数学物理学报, 2026, 46(3): 877-883

广义 Bach 张量消失的四维黎曼流形上的一个刚性结果

管山林,

复旦大学数学科学学院\quad 上海 200433

A Rigidity Result for Four-Dimensional Riemannian Manifolds with Vanishing Generalized Bach Tensor

Guan Shanlin,

School of Mathematical Sciences, Fudan University, Shanghai 200433

收稿日期: 2025-03-30   修回日期: 2025-07-24  

基金资助: 无国家自然科学基金(11223344)

Received: 2025-03-30   Revised: 2025-07-24  

Fund supported: NSFC(11223344)

作者简介 About authors

管山林E-mail:22110180016@m.fudan.edu.cn

摘要

黎曼流形 $(M^n, g)$ 被称为 $ B^t $-平坦的, 如果其广义 Bach 张量 $ B^t \equiv 0 $ 对某参数 $ t $ 成立. 该文证明了: 当曲率满足某个不等式时, 参数 $ t < 1 $ ($ t \neq 0 $) 的四维紧致且 $ B^t $-平坦的黎曼流形必为 Einstein 流形. 特别地, 如果 $t$ 还满足 $ t \ge -\frac{1}{3} $, 则该流形必等距同构于球面 $\mathbb{S}^4$ 的商空间或赋予 Fubini-Study 度量的复射影空间 $\mathbb{CP}^2$. 该结论推广了 Huang-Ma-Li [Huang G, Ma B, Li X. J Geom Phys, 2021, 170: Art 104380] 的结果.

关键词： Einstein 流形; 刚性定理; 广义 Bach 平坦.

Abstract

A Riemannian manifold $ (M^n, g) $ is called $ B^t $-flat if its generalized Bach tensor $ B^t_{ij} \equiv 0 $ for some parameter $ t $. In this paper, we show that a four-dimensional compact $ B^t $-flat Riemannian manifold with $t < 1, t \neq 0$ and satisfying a pointwise inequality must be Einstein. In particular, under the same assumption and $t \ge -\frac{1}{3}$, we conclude that it must be isometric to either a quotient of the round $\mathbb{S}^4$ or a $\mathbb{C P}^2$ with the Fubini-Study metric. This extends the result of Huang-Ma-Li [Huang G, Ma B, Li X. J Geom Phys, 2021, 170: Art 104380].

Keywords： Einstein manifold; rigidity theorem; generalized Bach-flat.

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本文引用格式

管山林. 广义 Bach 张量消失的四维黎曼流形上的一个刚性结果[J]. 数学物理学报, 2026, 46(3): 877-883

Guan Shanlin. A Rigidity Result for Four-Dimensional Riemannian Manifolds with Vanishing Generalized Bach Tensor[J]. Acta Mathematica Scientia, 2026, 46(3): 877-883

1 引言

设 $(M^{n}, g)$ 为光滑且连通的黎曼流形, $\nabla$ 为度量 $g$ 诱导的协变导数 (Levi-Civita 联络), $\{e_i\}$ 为局部标准正交基, $R_{ijkl}$ 和 $R_{ij}$ 分别为黎曼曲率张量和 Ricci 曲率的分量, $R$ 为数量曲率. 黎曼曲率张量可分解为

$\begin{eqnarray*}R_{ijkl}&=&W_{ijkl}+\frac{1}{n-2}(R_{ik}\delta_{jl}-R_{il}\delta_{jk}+R_{jl}\delta_{ik}-R_{jk}\delta_{il})\nonumber\\&&-\frac{R}{(n-1)(n-2)}(\delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk})\nonumber\\&=&W_{ijkl}+\frac{1}{n-2}(\mathring{R}_{ik}\delta_{jl}-\mathring{R}_{il}\delta_{jk}+\mathring{R}_{jl}\delta_{ik}-\mathring{R}_{jk}\delta_{il})\nonumber\\&&+\frac{R}{n(n-1)}(\delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk}),\end{eqnarray*}$

