数学物理学报, 2026, 46(3): 1232-1245

基于再生核方法求解奇异摄动延迟微分方程

单雨晴1, 于文欣1, 冉翠平2, 牛晶,1,*

1 哈尔滨师范大学数学科学学院 哈尔滨 150000

2 东营市胜利第一中学物理组 山东东营 257100

Solving Singularly Perturbed Delay Differential Equations Based on the Reproducing Kernel Method

Shan Yuqing1, Yu Wenxin1, Ran Cuiping2, Niu Jing,1,*

1 School of Mathematical Sciences, Harbin Normal University, Harbin 150000

2 Physics Group, Shengli No.1 Middle School, Shandong Dongying 257100

通讯作者: 牛晶, E-mail:njirwin@163.com

收稿日期: 2025-02-20   修回日期: 2025-06-27  

基金资助: 黑龙江省自然科学基金(LH2024A018)
哈尔滨师范大学研究生创新科研(HSDSSCX2024-25)

Received: 2025-02-20   Revised: 2025-06-27  

Fund supported: Natural Science Funds of Heilongjiang Province of China(LH2024A018)
Graduate Student Innovation Project of Harbin Normal University(HSDSSCX2024-25)

摘要

该文提出了一种求解存在边界层的奇异摄动转折点问题的数值方法. 该方法基于渐近展开技术和再生核方法, 将原问题分解为边界层问题和规则区域问题. 规则区域问题通过渐近展开方法求解; 边界层问题通过变量拉伸法和基于配置法的再生核方法求解. 值得一提的是, 对于具有单边界层的奇异摄动延迟微分方程, 作者在 $W_2^4$ 空间中基于再生核函数构造基函数, 并在每个细分单元内, 构造 4 点的勒让德高斯节点作为配置点. 与原有的拟合网格 B 样条配点法相比, 作者的方法得到的精度和收敛阶更高. 该文提供了四个数值例子来说明该方法的有效性. 数值例子的结果表明, 该方法能够提供非常准确的近似解, 且能达到最优收敛阶.

关键词： 奇异摄动方程; 延迟问题; 最优收敛阶; 再生核方法.

Abstract

In this paper, a numerical method is proposed for solving singularly perturbed turning point problems with boundary layers. This method is based on the asymptotic expansion technique and the reproducing kernel method, and it decomposes the original problem into a boundary layer problem and a regular region problem. The regular region problem is solved by the asymptotic expansion method, while the boundary layer problem is solved by the variable stretching method and the reproducing kernel method based on the collocation method. For singularly perturbed delay differential-difference equations with a single boundary layer, we construct basis functions based on the reproducing kernel function in the $W_2^4$ space. Inside each sub - division cell, the Gaussian-Legendre nodes with 4 points are selected as collocation points. Compared with the original fitted mesh B-spline collocation method, the accuracy and convergence order obtained by our method are higher. Four numerical examples are provided to illustrate the effectiveness of this method. The results of the numerical examples show that this method can provide very accurate approximate solutions and achieve the optimal convergence order.

Keywords： singularly perturbed equations; delay problems; optimal convergence rate; reproducing kernel method.

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本文引用格式

单雨晴, 于文欣, 冉翠平, 牛晶. 基于再生核方法求解奇异摄动延迟微分方程[J]. 数学物理学报, 2026, 46(3): 1232-1245

Shan Yuqing, Yu Wenxin, Ran Cuiping, Niu Jing. Solving Singularly Perturbed Delay Differential Equations Based on the Reproducing Kernel Method[J]. Acta Mathematica Scientia, 2026, 46(3): 1232-1245

1 引言

奇异摄动延迟微分方程是由最高阶导数项乘上一个小参数并包含一个或多个时滞项的方程来确定的. 考虑一类具有边界拐点的奇异摄动延迟微分方程, 它可以用两种方式来表示: 一种是在对流项中包含时滞参数, 另一种是在反应项中包含时滞参数. 在这类微分方程的解中, 拐点的存在可能导致内层或边界层. 对流项的符号和反应系数决定了层在区域内的位置. 这些问题的解在薄区域 (层区域) 内具有非常高的梯度, 而远离这些区域 (外区域或规则区域) 外的梯度则很小. 因此, 对这类问题的渐近处理和数值处理都是十分困难的.

近年来, 许多研究者一直致力于求解各种微分方程, 如文献 [1-3]. 特别是在各种生物和物理现象的数学建模中, 寻找延迟起重要作用的奇异摄动延迟微分方程的解是最普遍和最具挑战性的任务之一. 比如人类瞳孔光反射的振荡, 生理过程或疾病, 神经元变异性激活建模中的首次退出时间问题, 混合光学生物稳定系统中的分岔间隙, 流行病和种群动力学, 肿瘤生长等问题[4]. 在确定首次出口时间齐次马尔可夫过程的时间矩时, 也可以观察到奇异摄动延迟微分方程. 这些过程负责找到神经细胞中脉冲之间的时间期望值和具有大随机波动的群体的持续时间.

基于此, O'Malley 较早的对存在拐点且会导致边界层共振现象的奇异摄动问题进行论述[5]. Aasna 利用指数型基函数的积分恒等式、积分形式的权项和余项的正交规则插值法构造了一种数值方法, 在最大范数上实现了几乎二阶的收敛[6]. Devendra Kumar 等在 B 样条函数的基础上, 提出了一种在分段均匀网格上近似求解具有积分边界条件和单位量级时滞的奇异摄动问题的有效数值格式[7]. Rakesh 等人提出了一种新的基于均匀网格的指数拟合有限差分格式, 用于求解同时具有时滞参数 $\delta$ 和超前参数 $\eta$ (为 $o(\epsilon)$) 的奇异摄动微分方程边值问题解的数值逼近. 并在均匀网格上分析了该格式的精度和效率, 得出该格式能够产生二阶精确的一致收敛解[8].

