设 $\mathbb{D}$ 表示复平面 $\mathbb{C}$ 上的单位圆盘, $H(\mathbb{D})$ 表示 $\mathbb{D}$ 上的全纯函数类, 若 $\varphi \in H(\mathbb{D} )$ 满足 $\varphi(\mathbb{D} )\subset \mathbb{D}$, 则称 $\varphi$ 是 $\mathbb{D}$ 上的一个解析自映射. 对任意一个 $\mathbb{D}$ 上的解析自映射 $\varphi$, 定义 $C_{\varphi }(f)=f\circ \varphi$, $f\in H(\mathbb{D})$, 称 $C_{\varphi }$ 为 $\varphi $ 诱导的复合算子. 我们常考虑 $C_{\varphi }$ 作为两个经典解析函数空间之间的线性算子的紧性或弱紧性. 文献 [2,4,12-16,18,20,21,23] 给出了从 Bloch 空间到各种经典解析函数空间的复合算子的紧性或弱紧性的刻画, 详细信息见文献 [13]. 在这些工作完成之后, Contreras 等在文献 [3] 中以一种统一的方式在一个更一般的框架上处理了上述这些问题, 他们考虑了三类相当广泛的解析函数空间: 用一个函数的导数关于某个 Borel 测度 $\mu$ 的可积性定义的加权 Dirichlet 型空间 $D_{\mu }^{p}$, $D_{\mu }^{p}$ 的 Möbius 不变子空间 $M(D_{\mu }^{p})$ 和小 Möbius 不变子空间 $M_{0}(D_{\mu }^{p})$, 这三类解析函数空间包含各种经典函数空间作为特例^[13]. 接下来, 他们考虑了把 Bloch 空间 $\mathcal{B}$ 映入这三类解析函数空间的复合算子, 并用诱导出它们的解析自映射对它们的紧性和弱紧性进行了刻画.

本文试图从以下两个方面将文献 [3] 中的结论进行进一步的推广

一方面, 赵如汉在他的文献 [24] 中引入了 $\alpha$-Möbius 不变的概念作为 Möbius 不变的概念的一种推广.设 $\sigma \in \operatorname{Aut}(\mathbb{D}), 0<\alpha<\infty, f \in H(\mathbb{D})$, 定义

则有 $f\circ_{\alpha}\sigma\in H(\mathbb{D})$, 我们称 $f\circ_{\alpha}\sigma$ 为 $f$ 与 $\sigma$ 的加权 $\alpha$ 复合. 显然, 当 $\alpha=1$ 时, 我们有$f\circ_{\alpha}\sigma=f\circ\sigma$, 即 $f\circ_{1}\sigma$ 是 $f$ 与 $\sigma$ 的通常复合. 在 (1.1) 式两边求导得

进而, 对任意 $\mathbb{D}$ 上的解析自映射 $\varphi$ 有

且对任意 $\tau \in \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$ 有

注意到, 为了强调与通常复合的类比, 这里使用了新的记号 $f\circ_{\alpha}\sigma$, 而在原始文献 [24] 中, 使用的记号是 $\sigma^{\alpha}[f]$. 其次, 我们称 $H(\mathbb{D})$ 的一个带有半范数 $\rho$ 的子空间 $X$ 为 $\alpha$-Möbius 不变的, 如果对任意 $\sigma \in \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$ 和任意 $f\in X$, 我们都有 $f\circ_{\alpha}\sigma \in X$ 且 $\rho(f\circ_{\alpha}\sigma)\leq C\rho(f)$, 其中 $C$ 是一个与 $\sigma$ 和 $f$ 都无关的常数. 对于更多关于 $\alpha$-Möbius 不变空间和 Möbius 不变空间的信息, 参见文献 [1,9,17]. 有了加权 $\alpha$ 复合的概念和 $\alpha$-Möbius 不变空间的概念, 我们就可以把文献 [3] 中给出的 $D_{\mu }^{p}$ 的 Möbius 不变子空间 $M(D_{\mu }^{p})$ 推广为 $D_{\mu }^{p}$ 的 $\alpha$-Möbius 不变子空间 $M^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$, 也可以把文献 [3] 中给出的 $D_{\mu }^{p}$ 的小 Möbius 不变子空间 $M_{0}(D_{\mu }^{p})$ 推广为 $D_{\mu }^{p}$ 的小 $\alpha$-Möbius 不变子空间 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$.

另一方面, 我们将复合算子的定义域由 Bloch 空间 $\mathcal{B}$ 推广到 Bloch 型空间 $\mathcal{B}^{\beta}$, 其中 $0< \beta< \infty$, 它的定义如下

可以验证, $ \|\cdot\|_{\beta}$ 是 $\mathcal{B}^{\beta}$ 上的一个范数, $\mathcal{B}^{\beta}$ 在该范数下成为 Banach 空间, 且 $\beta=1$ 时, $\mathcal{B}^{\beta}$ 即为 Bloch 空间 $\mathcal{B}$ 参见文献 [25].

综合以上两个方面, 本文将考虑从 Bloch 型空间 $\mathcal{B}^{\beta}$ 到加权 Dirichlet 型空间 $D_{\mu }^{p}$ 和它们的两类 $\alpha$-Möbius 不变子空间 $M^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$ 和 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$ 的复合算子的有界性, 紧性和弱紧性的刻画. 本论文的所有结果均推广了文献 [3] 中的相应结果.

下面阐述一下与本文相关的基本概念和相应的一些简单性质.

在接下来的部分, d$A$ 将表示 $\mathbb{D}$ 上的正规化 Lebesgue 面积测度

若 $\sigma: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{D}$ 是全纯双射且其逆映射亦全纯, 则称 $\sigma$ 为 $\mathbb{D}$ 上的一个全纯自同构, 所有 $\mathbb{D}$ 上的全纯自同构关于复合运算构成一个群, 称之为 $\mathbb{D}$ 上的全纯自同构群, 记为 $\operatorname{Aut}(\mathbb{D})$. 由 Schwarz 引理知, 任意 $\sigma \in \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$ 可表示为

同时, $\operatorname{Aut}(\mathbb{D})$ 中的元素能使 Schwarz-Pick 引理中的不等式取等, 即对任意 $\sigma \in \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$, 有

Bloch 型空间 $\mathcal{B}^{\beta}( 0< \beta< \infty)$ 如 (1.5) 式中所定义, 对任意$f\in \mathcal{B}^{\beta}$, 我们有

给定一个 $\mathbb{D}$ 上的正 Borel 测度 $\mu$ 和 $p\in[1,\infty)$, 定义加权 Dirichlet 型空间 $D_{\mu }^{p}$ 如下

考虑 $D_{\mu }^{p}$ 上的点赋值泛函 $\phi _{z }$, $z \in \mathbb{D}$, 它们由公式

所定义, 为了能使用引理 3.5, 我们要求以下条件成立

(C1)$D_{\mu }^{p}$ 是一个 Banach 空间.