其中 $W_{ijkl}$、$\mathring{R}_{ij}$ 和 $A_{ij}$ 分别为 Weyl 曲率张量、无迹 Ricci 张量 $\mathring{Ric} = Ric - \frac{R}{n}g$ 和 Schouten 张量 $A_g = Ric - \frac{R}{2(n-1)}g$ 的分量. Cotton 张量定义为

$\begin{align} C_{ijk} = A_{ij,k} - A_{ik,j} = R_{ij,k} - R_{ik,j} - \frac{1}{2(n-1)}(R_{,k} \delta_{ij} - R_{,j}\delta_{ik}). \notag\end{align}$

由 Weyl 曲率张量的定义, 有

$|\operatorname{Rm}|^2 = |W|^2 + \frac{4}{n - 2}|Ric|^2 - \frac{2}{(n - 1)(n - 2)} R^2. \notag$

四维情形下, 我们有如下的 Chern-Gauss-Bonnet 公式

$32\pi^2 \chi(M) = \int_{M} |W|^2 \, - 2 \int_{M} |Ric|^2 \, + \frac{2}{3} \int_{M} R^2 \notag,$

这表明 $\int_{M} |Ric|^2$ 可表为其余项 (加拓扑项) 的线性组合. 由此, Gursky-Viaclovsky[6] 研究了如下泛函

$B_t[g] = \int_{M} |W|^2 + t \int_{M} R^2,$

其 Euler-Lagrange 方程为

$B^t = 0,$

其中二阶张量 $B^t$ 为广义 Bach 张量

$\begin{align} B^t_{ij} \equiv & \left( -\frac{4}{n - 2} W_{ikjl} \mathring{R}_{kl} - 2 W_{ikpq} W_{jkpq} - 4 W_{ikjl,lk} + \frac{1}{2} |W|^2 \delta_{ij} \right)\notag \\ & + t \left( 2 R_{,ij} - 2 (\Delta R) \delta_{ij} - 2 R R_{ij} + \frac{1}{2} R^2 \delta_{ij} \right), \notag\end{align}$

其中 $t$ 是一个参数. 黎曼流形 $(M^n, g)$ 称为 $B^t$-平坦的, 如果其广义 Bach 张量 $B^t_{ij} \equiv 0$ 对某参数 $t$ 成立.

四维情形下, 注意到 $W_{ikpq} W_{jkpq} = \frac{1}{4} |W|^2 \delta_{ij}$, 因此 (1.2) 式可简化为

$-(2 W_{ikjl} \mathring{R}_{kl} + 4 W_{ikjl,lk}) + t \left( 2 R_{,ij} - 2 (\Delta R) \delta_{ij} - 2 R R_{ij} + \frac{1}{2} R^2 \delta_{ij} \right) = 0,$

等式两边同时取迹, 有

$-6 t \Delta R = 0,$

因此当 $t \neq 0$ 时, 数量曲率为常数. 此时 $B^t_{ij} = 0$ 等价于

$-4 B_{ij} - 2t R \mathring{R}_{ij} = -4 B_{ij} + t \left( -2 R R_{ij} + \frac{1}{2} R^2 \delta_{ij} \right) = 0, \notag$

其中 Bach 张量 (参见文献 [1]) 定义为

$-4 B_{i j}-2 t R \stackrel{\circ}{R}_{i j}=-4 B_{i j}+t\left(-2 R R_{i j}+\frac{1}{2} R^{2} \delta_{i j}\right)=0,$

一般地, 当 $n \geq 5$ 时, 在 $ (1)$ 式两边同时取迹, 有

$\frac{n - 4}{2} |W|^2 + t \left( -2 (n - 1) \Delta R + \frac{n - 4}{2} R^2 \right) = 0,$

