考虑如下分段线性 Lorenz 映射 $ f_{a,b,c} $

其中参数满足 $ a,b>0 $, $ c\in(0,1) $, $ 1-ac\geq0 $ 与 $ b(1-c)\leq1 $. 由 $ f_{a,b,c} $ 在概率参数 $ p $ 下随机耦合构成的随机映射 $ f_{\alpha} $ 为

本文考虑参数组 $ (a,b,c) $ 分别为 $ (1,1.1,0.1) $ 与 $ (3,0.51,0.2) $ 的两个 Lorenz 映射 $ {f_{a,b,c}} $, 分别记之为 LA 与 LB. 这两个 Lorenz 映射的参数具有代表性且构成的随机映射呈现特殊现象, 因此本文以 Lorenz 映射 LA 与 LB 为例, 研究 Lorenz 映射 $ {f_{a,b,c}} $ 的混合性及相应随机映射 $ f_{\alpha} $ 绝对连续不变测度的存在性.

绝对连续不变测度^[1,2]是动力系统中重要的不变量, 在对系统的渐近行为分析中占据基础性地位. 因此, 确立绝对连续不变测度存在性的判据是遍历理论的核心课题之一. 经典的判据是映射的扩张性质, 源于 Lasota 与 Yorke 的奠基性工作^[3]. 他们论证了扩张的映射 ($ \inf \left| {{\tau }'} \right|>1 $) 对应于收缩的 Frobenius-Perron 算子^[1,4], 进而保证绝对连续不变测度的存在性. 该判据被弱化为最终扩张条件^[5,6]. Pelikan^[7] 将 Lasota 与 Yorke 的研究成果推广到随机映射的情形, 建立了随机映射绝对连续不变测度存在性的判据, 即平均扩张条件^[8], 具体为存在 $ \gamma < 1 $, 满足

其中 $ T_i $ 为参与构成随机映射的 Lasota-Yorke 型映射, $ p_i $ 为 $ T_i $ 对应的概率参数.

本文发现一类特殊的同步混沌现象, 产生这一现象的随机映射不表现最终扩张性与平均扩张性但依然存在绝对连续不变测度, 表明上述关于绝对连续不变测度存在性的经典判据还需进一步讨论与完善.

本文首先应用重整化理论证明 Lorenz 映射 LA 与 LB 的混合性, 然后在基于该混合性设计的数值实验中发现了一类特殊的同步混沌现象, 即 Lorenz 映射 LA 与 LB 的 Lyapunov 指数均为正, 但由其随机耦合构成的随机映射的 Lyapunov 指数为负, 并且仍存在绝对连续不变测度. 进一步研究表明, 这类随机映射能在轨道遍历整个区间的条件下产生同步现象, 因此该特殊现象在本文中被称为同步混沌现象. 本研究为理解随机映射的复杂动力学提供了新视角, 对发展普适遍历理论具有启示意义.

对于 Lorenz 映射 $ {f_{a,b,c}} $, 其绝对连续不变测度的存在性可由参数 $ a,b,c $ 判定, 具体见引理 2.1.

引理 2.1^[9] 当 $ {f_{a,b,c}} $ 的参数满足 $ {f_{a,b,c}}(0) = 1 - ac < b(1 - c) = {f_{a,b,c}}(1) $ 时, $ {f_{a,b,c}} $ 存在着唯一的绝对连续不变测度.

根据文献 [9], 满足条件 $ 1 - ac < b(1 - c) $ 的 $ {f_{a,b,c}} $ 是最终扩张的, 进而证得该 Lorenz 映射存在唯一的绝对连续不变测度. 对于 $ {f_{a,b,c}} $, Lyapunov 指数^[10-12]可表示映射的最终扩张性, 因此可表示绝对连续不变测度的存在性. 当 Lyapunov 指数为正时, $ {f_{a,b,c}} $ 存在绝对连续不变测度; 当 Lyapunov 指数为负时, $ {f_{a,b,c}} $ 不存在绝对连续不变测度.

