空间和映射是泛函分析的主要研究对象. 线性算子是从微分、积分等近代数学中的基本运算中抽象出来的空间之间的映射. 线性算子理论不断发展渗透到数学及其应用的多个分支, 不仅在微分方程、控制论等学科具有广泛应用, 而且在量子力学等物理学领域也有举足轻重的作用^[1-7]. 分块算子矩阵是线性算子理论重要的内容之一. 分块算子矩阵的研究课题有谱、补问题、闭值域性等方面. 其中, 算子矩阵的谱理论是数学物理、弹性力学以及量子物理等领域非常重要的理论依据^[1-7]. 分块算子矩阵的谱研究涉及谱刻画、谱等式、谱扰动以及局部谱性质等. 本文主要涉及到上三角算子矩阵的谱刻画, 是算子理论研究中很活跃的课题. 例如, 文献 [5] 利用填洞原理给出了上三角分块算子的广义 Drazin 亚纯谱和广义 Drazin-zeroloid 谱的刻画. 文献 [6] 给出了分块对角算子矩阵拟谱的精细刻画. 文献 [7] 描述了分块算子的 1, 2类点谱和 1, 2 类剩余谱等于其对角元素相应谱的充要条件.本质谱理论是算子理论中重要的研究问题之一. 在 Banach 空间 $X$ 上, $T$ 的 Schechter 本质谱定义为

其中, $\mathcal{K}(X)$ 表示 $X$ 上的全体紧算子. 2015 年, Jeribi 在文献 [8] 中给予了算子 $T$ 在 Banach 空间上一类本质谱的刻画, 定义了一个新的本质谱称为 Jeribi 本质谱, 记为 $\sigma_{J}(T)$. 显然, $T$ 的 Jeribi 本质谱是在所有弱紧算子扰动下的谱的交集, 即

其中, $\mathcal{W}(X)$ 表示 $X$ 上全体弱紧算子. 由此可见, Jeribi 本质谱与 Schechter 本质谱有着紧密联系. 2018 年, Chafika Belabbaci 在文献 [9] 中利用弱非紧性测度给出了 Jeribi 本质谱的半径公式.

本文主要研究复无穷维 Banach 空间上的 $2\times 2$ 上三角分块算子矩阵的 Jeribi 本质谱. 为了方便研究 $2\times 2$ 上三角分块算子矩阵的 Jeribi 本质谱, 用 $\hat{\sigma_{J}}(T)$ 来表示 $T=\left[\begin{array}{ll}A & B \\0 & D\end{array}\right]$ 在所有主对角型弱紧算子 $W=\left[\begin{array}{cc}W_{1} & 0 \\0 & W_{2}\end{array}\right] \in \mathcal{W}(X \times X)$ 扰动下的 Jeribi 本质谱, 即

其中 $W_{1},W_{2}$ 是任意弱紧算子. 很显然, 对于给定的 $T=\left[\begin{array}{cc}A & B \\0 & D\end{array}\right] \text { 有 } \sigma_{J}(T) \subset \hat{\sigma_{J}}(T).$

本文中, 设 $X$, $Y$, $Z$ 为复可分的 Banach 空间. $\mathcal{C}(X,Y)$ 表示从 $X$ 到 $Y$ 的所有稠定闭算子构成的集合, 其中 $\mathcal{C}(X,X)$ 可以简记为 $\mathcal{C}(X)$. $\mathcal{L}(X,Y)$、$\mathcal{K}(X,Y)$ 和 $\mathcal{W}(X,Y)$ 分别表示从 $X$ 到 $Y$ 的所有有界线性算子、紧算子和弱紧算子构成的集合. 若定义算子 $T\in\mathcal{C}(X,Y)$, 用符号 $\mathcal D(T)$, $\mathcal N(T)$, $\mathcal R(T)$, $\alpha(T)$ 和 $\beta(T)$ 表示 $T$ 的定义域、零空间、值域、$\mathcal N(T)$ 的维数以及 $X/\mathcal R(T)$ 的维数.