注意到如果 $t = 0$, 我们有 $W = 0$, 即该流形是局部共形平坦的. 特别的, 如果数量曲率 $R$ 是常数, 则

$\begin{align} |W|^2 + t R^2 = 0, \notag\end{align}$

并且 (1.2) 式可改写为

$\frac{2(n-4)}{n-2} W_{i k j l} \stackrel{\circ}{R}_{k l}-W_{i k p q} W_{j k p q}-2(n-3) B_{i j}-t R R_{i j}=0.$

Huang-Ma-Li[8] 证明了在曲率项满足某些不等式的条件下, $B_t$ 平坦流形的一些刚性定理. 在本文中, 我们考虑四维 $B_t$ 平坦流形的刚性. 具体地, 本文主要结果为

定理 1.1 设 $(M^{4},g)$ 为四维紧致无边的 $B^{t}$-平坦流形, 参数 $t < 1$ 且 $t \neq 0$, 其数量曲率 $R > 0$. 如果曲率满足如下不等式

$\left(|W|^{2}+\frac{9}{4}|R i c|^{2}\right)^{\frac{1}{2}}<\frac{\sqrt{3}(1-t)}{4} R,$

则 $(M^{4},g)$ 必为 Einstein 流形.

推论 1.1 设 $(M^{4},g)$ 为四维紧致无边的 $B^{t}$-平坦流形, 参数 $ - \frac{1}{3}\le t < 1$ 且 $t \neq 0$, 其数量曲率 $R > 0$. 如果曲率满足如下不等式

$\left( |W|^2 + \frac{9}{4} |\mathring{Ric}|^2 \right)^{\frac{1}{2}} < \frac{\sqrt{3}(1-t)}{4}R,$

则 $(M^{4},g)$ 必等距于球面 $\mathbb{S}^4$ 的商空间或赋予 Fubini-Study 度量的复射影空间 $\mathbb{C P}^2$.

注 1.1 本文关于 $t$ 和曲率不等式的条件弱于文献 [3], 且分类结果包含复射影空间 $\mathbb{CP}^{2}$.

2. 预备知识

设 $(M^{n}, g)$ 为一个光滑的连通黎曼流形. 令 $\nabla$ 表示由度量 $g$ 诱导的协变导数; 设 $f$ 是 $M^{n}$ 上的光滑函数, $f_{i}, f_{i,j}$ 和 $f_{i,jk}$ 分别为 $f$ 在局部标准正交基 $\{e_{i}, 1\leq i\leq n\}$ 下的一阶、二阶和三阶协导数的分量; $\Delta f$ 和 $\nabla f$ 分别表示 $f$ 的拉普拉斯算子和梯度. 对于二阶协变张量 $S$ 和光滑函数 $f$, 我们采用以下记号

$|\nabla S |^{2}=\sum_{i,j, k}S_{ij,k}^{2}, \\|\nabla f|^{2}=\sum_{i}f_{i}^{2}, \\ \Delta f = \sum_{i} f_{i,i}.$

在本文中, 我们将默认采用 Einstein 求和约定. 二阶协变张量 $S$ 的 Ricci 恒等式为

$S_{i j, k l}-S_{i j, l k}=S_{m j} R_{m i k l}+S_{i m} R_{m j k l}.$

由第二 Bianchi 恒等式, 有

$\mathring{R}_{ij,k}-\mathring{R}_{ik,j}={R}_{likj,l}+\frac{R_{,j}}{n}\delta_{ik}-\frac{R_{,k}}{n}\delta_{ij} \notag$

和

$\mathring{R}_{ij,j}=\frac{n-2}{2n}R_{,i}.$

并且有

$\begin{matrix}\mathring{R}_{ij,k}-\mathring{R}_{ik,j} & = -\frac{n-2}{2n(n-1)}(R_{,k}\delta_{ij}-R_{,j}\delta_{ki}) + C_{ijk}. \label{commute}\end{matrix}$