再生核方法已被广泛应用于数值分析中. Cui 和 Lin 在文献 [9-11] 中对算子方程进行了开创性研究. 随后, 再生核方法作为一种替代技术来解决不同类型的微分方程和积分方程[12]. Geng 等将问题域划分为两个子区间, 基于渐近展开技术和再生核方法提出一种求解具有内层的奇异摄动拐点问题的数值方法[13], 但求解过程繁琐. Sahihi 等同样基于将区间划分, 对于具有边界层特性和小延迟振荡特性的正弦正则摄动微分差分方程, 实现了不需要 Gram-Schmidt 正交化过程的再生核方法[14], 但并不能达到最优收敛阶. Yuzbasi 等通过基于截断 Pell-Lucas 级数的搭配方法研究了具有可变延迟的非线性微分方程的近似解[15]. Mallikarjunaiah 探索了一种深度学习前馈人工神经网络框架, 作为近似奇异扰动延迟微分方程解的数值工具. 文中的数值结果表明, 微调的自适应深度学习架构可以有效地近似各种带有延迟和扰动参数的奇异摄动延迟微分方程的解[16]. Tesfaye 等提出了一种数值方法来解决涉及时间延迟项的奇异扰动对流-扩散问题. 并证明了所提出的方案是均匀收敛的[17,18].

本文在前人基础上, 针对既有对流项又有反应项的二阶奇异摄动延迟微分方程, 提出了一种基于配置法的再生核方法. 即同文献 [19-21] 相比, 我们的方法表现出最优收敛阶. 值得一提的是, 由于本文仅选取了四个勒让德节点作为配置点, 因此, 本文在提高计算效率的基础上, 也保证了一定的精度.

$\left\{\begin{array}{l}\mathcal{L} y(x)=\epsilon y^{\prime \prime}(x)+a(x) y^{\prime}(x-\delta)+b(x) y(x-\delta)+c(x) y(x)=f(x), x \in(0,1), \\y(x)=\phi(x),-\delta \leq x \leq 0, \quad y(1)=\gamma,\end{array}\right.$

其中函数 $a(x), b(x), c(x), f(x), \phi(x)$ 是光滑且有界的, $0<\epsilon \leq 1$ 是一个小参数, 延迟项 $\delta (\epsilon)(0 < \delta \leq 1)$ 满足条件$\epsilon - \delta a(x) + (\delta ^2/2)b(x) > 0$,我们也假设 $b(x)+c(x) \leq -\theta <0$, $\theta$ 为正常数. 这一条件确保了方程 (1.1) 存在边界层. 当 $\delta$ 为零时, 上述方程转化为一个单参数的奇异摄动常微分方程. 如果 $a(x)$ 在区间 $ [0,1]$ 内为正, 则边界层存在于区间$ [0,1]$ 的左侧; 如果 $a(x)$ 在区间 $ [0,1]$ 内为负, 则边界层存在于区间 $ [0,1]$ 的右侧; $a(x)$ 的零点称为转折点. 本文在边界层区域内重点使用再生核配置法, 利用核函数以及核函数的导数作为基底, 选取勒让德高斯节点进行配置, 从而在较少的配置点下达到最优收敛阶.

2. 具有最优收敛阶的再生核方法

本文给出了缓速项的泰勒近似, 即对流缓速项的二阶近似和反应缓速项的二阶近似, 再用基于配置法的再生核方法求解得到的微分差分方程.

首先用泰勒级数进行近似得

$y(x-\delta) \approx y(x)-\delta y^{\prime}(x)+(\delta^{2}/2)y^{\prime\prime}(x)$

和

$y^{\prime}(x-\delta) \approx y^{\prime}(x)-\delta y^{\prime \prime}(x).$

将方程 (2.3) 和 (2.2) 带入 (1.1) 式, 得到近似方程

$\left\{\begin{array}{l}\left(\epsilon-\delta a(x)+\left(\delta^{2} / 2\right) b(x)\right) y^{\prime \prime}(x)+(a(x)-\delta b(x)) y^{\prime}(x)+(b(x)+c(x)) y(x)=f(x), \\y(0)=\phi(0), \quad y(1)=\gamma,\end{array}\right.$

针对方程 (2.3), 采用如下方法进行求解

令 $ l_{\epsilon}=0+d,r_{\epsilon}=1-d $, 其中 $ d $ 是一个正实数. 当边界层在 0 附近时, 把区间 $ [0,1] $ 分为 $ [0,l_ {\epsilon}],[l_{\epsilon},1] $ ; 当边界层在1 附近时, 把区间 $ [0,1] $ 分为$ [0,r_{\epsilon}],[r_{\epsilon},1] $. 子区间 $ [0,l_ {\epsilon}],[r_{\epsilon},1] $ 叫做边界层区域; $ [l_{\epsilon},1],[0,r_{\epsilon}] $ 叫做规则区域.

在规则区域 $ [l_{\epsilon},1],[0,r_{\epsilon}] $ 中, 采用渐近逼近技术求解. 再用渐近逼近的值作为过渡点 $ x=l_ {\epsilon} $ 或 $ x=r_{\epsilon} $ 处的边界条件. 边界层区域 $ [0,l_ {\epsilon}],[r_{\epsilon},1] $ 中, 采用伸缩变换法和再生核方法相结合解决满足在 $ x=l_{\epsilon} $ 或 $ x=r_{\epsilon} $ 处过渡边界条件的方程 (1.1). 最后, 将规则区域和边界层区域的解结合起来就获得了原问题在整个区域 $ [0,1] $ 上的近似解.