定义 2.1^[8] 设 $T$ 是 $\mathrm{Banach}$ 空间 $X$ 中的有界线性算子$,$ 复数 $\lambda$ 称为 $T$ 的近似点谱$,$ 如果存在 $X$ 中的一个序列 $\{x_{n}\}^{\infty}_{n=1}, \|x_{n}\|=1, n=1,2,\cdots$ 满足

全体近似点谱记为 $\sigma_{ap}(T).$ 复数 $\lambda$ 称为 $T$ 的亏谱$,$ 如果 $\mathcal{R}(T-\lambda I)$ 不是满的$,$ 全体亏谱记为 $\sigma_{\delta}(T).$

注 2.1$\lambda\in \sigma_{ap}(T)$ 当且仅当 $T-\lambda I$ 不是下方有界. 从而 $\sigma_{ap}(T)=\sigma_{p}(T)\cup\sigma_{c}(T)\cup\sigma_{r,2}(T),$ 且 $\sigma(T)=\sigma_{ap}(T)\cup\sigma_{r,1}(T).$ 关于亏谱还有 $\sigma_{\delta}(T)=\sigma_{p,2}(T)\cup\sigma_{p,3}(T)\cup\sigma_{p,4}(T)\cup\sigma_{c}(T)\cup\sigma_{r}(T),$ 且 $\sigma(T)=\sigma_{\delta}(T)\cup\sigma_{p,1}(T).$

定义 2.2^[8] 令 $X$ 是 $\mathrm{Banach}$ 空间$,$ 则

$(1)$$X$ 上的所有上半 $\mathrm{Fredholm}$ 算子构成的集合定义为

$(2)$$X$ 上的所有下半 $\mathrm{Fredholm}$ 算子构成的集合定义为

注 2.2 令 $i(T)$ 表示线性算子 $T$ 的指标$:$$i(T):=\alpha(T)-\beta(T)$. 若 $T$ 是 $\mathrm{Fredholm}$ 算子且 $i(T)=0,$ 则称 $T$ 为 $\mathrm{Weyl}$ 算子. 显然可逆算子一定是 $\mathrm{Weyl}$ 算子. 记

定义 2.3^[8,10] 令 $X$ 是 $\mathrm{Banach}$ 空间$,$$T\in\mathcal C(X),$ 则

其中$,$ 集合 $\sigma_{e1}(\cdot)$ 和 $\sigma_{e2}(\cdot)$ 表示 $\mathrm{Gustafson }$ 和 $\mathrm{Weidmann}$ 本质谱$,$$\sigma_{e3}(\cdot)$ 表示 $\mathrm{Kato}$ 本质谱$,$$\sigma_{ e4}(\cdot)$ 表示 $\mathrm{Wolf}$ 本质谱$,$$\sigma_{ e5}(\cdot)$ 表示 $\mathrm{Schechter}$ 本质谱$,$$\sigma_{e7}(\cdot)$ 和 $\sigma_{e8}(\cdot)$ 分别表示本质近似点谱和本质亏谱.

定义 2.4^[8] 设 $X,Y$ 是 $\mathrm{Banach}$ 空间$,$$T\in \mathcal{L}(X,Y),$ 若对任何有界集 $M\subset X, T(M)$ 在 $Y$ 中相对弱紧$,$ 则称 $T$ 为弱紧算子. 弱紧算子集记为 $\mathcal{W}(X,Y)$.

注 2.3 当$X=Y$ 时$,$$\mathcal{W}(X,Y)=\mathcal{W}(X)$ 是 $\mathcal{L}(X)$ 的一个闭双边理想且 $\mathcal{K}(X)\subseteq\mathcal{W}(X)$.

定义 2.5^[9] 设 $T\in \mathcal{L}(X,Y),$ 若 $T^{**}$ 保持 $X$ 自然嵌入到它的二次共轭空间 $X^{**}$ 上$,$$x\in X^{**}, T^{**}x\in Y,$ 可推出 $x\in X,$ 则称 $T$ 为 $\mathrm{Tauberian}$ 算子. 记 $\mathcal{T}(X)$为 $X$ 上的 $\mathrm{Tauberian}$ 算子集.

