微分算子作为一类重要的无界线性算子, 在数学物理和量子力学等领域有着广泛应用.

其中, 微分算子谱理论是微分算子理论研究的核心内容之一^[1,2].

定义在度量图上的微分算子与度量图构成的整体被称为量子图^[3], 而周期量子图 (由周期度量图与周期微分算子构成) 在固体物理学和纳米技术中具有重要应用价值.

本文关注周期图上的 Schrödinger 算子 $A=-\Delta+q(x)$, Schrödinger 算子 $A$ 为图上的周期微分算子当且仅当势函数 $q(x)$ 为周期函数, 此时其谱具有带隙结构^[4]. 周期性介质常受到额外的杂质势函数 $\upsilon(x)$ 的扰动, 这种扰动会产生有限重数的离散特征值, 称为杂质特征值, 当杂质特征值出现在谱带中, 称为嵌入特征值^[5]. 嵌入特征值是一种特殊状态, 位于连续谱范围内, 但仍然表现为类似束缚态的局域化行为, 揭示了束缚态和散射态之间的微妙平衡^[6]. Fermi 面作为任意能级 $\lambda$ 处的等能面, 其几何性质与系统的物理特性密切相关. 特别地, Fermi 面的可约性与嵌入特征值的存在性即其相关特征函数的性质密切相关. Kuchment 和 Vaenberg^[7,8] 证明了量子图需要在满足 Fermi 面可约性的条件下, 局部扰动才能在嵌入连续谱的能量下产生具有无界支撑的平方可积特征函数.

为保证 Fermi 面的可约性, 文献 [9-11] 给出了一系列 Fermi 面可约的充分条件. Shipman 在 2014 年^[9]研究了一类能被对称分解的量子图的 Fermi 面的可约性, 证明了其 Fermi 面对于所有能级 $\lambda$ 都是可约的, 且扰动产生的嵌入特征值对应的特征函数的支撑集是无界的. 并且 Shipman 在 2019 年^[10]在前面的双层图的基础上, 将对称条件推广到不对称条件, 证明连接边上的算子势函数属于同一不对称类时任意能级 $\lambda$ 处的 Fermi 面都可约, 同时证明了对于石墨烯这种由每个周期只有两个顶点的二部图的两个副本连接得到的双层图, 不管连接边上的势函数是否对称, Fermi 面都是可约的. 此外 2021 年 Shipman 与 Fisher, Wei Li^[11] 继续构造了两类多层量子图, 证明了其 Fermi 面在任何能级下都可约为几个分量, 且文章末尾展示了如何在具有可约 Fermi 面的周期量子图中构造扰动, 从而在嵌入在连续谱中的能级处产生束缚态.

迄今为止, 所有具有可约 Fermi 面的量子图的构造都涉及多个耦合层. 本文在文献 [10] 的基础上, 通过给定周期量子图与连接图作笛卡尔积构造了两类多层的周期量子图, 将文献 [10] 中的连接边推广到连接图为两类有限图的情况, 证明了在给定周期量子图为基本域只有两个顶点的二部图条件下构造出的多层量子图的 Fermi 面可约, 并且对文献 [10] 和 [11] 第四节中基本域的选取做了条件补充, 为进一步研究这两类量子图的嵌入特征值的存在性和相关特征函数的性质打下基础.

为了方便阅读本文, 这一章我们简要介绍本文所涉及到的基本概念.

定义 2.1 图 $\Gamma$ 是一个有序二元组 ( $\mathcal{V},\mathcal{E}$), 其中 $\mathcal{V}=\mathcal{V}(\Gamma)$ 是图 $\Gamma$ 的顶点集, $\mathcal{E}=\mathcal{E}(\Gamma)$ 是图 $\Gamma$ 的边集.

