众所周知, Bakhtin^[1] 在 1989 年引进了 $b$-度量空间的概念, 并研究了 $b$-度量空间的若干基本性质, $b$-度量空间是度量空间的一个有趣推广. Czerwik^[2] 在 1998 年将常数 $s=2$ 扩大到 $s \geq 1$, 改进了 $b$-度量空间的概念. 迄今为止, $b$-度量空间引起众多学者的广泛关注和深入探讨, 并做出了大量的不动点结果, 读者可参阅文献 [3-6]. 设 $(X,d)$ 是一个完备的度量空间, $F:X \to X$ 是一个映射, 满足

其中 $\xi\in [0,1)$ 是一个常数, 则 $F$ 在 $X$ 中存在唯一的不动点 $x^*$, 且 $\forall x_0 \in X$, 点列 $\{F^n x_0\}$ 都收敛到 $x^*$. 这是著名的 Banach 不动点定理, 它在多个数学分支中, 包括解方程、优化问题和博弈论等领域, 都有着重要的应用. 其中满足特定条件 (1.1) 式的映射 $F:X \to X$ 被称为压缩映射. 另一方面, 尽管 Banach 不动点定理具有重大意义, 但它仅适用于连续映射的情况. 换言之, 所有满足(1.1)式的映射 $F:X \to X$ 在 $(X,d)$ 上是连续的. 因此，一个自然而然的问题是, 是否有可能将 Banach 不动点定理扩展到不一定是连续的映射上? 需要注意的是, 如果映射 $F$ 在 $(X,d)$ 上不是连续的, 那么 $F$ 不是一个压缩映射. 这一问题已经引起了一些数学家的关注和兴趣, 如 Kannan^[7], Chatterjee^[8], Reich^[9], Ćirić^[10] 得到的不动点结果分别对以下这几类映射仍是成立的.

(i) 设 $F:X\to X$ 是一个映射, 满足不等式

其中 $\xi \in \left[0, \frac{1}{2}\right)$ 是一个常数;

(ii) 设 $F:X\to X$ 是一个映射, 满足不等式

其中 $\xi \in \left[0, \frac{1}{2}\right)$ 是一个常数;

(iii) 设 $F:X\to X$ 是一个映射, 满足不等式

其中 $\xi_1,\xi_2, \xi_3\geq 0$, $\xi_1+\xi_2+\xi_3<1$;

(iv) 设 $F:X\to X$ 是一个映射, 满足不等式

其中 $\xi\in[0,1)$ 是一个常数.

Huang 等^[11]在完备度量空间框架下, 借助映射的弱 Picard 连续性, 证明了一类满足 $p$-型压缩条件的映射族必然存在唯一不动点. 基于上述结果, 本文首先定义了 $(p,\xi)$-型压缩映射的概念, 然后在 $b$-度量空间上证明了 $(p,\xi)$-型压缩映射存在不动点, 同时还通过实例对所得结果进行了验证.

在深入探讨本文主要结果之前, 将先行介绍本文采用的符号, 并简要回顾相关基础定义与定理. 在本研究中, 我们分别定义 $\mathbb{N}$ 为非负整数的集合、$\mathbb{N}^*$ 为正整数的集合, 同时 $X$ 是任意一个非空的集合. 对于给定的映射 $F:X\to X $, 我们用 $\{F^n\}$ 来表示由 $ F^n: X \to X $ 生成的序列, 具体定义如下

其中 $\forall x \in X, \; n \in \mathbb{N}$.

定义 1.1^[2] 设 $X$ 是一个非空集, 如果 $d:X\times X\to[0,+\infty)$ 满足下列条件

(1) $d(x,y)\geq 0, \quad d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y \quad (\forall x,y \in X)$;

(2) $d(x,y) = d(y,x) \quad (\forall x,y \in X)$;

(3) $d(x,y) \leq s[d(x,z) + d(z,y)] \quad (\forall x,y,z \in X)$,

其中 $s \geq 1$ 为常数, 那么称 $d$ 为 $X$ 上的一个 $b$-度量, 而称 $(X,d)$ 为$b$-度量空间.

