数学物理学报, 2026, 46(3): 1132-1141

非线性条件下交叉扩散流体的增长/衰减率

李远飞,

广州华商学院数字化技术与应用研究院 广州 511300

Growth Decay Rates of Cross Diffusion Fluid Under Nonlinear Conditions

Li Yuanfei,

Institute of Digital Technology and Applications, Guangzhou Huashang College, Guangzhou 511300

收稿日期: 2025-04-14   修回日期: 2025-06-18  

基金资助: 2025 广州华商学院科研团队项目(2025HSYLTD1)

Received: 2025-04-14   Revised: 2025-06-18  

Fund supported: Guangzhou Huashang College Research Team Project(2025HSYLTD1)

作者简介 About authors

李远飞,E-mail:liyuanfei@gdhsc.edu.cn;liqfd@163.com

摘要

考虑非齐次边界条件下的交叉扩散流体, 利用能量分析法, 研究了交叉扩散流体在半无穷柱体上解的空间性质. 当柱体的截面与轴向变量相关时, 得到了解的增长/衰减率. 最后, 作者把主要结果推广到了两种特殊的柱体上.

关键词： 交叉扩散流体; 增长/衰减率; 空间性质.

Abstract

Considering the cross diffusion fluid under non-homogeneous boundary conditions, the spatial properties of the solution of the cross diffusion fluid on a semi-infinite cylinder are studied, by using energy analysis method. When the cross-section of the cylinder is related to the axial variable, the growth decay rates are obtained. Finally, we extend the main results to two specific types of cylinders.

Keywords： cross-diffusion fluid; growth decy rates; spatial properties.

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本文引用格式

李远飞. 非线性条件下交叉扩散流体的增长/衰减率[J]. 数学物理学报, 2026, 46(3): 1132-1141

Li Yuanfei. Growth Decay Rates of Cross Diffusion Fluid Under Nonlinear Conditions[J]. Acta Mathematica Scientia, 2026, 46(3): 1132-1141

1 引言

本文考虑交叉扩散中出现的方程组

$u_{t}=\alpha \Delta u+\beta \Delta v,$
$v_{t}=\gamma \Delta u+\delta \Delta v,$

其中 $ u $ 和 $ v $ 分别表示温度和质量扩散, $ \alpha, \beta, \gamma, \delta $ 是已知的常数以及 $ \Delta $ 是拉普拉斯算子. 反应扩散系统是一种数学模型, 用于描述一种或多种化学物质浓度在空间和时间上的变化. 这些系统不仅应用于化学领域, 还广泛应用于生物学、地质学、流体力学和生态学等领域. 例如: 在生物学中, 交叉扩散在捕食食饵模型中起着关键作用, 这种模型帮助人们理解生态系统中种群的空间分布和动态行为[1].

在流体力学中, 交叉扩散在流体力学中多方面的应用, 方程组 (1.1) 和 (1.2) 中的 $ \beta $ 和 $ \gamma $ 项分别表示 Dufour 和 Soret 效应. 例如: 多组分气体和液体的扩散、热质传递和湍流和多尺度流动等. 交叉扩散流体在柱体上的空间衰减性质也受到了学者们的关注. Payne 和 Song[2]研究了定义在半无限圆柱区域上的交叉扩散问题的端部效应, 得到了在一定条件下解的指数式逐点衰减率. 更多的研究成果可见文献 [3-12] 及其所列文献, 这种类型的研究属于 Saint-Venant 原理的范畴. 为了更好的理解 Saint-Venant 原理, 可以参看文献 [13-16].

本文的目的是把文献 [2] 的研究做两方面的推广. 第一, 本文考虑一个截面与轴向变量相关的圆柱体, 即

$ R=\Big\{(x_1, x_2, x_3)\Big|(x_1, x_2)\in D(x_3), x_3\geq a>1\Big\}, $

其中

$ D(x_3)=\Big\{(x_1, x_2)\Big|x_1^2+x_2^2=x_3^{2b_1}, b_1>0\Big\}. $

对于这种类型的研究已经持续一段时间了. Payne 和 Schaefer [17]定义了二维的半无穷的区域, 即

$ \Omega=\Big\{(x_1, x_2)\Big|x_1>\overline{a}\geq0, f_1(x_1)<x_2<f_2(x_1)\Big\}. $

其中 $ x_2=f_1(x_1) $ 和 $ x_2=f_2(x_1) $ 是两条光滑的曲线. 当$ h(z)=f_2(z)-f_1(z) $ 满足不同的条件时, Payne 和 Schaefer[17] 解在

三种不同的柱体上的增长/衰减率. Li 和 Chen[18] 把这种研究推广到 Darcy 平面流体上. 虽然李等[3,19,20]对定义在三维柱体上的调和方程和伪抛物方程做了一些有益的探索, 但是这种类型的研究还不够充分.

第二, 与文献 [2] 不同的是本文在柱体的侧面上施加非线性边界条件, 即假设 方程 (1.1) 满足

$u=v=0 \text {, 在 } R \times\{t=0\} \text {, }$
$ \frac{\partial u}{\partial n}+h_{1}(u, v)=0, \frac{\partial v}{\partial n}+h_{2}(u, v)=0 \text {, 在 } \partial D\left(x_{3}\right) \times[a, \infty) \times[0, \infty) \text {, }$
$u=g_{1}\left(x_{1}, x_{2}, t\right), v=g_{2}\left(x_{1}, x_{2}, t\right) \text {, 在 } D(a) \times[0, \infty) \text {, }$

其中 $ g_1 $ 和 $ g_2 $ 是大于零的已知函数且 $ h_1 $ 和 $ h_2 $ 满足

$\begin{matrix} \label{6} (\alpha u+\delta v)h_1(u, v)+(\beta u+\gamma v)h_2(u, v)\geq \theta(u^{2p}+v^{2q}),\ \theta>0, p, q\geq1. \end{matrix}$

文献中已经许多学者曾经考虑了非线性条件下各种偏微分方程的空间渐进性质 (见文献 [3,21,22]). 但是对截面与轴向变量相关的圆柱上非线性问题的研究成果还比较少.