当 $n \geq 4$ 时, 有

$\begin{split}W_{ijkl,l}&={R}_{ijkl,l}-\frac{1}{n-2}(\mathring{R}_{ik,l}\delta_{jl}-\mathring{R}_{il,l}\delta_{jk}+\mathring{R}_{jl,l}\delta_{ik}-\mathring{R}_{jk,l}\delta_{il})-\frac{R_{,l}}{n(n-1)}(\delta_{ik}\delta_{jl}-\delta_{il}\delta_{jk})\\&=\frac{n-3}{n-2}(\mathring{R}_{ki,j}-\mathring{R}_{kj,i})-\frac{n-3}{2n(n-1)}(R_{,i}\delta_{kj}-R_{,j}\delta_{ki}).\end{split}$

因此

$\begin{matrix} \mathring{R}_{ij,k}-\mathring{R}_{ik,j} & =-\frac{n-2}{2n(n-1)}(R_{,k}\delta_{ij}-R_{,j}\delta_{ki}) - \frac{n-2}{n-3} W_{lijk,l}, \ n \ge 4.\end{matrix}$

即 $C_{ijk} = -\frac{n-2}{n-3} W_{lijk,l}$. Bach 张量与 Cotton 张量之间有如下公式

$\begin{matrix}(n-2) B_{ij} = R_{kl} W_{ikjl} + C_{ijk,k}.\label{bachcotton}\end{matrix}$

引理 2.1 设 $M^n (n \geq 4)$ 为完备的 $n$ 维黎曼流形, 则

$\begin{matrix}\frac{1}{2} \Delta |\mathring{Ric}|^2 &= |\nabla \mathring{Ric}|^2 + \frac{n-2}{2(n-1)} \mathring{R}_{ij} R_{,ij} + \frac{n-4}{n-2} \mathring{R}_{ij} \mathring{R}_{li} \mathring{R}_{lj} \notag \\& \quad - 2 \mathring{R}_{ik} \mathring{R}_{jl} R_{ijkl} + \frac{(n-2)R}{(n-1)n} |\mathring{Ric}|^2 + (n-2) B_{ij} \mathring{R}_{ij}.\end{matrix}$

证 直接计算可得

$\frac{1}{2} \Delta |\mathring{Ric}|^2 = |\nabla \mathring{Ric}|^2 + \mathring{R}_{ij} \mathring{R}_{ij,kk}.$

利用(2.3)式和 Ricci 恒等式(2.1), 有

$\begin{split} \mathring{R}_{ij,kk}&=\mathring{R}_{ik,jk}+\frac{n-2}{2n(n-1)}(R_{,jk}\delta_{ik}-R_{,kk}\delta_{ij}) + C_{ijk,k} \\&=\mathring{R}_{ki,kj}+\mathring{R}_{li}R_{lkjk}+\mathring{R}_{kl}R_{lijk}+\frac{n-2}{2n(n-1)}(R_{,ji}-R_{,kk}\delta_{ij}) + C_{ijk,k} \\&=\mathring{R}_{kk,ij}+\frac{n-2}{2n(n-1)}(R_{,ij}\delta_{kk}-R_{,kj}\delta_{ki})+\mathring{R}_{li}R_{lj}+\mathring{R}_{kl}R_{lijk} \\& \quad +\frac{n-2}{2n(n-1)}(R_{,ji}-R_{,kk}\delta_{ij}) + C_{ijk,k} \\&=\frac{n-2}{2n(n-1)}(nR_{,ij}-R_{,kk}\delta_{ij})+\mathring{R}_{li}\mathring{R}_{lj}+\mathring{R}_{kl}R_{lijk}+\frac{R}{n}\mathring{R}_{ji} + C_{ijk,k}.\end{split}$

由 Bach 张量与 Cotton 张量的关系 (2.5), 以及 Weyl 张量定义, 有

$\begin{align} C_{ijk,k}\mathring{R_{ij}} & = (n-2)B_{ij} \mathring{R}_{ij} - W_{ijkl}\mathring{R}_{ik}\mathring{R}_{jl}\notag \\ & = (n-2)B_{ij} \mathring{R}_{ij} - R_{ijkl}\mathring{R}_{ik}\mathring{R}_{jl} - \frac{2}{n-2}\mathring{R}_{ij}\mathring{R}_{ik}\mathring{R}_{jk} - \frac{1}{n(n-1)}R|\mathring{Ric}|^2. \notag \end{align}$

结合上述三个表达式即得结论.

