非局部反应扩散方程通过引入非局部项来描述空间中物质或信息的扩散和反应. 与传统局部反应扩散方程相比, 它能够更精确地模拟自然界中的复杂现象, 如生物种群的扩散, 感染病的传播等. 近年来, 具有非局部扩散项 $ a\left(l\left(u\right)\right) $ 的抛物型偏微分方程的解及其动力学行为已经得到了广泛的关注. 例如, 一个简单的非局部问题^[1], $\frac{\partial u}{\partial t}-a(l(u))\Delta u=f(u), $其中函数 $ a\in C\left(\mathbb{R};\mathbb{R}^{+}\right) $, 它满足非退化的自然条件 (即存在常数 $ m,M>0 $, 使得对任意的 $ s\in\mathbb{R} $, 有 $ m\leq a\left(s\right)\leq M $).

对于这类非局部问题, 在确定情形下, 其全局吸引子或拉回吸引子已在文献[1-6] 中进行了研究. 值得强调的是, Caraballo等^[2]研究了一类具有非局部扩散项和非自治项的确定性反应扩散方程拉回吸引子的存在性和正则性. 基于此, 文献 [3] 又加入了一个额外的时间依赖项 $ h(t,u_t) $, 这使得该方程能够模拟更复杂的情况.

在随机情形下, Xu 和 Caraballo 在文献 [7,8] 分别研究了受线性白噪声 (加性或乘性) 和非线性噪声驱动的非局部偏微分方程的长时间性态与 $ \text{Wong-Zakai} $ 逼近. 不同于文献 [7,8], Li 和 Liu等^[9]研究了带有更一般形式的非线性项 ($ f $ 和 $ g $) 的非局部反应扩散方程拉回随机吸引子的存在性, 平均连续性以及局部可控性.

然而, 上述研究中的 $ \text{Laplacian} $ 算子都是标准的, 即 $ s=1 $. 当 $ s\in(0,1) $ 时, 算子 $ \left(-\Delta\right)^{s} $ 称为分数阶 $ \text{Laplacian} $ 算子, 其具有与标准 $ \text{Laplacian} $ 算子相同的性质^[10]. 目前, 关于分数阶偏微分方程的动力学行为已被众多学者研究, 见文献 [11-15]. 对于非自治分数阶非局部反应扩散方程, 仅有 Li 和 Xu 等^[16,17]研究了带加性噪声和乘性噪声的分数阶随机非局部偏微分方程的长时间性态与 $ \text{Wong-Zakai} $ 逼近, 而关于该分数阶方程受色噪声影响的长时间行为尚未有相关结论. 不变测度作为动力系统中刻画系统可能长时间行为的关键概念, 其通过确定统计平衡态揭示系统长期动力学特征. 不同于研究吸引子本身, 不变测度描述的是系统在吸引子上的统计行为. 特别地, Chen 和 Yang 已在文献 [18] 中建立了一类非自治随机动力系统不变测度的存在性定理, 并将该理论应用于无界区域上的非自治随机反应扩散方程.

受文献 [9,18] 的启发, 本文考虑了以下由非线性色噪声驱动的非自治分数阶非局部反应扩散方程的随机吸引子与不变测度

边界条件

初值条件

其中 $ \mathcal{O} $ 是 $ \mathbb{R}^{n} $ 上具有光滑边界的有界区域, $ l\in\mathcal{L}\left(L^{2}(\mathcal{O});\mathbb{R}\right) $, $ g\in L_{\rm loc}^{2}(\mathbb{R};L^{2}(\mathcal{O})) $ 是非自治外力项, $ \left(-\Delta\right)^{s} $ ($ s\in(0,1) $) 是分数阶 $ \text{Laplacian} $ 算子, $ \zeta_{\delta} $ 是关于时间 $ \delta>0 $ 的色噪声. 函数 $ a $, $ f $ 和 $ h $ 满足以下假设

(A) 函数 $ a\in C\left(\mathbb{R};\mathbb{R}^{+}\right) $ 是局部 $ \text{Lipschitz} $ 的, 满足存在两个正常数 $ m $ 和 $ M $, 使得

(f) 函数 $ f\in C(\mathbb{R}) $, 满足存在常数 $ L_f, \kappa, \beta_1, \beta_2>1 $, 使得

其中 $ p\geq2 $. 由 (1.6) 式可知, 存在常数 $ \beta_3>1 $, 使得

(H) 非线性项 $ h $ 是连续可微的, 即对任意的 $ (t,x,s)\in\mathbb{R}\times\mathcal{O}\times\mathbb{R} $, 有

其中 $ 2{\leq}q<p<\infty $ 且 $ \hat{q}=\frac p{p-1} $, $ \tilde{q}=\frac p{p-q} $.