将引理 2.1 应用于 Lorenz 映射 LA 与 LB, 其参数组分别为 $ (1,1.1,0.1) $ 与 $ (3,0.51,0.2) $, 均满足条件 $ 1 - ac < b(1 - c) $, 因此 LA 与 LB 均为最终扩张的、具有正 Lyapunov 指数且存在唯一绝对连续不变测度的 Lorenz 映射.

验证 Lorenz 映射 LA 与 LB 的上述性质后, 可证明其混合性. 具体方法是通过证明这两个 Lorenz 映射为不可重整化的, 从而推得其混合性. 为此, 需引入 $ f_{a,b,c} $ 重整化的相关结论.

定义 2.1^[13] 设 $ f: [0,1]\to [0,1] $ 为 $ [0,1] $ 上的 Lorenz 映射. 若存在包含间断点 $ c $ 的最大子区间 $ C $, 以及整数 $ l,r>1 $, 使得 $ C $ 上存在首次返回映射 $ g(x) $ 为

其中 $ L $ 与 $ R $ 分别为 $ C\backslash \{c\} $ 的左与右分支, 则称 $ f $ 为可重整化的. $ f $ 的重整化 $ Rf $ 定义为

其中, $ h: [0,1]\to C $ 为仿射. 若 (2.1) 式中满足 $ (l,r)=(1,2) $ 或 $ (l,r)=(2,1) $, 则称 $ f $ 为可平凡重整化的. 此时, (2.2) 式中的 $ Rf $ 被称为 $ f $ 的平凡重整化. 若不存在, 则称 $ f $ 为不可重整化的.

引理 2.2^[13,14] 对于 Lorenz 映射 $ {f_{a,b,c}} $

(1) 若 $ c\notin (f_{a,b,c}(0),f_{a,b,c}(1)) $, 则 $ f_{a,b,c} $ 为可重整化的当且仅当 $ f_{a,b,c} $ 的平凡重整化为可重整化的;

(2) 若 $ {f_{a,b,c}} $ 为扩张的并且不存在不动点, 则 $ {f_{a,b,c}} $ 的最小周期为 $ \kappa =m+2 $, 其中

(3) 若 $ {f_{a,b,c}} $ 存在二周期点 $ {{P}_{L}},{{P}_{R}} $, 其中 $ {{P}_{L}}<{{P}_{R}} $, 则 $ {f_{a,b,c}} $ 可周期重整化当且仅当 $ [{{P}_{L}},{{P}_{R}}]$$\supseteq[f_{a,b,c}(0),f_{a,b,c}(1)] $;

(4) $ {f_{a,b,c}} $ 的所有重整化均为周期重整化.

命题 2.1 Lorenz 映射 LA 与 LB 为混合的.

证 先考虑 Lorenz 映射 LA 的情况. 由于 Lorenz 映射 LA 为形如 (1.1) 式的 Lorenz 映射, 因此可以直接考虑 $ {f_{a,b,c}} $ 的情形. 根据引理 2.2, $ {f_{a,b,c}} $ 为可重整化的当且仅当该 Lorenz 映射的平凡重整化为可重整化的, 因此需计算 $ {f_{a,b,c}} $ 的平凡重整化.

第 1 步 计算 $ {f_{a,b,c}} $ 的平凡重整化.