集合 $\mathcal{E}$ 中的边 $e$ 是由顶点组成的无序集 $e=\{v,w\}$. 定义与 $\{v,w\}$ 相关的有序对 $(v,w)$ 和 $(w,v)$ 为相反方向的两条有向边. 对任意顶点 $v\in\mathcal{V}$, 令 $\vec{\mathcal{E}}(v)$ 表示与 $v$ 相关的有向边的集合, 方向为远离 $v$ 的方向,

因此, 如果 $e=(v,w)\in\vec{\mathcal{E}}(v)$, 那么 $\tilde{e}=(w,v)\in\vec{\mathcal{E}}(w)$. 符号 $e$ 可以表示边或有向边, 当需要区分无向边和有向边时, 也可以用 $\vec{e}$ 表示有向边.

定义 2.2 若给图 $\Gamma$ 每条边 $e$ 定义一个长度 $L_{e}$, 即 $L_{e}\in(0,+\infty]$, 则称图 $\Gamma$ 为度量图. 当 $L_{e}=+\infty$, 边为一条射线.

通过给底层图的每条边 $e=\{v,w\}\in\mathcal{E}$ 定义一个长度 $L_e$, 将 $e$ 与区间 $[0,L_e]$ 联系起来, $\Gamma$ 成为了度量图. 有向边 $\vec{e}=(v,w)$ 与坐标 $x_{\vec{e}}\in[0,L_e]$ 之间, $x_{\vec{e}}=0$ 对应顶点 $v$, $x_{\vec{e}}=L_e$ 对应顶点 $w$. 对边赋予长度后, 便可以在 $\Gamma$ 的任意边 $e$ 上定义标准函数空间.

定义 2.3 图 $\Gamma$ 上的平方可积函数空间 $L^{2}(\Gamma)$ 由在每条边上均平方可积的函数 $u|_{e}$ 组成, 且 $\Vert u \Vert ^{2}_{L^{2}(\Gamma)}=\sum _{e\in {E}}\Vert u|_{e} \Vert ^{2}_{L^{2}(e)},$ 即 $L^{2}(\Gamma)$ 是空间 $L^{2}(e)$ 的直和.

本文研究的定义在度量图上的 Shrödinger 算子作用形式如下

其中图上函数 $u$ 限制在边 $e$ 上记为 $u|_{e}$. 此时 $(\Gamma,A)$ 成为量子图.

下面给出自由阿贝尔群 $\mathbb{Z}^n$ 对度量图的群作用

定义 2.4 如果 $\Gamma$ 具有自由阿贝尔群 $G=\mathbb{Z}^n$ 的作用, 则无限组合图、度量图或量子图 $\Gamma$ 是周期性的 (或 $\mathbb{Z}^n$-周期性的), 即映射 $(g,x)\in G\times\Gamma\mapsto gx\in\Gamma$ 满足以下性质

(1) 群作用

$\bullet$ 对于任意的 $g\in G$, 映射 $x\mapsto gx$ 是 $\Gamma$ 的双射.

$\bullet$ 对于任意的 $x\in\Gamma$, 有 $0x=x$, 其中 $0\in G=\mathbb{Z}^n$ 是单位元.

$\bullet$ 对于任意的 $g_i\in G, x\in\Gamma$, 有 $(g_1g_2)x=g_1(g_2x)$.

(2) 连续性 对于任意的 $g\in G$, 从 $\Gamma$ 到自身的映射 $x\mapsto gx$ 是连续的.

(3) 忠实性 如果对于某些 $x\in\Gamma$, 有 $gx=x$, 则 $g=0$.

(4) 离散性 对于任意的 $x\in\Gamma$, 存在 $x$ 的邻域 $U$, 使得 $g\neq$ 时, 有 $gx\notin U$.

(5) 余紧性 轨道空间 $\Gamma/G$ 是紧的. 也就是说整个图可以通过一个紧子集的 $G$-位移得到.

(6) 结构保持

$\bullet$ $gu\sim gv$ 当且仅当 $u\sim v$. 特别地, $G$ 是双射作用在边集上的.

$\bullet$ 在度量图或量子图的情况下, 群作用保持边的长度: $L_{ge}=L_e$.