接下来, 本文将定义一个能量函数, 利用能量估计的方法和微分不等式技术, 从而在方程的参数的不同范围上寻求解的空间增长/衰减率. 虽然本文的方法并不新鲜,

它们经常用于证明偏微分方程解的相关问题 (例如: 稳定性). 本文的贡献是引入适当的能量函数, 研究方程组 (1.1)-(1.2) 解的增长/衰减率对几种类型的圆柱体截面的依赖性.

2. 增长/衰减估计

为了推导能量不等式, 假设方程 (1.1)-(1.2) 中参数满足以下条件

$(I)\ \alpha, \delta>0, \text{且}\gamma\beta<0,$
$(II)\ |\gamma+\beta|\leq2(\sqrt{\alpha\delta}-m),$

其中 $ m $ 是大于零的常数.

本节给出一个由文献 [19] 推导的 Sobolev 不等式.

引理 2.1[19] 若 $ \rho $ 是一个定义在有界星型区域 $ D(z) $ 上的光滑函数, 则

$\begin{align*} \int_{D(z)}\rho^2{\rm d}A\leq\frac{1}{2}\Big(\int_{\partial D(z)}|\rho|{\rm d}l\Big)^2+\frac{1}{2}r(z)\int_{D(z)}|\nabla_2\rho|^2{\rm d}A, \end{align*}$

其中 $ \nabla_2 $ 是二维梯度算子, $ z>a $ 是 $ x_3 $ 坐标轴上的一个动点以及 $ r(z)=|D(z)| $.

引入能量函数

$\begin{matrix} \label{9} E(z, t)=\int_0^t\int_{D(z)}\Big[\alpha uu_{,3}+\beta uv_{,3}+\gamma u_{,3}v+\delta vv_{,3}\Big]{\rm d}A{\rm d}\eta. \end{matrix}$

令 $ z_0 $ 是 $ x_3 $ 坐标轴上的某个点满足 $ a<z_0<z $, 对 (2.3) 式从 $ z_0 $ 到 $ z $ 积分, 并利用散度定理和方程组 (1.1)-(1.5), 可得

$\begin{matrix} \label{10} E(z, t)&=E(z_0, t)+\int_0^t\int_{z_0}^z\int_{D(\xi)}\Big[\alpha \nabla(u\nabla u)+\beta \nabla(u\nabla v)+\gamma \nabla(\nabla uv)+\delta \nabla (v\nabla v)\Big]{\rm d}A{\rm d}\xi{\rm d}\eta \nonumber\\ &~~~-\int_0^t\int_{z_0}^z\int_{\partial D(\xi)}\Big[(\alpha u+\gamma v)\frac{\partial u}{\partial n}+(\beta u+\delta v)\frac{\partial v}{\partial n}\Big]{\rm d}ld {\rm d}\eta \nonumber\\ &=E(z_0, t)+\frac{1}{2}\int_{z_0}^z\int_{D(\xi)}\Big[u^2+v^2\Big]{\rm d}A{\rm d}\xi\Big|_{\eta=t} \nonumber\\ &~~~+\int_0^t\int_{z_0}^z\int_{D(\xi)}\Big[\alpha|\nabla u|^2+(\beta+\gamma) \nabla u\cdot\nabla v+\delta |\nabla v|^2\Big]{\rm d}A{\rm d}\xi{\rm d}\eta \nonumber\\ &+\int_0^t\int_{z_0}^z\int_{\partial D(\xi)}\Big[(\alpha u+\gamma v)h_1(u, v)+(\beta u+\delta v)h_2(u, v)\Big]{\rm d}l{\rm d}\xi{\rm d}\eta. \end{matrix}$

所以

$\begin{matrix} \label{11} \frac{\partial}{\partial z}E(z, t) =\,&\frac{1}{2}\int_{D(z)}\Big[u^2+v^2\Big]{\rm d}A\Big|_{\eta=t} \nonumber\\ &+\int_0^t\int_{D(z)}\Big[\alpha|\nabla u|^2+(\beta+\gamma) \nabla u\cdot\nabla v+\delta |\nabla v|^2\Big]{\rm d}A {\rm d}\eta \nonumber\\ &+\int_0^t\int_{\partial D(\xi)}\Big[(\alpha u+\gamma v)h_1(u, v)+(\beta u+\delta v)h_2(u, v)\Big]{\rm d}l {\rm d}\eta. \end{matrix}$

由 (2.4) 和 (2.5) 式, 可知能量函数 $ E(z, t) $ 和 $ \frac{\partial}{\partial z}E(z, t) $ 是非负的, 且

$\begin{matrix} \label{12} \frac{\partial}{\partial z}E(z, t) \geq\,& \frac{1}{2}\int_{D(z)}\Big[u^2+v^2\Big]{\rm d}A\Big|_{\eta=t}+m\int_0^t\int_{D(z)}\Big[\alpha|\nabla u|^2+\delta |\nabla v|^2\Big]{\rm d}A {\rm d}\eta \nonumber\\ &+\int_0^t\int_{\partial D(\xi)}\Big[(\alpha u+\gamma v)h_1(u, v)+(\beta u+\delta v)h_2(u, v)\Big]{\rm d}l {\rm d}\eta. \end{matrix}$

