与经典破产法中要求企业立即停止所有业务的情形不同, 破产重组程序适用于希望维持运营但需要时间重组债务的企业. 本研究考察影响企业处于破产保护状态持续时间的风险因素. 新冠疫情的全球蔓延导致宏观经济下行, 这一趋势已向航空运输, 酒店旅游, 零售服务, 建筑及房地产等信贷风险敞口集中的金融领域发出预警信号. 基于 2008 年全球金融危机的经验教训, 金融机构亟需建立前瞻性风险管理机制应对风险暴露. 由于该程序允许企业在财务重组后恢复正常运营, 破产重组机制已引发众多大型企业的高度关注. 在当下资本市场流动性趋紧的环境下, 深入理解破产重组机制具有现实必要性.

本文的核心贡献在于对盈余过程处于资不抵债 (重组破产保护/重组) 状态的逗留时间的创新性研究. 针对监管机构介入问题机构日常运营的情形, 监管方与被监管主体共同关注的核心议题是: 破产保护状态将持续多久. 通过系统分析停留时间的风险驱动因素, 可为监管层科学设定宽限期长度及资本充足率标准提供决策依据. 本研究沿袭 Li 等^[1]的模型框架, 将保险公司的偿付状态划分为偿付充足, 资不抵债 (偿付不足) 及清算三类, 分别对应三个预设监管阈值 (按升序排列): 清算阈值, 整改阈值与安全阈值. 具体而言, 当盈余水平高于安全阈值或整改阈值 (且前一时刻处于偿付充足状态) 时, 判定为偿付充足状态; 若自偿付充足状态跌破整改阈值, 则转入资不抵债状态; 但恢复偿付充足状态需跨越更高的安全阈值. 当盈余低于清算阈值或在资不抵债状态超期滞留时, 即触发清算程序--此处的 "超期滞留" 作为审慎监管工具, 由监管当局通过预设宽限期实施动态调控. 当盈余既不满足偿付充足标准也未达到清算条件时, 即处于资不抵债状态.

重组破产的建模因其流程冗长、成本高昂及结构复杂而颇具挑战-从数学建模角度, 这需要分析公司盈余过程对上述多重监管阈值的穿越行为. 在传统破产理论研究框架下, 学术界多聚焦于经典破产模式 (盈余跌破单一阈值零的清算情形). 然而, 越来越多的金融学者正尝试在模型中模拟重组破产的动态过程. Broadie 等^[2]构建了三重阈值模型, 将金融机构的财务状态划分为财务困境, 破产重组及清算三个阶段. Antill 和Grenadier^[3] 则开发了允许股东自主选择违约时点及破产类型的决策模型, 并探究这种选择权如何影响企业的资本结构决策. 尽管这些开创性研究为分析重组破产背景下的风险因素提供了可能, 但其基础模型在捕捉实际风险动态 (特别是具有大幅负面波动的风险特征) 方面仍存在不足. 这种跳跃特征在提供保险产品的金融机构中尤为显著, 包括传统保险公司, 商业银行及养老基金等机构.

金融文献对跳跃过程的研究源远流长 (Kou^[4]), 其在风险理论中的应用亦获得充分论证(Ramsden-Papaioannou^[5]). Wang 等^[6]对 Li 等^[1]首创的三重阈值保险破产模型进行了拓展研究, 特别是将原模型中连续扩散过程替换为 Lévy 风险过程. 该研究系统推导了清算时点, 清算时盈余水平及清算前盈余过程历史峰值的联合分布, 并引入指数型实施延迟机制. 本研究在其基础上进一步创新, 假设机构在资不抵债状态下采取差异化经营策略以摆脱财务困境, 由此构建偿付充足与不足 (资不抵债) 状态下分别遵循两个谱负 Lévy 过程的动态模型.

在现有的文献中, 累计占位时间指的是某随机过程在特定区间内逗留的总时长, 这一概念在随机分析领域备受关注 (Cai-Li^[7]), 其应用场景包括奇异期权定价 (Guérin-Renaud^[8], Cai 等^[9]), 排队论(Takács^[10]), 金融工程 (Bayraktar-Young^[11]) 及随机最优控制 (Densing^[12]) 等方向. 现有研究多聚焦于停留时间的拉普拉斯变换推导 (Frostig-Keren-Pinhasik^[13], Jin 等^[14], Landriault-Shi^[15], Kyprianou 等^[16], Renaud^[17], Loeffen 等^[18], Landriault 等^[19], 等). 与经典的占位时研究不同, 本文中资不抵债状态 (偿付不足状态) 的终止条件包含跌破底部阈值, 突破宽限期和突破顶部阈值, 这使得本文研究的盈余过程的资不抵债状态占位时不再像以往研究中那样通过固定区间来定义, 这种新的占位时定义方式反过来也催生了新的数学处理方法. 本文建立一个统一分析框架, 研究 (分段) 谱负 Lévy 过程的各种波动特征, 这些方法不仅仅限于研究三阈值模型, 还能够重现 Lévy 过程文献中的一些经典结论 (Frostig 和 Keren-Pinhasik^[13], Kyprianou 等^[16], Renaud^[17], Loeffen 等^[18], Landriault 等^[19], 等). 文中所有结果均可通过尺度函数与 Lévy 三元组简洁显式地表达, 并进一步推导出谱负 (非) 折射 Lévy 过程 (Renaud^[17], Loeffen 等^[18]) 及巴黎式破产 (Frostig 和 Keren-Pinhasik^[13], Guérin 和 Renaud^[20]) 等方向的新结论 (详见推论 3.1-3.6).

