数学物理学报, 2026, 46(3): 996-1014

具有大速度的三维非匀质不可压向列相液晶方程的全局适定性

陈冬香,, 何倩,, 陈晓莉,*

江西师范大学数学与统计学院 南昌 330022

Global Well-Posedness of the Three-Dimensional Inhomogeneous Incompressible Nematic Liquid Crystal System with a Class of Large Velocity

Chen Dongxiang,, He Qian,, Chen Xiaoli,*

School of Mathematics and Statistics, Jiangxi Normal University, Nanchang 330022

通讯作者: 陈晓莉, E-mail:littleli_chen@163.com

收稿日期: 2025-03-14   修回日期: 2025-10-21  

基金资助: 国家自然科学基金(12461017)
国家自然科学基金(12471016)
江西省自然科学基金(20232BAB201014)

Received: 2025-03-14   Revised: 2025-10-21  

Fund supported: NSFC(12461017)
NSFC(12471016)
National Science Foundation of Jiangxi Province(20232BAB201014)

作者简介 About authors

陈冬香,E-mail:chendx020@163.com;

何倩,E-mail:248536440@qq.com

摘要

该文研究了一类具有大速度的三维不可压缩非匀质的向列相液晶方程的全局适定性问题. 具体地, 假设初值 $a_0\in\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}, u_0\in\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}, d_0\in\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}$ 且满足$C_{0}\left[\left\|u_{0}^{h}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}}+\left(\left\|u_{0}^{3}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}}+1\right)\left(\left\|a_{0}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}+\left\|d_{0}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}\right)\right] \exp \left\{C_{0}\left\|u_{0}^{3}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}}^{2}\right\} \leq 1,$

则向列相液晶方程有唯一全局解, 其中 $C_0>0,~ 2\le p\le4.$

关键词： 向列相液晶方程; 大初值; 全局适定性; 垂直方向.

Abstract

{In this paper, we investigate the the global well-posedness problem of the three-dimensional inhomogeneous incompressible nematic liquid crystal system with a class of large velocity. More precisely, assuming that the initial data $a_0\in\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}, u_0\in\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}, d_0\in\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}$ satisfies$C_{0}\left[\left\|u_{0}^{h}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}}+\left(\left\|u_{0}^{3}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}}+1\right)\left(\left\|a_{0}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}+\left\|d_{0}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}\right)\right] \exp \left\{C_{0}\left\|u_{0}^{3}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}}^{2}\right\} \leq 1,$

then the nematic liquid crystal equation admits a unique global solution, where $C_0>0,~ 2\le p\le4.$

Keywords： nematic liquid crystal system; large initial data; global well-posedness; vertical direction.

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本文引用格式

陈冬香, 何倩, 陈晓莉. 具有大速度的三维非匀质不可压向列相液晶方程的全局适定性[J]. 数学物理学报, 2026, 46(3): 996-1014

Chen Dongxiang, He Qian, Chen Xiaoli. Global Well-Posedness of the Three-Dimensional Inhomogeneous Incompressible Nematic Liquid Crystal System with a Class of Large Velocity[J]. Acta Mathematica Scientia, 2026, 46(3): 996-1014

1 引言

我们考虑以下三维非匀质不可压缩液晶方程

$\left\{\begin{array}{l}\partial_{t} \rho+u \cdot \nabla \rho=0, \\\rho\left(\partial_{t} u+u \cdot \nabla u\right)-\mu \Delta u+\nabla \pi=-\lambda \nabla \cdot(\nabla d \odot \nabla d), \\\partial_{t} d+u \cdot \nabla d=\theta\left(\Delta d+|\nabla d|^{2} d\right), \\\nabla \cdot u=0, \\|d|=1, \\\left.(\rho, u, d)\right|_{t=0}=\left(\rho_{0}, u_{0}, d_{0}\right),\end{array}\right.$

其中, $(t,x)\in \mathbb{R}_{+}\times \mathbb{R}^3$, $u=(u_1,u_2,u_3)=(u_h,u_3)$ 表示流体的速度场, $u_h=(u_1,u_2)$ 是水平分量. $\rho$ 是密度, $\pi$ 是标量函数, 代表流体压力. $d\in S^2:=\{d\in\mathbb{R}^3:|d|=1\}$ 为向列相液晶取向场的宏观平均值. 符号 $\nabla d\odot\nabla d$ 代表矩阵 $\left(\partial_{i} d \cdot \partial_{j} d\right)_{3 \times 3} \cdot$. $\mu,~\lambda,~\theta$ 是粘度系数, 在不失一般性的前提下, 将它们的值固定为 $\mu=\lambda=\theta=1$.

当密度 $\rho$ 为常数时, 系统 (1.1) 即为均匀不可压缩液晶系统. Lin 和 Liu[24,25] 在维数 $n=2, 3$ 的情况下, 建立了近似模型的全局弱解的存在性, 其中初始条件满足 $u_0\in L^2, \nabla d_0\in L^2$. Lin, Lin 和 Wang[26] 以及 Hong[18] 分别证明了在二维有界域上, 液晶系统的初始边界问题存在全局 Leray-Hopf 型弱解. 关于一般液晶系统的数学分析, 更多工作可参考文献 [27-29,36,38] 等. 关于向列相液晶方程的大初值解的适定性问题: 2016 年, Liu, Zhang 和 Zhao[30] 证明了当初值 $u_0=(u_0^h,u_0^3)\in \dot{B}_{p,1}^{\frac3p-1}(\mathbb{R}^3), d_0-\bar{d_0}\in \dot{B}_{q,1}^{\frac3q}(\mathbb{R}^3)$ 满足

$\begin{align*} \bigg((1+\frac{1}{\mu\nu})\|d_0-\bar{d_0}\|_{\dot{B}_{q,1}^{\frac3q}(\mathbb{R}^3)}+\frac{1}{\nu}\|u_0^h\|_{\dot{B}_{p,1}^{\frac3p-1}(\mathbb{R}^3)}\bigg) \exp\bigg\{\frac{C_0}{\nu}(\|u_0^3\|_{\dot{B}_{p,1}^{\frac3p-1}(\mathbb{R}^3)}+\frac{1}{\mu})^2\bigg\}\le C_0, \end{align*}$

则均匀的向列相液晶方程是全局适定的,其中 $1<p<6, 1\le q<\infty$. 2017 年, Wan 在文献 [35] 改进了文献 [30] 的结果且证明了当初值 $u_0=(u_0^h,u_0^3)\in \dot{B}_{2,1}^{\frac12}(\mathbb{R}^3), d_0\in \dot{B}_{2,1}^{\frac32}(\mathbb{R}^3)$ 且满足

$\begin{align*} \|d_0-\bar{d_0}\|_{\dot{B}_{2,1}^{\frac32}(\mathbb{R}^3)}\exp\{c\|u_0\|_{\dot{B}_{2,1}^{\frac12}(\mathbb{R}^3)}^2\} +\|u_0^h\|_{\dot{B}_{p,\infty}^{\frac3p-1}(\mathbb{R}^3)}^{\alpha} +\|u_0^h\|_{\dot{B}_{p,\infty}^{\frac3p-1}(\mathbb{R}^3)}\|u_0^h\|_{\dot{B}_{p,\infty}^{\frac3p-1}(\mathbb{R}^3)}^{1-\alpha}\le \varepsilon, \end{align*}$

则均匀的向列相液晶方程是全局适定的,其中 $2\le p<6$.

当 $\rho$ 不是常数时, 系统 (1.1) 是非均匀情况. Li 和 Wang[22] 在没有初始值相容性条件的情况下, 得到了系统 (1.1) 的局部适定性. Li 和 Wang[23]还研究了三维有界光滑域中依赖于密度的不可压缩液晶流的初始边界值问题. 随后, Hu 和 Wang[19] 证明了系统 (1.1) 小初值的强解的全局适定性. 2015 年, De Anna[14] 建立系统了 (1.1) 的弱解的小初值解在临界 Besov 空间上的整体存在性. 最近, Chen, Liang, Chen 和 Ye 在文献 [4] 中建立了当初始密度 $\rho_0$ 有界且容许真空, 初始速度 $u_0\in \dot{H}^{\frac12}(\mathbb{R}^3)$ 且在该范数下充分小的条件下, 系统 (1.1) 的 Fujita-Kato 解是整体适定性.

