数学物理学报, 2026, 46(4): 1309-1319

带有双幂非线性项的 $L^2$-次临界变分问题的极小元性质——献给邓引斌教授 70 寿辰

郭玉劲,1, 张姝,2,*

1 华中师范大学数学与统计学学院 武汉 430079

2 信阳师范大学数学与统计学院 河南信阳 464000

Minimizers of $L^2$-Subcritical Constraint Variational Problems with Double-Power Nonlinear Terms

Guo Yujin,1, Zhang Shu,2,*

1 School of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Wuhan 430079

2 School of Mathematics and Statistics, Xinyang Normal University, Henan Xinyang 464000

通讯作者: * 张姝, E-mail: szhangmath@163.com

收稿日期: 2025-08-27   修回日期: 2025-11-21  

基金资助: 国家自然科学基金(12225106)
国家自然科学基金(12326338)
国家自然科学基金(12526559)
科技部国家重点研发项目(2023YFA1010001)

Received: 2025-08-27   Revised: 2025-11-21  

Fund supported: NSFC(12225106)
NSFC(12326338)
NSFC(12526559)
National Key R & D Program of China(2023YFA1010001)

作者简介 About authors

郭玉劲,E-mail:yguo@ccnu.edu.cn

摘要

该文主要研究一类带有双幂非线性项的 $L^2$-次临界约束变分问题极小元的性质. 应用紧性引理和一些重要的不等式, 该文首先证明极小元的存在性. 在此基础上, 采用能量方法和爆破分析等理论与方法, 在粒子之间的相互吸引力强度 $\alpha$ 满足 $\alpha\to\infty$ 时, 该文进一步分析正极小元的极限行为.

关键词： 双幂非线性项; 极小元; 存在性; 极限行为

Abstract

This paper mainly studies the properties of minimizers for $L^2$-subcritical constrained variational problems with double-power nonlinear terms. Applying the compactness lemma and some important inequalities, we first prove the existence of minimizers. Based on this, using energy method, blow-up argument and some other methods, we further analyze the limiting behavior of positive minimizers as the attractive strength $\alpha$ among the particles tends to infinity.

Keywords： double-power nonlinear terms; minimizers; existence; limiting behavior

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本文引用格式

郭玉劲, 张姝. 带有双幂非线性项的 $L^2$-次临界变分问题的极小元性质——献给邓引斌教授 70 寿辰[J]. 数学物理学报, 2026, 46(4): 1309-1319

Guo Yujin, Zhang Shu. Minimizers of $L^2$-Subcritical Constraint Variational Problems with Double-Power Nonlinear Terms[J]. Acta Mathematica Scientia, 2026, 46(4): 1309-1319

1 引言

本文考虑如下带有双幂非线项的椭圆方程

$-\Delta u+V(x)u-\alpha^{p-2} |u|^{p-2}u+\beta |u|^{q-2}u=\mu u\ \ \mbox{在 $\mathbb{R}^2$ 中成立},$

这里 $\mu\in\mathbb{R}$, $q>p>2$, $V(x)\geq 0$ 是位势函数, $\alpha>0$ 和 $\beta>0$ 分别表示粒子之间的相互吸引力与排斥力作用强度. 方程 (1.1) 主要用于模拟各种物理现象, 例如非线性光学、等离子体物理和玻色-爱因斯坦凝聚态 (BECs) 现象等, 参见文献 [2],[14],[16],[19] 及其参考文献.

近年来, 许多数学家及物理学家针对方程 (1.1) 开展了理论研究, 并取得一系列成果, 参见文献 [4], [5], [8], [17] 及其参考文献. 当 $\beta=0$ 且 $p=4$ 时, 方程 (1.1) 为描述二维 BECs 理论的 Gross-Pitaevskii (GP) 方程. 利用平均场近似的思想, Lieb 和 Seiringer 等人用相关数学理论严格证明了BEC 系统可由单个 GP 方程的基态解来描述[10], [11]. 当位势函数 $V(x)$ 为多项式函数时, Guo 和 Seiringer[5] 应用能量方法探讨了方程 (1.1) 基态解的存在性以及极限行为. 运用集中紧原理, Wang 和 Zhao[17] 将文献 [5] 中基态解的存在性结果推广到了周期位势的情形. 针对一类 $l$-次齐次的位势函数, Guo, Lin 和 Wei[4] 通过构造局部 Pohozaev 恒等式, 证明了基态解的局部唯一性. 当 $\beta\neq0$ 时, 方程 (1.1) 含有双幂非线性项. 双幂非线性项通常用于描述具有两体吸引相互作用与三体排斥相互作用的系统[1], [7]. 当 $V(x)\equiv0$ 时, Lewin 和 Nodari[8] 考虑 (1.1) 式对应的约束极小问题, 通过证明极小化序列的紧性, 从而得到极小元的存在性. 此外, 采用打靶法和算子理论等方法与理论, 作者也证明了方程 (1.1) 正解的唯一性和非退化性.

受上述研究的启发, 本文主要研究当 $V(x)=|x|^2$, $q=4$, $\beta=1$ 且 $2<p<4$ 时方程 (1.1) 的规范解. 为此, 我们将考虑如下约束变分问题

$e(\alpha):=\inf \Big\{ E_{\alpha}(u):\, u\in \mathcal{H},\,\ \ \int_{\mathbb{R}^{2}} u^{2}(x){\rm d}x=1\Big\},\ \ \alpha>0,$

其中能量泛函 $ E_{\alpha}(u)$ 满足

$\begin{split}E_{\alpha}(u)&:=\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^{2}} \big[|\nabla u|^{2}+|x|^2u^{2}\big]{\rm d}x+\frac{1}{4}\int_{\mathbb{R}^{2}}|u|^{4}{\rm d}x-\frac{\alpha^{p-2}}{p}\int_{\mathbb{R}^{2}}|u|^{p}{\rm d}x,\ \ 2<p<4,\end{split}$

而弱函数空间 $\mathcal{H}$ 定义为

$\mathcal{H}:=\Big\{ u\in H^{1}(\mathbb{R}^{2}):\, \int_{\mathbb{R}^{2}}|x|^2 u^{2}{\rm d}x< \infty\Big\},$

且 $\mathcal{H}$ 中的范数为 $\|u\|_{\mathcal{H}}=\big[\int_{\mathbb{R}^{2}}\big(|\nabla u|^{2}+u^{2}+|x|^2 u^{2}\big){\rm d}x\big]^{\frac{1}{2}}.$ 关于变分问题 (1.2) 的研究, 本文将首先得到如下存在性结果.

