本文中, 我们考虑空间变量 $x$ 柱对称的情形 (即 $x=\sqrt{r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}}$), 三维可压缩柱对称可压缩向列液晶方程剪切粘性的粘性极限问题

这里$\rho=\rho(r,t),~u=u(r,t)$, $\mathbf{n=n}(r,t)$ 分别表示密度, 速度向量场和液晶的光轴向量, $\mathbf{n}$ 是一个单位向量 (即$|\mathbf{n}|=1$), $v$ 是速度的角分量, $w$ 是速度的轴向分量, $P=A\rho^{\gamma}$ 是压力, 这里 $\gamma>1$ 且 A 是一个正常数, 正数 $\nu$ 和正数 $\mu$ 分别是体积和剪切粘性系数.

考虑系统 (1.1) 在区域 $(a,b)\times [T]$ 上满足如下初边值条件

假设随着剪切粘性 $\mu$ 的消失, 初值 $(\rho_{0}^{\mu},u_{0}^{\mu},v_{0}^{\mu},w_{0}^{\mu},\mathbf{n}_{0}^{\mu} )$ 收敛于函数 $(\rho_{0},u_{0},v_{0},w_{0},\mathbf{n}_{0})$, 讨论问题 (1.1)-(1.3) 的解与零剪切粘性问题的解之间关系. 当 $\mu=0$ 时,

满足初值条件

及边值条件

人们发现液晶的存在大约是在 1888 年, 早在 20 世纪初, 科学家就开始研究液晶的光学和物理特性, 但尚未建立系统的理论. 1920 年 Fritz London 等提出了液晶的连续体理论, Vladimir Tsvetkov 等科学家在此基础上进一步建立了液晶的连续体理论, Pierre-Gilles de Gennes 等则建立了向列液晶流的连续体理论, 奠定了现代液晶物理学的基础. Ericksen 和 Leslie 于 1970 年提出了向列液晶的动力学方程, 提出了广为人们所接受的动力学理论.

在过去几十年里, 已有许多关于向列相液晶流体相关研究, Ding-Wang 等在文献 [1,2,16] 讨论了一维和柱对称含真空液晶流全局弱解, 强解以及经典解的存在唯一性. Huang-Wang 等在文献 [6,7] 中分别证明了高维初边值问题的局部强解存在性以及给出了爆破准则. Li-Xu-Zhang 等在文献 [5,10,12,13,15,19] 中证明了小初值高维情形初值/初边值问题全局强解的存在性. 最后, Wang-Yu 等分别在文献 [8,11,18,21] 中得到了全局弱解存在性以及解的衰减性.

在本文中, 我们主要讨论柱对称可压缩液晶流初边值问题的剪切粘性极限, 我们知道, 若 $\mathbf{n}$ 为常数向量场时, 方程 (1.1) 退化为标准的等熵可压缩 Navier-Stokes 方程组, 关于柱对称 Navier-Stokes 方程初边值问题的剪切粘性极限已有大量的研究, 可参考文献 [4,9,14]. Frid-Shelukhin 在文献[4] 中, 讨论了随着剪切粘性消失解的极限, 其后 Jiang-Zhang 在文献 [9] 中不仅考虑了解的极限, 而且讨论了边界层的厚度. 接着 Ye-Zhang²³ 在文献 [9] 的基础上构造了边界层函数 $v_{c}^{\mu}$ 及 $w_{c}^{\mu}$ 使得函数 $v^{\mu}-v^{\mu}_{c}$, $w^{\mu}-w^{\mu}_{c}$ 一致收敛到零剪切粘性函数的解. 最近 Wen 等分别在文献 [20] 以及文献 [17] 中利用渐近展开的方法得到了等熵以及非等熵 Navier-Stokes 方程组解的最佳收敛速度. Yao 等在文献 [22] 中将常粘性系数扩充为变粘性系数时, 讨论了剪切粘性极限问题. 由于可压缩 Ericksen-Leslie 系统之间的耦合关系更为复杂导致对解的估计更加困难, 受文献 [20] 启发, 下面我们类似经典的 Navier-Stokes 方程讨论可压缩 Ericksen-Leslie 方程剪切粘性极限问题.

首先我们给出一些符号约定

(1) $L^{p}\triangleq L^{p}(a,b),~L^{p}_{y}\triangleq L^{p}(0,+\infty),~L^{p}_{z}\triangleq L^{p}(-\infty,0)$, 其中 $p\in[1,\infty]$;

(2) 对于正整数 $n$, 有 $H^{n}\triangleq H^{n}(a,b)$; 而且 $\|\cdot\|_{L^{p}}\triangleq\|\cdot\|_{L^{p}(a,b)},~\|\cdot\|_{L^{p}_{y}}\triangleq\|\cdot\|_{L^{p}(0,\infty)}, \|\cdot\|_{L^{p}_{z}}\triangleq\|\cdot\|_{L^{p}(-\infty,0)}$;

(3)对于任意的 $T>0$ 和 $k\geq 1$, 其中 $W_{2}^{2k,k}\triangleq W_{2}^{2k,k}(\Omega\times(0,T))\triangleq\big\{u|D_{r}^{\alpha}D_{t}^{\beta}u\in L^{2}(\Omega\times(0,T))$, 对于任意的 $\alpha$ 和 $\beta$, 有 $|\alpha|+2\beta\leq 2k\big\}$.