当 $d=0$ 时,系统 (1.1) 为不可压非匀质的 Navier-Stokes 方程, 简记为 (INS). 当 $\rho_0$ 远离 $0$ 时, 许多学者对该系统进行了研究, 参见文献 [1,2,19,20,34]. Kazhikov[20] 证明了在初始数据正则的情况下, (INS) 具有唯一的局部光滑解. 此外, 他们还证明了在三维空间中, 对于小初始数据, 该系统的强解具有全局存在性: 而在二维空间中, 对于所有初始数据, 强解也具有全局存在性. 最近, Paicu, Zhang 和 Zhang[31] 解决了 Kazhikov 强解的唯一性问题. Ladyzhenskaya 和 Solonnikov[21]首次提出了 (INS) 的唯一可解性问题. Danchin[9,10] 在 $\mathbb{R}^n$ 中也得到了类似的结果, 其初值属于几乎临界空间, 这一结果推广了 Fujita 和 Kato[15] 针对经典 Navier-Stokes 系统的结论. 此后, 有关这一方面的结果不断涌现, 详见文献[5,11-13] 等. 上述研究工作致力于在各种函数空间中研究非匀质不可压缩 Navier-Stokes 方程的全局适定性. 这些工作的共同点在于它们都针对小初值. 然而, 对于一般初始值, 局部强解是否能够延拓为全局解仍然是一个未解决的问题. 事实上, Paicu 和 Zhang 部分地回答了这个问题. 在文献 [32] 中, 他们本质上证明了如果初值满足

$\alpha=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{p} & 1<p<5, \\\varepsilon & 5 \leq p \leq 6.\end{array}\right.$

对于某个正常数 $\tilde{C_1}>0$, 若初始数据满足某一类型的条件, 则三维不可压缩各向异性 Navier-Stokes 系统存在唯一的全局解. 在文献 [33] 中, 他们还得到了类似的结果, 即如果初值 $(\rho_0,u_0)$ 满足某一类型的条件

$\begin{align*}\tilde{C_2}\mu^{-1}(\mu\|\rho_0\|_{\dot{B}^{\frac12}_{2,1}(\mathbb{R}^3)}+\|u_0^h\|_{\dot{B}_{2,1}^{\frac12}(\mathbb{R}^3)}) \exp\{\tilde{C_2}\mu^{-2}\|u_0^3\|_{\dot{B}_{2,1}^{\frac12}(\mathbb{R}^3)}\}\le 1,\end{align*}$

其中 $\tilde{C_2}>0, 1\le q\le p\le 6$ 且 $\frac1q-\frac1p\le \frac13,$ 则三维非齐次不可压缩 Navier-Stokes 系统也存在全局解. 2015 年, Zhai和 Zhang[39]改进了上述结果, 证明了当初值 $(\rho_0, u_0)$ 满足

$\begin{align*} &C\|a_0\|_{\dot{B}_{q,1}^{\frac3q}(\mathbb{R}^3)}^\alpha\bigg(\mu^{-1}\|u_0^3\|_{\dot{B}_{p,1}^{\frac3p-1}(\mathbb{R}^3)}+1\bigg)\le 1,\\ &\frac{C}{\mu}(\mu\|u_0^h\|_{B^{-1+\frac3p}_{p,1}(\mathbb{R}^3)}+\|u_0^3\|_{B_{p,1}^{-1+\frac3p}(\mathbb{R}^3)}^{1-\alpha} \|u_0^h\|_{B_{p,1}^{-1+\frac3p}(\mathbb{R}^3)}^{\alpha})\le 1.\end{align*}$

其中对 $0<\varepsilon<\frac6p-1$, $\alpha$ 满足

$ \alpha=\left\{\begin{aligned} &\frac1p &1<p<5,\\ &\varepsilon& 5\le p\le 6. \end{aligned}\right.$

则三维非匀质的 Navier-Stokes 方程 (INS) 有整体唯一解. 关于流体力学模型大解的更多结果, 读者可以参考文献 [16,17,37] 等.

受文献 [30,33,35,39] 等文献的启发, 论文将研究非匀质不可压缩向列相液晶方程在大垂直速度下解的整体适定性. 当密度 $\rho$ 远离 $0$ 时, 记 $a:=\frac{1}{\rho}-1$, 则方程 (1.1) 改写为

$\left\{\begin{array}{l}\partial_{t} a+u \cdot \nabla a=0, \\\partial_{t} u+u \cdot \nabla u-\Delta u+\nabla \pi=-(a+1) \nabla \cdot(\nabla d \odot \nabla d)-a \nabla \pi+a \Delta u, \\\partial_{t} d+u \cdot \nabla d-\Delta d=|\nabla d|^{2} d, \\\nabla \cdot u=0, \\|d|=1, \\\left.(a, u, d)\right|_{t=0}=\left(a_{0}:=\frac{1}{\rho_{0}}-1, u_{0}, d_{0}\right).\end{array}\right.$

论文作如下假设: 当 $|x|\to \infty$ 时,

$\begin{align*} \rho(t,x)\to 0,\quad u(t,x)\to 0,\quad |d(t,x)|\to 1. \end{align*}$

本文的主要定理为

定理 1.1 假设 $p\in[2,4]$, 初值 $a_0\in\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}, u_0=(u_0^h, u_0^3)\in\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}, d_0\in\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}$, 且 div $ u_0=0$. 那么存在一个正常数 $C_0$ 使得若

$\begin{array}{l}C_{0}\left[\left\|u_{0}^{h}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}}+\left(\left\|u_{0}^{3}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}}+1\right)\left(\left\|a_{0}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}+\left\|d_{0}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}\right)\right] \\\times \exp \left\{C_{0}\left\|u_{0}^{3}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}}^{2}\right\} \leq 1\end{array}$

则方程 (1.2) 有唯一全局解 $(a,u,d)$ 满足对于所有的 $t\geq0$,

$\begin{align*} &\|a\|_{{\tilde{L}_t^\infty}(\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}})} \leq C_0 \|a_0\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}\exp\{C_0\|u_{30}\|^2_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}\},\\ &\|d\|_{{\tilde{L}_t^\infty}(\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}})} +\|d\|_{{\tilde{L}_t^1}(\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+2})} \leq C_0 \|d_0\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}\exp\{C_0\|u_{0}^h\|^2_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}\},\\ &\|u_h\|_{{\tilde{L}_t^\infty}(\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1})} +\|u_h\|_{{\tilde{L}_t^1}(\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1})} \leq C_0[\|u_{0}^h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}+(\|u_{0}^3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}+1)\\ &\times(\|a_0\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}+\|d_0\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}})] \exp\{C_0\|u_{0}^3\|^2_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}\},\\ &\|u_3\|_{{\tilde{L}_t^\infty}(\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1})} +\|u_3\|_{{\tilde{L}_t^1}(\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1})} \leq C_0(1+\|u_{0}^3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}). \end{align*}$

注 1.1 定理 1.1 改进了文献 [30] 结果, 将具有垂直速度均匀向列相液晶方程的全局适定性推广到非匀质向列相液晶方程.

论文的剩下部分做如下安排: 第二小节介绍主要概念和相关引理, 第三节建立先验界估计, 第四小节证明定理 1.1.

2. 相关定义和引理

在定理的证明之前, 首先回顾 Besov 空间的定义和相关引理, 参见文献 [3,7]. 假设两个固定的光滑函数 $\chi$ 和 $\varphi$ 满足

$\begin{align*} Supp~\varphi\subset\{\xi\in\mathbb{R}^d,\frac{3}{4}\leq|\xi|\leq\frac{8}{3}\},\quad \forall\xi\in\mathbb{R}^d\setminus\{0\},\sum\limits_{j\in\mathbb{Z}}\varphi(2^{-j\xi})=1,\end{align*}$
$\begin{align*} Supp~\chi\subset\{\xi\in\mathbb{R}^d,|\xi|\leq\frac{4}{3}\},\quad\forall\xi\in\mathbb{R}^d,\chi(\xi)+\sum\limits_{j\geq0}\varphi(2^{-j\xi})=1.\end{align*}$

如果对于所有$j\in\mathbb{Z}$ 和缓增分布 $u$, 满足

$\begin{array}{l}\dot{\Delta}_{j} u:=F^{-1}\left(\varphi\left(2^{-j \cdot}\right) \widehat{u}\right)=2^{j d} \widetilde{h}\left(2^{-j \cdot}\right) * u, \widetilde{h}:=F^{-1} \varphi, \\\dot{S}_{j} u:=F^{-1}\left(\chi\left(2^{-j \cdot}\right) \widehat{u}\right)=2^{j d} h\left(2^{-j \cdot}\right) * u, h:=F^{-1} \chi,\end{array}$

其中 $\text { Fu }$ 和 $\widehat{u}$ 表示 $u$ 的傅里叶变换.那么,

$u=\sum_{j\in \mathbb{Z}}\dot \Delta_j u.$

并且, Littlewood-Paley 分解具有几乎正交性

当 $|k-j|\geq2$ 时, $\dot \Delta_k \dot \Delta_j u=0$; 当 $|k-j|\geq5$ 时,

$\dot \Delta_k(\dot S_{j-1}u\dot \Delta_ju)=0.$

定义 2.1 设 $(p,r)\in[1,\infty]^2,s\in \mathbb{R}$. 定义

$\|u\|_{\dot B_{p,r}^s(\mathbb{R}^d)}:=\|(2^{js}\|\dot \Delta_j u\|_{L^p(\mathbb{R}^d)})_{j\in\mathbb{Z}}\|_{l_r(\mathbb{Z})}.$