接下来, 利用 Hölder 不等式, 可得

$\begin{matrix} \label{13} \Big|E(z, t)\Big|&\leq\Big[\int_0^t\int_{D(z)}u^2{\rm d}A{\rm d}\eta\int_0^t\int_{D(z)}\Big(\alpha^2u_{,3}^2+\beta^2v^2_{,3}\Big){\rm d}A{\rm d}\eta\Big]^\frac{1}{2} \nonumber\\ &~~~+\Big[\int_0^t\int_{D(z)}v^2{\rm d}A{\rm d}\eta\int_0^t\int_{D(z)}\Big(\gamma^2u_{,3}^2+\delta^2v^2_{,3}\Big){\rm d}A{\rm d}\eta\Big]^\frac{1}{2}. \end{matrix}$

再利用引理 2.1 的不等式和

$\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\leq\sqrt{a+c}\sqrt{b+d}, a, b, c, d>0, $

由 (2.7) 式可得

$\begin{matrix} \label{14} \Big|E(z, t)\Big|&\leq\Big[\int_0^t\int_{D(z)}\Big(u^2+v^2\Big){\rm d}A{\rm d}\eta\Big]^\frac{1}{2} \nonumber\\ &~~~\cdot\Big\{\int_0^t\int_{D(z)} \Big[(\alpha^2+\gamma^2)u_{,3}^2+(\beta^2+\delta^2)v^2_{,3}\Big]{\rm d}A{\rm d}\eta\Big\}^\frac{1}{2} \nonumber\\ &\leq m_1\Big[\int_0^t\int_{D(z)}\Big(u^2+v^2\Big){\rm d}A{\rm d}\eta\Big]^\frac{1}{2} \Big[\int_0^t\int_{D(z)} \Big(u_{,3}^2+v^2_{,3}\Big){\rm d}A{\rm d}\eta\Big]^\frac{1}{2} \nonumber\\ &\leq\frac{1}{\sqrt{2}}m_1\Big[\Big(\int_0^t\int_{\partial D(z)}|u|{\rm d}l{\rm d}\eta\Big)^2 +\Big(\int_0^t\int_{\partial D(z)}|v|{\rm d}l{\rm d}\eta\Big)^2\Big]^\frac{1}{2} \nonumber\\ &~~~\cdot \Big[\int_0^t\int_{D(z)} \Big(u_{,3}^2+v^2_{,3}\Big){\rm d}A{\rm d}\eta\Big]^\frac{1}{2} \nonumber\\ &~~~+\frac{m_1\sqrt{r(z)}}{\sqrt{2}}\Big[\int_0^t\int_{D(z)}\Big(|\nabla_2u|^2+|\nabla_2v|^2\Big){\rm d}A{\rm d}\eta\Big]^\frac{1}{2} \Big[\int_0^t\int_{D(z)} \Big(u_{,3}^2+v^2_{,3}\Big){\rm d}A{\rm d}\eta\Big]^\frac{1}{2} \nonumber\\ &\leq\frac{1}{\sqrt{2}}m_1\Big[\Big(\int_0^t\int_{\partial D(z)}|u|^{2p}{\rm d}l{\rm d}\eta\Big)^\frac{1}{2p}|t\partial D(z)|^{1-\frac{1}{2p}} \nonumber\\ &~~~+\Big(\int_0^t\int_{\partial D(z)}|v|^{2q}{\rm d}l{\rm d}\eta\Big)^\frac{1}{2q}|t\partial D(z)|^{1-\frac{1}{2q}}\Big] \Big[\int_0^t\int_{D(z)} \Big(u_{,3}^2+v^2_{,3}\Big){\rm d}A{\rm d}\eta\Big]^\frac{1}{2} \nonumber\\ &~~~ +\frac{m_1\sqrt{r(z)}}{2\sqrt{2}}\Big[\int_0^t\int_{D(z)}\Big(|\nabla u|^2+|\nabla v|^2\Big){\rm d}A{\rm d}\eta\Big], \end{matrix}$

其中 $ m_1=\max\{\sqrt{\alpha^2+\gamma^2}, \sqrt{\beta^2+\delta^2}\}. $

利用 Young 不等式, 可得

$\begin{matrix} \label{15} &~~~~\Big[\int_0^t\int_{\partial D(z)}|u|^{2p}{\rm d}l{\rm d}\eta\Big]^\frac{1}{2p}\Big[\int_0^t\int_{D(z)} \Big(u_{,3}^2+v^2_{,3}\Big){\rm d}A{\rm d}\eta\Big]^\frac{1}{2} \nonumber\\ &\leq\frac{1}{p+1}\Big[\int_0^t\int_{\partial D(z)}|u|^{2p}{\rm d}l{\rm d}\eta\Big]^\frac{p+1}{2p} +\frac{p}{p+1}\Big[\int_0^t\int_{D(z)}\Big(u_{,3}^2+v^2_{,3}\Big){\rm d}A{\rm d}\eta\Big]^\frac{p+1}{2p}, \end{matrix}$

以及

$\begin{matrix} \label{16} &~~~~\Big[\int_0^t\int_{\partial D(z)}|v|^{2q}{\rm d}l{\rm d}\eta\Big]^\frac{1}{2q}\Big[\int_0^t\int_{D(z)} \Big(u_{,3}^2+v^2_{,3}\Big){\rm d}A{\rm d}\eta\Big]^\frac{1}{2} \nonumber\\ &\leq\frac{1}{q+1}\Big[\int_0^t\int_{\partial D(z)}|v|^{2q}{\rm d}l{\rm d}\eta\Big]^\frac{q+1}{2q} +\frac{q}{q+1}\Big[\int_0^t\int_{D(z)}\Big(u_{,3}^2+v^2_{,3}\Big){\rm d}A{\rm d}\eta\Big]^\frac{q+1}{2q}. \end{matrix}$