为简化计算且不失一般性, 我们假设 $A=\theta=\nu=1$, 为避免符号混淆, 现作如下说明: 其中 $C$ 表示一个与 $\mu$ 无关的常数.

本文主要结果如下

定理 1.1 假设初边值满足 $(\rho^{\mu}_{0},u_{0}^{\mu},v_{0}^{\mu},w_{0}^{\mu})\in H^{1}(a,b)$, $\mathbf{n}_{0}^{\mu}\in H^{2}(a,b)$, $(v_{1},w_{1})\in H^{2}(0,T)$, $0<C_{\ast}\leq \rho_{0}^{\mu}\leq C^{\ast}$ 以及满足相容性条件: $(v_{0}^{\mu},w_{0}^{\mu})(a)=(v_{1},w_{1})(0)$, $(v_{0}^{\mu},w_{0}^{\mu})(b)=(v_{2},w_{2})(0)$. 除此之外, 设 $\alpha >3/4$, 有

则对任意时刻 $T>0$, 存在与 $\mu$ 无关的常数 $C$, 使得

$\begin{align*}\sup_{0\leq t\leq T}\left(\|(\rho^{\mu}-\rho^{E,0})(t)\|_{C([a,b])}+\|(u^{\mu}-u^{E,0})(t)\|_{C([a,b])}+\|(\mathbf{n}^{\mu}-\mathbf{n}^{E,0}\right)_{r}(t)\|_{C([a,b])})\leq C\mu^{\frac{1}2},\end{align*}\begin{align*}\hspace{-3cm}\sup_{0\leq t\leq T}\|v^{\mu}(\cdot,t)-v^{E,0}(\cdot,t)-v^{B,0}(\frac{\cdot-a}{\sqrt{\mu}},t)-v^{b,0}(\frac{\cdot-b}{\sqrt{\mu}},t)\|_{C([a,b])}\leq C\mu^{\frac{1}2},\end{align*}$

这里 $(\rho^{\mu},u^{\mu},v^{\mu},w^{\mu},\mathbf{n}^{\mu})$ 及 $(\rho^{E,0},u^{E,0},v^{E,0},w^{E,0},\mathbf{n}^{E,0} )$ 分别是方程 (1.1)-(1.3) 和方程 (1.4)-(1.6) 的强解. $(v^{B,0},w^{B,0})$ 和 $(v^{b,0},w^{b,0})$ 满足如下方程

及

其中 $\overline{u_{r}^{E,0}}\triangleq u_{r}^{E,0}(a,t),~~\overline{\rho^{E,0}}\triangleq \rho^{E,0}(a,t),~~ \widetilde{u_{r}^{E,0}}\triangleq u_{r}^{E,0}(b,t),~~\widetilde{\rho^{E,0}}\triangleq\rho^{E,0}(b,t)$.

注 1.1 从定理 1.1 中, 我们可以看出 $\rho^{\mu}(r,t)$, $u^{\mu}(r,t)$ 和 $\mathbf{n}_{r}^{\mu}(r,t)$ 分别一致收敛到 $\rho^{E,0}(r,t)$, $u^{E,0}(r,t)$ 和 $\mathbf{n}_{r}^{E,0}(r,t)$. 但是 $v^{\mu}(r,t)$ 和 $w^{\mu}(r,t)$ 却不能分别一致收敛到 $v^{E,0}(r,t)$ 和 $w^{E,0}(r,t)$, 这是因为它们在边界处出现了边界函数 $v^{B,0}(r,t)$, $v^{b,0}(r,t)$, $w^{B,0}(r,t)$ 以及 $w^{b,0}(r,t)$.

问题 (1.8) 及 (1.9) 是标准的抛物方程, 根据抛物方程的理论, 易知问题 (1.8) 和问题 (1.9) 存在唯一的解, 并且边界层函数 $v^{B,0}(r,t)$, $v^{b,0}(r,t)$, $w^{B,0}(r,t)$ 以及 $w^{b,0}(r,t)$ 具有一定的正则性.

注 1.2 根据边界层的宽度以及文献 [22], 知定理 1.1 中的收敛速度是最佳的.