$\bullet$ 在量子图的情况下, 作用与哈密顿算子可交换, 特别地, 可以保持顶点条件.

定义 2.5 由于共紧性条件, 存在 $\Gamma$ 的紧致部分 $W$, 使得

$\bullet$ $W$ 的 $G$-位移的并覆盖整个 $\Gamma$:

$\bullet$ $W$ 的不同位移副本, 即当 $g_1\neq g_2\in G$ 对应的 $g_1W$ 和 $g_2W$, 只有有限多个共同点, 其中没有一个是顶点.

具有定义 2.5 中性质的紧子集 $W$ 是 $G$ 作用在 $\Gamma$ 上的基本域, 基本域 $W$ 不是唯一定义的.

对具有顶点集 $\mathcal{V}$ 和边集 $\mathcal{E}$ 的度量图 $\Gamma$ 赋予群 $\mathbb{Z}^n$ 作用, 且使得 $\Gamma/\mathbb{Z}^n$ 是一个有限图, $\Gamma$ 成为周期度量图.

设 $g\in\mathbb{Z}^n$ 对 $\Gamma$ 中的点 $x$ 的作用记为 $x\mapsto gx$ ( $x$ 可以在边的内部, 也可以在端点处). $v\mapsto gv$ 和 $e\mapsto ge$ 分别表示 $g\in\mathbb{Z}^n$ 对顶点和边的作用, 此群作用保持了顶点与边的关系. 用 $W$ 表示 $\mathbb{Z}^n$ 作用的基本域, $W$ 的顶点数和边数有限. 在度量图上定义 Schrödinger 算子 $A$, 算子 $A$ 与 $\mathbb{Z}^n$ 作用可交换, 算子 $A$ 在每条边 $e$ 上的作用形式为 $-D^2+q_e(x)$, 其中 $D^2=d^2/dx_{\vec{e}}^2$, $x$ 是 $e$ 上任意一点. $A$ 作用于所有定义在 $\Gamma$ 上的函数 $u=\{u_e\}_{e\in\mathcal{E}}$, 并且在每个顶点处满足 Robin 顶点条件

其中, $u_e$ 表示 $\Gamma$ 上的 $f$ 限制在 $e$ 上, 如果 $e=(v,w)$, 那么 $u_e'(v)$ 是 $u_e$ 在顶点 $v$ 处从 $v$ 指向 $w$ 的导数, 即 $u_e'(v)$ 是在 $x_e=0$ 处 $u_e$ 关于坐标 $x_e$ 的右导数. 此时 $(\Gamma,A)$ 成为周期量子图.

定义 2.6 图 $\Gamma$ 上的函数空间 $H^2(\Gamma)$ 为

其中 $u'$ 和 $u''=D^2u$ 在每条边上对坐标求导为关于坐标的右导数.

令 $q=\{q_e\}_{e\in\mathcal{E}}$, 每个 $e\in\mathcal{E}$ 的 $q_e\in L^2(e)$ 都是实值势函数. 于是下面给出算子 $A$ 的定义域及其作用形式,

此时 $A$ 在 $L^2(\Gamma)$ 上是自伴的^[4]. 算子 $A$ 作用在周期图上意味着对于所有的 $v\in\mathcal{V}$, $x\in e\in\mathcal{E}$, 和所有的 $g\in\mathbb{Z}^n$, 有 $\alpha_{gv}=\alpha_v$, $q_{ge}(gx)=q_e(x)$. 算子 $A$ 的 Floquet modes ( $A$ 和 $\mathbb{Z}^n$ 的同时特征函数)所在函数空间为

下面定义每条边上的 Dirichlet-to-Neumann (DtN) 映射: 对于给定方向为 $v$ 到 $w$ 的边 $e$, 其上有参数 $x\in[0,1]$, 令 $c_q(x)$ 与 $s_q(x)$ 是 $(-\dfrac{d^2}{dx^2}+q(x)-\lambda)u=0$ 的基解, 且满足初值条件