2.1 规则区域问题的解决方案

在处理奇异摄动延迟微分方程问题时, 对规则区域使用泰勒展开可以简化方程求解过程、提高计算效率. 因此, 我们尝试在规则区域 $ [l_{\epsilon},1] $ 和 $ [0,r_{\epsilon}] $ 中考虑方程 (2.3). 设区间 $ [l_ {\epsilon},1],[0,r_{\epsilon}] $ 上的直接渐近展开式为 $ U_{L,M}(x) $ 和 $ U_{R,M}(x) $,

$U_{L,M}(x)=\sum_{k=0}^{M}\epsilon ^{k} u_k(x),\quad U_{R,M}(x)=\sum_{k=0}^{M}\epsilon ^{k} v_k(x),$

其中 $ u_k(x) $ 为以下方程的解

$\begin{gathered}(a(x)-\delta b(x)) u_0^{\prime}(x)+(b(x)+c(x)) u_0(x)=f(x),\quad u_0(1)=\gamma,\\(a(x)-\delta b(x)) u_1^{\prime}(x)+(b(x)+c(x)) u_1(x)=f(x),\quad u_1(1)=0,\\\cdots \\(a(x)-\delta b(x)) u_M^{\prime}(x)+(b(x)+c(x)) u_M(x)=f(x),\quad u_M(1)=0.\end{gathered}$

$ v_k(x) $ 为以下方程的解

$\begin{gathered}(a(x)-\delta b(x)) v_0^{\prime}(x)+(b(x)+c(x)) v_0(x)=f(x),\quad v_0(1)=\phi(0), \\(a(x)-\delta b(x)) v_1^{\prime}(x)+(b(x)+c(x)) v_1(x)=f(x),\quad v_1(1)=0,\\\cdots \\(a(x)-\delta b(x)) v_M^{\prime}(x)+(b(x)+c(x)) v_M(x)=f(x),\quad v_M(1)=0.\end{gathered}$

2.2 边界层区域问题的解决方案

考虑方程 (2.3) 的边界层在左侧时的情况, 边界层在右侧时同理可得.

$\left\{\begin{array}{l}\left(\epsilon-\delta a(x)+\left(\delta^{2} / 2\right) b(x)\right) y^{\prime \prime}(x)+(a(x)-\delta b(x)) y^{\prime}(x) \\+(b(x)+c(x)) y(x)=f(x), x \in(0, d) \\y(0)=\phi(0), \quad y(d)=U_{L, M}\left(l_{\epsilon}\right)\end{array}\right.$

利用 $ x=s d $ 进行放缩, 则方程 (2.5) 变为满足 $ u(0) = \phi(0), \ u(1) = U_{L,M}(l_{\epsilon}) $ 的方程

$\left\{\begin{array}{l}\frac{\left(\epsilon-\delta a(s d)+\left(\delta^{2} / 2\right) b(s d)\right.}{d^{2}} u^{\prime \prime}(s)+\frac{(a(s d)-\delta b(s d))}{d} u^{\prime}(s)+(b(s d)+c(s d)) u(s)=f(s d), \\u(0)=\phi(0), \quad u(1)=U_{L, M}\left(l_{\epsilon}\right).\end{array}\right.$

在下文中, 我们将详细展示如何使用基于配置法的再生核方法来求解 (2.6) 式.

首先定义线性算子 $ \mathcal{L} $

$\mathcal{L}u(s)=(\epsilon - \delta a(s d) + (\delta^{2}/2)b(s d)) \frac{1}{d^2} u^{\prime\prime}(s) + (a(s d) - \delta b(s d)) \frac{1}{d} u^{\prime}(s) + (b(s d) + c(s d)) u(s)$

并令 $ h(s)=f(s d) $, 则(2.6) 式变为

$\left\{\begin{array}{ll}\mathcal{L} u(s)=h(s), & s \in(0,1) \\u(0)=\phi(0), & u(1)=U_{L, M}\left(l_{\epsilon}\right)\end{array}\right.$

定义 2.1[18] 再生核空间 $ W_{2}^{m}[a,b] $ 的定义如下

$\begin{align*} W_{2}^{m}[a,b]=\lbrace u(x) \mid u^{(m-1)} \;\mbox{为 $ [a,b] $ 内绝对连续的实值函数}, u^{(m)} \in L^{2}[a,b] \rbrace. \end{align*}$

$ W_{2}^{m}[a,b] $ 中的内积和范数定义如下

$\left\{\begin{array}{l}\langle u, v\rangle_{W_{2}^{m}[a, b]}=\sum_{i=1}^{m-1} u^{(i)}(a) v^{(i)}(a)+\int_{a}^{b} u^{(m)} v^{(m)} \mathrm{d} x, \\\|u\|_{W_{2}^{m}[a, b]}=\sqrt{\langle u, u\rangle_{W_{2}^{m}[a, b]}}, \quad u, v \in W_{2}^{m}[a, b].\end{array}\right.$

定理 2.1[18] $ W_{2}^{m}[a,b] $ 是一个再生核空间, 其再生核函数为

$K_{y}^{m}(x)=\left\{\begin{array}{l}\sum_{i=0}^{m-1}\left[\frac{(x-a)^{i}}{i!}+(-1)^{m-1-i} \frac{(x-a)^{(2 m-1-i)}}{(2 m-1-i)!}\right] \times \frac{(y-a)^{i}}{i!}, x \leq y, \\\sum_{i=0}^{m-1}\left[\frac{(y-a)^{i}}{i!}+(-1)^{m-1-i} \frac{(y-a)^{(2 m-1-i)}}{(2 m-1-i)!}\right] \times \frac{(x-a)^{i}}{i!}, x>y.\end{array}\right.$

当 $m=4$ 时, 考虑方程 (2.7), 由文献 [15] 可知, $ \mathcal{L}:W_2^4 [0,1]\to W_2^1 [0,1] $ 是一个有界线性算子.