注 1.3 在文献 [19] 中, 问题 (1.1)-(1.3) 的存在和唯一性已证, 并且对于任意时刻 $T>0$, 解 $(\rho^{\mu},u^{\mu},\mathbf{n^{\mu}},v^{\mu},w^{\mu})$ 满足下列与 $\mu$ 无关的一致估计

类似文献 [20] 的证明, 我们可以进一步得到下列与 $\mu$ 无关的一致估计

命题 1.1 在定理 1 的条件下, 问题 (1.1)-(1.3) 的解 $(\rho^{\mu},u^{\mu},\mathbf{n^{\mu}},v^{\mu},w^{\mu})(r,t)$ 满足

这里 $Q_{T}\triangleq \Omega\times [T]$, $\Omega\triangleq [a,b]$ 以及 $C$ 与 $\mu$ 无关.

由于 $v^{\mu}(r,t)$ 和 $w^{\mu}(r,t)$ 的边界条件是非齐次的, 从而导致它们不会一致收敛于 $v^{E,0}(r,t)$ 和 $w^{E,0}(r,t)$. 通过计算, 我们得到边界层函数$(v^{B,0},w^{B,0})$ 和 $(v^{b,0},w^{b,0})$, 并在此基础上对边界层函数进行了加权估计. 首先, 我们对剪切粘性 $\mu$ 进行多尺度分析,

假设问题 (1.1)-(1.3) 的解有如下渐近展开

而且 $(\rho^{B,i},u^{B,j},v^{B,k},w^{B,m},\mathbf{n}^{B,l})(y,t)$ 和 $(\rho^{b,i},u^{b,j},v^{b,k},w^{b,m},\mathbf{n}^{b,l})(z,t)$ 满足以下条件

(i) 对于 $i,~j,~k,~m,~l=0,~1$. 当 $y\rightarrow+\infty$ 时, $(\rho^{B,i},u^{B,j},v^{B,k},w^{B,m}, \mathbf{n}^{B,l})(y,t)$ 及它们的导数快速衰减到 0;

(ii) 对于 $i,~j,~k,~m,$ $l=0,~1$. 当 $z\rightarrow-\infty$ 时, $\left(\rho^{b, i}, u^{b, j}, v^{b, k}, w^{b, m}, \mathbf{n}^{b, l}\right)(z, t)$ 及它们的导数快速衰减到 0;

(iii) 对于 $i,~j,~k,~m,~l\geq2$. $(\rho^{B,i},u^{B,j},v^{B,k},w^{B,m},\mathbf{n}^{B,l})(y,t)$, $(\rho^{b,i}$, $u^{b,j}$, $v^{b,k}$, $w^{b,m}$, $\mathbf{n}^{b,l})(z,t)$ 及它们的导数是有界的. 这里, $y=\frac{r-a}{\sqrt{\mu}},~z=\frac{r-b}{\sqrt{\mu}},~r\in(a,b)$.

假设 $(\rho^{B,i},u^{B,j},v^{B,k},w^{B,m},\mathbf{n}^{B,l})(y,t)$, $(\rho^{b,i}$,$u^{b,j}$, $v^{b,k}$, $w^{b,m}$, $\mathbf{n}^{b,l})(z,t)$ 和 $(\rho^{E,i}$, $u^{E,j}$, $v^{E,k}$, $w^{E,m}$, $\mathbf{n}^{E,l})(r,t)$ 在初始时刻满足

和边界条件

为了研究函数 $\rho^{B,i}$, $u^{B,j}$ 等的性质, 将 (2.1) 式代入到方程 (1.1) 中, 合并出 $\mu$ 的相同阶数, 从而对方程进行分解, 具体步骤如下

第一步 令 $(y, z)$ 分别趋于 $(+\infty, -\infty)$, 假设 $\mu\rightarrow 0$, 我们得到 $(\rho^{E,0}$,$u^{E,0}$,$v^{E,0}$,$w^{E,0}$,$\mathbf{n}^{E,0})$ 满足如下方程

第二步 通过合并 $\mu$ 的相同阶数, 我们推导出 $(\rho^{B,i},u^{B,j},v^{B,k},w^{B,m},\mathbf{n}^{B,l})$ 和 $(\rho^{b,i},u^{b,j},v^{b,k}$,$w^{b,m},\mathbf{n}^{b,l})$ 满足

事实上, 我们把 (2.1) 式代入到方程 $\left (1.1 \right)_{2}$ 中, 得到

从上述方程中合并出 $\mu^{-\frac{3}2}$ 项, 得

分别令 $z\rightarrow -\infty$ 和 $y\rightarrow +\infty$, 得到

结合 $(\mathbf{n}^{B,0}, \mathbf{n}^{b,0})$ 和 $(\textbf{n}_{y}^{B,0}, \textbf{n}_{z}^{b,0})$ 满足的假设条件, 我们有

类似的, 我们从方程 (2.6) 中合并出 $\mu^{-1}$ 项, 得到

通过 (2.7) 式, 上式可化简为

令 $z\rightarrow-\infty$ 及 $y\rightarrow+\infty$, 得

因此

结合方程 $ (2.3)_{1}$ 及 (2.8) 式, 得 $\overline{u^{E,0}}\triangleq u^{E,0}(a,t)=0$, ~~ $\widetilde{u^{E,0}}\triangleq u^{E,0}(b,t)=0$.

