数学物理学报, 2026, 46(4): 1320-1343

带有线性项的超临界非线性热方程的临界范数爆破——献给邓引斌教授 70 寿辰

程婷,, 姜哲宇,, 王雨莹,*

华中师范大学数学与统计学学院, 非线性分析教育部重点实验室, 数学物理湖北省重点实验室 武汉 430079

Critical Norm Blow-Up Problem for Supercritical Nonlinear Heat Equation with a Linear Term

Cheng Ting,, Jiang Zheyu,, Wang Yuying,*

School of Mathematics and Statistics, Key Laboratory of Nonlinear Analysis and Applications (Ministry of Education), Hubei Key Laboratory of Mathematical Sciences, Central China Normal University, Wuhan 430079

通讯作者: * 王雨莹,E-mail: yuyingwang@mails.ccnu.edu.cn

收稿日期: 2025-11-24   修回日期: 2026-01-6  

基金资助: 国家自然科学基金(12271195)
国家自然科学基金(12271196)
国家自然科学基金(12271197)

Received: 2025-11-24   Revised: 2026-01-6  

Fund supported: NSFC(12271195)
NSFC(12271196)
NSFC(12271197)

作者简介 About authors

程婷,E-mail:tcheng@ccnu.edu.cn;

姜哲宇,E-mail:983535654@qq.com

摘要

该文主要研究如下非线性热方程解的临界范数爆破问题 $\left\{ \begin{aligned}&{u_t} - \Delta u = {\left| u \right|^{p - 1}}u + au,\quad &&(x,t)\in {\mathbb{R}^{n}} \times (0,T), \hfill \\&u( \cdot,0)={{u}_0},\quad \quad \quad \quad \ \quad &&x\in {\mathbb{R}^{n}}, \hfill \\\end{aligned} \right.$

其中 $p>1, n\geqslant3, a \leqslant 0$. 对于 $a=0$, Miura H 和 Takahashi J [Miura H, Takahashi J. arXiv: 2310.09750] 证明了当 $p>p_S$ 时, 如果极大存在时间 $T$ 有限, 那么 $\mathop {\lim }\limits_{t \to T} \|u( \cdot,t)\|{_{{L^{{q_c}}}({\mathbb{R}^n})}} = \infty $, 其中 $q_c=n(p-1)/2$, $ p_{S} = (n+2)/(n-2).$ 而对于更一般的情形 $a \leqslant 0$, 该文将证明当 $p>p_S$ 时, 仍然有 $\mathop {\lim }\limits_{t \to T} \|u( \cdot,t)\|{_{{L^{{q_c}}}({\mathbb{R}^n})}} = \infty $.

关键词： 非线性热方程; 超临界; 临界范数爆破; 缺陷测度; $\varepsilon$-正则性

Abstract

In this paper, we are concerned with the critical norm blow-up problem to the following nonlinear heat equation $\left\{ \begin{aligned}&{u_t} - \Delta u = {\left| u \right|^{p - 1}}u + au,\quad &&(x,t)\in {\mathbb{R}^{n}} \times (0,T), \hfill \\&u( \cdot,0)={{u}_0},\quad \quad \quad \quad \ \quad &&x\in {\mathbb{R}^{n}}, \hfill \\\end{aligned} \right.$

where $p>1, n\geqslant3, a \leqslant 0$. For $a=0$, Miura H and Takahashi J [Miura H, Takahashi J. arXiv: 2310.09750] have proved that when $p>p_S$, if the maximal time $T$ is finite, then $\mathop {\lim }\limits_{t \to T} \|u( \cdot,t)\|{_{{L^{{q_c}}}({\mathbb{R}^n})}} = \infty $, where $q_c=n(p-1)/2$, $ p_{S} = (n+2)/(n-2).$ For general $a \leqslant 0$, we will prove that when $p>p_S$, we also have $\mathop {\lim }\limits_{t \to T} \|u( \cdot,t)\|{_{{L^{{q_c}}}({\mathbb{R}^n})}} = \infty $.

