我们考虑如下一类非齐次拟线性抛物方程的 Cauchy 问题

其中 $\Delta_{p} u:={\rm div}\left(|\nabla u|^{p-2}\nabla u\right)$, $N\geq 3$, $p>2$, $q>1$, $0<\hat{T}\leq \infty$. 初始值 $u_{0}(x)$ 和函数 $\rho(x)$ 满足如下假设

$({{\bf H_1}})$u_{0}(x)\in L^{\infty}(\mathbb{R}^{N})$, $u_{0}(x)\geq 0$, $\forall x\in \mathbb{R}^{N}$;

$({{\bf H_2}})$\rho(x)\in C(\mathbb{R}^{N})$, $\rho(x)>0$, $\forall x\in \mathbb{R}^{N}$.

非齐次抛物模型 (1.1) 描述可压缩非牛顿流体在均匀、各向同性的刚性多孔介质中的流动, 其中 $ u(x,t) $ 是流体密度, 非齐次函数 $ \rho(x) $ 表示介质的孔隙率, $ \Delta_{p}u $ 表示扩散项, $ \rho(x)u^{q} $ 表示特殊的反应源 (见文献 [第 2 章]). 由于 $ p>2 $, (1.1) 式是退化 (也称慢扩散) {$ p $-Laplacian} 模型. 此外, (1.1) 式等价于

因此, 如果对 $ \rho(x) $ 在无穷远处的行为给出额外的衰减条件, 则对应的非线性退化扩散算子 $ \frac{1}{\rho(x)}\Delta_{p} $ 的系数 $ \frac{1}{\rho(x)} $ 在无穷远处是正的且发散. 更具体地, 本文中我们对介质孔隙率在无穷远处的行为给出如下两种不同类型的衰减

$ ({{\bf H_2}{'}})$ 存在 $ k\in(0,+\infty)$ 和 $\alpha>p-1$ 使得

$ ({{\bf H_2}}{''}) $ } 存在 $ k_{1} $, $ k_{2}\in(0,+\infty) $, $ k_{1}\leq k_{2} $ 和 $ \alpha>1 $ 使得

其中 $ B_{e}(0) $ 是 $ \mathbb{R}^{N} $ 中以原点为中心, 欧拉常数 $ e $ 为半径的球.

迄今为止, $ p $-Laplacian 型抛物方程解的适定性及定性性质的研究已有许多进展且取得了丰硕的成果, 见专著 [1-3] 及文献 [4-7] 等及其中的参考文献. 其中Cauchy 问题解的整体存在性与爆破现象的研究是特别重要的课题. 例如, 问题 (1.1)-(1.2) 中具有常数介质孔隙率的情形, 即

大家熟知, 此类问题起源于 1966 年 Fujita^[8] 的开创性工作. 他考虑了经典的半线性抛物方程的 Cauchy 问题 ($ p=2 $ 的情形) 并得到了非负非平凡整体解的存在性与非存在性的临界指标为 $ q_{c}=1+\frac{2}{N} $, 即当 $ 1<q<q_{c} $ 时, 对任意的初始值, 解在有限时刻发生爆破; 而当 $ q>q_{c} $ 时, 爆破是否发生取决于初始值的大小. 此后, Fujita 型结果有了许多方向的延伸且值得我们注意的是, 文献 [9,10] 证明了临界情形 $ q=q_{c} $ 也属于爆破情形. 此外, 其它具有充分小初值的半线性抛物方程 Cauchy 问题的最新研究进展见文献 [11,12]. 之后, 文献 [5,7,13,14] 及专著 [3] 中考虑了拟线性 ($ p>2 $) 退化抛物方程的 Cauchy 问题且得到了 Fujita 型临界指标为 $ q_{c}=p-1+\frac{p}{N} $. 注意到, 上面陈述过的文献 [1,3] 中提到过如下形式的 Barenblatt 上解和下解

其中 $ \xi=\xi(t) $, $ \eta=\eta(t) $ 为适当的辅助函数且常数 $ C>0 $, $ a>0 $.

此外, 非齐次退化型 $ p $-Laplacian方程 (也涉及双重退化算子) Cauchy 问题中解的适定性, 界面爆破及渐近行为等也有许多新的进展, 其通常依赖于介质孔隙率在无穷远处的行为, 见文献 [15,16] 和文献 [17-19] (无源情形) 及文献 [20-24] 和文献 [25-32] (有源情形). 这里我们仅限于回顾如下具有介质孔隙率且具有一般反应源项的拟线性抛物方程 Cauchy 问题的研究现状