2.2.1 再生核空间中的基底构造

令 $ \pi : a = x_0 <\cdots< x_i < x_{i+1} <\cdots < x_n = b $ 是一个分划, 并且

$\varphi_{i, 1}=K_{x}\left(x_i\right),\ \varphi_{i, 2}=\frac{\partial}{\partial x_i} K_{x}\left(x_i\right),\ \varphi_{i, 3}=\frac{\partial^2}{\partial x_i^2} K_{x}\left(x_i\right),\\varphi_{i, 4}=\frac{\partial^3}{\partial x_i^3} K_{x}\left(x_i\right),\quad i \in\{0,1, \cdots, n\}.$

引理 2.1 $ \left\{\varphi_{i, j}\right\} $ 是线性无关的 $ (i \in \{0,1, \cdots, n\}, j \in \{1, 2, 3, 4\} ) $.

证 假设存在一组 $ k_0, l_0, m_0, t_0,\cdots, k_{i-1}, l_{i-1}, m_{i-1},t_{i-1}, k_{i}, l_{i}, m_{i}, t_{i},\cdots, k_{n}, l_{n}, m_{n}, t_{n} $ 满足

$\sum_{i=0}^n k_i \varphi_{i, 1}(x)+\sum_{i=0}^n l_i \varphi_{i, 2}(x)+\sum_{i=0}^n m_i \varphi_{i, 3}(x)+\sum_{i=0}^n t_i \varphi_{i, 4}(x)=0.$

对任意的 $ s\in\{0,1, \cdots, n\} $, 令 $ \alpha_{s}(x),\ \beta_{s}(x) $, $ \gamma_{s}(x) $ 和 $ \eta_{s}(x) $ 表示 Hermite 插值多项式在插值节点 $ x_s $ 处的基函数. 因此 $ \alpha_{s}(x),\ \beta_{s}(x),\ \gamma_{s}(x),\ \eta_{s}(x) $ 满足

$\alpha_{s}\left(x_{i}\right)=\delta_{i, s}=\left\{\begin{array}{l}1, i=s \\0, i \neq s\end{array}, \alpha_{s}^{\prime}\left(x_{i}\right)=0, \alpha_{s}^{\prime \prime}\left(x_{i}\right)=0, \alpha_{s}^{\prime \prime \prime}\left(x_{i}\right)=0.\right.$
$\beta_{s}\left(x_{i}\right)=0, \beta_{s}^{\prime}\left(x_{i}\right)=\delta_{i, s}=\left\{\begin{array}{l}1, i=s \\0, i \neq s\end{array}, \beta_{s}^{\prime \prime}\left(x_{i}\right)=0, \beta_{s}^{\prime \prime \prime}\left(x_{i}\right)=0.\right.$
$\gamma_{s}\left(x_{i}\right)=0, \gamma_{s}^{\prime}\left(x_{i}\right)=0, \gamma_{s}^{\prime \prime}\left(x_{i}\right)=\delta_{i, s}=\left\{\begin{array}{l}1, i=s, \\0, i \neq s.\end{array}, \gamma_{s}^{\prime \prime \prime}\left(x_{i}\right)=0.\right.$
$\eta_{s}\left(x_{i}\right)=0, \eta_{s}^{\prime}\left(x_{i}\right)=0,, \eta_{s}^{\prime \prime}\left(x_{i}\right)=0, \eta_{s}^{\prime \prime \prime}\left(x_{i}\right)=\delta_{i, s}=\left\{\begin{array}{l}1, i=s \\0, i \neq s\end{array}\right.$

根据再生核函数 $ K_x(y) $ 的再生性, 对任意 $ g\in W_{2}^{4} [0,1] $, $ i \in\{0,1, \cdots, n\} $ 有

$\begin{aligned}\left\langle\varphi_{i, 1}(x), g(x)\right\rangle_{W_2^4} &= g\left(x_i\right), &\left\langle\varphi_{i, 2}(x), g(x)\right\rangle_{W_2^4} &= g^{\prime}\left(x_i\right), \\\left\langle\varphi_{i, 3}(x), g(x)\right\rangle_{W_2^4} &= g^{\prime \prime}(x_i), &\left\langle\varphi_{i, 4}(x), g(x)\right\rangle_{W_2^4} &= g^{\prime\prime\prime}\left(x_i\right).\end{aligned}$

