数学物理学报, 2026, 46(3): 1142-1159

非线性 KGS 系统强解的范数增长

崔爽,, 石启宏,*

兰州理工大学数学系 兰州 730050

On the Norm Growth of Strong Solutions for Nonlinear KGS System

Cui Shuang,, Shi Qihong,*

Department of Mathematics, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050

通讯作者: 石启宏, E-mail:shiqh03@163.com

收稿日期: 2024-10-23   修回日期: 2025-09-30  

基金资助: 国家自然科学基金(12561040)
国家自然科学基金(12061040)

Received: 2024-10-23   Revised: 2025-09-30  

Fund supported: NSFC(12561040)
NSFC(12061040)

作者简介 About authors

崔爽,E-mail:3063756368@qq.com

摘要

该文研究低维欧氏空间 $\mathbb{R}^N(N\leq3)$ 中非线性 Klein-Gordon-Schrödinger (KGS) 系统的初边值问题. 通过引入正则化系统, 利用解序列的有界性和收敛性, 证明了非线性 KGS 系统在 $H^2\times H^2\times H^1$ 空间上全局强解的存在唯一性. 进一步, 通过构建修正能量, 作者得到了解在该空间中的范数估计. 需要强调的是证明方法不依赖于 Brezis-Gallouet 技巧以及紧性讨论.

关键词： Klein-Gordon-Schrödinger 系统; 全局强解; 存在唯一性; Sobolev 范数增长.

Abstract

This paper is concerned with the initial-boundary value problem for the nonlinear Klein-Gordon-Schrödinger (KGS) system in $\mathbb{R}^N(N\leq3)$. By introducing a regularized system and utilizing the boundedness and convergence of the solutions sequence, we prove the existence and uniqueness of global strong solutions to the nonlinear KGS system in the space $H^2 \times H^2 \times H^1$, and obtain the norm estimates for the solutions in the space $H^2 \times H^2 \times H^1$. The proof is independent of the Brezis-Gallouet technique and the compactness argument.

Keywords： Klein-Gordon-Schrödinger system; giobal strong solutions; existence and uniqueness; Sobolev norm growth

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本文引用格式

崔爽, 石启宏. 非线性 KGS 系统强解的范数增长[J]. 数学物理学报, 2026, 46(3): 1142-1159

Cui Shuang, Shi Qihong. On the Norm Growth of Strong Solutions for Nonlinear KGS System[J]. Acta Mathematica Scientia, 2026, 46(3): 1142-1159

1 引言

本文考虑如下形式的非线性 Klein-Gordon-Schrödinger (KGS) 系统的初边值问题

$\left\{\begin{array}{l}i \partial_{t} u+\Delta u=v^{2} u-v u, \\\partial_{t}^{2} v-\Delta v+v=-2|u|^{2} v+|u|^{2}, \\\left(u(0), v(0), \partial_{t} v(0)\right)=\left(\varphi, \psi_{0}, \psi_{1}\right), \\\left.u\right|_{\partial \Omega}=\left.v\right|_{\partial \Omega}=0,\end{array}\right.$

其中, $u:=\mathbb{R}\times\Omega\rightarrow \mathbb{C}$, $v:=\mathbb{R}\times\Omega\rightarrow \mathbb{R}$, $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^N$ 上具有光滑边界的一般区域, $\Delta$ 是在希尔伯特空间 $L^2(\Omega)$ 中的拉普拉斯算子.

这个系统描述了复原子核场 $u$ 和实中性介子场 $v$ 的相互作用 (具体物理细节详见文献 [1]), 其经典情形已被大量研究. 如 Baillon 和 Chadam[2] 利用 $L^p-L^q$ 估计证明了 Cauchy 问题强解的全局存在性. Fukuda 和 Tsutsumi[3,4] 借助 Galerkin 方法和紧性讨论证明了该系统在能量空间上全局适定性, 并且研究了其初边值问题的解的存在唯一性. Li 和 Guo[5] 利用 Strichartz 估计和半群分解证明了全局解的光滑渐近性. 更多的结果可参见文献 [6,7] 及其参考文献. 与经典 KGS 系统相比, (1.1)-(1.4) 式增加了三次非线性相互作用项, 它通常用来描述玻色-爱因斯坦凝聚中的二元混合作用. 为此, Miao 和 Xu[9] 在低正则初值条件下, 利用 Bourgain 的频率分解技术建立了该类系统全局解的适定性. Cavalcanti 等[8]借助 Galerkin 方法证明了全局能量解的存在唯一性, 并通过引入摄动能量获得了解的指数衰减估计. Shi 等[10]通过构建 (1.1) 式的局部 Kato 型光滑估计证明了二维 KGS 系统在能量空间上的全局适定性. 进一步, Pecher[11] 研究了更低正则条件下该系统在 Bourgain 空间中的局部适定性.

本文聚焦于系统 (1.1)-(1.4) 的强解. 具体而言, 我们研究当初值 $(\varphi,\psi_0,\psi_1)\in D(\Delta)\times D(\Delta)\times H_0^1(\Omega)$, $D(\Delta):=(H^2\cap H_0^1)(\Omega)$ 时, 该系统 $H^2$- 解的全局存在唯一性以及在相应 Sobolev 空间中的范数增长界. 我们注意到, 若利用对数型 Sobolev 不等式,

文献 [3] 的结果将暗示着该系统的 $H^2$-解满足双指数增长, 即

$ \sup\limits_{t \in (0,T)} \left\| (\psi, \phi, \partial_t \phi) \right\|_{H^2 \times H^2 \times H^1} \leq C \exp(\exp(CT)).$

进一步, 文献 [12] 利用修正的 Hölder 不等式将该增长界改进为单指数情形.

回顾关于单个 Schrödinger 方程的相关结果, 文献 [13-15] 均指出在低次非线性耦合下, 方程的强解满足多项式增长, 而这种增长是否也适用于非线性 KGS 系统 (1.1)-(1.4), 尚不得而知. 但在某种程度上, 它意味着现有的关于增长界的结果不是最优的. 最近, 我们注意到文献 [17] 考虑了带有幂型非线性项的 KGS 系统, 通过构建伪能量结合 Strichartz 估计获得了解在 $H^2$ 框架下的多项式增长. 若将其方法应用至系统 (1.1)-(1.4), 由于非线性结构的改变, 我们最终只能得到双指数增长的结果.

为此, 本文通过引入 Yosida 算子, 构建正则化系统, 进一步结合修正的能量估计文献 [17-19] 来研究这一问题. Yosida 算子的引入不仅克服了原方程直接处理非线性项时正则性不足的困难, 而且还保留了原系统的 Hamilton 结构, 这也为后面构建修正的高阶能量泛函奠定了基础. 进一步, 我们考虑高阶能量泛函的时间导数, 利用分部积分结合能量估计, 分析其满足的微分方程, 最终获得了系统 (1.1)-(1.4) 在低维空间 $(N\leq3)$ 中 $H^2$-解的范数增长界. 主要结果如下

定理 1.1 若$N\leq3$, 且$\left(\varphi,\psi_0,\psi_1 \right)\in D(\Delta)\times D(\Delta)\times H_0^1(\Omega)$, 则系统 (1.1)-(1.4) 存在唯一的解 $\left(u,v \right)$ 且满足

$\begin{align*} &u\in C\left(\mathbb{R};D(\Delta) \right)\cap C^1\left(\mathbb{R};L^2 \right),\\ &v\in C\left(\mathbb{R};D(\Delta) \right)\cap C^1\left(\mathbb{R};H_0^1\right)\cap C^2\left(\mathbb{R};L^2 \right). \end{align*}$

定理 1.2 若 $N\leq3$, 且 $\left(\varphi,\psi_0,\psi_1 \right)\in D(\Delta)\times D(\Delta)\times H_0^1(\Omega)$, 则存在依赖于 $max(\|\varphi\|_{H^2},\\ \|\psi_0\|_{H^2}, \|\psi_1\|_{H^1})$ 的常数 $C'$ 和依赖于 $max\left(\left\|\varphi \left\|_{H^1}, \right\|\psi_0 \left\|_{H^1},\right\|\psi_1 \right\|_2 \right)$ 的常数 $C$, 使得对任意的 $t\in \mathbb{R}$, 有

$\left(\|u(t)\|_{H^{2}}^{2}+\|v(t)\|_{H^{2}}^{2}+\left\|\partial_{t} v(t)\right\|_{H^{1}}^{2}\right) \leq\left\{\begin{array}{ll}C^{\prime}+C|t|^{4 / 3}, & \text { 当 } N=1 \text { 时, } \\C^{\prime}+C|t|^{3}, & \text { 当 } N=2 \text { 时, } \\C^{\prime} \exp (C|t|), & \text { 当 } N=3 \text { 时. }\end{array}\right.$

需要强调的是, 该结论也适用于 $\mathbb{R}^N$ 中的一般光滑域. 已有关于 KGS 系统研究的文献主要集中在全空间情形, 而在一般域 $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ 中处理该系统的文章相对较少. 主要是因为在一般域中, 如周期性方法, Strichartz 估计和 Bourgain 频率分解技术等基于傅里叶变换的方法往往不再适用.

2. 预备知识

引理 2.1[20] (标准椭圆不等式) 存在一个常数 $C$, 使得对任意的 $u\in D(\Delta)$, 有

$\|u\|_{H^{2}} \leq C\left(\|\Delta u\|_{2}+\|u\|_{2}\right)$

引理 2.2[21] (Gagliardo-Nirenberg 不等式) 对于任意的 $N$, $p$, 且 $\delta _N(p):=\frac{N}{2}-\frac{N}{p}\in \left[0,1 \right] $, 存在一个常数 $C_{N,p}$, 使得对于任意的 $u\in H_0^1(\Omega)$, 有 $\left\|u \right\|_p\leq C_{N,p}\left\|u \right\|_{H^1} ^{\delta _N(p)}\left\| u\right\|_2^{1-\delta _N(p)}$.

引理 2.3[22] 算子 $J_n=(I-\frac{1}{n}\Delta )^{-1}$

具有以下性质

(1) $J_n$ 是 $L^p(\Omega)\left(1<p<\infty \right) $ 空间中的有界自共轭算子;

(2) 对任意的 $u\in L^p(\Omega)\left(1<p<\infty \right)$, 当 $n\rightarrow\infty$ 时, $J_nu\rightarrow u;$

(3) 对任意的 $u\in L^p(\Omega)\left(1\leq p<\infty \right)$, 有 $\left\| J_nu\right\|_p\leq \left\|u \right\|_p$;

(4) 对任意的 $u\in L^2(\Omega)$, 有下列不等式成立

$\begin{align*} &\left\| \nabla J_nu\right\|_2\leq n^\frac{1}{2}\left\|u \right\|_2,\\ &\left\|\Delta J_nu \right\|_2\leq n\left\|u \right\|_2; \end{align*}$

(5) 对任意的 $m$, $n$, 不妨设 $m>n$, 对任意的 $u\in H_0^1(\Omega)$, 有

$ \left\| (J_m-J_n)u\right\|_2\leq\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}\left\| \nabla u\right\|_2. $

3 正则化系统及近似解序列的有界性

我们引入正则化系统

$\left\{\begin{array}{l}i \partial_{t} u+\Delta u=J_{n}\left(\left(J_{n} v\right)^{2} \cdot J_{n} u\right)-J_{n}\left(J_{n} v \cdot J_{n} u\right), \\\partial_{t}^{2} v-\Delta v+v=-2 J_{n}\left(\left|J_{n} u\right|^{2} \cdot J_{n} v\right)+J_{n}\left|J_{n} u\right|^{2},\end{array}\right.$

对应的初始数据为

$\label{1.7} \left(u\left(0\right),v\left(0\right),\partial_{t} v\left( 0\right)\right) =\left( J_{n}\varphi,J_{n}\psi_0,J_{n}\psi_1\right),$

其中, $J_n:=(I-\frac{1}{n}\Delta )^{-1}$ 是单位算子 $I$ 的 Yosida 逼近.与 (3.1)-(3.3) 式对应的积分方程为

$\left\{\begin{array}{l}u(t)=U(t) J_{n} \varphi-i \int_{0}^{t} U(t-s) J_{n}\left(\left(J_{n} v\right)^{2} \cdot J_{n} u-J_{n} v \cdot J_{n} u\right)(s) \mathrm{d} s, \\v(t)=\dot{K}(t) J_{n} \psi_{0}+K(t) J_{n} \psi_{1}+\int_{0}^{t} K(t-s) J_{n}\left(-2\left|J_{n} u\right|^{2} \cdot J_{n} v+\left|J_{n} u\right|^{2}\right)(s) \mathrm{d} s,\end{array}\right.$

其中, $U(t):=\exp(it\Delta)$, $K(t):=\omega^{-1}\sin(t\omega)$, $\dot{K}(t):=\cos(t\omega)$, $\omega =(I-\Delta )^{1/2}$. 由于 (3.4)-(3.5) 式的右端项在 $D(\Delta^2)\times D(\Delta)$ 中是局部 Lipschitz 的, 所以对于任意的 $n\in \mathbb{Z}$, (3.4)-(3.5) 式存在一个唯一的局部解 $(u_n,v_n)\in C(I_n;D(\Delta^2)\times D(\Delta^2))\cap C^2(I_n;D(\Delta)\times D(\Delta))$, 其中, $I_n$ 是一个包含零点在内的区间.