在证明问题 (1.1)-(1.3) 的随机吸引子与不变测度存在性时, 主要困难在于 "双重" 非局部项 $ a(l(u))(-\Delta)^s $ 的出现. 一个是非局部分数阶 $ \text{Laplacian} $ 算子 $ (-\Delta)^s $, 而 $ a(l(u)) $ 是伴随分数阶 $ \text{Laplacian} $ 算子的另一个非局部项. 类似于文献 [16,17], 将包含非局部项 $ a(l(u)) $ 的 $ \text{Nemytskii} $ 算子引入到问题 (1.1)-(1.3), 使得问题能够被平滑地求解. 不妨定义 $ \text{Nemytskii} $ 算子 $ F:L^{2}\left(\mathcal{O}\right)\to L^{q_1}\left(\mathcal{O}\right) $ 为

其中 $ 0<\mu<\min\left\{\frac{\beta_{1}}{m},\frac{\beta_{2}}{M},C(n,s)\right\} $, $ q_1\in(1,2] $ 是 $ p $ 的共轭数. 通过 $ \text{Young} $ 不等式和 (1.6) 式, 可验证算子 $ F $ 满足以下假设

(F) 存在正常数 $ \alpha_{1} $, $ \alpha_{2} $, $ \kappa_{1} $, 使得对所有的$ x\in\mathcal{O} $,

其中 $ p\geq2 $. 由 (1.12) 式可知, 存在常数 $ \alpha_{3}>0 $, 使得

进一步, 通过 (1.11) 式将问题 (1.1)-(1.3) 重新定义为

边界条件

初值条件

本文结构如下: 在第 2 节中回顾了分数阶 $ \text{Laplacian} $ 算子, 色噪声以及随机动力系统的基本概念与相关理论; 第 3 节证明了具有非线性色噪声的分数阶非局部反应扩散方程拉回随机吸引子的存在唯一性; 在第 4 节中证明了该方程支撑在拉回随机吸引子上不变测度的存在性; 第 5 节总结全文结论.

首先回顾分数阶 $ \text{Laplacian} $ 算子 $ (-\Delta)^s $ 和分数阶 $ \text{Sobolev} $ 空间的一些概念和结果. 对于分数阶 $ \text{Laplacian} $ 算子有不同的定义^[10]. 一种是积分型分数阶算子, 另一种是谱型分数阶算子. 这里主要将积分型分数阶 $ \text{Laplacian} $ 算子与问题 (1.1)-(1.3) 的解联系起来.

设 $ \left(-\Delta\right)^{s} $ ($ s\in(0,1) $)为分数阶 $ \text{Laplacian} $ 算子, 定义如下

其中 $ \mathrm{P.V}. $ 表示积分的主值. $ C(n,s) $ 是一个正常数, 由下式给出

设 $ H^s\left(\mathbb{R}^n\right) $ ($ s\in\left(0,1\right) $) 是分数阶 $ \text{Sobolev} $ 空间

这是一个 $ \text{Hilbert} $ 空间, 它的范数和内积如下

其中 $ (\int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n}\frac{|u(x)-u(y)|^2}{| x-y|^{n+2\text{s}}}{\rm d}x{\rm d}y)^{\frac12} $ 是 $ H^s(\mathbb{R}^n) $ 的 $ \text{Gagliardo} $ 半范数, 记作 $ \left\|u\right\|_{\dot{H}^s(\mathbb{R}^n)} $. 于是, 对任意的 $ u\in H^{s}(\mathbb{R}^{n}) $, 有 $ \|u\|_{H^s(\mathbb{R}^n)}^2=\|u\|_{L^2(\mathbb{R}^{n})}^2+\|u\|_{\dot{H}^s(\mathbb{R}^n)}^2 $. 此外, 通过文献 [10] 可知,

其中 $ C(n,s) $ 如 (2.2) 式所定义. 方便起见, 用 $ \|\cdot\|_p $ 表示 $ L^p(\mathbb{R}^n) $ 中的范数, 其中 $ p>2 $; 用 $ \left\|\cdot\right\| $ 和 $ (\cdot,\cdot) $ 分别表示 $ L^2(\mathbb{R}^n) $ 的范数和内积.