对于 $ {f_{a,b,c}} $, 当 $ c<{f_{a,b,c}}(0)<{f_{a,b,c}}(1) $ 时, $ {f_{a,b,c}} $ 的平凡重整化使用的首次返回映射 $ g $ 为

其中 $ f_{a,b,c}({{c}^{+}}) $ 为 $ f_{a,b,c} $ 在 $ c $ 的右极限, $ f_{a,b,c}({{c}^{-}}) $ 为 $ f_{a,b,c} $ 在 $ c $ 的左极限, $ {{f}_{a,b,c}^{2}} $ 为 $ f_{a,b,c} $ 的复合运算. 可知, $ f_{a,b,c}({{c}^{+}})=0 $ 且 $ {{f}_{a,b,c}^{2}}({{c}^{-}})=f_{a,b,c}(1) $, 此时 $ C=[0,f_{a,b,c}(1)] $. 对于仿射变换 $ h: [0,1]\to C $, 设 $ h(x)=Ax+B $, 则

解得

故

$ {f_{a,b,c}} $ 的平凡重整化 $ Rf_{a,b,c} $ 即为 $ Rf_{a,b,c}(x)={{h}^{-1}}\circ g\circ h(x) $.

第 2 步 证明 $ {f_{a,b,c}} $ 的平凡重整化依然为形如 (1.1) 式的 Lorenz 映射.

$ {f_{a,b,c}} $ 的平凡重整化具体为

记参数组 $ (a^{(1)},b^{(1)},c^{(1)})=(ab,b,\frac{c}{b(1-c)}) $. 显然, $ Rf_{a,b,c}={f_{a^{(1)},b^{(1)},c^{(1)}}} $.

由上述分析可知, $ {f_{a,b,c}} $ 的平凡重整化为 $ {f_{a^{(1)},b^{(1)},c^{(1)}}} $, 因此可以再次平凡重整化并以此方式迭代. 在实际计算 Lorenz 映射 LA 的平凡重整化过程中, 直到计算结束, 该条件始终成立, 因此可以一直使用 (2.5) 式计算平凡重整化. 记 $ R^{n}f_{a,b,c} $ 为 $ f_{a,b,c} $ 的 $ n $ 次平凡重整化, 可知$ R^{n}f_{a,b,c}={f_{a^{(n)},b^{(n)},c^{(n)}}} $. 若$ c^{(n)}\in(R^{n}f_{a,b,c}(0),R^{n}f_{a,b,c}(1)) $, 则根据引理 2.2(2), $ R^{n}f_{a,b,c} $ 存在二周期点, 并且, 引理 2.2(1) 表明 Lorenz 映射 $ {f_{a,b,c}} $ 为可重整化的当且仅当 $ R^{n}f_{a,b,c} $ 为可重整化的, 再根据引理 2.2 中的 (3) 与 (4) 可进行后续判断.

第 3 步 将上述分析内容应用于 Lorenz 映射 LA.

对于 Lorenz 映射 LA, 其参数为 $ (1,1.1,0.1) $, 由于 $ 0.1<0.9<0.99 $, 因此可使用 (2.5) 式计算其平凡重整化 $ Rf $, 具体为

以此不断计算平凡重整化, 最终计算 $ 17 $ 次后停止. Lorenz 映射 LA 的 $ 17 $ 次平凡重整化 $ R^{17}f $ 为

此时, $ (R^{17}f(0),R^{17}f(1)) $ 即为 $ (0.1499,0.9150) $, 而 $ c^{(17)}=0.1682 $. 根据引理 2.2(2), $ R^{17}f $ 存在二周期点, 分别记为 $ {{P}_{L}} $ 与 $ {{P}_{R}} $, 那么

解之得

故 $ [{{R}^{17}}{f}(0),{{R}^{17}}{f}(1)]\not\subset [{{P}_{L}},{{P}_{R}}] $, 根据引理 2.2(3), $ R^{17}f $ 不可周期重整化. 此时再根据引理 2.2(4), $ R^{17}f $ 不可重整化, 因此 Lorenz 映射 LA 不可重整化, 说明 Lorenz 映射 LA 为混合的.

Lorenz 映射 LB 混合性的证明与上面证明方式类似. 因此, Lorenz 映射 LA 与 LB 均为不可重整化的, 故其均为混合的.

