定的函数 $\Phi$ 满足

(1.8)$\Phi \in W^{2, \infty}(\Omega).$

本文论证的关键在于分析能量泛函

(1.9)$sgn(p - 1) \int_{\Omega} n^{p} + \int_{\Omega}\frac{|\nabla c|^2}{c + 1} + 2 \int_{\Omega} (m + 1) \ln(m + 1) + C_0 \int_{\Omega} |u|^2, p\in(0,1)$

的演化, 其中常数 $C_0>0$. 由此可建立正则化问题 (2.1) 各个解分量不依赖于正则化指标 $\varepsilon \in (0, 1)$ 的先验估计 (第 3 部分). 这些先验估计一方面有助于证明正则化问题 (2.1) 的整体可解性 (第 4 部分), 另一方面促成了 (2.1) 各个解分量时间导数的正则性的建立 (第 5 部分). 于是, 借助实分析的相关理论并结合先验估计所隐含的紧性, 可以对正则化问题 (2.1) 的各个解分量序列取极限, 并验证相应的极限函数就是问题 (1.6) 的整体弱解 (第 6 部分).

本文的主要结果如下

定理 1.1 设 $\Omega\subset\mathbb{R}^3$ 是边界光滑的有界区域, 且函数 $\Phi$ 满足 (1.8) 式, $f\in C^2([0,+\infty))$ 满足 (1.5) 式, 其中

$\theta > 0.$

则对于

(1.10)$l_{\theta } :=\text{min}\Big\{\frac{5}{3}, \frac{4}{3( 1-\theta )_{+}}\Big\}>1 \ \text{和}\ r_{\theta }: = \text{min}\Big\{\frac{5}{4}, \frac{1}{( 1-\theta )_{+}}\Big\}>1,$

以及满足 (1.7) 式的初始值 $(n_{0}, c_{0}, m_{0}, u_{0})$, 存在函数 $n, c, m \text{和} u$ 满足

(1.11)$\begin{cases}n \in L^\infty((0, \infty); L^1(\Omega)) \cap\bigcap_{l \in (1, l_\theta)} L^l_{{\rm loc}}(\overline{\Omega} \times [0, \infty)) \cap \bigcap_{r \in (1, r_\theta)} L^r_{{\rm loc}}([0, \infty); W^{1, r}(\Omega)), \\c \in L^\infty(\Omega \times (0, \infty)) \cap L^4_{{\rm loc}}([0, \infty); W^{1, 4}(\Omega)), \\m \in L^\infty(\Omega \times (0, \infty)) \cap L^2_{{\rm loc}}([0, \infty); W^{1, 2}(\Omega))\ \text{以及}\ \\u \in L^\infty((0, \infty); L^2_\sigma(\Omega)) \cap L^{\frac{10}{3}}_{{\rm loc}}(\overline{\Omega} \times [0, \infty); \mathbb{R}^3) \cap L^2_{{\rm loc}}([0, \infty); W^{1, 2}_{0, \sigma}(\Omega)), \\\end{cases}$

使得 $n\geq0$, $c\geq0 $ 以及 $m\geq0$ 在 $\Omega\times(0,\infty)$ 上几乎处处成立, 并且 $(n, c, m, u)$ 是问题 (1.6) 在定义 6.1 意义下的整体弱解.

事实上, 在精子和卵子密度相等且不考虑配子衰减的情形下, 由模型自身的耗散结构只能直接得到解分量 $\{c_\varepsilon\}_{\varepsilon\in(0,1)}$ (对应文献 [32] 中的正则化问题 (2.6)) 关于时间一致的 $L^1(\Omega)$-估计, 以致无法借助分析能量泛函 (1.9) 的演化来得到证明弱解的整体存在性所需的先验估计, 所以只能通过适当地把对参数 $\theta$ 的假设变得更严格且借助其他形式的能量泛函来建立所需的先验估计，具体可参见文献 [32]. 此外, 结合文献 [35], 我们可以发现: 无论是对于三维初边值问题 (1.6) 还是相应的二维 Cauchy 问题, 条件 $\theta>0$ 均能保证弱解的整体存在性.

2 问题 (1.6) 的正则化问题

为了得到符合定义 6.1 的函数组 $(n, c, m, u)$, 使其成为初边值问题 (1.6) 的解, 需要通过文献 [32,36] 中所使用的正则化方法对初边值问题 (1.6) 做如下正则化

(2.1)$\left\{\begin{array}{ll}n_{\varepsilon t}+u_{\varepsilon} \cdot \nabla n_{\varepsilon}=\Delta n_{\varepsilon}-\nabla \cdot\left(n_{\varepsilon} F_{\varepsilon}^{\prime}\left(n_{\varepsilon}\right) f\left(\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^{2}\right) \nabla c_{\varepsilon}\right)-m_{\varepsilon} F_{\varepsilon}\left(n_{\varepsilon}\right), & x \in \Omega, t>0, \\c_{\varepsilon t}+u_{\varepsilon} \cdot \nabla c_{\varepsilon}=\Delta c_{\varepsilon}-c_{\varepsilon}+m_{\varepsilon}, & x \in \Omega, t>0, \\m_{\varepsilon t}+u_{\varepsilon} \cdot \nabla m_{\varepsilon}=\Delta m_{\varepsilon}-m_{\varepsilon} F_{\varepsilon}\left(n_{\varepsilon}\right), & x \in \Omega, t>0, \\u_{\varepsilon t}+\left(Y_{\varepsilon} u_{\varepsilon} \cdot \nabla\right) u_{\varepsilon}=\Delta u_{\varepsilon}-\nabla P_{\varepsilon}+\left(n_{\varepsilon}+m_{\varepsilon}\right) \nabla \Phi, & x \in \Omega, t>0, \\\nabla \cdot u_{\varepsilon}=0, & x \in \Omega, t>0, \\\frac{\partial n_{\varepsilon}}{\partial \nu}=\frac{\partial c_{\varepsilon}}{\partial \nu}=\frac{\partial m_{\varepsilon}}{\partial \nu}=0, u_{\varepsilon}=0, & x \in \partial \Omega, t>0, \\n_{\varepsilon}(x, 0)=n_{0 \varepsilon}(x), c_{\varepsilon}(x, 0)=c_{0 \varepsilon}(x), m_{\varepsilon}(x, 0)=m_{0 \varepsilon}(x), u_{\varepsilon}(x, 0)=u_{0 \varepsilon}(x), & x \in \Omega,\end{array}\right.$

其中, 对任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$ 以及 $s \geq 0$, 定义函数 $F_{\varepsilon}$ 为

(2.2)$F_{\varepsilon}(s) := \frac{1}{\varepsilon} \ln(1 + \varepsilon s),$

于是, 有

(2.3)$0 \leq F'_{\varepsilon}(s) \leq \frac{1}{1 + \varepsilon s} \leq 1,$

(2.4)且$0 \leq F_{\varepsilon}(s) \leq s,$

以及当 $\varepsilon \rightarrow0$ 时, 可得

(2.5)$F_{\varepsilon}(s) \rightarrow s, F'_{\varepsilon}(s) \rightarrow 1.$

此外, 问题 (2.1) 的第四个方程中的 $(Y_{\varepsilon})_{\varepsilon\in(0,1)}$ 表示 Yosida 近似^[37], 即对所有的 $\varepsilon \in (0, 1)$ 和 $\omega \in L^{2}_{\sigma}(\Omega)$, 有

$Y_{\varepsilon}\omega := (1 + \varepsilon A)^{-1}\omega,$

其中 $ A:=-\mathcal{P}\Delta $, 这里的 $ \mathcal{ P}:L^2(\Omega) \rightarrow L^2_{\sigma}(\Omega) $ 表示 Helmholtz 投影. 算子 $A$ 的定义域为 $ D(A):= W^{2,2}(\Omega; \mathbb{R}^3) \cap W^{1,2}_{0,\sigma}(\Omega) $. 正则化后的初始值 $(n_{0\varepsilon}, c_{0\varepsilon}, m_{0\varepsilon}, u_{0\varepsilon})_{\varepsilon\in(0,1)}$ 满足

(2.6)$\left\{\begin{array}{l}\text { 对任意的 } \varepsilon \in(0,1), n_{0 \varepsilon} \in C_{0}^{\infty}(\Omega), n_{0 \varepsilon} \geq 0 \text { 于 } \Omega \text { 且 } \int_{\Omega} n_{0 \varepsilon} \leq \int_{\Omega} n_{0}, \\\text { 以及当 } \varepsilon \searrow 0 \text { 时, } n_{0 \varepsilon} \rightarrow n_{0} \text { 于 } C^{0}(\bar{\Omega}),\end{array}\right.$

(2.7)$\left\{\begin{array}{l}\text { 对任意的 } \varepsilon \in(0,1), \sqrt{c_{0 \varepsilon}} \in C_{0}^{\infty}(\Omega), \sqrt{c_{0 \varepsilon}} \geq 0 \text { 于 } \Omega \text { 且 }\left\|\sqrt{c_{0 \varepsilon}}\right\|_{L^{\infty}(\Omega)} \leq\left\|\sqrt{c_{0}}\right\|_{L^{\infty}(\Omega)}, \\\text { 以及当 } \varepsilon \searrow 0 \text { 时, } \sqrt{c_{0 \varepsilon}} \rightarrow \sqrt{c_{0}} \text { 于 } W^{1,2}(\Omega) \text { 且几乎处处于 } \Omega,\end{array}\right.$

(2.8)$\left\{\begin{array}{l}\text { 对任意的 } \varepsilon \in(0,1), m_{0 \varepsilon} \in C_{0}^{\infty}(\Omega), m_{0 \varepsilon} \geq 0 \text { 于 } \Omega, \\\int_{\Omega} m_{0 \varepsilon} \leq \int_{\Omega} m_{0} \text { 且 }\left\|m_{0 \varepsilon}\right\|_{L^{\infty}(\Omega)} \leq\left\|m_{0}\right\|_{L^{\infty}(\Omega)}, \\\text { 以及当 } \varepsilon \searrow 0 \text { 时, } m_{0 \varepsilon} \rightarrow m_{0} \text { 于 } C^{0}(\bar{\Omega}),\end{array}\right.$

(2.9)$\left\{\begin{array}{l}\text { 对任意的 } \varepsilon \in(0,1), u_{0 \varepsilon} \in C_{0, \sigma}^{\infty}(\Omega) \text { 且 }\left\|u_{0 \varepsilon}\right\|_{L^{2}(\Omega)} \leq\left\|u_{0}\right\|_{L^{2}(\Omega)}, \\\text { 以及当 } \varepsilon \searrow 0 \text { 时, } u_{0 \varepsilon} \rightarrow u_{0} \text { 于 } L_{\sigma}^{2}(\Omega).\end{array}\right.$

通过压缩映射原理以及热方程和 Stokes 系统的正则性理论, 可以证明正则化问题 (2.1) 解的局部存在唯一性. 具体证明可参见文献 [38,引理 2.1] 和 [39,引理 2.2].

引理 2.1 设 $\Omega $$\subset$$\mathbb{R}^3 $ 为边界光滑的有界区域, 且函数 $f\in C^2([0, \infty)) \cap L^\infty((0, \infty))$. 则对任意的 $ \varepsilon\in (0, 1)$, 存在 $ T_{max, \varepsilon} \in(0, +\infty]$ 以及函数组 $(n_{\varepsilon}, c_{\varepsilon}, m_{\varepsilon}, u_{\varepsilon}, P_{\varepsilon})$ 满足 $n_{\varepsilon}>0, c_{\varepsilon}>0, m_{\varepsilon}>0$ 于 $\overline\Omega\times(0,T_{\max,\varepsilon}),$ 且

(2.10)$\left\{\begin{array}{l}n_{\varepsilon} \in C^{0}\left(\bar{\Omega} \times\left[0, T_{\max, \varepsilon}\right)\right) \cap C^{2,1}\left(\bar{\Omega} \times\left[0, T_{\max, \varepsilon}\right)\right), \\c_{\varepsilon} \in C^{0}\left(\bar{\Omega} \times\left[0, T_{\max, \varepsilon}\right)\right) \cap C^{2,1}\left(\bar{\Omega} \times\left[0, T_{\max, \varepsilon}\right)\right) \cap \bigcap_{q>3} L^{\infty}\left(\Omega \times\left[0, T_{\max, \varepsilon}\right) ; W^{1, q}(\Omega)\right), \\m_{\varepsilon} \in C^{0}\left(\bar{\Omega} \times\left[0, T_{\max, \varepsilon}\right)\right) \cap C^{2,1}\left(\bar{\Omega} \times\left[0, T_{\max, \varepsilon}\right)\right), \\u_{\varepsilon} \in C^{0}\left(\bar{\Omega} \times\left[0, T_{\max, \varepsilon}\right) ; \mathbb{R}^{3}\right) \cap C^{2,1}\left(\bar{\Omega} \times\left[0, T_{\max, \varepsilon}\right) ; \mathbb{R}^{3}\right) \text { 且 } \\P_{\varepsilon} \in C^{1,0}\left(\bar{\Omega} \times\left[0, T_{\max, \varepsilon}\right)\right),\end{array}\right.$

使得在可对 $P_{\varepsilon}$ 加常数函数的意义下 $(n_{\varepsilon},c_{\varepsilon}, m_{\varepsilon},u_{\varepsilon},P_{\varepsilon})$ 在 ${\Omega}\times[0,T_{max, \varepsilon})$ 唯一地成为正则化问题 (2.1) 的解. 如果 $T_{max,\varepsilon}<\infty$, 则当 $t\rightarrow T_{max, \varepsilon}$ 时, 对任意固定的 $q>3$ 以及 $\alpha \in(\frac{3}{4},1)$ 有

(2.11)$\left\|n_{\varepsilon}(\cdot, t)\right\|_{L^{\infty}(\Omega)}+\left\|c_{\varepsilon}(\cdot, t)\right\|_{W^{1, q}(\Omega)}+\left\|m_{\varepsilon}(\cdot, t)\right\|_{L^{\infty}(\Omega)}+\left\|A^{\alpha} u_{\varepsilon}(\cdot, t)\right\|_{L^{2}(\Omega)} \rightarrow \infty.$

证引理 2.1 的论证与三个解分量的耗氧型趋化流体模型初边值问题解的局部存在唯一性的论证类似^[38,39]. 特别地, 对于 Banach 空间 $L^{\infty}\left((0,T);C^0(\overline\Omega)\times W^{1,q}(\Omega)\times C^0(\overline\Omega)\times D(A^{\alpha})\right)$ 中的一个闭球, 定义映射 $\Psi=(\Psi_1,\Psi_2,\Psi_3,\Psi_4),$ 其中对于 $t\in(0,T),$ 有

$\begin{aligned} \Psi_1(n_{\varepsilon},c_{\varepsilon},v_{\varepsilon},u_{\varepsilon})(\cdot,t):=&e^{t\Delta}n_{0\varepsilon}-\int^t_0e^{(t-s)\Delta}\left\{\nabla\cdot\left(n_\varepsilon F'_\varepsilon(n_\varepsilon) f(\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^2) \nabla c_\varepsilon\right)\right. \ &\left.+u_\varepsilon \cdot \nabla n_\varepsilon+m_\varepsilon F_\varepsilon(n_\varepsilon)\right\}(\cdot,s){\rm d}s,\\ \Psi_2(n_{\varepsilon},c_{\varepsilon},v_{\varepsilon},u_{\varepsilon})(\cdot,t):=&e^{t\Delta}c_{0\varepsilon}-\int^t_0e^{(t-s)\Delta}\left\{c_\varepsilon - m_\varepsilon+u_\varepsilon \cdot \nabla c_\varepsilon\right\}(\cdot,s){\rm d}s,\\ \Psi_3(n_{\varepsilon},c_{\varepsilon},v_{\varepsilon},u_{\varepsilon})(\cdot,t):=&e^{t\Delta}m_{0\varepsilon}-\int^t_0e^{(t-s)\Delta}\left\{m_\varepsilon F_\varepsilon(n_\varepsilon)+u_\varepsilon \cdot \nabla m_\varepsilon\right\}(\cdot,s){\rm d}s\quad\textrm{以及}\\ \Psi_4(n_{\varepsilon},c_{\varepsilon},v_{\varepsilon},u_{\varepsilon})(\cdot,t):=&e^{t\Delta}u_{0\varepsilon}+\int^t_0e^{(t-s)A}\mathcal{P}\left\{(n_\varepsilon + m_\varepsilon)\nabla {\Phi}- (Y_\varepsilon u_\varepsilon \cdot \nabla)u_\varepsilon\right\}(\cdot,s){\rm d}s. \end{aligned}$

通过类似文献 [38,引理 2.1] 的证明能够验证映射 $\Psi$ 在该闭球中的确存在不动点, 并结合抛物方程和 Stokes 半群的正则性理论可证得该不动点具有古典解的正则性. 此外, 由抛物方程的强极值原理以及 (2.6)-(2.8) 式可推断解分量 $n_{\varepsilon},c_{\varepsilon}$ 和 $m_\varepsilon$ 在 $\overline\Omega\times(0,T_{\max,\varepsilon})$ 中满足 $n_{\varepsilon}>0,c_{\varepsilon}>0$ 以及 $m_\varepsilon>0.$ 唯一性的证明也可由类似文献 [38,引理 2.1] 的论证得到.

接下来, 对问题 (2.1) 的第一个方程做分部积分并对第三和第二个方程用极大值原理可得到如下基本估计.

引理 2.2^[25] 设 $(n_{\varepsilon}, c_{\varepsilon}, m_{\varepsilon}, u_{\varepsilon})_{\varepsilon \in (0,1)}$ 为引理 2.1 中所建立的解. 则对任意的 $t \in (0, T_{max, \varepsilon})$ 以及任意的 $\varepsilon\in (0, 1)$, 有

(2.12)$\int_{\Omega} n_{\varepsilon}(\cdot, t) \leq \int_{\Omega} n_0, \int_{\Omega} m_{\varepsilon}(\cdot, t) \leq \int_{\Omega} m_0$

且

(2.13)$\left\|m_{\varepsilon}(\cdot, t)\right\|_{L^{\infty}(\Omega)} \leq\left\|m_{0}\right\|_{L^{\infty}(\Omega)}$

以及

(2.14)$\| c_{\varepsilon}(\cdot, t) \|_{L^{\infty}(\Omega)} \leq \max\{\| c_0 \|_{L^{\infty}(\Omega)}, \| m_0 \|_{L^{\infty}(\Omega)}\} = : M.$

3 关于 $\varepsilon\in(0,1)$ 一致的先验估计

对能量泛函 (1.9) 中各项的演化进行分析, 可建立各个解分量不依赖于 $\varepsilon\in(0,1)$ 的先验估计.

首先, 利用 Gagliardo-Nirenberg 不等式和 $\int_{\Omega}n_{\varepsilon}$ 的有界性 (2.12) 式可得到如下三个不等式.

引理 3.1^[25] 设 $p > \frac{1}{3}$ 且 $l\in(1,3p]$, 则存在 $ C = C(p, l)>0$ 使得

(3.1)$\lVert{n_{\varepsilon}} \rVert_{L^{l}(\Omega)}^\frac{l(3p-1)}{3(l-1)} \leq C \int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{p-2} \left|\nabla n_{\varepsilon}\right|^2+ C$

对任意的 $t\in(0,T_{max,\varepsilon})$ 和任意的 $\varepsilon\in(0,1)$ 成立.

引理 3.2^[25] 设 $p>\frac{1}{3}$ 且 $\iota\in(1,6p-2)$, 则对任意的 $\delta > 0$ 存在 $C = C(\delta,p, \iota)>0$ 使得

(3.2)$\lVert{n_{\varepsilon}} \rVert_{L^{ \frac{6}{5}}(\Omega)}^\iota \leq \delta\int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{p-2} \left|\nabla n_{\varepsilon}\right|^2+ C$

对任意的 $t\in(0,T_{max,\varepsilon})$ 和任意的 $\varepsilon\in(0,1)$ 成立.

引理 3.3^[25] 设 $p \geq \frac{2}{5} $ 且 $\iota\in(1,6p-2)$, 则对任意的 $\delta > 0$ 存在 $ C = C(\delta,p, \iota)>0$ 使得

(3.3)$\lVert{n_{\varepsilon}} \rVert_{L^{ \frac{6}{5}}(\Omega)}^\iota \leq \delta\int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{p-2} \left|\nabla n_{\varepsilon}\right|^2+ C$

对任意的 $t\in(0,T_{max,\varepsilon})$ 和任意的 $\varepsilon\in(0,1)$ 成立.

接下来, 在 $p$ 满足 (3.4) 式的条件下分析 $-\int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{p}$ 的演化.

引理 3.4 设 (5) 式对某一固定的 $\theta> 0$ 成立, 且 $p\in(\frac{1}{3},1)$ 满足

(3.4)$p<\frac{2 \theta+2}{3(1-\theta)_{+}},$

则对任意的 $\delta > 0$, 存在 $C(p,\delta) > 0$, 使得

(3.5)$-\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{p}+\frac{p(1-p)}{4}\int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{p-2} \left|\nabla n_{\varepsilon}\right|^2 \leq \frac{\delta}{4} \int_{\Omega} \left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^4 +C(p,\delta)$

对任意的 $t\in(0,T_{max,\varepsilon})$ 和任意的 $\varepsilon\in(0,1)$ 成立.