引理 2.2 设 $M^n (n \geq 4)$ 为 $B^t$-平坦且完备的 $n$ 维黎曼流形, 则

$\begin{matrix}\frac12\Delta|\mathring{Ric}|^2=\,&|\nabla \mathring{Ric}|^2+\frac{n-2}{2(n-1)}\mathring{R}_{ij}R_{,ij} +\frac{n-4}{n-2}\mathring{R}_{ij}\mathring{R}_{li}\mathring{R}_{lj} - 2\mathring{R}_{ik}\mathring{R}_{jl}R_{ijkl} \notag \\ & + \frac{(n-2)R}{(n-1)n}|\mathring{Ric}|^2 - \frac{n - 4}{n - 3} \left( R_{ijkl} \mathring{R}_{ik}\mathring{R}_{jl} + \frac{2}{n-2} \mathring{R}_{ij} \mathring{R}_{ik} \mathring{R}_{jk} + \frac{R}{(n-1)n}|\mathring{Ric}|^2 \right) \notag\\ & - \frac{n - 2}{2(n - 3)} W_{ikpq} W_{jkpq} \mathring{R}_{ij} - \frac{n - 2}{2(n - 3)} t R |\mathring{Ric}|^2.\end{matrix}$

证 由 $B^t$-平坦条件 (1.2), 在 (1.2) 式两边同时乘以因子 $\frac{n-2}{2(n-3)}$, 有

$\begin{align} (n - 2) B_{ij} = \frac{n - 4}{n - 3} W_{ikjl} \mathring{R}_{kl} - \frac{n - 2}{2(n - 3)} W_{ikpq} W_{jkpq} - \frac{n - 2}{2(n - 3)} t R \mathring{R}_{ij} - \frac{n - 2}{2n(n - 3)} t R^2 \delta_{ij}. \notag \end{align}$

代入引理 2.1 中的表达式可得

$\begin{align} (n - 2) B_{ij}\mathring{R}_{ij} & = - \frac{n - 2}{2(n - 3)} W_{ikpq} W_{jkpq} \mathring{R}_{ij} - \frac{n - 2}{2(n - 3)} t R |\mathring{Ric}|^2 \notag \\ & \quad - \frac{n - 4}{n - 3} \left( R_{ijkl} \mathring{R}_{ik}\mathring{R}_{jl} + \frac{2}{n-2} \mathring{R}_{ij} \mathring{R}_{ik} \mathring{R}_{jk} + \frac{R}{(n-1)n}|\mathring{Ric}|^2 \right). \notag \end{align}$

整理各项, 再结合引理 2.1 即得结论.

推论 2.1 设 $(M^4,g)$ 为四维紧致无边的 $B^t$-平坦流形, 其中 $t \neq 0$, 则$\begin{align*}\frac12\Delta|\mathring{Ric}|^2&=|\nabla \mathring{Ric}|^2 - 2\mathring{R}_{ik}\mathring{R}_{jl}W_{ijkl} + 2\mathring{R}_{ij} \mathring{R}_{ik} \mathring{R}_{jk}+ \frac{R}{3}|\mathring{Ric}|^2 - t R |\mathring{Ric}|^2. \notag\end{align*}$取 $n = 4$,由四维流形上 Weyl 张量的性质 $W_{ikpq} W_{jkpq} = \frac{1}{4} |W|^2 \delta_{ij}$, 以及数量曲率 $R$ 为常数 (由四维 $B^t$-平坦可得), 即可得到结论.