首先, 我们指出正则化系统的解序列 $(u_n,v_n,\partial_tv_n)$ 在 $H^2\times H^2\times H^1$ 上关于 $n$ 是一致有界的. 为了方便, 我们省略时间变量并用 $(\cdot|\cdot)$ 表示 $L^2$ 空间的内积.

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left\|u_n\right\|_2^2 & =2 \operatorname{Re}\left(\partial_t u_n \mid u_n\right)=2 \operatorname{Im}\left(i \partial_t u_n \mid u_n\right) \\ & =2 \operatorname{Im}\left(-\Delta u_n+J_n\left(\left(J_n v_n\right)^2 \cdot J_n u_n\right)-J_n\left(J_n v_n \cdot J_n u_n\right) \mid u_n\right) \\ & =2 \operatorname{Im}\left\|\nabla u_n\right\|_2^2+2 \operatorname{Im}\left(\left(J_n v_n\right)^2 \cdot J_n u_n \mid J_n u_n\right)-2 \operatorname{Im}\left(J_n v_n \cdot J_n u_n \mid J_n u_n\right)=0,\end{aligned}$
$\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}\left(\left\|\nabla u_{n}\right\|_{2}^{2}+\frac{1}{2}\left(\left\|\partial_{t} v_{n}\right\|_{2}^{2}+\left\|\nabla v_{n}\right\|_{2}^{2}+\left\|v_{n}\right\|_{2}^{2}\right)\right)\\\begin{aligned}= & 2 \operatorname{Re}\left(\partial_{t} \nabla u_{n} \mid \nabla u_{n}\right)+\left(\partial_{t}^{2} v_{n} \mid \partial_{t} v_{n}\right)+\left(\partial_{t} \nabla v_{n} \mid \nabla v_{n}\right)+\left(\partial_{t} v_{n} \mid v_{n}\right) \\= & -2 \operatorname{Re}\left(\partial_{t} u_{n} \mid \Delta u_{n}\right)+\left(\partial_{t}^{2} v_{n}-\Delta v_{n}+v_{n} \mid \partial_{t} v_{n}\right) \\= & -2 \operatorname{Re}\left(\partial_{t} u_{n} \mid-i \partial_{t} u_{n}+J_{n}\left(\left(J_{n} v_{n}\right)^{2} \cdot J_{n} u_{n}\right)-J_{n}\left(J_{n} v_{n} \cdot J_{n} u_{n}\right)\right) \\& +\left(-2 J_{n}\left(\left|J_{n} u_{n}\right|^{2} J_{n} v_{n}\right)+J_{n}\left|J_{n} u_{n}\right|^{2} \mid \partial_{t} v_{n}\right) \\= & -\left(\partial_{t}\left|J_{n} u_{n}\right|^{2} \mid\left(J_{n} v_{n}\right)^{2}\right)-\left(\left|J_{n} u_{n}\right|^{2} \mid \partial_{t}\left(J_{n} v_{n}\right)^{2}\right)+\left(\partial_{t}\left|J_{n} u_{n}\right|^{2} \mid J_{n} v_{n}\right)+\left(\left|J_{n} u_{n}\right|^{2} \mid \partial_{t} J_{n} v_{n}\right) \\= & -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}\left\|J_{n} u_{n} \cdot J_{n} v_{n}\right\|_{2}^{2}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}\left(\left|J_{n} u_{n}\right|^{2} \mid J_{n} v_{n}\right)\end{aligned}\end{array}$

由此可得

$\left\|u_n(t) \right\|_2^2=\left\|u_n(0) \right\|_2^2=\left\| J_n\varphi\right\|_2^2 \label{3.3},$
$E_n(t)=E_n(0).\label{3.4}$

其中

$\begin{matrix}\label{3.5} E_n(t):&=\|\nabla u_n\|_{2}^{2}+\frac{1}{2}\left(\|\partial_{t} v_n\|_{2}^{2}+\|\nabla v_n\|_{2}^{2}+\|v_n\|_{2}^{2}+\right)+\left\| J_nu_n\cdot J_nv_n\right\| _2^2-\left(J_nv_n||J_nu_n|^{2}\right). \end{matrix}$

下面, 我们利用引理 2.2 和引理 (2.3) 对 (3.10) 式右端的最后一项进行估计.

当 $N=1$ 时, 由 Hölder 不等式和 Sobolev 嵌入 $H^1\hookrightarrow L^\infty$ 可得

$\begin{align} |(|J_{n}u_{n}|^{2}|J_{n}v_{n})|& \leq\|J_{n}u_{n}\|_{2}^{2}\|J_{n}v_{n}\|_{\infty} \leq C\|u_{n}\|_{2}^{2}\|v_{n}\|_{H^{1}},\nonumber \end{align}$

再利用 $L^2$ 守恒以及 Young 不等式可得

$\begin{matrix}...&\leq C\|\varphi\|_2^2(\|\nabla v_n\|_2^2+\|v_n\|_2^2)^{1/2} \nonumber\\ &\leq\frac{1}{4}(\|\nabla v_n\|_2^2+\|v_n\|_2^2)+C\|\varphi\|_2^4. \end{matrix}$

当 $N=2$ 时, 由 Hölder 不等式和引理 2.2 类似可得

$\begin{matrix} |(|J_{n}u_{n}|^{2}|J_{n}v_{n})|& \leq\|J_{n}u_{n}\|_{8/3}^{2}\|J_{n}v_{n}\|_{4}\leq C\|u_n\|_{H^1}^{1/2}\|u_n\|_2^{3/2}\|v_n\|_{H^1}\nonumber \\ &\leq C(\|\nabla u_n\|_2^2+\|\varphi\|_2^2)^{1/4}\|\varphi\|_2^{3/2}(\|\nabla v_n\|_2^2+\|v_n\|_2^2)^{1/2}\nonumber \\ &\leq\frac{1}{2}\|\nabla u_{n}\|_{2}^{2}+\frac{1}{4}(\|\nabla v_{n}\|_{2}^{2}+\|v_{n}\|_{2}^{2})+C(\|\varphi\|_{2}^{2}+\|\varphi\|_{2}^{6}). \end{matrix}$

进一步, 当 $N=3$ 时, 有

$\begin{matrix} |(|J_{n}u_{n}|^{2}|J_{n}v_{n})|& \leq\|J_{n}u_{n}\|_{12/5}^{2}\|J_{n}v_{n}\|_{6}\leq C\|u_n\|_{H^1}^{1/2}\|u_n\|_2^{3/2}\|v_n\|_{H^1} \nonumber\\ &\leq C(\|\nabla u_n\|_2^2+\|\varphi\|_2^2)^{1/4}\|\varphi\|_2^{3/2}(\|\nabla v_n\|_2^2+\|v_n\|_2^2)^{1/2} \nonumber\\ &\leq\frac{1}{2}\|\nabla u_{n}\|_{2}^{2}+\frac{1}{4}(\|\nabla v_{n}\|_{2}^{2}+\|v_{n}\|_{2}^{2})+C(\|\varphi\|_{2}^{2}+\|\varphi\|_{2}^{6}). \end{matrix}$

注意到 $\left\| J_nu_n\cdot J_nv_n\right\| _2^2\geq0$, 从而

$E_{n}(t) \geq\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}\left\|\nabla u_{n}\right\|_{2}^{2}+\frac{1}{4}\left(\left\|\partial_{t} v_{n}\right\|_{2}^{2}+\left\|\nabla v_{n}\right\|_{2}^{2}+\left\|v_{n}\right\|_{2}^{2}\right)-C\|\varphi\|_{2}^{4}, & \text { 当 } N=1 \text { 时, } \\\frac{1}{2}\left\|\nabla u_{n}\right\|_{2}^{2}+\frac{1}{4}\left(\left\|\partial_{t} v_{n}\right\|_{2}^{2}+\left\|\nabla v_{n}\right\|_{2}^{2}+\left\|v_{n}\right\|_{2}^{2}\right)-C\left(\|\varphi\|_{2}^{2}+\|\varphi\|_{2}^{6}\right), & \text { 当 } N=2,3 \text { 时. }\end{array}\right.$

另外

$\begin{matrix}\label{3.11} E_{n}(0)&=\|\nabla J_{n}\varphi\|_{2}^{2}+\frac{1}{2}(\|J_{n}\psi_{1}\|_{2}^{2}+\|\nabla J_{n}\psi_{0}\|_{2}^{2}+\|J_{n}\psi_{0}\|_{2}^{2})+\left\| J_n^{2}\varphi\cdot J_n^{2}\psi_0\right\|_2^2 -(|J_{n}^{2}\varphi|^{2}|J_{n}^{2}\psi_{0})\nonumber \\ &\leq\|\nabla\varphi\|_{2}^{2}+\frac{1}{2}(\|\nabla\psi_{0}\|_{2}^{2}+\|\psi_{0}\|_{2}^{2}+\|\psi_{1}\|_{2}^{2})+C\|\varphi\|_{H^{1}}^{2}\|\psi_{0}\|_{H^{1}}^2+C\|\varphi\|_{H^{1}}^{2}\|\psi_{0}\|_{H^{1}}. \end{matrix}$

因此, 由 (3.9), (3.14) 和 (3.15) 式可得

$\begin{matrix}\label{3.12} &~~~~\frac{1}{2}\|\nabla u_n\|_2^2 +\frac{1}{4}(\|\partial_tv_n\|_2^2+\|\nabla v_n\|_2^2+\|v_n\|_2^2)\nonumber\\ &\leq E_n(0)+C(\|\varphi\|_2^2+\|\varphi\|_2^6) \nonumber\\ &\leq\|\nabla\varphi\|_2^2+\frac12(\|\nabla\psi_0\|_2^2+\|\psi_0\|_2^2+\|\psi_1\|_2^2)+C\|\varphi\|_{H^{1}}^{2}\|\psi_{0}\|_{H^{1}}^2\nonumber\\ &\quad+C\|\varphi\|_{H^1}^2\|\psi_0\|_{H^1}+C(\|\varphi\|_2^2+\|\varphi\|_2^6). \end{matrix}$

(3.8) 和 (3.16) 式在 $t\in\mathbb{R}$ 和 $n\geq1$ 时是一致的, 这也意味着有限能量解 $(u_n,v_n,\partial_tv_n)$ 的全局存在性. 我们不妨设 $H^1\times H^1\times L^2$ 上的界为 $M_1$. 另外, 为了后续论证的需要, 这里我们令 $M_1\geq1$

$ \sup_{n\geq1}\sup_{t\in\mathbb{R}}(\|u_n(t)\|_{H^1}^2+\|v_n(t)\|_{H^1}^2+\|\partial_tv_n(t)\|_2^2)\leq M_1<\infty. $

接下来, 我们考虑在 $H^2\times H^2\times H^1$ 上的有界性, 为此, 我们计算

$\begin{matrix}\label{3.14} &~~~~\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\partial_tu_n\|_2^2+\frac{1}{2}(\|\nabla\partial_tv_n\|_2^2+\|\Delta v_n\|_2^2+\|\nabla v_n\|_2^2)) \nonumber\\ &=2\mathrm{Im}(i\partial_t^2u_n|\partial_tu_n)+(\nabla\partial_t^2v_n|\nabla\partial_tv_n)+(\Delta\partial_tv_n|\Delta v_n)+(\nabla\partial_tv_n|\nabla v_n) \nonumber\\ &=2\mathrm{Re}(2J_n(J_n\partial_tv_n\cdot J_nv_n\cdot J_nu_n)|-\Delta u_n+J_n((J_nv_n )^2\cdot J_nu_n ) -J_n(J_nv_n\cdot J_nu_n))\nonumber\\ &\quad-2\mathrm{Re}(J_n(J_n\partial_tv_n\cdot J_nu_n )|-\Delta u_n+J_n((J_nv_n)^2\cdot J_nu_n) -J_n(J_nv_n\cdot J_nu_n))\nonumber\\ &\quad-2(\nabla\left( |J_nu_n|^2\cdot J_nv_n\right) |\nabla J_n\partial_tv_n)+(\nabla |J_nu_n|^2 |\nabla J_n\partial_tv_n)\nonumber\\ &=-2\left( J_n\partial_tv_n\cdot J_nv_n|2\mathrm{Re}\left( \overline{J_nu_n}\Delta J_nu_n\right) \right) +\left(J_n\partial_tv_n|2\mathrm{Re}\left( \overline{J_nu_n}\Delta J_nu_n\right) \right)\nonumber\\ &\quad+2\mathrm{Re}(2J_n(J_n\partial_tv_n\cdot J_nv_n\cdot J_nu_n)-J_n(J_n\partial_tv_n\cdot J_nu_n )|J_n((J_nv_n)^2\cdot J_nu_n )\nonumber\\ &\quad-J_n(J_nv_n\cdot J_nu_n ))-2(\nabla\left( |J_nu_n|^2\cdot J_nv_n\right) |\nabla J_n\partial_tv_n)+(\nabla |J_nu_n|^2 |\nabla J_n\partial_tv_n) \nonumber\\ &=-2\left(J_n\partial_tv_n\cdot J_nv_n|\Delta|J_nu_n|^2-2|\nabla J_nu_n|^2 \right)+\left(J_n\partial_tv_n|\Delta|J_nu_n|^2-2|\nabla J_nu_n|^2 \right)\nonumber\\ &\quad+2\mathrm{Re}(2J_n(J_n\partial_tv_n\cdot J_nv_n\cdot J_nu_n)-J_n(J_n\partial_tv_n\cdot J_nu_n )|J_n((J_nv_n)^2\cdot J_nu_n)\nonumber\\ &\quad-J_n(J_nv_n\cdot J_nu_n ))-2(\nabla\left( |J_nu_n|^2\cdot J_nv_n\right) |\nabla J_n\partial_tv_n)+(\nabla |J_nu_n|^2 |\nabla J_n\partial_tv_n) \nonumber\\ &=-2\left(J_n\partial_tv_n\cdot \nabla J_nv_n|\nabla|J_nu_n|^2 \right) +4\left(J_n\partial_tv_n\cdot J_nv_n||\nabla J_nu_n|^2 \right) -2\left(J_n\partial_tv_n||\nabla J_nu_n|^2 \right)\nonumber\\ &\quad+2\mathrm{Re}(2J_n(J_n\partial_tv_n\cdot J_nv_n\cdot J_nu_n )-J_n(J_n\partial_tv_n\cdot J_nu_n ) |J_n((J_nv_n )^2\cdot J_nu_n )\nonumber\\&\quad-J_n(J_nv_n\cdot J_nu_n )). \end{matrix}$