证由引理 2.1 知在 $\overline\Omega\times(0,T_{\max,\varepsilon})$ 中 $n_{\varepsilon}>0,$ 于是, 以 $ n_{\varepsilon}^{p-1}$ 为试验函数检验问题 (2.1) 的第一个方程, 并结合 $ \nabla \cdot u_{\varepsilon} = 0 $, Young 不等式和 (1.5) 式可得对任意的 $t \in (0, T_{max,\varepsilon})$ 和任意的 $\varepsilon\in (0, 1)$

(3.6)$\begin{aligned}&\ \ \ -\frac{1}{p}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{p} + (1-p)\int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{p-2} \left|\nabla n_{\varepsilon}\right|^2 \\&=(1-p)\int_{\Omega}\frac{n_{\varepsilon}^{p-1}}{1+\varepsilon n_{\varepsilon}} f(\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^2)\nabla n_{\varepsilon}\cdot \nabla c_{\varepsilon}+\int_{\Omega}m_{\varepsilon}F_{\varepsilon}(n_{\varepsilon}) n_{\varepsilon}^{p-1} \\&\leq \frac{1-p}{2}\int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{p-2} \left|\nabla n_{\varepsilon}\right|^2 + \frac{1-p}{2}\int_{\Omega}\frac{n_{\varepsilon}^{p}}{(1+\varepsilon n_{\varepsilon})^{2}} f^2(\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^2)\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^2 +\int_{\Omega}m_{\varepsilon}F_{\varepsilon}(n_{\varepsilon}) n_{\varepsilon}^{p-1}\\&\leq \frac{1-p}{2}\int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{p-2} \left|\nabla n_{\varepsilon}\right|^2 + \frac{(1-p) K_{f} ^2}{2}\int_{\Omega}n_{\varepsilon}^{p}(\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^2+1)^{-\theta}\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^2+\int_{\Omega}m_{\varepsilon}F_{\varepsilon}(n_{\varepsilon}) n_{\varepsilon}^{p-1}\end{aligned}$

成立, 其中, 因为 $0<p<1$, 由 (2.13), (2.4) 式和Hölder 不等式可得 $C_{1}>0$ 使得

(3.7)$\begin{split}\int_{\Omega}m_{\varepsilon}F_{\varepsilon}(n_{\varepsilon}) n_{\varepsilon}^{p-1}&\leq \lVert{m_{\varepsilon}} \rVert_{L^{\infty}(\Omega)} \int_{\Omega}n_{\varepsilon}^{p} \\&\leq \lVert{m_{\varepsilon}} \rVert_{L^{\infty}(\Omega)} \Big\{ \int_{\Omega}n_{\varepsilon} \Big\}^{p} \cdot \left|{\Omega} \right| ^{1-p}\\&\leq M \Big\{ \int_{\Omega} n_{0}\Big\} ^p \cdot \left|{\Omega} \right| ^{1-p} \\& =:C_{1}\end{split}$

对任意的 $t \in (0, T_{max,\varepsilon})$ 以及任意的 $\varepsilon\in (0, 1)$ 成立.

接下来, 分 $ \theta\geq 1$ 和 $ \theta < 1$ 两种情况来估计 (3.6) 式右端的第二项. 当 $ \theta\geq 1$ 时, 由Hölder 不等式、 (2.12) 和 (2.6) 式可得

$\begin{align*} &\ \ \ \ \frac{(1-p) K_{f} ^2}{2}\int_{\Omega}n_{\varepsilon}^{p}(\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^2+1)^{-\theta}\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^2\\ &\leq \frac{(1-p) K_{f} ^2}{2}\int_{\Omega}n_{\varepsilon}^{p}\\ &\leq \frac{(1-p) K_{f} ^2}{2}\left|\Omega\right|^{1-p}\cdot \Big\{\int_{\Omega}n_{\varepsilon}\Big\}^{p}\\ &\leq \frac{(1-p) K_{f} ^2}{2}\left|\Omega\right|^{1-p}\cdot \Big\{\int_{\Omega}n_{0}\Big\}^{p}=: C_{2}(p) \end{align*}$

对任意的 $t \in (0, T_{max,\varepsilon})$ 和任意的 $\varepsilon\in (0, 1)$ 成立. 因此, 结合 (3.6) 和 (3.7) 式可得

(3.8)$-\frac{1}{p}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{p} + \frac{1-p}{2}\int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{p-2} \left|\nabla n_{\varepsilon}\right|^2\leq C_{1}+ C_{2}$

对任意的 $t \in (0, T_{max,\varepsilon})$ 和任意的 $\varepsilon\in (0, 1)$ 成立. 当 $\theta< 1$ 时, 使用 Young 不等式可得

$\begin{aligned}& \frac{(1-p) K_{f}^{2}}{2} \int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{p}\left(\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^{2}+1\right)^{-\theta}\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^{2} \\\leq & \frac{(1-p) K_{f}^{2}}{2} \int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{p}\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^{2-2 \theta} \\\leq & \frac{\delta}{4 p} \int_{\Omega}\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^{4}+C_{3} \int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{\frac{2 p}{1+\theta}}\end{aligned}$

对任意的 $t \in (0, T_{max,\varepsilon})$ 和任意的 $\varepsilon\in (0, 1)$ 成立, 其中 $C_{3}=C_{3}(p, \delta):=\Big\{\frac{(1-p) K_{f} ^2}{2}\cdot(\frac{p^\frac{1}{2}}{2\delta^\frac{1}{2}})^{1-\theta}\Big\}^\frac{2}{1+\theta}$. 由于 (3.4) 式隐含了 $\frac{2p}{1+\theta}-\Big(p+\frac{2}{3}\Big)=\frac{1-\theta}{1+\theta}\cdot p-\frac{2}{3}<\frac{1-\theta}{1+\theta}\cdot \frac{2+2\theta}{3(1-\theta)}-\frac{2}{3}=0,$ 所以

$\frac{2p}{1+\theta}< \Big(p+\frac{2}{3}\Big),$

从而取引理 3.2 中的 $\delta=\frac{(1-p)}{4C_{3}}$, 则可得 $C_{4}=C_{4}(p) > 0$ 使得对任意的 $t \in (0, T_{max,\varepsilon})$ 和任意的 $\varepsilon\in (0, 1)$

$C_{3}\int_{\Omega}n_{\varepsilon}^{\frac{2p}{1+\theta}}\leq \frac{1-p}{4}\int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{p-2} \left|\nabla n_{\varepsilon}\right|^2 +C_{4} $

成立. 于是, (3.8) 式后面的式子隐含了

$\begin{split}&\ \ \ \ \frac{(1-p) K_{f} ^2}{2}\int_{\Omega}n_{\varepsilon}^{p}(\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^2+1)^{-\theta}\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^2 \notag \\&\leq \frac{\delta}{4p}\int_{\Omega}\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^{4} +\frac{1-p}{4}\int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{p-2} \left|\nabla n_{\varepsilon}\right|^2+ C_{4}\end{split}$

对任意的 $t \in (0, T_{max,\varepsilon})$ 和任意的 $\varepsilon\in (0, 1)$ 成立. 将上式和 (3.7) 式带入 (3.6) 式中可得

(3.9)$-\frac{1}{p}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{p}+\frac{1-p}{4}\int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{p-2} \left|\nabla n_{\varepsilon}\right|^2 \leq \frac{\delta}{4p}\int_{\Omega} \left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^4 +C_{4}$

对任意的 $t \in (0, T_{max,\varepsilon})$ 和任意的 $\varepsilon\in (0, 1)$ 成立. 取 $C(p,\delta)=p(C_{1}+C_{2}+C_{4})$, (3.5) 式可由 (3.8) 和 (3.9) 式得到.

分析 (19) 式中 $\int_{\Omega}\frac{|\nabla c_{\varepsilon}|^2}{c_{\varepsilon} + 1}$ 和 $\int_{\Omega} m_{\varepsilon} \ln(m_{\varepsilon} + 1)$ 的演化可直接由文献[25,引理 3.5,3.6] 实现.

引理 3.5^[25] 设 $(n_{\varepsilon}, c_{\varepsilon}, m_{\varepsilon}, u_{\varepsilon})_{\varepsilon \in(0,1)}$ 为引理 2.1 建立的解, 则存在 $l_{0}> 0 $ 和 $L_{0}> 0$ 使得对任意的 $t \in (0, T_{max, \varepsilon})$ 和任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$, 有

(3.10)$\begin{split}&\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega} \frac{\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^2 }{c_{\varepsilon}+1} + \int_{\Omega} \frac{\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^2 }{c_{\varepsilon}+1} + \frac{l_{0}}{2}\int_{\Omega} \frac{\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^4 }{(c_{\varepsilon}+1)^3}+ l_{0}\int_{\Omega} (c_{\varepsilon}+1) \left|D^2 \ln(c_{\varepsilon}+1)\right|^2 \\&\quad \leq \frac{2(M+1)}{l_{0}} \int_{\Omega}\left| \nabla u_{\varepsilon}\right|^{2}+ \int_{\Omega} \frac{\left|\nabla m_{\varepsilon}\right|^2 }{m_{\varepsilon}+1} + L_{0}(M+1)\left|\Omega\right|,\end{split}$

其中 $M > 0$ 由引理 $ 2.2$ 定义.

引理 3.6^[25] 设 $(n_{\varepsilon}, c_{\varepsilon}, m_{\varepsilon}, u_{\varepsilon})_{\varepsilon \in(0,1)}$ 是引理2.1 建立的解, 则

(3.11)$\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega} m_{\varepsilon}\ln (m_{\varepsilon}+1) + \int_{\Omega} \frac{\left|\nabla m_{\varepsilon}\right|^2 }{m_{\varepsilon}+1 } \leq \int_{\Omega} n_{0}$

对任意的 $t \in (0, T_{max, \varepsilon})$ 以及任意的 $\varepsilon\in (0, 1)$ 成立.

下面分析 (1.9) 式中 $\int_{\Omega} |u_{\varepsilon}|^2$ 的演化.

引理 3.7 设 (1.5) 式中 $\theta > 0$, 且 $(n_{\varepsilon}, c_{\varepsilon}, m_{\varepsilon}, u_{\varepsilon})_{\varepsilon \in(0,1)}$ 为引理 2.1 建立的解, 则对 $p>\frac{2}{3}$ 存在 $C(p) > 0$, 使得

(3.12)$\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}\left| u_{\varepsilon}\right|^2 + \int_{\Omega}\left|\nabla u_{\varepsilon}\right|^2 \leq\frac{l_{0}p(1-p)}{32(M+1)}\int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{p-2} \left|\nabla n_{\varepsilon}\right|^2 + C$

对任意的 $t \in (0, T_{max, \varepsilon})$ 和任意的 $\varepsilon\in (0, 1)$ 成立.

证根据文献 [3.6,引理 3.5] 的论证, 在问题 (2.1) 的第四个方程两边同乘 $u_{\varepsilon}$ 可得

(3.13)$\frac{1}{2} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}\left| u_{\varepsilon}\right|^2 + \int_{\Omega}\left|\nabla u_{\varepsilon}\right|^2=\int_{\Omega} (n_{\varepsilon}+ m_{\varepsilon}) u_{\varepsilon}\cdot\nabla \Phi$

对任意的 $t \in (0, T_{max, \varepsilon})$ 以及任意的 $\varepsilon\in (0, 1)$ 成立. 由嵌入 $W^{1,2}(\Omega) \hookrightarrow L^6(\Omega)$ 可得 $C_1 > 0$, 使得

$\lVert{u_{\varepsilon}(\cdot,t)} \rVert_{L^6(\Omega)} \leq C_{1} \lVert{ \nabla u_{\varepsilon}(\cdot,t)} \rVert_{L^2(\Omega)}$

对任意的 $t \in (0, T_{max, \varepsilon})$ 和任意的 $\varepsilon\in (0, 1)$ 成立. 则对 (3.13) 式右端的积分用Hölder 不等式和 Young 不等式并结合 (1.8) 和 (2.13) 式可得

(3.14)$\begin{split}&\ \ \ \int_{\Omega} (n_{\varepsilon}+ m_{\varepsilon}) u_{\varepsilon}\cdot\nabla \Phi \\&\leq \lVert{u_{\varepsilon}} \rVert_{L^6(\Omega)} \lVert{\nabla\Phi} \rVert_{L^\infty(\Omega)} \lVert{n_{\varepsilon}+m_{\varepsilon}} \rVert_{L^\frac{6}{5}(\Omega)} \\&\leq C_{1} \lVert{ \nabla u_{\varepsilon}} \rVert_{L^2(\Omega)} \lVert{\nabla\Phi} \rVert_{L^\infty(\Omega)} \Big(\lVert{n_{\varepsilon}} \rVert_{L^\frac{6}{5}(\Omega)}+\lVert{m_{\varepsilon}} \rVert_{L^\frac{6}{5}(\Omega)}\Big) \\&\leq \frac{1}{2} \lVert{ \nabla u_{\varepsilon}}\rVert_{L^2(\Omega)}^2 +C_{1}^2 \lVert{\nabla\Phi} \rVert_{L^\infty(\Omega)}^2 \Big(\lVert{n_{\varepsilon}} \rVert_{L^\frac{6}{5}(\Omega)}^2+\lVert{m_{\varepsilon}} \rVert_{L^\frac{6}{5}(\Omega)}^2 \Big) \\&\leq \frac{1}{2} \lVert{ \nabla u_{\varepsilon}}\rVert_{L^2(\Omega)}^2 +C_{1}^2 \lVert{\nabla\Phi} \rVert_{L^\infty(\Omega)}^2 \lVert{n_{\varepsilon}} \rVert_{L^\frac{6}{5}(\Omega)}^2+ C_{1}^2 \lVert{\nabla\Phi} \rVert_{L^\infty(\Omega)}^2\lVert{m_{0}} \rVert_{L^\infty(\Omega)}^2 \left|\Omega\right|^\frac{5}{3}\end{split}$

对任意的 $t \in (0, T_{max, \varepsilon})$ 以及任意的 $\varepsilon\in (0, 1)$ 成立. 由于 $p > \frac{2}{3}$ 隐含了 $6p-2>2$, 于是取引理 3.3 中的 $\delta= \frac{l_{0}p(1-p)}{64C_{1}^2 \lVert{\nabla\Phi} \rVert_{L^\infty(\Omega)}^2 (M+1)}$, 可得 $C_{2} = C_{2}(p) > 0$ 使得对任意的 $t \in (0, T_{max, \varepsilon})$ 和任意的 $\varepsilon\in (0, 1)$, 有

(3.15)$\lVert{n_{\varepsilon}} \rVert_{L^\frac{6}{5}(\Omega)}^2 \leq \frac{l_{0}p(1-p)}{64C_{1}^2 \lVert{\nabla\Phi} \rVert_{L^\infty(\Omega)}^2 (M+1)} \int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{p-2} \left|\nabla n_{\varepsilon}\right|^2 +C_{2}.$

将其带入 (3.14) 式可得

$\begin{aligned} &\int_{\Omega} (n_{\varepsilon}+ m_{\varepsilon}) u_{\varepsilon}\cdot\nabla \Phi\\ \leq& \frac{1}{2}\int_{\Omega}\left|\nabla u_{\varepsilon}\right|^2+ \frac{l_{0}p(1-p)}{64(M+1)}\int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{p-2} \left|\nabla n_{\varepsilon}\right|^2+ C_{1}^2 \lVert{\nabla\Phi} \rVert_{L^\infty(\Omega)}^2\lVert{m_{0}} \rVert_{L^\infty(\Omega)}^2 \left|\Omega\right|^\frac{5}{3}\\ &+ C^2_1C_2\|\nabla\Phi\|^2_{L^{\infty}(\Omega)} \end{aligned}$

对任意的 $t \in (0, T_{max, \varepsilon})$ 以及任意的 $\varepsilon\in (0, 1)$ 成立. 于是, 结合 (3.13) 式并取 $ C=2(C_{1}^2\lVert{\nabla\Phi} \rVert_{L^\infty(\Omega)}^2\lVert{m_{0}} \rVert_{L^\infty(\Omega)}^2 \left|\Omega\right|^\frac{5}{3} + C^2_1C_{2}\|\nabla\Phi\|^2_{L^{\infty}(\Omega)} ),$

可证得 (3.12) 式.

联合引理 3.4-3.7 来分析能量泛函 (1.9) 的演化可建立如下先验估计.

引理 3.8 设 $\theta >0$ 且

(3.16)$\frac{2}{3}<p < \min\left\{\frac{2\theta+2}{{3(1-\theta)}_{+}},1\right\},$

则存在 $C = C(p) > 0$, 使得对任意的 $t \in (0, T_{max, \varepsilon})$ 和任意的 $\varepsilon\in (0, 1)$, 有

(3.17)$\int_{\Omega} n_{\varepsilon}^p + \int_{\Omega} \frac{\left|\nabla c_{\varepsilon} \right|^2 }{c_{\varepsilon}+1} + \int_{\Omega} \left|u_{\varepsilon} \right|^2\leq C,$

且对任意的 $T \in (0, T_{max, \varepsilon})$ 以及任意的 $\varepsilon\in (0, 1)$, 有

(3.18)$\int_{0} ^T \int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{p-2} \left|\nabla n_{\varepsilon}\right|^2 + \int_{0} ^T \int_{\Omega} \frac{\left|\nabla c_{\varepsilon} \right|^4 }{(c_{\varepsilon}+1)^3} + \int_{0} ^T \int_{\Omega} \frac{\left|\nabla m_{\varepsilon} \right|^2 }{ m_{\varepsilon}+1} + \int_{0} ^T \int_{\Omega}\left|\nabla u_{\varepsilon} \right|^2 \leq C(T+1).$

证由 Poincaré-Sobolev 不等式可得 $ C_{1} > 0$ 使得

(3.19)$\int_{\Omega}\left| u_{\varepsilon}(\cdot,t) \right|^2 \leq C_{1} \int_{\Omega} \left|\nabla u_{\varepsilon}(\cdot,t) \right|^2$

对任意的 $t \in (0, T_{max, \varepsilon})$ 和任意的 $\varepsilon\in (0, 1)$ 成立. 因为 (2.13) 和 (2.14) 式隐含了 $\lVert{m_{0}} \rVert_{L^\infty(\Omega)}\leq M$, 所以

(3.20)$\int_{\Omega} m_{\varepsilon} \ln(m_{\varepsilon} + 1) \leq M \ln(M + 1) |\Omega|$

对任意的 $t \in (0, T_{\max,\varepsilon} )$ 和任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$ 成立. 利用 (2.14) 式, 不难推断对任意的 $t \in (0,T_{max, \varepsilon})$ 以及任意的 $\varepsilon\in (0, 1)$, 有

(3.21)$\frac{l_{0}}{4(M+1)^3} \int_{\Omega} \left|\nabla c_{\varepsilon} \right|^4 \leq \frac{l_{0}}{4} \int_{\Omega} \frac{\left|\nabla c_{\varepsilon} \right|^4}{(c_{\varepsilon}+1)^3},$

其中 $l_{0}>0$ 是引理 3.5 提供的常数. 由 Young 不等式并结合 (2.14) 式可得

(3.22)$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} \int_{\Omega}\left|u_{\varepsilon}\right|^{2}+\int_{\Omega}\left|\nabla u_{\varepsilon}\right|^{2} \leq \frac{l_{0} p(1-p)}{32(M+1)} \int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{p-2}\left|\nabla n_{\varepsilon}\right|^{2}+C$

对任意的 $t \in (0, T_{max, \varepsilon})$ 和任意的 $\varepsilon\in (0, 1)$ 成立. 取 (3.5) 式中的 $\delta = \frac{l_0}{(M+1)^3}$, 联合引理 3.4-3.7 并应用 (3.21) 式可得 $C_2 = C_2(p) > 0$ 使得对任意的 $t \in (0, T_{\max,\varepsilon} )$ 以及任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$, 有

(3.23)$\begin{split}&\ \ \ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\Big\{-\int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{p}+\int_{\Omega} \frac{\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^2 }{c_{\varepsilon}+1} +2\int_{\Omega} m_{\varepsilon}\ln (m_{\varepsilon}+1)+\frac{4(M+1)}{l_{0}} \int_{\Omega}\left| u_{\varepsilon}\right|^2\Big\} \\&\ \ \ +\frac{p(1-p)}{8}\int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{p-2} \left|\nabla n_{\varepsilon}\right|^2 + \int_{\Omega} \frac{\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^2 }{c_{\varepsilon}+1}+ \frac{l_{0}}{4}\int_{\Omega} \frac{\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^4}{(c_{\varepsilon}+1)^3}\\&\ \ \ +l_{0}\int_{\Omega} (c_{\varepsilon}+1) \left|D^2 \ln(c_{\varepsilon}+1)\right|^2+\int_{\Omega} \frac{\left|\nabla m_{\varepsilon}\right|^2 }{m_{\varepsilon}+1}+ \frac{2(M+1)}{l_{0}} \int_{\Omega}\left| \nabla u_{\varepsilon}\right|^{2} \\&\leq C_{2}. \end{split}$

