本文研究如下一类含位势项的非线性 Kirchhoff 方程

在质量约束

下的正规化解的存在性, 其中 $a,b,c>0$, $2<p<2+\frac{8}{N}$, $\lambda\in\mathbb{R}$ 作为拉格朗日乘子出现, $V(x)$ 满足适当的条件.

根据参数 $\lambda$ 在方程 (1.1) 中所起作用的不同, 求解该方程主要有两种路径. 一种方式是固定 $\lambda$, 通过寻找定义在 $H^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 上的能量泛函

的临界点, 从而得到方程 (1.1) 的解. 另一种方式则将频率参数 $\lambda$ 视为未知量, 在满足给定质量约束 (1.2) 的条件下求解方程 (1.1). 于正规化解在物理学中具有更明确的背景与意义, 本文主要研究方程 (1.1) 在质量约束下的正规化解.

正规化解的存在性问题可表述为: 给定参数 $a,b,c>0$ 及指数范围 $2<p<2+\frac{8}{N}$, 寻求满足质量约束条件 (1.2) 的方程 (1.1) 的解 $(\lambda, u)$. 该类解可通过寻找泛函

限制在集合

上的临界点得到, 其中函数空间定义为

易知 $J[u]$ 在 $S_c$ 上良定义且是 $C^{1}$ 的, 定义

若 $m_{c}$ 可达, 则每一个极小元都是 $J[u]$ 约束在 $S_c$ 上的临界点, 这就是所谓的正规化基态解.

当 $V(x)\equiv0$ 时, 问题 (1.1) 简化为

此时对应的 $L^{2}$-约束条件 (1.3) 转化为

其中 $\tilde{S}_c:=\{u\in H^{1}(\mathbb{R}^{N}):\|u\|^{2}_{2}=c\}$, 且

Ye^[26] 首次提出, Kirchhoff 方程的质量临界指数为

该指数是许多动力学性质的阈值指数. 质量次临界情形, 即 $2<p<2+\frac{8}{N}$, 泛函在约束流形 $\tilde{S}_c$ 上是下有界且强制的. 因此, (1.4) 的任何极小化序列 (或 Palais-Smale 序列) 都是一致有界的. 值得注意的是, 此时约束泛函不再具有弱下半连续性, 根据 Lions 的集中紧性引理g^[13,14], 极小化序列的紧性等价于严格次可加性不等式的成立. 在文献 [26] 中, Ye 通过建立这样一个严格次可加不等式, 得到了全局极小元的存在性. 相反地, 质量超临界情形下, 约束泛函不再具有强制性并且是下方无界的.Ye^[26] 进一步利用 Pohozaev 流形证明了山路解的存在性. 随后, Luo-Wang^[15] 运用极大极小方法, 证明了山路解的多重性. 对于带一般非线性项的 Kirchhoff 方程, He, Lv, Zhang-Zhong^[6] 同样借助 Pohozaev 流形, 得到了正规化基态解的存在性. 此外, 当 $N\geq1$ 时, Zeng, Zhang, Zhang-Zhong 在文献 [28] 中利用 Jeanjean, Zhang-Zhong^[9] 发展的全局分歧方法, 研究了含一般非线性项的~Kirchhoff~方程的正规化解. 事实上, 关于 Kirchhoff 问题正规化解的研究已取得诸多有趣成果, 更多相关内容可参阅文献 [2,6,11,15,17,19,22,25,27,29].

为了便于后面的证明, 我们给出一个已知的存在性结果.

定理 1.1[26,定理 1.1] 设 $2<p<2+\frac{8}{N}$ 和 $1\leq N\leq3$. 则

(ⅰ) 存在 $c_{\ast}\in(0,+\infty]$ 使得

(ⅱ) $E_{c}$存在极小元当且仅当 $c>c_{\ast}$.