定义

对于满足 $-u''+q(x)u=\lambda u$ 的 $u(x)$, 有

定义 2.7 方向由 $v$ 到 $w$ 的边 $e$ 上的传递矩阵 $T_q(\lambda)$ 为将 $v$ 处的 Cauchy 数据 $(u(v),u'(v))$ 变为 $w$ 处的 Cauchy 数据$(u(w),u'(w))$ 的矩阵, 即

定义 2.8 方向由 $v$ 到 $w$ 的边 $e$ 上的 Dirichlet-to-Neumann (DtN) 矩阵$G_q(\lambda)$ 为将 Dirichlet 数据 $(u(v),u(w))$ 变为 Neumann 数据 $(u'(v),u'(w))$ 的矩阵, 即

通常通过将量子图简化为其对应组合图上的非线性 $\lambda$ 相关的特征值问题 $\mathfrak{A}(\lambda)\overline{u}=0$ 来研究关于 $u\in H_{\rm loc}^{2R}(\Gamma)$ 的特征值问题 $(A-\lambda)u=0$, 其中 $\mathfrak{A}(\lambda)$ 是作用于定义在 $\mathcal{V}(\Gamma)$ 上的函数的周期算子(即具有 $\mathbb{Z}^n$ 不变性), 同时要求 $\lambda$ 不是任意边上的 Dirichle 特征值, 即对于所有的 $e\in\mathcal{E}(\Gamma)$, $s_e(\lambda):=s_{q_e}(\lambda)\neq0$. 量子图 $(\Gamma, A)$ 的 Dirichlet 谱是由所有边上的 Dirichlet 特征值组成的集合. 对于周期量子图, 其基本域由有限个顶点和边组成, 其 Dirichlet 特征值组成的集合是离散的,

对于 $\lambda\notin\sigma_D(A)$, 方程 $(A-\lambda)u=0$ 与 $\mathfrak{A}(\lambda)\overline{u}=0$ 等价, 其中 $\overline{u}$ 是指将 $u$ 限制在 $\mathcal{V}(\Gamma)$ 上. 这种简化是通过调用 Dirichlet-to-Neumann 映射来完成的, 对于每个边 $e$, 仅根据函数 $u$ 在 $v$ 及其所有相邻顶点处的值来重写 Robin 条件. 可以得到,

由于算子 $\mathfrak{A}(\lambda)$ 的定义, 可以认为 $\overline{u}:\mathcal{V}(\Gamma)\rightarrow\mathbb{C}$ 是任意的. 综上, 有

$(A-\lambda)u=0\Leftrightarrow\mathfrak{A}(\lambda)\overline{u}=0,$算子 $\mathfrak{A}(\lambda)$ 称为量子图算子 $A$ 的 $\lambda$ 相关的简化组合图算子.

定义 2.9 给定一个函数 $u$, 其定义域 $\Gamma$ 在度量图中包含边上的点 (或者在组合图中只包含图的顶点集), 定义 $u$ 的 Floquet 变换为

对于 $z=(z_1,\cdots,z_n)\in(\mathbb{C}^*)^n$, 其中对于 $h\in\mathbb{Z}^n$ 有 $z^h=z^{h_1}\cdots z^{h_n}$.

Floquet 变换是关于图 $\Gamma$ 上的 $\mathbb{Z}^n$ 作用的傅立叶变换. 函数$u$ 经过 Floquet 变换得到的函数 $\hat{u}$ 是一个关于 $z$ 的 Laurent 级数形式, 其系数是 $u$ 的位移. 最重要的性质是它关于 $x$ 的准周期性

这使得 $\hat{u}(z,\cdot)$ 是具有特征值 $z^g$ 的 $\mathbb{Z}^n$ 作用的特征函数, $u\in\mathbb{Z}^n$.