3 一些引理

引理 3.1 设 $M^n (n \geq 4)$ 为完备的 $n$ 维黎曼流形, 则

$\begin{matrix} | \nabla \mathring{Ric} |^2 = 3 |F|^2 + \frac{1}{(n+2)} \cdot(\frac{n-2}{n})^2 |\nabla R |^2 - 2\mathring{R}_{ij,k}\mathring{R}_{jk,i}, \label{DRicindentity} \end{matrix}$

其中三阶协变张量 $F$ 定义见 (3.2) 式.

证 受到 Guo-Guan(作者)[7] 以及 Catino[3] 的启发, 我们定义如下张量 $F$:

$\begin{matrix} F_{ijk} = \frac{\mathring{R}_{ij,k} + \mathring{R}_{jk,i} + \mathring{R}_{ki,j}}{3} - \frac{(n-2)}{3n(n+2)} (R_{,i}\delta_{jk} + R_{,j}\delta_{ik} + R_{,k}\delta_{ij}). \label{defnF} \end{matrix}$

直接计算张量 $F$ 的模长, 我们得到

$\begin{align} |F|^2 = \frac{ |\nabla \mathring{Ric}|^2 + 2 \mathring{R}_{ij,k}\mathring{R}_{jk,i}}{3} - \frac{3}{n+2} \cdot(\frac{n-2}{3n})^2 |\nabla R |^2. \notag \end{align}$

整理即得 (3.1) 式.

引理 3.2 设 $(M^{n},g)$ 为紧致无边的 $n$ 维黎曼流形, 则

$\begin{matrix} \int_{M} \mathring{R}_{ij,k}\mathring{R}_{ik,j} = \int \left( (\frac{n-2}{2n})^2 |\nabla R|^2 + R_{ijkl} \mathring{R}_{ik} \mathring{R}_{jl} - \mathring{R}_{ij} \mathring{R}_{ik} \mathring{R}_{jk} - \frac{1}{n} R |\mathring{Ric}|^2 \right). \end{matrix}$

证 由散度定理和 Ricci 恒等式 (2.1), 有

$\begin{align} \int_{M} \mathring{R}_{ij,k}\mathring{R}_{ik,j} &= - \int \mathring{R}_{ij} \mathring{R}_{ik,jk} \,\notag \\&= - \int \left( \mathring{R}_{ij} \mathring{R}_{ik,kj} + R_{kjil} \mathring{R}_{ij} \mathring{R}_{kl} + R_{ij} \mathring{R}_{ik} \mathring{R}_{jk} \right) \, \notag \\&= - \int \left( \frac{n-2}{2n} \mathring{R}_{ij} R_{,ji} - R_{ijkl} \mathring{R}_{ik} \mathring{R}_{jl} + \mathring{R}_{ij} \mathring{R}_{ik} \mathring{R}_{jk} + \frac{1}{n} R |\mathring{Ric}|^2 \right) \, \notag \\&= \int \left( (\frac{n-2}{2n})^2 |\nabla R|^2 + R_{ijkl} \mathring{R}_{ik} \mathring{R}_{jl} - \mathring{R}_{ij} \mathring{R}_{ik} \mathring{R}_{jk} - \frac{1}{n} R |\mathring{Ric}|^2 \right), \notag\end{align}$

其中我们用到了无迹 Ricci 张量的散度性质 (2.2).

下面的引理在定理 1.1 的证明过程中起着关键作用,其证明可参见文献 [2,5,8,9].

引理 3.3 设 $(M^n, g)$ 为 $n$ 维黎曼流形, $\rho \in \mathbb{R}$, 则有如下不等式成立

其中 , 这里 表示 Kulkarni-Nomizu 内积.

下面的引理在推论 1.1 的证明过程中起着关键作用, 其证明可参见文献 [4].