其中 $ \rho(x) $ 和 $ A(x) $ 满足乘幂型衰减速率

事实上, 由文献 [28] 知, 当介质孔隙率的衰减阶为 $ s<p $ 或 $ s\geq p $ 时, 解的行为是非常不同的, 因此, 可将 $ s=p $ 视为门槛值. 注意到, 如果在我们的假设 $ ({{\rm H}_2'}) $ 或 $ ({{\rm H}_2''}) $ 中取 $ \alpha=0 $, 则得到前述的临界情形 $ \rho(x)\sim |x|^{-p} $. 比如, Pablo 等^[23]考虑了 $ p=2 $, $ \rho(x)\sim|x|^{-s} $, $ 0<s<N $, $ A(x)\equiv1 $, 且指出了当衰减阶 $ s<2 $, 时, Fujita 型临界指标为 $ q_{c}=1+\frac{2}{N-s} $; 而当衰减阶 $ s>2 $ 时, 出现与 $ s $ 无关的 Fujita 型临界指标为 $ q_{c}=1+\frac{2}{N-2} $. 之后, Li 和 Xiang^[24] 考虑了 $ p=2 $ 的情形且 $ \rho(x) $, $ A(x) $ 分别满足如下衰减速率

其中 $ s_{2}\leq s_{1} $. 他们得到了 Fujita 型临界指标为 $ q_{c}=1+\frac{2-s_{1}}{N-s_{2}} $. Zhao^[4] 考虑了 $ p>2 $, $ \rho\equiv1 $ 且 $ A(x)=(1+|x|)^{-s} $, $ s\in \mathbb{R} $ 的情形, 利用能量方法, 他得到了解的存在唯一性和解的长时间行为以及当 $ s<p $ 且 $ p-1<q<p-1+\frac{p-s}{N} $ 时, 解有限时刻发生爆破. 此外, 文献 [28,30] 考虑的是双重非线性算子 (包含退化 $ p $-Laplacian 算子) 且 $ \rho(x)=A(x) $, $ \rho(x)=\left(1+|x|\right)^{-s} $ 或 $ \rho(x)=|x|^{-s} $, $ s\geq 0 $, 他们利用局部能量估计得到了解的整体存在和非整体存在性以及解的长时间行为.

由上所述, 具有介质孔隙率的衰减速率为 $ ({{\rm H}_2'}) $ 或 $ ({{\rm H}_2''}) $ 的 $ p $-Laplacian 方程的 Cauchy 问题 (1.1)-(1.2) 还未得到展开. 主要难点在于: (i) 方程 (1.1) 不具有尺度不变的结构, 不能利用分析自相似解的方法; (ii) 专著 [1,3] 中常用的技巧不能直接运用到我们的问题 (1.1)-(1.2) 中且更加复杂和困难, 主要原因在于模型中含有 $ p $-Laplacian 算子及介质孔隙率的衰减速率中含有对数函数. 为了克服这些困难, 借助于专著 [3] 中的思路, 我们利用直接构造 Barenblatt 型整体上解与爆破下解的方法建立问题 (1.1)-(1.2) 解的整体存在性与有限时刻爆破结果.

主要结果的粗略概括如下 (更详细的陈述见第 3-4 节)

$\bullet$ (定理 3.1.) 令 $ ({{\rm H}_2'}) $ 成立. 如果 $ 1<q<p-1 $ 且对于适当的初始值 $ u_{0}(x)\in L^{\infty}\left(\mathbb{R}^{N}\right) $, 则问题 (1.1)-(1.2) 存在整体解; 如果 $ q>p-1>1 $ 且初始值在无穷远处满足适当的衰减条件, 则问题 (1.1)-(1.2) 存在整体解.

$\bullet$ (定理 4.1.) 令 $ ({{\rm H}_2''}) $ 成立. 如果 $ q>p-1 $, 则对充分大的初始值 $ u_{0} $, 问题 (1.1)-(1.2) 的解在有限时刻发生爆破.

此外, 考虑满足比 $ ({{\rm H}_2''}) $ 更强的条件, 即

存在 $ k_{1} $, $ k_{2}\in(0,+\infty) $, $ k_{1}\leq k_{2} $, $ r_{0}>e $ 且 $ \alpha>p-1 $ 使得

$\bullet$ (见定理 3.2.) 令 $ ({{\rm H}_2'''}) $ 成立. 如果 $ q>p-1 $, 初始值 $ u_{0} $ 充分小且具有紧支集, 则问题 (1.1)-(1.2) 存在整体解.

事实上, 证明主要依赖于适当的比较原理 (见命题 2.4 和 2.5) 和构造适当的上下解, 其关键依赖于非齐次项 $ \rho(x) $ 在无穷远处的行为. 准确地说, 它们为如下形式

其中 $ \xi=\xi(t) $, $ \eta=\eta(t) $ 为适当的函数, 常数 $ C>0 $, $ a>0 $, $ r_{0}>0 $ 且 $ \mu>0 $. 其中 $ \left[\log\left(|x|+r_{0}\right)\right]^{\mu} $ 的出现与 $ \rho(x) $ 在无穷远处的行为是密切相关的.

本文的剩余部分结构如下: 第 2 节, 介绍一些与问题 (1.1)-(1.2) 相关的预备知识, 包括解的定义、比较原理及主要结论的证明所需的命题等. 第 3、4 节, 分别详细陈述整体存在性与爆破的结论并给出证明过程.

我们给出问题 (1.1)-(1.2) 在不同区域上弱解的定义.