定义 2.10 对于谱变量 $\lambda\in\mathbb{C}\backslash\sigma_D(A)$ 的任意固定值, $\lambda$ 处的 Floquet 面定义为

将其考虑为准动量 $k$ 的函数时, 它被称为 Fermi 面. $k=(k_1,\cdots,k_n)\in\mathbb{C}^n$, 满足 $z=(z_1,\cdots,$z_n)={\rm e}^{{\rm i}k}=({\rm e}^{{\rm i}k_1},\cdots,{\rm e}^{{\rm i}k_n})\in(\mathbb{C}\backslash\{0\})^n$, 且 $g\cdot k=2\pi\mathbb{Z}$, $g\in\mathbb{Z}^n$.

下文中, 将单层周期量子图记为 $(\mathring{\Gamma},\mathring{A})$, 其中顶点集 $\mathring{\mathcal{V}}$, 边集 $\mathring{\mathcal{E}}$ 以及势函数 $\{q_e\}_{e\in\mathring{\mathcal{E}}}$, 算子 $\mathring{A}$ 作用于定义在 $\mathring{\Gamma}$ 上的函数 $u=\{u_e\}_{e\in\mathring{\mathcal{E}}}$, 在每个顶点处满足 Robin 顶点条件 (2.1)

由上述单层周期量子图 $(\mathring{\Gamma},\mathring{A})$ 的几个不相交副本通过连接图连接起来构造出新的周期量子图 $(\Gamma,A)$, 量子图 $(\Gamma,A)$ 也被认为是单层周期图与连接图做笛卡尔积得到的.

当连接图为圈时, 与单层周期量子图 $(\mathring{\Gamma},\mathring{A})$ 做笛卡尔积得到双层量子图 $(\Gamma,A)$, 其边集与顶点集分别为

其中 $\mathcal{E}_c$ 是所有顶点处连接图上的边的集合, 记顶点 $v\in\mathring{\mathcal{V}}$ 处的连接图为圈 $\Gamma_v$. 将顶点 $v$ 处的连接图 $\Gamma_{v}$ 的两条边分别记为 $\{(v,1),(v,2),1\}$ 和 $\{(v,1),(v,2),2\}$. 图 $\Gamma$ 继承了 $\mathbb{Z}^n$ 的群作用, 其边和势函数继承了 $(\mathring{\Gamma},\mathring{A})$ 的两个副本, 即对于边 $e=\{(v,i),(w,i)\},i=1,2$, 势函数 $q_e=q_{\{v,w\}}$, 同时对于有向边 $((v,i),(w,i))$ 上的坐标可以记为 $x_{(v,w)}$. 连接图上的势函数是周期的, 即对于所有的 $g\in\mathbb{Z}^n, e\in\mathcal{E}_c$, $q_{ge}(gx)=q_e(x)$.

定义顶点 $v\in\mathring{\mathcal{V}}$ 处连接图圈 $\Gamma_v$ 的两条边 $\{(v,1),(v,2),1\}$ 和 $\{(v,1),(v,2),2\}$ 上的势函数分别为 $q_{\{(v,1),(v,2),1\}}=q_{v1}, q_{\{(v,1),(v,2),2\}}=q_{v2}$, 定义它的谱函数 $s_e(\lambda),c_e(\lambda)$ 分别为

定义 3.1 (双层量子图)给定一个具有群 $\mathbb{Z}^n$ 作用的量子图 $(\mathring{\Gamma},\mathring{A})$, 在连接图 $\Gamma_v$ 的边上定义势函数 $\{q_{vi},i=1,2,v_i\in\mathring{\mathcal{V}}\}$, 令势函数 $q_{vi}$ 在 $\mathbb{Z}^n$ 作用下保持不变. 如本节所述, 通过边上具有单位长度和势函数 $q_{vi}$ 的圈与单层周期量子图 $(\mathring{\Gamma},\mathring{A})$ 做笛卡尔积得到的周期量子图 $(\Gamma,A)$, 称为与 $(\mathring{\Gamma},\mathring{A})$ 和势 $q_{vi}$ 相关的双层量子图.