近年来, 含位势项的 Kirchhoff 方程在不同背景下得到了广泛研究. 当 $V(x)$ 是阱位势时, Li-Ye^[10] 证明了全局约束极小元的存在性. 随后, Guo, Zhang-Zhou^[5] 针对非线性项为 $\beta|u|^{p-2}u$ 的情形, 讨论了正规化解的存在性和爆破行为. Li, Hao-Shi^[12] 则在 $N=4$ 的临界情形下研究了全局约束极小元的存在性和非存在性. 对于周期位势 $V(x)$, Meng-Zeng^[16] 建立了极小元的存在性及其渐近行为. 在文献 [31] 中, Zhu, Wang-Xue 进一步研究了带组合幂次非线性项的 Kirchhoff-CSchrödinger 方程正规化基态解的存在性与非存在性. 特别地, 当 $b=0$ 时, Kirchhoff~方程退化为经典的 Schrödinger 方程. 目前关于含位势项的 Schrödinger 方程的正规化解的研究也已取得丰富成果, 其中质量次临界情形可参见文献 [7,30], 而质量超临界情形则可参考文献 [1,4,18].

值得注意的是, 尽管含位势项的~Kirchhoff 方程的正规化解研究已取得一定进展, 但现有成果多集中于阱位势与周期位势, 对非阱位势的深入分析仍相对有限. 在质量超临界情形下, Wang-Qian^[23] 研究了带非阱位势的 Kirchhoff 方程径向正规化解的存在性. 随后, Cui, He, Lv-Zhong^[3] 在非径向对称情形下, 同样对质量超临界情形建立了正规化解的存在性. 在文献 [20] 中, Rong 和 Li 进一步证明了如下方程正的正规化基态解的存在性.

其中 $\frac{14}{3}<p<q\leq6$, $\beta>0$. 据我们所知, 对于带非阱位势的~Kirchhoff 方程在质量次临界情形下的正规化解存在性问题, 研究结果相对较少. 为全面研究含有位势函数的 Kirchhoff 方程正规化解的存在性, 同时考察强制位势这一重要情形, 我们首先给出如下基本假设.

假设 $V(x)\in C(\mathbb{R}^{N})$ 满足

$(\hat{V} _1)$$\lim\limits_{|x|\rightarrow\infty}V(x)=\sup\limits_{\mathbb{R}^{N}}V(x)=:V_{\infty}\in(0,\infty]$;

$(\hat{V} _2)$$ \ V(0)=\min\limits_{x\in\mathbb{R}^{N}}V(x)=c_{l}>-\infty$.

当 $V_\infty=\infty$ 时, 强制性假设有助于紧性结果的建立, 从而可较容易地得到定理 1.2 的结论.

定理 1.2 如果 $V(x)\in C(\mathbb{R}^{N})$ 满足 $(V_1),(V_2)$ 条件, 其中 $V_{\infty}=\infty$. 则对任意的 $c>0$, Kirchhoff~问题 (1.1)-(1.2) 存在正规化基态解 $(\lambda_{c},u_{c})$.

注 1.1 对于 $\min\limits_{x\in\mathbb{R}^{N}}V(x)=0$ 这种简单情形, 相应结论已在文献 [5,10] 中给出.

若 $V_\infty<\infty$, 问题的分析将更为复杂且困难. 尽管在质量次临界情形中, 泛函的强制性可保证极小化序列的有界性, 但核心难点在于泛函不再具有弱下半连续性, 这使得严格次可加不等式的验证成为关键. 在某些特定情形下, 该不等式可直接借助詹森不等式导出; Shibata ^[21] 提出的新型重排不等式亦具有重要应用价值. 对于更一般 (尤其是非自治) 的情形, 现有文献主要存在两种处理方法: 一是利用 $(-\Delta+\lambda)^{-1}$ 的积分核获得解的精确衰减估计, 进而结合交互作用完成证明 ^[7,8]; 另一种则是基于 Zhong-Zou^[30] 发展的迭代方法. 受文献 Zhong-Zou^[30] 的启发, 本文建立了相应的严格次可加不等式, 并得到了 $m_{c}$ 的若干重要性质, 具体内容如下所述.