由于 (2.1) 式中的 $ \left(-\Delta\right)^{s} $ 显然是一个非局部算子, 则齐次边界条件 (如 (1.15) 式) 可以解释为 $ \mathbb{R}^{n}\setminus\mathcal{O} $ 上 $ u=0 $, 而不是仅在 $ \partial\mathcal{O} $ 上 $ u=0 $. 这种解释已在许多文献中使用, 见文献 [19] 及其中的参考文献. 即对所有的 $ x\in\mathbb{R}^{n}\setminus\mathcal{O} $, 设 $ h(t,x,u)=0 $, $ g\left(t,x\right)=0 $ 来将 $ h(t,\cdot,u) $ 和 $ g(t,\cdot) $ 推广到整个空间 $ \mathbb{R}^n $. 在此基础上, 定义以下两个空间

定义双线性算子 $ b:V\times V\to\mathbb{R} $, 使得对任意的 $ u_1,u_2\in V $,

其中 $ \mu $ 是常数. 此外, 不妨将算子 $ A:V\to V^{*} $ 与算子 $ b $ 相关联, 使得

其中 $ V^{*} $ 是 $ V $ 的对偶空间, $ \langle\cdot,\cdot\rangle_{V^{*},V} $ 是 $ V^{*} $ 和 $ V $ 的对偶积.

为了证明所需结果, 一方面, 考虑 $ A $ 的性质, 即 $ A $ 是单射和满射, $ A^{-1} $ 存在且是一个对称紧算子, 见文献 [20]; 另一方面, 有嵌入关系: $ V\subset H\equiv H^*\subset V^* $, 其中第一个嵌入是紧的, 见文献 [10]. 通过 $ \text{Hilbert-Schmidt} $ 定理, 发现 $ A $ 有一族特征函数 $ \left\{e_{i}\right\}_{i=1}^{\infty} $, 它形成 $ H $ 的标准正交基. 若 $ \{\lambda_{i}\}_{i=1}^{\infty} $ 表示对应于特征函数 $ \left\{e_{i}\right\}_{i=1}^{\infty} $ 的算子 $ A $ 的特征值, 则有$Ae_{i}=\lambda_{i}e_{i},i=1,2,\cdots,$其中 $ \lambda_{i} $ 满足$0<\mu<\lambda_1\leq\lambda_2\leq\cdots\lambda_i\to\infty,\text{当}~i\to\infty~\text{时}.$

接下来, 介绍色噪声. 为此, 引入一个度量动力系统 $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P},\left\{\theta_{t}\right\}_{t\in\mathbb{R}}) $, 其中 $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $ 是一个概率空间, $ \Omega=\{\omega\in C(\mathbb{R},\mathbb{R}):\omega(0)=0\} $ 具有开的紧拓扑, $ \mathcal{F} $ 是它的 $ \text{Borel} $$ \sigma $-代数, $ \mathbb{P} $ 是 $ \text{Wiener} $ 测度. 在 $ \Omega $ 上的保测平移群 $ \left\{\theta_{t}\right\}_{t\in\mathbb{R}} $, 由下式给出:$\theta_{t}\omega(\cdot)=\omega(t+\cdot)-\omega(t),~\text{对于}~\forall\omega\in\Omega.$

设 $ \delta>0 $, 考虑一维随机微分方程

其中 $ W $ 是定义在 $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $ 上的双边实值 $ \text{Wiener} $ 过程. 定义一个随机变量 $ \zeta_{\delta}:\Omega\to\mathbb{R} $,

则 $ \zeta_{\delta}\left(\theta_{t}\omega\right) $ 被称为 $ \text{Ornstein-Uhlenbeck} $ 过程 (或色噪声), 它是一个 $ E(\zeta_{\delta})=0 $ 的平稳 $ \text{Gauss} $ 过程, 并且是 (2.8) 式的唯一稳态解. 通过文献 [21] 可知, 存在满测度的 $ \left\{\theta_{t}\right\}_{t\in\mathbb{R}} $ 不变子集 (仍记作 $ \Omega $), 使得对于任意的 $ \omega\in\Omega $, 有

假设 $ (X,\|\cdot\|_X) $ 是一个可分 $ \text{Hilbert} $ 空间, 具有 $ \text{Borel} $$ \sigma $-代数 $ \mathcal{B}(X) $. 并令 $ \mathcal{D} $ 是 $ X $ 中一些集合族 (由 $ X $ 中的非空集合构成) 所构成的全体.

定义 2.1^[22] 一个映射 $ \Phi:\mathbb{R}^+\times\mathbb{R}\times\Omega\times X\to X $ 被称为是 $ X $ 上关于 $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P},(\theta_t)_{t\in\mathbb{R}}) $ 的连续随机动力系统, 若它对所有 $ \tau\in\mathbb{R} $, $ \omega\in\Omega $, $ t,s\in\mathbb{R}^+ $, 满足

(1) $ \Phi(\cdot,\tau,\cdot,\cdot):\mathbb{R}^{+}\times\Omega\times X\to X $ 是 $ (\mathcal{B}(\mathbb{R}^+)\times\mathcal{F}\times\mathcal{B}(X),\mathcal{B}(X)) $-可测的;

(2) $ \Phi(0,\tau,\omega,\cdot) $ 是 $ X $ 中的恒同映射;

(3) $ \Phi(t+s,\tau,\omega,\cdot)=\Phi(t,\tau+s,\theta_s\omega,\cdot)\circ\Phi(s,\tau,\omega,\cdot) $;

(4) $ \Phi(t,\tau,\omega,\cdot):X\to X $ 连续.