在 Frobenius-Perron 算子框架下, 随机映射与确定映射之间存在量化关系, 即 $ P = p{P_1} + (1 - p){P_2} $. 因此, 定性映射的研究成果与方法常被尝试推广至相关的随机映射. 目前缺少由 $ f_{a,b,c} $ 随机耦合生成的随机映射的研究. 本章通过数值实验探究此类随机映射的性质. 实验结果表明, 大多数随机映射的性质符合理论预期, 例如 Lyapunov 指数仍能有效指示绝对连续不变测度的存在性等. 然而, 部分随机映射 (包括由 Lorenz 映射 $ L_A $ 与 $ L_B $ 构成的随机映射) 呈现出特殊的同步混沌现象: 存在两个 Lyapunov 指数为正的确定性映射, 这两个映射可以随机耦合成一个 Lyapunov 指数为负的随机映射, 并且该随机映射存在绝对连续不变测度.

在数值实验前, 需先阐明随机映射的遍历性, 此为数值实验的理论基础. 根据上一章证明, Lorenz 映射 LA 与 LB 均具有混合性并且存在绝对连续不变测度. 由于混合性蕴含遍历性, 且随机选择不改变映射的遍历性, 因此, 由 Lorenz 映射 LA 与 LB 经随机耦合构成的随机映射是遍历的. 随机映射的遍历性一方面能说明从几乎所有初值 $ x_0 $ 出发均能得到相同的轨道 $ \{ {x_n}\} _{n = 0}^\infty $, 从而计算的 Lyapunov 指数不用局限于初值的选择; 另一方面, 根据 Birkhoff 遍历定理^[15-17], 轨道的平稳分布对应于不变密度. 下面展开具体的数值实验.

实验 1 验证同步混沌现象的存在性.

同步混沌现象分为两部分, 一部分关注确定性映射与随机映射的 Lyapunov 指数关系问题; 另一部分关注 Lyapunov 指数与绝对连续不变测度存在性的问题. 因此, 本实验也对应分为两个部分

(1) 固定确定性映射, 研究随机映射的 Lyapunov 指数与概率参数 $ p $ 的关系.

步骤 1 选取 Lyapunov 指数均为正的 Lorenz 映射 LA 与 LB 构成的随机映射. 固定其参数, 则该随机映射的 Lyapunov 指数唯一取决于概率参数 $ p $.

步骤 2 令 $ p $ 从 $ 0 $ 以步长 $ 0.01 $ 递增至 $ 1 $. 对每个 $ p $ 值, 使用 (2) 式生成相应的轨道 $ \{ {x_n}\} _{n = 0}^\infty $ 并计算随机映射 $ f_{\alpha} $ 的 Lyapunov 指数 $ \lambda $, 计算方法^[11]为

使用 (3.1) 式计算时, 由于无法选取长度为无穷的轨道, 因此可多次生成足够长的轨道来利用 (3.1) 式计算, 并最终取平均值作为随机映射的 Lyapunov 指数计算结果. 计算中, 轨道的迭代长度为 $ 10^6 $, 重复计算次数为 $ 100 $ 次.

步骤 3 计算 Lyapunov 指数估计过程中产生的方差.

步骤 4 绘制 $ p $ 为横轴、Lyapunov 指数为纵轴的函数关系图; 绘制 $ p $ 为横轴、方差为纵轴的函数关系图.

图 1(a) 展示了由 Lorenz 映射 LA 与 LB 构成的随机映射的 Lyapunov 指数随 $ p $ 的变化关系; 图 1(b) 展示了对应的方差变化. 作为对比, 图 1(c) 与图1(d) 展示了大量参数下的典型现象, 其实验对象是由参数分别为 $ (7, 0.9, 0.1) $ 和 $ (4, 0.8, 0.2) $ 的两个 Lorenz 映射 (Lyapunov 指数亦均为正) 构成的随机映射.