定义 2.1 令 $ p>2 $, $ q>1 $, $ 0<\hat{T}\leq \infty $, $ u_{0}\geq 0 $ 且 $ u_{0}(x)\in L^{\infty}(\mathbb{R}^{N}) $. 如果对于任意的 $ S<\hat{T} $, $ \overline{u}\in L^{\infty}(\mathbb{R}^{N}\times (0,S)) $, $ |\nabla \overline{u}|^{p}\in L^{1}(\mathbb{R}^{N}\times (0,S)) $, 且对于任意的非负测试函数 $ \phi\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}^{N}\times [0,\hat{T})) $, 下述积分不等式成立

则称 $ \overline{u}(x,t) $ 为问题 (1.1)-(1.2) 的弱上解.

类似地, 在不等式 (2.1) 中不等号 $ \geq $ 改为 $ \leq $, 则称为弱下解且记为 $ \underline{u}(x,t) $. 若 $ {u}(x,t) $ 既是问题 (1.1)-(1.2) 的弱上解, 也是其弱下解, 则称 $ {u}(x,t) $ 为问题 (1)-(2) 的弱解.

注意到, 本文中若 $ 0<\hat{T}<\infty $ 且

则称问题 (1.1)-(1.2) 的解 $ u $ 在有限时刻$ \hat{T} $ 发生爆破, 而 $ \hat{T}=\infty $, 则称解 $ u $ 整体存在.

对于任意 $ x_{0}\in\mathbb{R}^{N} $ 和 $ R>0 $, 记

当 $ x_{0}=0 $, 简记 $ B_{R}:=B_{R}(0) $. 对于每个 $ R>0 $, 我们考虑如下辅助问题

定义 2.2 令 $ p>2 $, $ q>1 $, $ 0<\hat{T}_{R}\leq \infty $, $ u_{0}\geq 0 $ 且 $ u_{0}(x)\in L^{\infty}(\mathbb{R}^{N}) $. 如果对于任意的 $ S<\hat{T}_{R} $, $ \overline{u}_{R}\in L^{\infty}(B_{R}\times (0,S)) $, $ |\nabla \overline{u}_{R}|^{p}\in L^{1}(B_{R}\times (0,S)) $, 且对于任意的非负测试函数 $ \phi\in C_{0}^{\infty}(B_{R}\times [0,\hat{T}_{R})) $, 下述积分不等式成立

则称 $ \overline{u}(x,t) $ 为问题 (2.2)-(2.4) 的弱上解.

类似地, 在不等式 (2.5) 中不等号 $ \geq $ 改为 $ \leq $, 则称为弱下解且记为 $ \underline{u}_{R}(x,t) $. 若 $ {u}_{R}(x,t) $ 既是问题 (2.2)-(2.4) 的弱上解, 也是其弱下解, 则称 $ {u}(x,t) $ 为问题 (2.2)-(2.4) 的弱解.

命题 2.1 假设 $ ({{\rm H}_1}) $-$ ({{\rm H}_2}) $ 成立. 则问题 (2.2)-(2.4) 存在一个解 $ u_{R} $ 且最大存在时间 $ \hat{T}_{R} $ 满足

证 显然 $ \underline{u}_{R}\equiv0 $ 为问题 (2.2)-(2.4) 的一个下解. 此外, 令$ \overline{u}_{R}(t) $ 是下列常微分方程 Cauchy 问题的解

直接计算得到

显然, 对于每个 $ R>0 $, $ \overline{u}_{R} $ 是问题 (2.2)-(2.4) 的一个上解. 由假设 $ ({{\rm H}_1}) $-$ ({{\rm H}_2}) $ 易知

因此, 由标准的结果^[3]可知, 问题 (2.2)-(2.4) 存在一个非负解 $ {u}_{R}\in L^{\infty}(B_{R}\times (0,S)) $, $ S<\hat{T}_{R} $, 其中 $ \hat{T}_{R}\geq T_{0} $ 为问题 (2.2)-(2.4) 解的最大存在时间, 即

命题 2.1 证毕.

此外, 由文献 [1] 可知, 问题 (2.2)-(2.3) 成立如下比较原理.

命题 2.2 假设 $ ({{\rm H}_1}) $-$ ({{\rm H}_2}) $ 成立. 如果 $ \overline{u}_{R} $ 和 $ \underline{u}_{R} $ 分别为问题 (2.2)-(2.4) 的上解和下解, 则对几乎处处的 $ (x,t)\in{B}_{R}\times (0,\hat{T}_{R}) $, 有

命题 2.3 假设 $ ({{\rm H}_1}) $-$ ({{\rm H}_2}) $ 成立. 则问题(1.1)-(1.2) 存在解 $ u $ 且最大存在时间 $ \hat{T} $ 满足

此外, $ u $ 为最小解, 即对于问题 (1.1)-(1.2) 的任意解 $ v $, 有

证 对每个 $ R>0 $, 令 $ u_{R} $ 是问题 (2.2)-(2.4) 的唯一解. 若$ 0<R_{1}<R_{2} $, 易知

事实上, $ u_{R_{2}} $ 为问题 (2.2)-(2.4) 的上解, 而 $ u_{R_{1}} $ 为问题 (2.2)-(2.4) 取 $ R=R_{1} $ 时的解. 因此, 由命题 2.2 可知 (2.6) 式成立. 令 $ \overline{u}(t) $ 为下列常微分方程 Cauchy 问题的解