则齐次 Besov 空间 $\dot B_{p,r}^s(\mathbb{R}^d)$ 由缓增分布 $u$ 构成, 同时

$\begin{align*}\|u\|_{\dot B_{p,r}^s(\mathbb{R}^d)}<\infty,\quad \lim\limits_{j\rightarrow-\infty}\|\dot S_j u\|_{L_\infty(\mathbb{R}^d)}=0.\end{align*} $

定义 2.2 设$T>0$, $1\leq \rho,p,r\leq+\infty$,

(1) 空间 $L_T^\rho(\dot B_{p,r}^s(\mathbb{R}^d)))$ 是所有满足

$\|u\|_{{L_T^\rho}(\dot B_{p,r}^s(\mathbb{R}^d))}:=\|\|2^{js}\|\dot \Delta_j u\|_{L^p(\mathbb{R}^d)}\|_{l_r}\|_{L_T^\rho}<\infty.$

的缓增分布 $u$的集合;

(2) 空间 $\tilde{L}_T^\rho(\dot B_{p,r}^s(\mathbb{R}^d)))$ 是所有满足

$\|u\|_{{\tilde{L}_T^\rho}(\dot B_{p,r}^s(\mathbb{R}^d))}:=\|\|2^{js}\|\dot \Delta_j u\|_{L_T^\rho}\|_{L^p(\mathbb{R}^d)}\|_{l_r}<\infty.$

的缓增分布 $u$ 的集合.

根据 Minkowski 不等式, 当 $r\geq\rho$ 时, 有

$\|u\|_{\tilde{L}_T^\rho(\dot B_{p,r}^s(\mathbb{R}^d)))}\leq\|u\|_{L_T^\rho(\dot B_{p,r}^s(\mathbb{R}^d)))},$

当 $r\leq\rho$ 时,

$\|u\|_{L_T^\rho(\dot B_{p,r}^s(\mathbb{R}^d)))}\leq\|u\|_{\tilde{L}_T^\rho(\dot B_{p,r}^s(\mathbb{R}^d)))}.$

接下来介绍 Bernstein 不等式.

定义 2.3 假设 $\mathcal{C}$ 是一个环, $B$ 是一个球. 存在正常数 $C$, 使得对任意函数 $u\in L^p(\mathbb{R}^3)$, 任意非负整数 $k$, 以及 $1\leq p\leq q\leq+\infty$和任意 $\lambda>0$, 若 $Supp~ \widehat{u}\subset \lambda\mathcal{C}$, 则

$C^{-k-1}\lambda^k\|u\|_{L_q(\mathbb{R}^3)}\leq\|D^k u\|_{L_q(\mathbb{R}^3)}:=\sup\limits_{|\alpha|=k}\|\partial^\alpha u\|_{L_q(\mathbb{R}^3)}\leq C^{k+1}\lambda^{k+\frac{3}{p}-\frac{3}{q}}\|u\|_{L^p(\mathbb{R}^3)};$

若 $Supp~ \widehat{u}\subset \lambda B$, 则

$\|D^k u\|_{L_q(\mathbb{R}^3)}\leq C^{k+1}\lambda^{k+\frac{3}{p}-\frac{3}{q}}\|u\|_{L^p(\mathbb{R}^3)}.$

定义 2.4 对任意两个缓增分布 $u, v$, 有以下齐次 Bony 分解

$uv=\dot T_u v+\dot R(u,v)+\dot T_v u,$

其中

$\dot T_u v:=\sum_{j\in \mathbb{Z}}\dot S_{j-1}u\dot \Delta_j u,\quad\quad \dot R(u,v):=\sum_{j\in \mathbb{Z}}\dot \Delta_j u\tilde{\dot\Delta}_j v, \quad\quad \tilde{\dot\Delta}_j v:=\sum_{|j'-j|\leq1}\Delta_{j'} v.$

此外, 我们还有以下嵌入引理和乘积引理.

引理 2.1 设 $s$ 是一个实数, $1\leq p_1\leq p_2\leq+\infty$, $1\leq r_1\leq r_2\leq+\infty$, 则空间

$\dot B_{p_1,r_1}^s(\mathbb{R}^3)$ 连续嵌入到空间 $\dot B_{p_2,r_2}^{s-(\frac{3}{p_1}-\frac{3}{p_2})}(\mathbb{R}^3)$.

引理 2.2$($乘积引理$)$设 $1\leq p\leq+\infty$, $-\frac{3}{p}\leq s_1,s_2\leq\frac{3}{p}$, 则存在一个正常数 $C$, 使得若 $s_1+s_2>3\max\{0,\frac{2}{p}-1\}$, 则

$\|uv\|_{\dot B_{p,1}^{s_1+s_2-\frac{3}{p}}}\leq C\|u\|_{\dot B_{p,1}^{s_1}}\|v\|_{\dot B_{p,1}^{s_2}}.$

下述两个引理可通过与文献 [6,引理 2.9 和引理 2.11]类似的证明方法得到.

引理 2.3 设 $p\in[2,4]$, 假设 $v\in\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}, \nabla u\in\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}, w\in\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}$, 且 div$ u=0$, 则

$\sum_{j\in \mathbb{Z}} 2^{(\frac{3}{p}-1)j}\|[u\cdot\nabla,{\dot\Delta}_j]v\|_{L^p} \leq C\|v\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}\|\nabla u\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}},$
$\sum_{j\in \mathbb{Z}} 2^{\frac{3}{p}j}\|[u\cdot\nabla,{\dot\Delta}_j]w\|_{L^p} \leq C\|w\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}\|\nabla u\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}.$

引理 2.4 设 $p\in[2,4]$, 假设 $v\in\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}, \nabla u\in\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}, $,

且 ${\rm div}~v={\rm div} ~u=0$, 则

$\sum_{j\in \mathbb{Z}} 2^{(\frac{3}{p}-1)j}\|[u\cdot\nabla,{\dot\Delta}_j]v_i\|_{L^p} \leq C\|v_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}(\|\nabla u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}+\|\nabla u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}),\quad i=1,2 ;$$\sum_{j\in \mathbb{Z}} 2^{(\frac{3}{p}-1)j}\|[u\cdot\nabla,{\dot\Delta}_j]v_3\|_{L^p} \leq C\|v_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}\|\nabla u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}} +\|v_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}\|\nabla u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}},\quad i=3.$

3 先验估计

本节中, 将给出方程(1.2) 的局部光滑解的一些先验估计.

3.1 输运方程的估计

引理 3.1 在定理 (1.1)的假设下有

$\begin{align*} \|a\|_{{\tilde{L}_t^\infty}(\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}})} \lesssim \|a_0\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}} +\int_0^t\|a\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}(\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}+\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}})(\tau){\rm d}\tau. \end{align*}$

证 首先, 对输运方程 $(1.2)_1$ 局部化, 则

$\dot \Delta_j a_t+u\cdot\nabla\dot \Delta_j a=[u\cdot\nabla,\Delta_j]a.$

利用 div$ u=0$ 和标准的 $L^p$ 能量估计可得

$\begin{align*} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\dot \Delta_j a\|_{L^p}^p \lesssim \|[u\cdot\nabla,\dot \Delta_j]a\|_{L^p}\|\dot \Delta_j a\|_{L^p}^{p-1}. \end{align*}$

从而

$\begin{align*} \|\dot \Delta_j a\|_{L^p} \lesssim \|\dot \Delta_j a_0\|_{L^p}+\int_0^t\|[u\cdot\nabla,\dot \Delta_j]a\|_{L^p}(\tau){\rm d}\tau. \end{align*}$

对上式两边同乘 $2^{\frac{3}{p}j}$, 并关于 $j\in\mathbb{Z}$ 求和, 再结合 Bernstein 不等式和引理 (2.4) 得

$\begin{align*} \|a\|_{{\tilde{L}_t^\infty}(\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}})} \lesssim &\|a_0\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}} +\int_0^t\|a\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}\|\nabla u\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}(\tau){\rm d}\tau\\ \lesssim &\|a_0\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}} +\int_0^t\|a\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}(\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}+\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}})(\tau){\rm d}\tau. \end{align*}$

