数学物理学报, 2026, 46(3): 1105-1113

一类具有次线性扰动的临界椭圆方程的集中解

刘磊,, 田书英,*

武汉理工大学数学与统计学院 武汉 430070

Concentrated Solutions for Critical Elliptic Equation with Sublinear Perturbation

Liu Lei,, Tian Shuying,*

School of Mathematics and Statistics, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070

通讯作者: 田书英, E-mail:sytian@whut.edu.cn

收稿日期: 2025-04-27   修回日期: 2025-06-20  

基金资助: 国家自然科学基金(12071364)
中央高校基本科研业务费专项资金(104972025KFYjc0115)

Received: 2025-04-27   Revised: 2025-06-20  

Fund supported: NSFC(12071364)
Fundamental Research Funds for the Central Universities(104972025KFYjc0115)

作者简介 About authors

E-mail:liu_lei@whut.edu.cn

摘要

该文研究了以下具有临界指数的椭圆方程$\begin{cases}-\Delta u=Q(x) u^{2^*-1}+\varepsilon u^s, u>0, & \text { 在 } \Omega \text { 中 }, \\ u=0, & \text { 在 } \partial \Omega \text { 上, }\end{cases}$

其中 $N\geq 4 $, $ s\in (0,2^*-1) $ 且 $ 2^*=\frac{2N}{N-2} $, $ \varepsilon>0 $, $ \Omega $ 是 $ \mathbb{R}^N $ 上的光滑有界区域. 在 $ Q(x) $ 满足一些条件下, 当 $ N\geq 4$, $ s\in (1,2^*-1) $ 时, 对于很小的 $\varepsilon$, Cao 和 Zhong [Cao D, Zhong X. Nonlin Anal TMA, 1997, 29: 461-483] 给出了方程单峰解的存在性. 最近, Duan 和 Tian [Duan L, Tian S. Discrete Contin Dyn Syst, 2022, 42(8): 4061-4094] 证明了当 $ N\geq 5$, $ s=1 $ 时, 对于很小的 $ \varepsilon $, 方程不存在单峰解; 当 $ N=4$, $ s=1 $ 时, 对于很小的 $ \varepsilon $ 方程存在单峰解. 该文利用局部 Pohozaev 恒等式技巧证明了方程在 $ N\geq 5 $ 且 $ s<1$ (次线性扰动) 的条件下单峰解的不存在性. 结果表明, 集中解问题对于维数 $N$ 是复杂的、敏感的.

关键词： 临界 Sobolev 指数; Pohozaev 恒等式; 次线性扰动; 不存在性.

Abstract

In this paper, we revisit the following elliptic equations with critical exponent $\begin{cases}-\Delta u=Q(x) u^{2^*-1}+\varepsilon u^s, u>0, & \text { in } \Omega, \\ u=0, & \text { on } \partial \Omega,\end{cases}$

where $N\geq 4 $, $ s\in (0,2^*-1) $ with $ 2^*=\frac{2N}{N-2} $, $ \varepsilon>0 $, $ \Omega $ is a smooth bounded domain in $ \mathbb{R}^N $. Under some conditions on $ Q(x) $, Cao and Zhong [Cao D, Zhong X. Nonlin Anal TMA, 1997, 29: 461-483] gave the existence of single-peak solutions for small $\varepsilon$ when $N\geq 4$, $ s\in (1,2^*-1) $. Recently, Duan and Tian [Duan L, Tian S. Discrete Contin Dyn Syst, 2022, 42(8): 4061-4094] proved non-existence of single-peak solutions for small $ \varepsilon $ when $ N\geq 5$, $ s=1 $ and got the existence of single-peak solutions for small $ \varepsilon $ when $ N=4$, $ s=1 $. Here we establish non-existence of single-peak solutions for the case $ N\geq 5 $ and $ s<1 $ (sublinear perturbation) by local Pohozaev identities. Our results show that the concentration of solutions to above problem is delicate and sensitive for the dimension $ N$.

Keywords： critical Sobolev exponent; Pohozaev identity; sublinear perturbation; non-existence.

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本文引用格式

刘磊, 田书英. 一类具有次线性扰动的临界椭圆方程的集中解[J]. 数学物理学报, 2026, 46(3): 1105-1113

Liu Lei, Tian Shuying. Concentrated Solutions for Critical Elliptic Equation with Sublinear Perturbation[J]. Acta Mathematica Scientia, 2026, 46(3): 1105-1113

1 引言和主要结论

本文研究了下面具有临界指数的椭圆方程

$\left\{\begin{array}{ll}-\Delta u=Q(x) u^{2^{*}-1}+\varepsilon u^{s}, u>0, & \text { 在 } \Omega \text { 中, } \\u=0, & \text { 在 } \partial \Omega \text { 上, }\end{array}\right.$

其中 $N\geq 4 $, $s\in (0,2^*-1)$ 且 $2^*=\frac{2N}{N-2}$, $\varepsilon>0$ 是一个很小的参数, $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^N$ 上一个光滑有界区域. 令 $0\leq Q(x)\in C(\bar\Omega)\bigcap C^2(\Omega)$ 满足下面条件

条件 (Q) 存在 $a_0 \in \Omega$ 满足

$Q\left(a_{0}\right)>0, \nabla Q\left(a_{0}\right)=0, \Delta Q\left(a_{0}\right)<0 \text { 且 } \operatorname{det}\left(\frac{\partial^{2} Q\left(a_{0}\right)}{\partial x^{i} \partial x^{l}}\right)_{1 \leq i, l \leq N} \neq 0 \text {. }.$