把 (2.8) 和 (2.9) 式代入到 (2.7) 式, 并利用 (1.6) 和 (2.6) 式, 可得

$\begin{matrix} \label{17} \Big|E(z, t)\Big|&\leq\frac{m_1}{2\sqrt{2}}\sqrt{r(z)}\frac{\partial}{\partial z}E(z, t) +m_2r_1(z)\Big[\frac{\partial}{\partial z}E(z, t)\Big]^\frac{p+1}{2p} +m_3r_2(z)\Big[\frac{\partial}{\partial z}E(z, t)\Big]^\frac{q+1}{2q}, \end{matrix}$

其中

$\begin{matrix} \label{18} &m_2=\frac{\max\{p, 1\}}{\theta(p+1)\sqrt{2}}m_1|t|^{1-\frac{1}{2p}},~~~ m_3=\frac{\max\{q, 1\}}{\theta(q+1)\sqrt{2}}m_1|t|^{1-\frac{1}{2p}}, \nonumber\\ &r_1(z)=|\partial D(z)|^{1-\frac{1}{2p}},~~~ r_2(z)=|\partial D(z)|^{1-\frac{1}{2q}}. \end{matrix}$

3 空间增长/衰减率

本节考虑在参数 $ p $ 和 $ q $ 不同取值上方程(1.1)-(1.6) 解的空间增长/衰减率. 为了计算的方便, 我们明确 $ r(z), r_1(z) $ 和 $ r_2(z) $ 的定义. 考虑到 $ R $,

引理 2.1 和 (2.12) 式, 可得

$\begin{align*} r(z)=\pi z^{2b_1}, r_1(z)=(2\pi z^{b_1})^{1-\frac{1}{2p}}, r_2(z)=(2\pi z^{b_1})^{1-\frac{1}{2q}}. \end{align*}$

此时, (2.11) 式可以写为

$\begin{matrix} \label{19} \Big|E(z, t)\Big|&\leq n_1z^{b_1}\frac{\partial}{\partial z}E(z, t) +n_2z^{b_1(1-\frac{1}{2p})}\Big[\frac{\partial}{\partial z}E(z, t)\Big]^\frac{p+1}{2p} \nonumber\\ &~~~+n_3z^{b_1(1-\frac{1}{2q})}\Big[\frac{\partial}{\partial z}E(z, t)\Big]^\frac{q+1}{2q}, \end{matrix}$

其中 $ n_1=\frac{m_1\sqrt{\pi}}{2\sqrt{2}}, n_2=m_2(2\pi)^{1-\frac{1}{2p}}, n_3=m_3(2\pi)^{1-\frac{1}{2q}} $.

由于 $ q, p\geq1 $ 时, 则 $ \frac{1}{2}<\frac{p+1}{2p}, \frac{q+1}{2q}\leq1 $.

(1) 若存在 $ z_0>a $, 使得 $ E(z_0, t)>0 $, 由于 $ \frac{\partial}{\partial z}E(z, t)\geq0 $, 所以 $ E(z, t)\geq E(z_0, t)>0, z\geq z_0>a. $

于是 (3.1) 式可以重写为

$\begin{matrix} \label{20} E(z, t)&\leq n_1z^{b_1}\frac{\partial}{\partial z}E(z, t) +n_2z^{b_1(1-\frac{1}{2p})}\Big[\frac{\partial}{\partial z}E(z, t)\Big]^\frac{p+1}{2p} \nonumber\\ &~~~+n_3z^{b_1(1-\frac{1}{2q})}\Big[\frac{\partial}{\partial z}E(z, t)\Big]^\frac{q+1}{2q}. \end{matrix}$

利用 Young 不等式, 可得

$\begin{matrix} \label{21} \Big[\frac{\partial}{\partial z}E(z, t)\Big]^\frac{p+1}{2p}&=\Big[\frac{\partial}{\partial z}E(z, t)\Big]^{\frac{1}{2}\cdot\frac{p-1}{p}}\Big[\frac{\partial}{\partial z}E(z, t)\Big]^{\frac{1}{p}} \nonumber\\ &\leq\frac{p-1}{p}\Big[\frac{\partial}{\partial z}E(z, t)\Big]^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{p}\Big[\frac{\partial}{\partial z}E(z, t)\Big], \end{matrix}$
$\begin{matrix} \label{22} \Big[\frac{\partial}{\partial z}E(z, t)\Big]^\frac{q+1}{2q}&\leq\frac{q-1}{q}\Big[\frac{\partial}{\partial z}E(z, t)\Big]^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{q}\Big[\frac{\partial}{\partial z}E(z, t)\Big]. \end{matrix}$

把 (3.3) 和 (3.4) 式代入 (3.2) 式, 可得

$\begin{matrix} \label{23} E(z, t)&\leq \Big(n_1z^{b_1}+\frac{1}{p}n_2z^{b_1(1-\frac{1}{2p})}+\frac{1}{q}n_3z^{b_1(1-\frac{1}{2q})}\Big)\frac{\partial}{\partial z}E(z, t) \nonumber\\ &~~~ +\Big(n_2z^{b_1(1-\frac{1}{2p})}\frac{p-1}{p}+n_3z^{b_1(1-\frac{1}{2q})}\frac{q-1}{q}\Big)\Big[\frac{\partial}{\partial z}E(z, t)\Big]^\frac{1}{2} \nonumber\\ &\leq\Big(n_1z^{b_1}+n_2z^{b_1(1-\frac{1}{2p})}+n_3z^{b_1(1-\frac{1}{2q})}\Big)\Big\{\frac{\partial}{\partial z}E(z, t) +\Big[\frac{\partial}{\partial z}E(z, t)\Big]^\frac{1}{2}\Big\}. \end{matrix}$

进一步计算可得

$\begin{align} \frac{E(z, t)}{n_1z^{b_1}+n_2z^{b_1(1-\frac{1}{2p})}+n_3z^{b_1(1-\frac{1}{2q})}} \leq\Big\{\Big[\frac{\partial}{\partial z}E(z, t)\Big]^\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\Big\}^2-\frac{1}{4},\nonumber \end{align}$