3.2 压力的估计

对方程 $(1.2)_2$ 作用散度算子得

$\begin{align*} -\Delta \pi&={\rm div}~u_t+{\rm div}~(u\cdot\nabla u)-{\rm div}~\Delta u+{\rm div}~((a+1)\nabla\cdot(\nabla d\odot\nabla d))\\ &\quad+{\rm div}~(a\nabla \pi)-{\rm div}~(a\Delta u)\\ &={\rm div}~{\rm div}~(u\otimes u)+{\rm div}~((a+1)\nabla\cdot(\nabla d\odot\nabla d))+{\rm div}~(a\nabla \pi)-{\rm div}~(a\Delta u). \end{align*}$

再用算子 $\nabla(-\Delta)^{-1}$ 作用上式得

$\begin{aligned}\nabla \pi= & \nabla(-\Delta)^{-1}\left[\partial_{h} \partial_{h}\left(u_{h} \otimes u_{h}\right)+2 \partial_{3} \partial_{h}\left(u_{3} u_{h}\right)-2 \partial_{3}\left(u_{3} \cdot \partial_{h} u_{h}\right)\right. \\& +\operatorname{div}(a \nabla \cdot(\nabla d \odot \nabla d))+\operatorname{div}(\nabla \cdot(\nabla d \odot \nabla d)) \\& \left.+\operatorname{div}(a \nabla \pi)-\partial_{h}\left(a \Delta u_{h}\right)-\partial_{3}\left(a \Delta u_{3}\right)\right]\end{aligned}$

其中利用了

$\operatorname{div} \operatorname{div}(u \otimes u)=\partial_{h} \partial_{h}\left(u_{h} \otimes u_{h}\right)+2 \partial_{3} \partial_{h}\left(u_{3} u_{h}\right)-2 \partial_{3}\left(u_{3} \cdot \partial_{h} u_{h}\right).$

然后, 通过与前一节类似的方法可以得到压力的如下估计.

引理 3.2 在定理 (1.1) 的假设下有

$\begin{aligned}\|\nabla \pi\|_{\tilde{L}_{t}^{1}\left(\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}\right)} \leq & \frac{C}{1-C\|a\|_{\tilde{L}_{t}^{\infty}\left(\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}\right)}}\left\{\int_{0}^{t}\left(\|a\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}+\left\|u_{h}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}}\right)\right. \\& \times\left(\left\|u_{h}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+1}}+\left\|u_{3}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+1}}\right) \mathrm{d} \tau+\int_{0}^{t}\left\|u_{3}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}}\left\|u_{h}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+1}} \mathrm{~d} \tau \\& \left.+\int_{0}^{t}\|d\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}\|d\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+2}} \mathrm{~d} \tau+\int_{0}^{t}\|a\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}\|d\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}\|d\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+2}} \mathrm{~d} \tau\right\},\end{aligned}$

和

$\begin{aligned}\|\nabla \pi\|_{\tilde{L}_{t}^{1}\left(\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}\right)} \leq & \frac{C}{1-C\|a\|_{\tilde{L}_{t}^{\infty}\left(\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}\right)}}\left\{\int_{0}^{t}\left(\|a\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}+\left\|u_{h}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}}\right)\right. \\& \times\left(\left\|u_{h}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+1}}+\left\|u_{3}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+1}}\right) \mathrm{d} \tau+\int_{0}^{t}\|d\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}\|d\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+2}} \mathrm{~d} \tau \\& +\int_{0}^{t}\|a\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}\|d\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}\|d\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+2}} \mathrm{~d} \tau \\& \left.+\int_{0}^{t}\left\|u_{3}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}}^{\frac{1}{2}}\left\|u_{3}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+1}}^{\frac{1}{2}}\left\|u_{h}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}}^{\frac{1}{2}}\left\|u_{h}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}^{\frac{1}{p}+1} \mathrm{~d} \tau\right\}.\end{aligned}$

证 将算子 $\dot \Delta_j$ 作用方程 (3.1), 利用 Riesz 变换的 $L^p$ 有界性, 插值不等式, Bernstein 不等式和引理 (2.2) 有

$\begin{aligned}& \sum_{j \in \mathbb{Z}} 2^{\left(\frac{3}{p}-1\right) j}\left\|\dot{\Delta}_{j} \pi\right\|_{L^{p}} \\= & \sum_{j \in \mathbb{Z}} 2^{\left(\frac{3}{p}-1\right) j} \| \nabla(-\Delta)^{-1} \dot{\Delta}_{j}\left[\partial_{h} \partial_{h}\left(u_{h} \otimes u_{h}\right)+2 \partial_{3} \partial_{h}\left(u_{3} u_{h}\right)-2 \partial_{3}\left(u_{3} \cdot \partial_{h} u_{h}\right)\right. \\& +\operatorname{div}(a \nabla \cdot(\nabla d \odot \nabla d))+\operatorname{div}(\nabla \cdot(\nabla d \odot \nabla d))+\operatorname{div}(a \nabla \pi) \\& \left.-\partial_{h}\left(a \Delta u_{h}\right)-\partial_{3}\left(a \Delta u_{3}\right)\right] \|_{L^{p}} \\\lesssim & \sum_{j \in \mathbb{Z}} 2^{\left(\frac{3}{p}-1\right) j}\left[\left\|\nabla \dot{\Delta}_{j}\left(u_{h} \otimes u_{h}\right)\right\|_{L^{p}}+\left\|\nabla \dot{\Delta}_{j}\left(u_{3} u_{h}\right)\right\|_{L^{p}}+\left\|\dot{\Delta}_{j}\left(u_{3} \cdot \partial_{h} u_{h}\right)\right\|_{L^{p}}\right. \\& +\left\|\dot{\Delta}_{j}(a \nabla \cdot(\nabla d \odot \nabla d))\right\|_{L^{p}}+\left\|\dot{\Delta}_{j}(\nabla \cdot(\nabla d \odot \nabla d))\right\|_{L^{p}}+\left\|\dot{\Delta}_{j}(a \nabla \pi)\right\|_{L^{p}} \\& \left.+\left\|\dot{\Delta}_{j}\left(a \Delta u_{h}\right)\right\|_{L^{p}}+\left\|\dot{\Delta}_{j}\left(a \Delta u_{3}\right)\right\|_{L^{p}}\right] \\\lesssim & \left\|u_{h}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+1}}\left\|u_{h}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}}+\left\|u_{3}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+1}}\left\|u_{h}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}}+\left\|u_{3}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}}\left\|u_{h}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+1}} \\& +\|a\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}\|\nabla d \odot \nabla d\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}+\|\nabla d \odot \nabla d\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}+\|a\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}\|\nabla \pi\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}} \\& +\|a\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}\left(\left\|u_{h}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+1}}+\left\|u_{3}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+1}}\right) \\\lesssim & \left\|u_{h}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}}\left(\left\|u_{h}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+1}}+\left\|u_{3}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+1}}\right)+\left\|u_{3}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}}\left\|u_{h}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+1}} \\& +\|a\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}\left(\|\nabla \pi\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}}+\left\|u_{h}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+1}}+\left\|u_{3}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+1}}\right) \\& +\|a\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}\|d\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}\|d\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+2}}+\|d\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}\|d\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+2}}\end{aligned}$

所以,

$\begin{align*} \|\nabla\pi\|_{{L_t^1}(\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1})} \lesssim &\|a\|_{{\tilde{L}_t^\infty}({\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}})}\|\nabla\pi\|_{{\tilde{L}_t^1}({\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}})} +\int_0^t(\|a\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}+\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}})\\ &\cdot(\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}+\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}){\rm d}\tau +\int_0^t\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}{\rm d}\tau\\ &+\int_0^t\|a\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}\|d\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}\|d\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+2}}{\rm d}\tau +\int_0^t\|d\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}\|d\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+2}}{\rm d}\tau. \end{align*}$

由此推出 (3.3) 式成立. 此外, 利用引理 (2.2) 有

$\begin{align*} &\sum_{j\in \mathbb{Z}} 2^{(\frac{3}{p}-1)j}(\|\nabla\dot \Delta_j(u_3u_h)\|_{L^p} +\|\dot \Delta_j(u_3\partial_hu_h)\|_{L^p})\\ \lesssim &\sum_{j\in \mathbb{Z}} 2^{(\frac{3}{p}-1)j}(\|\dot \Delta_j(\nabla u_3u_h+u_3\cdot\nabla u_h)\|_{L^p} +\|\dot \Delta_j(u_3\partial_hu_h)\|_{L^p})\\ \lesssim &\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}\\ \lesssim &\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}^{\frac{1}{2}}\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}^{\frac{1}{2}} \|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}^{\frac{1}{2}}\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}^{\frac{1}{2}}. \end{align*}$

从而可得

$\begin{align*} \|\nabla\pi\|_{{L_t^1}(\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1})}\lesssim &\|a\|_{{\tilde{L}_t^\infty}({\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}})}\|\nabla\pi\|_{{\tilde{L}_t^1}({\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}})} +\int_0^t(\|a\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}+\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}})\\ &\cdot(\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}+\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}){\rm d}\tau +\int_0^t\|a\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}\|d\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}\|d\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+2}}{\rm d}\tau\\ &+\int_0^t\|d\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}\|d\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+2}}{\rm d}\tau +\int_0^t\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}^{\frac{1}{2}}\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}^{\frac{1}{2}} \|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}^{\frac{1}{2}}\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}^{\frac{1}{2}}{\rm d}\tau, \end{align*}$

故 (3.4) 式得证.