当连接图为正三边形时, 由单层周期量子图 $(\mathring{\Gamma},\mathring{A})$ 与正三边形做笛卡尔积构造出的新的周期量子图 $(\Gamma,A)$, 称为 “三层” 周期量子图. 其边集与顶点集分别为

其中 $\mathcal{E}_c$ 是所有顶点处连接图上的边的集合, 记顶点 $v\in\mathring{\mathcal{V}}$ 处的连接图为正三边形 $\Upsilon_{v}$, $\Upsilon_{v}$ 是由 $v$ 对应的三个顶点 $(v,1),(v,2),(v,3)$ 相连得到的. 将顶点 $v$ 处的连接图 $\Upsilon_{v}$ 上的三条边分别记为 $\{(v,1),(v,2)\}$, $\{(v,1),(v,3)\}$ 和 $\{(v,2),(v,3)\}$. 图 $\Gamma$ 继承了 $\mathbb{Z}^n$ 的群作用, 其边和势函数继承了 $(\mathring{\Gamma},\mathring{A})$ 的三个副本. 定义连接图正三边形 $\Upsilon_{v_i}$ 的三条边上的势函数分别为 $q_{i1},q_{i2},q_{i3}$, 对应的谱函数分别为 $s_{i1}(\lambda),s_{i2}(\lambda),s_{i3}(\lambda)$ 和 $c_{i1}(\lambda),c_{i2}(\lambda),c_{i3}(\lambda)$.

定义 3.2 ("三层" 量子图) 给定一个具有群 $\mathbb{Z}^n$ 作用的量子图 $(\mathring{\Gamma},\mathring{A})$, 在连接图 $\Upsilon_{v_i}$ 的边上定义势函数 $\{q_{v_i}=\{q_{i1},q_{i2},q_{i3}\},v_i\in\mathring{\mathcal{V}}\}$. 令势函数 $q_{v_i}$ 在 $\mathbb{Z}^n$ 作用下保持不变. 通过边上具有单位长度和势函数 $q_{v_i}$ 的正三边形与单层周期量子图 $(\mathring{\Gamma},\mathring{A})$ 做笛卡尔积得到的周期量子图 $(\Gamma,A)$, 称为与 $(\mathring{\Gamma},\mathring{A})$ 和势 $q_{v_i}$ 相关的 “三层” 周期量子图.

条件 1 与连接图做笛卡尔积的二部单层量子图需满足以下条件

1. 量子图可以将所有顶点分为两组, 一组红色顶点, 一组绿色顶点;

2. 量子图的每条边两端连接的都是不同颜色的顶点;

3. 量子图的基本域包含恰巧两个顶点, 一个红色顶点和一个绿色顶点;

4. 量子图中红色顶点的集合由红色顶点的所有平移 (通过 $\mathbb{Z}^n$ 作用) 组成, 绿色顶点的集合由绿色顶点的所有平移组成.令 $(\mathring{\Gamma},\mathring{A})$ 是一个二部周期量子图, 基本域有一红一绿两个顶点, 且满足上述条件1.

群 $\mathbb{Z}^2$ 通过向量 $p_1\vec{e_1}+p_2\vec{e_2}$ 的位移作用于单层周期图 $\mathring{\Gamma}$, 其中 $(p_1,p_2)\in\mathbb{Z}^2, \vec{e_1}=(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}), \vec{e_2}=(\frac{3}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2})$,

单层图上的算子 $\mathring{A}$ 对应的约简组合图算子 $\mathring{\mathfrak{A}}(\lambda)$ 经过 Floquet 变换得到的算子 $\hat{\mathring{\mathfrak{A}}}(\lambda,z)$ 是一个 $2\times2$ 矩阵, 算子 $\hat{\mathring{\mathfrak{A}}}(\lambda,z)$ 关于 $\lambda$ 是亚纯的, 并且是关于 $z_1,\cdots,z_n$ 的 Laurent 多项式. 由于图是二部的, 矩阵的对角线部分与 $z_1,\cdots,z_n$ 无关, 因此根据每条边的 DtN 映射可得