(C2)$D_{\mu }^{p}$ 上的所有点赋值泛函连续.

注 2.1 当上述两个条件成立时, 利用一致有界原理可得: 对任意 $\mathbb{D}$ 的紧子集 $K$, 算子族 $(\phi_{z})_{z \in K}$ 在 $D_{\mu }^{p}$ 上一致有界.

接下来, 我们定义 $D_{\mu }^{p}$ 的 $\alpha$-Möbius 不变子空间 $M^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$$ (0< \alpha< \infty$) 如下

可以验证, $M^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$ 是 $D_{\mu }^{p}$ 的线性子空间, $ \| \cdot\|_{M^{\alpha}(D_{\mu }^{p})}$ 是 $M^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$ 上的范数.

我们也定义相应的小 $\alpha$-Möbius 不变子空间 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$ 如下

$M_{0}^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$ 是 $M^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$ 的线性子空间, 将 $M^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$ 的范数限制到 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$ 上, 则 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$ 成为赋范线性空间.

注 2.2 定义 $\rho(f)=\sup _{\sigma \in \operatorname{Aut}(\mathbb{D})}\left(\int_{\mathbb{D}}\left|\left(f \circ_{\alpha} \sigma\right)^{\prime}\right|^{p} \mathrm{~d} \mu\right)^{\frac{1}{p}}$, 容易验证 $\rho$ 是 $M^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$ 上的一个半范数. 固定 $f\in M^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$ 和 $\tau \in \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$, 根据 (1.4) 式, ${((f\circ_{\alpha}\tau)\circ_{\alpha}\sigma)}'={(f\circ_{\alpha}(\tau\circ\sigma))}'$ 对任何 $\sigma \in \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$ 都成立, 又因为 $\{\tau \circ \sigma: \sigma \in \operatorname{Aut}(\mathbb{D})\}=\operatorname{Aut}(\mathbb{D})$, 所以 $\rho(f\circ_{\alpha}\tau)=\rho(f)$, 所以 $M^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$ 在半范数 $\rho$ 下是 $\alpha$-Möbius 不变的.

若将上述 $\rho$ 限制到 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$ 上, 则得到 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$ 上的一个半范数, 记之为 $\rho_{0}$. 设 $f\in M_{0}^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$ 且 $\tau \in \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$, 由上所述知 $f\circ_{\alpha}\tau\in M^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$. 当 $|\sigma(0)| \rightarrow 1, \sigma \in \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$ 时有 $|(\tau\circ\sigma)(0)|\to1$, 再根据 (1.4) 式有

所以 $f\circ_{\alpha}\tau\in M_{0}^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$, 又由上一段所述知 $\rho_{0}(f\circ_{\alpha}\tau)=\rho_{0}(f)$, 所以 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$ 装备上半范数 $\rho_{0}$ 是 $\alpha$-Möbius 不变的.

注 2.3 如果 $\mu$ 是一个有限测度, 且 $\mathbb{D}$ 上恒等函数 $id$ 属于 $M^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$($M_{0}^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$), 那么每一个在一个真包含 $\mathbb{D}$ 的、以原点为中心的圆盘上解析的函数属于 $M^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$($M_{0}^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$).

注 2.4 在 $D_{\mu }^{p}$ 上所有点赋值泛函连续的条件下, 考虑 $M^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$ 上的点赋值泛函 $F_{z }$, $z \in \mathbb{D}$, 它由公式

所定义. 对任意 $z \in \mathbb{D}$,

其中 $\phi_{z}$ 由 (2.4) 式所定义, 所以 $F_{z }$ 连续, 即 $M^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$ 上所有点赋值泛函连续. 类似地, $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$ 上所有点赋值泛函连续.

命题 2.1 设 $0< \alpha < \infty$, $1\le p<\infty$, $\mu$ 是 $\mathbb{D}$ 上的正 Borel 测度, 且 $D_{\mu}^{p}$ 是一个 Banach 空间, $D_{\mu}^{p}$ 上的所有点赋值泛函连续, 则 $M^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$ 是 Banach 空间.

证 设 $(f_{n})$ 是 $M^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$ 中的柯西列, 那么, $M=\sup _{n \in \mathbb{N}}\left\|f_{n}\right\|_{M^{\alpha}\left(D_{\mu}^{p}\right)}<\infty.$. 对任意的 $\mathbb{D}$ 的紧子集 $K$, 根据注 2.1, 我们有

所以$(f_{n})$ 在 $K$ 上一致有界, 由 Montel 定理, $(f_{n})$ 有一个子列 $(f_{n_{k}})$ 在 $\mathbb{D}$ 的每个紧子集上一致收敛于某个 $f$. 根据 Weierstrass 定理, $f \in H(\mathbb{D})$ 且 $({f}'_{n_{k}})$ 逐点收敛于 ${f}'$, 于是, 根据 (1.2) 式, 当自然数 $k$ 固定时, $({((f_{n_{k}}-f_{n_{l}})\circ_{\alpha}\sigma)}')_{l}$ 逐点收敛于 ${((f_{n_{k}}-f)\circ_{\alpha}\sigma)}'$, 再由 Fatou 引理有

结合 $\lim_{k\to\infty}|f_{n_{k}}(0)-f(0)|=0$, 可得 $\lim_{k \to \infty}\left \| f_{n_{k}}-f \right \|_{M^{\alpha}(D_{\mu }^{p})}=0$. 又因为 $(f_{n})$ 是柯西列且 $(f_{n_{k}})$ 是 $(f_{n})$ 的子列, 所以 $\lim_{n \to \infty}\left \| f_{n}-f \right \|_{M^{\alpha}(D_{\mu }^{p})}=0$, 进而 $M^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$ 是一个 Banach 空间.

命题 2.2 设 $0< \alpha < \infty$, $1\le p<\infty$, $\mu$ 是 $\mathbb{D}$ 上的正 Borel 测度, 且 $D_{\mu}^{p}$ 是一个 Banach 空间, $D_{\mu}^{p}$ 上的所有点赋值泛函连续, 则 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$ 是 Banach 空间.

证 易证 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$ 是 $M^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$ 的闭子空间, 由命题 2.1 得, $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$ 是 Banach 空间.

引理 3.1 设 $0< \beta< \infty$, $1\le p<\infty$. 存在 $\mathcal{B}^{\beta}$ 中的函数 $f$ 和 $g$ 使得

证 根据文献 [10,定理2.1], 存在 $f_{1}, g_{1} \in \mathcal{B}^{\beta}$ 使得

于是

取 $f=2f_{1}$, 取 $g=2g_{1}$ 即可.