定义 2.6^[11] 设 $T\in \mathcal{L}(X,Y),$$T$ 是 $\mathrm{coTauberian}$ 算子. 记$\mathcal{CT}(X)$ 为 $X$ 上的 $\mathrm{coTauberian}$ 算子集.

定义 2.7^[8] 设 $F\in \mathcal{C}(X),$ 若对任意 $U\in \Phi(X),$ 有 $U+F\in \Phi(X),$ 则称 $F$ 为 $\mathrm{Fredholm}$ 扰动算子. 所有 $\mathrm{Fredholm}$ 扰动算子的集合记为 $\mathcal{F}(X)$. 若对任意 $U\in \Phi_{+}(X)(U\in \Phi_{-}(X)),$ 有 $U+F\in \Phi_{+}(X)(U+F\in \Phi_{-}(X)),$ 则称 $F$ 为左 (右) $\mathrm{Fredholm}$ 扰动算子. 所有左 (右) $\mathrm{Fredhol}$m~扰动算子的集合记为 $\mathcal{F}_{+}(X)(\mathcal{F}_{-}(X))$.

注 2.4 通常有

定义 2.8^[8] 设 $X$ 是 $\mathrm{Banach}$ 空间$,$ 如果对任意 $\mathrm{Banach~}$空间 $Y,$ 每个弱紧算子 $A: X\rightarrow Y,$ 将 $X$ 中的弱紧集映射到 $Y$ 中的范数紧集$,$ 则称空间 $X$ 满足 Dunford-Pettis 性质.

注 2.5 当 $X$ 是满足~Dunford Pettis~性质的无穷维 $\mathrm{Banach}$ 空间$,$ 则有

其中 $\mathcal{W}(X)\mathcal{W}(X)=\{ST, \mbox{对任意弱紧算子}~S,T\in \mathcal{W}(X)\}.$

引理 2.1^[8] 设 $X,Y,Z$ 是 $\mathrm{Banach}$ 空间$,$ 若 $A\in \Phi(X,Y),$$B\in \Phi(Y,Z),$ 则 $BA\in \Phi(X,Z)$ 且 $i(BA)=i(B)+i(A)$.

引理 2.2^[11] 设 $X$ 是不含无限维自反子空间的 $\mathrm{Banach}$ 空间$,$$T\in \mathcal{L}(X),$ 则 $T\in \mathcal{T}(X)$ 当且仅当 $T\in \Phi_{+}(X);$$T\in \mathcal{CT}(X)$ 当且仅当 $T\in \Phi_{-}(X)$. 当 $X$ 是一般的 $\mathrm{Banach}$ 空间$,$ 则有 $\Phi_{+}(X)\subset\mathcal{T}(X),$$\Phi_{-}(X)\subset\mathcal{CT}(X)$.

引理 2.3^[12] 设 $X,Y,Z$ 是 $\mathrm{Banach}$ 空间$,$$T,S \in \mathcal{L}(X,Y),$$U\in \mathcal{L}(Y,Z),$ 则有以下结论

(1) 若 $T$ 和 $U$ 都是 Tauberian 算子$,$ 则 $UT$ 是 Tauberian 算子$;$

(2) 若 $UT$ 是 Tauberian 算子$,$ 则 $T$ 是 Tauberian 算子$;$

(3) $T$ 是 Tauberian 算子且弱紧算子当且仅当 $X$ 是自反的$;$

(4) 若 $T$ 是 Tauberian 算子$,$$S$ 是弱紧算子$,$ 则 $T+S$ 是 Tauberian 算子.

引理 2.4^[11] 设 $X,Y,Z$ 是 $\mathrm{Banach}$ 空间$,$$T,S \in \mathcal{L}(X,Y),$$U\in \mathcal{L}(Y,Z),$ 则有以下结论