Keywords： nonlinear heat equation; supcritical; critical norm blow-up; defect measure; $\varepsilon$-regularity

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本文引用格式

程婷, 姜哲宇, 王雨莹. 带有线性项的超临界非线性热方程的临界范数爆破——献给邓引斌教授 70 寿辰[J]. 数学物理学报, 2026, 46(4): 1320-1343

Cheng Ting, Jiang Zheyu, Wang Yuying. Critical Norm Blow-Up Problem for Supercritical Nonlinear Heat Equation with a Linear Term[J]. Acta Mathematica Scientia, 2026, 46(4): 1320-1343

1 引言

1.1 背景

在本文中, 我们研究如下的非线性热方程的爆破解

$\left\{ \begin{aligned}&{u_t} - \Delta u= {\left| u \right|^{p - 1}}u + au,\quad &&(x,t)\in {\mathbb{R}^{n}} \times (0,T), \hfill \\&u( \cdot,0)={{u}_0},\quad \quad \quad \quad \ \,\quad &&x\in {\mathbb{R}^{n}}, \hfill \\\end{aligned} \right.$

其中 $p>1, n\geqslant 3, a \leqslant 0$. 特别地当 $a=0$ 时的方程是

$\left\{\begin{aligned}&{u_t} - \Delta u= {\left| u \right|^{p - 1}}u,\ &&(x,t) \in {\mathbb{R}^n} \times (0,T), \hfill \\&u( \cdot,0) = {u_0},\ \,\quad \quad &&x \in {\mathbb{R}^n}, \hfill \\\end{aligned} \right.$

人们对于爆破问题 (1.2) 已有非常多的研究. 因为方程 (1.2) 在下面的伸缩变换下具有不变性

$ u(x,t)\mapsto \lambda^{\frac{2}{p-1}} u(\lambda x, \lambda^2 t), $

这表明 Lebesgue 空间 ${L^{{q_c}}}({\mathbb{R}^n})$ 是方程 (1.2) 的伸缩临界空间, 这里

${q_c} \triangleq \frac{{n(p - 1)}}{2}.$

这个临界空间对问题 (1.2) 的适定性起着关键作用. 文献 [3],[27] 证明了如果 ${q_c}>1$, 那么 ${L^{{q_c}}}({\mathbb{R}^n})$ 中存在唯一的经典解, 其中 $T\in (0,\infty].$ 我们知道对于问题 (1.2), 如果极大存在时间 $T$ 是有限的, 解就会发生爆破, 即 $\lim\limits_{ t \rightarrow T}\|u(\cdot, t)\|_{L^{\infty}\left(\mathbb{R}^{n}\right)}=\infty,$ 此时我们称解 $u$ 在 $T$ 时刻爆破. 值得注意的是根据文献 [3],[27] 可知当 $q>q_{c}$ 时, 爆破解的 $L^{q}$ 范数也会爆破. 而当 $q<q_{c}$ 时, 文献 [11] 证明了存在具有有界 $L^{q}$ 范数的爆破解. 因此, 下面的临界范数爆破问题的研究具有重要意义: 如果 $T<\infty$, 是否有

$\lim_{t \rightarrow T}\|u(\cdot, t)\|_{L^{q_{c}}\left(\mathbb{R}^{n}\right)}=\infty ?$

首先对于爆破解, 我们有下述基本定义.

定义1.1 若 $\limsup _{t \rightarrow T}(T-t)^{1 /(p-1)}\|u(\cdot, t)\|_{L^{\infty}\left(\mathbf{R}^{n}\right)}<\infty,$ 则称爆破为第一类爆破, 否则称为第二类爆破.