类似地, 由方程 (2.6), 合并 $\mu^{-1/2}$ 项

在上式中, 分别取 $z\rightarrow-\infty$ 及 $y\rightarrow+\infty$, 得到

以及

将 (2.1) 式代入方程 $\left (1.1 \right)_{5}$, 得

$\mu^{-\frac{1}2}$ 项:

结合 (2.7) 式, (2.8) 式, 得

上式中, 令 $z\rightarrow-\infty$ 及 $y\rightarrow+\infty$, 得

根据边界层函数 $\mathbf{n}^{B,1}$ 及 $\mathbf{n}^{b,1}$ 的性质, 知

将 (2.11) 式代入 (2.9) 式和 (2.10) 式, 得

这里 $(y,t)\in[0,+\infty)\times [0,+\infty)$, $z\in(-\infty,0]$, $\gamma\geq1$.

将 (2.1) 式代入方程 $\left (1.1 \right)_{1}$, 得

$\mu^{0}$ 项

及

其中这里利用了方程 $ (2.3)_{1}$, (2.8) 式, 以及

根据方程 $ (2.2)_{2}$, 方程 $ (2.3)_{4}$, (2.12) 式, (2.13) 式以及利用 Gronwall 不等式, 得到

将 (2.16) 式代入 (2.12) 式及 (2.13) 式, 得

第三步 将 (2.1) 式代入方程 $\left (1.1 \right)_{3}$, 得

上式结合方程 $\left (2.4 \right)_{3}$, (2.8) 式, (2.16) 式, (2.17) 式, 合并 $\mu^{0}$ 项, 得

类似地, 将 (2.1) 式代入方程 $\left (1.1 \right)_{4}$, 得

结合 (2.4) 式, (2.7) 式, (2.8) 式, (2.16) 式 以及 (2.17) 式, 得到 $(\rho^{B,0},u^{B,0},v^{B,0},w^{B,0},\mathbf{n}^{B,0})$ 满足方程

以及初边值条件

类似地, $(\rho^{b,0},u^{b,0},v^{b,0},w^{b,0},\mathbf{n}^{b,0})$ 满足方程

以及初边值条件

为了分析边界层的性质, 下面证明零剪切粘性方程 $(\rho^{E,0},u^{E,0},\mathbf{n}^{E,0},v^{E,0},w^{E,0})$ 的正则性,基于文献 [23], 可以得到如下估计

命题 2.1 假设初值满足

以及相容性条件

则问题 (1.4)-(1.6) 存在唯一的全局强解 $(\rho^{E,0},u^{E,0},v^{E,0},w^{E,0},\mathbf{n}^{E,0})$ 满足

下面给出边界层函数的正则性

引理 2.1 假设 $(\rho^{E,0},u^{E,0},v^{E,0},w^{E,0},\mathbf{n}^{E,0})$ 满足命题 2.1 中的条件, 对任意时刻 $T>0$ 以及任意 $l>0$, 问题 (2.18)-(2.20) 的解 $(v^{B,0},w^{B,0})$ 以及问题 (2.21)-(2.23) 的解 $(v^{b,0},w^{b,0})$ 分别满足

其中 $\langle y\rangle \triangleq\sqrt{1+y^{2}}$.

由于 $w^{b,0},v^{B,0},w^{B,0}$ 的估计可以类似于 $v^{b,0}$, 因此下面我们仅给出 $v^{b,0}$ 的相关估计证明, 令 $g(t)\triangleq v_{2}(t)-v^{E,0}(b,t)$, $\varphi^{b,0}(z,t)\triangleq v^{b,0}(z,t)-\theta(z)g(t)$ 将边界条件齐次化, 其中 $\theta(z)$ 是光滑函数, $\theta(0)=1$, 当 $z\leq -1$ 时, $\theta(z)=0$, 由(2.21) 式, 得

这里 $h_{1}=-\theta g_{t}-zg\theta_{z}\widetilde{u_{r}^{E,0}}+(\widetilde{\rho^{E,0}})^{-1}g\theta_{zz}$.

基于命题 (2.1) 的结论, 证明下列引理.

引理 2.2 对任意 $T>0$ 及 $l\geq0$, 问题 (2.27) 的解 $\varphi^{b,0}(z,t)$ 满足

引理 2.3 对任意 $T>0$ 及 $l\geq0$, 问题 (2.27) 的解 $\varphi^{b,0}(z,t)$ 满足

引理 2.4 对于任意 $T>0$ 及 $l\geq0$, 问题 (2.27) 的解 $\varphi^{b,0}(z,t)$ 满足

易知, 根据方程 $(2.27)_1$ 和引理 2.4, 可得如下推论

推论 2.1 对于任意 $T>0$ 及 $l\geq0$, 问题 (2.27) 的解 $\varphi^{b,0}(z,t)$ 满足

接下来, 分别证明上述引理.