定理 1.3 如果 $V(x)\in C^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 满足 $(V_1),(V_2)$ 条件, 其中 $V_{\infty}<\infty$, 且对任意 $\theta>1$ 有

则可以得到以下结论

(ⅰ) 对任意 $c>0$, $m_{c}\leq E_{c}\leq0$, 且当 $E_{c}$可达时, $m_{c}<E_{c}$;

(ⅱ) 对任意 $c,d>0$, $m_{c+d}\leq m_{c}+m_{d}$; 若 $m_{c}$ 或 $m_{d}$ 可达, 则进一步有 $m_{c+d}< m_{c}+m_{d}$; 此外, 若 $m_{c}$ 可达, 则对任意 $\lambda>1$, 有 $m_{\lambda c}<\lambda m_{c}$;

(ⅲ) $c\mapsto m_{c}$ 是单调非增函数;

(ⅳ) 当 $c$ 充分大时 $m_{c}<0$;

(ⅴ) $c\mapsto m_{c}$ 是连续函数.

定理 1.4 在定理 1.3 的假设条件下, 存在某个 $c_{0}\geq0$, 使得对任意 $c>c_{0}$, 问题 (1.3) 存在对应于 $m_{c}<0$ 的全局极小元; 而当 $0<c<c_{0}$ 时, $m_{c}\equiv0$, 此时不存在对应于 $m_{c}$ 的全局极小元.

注 1.2 为简化分析, 我们不妨假设 $V_{\infty}=0$. 若非如此, 我们可以将 $(V(x),\lambda)$ 替换为 $(\tilde{V}(x),\tilde{\lambda}):=(V(x)-V_{\infty},\lambda+V_{\infty})$.

本文第二节整理了全文所需的预备引理与基本结论; 第三节集中完成定理 1.3 的证明; 第四节则给出定理 1.4 的详细证明过程. 论文中 以"$:=$" 表示定义关系; $\|u\|_{p}$ 表示函数 $u$ 的 $L^{p}$ 范数; 符号 "$\rightharpoonup$" 表示弱收敛; 大写字母 $C(N)$ 表示与函数 $u$ 无关, 但可能依赖于 $N$ 与 $p$ 的正常数.

引理 2.1 如果 $V(x)\in C^{1}(\mathbb{R}^{N}), u \in H^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 为带约束 (2)~的方程 (1)~的解, 则 $u\in S_{c}\bigcap\mathcal{P}$, 其中

证 若 $u$ 是方程 (1.1) 的解, 则

另一方面, $u$ 满足 Pohozaev 恒等式

联立 (2.1) 与 (2.2) 式, 消去未知参数 $\lambda$, 可得

引理 2.2 如果在 $\mathbb{R}^{N}$ 中恒有 $V(x)\geq c_{l}$, 则 $J[u]$ 在 $S_{c}$ 上是下有界的, 即

进一步地, 若 $V_{\infty}<\infty$, 则有 $m_{c}\leq E_{c}+\frac{1}{2}V_{\infty}c$. 特别地, 当 $E_{c}$ 可达时, 严格不等式 $m_{c}< E_{c}+\frac{1}{2}V_{\infty}c$ 成立.

证 由于 $J[u]=I[u]+\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^{N}}V(x)u^{2}{\rm d}x$ 及 $V(x)\geq c_{l}$, 有

若 $V_{\infty}<\infty$, 易知 $\mathcal{H}=H^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 及 $S_{c}=\tilde{S}_{c}$. 根据 $E_{c}$ 的定义, 对任意 $\varepsilon>0$, 存在 $u\in S_{c}$ 使得 $I[u]<E_{c}+\varepsilon$. 注意到, 对任意的 $R>0$, 均有 $u(\cdot-R)\in S_{c}$ 及 $I[u]=I(u(\cdot-R))$. 因此,

由 $\varepsilon$ 的任意性, 我们可以得到 $m_{c}\leq E_{c}+\frac{1}{2}V_{\infty}c$. 特别地, 若 $E_{c}$ 可达, 我们可以取 $U$ 为 $I$ 约束在 $S_{c}$ 上的极小元. 此时由 $V(x)\leq V_{\infty}$ 及 $V(x)\not\equiv V_{\infty}$, 可得

引理 2.3 如果在 $\mathbb{R}^{N}$ 中恒有 $V(x)\geq c_{l}$, 那么任何满足 $J[u_{n}]<\infty$ 的 $L^{2}$ 有界序列 $\left\{u_{n}\right\}$ 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 中也是有界的.