另外, 尽管在有限时间范围内破产事件相对罕见, 但我们的模型建立在无限时间维度上. 在整个二十世纪和二十一世纪, 几次系统性金融动荡都曾引发保险公司, 甚至是大型保险公司陷入资本困境. 我们必须强调, 尽管保险公司破产并不多见, 且多次财务危机叠加的情形更为罕见, 但这些事件往往不仅对金融业, 而且对整个社会的稳定性都会带来灾难性的后果. 因此, 忽略对这一问题的精确数学分析是很危险的, 本文致力于填补这一研究.

本文后续章节结构如下: 第 2 节构建三阈值模型, 并定义具有独立指数分布的宽限期的清算风险. 第 3 节在三阈值模型下, 推导分段谱负 Lévy 过程的清算时间和资不抵债状态占位时的联合拉普拉斯变换表达式. 为了主要结果的阅读连贯性, 我们将所有证明过程和推论放在附录中.

我们首先在本节定义一些符号. 设

$\bullet $$z_{0}, z_{1}, z_{2}$ 分别表示清算阈值, 重整阈值和安全阈值的预设常数;

$\bullet $$x$ 表示初始盈余水平;

$\bullet $$U_{t}$ 表示公司在时间$t$的盈余过程;

$\bullet $$X_{t}$ 和 $\widetilde{X}_{t}$ 定义在滤波概率空间 $(\Omega, \{\mathcal{F}_{t};t\geq0\}, \mathbb{P})$ 的两个谱负 Lévy 过程;

$\bullet $$\{e_{\lambda}^{k}\}_{k\geq1}$ 是监管机构授予的具有指数分布的独立宽限期序列, 均值为 $1/\lambda$.

假设 $z_{0}<z_{1}<z_{2}$ 和 $z_{2}>0$. 这里假设安全阈值为正, 即 $z_{2}>0$, 以确保有足够资金覆盖保险公司的负债并保持其财务健康.

对于盈余过程 $U_{t}$, 假设其也定义在滤波概率空间 $(\Omega, \{\mathcal{F}_{t};t\geq0\}, \mathbb{P})$ 上. 设

$\bullet $$\left\{ W^{(q)}, \mathbb{W}^{(q)}\right\}, \left\{ Z^{(q)}, \mathbb{Z}^{(q)}\right\}, \left\{ \psi, \widetilde{\psi}\right\}$ 分别表示 $X$ 和 $\widetilde{X}$ 的尺度函数, 第二尺度函数和拉普拉斯指数, 其完整定义见附录 A;

分别表示 $X, \widetilde{X}$ 的 Lévy 三元组;

$\bullet $$\Phi, \widetilde{\Phi}$ 分别表示 $\psi, \widetilde{\psi}$ 的右逆;

$\bullet $$\mathbb{P}_{x}, \widetilde{\mathbb{P}}_{x}$ 分别表示给定 $X_{0}=x, \widetilde{X}_{0}=x$ 的条件概率, $\mathbb{E}_{x}, \widetilde{\mathbb{E}}_{x}$ 表示相关的条件期望.

为了不引起歧义, 在 $\mathbb{P}_{x}$ 和 $\widetilde{\mathbb{P}}_{x}$ 下, $\tau_{w}^{+}$ ($\tau_{w}^{-}$) 表示过程 $X$ 和 $\widetilde{X}$ 对水平 $w$ 的首次上穿 (下穿) 时间 (见附录 A).

在本小节中, 我们回顾 Wang 等^[7]提出的三阈值审慎监管体系及具有独立宽限期的清算时间模型, 其中宽限期可被视为根据债权人利益和监管政策多次协商确定的期限.

定义 2.1 宽限期是允许金融机构处于资不抵债 (偿付不足) 状态的最长连续时间.

在实际中, 宽限期是债权人在公司进入清算之前给予债务人摆脱财务困境的缓冲时间, 其具体时长是由债权人, 债务人和监管机构通过多次协商后决定的. Broadie 等^[2]研究了债权人有权选择宽限期长度的情形, 指出期限设定本质上是可信的清算威慑 (债权人优先诉求) 与财务复苏能力 (债务人核心关切) 之间的动态均衡. 他们预设公司在保持资不抵债状态下的宽限期在 0 到 10 年内变化, 系统检验了对清算成本的影响, 发现较长的宽限期会延迟清算. 在保险风险建模领域, Li 等^[1]最初将宽限期简单地看作先验给定的确定性常数, 后来拓展为具有独立指数分布的随机变量. 其研究同时指出, 宽限期可以完全内生化地通过最优决策过程确定. 我们参考了 Li 等^[1]及其中的参考文献来详细讨论.