定理1.1 对于任意的 $\alpha\in(0,+\infty)$, 变分问题 (1.2) 至少存在一个极小元.

假设 $u_{\alpha}$ 是问题 $e(\alpha)$ 的极小元, 则由变分理论可知, $u_{\alpha}$ 满足如下欧拉-拉格朗日方程

$-\Delta u_{\alpha}+|x|^2u_{\alpha}+ |u_{\alpha}|^2u_{\alpha}-\alpha^{p-2}|u_{\alpha}|^{p-2}u_{\alpha}=\mu_{\alpha}u_{\alpha}\,\ \mbox{在}\,\ \mathbb{R}^{2}\,\ \mbox{中成立},$

其中 $\mu_{\alpha}\in \mathbb{R}$ 是所对应的拉格朗日乘子. 根据文献 [9,定理 6.17] 可知, 对任意的 $u\in \mathcal{H}$, 均有 $E_{\alpha}(|u|)= E_{\alpha}(u)$, 这蕴含着 $|u_{\alpha}|$ 也是问题 $e(\alpha)$ 的极小元. 再对方程 (1.3) 应用强极值原理可知, $|u_{\alpha}|>0$ 在 $\mathbb{R}^{2}$ 中成立. 因此, 不失一般性, 接下来本文仅考虑 $\alpha\to\infty$ 时问题 $e(\alpha)$ 正极小元的极限行为. 为此, 本文需要引入与问题 $e(\alpha)$ 相关的如下约束极小问题

$J_{1}(1):=\inf\Big \{\mathcal{E}_{1}(u):\ \, u\in H^1(\mathbb{R}^{2}),\ \, \|u\|_{L^2(\mathbb{R}^{2})}^2=1\Big \},$

这里能量泛函 $\mathcal{E}_1(u)$ 定义为

$\mathcal{E}_1(u):=\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^{2}} |\nabla u(x)|^2{\rm d}x+\frac{1}{4}\int_{\mathbb{R}^{2}}|u(x)|^{4}{\rm d}x-\frac{1}{p}\int_{\mathbb{R}^{2}}|u(x)|^{p}{\rm d}x,\ \ 2<p<4.$

由文献 [8,定理 2] 可知, 问题 $J_1(1)$ 至少存在一个正极小元 $Q(x)$, 这里 $Q(x)=Q(|x|)>0$ 具有径向对称性, 且满足如下方程

$-\Delta u+u^{3}-u^{p-1}=-\mu u\,\ \text{在} \,\ \mathbb{R}^{2}\,\ \text{中}, \,\ \int_{\mathbb{R}^{2}}u^2(x){\rm d}x=1>0,$

其中拉格朗日乘子 $\mu>0$ 由 $Q(x)$ 给定. 基于上述事实, 下面介绍 $\alpha\to \infty$ 时问题 $e(\alpha)$ 正极小元的极限行为.

定理1.2 假设 $u_{\alpha_k}$ 是问题 $e(\alpha_k)$ 的正极小元, 其中 $\{\alpha_k\}$ 满足当 $k\to\infty$ 时 $\alpha_k\to\infty$. 定义

$\tilde{w}_k(x):=\varepsilon_ku_{\alpha_k}(\varepsilon_kx+x_k)>0,\ \ \ \varepsilon_{k}:=\alpha_{k}^{\frac{p-2}{p-4}},$

则在子列的意义下, 当 $k\to \infty$ 时,

$\tilde{w}_k(x)\to Q(x)\ \ \text{在}\ \ H^{1}(\mathbb{R}^{2})\cap L^{\infty}(\mathbb{R}^{2})\ \ \text{中成立},$

这里 $Q(x)=Q(|x|)$ 是问题 $J_1(1)$的正极小元, 而 $x_k$ 是 $u_{\alpha_k}(x)$ 的一个全局极大值点且满足: 当 $k\to\infty$ 时,

$\varepsilon_k^{-1}x_k\to 0.$

$L^\infty$-范数下的一致收敛性结果 (1.7) 式表明: 当 $k\rightarrow\infty$ 时, $e(\alpha_k)$ 的正极小元会在位势函数 $V(x)$ 的全局最小值点 $0$ 处发生爆破. 由于极限问题 $J_{1}(1)$ 正极小元的唯一性结果未知, 即使 $V(x)$ 仅有一个全局最小值点, 定理 1.2 中函数列 $\{\tilde{w}_{k}\}$ 的收敛性通常也仅在子列的意义下成立. 此外, 不同于现有的工作见文献 [12],[13], 本文将采用改进的集中紧原理 (参见文献 [15,第 3.3 节]) 来得到 (1.7) 式中函数列 $\{\tilde{w}_k\}$ 的紧性结果.

2 极小元的存在性

本节主要研究变分问题 $e(\alpha)$ 极小元的存在性, 从而完成定理 1.1 的证明. 为此, 本节首先介绍如下紧性引理 (参见文献 [20,引理 3.1]).

引理2.1 假设 $V(x)\in L^{\infty}_{\rm loc}(\mathbb{R}^{2})$ 且 $\lim\limits_{|x|\to \infty}V(x)=\infty$. 则当 $2\leq q <+\infty$ 时, 嵌入 $\mathcal{H}\hookrightarrow L^{q}(\mathbb{R}^{2})$ 是紧的.

此外, 定理 1.1 的证明还需要用到著名的 Gagliardo-Nirenberg 不等式 (参见文献 [18]): 对任意的 $p\in (2,4)$,

$\|u\|^{p}_{L^p(\mathbb{R}^2)}\le \frac{p}{2}\Big(\frac{2}{p-2}\Big)^{\frac{p-2}{2}}\|w\|_{L^2(\mathbb{R}^2)}^{2-p}\|\nabla u\|_{L^2(\mathbb{R}^2)}^{p-2}\|u\|_{L^2(\mathbb{R}^2)}^{2},\ \ u\in H^{1}(\mathbb{R}^{2}),$

其中 (2.1) 式中的等号成立当且仅当 $u(x)=w(x)$. 在不计平移的意义下, $w(x)=w(|x|)$ 是如下方程的唯一正解

$-\Delta u+u-u^{p-1}=0 \ \ \mbox{在}\,\ \mathbb{R}^{2}\,\ \mbox{中成立}.$

应用上述紧性引理和 Gagliardo-Nirenberg 不等式 (2.1), 下面给出定理 1.1 的证明.