(1) 若 $T$ 和 $U$ 都是 coTauberian 算子$,$ 则 $UT$ 是 coTauberian 算子$;$

(2)$ 若 $UT$ 是 Tauberian 算子$,$ 则 $U$ 是 coTauberian 算子$;$

(3)$ $T$ 是 coTauberian 算子且弱紧算子当且仅当 $Y$ 是自反的$;$

(3)$ $T$ 是 coTauberian 算子且弱紧算子当且仅当 $Y$ 是自反的$;$

引理 2.5^[9] 设 $X$ 是不含无限维自反子空间的 $\mathrm{Banach}$ 空间$,$$T\in \mathcal{L}(X),$ 则有

证 首先, 由定义 2.1 易得 $\sigma_{e3}(T)=\sigma_{e1}(T)\cap\sigma_{e2}(T)\subset\sigma_{e4}(T)$. 由于 $\mathcal{K}(X)\subseteq \mathcal{W}(X),$ 所以 $\sigma_{J}(T)\subseteq\sigma_{e5}(T).$

接下来证明 $\sigma_{e1}(T)\subset\sigma_{J}(T), \sigma_{e2}(T)\subset\sigma_{J}(T).$ 假设 $\lambda\notin \sigma_{J}(T),$ 则存在 $X$ 上的弱紧算子 $W$ 使得 $\lambda\in \rho(T+W)$, 即

由于 $X$ 是不含无限维自反子空间的 Banach 空间, 所以当 $T+W-\lambda I\in \Phi_{+}(X)$ 时, $T+W-\lambda I\in \mathcal{T}(X)$. 由于 Tauberian 算子在弱紧扰动下保持不变, 故 $T-\lambda I\in \Phi_{+}(X),$ 即 $\lambda\notin \sigma_{e1}(T)$. 所以 $\sigma_{e1}(T)\subset \sigma_{J}(T).$ 当 $T+W-\lambda I\in \Phi_{-}(X)$ 时, $T+W-\lambda I\in \mathcal{CT}(X)$. 由于 coTauberian 算子在弱紧扰动下保持不变, 故 $T-\lambda I\in \Phi_{-}(X),$ 即 $\lambda\notin \sigma_{e2}(T)$. 所以 $\sigma_{e2}(T)\subset \sigma_{J}(T).$ 又因为

所以 $\sigma_{e3}(T)\subset \sigma_{J}(T), \sigma_{e4}(T)\subset \sigma_{J}(T).$

故

引理 2.6^[12] 设 $T=\left[\begin{array}{cc}A & B \\0 & D\end{array}\right]: \mathcal{D}(A) \times \mathcal{D}(D) \subset X \times X \rightarrow X \times X$ 其中 $A,D$ 是闭算子$,$$B$ 是可闭算子$,$ 则

(1) 若 $T\in \Phi(X),$ 则 $A\in \Phi_{+}(X), D\in \Phi_{-}(X);$

(2) 若 $T\in \Phi_{+}(X),$ 则 $A\in \Phi_{+}(X);$

(3) 若 $T\in \Phi_{-}(X),$ 则 $D\in \Phi_{-}(X);$

(4) 若 $T\in \Phi(X),$ 则 $A\in \Phi(X)$ 当且仅当 $D\in \Phi(X).$

引理 2.7 设 $X$ 是不含无限维自反子空间的 $\mathrm{Banach}$ 空间$,$ 则 $\mathrm{Fredholm}$ 算子在弱紧扰动下保持不变.

证 由引理 2.2 可知, $T\in \mathcal{T}(X)~\mbox {当且仅当}~T\in \Phi_{+}(X),$$T\in \mathcal{CT}(X)~\mbox {当且仅当}~T\in \Phi_{-}(X).$ 再由引理 2.3 和 2.4 可得 $T+W\in \mathcal{T}(X)\cap \mathcal{CT}(X), \mbox{对任意}~W\in \mathcal{W}(X).$ 故 $T+W\in \Phi(X)$.

引理 2.8^[1] 设分块算子矩阵 $T=\left[\begin{array}{ll}A & B \\0 & D\end{array}\right]$ 是对角占优$,$ 如果 $B$ 可闭$,$ 则 $T$ 可闭 (闭) 当且仅当 $A,D$ 可闭 (闭).