接下来我们详细阐述三阈值模型下的状态切换机制. 当盈余水平保持在 $z_{2}$ 以上时, 公司财务状况健康并且可以履行全部债务;若跌破阈值 $z_{2}$ 时, 触发监管机构对公司财务状况的监控;直到跌破阈值 $z_{1}$ 时, 监管机构才会开始干预公司的日常运营, 此时公司转入资不抵债状态, 有权启动重整程序, 因此其盈余过程的动态行为可以表现出不同的形式. 重整期间可能发生以下三种情况

1. 公司的盈余在给定的宽限期内成功升至阈值$ z_{2}$ 以上;

2. 公司的盈余在整个宽限期内保持在阈值 $z_{0}$ 和 $z_{2}$ 之间;

3. 公司的盈余在宽限期内跌破阈值 $z_{0}$.

在第一种情况下, 重整成功, 公司恢复有偿付能力状态;否则, 公司重整失败, 将导致清算. 在第二种情况下, 公司因超期滞留资不抵债状态而进入清算, 称之为监管性清算.

这种占位时是本文研究的核心随机变量, 即盈余过程低于 $z_{1}$ 的时段. 只有公司在监管机构可容忍的宽限期内使盈余回升至安全阈值 $z_{2}$, 才恢复为有偿付能力状态;否则, 公司将进入清算状态.

在大多数现实的破产案例中, 破产法对公司债务解除设置有时间限制或等待期, 为简化模型, 本文假设对公司重复申请破产几乎没有限制, 公司可以根据需要频繁申请破产. 此外, 遵循与 Li 等^[1]类似的想法, 我们将宽限期设定为具有恒定参数的独立同分布的指数分布序列. 并采用两个谱负Lévy过程对有偿付能力和资不抵债状态下的基础随机过程建模, 分别表示重组破产对处于财务困境的公司投资决策的双重效应. 如 Mooradian^[21] 指出, 关于重组破产申请的实际效果存在两种相互竞争的观点:破产申请既可能诱发过度投资 (如重组期间暂停分红导致的代理问题), 也可能提升经营效率. 为确保模型贴合现实, 设定一旦公司摆脱资不抵债状态, 其财务压力完全消失, 立即切换回原始动态. 需说明, 对重组破产的完整模拟远远超出本文的研究范畴.

基础随机过程

最终清算前的盈余过程存在两种状态, 即有偿付能力和资不抵债, 两种状态分别采用不同的谱负 Lévy 过程进行建模, 这表明监管机构可以通过干预保险公司的日常运营来改变盈余过程的动态特征. 考虑盈余过程

公式 (2.1) 的解 $U$ 通过 算法 1 中的轨道构造如下.

假设 1 避免了必然发生清算的平凡情况, 即盈余过程 $X$ (但不包括$\widetilde{X}$) 满足正安全负载条件, 参见 Wang 等^[6] 中的推论 3. 谱负 Lévy 过程的标准符号和初步结果见附录 A.

假设 1$X_{t}, \widetilde{X}_{t}$ 均为谱负 Lévy 过程, 具有平稳性, 无正跳跃且轨道非单调的性质. 其拉普拉斯指数满足

两个停时序列

为了建立分析框架, 首先定义两个停时序列. 设 $\{\zeta_{z_{1}, k}^-\}_{k=1}^\infty$ 表示跌破阈值 $z_{1}$ 的时间序列, $\{\zeta_{z_{2}, k}^+\}_{k=1}^\infty$ 表示突破阈值 $z_{2}$ 的时间序列. 形式上, 定义

为过程 $U$ 首次跌破 (下穿) 水平 $z_{1}$ 和在 $\zeta_{z_{1}, 1}^{-}$ 后首次突破 (上穿) 水平 $z_{2}$ 的时间, 随后通过

对 $k\geq 2$ 迭代定义.

监管性清算 回顾宽限期序列 $e_{\lambda}^k$, 它是由监管机构在 $\zeta_{z_{1}, k}^-$ 时为金融机构恢复其盈利水平至 $z_{2}$ 以上设定的时间限制. 设 $\kappa$ 表示监管清算前的最大跌破阈值次数

且用符号 $\tau_e$ 表示监管性清算时间

在接下来的内容中, 假设 $\{e_{\lambda}^{k}\}_{k\geq1}$ 是服从参数为 $\lambda$ 的指数分布的独立随机变量序列. 还假设 $\{e_{\lambda}^{k}\}_{k\geq1}$ 独立于 $X$ 和 $\widetilde{X}$.

清算时间和资不抵债状态累计占位时间

定义清算时间为

在清算时间 $T_{1}$ 之前, 资不抵债状态的占位时为

其中

在本文的背景下, 有两种事件可以触发清算, 即盈余水平跌破 $z_{0}$ 和监管清算. 在接下来的部分中, 我们将分析 $(T_{1}, T_{2})$ 的联合分布.