引理 3.4 设 $(M^4, g)$ 为紧致无边的四维 Einstein 流形, 其数量曲率 $R > 0$. 如果

$|W|^2 < \frac{R^2}{3},$

则 $(M^4, g)$ 必等距于球面 $\mathbb{S}^4$ 的商空间或赋予 Fubini-Study 度量的复射影空间 $\mathbb{CP}^2$.

4 定理 1.1 的证明

定理 1.1 的证明 由引理 3.1 和 3.2, 在四维 $B^t$-平坦流形上, 有

$\begin{matrix} \int_{M} | \nabla \mathring{Ric} |^2 = 3 \int_{M} |F|^2 + 2 \int \left(\mathring{R}_{ij} \mathring{R}_{ik} \mathring{R}_{jk} - R_{ijkl} \mathring{R}_{ik} \mathring{R}_{jl} +\frac{1}{4} R |\mathring{Ric}|^2 \right). \label{useholds} \end{matrix}$

由推论 2.1, 利用分部积分, 有

$\begin{align} 0 &=3 \int_{M} |F|^2 + \int_{M} \left( 2\mathring{R}_{ij}\mathring{R}_{li}\mathring{R}_{lj} - 4\mathring{R}_{ik}\mathring{R}_{jl}R_{ijkl} \right)+ (\frac{2}{3} - t) \int_{M} R |\mathring{Ric}|^2. \notag \end{align}$

这等价于

$\begin{matrix} 0 &=3 \int_{M} |F|^2 + \int_{M} \left( 6\mathring{R}_{ij}\mathring{R}_{li}\mathring{R}_{lj} - 4\mathring{R}_{ik}\mathring{R}_{jl}W_{ijkl} \right)+ (1 - t) \int_{M} R |\mathring{Ric}|^2. \end{matrix}$

在引理 3.3 中取 $\rho = 3$ 可得

$\begin{align}- W_{ijkl} \mathring{R}_{jl} \mathring{R}_{ik} + \frac{3}{2} \mathring{R}_{ij} \mathring{R}_{jk} \mathring{R}_{ki} \ge -\sqrt{\frac{1}{3}} \left( |W|^2 + \frac{9}{4} |\mathring{Ric}|^2 \right)^{\frac{1}{2}} |\mathring{Ric}|^2, \notag \end{align}$

因此

$\begin{matrix} 3 \int_{M} |F|^2+ \left( -\frac{4}{\sqrt{3}} \left( |W|^2 + \frac{9}{4} |\mathring{Ric}|^2 \right)^{\frac{1}{2}} + (1 - t) R \right) |\mathring{Ric}|^2 \le 0. \end{matrix}$

由不等式(1.7) 和数量曲率为正, 我们得到

$\begin{align} 0 \le 3 \int_{M} |F|^2+ \left( -\frac{4}{\sqrt{3}} \left( |W|^2 + \frac{9}{4} |\mathring{Ric}|^2 \right)^{\frac{1}{2}} + (1 - t) R \right) |\mathring{Ric}|^2 \le 0. \notag \end{align}$

故 $F \equiv 0$ 且 $\mathring{Ric} \equiv 0$, 这说明流形必为 Einstein 流形.

推论 1.1 的证明 由定理 1.1, 流形必然为 Einstein 流形. 此时不等式 (1.7) 可改写为

$\begin{align} |W| < \frac{\sqrt{3}(1-t)}{4} R. \notag \end{align}$

如果 $t \ge -\frac{1}{3}$, 有

$\begin{align} |W| < \frac{\sqrt{3}(1-t)}{4} R \le \frac{1}{\sqrt{3}} R. \notag \end{align}$

因此

$|W|^2 < \frac{R^2}{3}.$

由引理 3.4 立即得到结论.

参考文献

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Zur weylschen relativitätstheorie und der weylschen erweiterung des kr\"ummungstensorbegriffs

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