引理 2.2 的证明 方程 $\left (2.27 \right)_{1}$ 两边同乘 $\langle z\rangle^{2 l} \varphi^{b, 0}(l \geq 0)$, 并关于 $z$ 在区间 $\left ( -\infty ,0 \right ) $ 上积分, 得

根据 Hölder 不等式以及 $\theta(z)$ 的性质, 得

由 (2.25) 式及 Cauchy 不等式, 得

及

上述不等式的证明过程中利用了函数 $\theta(z)$ 的定义.

现在, 将 $I_{1}-I_{3}$ 代入 (2.31) 式, 得

由 (2.24) 式, (2.25) 式及 Gronwall 不等式, 得

$\textbf{引理 2.3 的证明}$ 方程 $\left (2.27 \right)_{1}$ 两边同乘以 $-{\langle z\rangle}^{2l}\varphi_{zz}^{b,0}$, 并关于 $z$ 在区间 $(-\infty,0)$ 上积分, 得

根据 Cauchy 不等式, 得

根据 $\varphi_{t}^{b,0}=-z\widetilde{u_{r}^{E,0}}\varphi_{z}^{b,0}+(\widetilde{\rho^{E,0}})^{-1}\varphi_{zz}^{b,0}+h_{1},$ 及 $\theta(z)$ 的性质, 由 (2.25) 式, 得

及

将 $I_{4}-I_{6}$ 代入 (2.32) 式, 得

由 Gronwall 不等式及 (2.25) 式, 得

$\textbf{引理 2.4 的证明}$ 对方程 (2.27) 两边关于 $t$ 求导, 得

方程 $\left (2.33 \right)_{1}$ 两边同乘 ${\langle z\rangle}^{2l}\varphi_{t}^{b,0}$, 并关于 $z$ 在区间 $(-\infty,0)$ 上积分, 得

由 (2.25) 式, Cauchy 不等式以及分部积分, 得

下面估计 $I_{11}$, 根据 $h_{1}$ 的定义及 Hölder 不等式, 得

将 $I_{7}$-$I_{11}$ 代入 (2.34) 式, 得

由命题 2.1 及引理 2.2, 因为对任意常数 $l$, (2.29) 式都成立, 将 (2.29) 式中 $l+1$ 取代为 $l$, 利用 Gronwall 不等式, 得

下面我们将利用上述引理结论来证明定理 1.1.

为了证明定理 1.1, 将问题 (1.1)-(1.3) 的解 $(\rho^{\mu},u^{\mu},v^{\mu},w^{\mu},\mathbf{n}^{\mu})$ 作如下分解

通过简单计算, 得 $((U^{\mu},V^{\mu},W^{\mu},N_{r}^{\mu})(t))\mid_{r=a,b}=0$, 以及设

接下来, 将 (3.1) 式代入方程 (1.1), 结合初边值条件 $\left (1.2 \right)-(1.3)$, 通过计算得

其中

以及对应的初边值条件

和

根据 $d_{1}^{\mu}$ 和 $d_{2}^{\mu}$ 的定义, 以及第二部分的引理, 可以得到下列引理

引理 3.1 对任意时刻 $T>0$ 及 $0<\mu<1$, 有

及对任意 $k\geq 2$, 都有

其中整数 $m\geq 1$.

证 若 $\|v^{B,0}(\frac{b-a}{\sqrt{\mu}},t)\|_{L^{\infty}(0,T)}\leq C\mu^{\frac{m}2}$, 则 $\|d_{1}^{\mu}\|_{L^{\infty}([T],H^{1})}\leq C\mu^{\frac{m}2}$. 事实上

类似地, 有 $\|d_{2}^{\mu}\|_{L^{\infty}([T],H^{1})}\leq C\mu^{\frac{m}2}$. 而且利用引理 2.1-2.3, 得 $\|(d_{1t}^{\mu},d_{2t}^{\mu})\|_{L^{2}([T],H^{1})}\leq C\mu^{\frac{m}2}$.

下面证明问题 (3.2)-(3.8) 的解 $(\Phi^{\mu},U^{\mu},\mathbf{N}^{\mu},V^{\mu},W^{\mu})$ 在 $L^{\infty}$ 空间下的有界性. 为此首先估计$(\Phi^{\mu},U^{\mu},\mathbf{N}^{\mu},V^{\mu},W^{\mu})$ 的 $L^{\infty}(0,T;L^{2})$ 有界性.