3.3 速度的估计

为了得到速度的估计, 先对速度方程作 Leray 投射, 再进行局部化, 则方程 $(1.2)$ 中关于 $(u,d)$ 的方程转化为

$\left\{\begin{array}{l}\dot{\Delta}_{j} u_{i t}+u \cdot \nabla \dot{\Delta}_{j} u_{i}-\Delta \dot{\Delta}_{j} u_{i}=f_{i j},\\\dot{\Delta}_{j} d_{i t}+u \cdot \nabla \dot{\Delta}_{j} d_{i}-\Delta \dot{\Delta}_{j} d_{i}=g_{i j}.\end{array}\right.$

其中, $i=1,2,3$, $\mathbb{P}:=\mathbb{I}+(-\Delta)^{-1}\nabla div$, 且

$\begin{align*} &f_{ij}=([u\cdot\nabla,\dot \Delta_j\mathbb{P}]u)_i-[\dot \Delta_j\mathbb{P}((a+1)\nabla\cdot(\nabla d\odot\nabla d))]_i -(\dot \Delta_j\mathbb{P}(a\nabla \pi))_i+(\dot \Delta_j\mathbb{P}(a\Delta u))_i,\\ &g_{ij}=([u\cdot\nabla,\dot \Delta_j]d)_i-(\dot \Delta_j(|\nabla d|^2d))_i. \end{align*}$

引理 3.3 在定理 (1.1) 的假设下有

$\begin{array}{l}\begin{aligned}\left\|u_{h}\right\|_{\tilde{L}_{t}^{\infty}\left(\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}\right)}+ & \left\|u_{h}\right\|_{\tilde{L}_{t}^{1}\left(\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+1}\right)} \lesssim\left\|u_{h 0}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}}+\int_{0}^{t}\left\|u_{h}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}}\left(\left\|\nabla u_{h}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}\right. \\& \left.+\left\|\nabla u_{3}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}\right) \mathrm{d} \tau+\int_{0}^{t}\left\|u_{3}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}}^{\frac{1}{2}}\left\|u_{3}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+1}}^{\frac{1}{2}}\left\|u_{h}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}}^{\frac{1}{2}}\left\|u_{h}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+1}}^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d}\end{aligned}\\\begin{array}{l}+\int_{0}^{t}\left(1+\|a\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}\right)\|d\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}\|d\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+2}} \mathrm{~d} \tau \\+\int_{0}^{t}\|a\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}\left(\|\nabla \pi\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}}+\left\|u_{h}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+1}}+\left\|u_{3}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+1}}\right) \mathrm{d} \tau,\end{array}\end{array}$
$\begin{aligned}\left\|u_{3}\right\|_{\tilde{L}_{t}^{\infty}\left(\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}\right)}+ & \left\|u_{3}\right\|_{\tilde{L}_{t}^{1}\left(\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+1}\right)} \lesssim\left\|u_{30}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}}+\int_{0}^{t}\left\|u_{3}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}}\left\|u_{h}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+1}} \mathrm{~d} \tau \\& +\int_{0}^{t}\left\|u_{h}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}}\left(\left\|u_{3}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+1}}+\left\|u_{h}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+1}}\right) \mathrm{d} \tau \\& +\int_{0}^{t}\|a\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}\left(\|\nabla \pi\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}}+\left\|u_{h}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+1}}+\left\|u_{3}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+1}}\right) \mathrm{d} \tau \\& +\int_{0}^{t}\left(1+\|a\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}\right)\|d\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}\|d\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+2}} \mathrm{~d} \tau\end{aligned}$

和

$\begin{aligned}\|d\|_{\tilde{L}_{t}^{\infty}\left(\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}\right)}+\|d\|_{\tilde{L}_{t}^{1}\left(\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+2}\right)} \lesssim & \left\|d_{0}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}+\int_{0}^{t}\|d\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}^{2}\|d\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+2}} \mathrm{~d} \tau \\& +\int_{0}^{t}\|d\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}\left(\left\|u_{h}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+1}}+\left\|u_{3}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+1}}\right) \mathrm{d} \tau.\end{aligned}$

证 将方程 $(3.5)_1$, $(3.5)_2$ 分别与 $p|\dot \Delta_ju_i|^{p-2}\dot \Delta_ju_i$ 和 $p|\dot \Delta_jd_i|^{p-2}\dot \Delta_jd_i$ 作 $L^2$ 内积得到

$\begin{align*} &\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\dot \Delta_j u_i\|_{L^p}^p+c_02^{2j}\|\dot \Delta_j u_i\|_{L^p}^p\\ \leq &\int_{\mathbb{R}^3}f_{ij}\cdot p|\dot \Delta_ju_i|^{p-2}\dot \Delta_ju_idx\\ \leq &\|f_{ij}\|_{L^p}\cdot p\|\dot \Delta_ju_i\|^{p-1}_{L^p} \end{align*}$

和

$\begin{align*} &\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\dot \Delta_j d_i\|_{L^p}^p+c_02^{2j}\|\dot \Delta_j d_i\|_{L^p}^p\\ \leq &\int_{\mathbb{R}^3}g_{ij}\cdot p|\dot \Delta_jd_i|^{p-2}\dot \Delta_jd_idx\\ \leq &\|g_{ij}\|_{L^p}\cdot p\|\dot \Delta_jd_i\|^{p-1}_{L^p}. \end{align*}$

从而

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}\left\|\dot{\Delta}_{j} u_{i}\right\|_{L^{p}}+c_{0} 2^{2 j}\left\|\dot{\Delta}_{j} u_{i}\right\|_{L^{p}} \lesssim\left\|f_{i j}\right\|_{L^{p}}$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}\left\|\dot{\Delta}_{j} d_{i}\right\|_{L^{p}}+c_{0} 2^{2 j}\left\|\dot{\Delta}_{j} d_{i}\right\|_{L^{p}} \lesssim\left\|g_{i j}\right\|_{L^{p}}$

对 (3.9) 式左右两边同乘 $2^{(\frac{3}{p}-1)j}$, 并关于 $j\in\mathbb{Z}$ 求和再关于时间积分得

$\begin{matrix}\left\|u_{i}\right\|_{\tilde{L}_{t}^{\infty}\left(\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}\right)}+\left\|u_{i}\right\|_{\tilde{L}_{t}^{1}\left(\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+1}\right)} \lesssim\left\|u_{i 0}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}-1}}+\int_{0}^{t} \sum_{j \in \mathbb{Z}} 2^{\left(\frac{3}{p}-1\right) j}\left\|f_{i j}\right\|_{L^{p}} \mathrm{~d} \tau \end{matrix}$

类似地,

$\begin{matrix}\left\|d_{i}\right\|_{\tilde{L}_{t}^{\infty}\left(\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}\right)}+\left\|u_{i}\right\|_{\tilde{L}_{t}^{1}\left(\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}+2}\right)} \lesssim\left\|d_{i 0}\right\|_{\dot{B}_{p, 1}^{\frac{3}{p}}}+\int_{0}^{t} \sum_{j \in \mathbb{Z}} 2^{\frac{3}{p} j}\left\|g_{i j}\right\|_{L^{p}} \mathrm{~d} \tau.\end{matrix}$

接下来对上面两式右边项分别估计. 首先, 估计 $f_{ij}$, 利用投影算子的定义可知

$\begin{aligned}& \left(\left[u \cdot \nabla, \dot{\Delta}_{j} \mathbb{P}\right] u\right)_{i} \\= & {\left[u \cdot \nabla, \dot{\Delta}_{j}\right] u_{i}-\dot{\Delta}_{j}(-\Delta)^{-1} \partial_{i} \operatorname{div} \operatorname{div}(u \otimes u) } \\= & {\left[u \cdot \nabla, \dot{\Delta}_{j}\right] u_{i}-\dot{\Delta}_{j}(-\Delta)^{-1} \partial_{i}\left[\partial_{h} \partial_{h}\left(u_{h} \otimes u_{h}\right)+2 \partial_{3} \partial_{h}\left(u_{3} u_{h}\right)-2 \partial_{3}\left(u_{3} \cdot \partial_{h} u_{h}\right)\right] } \\:= & {\left[u \cdot \nabla, \dot{\Delta}_{j}\right] u_{i}+\bar{f}_{i j}. }\end{aligned}$