因此, 对任意 $ j \in \{0,1, \cdots, n\} $,

$\begin{aligned}&~~~~ \left\langle 0, \alpha_j(x)\right\rangle_{W_2^4}\\&=\left\langle\sum_{i=0}^n k_i \varphi_{i, 1}, \alpha_j(x)\right\rangle+\left\langle\sum_{i=0}^n l_i \varphi_{i, 2}, \alpha_j(x)\right\rangle+\left\langle\sum_{i=0}^n m_i \varphi_{i, 3}, \alpha_j(x)\right\rangle +\left\langle\sum_{i=0}^n t_i \varphi_{i, 4}, \alpha_j(x)\right\rangle\\& =\sum_{i=0}^n k_i \alpha_j\left(x_i\right)+\sum_{i=0}^n l_i \alpha_j^{\prime}\left(x_i\right)+\sum_{i=0}^n m_i \alpha_j^{\prime \prime}\left(x_i\right)+\sum_{i=0}^n t_i \alpha_j^{\prime \prime\prime}\left(x_i\right)=k_i =0,\end{aligned}$
$\begin{aligned}&~~~~ \left\langle 0, \beta_j(x)\right\rangle_{W_2^4}\\& =\left\langle\sum_{i=0}^n k_i \varphi_{i, 1}, \beta_j(x)\right\rangle+\left\langle\sum_{i=0}^n l_i \varphi_{i, 2}, \beta_j(x)\right\rangle+\left\langle\sum_{i=0}^n m_i \varphi_{i, 3}, \beta_j(x)\right\rangle +\left\langle\sum_{i=0}^n t_i \varphi_{i, 4}, \beta_j(x)\right\rangle\\& =\sum_{i=0}^n k_i \beta_j\left(x_i\right)+\sum_{i=0}^n l_i \beta_j^{\prime}\left(x_i\right)+\sum_{i=0}^n m_i \beta_j^{\prime \prime}\left(x_i\right)+\sum_{i=0}^n t_i \beta_j^{\prime \prime\prime}\left(x_i\right)=l_i =0,\end{aligned}$
$\begin{aligned}&~~~~\left\langle 0, \gamma_j(x)\right\rangle_{W_2^4}\\& =\left\langle\sum_{i=0}^n k_i \varphi_{i, 1}, \gamma_j(x)\right\rangle+\left\langle\sum_{i=0}^n l_i \varphi_{i, 2}, \gamma_j(x)\right\rangle+\left\langle\sum_{i=0}^n m_i \varphi_{i, 3}, \gamma_j(x)\right\rangle+\left\langle\sum_{i=0}^n t_i \varphi_{i, 4}, \gamma_j(x)\right\rangle \\& =\sum_{i=0}^n k_i \gamma_j\left(x_i\right)+\sum_{i=0}^n l_i \gamma_j^{\prime}\left(x_i\right)+\sum_{i=0}^n m_i \gamma_j^{\prime \prime}\left(x_i\right)+\sum_{i=0}^n t_i \gamma_j^{\prime \prime\prime}\left(x_i\right)=m_i =0,\end{aligned}$
$\begin{aligned}&~~~~\left\langle 0, \eta_j(x)\right\rangle_{W_2^4}\\& =\left\langle\sum_{i=0}^n k_i \varphi_{i, 1}, \eta_j(x)\right\rangle+\left\langle\sum_{i=0}^n l_i \varphi_{i, 2}, \eta_j(x)\right\rangle+\left\langle\sum_{i=0}^n m_i \varphi_{i, 3}, \eta_j(x)\right\rangle+\left\langle\sum_{i=0}^n t_i \varphi_{i, 4}, \eta_j(x)\right\rangle \\& =\sum_{i=0}^n k_i \eta_j\left(x_i\right)+\sum_{i=0}^n l_i \eta_j^{\prime}\left(x_i\right)+\sum_{i=0}^n m_i \eta_j^{\prime \prime}\left(x_i\right)+\sum_{i=0}^n t_i \eta_j^{\prime \prime\prime}\left(x_i\right)=t_i =0,\end{aligned}$

由此, $ k_i=l_i=m_i=t_i=0,\ i \in\{0,1, \cdots, n\} $, 即 $ \left\{\varphi_{i, j}\right\} $ 线性无关. $ \left\{\varphi_{i, j}\right\} $ 可以作为再生核空间中的一组基 $ (i \in \{0,1, \cdots, n\}, j \in \{1, 2, 3, 4\} ) $.

2.2.2 基于配置法的再生核方法

假设方程 (2.7) 近似解 $ u_n(x) $ 的形式为

$u_{n}(x)=\sum_{i=0}^n\left( k_i \varphi_{i, 1}(x)+ l_i \varphi_{i, 2}(x)+ m_i \varphi_{i, 3}(x)+ t_i \varphi_{i, 4}(x)\right).$

用节点 $ x_i $ 构造四点的勒让德高斯节点如下

$\begin{align*} \xi_{i,1}=x_{i-1}+\frac{h_i}{2}\left(1-\frac{\sqrt{525-70\sqrt{30}}}{35}\right),\quad \xi_{i,2}=x_{i-1}+\frac{h_i}{2}\left(1+\frac{\sqrt{525-70\sqrt{30}}}{35}\right),\\ \xi_{i,3}=x_{i-1}+\frac{h_i}{2}\left(1-\frac{\sqrt{525+70\sqrt{30}}}{35}\right),\quad \xi_{i,4}=x_{i-1}+\frac{h_i}{2}\left(1+\frac{\sqrt{525+70\sqrt{30}}}{35}\right). \end{align*}$

其中 $ \ i \in\{1, 2, \cdots, n\},\ h_i=x_i-x_{i-1} $.

因此, 在 $ W_2^4 [0,1] $ 中用配置法解决方程 (2.7) 等价于找到满足如下方程的 $ u_n(x) $

$\left\{\begin{array}{l}\mathcal{L} u_{n}\left(\xi_{i, j}\right)=h\left(\xi_{i, j}\right), i=1,2, \cdots, n, j=1,2,3,4, \\\mathcal{L} u_{n}(0)=h(0), \\\mathcal{L} u_{n}(1)=h(1), \\u_{n}(0)=\phi(0), \\u_{n}(1)=U_{L, M}\left(l_{\epsilon}\right).\end{array}\right.$

这种配置法产生了一个线性代数方程系统, 该系统具有 $ (4n+4) $ 个方程和 $ (4n+4) $ 个未知数 $ (k_i, l_i, m_i, t_i,i=0,1,\cdots,n) $. 将未知系数全部计算出后, 代入 $ u_n(x) $ 中即可计算出方程 (2.7) 的数值解.