图 1(a) 与图 1(c) 对应的随机映射均由两个 Lyapunov 指数为正的 Lorenz 映射构成, 但呈现不同的现象. 图 1(c) 所示的典型现象是随着 $ p $ 的逐步增加, 随机映射的 Lyapunov 指数会平滑地从一个 Lorenz 映射 Lyapunov 指数过渡到另一个 Lorenz 映射的 Lyapunov 指数, 并在此期间 Lyapunov 指数的符号不会发生改变. 在图 1(a) 中, 两个Lyapunov 指数为正的 Lorenz 映射LA与LB在一定概率参数 $ p $ 下随机耦合可以构成 Lyapunov 指数为负的随机映射, 结果是映射的性质发生了完全相反的转变. 具体地, 当 $ p=0.5 $ 时, 图 1(a) 所示的 Lyapunov 指数计算结果为-0.0432, 与两个 Lorenz 映射的 Lyapunov 指数 0.0075 和 0.0909 表示的性质完全相反. 图 1(b) 与图 1(d) 所示方差的数量级为 $ 10^{-4} $, 表明计算偏差较小.

值得关注的是, Kocarev 和 Tasev 在文献 [18] 中也描述过类似于图 1(a) 中的现象. 需要指出的是, 他们使用的 Lorenz 映射框架相比于 (1.1) 式只有一个参数, 具体而言仅为 (1.1) 式的一个特例, 描述范围有限且未深入探讨其内在机制. 尽管如此, 他们的研究结果为这类现象的存在性提供了佐证.

(2) 负 Lyapunov 指数条件下绝对连续不变测度的存在性.

步骤 1 选取 Lorenz 映射 LA 与 LB 在 $ p=0.5 $ 时构成的随机映射 $ f_{\alpha_1} $, $ f_{\alpha_1} $ 的 Lyapunov 指数为负.

步骤 2 利用 $ f_{\alpha_1} $ 生成一条长度为 $ 10^8 $ 的轨道, 取轨道最后的 $ 10^4 $ 个点, 统计这些点在各个区间的分布情况.

图 2(a) 展示了 $ f_{\alpha_1} $ 生成轨道的分布; 图 2(b) 作为对比, 展示了另一个 Lyapunov 指数为负的随机映射 $ f_{\alpha_2} $ ($ {\alpha_2}=(0.5,0.2,0.5,0.3,0.4,0.5,0.5) $) 生成轨道的典型分布情况.

图 2(a) 与图 2(b) 均为两个 Lyapunov 指数为负的随机映射生成轨道的分布情况, 但呈现不同的现象. 图 2(b) 显示 $ f_{\alpha_2} $ 生成的轨道限制在部分区间内, 表明 $ f_{\alpha_2} $ 不存在绝对连续不变测度; 图 2(a) 显示随机映射 $ f_{\alpha_1} $ 生成的轨道遍布整个区间, 表明 $ f_{\alpha_1} $ 存在绝对连续不变测度. 综合可知, Lyapunov 指数的符号在随机映射中能指示绝对连续不变测度的存在性, 但该准则并非普遍成立, 因为存在 Lyapunov 指数为负却依然存在绝对连续不变测度的例子.

实验1证实了同步混沌现象的存在性. 鉴于该现象在相关领域中鲜有研究, 为排除数值计算误差的可能性, 需采用替代方法验证结果的可靠性, 进而展开后续研究.

实验 2 使用 Frobenius-Perron 算子检验同步混沌现象相关计算结果的可靠性.

步骤 1 将区间 $ [0,1] $ 均匀划分为 $ N $ 个充分小的子区间. $ N $ 可取 $ 10^4 $.

步骤 2 选定由 Lorenz 映射 LA 与 LB 在 $ p=0.5 $ 时构成的随机映射 $ f_{\alpha} $. 使用步骤 1 划分的小区间端点计算 $ f_{\alpha} $ 对应的 Frobenius-Perron 算子, 计算方法^[2]为

步骤 3 假设初始的密度函数 $ h_0(x)=1, x\in [0,1] $, 用向量 $ (1,1,\cdots,1) $ 表示该密度函数, 其中 "1" 的个数由分划的区间个数决定. 将向量的各分量, 即各区间上的简单函数值, 代入步骤 2 中计算的 Frobenius-Perron 算子中, 计算得到新的向量为密度函数 $ {{h}_{1}}(x) $.