在本节中, 首先推导 $(T_1, T_2)$ 的联合拉普拉斯变换, 然后展示该结果可以涵盖一类风险理论问题.

在本节中, 分析清算时间和资不抵债状态占位时的联合分布, 推导这两个随机变量的联合拉普拉斯变换. 为此, 我们设置一个大的阈值 $z>z_{2}$, 其金融经济意义在于: 一方面, 当公司的盈余水平超过此阈值时, 公司财务状况恶化为破产清算的可能性微乎其微; 另一方面, $z$ 不能设置为无穷大 (由后文可见, $z=\infty$ 是一退化情形), 而应设置为大而有限的数, 因为过多地闲置资金会产生不必要的的金融成本, 而且, 从现实的角度看, 公司的财富是有限的. 对给定的大$z$, 定义停时

以及相关占位时

其中 $T_{m}=\min(T_{1}, \zeta_{z}^{+})$ 为清算时间和阈值 $z$ 的首次突破 (上穿) 时间的最小值, 设定这种大阈值的直观意义是一旦盈余突破 $z$, 公司的财务状况恶化至清算状态的概率几乎可以忽略不计. 在推导结果的过程中, 我们首先将其分为两个联合集, 即在盈余突破 $z$ 之前清算和未突破 $z$ 时发生清算, 然后综合两种情形的结果得到主要结论.

注意, 这里 $T_3$ 是在 $T_m$ 之前处于财务困境的占位时

当 $z\uparrow \infty$ 时, 有 $T_m\uparrow T_1$ 和 $T_3\uparrow T_2$ 几乎处处收敛. 定理 3.1 刻画了 $(T_{m}, T_{3})$ 的联合拉普拉斯变换的解.

定理 3.1 对于给定的初始盈余 $x\in(-\infty, z)$, 三个阈值 $z_{0}<z_{1}<z_{2}<z$, 以及宽限期的指数分布参数 $\lambda\in[0, \infty)$, $(T_m, T_3)$ 在 $p, q\in[0, \infty)$ 处的联合拉普拉斯变换为

其中 $\{W, \mathbb{W}\}$, $\{Z, \mathbb{Z}\}$ 和 $\{h^{(p, q, \lambda)}_\mathbb{W}, h^{(p, q, \lambda)}_\mathbb{Z}\}$ 定义在附录 A 中, 分别是谱负 Lévy 过程 $X_t, \widetilde{X}_t$ 的尺度函数, 第二尺度函数和相关辅助函数.

谱负 Lévy 过程的尺度函数, 第二尺度函数和相关辅助函数是当前 Lévy 过程相关文献中分析退出问题最先进的工具 (见附录 A). 相关证明过程见附录 B.

对于 $x\in(-\infty, z)$, $p, q, \lambda\in[0, \infty)$ 且满足 $z_{0}<z_{1}<z_{2}<z$ 的情形, 可以验证, 在清算时间先于阈值 $z$ 的突破时间 ($\zeta^{+}_{z}$) 发生的条件下, $(T_1, T_3)$ 的联合拉普拉斯变换可以表示为

另一方面, 在突破时间 $z$ (即 $\zeta^{+}_{z}$) 在清算时间 $T_1$ 前发生的条件下, $(\zeta^{+}_{z}, T_3)$ 的联合拉普拉斯分布可以表示为

定理 3.2 刻画了 $(T_{1}, T_{2})$ 的联合拉普拉斯变换的解, 该结果是定理 3.1 中令 $z$ 趋于 $\infty$ 并使用定义(A.8) 的直接结果, 因此忽略其证明.

定理 3.2 对于给定的初始盈余 $x\in(-\infty, \infty)$ 和三个阈值满足 $z_{0}<z_{1}<z_{2}$ 的情形, 清算时间和资不抵债状态占位时的联合拉普拉斯变换为

其中 $p, q, \lambda\in[0, \infty)$.

与传统方法相比, 本文构建的盈余过程更广, 可以模拟现实的破产过程并同时研究定性和定量的风险因素. 因此, 研究结果涵盖大量文献中的重要结果, 将在下一节详细展开讨论.