引理 3.2 对任意 $T>0$ 及 $0<\mu<1$, 有下列与 $\mu$ 无关估计

证 首先, 方程 $\left (3.2 \right)_{1}$ 两边同乘 $r\Phi^{\mu}$, 并在区间 $(a,b)$ 上, 关于 $r$ 积分, 由分部积分及 Cauchy 不等式, 得

其次, 方程 $\left (3.2 \right)_{2}$ 两边同乘 $\rho^{\mu}U^{\mu}$, 并在区间 $(a,b)$ 上, 关于 $r$ 积分, 得

(3.14) 式右端的估计如下

对于 $K_{2}$ 及 $K_{3}$, 由于 $\mathbf{n}^{\mu}=\mathbf{n}^{E,0}+\mu^{\frac{1}2}\mathbf{N}^{\mu}$ 及利用 Cauchy 不等式, 得

对于 $K_{4}$, 将 $f_{1}^{\mu}$ 代入 $K_{4}$, 得

首先对 $K_{4}^{1}$ 的估计, 由 (1.11) 式, (1.12) 式, (2.24) 式, Hölder 及 Hardy 不等式, 得

及

对于 $K_{4}^{5}$ 的估计, 由 (1.12) 式, (2.24) 式, 以及 Cauchy 不等式, 得

及

最后一项的估计, 由 (2.25) 式, 根据中值定理以及 Cauchy 不等式, 得

其中 $\eta$ 取值于 $\rho^{E,0}$ 与 $\rho^{E,0}+\sqrt{\mu}\Phi^{\mu}$ 之间, 故$\|\eta\|_{L^{\infty}}\leq\max\{\|\rho^{E,0}\|_{L^{\infty}},\|\rho^{E,0}+\sqrt{\mu}\Phi^{\mu}\|_{L^{\infty}} \}$.

将上述结果代入 (3.17) 式, 以及将 (3.15) 式 和 (3.16) 式代入 (3.14) 式, 得

最后, 方程 $\left (3.2 \right)_{3}$ 两边同乘 $r\mathbf{N}^{\mu}$, 并在区间 $(a,b)$ 上 关于 $r$ 积分, 得

下面逐一估计 (3.19) 式的右边项. 首先, 由 (1.12) 式及 (2.24) 式, 得

对最后一项的估计, 将 $f_{2}^{\mu}$ 代入 $K_{8}$, 由于 $\mathbf{n}^{\mu}=\mathbf{n}^{E,0}+\mu^{\frac{1}2}\mathbf{N}^{\mu}$ 以及 Cauchy 不等式, 得

将 $K_{5}$-$K_{8}$ 式代入 (3.19) 式, 得

即

结合 (3.13) 式, (3.18) 式以及 (3.20) 式, 故 (3.12) 式成立.

引理 3.3 对任意 $T>0$ 及 $0<\mu<1$, 有与 $\mu$ 无关的下列估计

证 首先, 方程 $\left (3.2 \right)_{5}$ 两边同乘 $\rho^{\mu}W^{\mu}$, 分部积分, 得

即

将 $f_{4}^{\mu}$ 代入 $-\mu^{-\frac{1}2}\int_{a}^{b}\rho^{\mu}W^{\mu}rf_{4}^{\mu}{\rm d}r$, 得

下面逐项估计, 对于 $J_{1}$, 利用 Hölder 及 Cauchy 不等式, 由 $\overline{u^{E,0}}=u^{E,0}(a,t)$, (2.26) 式以及 Taylor 展开, 得

对于 $J_{2}$, 根据 $H^{1}\hookrightarrow L^{\infty}$, 由 (2.26) 式, 得

对于 $J_{3}$, 由 $y=\frac{r-a}{\sqrt{\mu}}$, (1.11) 式以及(2.26) 式, 得

而 $J_{i}(i=4,5,6)$ 可以类似 $J_{l}(l=1,2,3)$ 的估计, 得到

对于 $J_{7}-J_{10}$, 通过简单计算, 得

最后一项 $J_{11}$, 利用 Gagliaro-Nirenberg 以及 Hölder 不等式, 得

由 Gagliaro-Nirenberg 不等式, 得

将上述 $F^{\mu}$ 换为 $U^{\mu},W^{\mu}$, 由 (2.26) 式以及(3.9) 式, 得

结合 $J_{1}$-$J_{11}$, 得

将 (3.24) 式代入 (3.22) 式, 得

方程 $\left (3.2 \right)_{4}$ 两边同乘 $\rho^{\mu}V^{\mu}$, 得

对于 $I_{1}$, 由(1.12) 式及 (2.24) 式, 得

对于 $I_{2}$, 将 $f_{3}^{\mu}$ 代入 $I_{2}$ 式, 得

接下来, 分别估计 $I_{2}^{1}-I_{2}^{15}$. 对于 $I_{2}^{1}$, 由 (2.26) 式, Taylor 展开, Hölder 以及 Cauchy 不等式, 得