根据引理 (2.4), 且注意到 $i=1,2$ 时, 有

$\begin{align*} \sum_{j\in \mathbb{Z}} 2^{(\frac{3}{p}-1)j}\|[u\cdot\nabla,\dot \Delta_j]u_i\|_{L^p} \lesssim \|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}(\|\nabla u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}+\|\nabla u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}). \end{align*}$

当 $i=3$ 时, 有

$\begin{align*} \sum_{j\in \mathbb{Z}} 2^{(\frac{3}{p}-1)j}\|[u\cdot\nabla,\dot \Delta_j]u_3\|_{L^p} \lesssim \|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}\|\nabla u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}+\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}\|\nabla u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}. \end{align*}$

此外, 结合引理 (2.2) 和 Bernstein 不等式, 且注意到当 $i=1,2$ 时, 有

$\begin{align*} &\sum_{j\in \mathbb{Z}} 2^{(\frac{3}{p}-1)j}\|\overline{f}_{ij}\|_{L^p}\\ \lesssim&\sum_{j\in \mathbb{Z}} 2^{(\frac{3}{p}-1)j}(\|\dot \Delta_j(u_h \partial_h u_h)\|_{L^p} +\|\dot \Delta_j(u_3\partial_h u_h)\|_{L^p})\\ &+\sum_{j\in \mathbb{Z}} 2^{\frac{3}{p}j}\|\dot \Delta_j(u_3u_h)\|_{L^p}\\ \lesssim &\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}\|\nabla u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}+\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}\|\nabla u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}+\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}\\ \lesssim &\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}\|\nabla u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}} +\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}^{\frac{1}{2}}\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}^{\frac{1}{2}} \|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}^{\frac{1}{2}}\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}^{\frac{1}{2}}. \end{align*}$

当 $i=3$ 时,有

$\begin{align*} &\sum_{j\in \mathbb{Z}} 2^{(\frac{3}{p}-1)j}\|\overline{f}_{3j}\|_{L^p}\\ \lesssim&\sum_{j\in \mathbb{Z}} 2^{(\frac{3}{p}-1)j}(\|\dot \Delta_j(u_h \partial_h u_h)\|_{L^p} +\|\dot \Delta_j(\partial_hu_3 u_h)\|_{L^p}+\|\dot \Delta_j(u_3 \partial_hu_h)\|_{L^p})\\ \lesssim &\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}(\|\nabla u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}+\|\nabla u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}) +\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}\|\nabla u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}. \end{align*}$

所以, 当 $i=1,2$ 时

$\begin{align*} &\sum_{j\in \mathbb{Z}} 2^{(\frac{3}{p}-1)j}\|[u\cdot\nabla,\dot \Delta_j\mathbb{P}]u_i\|_{L^p}\\ \lesssim &\sum_{j\in \mathbb{Z}} 2^{(\frac{3}{p}-1)j}(\|[u\cdot\nabla,\dot \Delta_j]u_i\|_{L^p}+\|\overline{f}_{ij}\|_{L^p})\\ \lesssim &\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}(\|\nabla u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}+\|\nabla u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}) +\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}^{\frac{1}{2}}\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}^{\frac{1}{2}} \|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}^{\frac{1}{2}}\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}^{\frac{1}{2}}. \end{align*}$

当 $i=3$ 时, 有

$\begin{align*} &\sum_{j\in \mathbb{Z}} 2^{(\frac{3}{p}-1)j}\|[u\cdot\nabla,\dot \Delta_j\mathbb{P}]u_3\|_{L^p}\\ \lesssim &\sum_{j\in \mathbb{Z}} 2^{(\frac{3}{p}-1)j}(\|[u\cdot\nabla,\dot \Delta_j]u_3\|_{L^p}+\|\overline{f}_{3j}\|_{L^p})\\ \lesssim &\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}(\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}+\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}) +\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}. \end{align*}$

根据引理 (2.2), Bernstein 不等式和插值不等式, 有

$\begin{align*} &\sum_{j\in \mathbb{Z}} 2^{(\frac{3}{p}-1)j}\|[\dot \Delta_j\mathbb{P}((a+1)\nabla\cdot(\nabla d\odot\nabla d))]_i\|_{L^p}\\ \lesssim &(1+\|a\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}})\|\nabla d\odot\nabla d\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}} \lesssim (1+\|a\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}})\|\nabla d\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}^2\\ \lesssim &(1+\|a\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}})\|d\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}^2 \lesssim (1+\|a\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}})\|d\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}\|d\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+2}}. \end{align*}$

类似可估计 $f_{ij}$ 的最后两项,

$\begin{align*} &\sum_{j\in \mathbb{Z}} 2^{(\frac{3}{p}-1)j}[\|(\dot \Delta_j\mathbb{P}(a\nabla \pi))_i\|_{L^p}+\|(\dot \Delta_j\mathbb{P}(a\Delta u))_i\|_{L^p}]\\ \lesssim &\|a\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}(\|\nabla \pi\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}} +\|\Delta u\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}})\\ \lesssim &\|a\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}(\|\nabla \pi\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}} +\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}+\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}).\\ \end{align*}$

接下来估计 $g_{ij}$, 利用引理 (2.2), 引理 (2.3) 和 Bernstein 不等式有

$\begin{align*} \sum_{j\in \mathbb{Z}} 2^{\frac{3}{p}j}\|([u\cdot\nabla,\dot \Delta_j]d)_i\|_{L^p} \lesssim \|d\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}} (\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}+\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}) \end{align*}$

和

$\begin{align*} &\sum_{j\in \mathbb{Z}} 2^{\frac{3}{p}j}(\dot \Delta_j(|\nabla d|^2d))_i\|_{L^p} \lesssim \|d\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}\||\nabla d|^2\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}} \lesssim \|\nabla d\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}^2\|d\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}\\ \lesssim& \|d\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}^2\|d\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}} \lesssim \|d\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}^2\|d\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+2}}. \end{align*}$

因此, 将上述估计代回 (3.11) 和 (3.12) 式并利用 Bernstein 不等式即可得到(3.6)-(3.8)~式.

4 定理 1.1 的证明

本小节将结合第三节得到的先验估计证明定理 1.1. 首先, 定义以下能量泛函

$\begin{align*} &A(t):=\|a\|_{{\tilde{L}_t^\infty}(\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}})},\\ &B(t):=\|\nabla\pi\|_{{\tilde{L}_t^1}(\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1})},\\ &E_h(t):=\|u_h\|_{{\tilde{L}_t^\infty}(\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1})}+\|u_h\|_{{\tilde{L}_t^1}(\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1})},\\ &E_3(t):=\|u_3\|_{{\tilde{L}_t^\infty}(\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1})}+\|u_3\|_{{\tilde{L}_t^1}(\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1})},\\ &F(t):=\|d\|_{{\tilde{L}_t^\infty}(\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}})}+\|d\|_{{\tilde{L}_t^1}(\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+2})}.\\ \end{align*}$

下面, 利用连续性证明得到初值满足 (1.3) 式的系统 $(1.2)_2$ 的全局存在性.

引理 4.1 假设 $(a,u,d)$ 是 $[T]$ 上方程 $(1.2)_2$ 的解, 且满足对于所有的 $t\in[T]$ 有

$A(t)\leq A_0,\quad E_h(t)\leq E_{h0},\quad E_3(t)\leq E_{30},\quad F(t)\leq F_0.$

若

$\begin{matrix} \begin{aligned} &A_0\leq\frac{1}{2C_2},\quad E_{h0}\leq 1,\quad A_0+E_{h0}+F_0\leq\frac{1}{4C_3},\quad A_0\leq\frac{1}{8C_5},\\ \end{aligned} \end{matrix}$
$\begin{matrix} \begin{aligned} &2(A_0+E_{h0})E_{h0}+2(C_2+1)A_0F_0^2+F_0^2\leq1,\quad F_0^2\leq\frac{1}{2C_4},\\ \end{aligned} \end{matrix}$
$\begin{matrix} \begin{aligned} &2C_3A_0^2+4C_3A_0E_{h0}\leq\frac{1}{8C_5}.\\ \end{aligned} \end{matrix}$

则对所有 $t\in[T]$

$A(t)\leq \frac{1}{2}A_0,\quad E_h(t)\leq \frac{1}{2}E_{h0},\quad E_3(t)\leq \frac{1}{2}E_{30},\quad F(t)\leq \frac{1}{2}F_0,\quad$

其中, $C_i\geq1,i=1,2,3,4,5,$ 并且

$\begin{align*} &A_0=2C_1A(0)\cdot \exp\{C_1(1+\frac{1}{2}E_{30})\},\\ &E_{h0}=40C_2C_3C_4C_5\{E_h(0)+(4C_3(E_3(0)+1)A(0)+F(0))\\ &\qquad\quad\times \exp\{(C_1+2C_4+40C_5^2)(2+8C_3^2+8C_3^2E^2_3(0))\}\}\\ &\qquad\quad\times \exp\{10C_5^2(1+32C_3^2+32C_3^2E^2_3(0))\},\\ &E_{30}=4C_3(E_3(0)+1),\\ &F_0=4C_4F(0)\cdot \exp\{2C_4(1+\frac{1}{2}E_{30})\}. \end{align*}$