定理 3.2 的一个有趣的解释如下, 可以将 3.2 式重写为

其中

和

这种结构将 $(T_1, T_2)$ 的联合拉普拉斯变换分解为互斥事件集. 简言之, 第一项对应于监管清算情形, 第二项反映盈余跌破阈值 $z_{0}$ 的情形. 可 以看出, $B(x)$ 表示在首次资不抵债期 $[\zeta_{z_{1}, 1}^{-}, \zeta_{z_{2}, 1}^{+})$ 内, 因盈余跌破清算阈值 $z_{0}$ 导致清算时的 $(T_1, T_2)$ 的联合拉普拉斯变换;而

对应于在首次资不抵债期间, 因超将宽限期触发清算时的 $(T_1, T_2)$ 的联合拉普拉斯变换. 此外, $C(x)$ 表示清算未在 $\zeta_{z_{2}, n}^{+}$ 前发生的条件下, $\zeta_{z_{2}, n}^{+}$ 和 $\zeta_{z_{2}, n}^{+}$ 前资不抵债状态累计占位时的联合拉普拉斯变换 (对于 $n\geq 1$). 因此

对应于在非首次资不抵债期 $[\zeta_{z_{1}, 1}^{-}, \zeta_{z_{2}, 1}^{+})$ 内超宽限期触发清算, 即

且 $C(x)B(z_{2})$ 对应于在非首次资不抵债期内因盈余跌破清算阈值 $z_{0}$ 导致清算时 $(T_1, T_2)$ 的联合拉普拉斯变换. 详细的概率分解证明见附录 D.

定理 3.1 和定理 3.2 中的结果相当复杂, 现在将它们分解为一些特殊情况. 这些结果实际上是相关文献中一类问题的推广, 包括 (非) 折射 Lévy 过程 (Landriault 等^[19], Kyprianou 等^[16], Renaud^[17], Loeffen 等^[18]) 和巴黎式破产 (Frostig 和 Keren-Pinhasik^[13], Guerin 和 Renaud^[20], Loeffen 等^[18]) 的研究.

在接下来的内容中, 考虑如下特殊情况

其中, 当 $X$ 具有有界变差轨道时, $\alpha\in(-\infty, \gamma+\int_{(0.1)}x\upsilon(\mathrm{d}x))$ (若此式不成立, 即 $\alpha\geq \gamma+\int_{(0.1)}x\upsilon(\mathrm{d}x)$, 那么随机过程 $X$ 的轨道是单调递减的, 这一退化情形不在本文的讨论范围内, 本文感兴趣的是更一般的不具有单调轨道的 Lévy 过程), 当 $X$ 具有无界变差轨道时, $\alpha\in(-\infty, \infty)$. 定理 3.1 和定理 3.2 的结果可简化为推论 3.1, 该推论仅仅涉及与 $X$ 和 $\widetilde{X}$ 相关的尺度函数. 在提出推论 3.1 之前, 引入两个辅助函数 $\mathcal{W}$ 和 $\mathcal{Z}$

和

推论 3.1 定理 3.1 和定理 3.2 的结果成立, 其中 $h_{\mathbb{W}}$ 和 $h_{\mathbb{Z}}$ 仅通过尺度函数表示如下

和

结果的证明见附录 C.

折射 Lévy 过程指当聚合过程突破预先指定水平 $z_{1}$ 时, 其动态特性会通过减去一个固定的线性漂移 (其幅度满足特定条件) 而发生改变的 Lévy 过程, 即

其中 $\widetilde{X}_{t}$ 为谱负 Lévy 过程. “折射” 一词的灵感来源于过程轨迹在突破水平 $z_{1}$ 时的行为变化, 就像光线从一种介质射入另一种介质时发生的折射现象. 近年来, 该过程已成为研究允许重组的违约与破产问题的常用工具. 这种额外的漂移可以看作是公司的盈余过程一旦进入所谓的 “红色区域” (即 $(-\infty, z_{1})$), 公司会向客户收取额外费用, 直至盈余离开红色区域后恢复正常.

在推论 3.2 中, 三阈值模型退化为双重阈值模型, 即 $z_{2}\downarrow z_{1}$. 在双重阈值模型下, 资不抵债状态占位时简化为区间 $(z_{0}, z_{1})$ 的占位时. 因此, 我们将三阈值模型下的分段谱负 Lévy 过程简化为折射 Lévy 风险过程, 即

推论 3.2 设 $z_{2}\downarrow z_{1}$. 对于 $p, q, \lambda\geq0$, $z_{0}<z_{1}<z$ 和 $x\in(-\infty, z)$, 我们有

其中, $h_{\mathbb{W}}$, $h_{\mathbb{Z}}$, $\mathcal{W}$ 和 $\mathcal{Z}$ 由 (3.7), (3.8), (3.5) 和 (3.6) 式给出.

结果的证明见附录 C.

推论 3.2 推广了 Renaud 的文献 [17,定理 3], 其创新性体现在使用清算时间代替了特定水平的跌破时间. 正如 Renaud^[17] 所述, 这些结果对于构建基于占位时的风险管理工具包至关重要.

在即将推出的推论 3.3 中, 我们进一步设 $\lambda=0$. 此时, 宽限期变为无限长. 因此, 我们将重整过程的清算时间 $T_{1}$ 简化为 $\zeta_{z_{0}}^{-}$. 该结果最早由 Renaud 在文献 [17,定理 3] 中提出, 证明考虑谱负 Lévy 过程具有有界变差的情况. 对于轨道具有无界变差的过程, 可以构造一个有界变差过程序列收敛于该无解变差过程, 然后通过取极限获得所需结果.