定理 1.1 的证明 对于任意的 $\alpha\in(0,\infty)$ 和满足 $\|u\|^{2}_{L^2(\mathbb{R}^2)}=1$ 的 $u\in \mathcal{H}$, 首先证明能量泛函 $E_{\alpha}(u)$ 是下方有界的. 事实上, 应用 Gagliardo-Nirenberg 不等式 (2.1) 可得, 对于任意的 $p\in\big(2, 4\big)$,

$\begin{matrix} E_{\alpha}(u)&=\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^{2}} \big(|\nabla u|^{2}+|x|^2u^{2}\big){\rm d}x-\frac{\alpha^{p-2}}{p}\int_{\mathbb{R}^{2}}u^{p}{\rm d}x+\frac{1 }{4}\int_{\mathbb{R}^{2}}u^{4}{\rm d}x\\ &\geq \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^{2}} |\nabla u|^{2}{\rm d}x-C\alpha^{p-2}\Big(\int_{\mathbb{R}^{2}}|\nabla u|^{2}{\rm d}x\Big)^{\frac{p-2}{2}}\\ &\geq \frac{1}{4}\int_{\mathbb{R}^{2}} |\nabla u|^{2}{\rm d}x-C_{\alpha}, \end{matrix}$

故能量泛函 $E_{\alpha}(u)$ 是下方有界的.

选取 $e(\alpha)$ 的极小化序列 $\{u_{n}\}\subset \mathcal{H}$ 满足 $\|u_{n}\|^{2}_{L^2(\mathbb{R}^2)}=1$ 且 $e(\alpha)=\lim\limits_{n\to \infty} E_{\alpha}(u_{n})$. 根据 (2.2) 可以推出: $\int_{\mathbb{R}^{2}}|\nabla u_{n}|^{2}{\rm d}x$ 和 $\int_{\mathbb{R}^{2}}|x|^2u_{n}^{2}{\rm d}x$ 均关于 $n$ 一致有界. 由于 $\|u_{n}\|_{L^2(\mathbb{R}^2)}^{2}\equiv1$, 则有 $\{u_{n}\}$ 在 $ \mathcal{H}$ 中一致有界. 应用紧性引理 2.1 可知, 在子列的意义下, 存在 $u\in \mathcal{H}$ 使得当 $n\to \infty$ 时,

$\begin{matrix} u_{n}\rightharpoonup u \,\ \text{在}\,\ \mathcal{H}\,\ \text{中成立, 且}\,\ u_{n}\to u \,\ \text{在} \,\ L^{q}(\mathbb{R}^{2})\,\ \text{中成立},\,\ q \in [2,+\infty). \end{matrix}$

因此, $\|u\|^{2}_{L^2(\mathbb{R}^2)}=1$. 根据范数的弱下半连续性, 结合 (2.3) 式可得

$e(\alpha)\leq E_{\alpha}(u)\leq \liminf\limits_{n\to \infty}E_{\alpha}(u_{n})=e(\alpha).$

因此, 对于任意的 $0<\alpha<\infty$, $u$ 是问题 $e(\alpha)$ 的极小元. 故定理 1.1 证毕.

3 集中行为的初步分析

本节主要采用能量方法和爆破分析技术分析当 $\alpha\to\infty$ 时正极小元的基本集中行为. 为此, 本节首先建立如下引理.

引理3.1 假设 $2<p<4$, 则有

$\lim\limits_{\alpha \to \infty}\frac{e(\alpha)}{\alpha^{\frac{2p-4}{4-p}}}=J_1(1),$

其中 $e(\alpha)$ 和 $J_1(1)$ 分别由 (1.2) 和 (1.4) 式来给定.

证 首先证明当 $\alpha\to \infty$ 时 $e(\alpha)$ 的能量上界估计. 定义

$v_{\alpha}(x):=\alpha^{\frac{p-2}{4-p}}Q(\alpha^\frac{p-2}{4-p} x),$

其中 $Q(x)$ 为 $J_1(1)$ 的正极小元. 由于 $Q(x)$ 满足方程 (1.5), 应用椭圆方程正则性理论可以推出, $Q(x)\in C(\mathbb{R}^{2})$ 且 $\lim\limits_{|x|\to\infty}Q(x)=0$. 进一步地, 根据比较原理和方程 (1.5) 可得

$Q(x)\leq C e^{-\frac{\sqrt{\mu}}{2}|x|}\ \ \mbox{在}\,\ \mathbb{R}^{2}\,\ \mbox{中一致的成立}.$

由于 $2<p<4$, 结合 (1.2) 式以及 $Q$ 的指数衰退性 (3.2) 式计算可得, 当 $\alpha\to \infty$ 时,

$\begin{split}e(\alpha)&\leq E_{\alpha}(v_{\alpha})\\&=\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^{2}} \big(|\nabla v_{\alpha}|^{2}+|x|^2v_{\alpha}^{2}\big){\rm d}x-\frac{\alpha^{p-2}}{p}\int_{\mathbb{R}^{2}}v_{\alpha}^{p}{\rm d}x+\frac{1}{4}\int_{\mathbb{R}^{2}}v_{\alpha}^{4}{\rm d}x\\&=\alpha^{\frac{2p-4}{4-p}}\Big[\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^{2}}|\nabla Q|^{2}{\rm d}x-\frac{1}{p}\int_{\mathbb{R}^{2}}Q^{p}{\rm d}x+\frac{1}{4}\int_{\mathbb{R}^{2}}Q^{4}{\rm d}x\Big]+ \frac{1}{2} \alpha^{\frac{2p-4}{p-4}}\int_{\mathbb{R}^{2}} |x|^2Q^2(x){\rm d}x\\&=\alpha^{\frac{2p-4}{4-p}}\big(J_1(1)+o(1)\big).\end{split}$

接下来讨论 $e(\alpha)$ 的能量下界估计. 根据定理 1.1 可知, 对于任意的 $\alpha>0$, $e(\alpha)$ 至少存在一个极小元 $u_{\alpha}$. 定义 $\bar{v}_{\alpha}(x):=\alpha^{\frac{p-2}{p-4}}u_{\alpha}(\alpha^\frac{p-2}{p-4} x),$ 根据 $e(\alpha)$ 的定义, 则有

$\begin{split}\alpha^{-\frac{2p-4}{4-p}}e(\alpha)&=\alpha^{-\frac{2p-4}{4-p}}E_{\alpha}(u_{\alpha})\\&\geq \alpha^{-\frac{2p-4}{4-p}}\Big[\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^{2}} |\nabla u_{\alpha}|^{2}{\rm d}x-\frac{\alpha^{p-2}}{p}\int_{\mathbb{R}^{2}}u_{\alpha}^{p}{\rm d}x+\frac{1}{4}\int_{\mathbb{R}^{2}}u_{\alpha}^{4}{\rm d}x\Big]\\&= \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^{2}}|\nabla \bar{v}_{\alpha}|^{2}{\rm d}x-\frac{1}{p}\int_{\mathbb{R}^{2}}\bar{v}_{\alpha}^{p}{\rm d}x+\frac{1}{4}\int_{\mathbb{R}^{2}}\bar{v}_{\alpha}^{4}{\rm d}x\\&\geq J_1(1).\end{split}$

结合 (3.3) 和 (3.4) 式可知 (3.1) 式成立. 至此, 引理 3.1 得证.