3 算法分析

3.1 算法的收敛性分析

定理 3.1 设 $ u (\cdot) \in C^{10} [0,1] $ 是方程 (2.7) 的精确解, $ u_n $ 是其近似解. 则有

$\mid \int_0^1\left(\mathcal{L}u-\mathcal{L}u_n\right) {\rm d}x \mid \leq Ch^8,$

其中 $ h=\mathop{max}\limits_{1\leq i \leq n} h_i $, $ h_i=x_i-x_{i-1} $, 常数 $ C $ 不取决于如何分划区间 $ [0,1] $, $ h \leq Ch_i $.

证 设 $ B_i(x)=\mathcal{L}u_n-\mathcal{L}u, \ x\in\tau_i=[x_{i-1}, x_i] $, 那么 $ B_i(x)\in C^8(\tau_i) $. 在插值节点 $ x_{i-1}, \ \xi_{i,1}, \ \xi_{i,2},\ \xi_{i,3},\ \xi_{i,4},\ x_i, 0 $ 处, 有 $ B_i(\xi_{i,1})=B_i(\xi_{i,2})=B_i(\xi_{i,3})=B_i(\xi_{i,4})=B_i(0)=0 $. 拉格朗日插值多项式 $ I_i(x) $ 表示为

$\begin{aligned}I_{i}(x)= & B_{i}\left(x_{i-1}\right) \frac{\left(x-\xi_{i, 1}\right)\left(x-\xi_{i, 2}\right)\left(x-\xi_{i, 3}\right)\left(x-\xi_{i, 4}\right)\left(x-x_{i}\right)(x-0)(x-1)}{\left(x_{i-1}-\xi_{i, 1}\right)\left(x_{i-1}-\xi_{i, 2}\right)\left(x_{i-1}-\xi_{i, 3}\right)\left(x_{i-1}-\xi_{i, 4}\right)\left(x_{i-1}-x_{i}\right)\left(x_{i-1}-0\right)\left(x_{i-1}-1\right)} \\& +B_{i}\left(x_{i}\right) \frac{\left(x-\xi_{i, 1}\right)\left(x-\xi_{i, 2}\right)\left(x-\xi_{i, 3}\right)\left(x-\xi_{i, 4}\right)\left(x-x_{i-1}\right)(x-0)(x-1)}{\left(x_{i}-\xi_{i, 1}\right)\left(x_{i}-\xi_{i, 2}\right)\left(x_{i}-\xi_{i, 3}\right)\left(x_{i}-\xi_{i, 4}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right)\left(x_{i}-0\right)\left(x_{i}-1\right)}.\end{aligned}$

根据直交多项式的性质,

$\begin{align*} &(x-\xi_{i,1})(x-\xi_{i,2})(x-\xi_{i,3})(x-\xi_{i,4}), \\ & (x-x_i)(x-0)(x-1) \end{align*}$

和

$ (x-x_{i-1})(x-0)(x-1) $

直交. 从而有

$\int_{x_{i-1}}^{x_i} I_i(x) {\rm d}x =0.$

此外, 存在 $ \xi_i \in \tau_i $ 满足

$B_i(x)-I_i(x)=\frac{B_i^{(8)}(\xi_i)}{8!}(x-x_{i-1})(x-\xi_{i,1})(x-\xi_{i,2})(x-\xi_{i,3})(x-\xi_{i,4})(x-x_i)(x-0)(x-1).$

再有

$\begin{aligned}&~~~\,\,\bigg| \int_{x_{i-1}}^{x_i}\left(B_i(x)-I_i(x)\right) {\rm d}x \bigg| \\& =\bigg| \int_{x_{i-1}}^{x_i}\!\!\left(\frac{B_i^{(8)}(\xi_i)}{8!}(x-x_{i-1})(x-\xi_{i,1})(x-\xi_{i,2})(x-\xi_{i,3})(x-\xi_{i,4})(x-x_i)(x-0)(x-1)\right) {\rm d}x \bigg| \\& \leq Ch_i^9,\end{aligned}$

其中 $ C $ 只取决于 $ \left\|u^{(8)}\right\|_\infty $.

将方程 (3.1) 代入得

$\bigg| \int_{x_{i-1}}^{x_i} B_i(x) {\rm d}x \bigg| \ \leq \ \bigg| \int_{x_{i-1}}^{x_i}\left(B_i(x)-I_i(x)\right) {\rm d}x \bigg| +\bigg| \int_{x_{i-1}}^{x_i} I_i(x) {\rm d}x \bigg| \ \leq \ Ch_i^9.$

因此,

$ \bigg| \int_0^1\left(\mathcal{L}u-\mathcal{L}u_n\right) {\rm d}x \bigg| \ \leq \ \sum_{i=1}^{n}\bigg| \int_{x_{i-1}}^{x_i} B_i(x) {\rm d}x \bigg| \ \leq \ \sum_{i=1}^{n} Ch_i^9\ \leq\ Ch^8. $

3.2 算法的稳定性分析

定理3.2 对于 $ \mathcal{L}u=H $, 假设 $ \delta $ 是 $ H $ 的一个微小的扰动. 设 $ \tilde{H}=H+ \delta $ 满足 $ \mathcal{L} \tilde{u}=\tilde{H} $. 则有 $ \left\| u-\tilde{u}\right\|_{W_2^4} \leq M\ \left\|\delta \right\|_{W_2^4} $, 其中 $ M $ 是实值常数.