步骤 4 重复步骤 3, 得到密度函数在 Frobenius-Perron 算子作用下的演化序列, 其中迭代过程为 $ h_{n+1}(x)=P{h_{n}}(x) $. 设置终止条件 $ \varepsilon $, 当满足 $ ||{{h}_{k+1}}-{{h}_{k}}|{{|}_{{{L}^{1}}}}<\varepsilon $ 时, 终止迭代并得到密度函数 $ h^*(x) $, 此时近乎满足 $ P{h^*(x)}=h^*(x) $, 即 $ h^*(x) $ 为数值计算得到的不变密度.

步骤 5 绘制不变密度的函数图像并与实验 1 中的平稳分布对比. 通过不变密度计算随机映射 $ f_{\alpha} $ 的 Lyapunov 指数, 计算方法为

图 3 展示了随机映射 $ f_{\alpha} $ 的不变密度与平稳分布对比结果.

如上图所示, 不变密度在各区间函数值对应于平稳分布下轨道上的点分布于相应区间的数量. 同时, 不变密度的在任意点的函数值均大于 0, 表明存在绝对连续不变测度. 通过 (3.3) 式计算系统的 Lyapunov 指数结果为 -0.0431, 与通过 (3.1) 式计算得到的 Lyapunov 指数 -0.0432 相近. 这些结果排除了计算误差导致现象的可能性, 验证了实验 1 计算结果的可靠性.

实验 1 的结果表明, 在随机映射框架下存在特定情形, 其无法仅凭 Lyapunov 指数的符号推断 acim 的存在性. 因此, 需要确定 Lyapunov 指数在随机映射中的作用来解释同步混沌现象的物理意义.

实验 3 验证同步混沌现象的物理意义.

步骤 1 选取四组由 Lorenz 映射 LA 和 LB 构成的随机映射, 其中的差异在于概率参数 $ p $ 的取值不同, 分别为0.03、0.05、0.78 与 0.82, 对应的 Lyapunov 指数分别为 0.00276、-0.00034、-0.00198 与 0.01036.

步骤 2 固定初始距离 $ \varepsilon =0.1 $, 从区间中任意选择一个初始点 $ x_{0}^{(1)} $, 两初始点可以分别设置为 $ x_{0}^{(1)},x_{0}^{(1)}+\varepsilon \in (0,1) $. 确保两轨道的迭代过程由共同的随机序列 $ \omega $ 决定, 即两条轨道在迭代次数相同的情况下, 被相同的 Lorenz 映射作用.

步骤 3 计算轨道之间的距离变化 $ {{d}_{x_{0}^{(1)}}} $:

步骤 4 重复上述步骤得到不同初值下轨道之间的距离变化 $ {{d}_{x_{0}^{(2)}}},{{d}_{x_{0}^{(3)}}},\cdots,{{d}_{x_{0}^{(n)}}}. $ 则系统整体的轨道变化趋势为

步骤 5 绘制并对比四组随机映射的轨道距离变化曲线.

图 4 中的现象有两种, 一种如图 4(a) 与图 4(d) 所示, 此时随机映射的 Lyapunov 指数为正, 轨道之间的平均距离不存在规律性的变化, 两个相近的初值最终形成两条几乎毫无关联的轨道, 即产生了混沌现象; 另一种如图 4(b) 与图 4(c) 所示, 此时随机映射的 Lyapunov 指数为负, 轨道之间的平均距离逐步减小至 0, 两个相近的初值最终会成为同一条轨道进行迭代, 即产生了同步现象.