证 设 $\{u_{n}\}$ 是一个 $L^{2}$ 有界序列, 即存在 $M_{1}>0$ 使得 $\|u_n\|^{2}_{2}\leq M_{1}$, $n=1,2,\cdot\cdot\cdot$, 同时存在 $M_{2}>0$ 使得对任意 $n$, $J[u_{n}]\leq M_{2}$, 即

根据 Gagliardo-Nirenberg 不等式, 存在依赖于 $N$ 的常数 $C(N)>0$ 满足

此外, 由于 $2<p<2+\frac{8}{N}$, 对任意 $\varepsilon>0$, 均存在 $C_{\varepsilon}>0$ 使得

综合 (2.3)-(2.5) 式可得

接下来, 通过在 (2.6) 式中取足够小的 $\varepsilon>0$ 得到

从而有

最后结合 $\|u_n\|^{2}_{2}\leq M_{1}$, 可证得序列 $\left\{u_{n}\right\}$ 的有界性.

引理 2.4 如果 $V(x)\in C^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 且在 $\mathbb{R}^{N}$ 上满足 $V(x)\geq c_{l}$, $u\in S_{c}$ 满足 $J[u]<\frac{1}{2}V_{\infty}c$. 则存在 $t_{0}>0$ 使得 $u_{t_{0}}\in S_{c}\bigcap\mathcal{P}$ 及

其中 $u_{t}(x):=t^{\frac{N}{2}}u(tx)$, $t>0$.

证 通过简单的计算, 可以得到

进而

由于 $2<p<2+\frac{8}{N}$, 有 $\lim\limits_{t\rightarrow0}J[u_{t}]=\frac{1}{2}V_{\infty}c, \ \lim\limits_{t\rightarrow\infty}J[u_{t}]=+\infty.$ 再结合 $J[u]<\frac{1}{2}V_{\infty}c$, 可以得到 $J[u]<\min\left\{\lim\limits_{t\rightarrow0}J[u_{t}],\lim\limits_{t\rightarrow\infty}J[u_{t}]\right\}$,

所以存在 $t_{0}\in(0,+\infty)$ 使得 $J[u_{t_{0}}]=\min\limits_{t>0}J[u_{t}]\leq J[u].$ 因此 $\frac{\rm d}{{\rm d}t}J[u_{t}]\bigg|_{t=t_{0}}=0$, 这意味着 $u_{t_{0}}\in\mathcal{P}$. 所以 $u_{t_{0}}\in S_{c}\bigcap\mathcal{P}$.

推论 2.1 在引理 2.4 的条件下, 对任意 $c>0$, $\varepsilon>0$, 存在 $\delta_{c,\varepsilon}>0$ 使得

证 假设存在序列 $\left\{u_{n}\right\}\subset S_{c}$ 满足 $\|\nabla u_n\|^{2}_{2}=1$, 以及序列 $t_{n}\rightarrow0$ 使得 $(u_{n})_{t_{n}}\in\mathcal{P}$ 且

根据引理 2.4 的证明可以得到, 当 $n\rightarrow\infty$ 时

进而有 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}J[(u_{n})_{t_{n}}]=\frac{1}{2}V_{\infty}c,$ 这与 (2.8 式矛盾.

本节旨在证明关于 $m_c$ 的若干重要性质. 如注 1.2 所述, 我们只需考虑 $V_{\infty}=0$ 的情形, 这意味着 $V(x)\leq 0$. 在后续证明中, 我们还假设 $V(x)\in C^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 满足条件 $(V_2)$, 且对任意常数 $\theta>1$ 有 $V(\theta x)\leq \theta^{-2}V(x)$. 定理 1.3 的证明可从以下引理推导得出.