注 1.1 若 $X$ 与 $d$ 满足上述条件, 且取 $s = 1$, 则称 $d$ 为 $X$ 上的一个度量, 而称 $(X,d)$ 为度量空间.

注 1.2 每个度量空间都是 $b$-度量空间, 但反过来不一定成立, 参见文献 [2].

定义 1.2^[11] 设映射 $F: X \to X$ 满足以下条件: 若 $\exists x,y \in X$, 使得

就存在 $\{F^n x\}$ 的一个子列 $\{F^{n_j} x\}$, 使得

则称 $F$ 在 $(X,d)$ 上是弱 Picard 连续的.

注 1.3 显然, 若 $F: X \to X$ 在 $(X,d)$ 上是连续的, 则 $F$ 在 $(X,d)$ 上是弱 Picard 连续的. 其逆命题未必成立. 以下是一个例证.

例 1.1 设 $F: [0,1] \to [0,1]$ 是一个映射, 且

对任意的 $x,y\in[0,1]$, 定义 $d(x,y) = |x - y|.$ 显然 $F$ 在点 $x = 1$ 处是不连续的. 注意到 $\forall n \in \mathbb{N}^*$, 有

从而对任意 $x\in [0,1]$, 有 $\lim\limits_{n \to \infty} d(F^n x, 0) = 0.$

因此, $F$ 在 $( [0,1], d)$ 上是弱 Picard 连续的.

定义 1.3^[15] 设 $(X,d)$ 是一个带有系数 $s \geq 1$ 的 $b$-度量空间, $\{x_n\}$ 是 $X$ 中的一个序列.

(1) 若 $\lim\limits_{n \to \infty} d(x_n, x) = 0$, 则称序列 $\{x_n\}$ 收敛于 $x$;

(2) 若 $\lim\limits_{n,m \to \infty} d(x_n, x_m) = 0$, 则称序列 $\{x_n\}$ 为 Cauchy 列;

(3) 若对 $X$ 中的每一个 Cauchy 列 $\{x_n\}$ 都在 $X$ 中收敛, 则称 $(X,d)$ 是完备的.

引理 1.1^[16,17] 设 $(X,d)$ 是一个 $b$-度量空间, 点列 $\{x_n\} \subset X$. 若存在 $r \in [0,1)$, 使得 $\forall n \in \mathbb{N}$, 有

则 $\{x_n\}$ 是 $X$ 中的 Cauchy 列.

定义 2.1 设 $(X,d)$ 是一个系数 $s \geq 1$ 的 $b$-度量空间, $F: X \to X$ 是一个映射. 如果存在 $\xi \in [0,1)$, 使得 $\forall x, y \in X$, 有

其中 $p \geq 1$ 是常数, 那么称 $F$ 是一个 Kannan $(p,\xi)$-型压缩映射.

定理 2.1 设 $(X,d)$ 是一个完备的 $b$-度量空间, $F:X\to X$ 是一个 Kannan $(p,\xi)$-型压缩映射, 其中 $\xi \in \left[0, \max\left\{\frac{1}{2}, \frac{1}{s^p}\right\}\right)$, 且 $F$ 是弱 Picard 连续的, 则 $F$ 在 $X$ 中存在不动点, 并且 $\forall x_0 \in X$, 点列 $\{F^n x_0\}$ 都收敛到此不动点.

证

$\forall x_0 \in X$, 构造一个点列 $\{x_n\} \subset X$, 适合 $x_n = F^n x_0$ ($n = 0, 1, 2, \cdots$). 由 (2.1) 式可得

即

再由 (2.1) 式可得

即

因此, 由 (2.2) 式和 (2.3) 式可知

又由 (2.1) 式得到

从而

即 $d(x_n, x_{n+1}) \leq \xi^{\frac{n}{p}} \lambda_0^{\frac{1}{p}},$ 其中 $\lambda_0 = d^p(x_1, x_0) + d^p(x_2, x_1).$