由此, 得以解释实验 1 中发现特殊现象的物理意义. 其一, 存在两个 Lyapunov 指数为正的确定性映射, 其能够随机耦合构成一个 Lyapunov 指数为负的随机映射, 这一现象表明存在两个混沌系统, 这两个混沌系统可以随机耦合构成一个同步系统; 其二, 当 Lyapunov 指数小于 0 时, 依然存在绝对连续不变测度, 这一现象说明两个初值是在遍历整个区间的过程中产生了同步现象.

在确定性映射中, 映射的扩张性是证明绝对连续不变测度存在性的关键依据. 然而, 对于由 Lorenz 映射 LA 和 LB 在 $ p=0.5 $ 下构成的随机映射 $ f_\alpha $, 其负 Lyapunov 指数表明映射不具有最终扩张性, 却依然存在绝对连续不变测度. 这表明随机映射框架下无法仅依靠映射的最终扩张性证明绝对连续不变测度存在性. 此外, 将 $ f_\alpha $ 的参数代入平均扩张条件进行检验: 取 $ x \in (0.2, 1) $, 有 $ T_{1}^{'}(x)=1.1 $, $ T_{2}^{'}(x)=0.51 $. 代入 (3)式计算得 $ 1.435>1 $, 不满足该定理的平均扩张条件. 然而, 通过数值实验可知 $ f_\alpha $ 存在绝对连续不变测度. 因此, 平均扩张条件也仅为证明随机映射存在绝对连续不变测度的充分条件, 且远非必要条件.

前文重点考察了由 Lorenz 映射 LA 与 LB 耦合构成的随机映射. 需要指出的是, 存在其他随机映射产生类似现象, 例如参数向量 $ \alpha $ 取 $ (2,1,0.1,5,0.05,0.2) $ 或 $ (6,0.4,0.15,1.5,1,0.1) $ 等. 但随机映射的动力学特性通常仅在统计意义下成立, 难以完全排除偶然性因素, 需进一步验证现象在确定性系统中的存在性.

实验 4 验证同步混沌现象在确定性系统中的存在性.

引入随机数发生器^[19], 使随机选择过程具体化, 从而将原随机系统改变为确定性系统.

步骤 1 引入随机数发生器 $ T:Tx=99x\text{ }\bmod 1 $. 选择初值 $ {{r}_{0}} $, 使用 $ T $ 生成确定的轨道 $ \{{{r}_{n}}\}_{n=0}^{\infty } $.

步骤 2 选取 Lorenz 映射 LA 与 LB, 重新记为 $ f_{a_1,b_1,c_1} $ 与 $ f_{a_2,b_2,c_2} $. 给定概率参数 $ p $, 利用步骤 1 生成的轨道 $ \{{{r}_{n}}\}_{n=0}^{\infty } $ 按照如下确定性规则生成轨道 $ \{{{x}_{n}}\}_{n=1}^{\infty } $:

(1) 当 $ {{r}_{n-1}}<p $ 时, $ {{x}_{n}}={{f}_{{{a}_{1}},{{b}_{1}},{{c}_{1}}}}({{x}_{n-1}}) $;

(2) 当 $ {{r}_{n-1}}>p $ 时, $ {{x}_{n}}={{f}_{{{a}_{2}},{{b}_{2}},{{c}_{2}}}}({{x}_{n-1}}) $.

步骤 3 生成轨道 $ \{{{x}_{n}}\}_{n=1}^{\infty } $ 后执行与实验 1 相同的数值分析流程. 此时系统状态演化完全由初始条件和确定性规则决定.

图 5(a) 为确定性系统中 Lyapunov 指数与概率参数 $ p $ 的关系; 图 5(b) 为确定性系统中轨道的分布情况.

图 5 表明, 实验 1 在随机映射中观测到的特殊现象在确定性系统中依然存在, 以此可得外部的随机干扰并不是改变随机映射性质的关键因素, 构成随机映射的两个确定性映射在形成轨道时的互相作用值得进一步研究.