定义 2.2^[22] 一个集合 $ \mathcal{K}=\{\mathcal{K}(\tau,\omega):\tau\in\mathbb{R},\omega\in\Omega\}\in\mathcal{D} $ 被称为 $ \Phi $ 的 $ \mathcal{D} $-拉回吸收集, 如果对每个 $ \tau\in\mathbb{R} $, $ \omega\in\Omega $, $ D\in\mathcal{D} $, 存在 $ T=T(D,\tau,\omega) $, 使得

定义 2.3^[22] 若定义在 $ X $ 和 $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P},\left\{\theta_{t}\right\}_{t\in\mathbb{R}}) $ 中的一个非自治随机动力系统 $ \Phi $ 满足, 对每个 $ \tau\in\mathbb{R} $, $ \omega\in\Omega $, $ D\in\mathcal{D} $, 当 $ t_n\to\infty $ 和 $ x_n\in D(\tau-t_n,\theta_{-t_n}\omega) $ 时, 序列 $ \{\Phi(t_n,\tau-t_n,\theta_{-t_n}\omega,x_n)\}_{n=1}^\infty $ 在 $ X $ 中有一个收敛子列. 则称 $ \Phi $ 在 $ X $ 中是 $ \mathcal{D} $-拉回渐近紧的.

定理 2.1^[22] 若定义在 $ X $ 和 $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P},\left\{\theta_{t}\right\}_{t\in\mathbb{R}}) $ 中的一个连续非自治随机动力系统 $ \Phi $ 满足,

(1) $ \Phi $ 在 $ X $ 中有一个 $ \mathcal{D} $-拉回随机吸收集 $ \mathcal{K}=\{\mathcal{K}(\tau,\omega):\tau\in\mathbb{R},\omega\in\Omega\}\in\mathcal{D} $;

(2) $ \Phi $ 在 $ X $ 中是 $ \mathcal{D} $-拉回渐近紧的.

则 $ \Phi $ 有一个唯一的 $ \mathcal{D} $-拉回随机吸引子 $ \mathcal{A}=\{\mathcal{A}(\tau,\omega):\tau\in\mathbb{R},\omega\in\Omega\}\in\mathcal{D} $, 且

引理 2.1^[17] 假设 $ a\in C\left(\mathbb{R};\mathbb{R}^{+}\right) $ 是局部 $ \text{Lipschitz} $ 的, 满足 (1.4) 式; $ f\in C(\mathbb{R}) $ 满足 (1.5)-(1.7) 式, 这意味着 $ F:L^{2}\left(\mathcal{O}\right)\to L^{q_1}\left(\mathcal{O}\right) $ 满足 (1.12)-(1.13) 式; $ g\in L_{\rm loc}^2(\mathbb{R},H) $, $ l\in\mathcal{L}\left(L^{2}(\mathcal{O});\mathbb{R}\right) $. 则对每个 $ \tau\in\mathbb{R} $, $ t>\tau $, $ \omega\in\Omega $, 问题

(1.14)-(1.16) 的解算子 $ u(t;\tau,\omega,\cdot):H\to H $ 是紧的. 即对 $ H $ 中的每个有界序列 $ \{u_{0,n}\}_{n=1}^{\infty} $, 序列 $ \{u(t;\tau,\omega,u_{0,n})\}_{n=1}^{\infty} $ 在 $ H $ 中有收敛的子序列.

定义 2.4^[23] 将广义 $ \text{Banach} $ 极限记为 $ \underset{t\to+\infty}{\operatorname*{LIM}} $, 它是定义在由 $ \left[0,+\infty\right) $ 中所有的有界实值函数构成的空间上的线性泛函, 且满足

(1) 对于非负函数 $ f $, $ \underset{t\to+\infty}{\operatorname*{LIM}}f(t){\geq}0 $;

(2) 如果极限 $ \underset{t\to+\infty}{\lim}f\left(t\right) $ 存在, $ \underset{t\to+\infty}{\lim}f\left(t\right)=\underset{t\to+\infty}{\operatorname*{LIM}}f(t) $.

定理 2.2^[18] 若映射 $ \left(t,\omega\right)\in\mathbb{R}\times\Omega\mapsto\mu_{t,\omega}\in\mathcal{P}_r\left(X\right) $ ($ \mathcal{P}_r(X) $ 是 $ \text{Banach} $ 空间上的所有概率测度空间) 满足, 对 $ X $ 上任意实值连续泛函 $ \varphi $, 有

则称 $ \mu_{t,\omega} $ 为随机动力系统 $ \Phi $ 的一个不变测度.