直接计算得到

显然, 对任意 $ R>0 $, $ \underline{u}(t) $ 是问题 (2.2)-(2.4) 的一个上解. 因此, 我们得到

由 (2.6) 和 (2.7) 式可知, 函数族 $ \{u_{R}\}_{R>0} $ 关于 $ R $ 是单调递增且一致有界的. 因此, $ \{u_{R}\}_{R>0} $ 逐点收敛到一个函数 $ u(x,t) $, 即对于几乎处处 $ (x,t) \in\mathbb{R}^{N}\times (0,\hat{T}_{0}) $, 有

此外, 利用单调收敛定理, 在 (2.5) 式中取等号并令 $ R\rightarrow+\infty $, 得到对任意的非负测试函数 $ \phi\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}^{N}\times [0,\hat{T}_{0})) $, 满足

因此, $ u(x,t) $ 为问题 (1.1)-(1.2) 的解且 $ u\in L^{\infty}(\mathbb{R}^{N}\times (0,S) $, $ \forall S<\hat{T} $, 其中 $ \hat{T}\geq \hat{T}_{0} $ 为问题 (1.1)-(1.2) 的解的最大存在时间, 即

下面, 我们证明 $ u $ 为问题 (1.1)-(1.2) 的最小非负解. 令 $ v $ 是问题(1.1)-(1.2) 的任意解. 显然, $ v $ 是问题 (2.2)-(2.4) 的一个上解. 因此, 由命题 2.2 得到

在上式中取极限 $ R\rightarrow\infty $, 得到

因此, $ u $ 为问题 (1.1)-(1.2) 的最小非负解.

命题 2.3 证毕.

总之, 我们给出问题 (1.1)-(1.2) 的比较原理.

命题 2.4 令 $ ({{\rm H}_1}) $-$ ({{\rm H}_2}) $ 成立, 且 $ \overline{u} $ 是问题 (1.1)-(1.2) 在 $ \mathbb{R}^{N}\times[0,\hat{T}) $ 上的一个上解, 其中 $ 0<\hat{T}\leq\infty $. 如果 $ u $ 是命题 2.3 中给定的问题 (1.1)-(1.2) 的最小非负解, 则

特别地, 如果 $ \overline{u} $ 到时间 $ \hat{T} $ 存在, 则 $ u $ 也至少到时间 $ \hat{T} $ 存在.

证 显然, 对任意 $ R>0 $, $ \overline{u} $ 是问题 (2.2)-(2.4) 的一个上解. 因此, 由命题 2.2 得到

在上式中取极限 $ R\rightarrow\infty $, 并结合最大存在时间的定义可知 (2.8) 式成立且 $ u $ 至少到时间存在.

命题 2.4 证毕.

命题 2.2 假设 $ ({{\rm H}_1}) $-$ ({{\rm H}_2}) $ 成立. 如果 $ u(x,t) $ 是问题 (1.1)-(1.2) 的解到时间 $ \hat{T}=t_{1}>0 $ 存在, $ \underline{u} $ 是问题 (1.1)-(1.2) 的一个下解到时间 $ \hat{T}=t_{2}>0 $ 存在且对于每个 $ S\in (0,t_{2}) $, $ {\rm supp}\; \underline{u}|_{\mathbb{R}^{N}\times [S]} $ 是紧的, 则

证 任意固定的 $ S<\min\{t_{1},t_{2}\} $. 如果 $ R>0 $ 充分大使得

则易知 $ u $ 和 $ \overline{u} $ 分别为问题 (2.2)-(2.4) 的一个上解和下解.

因此, 有

上式中取极限 $ R\rightarrow+\infty $ 且由 $ S $ 的任意性, 得到不等式 (2.9). 命题 2.4 证毕.

下面, 考虑如下方程

其中 $ \Omega \subset \mathbb{R}^{N} $. 同时, 给出弱解的定义.

定义 2.3 令 $ p>2 $, $ q>1 $, $ 0<\hat{T}\leq \infty $. 如果对于任意的 $ S<\hat{T} $, $ \overline{u}\in L^{\infty}(\Omega \times (0,S)) $, $ |\nabla \overline{u}|^{p}\in L^{1}(\Omega \times (0,S)) $, 且对于任意的非负测试函数 $ \phi\in C_{0}^{\infty}({\Omega}\times [0,\hat{T})) $, 下述积分不等式成立

则称 $ \overline{u}(x,t) $ 为 (2.10) 式的弱上解.

类似地, 在不等式 (2.11) 中不等号 $ \geq $ 改为 $ \leq $, 则称为弱下解且记为 $ \underline{u}(x,t) $. 若 $ {u}(x,t) $ 既是 (2.10) 式的弱上解, 也是其弱下解, 则称 $ {u}(x,t) $ 为 (2.10) 式的弱解.