推论 3.3 设 $z_{2}\downarrow z_{1}$ 且 $\lambda=0$. 对于 $p, q\geq0$, $z_{0}<z_{1}<z$ 和 $x\in(-\infty, z)$, 我们有

其中 $\mathcal{W}$ 和 $\mathcal{Z}$ 由 (3.5) 和 (3.6) 式给出.

与之前的研究相比 (例如 Loeffen 等^[18], Kyprianou 等^[16], Renaud^[17], Guérin 和 Renaud^[8], Landriault 等^[22], 等), 我们的三阈值模型的重要创新是对具有有界和无界变差轨道的谱负 Lévy 过程进行了统一处理. 特别地, 如 Renaud^[17] 所示, 通过令推论 3.3 中 $\alpha=0$ 和 $p=0$, 可以分别复现 Loeffen 等^[18]和 Kyprianou 等^[16]的结果. 总体而言, 本文的三阈值模型通过 $z_{2}\downarrow z_{1}$ 的情形涵盖了折射 Lévy 过程, 因此这一结果为折射 Lévy 过程方法的研究也做出了贡献.

进一步考虑 $z_{2}\downarrow z_{1}$ 和 $z_{0}\downarrow-\infty$ 的情景. 因此, 我们的三阈值 (例如 $z_{0}<z_{1}<z_{2}$) 模型退化为单阈值 (例如 $z_{1}$) 模型, 资不抵债状态的占位时简化为区间 $(-\infty, z_{1})$ 的占位时, 且清算时间 $T_{1}$ 简化为折射 Lévy 过程下具有指数型实施延迟和破产阈值 $z_{1}$ 的巴黎式破产时间, 即

推论 3.4 旨在给出折射 Lévy 框架下 $\tau_{\lambda, z_{1}}$ 和区间 $(-\infty, z_{1})$ 占位时的联合拉普拉斯变换. 为此, 定义以下辅助函数

推论 3.4 设 $z_{2}\downarrow z_{1}$ 和 $z_{0}\downarrow-\infty$. 对于 $p, q\geq0$, $\lambda\in(0, \infty)$ 和 $x\in(-\infty, z)$, 我们有

结果的证明见附录 C.

推论 3.4 的结果看似建立在推论 3.2 的基础上, 但其证明过程远比简单地令推论 3.2 中 $z_{0}\downarrow-\infty$ 更复杂. 我们采用了一个替代论证方法来克服极限过程中的若干困难. 据我们所知, 这是折射 Lévy 框架下巴黎式破产研究中的最新结果. 此外可以验证, 通过令推论 3.4 中 $z_{1}=0$, $q=0$ 和 $z\uparrow\infty$, 我们可以复现 Landriault 等在文献 [22,引理 8] 的结果. 此处省略了将本结果简化为该引理的基本但冗长的详细证明.

传统上, 当公司的盈余变为负时, 公司就宣告破产, 即

但在实践中, 公司通常经营多条业务线, 每条业务线代表一个投资组合. 当某个组合出现财务困境时, 公司可利用可用资金 (或寻求外部支持) 在一段时间内维持其负盈余状态. 这种支持机制既为投资组合在未来恢复盈利创造条件, 也使得企业得以维持该业务. 巴黎式破产的概念捕捉了这一现象, 即在识别公司资本不足状态方面存在一定的延迟. 形式上, 有

其中 $e_{\lambda}^{g_{t}}$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布. 这一想法最初来源于 Chesney 等^[23].

在推论 3.5 中, 当 $X=\widetilde{X}$ 且 $z_{0}<z_{1}=z_{2}=0$ 时, 清算时间 $T_{1}$ 退化为具有指数型实施延迟和安全阈值 $z_{0}\in(-\infty, 0)$ 的巴黎式破产时间. 此时, 巴黎式破产的触发条件包含盈余低于 0 的超期滞留和财务状况进一步恶化.

推论 3.5 假设 $X\equiv\widetilde{X}$ 和 $z_{0}<z_{1}=z_{2}=0$. 对于 $p, q, \lambda\geq0$, $z_{0}<0$ 和 $x\in(-\infty, z)$, 有

结果的证明见附录 C.

推论 3.5 推广了 Frostig 和 Keren-Pinhasik 文献 [13,定理 3.3], 仅研究有界轨道变差的谱负 Lévy 过程. 推论 3.5 的一个直接含义是当 $z\rightarrow+\infty$ 和 $p=\lambda=0$ 时, 负半轴 $(-\infty, 0)$ 上的占位时和水平 $z_{0}\in(-\infty, 0)$ 的跌破时间的拉普拉斯变换可表示为

由于函数 $\omega$ 和 $\ell$ 由附录中的 (A.1) 和 (A.2) 给出, 因此该结果通过尺度函数简洁表达. 相较于 Landriault 等文献 [19定理 2], (其表达式中包含了 Lévy 测度), 本结论提供了一个更简洁的替代表示形式.