引理3.2 假设 $u_{\alpha}(x)$ 是问题 $e(\alpha)$ 的正极小元. 定义

$w_{\alpha}(x):=\varepsilon_{\alpha}u_{\alpha}(\varepsilon_{\alpha}x)>0,\ \ \mbox{其中}\ \ \varepsilon_{\alpha}:=\alpha^{\frac{p-2}{p-4}}.$

则当 $\alpha\to\infty$ 时,

$C_1\leq\int_{\mathbb{R}^{2}}|\nabla w_\alpha(x)|^2{\rm d}x\leq C_1',\ \ C_2\leq\int_{\mathbb{R}^{2}}|w_\alpha(x)|^{p}{\rm d}x\leq C_2',$

这里正常数 $C_1$, $C_2$, $C_1'$ 和 $C_2'$ 不依赖于 $\alpha>0$.

证 应用 Gagliardo-Nirenberg 不等式 (2.1)、引理 3.1 以及 (3.5) 式, 计算可得,

$\begin{split}J_1(1)+o(1)&=\varepsilon_{\alpha}^2e(\alpha)=\varepsilon_{\alpha}^2E_{\alpha}(u_{\alpha})\\&=\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^{2}} |\nabla w_{\alpha}|^{2}{\rm d}x+\frac{\varepsilon_{\alpha}^4}{2}\int_{\mathbb{R}^{2}}|x|^2w_{\alpha}^{2}{\rm d}x-\frac{1}{p}\int_{\mathbb{R}^{2}}w_{\alpha}^{p}{\rm d}x+\frac{1}{4}\int_{\mathbb{R}^{2}}w_{\alpha}^{4}{\rm d}x\\&\geq \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^{2}} |\nabla w_{\alpha}|^{2}{\rm d}x-C\Big(\int_{\mathbb{R}^{2}}|\nabla w_{\alpha}|^{2}{\rm d}x\Big)^{\frac{p-2}{2}}\\&\geq \frac{1}{4}\int_{\mathbb{R}^{2}} |\nabla w_{\alpha}|^{2}{\rm d}x-C,\end{split}$

故当 $\alpha\to\infty$ 时,

$\int_{\mathbb{R}^{2}}|\nabla w_\alpha(x)|^2{\rm d}x\leq C.$

由于 $\int_{\mathbb{R}^{2}}|w_\alpha(x)|^2{\rm d}x=\int_{\mathbb{R}^{2}}|u_{\alpha}(x)|^2{\rm d}x=1$, 结合 (3.8) 式可知: 当 $\alpha\to\infty$ 时, 函数列 $\{w_\alpha\}$ 在 $H^1(\mathbb{R}^{2})$ 中一致有界. 应用 Sobolev 不等式和 (3.8) 式可以推出, 存在不依赖于 $\alpha>0$ 的正常数 $C_2'$ 使得: 当 $\alpha\to\infty$ 时, $\int_{\mathbb{R}^{2}}|w_\alpha(x)|^{p}{\rm d}x\leq C_2'$. 结合 (3.8) 式可知 (3.6) 式中的上界估计成立.

接下来给出 (20) 式中的下界估计. 首先证明当 $\alpha\to\infty$ 时,

$\frac{\varepsilon_{\alpha}^4}{2}\int_{\mathbb{R}^{2}}|x|^2w_{\alpha}^{2}{\rm d}x\to 0.$

事实上, 由 (14) 和 (21) 式可知当 $\alpha\to\infty$ 时,

$\begin{split}0&\leq \frac{\varepsilon_{\alpha}^4}{2}\int_{\mathbb{R}^{2}}|x|^2w_{\alpha}^{2}{\rm d}x\\&=\varepsilon_{\alpha}^2e(\alpha)-\Big[\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^{2}} |\nabla w_{\alpha}|^{2}{\rm d}x-\frac{1}{p}\int_{\mathbb{R}^{2}}w_{\alpha}^{p}{\rm d}x+\frac{1}{4}\int_{\mathbb{R}^{2}}w_{\alpha}^{4}{\rm d}x\Big]\\&\leq \varepsilon_{\alpha}^2e(\alpha)-J_1(1)\to 0,\end{split}$

故 (3.9) 式得证. 进一步地, 应用 Fatou 引理可得在子列的意义下,

$\begin{split}J_1(1)&=\lim\limits_{\alpha \to \infty}\Big[\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^{2}} |\nabla w_{\alpha}|^{2}{\rm d}x-\frac{1}{p}\int_{\mathbb{R}^{2}}w_{\alpha}^{p}{\rm d}x+\frac{1}{4}\int_{\mathbb{R}^{2}}w_{\alpha}^{4}{\rm d}x\Big]\\&\geq -\frac{1}{p}\lim\limits_{\alpha \to \infty}\int_{\mathbb{R}^{2}}w_{\alpha}^{p}{\rm d}x.\end{split}$

下面证明 $J_1(1)<0$. 实际上, 对于任意满足 $\|\bar v\|_{L^2(\mathbb{R}^{2})}^{2}=1$ 的 $\bar v\in H^1(\mathbb{R}^{2})$, 令 $\bar v_{\delta}=\delta\bar v(\delta x)$. 直接计算可得: 当 $\delta>0$ 足够小时,

$J_1(1)\leq\mathcal{E}_1(\bar v_{\delta})=\delta^2\int_{\mathbb{R}^{2}} \Big(\frac{1}{2}|\nabla \bar v(x)|^2+\frac{1}{4}|\bar v(x)|^{4}\Big){\rm d}x-\frac{\delta^{p-2}}{p}\int_{\mathbb{R}^{2}}|\bar v(x)|^{p}{\rm d}x<0.$

结合 (3.10) 式可知当 $\alpha\to\infty$ 时,

$\begin{split}\int_{\mathbb{R}^{2}}|w_\alpha(x)|^{p}{\rm d}x\geq -J_1(1):=C_2>0.\end{split}$

应用 Gagliardo-Nirenberg 不等式 (2.1), 则由 (3.11) 式可得当 $\alpha\to\infty$ 时,

$\int_{\mathbb{R}^{2}}|\nabla w_\alpha(x)|^2{\rm d}x\geq C_1.$

结合 (3.11) 式可知 (3.6) 式的下界估计也成立. 故引理 3.2 得证.