在文献 [18] 中, Mizoguchi 和 Souplet 证明了对所有 $p>1$, 问题 (1.2) 的第一类爆破解满足 (1.3) 式. 而文献 [13],[14] 证明了当 $1<p<p_{S}$ 时, 爆破为第一类爆破, 从而 (1.3) 式在 $1<p<p_{S}$ 时成立, 这里

$ p_{S} \triangleq \frac{n+2}{n-2}.$

在临界情况 $p=p_{S}$ 下已有若干反例, 特别是当 $3 \leqslant n \leqslant 5$ 时, 文献 [6],[7],[24] 构造了具有有界临界范数的第二类爆破解.

至于超临界 $p>p_{S}$ 的情形, 文献 [19] 证明了一个比较弱的性质, 即对于一般的爆破解有

$\limsup_{t \rightarrow T}\|u(\cdot, t)\|_{L^{q_{c}}\left(\mathbb{R}^{n}\right)}=\infty.$

而后, 文献 [20] 则得到了更强的结论, 即

$\lim_{t \rightarrow T}\|u(\cdot, t)\|_{L^{q_{c}}\left(\mathbb{R}^{n}\right)}=\infty.$

在此基础上, 对于问题 (1.1) 中 $a\leq0$ 的情形, 目前还没有相关结论, 本文的目标是对于此问题给出答案.

1.2 主要结果

受文献 [20] 的启发, 我们考虑当 $p>p_{S}$, $a\leq0$ 时问题 (1.1) 的解的临界范数爆破问题, 主要结论如下

定理1.1 假设 $n \geqslant 3$, $p>p_{S}$, $a\leq0$ 且 $u$ 是问题 (1.1) 的古典解, 其中 ${u_0} \in {L^{{q_c}}}({\mathbb{R}^n})$. 如果极大存在时间 $T > 0$ 是有限的, 那么有 $\mathop {\lim }\limits_{t \to T} {\left\| {u\left( { \cdot,t} \right)} \right\|_{{L^{{q_c}}}\left( {{\mathbb{R}^n}} \right)}} = \infty.$

在各种方程中, 临界范数在爆破时间附近的行为已被广泛研究. 其中, 对于三维 Navier-Stokes 方程 (NS), Escauriaza, Seregin 和 $\check{\rm S}$verák 在文献 [9] 中证明了临界范数的无界性, 即

$\mathop {\lim \sup }\limits_{t \to T} \|u( \cdot,t)\|{_{{L^3}}} = \infty.$

Seregin 在文献 [22] 中证明了临界范数的爆破, 即 $\mathop {\lim }\limits_{t \to T} \|u( \cdot,t)\|{_{{L^3}}} = \infty$. 然而, 在非径向情形下, 仅有少数研究关注临界范数的爆破性, 而非其无界性. 其核心问题在于临界范数可能出现振荡现象. 正如文献 [17] 中 Merle 和 Raphaël 在非线性 Schrödinger 方程研究中指出的, $\|\nabla u(t)\|{_{{L^2}}}$ 发生振荡是一个难点, 对这个问题的研究是较为复杂的.

我们通过反证法证明定理 1.1. 在假设 $\mathop {\lim \inf }\limits_{t \to T} \|u( \cdot,t)\|{_{{L^{{q_c}}}({\mathbb{R}^n})}} < \infty$ 下通过爆破分析来得到矛盾. 参考文献 [22] 中的证明过程我们发现即使对临界范数没有任何假设, $L^3({\mathbb{R}^n})$ 中 (NS) 的强紧性也能很容易地由局部能量不等式得出. 但由于本文的方程中非线性项不存在导数, 相应的局部能量不等式无法直接推导出紧性. 此外, 由于反证法的假设中缺乏一致有界性, 我们也不能直接使用诸如 Aubin-Lions 定理等一般紧性定理. 针对上述问题, 我们通过文献 [20] 中构造弱极限中的缺陷测度的方法证明紧性.