即

$\begin{matrix} \label{24} \frac{\partial}{\partial z}E(z, t)\geq \Big\{\Big[\frac{E(z, t)}{n_1z^{b_1}+n_2z^{b_1(1-\frac{1}{2p})}+n_3z^{b_1(1-\frac{1}{2q})}}+\frac{1}{4}\Big]^\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\Big\}^2. \end{matrix}$

再利用不等式

$\sqrt{2c}-\sqrt{d}\geq\sqrt{c-d}, c>d>0, $

由 (3.6) 式可得

$\begin{matrix} \label{25} \frac{\partial}{\partial z}E(z, t)\geq \frac{E(z, t)}{2n_1z^{b_1}+2n_2z^{b_1(1-\frac{1}{2p})}+2n_3z^{b_1(1-\frac{1}{2q})}}. \end{matrix}$

对 (3.7) 式从 $ z_0 $ 到 $ z $ 积分, 可得

$\begin{matrix} \label{26} E(z, t)\geq E(z_0, t)\exp\Big\{\int_{z_0}^z\frac{1}{2n_1\xi^{b_1}+2n_2\xi^{b_1(1-\frac{1}{2p})}+2n_3\xi^{b_1(1-\frac{1}{2q})}}{\rm d}\xi\Big\}. \end{matrix}$

(2) 若对所有的 $ z>a>1 $, 都有 $ E(z, t)<0 $, 则 (3.1) 式可以重写为

$\begin{matrix} \label{27} -E(z, t)&\leq n_1z^{b_1}\frac{\partial}{\partial z}E(z, t) +n_2z^{b_1(1-\frac{1}{2p})}\Big[\frac{\partial}{\partial z}E(z, t)\Big]^\frac{p+1}{2p} \nonumber\\ &+n_3z^{b_1(1-\frac{1}{2q})}\Big[\frac{\partial}{\partial z}E(z, t)\Big]^\frac{q+1}{2q}. \end{matrix}$

采取 (3.3)-(3.7) 式类似的计算, 可得

$\begin{matrix} \label{28} \frac{\partial}{\partial z}E(z, t)\geq \frac{-E(z, t)}{2n_1z^{b_1}+2n_2z^{b_1(1-\frac{1}{2p})}+2n_3z^{b_1(1-\frac{1}{2q})}}. \end{matrix}$

对 (3.10) 式从 $ a $ 到 $ z $ 积分, 可得

$\begin{matrix} \label{29} -E(z, t)\leq\Big[-E(a, t)\Big]\exp\Big\{-\int_{a}^z\frac{1}{2n_1\xi^{b_1}+2n_2\xi^{b_1(1-\frac{1}{2p})}+2n_3\xi^{b_1(1-\frac{1}{2q})}}{\rm d}\xi\Big\}. \end{matrix}$

可以得到以下定理.

定理 3.1 设 $ u, v $ 是方程 (1.1)-(1.6) 在 $ R $ 上的解, 且 $ 0\leq b_1\leq1 $. 若 $ q, p\geq1 $, 则能量函数 $ E(z, t) $ 要么指数式增长要么指数式衰减, 即或者 (3.8) 式成立或者 (3.11) 式成立.

注 3.1 由 (3.11) 式可知, 要使得解的衰减率有意义, 推导 $ -E(a, t) $ 的显式上界是非常有必要的. 参考文献 [3,24] 的方法, 易得 $ -E(a, t) $ 的显式上界. 因此, 本文略去.

由 (3.8) 和 (3.11) 式右边的积分可知, 当 $ b_1 $ 取不同值时方程组 (1.1)-(1.6) 解的增长/衰减率是不同的. 但是解出该积分是非常困难的, 接下来我们对解的增长/衰减率做粗略的估计. 我们把结果写为以下几个注解.

注 3.2 若 $ b_1=0 $ 时, 则

$\begin{align} \int_{z_0}^z\frac{1}{2n_1\xi^{b_1}+2n_2\xi^{b_1(1-\frac{1}{2p})}+2n_3\xi^{b_1(1-\frac{1}{2q})}}{\rm d}\xi =\frac{1}{2(n_1+n_2+n_3)}(z-z_0),\nonumber \end{align}$

以及

$\begin{align} \int_{a}^z\frac{1}{2n_1\xi^{b_1}+2n_2\xi^{b_1(1-\frac{1}{2p})}+2n_3\xi^{b_1(1-\frac{1}{2q})}}{\rm d}\xi=\frac{1}{2(n_1+n_2+n_3)}(z-a).\nonumber \end{align}$

此时, 定理 3.1 表明方程组 (1.1)-(1.6) 解的增长/衰减率至少与$\exp \left\{\frac{1}{2\left(n_{1}+n_{2}+n_{3}\right)} z\right\}$ $/ \exp \left\{-\frac{1}{2\left(n_{1}+n_{2}+n_{3}\right)} z\right\}$ 一样快.