首先, 由 $V(x)\leq 0$ 这一事实, 结合文献 [26,引理 2.1], 可得到以下两个引理.

定理 3.1 对任意 $c>0$, $m_{c}\leq E_{c}\leq0$, 且当 $E_{c}$ 可达时, $m_{c}<E_{c}$.

定理 3.2 当 $c$ 充分大时, $m_{c}<0$.

下述引理对于完成 $m_{c}$ 其他性质的证明至关重要.

定理 3.3$c\mapsto m_{c}$ 是单调非增函数.

证 对任意 $0<c_{1}<c_{2}<+\infty$, 根据 $m_{c}$ 的定义, 存在 $\left\{u_{n}\right\}\subset S_{c_{1}}$ 使得

令 $\tau=\sqrt{\frac{c_{2}}{c_{1}}}\in(1,+\infty)$, 定义 $v_{n}(x):=\tau^{1-\frac{N}{2}}u_{n}(\tau^{-1}x)$, 则有

此外, 由 $2<p<2+\frac{8}{N}$ 可得

令 $n\rightarrow\infty$, 我们可以得到 $m_{c_{2}}\leq m_{c_{1}}$.

接下来我们证明一个有趣的结论, 尽管该结论未在本文后续论证中使用.

定理 3.4$c\mapsto m_{c}$ 是连续函数.

证 基于前面对于 $m_{c}$ 的讨论, 我们注意到对于任意固定的 $c>0$, 当 $h\rightarrow 0$ 时, $m_{c-h}$ 与 $m_{c+h}$ 均具有有界性和单调性, 因而极限存在. 现通过验证以下两个断言来完成引理的证明.

断言 1$\lim\limits_{h\rightarrow 0^{+}}m_{c-h}=m_{c}$.

事实上, 当 $m_{c}=0$ 时, 由引理 3.1 与引理 3.3 可知, 对任意 $h\in(0,c)$,

有 $m_{c-h}\equiv0$, 此时断言 1 自然成立. 故只需考虑 $m_{c-h}<0$ 的情形. 对任意 $u\in S_{c}$ 及 $h\in(0,c)$, 我们令

注意到 $\|u_{h}\|^{2}_{2}=c-h$, 且当 $h\rightarrow 0^{+}$ 时,

$u_{h}\rightarrow u$ 强收敛于 $H^{1}(\mathbb{R}^{N})$, 所以当 $h\rightarrow 0^{+}$ 时, 有 $J[u_{h}]\rightarrow J[u]$. 由此可得

根据 $u\in S_{c}$ 的任意性可知, $\lim\limits_{h\rightarrow 0^{+}}m_{c-h}\leq m_{c}$. 为了完成断言 3.1 的证明, 只需证明相反方向的不等式成立, 这可由引理 3.3 直接推得.

断言 2$\lim\limits_{h\rightarrow 0^{+}}m_{c+h}=m_{c}$.

类似地, 易知 $\lim\limits_{h\rightarrow 0^{+}}m_{c+h}\leq m_{c}$. 令 $h=\frac{1}{n},n\in\mathbb{N}$. 取 $u_n\in S_{c+\frac{1}{n}}$ 满足 $J[u_n]<m_{c+\frac{1}{n}}+\frac{1}{n}$, 由引理 2.3 可知 $\left\{u_n\right\}$ 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 中有界. 接下来定义

可以发现, $v_n\in S_c$, 且当 $n\rightarrow\infty$ 时,

这意味着 $J[v_n]=J[u_n]+o(1).$ 因此,

故断言 2 得证.

下述引理对恢复极小化序列的紧性至关重要.

引理 3.5 对任意 $c,d>0$, $m_{c+d}\leq m_{c}+m_{d}$; 若 $m_{c}$ 或 $m_{d}$ 可达, 则进一步有 $m_{c+d}< m_{c}+m_{d}$; 此外, 若 $m_{c}$ 可达, 则对任意 $\lambda>1$, 有 $m_{\lambda c}<\lambda m_{c}$.