设 $X$ 是赋范线性空间, 我们把 $X$ 上的所有连续线性泛函记为 $X^{*}$, $X$ 上的弱拓扑被定义为由半范数族 $(p_{f})_{f\in X^{*}}$ 定义的拓扑, 其中

这是 $X$ 上的使得所有 $f\in X^{*}$ 都连续的拓扑中最弱的拓扑, 并且我们有: $X$ 中的网 $(x_{i})$ 在 $X$ 的弱拓扑下收敛于 $x\in X$ 当且仅当对于任意 $f\in X^{*}$ 都有 $f(x_{i})\to f(x)$ (参见文献 [6,第Ⅳ,Ⅴ章]). 设 $X,Y$ 是两个 Banach 空间, $T$ 是从 $X$ 到 $Y$ 的有界线性算子, 如果 $T$ 把 $X$ 中的闭单位球映成 $Y$ 的弱拓扑下的相对紧集, 则称 $T$ 是弱紧的, 由 Eberlein-Šmulian 定理 (参见文献 [6, 第 163 页]), $T$ 是弱紧的等价于: 对于 $X$ 中的任何有界序列 $(x_{n})$, $(Tx_{n})$ 有一个子列在 $Y$ 的弱拓扑下收敛.

本文处理复合算子的弱紧性将用到的主要工具是 Banach-Saks 定理的一个版本, 现将其陈述如下.

定理 3.1 设 $X$ 是一个由一个紧 Hausdorff 空间上的连续函数构成的空间, $Y$ 是 Banach 空间, $T:X\to Y$ 是弱紧线性算子, 则 $T$ 具有如下的 Banach-Saks 性质

$X$ 中的任何有界序列 $(x_{n})_{n=1}^{\infty}$ 有一个子列 $(x_{n_{k}})_{k=1}^{\infty}$ 使得序列 $(\left(\frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m} T x_{n_{k}}\right)_{m=1}^{\infty}$ 在 $Y$ 的范数拓扑下收敛.

证 参见文献[7,第 320 页].

为了应用定理 3.1, 我们先介绍两个引理. 以下我们用 $l^{\infty}$ 表示所有有界复数序列构成的空间, 其上的范数取为上确界范数.

引理 3.2$l^{\infty}$ 同构于一个由一个紧 Hausdorff 空间上的连续函数构成的空间.

证 参见文献 [3,引理 3]的证明过程.

引理 3.3 设 $0< \beta< \infty$, 则 $\mathcal{B}^{\beta}$ 与 $l^{\infty}$ 同构.

证 定义

可以验证, $\|\cdot\|_{\widetilde{\mathcal{B}^{\beta}}}$ 是 $\mathcal{B}^{\beta}$ 上的范数, 且 $\widetilde{\mathcal{B}^{\beta}}=\left\{f^{\prime}: f \in \mathcal{B}^{\beta}\right\}$. 先证 $\widetilde{\mathcal{B}^{\beta}}$ 与 $l^{\infty}$ 同构. 根据文献[11,推论 1.3], 如果 $\nu$ 是 $[0,1]$ 上的一个有界正 Borel 测度且满足下列条件

并且我们定义

就有 $B_{\infty,\infty}(\nu)$ 同构于 $l^{\infty}$. 我们取 d$\nu(r)=2\beta r(1-r^{2})^{\beta-1}{\rm d}r$, 可以验证 $\nu$ 是 $ [0,1]$ 上的一个有界正 Borel 测度且满足上述条件 (a)(b)(c)(d), 且

于是

所以$B_{\infty, \infty}(\nu)=\widetilde{\mathcal{B}^{\beta}}$, 所以 $\widetilde{\mathcal{B}^{\beta}}$ 同构于 $l^{\infty}$. 取 $\widetilde{\mathcal{B}^{\beta}}$ 到 $l^{\infty}$ 的一个同构映射 $T$, 现在我们作 $\mathcal{B}^{\beta}$ 到 $l^{\infty}$ 的一个同构映射 $T_{1}$ 如下:

对任意的 $f \in \mathcal{B}^{\beta}$, 令

容易验证, $T_{1}: \mathcal{B}^{\beta} \rightarrow l^{\infty}$ 是线性映射, 且对任意 $f \in \mathcal{B}^{\beta}$ 有

对任意 $f \in \widetilde{\mathcal{B}^{\beta}}$, 我们定义 $F(f) \in \mathcal{B}^{\beta}$ 如下

且对任意 $s\in l^{\infty}$, 定义$\widetilde{s}\in l^{\infty}$ 如下

于是, 对任意$s\in l^{\infty}$ 和任意 $f \in \mathcal{B}^{\beta}$, 我们有

所以 $T_{1}$ 是双射. 再由逆算子定理知, $T_{1}$ 是 $\mathcal{B}^{\beta}$ 到 $l^{\infty}$ 的同构映射, 所以 $\mathcal{B}^{\beta}$ 与 $l^{\infty}$ 同构.

综合定理 3.1, 引理 3.2 和引理 3.3, 我们有

引理 3.4 设 $0< \beta< \infty$, $Y$ 是 Banach 空间, $T: \mathcal{B}^{\beta} \rightarrow Y$ 是弱紧线性算子, 则 $\mathcal{B}^{\beta}$ 中的任何有界序列 $(f_{n})_{n=1}^{\infty}$ 有一个子列 $(f_{n_{k}})_{k=1}^{\infty}$ 使得序列 $\left(\frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m} T f_{n_{k}}\right)_{m=1}^{\infty}$ 在 $Y$ 的范数拓扑下收敛.

引理 3.5 (参见文献 [22,引理 3.7] 及其后面的注) 设 $X$ 和 $Y$ 是由 $\mathbb{D}$ 上解析函数构成的 Banach 空间, $\varphi$ 是 $\mathbb{D}$ 上的解析自映射, $C_{\varphi}:X\to Y$. 假设

(1) $X$ 上所有点赋值泛函连续;

(2) $Y$ 上所有点赋值泛函连续;

(3) 对任意 $X$ 中有界序列 $(f_{n})$, 由 $(f_{n})$ 在 $\mathbb{D}$ 的每个紧子集上一致收敛于某个 $f \in H(\mathbb{D})$ 可推出 $f\in X$.

那么, $C_{\varphi}$ 是紧算子当且仅当对任意 $X$ 中有界序列 $(g_{n})$, 只要 $(g_{n})$ 在 $\mathbb{D}$ 的每个紧子集上一致收敛于 $0$, 便有 $\lim_{n\to\infty}\Vert C_{\varphi}g_{n}\Vert_{Y}=0$. 实际上, (\Rightarrow) 部分只需 (2) 成立, ($\Leftarrow$) 部分只需 (1) 和 (3) 成立.