下证当 $\xi \in \left[0, \max\left\{\frac{1}{2}, \frac{1}{s^p}\right\}\right)$ 时, $\{x_n\}$ 是 $X$ 中的一个 Cauchy 列. 分两种情况讨论如下

(i) 当 $s^p \geq 2$ 时, 则 $\xi \in \left[0, \frac{1}{2}\right)$, 于是 $\frac{\xi}{1-\xi} < 1$. 由 (2.1) 式可得

从而 $d^p(x_{n+1}, x_n) \leq \xi [d^p(x_n, x_{n-1}) + d^p(x_{n+1}, x_n)],$ 于是

因此由引理 1.1 知, $\{x_n\}$ 是 $X$ 中的一个 Cauchy 列;

(ii) 当 $1 \leq s^p < 2$ 时, 则 $\xi \in \left[0, \frac{1}{s^p}\right)$. $\forall n, m \in \mathbb{N}$, $n > m$, 由拟三角不等式可得

故 $\{x_n\}$ 是 $X$ 中的一个 Cauchy 列. 由于 $(X,d)$ 完备, 故 $\exists x^* \in X$, 使得

由 $F$ 的弱 Picard 连续性可知, 存在 $\{F^n x_0\}$ 的子列 $\{F^{n_j} x_0\}$, 使得

因此, 由 (2.4) 式和 (2.5) 式可得 $x^* = F x^*$, 即 $x^*$ 是 $F$ 的不动点.

注 2.1 利用定理 2.1 的条件不易得到 $F$ 有唯一不动点 $x^*$. 事实上, 若 $y^*$ 也是 $F$ 的不动点, 则由 (2.1) 式可知

从而

又由于 $\xi \in \left[0, \max\left\{\frac{1}{2}, \frac{1}{s^p}\right\}\right)$, 有 $d^p(x^*, x^*) + d^p(y^*, y^*) = 0,$ 此式不利用定理 2.1 的条件也是显然的, 故无法得到 $x^*$ 是 $F$ 的唯一不动点.

推论 2.1 设 $(X,d)$ 是一个系数 $s \geq 1$ 的 $b$-度量空间, $F: X \to X$ 是一个 Kannan $(p,\xi)$-型压缩映射, 其中 $\xi \in \left[0, \max\left\{\frac{1}{2}, \frac{1}{s^p}\right\}\right)$, 且 $F$ 是连续的, 则 $F$ 在 $X$ 中存在不动点. 并且 $\forall x_0 \in X$, 点列 $\{F^n x_0\}$ 都收敛到此不动点.

证 由于 $F$ 在 $(X,d)$ 上连续, 故由定理 2.1 和注 1.3 即证.

推论 2.2 设 $(X,d)$ 是一个完备的度量空间, $F: X \to X$ 是一个 Kannan $(p,\xi)$-型压缩映射, 其中 $\xi \in [0,1)$, 且 $F$ 是弱 Picard 连续的, 则 $F$ 在 $X$ 中存在不动点. 并且 $\forall x_0 \in X$, 点列 $\{F^n x_0\}$ 都收敛到此不动点.

例 2.1 设 $F: [0,1] \to [0,1]$ 是一个映射, 且

对任意的 $x,y\in [0,1]$, 定义 $d(x,y) = \frac{|x-y|}{4}.$ 注意到 $F$ 在点 $x=1$ 处是不连续的, 故 $F$ 不是一个压缩映射. 因此, Banach 不动点定理在本例题中不适用. 现计算比率

考虑下列四种情形.

情形 1 设 $0 \leq x, y < 1$, 则

情形 2 设 $x = y = 1$, 则

情形 3 设 $0 \leq x < 1, y = 1$, 则

情形 4 设 $x = 1, 0 \leq y < 1$, 则

从上述计算中可以得到

从而 $F$ 满足 (2.1) 式且 $p=1$, $\xi = \frac{1}{2}$. 另一方面, $\forall x \in [0,1]$, 有 $F^n x = 0\quad (n \geq 2),$ 从而 $F$ 是弱 Picard 连续的, 因此定理 2.1 的条件均被满足, 故其结论成立, 而且 $F$ 的不动点 $x^* = 0$.