于是, 结合 $-\int_{\Omega} n_{\varepsilon}^p\leq 0$, (3.19)-(3.23) 式隐含了

(3.24)$\begin{split}&\ \ \ \frac{\rm d}{{\rm d}t} \left\{ -\int_{\Omega} n_{\varepsilon}^p + \int_{\Omega} \frac{|\nabla c_{\varepsilon}|^2}{c_{\varepsilon} + 1} + 2 \int_{\Omega} m_{\varepsilon} \ln(m_{\varepsilon} + 1) + \frac{4(M + 1)}{l_0} \int_{\Omega} |u_{\varepsilon}|^2 \right\}\\&\ \ \ - \frac{1}{4C_1} \int_{\Omega} n_{\varepsilon} ^ p + \frac{1}{4C_1} \int_{\Omega} \frac{|\nabla c_{\varepsilon}|^2}{c_{\varepsilon}+ 1} + \frac{1}{2C_1} \int_{\Omega} m_{\varepsilon} \ln(m_{\varepsilon} + 1) + \frac{M + 1}{C_1l_0} \int_{\Omega} |u_{\varepsilon}|^2 \\&\ \ \ +\frac{p(1 - p)}{8} \int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{p-2} |\nabla n_{\varepsilon}|^2 + \frac{l_0}{8} \int_{\Omega} \frac{|\nabla c_{\varepsilon}|^4}{(c_{\varepsilon} + 1)^3}\\&\ \ \ + l_0 \int_{\Omega} (c_{\varepsilon} + 1) |D^2 \ln(c_{\varepsilon} + 1)|^2 +\int_{\Omega} \frac{|\nabla m_{\varepsilon}|^2}{m_{\varepsilon} + 1} +\frac{M + 1}{l_0} \int_{\Omega} |\nabla u_{\varepsilon}|^2\\&\leq C_2 +\frac{(M + 1)|\Omega|}{8l_0C^2_1} +\frac{M \ln(M + 1)|\Omega|}{2C_1}\end{split}$

对任意的 $t \in (0, T_{max, \varepsilon})$ 和任意的 $\varepsilon\in (0, 1)$ 成立. 令 $K_1 := \max \left\{ 1, \frac{8}{p(1-p)}, \frac{8}{l_0},\frac{l_0}{M+1}, {C_2 } + \frac{(M+1)|\Omega|}{8l_0 C_{1}^2}\right. $$\left. +\frac{M \ln(M+1)|\Omega|}{2C_1}\right\},$ 且对任意的 $t \in (0, T_{max, \varepsilon})$ 以及任意的 $\varepsilon\in (0, 1)$, 定义

$y_\varepsilon(t) := - \int_{\Omega} n_\varepsilon ^ p (\cdot,t) + \int_{\Omega} \frac{|\nabla c_\varepsilon(\cdot,t)|^2}{c_\varepsilon(\cdot,t) + 1} + 2 \int_{\Omega} m_\varepsilon(\cdot,t) \ln(m_\varepsilon(\cdot,t) + 1) + \frac{4(M + 1)}{l_0} \int_{\Omega} |u_\varepsilon(\cdot,t)|^2,$

以及

$\begin{split}g_\varepsilon(t) := &\int_{\Omega} n_\varepsilon ^{p-2}(\cdot,t) |\nabla n_\varepsilon(\cdot,t)|^2+ \int_{\Omega} \frac{|\nabla c_\varepsilon(\cdot,t)|^4}{(c_\varepsilon(\cdot,t) + 1)^3} + \int_{\Omega} (c_\varepsilon(\cdot,t) + 1) \left| D^2 \ln(c_\varepsilon (\cdot,t)+ 1) \right|^2 \\&+ \int_{\Omega} \frac{|\nabla m_\varepsilon(\cdot,t)|^2}{m_\varepsilon(\cdot,t) + 1} + \int_{\Omega} |\nabla u_\varepsilon(\cdot,t)|^2,\end{split}$

则由 (3.34) 式可得

(3.25)$y_\varepsilon'(t) + \frac{1}{4C_1K_1} y_\varepsilon(t) + \frac{1}{K_1} g_\varepsilon(t) \leq K_1 $

对任意的 $t \in (0, T_{max, \varepsilon})$ 和任意的 $\varepsilon\in (0, 1)$ 成立. 根据 ODE 比较原理, 由 (3.25) 式可得对任意的 $t \in(0, T_{\max,\varepsilon} )$ 和任意的 $\varepsilon\in(0, 1)$, 有

(3.26)$y_\varepsilon(t) \leq C_3 := \max\left\{ \sup_{\varepsilon\in(0,1)} y_\varepsilon(0), 4C_1K_{1}^{2} \right\},$

由于 (1.7) 和 (2.6)-(2.9) 式隐含了 $C_3>0$ 是有限的, 因此由 (3.26) 式立即可得 (3.17) 式成立. 对任意的 $T \in(0, T_{\max,\varepsilon} )$, (3.25) 式在 $(0, T)$ 上进行积分并结合 (3.17) 式可得 (3.18) 式.

基于引理 3.8, 通过选择适当的 $p$ 满足 (3.16) 式, 可进一步建立如下关于解分量 $n_{\varepsilon}$ 和 $u_{\varepsilon}$ 的基本正则性.

引理 3.9 设 $\theta > 0$, $l > 1$, $r > 1$ 以及 $\iota > 1$, 且 $l_{\theta}$ 和 $r_{\theta}$ 由 (9) 式定义. 另外, 定义

(3.27)$\iota_{\theta} := \text{min}\Big\{4, \frac{6\theta + 2}{(1 - \theta)_{+}} \Big\}> 1.$

则对于

(3.28)$l < l_{\theta}, r < r_{\theta}, \iota < \iota_{\theta},$

以及任意的 $T \in(0, T_{\max,\varepsilon} )$, 存在 $C = C(T,l, r, \iota) > 0$ 使得对任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$, 有

(3.29)$\int_{0}^{T} \int_{\Omega} n_\varepsilon ^l \leq C(T),$

(3.30)$\int_{0}^{T} \int_{\Omega} \left| \nabla n_{\varepsilon} \right|^r \leq C(T),$

(3.31)$\int_{0}^{T} \left\| n_{\varepsilon}(\cdot, t) \right\|_{ L^\frac{6}{5}(\Omega)}^\iota {\rm d}t \leq C(T)$

和

(3.32)$\int_{0}^{T} \int_{\Omega} |u_{\varepsilon}|^\frac{10}{3} \leq C(T).$

证首先, 我们试图验证: 对于 $\theta > 0$, $l\in (1, l_{\theta})$, $r \in (1, r_{\theta})$ 以及 $\iota \in (1, \iota_{\theta})$, 存在 $p \in \left(\frac{2}{3}, 1\right)$, 使得

(3.33)$p < \frac{2\theta+2}{3(1-\theta)_{+}},$

(3.34)$l < p + \frac{2}{3},$

(3.35)$r < \frac{3p +2}{4},$

以及

(3.36)$\iota < 6p - 2$

成立. 特别地, 当 $\theta \geq \frac{1}{5}$ 时, 由 (3.28) 式可得

$\max\left\{l - \frac{2}{3}, \frac{4r -2}{3}, \frac{\iota +2 }{6}\right\}<\max\left\{l_{\theta} - \frac{2}{3}, \frac{4r_{\theta} - 2}{3}, \frac{\iota_{\theta} +2 }{6} \right\}= 1,$

因此当 $p\in (\frac{2}{3},1) $ 充分接近 1 时, (3.34), (3.35) 和 (3.36) 式同时成立. 又因为当 $\theta \geq \frac{1}{5}$ 时 $\frac{2\theta+2}{3(1-\theta)_{+}} \geq 1 >p$, 从而 (3.33) 式也成立. 当 $\theta \in \left(0, \frac{1}{5}\right)$ 时, 因为 (3.28) 式隐含了

$l-\frac{2}{3}<l_{\theta}-\frac{2}{3}, \frac{4 r-2}{3}<\frac{4 r_{\theta}-2}{3} \text { 以及 } \frac{\iota+2}{6}<\frac{\iota_{\theta}+2}{6} \text {, }$

其中 $l_{\theta} - \frac{2}{3}=\frac{4r_{\theta}-2}{3} = \frac{\iota_{\theta} +2}{6} =\frac{2\theta+2}{3(1 - \theta)}$, 又因为

$1 = \frac{2\cdot \frac{1}{5}+2}{ 3\cdot (1-\frac{1}{5})} > \frac{2\theta+2}{3(1 - \theta)} > \frac{2}{ 3\cdot (1-0)} = \frac{2}{3}, $

所以

$\max\left\{ \frac{2}{3}, l- \frac{2}{3}, \frac{ 4r -2}{3}, \frac{\iota + 2}{6} \right\} < p < \min\left\{ 1, \ \frac{2\theta+2}{3(1 - \theta)} \right\} = \frac{2\theta+2}{3(1 - \theta)},$

此时 (3.33)-(3.36) 式依然成立. 于是, 由 (3.34) 和 (3.36) 式并联合引理 3.2、引理 3.3 和引理 3.8, 可推断 (3.29) 和 (3.31) 式成立.

由于 (3.35) 式和 $p<1$ 隐含了 $r < 2$, 故由 Young 不等式可得

(3.37)$\begin{aligned}\int_{\Omega}\left|\nabla n_{\varepsilon}\right|^{r} & =\int_{\Omega}\left\{n_{\varepsilon}^{p-2}\left|\nabla n_{\varepsilon}\right|^{2}\right\}^{\frac{r}{2}} \cdot n_{\varepsilon}^{\frac{(2-p) r}{2}} \\& \leq \int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{p-2}\left|\nabla n_{\varepsilon}\right|^{2}+\int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{\frac{(2-p) r}{2-r}}\end{aligned},$

对任意的 $t \in (0, T_{max, \varepsilon})$ 以及任意的 $\varepsilon\in (0, 1)$ 成立. 简单的计算表明 $\frac{\frac{(2-p)r}{2-r}}{p + \frac{2}{3}} = \frac{3(2 - p)}{(3p + 2) \cdot \left( \frac{2}{r} - 1 \right)} < \frac{3(2 - p)}{(3p + 2) \cdot \left( \frac{2}{\frac{3p+2}{4}} - 1 \right)} = 1,$ 于是

$\frac{(2-p)r}{2-r}<p + \frac{2}{3},$

从而利用引理 3.2 可得 $C_{1} > 0$ 使得对任意的 $t \in (0, T_{\max,\varepsilon} )$ 和任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$, 有

(3.38)$\int_{\Omega} n_{\varepsilon}^\frac{(2-p)r}{2-r}\leq \int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{p-2} |\nabla n_{\varepsilon}|^2 + C_1. $

联合 (3.37) 和 (3.38) 式并应用引理 3.8 可得 $C_{2}>0$ 使得

$\begin{align*} \int_{0}^{T} \int_{\Omega} |\nabla n_{\varepsilon}|^r &\leq 2 \int_{0}^{T} \int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{ p-2} |\nabla n_{\varepsilon}|^2 \ + C_1 T \\ &\leq 2C_{2}(T+1) + C_1 T,\ \end{align*}$

对任意的 $t \in (0, T_{max, \varepsilon})$ 以及任意的 $\varepsilon\in (0, 1)$ 成立,于是得到 (3.30) 式.

最后, 直接使用 Gagliardo-Nirenberg 不等式可得 $C_{3} > 0$, 使得对任意的 $t \in (0, T_{max, \varepsilon})$ 和任意的 $\varepsilon\in (0, 1)$, 有

$\int_{0}^{T}\int_{\Omega} |u_{\varepsilon}|^{\frac{10}{3}} \leq C_3 \cdot \Big\{ \int_{0}^{T}\int_{\Omega} |\nabla u_{\varepsilon}|^2\Big\} \cdot \Big\{\int_{0}^{T} \int_{\Omega} |u_{\varepsilon}|^2 \Big\}^{\frac{2}{3}} + C_3 \cdot \int_{0}^{T} \int_{\Omega} |u_{\varepsilon}|^2 \Big\}^\frac{5}{3},$

故结合 (3.17) 和 (3.18) 式可得 (3.32) 式.

利用引理 3.9 可对乘积 $n_{\varepsilon} u_\varepsilon$ 得到如下有界性.

引理 3.10 设 (1.5) 中 $\theta > 0$ 且 $(n_\varepsilon,c_\varepsilon,m_\varepsilon,u_\varepsilon)_{\varepsilon\in (0, 1)}$ 是引理 2.1 建立的解, 则对某一 $\kappa > 1$ 和任意的 $T \in (0, T_{max, \varepsilon})$, 存在 $C(\kappa,T) > 0$, 使得

(3.39)$\int_0^T \int_\Omega |n_{\varepsilon} u_\varepsilon|^\kappa \leq C(T)$

对任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$ 成立.

证因为 $\theta >0$ 隐含了 $\frac{4}{3(1-\theta)_{+}}> \frac{4}{3} > \frac{6}{5}$ 以及 $ \frac{6\theta + 2}{(1-\theta)_{+}} \geq \frac{2}{(1-\theta)_{+}} > 2$, 故结合 $l_\theta$ 的定义 (1.10) 和 $\iota_\theta$ 的定义 (3.27) 直接有

(3.40)$l_\theta > \frac{6}{5} \text{ 以及 }\iota_\theta > 2.$

对某一固定的 $l $ 满足

(3.41)$\frac{6}{5}<l < l_\theta,$

由于左边隐含了 $\frac{10l}{5l+6} > 1 $, 故可定义

$\iota(\kappa) := \frac{2(6l - 6\kappa - l\kappa)}{10l - 6\kappa - 5l\kappa}, \kappa \in \left(1, \frac{10l}{5l+6}\right).$

该函数当 $\kappa \rightarrow1$ 时满足 $\iota(\kappa)\rightarrow 2 $, 此外又考虑到 $l > \frac{6}{5}$, 可让满足

(3.42)$1<\kappa< \frac{10l}{5l + 6}$

的 $\kappa $ 充分接近 $1 $ 使得

(3.43)$\iota(\kappa) < \iota_{\theta}$

且

(3.44)$\frac{6}{5} < \frac{6\kappa}{6 - \kappa} < l.$

由于 (3.42) 式右端的不等式隐含了 $\kappa < 6 $, 这与 (3.44) 式联合保证了使用 Hölder 不等式和 Young 不等式可得

(3.45)$\begin{split}\int_{0}^{T} \int_{\Omega} |n_{\varepsilon} u_{\varepsilon}|^{\kappa}&\leq \int_{0}^{T} \lVert{n_{\varepsilon}(\cdot, t)} \rVert_{L^{\frac{6\kappa}{6-\kappa}}(\Omega)}^\kappa \lVert{u_{\varepsilon}(\cdot, t)} \rVert_{L^6(\Omega)}^\kappa {\rm d}t \\&\leq \int_{0}^{T} \lVert{n_{\varepsilon}(\cdot, t)} \rVert_{L^l(\Omega)}^\frac{6l(\kappa-1)}{5l-6} \lVert{n_{\varepsilon}(\cdot, t)} \rVert_{L^\frac{5}{4} (\Omega)}^{\frac{6l-6\kappa-l\kappa}{5l-6}} \lVert{u_{\varepsilon}(\cdot, t)} \rVert_{L^6(\Omega)}^\kappa {\rm d}t \\&\leq \int_{0}^{T} \lVert{u_{\varepsilon}(\cdot, t)} \rVert_{L^6(\Omega)}^2{\rm d}t + \int_{0}^{T} \lVert{n_{\varepsilon}(\cdot, t)} \rVert_{L^l(\Omega)}^{\frac{12l(\kappa-1)}{(5l-6)(2-\kappa)}} \lVert{n_{\varepsilon}(\cdot, t)} \rVert_{L^{\frac{6}{5}}(\Omega)}^{\frac{2(6l-6\kappa-l\kappa)}{(5l-6)(2-\kappa)}} {\rm d}t\end{split}$

对任意的 $ T \in (0, T_{max, \varepsilon}) $ 和任意的 $ \varepsilon\in (0, 1)$ 成立. (3.42) 式右端的不等式还隐含了 $\gamma := \frac{(5l-6)(2-\kappa)}{12(\kappa-1)}> 1$, 故由 Young 不等式可得对任意的 $ T \in (0, T_{max, \varepsilon}) $ 和任意的 $ \varepsilon\in (0, 1)$, 有

(3.46)$\begin{aligned}& \int_{0}^{T}\left\|n_{\varepsilon}(\cdot, t)\right\|_{L^{l}(\Omega)}^{\frac{12 l(\kappa-1)}{(5 l-6)(2-\kappa)}}\left\|n_{\varepsilon}(\cdot, t)\right\|_{L^{\frac{6}{5}}(\Omega)}^{\frac{2(6 l-6 \kappa-l \kappa)}{(5 l-6)(2-\kappa)}} \mathrm{d} t \\\leq & \int_{0}^{T}\left\{\left\|n_{\varepsilon}(\cdot, t)\right\|_{L^{l}(\Omega)}^{l} \mathrm{~d} t+\left\|n_{\varepsilon}(\cdot, t)\right\|_{L^{\frac{6}{5}}(\Omega)}^{\frac{2(6 l-6 \kappa-l \kappa)}{(5 l-6)(2-\kappa)} \cdot \frac{\gamma}{\gamma-1}}\right\} \mathrm{d} t,\end{aligned}$

其中

$\frac{2(6l - 6\kappa - l\kappa)}{(5l - 6)(2 - \kappa)} \cdot \frac{\gamma}{\gamma - 1} = \frac{2(6l - 6\kappa - l\kappa)}{(5l - 6)(2 - \kappa)} \cdot \frac{1}{1 - \frac{12(\kappa-1)}{(5l-6)(2-\kappa)}} = \frac{2(6l - 6\kappa - l\kappa)}{10l - 6\kappa - 5l\kappa} = \iota(\kappa).$

因为嵌入 $ W^{1,2}(\Omega) \hookrightarrow L^6(\Omega) $ 可提供常数 $ C_1 > 0$ 使得 $\lVert{u_{\varepsilon}(\cdot, t)} \rVert_{L^6(\Omega)} \leq C_1 \lVert{\nabla u_{\varepsilon}(\cdot, t)} \rVert_{L^2(\Omega)}$ 对任意的 $ t \in (0, T_{max, \varepsilon}) $ 和任意的 $ \varepsilon\in (0, 1)$ 成立, 故联合 (3.45) 和 (3.46) 式可得

(3.47)$\int_{0}^{T} \int_{\Omega} |n_{\varepsilon} u_{\varepsilon}|^\kappa\leq C_1^2 \int_{0}^{T} \int_{\Omega} |\nabla u_{\varepsilon}|^2 + \int_{0}^{T} \int_{\Omega} n_{\varepsilon}^l+ \int_{0}^{T}\lVert{n_{\varepsilon}(\cdot, t)} \rVert_{L^{\frac{6}{5}}(\Omega)}^{\iota}{\rm d}t$

对任意的 $ T \in (0, T_{max, \varepsilon}) $ 和任意的 $ \varepsilon\in (0, 1)$ 成立.

于是, 由 (3.41), (3.43), (3.18), (3.19) 和 (3.31) 式可推断出 (3.47) 式隐含了 (3.39) 式.

4 正则化问题 (2.1) 的整体存在性

利用前面建立的先验估计可以证明引理 2.1 中得到的解是整体存在的.

引理 4.1 设 $\theta > 0$, 且 $(n_\varepsilon, c_\varepsilon, m_\varepsilon, u_\varepsilon)_{\varepsilon\in (0, 1)}$ 是引理 2.1 建立的问题 (2.1) 的局部解, 则 $(n_\varepsilon, c_\varepsilon, m_\varepsilon, u_\varepsilon)_{\varepsilon\in (0, 1)}$ 也是问题 (2.1) 的整体解.