证 考虑到方程有特解, 所以 $ \mathcal{L} $ 是可逆的, 并且 $ \mathcal{L}^{-1} $ 是有界线性算子. 则有

$\begin{aligned}\left\| u-\tilde{u}\right\|_{W_2^4}&= \left\| \mathcal{L}^{-1}H - \mathcal{L}^{-1} \tilde{H} \right\|_{W_2^4}\\ &= \left\| \mathcal{L}^{-1}H - \mathcal{L}^{-1} (H+\delta) \right\|_{W_2^4}\\ &=\left\| \mathcal{L}^{-1} \delta \right\|_{W_2^4}\\ &\leq \left\| \mathcal{L}^{-1} \right\|_{W_2^4}\ \left\| \delta \right\|_{W_2^4}\\ &\leq M\left\| \delta \right\|_{W_2^4}.\end{aligned}$

4 数值实验

我们已经使用 Mathematica 11.0 软件包实现了本文所述的算法, 以解决若干奇异摄动延迟问题的算例. 该类方程一般没有精确解, 所以为了评估在各种范数下的误差 $ e_n = u_{2n} - u_n $ 并确定收敛速度 ($ C.R $), 我们定义了以下符号

$\begin{align*} \left\|e_{n}\right\|_{\infty} &= \max_{0 \leq x \leq 1} \lvert e_{n} \rvert, &\quad \left\|e_{n}\right\|_{0} &= \left( \sum_{i=1}^{n} \int_{x_{i-1}}^{x_{i}} e_n^2 \, \mathrm{d}x \right)^{1/2}, \\ \lvert e_{n} \rvert_{H^1} &= \left\|e_{n}'\right\|_{L^2(\Omega)} = \left( \sum_{i=1}^{n} \int_{x_{i-1}}^{x_{i}} (e_n')^2 \, \mathrm{d}x \right)^{1/2}, &\quad \text{C.R.} &= \log_2 \frac{\left\|e_{n}\right\|}{\left\|e_{2n}\right\|}. \end{align*}$

4.1 例 4.1

在本例中, 我们考虑如下既有对流项又有反应项的二阶奇异摄动微分差分方程

$\left\{\begin{array}{l}\epsilon y^{\prime \prime}(x)+(1+x) y^{\prime}(x-\delta)+e^{-2 x} y(x-\delta)-2 e^{-x} y(x)=0, \quad 0<x<1, \\y(x)=1, \quad-\delta \leq x \leq 0, \quad y(1)=0.\end{array}\right.$

首先利用泰勒近似将例 4.1 转化为

$\left\{\begin{array}{l}\left(\epsilon-\delta(1+x)+\left(\delta^{2} / 2\right) e^{-2 x}\right) y^{\prime \prime}(x)+\left((1+x)-\delta e^{-2 x}\right) y^{\prime}(x)+\left(e^{-2 x}-2 e^{-x}\right) y(x)=0, \\y(x)=1,-\delta \leq x \leq 0, \quad y(1)=0, x \in(0,1).\end{array}\right.$

由于 $ a(x)=1+x $ 为正, 所以边界层在 0 附近. 其次, 在规则区域 $ (d,1) $ ($ d\in(0,1) $) 内利用渐近逼近技术

$\left\{\begin{array}{l}\left((1+x)-\delta e^{-2 x}\right) y^{\prime}(x)+\left(e^{-2 x}-2 e^{-x}\right) y(x)=0, x \in(d, 1) \\y(1)=0\end{array}\right.$

求得 $ U_{L,M}(x)=0 $, 进而 $ U_{L,M}(d)=0 $. 再考虑边界层 $ (0,d) $, 令 $ x=sd $, 将其放缩到区间 $ [0,1] $ 上, 并将 $ U_{L,M}(d)=0 $ 作为边值条件得

$\left\{\begin{array}{l}\left(\epsilon-\delta(1+s d)+\left(\delta^{2} / 2\right) e^{-2 s d}\right) \frac{1}{d^{2}} y^{\prime \prime}(s)+\left((1+s d)-\delta e^{-2 s d}\right) \frac{1}{d} y^{\prime}(s)+\left(e^{-2 s d}-2 e^{-s d}\right) y(s)=0 \\y(0)=1, \quad y(1)=0, \quad s \in(0,1)\end{array}\right.$

再利用上述提到的基于配置法的再生核方法求解.

表 1 展示了当 $ \epsilon=2^{-4},2^{-8},2^{-12},2^{-16} $, $ \delta=0.3\epsilon, d=\epsilon $ 时, 不同范数下的误差和收敛阶. 从中可以发现 $ L^\infty,L^2,H^1 $ 范数下误差的收敛阶分别为 $ 8,8,7 $, 均达到最优收敛. 表 2 通过比较展现了本方法的高精度和最优收敛阶. 图 1 展示了当 $ \epsilon=2^{-4}, \delta=0.3\epsilon, d=\epsilon $ 的绝对误差. 图 2 可观察到摄动参数和延迟对解的影响.

表1   例 4.1 中当 $ \epsilon=2^{-4},2^{-8},2^{-12},2^{-16}$ $(\delta=0.3\epsilon, d=\epsilon) $ 时的误差及收敛阶

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表2   两种方法求数值解的误差和收敛阶比较

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图1

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图1   例 4.1 当 $ \epsilon=2^{-4}, \delta=0.3\epsilon, d=\epsilon $ 的绝对误差


图2

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图2   例 4.2 中摄动参数和延迟对解的影响


4.2 例 4.2

在本例中, 考虑如下边界层在右侧的二阶奇异摄动延迟微分方程

$\left\{\begin{array}{l}-\epsilon y^{\prime \prime}(x)+(1+x) y^{\prime}(x-\delta)-e^{-2 x} y(x-\delta)+e^{-x} y(x)=0, \quad 0<x<1, \\y(x)=1, \quad-\delta \leq x \leq 0, \quad y(1)=-1.\end{array}\right.$