引理 2.9^[8] 设 $X$ 是满足 Dunford Pettis~性质的无穷维 $\mathrm{Banach}$ 空间$,$$A$ 是 $X$ 上的稠定闭线性算子$,$ 则 $\sigma_{J}(A)=\sigma_{e5}(A).$

定理 3.1 设 $T=\left[\begin{array}{ll}A & 0 \\0 & D\end{array}\right] \in \mathcal{L}(X \times X)$ 是主对角分块算子矩阵$,$ 则

证 假设 $\lambda\in \sigma_{J}(T),$ 则对于任意 $W=\left[\begin{array}{cc}W_{1} & 0 \\0 & W_{2}\end{array}\right] \in \mathcal{W}(X \times X)$, 其中 $W_{1}, W_{2}$ 是任意两个弱紧算子, 都有 $\lambda\in \sigma(T+W),$ 即

由主对角分块算子矩阵的谱得 $\lambda\in \sigma(A+W_{1})\cup\sigma(D+W_{2})$. 因此 $\lambda\in \sigma_{J}(A)\cup\sigma_{J}(D).$ 于是得 $\sigma_{J}(T)\subset\sigma_{J}(A)\cup\sigma_{J}(D).$

注 3.1$T=\left[\begin{array}{ll}A & 0 \\0 & D\end{array}\right] \in \mathcal{L}(X \times X)$ 而言$,$$\sigma_{J}(T)=\sigma_{J}(A)\cup\sigma_{J}(D)$ 是不一定成立的. 事实上$,$ 存在紧算子 $W_{i}\in\mathcal{K}(X), i=1,2,3,4,$ 使得 $\left[\begin{array}{cc}A+W_{1} & W_{3} \\W_{4} & D+W_{2}\end{array}\right]$ 可逆. 但对于 $T$ 的特殊 $\mathrm{Jeribi}$ 本质谱 $\hat{\sigma_{J}}(T),$ 上式成立.

定理 3.2 设 $\text { 设 } T=\left[\begin{array}{ll}A & 0 \\0 & D\end{array}\right] \in \mathcal{L}(X \times X)$ 是主对角分块算子矩阵$,$ 则

证 设 $\lambda\notin \hat{\sigma_{J}}(T)$, 则存在 $W=\left[\begin{array}{cc}W_{1} & 0 \\0 & W_{2}\end{array}\right] \in \mathcal{W}(X \times X)$ 使得 $\lambda\in \rho(T+W)$, 即 $\lambda\in \rho (A+W_{1})\cap \rho (D+W_{2}).$ 因此, $\lambda\notin (\sigma_{J}(A)\cup\sigma_{J}(D)).$ 于是

反之, 假设 $\lambda\notin (\sigma_{J}(A)\cup\sigma_{J}(D)),$ 即 $\lambda\notin \sigma_{J}(A)$ 且 $\lambda\notin \sigma_{J}(D)$. 于是存在 $W_{1}, W_{2}\in \mathcal{W}(X)$ 使得 $\lambda\in \rho(A+W_{1})\cap\rho(D+W_{2}),$ 即 $A+W_{1}-\lambda I, D+W_{2}-\lambda I$ 可逆, 故

可逆. 由 $\hat{\sigma_{J}}(T)$ 的定义得, $\lambda \notin \hat{\sigma_{J}}(T)$. 因此

综上所述可得 $\hat{\sigma_{J}}(T)=\sigma_{J}(A)\cup\sigma_{J}(D).$

下面研究上三角分块算子矩阵的 Jeribi 本质谱.

定理 3.3 设 $T=\left[\begin{array}{ll}A & B \\0 & D\end{array}\right] \in \mathcal{L}(X \times X)$ 是上三角分块算子矩阵$,$ 则

证 假设 $\lambda\notin (\sigma_{J}(A)\cup\sigma_{J}(D))$, 则存在 $W_{1}, W_{2}\in \mathcal{W}(X)$ 使得 $\lambda\in \rho (A+W_{1})\cap \rho (D+W_{2})$. 由于 $B$ 有界, 令 $W=\left[\begin{array}{cc}W_{1} & 0 \\0 & W_{2}\end{array}\right] \in \mathcal{W}(X \times X)$, 则 $\lambda\in \rho(T+W),$ 即

可逆. 于是 $\lambda\notin \hat{\sigma_{J}}(T).$ 所以

下面研究上三角分块算子矩阵的 Jeribi 本质谱等式问题.