证由 (2.3) 式不难推断, 对任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$, 有

(4.1)$n_{\varepsilon} F'_{\varepsilon}(n_{\varepsilon}) < \frac{1}{\varepsilon}.$

联合 (2.14) 和 (3.18) 式可得, 对任意的 $T \in (0, T_{\max,\varepsilon})$, 存在常数 $C_1 = C_1(T)>0$, 使得

(4.2)$\int_{0}^{T} \int_{\Omega} \left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^4 \leq (M + 1)^3 \int_{0}^{T} \int_{\Omega} \frac{\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^4}{(c_{\varepsilon} + 1)^3} \leq (M + 1)^3 C_1$

对任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$ 成立. 利用 $\nabla \cdot u_{\varepsilon} = 0$, (4.1) 式以及 $-m_{\varepsilon}F_{\varepsilon}(n_{\varepsilon})\leq0$, 以 $n_{\varepsilon}$ 作为试验函数检验问题 (2.1) 的第一个方程可得对任意的 $t \in (0, T_{\max,\varepsilon})$ 和任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$, 有

(4.3)$\begin{split}\frac{1}{2} \frac{\rm d}{{\rm d}t} \int_{\Omega} n_{\varepsilon}^2= &- \int_{\Omega} |\nabla n_{\varepsilon}|^2 + \int_{\Omega} n_{\varepsilon} F'_{\varepsilon}(n_{\varepsilon})f(\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^2) \nabla n_{\varepsilon} \cdot \nabla c_{\varepsilon} \\& - \int_{\Omega} n_{\varepsilon} m_{\varepsilon} F_{\varepsilon}(n_{\varepsilon}) \\\leq &-\int_{\Omega} |\nabla n_{\varepsilon}|^2+ \frac{1}{\varepsilon} \int_{\Omega} \ f(\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^2)\left| \nabla n_{\varepsilon}\right| \cdot \left|\nabla c_{\varepsilon}\right|,\end{split}$

其中由 (1.5) 和 Young 不等式可得对任意待定的 $\kappa_{1}> 0$, 任意的 $t \in (0, T_{\max,\varepsilon})$ 以及任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$, 有

$\begin{aligned}& \frac{1}{\varepsilon} \int_{\Omega} f\left(\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^{2}\right)\left|\nabla n_{\varepsilon}\right| \cdot\left|\nabla c_{\varepsilon}\right| \\\leq & \frac{K_{f} \kappa_{1}}{\varepsilon} \int_{\Omega}\left|\nabla n_{\varepsilon}\right|^{2}+\frac{K_{f}}{\varepsilon} \cdot \frac{1}{4 \kappa_{1}} \int_{\Omega}\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^{2} \\\leq & \frac{K_{f} \kappa_{1}}{\varepsilon} \int_{\Omega}\left|\nabla n_{\varepsilon}\right|^{2}+\frac{K_{f}}{\varepsilon} \cdot \frac{1}{8 \kappa_{1}} \int_{\Omega}\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^{4}+\frac{K_{f}}{\varepsilon} \cdot \frac{1}{8 \kappa_{1}}|\Omega|.\end{aligned}$

于是, 令 $\kappa_{1}=\frac{\varepsilon}{ 2K_{f}}$, 则 (4.6) 式隐含了

(4.4)$\begin{split}\frac{1}{2} \frac{\rm d}{{\rm d}t} \int_{\Omega} n_{\varepsilon}^2&\leq -\frac{1}{2} \int_{\Omega} |\nabla n_{\varepsilon}|^2 + \frac{K_{f}^2}{4\varepsilon^2}\int_{\Omega} \left| \nabla c_{\varepsilon} \right|^{4}+\frac{K_{f}^2}{4\varepsilon^2} \left|\Omega\right| \\& \leq \frac{K_{f}^2}{4\varepsilon^2}\int_{\Omega} \left| \nabla c_{\varepsilon} \right|^{4}+\frac{K_{f}^2}{4\varepsilon^2} \left|\Omega\right|\end{split}$

对任意的 $t \in (0, T_{max, \varepsilon})$ 以及任意的 $\varepsilon\in (0, 1)$ 成立. 因此, 对任意的 $T \in (0, T_{max, \varepsilon})$ 在 (4.3) 式两边关于 $t$ 在 $(0,T)$ 上进行积分并结合 (4.2) 式可得

(4.5)$\sup_{t \in (0, T_{\max, \varepsilon})} \int_{\Omega} n_{\varepsilon}^2 < \infty$

对任意的 $ \varepsilon \in (0, 1) $ 成立. 以 $u_{\varepsilon}$ 为试验函数检验问题 (2.1) 的第四个方程并结合 Young 不等式可得对任意待定的 $\kappa_{2} > 0$, 任意的 $t \in (0, T_{\max, \varepsilon})$ 和任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$, 有

(4.6)$\begin{split}\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t} \int_{\Omega} |u_\varepsilon|^2 + \int_{\Omega} |\nabla u_\varepsilon|^2&= \int_{\Omega} (n_\varepsilon + m_\varepsilon) u_\varepsilon \cdot \nabla \Phi \\&\leq \kappa_{2} \int_{\Omega} |u_\varepsilon|^2 \, dx + \frac{1}{4\kappa_{2}} \int_{\Omega} (n_\varepsilon + m_\varepsilon)^2 |\nabla \Phi|^2. \end{split}$

利用 Poincaré-Sobolev 不等式可得 $C_2 > 0$ 使得

(4.7)$\displaystyle \int_{\Omega} |u_{\varepsilon}|^2 \leq C_2 \int_{\Omega} |\nabla u_{\varepsilon}|^2$

对任意的 $t \in (0, T_{\max,\varepsilon})$ 以及任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$ 成立. 令 (4.6) 式中的 $\kappa_2 = \frac{1}{2C_2}$, 并联合 (4.7) 式可得对任意的 $t\in(0, T_{\max,\varepsilon})$ 和任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$, 有

(4.8)$\frac{\rm d}{{\rm d}t} \int_{\Omega} |u_{\varepsilon}|^2 \, {\rm d}x + \int_{\Omega} |\nabla u_{\varepsilon}|^2 \, {\rm d}x \leq C_2 \int_{\Omega} (n_{\varepsilon} + m_{\varepsilon})^2 |\nabla \Phi|^2.$

若 $T_{\max,\varepsilon} < \infty$ 对任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$ 都成立, 则在 (4.8) 式两边对 $t$ 在 $(0,T_{\max,\varepsilon})$ 上积分并利用 (1.8), (2.13), (2.9) 式以及 (4.5) 式可得

(4.9)$\sup_{t \in (0, T_{\max,\varepsilon})} \int_{\Omega} |u_{\varepsilon}(\cdot, t)|^2 < \infty, \int_{0}^{T_{\max,\varepsilon}} \int_{\Omega} |\nabla u_{\varepsilon}|^2 < \infty$

对任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$ 成立. 令 $k_{\varepsilon} := \mathcal{P}\left\{ -(Y_{\varepsilon} u_{\varepsilon} \cdot \nabla)u_{\varepsilon} + (n_{\varepsilon} + m_{\varepsilon})\nabla \Phi \right\}$, 以 $-A u_{\varepsilon}$ 作为试验函数检验问题 (2.1) 的第四个方程并结合 Young 不等式可得对任意的 $t \in (0, T_{max, \varepsilon})$ 以及任意的 $\varepsilon\in (0, 1)$, 有

(4.10)$\begin{aligned}\frac{1}{2} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t} \int_{\Omega}\left|\nabla u_{\varepsilon}\right|^{2} & =-\int_{\Omega}\left|A u_{\varepsilon}\right|^{2}+\int_{\Omega} A u_{\varepsilon} \cdot k_{\varepsilon} \\& \leq-\frac{1}{2} \int_{\Omega}\left|A u_{\varepsilon}\right|^{2}+\frac{1}{2} \int_{\Omega}\left|k_{\varepsilon}\right|^{2}.\end{aligned}$

由于算子 $(Y_{\varepsilon})_{\varepsilon \in (0,1)}$ 从 $L^2_{\sigma}(\Omega)$ 到 $W^{2,2}(\Omega; \mathbb{R}^3) \cap W^{1,2}_{0,\sigma}(\Omega; \mathbb{R}^3)\hookrightarrow L^{\infty}(\Omega; \mathbb{R}^3)$ 是有界的, 故存在常数 $C_3=C_3(\varepsilon) > 0$ 使得 $\left\| Y_{\varepsilon} u_{\varepsilon} \right\|_{L^{\infty}(\Omega)}\leq C_3 \left\| u_{\varepsilon} \right\|_{L^2(\Omega)}$ 对任意的 $\varepsilon\in (0, 1)$ 成立. 于是, 联合 (1.8), (2.14), (4.5) 和 (4.9) 式可得对任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$, 只要 $T_{\max,\varepsilon}<\infty$, 则有

(4.11)$\begin{aligned}\int_{0}^{T_{\max, \varepsilon}} \int_{\Omega}\left|k_{\varepsilon}\right|^{2} & =\int_{0}^{T_{\max, \varepsilon}} \int_{\Omega}\left|\mathcal{P}\left\{-\left(Y_{\varepsilon} u_{\varepsilon} \cdot \nabla\right) u_{\varepsilon}+\left(n_{\varepsilon}+m_{\varepsilon}\right) \nabla \Phi\right\}\right|^{2} \\\leq & 2\left\|Y_{\varepsilon} u_{\varepsilon}\right\|_{L^{\infty}(\Omega)}^{2} \int_{0}^{T_{\max, \varepsilon}} \int_{\Omega}\left|\nabla u_{\varepsilon}\right|^{2}+2\|\nabla \Phi\|_{L^{\infty}(\Omega)}^{2} \int_{0}^{T_{\max, \varepsilon}} \int_{\Omega}\left(n_{\varepsilon}+m_{\varepsilon}\right)^{2} \\\leq & 2 C_{3}\left\|u_{\varepsilon}\right\|_{L^{2}(\Omega)}^{2} \int_{0}^{T_{\max, \varepsilon}} \int_{\Omega}\left|\nabla u_{\varepsilon}\right|^{2}+4\|\nabla \Phi\|_{L^{\infty}(\Omega)}^{2} \int_{0}^{T_{\max, \varepsilon}} \int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{2} \\& +4\|\nabla \Phi\|_{L^{\infty}(\Omega)}^{2} M^{2}|\Omega| \cdot T_{\max, \varepsilon} \\& <\infty.\end{aligned}$

因此, 将 (4.10) 式在 $(0, T_{\max,\varepsilon})$ 上积分, 并联合 (4.11) 和 (2.9) 式可得

(4.12)$\sup_{t \in (0, T_{\max,\varepsilon})} \int_{\Omega} |\nabla u_{\varepsilon}(\cdot, t)|^2 < \infty $

对任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$ 成立. 因为 (4.12) 式的论证表明

$ \int_{\Omega} |k_{\varepsilon}(\cdot, t)|^2 \leq 2C_3 \|u_{\varepsilon}(\cdot, t)\|^2_{L^2(\Omega)} \int_{\Omega} \left|\nabla u_{\varepsilon}(\cdot, t)\right|^2 +4\|\nabla \Phi\|^2_{L^\infty(\Omega)} \int_{\Omega} {n_{\varepsilon}^2(\cdot, t)} + 4\|\nabla \Phi\|^2_{L^\infty(\Omega)} M^2 |\Omega| $

对任意的 $t \in (0, T_{\max,\varepsilon})$ 以及任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$ 成立, 所以结合 (4.12) 和 (4.5) 式可得对任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$, 有

(4.13)$\sup_{t \in (0, T_{\max,\varepsilon})} \int_{\Omega} |k_{\varepsilon}(\cdot, t)|^2 < \infty.$

固定 $\alpha \in \left(\frac{3}{4}, 1\right)$, 由 Dirichlet-Stokes 半群的正则化理论 $(e^{-tA})_{t\geq 0}$^[40] 知存在常数 $C_4 > 0$, 使得

$\begin{aligned}\left\|A^{\alpha} u_{\varepsilon}(\cdot, t)\right\|_{L^{2}(\Omega)} & =\left\|A^{\alpha} e^{-t A} u_{0}+\int_{0}^{t} A^{\alpha} e^{-(t-s) A} k_{\varepsilon}(\cdot, s) \mathrm{d} s\right\|_{L^{2}(\Omega)} \\& \leq C_{4}+C_{4} \int_{0}^{t}(t-s)^{-\alpha}\left\|k_{\varepsilon}(\cdot, s)\right\|_{L^{2}(\Omega)} \mathrm{d} s\end{aligned}$

对任意的 $t \in (0, T_{\max, \varepsilon})$ 和任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$ 成立. 将其联合 (4.13) 式可得对任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$, 有

(4.14)$\sup_{t \in (0, T_{\max,\varepsilon})}allel A^{\alpha} u_\varepsilon(\cdot, t) allel_{L^2(\Omega)} < \infty.$

由于 $\alpha \in \left(\frac{3}{4}, 1\right)$ 保证了 $D(A^\alpha) \hookrightarrow L^\infty(\Omega)$^[41,42], 故 (4.14)式隐含了

(4.15)$\sup_{t \in (0, T_{\max,\varepsilon})}allel u_\varepsilon(\cdot, t)allel_{L^\infty(\Omega)} < \infty$

对任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$ 成立.

令 $\tau := \frac{1}{2} T_{\max,\varepsilon}$ 并记 $B := -\Delta + 1$, 则对任意固定的 $q > 6$ 和 $\beta \in \left(\frac{q+3}{2q}, 1\right)$, 由半群 $(e^{-tB})_{t \geq 0}$ 的正则性^[40], (23), (24) 和 (87) 式可得对任意的 $T \in (\tau, T_{\max,\varepsilon})$, $t \in (\tau, T)$ 以及 $\varepsilon \in (0, 1)$, 存在 $C_5 > 0$ 和 $C_6=C_6(\varepsilon,T) > 0$ 使得

(4.16)$\begin{aligned}& \left\|B^{\beta} c_{\varepsilon}(\cdot, t)\right\|_{L^{q}(\Omega)} \\= & \left\|B^{\beta} e^{-(t-\tau) B} c_{\varepsilon}(\cdot, \tau)+\int_{\tau}^{t} B^{\beta} e^{-(t-s) B}\left\{m_{\varepsilon}(\cdot, s)-u_{\varepsilon}(\cdot, s) \cdot \nabla c_{\varepsilon}(\cdot, s)\right\} \mathrm{d} s\right\|_{L^{q}(\Omega)} \\\leq & C_{5}+C_{5} \int_{\tau}^{t}(t-s)^{-\beta}\left\{\left\|m_{\varepsilon}(\cdot, s)\right\|_{L^{q}(\Omega)}+\left\|u_{\varepsilon}(\cdot, s)\right\|_{L^{\infty}(\Omega)} \cdot\left\|\nabla c_{\varepsilon}(\cdot, s)\right\|_{L^{q}(\Omega)}\right\} \mathrm{d} s \\\leq & C_{6}+C_{6} \sup _{s \in(\tau, T)}\left\|\nabla c_{\varepsilon}(\cdot, s)\right\|_{L^{q}(\Omega)} \\\leq & C_{6}+C_{6} \sup _{s \in(\tau, T)}\left\{\left\|B^{\beta} c_{\varepsilon}(\cdot, s)\right\|_{L^{q}(\Omega)}^{\frac{1}{2 \beta}}\left\|c_{\varepsilon}(\cdot, s)\right\|_{L^{q}(\Omega)}^{1-\frac{1}{2 \beta}}\right\} \\\leq & C_{6}+C_{6} M^{1-\frac{1}{2 \beta}}|\Omega|^{\frac{1}{q}\left(1-\frac{1}{2 \beta}\right)} \sup _{s \in(\tau, T)}\left\|B^{\beta} c_{\varepsilon}(\cdot, s)\right\|_{L^{q}(\Omega)}^{\frac{1}{2 \beta}},\end{aligned}$

对其应用 Young 不等式可得

(4.17)$\sup_{T \in (\tau, T_{max, \varepsilon})} \sup_{t \in (\tau, T)} \|B^{{\beta}} c_{\varepsilon}(\cdot, t)\|_{L^q(\Omega)} < \infty$

对任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$ 成立. 因为 $\beta \in \left(\frac{q+3}{2q}, 1\right)$ 隐含了嵌入 $ D(B_{q}^{{\beta}}) \hookrightarrow W^{1,\infty}(\Omega) $^[41] 和 $ D(B_{q}^{{\beta}}) \hookrightarrow W^{1,q}(\Omega) $^[41], 故由 (4.17) 式可得

(4.18)$\sup_{t \in (\tau, T_{max, \varepsilon})}\| c_{\varepsilon}(\cdot, t) \|_{W^{1,\infty}(\Omega)} < \infty$

对任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$ 成立, 且存在 $ C_{7} := C_{7}(\varepsilon, T_{\max,\varepsilon}) > 0$ 使得

(4.19)$\sup_{t \in (\tau, T_{\max, \varepsilon})} \left\|\nabla c_\varepsilon(\cdot, t) \right\|_{L^{q}(\Omega)} \leq C_{7}.$

由齐次 Neumann 热半群 $(e^{t\Delta})_{t \geq 0}$ 的正则性^[43]可知, 对任意固定的 $l > 3$, 存在 $C_{8} = C_{8}(\varepsilon,l) > 0$ 和 $C_{9} = C_{9}(\varepsilon,l) > 0$ 使得对任意的 $t \in (\tau, T_{\max, \varepsilon})$

(4.20)$\begin{split}&~~~~\| n_{\varepsilon}(\cdot, t) \|_{L^{\infty}(\Omega)} \\&\leq \left\| e^{(t-\tau)\Delta} n_{\varepsilon}(\cdot, \tau)\right\|_{L^{\infty}(\Omega)} + \int_{\tau}^{t} \left\| e^{(t-s)\Delta} \nabla \cdot \{ \frac{n_{\varepsilon}(\cdot, s)}{1 + \varepsilon n_{\varepsilon}(\cdot, s)}f\left(|\nabla c_{\varepsilon}(\cdot, s)|^2\right)\nabla c_{\varepsilon}(\cdot, s) \right. \\&\quad \left. + n_{\varepsilon}(\cdot, s) u_{\varepsilon}(\cdot, s) \}\right\|_{L^{\infty}(\Omega)}{\rm d}s +\int_{\tau}^{t} \left\|e^{(t-s)\Delta}m_{\varepsilon}(\cdot, s) F_{\varepsilon}(n_{\varepsilon}(\cdot, s))\right\|_{L^{\infty}(\Omega)}{\rm d}s\\&\leq C_{8 }+ C_{8}\int_{\tau}^{t} (t - s)^{-\frac{1}{2} - \frac{3}{2l}}\\ &~~~\cdot\left\{\left\| \frac{ n_{\varepsilon}(\cdot, s)}{1 + \varepsilon n_{\varepsilon}(\cdot, s)} f\left(|\nabla c_{\varepsilon}(\cdot, s)|^2\right) \nabla c_{\varepsilon}(\cdot, s)\right\|_{L^l(\Omega)}+\left\| n_{\varepsilon}(\cdot, s) u_{\varepsilon}(\cdot, s) \right\|_{L^l(\Omega)}\right\}{\rm d}s \\&\ \ \ +\int_{\tau}^{t}\left\| e^{(t-s)\Delta}m_{\varepsilon}(\cdot, s) F_{\varepsilon}(n_{\varepsilon}(\cdot, s)) \right\|_{L^{\infty}(\Omega)}{\rm d}s\\&\leq C_{8 }+ C_{9}\sup_{s \in (\tau, T_{\max, \varepsilon})} \left\|\nabla c_\varepsilon(\cdot, s) \right\|_{L^{l}(\Omega)}+ C_{9}\\&~~~\cdot\sup_{s \in (\tau, T_{\max, \varepsilon})}\Big\{ \left\|u_\varepsilon(\cdot, s) \right\|_{L^{\infty}(\Omega)}\Big\}\cdot \sup_{s \in (\tau, T_{\max, \varepsilon})} \left\|n_\varepsilon(\cdot, s) \right\|_{L^{l}(\Omega)},\end{split}$

其中结合 (2.13), (2.14) 和 (4.5) 式并利用文献 [44,引理 1.3]可得 $C_{10} = C_{10}(\varepsilon,T_{\max,\varepsilon}) > 0$, 使得

$\begin{split}&\ \ \ \int_{\tau}^{t} \left\|e^{(t-s)\Delta}m_{\varepsilon}(\cdot, s) F_{\varepsilon}(n_{\varepsilon}(\cdot, s)) \right\|_{L^{\infty}(\Omega)}{\rm d}s\\&\leq \int_{\tau}^{t} \left\|e^{(t-s)\Delta}\left\{m_{\varepsilon}(\cdot, s) F_{\varepsilon}(n_{\varepsilon}(\cdot, s))-\overline{m_{\varepsilon}(\cdot, s) F_{\varepsilon}(n_{\varepsilon}(\cdot, s))}\right\}\right\|_{L^{\infty}(\Omega)}{\rm d}s\\&\ \ \ +\int_{\tau}^{t} \left\|e^{(t-s)\Delta}\overline{m_{\varepsilon}(\cdot, s) F_{\varepsilon}(n_{\varepsilon}(\cdot, s))}\right\|_{L^{\infty}(\Omega)}{\rm d}s\\&\leq \int_{\tau}^{t} (t-s)^{-\frac{3}{4}} \left\|m_{\varepsilon}(\cdot, s) F_{\varepsilon}(n_{\varepsilon}(\cdot, s))-\overline{m_{\varepsilon}(\cdot, s) F_{\varepsilon}(n_{\varepsilon}(\cdot, s))}\right\|_{L^{2}(\Omega)}{\rm d}s\\&~~~+ \frac{1}{|\Omega|} \int_{\tau}^{t} \int_{\Omega} {m_{\varepsilon}(\cdot, s) F_{\varepsilon}(n_{\varepsilon}(\cdot, s))}{\rm d}s\\&\leq \int_{\tau}^{t} (t-s)^{-\frac{3}{4}}\left\{ \left\| m_{0} \right\|_{L^{\infty}(\Omega)} \left\| n_{\varepsilon}(\cdot, s) \right\|_{L^{2}(\Omega)}+\left\|m_{0}\right\|_{L^{\infty}(\Omega)} \cdot \frac{1}{|\Omega|^\frac{1}{2}} \int_{\Omega}n_{0}\right\}{\rm d}s\\&~~~+ \frac{\left\|m_{0}\right\|_{L^{\infty}(\Omega)}(t-\tau)}{|\Omega|} \int_{\Omega}n_{0} \\&\leq C_{10}(\varepsilon,T_{\max,\varepsilon})\end{split}$

对任意的 $t \in (\tau, T_{\max, \varepsilon})$ 成立. 于是, 由 (4.19), (4.15), (2.12) 式和 Young 不等式可得对任意的 $t\in(\tau, T_{\max,\varepsilon})$, 有

$\begin{split}&\ \ \ \| n_{\varepsilon}(\cdot, t) \|_{L^{\infty}(\Omega)} \\&\leq C_{11} + C_{11} \sup_{t \in (\tau, T_{\max,\varepsilon})}\Big\{ \|n_\varepsilon(\cdot, t)\|^\frac{l-1}{l}_{L^\infty(\Omega)}\|n_\varepsilon(\cdot, t)\|^\frac{1}{l}_{L^1(\Omega)}\Big\}\\&\leq \frac{1}{2}\sup_{t \in (\tau, T_{\max,\varepsilon})} \|n_\varepsilon(\cdot, t)\|_{L^\infty(\Omega)} + C_{12},\end{split}$

其中 $C_{11}=C_{11}({\varepsilon,T_{\max,\varepsilon}})>0$ 且 $C_{12}=C_{12}({\varepsilon,T_{\max,\varepsilon}})>0$, 从而有

(4.21)$\sup_{t \in (\tau, T_{\max,\varepsilon})}\|n_\varepsilon(\cdot, t)\|_{L^\infty(\Omega)}<\infty$

对任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$ 成立.