定理 2.3^[18] 给定一个非自治随机动力系统 $ \Phi $, 满足 $ \Phi\left(-t,\tau+t,\theta_{t}\omega,\upsilon\right) $ 在 $ (t,v)\in(-\infty,0]\times X $ 中连续, 且有唯一的 $ \mathcal{D} $- 拉回随机吸引子. 固定一个广义 $ \text{Banach} $ 极限 $ \underset{t\to-\infty}{\operatorname*{LIM}} $, 并令 $ \upsilon(\cdot):\mathbb{R}\to X $ 是一个满足 $ \left\{\upsilon(r)\right\}_{r\in\mathbb{R}}\in\mathcal{D} $ 的连续映射. 则存在一族 $ \text{Borel} $ 概率测度 $ \left\{\mu_{\tau,\omega}\right\}_{\tau\in\mathbb{R},\omega\in\Omega} $, 使得 $ \mu_{\tau,\omega} $ 是 $ \Phi $ 支撑在 $ \mathcal{A}(\tau,\omega) $ 上的一个不变测度, 并对 $ X $ 上任意实值连续泛函 $ \varphi $, $ \tau\in\mathbb{R} $, $ \omega\in\Omega $ 且依概率处处连续, 有

首先, 给出问题 (1.14)-(1.16) 弱解的定义

定义 3.1 给定 $ \tau\in\mathbb{R} $, $ \omega\in\Omega $, $ u_{\tau}\in H $, 若一个映射 $ u\left(\cdot;\tau,\omega,u_{\tau}\right):[\tau,\infty)\to H $, 满足$ u(\tau;\tau,\omega,u_{\tau})=u_{\tau} $,

且 $ u $ 在分布意义下满足, 对任意的 $ \xi\in V\cap L^p\left(\mathbb{R}^n\right) $ 和 $ t\in[\tau,\infty) $,

则称 $ u $ 是问题 (1.14)-(1.16) 的一个弱解.

通过文献 [24] 中的 $ \text{Galerkin} $ 方法, 在 (A), (H), (F) 的假设下, 对任意的 $ \tau\in\mathbb{R} $, $ \omega\in\Omega $, $ u_{\tau}\in H $, 问题 (1.14)-(1.16) 有解 $ u\in C\left(\left(\tau,\infty\right),V\right)\cap L_{\rm loc}^p\left(\left(\tau,\infty\right),L^p\left(\mathbb{R}^n\right)\right) $. 并且该解关于初始值是连续的, 在 $ \omega\in\Omega $ 中是 $ (\mathcal{F},\mathcal{B}(H)) $-可测的. 给定 $ t\in\mathbb{R}^+ $, $ \tau\in\mathbb{R} $ 和 $ \omega\in\Omega $, 不妨定义一个映射 $ U $:

其中 $ u(\cdot;\tau,\theta_{-\tau}\omega,u_\tau) $ 是问题 (1.14)-(1.16) 的解. 通过定义 2.1 可知, 这个映射 $ U $ 显然是 $ H $ 上的连续非自治随机动力系统.

设 $ \mathcal{D}=\left\{D\left(\tau,\omega\right):\tau\in\mathbb{R},\omega\in\Omega\right\} $ 为 $ H $ 中所有有界非空子集的调和族所构成的集合. 即对任意的 $ \tau\in\mathbb{R} $, $ \omega\in\Omega $, $ \beta>0 $, 满足

其中 $ \left\|D\left(\tau-t,\theta_{-t}\omega\right)\right\|=\underset{u\in D\left(\tau-t,\theta_{-t}\omega\right)}{\sup}\|u\| $.

接下来, 建立问题 (1.14)-(1.16) 拉回随机吸收集存在性的一致估计. 进一步, 证明解的渐近紧性. 假设函数 $ g\in L_{\rm loc}^2(\mathbb{R},H) $ 满足以下条件

引理 3.1 假设 (A), (H), (F) 及 (3.4) 式成立, 对任意的 $ \sigma\in\mathbb{R} $, $ \tau\in\mathbb{R} $, $ \omega\in\Omega $ 和 $ \mathcal{D}=\left\{D\left(\tau,\omega\right):\tau\in\mathbb{R},\omega\in\Omega\right\} $, 存在 $ T:=T\left(\tau,\omega,D,\delta,m,\mu\right)>0 $, 使得对所有的 $ t\geq T $, 问题 (1.14)-(1.16) 的解 $ u(t;\tau,\omega,u_{\tau-t}) $ 满足

其中 $ u_{\tau-t}\in D(\tau-t,\theta_{-t}\omega) $, 且 $ c $ 表示一个不依赖于任何参数的通用常数, 其值在不同上下文中可能不同.