定理 3.4 设 $T=\left[\begin{array}{ll}A & B \\0 & D\end{array}\right] \in \mathcal{L}(X \times X)$ 是上三角分块算子矩阵$,$ 若 $\sigma_{r,1}(A)=\emptyset$ 且 $\sigma_{p,1}(D)=\emptyset,$ 则

其中 $\sigma_{p,1}(T)=\{\lambda\in \sigma_{p}(T): \mathcal{R}(T-\lambda I ) = X\},$$\sigma_{r,1}(T)=\{\lambda\in \sigma_{r}(T): \mathcal{R}(T-\lambda I)$ 不是闭集.

证 我们先证明 $\sigma_{J}(A)\subset \hat{\sigma_{J}}(T).$ 设 $\lambda\in \sigma_{J}(A),$ 则有 $\lambda\in \underset {W_{1}\in \mathcal{W}(X)}\bigcap\sigma(A+W_{1}).$

因为

所以

由于零算子也是弱紧算子且 $\sigma_{r,1}(A)=\emptyset$, 故

即对任意的弱紧算子 $W_{1}\in \mathcal{W}(X)$, 存在 $\{x_{n}\}^{\infty}_{n=1}, \|x_{n}\|=1, n=1,2,\cdots$ 使得

取

我们有

故

即 $\lambda\in \hat{\sigma_{J}}(T).$ 从而

再证 $\sigma_{J}(D)\subset \hat{\sigma_{J}}(T).$ 设 $\lambda\in \sigma_{J}(D),$ 则有 $\lambda\in \underset {W_{2}\in \mathcal{W}(X)}\bigcap\sigma(D+W_{2}).$ 由于

所以

因为 $\sigma_{p,1}(D)=\emptyset$, 所以 $\lambda\in \underset {W_{2}\in \mathcal{W}(X)}\bigcap\sigma_{\delta}(D+W_{2}),$ 即对于任意的弱紧算子 $W_{2}\in \mathcal{W}(X)$, $D+W_{2}-\lambda I$ 不是满射. 令

则可知

否则, 假设存在 $W\in \mathcal{W}(X\times X)$, 使得 $\lambda\in \rho(T+W)$, 则存在 $W_{2}\in \mathcal{W}(X)$, 使得 $D+W_{2}-\lambda I$ 是满射, 这与 $\lambda\in \underset {W_{2}\in \mathcal{W}(X)}\bigcap \sigma_{\delta}(D+W_{2})$ 矛盾, 于是 $\lambda\in \hat{\sigma_{J}}(T)$. 故

综上所述

又因为

于是

推论 3.1 设 $T=\left[\begin{array}{cc}A & B \\0 & D\end{array}\right] \in \mathcal{L}(X \times X)$ 是上三角分块算子矩阵$,$ 若 $\sigma_{r,1}(A)=\emptyset, \sigma_{J}(D)\subset\sigma_{J}(A),$ 则

证 由定理 3.4 可知, 当 $\sigma_{r,1}(A)=\emptyset$ 时, $\sigma_{J}(A)\subset\hat{\sigma_{J}}(T)\subset\sigma_{J}(A)\cup\sigma_{J}(D)$. 又因为 $\sigma_{J}(D)\subset\sigma_{J}(A),$ 所以 $\sigma_{J}(D)\cup\sigma_{J}(A)=\sigma_{J}(A).$ 故

下面给出上三角分块算子矩阵 $T$ 的 Jeribi 本质谱与 $A,D$ 的其他谱的关系.

定理 3.5 设 $T=\left[\begin{array}{ll}A & B \\0 & D\end{array}\right] \in \mathcal{L}(X \times X)$ 是上三角分块算子矩阵$,$ 则

其中$,$$\sigma_{\mathcal{T}}(A)=\{\lambda\in \mathbb{C}:\lambda I-A\notin \mathcal{T}(X)\},$$\sigma_{\mathcal{CT}}(D)=\{\lambda\in \mathbb{C}:\lambda I-D\notin \mathcal{CT}(X)\}$.