与 (4.16) 式类似, 对任意的 $T \in (\tau, T_{\max, \varepsilon})$, 任意的 $t \in (\tau, T)$ 和任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$, 取 $q>3$ 以及 $\beta \in \left(\frac{q+3}{2q}, 1\right)$, 则由半群 $(e^{-tB})_{t \geq 0}$ 的正则性理论^[40]并结合 (2.13), (2.14), (2.4), (4.21) 和 (4.15)\ 式可得

$\begin{aligned}\left\|B^{\beta} m_{\varepsilon}(\cdot, t)\right\|_{L^{q}(\Omega)}= & \| B^{\beta} e^{-(t-\tau) B} m_{\varepsilon}(\cdot, \tau)+\int_{\tau}^{t} B^{\beta} e^{-(t-s) B}\left\{m_{\varepsilon}(\cdot, s)\left(1-F_{\varepsilon}\left(n_{\varepsilon}(\cdot, s)\right)\right)\right. \\& \left.-u_{\varepsilon}(\cdot, s) \cdot \nabla m_{\varepsilon}(\cdot, s)\right\} \mathrm{d} s \|_{L^{q}(\Omega)} \\\leq & C_{13}+C_{13} \int_{\tau}^{t}(t-s)^{-\beta}\left\{\left\|m_{\varepsilon}(\cdot, s)\right\|_{L^{q}(\Omega)}+\left\|m_{\varepsilon}(\cdot, s)\right\|_{L^{\infty}(\Omega)} \cdot\left\|n_{\varepsilon}(\cdot, s)\right\|_{L^{q}(\Omega)}\right. \\& \left.+\left\|u_{\varepsilon}(\cdot, s)\right\|_{L^{\infty}(\Omega)} \cdot\left\|\nabla m_{\varepsilon}(\cdot, s)\right\|_{L^{q}(\Omega)}\right\} \mathrm{d} s \\\leq & C_{14}+C_{14} \sup _{t \in(\tau, T)}\left\|\nabla m_{\varepsilon}(\cdot, t)\right\|_{L^{q}(\Omega)} \\\leq & C_{14}+C_{14} \sup _{t \in(\tau, T)}\left\|B^{\beta} m_{\varepsilon}(\cdot, t)\right\|_{L^{q}(\Omega)}^{\frac{1}{2 \beta}} \cdot\left\|m_{\varepsilon}(\cdot, t)\right\|_{L^{q}(\Omega)}^{\frac{2 \beta-1}{2 \beta}} \\\leq & C_{14}+C_{14} M^{\frac{2 \beta-1}{2 \beta}}|\Omega|^{\frac{2 \beta-1}{2 q \beta}} \sup _{t \in(\tau, T)}\left\|B^{\beta} m_{\varepsilon}(\cdot, t)\right\|_{L^{q}(\Omega)}^{\frac{1}{2 \beta}},\end{aligned}$

其中 $C_{13}=C_{13}({\varepsilon})>0$ 且 $C_{14}=C_{14}({\varepsilon,T_{\max,\varepsilon}})>0$. 于是由 Young 不等式可得

$ \sup_{T\in (\tau, T_{\max,\varepsilon})}\sup_{t \in (\tau, T)} \left\| B^{\beta} m_{\varepsilon}(\cdot, t) \right\|_{L^q(\Omega)} < \infty\ $

对任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$ 成立, 故结合嵌入 $ D(B_{q}^{{\beta}}) \hookrightarrow W^{1,\infty}(\Omega) $^[41], 有

(4.22)$\sup_{t \in (\tau, T_{\max,\varepsilon})}\left\| m_{\varepsilon}(\cdot, t) \right\|_{W^{1,\infty}(\Omega)} < \infty$

对任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$ 成立.

联合 (4.14), (4.18), (4.21) 和 (4.22) 式可知, 若 $T_{\max,\varepsilon}<\infty $, (2.11) 左边的和式有限, 这与 (2.11) 矛盾! 因此, 问题 (1.6) 的解 $(n_\varepsilon,c_\varepsilon,m_\varepsilon,u_\varepsilon)_{\varepsilon\in (0, 1)}$ 整体存在.

5 时间导数的正则性

为了后面使用 Aubin-Lions 引理对各个近似解分量 $n_\varepsilon, c_\varepsilon, m_\varepsilon\ \text{和}\ u_\varepsilon$ 关于 $\varepsilon\rightarrow 0$ 取极限, 还需要借助前面建立的先验估计给出各个近似解分量关于时间导数的正则性.

引理 5.1 设 (1.6) 式中 $\theta>0 $ 且 $(n_\varepsilon,c_\varepsilon,m_\varepsilon,u_\varepsilon)_{\varepsilon\in (0, 1)}$ 是引理 4.1 建立的整体解, 则对任意的 $ T > 0$ 存在 $ C(T) > 0$, 使得对任意的 $\varepsilon\in(0,1)$, 有

(5.1)$\int_{0}^{T} \left\| n_{\varepsilon t}(\cdot, t)\right\|_{(W^{4,2}(\Omega))^*} {\rm d}t \leq C(T + 1),$

(5.2)$\int_{0}^{T} \left\| c_{\varepsilon t}(\cdot, t)\right\|^{2}_{(W^{1,\frac{4}{3}}(\Omega))^*} \,{\rm d}t \leq C(T + 1),$

(5.3)$\int_{0}^{T} \left\| m_{\varepsilon t}(\cdot, t)\right\|^2_{(W^{1,4}(\Omega))^*} \,{\rm d}t \leq C(T + 1)$

和

(5.4)$\int_{0}^{T} \left\| u_{\varepsilon t}(\cdot, t)\right\|^2_{(W^{1,4}_{0,\sigma}(\Omega))^*} \,{\rm d}t \leq C(T + 1).$

证由于 $W^{4,2}(\Omega) \hookrightarrow W^{1,\infty}(\Omega)$, 则存在 $C_1 > 0$ 使得对任意的 $\psi \in C^4(\overline{\Omega})$, 有 $\|\psi\|_{W^{1,\infty}(\Omega)} \leq C_1 \|\psi\|_{W^{4,2}(\Omega)}$. 于是, 对任意固定的 $\psi$ 满足 $\|\psi\|_{W^{4, 2}(\Omega)} \leq 1$, 令其为试验函数检验问题 (2.1) 的第一个方程, 并结合 (2.4) 和 (1.6) 式可得

(5.5)$\begin{split}&~~~~\left| \int_{\Omega} n_{\varepsilon t}(\cdot, t) \psi \right|\\&= \left| - \int_{\Omega} \nabla n_{\varepsilon} \cdot \nabla \psi + \int_{\Omega} \frac{n_{\varepsilon}}{1 + \varepsilon n_{\varepsilon}} f\left(\left| \nabla c_{\varepsilon} \right|^2 \right) \nabla c_{\varepsilon} \cdot \nabla \psi + \int_{\Omega} n_{\varepsilon} u_{\varepsilon} \cdot \nabla \psi -\int_{\Omega} F_{\varepsilon}(n_{\varepsilon})m_{\varepsilon} \psi\right| \\& \leq C_1 \int_{\Omega} |\nabla n_{\varepsilon}| + C_1 K_f \int_{\Omega} n_{\varepsilon} \left(1 + |\nabla c_{\varepsilon}|^2\right)^{-\frac{\theta}{2}} |\nabla c_{\varepsilon}| + C_1 \int_{\Omega} n_{\varepsilon} |u_{\varepsilon}|+C_1 \int_{\Omega}n_{\varepsilon}m_{\varepsilon}\\& \leq C_1 \int_{\Omega} |\nabla n_{\varepsilon}| + C_1 K_f \int_{\Omega} n_{\varepsilon} |\nabla c_{\varepsilon}|^{(1-\theta)_{+}} + C_1 \int_{\Omega} n_{\varepsilon} |u_{\varepsilon}|+C_1 \int_{\Omega}n_{\varepsilon}m_{\varepsilon}\end{split}$

对任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$ 成立. 运用 Young 不等式可得对于 $\theta < 1$ 和 $\theta \geq 1$ 这两种情形以及对任意的 $\varepsilon\in(0,1)$, 有

(5.6)$\int_{\Omega} n_{\varepsilon}\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^{(1-\theta)_{+}} \leq \int_{\Omega} n_{\varepsilon}^l + \int_{\Omega} \left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^4,$

其中 $l := \max\left\{ \frac{4}{3+\theta}, 1 \right\}$, 并且对任意的 $\varepsilon\in(0,1)$, 还有

(5.7)$\int_{\Omega} n_{\varepsilon} |u_{\varepsilon}| \leq \| n_{\varepsilon} \|_{L^{\frac{6}{5}}(\Omega)}^2 + \| u_{\varepsilon} \|_{L^6(\Omega)}^2.$

由引理 2.1 容易得到

(5.8)$\int_{\Omega} n_{ \varepsilon} m_{ \varepsilon} \leq M\int_{\Omega} n_0$

对任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$ 成立. 因为嵌入 $W^{1,2}(\Omega) \hookrightarrow L^6(\Omega)$ 提供常数 $C_2 > 0$ 使得对任意的 $ t > 0 $ 和任意的 $ \varepsilon\in (0, 1)$ 有

(5.9)$\| u_{\varepsilon}(\cdot, t) \|_{L^6(\Omega)}\leq C_2 \|\nabla u_{\varepsilon}(\cdot, t)\|_{{L^2(\Omega)}},$

从而由 (5.5)-(5.8) 式可得

(5.10)$\begin{aligned}\left\|n_{\varepsilon t}(\cdot, t)\right\|_{\left(W^{4,2}(\Omega)\right)^{*}} \leq & C_{1} \int_{\Omega}\left|\nabla n_{\varepsilon}\right|+C_{1} K_{f} \int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{l}+C_{1} K_{f} \int_{\Omega}\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^{4} \\& +C_{1}\left\|n_{\varepsilon}\right\|_{L^{\frac{6}{5}(\Omega)}}^{2}+C_{1} C_{2} \int_{\Omega}\left|\nabla u_{\varepsilon}\right|^{2}+C_{1} M \int_{\Omega} n_{0}\end{aligned}$

对任意的 $ t > 0 $ 和任意的 $ \varepsilon\in (0, 1)$ 成立. 由于 $\theta > 0$, 故根据 (1.10) 式中 $l_\theta$ 的定义和 (3.27) 式中 $\iota_\theta$ 的定义不难发现 $l < l_{\theta}$ 且 $2 < \iota_{\theta}$. 于是, 由 (3.30), (3.29), (3.21), (3.31) 和 (3.18) 式知, (5.10) 式隐含了 (5.1) 式.

因为 $W^{1,\frac{4}{3}}(\Omega) \hookrightarrow L^1(\Omega) \cap W^{1,\frac{6}{5}}(\Omega)$, 故存在 $C_3 > 0$, 使得对任意的 $\psi \in C^\infty(\overline{\Omega})$ 且满足 $\|\psi\|_{W^{1,\frac{4}{3}}(\Omega)} \leq 1$, 有 $\|\psi\|_{L^1(\Omega)} + \|\nabla \psi\|_{L^{\frac{6}{5}}(\Omega)} \leq C_3$. 以 $\psi $ 作为试验函数检验问题 (2.1) 的第二个方程, 并结合 Hölder 不等式和 (5.9) 式可得

(5.11)$\begin{aligned}\left|\int_{\Omega} \partial_{t} c_{\varepsilon}(\cdot, t) \psi\right| & =\left|-\int_{\Omega} \nabla c_{\varepsilon} \cdot \nabla \psi-\int_{\Omega} c_{\varepsilon} \psi+\int_{\Omega} m_{\varepsilon} \psi+\int_{\Omega} c_{\varepsilon} u_{\varepsilon} \cdot \nabla \psi\right| \\& \leq\left\|\nabla c_{\varepsilon}\right\|_{L^{4}(\Omega)}+C_{3}\left\|c_{\varepsilon}\right\|_{L^{\infty}(\Omega)}+C_{3}\left\|m_{\varepsilon}\right\|_{L^{\infty}(\Omega)}+C_{3}\left\|c_{\varepsilon}\right\|_{L^{\infty}(\Omega)}\left\|u_{\varepsilon}\right\|_{L^{6}(\Omega)} \\& \leq\left\|\nabla c_{\varepsilon}\right\|_{L^{4}(\Omega)}+C_{3}\left\|c_{\varepsilon}\right\|_{L^{\infty}(\Omega)}+C_{3}\left\|m_{\varepsilon}\right\|_{L^{\infty}(\Omega)}+C_{3} C_{2}\left\|c_{\varepsilon}\right\|_{L^{\infty}(\Omega)}\left\|\nabla u_{\varepsilon}\right\|_{L^{2}(\Omega)}\end{aligned}$

对任意的 $t > 0 $ 和任意的 $\varepsilon\in(0, 1)$ 成立. 于是利用 Young 不等式、 (2.13) 和 (2.14) 式, 可得对任意的 $ t > 0 $ 以及任意的 $ \varepsilon \in (0, 1) $, (5.11) 式进一步隐含了

$\begin{aligned}\left\|\partial_{t} c_{\varepsilon}(\cdot, t)\right\|_{\left(W^{\left.1, \frac{4}{3}(\Omega)\right)^{*}}\right.}^{2} & \leq 4\left\{\left(\int_{\Omega}\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^{4}\right)^{\frac{1}{2}}+2 C_{3}^{2} M^{2}+C_{3}^{2} C_{2}^{2} M^{2} \int_{\Omega}\left|\nabla u_{\varepsilon}\right|^{2}\right\} \\& \leq 4\left\{\int_{\Omega}\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^{4}+1+2 C_{3}^{2} M^{2}+C_{3}^{2} C_{2}^{2} M^{2} \int_{\Omega}\left|\nabla u_{\varepsilon}\right|^{2}\right\},\end{aligned}$

将其联合引理 3.8 以及 (3.21) 式便得 (5.2) 式.

由嵌入 $W^{1,4}(\Omega) \hookrightarrow W^{1,2}(\Omega) \cap L^\infty(\Omega) \cap W^{1,\frac{6}{5}}(\Omega)$ 可推断存在 $C_4 > 0$ 使得对任意固定的 $\psi \in C^\infty(\overline{\Omega})$ 且满足 $\|\psi\|_{W^{1,4}(\Omega)} \leq 1$, 有 $\|\nabla \psi\|_{L^2(\Omega)} + \|\psi\|_{L^\infty(\Omega)} + \|\nabla \psi\|_{L^{\frac{6}{5}}(\Omega)} \leq C_4$. 于是, 在问题 (2.1) 的第三个方程两侧同乘 $\psi$, 经分部积分并结合Hölder 不等式、 (2.4) 和 (5.9) 式, 可得

(5.12)$\begin{aligned}\left|\int_{\Omega} \partial_{t} m_{\varepsilon}(\cdot, t) \psi\right| & =\left|-\int_{\Omega} \nabla m_{\varepsilon} \cdot \nabla \psi-\int_{\Omega} m_{\varepsilon} F_{\varepsilon}\left(n_{\varepsilon}\right) \psi+\int_{\Omega} m_{\varepsilon} u_{\varepsilon} \cdot \nabla \psi\right| \\& \leq C_{4}\left\{\left\|\nabla m_{\varepsilon}\right\|_{L^{2}(\Omega)}+\left\|m_{\varepsilon}\right\|_{L^{\infty}(\Omega)}\left\|F_{\varepsilon}\left(n_{\varepsilon}\right)\right\|_{L^{1}(\Omega)}+\left\|m_{\varepsilon}\right\|_{L^{\infty}(\Omega)}\left\|u_{\varepsilon}\right\|_{L^{6}(\Omega)}\right\} \\& \leq C_{4}\left\{\left\|\nabla m_{\varepsilon}\right\|_{L^{2}(\Omega)}+\left\|m_{\varepsilon}\right\|_{L^{\infty}(\Omega)}\left\|n_{\varepsilon}\right\|_{L^{1}(\Omega)}+C_{2}\left\|m_{\varepsilon}\right\|_{L^{\infty}(\Omega)}\left\|\nabla u_{\varepsilon}\right\|_{L^{2}(\Omega)}\right\}\end{aligned}$

对任意的 $t > 0 $ 和任意的 $\varepsilon\in(0, 1)$ 成立. 进而由引理 2.2 可得, 对任意的 $t > 0$ 以及任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$, 有

$\begin{aligned}\left\|\partial_{t} m_{\varepsilon}(\cdot, t)\right\|_{\left(W^{1,4}(\Omega)\right)^{*}}^{2} & \leq 3 C_{4}^{2}\left\{\int_{\Omega}\left|\nabla m_{\varepsilon}\right|^{2}+M^{2}\left(\int_{\Omega} n_{0}\right)^{2}+C_{2}^{2} M^{2} \int_{\Omega}\left|\nabla u_{\varepsilon}\right|^{2}\right\} \\& \leq 3 C_{4}^{2}\left\{(M+1) \int_{\Omega} \frac{\left|\nabla m_{\varepsilon}\right|^{2}}{m_{\varepsilon}+1}+M^{2}\left(\int_{\Omega} n_{0}\right)^{2}+C_{2}^{2} M^{2} \int_{\Omega}\left|\nabla u_{\varepsilon}\right|^{2}\right\}.\end{aligned}$

于是, 结合引理 3.8 便可推断 (5.3) 式成立.

考虑到 $W^{1,4}(\Omega; \mathbb{R}^3) \hookrightarrow W^{1,2}(\Omega; \mathbb{R}^3) \cap L^{\infty}(\Omega; \mathbb{R}^3) \cap L^1(\Omega; \mathbb{R}^3)$, 可得常数 $C_5 > 0$, 使得对任意固定的 $\psi \in C^{\infty}_{0,\sigma}(\overline{\Omega})$ 且满足 $\|\psi\|_{W^{1,4}_{0,\sigma}(\Omega)} \leq 1$, 有$\|\nabla \psi\|_{L^2(\Omega; \mathbb{R}^3)} + \|\psi\|_{L^{\infty}(\Omega; \mathbb{R}^3)} + \|\psi\|_{L^1(\Omega; \mathbb{R}^3)} \leq C_5$ 成立. 于是, 以 $\psi$ 为试验函数检验问题 (2.1) 的第四个方程并使用Hölder 不等式, 有

(5.13)$\begin{aligned}\left|\int_{\Omega} \partial_{t} u_{\varepsilon}(\cdot, t) \psi\right|= & \left|-\int_{\Omega} \nabla u_{\varepsilon} \cdot \nabla \psi+\int_{\Omega}\left(Y_{\varepsilon} u_{\varepsilon} \otimes u_{\varepsilon}\right) \cdot \nabla \psi+\int_{\Omega} n_{\varepsilon} \nabla \Phi \cdot \psi+\int_{\Omega} m_{\varepsilon} \nabla \Phi \cdot \psi\right| \\\leq & C_{5}\left\|\nabla u_{\varepsilon}\right\|_{L^{2}(\Omega)}+\left\|Y_{\varepsilon} u_{\varepsilon} \otimes u_{\varepsilon}\right\|_{L^{\frac{4}{3}}(\Omega)}+C_{5}\left\|n_{\varepsilon}\right\|_{L^{1}(\Omega)}\|\nabla \Phi\|_{L^{\infty}(\Omega)} \\& +C_{5}\left\|m_{\varepsilon}\right\|_{L^{\infty}(\Omega)}\|\nabla \Phi\|_{L^{\infty}(\Omega)}\end{aligned}$

对任意的 $t > 0 $ 和任意的 $\varepsilon\in(0, 1)$ 成立. 由于 $W^{1,2}(\Omega) \hookrightarrow L^6(\Omega)$ 提供常数 $C_6 > 0$ 使得 $\| Y_{\varepsilon} u_{\varepsilon} \|_{L^6(\Omega)} \leq C_6 \| \nabla Y_{\varepsilon} u_{\varepsilon} \|_{L^2(\Omega)}$ 对任意的 $t > 0 $ 以及任意的 $\varepsilon\in(0, 1)$ 成立, 且由于对任意的 $\omega \in D(A^{\frac{1}{2}})$ 和任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$, $Y_{\varepsilon} $ 和 $A^{\frac{1}{2}}$ 是可交换的, 即 $Y_{\varepsilon}A^{\frac{1}{2}} \omega = A^{\frac{1}{2}} Y_{\varepsilon} \omega$, 故连续使用Hölder 不等式可得

$\begin{split}\| Y_{\varepsilon} u_{\varepsilon} \otimes u_{\varepsilon} \|_{L^{\frac{4}{3}}(\Omega)}&\leq \| Y_{\varepsilon} u_{\varepsilon} \|_{L^6(\Omega)} \| u_{\varepsilon} \|_{L^{\frac{12}{7}}(\Omega)}\\&\leq C_6 \| \nabla Y_{\varepsilon} u_{\varepsilon} \|_{L^2(\Omega)} \| u_{\varepsilon} \|_{L^2(\Omega)} \left| \Omega \right|^{\frac{1}{7}} \\&= C_6 \|A^{\frac{1}{2}} Y_{\varepsilon} u_{\varepsilon} \|_{L^2(\Omega)} \| u_{\varepsilon} \|_{L^2(\Omega)} \left| \Omega \right|^{\frac{1}{7}}\\&=C_6\|Y_{\varepsilon} A^{\frac{1}{2}} u_{\varepsilon} \|_{L^2(\Omega)} \| u_{\varepsilon} \|_{L^2(\Omega)} \left| \Omega \right|^{\frac{1}{7}}\\&\leq C_6\| A^{\frac{1}{2}} u_{\varepsilon} \|_{L^2(\Omega)} \| u_{\varepsilon} \|_{L^2(\Omega)} \left| \Omega \right|^{\frac{1}{7}}\\&= C_6\| \nabla u_{\varepsilon} \|_{L^2(\Omega)} \| u_{\varepsilon} \|_{L^2(\Omega)} \left| \Omega \right|^{\frac{1}{7}},\\\end{split}$

对任意的 $t > 0 $ 和任意的 $\varepsilon\in(0, 1)$ 成立. 于是, 结合引理 2.2, 对任意的 $t > 0$ 和任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$, (5.13) 式隐含了

$\begin{aligned}& \left\|\partial_{t} u_{\varepsilon}(\cdot, t)\right\|_{\left(W_{0, \sigma}^{1,4}(\Omega)\right)^{*}}^{2} \\\leq & 4\left\{C_{5}^{2} \int_{\Omega}\left|\nabla u_{\varepsilon}\right|^{2}+C_{6}^{2}(|\Omega|)^{\frac{2}{7}}\left\|u_{\varepsilon}\right\|_{L^{2}(\Omega)}^{2} \int_{\Omega}\left|\nabla u_{\varepsilon}\right|^{2}+C_{5}^{2}\|\nabla \Phi\|_{L^{\infty}(\Omega)}^{2}\left(\int_{\Omega} n_{0}\right)^{2}\right. \\& \left.+4 C_{5}^{2} M^{2}\|\nabla \Phi\|_{L^{\infty}(\Omega)}^{2}\right\}.\end{aligned}$

故由 (1.8) 式和引理 3.8 可知 (5.4) 式成立.