对于 $Q(x)$ 是正常数的情况, 一个著名的事实是: 当 $s=1$ 且 $\varepsilon \in (0,\lambda_1)$ 时 (其中 $\lambda_1$ 是在 $\partial \Omega$ 上有着 0 狄利克雷边界条件的 $-\Delta$ 的主特征值), Brezis 和 Nirenberg[1] 建立了方程 (1.1) 一个正解的存在性. 同样众所周知的是: 文献 [16] 中结论表明当 $\Omega$ 是星形区域且 $\varepsilon=0$ 时方程 (1.1) 无解. 从此, 大部分研究者开始关注 $u_\varepsilon$ 在当 $\varepsilon\rightarrow 0$ 时的渐近行为. 关于这个方面的更多细节可以参考文献 [10,13,15,17]. 当 $Q(x)$ 不是正常数时, 一个早期的结论是文献 [9]. 作者建立了当 $s=1$ 且 $\varepsilon \in (0,\lambda_1)$ 时方程 (1.1) 解的存在性. 一个自然的问题是: 当 $Q(x)$ 不是正常数时, 问题 (1.1) 集中解的性质是什么样的? 在此方面, 一个有趣的结论是文献 [5], Cao 和 Zhong 在 $Q(x)$、$N$ 和 $s$ 满足一些条件下证明了方程 (1) 集中解的存在性. 他们的结论表明 $Q(x)$ 的临界点比 Robin 函数的临界点发挥更重要的作用. 现在记

$ S=\inf \bigg\{\displaystyle\int_{\Omega}|\nabla u|^2~~\big| ~~u\in H^1_0(\Omega),~\displaystyle\int_{\Omega}|u|^{2^*}=1\bigg\}$

是最佳 Sobolev 常数且 $\delta_x$ 是 $x$ 处的狄拉克测度, 则 Cao 和 Zhong 在文献 [5] 中的主要结论如下所示.

定理 A 假设条件 (Q) 成立, 则存在一个 $\varepsilon_0>0$ 使得对于 $\varepsilon\in (0,\varepsilon_0]$, 方程 (1.1) 有一个解 $u_\varepsilon$ 满足 (在测度的意义下), 当 $\varepsilon\rightarrow 0$ 时,

$\big|\nabla u_\varepsilon\big|^2\rightharpoonup Q(a_0)^{-(N-2)/2}S^{N/2}\delta_{a_0}~~\mbox{且}~~\big| u_\varepsilon\big|^{2^*}\rightharpoonup Q(a_0)^{-N/2}S^{N/2}\delta_{a_0},$

其中 $N\geq 4$, $ s\in(1,\frac{N+2}{N-2})$ 或$N=4$, $s=1$.

近期, Duan 和 Tian[8] 考虑了方程 (1.1) 在 $s=1$ 的情况下是否存在单峰解, 并且回答了 Cao 和 Zhong 在文献 [5] 中提出的部分问题. 具体结果如下所述.

定理 B 假设条件 (Q) 成立, 则方程 (1.1) 在 $N\geq 5$ 且 $s=1$ 时没有满足 (1.3) 式的解.

从上面的结果我们知道, 方程 (1.1) 的集中解与维数 $N$ 和参数 $s$ 的关系是微妙的. 据我们所知, 方程 (1.1) 对于 $s<1$ (次线性扰动) 是否存在单峰解仍然是未知的. 该文我们给出一些回答. 首先, 对于 $N\geq 5$, $x\in (0,1)$ 方程

$\frac{N-2}{2}x(x+1)=2,$

有唯一解 $C_N$, 且 $C_N\in (\frac{2}{N-2},1)$. 我们的主要结论如下.

定理 1.1 假设条件 (Q) 成立, 如果 $N\geq 5$ 且 $s\in [C_N,1)$, 则问题 (11.) 没有满足 (1.3) 式的解.

注 2.1 我们的结果表明方程 (1.1) 的集中解对于维数 $N$ 是复杂且敏感的. 这里我们在一些精确估计下通过局部 Pohozaev 恒等式证明了主要结论. 对于更多的关于方程 (1.1) 集中解的结论, 可以参考文献[3,4,6]. 我们想要指出: 近期局部 Pohozaev 恒等式被广泛应用在非线性椭圆方程的集中解上 (参见文献 [2,7,11,12,14]).

符号说明: 我们用同样的 $C$ 来表示各种独立于 $\varepsilon$ 的不同的正常数, $\|\cdot\|$ 表示 Sobolev 空间 $H^1_0(\Omega)$ 上的基本范数, $\langle\cdot,\cdot\rangle$ 表示相应的内积.