最后, 为了主要结果的证明和读者方便, 在此回顾如下熟知的准则. 假设 $ \Omega \subset \mathbb{R}^{N} $ 为开集, $ \Omega=\Omega_{1}\cup\Omega_{2} $, $ \Omega_{1}\cap\Omega_{2}=\varnothing $, $ \Sigma:=\partial \Omega_{1}\cap\partial \Omega_{2} $ 为 $ C^{1} $ 类边界, 且 $ \nu $ 为在 $ \Sigma $ 处 $ \partial \Omega_{1} $ 的单位外法向量 (也是在 $ \Sigma $ 处 $ \partial \Omega_{2} $ 的单位内法向量). 令

其中 $ \left(u_{i}\right)_{t}\in C\left(\Omega_{i}\times (0,\hat{T})\right) $, $ u_{i}\in C^{2}\left(\Omega_{i}\times (0,\hat{T})\right)\cap C^{1}\left(\overline{\Omega}_{i}\times (0,\hat{T})\right) $, $ i=1,2 $.

引理 2.1 假设 $ ({{\rm H}_1}) $-$ ({{\rm H}_2}) $ 成立.

$ ({\rm i}) $ 如果

则定义在 (2.12) 式中的 $ u(x,t) $ 为方程 (2.10) 在定义 2.3 意义下的一个上解;

$ ({\rm ii}) $ 如果

$(u_{i})_{t}\leq \frac{1}{\rho(x)}\Delta_{p} u_{i}+u_{i}^{q}, \quad(x,t)\in \Omega_{i} \times(0,\hat{T}), \;(i=1,2),$

$u_{1}=u_{2}, \quad |\nabla u_{1}|^{p-2}\frac{\partial u_{1}}{\partial \nu}\leq |\nabla u_{2}|^{p-2}\frac{\partial u_{2}}{\partial \nu}, \quad (x,t)\in \Sigma\times (0,\hat{T}).$

则定义在 (2.12) 式中的 $ u(x,t) $ 为方程 (2.10) 在定义 2.3 意义下的一个下解.

证 对 $ \forall t\in[0,\hat{T}) $, 任取测试函数 $ \phi\in C_{0}^{\infty}({\Omega}\times [0,\hat{T})) $.

(i) 不等式 (2.13) 两边乘以 $ \phi $ 并利用分部积分, 得到

和

上面的两式相加并利用 (2.14) 式可得

因此, (i) 的结论得证. 同理可证 (ii). 引理 2.1 证毕.

首先考虑当 $ 2<p<N $, $ q>1 $ 且 $ q\neq p-1 $ 时问题 (1.1)-(1.2) 的解的整体存在性. 我们引入参数 $ b\in \mathbb{R} $ 满足

由于 $ 2<p<N $, 可选取 $ \varepsilon>0 $ 使得

以及 $ r_{0}>e $ 使得

同时, 可选取 $ \overline{c}>0 $ 使得

注意到, 由 $ ({{\rm H}_2}) $ 和 $ ({{\rm H}_2'}) $ 可知存在 $ k_{0}>0 $ 使得

定理 3.1 假设 $ ({{\rm H}_1}) $-$ ({{\rm H}_2}) $, $ ({{\rm H}_2'}) $, (3.1)-(3.3) 式成立且 $ 2<p<N $. 如果

则对于适当的初始值 $ u_{0}(x) $, 问题 (1.1)-(1.2) 存在整体解.

更加准确地说, 有如下情形

$({\rm 1}) $ 令 $ 1<q<p-1 $. 如果 $ C>0 $ 足够大, $ T>1 $, $ \beta>0 $ 且

则问题 (1.1)-(1.2) 存在整体解且满足

$({\rm 2}) $ 令 $ q>p-1 $. 如果 $ C>0 $ 足够小, 且

则问题 (1.1)-(1.2) 存在整体解 $ u\in L^{\infty} \left(\mathbb{R}^{N}\times (0,\infty)\right) $ 且满足

注意到, 在定理 3.1 中无需假设 $ u_{0} $ 具有紧支集, 而只需给出当 $ |x|\rightarrow\infty $ 时初值的衰减行为即可. 同时指出, 当 $ 1<q<p-1 $ 时, 无法保证解属于 $ L^{\infty} \left(\mathbb{R}^{N}\times (0,\infty)\right) $, 而只能保证对任意 $ 0<S<\infty $, 解属于 $ L^{\infty} \left(\mathbb{R}^{N}\times (0,S)\right) $.

关于定理 3.1 中参数 $ C>0 $, $ T>0 $ 和 $ \beta>0 $ 的精确选取的讨论见下面的注 3.1.

本文的剩余部分中, 记 $ r\equiv|x| $. 为了证明解的整体存在性, 将构造如下方程的适当的上解

为此, 我们构造具有如下分离变量形式的上解

其中 $ \xi\in C^{1} \left([0,+\infty);[0,+\infty)\right) $, $ C>0 $ 且 $ r_{0}>e $.

下面, 先引入在定理 3.1 的证明中所需要的关键命题.

命题 3.1 令 $ \xi=\xi(t)\in C^{1} \left([0,+\infty);[0,+\infty)\right) $ 且 $ \xi'\geq 0 $. 如果 $ ({{\rm H}_2}) $, $ ({{\rm H}_2'}) $ 和 (3.1)-(3.5) 式成立, 且

则在 (3.9) 式中定义的 $ \overline{u}(x,t) $ 为方程 (3.8) 在 $ \mathbb{R}^{N}\times(0,\infty) $ 上的整体上解.