引理3.3 假设 $u_{\alpha_k}(x)$ 是问题 $e(\alpha_k)$ 的正极小元, 其中 $\{\alpha_k\}$ 满足当 $k\to\infty$ 时 $\alpha_k\to\infty$. 定义

$w_{k}(x):=\varepsilon_ku_{\alpha_k}(\varepsilon_kx)>0,\ \ \mbox{其中}\ \ \varepsilon_{k}:=\alpha_{k}^{\frac{p-2}{p-4}}.$

则存在序列 $\{\tau_k\}\subset\mathbb{R}^{2}$ 使得在子列的意义下, 当 $k\to\infty$ 时,

$\bar{w}_k(x):=w_k(x+\tau_k)\to Q(x)\,\ \mbox{在}\,\ H^1(\mathbb{R}^{2})\,\ \mbox{中成立},$

其中 $Q(x)=Q(|x|)>0$ 是问题 $J_1(1)$ 的正极小元.

证 根据类似于 (3.10) 式的讨论可知,

$J_1(1)=\lim\limits_{k \to \infty}\Big[\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^{2}} |\nabla w_{k}|^{2}{\rm d}x-\frac{1}{p}\int_{\mathbb{R}^{2}}w_{k}^{p}{\rm d}x+\frac{1}{4}\int_{\mathbb{R}^{2}}w_{k}^{4}{\rm d}x\Big].$

接下来断言: 存在序列 $\{\tau_k\}\subset\mathbb{R}^{2}$、正常数 $\gamma$ 以及 $R_0$ 使得

$\liminf_{k\to\infty}\int_{B_{R_0}(\tau_k)}w_k^2(x){\rm d}x\geq\gamma>0.$

采用反证法, 假设 (3.14) 式不成立. 则对于任意的 $R>0$, 存在 $\{w_k\}$ 的子列 (仍记为 $\{w_k\}$) 使得

$\lim\limits_{k\to\infty}\sup\limits_{\tau\in\mathbb{R}^{2}}\int_{B_R(\tau)}w_k^2(x){\rm d}x=0.$

根据消失引理 (参见文献 [13,引理 I.1]) 可知, 对于任意的 $r\in(2,+\infty)$, $w_k\to 0$ 在 $L^r(\mathbb{R}^{2})$ 中成立, 这与 (3.6) 式相矛盾. 故断言 (3.14) 式得证.

对于 (3.14) 式中得到的序列 $\{\tau_k\}$, 定义

$\bar{w}_k(x):=w_k(x+\tau_k)=\varepsilon_{k}u_{\alpha_k}(\varepsilon_{k}x+\varepsilon_{k}\tau_k)>0\,\ \mbox{在}\,\ \mathbb{R}^{2}\,\ \mbox{中成立}.$

应用 (3.14) 式可得

$\liminf_{k\to\infty}\int_{B_{R_0}(0)}\bar{w}_k^2(x){\rm d}x\geq\gamma>0.$

结合 (3.6) 式和 $\bar{w}_k>0$ 的定义可以推出 $\{\bar{w}_k\}$ 在 $H^1(\mathbb{R}^{2})$ 中一致有界. 因此, 存在 $\{\bar{w}_k\}$ 的子列 (仍记为 $\{\bar{w}_k\}$), 以及函数 $0\leq Q\in H^1(\mathbb{R}^{2})$ 使得当 $k\to\infty$ 时,

$\bar{w}_k\rightharpoonup Q\,\ \mbox{在} \,\ H^1(\mathbb{R}^{2})\,\ \mbox{中成立}, \ \, \bar{w}_k\rightarrow Q\,\ \mbox{在} \ \, L_{\rm loc}^{q}(\mathbb{R}^{2})\ \mbox{中成立},\ \, q\in [2,+\infty),$

且

$\bar{w}_k\rightarrow Q \,\ \mbox{ 在} \,\ \mathbb{R}^{2}\,\, \mbox{中几乎处处收敛}.$

应用 Fatou 引理 和 (3.16) 式可得 $0<\|Q\|_{L^2(\mathbb{R}^2)}^2:=\lambda\leq 1$. 下面证明 $\|Q\|_{L^2(\mathbb{R}^2)}^2=1$. 采用反证法, 假设 $0<\lambda<1$. 则应用改进的集中紧原理 (参见文献 [15,第 3.3 节]) 可知, 存在 $\{\bar{w}_k\}$ 的子列 (仍记为 $\{\bar{w}_k\}$) 以及序列 $\{R_k\}\subset \mathbb{R}$ 使得

$\lim\limits_{k\to\infty}\int_{|x|\leq R_k}\bar{w}_k^2(x){\rm d}x=\int_{\mathbb{R}^{2}}Q^2(x){\rm d}x<1,\ \ \lim\limits_{k\to\infty}\int_{R_k\leq |x|\leq 6R_k}\bar{w}_k^2(x){\rm d}x=0,$

其中 $k\to\infty$ 时 $R_k\to\infty$. 选取非负光滑截断函数 $\chi\in C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}^{2}, [0,1])$ 使得: 当 $|x|\leq 1$ 时 $\chi\equiv1$; 当 $|x|\geq2$ 时, $\chi\equiv0$. 定义 $\chi_{R_k}(x):=\chi\Big(\frac{x}{R_k}\Big)$, $\eta_{R_k}:=\sqrt{1-\chi_{R_k}^2}$, 以及

$w_{1k}:=\chi_{R_k}\bar{w}_k, \ \ w_{2k}:=\eta_{R_k}\bar{w}_k.$

根据 (3.17) 和 (3.18) 式可以推出, 当 $k\to\infty$ 时,

$\chi_{R_k} \bar{w}_k\to Q,\ \ \ \eta_{R_k} \chi_{3R_k}\bar{w}_k\to 0\ \ \mbox{在}\ \ L^2(\mathbb{R}^{2})\cap L^{4}(\mathbb{R}^{2})\ \ \mbox{中成立}.$