注 3.3 若 $ 0<b_1<1 $ 时, 由于 $ a>1, \frac{1}{2}<1-\frac{1}{2p}, 1-\frac{1}{2q}<1 $, 所以 $ \xi^\frac{b_1}{2}<\xi^{b_1(1-\frac{1}{2p})}, \xi^{b_1(1-\frac{1}{2q})} <\xi^{b_1} $. 因此, 有

$\begin{align} \int_{z_0}^z\frac{1}{2n_1\xi^{b_1}+2n_2\xi^{b_1(1-\frac{1}{2p})}+2n_3\xi^{b_1(1-\frac{1}{2q})}}{\rm d}\xi &\geq\frac{1}{2(n_1+n_2+n_3)}\int_{z_0}^z\frac{1}{\xi^{b_1}}{\rm d}\xi\nonumber \\ &=\frac{1}{2(1-b_1)(n_1+n_2+n_3)}\Big[z^{1-b_1}-z_0^{1-b}\Big],\nonumber \end{align}$

以及

$\begin{align} \int_{a}^z\frac{1}{2n_1\xi^{b_1}+2n_2\xi^{b_1(1-\frac{1}{2p})}+2n_3\xi^{b_1(1-\frac{1}{2q})}}{\rm d}\xi &\geq\frac{1}{2(1-b_1)(n_1+n_2+n_3)}\Big[z^{1-b_1}-a^{1-b_1}\Big].\nonumber \end{align}$

此时, 定理 3.1 表明方程组 (1.1)-(1.6) 解的增长/衰减率至少与

$ \exp\{\frac{1}{2(1-b_1)(n_1+n_2+n_3)}z^{1-b_1}\} $/$ \exp$$\{-\frac{1}{2(1-b_1)(n_1+n_2+n_3)}z^{1-b_1}\} $ 一样快. 显然, 这里的增长/衰减率要比注 3.2 中的情况稍慢一些.

注 3.4 若 $ b_1=1 $ 时, 有

$\begin{align} \int_{z_0}^z\frac{1}{2n_1\xi^{b_1}+2n_2\xi^{b_1(1-\frac{1}{2p})}+2n_3\xi^{b_1(1-\frac{1}{2q})}}{\rm d}\xi &\geq\frac{1}{2(n_1+n_2+n_3)}\int_{z_0}^z\frac{1}{\xi}{\rm d}\xi\nonumber \\ &=\frac{1}{2(n_1+n_2+n_3)}\ln\Big(\frac{z}{z_0}\Big),\nonumber \end{align}$

以及

$\begin{align} \int_{a}^z\frac{1}{2n_1\xi^{b_1}+2n_2\xi^{b_1(1-\frac{1}{2p})}+2n_3\xi^{b_1(1-\frac{1}{2q})}}{\rm d}\xi &\geq\frac{1}{2(n_1+n_2+n_3)}\ln\Big(\frac{z}{a}\Big).\nonumber \end{align}$

结合 (3.8) 和 (3.11) 式, 定理 3.1 表明方程组 (1.1)-(1.6) 的解或者代数式增长或者代数式衰减, 其增长/衰减率至少与 $ z^{\frac{1}{2(n_1+n_2+n_3)}} $/$ z^{-\frac{1}{2(n_1+n_2+n_3)}} $ 一样快.

4 两种特殊的圆柱体上解的增长/衰减率

由第 3 节中的定理 3.1 及其注解可知, 方程组 (1.1)-(1.6) 解的增长/衰减率和柱体的截面密切相关的. 本节的目的是把第 3 节取得的成果进一步推广到两种特殊的圆柱区域上.

I 设柱体的截面定义为

$ D(x_3)=\Big\{(x_1, x_2)\Big|x_1^2+x_2^2=x_3^{2}(\ln x_3)^{2b_2}, b_2>0\Big\}. $

经过与定理 3.1 类似的计算, 可得以下定理.

定理 4.1 设 $ u, v $ 是方程 (1.1)-(1.6) 在 $ R $ 上的解, 且 $ 0\leq b_2\leq1 $. 若 $ q, p\geq1 $, 则能量函数 $ E(z, t) $ 要么指数式增长要么指数式衰减, 即或者

$\begin{align} E(z, t)\geq E(z_0, t)\exp\Big\{\int_{z_0}^z\frac{1}{2n_1\xi(\ln \xi)^{b_2}+2n_2[\xi(\ln \xi)^{b_2}]^{1-\frac{1}{2p}} +2n_3[\xi(\ln \xi)^{b_2}]^{1-\frac{1}{2q}}}{\rm d}\xi\Big\}\nonumber \end{align}$

成立或者

$\begin{align} -E(z, t)\leq\Big[-E(a, t)\Big]\exp\Big\{-\int_{a}^z\frac{1}{2n_1\xi(\ln \xi)^{b_2}+2n_2[\xi(\ln \xi)^{b_2}]^{1-\frac{1}{2p}} +2n_3[\xi(\ln \xi)^{b_2}]^{1-\frac{1}{2q}}}{\rm d}\xi\Big\}\nonumber \end{align}$

成立.

接下来, 本文对 $ b_2 $ 在不同的范围上解的增长/衰减率.

注 4.1 若 $ b_2=0 $, 这情况和注 3.4 的情况类似, 可证方程组 (1.1)-(1.6) 的解或者代数式增长或者代数式衰减. 其增长/衰减率也与注 3.4 中的情况是类似的.

注 4.2 若 $ 0<b_2<1 $, 则

$\begin{align} &~~~~\int_{z_0}^z\frac{1}{2n_1\xi(\ln \xi)^{b_2}+2n_2[\xi(\ln \xi)^{b_2}]^{1-\frac{1}{2p}} +2n_3[\xi(\ln \xi)^{b_2}]^{1-\frac{1}{2q}}}{\rm d}\xi \nonumber\\ &\geq\int_{z_0}^z\frac{1}{2(n_1+n_2+n_3)\xi(\ln \xi)^{b_2}}{\rm d}\xi \nonumber\\ &=\frac{1}{2(1-b_2)(n_1+n_2+n_3)}\Big[(\ln z)^{1-b_2}-(\ln z_0)^{1-b_2}\Big], \nonumber \end{align}$

以及

$\begin{align} &~~~~\int_{z_0}^z\frac{1}{2n_1\xi(\ln \xi)^{b_2}+2n_2[\xi(\ln \xi)^{b_2}]^{1-\frac{1}{2p}} +2n_3[\xi(\ln \xi)^{b_2}]^{1-\frac{1}{2q}}}{\rm d}\xi \nonumber\\ &\geq\frac{1}{2(1-b_2)(n_1+n_2+n_3)}\Big[(\ln z)^{1-b_2}-(\ln a)^{1-b_2}\Big], \nonumber \end{align}$

此时, 定理 4.1 说明方程组 (1.1)-(1.6) 的解或者指数式增长或者指数式衰减. 其增长/衰减率至少和 $ {\rm e}^{\frac{1}{2(1-b_2)(n_1+n_2+n_3)}(\ln z)^{1-b_2}} $/$ {\rm e}^{-\frac{1}{2(1-b_2)(n_1+n_2+n_3)}(\ln z)^{1-b_2}} $ 一样快. 但是要比注 3.3 中的情况稍慢一些.