注 2.1 对 $ \forall (x,t)\in \left[\mathbb{R}^{N}\setminus\{0\}\right]\times(0,+\infty) $, 经过直接计算, 得到

结合 (3.12) 和 (3.13) 式, 有

利用 (3.2), (3.3), (3.11) 式和 (3.14) 式, 得到

由 (3.1), (3.4) 式和 (3.5) 式, 得到

再由 (3.15)-(3.17) 式和 $ \xi'\geq 0 $ 可得

因此, 利用 (3.2), (3.10) 式和 (3.18) 式, 有

此外, 注意到

利用与 Kato 不等式的证明相同的论证 (见文献 [33,引理 A], [34,定理 2.1]) 可得

因此, $ \overline{u}(x,t) $ 为方程 (3.8) 的上解. 命题 3.1 证毕.

注 3.1 假设 $ ({{\rm H}_2'}) $ 成立. 定理 3.1 中关于参数 $ C>0 $, $ T>0 $, $ \beta>0 $ 的精确假设如下

$({\rm 1}) $ 令 $ q<p-1 $. 需要

$({\rm 2}) $ 令 $ q>p-1 $. 需要

引理 3.1 注 3.1 中的所有条件能被同时满足.

证 (1) 由 (3.2) 式可知

然后可选取 $ C>0 $ 充分大使得 (3.20) 式成立.

(2) 可选取 $ C>0 $ 充分小使得 (3.22) 式成立. 引理 3.1 证毕.

下面, 我们给出主要定理 3.1 的证明.

定理 3.1 的证明 由引理 3.1 可知, 可假设注 3.1 的条件均成立. 令

(1) 如果 $ q<p-1 $, 利用 $ \xi(t) $ 的选取, 通过直接计算不等式 (3.10) 变为

由 (3.19), (3.20) 式和 $ T>1 $ 可知 (3.23) 式成立. 因此, 利用命题 2.4 和命题 3.1 可知结论成立.

(2) 如果 $ q>p-1 $, 则条件 (3.21) 和 (3.22) 与 (3.23) 是等价的. 因此, 利用命题 2.4 和命题 3.1 可知结论成立. 定理 3.1 证毕.

接下来, 我们考虑当 $ \rho(x) $ 满足 $ ({{\rm H}_2'''}) $ 时问题 (1.1)-(1.2) 解的整体存在性. 假设条件 $ ({{\rm H}_2'''}) $ 中的 $ r_{0} $, $ k_{1} $ 和 $ k_{2} $ 满足

其中

定理 3.2 令 $ ({{\rm H}_1}) $-$ ({{\rm H}_2}) $ 和 (3.24)-(3.25) 式成立, $ p>2 $. 如果

初始值 $ u_{0} $ 足够小且具有紧支集, 则问题 (1.1)-(1.2) 存在整体解 $ u\in L^{\infty}(\mathbb{R}^{N}\times (0,\infty)) $.

更加准确地说, 如果 $ C>0 $ 充分小, $ a>0 $, 对于适当的 $ 0<A_{0}<A_{1} $ 使得

且初始值满足

则问题 (1.1)-(1.2) 存在整体解 $ u\in L^{\infty}(\mathbb{R}^{N}\times (0,\infty)) $. 此外, 对 $ \forall (x,t)\in \mathbb{R}^{N}\times (0,+\infty) $, 有

注意到, 如果 $ u_{0} $ 满足 (3.26) 式, 则导出;

此外, 从 (3.27) 式可推出弱解的支集具有扩张的性质

关于定理 3.2 中的参数 $ C>0 $, $ T>0 $ 和 $ a>0 $ 的精确选取的讨论见下面的注 3.2.

为了证明定理 3.2, 我们构造如下形式的方程 (3.8) 的上解

其中 $ \xi $, $ \eta \in C^{1} \left([0,+\infty);[0,+\infty)\right) $, $ C>0 $, $ r_{0}>e $ 且 $ \overline{b} $ 为 (3.25) 式中所定义的.

为了简便, 记 $ \lambda :=\frac{\overline{b}}{p-1} $ 且定义

下面, 引入在定理 3.2 的证明中所需要的关键命题.

命题 3.2 令 $ \xi(t) $, $ \eta(t)\in C^{1} \left([0,+\infty);[0,+\infty)\right) $ 且 $ \overline{\sigma}(t) $, $ \overline{\delta}(t) $, $ \overline{\gamma}(t) $ 为 (3.29)-(3.31) 式中定义的. 如果 $ ({{\rm H}_2'''}) $ 和 (3.24)-(3.25) 式成立, 且对于 $ \forall t\in (0,+\infty) $,

则定义在 (3.28) 式中的 $ \overline{u}(x,t) $ 为方程 (3.8) 在 $ \mathbb{R}^{N}\times(0,\infty) $ 上的整体上解.