2 解的结构

众所周知, 方程 $-\Delta u= u^{\frac{N+2}{N-2}}$ 在$\mathbb{R} ^N$中有一族解

$U_{x,\lambda}(y)=\big(N(N-2)\big)^{\frac{N-2}{4}}\frac{\lambda^{(N-2)/2}}{(1+\lambda^2|y-x|^2)^{(N-2)/2}},$

其中 $x\in\mathbb{R} ^N$, $\lambda\in \mathbb{R} ^+$. 一方面对于任意给定的 $f\in H^1(\Omega)$, 用 $P$ 来定义从 $H^1(\Omega)$ 到 $H^{1}_0(\Omega)$ 上的投影, 即$u=Pf$ 是方程

$\left\{\begin{array}{ll}\Delta u=\Delta f, & \text { 在 } \Omega \text { 中, } \\u=0, & \text { 在 } \partial \Omega \text { 上, }\end{array}\right.$

的解. 另一方面, 如果 $u_{\varepsilon}(x)$ 是方程 (1) 的解, 则我们有下述的局部 Pohozaev 恒等式

$\frac{1}{2^{*}} \int_{\Omega^{\prime}} \frac{\partial Q(x)}{\partial x^{i}} u_{\varepsilon}^{2^{*}} \mathrm{~d} x=\int_{\partial \Omega^{\prime}}\left(\frac{\partial u_{\varepsilon}}{\partial \nu} \frac{\partial u_{\varepsilon}}{\partial x^{i}}+\left(\frac{1}{2^{*}} Q(x) u_{\varepsilon}^{2^{*}}-\frac{1}{2}\left|\nabla u_{\varepsilon}\right|^{2}+\frac{\varepsilon}{s+1} u_{\varepsilon}^{s+1}\right) \nu^{i}\right) \mathrm{d} \sigma,$
$\delta \begin{aligned}& \frac{1}{2^{*}} \int_{\Omega^{\prime}}\left(\left(x-x_{\varepsilon, j}\right) \cdot \nabla Q(x)\right) u_{\varepsilon}^{2^{*}} \mathrm{~d} x+\left(1-\frac{N}{2}+\frac{N}{1+s}\right) \varepsilon \int_{\Omega^{\prime}} u_{\varepsilon}^{s+1} \mathrm{~d} x \\= & \int_{\partial \Omega^{\prime}}\left[\left(\frac{Q(x)}{2^{*}} u_{\varepsilon}^{2^{*}}+\frac{\varepsilon}{s+1} u_{\varepsilon}^{s+1}-\frac{1}{2}\left|\nabla u_{\varepsilon}\right|^{2}\right)\left(\left(x-x_{\varepsilon, j}\right) \cdot \nu\right)\right. \\& \left.+\left(\left(x-x_{\varepsilon, j}\right) \cdot \nabla u_{\varepsilon}+\frac{N-2}{2} u_{\varepsilon}\right) \frac{\partial u_{\varepsilon}}{\partial \nu}\right] \mathrm{d} \sigma,\end{aligned}$

其中 $\Omega'\subset\subset \Omega$, $\nu(x)=\big(\nu^{1}(x),\cdots,\nu^N(x)\big)$ 是 $\partial \Omega'$ 上的单位外法向量.

于是方程 (1.1) 集中解的结构如下所示.

命题 2.1 令 $N\geq 4$, $s\in (0,2^*-1)$, 假设 $u_{\varepsilon}(x)$ 是方程 (1.1) 的解且满足, 当 $\varepsilon\rightarrow 0$ 时,

$\big|\nabla u_\varepsilon\big|^2\rightharpoonup Q(a_0)^{-(N-2)/2}S^{N/2}\delta_{a_0}~~\mbox{且}~~\big| u_\varepsilon\big|^{2^*}\rightharpoonup Q(a_0)^{-N/2}S^{N/2}\delta_{a_0},$

那么 $u_{\varepsilon}(x)$ 可以被写成

$u_{\varepsilon}=Q\left(x_{\varepsilon}\right)^{-(N-2) / 4} P U_{x_{\varepsilon}, \lambda_{\varepsilon}}+w_{\varepsilon},$

其中 $\lambda_{\varepsilon}=:\big(u_\varepsilon(x_{\varepsilon})\big)^{\frac{2}{N-2}}$, 当 $\varepsilon\rightarrow 0$ 时, $x_{\varepsilon} \rightarrow a_0,~\lambda_{\varepsilon}\rightarrow +\infty,~ \|w_{\varepsilon}\|=o(1)$.

证 因为 $u_{\varepsilon}(x)$ 是方程 (1.1) 的满足 (1.3) 式的解, 通过 (1.3) 式和 Pohozaev 恒等式 (2.1) 可知 $u_{\varepsilon}(x)$ 在 $a_0$ 处爆破. 于是, 存在 $x_{\varepsilon}\in \Omega$ 满足当 $\varepsilon\rightarrow 0$ 时, $x_{\varepsilon}\rightarrow a_0, u_\varepsilon(x_{\varepsilon})\rightarrow +\infty$. 令 $v_{\varepsilon}=\lambda_{\varepsilon}^{-(N-2)/2} u_{\varepsilon}\big(\frac{x}{\lambda_{\varepsilon}}+x_{\varepsilon}\big)$, 则在 $\mathbb{R} ^N$ 上,

$-\Delta v_{\varepsilon} =Q\bigg(\frac{x}{\lambda_{\varepsilon}}+x_{\varepsilon}\bigg) v_{\varepsilon}^{2^*-1}+\frac{ \lambda_{\varepsilon}^{ \frac{N-2}2 (s-1) } \varepsilon}{ \lambda_{\varepsilon}^2 }v^s_{\varepsilon}.$

对于任意固定的小的 $d>0$, $\displaystyle\max_{B_{d\lambda_{\varepsilon}}(0)}v_{\varepsilon}=1$, 通过椭圆方程的正则性理论可得

$u_{\varepsilon}=Q\left(x_{\varepsilon}\right)^{-(N-2) / 4} P U_{x_{\varepsilon}, \lambda_{\varepsilon}}+w_{\varepsilon}, \quad\left\|w_{\varepsilon}\right\|=o(1).$