由于

$\begin{matrix} \|\partial_{t}u_{n}\|_{2}^{2}&=\|\Delta u_n-J_n(( J_nv_n)^2J_nu_n) +J_n(J_nv_nJ_nu_n)\|_2^2\nonumber \\ &=\|\Delta u_{n}\|_{2}^{2}+\|J_{n}(\left( J_{n}v_{n}\right) ^2J_{n}u_{n})\|_{2}^{2} +\|J_{n}(J_{n}v_{n}J_{n}u_{n})\|_{2}^{2} -2\mathrm{Re}(\Delta J_{n}u_{n}|\left( J_{n}v_{n}\right) ^2J_{n}u_{n})\nonumber\\ &\quad+2\mathrm{Re}(\Delta J_{n}u_{n}| J_{n}v_{n}J_{n}u_{n})-2\mathrm{Re}(J_n( (J_nv_n )^2J_nu_n) |J_n( J_nv_nJ_nu_n))\nonumber \\ &=\|\Delta u_{n}\|_{2}^{2}+\|J_{n}(\left( J_{n}v_{n}\right) ^2J_{n}u_{n})\|_{2}^{2} +\|J_{n}(J_{n}v_{n} J_{n}u_{n})\|_{2}^{2} +2\left( J_nv_n\cdot \nabla J_nv_n|\nabla|J_nu_n|^2\right)\nonumber\\ &\quad+2((J_nv_n)^2||\nabla J_nu_n|^2 ) -( \nabla J_nv_n|\nabla |J_nu_n|^2)-2(J_nv_n||\nabla J_nu_n|^2)\nonumber\\ &\quad-2\mathrm{Re}(J_n((J_nv_n)^2\cdot J_nu_n ) |J_n(J_nv_n\cdot J_nu_n)), \end{matrix}$

所以, 我们引入一个自然的二阶能量 $F_n(t)$

$\begin{matrix}\label{3.16} F_{n}(t):=&\|\Delta u_n\|_2^2+\frac{1}{2}(\|\nabla\partial_tv_n\|_2^2+\|\Delta v_n\|_2^2+\|\nabla v_n\|_2^2)+\|J_{n}(\left( J_{n}v_{n}\right) ^2J_{n}u_{n})\|_{2}^{2} \nonumber\\ \quad&+2( J_nv_n\cdot \nabla J_nv_n|\nabla|J_nu_n|^2)+2((J_nv_n)^2||\nabla J_nu_n|^2 ) -( \nabla J_nv_n|\nabla |J_nu_n|^2)\nonumber\\ \quad&+\|J_{n}(J_{n}v_{n}\cdot J_{n}u_{n})\|_{2}^{2}-2( J_nv_n||\nabla J_nu_n|^2) -2\mathrm{Re}(J_n( (J_nv_n )^2J_nu_n ) |J_n( J_nv_n\cdot J_nu_n)). \end{matrix}$

进而, (3.18) 式可以重写为

$\begin{matrix}\label{3.17} F_{n}^{\prime}(t)=&-2(J_n\partial_tv_n\cdot \nabla J_nv_n|\nabla|J_nu_n|^2 ) +4(J_n\partial_tv_n\cdot J_nv_n||\nabla J_nu_n|^2 ) -2(J_n\partial_tv_n||\nabla J_nu_n|^2)\nonumber\\ \quad&+2\mathrm{Re}(J_n(2J_n\partial_tv_nJ_nv_n J_nu_n-J_n\partial_tv_nJ_nu_n)|J_n((J_nv_n)^2 J_nu_n)-J_n(J_nv_nJ_nu_n)). \end{matrix}$

接下来, 估计 (3.20) 式右端的不确定项.

当 $N=1$ 时,

$\begin{matrix}\label{3.18} &\left| \left( J_nv_n\cdot \nabla J_nv_n|\nabla|J_nu_n|^2\right)\right|\leq2\left\|J_nv_n \right\|_\infty\left\|\nabla v_n \right\|_2\left\|J_nu_n \right\|_\infty\left\|\nabla u_n \right\|_2\leq C\left\| v_n\right\|_{H^1}^2\left\| u_n\right\|_{H^1}^2 \leq CM_1^2,\nonumber\\ &\left|((J_nv_n )^2||\nabla J_nu_n|^2 )\right| \leq\left\|J_nv_n \right\|_\infty^2\left\|\nabla u_n \right\|_2^2\leq C\left\| v_n\right\|_{H^1}^2\left\|\nabla u_n \right\|_{H^1}^2 \leq CM_1^2,\nonumber\\ &\left|\left( \nabla J_nv_n|\nabla |J_nu_n|^2\right) \right| \leq2\left\|\nabla v_n \right\|_2\left\|J_nu_n \right\|_\infty\left\| \nabla u_n\right\|_2 \leq C\left\| \nabla v_n\right\|_2\left\| u_n\right\|_{H^1}^2\leq CM_1^{3/2},\nonumber\\ &\left|\left( J_nv_n||\nabla J_nu_n|^2\right) \right| \leq\left\|J_nv_n \right\|_\infty\left\| \nabla u_n\right\|_2^2 \leq C\left\|v_n \right\|_{H^1}\left\| \nabla u_n\right\|_2^2\leq CM_1^{3/2},\nonumber\\ &\left|(J_n((J_nv_n)^2\cdot J_nu_n)|J_n( J_nv_n\cdot J_nu_n))\right| \leq \left\|J_nv_n \right\|_\infty^3\left\|J_nu_n \right\|_2^2 \leq C\left\| v_n\right\|_{H^1}^3\left\|u_n \right\|_2^2\leq CM_1^{5/2}. \end{matrix}$

当 $N=2$ 时,

$\begin{matrix}{l}\left|\left(\left.J_{n} v_{n} \cdot \nabla J_{n} v_{n}|\nabla| J_{n} u_{n}\right|^{2}\right)\right| \leq 2\left\|J_{n} v_{n}\right\|_{4}\left\|\nabla J_{n} v_{n}\right\|_{4}\left\|J_{n} u_{n}\right\|_{4}\left\|\nabla J_{n} u_{n}\right\|_{4} \\\leq C\left\|v_{n}\right\|_{H^{1}}\left(\left\|v_{n}\right\|_{H^{2}}^{1 / 2}\left\|v_{n}\right\|_{H^{1}}^{1 / 2}\right)\left\|u_{n}\right\|_{H^{1}}\left(\left\|u_{n}\right\|_{H^{2}}^{1 / 2}\left\|u_{n}\right\|_{H^{1}}^{1 / 2}\right) \\\leq C M_{1}^{3 / 2}\left(\left\|\Delta v_{n}\right\|_{2}^{2}+\left\|v_{n}\right\|_{2}^{2}\right)^{1 / 4}\left(\left\|\Delta u_{n}\right\|_{2}^{2}+\|\varphi\|_{2}^{2}\right)^{1 / 4} \\\left|\left(\left(J_{n} v_{n}\right)^{2} \|\left.\nabla J_{n} u_{n}\right|^{2}\right)\right| \leq \frac{1}{8}\left\|\Delta v_{n}\right\|_{2}^{2}+\frac{1}{16}\left\|\Delta u_{n}\right\|_{2}^{2}+C\left(M_{1}+M_{1}^{3}\right) \\\leq C M_{1}^{7 / 4}\left(\left\|\Delta u_{n}\right\|_{2}^{2}\left\|\nabla u_{n}\right\|_{2}\left\|\nabla J_{n} u_{n}\right\|_{4} \leq C\left\|v_{n}^{2}\right\|_{H^{1}}^{2}\left\|u_{n}\right\|_{H^{1}}^{3 / 2}\left\|u_{n}\right\|_{H^{2}}^{1 / 2}\right. \\\left|\left(\left.\nabla J_{n} v_{n}|\nabla| J_{n} u_{n}\right|^{2}\right)\right| \leq 2\left\|\nabla v_{n}\right\|_{2}\left\|\nabla J_{n} u_{n}\right\|_{4}\left\|J_{n} u_{n}\right\|_{4} \leq C M_{1}^{5 / 4}\left(\left\|\Delta u_{n}\right\|_{2}^{2}+\|\varphi\|_{2}^{2}\right)^{1 / 4} \\\leq \frac{1}{8}\left\|\Delta u_{n}\right\|_{2}^{2}+C\left(M_{1}+M_{1}^{5 / 3}\right) \\\left|\left(\left.J_{n} v_{n}| | \nabla J_{n} u_{n}\right|^{2}\right)\right| \leq\left\|J_{n} v_{n}\right\|_{4}\left\|\nabla u_{n}\right\|_{2}\left\|\nabla J_{n} u_{n}\right\|_{4} \leq C\left\|v_{n}\right\|_{H^{1}}\left\|u_{n}\right\|_{H^{1}}^{3 / 2}\left\|u_{n}\right\|_{H^{2}}^{1 / 2} \\\leq C M_{1}^{5 / 4}\left(\left\|\Delta u_{n}\right\|_{2}^{2}+\|\varphi\|_{2}^{2}\right)^{1 / 4} \leq \frac{1}{16}\left\|\Delta u_{n}\right\|_{2}^{2}+C\left(M_{1}+M_{1}^{5 / 3}\right) \\\left|\left(J_{n}\left(\left(J_{n} v_{n}\right)^{2} \cdot J_{n} u_{n}\right) \mid J_{n}\left(J_{n} v_{n} \cdot J_{n} u_{n}\right)\right)\right| \leq\left\|J_{n} v_{n}\right\|_{4}^{3}\left\|J_{n} u_{n}\right\|_{8}^{2} \leq C\left\|v_{n}\right\|_{H^{1}}^{3}\left\|u_{n}\right\|_{H^{1}}^{2} \leq C M_{1}^{5 / 2}\end{matrix}$

当 $N=3$ 时,

$\begin{matrix} \left| \left( J_nv_n\cdot \nabla J_nv_n|\nabla|J_nu_n|^2\right)\right| &\leq2\left\|J_nv_n \right\|_6\left\|\nabla J_nv_n \right\|_3\left\|J_nu_n \right\|_6\left\|\nabla J_nu_n \right\|_3\nonumber\\ &\leq C\left\| v_n\right\|_{H^1}( \left\| v_n\right\|_{H^2}^{1/2}\left\| v_n\right\|_{H^1}^{1/2})\left\| u_n\right\|_{H^1}( \left\| u_n\right\|_{H^2}^{1/2}\left\| u_n\right\|_{H^1}^{1/2}) \nonumber\\ &\leq CM_1^{3/2}(\left\|\Delta v_n \right\|_2^2+\left\| v_n\right\|_2^2 )^{1/4}(\left\|\Delta u_n \right\|_2^2+\left\|\varphi\right\|_2^2 )^{1/4}\nonumber\\&\leq\frac{1}{8}\left\|\Delta v_n \right\|_2^2+\frac{1}{16}\left\|\Delta u_n \right\|_2^2+C\left(M_1+M_1^3 \right),\nonumber\\ \left|((J_nv_n )^2||\nabla J_nu_n|^2 ) \right|& \leq\left\|J_nv_n \right\|_6^2\left\|\nabla J_n u_n \right\|_3^2\leq C\left\| v_n\right\|_{H^1}^2\left\|u_n \right\|_{H^1}\left\|u_n \right\|_{H^2}\nonumber\\ &\leq CM_1^{3/2}(\left\|\Delta u_n \right\|_2^2+\left\|\varphi\right\|_2^2 )^{1/2} \leq \frac{1}{16}\left\|\Delta u_n \right\|_2^2+C\left(M_1+M_1^3 \right),\nonumber\\ \left|\left( \nabla J_nv_n|\nabla |J_nu_n|^2\right) \right|& \leq2\left\|\nabla v_n \right\|_2\left\|\nabla J_nu_n \right\|_3\left\| J_n u_n\right\|_6 \leq C\left\| \nabla v_n\right\|_2( \left\| u_n\right\|_{H^2}^{1/2}\left\| u_n\right\|_{H^1}^{1/2})\left\| u_n\right\|_{H^1}\nonumber\\ \leq CM_1^{5/4}(\left\|\Delta u_n \right\|_2^2+\left\|\varphi\right\|_2^2 )^{1/4}\nonumber\\&\leq\frac{1}{8}\left\|\Delta u_n \right\|_2^2+C(M_1+M_1^{5/3}),\nonumber\\ \left|\left( J_nv_n||\nabla J_nu_n|^2\right) \right|& \leq\left\|J_nv_n \right\|_6\left\| \nabla J_nu_n\right\|_{12/5}^2\leq C\left\|v_n \right\|_{H^1}\left\| u_n\right\|_{H^2}^{1/2}\left\|u_n \right\|_{H^1}^{3/2}\nonumber\\ &\leq CM_1^{5/4}(\left\|\Delta u_n \right\|_2^2+\left\|\varphi\right\|_2^2 )^{1/4}\leq\frac{1}{16}\left\|\Delta u_n \right\|_2^2+C(M_1+M_1^{5/3}),\nonumber\\ \left|(J_n((J_nv_n )^2\cdot J_nu_n ) |J_n(\right.&\left.J_nv_n\cdot J_nu_n))\right| \leq \left\|J_nv_n \right\|_6^3\left\|J_nu_n \right\|_4^2\leq C\left\| v_n\right\|_{H^1}^3\left\|u_n \right\|_{H^1}^2\leq CM_1^{5/2}. \end{matrix}$