证 假设 $\lambda\notin \hat{\sigma_{J}}(T)$, 则存在 $W=\left[\begin{array}{cc}W_{1} & 0 \\0 & W_{2}\end{array}\right] \in \mathcal{W}(X \times X)$ 使得 $\lambda\in \rho(T+W)$, 即 $T+W-\lambda I\in \Phi(X), i(T+W-\lambda I)=0.$

由引理 2.6 可知

由于

因此

又因为 Tauberian 算子和 coTauberian 算子在弱紧扰动下保持不变, 所以

综上所述可得

推论 3.2 设 $X$ 是不含无限维自反子空间的 $\mathrm{Banach }$ 空间$,$$T=\left[\begin{array}{ll}A & B \\0 & D\end{array}\right] \in \mathcal{L}(X \times X)$ 是上三角算子矩阵$,$ 则有 $\sigma_{e1}(A)\cup\sigma_{e2}(D)\subset\hat{\sigma_{J}}(T).$

证 由定理 3.5 结合引理 2.5 可推知, $\sigma_{e1}(A)=\sigma_{\mathcal{T}}(A), ~\sigma_{e2}(D)=\sigma_{\mathcal{CT}}(D)$.

定理 3.6 设 $X$ 是不含无限维自反子空间的 $\mathrm{Banach}$ 空间$,$$T=\left[\begin{array}{ll}A & B \\0 & D\end{array}\right] \in \mathcal{L}(X \times X)$ 是上三角分块算子矩阵$,$ 若 $B\in \mathcal{F}(X),$ 则

证 设 $\lambda\notin \hat{\sigma_{J}}(T)$, 则存在 $W=\left[\begin{array}{cc}W_{1} & 0 \\0 & W_{2}\end{array}\right] \in \mathcal{W}(X \times X)$ 使得 $\lambda\in \rho(T+W)$.

即

考虑到

和 $B\in \mathcal{F}(X)$, 所以

因此

从而 $\lambda\notin (\sigma_{e4}(A+W_{1})\cup\sigma_{e4}(D+W_{2})).$ 根据引理 2.7 可知, $\sigma_{e4}(A)=\sigma_{e4}(A+W)$, 对于任意的弱紧算子 $W$ 都成立. 因此 $\sigma_{e4}(A)\cup\sigma_{e4}(D)\subset\hat{\sigma_{J}}(T).$ 综上所述可得 $\sigma_{e4}(A)\cup\sigma_{e4}(D)\subset\hat{\sigma_{J}}(T).$

推论 3.3 设 $X$ 是不含无限维自反子空间的 $\mathrm{Banach}$ 空间$,$$T=\left[\begin{array}{ll}A & B \\0 & D\end{array}\right] \in \mathcal{L}(X \times X)$ 是上三角算子矩阵$,$ 若 $B\in \mathcal{F}(X),$ 则$\sigma_{e1}(A)\cup\sigma_{e2}(D)\subset\sigma_{e4}(A)\cup\sigma_{e4}(D)\subset\hat{\sigma_{J}}(T).$

最后给出上三角算子矩阵的 Jeribi 本质谱等于 Schechter 本质谱的条件.

定理 3.7 设 $X$ 是满足 Dunford Pettis 性质的无穷维 $\mathrm{Banach}$ 空间$,$ 上三角分块算子矩阵 $T=\left[\begin{array}{cc}A & B \\0 & D\end{array}\right]: \mathcal{D}(A) \times \mathcal{D}(D) \subset X \times X \rightarrow X \times X$ 是对角占优的$,$ 其中 $A, D$ 是稠定闭算子$,$$B$ 是可闭算子$,$ 则$\sigma_{J}(T)=\sigma_{e5}(T).$

证 由引理 2.8 可知 $T$ 是稠定闭算子. 当 $X$ 是满足 Dunford-Pettis 性质时, 结合引理 2.9 得 $\sigma_{J}(T)=\sigma_{e5}(T).$

推论 3.4 设 $X$ 是满足 Dunford Pettis 性质的无穷维 $\mathrm{Banach}$ 空间$,$ 上三角分块算子矩阵,$T=\left[\begin{array}{ll}A & B \\0 & D\end{array}\right] \in \mathcal{L}(X \times X),$ 则$\sigma_{J}(T)=\sigma_{e5}(T).$