因为

$\mbox{span} \left\{\frac{\partial U_{x,1}}{\partial x^i}\big|_{x=0},i=1,\cdots,N,\frac{\partial U_{0,\lambda}}{\partial \lambda}\big|_{\lambda=1}\right\}$

是 $-\Delta \omega-(2^*-1)U_{0,1}^{2^*-2}\omega$ 的核空间, 其中 $\omega\in H^1(\mathbb{R} ^N),$ 所以, 我们选择如下空间, 对于任意的 $x\in\Omega$ 和 $\lambda\in \mathbb{R} ^+$,

$\begin{split}{\mathbb E}_{x,\lambda}=\left\{v\in H^1_0(\Omega)\big|~~ \bigg\langle \frac{\partial PU_{x,\lambda}}{\partial \lambda},v \bigg\rangle=\bigg\langle \frac{\partial PU_{x,\lambda}}{\partial x^i},v\bigg\rangle=0,~\mbox{对于}~i=1,\cdots,N\right\}.\end{split}$

进而我们可以通过移动 $x_{\varepsilon}$一点点 (仍然记为 $x_{\varepsilon}$), 使得误差项 $w_{\varepsilon}\in {\mathbb E}_{x_{\varepsilon},\lambda_{\varepsilon}}$.

3 不存在性

令 $u_{\varepsilon}=Q\left(x_{\varepsilon}\right)^{-(N-2) / 4} P U_{x_{\varepsilon}, \lambda_{\varepsilon}}$ 是方程 (1.1) 的解, 则

${\bf Q}_\varepsilon w_\varepsilon={\bf f}_\varepsilon+{\bf R}_\varepsilon(w_\varepsilon),$

其中 $\mathrm{Q}_{\varepsilon}$ 是 ${\mathbb E}_{x_\varepsilon,\lambda_\varepsilon}$ 的二次型, 对于任意的 $u,v \in {\mathbb E}_{x_\varepsilon,\lambda_\varepsilon}$,

$\begin{array}{l}\left\langle\mathbf{Q}_{\varepsilon} u, v\right\rangle_{\varepsilon}=\langle u, v\rangle-\left(2^{*}-1\right) \int_{\Omega} Q(x)\left(Q\left(x_{\varepsilon}\right)^{-(N-2) / 4} P U_{x_{\varepsilon}, \lambda_{\varepsilon}}\right)^{2^{*}-2} u v, \\\mathbf{f}_{\varepsilon}=Q(x)\left(Q\left(x_{\varepsilon}\right)^{-\frac{N-2}{4}} P U_{x_{\varepsilon}, \lambda_{\varepsilon}}\right)^{2^{*}-1}-Q\left(x_{\varepsilon}\right)^{-\frac{N-2}{4}} U_{x_{\varepsilon}, \lambda_{\varepsilon}}^{2^{*}-1}, \\\mathbf{R}_{\varepsilon}\left(w_{\varepsilon}\right)= Q(x)\left(\left(Q\left(x_{\varepsilon}\right)^{-\frac{N-2}{4}} P U_{x_{\varepsilon}, \lambda_{\varepsilon}}+w_{\varepsilon}\right)^{2^{*}-1}-\left(Q\left(x_{\varepsilon}\right)^{-\frac{N-2}{4}} P U_{x_{\varepsilon}, \lambda_{\varepsilon}}\right)^{2^{*}-1}\right) \\-\left(2^{*}-1\right) Q(x)\left(Q\left(x_{\varepsilon}\right)^{-\frac{N-2}{4}} P U_{x_{\varepsilon}, \lambda_{\varepsilon}}\right)^{2^{*}-2} w_{\varepsilon}+\varepsilon\left(Q\left(x_{\varepsilon}\right)^{-\frac{N-2}{4}} P U_{x_{\varepsilon}, \lambda_{\varepsilon}}+w_{\varepsilon}\right)^{s}.\end{array}$

首先, 我们给出上述量的一些计算.

命题 3.1 对于任意的足够小的 $\varepsilon>0$, 存在一个常数 $\rho>0$ 使得

$\left\langle\mathbf{Q}_{\varepsilon} \omega_{\varepsilon}, \omega_{\varepsilon}\right\rangle_{\varepsilon} \geq \rho\left\|\omega_{\varepsilon}\right\|^{2},$

其中 $\omega_\varepsilon\in {\mathbb E}_{x_\varepsilon,\lambda_\varepsilon},~ |x_{\varepsilon}-a_0|=o(1)$ 且当 $\varepsilon\rightarrow 0$ 时, $\lambda_{\varepsilon}\rightarrow +\infty$.

证 参见文献 [5,(3.9) 式]

令 $\varphi_{x,\lambda}(y)=U_{x,\lambda}-PU_{x,\lambda}$, 则我们有

$\begin{align*} \begin{cases} - \Delta \varphi_{x,\lambda}(y)=0, ~~& \text{在}~\Omega~\text{中}, \\ \varphi_{x,\lambda}(y) = U_{x,\lambda}(y), ~~ & \text{在}~\partial \Omega~\text{上}. \end{cases} \end{align*}$

通过极大值原理, 我们得到在 $\Omega$ 中 $ \varphi_{x,\lambda}(y) >0$.