应用泰勒近似得

$\left\{\begin{array}{l}\left(-\epsilon-\delta(1+x)-\left(\delta^{2} / 2\right) e^{-2 x}\right) y^{\prime \prime}(x)+\left((1+x)-\delta e^{-2 x}\right) y^{\prime}(x)+\left(e^{-x}-e^{-2 x}\right) y(x)=0, \\y(x)=1,-\delta \leq x \leq 0, \quad y(1)=-1, x \in(0,1).\end{array}\right.$

显然边界层在 1 附近, 其规则区域 $ (0,1-d) $, 利用渐近逼近技术

$\left\{\begin{array}{l}\left((1+x)+\delta e^{-2 x}\right) y^{\prime}(x)+\left(e^{-x}+e^{-2 x}\right) y(x)=0, x \in(0,1-d) \\y(0)=1\end{array}\right.$

通过 Mathematica 数值求解得 $ U_{R,M}(1-d) $ 的近似值.

再考虑边界层 $ (1-d,1) $, 令 $ x=sd+1 $ 将其放缩到区间 $ [-1,0] $ 上, 并将 $ U_{R,M}(1-d) $ 的值作为边值条件得到满足 $ y(-1)=U_{R,M}(1-d), \ y(0)=1, \ s\in(-1,0) $ 的方程

$\begin{aligned}&(-\epsilon-\delta (2+sd)-(\delta^{2}/2) e^{-2(sd+1)})\frac{1}{d^2}y^{\prime\prime}(s)+((2+sd)+ \delta e^{-2(sd+1)}) \frac{1}{d}y^{\prime}(s)\\&+(e^{-(sd + 1)}-e^{-2(sd + 1)})y(s)=0,\end{aligned}$

并在再生核空间 $ W_2^4[-1,0] $ 中求解其数值解.

表 3 给出了 $ \delta=0.3\epsilon $ 和 $ \delta=0.5\epsilon $, $ d=\epsilon $ 时的最大误差及收敛阶, 说明了本文的算法精度较高且能达到最优收敛. 图 3 为 $ \epsilon=2^{-4} $ 的一些误差图像. 通过观察表 4 展示的比较结果, 发现本方法的收敛速度更快, 精度更高.

表3   例 4.2 中当 $ \delta=0.3\epsilon $ 和 $ \delta=0.5\epsilon $, $ d=\epsilon $ 时的最大误差及收敛阶

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图3

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图3   例 4.2 当 $ \epsilon=2^{-4}, d=\epsilon $, $ \delta=0.3\epsilon $ 的绝对误差


表4   例 4.2 中当 $ \delta=0.3 \epsilon $ 时最大误差的比较

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4.3 例 4.3

在本例中, 考虑如下常系数二阶奇异摄动延迟微分方程

$\left\{\begin{array}{l}\epsilon y^{\prime \prime}(x)-y^{\prime}(x-\delta)-y(x)=0, \quad 0<x<1, \\y(x)=1, \quad-\delta \leq x \leq 0, \quad y(1)=-1.\end{array}\right.$

表 5 和图 4 给出了最大误差的数据和图像. 图 5 说明了摄动参数 $ \epsilon $ 和延迟量 $ \delta $ 对解的影响, 当 $ \epsilon, \delta $ 越小时奇异点处的近似效果越好.

表5   例 4.3 中当 $\delta=0.3\epsilon$ 和 $\delta=0.5\epsilon$, $d=\epsilon$ 时的最大误差及收敛阶

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图4

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图4   例 4.3 当 $\epsilon=2^{-7}, \delta=0.5\epsilon, d=\epsilon$ 的绝对误差


图5

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图5   例 4.3 中摄动参数和延迟对解的影响


4.4 例 4.4

在本例中, 考虑如下变系数奇异摄动微分差分方程

$\left\{\begin{array}{l}\epsilon y^{\prime \prime}(x)-e^{x} y^{\prime}(x-\delta)-y(x)=0, \quad 0<x<1, \\y(x)=1, \quad-\delta \leq x \leq 0, \quad y(1)=1.\end{array}\right.$

表 6 列出了当 $\delta=0.3\epsilon$ 和 $\delta=0.5\epsilon$, $d=\epsilon$ 时的最大误差及收敛阶. 图 6 显示了节点个数不同时边界层区域内的误差图像. 从图 7 中直观的观察到摄动参数和延迟对近似解的影响. 本方法与拟合网格 B 样条配点法[2]的比较结果如表 7 所示.

表6   例 4.4 中当 $\delta=0.3\epsilon$ 和 $\delta=0.5\epsilon$, $d=\epsilon$ 时的最大误差及收敛阶

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图6

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图6   例 4.4 当 $\epsilon=2^{-15}, \delta=0.3\epsilon, d=\epsilon$ 的绝对误差


图7

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图7   例 4.4 中摄动参数和延迟对解的影响


表7   两种方法数值解的误差和收敛阶比较

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5 结论

本文考虑了一类对流项和反应项中存在延迟的线性二阶奇异摄动延迟微分方程的边值问题. 为了获得此类边值问题的近似解, 将整个区间分为规则区域和边界层区域. 并在边界层区域的求解中提出了一种基于配置法的再生核方法. 研究发现, 同拟合网格 B 样条配点法相比, 本文所提出的算法不但提供了高度准确的数值结果, 还使得收敛阶数达到最优, 并能得到全局连续的近似解. 同时数值结果表明, 该方法是稳定的, 即对于所有的 $\epsilon$ 和 $\delta= o(\epsilon)$ 均能收敛. 最后, 由数值算例可以看出, 对于很小的 $\epsilon$ 值, 所提出的方法也能很好地逼近解析解.

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