命题 4.1 设 $0< \beta< \infty$, $1\le p<\infty$, $\mu$ 是 $\mathbb{D}$ 上的正 Borel 测度, $D_{\mu}^{p}$ 是一个 Banach 空间,$D_{\mu}^{p}$ 上的所有点赋值泛函连续, $\varphi$ 是 $\mathbb{D}$ 上的解析自映射, 则下列陈述是等价的.

(a) $C_{\varphi}: \mathcal{B}^{\beta} \rightarrow D_{\mu}^{p}$;

(b) $C_{\varphi}$ 是从 $\mathcal{B}^{\beta}$ 到 $D_{\mu}^{p}$ 的有界算子;

(c)

证 我们将按$ (a) \Rightarrow (c) \Rightarrow (b) \Rightarrow (a) $的顺序进行证明.

$\boxed{\hbox{(a) ⇒ (c).}}$ 假设 $f\circ\varphi\in D_{\mu}^{p}$ 对所有 $f \in \mathcal{B}^{\beta}$ 成立, 由引理 3.1 知, 存在 $\mathcal{B}^{\beta}$ 中的函数 $f$ 和 $g$ 使得

从而有

于是

这就证明了 (c).

$\boxed{\hbox{(c) ⇒ (b).}}$ 假设

任取 $f \in \mathcal{B}^{\beta}$, 我们有

于是

同时, 根据 (2.3) 式我们有

所以

所以 $C_{\varphi}$ 是从 $\mathcal{B}^{\beta}$ 到 $D_{\mu}^{p}$ 的有界算子.

$\boxed{\hbox{(b) ⇒ (a).}}$ 这是平凡的.

命题 4.2 设 $0< \alpha,\beta< \infty$, $1\le p<\infty$, $\mu$ 是 $\mathbb{D}$ 上的正 Borel 测度, $D_{\mu}^{p}$ 是一个 Banach 空间,$D_{\mu}^{p}$ 上的所有点赋值泛函连续, $\varphi$ 是 $\mathbb{D}$ 上的解析自映射, 则下列陈述是等价的.

(a) $C_{\varphi}: \mathcal{B}^{\beta} \rightarrow M^{\alpha}\left(D_{\mu}^{p}\right)$;

(b) $C_{\varphi}$ 是从 $\mathcal{B}^{\beta}$ 到 $M^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 的有界算子;

(c)

证 我们将按 $(a) \Rightarrow (c) \Rightarrow (b) \Rightarrow (a)$ 的顺序进行证明.

$\boxed{\hbox{(a) ⇒ (c).}}$ 假设 $f\circ\varphi\in M^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 对所有 $f \in \mathcal{B}^{\beta}$ 成立, 由引理 3.1 知, 存在 $\mathcal{B}^{\beta}$ 中的函数 $f$ 和 $g$ 使得

从而有

于是, 再根据 (1.3) 式有

对 $\sigma$ 取上确界得

这就证明了 (c).

$\boxed{\hbox{(c) ⇒ (b).}}$ 假设

任取 $f \in \mathcal{B}^{\beta}$, 我们有

于是, 再根据 (1.3) 式有

同时, 根据 (2.3) 式我们有

所以

所以 $C_{\varphi}$ 是从 $\mathcal{B}^{\beta}$ 到 $M^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 的有界算子.

$\boxed{\hbox{(b) ⇒ (a).}}$ 这是平凡的.

因为我们是在一个相当一般的背景下进行考虑的, 所以我们需要举出在很多情况都有效的例子来确保我们考虑的情况不是平凡的. 下面的这个例子说明: 存在非常简单的 $\varphi$ 使得对任意正实数 $\alpha$, $C_{\varphi}$ 可以是从 $\mathcal{B}^{\alpha}$ 到 $D_{\mu}^{p}$ ($M^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$) 的有界算子, 也可以不是.

例 4.1 设 $0<\alpha <\infty$, $-1<\gamma<\infty$, $1\le p<\infty$, ${\rm d}\mu(z)=(1-|z|^{2})^{\gamma}{\rm d}A(z)$, 取 $\varphi$ 为 $\mathbb{D}$ 上的恒等函数, 那么下面的陈述是等价的.

(a) $C_{\varphi}$ 是从 $\mathcal{B}^{\alpha}$ 到 $D_{\mu}^{p}$ 的有界算子;

(b) $C_{\varphi}$ 是从 $\mathcal{B}^{\alpha}$ 到 $M^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 的有界算子;

(c) $p\alpha-\gamma<1$.

证 让我们使用命题 4.1 和命题 4.2, 由于

且利用等式 (2.2) 我们有

进行极坐标换元得

根据命题 4.1 和命题 4.2 知 (a) $\Leftrightarrow$ (b) $\Leftrightarrow$ (c).

为简洁起见,在本文的剩余部分, 我们把 $\{z \in \mathbb{D}:|(\varphi \circ \sigma)(z)|>r\}$ 简记为 $\{|\varphi\circ\sigma|>r\}$, 把 $\{z \in \mathbb{D}:|\varphi(z)|>r\}$ 简记为 $\{|\varphi|>r\}$. 注意到, 下面的定理中的测度 $\mu$ 并不要求是任何特别的形式, 特别地, $\mu$ 不需要是有限测度.

定理 4.1 设 $0< \alpha,\beta< \infty$, $1\le p<\infty$, $\mu$ 是 $\mathbb{D}$ 上的正 Borel 测度, $D_{\mu}^{p}$ 是一个 Banach 空间,$D_{\mu}^{p}$ 上的所有点赋值泛函连续, $\varphi$ 是 $\mathbb{D}$ 上的解析自映射, 假设 $C_{\varphi}$ 是从 $\mathcal{B}^{\beta}$ 到 $M^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 的有界算子, 则下列陈述是等价的.

(a) $C_{\varphi}$ 是从 $\mathcal{B}^{\beta}$ 到 $M^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 的紧算子;

(b) $C_{\varphi}$ 是从 $\mathcal{B}^{\beta}$ 到 $M^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 的弱紧算子;

(c)

由于 Bloch 空间 $\mathcal{B}$ 和 $\mathcal{B}^{\beta}$ 的定义区别, 文献 [3] 定理 1 $(b) \Rightarrow (c) $的证明中的 $z^{n}$ 和 $f(r_{n}z)$ 分别被换成了 $n^{\beta-1}z^{n}$ 和 $r_{n}^{\beta-1}f(r_{n}z)$, 选取子列的递归方式也做了调整.

证 我们将按 $(c) \Rightarrow (a) \Rightarrow (b) \Rightarrow (c) $的顺序进行证明.