6 问题 (1.6) 弱解的整体存在性

首先, 给出问题 (1.6) 整体弱解的定义.

定义 6.1 假设 (1.5), (1.7) 和 (1.8) 式成立. 则如果四元函数组 $(n, c, m, u)$ 满足

(6.1)$\left\{\begin{array}{l}n \in L_{\mathrm{loc}}^{1}\left([0, \infty) ; W^{1,1}(\Omega)\right), \\c \in L_{\mathrm{loc}}^{\infty}(\bar{\Omega} \times[0, \infty)) \cap L_{\mathrm{loc}}^{1}\left([0, \infty) ; W^{1,1}(\Omega)\right), \\m \in L_{\mathrm{loc}}^{\infty}(\bar{\Omega} \times[0, \infty)) \cap L_{\mathrm{loc}}^{1}\left([0, \infty) ; W^{1,1}(\Omega)\right) \text { 和 } \\u \in L_{\mathrm{loc}}^{1}\left([0, \infty) ; W^{1,1}\left(\Omega ; \mathbb{R}^{3}\right)\right),\end{array}\right.$

且在 $ \Omega \times (0, \infty) $ 上几乎处处满足 $ n\geq 0, c \geq 0, m \geq0 \text{以及}\ \nabla \cdot u = 0 $, 并满足

(6.2)$\begin{array}{l}n f\left(|\nabla c|^{2}\right) \nabla c, n u, c u, m u \in L_{\mathrm{loc}}^{1}\left(\bar{\Omega} \times[0, \infty) ; \mathbb{R}^{3}\right), \\u \otimes u \in L_{\mathrm{loc}}^{1}\left(\bar{\Omega} \times[0, \infty) ; \mathbb{R}^{3 \times 3}\right) \text { 和 } m n \in L_{\mathrm{loc}}^{1}(\bar{\Omega} \times[0, \infty)),\end{array}$

若对任意的 $\varphi \in C^\infty_0(\overline{\Omega} \times [0, \infty)) $, 有

(6.3)$\begin{aligned}-\int_{0}^{\infty} \int_{\Omega} n \varphi_{t}= & -\int_{0}^{\infty} \int_{\Omega} \nabla n \cdot \nabla \varphi+\int_{0}^{\infty} \int_{\Omega} n f\left(|\nabla c|^{2}\right) \nabla c \cdot \nabla \varphi \\& +\int_{0}^{\infty} \int_{\Omega} n u \cdot \nabla \varphi-\int_{0}^{\infty} \int_{\Omega} m n \varphi\end{aligned}$

(6.4)$\begin{aligned}-\int_{0}^{\infty} \int_{\Omega} c \varphi_{t} = &-\int_{0}^{\infty} \int_{\Omega} \nabla c \cdot \nabla \varphi - \int_{0}^{\infty} \int_{\Omega} c \varphi + \int_{0}^{\infty} \int_{\Omega} m \varphi \\& +\int_{0}^{\infty} \int_{\Omega} c u \cdot \nabla \varphi\end{aligned}$

以及

(6.5)$\int_{0}^{\infty} \int_{\Omega} m \varphi_t = - \int_{0}^{\infty} \int_{\Omega} \nabla m \cdot \nabla \varphi - \int_{0}^{\infty} \int_{\Omega} m n \varphi + \int_{0}^{\infty} \int_{\Omega} m u \cdot \nabla \varphi,$

且对任意的 $\varphi \in C^\infty_0(\overline{\Omega} \times [0, \infty); \mathbb{R}^3)$ 满足 $\nabla \cdot \varphi \equiv 0$, 有

(6.6)$\int_{0}^{\infty} \int_{\Omega} u \cdot \varphi_t = - \int_{0}^{\infty} \int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla \varphi + \int_{0}^{\infty} \int_{\Omega} (u \otimes u) \cdot \nabla \varphi + \int_{0}^{\infty} \int_{\Omega} (n + m) \nabla \Phi \cdot \varphi,$

则称四元函数组 $(n, c, m, u)$ 为问题 (1.6) 的整体弱解.

接下来, 利用前面对 $(n_{\varepsilon}, c_{\varepsilon}, m_{\varepsilon}, u_{\varepsilon})_{\varepsilon \in (0,1)}$ 及其时间导数所建立的先验估计证明当 $\varepsilon \rightarrow0 $ 时, 由极限函数构成的四元函数组是问题 (1.6) 的整体弱解.

引理 6.1 设 (1.5) 式对 $\theta > 0$ 成立, 且 $ l_\theta $ 和 $ r_\theta $ 如 (1.10) 式所定义, 则存在序列 $(\varepsilon_j)_{j\in N}\subset (0, 1) $ 满足当 $j\rightarrow\infty$ 时 $\varepsilon_j \searrow 0$, 且存在满足 (6.1) 式的函数 $n $, $c $, $m $ 和 $ u $, 使得在 $ \Omega\times (0,\infty) $ 上几乎处处有 $n \geq 0 $, $c \geq 0 $ 和 $ m \geq 0 $, 且当 $\varepsilon=\varepsilon_j \searrow 0$ 时, 还有

(6.7)$n_{\varepsilon} \rightharpoonup n \quad \text{在 } L^{l}_{\rm loc}(\overline{\Omega} \times [0, \infty))\text{ 对于 }l\in (1,l_\theta),$

(6.8)$n_{\varepsilon} \rightarrow n \quad \text{a.e. 于 } \Omega \times (0, \infty) \text{ 以及在 } L^r_{\rm loc}(\overline{\Omega} \times [0, \infty))\text{ 对于 }r\in (1,r_\theta),$

(6.9)$\nabla n_{\varepsilon} \rightharpoonup \nabla n \quad \text{在 } L^{r}_{\rm loc}(\overline{\Omega} \times [0, \infty))\text{ 对于 }r\in (1,r_\theta),$

(6.10)$c_{\varepsilon} \rightarrow c \quad \text{a.e. 于 } \Omega \times (0, \infty) \text{ 以及在 }L^{q}_{\rm loc}(\overline{\Omega} \times [0, \infty))\text{ 对任意的 }q>1,$

(6.11)$c_{\varepsilon}\overset{*}{\rightharpoonup} c \quad \text{在 } L^{\infty}(\Omega \times (0, \infty)),$

(6.12)$\nabla c_{\varepsilon}(\cdot, t) \rightarrow \nabla c(\cdot, t) \quad \text{ 对 a.e. } t > 0\text{\ 以及在 } L^{\frac{20}{11}}_{\rm loc}(\overline{\Omega}\times [0, \infty)),$

(6.13)$m_{\varepsilon} \rightarrow m \quad \text{a.e. 于 } \Omega \times (0, \infty) \text{ 以及在 }L^{q}_{\rm loc}(\overline{\Omega} \times [0, \infty))\text{ 对任意的 }q>1,$

(6.14)$m_{\varepsilon} \overset{*}{\rightharpoonup} m \quad \text{在 } L^{\infty}(\Omega \times (0, \infty)),$

(6.15)$\nabla m_{\varepsilon} \rightharpoonup \nabla m \quad \text{在 } L^2_{\rm loc}(\overline{\Omega} \times [0, \infty)),$

(6.16)$u_{\varepsilon} \rightarrow u \quad \text{a.e. 于 } \Omega \times (0, \infty) \text{ 以及在 } L^2_{\rm loc}(\overline{\Omega} \times [0, \infty)),$

(6.17)$u_{\varepsilon}(\cdot, t) \rightarrow u(\cdot, t) \quad \text{ 在} L^2(\Omega)\text{ 对 a.e. } t > 0, \text{且}$

(6.18)$\nabla u_{\varepsilon} \rightharpoonup \nabla u \quad \text{在 } L^2_{\rm loc}(\overline{\Omega} \times [0, \infty)). $

此外, $(n, c, m, u)$ 是问题 (1.6) 的满足定义 6.1 的整体弱解.

证对任意固定的 $ l \in (1, l_\theta)$ 和 $ r \in (1, r_\theta) $ 以及任意的 $T > 0$ 和任意的 $\varepsilon\in(0, 1)$, 引理 3.9 隐含了

(6.19)$(n_\varepsilon)_{\varepsilon \in (0,1)}\text{ 在 }L^l(\Omega \times (0, T)) \text{ 和 }L^r((0, T); W^{1, r}(\Omega)) \text{ 中是有界的.}$

另由引理 5.1 知对任意的 $T > 0$ 和任意的 $\varepsilon\in(0, 1)$

(6.20)$(n_{\varepsilon t})_{\varepsilon \in (0,1)}\text{ 在 } L^1((0, T);(W^{4,2}(\Omega))^*) \text{ 中是有界的}.$

令 $ w_\varepsilon(x, t) := -u_\varepsilon \cdot \nabla c_\varepsilon - c_\varepsilon + m_\varepsilon$, 则问题 (2.1) 的第二个方程可改写为 $ tial_t c_\varepsilon - \Delta c_\varepsilon = w_\varepsilon $. 对任意的 $ T > 0 $ 由Hölder 不等式, 可得

$ \int_0^T \int_\Omega |u_\varepsilon \cdot \nabla c_\varepsilon|^{\frac{20}{11}} \leq \left( \int_0^T \int_\Omega |u_\varepsilon|^{\frac{10}{3}} \right)^{\frac{6}{11}} \left( \int_0^T \int_\Omega |\nabla c_\varepsilon|^4 \right)^{\frac{5}{11}}, $

将其与 (3.32) 和 (4.2) 式结合, 可推断 $ w_\varepsilon \in L^{\frac{20}{11}}(\overline{\Omega} \times (0, T)) $. 于是根据热方程的极大 Sobolev 正则性结果^[45,46]可得, 对任意的 $ T > 0 $, $ \tau \in (0, T) $ 以及任意的 $ \varepsilon \in (0, 1)$, 有 $ c_\varepsilon \in L^{\frac{20}{11}}((\tau, T); W^{2, \frac{20}{11}}(\Omega)) $. 此外, 由 (2.14), (3.17) 和 (5.2) 式可推断对任意的 $ T > 0 $ 和任意的 $\varepsilon\in(0, 1)$, 有

(6.21)$\begin{aligned}&(c_\varepsilon)_{\varepsilon \in (0,1)}\text{ 在 } L^\infty(\Omega \times (0, T)) \cap L^2((0, T; W^{1, 2}(\Omega)) \text{ 中是有界的, 且}\\&(c_{\varepsilon t})_{\varepsilon \in (0,1)}\text{ 在 } L^2((0, T); (W^{1, \frac{4}{3}}(\Omega))^*) \text{ 中是有界的.}\end{aligned}$

另由 (2.13), (2.14), (3.18) 和 (5.3) 式可得对任意的 $ T > 0 $ 和任意的 $\varepsilon\in(0, 1)$, 有

(6.22)$\begin{aligned}&(m_\varepsilon)_{\varepsilon \in (0,1)}\text{ 在 } L^\infty(\Omega \times (0, T)) \cap L^2((0, T); W^{1, 2}(\Omega)) \text{ 中是有界的, 且}\\&(m_{\varepsilon t})_{\varepsilon \in (0,1)}\text{ 在 } L^2((0, T); (W^{1, 4}(\Omega))^*) \text{ 中是有界的.}\end{aligned}$

对于 $(u_{\varepsilon})_{\varepsilon\in(0, 1)}$, (3.17)、 (3.18) 和 (5.4) 式隐含了对任意的 $ T > 0$ 和任意的 $\varepsilon\in(0, 1)$, 有

(6.23)$\begin{aligned}&(u_{\varepsilon })_{\varepsilon \in (0, 1)}\text{ 在 } L^{\infty}((0, T); L^{2}(\Omega)) \cap L^{2}((0, T); W^{1, 2}(\Omega)) \text{ 中是有界的, 且}\\&(u_{\varepsilon t})_{\varepsilon \in (0, 1)}\text{ 在 } L^2((0, T); (W^{1, 4}(\Omega))^*) \text{ 中是有界的.}\end{aligned}$

于是, 由有界性 (6.19), (6.21), (6.22) 和 (6.23) 可直接推断收敛性 (6.7), (6.9), (6.11), (6.14), (6.15), (6.17) 和 (6.18) 成立. 由于 $ W^{1,r}(\Omega) \hookrightarrow L^r(\Omega) \hookrightarrow (W^{4,2}(\Omega))^*$ 且第一个嵌入是紧的, 故结合有界性 (6.19) 和 (6.20) 对 $(n_\varepsilon)_{\varepsilon \in (0,1)}$ 使用 Aubin-Lions 引理可得序列 $ (\varepsilon_j)_{{j\in\mathbb{N}}} $ 满足当 $j\rightarrow\infty$ 时 $\varepsilon_j \searrow 0$, 使得当 $\varepsilon=\varepsilon_j \searrow 0$ 时, $n_{\varepsilon} \rightarrow n$ 在 $L^{r}_{\rm loc}(\overline{\Omega} \times [0, \infty))$ 对于 $r\in (1,r_\theta)$ 成立. 不仅如此, 该收敛性还隐含了

(6.24)$n_{\varepsilon} \rightarrow n \quad \text{a.e. 于 } \Omega \times (0, \infty).$

由于对任意的 $\tau\in(0,T)$ 和 $\varepsilon \in (0,1),$$ c_\varepsilon \in L^{\frac{20}{11}}((\tau, T); W^{2, \frac{20}{11}}(\Omega)) $ 且嵌入 $ W^{{2}, {\frac{20}{11}}}(\Omega) \hookrightarrow W^{{1}, {\frac{20}{11}}}(\Omega) \hookrightarrow (W^{1, \frac{4}{3}}(\Omega))^*)$ 中第一个是紧的, 故结合 (6.21) 式并对 $(c_\varepsilon)_{\varepsilon \in (0,1)}$ 使用 Aubin-Lions 引理可得子序列 $ (\varepsilon_j)_{{j\in\mathbb{N}}} $ (为表达方便, 这里仍用 $ (\varepsilon_j)_{{j\in\mathbb{N}}} $ 表示其子序列, 下同), 使得当 $\varepsilon=\varepsilon_j \searrow 0$ 时, 有 $c_{\varepsilon} \rightarrow c$ 在 $L^{\frac{20}{11}}((\tau, T); W^{1, \frac{20}{11}}(\Omega)).$ 该收敛性不仅保证了 (6.12) 式成立, 还隐含了

(6.25)$c_{\varepsilon} \rightarrow c \quad \text{a.e. 于 } \Omega \times (0, \infty).$

类似地, 考虑到 $ W^{1,2}(\Omega) \hookrightarrow L^2(\Omega) \hookrightarrow (W^{1, 4}(\Omega))^*) $ 且第一个嵌入是紧的, 结合有界性 (6.22) 和 (6.23) 分别对 $(m_\varepsilon)_{\varepsilon \in (0,1)}$ 和 $(u_\varepsilon)_{\varepsilon \in (0,1)}$ 使用 Aubin-Lions 引理可得子序列 $ (\varepsilon_j)_{{j\in\mathbb{N}}}, $ 满足当 $\varepsilon=\varepsilon_j \searrow 0$ 时,

(6.26)$m_{\varepsilon} \rightarrow m \quad \text{ 在 } L^2_{\rm loc}(\overline{\Omega} \times [0, \infty))$

以及

(6.27)$u_{\varepsilon} \rightarrow u \quad \text{ 在 } L^2_{\rm loc}(\overline{\Omega} \times [0, \infty))$

成立, 其中 (6.26) 式隐含了

(6.28)$m_{\varepsilon} \rightarrow m \quad \text{a.e. 于 } \Omega \times (0, \infty),$

(6.27) 式隐含了

(6.29)$u_{\varepsilon} \rightarrow u \quad \text{a.e. 于 } \Omega \times (0, \infty).$

将 (6.27) 和 (6.29) 式联合便得到 (6.16) 式. 至于收敛 (6.8), (6.10) 和 (6.13), 可应用 Vitali 收敛定理并结合 (6.24), (6.25) 和 (6.28) 式以及有界性 (6.19), (2.13) 和 (2.14) 得到.

若取 $ l = \frac{4}{3} < l_\theta $, 则对任意的 $ T > 0 $ 和任意的 $ \varepsilon \in (0, 1) $, 利用 (2.3)-(2.5) 式可得

(6.30)$\begin{aligned}\left\|F_{\varepsilon}\left(n_{\varepsilon}\right)-n\right\|_{L^{\frac{4}{3}}(\Omega \times(0, T))} & \leq\left\|F_{\varepsilon}\left(n_{\varepsilon}\right)-F_{\varepsilon}(n)\right\|_{L^{\frac{4}{3}}(\Omega \times(0, T))}+\left\|F_{\varepsilon}(n)-n\right\|_{L^{\frac{4}{3}}(\Omega \times(0, T))} \\& \leq\left\|F_{\varepsilon}^{\prime}\right\|_{L^{\infty}(0, \infty)}\left\|n_{\varepsilon}-n\right\|_{L^{\frac{4}{3}}(\Omega \times(0, T))}+\left\|F_{\varepsilon}(n)-n\right\|_{L^{\frac{4}{3}}(\Omega \times(0, T))} \\& \leq\left\|n_{\varepsilon}-n\right\|_{L^{\frac{4}{3}}(\Omega \times(0, T))}+\left\|F_{\varepsilon}(n)-n\right\|_{L^{\frac{4}{3}}(\Omega \times(0, T))}.\end{aligned}$

一方面, 由 (2.5) 式容易得到对任意的 $T > 0$ 以及任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$, 有

$ allel F_{\varepsilon}(n(\cdot, t)) - n(\cdot, t) allel_{L^{\frac{4}{3}}(\Omega \times (0,T))} \leq 2 allel n(\cdot, t) allel_{L^{\frac{4}{3}}(\Omega \times (0,T))}. $

于是, 考虑到对任意的 $T > 0$, $n$ 在 ${L^{\frac{4}{3}}(\Omega \times (0,T))}$ 的有界性, 应用勒贝格控制收敛定理, 可得当 $\varepsilon=\varepsilon_j \searrow 0 $ 时,

(6.31)$\|F_\varepsilon(n) - n\|_{L^\frac{4}{3}(\Omega \times (0,T))} \rightarrow 0.$

另一方面, (6.8) 式隐含了对任意的 $T > 0$, 当 $\varepsilon=\varepsilon_j \searrow 0 $ 时, 有

(6.32)$allel n_\varepsilon - n allel_{L^\frac{4}{3}(\Omega \times (0,T))} \rightarrow 0. $

将 (6.31) 和 (6.32) 式带入 (6.30) 式可得, 对任意的 $T > 0$, 当 $\varepsilon=\varepsilon_j \searrow 0 $ 时

(6.33)$F_{\varepsilon}(n_{\varepsilon}) \rightarrow n \ \ \ \text{ 于 } L^\frac{4}{3}(\Omega \times (0, T)). $

因此, 当 $q = 4$ 时, 结合 (6.33) 和 (6.13) 式可推断对任意的 $T > 0$, 当 $\varepsilon=\varepsilon_j \searrow 0 $ 时, 有

(6.34)$F_\varepsilon(n_\varepsilon)m_\varepsilon \rightarrow nm \ \ \ \text{ 于 } L^1(\Omega \times (0, T)).$