例 2.2 设 $F: [0,1] \to [0,1]$ 是一个映射, 且

对任意的 $x,y\in [0,1]$, 定义 $d(x,y) = |x-y|.$ 注意到 $F$ 在点 $x=1$ 处是不连续的, 故 $F$ 不是一个压缩映射. 因此, Banach 不动点定理在本例题中不适用. 考虑下列四种情形.

情形 1 设 $0 \leq x, y < 1$, 由于

和 $F( [0,1]) \subset [0,1)$, 则由中值定理可得

情形 2 设 $x = y = 1$, 因为 $F1 = F0$, 所以

情形 3 设 $0 \leq x < 1, y = 1$, 则由中值定理可得

情形 4 设 $x = 1, 0 \leq y < 1$, 从而

因此, 从上述讨论中可以得到 $F$ 满足 (2.1) 式且 $p=1$, $\xi = \frac{1}{3}$. 此外, $\forall x \in [0,1]$, 可得 $\{F^n x\} \subset [0, \frac{1}{3}]$. 由于 $F$ 在 $\left[0, \frac{1}{3}\right]$ 上是连续的, 若对某些 $x, y \in [0,1]$, 有 $\lim\limits_{n \to \infty} d(F^n x, y) = 0,$ 则 $y \in \left[0, \frac{1}{3}\right]$ 且

$\lim\limits_{n \to \infty} d(F(F^n x), Fy) = 0,$ 从而 $F$ 在 $( [0,1], d)$ 上是弱 Picard 连续的, 故 $F$ 有唯一的不动点 $x^* \approx 0.2576$, 见图 1.

定义 2.2 设 $(X,d)$ 是一个 $b$-度量空间, $F: X \to X$ 是一个映射. 如果存在 $\xi \in [0,1)$, 使得 $\forall x, y \in X$, 有

其中 $p \geq 1$ 是常数, 那么称 $F$ 是一个 Chatterjee $(p,\xi)$-型压缩映射.

定理 2.2 设 $(X,d)$ 是一个完备的 $b$-度量空间, $F: X \to X$ 是一个 Chatterjee $(p,\xi)$-型压缩映射, 其中 $\xi \in [0,1)$, 且 $F$ 是弱 Picard 连续的, 则 $F$ 在 $X$ 中存在不动点. 并且 $\forall x_0 \in X$, 点列 $\{F^n x_0\}$ 都收敛到此不动点.

证 $\forall x_0 \in X$, 构造一个点列 $\{x_n\} \subset X$, 适合 $x_n = F^n x_0$ ($n = 0, 1, \cdots$). 在 (2.6) 式中取 $(x, y) = (x_{n-1}, x_{n-1})$, 可得

从而

于是 $d^p(x_{n+1}, x_n) \leq \xi d^p(x_n, x_{n-1}),$ 即 $d(x_{n+1}, x_n) \leq \xi^{\frac{1}{p}} d(x_n, x_{n-1}).$ 因此由引理 1.1 知, $\{x_n\}$ 是 $X$ 中的一个 Cauchy 列. 由于 $(X,d)$ 完备, 故 $\exists x^* \in X$, 使得

由 $F$ 的弱 Picard 连续性可知, 存在 $\{F^n x_0\}$ 的子列 $\{F^{n_j} x_0\}$, 使得

因此, 由 (2.7) 式和 (2.8) 式可得 $x^* = F x^*$, 即 $x^*$ 是 $F$ 的不动点.

下证 $x^*$ 是 $F$ 的唯一不动点. 现假设 $y^*$ 也是 $F$ 的不动点, 则由 (2.6) 式有

从而 $d^p(x^*, y^*) + d^p(y^*, x^*) \leq \xi [d^p(x^*, y^*) + d^p(y^*, x^*)],$ 即 $d^p(x^*, y^*) \leq \xi d^p(x^*, y^*).$

因为 $\xi \in [0,1)$, 所以由上式可得 $x^* = y^*$. 因此, $F$ 有唯一的不动点 $x^* \in X$.