由 (3.20), (3.22)-(3.24) 式可得

$\begin{matrix} &~~~~\|\Delta u_{n}\|_{2}^{2}+\frac{1}{2}(\|\nabla\partial_{t}v_{n}\|_{2}^{2}+\|\Delta v_{n}\|_{2}^{2}+\|\nabla v_{n}\|_{2}^{2})\nonumber \\ &~~~+\|J_{n}(\left( J_{n}v_{n}\right) ^2\cdot J_{n}u_{n})\|_{2}^{2} +\|J_{n}(J_{n}v_{n}\cdot J_{n}u_{n})\|_{2}^{2}\nonumber \\ &\leq2F_n(t)+C(M_1+M_1^3)\nonumber\\ &\leq4\|\Delta u_{n}\|_{2}^{2}+2(\|\nabla\partial_{t}v_{n}\|_{2}^{2}+\|\Delta v_{n}\|_{2}^{2}+\|\nabla v_{n}\|_{2}^{2})+C(M_1+M_1^5). \end{matrix}$
$\begin{aligned}\left\|J_n\left(\left(J_n v_n\right)^2 \cdot J_n u_n\right)\right\|_2^2 & \leq\left\|\left(J_n v_n\right)^2 \cdot J_n u_n\right\|_2^2 \leq C\left\|v_n\right\|_4^4\left\|J_n u_n\right\|_{\infty}^2 \\ & \leq C M_1^2\left\|J_n u_n\right\|_{\infty}^2 \leq C M_1^2\left\|u_n\right\|_{H^2}\left\|u_n\right\|_{H^1} \\ & \leq \frac{1}{4}\left\|\Delta u_n\right\|_2^2+C\left(M_1+M_1^5\right),\end{aligned}$
$\begin{aligned}\left\|J_n\left(J_n v_n \cdot J_n u_n\right)\right\|_2^2 & \leq\left\|J_n v_n \cdot J_n u_n\right\|_2^2 \leq C\left\|v_n\right\|_2^2\left\|J_n u_n\right\|_{\infty}^2 \\ & \leq C M_1\left\|J_n u_n\right\|_{\infty}^2 \leq C M_1\left\|u_n\right\|_{H^2}\left\|u_n\right\|_{H^1} \\ & \leq \frac{1}{4}\left\|\Delta u_n\right\|_2^2+C\left(M_1+M_1^3\right).\end{aligned}$
$\begin{aligned} \left|\left(\left.J_{n} \partial_{t} v_{n} \cdot \nabla J_{n} v_{n}|\nabla| J_{n} u_{n}\right|^{2}\right)\right| & \leq 2\left\|J_{n} \partial_{t} v_{n}\right\|_{2}\left\|\nabla v_{n}\right\|_{4}\left\|J_{n} u_{n}\right\|_{\infty}\left\|\nabla u_{n}\right\|_{4} \\ & \leq C\left\|\partial_{t} v_{n}\right\|_{2}\left\|v_{n}\right\|_{H^{2}}^{1 / 4}\left\|v_{n}\right\|_{H^{1}}^{3 / 4}\left\|u_{n}\right\|_{H^{1}}^{7 / 4}\left\|u_{n}\right\|_{H^{2}}^{1 / 4} \\ & \leq C M_{1}^{7 / 4}\left(\left\|\Delta u_{n}\right\|_{2}^{2}+\left\|\Delta v_{n}\right\|_{2}^{2}+M_{1}\right)^{1 / 4},\end{aligned}$
$\begin{array}{l}\left|\left(J_{n} \partial_{t} v_{n} \cdot J_{n} v_{n} \|\left.\nabla J_{n} u_{n}\right|^{2}\right)\right| \leq\left\|J_{n} \partial_{t} v_{n}\right\|_{2}\left\|J_{n} v_{n}\right\|_{\infty}\left\|\nabla J_{n} u_{n}\right\|_{4}^{2}\\\begin{array}{l}\leq C\left\|\partial_{t} v_{n}\right\|_{2}\left\|v_{n}\right\|_{H^{1}}\left\|u_{n}\right\|_{H^{2}}^{1 / 2}\left\|u_{n}\right\|_{H^{1}}^{3 / 2} \\\leq C M_{1}^{7 / 4}\left(\left\|\Delta u_{n}\right\|_{2}^{2}+M_{1}\right)^{1 / 4},\end{array}\end{array}$
$\begin{aligned} \left|\left(J_{n} \partial_{t} v_{n} \|\left.\nabla J_{n} u_{n}\right|^{2}\right)\right| & \leq\left\|J_{n} \partial_{t} v_{n}\right\|_{2}\left\|\nabla J_{n} u_{n}\right\|_{4}^{2} \\ & \leq C\left\|\partial_{t} v_{n}\right\|_{2}\left\|u_{n}\right\|_{H^{2}}^{1 / 2}\left\|u_{n}\right\|_{H^{1}}^{3 / 2} \\ & \leq C M_{1}^{5 / 4}\left(\left\|\Delta u_{n}\right\|_{2}^{2}+M_{1}\right)^{1 / 4},\end{aligned}$
$\begin{aligned} \left|\left(2 J_{n}\left(J_{n} \partial_{t} v_{n} \cdot J_{n} v_{n} \cdot J_{n} u_{n}\right) \mid J_{n}\left(\left(J_{n} v_{n}\right)^{2} \cdot J_{n} u_{n}\right)\right)\right| & \leq 2\left\|J_{n} \partial_{t} v_{n}\right\|_{2}\left\|J_{n} v_{n}\right\|_{6}^{3}\left\|J_{n} u_{n}\right\|_{\infty}^{2} \\ & \leq C\left\|\partial_{t} v_{n}\right\|_{2}\left\|v_{n}\right\|_{H^{1}}^{3}\left\|u_{n}\right\|_{H^{1}}^{2} \leq C M_{1}^{3},\end{aligned}$
$\begin{aligned} \left|\left(2 J_{n}\left(J_{n} \partial_{t} v_{n} \cdot J_{n} v_{n} \cdot J_{n} u_{n}\right) \mid J_{n}\left(J_{n} v_{n} \cdot J_{n} u_{n}\right)\right)\right| & \leq 2\left\|J_{n} \partial_{t} v_{n}\right\|_{2}\left\|J_{n} v_{n}\right\|_{4}^{2}\left\|J_{n} u_{n}\right\|_{\infty}^{2} \\ & \leq C\left\|\partial_{t} v_{n}\right\|_{2}\left\|v_{n}\right\|_{H^{1}}^{2}\left\|u_{n}\right\|_{H^{1}}^{2} \leq C M_{1}^{5 / 2},\end{aligned}$
$\begin{aligned} \left|\left(J_{n}\left(J_{n} \partial_{t} v_{n} \cdot J_{n} u_{n}\right) \mid J_{n}\left(\left(J_{n} v_{n}\right)^{2} \cdot J_{n} u_{n}\right)\right)\right| & \leq\left\|J_{n} \partial_{t} v_{n}\right\|_{2}\left\|J_{n} v_{n}\right\|_{4}^{2}\left\|J_{n} u_{n}\right\|_{\infty}^{2} \\ & \leq C\left\|\partial_{t} v_{n}\right\|_{2}\left\|v_{n}\right\|_{H^{1}}^{2}\left\|u_{n}\right\|_{H^{1}}^{2} \leq C M_{1}^{5 / 2}, \end{aligned}$
$\begin{aligned} \left|\left(J_{n}\left(J_{n} \partial_{t} v_{n} \cdot J_{n} u_{n}\right) \mid J_{n}\left(J_{n} v_{n} \cdot J_{n} u_{n}\right)\right)\right| & \leq\left\|\partial_{t} v_{n}\right\|_{2}\left\|J_{n} u_{n}\right\|_{4}^{2}\left\|J_{n} v_{n}\right\|_{\infty} \\ & \leq C\left\|\partial_{t} v_{n}\right\|_{2}\left\|u_{n}\right\|_{H^{1}}^{2}\left\|v_{n}\right\|_{H^{1}} \leq C M_{1}^{2} \end{aligned}$.

当 $N=2$ 时,

$\begin{matrix} \left|\left(J_n\partial_tv_n\cdot \nabla J_nv_n|\nabla|J_nu_n|^2 \right) \right|& \leq2\left\|J_n\partial_tv_n \right\|_2\left\|\nabla J_nv_n \right\|_6\left\|J_nu_n \right\|_6\left\|\nabla J_n u_n\right\|_6\nonumber\\ &\leq C\left\| \partial_tv_n\right\|_2\left\|v_n \right\|_{H^2}^{2/3}\left\|v_n \right\|_{H^1}^{1/3}\left\|u_n \right\|_{H^1}^{4/3}\left\|u_n \right\|_{H^2}^{2/3}\nonumber\\&\leq CM_1^{4/3}(\left\| \Delta v_n\right\|_2^2 +\left\|\Delta u_n \right\|_2^2+M_1)^{2/3}, \end{matrix}$
$\begin{matrix} \left| \left(J_n\partial_tv_n\cdot J_nv_n||\nabla J_nu_n|^2 \right)\right|&\leq\left\| J_n\partial_tv_n\right\|_2\left\|J_nv_n \right\|_6\left\| \nabla J_nu_n\right\|_6^2\nonumber\\ &\leq C\left\| \partial_tv_n\right\|_2\left\|v_n \right\|_{H^1}\left\| u_n \right\|_{H^2}^{4/3}\left\| u_n \right\|_{H^1}^{2/3}\nonumber\\ &\leq CM_1^{4/3}(\left\| \Delta u_n\right\|_2^2 +M_1)^{2/3}, \end{matrix}$
$\begin{matrix}\left|\left(J_n\partial_tv_n||\nabla J_nu_n|^2 \right) \right|&\leq\left\| J_n\partial_tv_n\right\|_2\left\| \nabla J_nu_n\right\|_4^2 \nonumber\\ &\leq C\left\| \partial_tv_n\right\|_2\left\|u_n \right\|_{H^2} \left\| u_n \right\|_{H^1}\nonumber\\ &\leq CM_1( \left\| \Delta u_n\right\|_2^2+M_1 )^{1/2}, \end{matrix}$
$\begin{matrix} \left|(2J_n\left(J_n\partial_tv_n\cdot J_nv_n\cdot J_nu_n \right)|J_n((J_nv_n )^2\cdot J_nu_n)) \right|&\leq2\left\|J_n\partial_tv_n \right\|_6\left\|J_nv_n \right\|_6^3\left\|J_nu_n \right\|_6^2\nonumber\\ &\leq C\left\|\partial_tv_n \right\|_{H^1}\left\|v_n \right\|_{H^1}^3\left\| u_n\right\|_{H^1}^2\nonumber\\ &\leq CM_1^{5/2}( \left\| \nabla\partial_tv_n\right\|_2^2+M_1)^{1/2}, \end{matrix}$
$\begin{matrix} \left|\left(2J_n\left(J_n\partial_tv_n\cdot J_nv_n\cdot J_nu_n \right)|J_n\left( J_nv_n\cdot J_nu_n\right)\right) \right|&\leq2 \left\|J_n\partial_tv_n \right\|_6\left\|J_nv_n \right\|_4^2\left\| J_nu_n\right\|_6^2 \nonumber \\ &\leq C\left\|\partial_tv_n \right\|_{H^1} \left\| v_n\right\|_{H^1}^2 \left\|u_n \right\|_{H^1}^2\nonumber \\&\leq C M_1^{2}( \left\| \nabla\partial_tv_n\right\|_2^2+M_1 )^{1/2}, \end{matrix}$
$\begin{matrix} \left|( J_n(J_n\partial_tv_n\cdot J_nu_n) |J_n( (J_nv_n )^2\cdot J_nu_n))\right|&\leq \left\|J_n\partial_tv_n \right\|_6\left\|J_nv_n \right\|_4^2\left\| J_nu_n\right\|_6^2 \nonumber\\ & \leq C\left\|\partial_tv_n \right\|_{H^1} \left\| v_n\right\|_{H^1}^2 \left\|u_n \right\|_{H^1}^2\nonumber \\&\leq C M_1^{2}( \left\| \nabla\partial_tv_n\right\|_2^2+M_1 )^{1/2}, \end{matrix}$
$\begin{matrix} \left|\left( J_n\left(J_n\partial_tv_n\cdot J_nu_n\right)|J_n\left( J_nv_n\cdot J_nu_n\right)\right) \right|&\leq\left\| \partial_tv_n\right\|_2\left\|J_n u_n \right\|_6^2\left\| J_nv_n\right\|_6 \nonumber\\ &\leq C\left\|\partial_tv_n \right\|_2 \left\|u_n \right\|_{H^1}^2 \left\|v_n \right\|_{H^1}\leq CM_1^2. \end{matrix}$