引理 3.1 ([17,命题 1]) 对于任意固定的 $K\subset\subset \Omega$ 和 $(x,\lambda)\in K\times \mathbb{R} ^+$, 我们有如下结论: 对于任意的 $y\in \Omega$,

$\varphi_{x,\lambda}(y)=O\bigg(\frac{1}{\lambda^{(N-2)/2}} \bigg)$

一致的成立.

引理 3.2 对于 $v\in H^1_0(\Omega)$, 有

$\int_{\Omega} \mathbf{f}_{\varepsilon} v \mathrm{~d} x=O\left(\frac{1}{\lambda_{\varepsilon}^{2}}\right)\|v\|.$

证 首先, 通过 Hölder's 不等式, 我们可以得到

$\int_{\Omega} \mathbf{f}_{\varepsilon} v \mathrm{~d} x=O\left(\int_{\Omega}\left(\mathbf{f}_{\varepsilon}\right)^{\frac{2 N}{N+2}} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{N+2}{2 N}}\|v\|.$

接下来,

$\begin{aligned}\left(\int_{\Omega}\left(\mathbf{f}_{\varepsilon}\right)^{\frac{2 N}{N+2}} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{N+2}{2 N}}= & O\left(\left(\int_{\Omega}\left(\left|Q(x)-Q\left(x_{\varepsilon}\right)\right| U_{x_{\varepsilon}, \lambda_{\varepsilon}}^{2^{*}-1}\right)^{\frac{2 N}{N+2}} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{N+2}{2 N}}\right) \\& +O\left(\left(\int_{\Omega}\left(P U_{x_{\varepsilon}, \lambda_{\varepsilon}}^{2^{*}-1}-U_{x_{\varepsilon}, \lambda_{\varepsilon}}^{2^{*}-1}\right)^{\frac{2 N}{N+2}} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{N+2}{2 N}}\right).\end{aligned}$

通过泰勒展开可得,

$\left(\int_{\Omega}\left(P U_{x_{\varepsilon}, \lambda_{\varepsilon}}^{2^{*}-1}-U_{x_{\varepsilon}, \lambda_{\varepsilon}}^{2^{*}-1}\right)^{\frac{2 N}{N+2}} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{N+2}{2 N}}=\left\{\begin{array}{ll}O\left(\frac{\left(\log \lambda_{\varepsilon}\right)^{(N+2) /(2 N)}}{\lambda_{\varepsilon}^{(N+2) / 2}}\right) & N \geq 6, \\O\left(\frac{1}{\lambda_{\varepsilon}^{N-2}}\right) & N=5.\end{array}\right.$

并且通过在文献 [8,命题 3.4], 可以得到

$|x_\varepsilon-a_0|=o\left(\frac{1}{\lambda_{\varepsilon}}\right).$

通过 (3.3) 式, 有

$\left(\int_{\Omega}\left(P U_{x_{\varepsilon}, \lambda_{\varepsilon}}^{2^{*}-1}-U_{x_{\varepsilon}, \lambda_{\varepsilon}}^{2^{*}-1}\right)^{\frac{2 N}{N+2}} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{N+2}{2 N}}=\left\{\begin{array}{ll}O\left(\frac{\left(\log \lambda_{\varepsilon}\right)^{(N+2) /(2 N)}}{\lambda_{\varepsilon}^{(N+2) / 2}}\right) & N \geq 6, \\O\left(\frac{1}{\lambda_{\varepsilon}^{N-2}}\right) & N=5.\end{array}\right.$

因此利用上述估计, 可以得到 (3.4) 式.

引理 3.3 对于 $v\in H^1_0(\Omega)$, 有

$\int_{\Omega} \mathbf{R}_{\varepsilon}\left(w_{\varepsilon}\right) v \mathrm{~d} x=o\left(\left\|w_{\varepsilon}\right\|\right)\|v\|+O\left(\varepsilon \eta_{1}\left(\lambda_{\varepsilon}\right)\right)\|v\|+\varepsilon\left\|w_{\varepsilon}\right\|^{s}\|v\|.$

证 因为

$\int_{\Omega} \mathbf{R}_{\varepsilon}\left(w_{\varepsilon}\right) v \mathrm{~d} x=o\left(\left\|w_{\varepsilon}\right\|\right)\|v\|+O\left(\int_{\Omega} \varepsilon \omega_{\varepsilon}^{s} v d x\right)+O\left(\int_{\Omega} \varepsilon\left(P U_{x_{\varepsilon}, \lambda_{\varepsilon}}\right)^{s} v \mathrm{~d} x\right)$

和

$\begin{split}\int_\Omega \Big( PU_{x_{\varepsilon},\lambda_{\varepsilon}}\Big)^{s}v{\mathrm d}x=& O\left(\bigg(\int_\Omega \Big(PU_{x_{\varepsilon},\lambda_{\varepsilon}} \Big)^{\frac{2Ns}{N+2}}{\mathrm d}x\bigg)^{\frac{N+2}{2N}}\|v \|\right)=O\Big(\eta_1({\lambda}_{\varepsilon})\Big)\|v\|,\end{split}$

其中

$\eta_{1}(\lambda)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\lambda^{(N+2) / 2-(N-2) s / 2}}, & s>\frac{N+2}{2(N-2)}, \\\frac{(\log \lambda)^{(N+2) /(2 N)}}{\lambda^{(N+2) / 2-(N-2) s / 2}}, & s=\frac{N+2}{2(N-2)}, \\\frac{1}{\lambda^{(N-2) s / 2}}, & s<\frac{N+2}{2(N-2)},\end{array}\right.$

可得 (3.5) 式成立.