$\boxed{\hbox{(c) ⇒ (a).}}$ 假设 (c) 成立, 为了利用引理 3.5 来说明 (a) 成立, 我们先说明引理 3.5 中的条件 (1) 和 (3) 成立. 根据 (2.3) 式, 对任意 $z \in \mathbb{D}$, 有

所以 $\mathcal{B}^{\beta}$ 上所有点赋值泛函有界. 设 $(f_{n})$ 是 $\mathcal{B}^{\beta}$ 中有界序列且 $(f_{n})$ 在 $\mathbb{D}$ 的每个紧子集上一致收敛于某个 $f \in H(\mathbb{D})$. 令 $M=\sup _{n \in \mathbb{N}}\left\|f_{n}\right\|_{\beta}<\infty$, 由于

令 $n\to\infty$ 并结合 Weierstrass 定理得

所以 $f \in \mathcal{B}^{\beta}$.

设 $(g_{n})$ 是 $\mathcal{B}^{\beta}$ 中有界序列且 $(g_{n})$ 在 $\mathbb{D}$ 的每个紧子集上一致收敛于 $0$. 令

其中 $M_{2}<\infty$ 是由命题 4.2 所得. 任取 $\varepsilon>0$, 根据 (4.2) 式, 存在 $r\in(0,1)$ 使得

对该 $r$, 由于 $r \overline{\mathbb{D}}=\{z \in \mathbb{D}:|z| \leq r\}$ 是 $\mathbb{D}$ 的紧子集, 根据对 $(g_{n})$ 的假设以及 Weierstrass 定理得: $({g}'_{n})$ 在 $r \overline{\mathbb{D}}$ 上一致收敛于 $0$. 于是存在 $N\in\mathbb{N}$ 使得 $n\ge N$ 时, 对任意 $z \in r \overline{\mathbb{D}}$, 有 $\left|g_{n}^{\prime}(z)\right| \leq \varepsilon^{\frac{1}{p}}$, 从而当 $n\ge N$ 时利用 (1.3) 式有

和

于是

所以

又因为 $\lim_{n\to\infty}C_{\varphi}g_{n}(0)=0$, 所以 $\lim_{n\to\infty}\Vert C_{\varphi}g_{n}\Vert_{M^{\alpha}(D_{\mu}^{p})}=0.$

根据引理 3.5, $C_{\varphi}$ 是从 $\mathcal{B}^{\beta}$ 到 $M^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 的紧算子.

$\boxed{\hbox{(a) ⇒ (b).}}$ 这是平凡的.

$\boxed{\hbox{(b) ⇒ (c).}}$ 我们分三步进行证明

步骤 1 我们来证明 $C_{\varphi}$ 的弱紧性蕴涵

我们先来验证 $(n^{\beta-1}z^{n})_{n=1}^{\infty}$ 是 $\mathcal{B}^{\beta}$ 中的有界序列. 直接计算得

令 $h_{n}(r)= (1-r^{2})^{\beta}n^{\beta}r^{n-1}$, 求导得

当 $0 \leq r \leq \sqrt{\frac{n-1}{2 \beta+n-1}}$ 时, ${h}'_{n}(r)\ge0$; 当 $\sqrt{\frac{n-1}{2 \beta+n-1}} \leq r<1$ 时, ${h}'_{n}(r)\le0$, 所以

所以 $(n^{\beta-1}z^{n})_{n=1}^{\infty}$ 是 $\mathcal{B}^{\beta}$ 中的有界序列. 我们以如下方式递归地作一个严格单调递增的正整数列 $u: \mathbb{N}^{*} \rightarrow \mathbb{N}^{*}$:

我们令

则 $(f_{n})_{n=1}^{\infty}$ 是 $\mathcal{B}^{\beta}$ 中的有界序列. 根据 (b) 和引理 3.4 有:存在 $(f_{n})_{n=1}^{\infty}$ 的一个子列 $(f_{n_{k}})_{k=1}^{\infty}$ 使得序列 $\left(\frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m} f_{n_{k}} \circ \varphi\right)_{m=1}^{\infty}$ 在 $M^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 的范数拓扑下收敛于某个 $g\in M^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$, 又根据注 2.4 $M_{\alpha}(D_{\mu }^{p})$ 上的所有点赋值泛函连续, 所以 $\left(\frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m} f_{n_{k}} \circ \varphi\right)_{m=1}^{\infty}$ 逐点收敛于 $g$. 另一方面, 对任意 $z\in\mathbb{D} $, 根据比式判别法, 级数 $\sum_{k=1}^{\infty}k^{\beta-1}|\varphi(z)|^{k}$ 收敛, 故而有

所以 $\left(\frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m} f_{n_{k}} \circ \varphi\right)_{m=1}^{\infty}$ 逐点收敛于 $0$, 所以 $g=0$, 于是

任取 $\varepsilon>0$, 根据 (4.5) 式, 存在 $m\ge 2$ 使得

即

对上述 $m\ge 2$, 注意到

且根据 (4.4) 式, 我们有

所以存在 $r_{0}\in(0,1)$ 使得对任意 $r\in(r_{0},1)$ 都有

于是对任意 $r\in(r_{0},1)$, 对任意 $\sigma \in \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$, 对任意$z\in\{|\varphi\circ\sigma|>r\}$, 都有

再结合 (4.6) 式, 我们有: 对任意 $r\in(r_{0},1)$,

于是 (4.3) 式成立.

步骤 2 接下来, 我们证明 (4.3) 式连同 $C_{\varphi}$ 的弱紧性蕴涵

任取 $f \in \mathcal{B}^{\beta}$, 选取开区间 $(0,1)$ 中一个严格递增、收敛于 $1$ 的序列 $(r_{n})_{n=1}^{\infty}$, 定义

则 $(f_{n})_{n=1}^{\infty}$ 逐点收敛于 $f$. 对任意 $n\ge1$ 有

由于

且序列 $(f_{n}(0))_{n=1}^{\infty}$ 有界 (因为 $(f_{n}(0))_{n=1}^{\infty}$ 收敛), 所以 $(f_{n})_{n=1}^{\infty}$ 是 $\mathcal{B}^{\beta}$ 中的有界序列. 根据 (b) 和引理 3.4, 存在 $(f_{n})_{n=1}^{\infty}$ 的一个子列 $(f_{n_{k}})_{k=1}^{\infty}$ 使得序列 $\left(\frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m} f_{n_{k}} \circ \varphi\right)_{m=1}^{\infty}$ 在 $M^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 的范数拓扑下收敛于某个 $g\in M^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$, 又根据注2.4, $M_{\alpha}(D_{\mu }^{p})$ 上的所有点赋值泛函连续, 所以 $\left(\frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m} f_{n_{k}} \circ \varphi\right)_{m=1}^{\infty}$ 逐点收敛于 $g$. 另一方面, 利用 $(f_{n})$ 逐点收敛于 $f$, 可得 $\left(\frac{1}{m} \sum_{k=1}^{m} f_{n_{k}} \circ \varphi\right)_{m=1}^{\infty}$ 逐点收敛于 $f\circ\varphi$. 所以 $g=f\circ\varphi$, 进而

任取 $\varepsilon>0$, 根据 (4.8) 式, 存在 $m\ge 1$ 使得

对该 $m$, 根据 (4.3) 式, 存在 $r_{0}\in(0,1)$, 使得当 $r>r_{0}$ 时有

于是, 当 $r>r_{0}$ 时, 根据 Minkowski 不等式有

所以

由于 $f$ 是在 $\mathcal{B}^{\beta}$ 中任取的, 所以 (4.7) 式成立.