证 首先, 根据引理 (3.1) 可得

$\begin{matrix} \begin{aligned} &A(t)\leq C_1A(0)+C_1\int_0^tA(\tau)(\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}+\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}})(\tau){\rm d}\tau \end{aligned} \end{matrix}$

和

$\begin{matrix} \begin{aligned} &A(t)\leq C_1A(0)+C_1A(t)(E_h(t)+E_3(t)). \end{aligned} \end{matrix}$

由引理 (3.2) 可推出

$\begin{matrix} \begin{aligned} B(t)\leq &\frac{C_2}{1-C_2A(t)}[(A(t)+E_h(t))\times(E_h(t)+E_3(t))+A(t)F^2(t)+F^2(t)] \end{aligned} \end{matrix}$

和

$\begin{matrix} \begin{aligned} B(t)\leq &\frac{C_2}{1-C_2A(t)}[A(t)(E_h(t)+E_3(t))+A(t)F^2(t)+F^2(t)\\ &+\varepsilon\int_0^t\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}{\rm d}\tau+\frac{1}{4\varepsilon}\int_0^t\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}} \|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}{\rm d}\tau\\ &+\int_0^t\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}(\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}+\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}})(\tau){\rm d}\tau]. \end{aligned} \end{matrix}$

其中 $\varepsilon>0$ 是待定的恰当小的常数.

又由 (4.6) 式有

$\begin{matrix} \begin{aligned} E_3(t)&\leq C_3[E_3(0)+(E_h(t)+E_3(t))E_h(t)+A(t)F^2(t)+F^2(t)\\ &\quad+A(t)(B(t)+E_h(t)+E_3(t))]\\ &\leq C_3[E_3(0)+(E_h(t)+E_3(t))(E_h(t)+A(t))+A(t)F^2(t)+F^2(t)\\ &\quad+A(t)\cdot\frac{C_2}{1-C_2A(t)}((A(t)+E_h(t))\times(E_h(t)+E_3(t))+A(t)F^2(t)+F^2(t))]\\ &\leq C_3[E_3(0)+2(E_h(t)+E_3(t))(E_h(t)+A(t))+2(C_2+1)A(t)F^2(t)+F^2(t)]\\ &\leq 2C_3[E_3(0)+2E_h(t)(E_h(t)+A(t))+2(C_2+1)A(t)F^2(t)+F^2(t)]\\ &\leq 2C_3[E_3(0)+2E_{h0}(E_{h0}+A_0)+2(C_2+1)A_0F_0^2+F_0^2], \end{aligned} \end{matrix}$

其中利用了

$A(t)\leq A_0\leq\frac{1}{2C_2}$

和

$ A(t)+E_h(t)+F_(t)\leq A_0+E_{h0}+F_0\leq\frac{1}{4C_3}, \forall\quad t\in[T].$

因此, 若

$2(A_0+E_{h0})E_{h0}+2(C_2+1)A_0F_0^2+F_0^2\leq1,$

则

$\begin{matrix} \begin{aligned} E_3(t)\leq2C_3(E_3(0)+1):=\frac{1}{2}E_{30}. \end{aligned} \end{matrix}$

由 Gronwall 不等式, (4.4), (4.9) 式和假设 (4.1) 可推出

$\begin{matrix} \begin{aligned} A(t)&\leq C_1A(0)+C_1\int_0^tA(\tau)(\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}+\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}})(\tau){\rm d}\tau\\ &\leq C_1A(0)\cdot \exp\{C_1(E_h(t)+E_3(t))\}\\ &\leq C_1A(0)\cdot \exp\{C_1(E_{h0}+\frac{1}{2}E_{30})\}\\ &\leq C_1A(0)\cdot \exp\{C_1(1+\frac{1}{2}E_{30})\}:=\frac{1}{2}A_0. \end{aligned} \end{matrix}$

此外, 根据引理 (3.3),

$\begin{align*} F(t)\leq &C_4[(F(0)+F^3(t))+\int_0^tF(\tau)(\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}+\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}){\rm d}\tau]\\ \leq &C_4[(F(0)+F_0^2F(t))+\int_0^tF(\tau)(\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}+\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}){\rm d}\tau]. \end{align*}$

在假设条件 (4.2) 下有

$\begin{align*} F(t)\leq 2C_4[F(0)+\int_0^tF(\tau)(\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}+\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}){\rm d}\tau]. \end{align*}$

由 Gronwall 不等式,

$\begin{matrix} \begin{aligned} F(t)&\leq 2C_4F(0)\cdot \exp\{2C_4\int_0^t(\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}+\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}){\rm d}\tau]\\ &\leq 2C_4F(0)\cdot \exp\{2C_4(1+\frac{1}{2}E_{30})\}:=\frac{1}{2}F_0. \end{aligned} \end{matrix}$

接下来估计 $E_h(t)$. 由引理 (3.3) 和 (4.7) 式可知

$\begin{align*} E_h(t)\leq &C_5[E_h(0)+A(t)F^2(t)+F^2(t)+A(t)B(t)+A(t)(E_h(t)+E_3(t))\\ &+\int_0^t\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}(\|\nabla u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}+\|\nabla u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}){\rm d}\tau +\varepsilon\int_0^t\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}{\rm d}\tau\\ &+\frac{1}{4\varepsilon}\int_0^t\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}{\rm d}\tau]\\ \leq &C_5\{E_h(0)+A(t)F^2(t)+F^2(t)+\frac{C_2A(t)}{1-C_2A(t)}\times[A(t)(E_h(t)\\ &+E_3(t))+A(t)F^2(t)+F^2(t)+\varepsilon\int_0^t\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}{\rm d}\tau\\ &+\frac{1}{4\varepsilon}\int_0^t\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}} \|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}{\rm d}\tau\\ &+\int_0^t\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}(\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}+\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}})(\tau){\rm d}\tau]\\ &+A(t)(E_h(t)+E_3(t))+\int_0^t\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}(\|\nabla u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}+\|\nabla u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}){\rm d}\tau\\ &+\varepsilon\int_0^t\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}{\rm d}\tau +\frac{1}{4\varepsilon}\int_0^t\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}} \|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}{\rm d}\tau\}. \end{align*}$

利用对于所有的 $t\in[T]$, $A(t)\leq A_0\leq\frac{1}{2C_2}$ 可知

$\begin{align*} E_h(t)\leq &2C_5\{E_h(0)+2(C_2+1)A(t)F^2(t)+F^2(t)+2A(t)(E_h(t)+E_3(t))\\ &+\frac{1}{2\varepsilon}\int_0^t\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}} \|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}{\rm d}\tau\\ &+2\int_0^t\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}(\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}+\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}})(\tau){\rm d}\tau\}. \end{align*}$

其中

$\begin{align*} 2A(t)E_3(t)\leq &4C_3A(t)[E_3(0)+2E_h(t)(E_h(t)+A(t))+2(C_2+1)A(t)F^2(t)+F^2(t)]\\ \leq &4C_3A(t)E_3(0)+8C_3A(t)E_h(t)(E_h(t)+A(t))\\ &+8(C_2+1)C_3A^2(t)F^2(t)+4C_3A(t)F^2(t). \end{align*}$

并取 $\varepsilon=\frac{1}{4C_5}$, 从而

$\begin{align*} E_h(t)\leq &2C_5\{E_h(0)+2(C_2+1)A(t)F^2(t)+F^2(t)+2A(t)E_h(t)\\ &+4C_3A(t)E_3(0)+8C_3A(t)E_h(t)(E_h(t)+A(t))\\ &+8(C_2+1)C_3A^2(t)F^2(t)+4C_3A(t)F^2(t)\\ &+2\int_0^t\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}(\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}+\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}) \times(1+C_5\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}})(\tau){\rm d}\tau\}\\ \leq&2C_5\{E_h(0)+2(C_2+1)C_3(\frac{1}{4}A_0F_0+\frac{1}{2}F_0+A_0^2F_0^2)F(t)+2A(t)E_h(t)\\ &+2C_3A_0E_3(0)+4C_3A_0E_h(t)(E_{h0}+\frac{1}{2}A_0)\\ &+2\int_0^t\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}(\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}+\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}) \times(1+C_5\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}})(\tau){\rm d}\tau\}. \end{align*}$