证 若 $m_{c}=0$, 由引理 3.1 与引理 3.3 可得, 对任意 $\lambda >1$, $m_{\lambda c}\leq m_{c}=0=\lambda m_{c}.$ 接下来我们考虑 $m_{c}<0$ 的情形.

我们首先证明当 $c>0$ 且 $\lambda>1$ 充分接近 $1$ 时, $m_{\lambda c}\leq\lambda m_{c}$. 对任意 $\varepsilon>0$, 取 $u\in S_{c}\bigcap\mathcal{P}$ 满足 $J[u]<m_{c}+\varepsilon$. 令 $\tilde{u}(\tau,x):=u(\tau^{-\frac{1}{N}}x), \ \tau\geq1,$ 则有 $\|\tilde{u}(\tau,x)\|^{2}_{2}=\tau c$, 即 $\tilde{u}(\tau,x)\in S_{\tau c}$. 此外, 由 $\lim\limits_{|x|\rightarrow\infty}V(x)=0$ 与 $V(x)\in C^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 可知, 存在 $\delta>0$ 使得

对任意的 $\tau\in(1,1+\delta)$ 一致成立, 其中 $\varepsilon_0>0$ 足够小满足 $m_{c}+\varepsilon_{0}<0$, $\delta_{c,\varepsilon_0}$ 由推论 2.1 给出. 同时, 对任意满足 $J[u]<m_{c}+\varepsilon$ 及 $\varepsilon\in(0,\varepsilon_{0}]$ 的 $u\in S_{c}\bigcap\mathcal{P}$, 均有 $\|\nabla u\|^{2}_{2}\geq\delta_{c,\varepsilon_0}$. 由此可得

从而, 对任意 $\lambda\in(1,1+\delta)$, 有 $m_{\lambda c}\leq J[\tilde{u}(\lambda,x)]<\lambda J[u]\leq\lambda(m_c+\varepsilon).$ 再由 $\varepsilon$ 的任意性, 可得 $m_{\lambda c}\leq\lambda m_{c},\forall \ \lambda\in(1,1+\delta).$ 特别地, 若 $m_c$ 可达, 我们取 $u$ 为极小元并重复上述论证, 便可以得到严格不等式 $m_{\lambda c}\leq J[\tilde{u}(\lambda,x)]<\lambda J[u]=\lambda m_c,\forall \ \lambda\in(1,1+\delta).$

进一步地, 在 $m_c<0$ 的情形下, 由引理 3.3 可知, $m_d+\varepsilon\leq m_c+\varepsilon<0$. 这意味着对任意 $d\in(c,+\infty)$, 存在一致的 $\delta>0$ 使得 $m_{\lambda e}\leq\lambda m_{e},\forall \ \lambda\in[1,1+\delta),\forall \ e\in[c,d].$ 因此, 对任意满足 $m_c<0$ 的 $c>0$ 及任意 $\lambda>1$, 存在 $\delta>0$ 成立

选取 $t_0\in(0,\delta)$ 与 $m\in\mathbb{N}$ 使得$(1+t_0)^{m}\leq\lambda<(1+t_0)^{m+1}.$ 通过归纳, 我们发现

于是,

需要特别说明的一点是, 若 $m_c$ 可达, 则上述不等式取 $``<"$, 即有 $\forall \ \lambda>1, m_{\lambda c}<\lambda m_{c}$. 最后, 由式 (3.1) 可得, 对任意 $0<c\leq d$,

进一步地, 若 $m_{c}$ 或 $m_{d}$ 可达, 则 $m_{c+d}<\frac{c+d}{d}m_{d}$ 或 $m_{d}<\frac{d}{c}m_{c}$, 从而 $m_{c+d}<m_{c}+m_{d}$.

由引理 4.1 可知, 为了完成定理 1.4 的证明, 只需证明极小化序列的收敛性. 首先, 我们假设 $V(x)\in C^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 满足 $(V_1), (V_2)$ 条件, 其中 $V_{\infty}<\infty$, 且对任意常数 $\theta>1$, 有 $ V(\theta x)\leq \theta^{-2}V(x)$. 为简化分析, 不妨设 $V_{\infty}=0$, 即 $V(x)\leq0$.