当 $N=3$ 时,

$\begin{aligned}\left|\left(\left.J_{n} \partial_{t} v_{n} \nabla J_{n} v_{n}|\nabla| J_{n} u_{n}\right|^{2}\right)\right| & \leq 2\left\|J_{n} \partial_{t} v_{n}\right\|_{6}\left\|\nabla J_{n} v_{n}\right\|_{6}\left\|J_{n} u_{n}\right\|_{6}\left\|\nabla u_{n}\right\|_{2} \\& \leq C\left\|\partial_{t} v_{n}\right\|_{H^{1}}\left\|v_{n}\right\|_{H^{2}}\left\|u_{n}\right\|_{H^{1}}^{2} \\& \leq C M_{1}\left(\left\|\nabla \partial_{t} v_{n}\right\|_{2}^{2}+\left\|\Delta v_{n}\right\|_{2}^{2}+M_{1}\right),\end{aligned}$
$\begin{matrix}\left| \left(J_n\partial_tv_n\cdot J_nv_n||\nabla J_nu_n|^2 \right)\right|&\leq\left\| J_n\partial_tv_n\right\|_6\left\|J_nv_n \right\|_6\left\| \nabla J_nu_n\right\|_3^2\nonumber\\ &\leq C\left\| \partial_tv_n\right\|_{H^1}\left\|v_n \right\|_{H^1}\left\| u_n \right\|_{H^2}\left\| u_n \right\|_{H^1}\nonumber\\\leq CM_1( \left\| \nabla\partial_tv_n\right\|_2^2+M_1 )^{1/2}(\left\| \Delta u_n\right\|_2^2+\left\| \varphi\right\|_2^2)^{1/2}\nonumber\\ &\leq CM_1(\left\| \nabla\partial_tv_n\right\|_2^2+\left\| \Delta u_n\right\|_2^2 +M_1), \end{matrix}$
$\begin{matrix}\left|\left(J_n\partial_tv_n||\nabla J_nu_n|^2 \right) \right|&\leq\left\| J_n\partial_tv_n\right\|_2\left\| \nabla J_nu_n\right\|_4^2 \nonumber\\ &\leq C\left\| \partial_tv_n\right\|_2\left\|u_n \right\|_{H^2}^{3/2} \left\| u_n \right\|_{H^1}^{1/2}\nonumber\\&\leq CM_1^{3/4}( \left\| \Delta u_n\right\|_2^2+M_1 )^{3/4}, \end{matrix}$
$\begin{matrix}\left|(2J_n\left(J_n\partial_tv_n\cdot J_nv_n\cdot J_nu_n \right)|J_n((J_nv_n )^2\cdot J_nu_n)) \right|&\leq2\left\|J_n\partial_tv_n \right\|_6\left\|J_nv_n \right\|_6^3\left\|J_nu_n \right\|_6^2\nonumber\\ &\leq C\left\|\partial_tv_n \right\|_{H^1}\left\|v_n \right\|_{H^1}^3\left\| u_n\right\|_{H^1}^2\nonumber\\ &\leq CM_1^{5/2}( \left\| \nabla\partial_tv_n\right\|_2^2+M_1)^{1/2}, \end{matrix}$
$\begin{matrix}\left|\left(2J_n\left(J_n\partial_tv_n\cdot J_nv_n\cdot J_nu_n \right)|J_n\left( J_nv_n\cdot J_nu_n\right)\right) \right|&\leq2 \left\|J_n\partial_tv_n \right\|_6\left\|J_nv_n \right\|_4^2\left\| J_nu_n\right\|_6^2 \nonumber \\ &\leq C\left\|\partial_tv_n \right\|_{H^1} \left\| v_n\right\|_{H^1}^2 \left\|u_n \right\|_{H^1}^2\nonumber \\&\leq C M_1^{2}( \left\| \nabla\partial_tv_n\right\|_2^2+M_1 )^{1/2}, \end{matrix}$
$\begin{matrix}\left|( J_n(J_n\partial_tv_n\cdot J_nu_n) |J_n( (J_nv_n )^2\cdot J_nu_n))\right|&\leq \left\|J_n\partial_tv_n \right\|_6\left\|J_nv_n \right\|_4^2\left\| J_nu_n\right\|_6^2 \nonumber\\ & \leq C\left\|\partial_tv_n \right\|_{H^1} \left\| v_n\right\|_{H^1}^2 \left\|u_n \right\|_{H^1}^2\nonumber \\&\leq C M_1^{2}( \left\| \nabla\partial_tv_n\right\|_2^2+M_1 )^{1/2}, \end{matrix}$
$\begin{matrix}\left|\left( J_n\left(J_n\partial_tv_n\cdot J_nu_n\right)|J_n\left( J_nv_n\cdot J_nu_n\right)\right) \right|&\leq\left\| \partial_tv_n\right\|_2\left\|J_n u_n \right\|_6^2\left\| J_nv_n\right\|_6 \nonumber\\ &\leq C\left\|\partial_tv_n \right\|_2 \left\|u_n \right\|_{H^1}^2 \left\|v_n \right\|_{H^1}\leq CM_1^2.\label{3.40} \end{matrix}$

由 (3.21), (3.25) 和 (3.28)-(3.48) 式可得

$\left|F_{n}^{\prime}(t)\right| \leq\left\{\begin{array}{ll}C M_{1}^{7 / 4}\left(F_{n}(t)+M_{1}+M_{1}^{5}\right)^{1 / 4}, & \text { 当 } N=1 \text { 时 } \\C M_{1}^{4 / 3}\left(F_{n}(t)+M_{1}+M_{1}^{5}\right)^{2 / 3}, & \text { 当 } N=2 \text { 时 } \\C M_{1}^{5 / 2}\left(F_{n}(t)+M_{1}+M_{1}^{5}\right), & \text { 当 } N=3 \text { 时 }\end{array}\right.$

用 $(F_n+M_1+M_1^5)'(t)$ 替换 (3.49)-(3.51) 式左端的 $F_n'(t)$, 并对相应的微分不等式积分可得

$F_{n}(t)+M_{1}+M_{1}^{5} \leq\left\{\begin{array}{ll}C\left(F_{n}(0)+M_{1}+M_{1}^{5}+M_{1}^{7 / 3}|t|^{4 / 3}\right), & \text { 当 } N=1 \text { 时 } \\C\left(F_{n}(0)+M_{1}+M_{1}^{5}+M_{1}^{4}|t|^{3}\right), & \text { 当 } N=2 \text { 时 } \\C\left(F_{n}(0)+M_{1}+M_{1}^{5}\right) \exp \left(C M_{1}^{5 / 2}|t|\right), & \text { 当 } N=3 \text { 时 }\end{array}\right.$

由 (3.25), (3.52)-(3.54) 式可得

$\begin{aligned}& \left\|\Delta u_{n}\right\|_{2}^{2}+\frac{1}{2}\left(\left\|\nabla \partial_{t} v_{n}\right\|_{2}^{2}+\left\|\Delta v_{n}\right\|_{2}^{2}+\left\|\nabla v_{n}\right\|_{2}^{2}\right) \\\leq & \left\{\begin{array}{ll}C\left(\|\Delta \varphi\|_{2}^{2}+\left\|\nabla \psi_{1}\right\|_{2}^{2}+\left\|\Delta \psi_{0}\right\|_{2}^{2}+\left\|\nabla \psi_{0}\right\|_{2}^{2}+M_{1}+M_{1}^{5}+M_{1}^{7 / 3}|t|^{4 / 3}\right), & \text { 当 } N=1 \text { 时 } \\C\left(\|\Delta \varphi\|_{2}^{2}+\left\|\nabla \psi_{1}\right\|_{2}^{2}+\left\|\Delta \psi_{0}\right\|_{2}^{2}+\left\|\nabla \psi_{0}\right\|_{2}^{2}+M_{1}+M_{1}^{5}+M_{1}^{4}|t|^{3}\right), & \text { 当 } N=2 \text { 时 } \\C\left(\|\Delta \varphi\|_{2}^{2}+\left\|\nabla \psi_{1}\right\|_{2}^{2}+\left\|\Delta \psi_{0}\right\|_{2}^{2}+\left\|\nabla \psi_{0}\right\|_{2}^{2}+M_{1}+M_{1}^{5}\right) \exp \left(C M_{1}^{5 / 2}|t|\right), & \text { 当 } N=3 \text { 时 }\end{array}\right.\end{aligned}$

(3.55) 式意味着强解 $(u_n,v_n,\partial_tv_n)$ 的全局存在性. 由 (3.17) 和 (3.55) 式, 我们最终得到解序列在 $H^2\times H^2\times H^1$ 上的一致的界, 即对任意的 $t\in \mathbb{R}$ 有

$\sup_{n\geq1}(\|u_n(t)\|_{H^2}^2+\|v_n(t)\|_{H^2}^2+\|\partial_tv_n(t)\|_{H^1}^2)\leq M_2(t). $

其中

$M_{2}(t)=\left\{\begin{array}{ll}C^{\prime}+C|t|^{4 / 3}, & \text { 当 } N=1 \text { 时 } \\C^{\prime}+C|t|^{3}, & \text { 当 } N=2 \text { 时 } \\C^{\prime} \exp (C|t|), & \text { 当 } N=3 \text { 时 }\end{array}\right.$

这里的 $C'$ 和 $C$ 是分别依赖于 $max\left(\left\|\varphi \left\|_{H^2}, \right\|\psi_0 \left\|_{H^2}, \right\|\psi_1 \right\|_{H^1} \right) $ 和 $max\left(\left\|\varphi \left\|_{H^1}, \right\|\psi_0 \left\|_{H^1}, \right\|\psi_1 \right\|_2 \right) $ 的常数.

4 近似解序列的收敛性

在本节中, 我们证明正则化系统的解序列 $(u_n,v_n,\partial_tv_n)$ 在 $H^1\times H^1\times L^2$ 中的收敛性, 具体地, 我们证明 $((u_n,v_n,\partial_tv_n);n\geq1)$ 对任意的 $T>0$,在 $L^\infty(-T,T;H^1\times H^1\times L^2)$ 上形成一个柯西列. 接下来, 我们省略时间变量 $t\in \left[-T,T \right] $ 并且将 (3.56) 式中的 $M_2(t)$ 缩写为 $M_2$.

对任意的 $m$, $n\geq1$ 且 $m>n$, 有

$\begin{matrix} &~~~~J_{m}(\left( J_{m}v_m \right) ^2\cdot J_{m}u_m)-J_{n}(\left( J_{n} v_n \right) ^2\cdot J_{n}u_n) \nonumber\\ &=J_{m}\left[ \right.J_{m}\left(v_m-v_n\right)\cdot J_{m} v_m \cdot J_{m} u_m+\left(J_{m}-J_{n}\right) v_n\cdot J_{m} v_m \cdot J_{m} u_m+J_{n} v_n \cdot J_{m}\left(v_m-v_n\right)\nonumber \\&\quad\cdot J_{m}u_m +J_{n}v_n\cdot\left(J_{m}-J_{n}\right)v_n\cdot J_{m}u_m+\left(J_{n}v_n\right)^2\cdot J_m\left(u_m-u_n\right)+\left( J_{n}v_n\right)^2\left(J_{m}-J_{n}\right) u_n\left.\right] \nonumber\\ &\quad+\left(J_{m}-J_{n}\right)(( J_{n} v_n) ^2 \cdot J_{n} u_n),\\ \end{matrix}$
$\begin{matrix} &~~~~J_{m}\left(J_{m}v_m \cdot J_{m}u_m\right)-J_{n}\left(J_{n} v_n \cdot J_{n}u_n\right) \nonumber\\ &=J_{m}\left[ \right.J_{m}\left(v_m-v_n\right) \cdot J_{m} u_m+\left(J_{m}-J_{n}\right) v_n \cdot J_{m} u_m+J_{n} v_n \cdot J_{m}\left(u_m-u_n\right)\nonumber\\ &\quad+J_{n}v_n \cdot\left(J_{m}-J_{n}\right) u_n\left.\right]+\left(J_{m}-J_{n}\right)\left(J_{n} v_n \cdot J_{n} u_n\right). \end{matrix}$