对于 $I_{2}^{2}$, 根据 (2.24) 式,(2.25) 式, (2.26) 式, Hölder 以及 Cauchy 不等式, 得

对于 $I_{2}^{3}$, 由 $\overline{u^{E,0}}=0$, 利用 (2.24) 式以及 (2.26) 式, 得

对于 $I_{2}^{4}$, 由 (2.26) 式, 得

由于 $I_{i}(i=5,6,7,8)$ 的估计类似于 $I_{j}(j=1,2,3,4)$. 因此, 通过计算可得

由 (1.11) 式,(2.25)式以及 (3.9) 式, 得

对于 $I_{2}^{12}$, 类似于 $J_{11}$ 的估计, 利用 Gagliaro-Nirenberg 不等式, 得

对于 $I_{2}^{13}$ 及 $I_{2}^{14}$, 由 Cauchy 不等式以及分部积分, 得

最后一项估计, 由于 $u^{\mu}=u^{E,0}+\mu^{\frac{1}2}U^{\mu}$ 以及 Cauchy 不等式, 得

将 $I_{2}^{1}-I_{2}^{15}$ 代入 $I_{2}$, $I_{1}$ 和 $I_{2}$ 代入 (3.26) 式, 得

因此, 结合 (3.25) 式和 (3.27) 式, 得 (3.21) 成立.

根据推论 2.1, (2.24) 式, (3.12) 式, (3.21) 式以及 Gronwall 不等式, 可以推出下列引理成立.

引理 3.4 对任意 $T>0$ 及 $0<\mu<1$, 有下列与 $\mu$ 无关的估计成立

为了证明解的 $L^{\infty}$ 收敛速度, 下面给出 $(\mathbf{N}^{\mu}, \Phi^{\mu}, U^{\mu})$ 的一阶导数估计.

引理 3.5 对任意 $T>0$ 以及 $0<\mu<1$, 存在如下与 $\mu$ 无关的一致估计

证 方程 $\left (3.2 \right)_{3}$ 两边关于时间 $t$ 求导, 并同乘 $(r\mathbf{N}^{\mu})_{r}$, 由分部积分, 得

对于 $M_{1}$, 利用分部积分, (1.12) 式及 Hölder 不等式, 得

$\begin{align*} M_{1}=-\int_{a}^{b}ru^{\mu}_{r}\mathbf{N}_{r}^{\mu}(r\mathbf{N}^{\mu})_{r}{\rm d}r\leq C(\|r\mathbf{N}^{\mu}\|^{2}+\|(r\mathbf{N}^{\mu})_{r}\|^{2}). \end{align*}$

对于 $M_{2}-M_{5}$, 通过计算, 得

对于 $M_{6}$, 由 (1.11) 式, (1.12) 式以及 (2.24) 式, 得

将 $f_{2}^{\mu}$ 及 $f_{2r}^{\mu}$ 分别代入 $M_{7}$ 式 以及 $M_{8}$ 式, 利用 Hölder 不等式, 得

最后 $M_{9}$ 式的估计如下

将 $M_{1}-M_{9}$ 代入 (3.31) 式, 得

即

结合 (3.28) 式及 Gronwall 不等式, 可推导 (3.29) 式成立.

接下来, 方程 $\left (3.2 \right)_{1}$ 两边关于 $r$ 求导, 并同乘 $(r\Phi^{\mu})_{r}$, 并积分, 由 (1.11) 式, (1.12) 式, (2.24) 式以及 (2.25) 式, 得

方程 $\left (3.2 \right)_{2}$ 两边同乘 $-(rU^{\mu})_{rr}$, 分部积分, 得

对于 $K_{1}$, $K_{2}$ 及 $K_{3}$, 由 (1.11) 式, (1.12) 式以及 (2.24) 式, 有如下估计

及

接下来, 将 $f_{1}^{\mu}$ 代入 $-\mu^{-\frac{1}2}\int_{a}^{b}rf_{1}^{\mu}(rU^{\mu})_{rr}{\rm d}r$, 根据 (1.11) 式, (2.24) 式以及 (3.9) 式, 得

其中 $\xi_{1}$ 取值于 $\rho^{E,0}$ 与 $\rho^{E,0}+\|\sqrt{\mu}\Phi^{\mu}\|_{L^{\infty}}$ 值之间. 根据 (1.12) 式以及 (2.24) 式, 得

现在, 将 $K_{1}-K_{6}$ 代入 (3.33) 式, 得

结合 (3.32) 式, (3.33) 式以及 (3.35) 式, 得

上式联合 (1.12) 式, (3.28) 式以及 Gronwall 不等式, 便可得 (3.30) 式成立.