类似地, 若取 (6.10) 和 (6.13) 式中的 $q = 2$, 则结合 (6.16) 式可得对任意的 $T > 0$, 当 $\varepsilon=\varepsilon_j \searrow 0 $ 时, 有

(6.35)$c_{\varepsilon} u_{\varepsilon} \rightarrow cu \ \ \ \text{ 于 } L^1(\Omega \times (0, T))$

和

(6.36)$m_{\varepsilon} u_{\varepsilon} \rightarrow mu\ \ \ \text{ 于 } L^1(\Omega \times (0, T)).$

因为引理 3.10 保证了对某一 $\kappa > 1$ 和任意的 $T > 0$ 乘积 $n_{\varepsilon} u_{\varepsilon}$ 在空间 $L^\kappa(\Omega \times(0, T))$ 对任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$ 是有界的, 又因为 (6.8) 和 (6.16) 式隐含了当 $\varepsilon=\varepsilon_j \searrow 0 $ 时, $n_{\varepsilon} u_{\varepsilon}$ 在 $\Omega \times (0, T)$ 上几乎处处收敛于 $nu$. 于是, 应用勒贝格控制收敛定理, 有

(6.37)$n_{\varepsilon }u_{\varepsilon}\rightarrow nu\ \ \ \text{ 于 } L^\kappa(\Omega \times(0, T)). $

令

$\vartheta_\theta := \frac{4l_\theta}{4 + (1 - \theta)_{+} l_\theta},$

则容易由 $l_\theta>\frac{4}{3}$ 得到$\vartheta_{\theta} > 1$. 于是, 任取 $\vartheta\in (1, \vartheta_{\theta})$, 并利用 (1.5) 式和 Young 不等式可得

(6.38)$\begin{aligned}\int_{0}^{T} \int_{\Omega}\left|\frac{n_{\varepsilon}}{1+\varepsilon n_{\varepsilon}} f\left(\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^{2}\right) \nabla c_{\varepsilon}\right|^{\vartheta} & \leq K_{f}^{\vartheta} \int_{0}^{T} \int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{\vartheta}\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^{\vartheta(1-\theta)_{+}} \\& \leq K_{f}^{\vartheta} \int_{0}^{T} \int_{\Omega} n_{\varepsilon}^{\frac{4 \vartheta}{4-\vartheta(1-\theta)+}}+K_{f}^{\vartheta} \int_{0}^{T} \int_{\Omega}\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^{4}\end{aligned}$

对任意的 $T > 0$ 和任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$ 成立,其中, 由于 $\vartheta < \vartheta_{\theta}$, 我们有

$\frac{4\vartheta}{4 - \vartheta(1 - \theta)_{+}} = \frac{4}{\frac{4}{\vartheta}-(1 - \theta)_{+}}< \frac{4}{\frac{4}{\vartheta_{\theta}}-(1 - \theta)_{+}}= \frac{4}{\frac{4+(1-\theta)_{+} l_{\theta}}{l_{\theta}}-(1 - \theta)_{+}}= l_{\theta}.$

因此, 结合 (3.29) 和 (4.2) 式, (6.38) 式隐含了对任意的 $T > 0$, 存在 $C_1=C_1(T)>0 $, 使得对任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$, 有

$\int_{0}^{T} \int_{\Omega} \left| \frac{n_{\varepsilon}}{1 + \varepsilon n_{\varepsilon}} f(\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^2) \nabla c_{\varepsilon} \right|^\vartheta \leq C_1.$

故考虑到 (6.8) 和 (6.12) 式中得到的逐点收敛性, 由 Vitali 收敛定理可推断: 对任意的 $T > 0$, 当 $\varepsilon=\varepsilon_j \searrow 0$ 时, 有

(6.39)$\frac{n_{\varepsilon}}{1+\varepsilon n_{\varepsilon}} f\left(\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^{2}\right) \nabla c_{\varepsilon} \rightarrow n f\left(|\nabla c|^{2}\right) \nabla c \quad \text { 于 } L^{1}(\Omega \times(0, T)) \text {. } $

接下来, 对任意固定的 $\varphi \in C^{\infty}_0(\overline{\Omega} \times [0, \infty))$, 我们选其作为试验函数检验问题 (11) 的第一个方程, 可得对任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$, 有

$\begin{aligned}-\int_{0}^{\infty} \int_{\Omega} n_{\varepsilon} \varphi_{t}-\int_{\Omega} n_{0} \varphi(\cdot, 0)= & -\int_{0}^{\infty} \int_{\Omega} \nabla n_{\varepsilon} \cdot \nabla \varphi+\int_{0}^{\infty} \int_{\Omega} \frac{n_{\varepsilon}}{1+\varepsilon n_{\varepsilon}} f\left(\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^{2}\right) \nabla c_{\varepsilon} \cdot \nabla \varphi \\& +\int_{0}^{\infty} \int_{\Omega} n_{\varepsilon} u_{\varepsilon} \cdot \nabla \varphi-\int_{0}^{\infty} \int_{\Omega} m_{\varepsilon} F_{\varepsilon}\left(n_{\varepsilon}\right) \varphi\end{aligned}$

其中, 当 $\varepsilon=\varepsilon_j \searrow 0$ 时由 (6.8), (6.9), (6.34), (6.37), (6.39) 式以及 $f$ 在 $[0, \infty)$ 上的连续性, 容易得到

$-\int_{0}^{\infty} \int_{\Omega} n_{\varepsilon} \varphi_{t} \rightarrow -\int_{0}^{\infty} \int_{\Omega} n \varphi_{t},$

$-\int_{0}^{\infty} \int_{\Omega} \nabla n_{\varepsilon} \cdot \nabla \varphi \rightarrow -\int_{0}^{\infty} \int_{\Omega} \nabla n \cdot \nabla \varphi,$

$-\int_{0}^{\infty} \int_{\Omega} m_{\varepsilon} F_{\varepsilon}(n_{\varepsilon}) \varphi \rightarrow -\int_{0}^{\infty} \int_{\Omega} mn \varphi,$

$\int_{0}^{\infty} \int_{\Omega} n_{\varepsilon} u_{\varepsilon} \cdot \nabla \varphi \rightarrow \int_{0}^{\infty} \int_{\Omega} n u \cdot \nabla \varphi$

以及

$\int_{0}^{\infty} \int_{\Omega} \frac{n_{\varepsilon}}{1 + \varepsilon n_{\varepsilon}} f(\left|\nabla c_{\varepsilon}\right|^2) \nabla c_{\varepsilon} \cdot \nabla \varphi \to \int_{0}^{\infty} \int_{\Omega} nf(\left|\nabla c\right|^2)\nabla c \cdot \nabla \varphi. $

这表明当 $\varepsilon = \varepsilon_j \searrow 0$ 时, (6.3) 式成立. 取任意固定的 $\varphi \in C_0^\infty(\overline{\Omega} \times [0, \infty))$ 作为试验函数, (6.4) 和 (6.5) 式也可分别通过在 (2.1) 式的第二和第三个方程两边同乘 $\varphi $, 然后对 $\varepsilon = \varepsilon_j \searrow 0$ 取极限得到. 特别地, (6.4) 式可由 (6.10), (6.12), (6.13) 和 (6.35) 式给出, 而 (6.5) 式则由 (6.13), (6.15), (6.34) 和 (6.36) 式得到. 根据 Yosida 逼近的性质^[37]$, 对任意的 $\psi\in L_\sigma^2(\Omega)$, 有 $allel Y_{\varepsilon}\psi allel_{L^2(\Omega)} \leq allel \psi allel_{L^2(\Omega)} $ 且当 $\varepsilon=\varepsilon_j \searrow 0$ 时, $Y_{\varepsilon}\psi \rightarrow \psi$ 于 $L^2(\Omega)$, 因此对几乎处处的 $t>0$, 当 $ \varepsilon=\varepsilon_j \searrow 0$ 时, 有

$\begin{aligned}& \left\|Y_{\varepsilon} u_{\varepsilon}(\cdot, t)-u(\cdot, t)\right\|_{L^{2}(\Omega)} \\\leq & \left\|Y_{\varepsilon} u_{\varepsilon}(\cdot, t)-Y_{\varepsilon} u(\cdot, t)\right\|_{L^{2}(\Omega)}+\left\|Y_{\varepsilon} u(\cdot, t)-u(\cdot, t)\right\|_{L^{2}(\Omega)} \\\leq & \left\|u_{\varepsilon}(\cdot, t)-u(\cdot, t)\right\|_{L^{2}(\Omega)}+\left\|Y_{\varepsilon} u(\cdot, t)-u(\cdot, t)\right\|_{L^{2}(\Omega)} \rightarrow 0,\end{aligned}$

此外对几乎处处的 $t>0$, 还有

$allel Y_\varepsilon u_\varepsilon(\cdot, t) - u(\cdot, t) allel_{L^2(\Omega)}^2 \leq 4 \sup_{\varepsilon \in (0,1)} allel u_\varepsilon(\cdot, t) allel_{L^2(\Omega)}^2.$

于是由 (3.17) 式和勒贝格控制收敛定理可推断, 当 $ \varepsilon=\varepsilon_j \searrow 0$ 时, 有

$Y_{\varepsilon} u_\varepsilon \rightarrow u\ \ \ \text{ 于 } L_{\rm loc}^2(\overline{\Omega} \times [0, \infty)),$

将其与 (6.16)\ 式结合可得, 当 $ \varepsilon=\varepsilon_j \searrow 0$ 时, 有

(6.40)$Y_{\varepsilon}u_{\varepsilon} \otimes uε \rightarrow u \otimes u\ \ \ \text{ 于 } L_{\rm loc}^1(\overline{\Omega} \times [0, \infty)). $

因此, 对任意固定的 $\varphi \in C_{0,\sigma}^\infty(\overline{\Omega} \times [0, \infty))$, (6.6) 式可由 (6.16), (6.17), (6.33), (6.7) 式以及 (6.12) 式得到.

另外, 收敛 (6.8)-(6.18), (6.34)- (6.36), (6.37), (6.39) 和 (6.40) 隐含了 (6.1) 和 (6.2) 中的正则性, 故结合前面的论证知四元函数组 $(n,c,m,u)$ 的确是问题 (1.6) 的满足定义 6.1 的整体弱解.

定理 1.1 的证明

证定理 1.1 可由引理 6.2 直接得到.

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, Wang

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Htwe

, Pang

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, Wang

Asymptotic behavior of classical solutions of a three-dimensional Keller-Segel-Navier-Stokes system modeling coral fertilization

Z Angew Math Phys, 2020, 71 (3): Art 90

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, Zheng

, Bao

Global weak solutions in a three-dimensional Keller-Segel-Navier-Stokes system modeling coral fertilization

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A new result for the global existence (and boundedness) and regularity of a three-dimensional Keller-Segel-Navier-Stokes system modeling coral fertilization

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DOI:10.1016/j.jde.2020.09.029 URL

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, Zhang

, Zheng

To what extent is cross-diffusion controllable in a two-dimensional chemotaxis-(Navier-)Stokes system modeling coral fertilization

Calc Var, 2021, 60 (4): Art 143

[23]

Wang

, Liu

Large time behavior in a chemotaxis-Stokes system modeling coral fertilization with arbitrarily slow porous medium diffusion

J Math Anal Appl, 2022, 506 (1): Art 125538

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Liu

Boundedness in a three-dimensional chemotaxis-Stokes system modeling coral fertilization with arbitrarily slow $p$-Laplace diffusion

Math Nachr, 2021, 294 (11): 2200-2208

DOI:10.1002/mana.v294.11 URL

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Liu

Global weak solutions in a three-dimensional coral fertilization model involving the Navier-Stokes equations and arbitrary porous medium type diffusion

Nonlinear Anal RWA, 2022, 66 : Art 103543

[本文引用: 7]

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On a three-dimensional chemotaxis-Stokes system with nonlinear sensitivity modeling coral fertilization

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[本文引用: 1]

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A critical blow-up exponent for flux limitation in a Keller-Segel system

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Blow-up phenomena for a chemotaxis system with flux limitation

J Math Anal Appl, 2022, 515 (1): Art 126376

[本文引用: 1]

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Finite time blow-up in a parabolic-elliptic Keller-Segel system with flux dependent chemotactic coefficient

Nonlinear Anal RWA, 2024, 75 : Art 103985

[本文引用: 1]

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Instability of homogeneous steady states in chemotaxis systems with flux limitation

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[本文引用: 1]

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Suppressing blow-up by gradient-dependent flux limitation in a planar Keller-Segel-Navier-Stokes system

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Global weak solutions in a three-dimensional Keller-Segel-Navier-Stokes system with gradient-dependent flux limitation

Nonlinear Anal RWA, 2021, 59 : Art 103257

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Dalian: Dalian University of Technology, 2021

[本文引用: 1]

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On the global well-posedness for the incompressible four-component chemotaxis-Navier-Stokes equations with gradient-dependent flux limitation in $\mathbb{R}^2$

Nonlinear Anal RWA, 2025, 81 : Art 104222

[本文引用: 2]

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Global weak solutions in a three-dimensional chemotaxis-Navier-Stokes system

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[本文引用: 2]

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Commun Partial Differ Equ, 2012, 37 (2): 319-351

DOI:10.1080/03605302.2011.591865 URL [本文引用: 4]

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Long-term behaviour in a chemotaxis-fluid system with logistic source

Math Models Methods Appl Sci, 2016, 26 (11): 2071-2109

DOI:10.1142/S021820251640008X URL [本文引用: 2]

We consider the coupled chemotaxis Navier–Stokes model with logistic source terms: [Formula: see text] [Formula: see text] [Formula: see text] in a bounded, smooth domain [Formula: see text] under homogeneous Neumann boundary conditions for [Formula: see text] and [Formula: see text] and homogeneous Dirichlet boundary conditions for [Formula: see text] and with given functions [Formula: see text] satisfying certain decay conditions and [Formula: see text] for some [Formula: see text]. We construct weak solutions and prove that after some waiting time they become smooth and finally converge to the semi-trivial steady state [Formula: see text].

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DOI:10.1016/j.jde.2010.02.008 URL [本文引用: 1]

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Heat kernels and maximal $L^p$-$L^q$ estimates for parabolic evolution equations

Commun Partial Differ Equ, 1997, 22 : 1647-1669

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Navier-Stokes Equations. Theory and Numerical Analysis

Amsterdam: North-Holland, 1977

[本文引用: 1]

Chemical aspects of mass spawning in corals. I. Sperm-atractant molecules in the eggs of the scleractinian coral Montipora digitata

1994

... 一些生活在海洋里的无脊椎动物, 例如海胆、海葵和珊瑚, 它们在产卵的时候会由雄性群体和雌性群体分别向周围的洋流中释放精子和卵子. 对于珊瑚, 已经有实验证明: 其卵子会产生一种化学物质用以吸引精子^[1-4]. 这种吸引作用会使精子朝着卵子的方向运动. 生物学把这种微生物因受到化学物质的刺激而产生的定向移动叫做趋化. 理论上已经证明: 趋化会在很大程度提高受精效率, 使受精作用进行得更充分^[5,6], 相应的数学模型如下 ...

Chemical aspects of mass spawning in corals. II. (-)-Epi-thunbergol, the sperm attractant in the eggs of the soft coral Lobophytum crassum (Cnidaria: Octocorallia)

1995

Sperm chemotaxis in hydromedusae. I. Species specifity and sperm behavior

1979

Demonstration of sperm chemotaxis in Echinodermata: Asteroidea, Holothuroidea

1985

Biomixing by chemotaxis and enhancement of biological reactions

2012

Biomixing by chemotaxis and efficiency of biological reactions: the critical reaction case

2012

Reaction terms avoiding aggregation in slow fluids

2015

... 为了使模型 (1.1) 更贴近生物学实际, Espejo 和 Suzuki^[7] 在精子和卵子密度相等的前提下考虑了洋流对化学物质的传播作用并假定海水流动的速度场

$u$

是未知的向量函数, 且

$u$

的演化遵循 Stokes 方程. 相应的数学模型如下 ...

... 其中

$\kappa = 0, q=2$

. 随后, 对于与模型 (1.2) 相关的初边值问题, 人们又陆续考虑了其在 2 维或 3 维有界区域上耦合 Stokes 方程或 Navier-Stokes 方程时阻尼系数

$\mu$

和衰减指数

$q$

的取值对解的整体存在性、稳定性以及正则性的影响, 相关结果可参见文献 [7-15]. ...

Boundedness and decay enforced by quadratic degradation in a three-dimensional chemotaxis-fluid system

2015

Global solvability in a three-dimensional Keller-Segel-Stokes system involving arbitrary superlinear logistic degradation

2021

Approaching constant steady states in a Keller-Segel-Stokes system with subquadratic logistic growth

2022

Blow-up prevention by quadratic degradation in a two-dimensional Keller-Segel-Navier-Stokes system

2016

A three-dimensional Keller-Segel-Navier-Stokes system with logistic source: global weak solutions and asymptotic stabilization

2019

Reaction-driven relaxation in three-dimensional Keller-Segel-Navier-Stokes interaction

2022

Generalized solutions to a chemotaxis-Navier-Stokes system with arbitrary superlinear degradation

2022

A three-dimensional Keller-Segel-Navier-Stokes system involving subquadratic logistic degradation: global generalized solutions and eventual smoothness

2025

... 其中

$\kappa = 0, q=2$

. 随后, 对于与模型 (1.2) 相关的初边值问题, 人们又陆续考虑了其在 2 维或 3 维有界区域上耦合 Stokes 方程或 Navier-Stokes 方程时阻尼系数

$\mu$

和衰减指数

$q$

的取值对解的整体存在性、稳定性以及正则性的影响, 相关结果可参见文献 [7-15]. ...

Global classical solvability and stabilization in a two-dimensional chemotaxis-Navier-Stokes system modeling coral fertilization

2018

... 其中未知函数

$n$

和

$m$

分别表示精子和卵子的密度, 未知函数

$c$

和

$u$

的含义与模型 (1.2) 相同^[16], 常数

$\mu_1>0$

和

$\mu_2>0$

分别表示精子和卵子的衰减系数. 对于给定的海水流速函数

$u$

, 且在不考虑化学物质随洋流传播以及在化学物质的扩散速度远高于配子扩散速度的假设下, Espejo 和 Suzuki^[17] 研究了模型 (1.3) 的简化形式在 2 维有界区域上的初边值问题古典解的整体存在性和渐近行为, 并在理论上证实了对于精子和卵子两者密度不相等的受精过程趋化仍然发挥着至关重要的作用. 而对于完整形式的模型 (1.3), Espejo 和 Winkler^[16] 在

$\kappa = 1$

的情形下对其在 2 维有界区域上的初边值问题得到了完整的适定性结论. 随后, 与模型 (1.3) 相关的初边值问题开始越来越受到关注, 其在不同空间维数的有界区域上以及在不同假设下解的整体存在性、有界性和稳定性的结论先后被建立, 例如文献 [18-26]. ...

... [16] 在

$\kappa = 1$

Reaction enhancement by chemotaxis

2017

... 其中未知函数

$n$

和

$m$

分别表示精子和卵子的密度, 未知函数

$c$

和

$u$

的含义与模型 (1.2) 相同^[16], 常数

$\mu_1>0$

和

$\mu_2>0$

分别表示精子和卵子的衰减系数. 对于给定的海水流速函数

$u$

$\kappa = 1$

Global boundedness and decay property of a three-dimensional Keller-Segel-Stokes system modeling coral fertilization

2019

... 其中未知函数

$n$

和

$m$

分别表示精子和卵子的密度, 未知函数

$c$

和

$u$

的含义与模型 (1.2) 相同^[16], 常数

$\mu_1>0$

和

$\mu_2>0$

分别表示精子和卵子的衰减系数. 对于给定的海水流速函数

$u$

$\kappa = 1$

Asymptotic behavior of classical solutions of a three-dimensional Keller-Segel-Navier-Stokes system modeling coral fertilization

2020

Global weak solutions in a three-dimensional Keller-Segel-Navier-Stokes system modeling coral fertilization

2020

A new result for the global existence (and boundedness) and regularity of a three-dimensional Keller-Segel-Navier-Stokes system modeling coral fertilization

2021

To what extent is cross-diffusion controllable in a two-dimensional chemotaxis-(Navier-)Stokes system modeling coral fertilization

2021

Large time behavior in a chemotaxis-Stokes system modeling coral fertilization with arbitrarily slow porous medium diffusion

2022

Boundedness in a three-dimensional chemotaxis-Stokes system modeling coral fertilization with arbitrarily slow $p$-Laplace diffusion

2021

Global weak solutions in a three-dimensional coral fertilization model involving the Navier-Stokes equations and arbitrary porous medium type diffusion

2022

... 引理 2.2^[25] 设

$(n_{\varepsilon}, c_{\varepsilon}, m_{\varepsilon}, u_{\varepsilon})_{\varepsilon \in (0,1)}$

为引理 2.1 中所建立的解. 则对任意的

$t \in (0, T_{max, \varepsilon})$

以及任意的

$\varepsilon\in (0, 1)$

, 有 ...

... 引理 3.1^[25] 设 $p > \frac{1}{3}$ 且 $l\in(1,3p]$, 则存在 $ C = C(p, l)>0$ 使得 ...

... 引理 3.2^[25] 设 $p>\frac{1}{3}$ 且 $\iota\in(1,6p-2)$, 则对任意的 $\delta > 0$ 存在 $C = C(\delta,p, \iota)>0$ 使得 ...