因此

$\begin{matrix}\label{4.3} &~~~~\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u_m-u_n\|_2^2 =2 \operatorname{Re}\left(\partial_t \left( u_m-u_n \right) |\left( u_m- u_n\right) \right)=2 \operatorname{Im}\left(i \partial_t\left( u_m-u_n \right) |\left( u_m- u_n\right) \right) \nonumber\\ &=2\operatorname{Im}( -\Delta( u_m- u_n) +J_{m}(( J_{m}v_m) ^2 J_{m}u_m)-J_{n}( ( J_{n}v_n) ^2 J_{n}u_n)-(J_{m}( J_{m}v_m J_{m}u_m) - J_{n}( J_{n}v_nJ_{n}u_n)) | u_m-u_n) \nonumber\\ &=2\operatorname{Im} \left(J_{m}\left(v_m-v_n\right) J_{m} v_mJ_{m} u_m\mid J_m\left(u_m-u_n\right)\right)+2\operatorname{Im}( \left(J_{m}-J_{n}\right) v_nJ_{m} v_m J_{m} u_m\mid J_m\nonumber \\ &\quad \left(u_m-u_n\right))+2\operatorname{Im} \left( J_{n} v_n J_{m}\left(v_m-v_n\right) J_{m}u_m\mid J_m\left(u_m-u_n\right)\right)+2\operatorname{Im}( J_{n}v_n\left(J_{m}-J_{n}\right)v_n\nonumber \\ &\quad J_{m}u_m\mid J_m\left(u_m-u_n\right))+2\operatorname{Im}((J_{n}v_n)^2 \cdot(J_{m}-J_{n}) u_n\mid J_m(u_m-u_n))+2\operatorname{Im}( (J_{m}-J_{n})\nonumber \\ &\quad (( J_{n} v_n) ^2 \cdot J_{n} u_n)\mid u_m-u_n)-2 \operatorname{Im}\left(J_m\left(v_m-v_n\right) \cdot J_m u_m \mid J_m\left(u_m-u_n\right)\right)\nonumber \\ &\quad-2 \operatorname{Im}(\left(J_m-J_n\right)v_n \cdot J_m u_m \mid J_m\left(u_m-u_n\right)) -2 \operatorname{Im}\left(J_n v_n\left(J_m-J_n\right) u_n \mid J_m\left(u_m-u_n\right)\right)\nonumber \\ &\quad -2\operatorname{Im}(\left(J_m-J_n\right)\left(J_n v_n \cdot J_n u_n\right) \mid u_m-u_n)\nonumber \\ &=:\mathrm{I}_1+\mathrm{I}_2+\mathrm{I}_3+\mathrm{I}_4+\mathrm{I}_5+\mathrm{I}_6+\mathrm{I}_7+\mathrm{I}_8+\mathrm{I}_9+\mathrm{I}_{10}. \end{matrix}$

这里, 我们用到

$\begin{align*} &\operatorname{Im}(J_m((J_nv_n)^2\cdot J_m(u_m-u_n))|u_m-u_n)= \operatorname{Im}((J_nv_n)^2||J_m(u_m-u_n)|^2)=0,\\ &\operatorname{Im}(J_m(J_nv_n\cdot J_m(u_m-u_n))|u_m-u_n)= \operatorname{Im}(J_nv_n||J_m(u_m-u_n)|^2)=0. \end{align*}$

对 $(v_n,\partial_tv_n)$, 我们有

$\begin{matrix} &~~~~J_m( \left|J_m u_m\right|^2\cdot J_m v_m) -J_n( \left|J_n u_n\right|^2\cdot J_n v_n) \nonumber\\ &=J_m\left[\right.\overline{J_m\left(u_m-u_n\right)}\cdot J_m u_m\cdot J_m v_m+\overline{\left( J_m-J_n\right)u_n }\cdot J_m u_m\cdot J_m v_m\nonumber\\ &\quad+\overline{J_n u_n} \cdot J_m\left( u_m-u_n\right) \cdot J_m v_m+\overline{J_n u_n}\cdot \left(J_m-J_n \right) u_n\cdot J_m v_m+\left|J_n u_n\right|^2\cdot J_m\left(v_m-v_n\right)\nonumber\\ &\quad+\left|J_n u_n\right|^2\cdot\left(J_m-J_n \right) v_n\left.\right] +\left(J_m-J_n \right)(\left|J_n u_n\right|^2\cdot J_n v_n ), \end{matrix}$
$\begin{matrix} &~~~~J_m\left|J_m u_m\right|^2-J_n\left|J_n^2 u_n\right|^2\nonumber\\ &=J_m\left[\right.J_m\left(u_m-u_n\right) \cdot \overline{J_m u_m}+\left(J_m-J_n\right) u_n \cdot \overline{J_m u_m}+J_n u_n \cdot \overline{J_m\left(u_m-u_n\right)}\nonumber\\ &\quad+J_n u_n \cdot \overline{\left(J_m-J_n\right) u_n}\left.\right] +\left(J_m-J_n\right)\left|J_n u_n\right|^2. \end{matrix}$

因此

$\begin{matrix}\label{4.6} &~~~~\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\left\|v_m-v_n\right\|_2^2+\left\|\omega^{-1} \partial_t\left(v_m-v_n\right)\right\|_2^2)\nonumber\\ &=2\left(\partial_t\left(v_m-v_n\right) \mid v_m-v_n\right)+\left(\omega^{-2} \partial_t^2\left(v_m-v_n\right) \mid \partial_t\left(v_m-v_n\right)\right)\nonumber\\ &=2\left(\omega^{-2}\left(\partial_t^2-\Delta+1\right)\left(v_m-v_n\right) \mid \partial_t\left(v_m-v_n\right)\right)\nonumber \\ &=-4(\omega^{-1}(J_m(\left|J_m u_m\right|^2\cdot J_m v_m) -J_n( \left|J_n u_n\right|^2\cdot J_n v_n)) \mid \omega^{-1} \partial_t(v_m-v_n))\nonumber\\ &\quad+2(\omega^{-1}(J_m\left|J_m u_m\right|^2-J_n\left|J_n u_n\right|^2) \mid \omega^{-1} \partial_t(v_m-v_n))\nonumber \\ &=-4 (\omega^{-1} J_m(\overline{J_m(u_m-u_n)}\cdot J_m u_m\cdot J_m v_m) \mid \omega^{-1} \partial_t(v_m-v_n))\nonumber \\ &\quad-4(\omega^{-1} J_m( \overline{( J_m-J_n)u_n }\cdot J_m u_m\cdot J_m v_m)\mid \omega^{-1} \partial_t(v_m-v_n))\nonumber\\ &\quad-4\left( \omega^{-1}J_m\left( \overline{J_n u_n} \cdot J_m\left( u_m-u_n\right) \cdot J_m v_m\right)\mid \omega^{-1} \partial_t\left(v_m-v_n\right)\right) \nonumber\\ &\quad-4\left(\omega^{-1}J_m\left(\overline{J_n u_n}\cdot \left(J_m-J_n \right) u_n\cdot J_m v_m\right) \mid \omega^{-1} \partial_t\left(v_m-v_n\right)\right) \nonumber\\ &\quad-4(\omega^{-1} J_m(\left|J_n u_n\right|^2\cdot J_m(v_m-v_n))\mid\omega^{-1} \partial_t(v_m-v_n))\nonumber \\ &\quad-4 (\omega^{-1}J_m(\left|J_n u_n\right|^2\cdot(J_m-J_n) v_n)\mid\omega^{-1} \partial_t(v_m-v_n))\nonumber\\ &\quad-4( \omega^{-1}(J_m-J_n )(\left|J_n u_n\right|^2\cdot J_n v_n )\mid \omega^{-1} \partial_t(v_m-v_n)) \nonumber \\ &\quad +2\left(\omega^{-1} J_m\left(J_m\left(u_m-u_n\right) \cdot \overline{J_m u_m}\right) \mid \omega^{-1} \partial_t\left(v_m-v_n\right)\right)\nonumber \\ &\quad+2\left(\omega^{-1} J_m\left(\left(J_m-J_n\right) u_n \cdot \overline{J_m u_m}\right) \mid \omega^{-1} \partial_t\left(v_m-v_n\right)\right)\nonumber \\ & \quad +2(\omega^{-1} J_m(J_n u_n \cdot \overline{J_m(u_m-u_n)}) \mid \omega^{-1} \partial_t(v_m-v_n))\nonumber \\ &\quad +2(\omega^{-1} J_m(J_n u_n \cdot \overline{(J_m-J_n) u_n}) \mid \omega^{-1} \partial_t(v_m-v_n))\nonumber \\ &\quad+2(\omega^{-1}(J_m-J_n)\left|J_n u_n\right|^2 \mid \omega^{-1} \partial_t(v_m-v_n))\nonumber \\ &=\mathrm{II}_1+\mathrm{II}_2+\mathrm{II}_3+\mathrm{II}_4+\mathrm{II}_5 +\mathrm{II}_6+\mathrm{II}_7+\mathrm{II}_8+\mathrm{II}_9+\mathrm{II}_{10}+\mathrm{II}_{11}+\mathrm{II}_{12}. \end{matrix}$