步骤 3 最后, 我们来说明 (4.7) 式蕴涵 (c). 根据引理 3.1,存在 $\mathcal{B}^{\beta}$ 中的函数 $f$ 和 $g$ 使得

于是

再利用 (4.7) 式知上面最后一个式子在 $r\to 1$ 时趋向于 $0$, 于是

例 4.2 设 $0< \alpha,\beta< \infty$, $1\le p<\infty$, $\mu$ 是 $\mathbb{D}$ 上的正 Borel 测度 ($\mu$ 不一定是有限测度), 且 $D_{\mu}^{p}$ 是一个 Banach 空间,$D_{\mu}^{p}$ 上的所有点赋值泛函连续, 对任意满足 (4.1) 式的 $\mathbb{D}$ 上的解析自映射 $\varphi$, 只要 $\overline{\varphi(\mathbb{D})}$ 是 $\mathbb{D}$ 的紧子集 (这等价于存在 $c\in(0,1)$ 使得对任意 $z \in \mathbb{D}$ 有 $|\varphi(z)|\le c$), 便有 $C_{\varphi}:\mathcal{B}^{\beta}\to M^{\alpha}(D_{\mu }^{p})$ 是紧的 (等价地, 弱紧的), 因为定理 4.1 中的条件 (c) 能被平凡地验证 (注意到 $r>c$ 时, $\{|\varphi\circ\sigma|>r\}=\emptyset$). 一个明显的例子是 $\varphi(z)=az+b$, 其中 $|a|+|b|<1$, $a\ne0$, 且 $\varphi$ 满足 (4.1) 式.

定理 4.2 设 $0< \beta< \infty$, $1\le p<\infty$, $\mu$ 是 $\mathbb{D}$ 上的正 Borel 测度, $D_{\mu}^{p}$ 是一个 Banach 空间, $D_{\mu}^{p}$ 上的所有点赋值泛函连续, $\varphi$ 是 $\mathbb{D}$ 上的解析自映射. 如果 $C_{\varphi}:\mathcal{B}^{\beta}\to D_{\mu }^{p}$ 是有界的, 那么它是紧的.

证 设 $C_{\varphi}$ 是从 $\mathcal{B}^{\beta}$ 到 $D_{\mu}^{p}$ 的有界算子, 根据命题 4.1, 我们有

任取一个 $(0,1)$ 中的序列 $(r_{n})_{n}$ 满足 $\lim_{n\to\infty}r_{n}=1$, 定义

记 $\Omega_{n}$ 的特征函数为 $\chi_{\Omega_{n}}$, 我们有

且

根据勒贝格控制收敛定理,我们有

所以

下面我们利用引理 3.5 来说明 $C_{\varphi}:\mathcal{B}^{\beta}\to D_{\mu }^{p}$ 是紧的. 由定理 4.1 中 (c) \Rightarrow (a) 的部分知引理 3.5 中的条件 (1) 和 (3) 成立. 设 $(g_{n})$ 是 $\mathcal{B}^{\beta}$ 中有界序列且 $(g_{n})$ 在 $\mathbb{D}$ 的每个紧子集上一致收敛于 $0$. 令

任取 $\varepsilon>0$, 根据 (4.9) 式, 存在 $r\in(0,1)$ 使得

对该 $r$, 由于 $r \overline{\mathbb{D}}=\{z \in \mathbb{D}$ 是 $\mathbb{D}$ 的紧子集, 根据对 $(g_{n})$ 的假设以及 Weierstrass 定理得: $({g}'_{n})$ 在 $r \overline{\mathbb{D}}$ 上一致收敛于 $0$. 于是存在 $N\in\mathbb{N}$ 使得 $n\ge N$ 时, 对任意 $z \in r \overline{\mathbb{D}}$, 有 $\left|g_{n}^{\prime}(z)\right| \leq \varepsilon^{\frac{1}{p}}$, 从而当 $n\ge N$ 时有

和

于是

所以

又因为 $\lim_{n\to\infty}C_{\varphi}g_{n}(0)=0$, 所以

根据引理 3.5, $C_{\varphi}$ 是从 $\mathcal{B}^{\beta}$ 到 $D_{\mu}^{p}$ 的紧算子.

$C_{\varphi }:\mathcal {B}^{\beta }\to M_{0}^{\alpha }(D_{\mu }^{p})$ ($0< \alpha,\beta < \infty $) 的有界性, 紧性和弱紧性的刻画需要用到 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 的可分性. 让我们预先固定一个正实数 $\alpha$, 接下来我们将对 $\mu$ 进行一些限制以使得 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 具有可分性.

我们考虑具有形式 ${\rm d}\mu(z)=h(|z|){\rm d}A(z)$ 的正测度 $\mu$, 其中 $h:[0,1)\to[0,\infty)$ 是一个可积函数, 那么测度 $\mu$ 将是有限的. 我们称这样的 $\mu$ 为 $h$ 诱导的径向测度. 进一步地, 我们假设存在正常数 $\gamma$ 和 $C$ 使得

对任意 $z \in \mathbb{D}$ 和 $\sigma \in \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$ 成立. 定义

利用标准的换元: $z=\sigma(w)$, ${\rm d}A(z)=|{\sigma}'(w)|^{2}{\rm d}A(w)$, 我们有等式

对所有 $f \in H(\mathbb{D})$ 和 $\sigma \in \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$ 成立.

定理 4.3 设 $\mu$ 是一个由可积函数 $h:[0,1)\to[0,\infty)$ 诱导的径向测度, 那么下列陈述是等价的.

(a) $\mathbb{D}$ 上的恒等函数 $id$ 属于 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$;

(b) 所有多项式属于 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$;

(c) 以下两个条件同时成立

证 $\boxed{hbox{(a) ⇒ (c).}}$ 假设 $\mathbb{D}$ 上的恒等函数 $id$ 属于 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$. 根据 (4.12) 式, 并且注意到

且

有

且

$\boxed{\hbox{(c) ⇒ (b).}}$ 假设 (c) 成立. 令 $f(z)=z^{n}$, 有

且

所以 $f\in M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$. 由于 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 是 $H(\mathbb{D})$ 的线性子空间, 所以任何多项式作为单项式的线性组合属于 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$, 即 (b) 成立.