注 2.1 将方程 (1.14) 与 $ u $ 做内积, 可得

由假设 (A), 可得

利用假设 (F), 可得

根据假设 (H), 可得

通过 $ \text{Young} $ 不等式, 可得

将 (3.8)-(3.11) 式代入能量方程 (3.7), 可推导出

在上式两边同时乘以 $ e^{\frac{3}{2}m\mu t} $, 并在 $ \left(\tau-t,\sigma\right) $ 上积分, 将 $ \omega $ 替换为 $ \theta_{-\tau}\omega $, 对所有的 $ t\geq\tau $, 有

令 $ \sigma=\tau $, 可得

通过 (3.3) 式, 可得

通过 (2.9) 式, 有 $ \int_{-\infty}^{0}e^{\frac{3}{2}m\mu s}\left(\left|\zeta_{\delta}(\theta_{s}\omega)\right|^{\hat{q}}+\left|\zeta_{\delta}(\theta_{s}\omega)\right|^{\tilde{q}}\right){\rm d}s<\infty $. 再结合 (31) 式, 可得

因此, 综合 (3.12)-(3.16) 式得到所需结果.

引理 3.2 假设 (A), (H), (F) 及 (3.5) 式成立, 则由问题 (1.14)-(1.16) 生成的非自治随机动力系统 $ U $ 有一个 $ \mathcal{D} $-拉回吸收集 $ \mathcal{K}=\left\{\mathcal{K}\left(\tau,\omega\right){:}\tau\in\mathbb{R},\omega\in\Omega\right\}\in\mathcal{D} $, 如下

其中

证 通过 (3.2) 式和引理 3.1, 对任意的 $ t\in\mathbb{R}^+ $, $ \tau\in\mathbb{R} $ 和 $ \omega\in\Omega $, 存在 $ T:=T\left(\tau,\omega,D,\delta\right)>0 $, 使得对所有的 $ t\geq T $, 有

这表明, 对于 $ t\geq T $, 有

下面证明 $ \mathcal{K}\in\mathcal{D} $. 给定 $ \gamma>0 $, 令 $ \hat{\mu}=\min\{\gamma,\mu\} $. 对于 $ t\leq0 $, $ r=t+\tau $, 有

通过 (2.9) 式, 有 $ \int_{-\infty}^0e^{\hat{\mu}s}\left(\left|\zeta_\delta(\theta_s\omega)\right|^{\hat{q}}+\left|\zeta_\delta(\theta_s\omega)\right|^{\tilde{q}}\right){\rm d}s<\infty $. 再结合 (3.5) 式, 可得

因此, 通过 (3.19) 和 (3.21) 式可推导出, $ \mathcal{K}\in\mathcal{D} $ 是 $ U $ 的一个 $ \mathcal{D} $-拉回随机吸收集.

引理 3.3 假设 (A), (H), (F) 及 (3.5) 式成立, 则由问题 (1.14)-(1.16) 生成的连续上循环 $ U $ 在 $ H $ 中是 $ \mathcal{D} $-拉回渐近紧的. 即对任意的 $ \tau\in\mathbb{R} $, $ \omega\in\Omega $ 和 $ \mathcal{D}=\left\{D(\tau,\omega):\tau\in\mathbb{R},\omega\in\Omega\right\} $, 当 $ t_n\to+\infty $, $ u_{\tau,n}\in D\left(\tau-t_n,\theta_{-t_n}\omega\right) $ 时, 序列 $ \left\{u\left(\tau;\tau-t_n,\theta_{-\tau}\omega,u_{\tau,n}\right)\right\}_{n=1}^\infty $ 在 $ H $ 中有收敛的子序列.

证 通过引理 3.1, 存在 $ T:=T\left(\tau,\omega,D,m,\mu\right)>0 $ 和 $ C:=C\left(\tau,\omega,m\right)>0 $, 使得对所有 $ t\geq T $, 有

其中 $ u_{\tau}\in H $.

进一步, 当 $ t_n\to+\infty $, $ u_{\tau,n}\in D\left(\tau-t_n,\theta_{-t_n}\omega\right) $ 时, 存在 $ N:=N\left(\tau,\omega,D,m,\mu\right)>0 $, 使得对所有 $ t_n\geq T $, $ n\geq N $, 有

则 $ \left\{u\left(\tau-1;\tau-t_n,\theta_{-\tau}\omega,u_{\tau,n}\right)\right\}_{n=1}^\infty $ 在 $ H $ 中有界. 又由于

基于引理 2.1 可得, 序列 $ \left\{u\left(\tau;\tau-1,\theta_{-\tau}\omega,u\left(\tau-1;\tau-t_n,\theta_{-\tau}\omega,u_{\tau,n}\right)\right)\right\}_{n=1}^\infty $ 在 $ H $ 中是预紧的. 则序列 $ \left\{u\left(\tau;\tau-t_n,\theta_{-\tau}\omega,u_{\tau,n}\right)\right\}_{n=1}^\infty $ 在 $ H $ 中有一个收敛的子序列.