接下来, 用 Hölder 不等式和引理 2.1-2.3 对 (4.3)和 (4.6) 式右端的各项进行估计

$\begin{aligned}\left|\mathrm{I}_{1}\right| & \leq 2\left\|v_{m}-v_{n}\right\|_{2}\left\|J_{m} v_{m}\right\|_{\infty}\left\|J_{m} u_{m}\right\|_{\infty}\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2} \\& \leq\left\{\begin{array}{ll}C M_{1}\left(\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}^{2}+\left\|v_{m}-v_{n}\right\|_{2}^{2}\right), & \text { 当 } N=1 \text { 时 } \\C M_{2}\left(\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}^{2}+\left\|v_{m}-v_{n}\right\|_{2}^{2}\right), & \text { 当 } N=2,3 \text { 时 }\end{array}\right.\end{aligned}$
$\begin{aligned}\left|I_{2}\right| & \leq 2\left\|\left(J_{m}-J_{n}\right) v_{n}\right\|_{2}\left\|J_{m} v_{m}\right\|_{\infty}\left\|J_{m} u_{m}\right\|_{\infty}\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2} \\& \leq\left\{\begin{array}{ll}C n^{-1 / 2} M_{1}^{3 / 2}\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}, & \text { 当 } N=1 \text { 时 } \\C n^{-1 / 2} M_{1}^{1 / 2} M_{2}\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}, & \text { 当 } N=2,3 \text { 时 }\end{array}\right.\end{aligned}$
$\begin{aligned}\left|\mathrm{I}_{3}\right| & \leq 2\left\|J_{n} v_{n}\right\|_{\infty}\left\|v_{m}-v_{n}\right\|_{2}\left\|J_{m} u_{m}\right\|_{\infty}\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2} \\& \leq\left\{\begin{array}{l}C M_{1}\left(\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}^{2}+\left\|v_{m}-v_{n}\right\|_{2}^{2}\right), \quad \text { 当 } N=1 \text { 时 } \\C M_{2}\left(\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}^{2}+\left\|v_{m}-v_{n}\right\|_{2}^{2}\right), \quad \text { 当 } N=2,3 \text { 时 }\end{array}\right.\end{aligned}$
$\begin{aligned}\left|\mathrm{I}_{4}\right| & \leq 2\left\|J_{n} v_{n}\right\|_{\infty}\left\|\left(J_{m}-J_{n}\right) v_{n}\right\|_{2}\left\|J_{m} u_{m}\right\|_{\infty}\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2} \\& \leq\left\{\begin{array}{ll}C n^{-1 / 2} M_{1}^{3 / 2}\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}, & \text { 当 } N=1 \text { 时 } \\C n^{-1 / 2} M_{1}^{1 / 2} M_{2}\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}, & \text { 当 } N=2,3 \text { 时 }\end{array}\right.\end{aligned}$
$\begin{aligned}\left|I_{5}\right| & \leq 2\left\|J_{n} v_{n}\right\|_{\infty}^{2}\left\|\left(J_{m}-J_{n}\right) u_{n}\right\|_{2}\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2} \\& \leq\left\{\begin{array}{ll}C n^{-1 / 2} M_{1}^{3 / 2}\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}, & \text { 当 } N=1 \text { 时 } \\C n^{-1 / 2} M_{1}^{1 / 2} M_{2}\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}, & \text { 当 } N=2,3 \text { 时 }\end{array}\right.\end{aligned}$
$\begin{aligned}\left|I_{6}\right| & \leq 2\left\|\left(J_{m}-J_{n}\right)\left(\left(J_{n} v_{n}\right)^{2} J_{n} u_{n}\right)\right\|_{\infty}^{2}\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2} \\& \leq\left\{\begin{array}{ll}C n^{-1 / 2} M_{1}^{3 / 2}\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}, & \text { 当 } N=1 \text { 时 } \\C n^{-1 / 2} M_{1}^{1 / 2} M_{2}\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}, & \text { 当 } N=2,3 \text { 时 }\end{array}\right.\end{aligned}$
$\begin{aligned}\left|I_{7}\right| & \leq 2\left\|v_{m}-v_{n}\right\|_{2}\left\|J_{m} u_{m}\right\|_{\infty}\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2} \\& \leq\left\{\begin{array}{ll}C M_{1}^{1 / 2}\left(\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}^{2}+\left\|v_{m}-v_{n}\right\|_{2}^{2}\right), & \text { 当 } N=1 \text { 时 } \\C M_{2}^{1 / 2}\left(\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}^{2}+\left\|v_{m}-v_{n}\right\|_{2}^{2}\right), & \text { 当 } N=2,3 \text { 时 }\end{array}\right.\end{aligned}$
$\begin{aligned}\left|I_{8}\right| & \leq 2\left\|\left(J_{m}-J_{n}\right) v_{n}\right\|_{2}\left\|J_{m} u_{m}\right\|_{\infty}\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2} \\& \leq\left\{\begin{array}{ll}C n^{-1 / 2} M_{1}\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}, & \text { 当 } N=1 \text { 时 } \\C n^{-1 / 2} M_{1}^{1 / 2} M_{2}^{1 / 2}\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}, & \text { 当 } N=2,3 \text { 时 }\end{array}\right.\end{aligned}$
$\begin{aligned}\left|I_{9}\right| & \leq 2\left\|J_{n} v_{n}\right\|_{\infty}\left\|\left(J_{m}-J_{n}\right) u_{n}\right\|_{2}\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2} \\& \leq\left\{\begin{array}{ll}C n^{-1 / 2} M_{1}\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}, & \text { 当 } N=1 \text { 时 } \\C n^{-1 / 2} M_{1}^{1 / 2} M_{2}^{1 / 2}\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}, & \text { 当 } N=2,3 \text { 时 }\end{array}\right.\end{aligned}$
$\begin{aligned}\left|\mathrm{I}_{10}\right| & \leq 2\left\|\left(J_{m}-J_{n}\right)\left(J_{n} v_{n} \cdot J_{n} u_{n}\right)\right\|_{2}\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2} \\& \leq\left\{\begin{array}{ll}C n^{-1 / 2} M_{1}\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}, & \text { 当 } N=1 \text { 时 } \\C n^{-1 / 2} M_{1}^{1 / 2} M_{2}^{1 / 2}\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}, & \text { 当 } N=2,3 \text { 时 }\end{array}\right.\end{aligned}$
$\begin{array}{l}\left|\mathrm{II}_{1}\right| \leq 4\left\|\omega^{-1}\left(\overline{J_{m}\left(u_{m}-u_{n}\right)} \cdot J_{m} u_{m} \cdot J_{m} v_{m}\right)\right\|_{2}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2}\\\begin{array}{l}\leq C\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}\left\|J_{m} u_{m}\right\|_{\infty}\left\|J_{m} v_{m}\right\|_{\infty}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2} \\\leq\left\{\begin{array}{ll}C M_{1}\left(\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}^{2}+\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2}^{2}\right), & \text { 当 } N=1 \text { 时 } \\C M_{2}\left(\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}^{2}+\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2}^{2}\right), & \text { 当 } N=2,3 \text { 时 }\end{array}\right.\end{array}\end{array}$
$\begin{aligned}\left|\Pi_{2}\right| & \leq 4\left\|\omega^{-1}\left(\overline{\left(J_{m}-J_{n}\right) u_{n}} \cdot J_{m} u_{m} \cdot J_{m} v_{m}\right)\right\|_{2}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2} \\& \leq C\left\|\overline{\left(J_{m}-J_{n}\right) u_{n}}\right\|_{2}\left\|J_{m} u_{m}\right\|_{\infty}\left\|J_{m} v_{m}\right\|_{\infty}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2} \\& \leq\left\{\begin{array}{l}C n^{-1 / 2} M_{1}^{3 / 2}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2}, \quad \text { 当 } N=1 \text { 时 } \\C n^{-1 / 2} M_{1}^{1 / 2} M_{2}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2}, \quad \text { 当 } N=2,3 \text { 时 }\end{array}\right.\end{aligned}$
$\begin{aligned}\left|\mathrm{II}_{3}\right| & \leq 4\left\|\omega^{-1}\left(\overline{J_{n} u_{n}} \cdot J_{m}\left(u_{m}-u_{n}\right) \cdot J_{m} v_{m}\right)\right\|_{2}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2} \\& \leq C\left\|\overline{J_{n} u_{n}}\right\|_{\infty}\left\|J_{m}\left(u_{m}-u_{n}\right)\right\|_{2}\left\|J_{m} v_{m}\right\|_{\infty}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2} \\& \leq\left\{\begin{array}{ll}C M_{1}\left(\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}^{2}+\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2}^{2}\right), & \text { 当 } N=1 \text { 时 } \\C M_{2}\left(\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}^{2}+\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2}^{2}\right), & \text { 当 } N=2,3 \text { 时 }\end{array}\right.\end{aligned}$
$\begin{aligned}\left|\mathrm{II}_{4}\right| & \leq 4\left\|\omega^{-1}\left(\overline{J_{n} u_{n}} \cdot\left(J_{m}-J_{n}\right) u_{n} \cdot J_{m} v_{m}\right)\right\|_{2}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2} \\& \leq C\left\|\overline{J_{n} u_{n}}\right\|_{\infty}\left\|\left(J_{m}-J_{n}\right) u_{n}\right\|_{2}\left\|J_{m} v_{m}\right\|_{\infty}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2} \\& \leq\left\{\begin{array}{l}C n^{-1 / 2} M_{1}^{3 / 2}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2}, \quad \text { 当 } N=1 \text { 时 } \\C n^{-1 / 2} M_{1}^{1 / 2} M_{2}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2}, \quad \text { 当 } N=2,3 \text { 时 }\end{array}\right.\end{aligned}$
$\begin{aligned}\left|\Pi_{5}\right| & \leq 4\left\|\omega^{-1}\left(\left|J_{n} u_{n}\right|^{2} \cdot J_{m}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right)\right\|_{2}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2} \\& \leq C\left\|J_{n} u_{n}\right\|_{\infty}^{2}\left\|J_{m}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2} \\& \leq\left\{\begin{array}{l}C M_{1}\left(\left\|v_{m}-v_{n}\right\|_{2}^{2}+\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2}^{2}\right), \quad \text { 当 } N=1 \text { 时 } \\C M_{2}\left(\left\|v_{m}-v_{n}\right\|_{2}^{2}+\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2}^{2}\right), \quad \text { 当 } N=2,3 \text { 时 }\end{array}\right.\end{aligned}$
$\begin{aligned}\left|\mathrm{II}_{6}\right| & \leq 4\left\|\omega^{-1}\left(\left|J_{n} u_{n}\right|^{2} \cdot\left(J_{m}-J_{n}\right) v_{n}\right)\right\|_{2}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2} \\& \leq C\left\|J_{n} u_{n}\right\|_{\infty}^{2}\left\|\left(J_{m}-J_{n}\right) v_{n}\right\|_{2}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2} \\& \leq\left\{\begin{array}{l}C n^{-1 / 2} M_{1}^{3 / 2}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2}, \quad \text { 当 } N=1 \text { 时 } \\C n^{-1 / 2} M_{1}^{1 / 2} M_{2}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2}, \quad \text { 当 } N=2,3 \text { 时 }\end{array}\right.\end{aligned}$
$\begin{aligned}\left|I_{7}\right| & \leq 4\left\|\omega^{-1}\left(\left(J_{m}-J_{n}\right)\left(\left|J_{n} u_{n}\right|^{2} \cdot J_{n} v_{n}\right)\right)\right\|_{2}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2} \\& \leq C n^{-1 / 2}\left\|\nabla\left(\left|J_{n} u_{n}\right|^{2} \cdot J_{n} v_{n}\right)\right\|_{2}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2} \\& \leq\left\{\begin{array}{l}C n^{-1 / 2} M_{1}^{3 / 2}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2}, \quad \text { 当 } N=1 \text { 时 } \\C n^{-1 / 2} M_{1}^{1 / 2} M_{2}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2}, \quad \text { 当 } N=2,3 \text { 时 }\end{array}\right.\end{aligned}$
$\begin{aligned}\left|\mathrm{II}_{8}\right| & \leq 2 \| \omega^{-1}\left(J_{m}\left(u_{m}-u_{n}\right) \cdot \overline{J_{m} u_{m}}\left\|_{2}\right\| \omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right) \|_{2}\right. \\& \leq C\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}\left\|J_{m} u_{m}\right\|_{\infty}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2} \\& \leq\left\{\begin{array}{l}C M_{1}^{1 / 2}\left(\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}^{2}+\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2}^{2}\right), \quad \text { 当 } N=1 \text { 时 } \\C M_{2}^{1 / 2}\left(\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}^{2}+\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2}^{2}\right), \quad \text { 当 } N=2,3 \text { 时 }\end{array}\right.\end{aligned}$
$\begin{aligned}\left|\mathrm{II}_{9}\right| & \leq 2\left\|\omega^{-1}\left(\left(J_{m}-J_{n}\right) u_{n} \cdot \overline{J_{m} u_{m}}\right)\right\|_{2}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2} \\& \leq C\left\|\left(J_{m}-J_{n}\right) u_{n}\right\|_{2}\left\|J_{m} u_{m}\right\|_{\infty}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2} \\& \leq\left\{\begin{array}{l}C n^{-1 / 2} M_{1}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2}, \\C n^{-1 / 2} M_{1}^{1 / 2} M_{2}^{1 / 2}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2}, \quad \text { 当 } N=1 \text { 当 } N=2,3 \text { 时 }\end{array}\right.\end{aligned}$
$\begin{aligned}\left|\mathrm{II}_{10}\right| & \leq 2\left\|\omega^{-1}\left(J_{n} u_{n} \cdot \overline{J_{m}\left(u_{m}-u_{n}\right)}\right)\right\|_{2}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2} \\& \leq C\left\|J_{n} u_{n}\right\|_{\infty}\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2} \\& \leq\left\{\begin{array}{l}C M_{1}^{1 / 2}\left(\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}^{2}+\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2}^{2}\right), \quad \text { 当 } N=1 \text { 时 } \\C M_{2}^{1 / 2}\left(\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}^{2}+\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2}^{2}\right), \quad \text { 当 } N=2,3 \text { 时 }\end{array}\right.\end{aligned}$
$\begin{aligned}\left|\mathrm{II}_{11}\right| & \leq 2\left\|\omega^{-1}\left(J_{n} u_{n} \cdot \overline{\left(J_{m}-J_{n}\right) u_{n}}\right)\right\|_{2}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2} \\& \leq C\left\|J_{n} u_{n}\right\|_{\infty}\left\|\left(J_{m}-J_{n}\right) u_{n}\right\|_{2}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2} \\& \leq\left\{\begin{array}{l}C n^{-1 / 2} M_{1}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2}, \quad \text { 当 } N=1 \text { 时 } \\C n^{-1 / 2} M_{1}^{1 / 2} M_{2}^{1 / 2}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2}, \quad \text { 当 } N=2,3 \text { 时 }\end{array}\right.\end{aligned}$
$\begin{aligned}\left|\mathrm{II}_{12}\right| & \leq 2\left\|\omega^{-1}\left(J_{m}-J_{n}\right)\left|J_{n} u_{n}\right|^{2}\right\|_{2}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2} \\& \leq C n^{-1 / 2}\left\|\nabla\left|J_{n} u_{n}\right|^{2}\right\|_{2}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2} \\& \leq\left\{\begin{array}{ll}C n^{-1 / 2} M_{1}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2}, & \text { 当 } N=1 \text { 时 } \\C n^{-1 / 2} M_{1}^{1 / 2} M_{2}^{1 / 2}\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2}, & \text { 当 } N=2,3 \text { 时 }\end{array}\right.\end{aligned}$

由 (4.3), (4.6) 和 (4.7)-(4.28) 式可以得到关于 $\|u_m-u_n\|_2^2+\|v_m-v_n\|_2^2+\|\omega^{-1}\partial_t(v_m-v_n)\|_2^2$ 的一个微分不等式, 即

$\begin{array}{l} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}\left(\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}^{2}+\left\|v_{m}-v_{n}\right\|_{2}^{2}+\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2}^{2}\right) \\\leq\left\{\begin{array}{l}C M_{1}\left(\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}^{2}+\left\|v_{m}-v_{n}\right\|_{2}^{2}+\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2}^{2}\right) \\+C n^{-1 / 2} M_{1}^{3 / 2}\left(\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}+\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2}\right), \\C M_{2}\left(\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}^{2}+\left\|v_{m}-v_{n}\right\|_{2}^{2}+\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2}^{2}\right) \\+C n^{-1 / 2} M_{1}^{1 / 2} M_{2}\left(\left\|u_{m}-u_{n}\right\|_{2}+\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)\right\|_{2}\right),\end{array} \quad \text { 当 } N=1\right. \text { 时 } \\\quad \text { 当 } N=2,3 \text { 时 }\end{array}$

对微分不等式 (4.29) 和 (4.30) 应用 Gronwall 不等式可得

$\begin{aligned}& \left\|\left(u_{m}-u_{n}\right)(t)\right\|_{2}^{2}+\left\|\left(v_{m}-v_{n}\right)(t)\right\|_{2}^{2}+\left\|\omega^{-1} \partial_{t}\left(v_{m}-v_{n}\right)(t)\right\|_{2}^{2} \\\leq & \left\{\begin{array}{c}\exp \left(C M_{1} t\right)\left(\left\|\left(J_{n}-J_{m}\right) \varphi\right\|_{2}^{2}+\left\|\left(J_{m}-J_{n}\right) \psi_{0}\right\|_{2}^{2}+\left\|\omega^{-1}\left(J_{m}-J_{n}\right) \psi_{1}\right\|_{2}^{2}+C n^{-1 / 2} M_{1}^{2} t\right), \\\text { 当 } N=1 \text { 时} \\\exp \left(C M_{2} t\right)\left(\left\|\left(J_{n}-J_{m}\right) \varphi\right\|_{2}^{2}+\left\|\left(J_{m}-J_{n}\right) \psi_{0}\right\|_{2}^{2}+\left\|\omega^{-1}\left(J_{m}-J_{n}\right) \psi_{1}\right\|_{2}^{2}+C n^{-1 / 2} M_{1} M_{2} t\right), \\\text { 当 } N=2,3 \text { 时 }\end{array}\right.\end{aligned}$

由 (4.31) 和 (4.32) 式可知, 对任意的 $T>0$, $(u_n,v_n,\partial_tv_n;n\geq1)$ 是 $L^\infty(-T,T;L^2\times L^2\times H^{-1})$ 中的一个柯西列. 又因为 $(u_n,v_n,\partial_tv_n;n\geq1)$ 在 $L^\infty (-T,T;H^2\times H^2\times H^1)$ 中是有界的, 这意味着对任意的 $T>0$, $(u_n,v_n,\partial_tv_n;n\geq1)$ 也是 $L^\infty(-T,T;H^1\times H^1\times L^2)$ 中的一个柯西列.