注 4.3 若 $ b_2=1 $, 则

$\begin{align} &~~~~\int_{z_0}^z\frac{1}{2n_1\xi(\ln \xi)^{b_2}+2n_2[\xi(\ln \xi)^{b_2}]^{1-\frac{1}{2p}} +2n_3[\xi(\ln \xi)^{b_2}]^{1-\frac{1}{2q}}}{\rm d}\xi \nonumber\\ &\geq\int_{z_0}^z\frac{1}{2(n_1+n_2+n_3)\xi\ln \xi}{\rm d}\xi \nonumber\\ &=\frac{1}{2(n_1+n_2+n_3)}\Big[\ln\ln z-\ln\ln z_0\Big], \nonumber \end{align}$

以及

$\begin{align} &~~~~\int_{z_0}^z\frac{1}{2n_1\xi(\ln \xi)^{b_2}+2n_2[\xi(\ln \xi)^{b_2}]^{1-\frac{1}{2p}} +2n_3[\xi(\ln \xi)^{b_2}]^{1-\frac{1}{2q}}}{\rm d}\xi \nonumber\\ &\geq\frac{1}{2(n_1+n_2+n_3)}\Big[\ln\ln z-\ln\ln a\Big], \nonumber \end{align}$

此时, 定理 4.1 说明方程组 (1.1)-(1.6) 的解或者对数式增长或者对数式衰减. 其增长/衰减率至少和 $ (\ln z)^{\frac{1}{2(n_1+n_2+n_3)}} $/$ (\ln z)^{-\frac{1}{2(n_1+n_2+n_3)}} $ 一样快. 显然这里的增长/衰减率要比注 4.2 中的情况要慢一些.

接下来, 我们考虑另一个新型的柱体区域.

II 设柱体的截面定义为

$\begin{matrix}D(x_3)=\Big\{(x_1, x_2)\Big|x_1^2+x_2^2=r^{2}(x_3), x_3>a\Big\},\end{matrix}$

其中 $ r(x_3) $ 满足

$\begin{matrix}\label{30}r'(x_3)\leq0,\ r(x_3)\geq r_0\geq1.\end{matrix}$

经过与定理 1 类似的计算, 可得以下定理.

定理 4.2 设 $ u, v $ 是方程(1.1)-(1.6)在 $ R $ 上的解. 若 $ q, p\geq1 $, 则能量函数 $ E(z, t) $ 要么指数式增长要么指数式衰减, 即或者

$\begin{align} E(z, t)\geq E(z_0, t)\exp\Big\{\frac{1}{2(n_1+n_2+n_3)}\int_{z_0}^z\frac{1}{r(\xi)}{\rm d}\xi\Big\}\nonumber \end{align}$

成立或者

$\begin{align} -E(z, t)\leq\Big[-E(a, t)\Big]\exp\Big\{-\frac{1}{2(n_1+n_2+n_3)}\int_{a}^z\frac{1}{r(\xi)}{\rm d}\xi\Big\}\nonumber \end{align}$

成立.

5 总结

本文得到了在 $ p, q>1 $ 时方程组 (1.1)-(1.6) 解的增长/衰减率. 当 $\frac{1}{2}<q<p<1$ 和 $\frac{1}{2}<q<1<p$ 时, 方程组 (1.1)-(1.6) 解的增长和衰减行为仍然是一个开放性的话题, 原因在于本文考虑的柱体与截面是相关的. 李等[23,24]$研究了在此条件下二元混合物中的热量方程

解的空间行为, 得到了解的增长/衰减率. 下一步, 可以参考文献 [23,24] 中方法, 设置适当的能量函数继续研究 (1.1)-(1.6) 式解的空间行为.

参考文献

Murray J D. Mathematical Biology. New York: Springer, 1989

[本文引用: 1]

Payne L E, Song J C.

Spatial decay in a cross-diffusion problem

IMA Journal of Applied Mathematics, 2007, 72 (6): 854-864

DOI:10.1093/imamat/hxm055      URL     [本文引用: 3]

李远飞, 曾鹏.

具有非线性边界条件的调和方程在无界区域上的 Phragmén-Lindelöf 二择性结果

河南大学学报 (自然科学版), 2020, 50 (3): 365-372

[本文引用: 4]

Li Y F, Zeng P.

Phragmén-Lindelöf alternative type results for the Harmonic equation with nonlinear boundary conditions in an unbounded region

Journal of Henan University (Natural Science), 2020, 50 (3): 365-372

[本文引用: 4]

Knops R J, Quintanilla R.

Spatial decay in transient heat conduction for general elongated regions

Q Appl Math, 2018, 76 : 611-625

DOI:10.1090/qam/2018-76-04      URL    

Shi J C.

Spatial decay estimates for the Moore-Gibson-Thompson Heat equation

Wuhan University Journal of Natural Sciences, 2024, 29 (5): 397-402

DOI:10.1051/wujns/2024295397      URL    

Li Y F, Chen X J.