又由 (4.1) 和 (4.3) 式可得

$\begin{align*} E_h(t)\leq &2C_5\{E_h(0)+2(C_2+1)(C_3+1)(A_0F_0+F_0)F(t)\\ &+2C_3A_0E_3(0)+E_h(t)(A_0+4C_3A_0(\frac{1}{2}A_0+E_{h0}))\\ &+2\int_0^t\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}(\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}+\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}) \times(1+C_5\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}})(\tau){\rm d}\tau\}\\ \leq &4C_5\{E_h(0)+2(C_2+1)(C_3+1)(A_0F_0+F_0)F(t)+2C_3A_0E_3(0)\\ &+2\int_0^t\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}(\|u_h\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}+\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}+1}}) \times(1+C_5\|u_3\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}})(\tau){\rm d}\tau\}. \end{align*}$

根据 Gronwall 不等式

$\begin{matrix} \begin{aligned} E_h(t)\leq &4C_5\{E_h(0)+2(C_2+1)(C_3+1)(A_0F_0+F_0)F(t)\\ &+2C_3A_0E_3(0)\}\times \exp\{8C_5[E_h(t)+E_3(t)\times(1+C_5E_3(t))]\}. \end{aligned} \end{matrix}$

其中

$\begin{align*} 8C_5[E_h(t)+&E_3(t)(1+C_5E_3(t))]\\ \leq&8C_5[1+\frac{1}{2}E_{30}(1+\frac{C_5}{2}E_{30})]\\ \leq&8C_5(1+\frac{1}{2}E_{30}+\frac{C_5}{4}E^2_{30})\\ \leq&8C_5(\frac{5}{4}+\frac{1+C_5}{4}E^2_{30})\\ \leq&10C_5^2(1+E^2_{30}), \end{align*}$

且

$\begin{align*} &2(C_2+1)(C_3+1)(A_0F_0+F_0)F(t)\\ \leq&2(C_2+1)(C_3+1)((\frac{1}{4C_3})^2+\frac{1}{4C_3})\times2C_4F_(0)\times \exp\{2C_4(1+E_{30})\}\\ \leq&5C_2C_3C_4F(0)\times \exp\{2C_4(1+E_{30})\}. \end{align*}$

将上面两个估计代入 (4.12) 式, 并结合 $A_0$ 的定义得

$\begin{align*} E_h(t)\leq &4C_5\{E_h(0)+5C_2C_3C_4F(0)\times \exp\{2C_4(1+E_{30})\}\\ &+2C_3A_0E_3(0)\}\times \exp\{10C_5^2(1+E^2_{30})\}\\ \leq&4C_5\{E_h(0)+4C_1C_3A(0)\exp\{C_1(1+\frac{1}{2}E_{30})\}\cdot E_3(0)\\ &+5C_2C_3C_4F(0)\times \exp\{2C_4(1+E_{30})\} \times \exp\{10C_5^2(1+E^2_{30})\}\\ \leq&4C_5\{E_h(0)+C_1A(0)\exp\{C_1(1+E_{30})\}\cdot E_{30}\\ &+5C_2C_3C_4F(0)\times \exp\{2C_4(1+E_{30})\} \times \exp\{10C_5^2(1+E^2_{30})\}\\ \leq&20C_2C_3C_4C_5\{E_h(0)+(A(0)E_{30}+F(0))\times \exp\{C_1(1+E_{30})\\ &+2C_4(1+E_{30})\}\} \times \exp\{10C_5^2(1+E^2_{30})\}\\ \leq&20C_2C_3C_4C_5\{E_h(0)+(4C_3(E_3(0)+1)A(0)+F(0))\\ &\times \exp\{(C_1+2C_4+40C_5^2)(2+8C_3^2+8C_3^2E^2_3(0))\}\}\\ &\times \exp\{10C_5^2(1+32C_3^2+32C_3^2E^2_3(0))\}:=\frac{1}{2}E_{h0}, \end{align*}$

其中利用了 $E_{30}$ 的定义和 $E_{30}\leq1+\frac{E^2_{30}}{4}$.

系统的局部适定性类似于 Navier-Stokes 方程的局部适定性 (参见文献 [8]) 可以证得, 故省略.

定理 1.1 的证明 假设 $\overline T$ 表示解的最大存在时间, 使得对所有 $t\in[0,\overline{T}]$, 有

$A(t)\leq A_0,\quad E_h(t)\leq E_{h0},\quad E_3(t)\leq E_{30},\quad F(t)\leq F_0.\quad$

根据 $E_h(t), E_3(t)$ 的定义和引理 (3.3) 可知

$\begin{align*}E_h(0)\leq\|u_{h0}\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}},\quad E_3(0)\leq\|u_{30}\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}.\end{align*}$

类似还可得到

$\begin{align*} A_0=&2C_1A(0) \exp\{C_1(1+\frac{1}{2}E_{30})\}\\ =&2C_1A(0) \exp\{C_1(1+2C_3(E_3(0)+1))\}\\ =&2C_1A(0) \exp\{C_1(1+2C_3+2C_3E_3(0))\}\\ \leq &2C_1\|a_0\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}\exp\{C_1(1+2C_3+2C_3(\|u_{30}\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}+1)\}\\ \leq &2C_1\|a_0\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}\exp\{C_1(1+8C_3+4C_3\|u_{30}\|^2_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}})\} \end{align*}$

和

$\begin{align*} F_0=&4C_4F(0) \exp\{2C_4(1+\frac{1}{2}E_{30})\}\\ \leq &4C_4\|d_0\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}\exp\{2C_4(1+8C_3+4C_3\|u_{30}\|^2_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}})\}. \end{align*}$

类似上述不等式的证明方法有

$\begin{align*} E_{h0}\leq &40C_2C_3C_4C_5\{E_h(0)+(4C_3(E_3(0)+1)A(0)+F(0))\\ &\times \exp\{(C_1+2C_4+40C_5^2)(2+8C_3^2+8C_3^2E^2_3(0))\}\}\\ &\times \exp\{10C_5^2(1+32C_3^2+32C_3^2E^2_3(0))\}\\ \leq &160C_2C_3^2C_4C_5\{\|u_{h0}\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}+(\|u_{30}\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}+1)\\ &\times(\|a_0\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}+\|d_0\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}})\} \exp\{20(C_1+2C_4+40C_5^2)C_5^2(1+16C_3^2+16C_3^2E_3^2(0))\}. \end{align*}$

定义

$M_1:=160C_2C_3^2C_4C_5\exp\{20(C_1+2C_4+40C_5^2)C_5^2(1+16C_3^2)\},$
$\hspace{-4.2cm} M_2:=320(C_1+2C_4+40C_5^2)C_5^2C_3^2,$
$\hspace{-.3cm} N_1:=\|u_{h0}\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}+(\|u_{30}\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}+1) \times(\|a_0\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}+\|d_0\|_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}}}),$

那么

$E_{h0}\leq M_1N_1\exp\{M_2\|u_{30}\|^2_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}\}.$

根据 $A_0, F_0$ 的定义, 若

$\begin{matrix} \begin{aligned} A_0\leq\min\{\frac{1}{2C_2},\frac{1}{12C_3},\frac{1}{16C_5}\}, \end{aligned} \end{matrix}$
$\begin{matrix} \begin{aligned} F_0\leq\min\{\frac{1}{12C_3},\frac{1}{\sqrt{2}C_4}\},\quad E_{h0}\leq\frac{1}{12C_3}, \end{aligned} \end{matrix}$

则可推出 (4.1)-(4.3)式成立.

而若

$\begin{matrix} \begin{aligned} M_3N_1\exp\{M_2\|u_{30}\|^2_{\dot B_{p,1}^{\frac{3}{p}-1}}\}\leq1, \end{aligned} \end{matrix}$

其中

$M_3:=\max\{32C_1C_2C_3C_5\exp\{C_1(1+8C_3)\},48C_3C_4^2\exp\{2C_4(1+8C_3)\},12C_3M_1\}.$

则 (4.13) 和 (4.14)~式成立. 所以, 令 $C_0:=\max\{M_2,M_3\}$, 那么当初值满足 (1.3) 式时, 对所有 $t\in[0,\overline{T}]$, 有

$A(t)\leq \frac{1}{2}A_0,\quad E_h(t)\leq \frac{1}{2}E_{h0},\quad E_3(t)\leq \frac{1}{2}E_{30},\quad F(t)\leq \frac{1}{2}F_0.\quad$

由标准的连续方法可知 $\overline{T}=+\infty$, 否则, 根据局部存在性和上述结论知存在一个时间 $T^\ast>\overline{T}$, 使得对任意 $t\in[\overline{T},T^\ast]$,

$A(t)\leq A_0,\quad E_h(t)\leq E_{h0},\quad E_3(t)\leq E_{30},\quad F(t)\leq F_0,\quad$

这与 $T^\ast$ 的定义相矛盾. 故 $\overline{T}=+\infty$. 定理证毕.

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