... 引理 3.3^[25] 设 $p \geq \frac{2}{5} $ 且 $\iota\in(1,6p-2)$, 则对任意的 $\delta > 0$ 存在 $ C = C(\delta,p, \iota)>0$ 使得 ...

... 分析 (19) 式中

$\int_{\Omega}\frac{|\nabla c_{\varepsilon}|^2}{c_{\varepsilon} + 1}$

和

$\int_{\Omega} m_{\varepsilon} \ln(m_{\varepsilon} + 1)$

的演化可直接由文献[25,引理 3.5,3.6] 实现. ...

... 引理 3.5^[25] 设 $(n_{\varepsilon}, c_{\varepsilon}, m_{\varepsilon}, u_{\varepsilon})_{\varepsilon \in(0,1)}$ 为引理 2.1 建立的解, 则存在 $l_{0}> 0 $ 和 $L_{0}> 0$ 使得对任意的 $t \in (0, T_{max, \varepsilon})$ 和任意的 $\varepsilon \in (0, 1)$, 有 ...

... 引理 3.6^[25] 设 $(n_{\varepsilon}, c_{\varepsilon}, m_{\varepsilon}, u_{\varepsilon})_{\varepsilon \in(0,1)}$ 是引理2.1 建立的解, 则 ...

On a three-dimensional chemotaxis-Stokes system with nonlinear sensitivity modeling coral fertilization

2023

... 其中未知函数

$n$

和

$m$

分别表示精子和卵子的密度, 未知函数

$c$

和

$u$

的含义与模型 (1.2) 相同^[16], 常数

$\mu_1>0$

和

$\mu_2>0$

分别表示精子和卵子的衰减系数. 对于给定的海水流速函数

$u$

$\kappa = 1$

A critical blow-up exponent for flux limitation in a Keller-Segel system

2020

... 其中常数

$K_f > 0$

且

$\theta \in \mathbb{R}$

. 对含有交叉扩散项 (1.4) 的抛物-椭圆型 Keller-Segel 模型的初边值问题, Winkler^[27] 得到了古典解爆破的临界指数

$\theta=\frac{N-2}{2(N-1)}$

, 其中

$N$

表示空间维数. 在此基础上, Marras 等^[28]又进一步弱化了爆破解所在的拓扑空间并给出了爆破发生的最小时间; 不仅如此, Jaiswal 和 Tyagi^[29] 还发现对于适当大的初始值, 相应的弱解也会在有限时间发生爆破; 最近, Mao 和 Li^[30] 研究了古典解在

$\theta$

取临界指数时的动力学性质, 证明了其在大初始值条件下的无界性. 在耦合了一个 Navier-Stokes 方程之后, Winkler^[31,32] 先后验证了对于满足超临界假设的

$\theta$

, 相应的初边值问题在 2 维和 3 维光滑有界区域上是整体可解的. 这也在一定程度上表明: 相较于抛物-椭圆型的 Keller-Segel 系统初边值问题的研究结果^[27], 耦合 Navier-Stokes 方程并没有影响超临界假设

$\theta>\frac{N-2}{2(N-1)}$

的有效性. ...

... [27], 耦合 Navier-Stokes 方程并没有影响超临界假设

$\theta>\frac{N-2}{2(N-1)}$

的有效性. ...

Blow-up phenomena for a chemotaxis system with flux limitation

2022

... 其中常数

$K_f > 0$

且

$\theta \in \mathbb{R}$

. 对含有交叉扩散项 (1.4) 的抛物-椭圆型 Keller-Segel 模型的初边值问题, Winkler^[27] 得到了古典解爆破的临界指数

$\theta=\frac{N-2}{2(N-1)}$

, 其中

$N$

$\theta$

取临界指数时的动力学性质, 证明了其在大初始值条件下的无界性. 在耦合了一个 Navier-Stokes 方程之后, Winkler^[31,32] 先后验证了对于满足超临界假设的

$\theta$

$\theta>\frac{N-2}{2(N-1)}$

的有效性. ...

Finite time blow-up in a parabolic-elliptic Keller-Segel system with flux dependent chemotactic coefficient

2024

... 其中常数

$K_f > 0$

且

$\theta \in \mathbb{R}$

. 对含有交叉扩散项 (1.4) 的抛物-椭圆型 Keller-Segel 模型的初边值问题, Winkler^[27] 得到了古典解爆破的临界指数

$\theta=\frac{N-2}{2(N-1)}$

, 其中

$N$

$\theta$

取临界指数时的动力学性质, 证明了其在大初始值条件下的无界性. 在耦合了一个 Navier-Stokes 方程之后, Winkler^[31,32] 先后验证了对于满足超临界假设的

$\theta$

$\theta>\frac{N-2}{2(N-1)}$

的有效性. ...

Instability of homogeneous steady states in chemotaxis systems with flux limitation

2024

... 其中常数

$K_f > 0$

且

$\theta \in \mathbb{R}$

. 对含有交叉扩散项 (1.4) 的抛物-椭圆型 Keller-Segel 模型的初边值问题, Winkler^[27] 得到了古典解爆破的临界指数

$\theta=\frac{N-2}{2(N-1)}$

, 其中

$N$

$\theta$

取临界指数时的动力学性质, 证明了其在大初始值条件下的无界性. 在耦合了一个 Navier-Stokes 方程之后, Winkler^[31,32] 先后验证了对于满足超临界假设的

$\theta$

$\theta>\frac{N-2}{2(N-1)}$

的有效性. ...

Suppressing blow-up by gradient-dependent flux limitation in a planar Keller-Segel-Navier-Stokes system

2021

... 其中常数

$K_f > 0$

且

$\theta \in \mathbb{R}$

. 对含有交叉扩散项 (1.4) 的抛物-椭圆型 Keller-Segel 模型的初边值问题, Winkler^[27] 得到了古典解爆破的临界指数

$\theta=\frac{N-2}{2(N-1)}$

, 其中

$N$

$\theta$

取临界指数时的动力学性质, 证明了其在大初始值条件下的无界性. 在耦合了一个 Navier-Stokes 方程之后, Winkler^[31,32] 先后验证了对于满足超临界假设的

$\theta$

$\theta>\frac{N-2}{2(N-1)}$

的有效性. ...

Global weak solutions in a three-dimensional Keller-Segel-Navier-Stokes system with gradient-dependent flux limitation

2021

... 其中常数

$K_f > 0$

且

$\theta \in \mathbb{R}$

. 对含有交叉扩散项 (1.4) 的抛物-椭圆型 Keller-Segel 模型的初边值问题, Winkler^[27] 得到了古典解爆破的临界指数

$\theta=\frac{N-2}{2(N-1)}$

, 其中

$N$

$\theta$

取临界指数时的动力学性质, 证明了其在大初始值条件下的无界性. 在耦合了一个 Navier-Stokes 方程之后, Winkler^[31,32] 先后验证了对于满足超临界假设的

$\theta$

$\theta>\frac{N-2}{2(N-1)}$

的有效性. ...

... 事实上, 在精子和卵子密度相等且不考虑配子衰减的情形下, 由模型自身的耗散结构只能直接得到解分量

$\{c_\varepsilon\}_{\varepsilon\in(0,1)}$

(对应文献 [32] 中的正则化问题 (2.6)) 关于时间一致的

$L^1(\Omega)$

-估计, 以致无法借助分析能量泛函 (1.9) 的演化来得到证明弱解的整体存在性所需的先验估计, 所以只能通过适当地把对参数

$\theta$

的假设变得更严格且借助其他形式的能量泛函来建立所需的先验估计，具体可参见文献 [32]. 此外, 结合文献 [35], 我们可以发现: 无论是对于三维初边值问题 (1.6) 还是相应的二维 Cauchy 问题, 条件

$\theta>0$

均能保证弱解的整体存在性. ...

... 的假设变得更严格且借助其他形式的能量泛函来建立所需的先验估计，具体可参见文献 [32]. 此外, 结合文献 [35], 我们可以发现: 无论是对于三维初边值问题 (1.6) 还是相应的二维 Cauchy 问题, 条件

$\theta>0$

均能保证弱解的整体存在性. ...

... 为了得到符合定义 6.1 的函数组

$(n, c, m, u)$

, 使其成为初边值问题 (1.6) 的解, 需要通过文献 [32,36] 中所使用的正则化方法对初边值问题 (1.6) 做如下正则化 ...

2021

... 对于与模型 (1.3) 相关的初边值问题, 当函数

$f$

满足 (1.5) 式时, 交叉扩散项 (1.4) 依然可以对解的整体存在 (有界) 性产生影响. 特别地, 在空间 2 维情形下, 张明华^[33]给出了比较完整的研究结果; 而在 3 维光滑有界区域上且

$\kappa = 0$

时, 相应的初边值问题在

$\theta>0$

的假设下具有整体有界的古典解且该解渐近稳定地趋于某一常数平衡态^[34]. 最近, 对于

$\kappa = 1$

以及满足 (1.5) 式的函数

$f$

, Bao 等^[35]研究了与 (1.3) 式相关的 Cauchy 问题在交叉扩散项 (1.4) 作用下解的整体适定性. 然而, 据我们所知, 在

$\kappa = 1$

的情形下, 对于交叉扩散项 (4) 如何影响模型 (3) 在 3 维光滑有界区域上初边值问题的整体可解性, 目前还没有相关的研究结果. ...

Global solutions of a 2D chemotaxis-fluid system for coral fertilization with gradient-dependent flux limitation

2021

... 对于与模型 (1.3) 相关的初边值问题, 当函数

$f$

$\kappa = 0$

时, 相应的初边值问题在

$\theta>0$

的假设下具有整体有界的古典解且该解渐近稳定地趋于某一常数平衡态^[34]. 最近, 对于

$\kappa = 1$

以及满足 (1.5) 式的函数

$f$

, Bao 等^[35]研究了与 (1.3) 式相关的 Cauchy 问题在交叉扩散项 (1.4) 作用下解的整体适定性. 然而, 据我们所知, 在

$\kappa = 1$

的情形下, 对于交叉扩散项 (4) 如何影响模型 (3) 在 3 维光滑有界区域上初边值问题的整体可解性, 目前还没有相关的研究结果. ...

Influence of flux limitation on large time behavior in a three-dimensional chemotaxis-Stokes system modeling coral fertilization

2021

... 对于与模型 (1.3) 相关的初边值问题, 当函数

$f$

$\kappa = 0$

时, 相应的初边值问题在

$\theta>0$

的假设下具有整体有界的古典解且该解渐近稳定地趋于某一常数平衡态^[34]. 最近, 对于

$\kappa = 1$

以及满足 (1.5) 式的函数

$f$

, Bao 等^[35]研究了与 (1.3) 式相关的 Cauchy 问题在交叉扩散项 (1.4) 作用下解的整体适定性. 然而, 据我们所知, 在

$\kappa = 1$

的情形下, 对于交叉扩散项 (4) 如何影响模型 (3) 在 3 维光滑有界区域上初边值问题的整体可解性, 目前还没有相关的研究结果. ...

On the global well-posedness for the incompressible four-component chemotaxis-Navier-Stokes equations with gradient-dependent flux limitation in $\mathbb{R}^2$

2025

... 对于与模型 (1.3) 相关的初边值问题, 当函数

$f$

$\kappa = 0$

时, 相应的初边值问题在

$\theta>0$

的假设下具有整体有界的古典解且该解渐近稳定地趋于某一常数平衡态^[34]. 最近, 对于

$\kappa = 1$

以及满足 (1.5) 式的函数

$f$

, Bao 等^[35]研究了与 (1.3) 式相关的 Cauchy 问题在交叉扩散项 (1.4) 作用下解的整体适定性. 然而, 据我们所知, 在

$\kappa = 1$

的情形下, 对于交叉扩散项 (4) 如何影响模型 (3) 在 3 维光滑有界区域上初边值问题的整体可解性, 目前还没有相关的研究结果. ...

... 事实上, 在精子和卵子密度相等且不考虑配子衰减的情形下, 由模型自身的耗散结构只能直接得到解分量

$\{c_\varepsilon\}_{\varepsilon\in(0,1)}$

(对应文献 [32] 中的正则化问题 (2.6)) 关于时间一致的

$L^1(\Omega)$

-估计, 以致无法借助分析能量泛函 (1.9) 的演化来得到证明弱解的整体存在性所需的先验估计, 所以只能通过适当地把对参数

$\theta$

$\theta>0$

均能保证弱解的整体存在性. ...

Global weak solutions in a three-dimensional chemotaxis-Navier-Stokes system

2016

... 为了得到符合定义 6.1 的函数组

$(n, c, m, u)$

, 使其成为初边值问题 (1.6) 的解, 需要通过文献 [32,36] 中所使用的正则化方法对初边值问题 (1.6) 做如下正则化 ...

2001

... 此外, 问题 (2.1) 的第四个方程中的

$(Y_{\varepsilon})_{\varepsilon\in(0,1)}$

表示 Yosida 近似^[37], 即对所有的

$\varepsilon \in (0, 1)$

和

$\omega \in L^{2}_{\sigma}(\Omega)$

, 有 ...

... 这表明当

$\varepsilon = \varepsilon_j \searrow 0$

时, (6.3) 式成立. 取任意固定的

$\varphi \in C_0^\infty(\overline{\Omega} \times [0, \infty))$

作为试验函数, (6.4) 和 (6.5) 式也可分别通过在 (2.1) 式的第二和第三个方程两边同乘

$\varphi $

, 然后对

$\varepsilon = \varepsilon_j \searrow 0$

取极限得到. 特别地, (6.4) 式可由 (6.10), (6.12), (6.13) 和 (6.35) 式给出, 而 (6.5) 式则由 (6.13), (6.15), (6.34) 和 (6.36) 式得到. 根据 Yosida 逼近的性质^[37]$, 对任意的

$\psi\in L_\sigma^2(\Omega)$

, 有

$allel Y_{\varepsilon}\psi allel_{L^2(\Omega)} \leq allel \psi allel_{L^2(\Omega)} $

且当

$\varepsilon=\varepsilon_j \searrow 0$

时,

$Y_{\varepsilon}\psi \rightarrow \psi$

于

$L^2(\Omega)$

, 因此对几乎处处的

$t>0$

, 当

$ \varepsilon=\varepsilon_j \searrow 0$

时, 有 ...

Global large-data solutions in a chemotaxis-(Navier-)Stokes system modeling cellular swimming in fluid drops

2012

... 通过压缩映射原理以及热方程和 Stokes 系统的正则性理论, 可以证明正则化问题 (2.1) 解的局部存在唯一性. 具体证明可参见文献 [38,引理 2.1] 和 [39,引理 2.2]. ...

... 证引理 2.1 的论证与三个解分量的耗氧型趋化流体模型初边值问题解的局部存在唯一性的论证类似^[38,39]. 特别地, 对于 Banach 空间

$L^{\infty}\left((0,T);C^0(\overline\Omega)\times W^{1,q}(\Omega)\times C^0(\overline\Omega)\times D(A^{\alpha})\right)$

中的一个闭球, 定义映射

$\Psi=(\Psi_1,\Psi_2,\Psi_3,\Psi_4),$

其中对于

$t\in(0,T),$

有 ...

... 通过类似文献 [38,引理 2.1] 的证明能够验证映射

$\Psi$

在该闭球中的确存在不动点, 并结合抛物方程和 Stokes 半群的正则性理论可证得该不动点具有古典解的正则性. 此外, 由抛物方程的强极值原理以及 (2.6)-(2.8) 式可推断解分量

$n_{\varepsilon},c_{\varepsilon}$

和

$m_\varepsilon$

在

$\overline\Omega\times(0,T_{\max,\varepsilon})$

中满足

$n_{\varepsilon}>0,c_{\varepsilon}>0$

以及

$m_\varepsilon>0.$

唯一性的证明也可由类似文献 [38,引理 2.1] 的论证得到. ...

... 唯一性的证明也可由类似文献 [38,引理 2.1] 的论证得到. ...

Long-term behaviour in a chemotaxis-fluid system with logistic source

2016

... 证引理 2.1 的论证与三个解分量的耗氧型趋化流体模型初边值问题解的局部存在唯一性的论证类似^[38,39]. 特别地, 对于 Banach 空间

$L^{\infty}\left((0,T);C^0(\overline\Omega)\times W^{1,q}(\Omega)\times C^0(\overline\Omega)\times D(A^{\alpha})\right)$

中的一个闭球, 定义映射

$\Psi=(\Psi_1,\Psi_2,\Psi_3,\Psi_4),$

其中对于

$t\in(0,T),$

有 ...

1969

... 固定

$\alpha \in \left(\frac{3}{4}, 1\right)$

, 由 Dirichlet-Stokes 半群的正则化理论

$(e^{-tA})_{t\geq 0}$

^[40] 知存在常数

$C_4 > 0$

, 使得 ...

... 令

$\tau := \frac{1}{2} T_{\max,\varepsilon}$

并记

$B := -\Delta + 1$

, 则对任意固定的

$q > 6$

和

$\beta \in \left(\frac{q+3}{2q}, 1\right)$

, 由半群

$(e^{-tB})_{t \geq 0}$

的正则性^[40], (23), (24) 和 (87) 式可得对任意的

$T \in (\tau, T_{\max,\varepsilon})$

$t \in (\tau, T)$

以及

$\varepsilon \in (0, 1)$

, 存在

$C_5 > 0$

和

$C_6=C_6(\varepsilon,T) > 0$

使得 ...

... 与 (4.16) 式类似, 对任意的

$T \in (\tau, T_{\max, \varepsilon})$

, 任意的

$t \in (\tau, T)$

和任意的

$\varepsilon \in (0, 1)$

, 取

$q>3$

以及

$\beta \in \left(\frac{q+3}{2q}, 1\right)$

, 则由半群

$(e^{-tB})_{t \geq 0}$

的正则性理论^[40]并结合 (2.13), (2.14), (2.4), (4.21) 和 (4.15)\ 式可得 ...

1981

... 由于

$\alpha \in \left(\frac{3}{4}, 1\right)$

保证了

$D(A^\alpha) \hookrightarrow L^\infty(\Omega)$

^[41,42], 故 (4.14)式隐含了 ...

... 对任意的

$\varepsilon \in (0, 1)$

成立. 因为

$\beta \in \left(\frac{q+3}{2q}, 1\right)$

隐含了嵌入

$ D(B_{q}^{{\beta}}) \hookrightarrow W^{1,\infty}(\Omega) $

^[41] 和

$ D(B_{q}^{{\beta}}) \hookrightarrow W^{1,q}(\Omega) $

^[41], 故由 (4.17) 式可得 ...

... [41], 故由 (4.17) 式可得 ...

... 对任意的

$\varepsilon \in (0, 1)$

成立, 故结合嵌入

$ D(B_{q}^{{\beta}}) \hookrightarrow W^{1,\infty}(\Omega) $

^[41], 有 ...

The Stokes operator in $L^r$ spaces

1981

... 由于

$\alpha \in \left(\frac{3}{4}, 1\right)$

保证了

$D(A^\alpha) \hookrightarrow L^\infty(\Omega)$

^[41,42], 故 (4.14)式隐含了 ...

Stabilization in a chemotaxis model for tumor invasion

2016

... 由齐次 Neumann 热半群

$(e^{t\Delta})_{t \geq 0}$

的正则性^[43]可知, 对任意固定的

$l > 3$

, 存在

$C_{8} = C_{8}(\varepsilon,l) > 0$

和

$C_{9} = C_{9}(\varepsilon,l) > 0$

使得对任意的

$t \in (\tau, T_{\max, \varepsilon})$

...

Aggregation vs. global diffusive behavior in the higher-dimensional Keller-Segel model

2010

... 其中结合 (2.13), (2.14) 和 (4.5) 式并利用文献 [44,引理 1.3]可得

$C_{10} = C_{10}(\varepsilon,T_{\max,\varepsilon}) > 0$

, 使得 ...

Heat kernels and maximal $L^p$-$L^q$ estimates for parabolic evolution equations

1997

... 将其与 (3.32) 和 (4.2) 式结合, 可推断

$ w_\varepsilon \in L^{\frac{20}{11}}(\overline{\Omega} \times (0, T)) $

. 于是根据热方程的极大 Sobolev 正则性结果^[45,46]可得, 对任意的

$ T > 0 $

$ \tau \in (0, T) $

以及任意的

$ \varepsilon \in (0, 1)$

, 有

$ c_\varepsilon \in L^{\frac{20}{11}}((\tau, T); W^{2, \frac{20}{11}}(\Omega)) $

. 此外, 由 (2.14), (3.17) 和 (5.2) 式可推断对任意的

$ T > 0 $

和任意的

$\varepsilon\in(0, 1)$

, 有 ...

Navier-Stokes Equations. Theory and Numerical Analysis

1977

... 将其与 (3.32) 和 (4.2) 式结合, 可推断

$ w_\varepsilon \in L^{\frac{20}{11}}(\overline{\Omega} \times (0, T)) $

. 于是根据热方程的极大 Sobolev 正则性结果^[45,46]可得, 对任意的

$ T > 0 $

$ \tau \in (0, T) $

以及任意的

$ \varepsilon \in (0, 1)$

, 有

$ c_\varepsilon \in L^{\frac{20}{11}}((\tau, T); W^{2, \frac{20}{11}}(\Omega)) $

. 此外, 由 (2.14), (3.17) 和 (5.2) 式可推断对任意的

$ T > 0 $

和任意的

$\varepsilon\in(0, 1)$

, 有 ...

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