命题 3.2 令 $u_{\varepsilon}(x)$ 是方程 (1.1) 的满足 (1.3) 式的解, 且 $\|w_{\varepsilon}\|\sim \varepsilon^k$ 对于任意的正数 $k\leq \frac{1}{1-s}$, $s\in(0,1)$ 都成立, $\lambda_{\varepsilon}\sim\varepsilon^{-\frac{1}{N-4}},$ 则误差项 $w_{\varepsilon}$ 满足

$\|w_{\varepsilon}\|=O\Big(\varepsilon \eta_1(\lambda_{\varepsilon})\Big)+O\bigg(\frac{1}{\lambda_{\varepsilon}^2}\bigg).$

证 (3.6) 式可以通过 (3.1)-(3.5) 式得到.

注 3.1 如果 $N\geq 5$ 且 $s\in [C_N,1)$, 那么

$\eta_1(\lambda_{\varepsilon})=O\bigg( \frac{1}{\lambda_{\varepsilon}^{ (N-2)C_N/2}}\bigg)~~~\mbox{且}~~~ \|w_{\varepsilon}\|=o\bigg( \frac{1}{\lambda_{\varepsilon}^{ (N-2)C_N/2}}\bigg)+O\bigg(\frac{1}{\lambda_{\varepsilon}^2}\bigg).$

现在通过放缩, 泰勒展开和 (3.3) 式, 我们可以得到下列估计.

引理 3.4 对于任意小的 $d>0$, 有

$\begin{split}\int_{B_d(x_{\varepsilon})}&\Big( (x-x_{\varepsilon}) \cdot \nabla Q(x)\Big) PU^{2^*}_{x_{\varepsilon},\lambda_{\varepsilon}}{\mathrm d}x=\frac{A \Delta Q(a_0)}{\lambda_{\varepsilon}^2}+o\bigg(\frac{1}{\lambda_{\varepsilon}^2} \bigg)+O\bigg(\frac{1}{\lambda_{\varepsilon}^{N-2}} \bigg),\end{split}$

其中 $A=\frac{1}{N} \int_{\mathbb{R}^{N}} \frac{(N(N-2))^{N / 2}|y|^{2}}{\left(1+|y|^{2}\right)^{N}} \mathrm{~d} y$.

(3.8) 式的证明可以参考文献 [8,引理 3.1].

命题 3.3 如果 $N\geq 5$, $s\in [C_N,1)$, 那么对于任意固定的小的 $d>0$, 有

$\begin{split} \int_{B_d(x_{\varepsilon})} \Big(( x-x_{\varepsilon}) \cdot \nabla Q(x)\Big)u_\varepsilon^{2^*}{\mathrm d}x=&A \big(Q(a_0)\big)^{-\frac{N}{2}} \frac{\Delta Q(a_0) }{\lambda_{\varepsilon}^2}+o\bigg(\frac{1}{\lambda_{\varepsilon}^2}\bigg),\end{split}$

其中 $A$ 是引理 3.4 中的常数.

证 首先, 通过泰勒展开, 可得

$\begin{split}& \int_{B_d(x_{\varepsilon})}\Big(( x-x_{\varepsilon}) \cdot \nabla Q(x)\Big)u_\varepsilon^{2^*}{\mathrm d}x\\=&\int_{B_d(x_{\varepsilon})}\Big(( x-x_{\varepsilon}) \cdot \nabla Q(x)\Big)\Big(\big(Q(x_\varepsilon)\big)^{-\frac{N-2}{4}}PU_{x_{\varepsilon},\lambda_{\varepsilon}}\Big)^{2^*}{\mathrm d}x\\ &+O\left(\int_{B_d(x_{\varepsilon})} \Big( \big(Q(x_\varepsilon)\big)^{-\frac{N-2}{4}}PU_{x_{\varepsilon},\lambda_{\varepsilon}}\Big)^{2^*-1}|w_{\varepsilon}|\cdot |x-x_{\varepsilon}|{\mathrm d}x +\int_{B_d(x_{\varepsilon})}|w_{\varepsilon}|^{2^*}|x-x_{\varepsilon}|{\mathrm d}x\right)\\ &+O\left(\int_{B_d(x_{\varepsilon})} \Big( \big(Q(x_\varepsilon)\big)^{-\frac{N-2}{4}}PU_{x_{\varepsilon},\lambda_{\varepsilon}}\Big)^{2^*-2}|w_{\varepsilon}|^2\cdot |x-x_{\varepsilon}|{\mathrm d}x\right).\end{split}$