推论 2.3 设 $(X,d)$ 是一个 $b$-度量空间, $F: X \to X$ 是一个 Chatterjee $(p,\xi)$-型压缩映射, 其中 $\xi \in [0,1)$, 且 $F$ 是连续的, 则 $F$ 在 $X$ 中存在不动点. 并且 $\forall x_0 \in X$, 点列 $\{F^n x_0\}$ 都收敛到此不动点.

证 由于 $F$ 在 $(X,d)$ 上连续, 故由定理 2.2 和注 1.3 即证.

推论 2.4 设 $(X,d)$ 是一个度量空间, $F: X \to X$ 是一个 Chatterjee $(p,\xi)$- 型压缩映射, 其中 $\xi \in [0,1)$, 且 $F$ 是弱 Picard 连续的, 则 $F$ 在 $X$ 中存在不动点. 并且 $\forall x_0 \in X$, 点列 $\{F^n x_0\}$ 都收敛到此不动点.

注 2.2 由定理 2.2 易得著名的 Banach 压缩映射原理. 事实上, 设 $p = 1$ 且 $F^2 x = Fx$, $F^2 y = Fy$. 此时, (2.6) 式退化为

即 $d(Fx, Fy) \leq \xi d(x, y).$

这表明 $F$ 是一个 Banach 压缩映射.

例 2.3 设 $X = \{0, 1, 2\}$, $F: X \to X$ 是一个映射, 且 $F0 = 0, F1 = 0, F2 = 1.$ 对任意 $x, y \in X$, 定义 $d(x,y) = |x - y|.$ 注意到 $\frac{d(F1, F2)}{d(1, 2)} = \frac{d(0, 1)}{d(1, 2)} = 1,$ 从而任意 $x, y \in X$, 不存在 $\xi \in [0,1)$ 使得 Banach 不动点定理成立. 因此, Banach 不动点定理在本例题中不适用. 现计算比率

由 $F$ 的定义可知

又由 $R(x,y)$ 对称, 故考虑下列三种情形.

情形 1 设 $(x, y) = (0, 1)$, 则

情形 2 设 $(x, y) = (0, 2)$, 则

情形 3 设 $(x, y) = (1, 2)$, 则

从上述计算中可以得到 $F$ 满足 (2.6) 式且 $p = 1$, $\xi = \frac{1}{2}$.

另一方面, $\forall x \in X$, 有 $F^n x = 0\quad (n \geq 2)$, 从而 $F$ 是弱 Picard 连续的, 因此定理 2.2 的条件均被满足, 故其结论成立, 而且 $F$ 的不动点 $x^* = 0$.

例 2.4 设 $F: [0,1] \to [0,1]$ 是一个映射, 且

对任意 $x,y\in [0,1]$, 定义 $d(x,y) = |x - y|.$ 注意到 $F$ 在点 $x = 1$ 处是不连续的, 故 $F$ 不是一个压缩映射. 因此, Banach 不动点定理在本例题中不适用. 考虑下列四种情形.

情形 1 设 $0 \leq x, y < 1$. 由于

和 $F( [0,1]) \subset [0,1)$, 则由中值定理可得

情形 2 设 $x = y = 1$, 则由中值定理可得

情形 3 设 $0 \leq x < 1, y = 1$, 则由中值定理可得

情形 4 设 $x = 1, 0 \leq y < 1$, 则由中值定理可得

因此, 从上述讨论中可得到 $F$ 满足 (2.6) 式且 $p = 1$，$\xi = \ln 2$. 此外, $\forall x \in [0,1]$, 可得 $\{F^n x\} \subset [0, \ln 2]$. 由于 $F$ 在 $[0, \ln 2]$ 上是连续的, 若对某个 $x, y \in [0,1]$, 有 $\lim\limits_{n \to \infty} d(F^n x, y) = 0,$ 则 $y \in [0, \ln 2]$ 且 $\lim\limits_{n \to \infty} d(F(F^n x), Fy) = 0.$从而 $F$ 在 $( [0,1], d)$ 上是弱 Picard 连续的. 故 $F$ 有唯一的不动点 $x^* \approx 0.6412$, 见图 2.