Spatial decay bound and structural stability for the double-diffusion perturbation equations

Mathematical Biosciences and Engineering, 2023, 20 (2): 2998-3022

DOI:10.3934/mbe.2023142      PMID:36899569     

In this paper, we study the double-diffusion perturbation equations when the flow is through a porous medium. If the initial conditions satisfy some constraint conditions, the Saint-Venant type spatial decay of solutions for double-diffusion perturbation equations is obtained. Based on the spatial decay bound, the structural stability for the double-diffusion perturbation equations is also established.

李远飞.

具有边界反应的 Forchheimer 多孔介质流体的空间二择性

河南大学学报 (自然科学版), 2023, 53 (6): 738-751

Li Y F.

Spatial selectivity of Forchheimer porous media fluid with reaction boundary conditions

Journal of Henan University (Natural Science), 2023, 53 (6): 738-751

陈雪姣, 李远飞, 曾鹏.

二维管道上热量方程解的 Phragmén-Lindelöf 型二择性

数学的实践与认识, 2023, 53 (6): 243-250

Chen X J, Li Y F, Zeng P.

Phragmén-Lindelöf type alternative of the solution of heat equation on two-dimensional pipe

Mathematics in Practice and Theory, 2023, 53 (6): 243-250

李远飞, 陈雪姣, 侯春娟.

依赖于温度的 Stokes 流体 Phragmén-Lindelöf 型二择一结果

杭州师范大学学报 (自然科学版), 2023, 22 (2): 79-88

Li Y F, Chen X J, Hou C J.

Phragmén-Lindelöf type alternative result for a temperature dependent Stokes fluid

Journal of Hangzhou Normal University (Natural Science Edition), 2023, 22 (2): 79-88

陈雪姣, 李远飞, 侯春娟.

半无穷柱体上 Forchheimer 方程组解的 Phragmén-Lindelöf 型二择一结果

数学物理学报, 2023, 43A (2): 505-514

Chen X J, Li Y F, Hou C J.

Phragmén-Lindelöf type results for the solutions of Forchheimer equations on a semi-infinite cylinder

Acta Math Sci, 2023, 43A (2): 505-514

李远飞, 石金诚, 朱慧珊, 黄诗淇.

热弹性方程的快速增长或衰减估计

数学物理学报, 2021, 41A (4): 1042-1052

Li Y F, Shi J C, Zhu H S, Huang S Q.

Fast growth or decay estimates of Thermoelastic equations in an external domain

Acta Math Sci, 2021, 41A (4): 1042-1052

Yang X, Zhou Z F.

Phragmén-Lindelöf alternative results for the shallow water equations for transient compressible viscous flow

J Math Anal Appl, 2013, 398 (1): 409-420

DOI:10.1016/j.jmaa.2012.08.054      URL     [本文引用: 1]

Boley B A.

Upper bounds and Saint-Venant's principle in transient heat conduction

Q Appl Math, 1960, 18 (2): 205-207

DOI:10.1090/qam/1960-18-02      URL     [本文引用: 1]

Quintanilla R, Racke R.

Spatial behavior in phase-lag heat conduction

Differ Integral Equ, 2015, 28 : 291-308

Saint-Venant A J C B.

Mémoire sur la torsion des prismes

Mémoires présentés pour divers Savants a Ácadémie des Sciences de l'Institut Impérial de France, 1853, 14 : 233-560

Flavin J N, Knops Rn J, Payne L E.

Decay estimates for the constrained elastic cylinder of variable cross-section

Q Appl Math, 1989, 47 (2): 325-350

DOI:10.1090/qam/1989-47-02      URL     [本文引用: 1]

Payne L E, Schaefer P W.

Some Phragmén-Lindelöf type results for the biharmonic equation

Z Angew Math Phys, 1994, 45 : 414-432

DOI:10.1007/BF00945929      URL     [本文引用: 2]

Li Y F, Chen X J.

Phragmén-Lindelöf alternative results in time-dependent double-diffusive Darcy plane flow

Math Meth Appl Sci, 2022, 2022 : 1—16

[本文引用: 1]

李远飞, 石金诚, 曾鹏.

三维柱体上调和方程的二择一结果

海南大学学报自然科学版, 2020, 38 (1): 6-12

[本文引用: 3]

Li F Y, Shi J C, Zeng P.

Phragmén-Lindelöf alternative type results for the harmonic equation in a 3D cylinder

Natural Science Journal of Hainan University, 2020, 38 (1): 6-12

[本文引用: 3]

李远飞, 张旖.

一些热传导理论中的伪抛物方程的 Phragmén-Lindelöf 二择性结果

数学的实践与认识, 2020, 50 (12): 220-232

[本文引用: 1]

Li Y F, Zhang Y.

Phragmén-Lindelöf alternative type results for the pseudo-parabolic equation in some theories of heat conduction

Mathematics in Practice and Theory, 2020, 50 (12): 220-232

[本文引用: 1]

Leseduarte M C, Quintanilla R.

Phragmén-Lindelöf alternative for the Laplace equation with dynamic boundary conditions

Journal of Applied Analysis and Computation, 2017, 7 (4): 1323-1335

[本文引用: 1]

Horgan C O, Payne L E.

Phragmén-Lindelöf type results for Harmonic functions with nonlinear boundary conditions

Arch Rational Mech Anal, 1993, 122 : 123-144

DOI:10.1007/BF00378164      URL     [本文引用: 1]

Mikhailov M D, Özi çik M N. Unified Analysis and Solutions of Heat and Mass Diffusion. New York: Dover, 1994

[本文引用: 2]

李远飞, 陈雪姣, 石金诚.

二元混合物中的热传导方程 Phragmén-Lindelöf 二择性

山东大学学报 (理学版), 2020, 55 (12): 1-12, 24

[本文引用: 3]

Li Y F, Chen X J, Shi J C.

Phragmén-Lindelöf alternative for the heat conduction equations in a binary mixture

Journal of Shandong University (Natural Science), 2020, 55 (12): 1-12, 24

[本文引用: 3]

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