$\boxed{\hbox{(b) ⇒ (a).}}$ 这是平凡的.

定理 4.3 设 $\mu$ 是由一个满足 (4.10) 式的可积函数 $h:[0,1)\to[0,\infty)$ 诱导的径向测度. 假设恒等函数属于 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$, $f\in M^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$, 定义 $f$ 的伸缩 $f_{r}$ 如下

则下列陈述是等价的.

(a) $f$ 属于 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$;

(b) $\lim_{r\to1}\Vert f-f_{r}\Vert_{M^{\alpha}(D_{\mu}^{p})}=0$;

(c) $f$ 属于全体多项式构成的集合在 $M^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 中的闭包.

证 我们将按$ (a) \Rightarrow (b) \Rightarrow (c) \Rightarrow (a)$ 的顺序进行证明.

$\boxed{\hbox{(a) ⇒ (b).}}$ 假设 $f$ 属于 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$. 固定 $r\in (0,1)$, 那么 $f_{r}$ 在 $\mathbb{D}$ 上解析, 在 $\overline{\mathbb{D}}$ 上连续, 于是可以利用 Possion 核将 $f_{r}$ 写成如下形式

进一步有

固定 $\sigma \in \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$, 对任意的 $w \in \partial \mathbb{D}$, 我们定义

那么, 通过使用 (4.12), (4.13) 式和 Minkowski 不等式, 我们有

于是我们得到: 对任意 $r\in(0,1)$ 和 $\sigma \in \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$, 都有

由于 $\left\{\sigma_{w}^{-1}: \sigma \in \operatorname{Aut}(\mathbb{D}), w \in \partial \mathbb{D}\right\}=\operatorname{Aut}(\mathbb{D})$, 在 (4.14) 式中对 $\sigma \in \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$ 取上确界得

又因为对任意 $r\in(0,1)$ 都有 $f_{r}(0)=f(0)$, 所以

在 (4.14) 式的前半部分中取 $\sigma$ 为 $\mathbb{D}$ 上的恒等函数 $id$, 并且注意到对任意 $w \in \partial \mathbb{D}$,

我们得到

结合 $\operatorname{Aut}(\mathbb{D})$ 中元素的具体表达式 (2.1), 我们有

接下来, 我们假设 (b) 不成立, 于是存在一个常数 $\delta>0$, 一个单调递增趋于 $1$ 的序列 $(r_{n})_{n=0}^{\infty}\subset(0,1)$ 和一个序列 $\left(\sigma_{n}\right)_{n=0}^{\infty} \subset \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$ 使得

对所有 $n \in \mathbb{N}$ 成立.

对任意 $n \in \mathbb{N}$, 我们设

其中 $|\lambda_{n}|=1$, $|a_{n}|<1$. 由于 $\left((\lambda_{n},a_{n})\right)_{n=0}^{\infty}$ 是 $\mathbb{C}^{2}$ 中的有界序列, 所以存在收敛子列 $((\lambda_{n_{k}},a_{n_{k}}))_{k=0}^{\infty}$, 设该子列收敛于 $(\lambda,a)$, 则 $|\lambda|=1$ 且 $|a|\le1$. 令

容易看出, $(\sigma_{n_{k}})_{k=0}^{\infty}$ 逐点收敛于 $\sigma$, 并且, 若 $|a|<1$, 则 $\sigma \in \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$; 若 $|a|=1$, 则 $\sigma$ 恒等于一个模为 $1$ 的常数 $\lambda a$.

为简洁起见, 接下来, 我们将 $(r_{n_{k}})_{k}$ 和 $(\sigma_{n_{k}})_{k}$ 仍记为$(r_{n})_{n}$ 和 $(\sigma_{n})_{n}$.

情况 1 若 $|a|=1$, 则 $\lim_{n\to\infty}|\sigma_{n}(0)|=1$, 根据 (4.16) 式, 存在 $N\in\mathbb{N}$ 使得对任意 $n\ge N$ 都有

其中 $\sigma_{n,w}(z)=\sigma_{n}(\overline{w}z)$. 由 (4.14) 式和上式我们得到

对所有 $n\ge N$ 成立, 这与 (4.17) 式矛盾.

情况 2 若 $|a|<1$, 则 $|\sigma(0)|<1$, 取 ${r}'\in(\sigma(0),1)$, 由于 $\lim_{n\to\infty}|\sigma_{n}(0)|=|\sigma(0)|<{r}'$, 所以存在 $N\in \mathbb{N}$ 使得$|\sigma_{n}(0)|<{r}'$ 对任意 $n>N$ 成立. 取 $r=\max\{\sigma_{0}(0),\sigma_{1}(0),\cdots,\sigma_{N}(0),{r}'\}$, 则有 $|\sigma_{n}(0)|\le r$ 对任意 $n \in \mathbb{N}$ 成立, 因此对任意 $n \in \mathbb{D}$ 和任意 $z\in \mathbb{D}$ 有

取 $\gamma$ 为 (4.10) 式中所谈及的 $\gamma$, 记

通过定义

将 $h$ 径向地延拓到 $\mathbb{D}$. 根据公式 (4.12) 有

根据 (4.10), (4.11}) 式和 $D$ 的定义有

任取 $\mathbb{D}$ 的紧子集 $K$ 和 $\varepsilon>0$, 由于 $f$ 在 $K$ 上一致连续, 所以存在 $\eta>0$ 使得对任意 $w \in \mathbb{D}$, 只要 $|z-w|<\eta$, 便有 $|f(z)-f(w)|<\varepsilon$. 对上述 $\eta$, 由于 $\lim_{n\to\infty}r_{n}=1$, 所以存在 $N_{0} \in \mathbb{N}$ 使得 $n\ge N_{0}$ 时有 $|r_{n}-1|<\eta$, 于是, 当 $n\ge N_{0}$ 时, 对任意 $z\in K$ 有 $|r_{n}z-z|<\eta$, 从而 $|f(r_{n}z)-f(z)|<\varepsilon$, 所以 $(f_{r_{n}})_{n}$ 在 $\mathbb{D}$ 的每个紧子集上一致收敛于 $f$. 根据 Weierstrass 定理, $({f}'_{r_{n}})_{n}$ 逐点收敛于 ${f}'$. 于是

又因为

所以

由 Fatou 引理和 (4.15) 式, 我们得到

因此

又因为 ${\rm d}\mu=h{\rm d}A$ 且 $f\in M^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$,所以

由于

以及 (4.19), (4.20), 和 (4.21) 式, 我们可以使用勒贝格控制收敛定理的推广 Pratti 引理 (见文献 [19,第11章,命题 18]) 得到

这与 (4.17) 式矛盾. 这便结束了我们对 $(a) \Rightarrow (b)$ 的证明.