应用如下 IMS 公式 (参见文献 [3,定理 3.2])

$-\Delta=\chi_{R_k}(-\Delta)\chi_{R_k}+\eta_{R_k}(-\Delta)\eta_{R_k}-|\nabla\chi_{R_k}|^2-|\nabla\eta_{R_k}|^2,$

可以得出当 $k\to\infty$ 时,

$\begin{matrix} &\int_{\mathbb{R}^{2}}|\nabla \bar{w}_k|^2{\rm d}x\\ =&\int_{\mathbb{R}^{2}}|\nabla w_{1k}|^2{\rm d}x+\int_{\mathbb{R}^{2}}|\nabla w_{2k}|^2{\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^{2}}\big(|\nabla \chi_{R_k}|^2+|\nabla \eta_{R_k}|^2\big)|\bar{w}_k|^2{\rm d}x\\ \geq&\int_{\mathbb{R}^{2}}|\nabla w_{1k}|^2{\rm d}x+\int_{\mathbb{R}^{2}}|\nabla w_{2k}|^2{\rm d}x-\frac{C}{R_k^2}, \end{matrix}$

其中常数 $C>0$ 不依赖于 $k>0$. 由于

$1=\chi_{R_k}^2+\eta_{R_k}^2\chi_{3R_k}^2+\eta_{3R_k}^2,$

则结合 (3.19) 式可以推出当 $k\to\infty$ 时,

$\begin{split}\int_{\mathbb{R}^{2}}|\bar{w}_k|^{4}{\rm d}x&=\int_{\mathbb{R}^{2}}\Big(\chi_{R_k}^2\bar{w}_k^2+\eta_{R_k}^{2}\chi_{3R_k}^{2}\bar{w}_k^2+\eta_{3R_k}^{2}\bar{w}_k^2\Big)^2{\rm d}x\\&=\int_{\mathbb{R}^{2}}\Big(\chi_{R_k}^2\bar{w}_k^2+\eta_{3R_k}^{2}\bar{w}_k^2\Big)^2{\rm d}x+o(1)\\&=\int_{\mathbb{R}^{2}}\big(\chi_{R_k}^2\bar{w}_k^2\big)^2{\rm d}x+\int_{\mathbb{R}^{2}}\Big(\eta_{3R_k}^{2}\bar{w}_k^2+\eta_{R_k}^2\chi_{3R_k}^{2}\bar{w}_k^2\Big)^2{\rm d}x+o(1)\\&=\int_{\mathbb{R}^{2}}|w_{1k}|^{4}{\rm d}x+\int_{\mathbb{R}^{2}}|w_{2k}|^{4}{\rm d}x+o(1).\end{split}$

类似于 (3.21) 式的方法可以验证, 当 $k\to\infty$ 时,

$\int_{\mathbb{R}^{2}}|\bar{w}_k|^{p}{\rm d}x=\int_{\mathbb{R}^{2}}|w_{1k}|^{p}{\rm d}x+\int_{\mathbb{R}^{2}}|w_{2k}|^{p}{\rm d}x+o(1).$

由于 $\lim\limits_{k\to\infty}\int_{\mathbb{R}^{2}}w_{1k}^2{\rm d}x=\lambda$ 且 $\lim\limits_{k\to\infty}\int_{\mathbb{R}^{2}}w_{2k}^2{\rm d}x=1-\lambda$, 结合 (3.13) 式以及 (3.20)-(3.22) 式可知

$\begin{equation} \begin{split} J_1(1) &=\lim\limits_{k\to\infty} \Big[\int_{\mathbb{R}^{2}} |\nabla \bar{w}_k(x)|^2{\rm d}x+\frac{1}{4}\int_{\mathbb{R}^{2}}|\bar{w}_k(x)|^{4}{\rm d}x-\frac{1}{p}\int_{\mathbb{R}^{2}}|\bar{w}_k(x)|^{p}{\rm d}x\Big]\\ &\geq\liminf\limits_{k\to\infty}\mathcal{E}_1(w_{1k})+\liminf\limits_{k\to\infty}\mathcal{E}_1(w_{2k})\geq J_1(\lambda)+J_1(1-\lambda). \end{split} \end{equation}$

另一方面, 应用文献 [8,注 6.1] 可知, 对任意的 $0<\lambda<1$,

$J_1(1)<J_1(\lambda)+J_1(1-\lambda)$

这与 (3.23) 式相矛盾. 因此, $\|Q\|_{L^2(\mathbb{R}^2)}^2=1$.

由于 $\{\bar{w}_k\}$ 在 $H^1(\mathbb{R}^{2})$ 中一致有界, 根据上述 $L^2$-保范性和 Sobolev 不等式可知, 对任意的 $q\in [2,+\infty)$, $\bar{w}_k\to Q\geq 0$ 在 $L^q(\mathbb{R}^{2})$ 中成立. 结合范数的弱下半连续性和 (3.23) 式, 可以推出

$\begin{split}J_1(1)&=\lim\limits_{k\to\infty}\Big[\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^{2}} |\nabla \bar{w}_k(x)|^2{\rm d}x+\frac{1}{4}\int_{\mathbb{R}^{2}}|\bar{w}_k(x)|^{4}{\rm d}x-\frac{1}{p}\int_{\mathbb{R}^{2}}|\bar{w}_k(x)|^{p}{\rm d}x\Big]\\&\geq \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^{2}} |\nabla Q(x)|^2{\rm d}x+\frac{1}{4}\int_{\mathbb{R}^{2}}|Q(x)|^{4}{\rm d}x-\frac{1}{p}\int_{\mathbb{R}^{2}}|Q(x)|^{p}{\rm d}x\geq J_1(1),\end{split}$

上式表明 $Q$ 是 $J_1(1)$ 的非负极小元, 并且

$\lim\limits_{k\to\infty}\int_{\mathbb{R}^{2}} |\nabla \bar{w}_k(x)|^2{\rm d}x= \int_{\mathbb{R}^{2}} |\nabla Q(x)|^2{\rm d}x.$

由此可得: 当 $k\to\infty$ 时, $\bar{w}_k\to Q$ 在 $H^1(\mathbb{R}^{2})$ 中成立. 进一步针对方程 (1.5) 应用强极值原理可知 $Q(x)>0$. 此外, 根据文献 [8,定理 2] 可知, 在不计平移的意义下, $Q(x)>0$ 是径向对称的. 因此, 不失一般性, 可以假设 $Q(x)=Q(|x|)$, 故引理 3.3 证毕.