证 令

且定义

对 $ \forall (x,t)\in D_{1} $, 直接计算可得

利用 (3.35), (3.36) 式和 $ (\lambda-1)(p-1)=\overline{b} $, 得到

结合 (3.34) 和 (3.37) 式以及不等式 $ \frac{1}{r(r+r_{0})}\geq \frac{1}{(r+r_{0})^{2}} $, 得到

由假设 $ ({{\rm H}_2'''}) $ 和 (3.38) 式可得

由 (3.38)-(3.41) 式, 得到

因此, 利用 (3.42) 式和 $ \overline{\sigma}(t) $, $ \overline{\delta}(t) $, $ \overline{\gamma}(t) $ 的定义知

对于每个 $ t>0 $, 定义

现在, 我们的目标是寻找适当的 $ C,a,\xi,\eta $ 使得对于每个 $ t>0 $, 有

事实上, 对 $ \varphi $ 关于 $ F $ 二次求导后, 得到

因此, $ \varphi(F) $ 为关于变量 $ F $ 的凹函数, 故只需 $ \varphi(F) $ 满足

显然, (3.43) 式等价于

即

由条件 (3.32) 和 (3.33) 可知 (3.44) 和 (3.45) 式成立. 因此, 得到

令 $ \Omega_{1}=D_{1} $, $ \Omega_{2}=\mathbb{R}^{N}\setminus D_{1} $, $ u_{1}=\overline{u} $, $ u_{2}=0 $, $ u=\overline{u} $, 由引理 2.1(i) 可知

此外, 注意到

利用与 Kato 不等式的证明相同的论证 (见文献 [引理 A], [34,定理 2.1]) 可得

因此, $ \overline{u}(x,t) $ 为方程 (3.8) 的上解. 命题 3.2 证毕.

注 3.2 令 (3.24) 式成立且 $ q>p-1 $. 记 $ A:=\frac{C^{p-2}}{a^{p-1}} $. 定理 3.2 中关于参数 $ C>0 $, $ A>0 $, $ T>0 $ 的精确假设如下

引理 3.2 注 3.2 中的所有条件能同时被满足.

证 由 $ q>p-1 $ 可知

再由 (3.24) 式, 我们可选取 $ A>0 $ 使得 (3.46) 式成立且

因此, 我们可选取 $ C>0 $ 充分小使得 (3.47) 式成立. 引理 3.2 证毕.

下面, 我们给出定理 3.2 的证明.

定理 3.2 的证明 由引理 3.2 可知, 我们可假设注 3.2 的条件均成立. 令

其中

结合 $ q>p-1 $, (3.34), (3.35) 式及 $ \xi(t) $ 和 $ \eta(t) $ 的选取, 直接计算得到

显然, 由 (3.46)、(3.47) 式可知 (3.48)、(3.49) 式成立. 因此, 利用命题 2.4 和命题 3.2 可知, 定理 3.2 的结论成立. 定理 3.2 证毕.

本节中, 假设 $ ({{\rm H}_1}) $-$ ({{\rm H}_2}) $ 和 $ ({{\rm H}_2''}) $ 成立, 我们考虑当 $ q>p-1>1 $ 时, 对于充分大的初始值, 问题 (1.1)-(1.2) 的解在有限时刻发生爆破的结果.

由 $ ({{\rm H}_2}) $ 可知, 存在 $ \rho_{1} $, $ \rho_{2}\in (0,+\infty) $, $ \rho_{1}\leq \rho_{2} $ 使得

此外, 记

定理 4.1 令 $ ({{\rm H}_1}) $-$ ({{\rm H}_2}) $, $ ({{\rm H}_2''}) $, (4.1) 和 (4.2) 式成立, $ p>2 $. 如果 $ q>p-1 $ 且初始值 $ u_{0} $ 足够大, 对于任意 $ T>0 $, 则问题 (1.1)-(1.2) 的解 $ u(x,t) $ 在有限时刻 $ \hat{T}\in (0,T] $ 发生爆破, 即

更加准确地说, 如果 $ C>0 $ 充分大, $ a>0 $, $ T>0 $ 和初始值 $ u_{0} $ 满足

其中

则问题 (1.1)-(1.2) 的解发生爆破且满足

注意到, 如果 $ u_{0} $ 满足 (4.3) 式, 则

此外, 由 (4.4) 式能导出弱解的支集具有收缩的性质

关于定理 4.1 中参数 $ C>0 $, $ T>0 $ 和 $ a>0 $ 的精确选取见下面的注 4.1.

为了证明爆破结果, 构造如下方程的适当下解

定义

其中

其中 $ \xi,\eta\in C^{1} \left([0,T);[0,+\infty)\right) $, $ C>0 $, $ a>0 $, $ \theta:=\frac{p}{p-1} $ 且 $ \underline{b} $ 为 (4.2) 式中定义的.

为了简便, 记 $ \delta:=\frac{\underline{b}}{p-1} $ 且定义

下面, 先引入在定理 4.1 的证明中所需要的关键命题.

命题 4.1 令 $ ({{\rm H}_2}) $ 和 $ ({{\rm H}_2''}) $ 成立, $ q>p-1 $, $ T\in (0,\infty) $, $ \xi=\xi(t),\eta=\eta(t)\in C^{1} ([0,T);[0,+\infty)) $ 且 $ K $, $ \underline{\sigma}(t) $, $ \underline{\delta}(t) $, $ \underline{\gamma}(t) $, $ \underline{\sigma}_{0}(t) $ 为 (4.9)-(4.13) 式中定义的. 如果对于任意 $ t\in (0,T) $, 有

则在 (4.6) 式中定义的 $ \underline{w}(x,t) $ 为方程 (4.5) 的下解.