推论 3.6 考察当 $X=\widetilde{X}$, $z_{1}=z_{2}=0$, $z_{0}\downarrow-\infty$ 时, $T_{1}$ 退化为具有指数型实施延迟的巴黎式破产时间, 即 $T_{1}=\tau_{\lambda}$. 只要金融机构能在宽限期内恢复偿付能力, 传统破产仍可被容忍, 而巴黎式破产仅在机构持续处于困境下触发. 定义

推论 3.6 假设 $X\equiv\widetilde{X}$, $z_{1}=z_{2}=0$ 和 $z_{0}\downarrow-\infty$. 对于 $p, q\geq0$, $\lambda\in(0, \infty)$ 和 $x\in(-\infty, z)$, 有

结果的证明见附录 C.

此外, 令推论 3.6 中 $p=\lambda=0$ 并使 $z$ 趋于 $\infty$, 可以得到

根据假设 $\psi^{\prime}(0+)>0$ 和 $1-q\int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-\Phi_{q}y}W(y)\mathrm{d}y=1-\frac{q}{\psi(\Phi_{q})}=0$, 该表达式确为非负值. 这一结果与 Landriault等文献 [19] 中针对 $x=0$ 情形的定理 1 一致.

表 1 总结了推论 3.2-3.6 的设定, 其中 $A$ 表示使得 $T_{3}=\int_{0}^{T_{m}}\mathbf{1}_{A}(U_{t})\mathrm{d}t$ 的占位集.

谱负 Lévy 过程 $X$ 是一个具有平稳独立增量且无向上跳跃的随机过程. $X$ 的拉普拉斯指数定义为

其中, 线性漂移项 $\gamma\in(-\infty, \infty)$, 波动系数 $\sigma\geq0$, 满足 $\int_{0}^{\infty}(1\wedge z^{2})\upsilon(\mathrm{d}z)<\infty$ 的 $\sigma$ 有限测度 $\upsilon$ 构成了 $X$ 的 Lévy 三元组. 由于 $\psi$ 的严格凸性及和 $\lim_{\theta\rightarrow\infty}\psi(\theta)=\infty$, $\psi$ 的右逆存在, 即 $\Phi_{q}:=\sup\{\theta\geq0:\psi(\theta)=q\}$. 我们遵循 Kyprianou 文献 [24] 的定义, 尺度函数$W^{(q)}$ ($q\geq 0$) 是定义在 $[0, \infty)$上\textcolor{black}{连续且严格递增}的特殊函数, 满足 $\int_{0}^{\infty}\mathrm{e}^{-\theta x}W^{(q)}(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{\psi(\theta)-q}$ ($\theta>\Phi_{q}$). 此外, 定义$W^{(q)}(x)=0$ ($x<0$). 进一步定义第二尺度函数 $Z^{(p)}$ 为 $Z^{(p)}(x)=1+q\int_{0}^{x}W^{(q)}(z)\mathrm{d}z$ ($x\geq 0$), 且$Z^{(p)}(x)\equiv1$ ($x<0$). 对于非负 $p$ 和 $q$, 定义

其中, (A.1) 和 (A.2) 式的等式的证明可见于文献 [18]. 从 Kyprianou 文献 [24, 第八章] 可知

其中

且 $\inf\emptyset=\infty$. 类似文献 [18], 对于 $p, q, \lambda\geq0$, $a<b$ 和 $x\leq z$, 定义

其中, 若 $x<b$, 则 $h_{\phi}^{(p, q, \lambda)}(a, b, x, z)=\phi_{p+q+\lambda}(x-a)$. 此外, 定义

设

对于$z_{0}\leq x<z_{1}$, 有

由于在 $\mathbb{P}_{x}$ 下 $\{U_{t}, t<\zeta_{z_{2}}^{+}\}$ 与在 $\widetilde{\mathbb{P}}_{x}$ 下 $\{\widetilde{X}_{t}, t<\tau_{z_{2}}^{+}\}$ 具有相同的分布, 且 $\{T_{m}<\zeta_{z_{2}}^{+}\}$ 等价于 $\{T_{1}<\zeta_{z_{2}}^{+}\}$, 因此, (B.1) 式右端的第一项}可表示为

由于 $e_{\lambda}$ 独立于过程 $\widetilde{X}$, (B.2) 式的第二项等于

结合 (B.2) 式可得

对于 (B.1) 式的第二项, 利用 $U$ 在 $\zeta^{+}_{z_{2}}$ 处的强马氏性, 有

将 (B.3) 和 (B.4) 式带入 (B.1) 式, 并使用 (A.4) 和 (A.5) 式, 可得

由于扩展定义中 $\mathbb{W}^{(p+q+\lambda)}=0$ 且 $\mathbb{Z}^{(p+q+\lambda)}=1$ 至 $(-\infty, 0)$, 易知 (33.3) 式对 $x<z_{0}$ 也成立.