然后, 通过 Hölder 不等式, 有

$\begin{split}\int_{B_d(x_{\varepsilon})} & \Big( \big(Q(x_\varepsilon)\big)^{-\frac{N-2}{4}}PU_{x_{\varepsilon},\lambda_{\varepsilon}} \Big)^{2^*-1}|w_{\varepsilon}|\cdot |x-x_{\varepsilon}| {\mathrm d}x\\=&O\bigg(\bigg(\int_{B_d(x_{\varepsilon})}PU^{2^*}_{x_{\varepsilon},{\lambda_{\varepsilon}}}|x-x_{\varepsilon}|^{\frac{2^*}{2^*-1}}{\mathrm d}x\bigg)^{\frac{2^*-1}{2^*}}\|w_{\varepsilon}\|_{L^{2^*}} \bigg)=O\bigg(\frac{1}{\lambda_{\varepsilon}}\|w_{\varepsilon}\| \bigg),\end{split}$
$\begin{split}\int_{B_d(x_{\varepsilon})} & \Big( \big(Q(x_\varepsilon)\big)^{-\frac{N-2}{4}}PU_{x_{\varepsilon},\lambda_{\varepsilon}} \Big)^{2^*-2}|w_{\varepsilon}|^2\cdot |x-x_{\varepsilon}| {\mathrm d}x\\=&O\bigg(\bigg(\int_{B_d(x_{\varepsilon})}PU^{2^*}_{x_{\varepsilon},{\lambda_{\varepsilon}}}|x-x_{\varepsilon}|^{\frac{2^*}{2^*-2}}{\mathrm d}x\bigg)^{\frac{2^*-2}{2^*}}\|w_{\varepsilon}\|^2_{L^{2^*}} \bigg)=O\bigg(\frac{1}{\lambda_{\varepsilon}^{N/2}}\|w_{\varepsilon}\|^2 \bigg).\end{split}$

上述估计, 与 (3.7) 和 (3.8) 式一起可以推出 (3.9) 式.

现在通过放缩法和 (3.3) 式, 我们可以得到下述估计.

引理 3.5 对于 $N\geq 4,$$s\in(0,1]$ 和任意的小 $d>0$, 有

$\int_{B_{d}\left(x_{\varepsilon}\right)} P U_{x_{\varepsilon}, \lambda_{\varepsilon}}^{s+1} \mathrm{~d} x=\left\{\begin{array}{ll}O\left(\frac{1}{\lambda_{\varepsilon}^{2-\frac{N-2}{2}(s-1)}}\right), & (N-2)(s+1)>N, \\O\left(\frac{\ln \lambda_{\varepsilon}}{\lambda_{\varepsilon}^{\frac{N}{2}}}\right), & (N-2)(s+1)=N, \\O\left(\frac{1}{\lambda_{\varepsilon}^{\frac{N-2}{2}(s+1)}}\right), & (N-2)(s+1)<N.\end{array}\right.$

证$\int_{B_d(x_{\varepsilon})}PU_{x_{\varepsilon},\lambda_{\varepsilon}}^{s+1}{\mathrm d}x=\int_{B_d(x_{\varepsilon})}U_{x_{\varepsilon},\lambda_{\varepsilon}}^{s+1}{\mathrm d}x+O\left(\int_{B_d(x_{\varepsilon})} U_{x_{\varepsilon},\lambda_{\varepsilon}}^s\varphi_{x_{\varepsilon},\lambda_{\varepsilon}}{\mathrm d}x +\int_{B_d(x_{\varepsilon})}\varphi_{x_{\varepsilon},\lambda_{\varepsilon}}^{s+1}{\mathrm d}x\right).$

通过直接计算, 有

$\begin{array}{l}\int_{B_{d}\left(x_{\varepsilon}\right)} U_{x_{\varepsilon}, \lambda_{\varepsilon}}^{s+1} \mathrm{~d} x=\left\{\begin{array}{ll}O\left(\frac{1}{\lambda_{\varepsilon}^{2-\frac{N-2}{2}(s-1)}}\right), & (N-2)(s+1)>N, \\O\left(\frac{\ln \lambda_{\varepsilon}}{\lambda_{\varepsilon}^{\frac{N}{2}}}\right), & (N-2)(s+1)=N, \\O\left(\frac{1}{\lambda_{\varepsilon}^{\frac{N-2}{2}(s+1)}}\right), & (N-2)(s+1)<N,\end{array}\right. \\\int_{B_{d}\left(x_{\varepsilon}\right)} U_{x_{\varepsilon}, \lambda_{\varepsilon}}^{s} \varphi_{x_{\varepsilon}, \lambda_{\varepsilon}} \mathrm{d} x=\left\{\begin{array}{ll}O\left(\frac{1}{\lambda_{\varepsilon}^{N-\frac{N-2}{2}(s-1)}}\right), & (N-2) s>N, \\O\left(\frac{\ln \lambda_{\varepsilon}}{\lambda_{\varepsilon}^{1-N}}\right), & (N-2) s=N, \\O\left(\frac{1}{\lambda_{\varepsilon}^{\frac{N-2}{2}(s+1)}}\right), & (N-2) s<N,\end{array}\right. \\\int_{B_{d}\left(x_{\varepsilon}\right)} \varphi_{x_{\varepsilon}, \lambda_{\varepsilon}}^{s+1} \mathrm{~d} x=O\left(\frac{1}{\lambda_{\varepsilon}^{\frac{N-2}{2}(s+1)}}\right).\end{array}$
$\hspace{-4.3cm} \int_{B_d(x_{\varepsilon})}\varphi_{x_{\varepsilon},\lambda_{\varepsilon}}^{s+1}{\mathrm d}x=O\bigg(\frac{1}{\lambda_{\varepsilon}^{\frac{N-2}{2}(s+1)}} \bigg).$

通过上述计算, 可以得到 (3.10) 式.