证 令

且定义

对于 $ \forall (x,t)\in D_{2} $, 通过直接计算可得

结合 (4.19)-(4.20) 式和 $ \delta:=\frac{\underline{b}}{p-1} $, 得到

利用 (4.18) 和 (4.21) 式可得

根据 $ ({{\rm H}_2''}) $ 和 (4.2) 式, 有

利用 (4.22)-(4.25) 式, 导出

因此, 利用 (4.26) 式和 $ \underline{\sigma}(t) $, $ \underline{\delta}(t) $, $ \underline{\gamma}(t) $ 的定义, 得到

对于每个 $ t\in(0,T) $, 令

现在, 我们的目标是寻找适当的 $ C,a,\xi,\eta $ 使得对于每个 $ t\in(0,T) $, 有

为此, 假设

其中 $ F_{0}\in(0,1) $. 因此, 有

于是

其中 $ K $ 为定义在 (4.9) 式中依赖于 $ p $ 和 $ q $ 的系数. 由假设(4.14) 和 (4.15), 可知, 对每个 $ t\in(0,T) $, 有

这暗示了 $ \varphi(F)\leq 0 $, $ \forall F\leq 1 $. 总之, 证明了

记 $ \Omega_{1}=D_{2} $, $ \Omega_{2}=\mathbb{R}^{N}\setminus \left[B_{e}\cup D_{2}\right] $, $ u_{1}=\underline{u} $, $ u_{2}=0 $, $ u=\underline{u} $, 由引理 2.1(ii) 可知 $ \underline{u} $ 为方程 (4.5) 在 $ \left[\mathbb{R}^{N}\setminus B_{e}\right]\times (0,T) $ 上的下解.

另一方面, 令

且定义

对于任意 $ (x,t)\in D_{3} $, 经过计算得到

结合 (4.28)-(4.29) 式和 $ (p-1)(\theta-1)=1 $, 得到

由 (4.27) 和 (4.30) 式可得

利用 (4.1) 和 (4.31) 式, 有

因此, 利用 (4.32) 式和 $ \underline{\sigma}_{0}(t) $, $ \underline{\delta}(t) $, $ \underline{\gamma}(t) $ 的定义, 导出

对于每个 $ t\in(0,T) $, 记

现在, 我们的目标是寻找适当的 $ C,a,\xi,\eta $ 使得对于每个 $ t\in (0,T) $, 有

为此, 假设

其中 $ G_{0}\in(0,1) $. 则

于是

其中 $ K $ 为定义在 (4.9) 式中依赖于 $ p $ 和 $ q $ 的系数. 由假设 (4.16) 和 (4.17) 可知, 对于每个 $ t\in(0,T) $, 有

这暗示着 $ \psi (G)\leq 0 $, $ \forall G\in (0,1) $. 因此, 证明了

记 $ \Omega_{1}=D_{3} $, $ \Omega_{2}= B_{e}\setminus D_{3} $, $ u_{1}=\underline{v} $, $ u_{2}=0 $, $ u=\underline{v} $, 由引理 2.1(ii) 可得 $ \underline{v} $ 为方程 (4.5) 在 $ B_{e}\times (0,T) $ 上的下解.

此外, 我们注意到 $ \underline{w}\in C(\mathbb{R}^{N}\times [0,T)) $. 事实上,

此外, 对 $ \forall (x,t)\in \partial B_{e}\times (0,T) $, 有

综上, 令 $ \Omega_{1}=B_{e} $, $ \Omega_{2}=\mathbb{R}^{N}\setminus B_{e} $, $ u_{1}=\underline{v} $, $ u_{2}=\underline{u} $, $ u=\underline{w} $, 并利用引理 (2.1)(ii), 我们得到 $ \underline{w}(x,t) $ 为方程 (4.5) 的下解. 命题 4.1 证毕.

注 4.1 令 $ q>p-1 $ 和假设 (4.1) 成立. 同时, 记 $ A:=\frac{C^{p-2}}{a^{p-1}} $. 定理 4.1 中关于参数 $ C>0 $, $ a>0 $, $ A>0 $, $ T>0 $ 的精确假设如下

引理 4.1 注 4.1 中的所有条件能同时被满足.

证 我们选取 $ A>0 $ 使得对于适当的 $ 0<A_{0}<A_{1} $ 有

并选取充分大的 $ C>0 $ ($ a>0 $ 也固定) 使得 (4.33) 和 (4.34) 式成立. 引理 4.1 证毕.

下面, 我们给出定理 4.1 的证明.

定理 4.1 的证明 令

其中

经过简单计算得到

令 $q>p-1$. 由条件 (4.33) 可知 (4.14) 和 (4.15) 式成立, 而由条件 (4.34) 可知 (4.16) 和 (4.17) 式成立. 因此, 由命题 2.4 和命题 4.1 可知定理 4.1 结论成立. 定理 4.1 证毕.