因此, 根据 Gagliardo-Nirenberg 不等式, 引理 3.4 以及引理 3.5, 得到 $\Phi^{\mu}$, $U^{\mu}$ 及 $\mathbf{N}^{\mu}$ 在 $L^{\infty}([a,b]\times[T])$ 范数下有界

引理 3.6 对任意 $T>0$ 及 $0<\mu<1$, 存在如下与 $\mu$ 无关一致估计

证 方程 $\left (3.2 \right)_{3}$ 两边关于 $t$ 求导, 并同乘 $(r\mathbf{N}^{\mu})_{t}$, 由分部积分, 得

即

接下来, 逐项估计 $R_{i}$(i=1,2,...,5), 对于 $R_{1}$

对于 $R_{i} (i=2,3,4)$, 由 (1.12) 式以及 (2.24) 式, 得

及

这里利用了方程 $\left (3.2 \right)_{2}$, (3.28) 式, (3.29) 式以及

最后, 估计 $R_{5}$,

根据 (1.12) 式以及 (2.24) 式, 得

这里利用了 $\mathbf{n}^{\mu}=\mathbf{n}^{E,0}+\mu^{1/2}\mathbf{N}^{\mu}$. 对 $R_{5}^{5}$ 的估计如下

结合 $R_{5}^{i} (i=1,...,5)$ 的估计, 得到

将 $R_{1}-R_{5}$ 估计的结果代入 (3.39) 式, 得

由 (2.25) 式, (3.28) 式, (3.30) 式, 以及 Gronwall 不等式, 得

根据方程 (3.2)$_{3}$, (2.24) 式, (3.28) 式以及 (3.30) 式, 得

上式结合 (3.40) 式, 即完成引理 3.6 的证明.

接下来, 估计 $(W^{\mu}_{r},V^{\mu}_{r})$ 在范数 $L^{\infty}(0,T;L^{2})$ 意义下的有界性.

引理 3.7 对于任意 $T>0$ 以及 $0<\mu<1$, 有如下与 $\mu$ 无关估计

证 方程 $\left (3.2 \right)_{5}$ 两边同乘 $-(rW^{\mu})_{rr}$, 并分部积分, 得

首先, 根据 (1.11) 式, (2.24) 式, 得

类似于 (3.23) 式, $\amalg_{3}$ 可表示为

首先, 利用 Taylor 展开以及 Cauchy 不等式, 得

而且, 因为 $\rho^{\mu}=\rho^{E,0}+\mu^{1/2}\Phi^{\mu}$, 由 (1.11) 式, (2.24) 式, (2.25) 式, (2.26) 式以及 (3.37) 式, 得

对于 $\amalg_{3}^{3}$ 式, 由 (2.24) 式, $\amalg_{3}^{3}$ 可做如下估计

通过观察, 对 $\amalg_{3}^{i}(i=4,5,6)$ 的估计可类似于 $\amalg_{3}^{i}(i=1,2,3)$, 得

类似地, 由 (2.24) 式及 (3.9) 式, 得

最后一项 $\amalg_{3}^{11}$ 可改写为

$\begin{align*} \amalg_{3}^{11}=&\int_{a}^{b}rU^{\mu}w_{r}^{E,0}(rW^{\mu})_{rr}{\rm d}r+\int_{a}^{b}rU^{\mu}(w_{r}^{B,0}+w_{r}^{b,0})(rW^{\mu})_{rr}{\rm d}r \\ &+\int_{a}^{b}rU^{\mu}d_{2r}^{\mu}(rW^{\mu})_{rr}{\rm d}r. \end{align*}$

首先, 对于 $\amalg_{3}^{11}$ 的第一项估计, 根据 (2.24) 式, 分部积分以及 Cauchy 不等式, 得

其次, 对于 $\amalg_{3}^{11}$ 的第二项估计, 根据 Taylor 展开以及 Cauchy 不等式, 得

这里我们利用了 $\|y w_{y}^{B,0}\|_{L_{y}^{2}}^{2}=\mu\|yw_{y}^{B,0}\|^{2}$.

最后, 根据 Cauchy 不等式, 由方程 (3.37)$_{1}$, 得

因此, 结合上面三个不等式, 得

将 $\amalg_{3}^{1}$-$\amalg_{3}^{11}$ 式代入 (3.44) 式, 得

然后, 将 (3.43) 式以及 (3.45) 式代入 (3.42) 式, 得

另外, 由 (3.28) 式及 (3.30) 式, 得

对 (3.46) 式引用 Gronwall 引理, 结合 (1.12) 式以及 (2.24) 式, 可得到 (3.41) 式成立.

根据 Gagliardo-Nirenberg 不等式, (3.28) 式以及 (3.41) 式, 可推导 $W^{\mu}$ 在 $L^{\infty}([a,b]\times[T])$ 空间下的有界性,

关于 $V^{\mu}$ 在 $L^{\infty}([a,b]\times[T])$ 范数下的有界性, 其证明的过程很类似于 $W^{\mu}$, 因此省略证明的过程.

引理 3.8 对于任何时间 $T>0$, $0<\mu<1$, 存在与 $\mu$ 无关的常数 $C$, 使得

定理 1.1 的证明 . 基于以上引理, 故可得到方程 (1.1) 以及方程 (1.4) 解的正则性. 而且根据 (3.37) 式以及 (3.38) 式, 可获得下列收敛速度

即完成定理 1.1 的证明.