其中 $w,w'$ 是与 $\lambda$ 相关的关于 $z_1,\cdots,z_n$ 的 Laurent 多项式,

对于任意 $\lambda\in\mathbb{C}\backslash\sigma_D(A)$ 和 $\xi\in\mathbb{C}$, 定义代数曲线

当连接图为圈 $\Gamma_v$ 时, 令 $(\Gamma,A)$ 为 $(\mathring{\Gamma},\mathring{A})$ 与圈做笛卡尔积得到的双层周期量子图, 势函数如图 2(b) 基本域中所示. $j=1,2$ 时有

定理 4.1 令 $(\mathring{\Gamma},\mathring{A})$ 是一个二部周期量子图, 满足条件1, 量子图 $(\Gamma,A)$ 为 $(\mathring{\Gamma},\mathring{A})$ 通过双层量子图定义3.1 构造得到的双层周期量子图, 给定 $\lambda\in\mathbb{C}\backslash\sigma_D(A)$, Fermi 面 $\Phi_{\lambda}$ 是复合变量 $\xi=P(z_1,\cdots,z_n)$ 的二次多项式 $D_\lambda(\xi)$ 在 $(\mathbb{C}^*)^2$ 中的零集, 其中 $P(z)$ 是 Laurent 多项式. $D_\lambda(\xi)$ 作为 $\xi$ 的函数, 是矩阵 $R(\lambda)=B_1(\lambda)B_2(\lambda)$ 的特征多项式, 其中

证 写出图 2 基本域中的连接图每条边上的 DtN 映射, 边的方向如图所示, $i=1,2,$

并且基本域的四个顶点均满足 Robin 顶点条件 (1), 例如 $(v_2,1)$ 处满足

将连接图边上的 DtN 映射对应的导数值带入 Robin 顶点条件, 并结合单层算子 $\hat{\mathring{\mathfrak{A}}}(\lambda,z)$ (2) 式, 以 $\{(v_1,1),(v_1,2),(v_2,1),(v_2,2)\}$ 的顶点顺序写出 $(\Gamma,A)$ 对应的组合图算子 $\mathfrak{A}(\lambda)$ 经过 Floquet 变换后得到的算子

其中

矩阵的行列式为

$D_\lambda(\xi)=\det\hat{\mathfrak{A}}(\lambda,z)$ 为关于复合变量 $\xi=ww'$ 的二次多项式, 所以 Fermi 面 $\Phi_\lambda$ 可约为两个分量.

当连接图为正三边形 $\Upsilon_{v_i}$ 时, 令 $(\Gamma,A)$ 为 $(\mathring{\Gamma},\mathring{A})$ 与正三边形做笛卡尔积得到的 ``三层'' 周期量子图, 势函数如图 3(b) 基本域中所示. 同样, 当 $j=1,2,3$ 时有

定理 4.2 令 $(\mathring{\Gamma},\mathring{A})$ 是一个二部周期量子图, 满足条件1, 量子图 $(\Gamma,A)$ 为单层周期量子图 $(\mathring{\Gamma},\mathring{A})$ 通过定义 3.2 构造得到的 “三层” 周期量子图, 给定 $\lambda\in\mathbb{C}\backslash\sigma_D(A)$, Fermi 面 $\Phi_{\lambda}$ 是复合变量 $\xi=P(z_1,\cdots,z_n)$ 的三次多项式 $D_\lambda(\xi)$ 在 $(\mathbb{C}^*)^2$ 中的零集, 其中 $P(z)$ 是 Laurent 多项式. $D_\lambda(\xi)$ 作为 $\xi$ 的函数, 是矩阵 $R(\lambda)=B_1(\lambda)B_2(\lambda)$ 的特征多项式, 其中