定理 3.1 假设 (A), (H), (F) 及 (3.4) 式成立, 则由问题 (1.14)-(1.16) 生成的随机动力系统 $ U $ 在 $ H $ 中存在唯一的 $ \mathcal{D} $-拉回随机吸引子.

证 根据引理 3.2 可得, 随机动力系统 $ U $ 有一个 $ \mathcal{D} $-拉回随机吸收集$ \mathcal{K}\left(\tau,\omega\right) $. 通过引理 3.3 可知, $ U $ 在 $ H $ 中是$ \mathcal{D} $-拉回渐近紧的. 因此, 基于定理 2.1 可得, $ U $ 在 $ H $ 中存在唯一的 $ \mathcal{D} $-拉回随机吸引子 $ \mathcal{A}(\tau,\omega) $.

为证明问题 (1.14)-(1.16) 存在支撑在随机吸引子上的不变测度, 进一步假设存在正常数 $ L_h $, 使得对所有 $ (t,x,s)\in\mathbb{R}\times\mathcal{O}\times\mathbb{R} $,

引理 4.1 假设 (A), (H), (F) 及 (3.4) 式成立, 对任意的 $ \tau\in\mathbb{R} $, $ \omega\in\Omega $, 映射 $ U(t,\tau-t,\theta_{-t}\omega,$$u_0) $ 在 $ \left(t,u_0\right)\in\left[0,+\infty\right)\times H $ 中连续.

证 固定 $ \tau\in\mathbb{R} $, $ \left(t^*,u_0^*\right)\in\left[0,+\infty\right)\times H $. 为了证明映射的连续性, 则需证明对任意的 $ \varepsilon>0 $, 存在 $ 0<\delta<1 $, 当 $ \left|t-t^*\right|<\delta $, $ \left\|u_0-u_0^*\right\|<\delta $ 时, 有

由 (3.2) 式可知,

先估计 (4.3) 式不等号右端第一项. 不妨将 $ u\left(\cdot;\tau-t,\theta_{-\tau}\omega,u_0\right) $ 和 $ u\left(\cdot;\tau-t,\theta_{-\tau}\omega,u_0^*\right) $ 分别记为 $ {u}\left(\cdot\right) $ 和 $ \hat{u}\left(\cdot\right) $.通过方程 (1.14), 结合假设 (A), 可得

其中 $ m_1=\min\left\{a\left(l\left(u\right)\right),-a\left(l\left(\hat{u}\right)\right)\right\} $. 将 (4.4) 式与 $ u-\hat{u} $ 做内积,并在 $ \left(\tau-t,\tau\right) $ 上积分, 有

对于 (4.5) 式不等号右端第二项. 通过 (1.5) 和 (1.11) 式, 结合假设 (A), 可得

其中 $ L_F=\max\left\{M\mu,C_f\right\} $. 则

对于 (4.5) 式右端非线性项. 通过 $ \text{Hölder} $ 不等式, 结合 (4.1) 式, 可推导出

将 (4.7), (4.8) 式代入 (4.5) 式, 可得

根据 $ \text{Gronwall} $ 不等式, 有

这意味着对任意的 $ t\geq0 $, 当 $ \left|t-t^*\right|<1 $ 时, 有

因此, 对任意的 $ \left(t,u_0\right)\in\left[0,+\infty\right)\times H $, 存在 $ 0<\delta_1<1 $, 使得当 $ \left|t-t^*\right|<\delta_1 $, $ \left\|u_0-u_0^*\right\|<\delta_1 $ 时, 有

接下来, 估计 (4.3) 式不等号右端最后一项. 在不失一般性的情况下, 假设 $ t^{*}<t $. 由于 $ u $ 是问题 (1.14)-(1.16) 的解, 则有

与 (4.5) 式类似, 结合 (4.13) 式, 可得

其中

对 (4.15) 式等号右边第一项和第二项在 $ \left(\tau-t,\tau-t^*\right) $ 上积分, 通过 (3.12) 式, 可得

结合 (3.4) 式以及 $ \zeta_\delta\left(\theta_t\omega\right) $ 在 $ t $ 中的连续性, 对任意的 $ t\geq0 $, 存在 $ 0<\delta_2<\delta_1 $, 当 $ \left|t-t^*\right|<\delta_2 $ 时, 有