引理 3.6 如果 $N\geq 5$, $s\in [C_N,1)$, 那么对于任意固定的小的 $d>0$, 有

$\begin{split}\displaystyle\int_{B_d(x_{\varepsilon})}u_\varepsilon^{s+1}{\mathrm d}x= o\bigg(\frac{1}{\lambda_{\varepsilon}^{2}} \bigg).\end{split}$

证 首先, 利用泰勒展开, 可以得到

$\begin{split}\int_{B_d(x_{\varepsilon})}u_\varepsilon^{s+1}{\mathrm d}x=&\int_{B_d(x_{\varepsilon})} \Big( \big(Q(x_{\varepsilon})\big)^{-\frac{N-2}{4}} PU_{x_{\varepsilon},\lambda_{\varepsilon}}\Big)^{s+1} {\mathrm d}x\\ & +O\left(\int_{B_d(x_{\varepsilon})}\Big(\big(Q(x_{\varepsilon})\big)^{-\frac{(N-2)s}{4}} PU^{s}_{x_{\varepsilon},\lambda_{\varepsilon}} |w_{\varepsilon}|+|w_{\varepsilon}|^{s+1}\Big){\mathrm d}x \right).\end{split}$

接着, 通过 Hölder 不等式和 (3.6) 式, 我们得到

$\begin{split}\int_{B_d(x_{\varepsilon})}PU_{x_{\varepsilon},\lambda_{\varepsilon}}^{s}|w_{\varepsilon}|{\mathrm d}x=&O\bigg(\bigg(\int_{B_d(x_{\varepsilon})}PU_{x_{\varepsilon},\lambda_{\varepsilon}}^{\frac{2Ns}{N+2}}{\mathrm d}x\bigg)^{\frac{N+2}{2N}}\|w_{\varepsilon}\|\bigg)=O\Big(\eta_1 \big(\lambda_{\varepsilon}\big)\|w_{\varepsilon}\|\Big).\end{split}$

类似的, 我们知道

$\int_{B_d(x_{\varepsilon})}|w_{\varepsilon}|^{s+1}{\mathrm d}x=O\Big(\|w_{\varepsilon}\|^{s+1} \Big).$

如果 $N\geq 5$, $s\in [C_N,1)$, 则 $(N-2)(s+1)>N$. 于是结合 (3.7), (3.10), (3.12)-(3.14) 式, 我们可以得到 (3.11) 式.

定理 1.1 的证明

证 如果 $u_{\varepsilon}(x)$ 是方程 (1.1) 的解且满足 (1.3) 式, 则我们知道解 $u_{\varepsilon}(x)$ 有 (2.3) 式的结构. 将 Pohzaev 恒等式 (2.2) 应用在区域 $\Omega'=B_d(x_{\varepsilon})$ 上有

$\begin{split}&\frac{1}{2^*}\int_{ B_d(x_{\varepsilon}) }\Big( ( x-x_{\varepsilon}) \cdot \nabla Q(x) \Big)u^{2^*}_\varepsilon {\mathrm d}x +\bigg(1-\frac{N}{2}+\frac{N}{1+s}\bigg)\varepsilon\int_{ B_d(x_{\varepsilon}) } u^{s+1}_\varepsilon {\mathrm d}x\\ =&\int_{\partial B_d(x_{\varepsilon}) } \bigg[\bigg(\frac{Q(x)}{2^*}u^{2^*}_\varepsilon+\frac{\varepsilon}{{s+1}} u_{\varepsilon}^{s+1}-\frac{1}{2}|\nabla u_{\varepsilon}|^2 \bigg) \Big( ( x-x_{\varepsilon} ) \cdot \nu\Big)\\&+\bigg( ( x-x_{\varepsilon})\cdot \nabla u_{\varepsilon}+\frac{N-2}{2}u_{\varepsilon} \bigg)\frac{\partial u_{\varepsilon}}{tial\nu} \bigg]{\mathrm d}\sigma.\end{split}$

通过位势理论和爆破分析技巧 (参考文献 [8,命题 3.3]), 可得: 在$C^{1}\left(\Omega \backslash B_{d}\left(x_{\varepsilon}\right)\right)$ 上, 有

$u_{\varepsilon}(x)=O\left(\frac{1}{\lambda_{\varepsilon}^{\frac{N-2}{2}}}\right).$

从而, 可得

$\text { (3.15) 式的右端 }=O\left(\frac{1}{\lambda_{\varepsilon}^{N / 2}}\right) \text {. }$

如果 $N\geq 5$, $s\in [C_N,1)$, 那么对于任意固定的小的 $d>0$, 由 (3.9) 式可得

$\begin{split}\int_{B_d(x_{\varepsilon})}&\Big(( x-x_{\varepsilon}) \cdot \nabla Q(x) \Big)u_\varepsilon^{2^*}{\mathrm d}x= \big(Q(a_{0})\big)^{-\frac{N}{2}} \frac{\Delta Q(a_{0}) }{\lambda_{\varepsilon}^2}\Big( A+o(1)\Big).\end{split}$ (3.17) 于是, 结合 (20), (24)- (26) 式, 我们能够得到

$\begin{split}\Delta Q(a_{0})= o\big(1\big),\end{split}$

这是和 (1.2) 式相矛盾的. 因此如果 $N\geq 5$, $s\in [C_N,1)$ 且 $Q(x)$ 满足条件 (Q), 那么方程 (1.1) 没有满足 (1.3) 式和 $\|w_{\varepsilon}\|\sim \varepsilon^k$ 的解 $u_\varepsilon$, 其中 $k\leq \frac{1}{1-s}$.$\lambda_{\varepsilon}\sim\varepsilon^{-\frac{1}{N-4}}$.

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