引理 4.1 设 $\left\{u_n\right\}$ 是 $J[u]$ 对应于 $m_c<0$ 的有界极小化序列, 则

证 假设 $\delta=0$, 则由文献 [24, 引理 1.21] 知, 通过取子列, 当 $n\rightarrow\infty$ 时, 有

从而可以得到

因此,

推出矛盾, 证毕.

引理 4.2 设 $\left\{u_n\right\}$ 是 $J[u]$ 对应于 $m_c$ 的有界极小化序列. 若 $m_c<E_c$, 则存在 $\left\{u_n\right\}$ 的子列, 仍记为 $\left\{u_n\right\}$, 以及 $0\neq u\in H^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 使得 $u_n\rightharpoonup u$.

证 由于 $\left\{u_n\right\}$ 是有界的, 存在 $\left\{u_n\right\}$ 的子列, 仍记为 $\left\{u_n\right\}$, 以及 $u\in H^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 使得 $u_n\rightharpoonup u$.从而, 存在点列 $\left\{y_n\right\}\subset\mathbb{R}^{N}$ 满足

定义 $\tilde{u}_n(x):=u_n(\cdot-y_n)$. 显然, $\|\tilde{u}_n\|^{2}_{2}=c$. 结合 $m_c<0$ 与引理 4.1 有,

假设 $u=0$, 则 $\left\{y_n\right\}$ 无界, 所以

这与引理 3.1 矛盾.

推论 4.1 设 $\left\{u_n\right\}\subset S_c$ 为满足 $J[u_n]\rightarrow m_c$ 及 $m_c<E_c$ 的极小化序列, 则 $\left\{u_n\right\}$ 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 中存在收敛子列.

证 由引理 2.3 与引理 4.2 可知, 存在 $\left\{u_n\right\}$ 的子列, 仍记为 $\left\{u_n\right\}$, 以及 $0\neq u\in H^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 使得 $u_n\rightharpoonup u$. 接下来我们证明在 $H^{1}(\mathbb{R}^{N})$中 $u_n\rightarrow u$. 若不然, 我们令 $v_n:=u_n-u$. 此时, 在 $H^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 中, $v_n\rightharpoonup 0$ 但 $v_n\nrightarrow 0$. 设 $\|u\|^{2}_{2}=\sigma$, 则 $0<\sigma<c$ 以及 $\|v_n\|^{2}_{2}=c-\sigma+o(1)$. 因此,

一方面, 若 $u$ 不是 $J[u_n]$ 对应于 $m_{\sigma}$ 的全局极小元, 由引理 3.1 与引理 3.5 可得

出现矛盾. 另一方面, 若 $u$ 是 $J[u_n]$ 对应于 $m_{\sigma}$ 的全局极小元, 通过类似论证可得

同样产生矛盾. 因此 $\sigma=c$ 以及 $J[u]=m_c$, 这意味着 $u_n\rightarrow u$ 于 $L^{2}(\mathbb{R}^{N})$. 根据 Gagliardo-Nirenberg 不等式可知, 对任意的 $p\in(2,2^{\ast})$, $u_n\rightarrow u$ 于 $L^{p}(\mathbb{R}^{N})$. 再结合引理 2.1 可得, $u_n\rightarrow u$ 于 $H^{1}(\mathbb{R}^{N})$.

证 [定理 1.4 的证明] 根据引理 3.2, 存在 $c_0\geq0$ 使得对任意 $c>c_0$, 有 $m_c<0$. 若 $E_c=0$, 则 $m_c<E_c$. 此时, 由推论 2.1, $m_c$ 可达. 若 $E_c<0$, 由定理 1.1, $E_c$ 可达. 结合引理 3.1 得到 $m_c<E_c$, 进而由推论 2.1, $m_c$ 也是可达的.

若 $c_0=0$, 则证毕. 若 $c_0>0$, 根据引理 3.1 与引理 3.2,当 $0<c<c_0$ 时, $m_c\equiv0$. 此时, 由引理 3.5, $m_c$ 不可达.