4 定理 1.2 的证明

上一节给出 $e(\alpha)$ 正极小元的一些估计及其集中行为的初步分析. 本节将进一步探讨 $e(\alpha)$ 正极小元的全局极大值点估计以及 $L^{\infty}$-范数下的收敛性, 最后完成定理 1.2 的证明. 为此, 我们首先建立如下引理.

引理4.1 假设 $u_{\alpha_k}(x)$ 是问题 $e(\alpha_k)$ 的正极小元, 其中 $\{\alpha_k\}$ 满足当 $k\to\infty$ 时 $\alpha_k\to\infty$. 定义

$\tilde{w}_k(x):=\varepsilon_ku_{\alpha_k}(\varepsilon_kx+x_k)>0\ \ \mbox{其中}\ \ \varepsilon_{k}:=\alpha_{k}^{\frac{p-2}{p-4}},$

这里 $x_k\in\mathbb{R}^{2}$ 是正极小元 $u_{\alpha_k}(x)$ 的全局极大值点. 则存在 $\{\tilde{w}_k\}$ 的子列 (仍记为 $\{\tilde{w}_k\}$) 使得

$\lim_{k\rightarrow\infty}\tilde{w}_k(x)=Q(x)>0\,\ \mbox{在}\,\ H^1(\mathbb{R}^{2})\,\ \mbox{中成立},$

这里 $Q(x)$ 是问题 $J_1(1)$ 的正极小元.%有如下结论成立:

证 首先证明 $\bar{w}_k$ 满足

$\bar{w}_k(x)\in L_{\rm loc}^{\infty}(\mathbb{R}^{2})\,\ \mbox{且}\,\ \lim_{|x|\to\infty}\bar{w}_k(x)=0 \,\ \mbox{对于充分大的}\,\ k>0\,\ \mbox{一致成立},$

这里 $\bar{w}_k$ 由 (3.12) 式给定.

事实上, 应用 (1.3) 和 (3.12) 式可得

$-\Delta \bar{w}_k+\varepsilon_k^4|x+\tau_k|^2\bar{w}_k+ |\bar{w}_k|^2\bar{w}_k-|\bar{w}_k|^{p-2}\bar{w}_k=\mu_{\alpha_k}\varepsilon_k^2\bar{w}_k\,\ \mbox{在}\,\ \mathbb{R}^{2}\,\ \mbox{中成立}.$

对 (4.3) 式的两端同时乘以 $\tilde{w}_k$, 然后在 $\mathbb{R}^2$ 上进行积分可得

$\begin{split}\mu_{\alpha_k}\varepsilon_k^2=&\int_{\mathbb{R}^{2}} |\nabla \bar{w}_k(x)|^2{\rm d}x+\int_{\mathbb{R}^{2}}|\bar{w}_k(x)|^{4}{\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^{2}}|\bar{w}_k(x)|^{p}{\rm d}x\\&+\varepsilon_k^2\int_{\mathbb{R}^{2}}\bar{w}_k^2(x)|x+\tau_k|^2{\rm d}x.\end{split}$

根据类似于 (3.9) 式的分析可得当 $k\to\infty$ 时,

$\varepsilon_k^4\int_{\mathbb{R}^{2}}\bar{w}_k^2(x)|x+\tau_k|^2{\rm d}x\to 0.$

应用引理 3.3 可知, 当 $k\to\infty$ 时 $\bar{w}_k\to Q (x)>0$ 在 $H^1(\mathbb{R}^{2})$ 中成立, 这里 $Q(x)$ 为 $J_1(N)$ 的正极小元且满足方程 (1.5). 应用 (4.4) 和 (4.5) 式可以推出, 当 $k\to\infty$ 时,

$\mu_{\alpha_k}\varepsilon_k^2\to \int_{\mathbb{R}^{2}} |\nabla Q(x)|^2{\rm d}x+\int_{\mathbb{R}^{2}} | Q(x)|^{4}{\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^{2}}| Q(x)|^{p}{\rm d}x=-\mu<0.$

结合 (4.3) 和 (4.6) 式可得当 $k\to\infty$ 时,

$-\Delta\bar{w}_k-\bar{w}_k^{p-1}\leq 0\ \ \mbox{在}\,\ \mathbb{R}^2\,\ \mbox{中成立}.$

应用 De Giorgi-Nash-Moser 理论 (参见文献 [6,定理 4.1]), 根据 (4.7) 式可得对于任意的 $k>0$,

$\max\limits_{B_1(z)}\bar w_k(x)\leq C\Big(\int_{{B_2(z)}}|\bar w_k(x)|^2{\rm d}x\Big)^{\frac{1}{2}},$

其中 $z\in\mathbb{R}^{2}$ 是任意的, 并且常数 $C>0$ 仅依赖于 $\|\bar w_k\|_{H^1(\mathbb{R}^{2})}$. 由于 $\|\bar{w}_k\|_{L^2(\mathbb{R}^2)}^2=1$ 且 $\bar{w}_k(x)\to Q(x)>0$ 在 $H^1(\mathbb{R}^{2})$ 中成立, 则根据 (4.8) 式可得 (4.2) 式成立.

由于 $x_k$ 是 $u_{\alpha_k}(x)$ 的全局极大值点, 根据 (3.15) 式可知 $\varepsilon_k^{-1}(x_k-\varepsilon_k\tau_k)$ 为 $\bar{w}_k(x)$ 的全局极大值点. 根据 (4.2) 式可以推出: 如果当 $k\to\infty$ 时 $\varepsilon_k^{-1}|x_k-\varepsilon_k\tau_k|\to \infty$, 则有

$\bar{w}_k(x)\to 0\,\ \mbox{在}\,\ \mathbb{R}^{2}\,\ \mbox{中成立}.$

另一方面, 由 (3.12) 式可知, 当 $k\to\infty$ 时,

$\bar{w}_k(x)\to Q(x)>0\,\ \mbox{在}\,\ \mathbb{R}^{2}\,\ \mbox{中几乎处处成立},$

这与 (4.9) 式相矛盾. 故

$\mbox{数列}\,\ \big\{\varepsilon_k^{-1}|x_k-\varepsilon_k\tau_k|\big\} \,\, \mbox{一致有界}.$

因此, 在子列的意义下, 存在点 $y_0\in \mathbb{R}^{2}$ 使得当 $k\to\infty$ 时 $\varepsilon_k^{-1}(x_k-\varepsilon_k\tau_k)\to y_0$. 根据引理 3.3 可以推出: 当 $k\to\infty$ 时,