证 写出图 3 基本域中连接图上每条边的 DtN 映射, 边的方向如图所示, $i=1,2,$

并且基本域的六个顶点均满足 Robin 顶点条件 (1), 例如 $(v_2,1)$ 处满足 $u'_a((v_2,1))+u'_b((v_2,1))+u'_c((v_2,1))+u'_{21}((v_2,1))+u'_{23}((v_2,1))=\alpha_2u((v_2,1)),$ 其他点同理. 将连接图边上的 DtN 映射对应的导数值带入 Robin 顶点条件, 并结合单层算子 $\hat{\mathring{\mathfrak{A}}}(\lambda,z)$ (2), 以 $\{(v_1,1),(v_1,2),(v_1,3),(v_2,1),(v_2,2),(v_2,3)\}$ 的顶点顺序写出 $(\Gamma,A)$ 对应的组合图算子 $\mathfrak{A}(\lambda)$ 经过 Floquet 变换后得到的算子

其中

矩阵的行列式为

为关于复合变量 $\xi=ww'$ 的三次多项式, 所以 Fermi 面 $\Phi_\lambda$ 可约为三个分量. 将满足条件 1 的单层周期量子图与正 $n$ 边形做笛卡尔积得到 $n$ 层周期量子图, 同理可以将上述定理结论推广到 $n$ 层周期量子图 Fermi 面是可约的.

推论 4.1 令 $(\mathring{\Gamma},\mathring{A})$ 是一个二部周期量子图, 满足条件 1, $(\Gamma,A)$ 为 $(\mathring{\Gamma},\mathring{A})$ 与正 $n$ 边形构造得到的 $n$ 层周期量子图, 给定 $\lambda\in\mathbb{C}\backslash\sigma_D(A)$, Fermi 面 $\Phi_{\lambda}$ 是复合变量 $\xi=P(z_1,\cdots,z_n)$ 的 $n$ 次多项式 $D_\lambda(\xi)$ 在 $(\mathbb{C}^*)^2$ 中的零集, 其中 $P(z)$ 是 Laurent 多项式. 此时其 Fermi 面 $\Phi_\lambda$ 可约为 $n$ 个分量.

注 4.1 对于基本域只有一个顶点的单层图, 也可以将其作为二部图处理. 这种情况下, 基本域选取时可以不选择它的最小重复单位一个顶点, 而选择两个顶点, 并且满足条件 1, 同样可用此节的方法证明其对应的 “三层” 图具有可约 Fermi 面.

例 4.1 基本域为一个顶点的网格图 $\mathring{\Gamma}$, 将其作为二部图处理, 图和基本域如图 4 所示. 令 $(\mathring{\Gamma},\mathring{A})$ 是一个二部周期量子图, 基本域有一红一绿两个顶点. 群 $\mathbb{Z}^2$ 通过向量 $p_1\vec{e_1}+p_2\vec{e_2}$ 的位移作用于网格图 $\mathring{\Gamma}$, 其中

根据每条边上的 DtN 映射, 可以求出算子 $\mathring{A}$ 对应的约简组合图算子 $\mathring{\mathfrak{A}}(\lambda)$ 经过 Floquet 变换后的算子 $\hat{\mathring{\mathfrak{A}}}(\lambda,z)$,

其中 $w,w'$ 仍然是与 $\lambda$ 相关的关于 $z_1,\cdots,z_n$ 的 Laurent 多项式,

于是由定理4.2 知, 通过网格图 $\mathring{\Gamma}$ 与正三边形做笛卡尔积得到的 “三层图” 的 Fermi 面是可约的.

本文通过笛卡尔积构造了两类周期量子图, 分别为与圈做笛卡尔积得到的双层量子图和与正三边形做笛卡尔积得到的 “三层” 量子图, 证明了当给定的单层周期量子图的基本域只有两个顶点且满足条件 1 时两类周期量子图的 Fermi 面都是可约的, 并且对基本域的选取进行了条件补充. 在本文 Fermi 面可约的基础上可以进一步研究这两类笛卡尔积量子图嵌入特征值的存在性及相关性质.