对于 $z_{1}\leq x<z$, 有

由于 $\{T_{m}<\zeta_{z_{1}}^{-}\}$ 等价于 $\{\zeta_{z}^{+}<\zeta_{z_{1}}^{-}\}$, 且 $\{U_{t}, t<\zeta_{z_{1}}^{-}\}$ 在 $\mathbb{P}_{x}$ 与 $\{X_{t}, t<\tau_{z_{1}}^{-}\}$ 在 $\mathbb{P}_{x}$ 同分布, 利用 $U$ 在 $\zeta_{z_{1}}^{-}$ 处的强马氏性, $f(x)$ 可改写为

结合 (B.5) 和 (A.4) 式可得

可以验证 (B.6) 式在 $x<z$ 也成立.

为了得到 $f(x)$ 在 $x\leq z$ 的表达式, 只需进一步确定 $f(z_{2})$. 将 $x=z_{2}$ 带入 (B.6) 式, 可得 $f(z_{2})$ 的表达式

将 (B.7) 式带入 (B.6) 式, 即得所需结论.

推论 3.1 的证明

根据 $h_{\mathbb{W}}^{(p, q, \lambda)}$ 和 $h_{\mathbb{Z}}^{(p, q, \lambda)}$的定义, 以及 $X$ 的空间齐次性, 有

和

结合上述两式及 Renaud 在文献[17,引理 3.1] 可得 (3.7), (3.8) 式. 需要注意的是, 尽管 Renaud 文献 [17,引理 3.1] 针对非负 $\alpha$ 证明, 但其结果对负 $\alpha$ 同样成立 (仅需对证明稍作调整). 证毕.

推论 3.2 的证明

令 $z_{2}\downarrow z_{1}$, 对 (3.1) 式的右侧取极限, 可得

通过 $Z^{(p)}$ 的定义和 $W^{(p)}$ 的单调性, 可得

此外, 根据 $\mathcal{W}_{p+q+\lambda}(x;z_{0})$ 和 $\mathcal{Z}_{p+q+\lambda}(x;z_{0})$ 的定义, 可得

和

因此通过 (C.3) 式可以验证

通过 (A.1) 式 (令 $w=0$ 和 $x=z_{2}-y$), $W^{(p)}$ 和 $W^{(p+q+\lambda)}$ 的非负性和单调性, 可以验证

和

结合 (C.4) 式可得

使用类似 (C.5) 式的结论, 通过 (C.4) 式可得

结合 (C.1), (C.2), (C.5) 和 (C.6)} 式, 最终可得推论 3.2 的结果. 证毕.

推论 3.3 的证明

在折射 Lévy 风险过程的框架下, 令 $\lambda=0$, 根据推论 3.2 可得

结合 (3.7) 和 (3.8) 式, 即得所需结果. 证毕.

推论 3.4 的证明 其核心在于对 (3.1) 式两侧先令 $z_{0}\downarrow-\infty$, 再令 $z_{2}\downarrow z_{1}$, 即

通过 (3.7) 式可得

使用 $\mathcal{W}_{p+q+\lambda}(x;z_{0})$ 的定义和 (A.3) 式, 可得

通过 (A.5) 式及 (3.7) 和 (3.8) 式中 $\Omega_{\mathbb{W}}$ 和 $\Omega_{\mathbb{Z}}$ 的表达式, 可以验证

其中, 在第二项使用 $U$ 在 $\zeta_{z_{1}}^{-}$ 处的强马氏性. 使用$\mathcal{G}_{p+q+\lambda}$ 和 $Z^{(p)}$ 的定义及 (C.8) 和 (C.9) 式, 可得

结合 (C.7) (C.8), (C.9), (C.10) 和 (C.11)式得到期望结果. 实际上, 可以验证如果我们按照先令 $z_{2}\downarrow z_{1}$ 然后令 $z_{0}\downarrow-\infty$ 的次序改变 (3.1) 式两端的极限, 我们可以得到相同的期望结果. 证毕.

推论 3.5 的证明

令推论 (3.2) 中 $\alpha=0$ 且 $z_{0}<z_{1}=z_{2}=0$, 可知 $\mathcal{W}_{p+q+\lambda}(x;z_{0})=W^{(p+q+\lambda)}(x-z_{0})$, $\mathcal{Z}_{p+q+\lambda}(x;z_{0})=Z^{(p+q+\lambda)}(x-z_{0})$. 结合 (3.7), (3.8) 式以及 $\omega$ 和 $\ell$ 的定义, 可得

和

结合上述结果和推论 3.2, 即得所需结论. 证毕.

推论 3.6 的证明 若 $\alpha=0$ 且 $z_{1}=z_{2}=0$, 则$\widetilde{\Phi}_{p+q+\lambda}=\Phi_{p+q+\lambda}$, $\mathcal{G}_{p+q+\lambda}(x;0, 0;0)=\mathrm{e}^{\Phi_{p+q+\lambda}x}$, 且

结合推论 3.2 可以直接得到期望结果. 证毕.

利用与定理 3.1 的证明类似的论证, 可知

和

其中, 函数 $A$ 和 $B$ 在 (3.3) 式右端给出. 可以验证

这意味着

其中函数 $C$ 也通过(3.3) 式给出.