5 定理证明

由第三部分和第四部分的结论可知, 近似解序列 $(u_n,v_n,\partial_tv_n)$ 存在一个极限 $(u,v,w)\in C(\mathbb{R};H_0^1\times H_0^1\times L^2)$, 满足对任意的$T>0$, 有

$\begin{matrix} \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{|t|\leq T}(\| u_n(t)-u(t) \|_{H^1}+\| v_n(t)-v(t) \|_{H^1}+\|\partial_tv_n(t)-w(t) \|_2)=0. \end{matrix}$

注意到

$ v_n(t)=J_n\psi_0+\int_0^t\partial_tv_n(s){\rm d}s, $

对方程 (5.2) 两端取极限, 得

$ v(t)=\psi_0+\int_0^tw(s){\rm d}s, $

由此可得 $w=\partial_tv$.

对任意的 $t\in \mathbb{R}$ 和 $\psi\in D(\Delta )$, 有

$\begin{matrix} |(u(t)|\Delta\psi)|& =\lim_{n\to\infty}|(u_{n}(t)|\Delta\psi)|\leq\sup_n|(u_n(t)|\Delta\psi)|\nonumber \\ &=\sup_{n}|(\Delta u_{n}(t)|\psi)|\leq M_{2}(t)^{1/2}\|\psi\|_{2}. \end{matrix}$

由此可得 $u(t)\in D(\Delta)$ 且 $\left\|\Delta u(t) \right\|_2^2 \leq M_2(t)$. 同理可证, 对任意的 $t\in\mathbb{R} $, $(v(t),\partial_tv(t))\in D(\Delta )\times H_0^1$ 且

$\left\|v(t) \right\|_{H^1}^2+\left\|\partial_tv(t) \right\|_2^2\leq M_2(t).$

综上, 定理第二部分得证.

由于近似解满足积分方程

$\left\{\begin{array}{l}u_{n}(t)=U(t) J_{n} \varphi-i \int_{0}^{t} U(t-s) J_{n}\left(\left(J_{n} v_{n}\right)^{2} \cdot J_{n} u_{n}-J_{n} v_{n} \cdot J_{n} u_{n}\right)(s) \mathrm{d} s, \\v_{n}(t)=\dot{K}(t) J_{n} \psi_{0}+K(t) J_{n} \psi_{1}+\int_{0}^{t} K(t-s) J_{n}\left(-2\left|J_{n} u_{n}\right|^{2} \cdot J_{n} v_{n}+\left|J_{n} u_{n}\right|^{2}\right)(s) \mathrm{d} s.\end{array}\right.$

其中, $U(t):=\exp(it\Delta)$, $K(t):=\omega^{-1}\sin(t\omega)$, $\dot{K}(t):=\cos(t\omega)$, $\omega =(I-\Delta )^{1/2}$. 注意到

$\begin{matrix} & J_n\left(\left(J_n v_n\right)^2 \cdot J_n u_n-J_n v_n \cdot J_n u_n\right)-\left(v^2 u-v u\right) \\ = & J_n\left(J_n\left(v_n-v\right) \cdot J_n v_n \cdot J_n u_n+\left(J_n v-v\right) \cdot J_n v_n \cdot J_n u_n+v \cdot J_n\left(v_n-v\right) \cdot J_n u_n\right. \\ & \left.+v \cdot\left(J_n v-v\right) \cdot J_n u_n+v^2 \cdot J_n\left(u_n-u\right)+v^2 \cdot\left(J_n u-u\right)\right)+\left(J_n\left(v^2 u\right)-v^2 u\right) \\ & -\left(J_n\left(J_n\left(v_n-v\right) \cdot J_n u_n+\left(J_n v-v\right) \cdot J_n u_n+v \cdot J_n\left(u_n-u\right)+v \cdot\left(J_u-u\right)\right)\right. \\ & \left.+\left(J_n(v u)-v u\right)\right).\end{matrix}$

接下来估计 $\|J_{n}(( J_{n}v_n) ^2\cdot J_{n}u_n-J_{n} v_n \cdot J_{n}u_n)-(v^2u-vu )\|_{2}$

$\begin{matrix}\label{5.8} &~~~~\|J_{n}(( J_{n}v_n ) ^2\cdot J_{n}u_n-J_{n} v_n \cdot J_{n}u_n)-(v^2u-vu)\|_{2} \nonumber\\ &\leq\|J_{n}(( J_{n}v_n) ^2\cdot J_{n}u_n )-v^2u\|_{2}+\|J_{n}(J_{n} v_n \cdot J_{n}u_n)-vu\|_{2}\nonumber\\ &\leq\left\|J_n\left(v_n-v \right) \right\|_6\left\| J_nv_n\right\|_6\left\| J_nu_n\right\|_6 +\left\|J_nv-v \right\|_6 \left\|J_nv_n \right\|_6\left\| J_nu_n\right\|_6\nonumber\\ &\quad+\left\|v \right\|_6\left\|J_n\left(v_n-v \right) \right\|_6\left\| J_nu_n\right\|_6+\left\|v \right\|_6\left\| J_nv-v\right\|_6 \left\|J_nu_n \right\|_6 +\left\| v\right\|_6^2\left\|J_n\left(u_n-u \right) \right\|_6 \nonumber\\ &\quad+\left\| v\right\|_6 ^2\left\|J_nu-u \right\|_6+\left\|J_n\left( v^2u\right)-v^2u \right\|_2 +\|J_n(v_n-v)\|_4\|J_nu_n\|_4+\|J_nv-v\|_4\|J_nu_n\|_4\nonumber\\ &\quad+\|v\|_4\|J_n(u_n-u)\|_4+\|v\|_4\|J_nu-u\|_4+\|J_n(vu)-vu\|_2 \nonumber\\ &\leq CM_1(\|v_n-v\|_{H^1}+\|J_nv-v\|_{H^1}+\|u_n-u\|_{H^1}+\|J_nu-u\|_{H^1})+\|J_n(v^2u)-v^2u\|_2\nonumber\\ &\quad+\|J_n(vu)-vu\|_2\nonumber \\ &\leq CM_1(\|v_n-v\|_{H^1}+\|u_n-u\|_{H^1})+Cn^{-1/2}M_1M_2^{1/2}+Cn^{-1/2}M_2. \end{matrix}$

根据 (5.8) 式可知

$\begin{matrix}\label{5.9} &~~~\sup_{|t|\leq T}\bigg\|\int_0^tU(t-s)J_n(\left( J_nv_n\right) ^2\cdot J_n u_n-J_n v_n\cdot J_n u_n)\left(s \right){\rm d}s\nonumber\\ &~~~-\int_0^tU(t-s)\left(v^2u-vu \right)\left(s \right){\rm d}s\bigg\| _2 \nonumber\\ &\leq\sup_{|t|\leq T}\left|\int_0^t\|J_{n}((J_{n}v_n ) ^2\cdot J_{n}u_n-J_{n} v_n \cdot J_{n}u_n)\left(s \right) -\left(v^2u-vu \right)\left(s \right) \|_{2}{\rm d}s\right| \nonumber\\ &\leq T\sup_{|t|\leq T}\|J_{n}((J_{n}v_n) ^2\cdot J_{n}u_n-J_{n} v_n \cdot J_{n}u_n)\left( t\right) -\left(v^2u-vu \right)\left(t \right) \|_{2}\nonumber\\ &\leq CT( M_{1} \sup_{|t|\leq T}(\|v_{n}(t)-v(t)\|_{H^{1}}+\|u_{n}(t)-u(t)\|_{H^{1}})+Cn^{-1/2}M_1M_{2})\to0. \end{matrix}$

类似地

$\begin{matrix}\label{5.12} &~~~\sup_{|t|\leq T}\bigg\|\int_0^tK(t-s)J_n( -2\left|J_n u_n \right|^2\cdot J_n v_n+ |J_n u_n|^2)\left(s \right) {\rm d}s\nonumber\\ &~~~-\int_0^tK(t-s)( -2|u|^2v+|u|^2)\left(s \right) {\rm d}s\bigg\|_{2} \nonumber\\ &\leq\sup_{|t|\leq T}\left|\int_0^t|t-s|\|J_n( -2\left|J_n u_n \right|^2\cdot J_n v_n+ |J_n u_n|^2)\left( s\right) -( -2|u|^2v+|u|^2)\left( s\right) \|_2{\rm d}s\right| \nonumber\\ &\leq\frac{1}{2}T^{2}\sup_{|t|\leq T}\|J_n( -2\left|J_n u_n \right|^2\cdot J_n v_n+ |J_n u_n|^2)\left( t\right) -\left( -2|u|^2v+|u|^2\right)\left(t \right) \|_2\nonumber \\ &\leq CT^2M_1\sup_{|t|\leq T}\left( \|u_n(t)-u(t)\|_{H^1}+\|v_n(t)-v(t)\|_{H^1}\right) +CT^2n^{-1/2}M_1M_2\to0. \end{matrix}$

由 (5.9) 和 (5.10) 式可知积分方程 (5.5) 和 (5.6) 分别收敛到

$\left\{\begin{array}{l}u(t)=U(t) \varphi+i \int_{0}^{t} U(t-s)\left(v^{2} u-v u\right)(s) \mathrm{d} s, \\v(t)=\dot{K}(t) J_{n}^{2} \psi_{0}+K(t) J_{n}^{2} \psi_{1}+\int_{0}^{t} K(t-s)\left(-2|u|^{2} v+|u|^{2}\right)(s) \mathrm{d} s.\end{array}\right.$

根据定理第二部分的证明可知, 方程 (5.11) 的右端属于 $C\left(\mathbb{R};D(\Delta) \right)\cap C^1\left(\mathbb{R};L^2 \right)$, 而方程 (5.12) 的右端则属于 $C\left(\mathbb{R};D(\Delta)\right)\cap C^1\left(\mathbb{R};H_0^1\right)\cap C^2\left(\mathbb{R};L^2\right)$. 这意味着方程 (5.11) 和 (5.12) 的左侧也分别属于相应的空间, 因此, $(u,v)$ 是系统 (1.1)-(1.4) 的全局强解.

接下来, 我们证明解 $(u,v,\partial_t v)$ 的唯一性. 设 $(u_1,v_1, \partial_t v_1)$ 和 $(u_2,v_2,\partial_t v_2)$ 是满足条件的两组解. 设 $T>0$ 且 $t\in[T]$, 我们计算

$\begin{matrix}\label{5.15} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u_1-u_2\|_2^2&=2\operatorname{Im}\left( -\Delta\left( u_1- u_2\right) +v_1^2 u_1- v_2 ^2\cdot u_2-\left(v_1u_1 - v_2u_2\right)| u_1-u_2\right) \nonumber\\ &=2\operatorname{Im} \left( \left(v_1-v_2\right)v_1u_1\mid u_1-u_2\right)+2\operatorname{Im} \left(v_2 \left(v_1-v_2\right)u_1\mid u_1-u_2\right)\nonumber\\ &\quad-2 \operatorname{Im}\left(\left(v_1-v_2\right)u_1\mid \left(u_1-u_2\right)\right) \nonumber\\ &\leq C(\|u_1-u_2\|_2^2+\|v_1-v_2\|_2^2), \end{matrix}$
$\begin{matrix}\label{5.16} &~~~~\frac{\rm d}{{\rm d}t} (\left\|v_1-v_2\right\|_2^2+\left\|\omega^{-1} \partial_t\left(v_1-v_2\right)\right\|_2^2)\nonumber\\ &=-4(\omega^{-1}((\left|u_1\right|^2-\left|u_2\right|^2)v_1+\left|u_2\right|^2( v_1-v_2))\mid\omega^{-1} \partial_t(v_1-v_2))\nonumber\\ &\quad+2(\omega^{-1}(\left| u_1\right|^2-\left| u_2\right|^2)\mid\omega^{-1} \partial_t(v_1-v_2))\nonumber \\ &=2\operatorname{Re}\left(\omega^{-1} \left(\overline{u_1}+\overline{u_2}\right)\left(u_1-u_2 \right)\mid \omega^{-1} \partial_t\left(v_1-v_2\right)\right)\nonumber\\ &\quad-4(\omega^{-1} \left| u_2\right|^2( v_1-v_2)\mid\omega^{-1} \partial_t(v_1-v_2))\nonumber\\&\quad-4\operatorname{Re}\left(\omega^{-1} \left(\overline{u_1}+\overline{u_2}\right)\left(u_1-u_2 \right)v_1 \mid \omega^{-1} \partial_t\left(v_1-v_2\right)\right)\nonumber \\ &\leq C( \|u_1-u_2\|_2^2+\left\|\omega^{-1} \partial_t\left(v_1-v_2\right)\right\|_2^2). \end{matrix}$

令

$F(t):=\|u_1-u_2\|_2^2+\left\|v_1-v_2\right\|_2^2+\left\|\omega^{-1} \partial_t\left(v_1-v_2\right)\right\|_2^2. $

由 (5.13)-(5.14) 式可得, $F(t)$ 满足微分方程

$F'(t)\leq CF(t).$

由 Gronwall 不等式可知, $F(t)=0$. 唯一性得证.

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