$\boxed{\hbox{(b) ⇒ (c).}}$ 假设 (b) 成立. 由于恒等函数属于 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$, 根据命题 4.3, 所有多项式属于 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$, 当然属于 $M^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$. 任取 $\varepsilon>0$, 根据 (b), 存在 $r\in(0,1)$ 使得 $\left\|f-f_{r}\right\|_{M^{\alpha}\left(D_{\mu}^{p}\right)}<\frac{\varepsilon}{2} $. 对该 $r$, 由于 ${f}'_{r}$ 在一个包含紧集 $\overline{\mathbb{D}}$ 的开集上解析且 $\overline{\mathbb{D}}$ 关于扩充复平面 $\mathbb{C}_{\infty}$ 的补集是连通的, 根据 Runge 定理 (参见文献[5,第 Ⅷ 章,1.7]), 存在复多项式 $g$ 使得

取 $g$ 的原函数 $G$ 使得 $G(0)=f_{r}(0)$, 于是

所以有

由于 $\varepsilon>0$ 是任取的, 所以 $f$ 属于全体多项式构成的集合在 $M^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 中的闭包.

$\boxed{\hbox{(c) ⇒ (a).}}$ 假设 (c) 成立. 由于恒等函数属于 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$, 根据命题4.3, 所有多项式属于 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$. 由于 $f$ 属于全体多项式构成的集合在 $M^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 中的闭包, 自然属于 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 在 $M^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 中的闭包, 而这就是 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 本身, 因为根据命题 2.2 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 是 $M^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 的闭子集.

推论 4.1 设 $\mu$ 是由一个满足 (4.10) 式的可积函数 $h:[0,1)\to[0,\infty)$ 诱导的径向测度. 如果恒等函数属于 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$, 那么全体多项式构成的集合在 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 中稠密, 特别地, $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 是可分的.

证 根据定理 4.3, 多项式集在 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 中稠密, 注意到任一多项式能被系数的实部和虚部均为有理数的多项式按照 $M^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 的范数来逼近, 从而由系数的实部和虚部均为有理数的多项式的可数性便得到 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 可分.

定理 4.4 设 $0< \alpha,\beta< \infty$, $1\le p<\infty$, $\mu$ 是 $\mathbb{D}$ 上的正 Borel 测度, $D_{\mu}^{p}$ 是一个 Banach 空间,$D_{\mu}^{p}$ 上的所有点赋值泛函连续, $\varphi$ 是 $\mathbb{D}$ 上的解析自映射. 假设 Banach 空间 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 是可分的, 那么下面的陈述是等价的.

(a) $C_{\varphi}$ 是从 $\mathcal{B}^{\beta}$ 到 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 的有界算子;

(b) $C_{\varphi}$ 是从 $\mathcal{B}^{\beta}$ 到 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 的弱紧算子;

(c) $C_{\varphi}$ 是从 $\mathcal{B}^{\beta}$ 到 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 的紧算子;

(d) 下面两个条件同时成立

证 我们将先证明 (a), (b), (c) 三者等价, 再证明 (a) 与 (d) 等价.

$\boxed{\hbox{(a) ⇒ (b).}}$ 假设 (a) 成立. 根据引理3.3, $\mathcal{B}^{\beta}$ 与 $l^{\infty}$ 同构, 因此每个从 $\mathcal{B}^{\beta}$ 到一个可分 Banach 空间的有界算子是弱紧的 (参见文献 [8,推论 3]), 特别地, $C_{\varphi}: \mathcal{B}^{\beta} \rightarrow M_{0}^{\alpha}\left(D_{\mu}^{p}\right)$ 是弱紧的.

$\boxed{\hbox{(b) ⇒ (c).}}$ 任取 $\mathcal{B}^{\beta}$ 中的有界序列 $(f_{n})_{n}$, 根据 $C_{\varphi}: \mathcal{B}^{\beta} \rightarrow M_{0}^{\alpha}\left(D_{\mu}^{p}\right)$ 的弱紧性, 我们可以选出 $(f_{n})_{n}$ 的一个子列 $(f_{n_{k}})_{k}$ 使得 $(C_{\varphi}f_{n_{k}})_{k}$ 在 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 的弱拓扑下收敛于某个 $g\in M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$, 于是 $(C_{\varphi}f_{n_{k}})_{k}$ 在 $M^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 的弱拓扑下也收敛于 $g$. 所以 $C_{\varphi}$ 作为从 $\mathcal{B}^{\beta}$ 到 $M^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 的线性算子也是弱紧的.

根据定理 4.1, $C_{\varphi}$ 作为从 $\mathcal{B}^{\beta}$ 到 $M^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 的线性算子是紧的, 所以对任何 $\mathcal{B}^{\beta}$ 中的有界序列 $(f_{n})_{n}$, 我们可以选出 $(f_{n})_{n}$ 的一个子列 $(f_{n_{k}})_{k}$ 使得 $(C_{\varphi}f_{n_{k}})_{k}$ 在 $M^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 的范数拓扑下收敛于某个 $g\in M^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$. 由于 $(C_{\varphi}f_{n_{k}})_{k}$ 是 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 中的序列且 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 是 $M^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 的闭子空间, 所以 $g\in M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$, 从而 $(C_{\varphi}f_{n_{k}})_{k}$ 在 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 的范数拓扑下收敛于 $g$. 所以 $C_{\varphi}$ 是从 $\mathcal{B}^{\beta}$ 到 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 的紧算子.

$\boxed{\hbox{(c) ⇒ (a).}}$ 这是平凡的.

$\boxed{\hbox{(a) ⇒ (d).}}$ 根据引理 3.1, 存在 $\mathcal{B}^{\beta}$ 中的函数 $f$ 和 $g$ 使得

于是, 对任意 $\sigma \in \operatorname{Aut}(\mathbb{D})$, 我们有

由于 $C_{\varphi}$ 把 $\mathcal{B}^{\beta}$ 映入 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$, 所以 $f\circ\varphi$ 和 $g\circ\varphi$ 属于 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$, 所以从上面的不等式我们得到

根据 (a), $C_{\varphi}$ 作为从 $\mathcal{B}^{\beta}$ 到 $M^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 的线性算子是有界的, 又根据命题 4.2, 我们有

$\boxed{\hbox{(d) ⇒ (a).}}$ 假设 (d) 成立. 根据命题4.2, 我们得到$C_{\varphi}$ 作为从 $\mathcal{B}^{\beta}$ 到 $M^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 的线性算子是有界的, 所以我们只需证明 $C_{\varphi}$ 把 $\mathcal{B}^{\beta}$ 映入 $M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$ 即可. 任取 $f \in \mathcal{B}^{\beta}$, 我们有

根据 (d) 的第一个条件, 我们有

于是 $f\circ\varphi\in M_{0}^{\alpha}(D_{\mu}^{p})$, 得证.