其中 $ K_1(\tau,t^*,\omega)=e^{\int_{\tau-t^*}^\tau4(L_h|\zeta_\delta(\theta_s\omega)|+L_F-m_1\mu){\rm d}s} $. 此外, (4.16) 式还意味着存在 $ K_2\left(\tau,t^*,\omega,u_0^*\right)$$>0 $, 使得对任意的 $ t\geq0 $, $ \left|t-t^*\right|<1 $, 有

对于 (4.15) 式等号右端最后一项. 由于 $ V $ 在 $ H $ 中稠密, 则存在 $ \tilde{u}_0^*\in V $ 满足 $ \left\|\tilde{u}_{0}^{*}-u_{0}^{*}\right\|<\frac{\varepsilon}{64K_{1}\left(\tau,t^{*},\omega\right)K_{2}\left(\tau,t^{*},\omega,u_{0}^{*}\right)} $, 使得

先估计 (4.19) 式不等号右边第一项. 通过 $ \text{Hölder} $ 不等式, 可得

由文献 [18] 的类似证明, 可推导出

则对任意的 $ t\geq0 $, $ \left|t-t^*\right|<\delta_2 $, 有

再估计 (4.19) 式不等号右端第二项. 利用 $ \text{Hölder} $ 不等式, 有

通过 (4.18) 式, 结合 $ \left\|\tilde{u}_{0}^{*}-u_{0}^{*}\right\|<\frac{\varepsilon}{64K_{1}\left(\tau,t^{*},\omega\right)K_{2}\left(\tau,t^{*},\omega,u_{0}^{*}\right)} $, 可推导出

根据 (4.22) 和 (4.24) 式, 对任意的 $ t\geq0 $, 存在 $ 0<\delta_3<\delta_2 $, 当 $ \left|t-t^*\right|<\delta_3 $ 时, 有

因此, 综合 (4.3), (4.12)-(4.15), (4.17)和 (4.25) 式, 对任意的 $ \left(t,u_0\right)\in\left[0,+\infty\right)\times H $, 存在 $ \delta=\delta_3\in\left(0,1\right) $, 使得当 $ \left|t-t^*\right|<\delta $, $ \left\|u_0-u_0^*\right\|<\delta $ 时, 有 (4.2) 式成立.

定理 4.1 假设 (A), (H), (F) 及 (31) 式成立. 固定一个广义 $ \text{Banach} $ 极限$ \underset{t\to-\infty}{\operatorname*{LIM}} $, 并令 $ \xi\left(\cdot\right):\mathbb{R}\to H $ 是一个满足 $ \left\{\xi\left(t\right)\right\}_{t\in\mathbb{R}}\in\mathcal{D} $ 的连续映射. 则存在一族 $ \text{Borel} $ 概率测度 $ \left\{\mu_{\tau,\omega}\right\}_{\tau\in\mathbb{R},\omega\in\Omega} $ 使得$ \mu_{\tau,\omega} $ 是随机动力系统 $ U $ 支撑在随机吸引子 $ \mathcal{A}(\tau,\omega) $ 上的不变测度, 对 $ H $ 上的任意实值连续泛函 $ \varphi $, $ \tau\in\mathbb{R} $, $ \omega\in\Omega $ 且依概率处处连续, 有

证 通过定理 3.1 可得, 与问题 (1.14)-1.16) 相关的非自治随机动力系统 $ U $ 在 $ H $ 中存在唯一的 $ \mathcal{D} $-拉回随机吸引子 $ \mathcal{A}(\tau,\omega) $. 根据引理 4.1 可知, $ U\left(t,\tau-t,\theta_{-t}\omega,u_0\right) $ 在 $ \left(t,u_0\right)\in\left[0,+\infty\right)\times H $ 中连续. 因此, 基于定理 2.3 可得出问题 (1.14)-(1.16) 支撑在拉回随机吸引子上不变测度 $ \mu_{\tau,\omega} $ 的存在性.

本文研究了由非线性色噪声驱动的非自治分数阶非局部反应扩散方程的长时间行为, 主要讨论其随机吸引子与不变测度的存在性. 创新点在于, 该方程的随机吸引子与不变测度尚未见相关结论, 且方程中的非线性项 $ h $ 的形式比已有文献更具一般性 (如方程 (1) 中的三元函数 $ h\left(t,x,u\right) $). 这意味着, 当非线性项 $ h $ 为一元或二元函数并满足相应条件时, 其随机吸引子与不变测度均存在. 基于此, 今后可从以下两个方向深入研究: 由线性白噪声 (加性或乘性噪声) 驱动的分数阶非局部反应扩散方程的不变测度的存在性以及当非线性项 $ f $ 具有更一般的形式 ($ f=f\left(x,u\right) $ 或 $ f\left(t,x,u\right)$) 时, 验证非线性色噪声驱动的分数阶非局部反应扩散方程的拉回随机吸引子的存在性.