$\begin{split}\tilde{w}_k(x)&:=\varepsilon_ku_{\alpha_k}(\varepsilon_kx+x_k)=\bar{w}_k\big(x+\varepsilon_k^{-1}(x_k-\varepsilon_k\tau_k)\big)\\&\to Q(x+y_0):=\tilde{Q}(x)\,\ \mbox{在}\, \ H^1(\mathbb{R}^{2})\, \ \mbox{中成立}.\end{split}$

对于任意的 $k>0$, 因为原点均是函数 $\tilde{w}_k(x)$ 的全局极大值点, 则由 (4.10) 式可得, 原点也一定是 $Q(x+y_0)$ 的全局极大值点. 此外, 根据文献 [8,定理 2] 可知, $Q(x)=Q(|x|)$ 是径向对称的, 且关于 $|x|>0$ 严格单调递减. 因此, 结合 (4.10) 式可知 $y_0 = 0$. 至此, 引理 4.1 证毕.

定理 1.2 的证明 根据引理 4.1, 为了完成定理 1.2 的证明, 下面只需证明: 在子列的意义下, 当 $k\to \infty$ 时,

$\tilde w_{k}(x)\to Q(x)\,\ \text{在}\,\ L^{\infty}(\mathbb{R}^{2})\,\ \text{中成立},$

且

$\lim\limits_{k\to \infty}\varepsilon_k^{-1} x_k=0,$

这里 $\tilde w_{k}$ 和 $\varepsilon_k$ 由 (1.6) 式给定, $Q(x)$ 是问题 $J_1(1)$ 的正极小元, 而 $x_k$ 为极小元 $u_{\alpha_k}$ 的全局极大值点.

应用 (1.3) 和 (1.6) 式可知 $\tilde w_{k}(x)$ 满足

$-\Delta \tilde{w}_k+\varepsilon_k^4|x+\varepsilon_k^{-1}x_k|^2\tilde{w}_k+ |\tilde{w}_k|^2\tilde{w}_k-|\tilde{w}_k|^{p-2}\tilde{w}_k=\mu_{\alpha_k}\varepsilon_k^2\tilde{w}_k\,\ \mbox{在}\,\ \mathbb{R}^{2}\,\ \mbox{中成立}.$

根据 (4.1) 式和标准的椭圆方程正则性理论可知, 当 $k\to\infty$ 时,

$\tilde w_{k}(x)\to Q(x)\,\ \text{在}\,\ L^{\infty}_{\rm loc}(\mathbb{R}^{2})\,\ \text{中成立}.$

另一方面, 由于 $\|\tilde{w}_k\|_2^2=1$ 且 $\tilde{w}_k(x)\to Q(x)>0$ 在 $H^1(\mathbb{R}^{2})$ 中成立, 则根据类似于 (4.2) 式的讨论可得

$\tilde{w}_k(x)\in L_{\rm loc}^{\infty}(\mathbb{R}^{2})\,\ \mbox{且}\,\ \lim_{|x|\to\infty}\tilde{w}_k(x)=0 \,\ \mbox{对于充分大的}\,\ k>0\,\ \mbox{一致成立}.$

注意到当 $k\to\infty$ 时, $\mu_{\alpha_k}\varepsilon_k^2\to -\mu<0.$ 运用比较原理, 则由 (4.14) 和 (4.11) 式可知

$\tilde w(x)\leq C e^{-\frac{\sqrt{\mu}}{4}|x|}\ \ \mbox{在}\,\ \mathbb{R}^2\ \,\ \mbox{中一致的成立}.$

进一步地, 应用 $Q$ 的指数衰退性和 (4.14) 式可得 (4.11) 式成立.

下面证明 (4.12) 式. 由于 $u_{\alpha_k}$ 是问题 $e(\alpha_k)$ 的正极小元, 则有

$e(\alpha_k)=E_{\alpha_k}(u_{\alpha_k}(x))\leq E_{\alpha_k}\big(u_{\alpha_k}(x+x_k)\big),$

进一步可得

$\int_{\mathbb{R} ^2}|x|^2u^{2}_{\alpha_k}(x){\rm d}x\leq \int_{\mathbb{R} ^2}|x|^2u_{\alpha_k}^{2}(x+x_k){\rm d}x,$

这里用到了能量泛函 $E_{\alpha_k}(u)$ 中其余项的平移不变性. 进一步结合 (4.1) 和 (4.16) 式可知当 $k\to\infty$ 时,

$\int_{\mathbb{R}^2} \tilde{w}_k^2(x)|x+\varepsilon_k^{-1}x_k|^2{\rm d}x\leq \int_{\mathbb{R}^2} \tilde{w}_k^2(x)|x|^2{\rm d}x=\big(1+o(1)\big)\int_{\mathbb{R}^2} Q^2(x)|x|^2{\rm d}x.$

接下来证明 $\{\varepsilon_k^{-1} x_k\}$ 一致有界. 采用反证法, 假设当 $k\to\infty$ 时 $\varepsilon_k^{-1} x_k\to\infty$, 则

$\lim_{k\rightarrow\infty} \int_{\mathbb{R}^2} \tilde{w}_k^2(x)|x+\varepsilon_k^{-1}x_k|^2{\rm d}x\geq \lim_{k\rightarrow\infty} \int_{B_1(0)} \tilde{w}_k^2(x)|x+\varepsilon_k^{-1}x_k|^2{\rm d}x\to\infty,$

这与 (4.17) 式相矛盾. 因此, 在子列的意义下存在 $\eta_0\in\mathbb{R}^2$ 使得 $\varepsilon_k^{-1} x_k\to\eta_0$. 应用 (4.1) 和 (4.17) 式计算可得

$\int_{\mathbb{R}^2} Q^2(x)|x+\eta_0|^2{\rm d}x\leq \int_{\mathbb{R}^2} Q^2(x)|x|^2{\rm d}x.$

另一方面, 由于 $Q(x)=Q(|x|)>0$ 是径向对称的, 则有

$\int_{\mathbb{R}^2} Q^2(x)|x+\eta_0|^2{\rm d}x\geq \int_{\mathbb{R}^2} Q^2(x)|x|^2{\rm d}x,$

且等式成立当且仅当 $\eta_0=0$. 因此, 当 $k\to\infty$ 时 $ \varepsilon_k^{-1} x_k\to 0$. 定理 1.2 证毕.

致谢

作者非常感谢邓引斌教授长期以来给予的学术指导与鼓励.

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