而与文献 [20] 不同的是, 我们考虑的问题更具有一般性, 当 $a\leq0$ 时, 对比文献 [20] 而多出的线性项 $au$ 会导致能量的变化, 从而要重新研究其单调性和相关的一致估计. 另外, 在利用弱极限中的缺陷测度的方法去证明紧性时, 我们要重新控制因线性项而产生的多余的项, 并保证这些项最后都收敛到 $0$. 最后, 在证明过程中, 我们发现很多所需的非线性热方程的经典结论都只对 $a=0$ 有相关结论, 所以本文也对这些结论做了更一般化的推广.

注1.1 由文献 [3],[27], 如果 $q_{c}>1$, 则对任意的 $u_{0} \in L^{q_{c}}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$, (1.2) 式有唯一的古典解满足 $u \in C\left([0, T) ; L^{q_{c}}\left(\mathbb{R}^{n}\right)\right) \cap L_{\rm loc}^{\infty}\left((0, T) ; L^{\infty}\left(\mathbb{R}^{n}\right)\right)$.

注1.2 在定理 1.1 中, Lebesgue 范数 $L^{q_{c}}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ 可以被 Lorentz 范数 $L^{q_{c}, r}\left(\mathbb{R}^{n}\right)(r<\infty)$ 替代, 但不能被 $L^{q_{c}, \infty}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ 替代.

Lorentz 空间定义如下.

定义1.2 对于一个测度空间 $(X,\mu)$ 上的一个可测函数 $f$, 定义

$\|f\|_{{{L^{p,q}}}} = \left\{ \begin{aligned} &{\left(\int_0^\infty {{{({t^{\frac{1}{p}}}{f^*}(t))}^q}\frac{{{\rm d}t}}{t}} \right)^{\frac{1}{q}}},\ \, q<\infty, \hfill \\ &\mathop {\sup }\limits_{t > 0} {t^{\frac{1}{p}}}{f^*}(t),\ \,\, \quad \quad \qquad \, q=\infty, \hfill \\ \end{aligned} \right.$

其中 $f^*(t)\triangleq \inf\{s\geqslant 0:\mu\{{x\in X:|f(x)|>s}\}\leqslant t\}$. 将所有满足 $\|f\|_{{{L^{p,q}}}} < \infty $ 的函数 $f$ 构成的集合记作 ${L^{p,q}}(X,\mu ),$ 并称它为指数 $p$ 和 $q$ 的 Lorentz 空间.

注1.3 我们在第二、三、四节中的结论在 $L^{q_{c},\infty}$ 范数有界的情况下, 经过适当修改后同样成立. 然后, 根据引理 5.2, 我们在能量空间中获得了一个非平凡的反向自相似解.

本文的具体结构如下: 在第 2 节中, 我们定义了伸缩解 ${u_k}$, 通过分析 Giga-Kohn 能量, 得到了 ${u_k}$ 的一致估计. 在第 3 节中, 我们构建了基于一致估计的爆破极限和缺陷测度, 并验证了 ${u_k}$ 强收敛性. 在第 4 节中, 我们给出了爆破解 $u$ 的 $\varepsilon$-正则性, 并通过 ${u_k}$ 的强收敛性, 得出爆破极限的 $\varepsilon$-正则性. 在第 5 节中, 我们基于 $\varepsilon$-正则性结果证明了定理 1.1.

2 Giga-Kohn 能量

在这一节, 我们基于对文献 [12] 中提出的 Giga-Kohn 能量的分析, 定义了伸缩解并给出了解的估计. 引理 2.10, 引理 2.11 和引理 2.12 为第三节构建缺陷测度做准备, 引理 2.4, 引理 2.5 和引理 2.9 对第四节证明改进的 $\varepsilon$-正则性结果起到了极其重要的作用.

我们假定 ${p>}{{p}_s}$, 其中 ${p_s}\triangleq\frac{{n+2}}{{n-2}}, n\geqslant3.$ 通过对 (1.1) 式进行伸缩和时间变换, 我们转化为考虑如下问题

$\left\{\begin{aligned}{u_t}-\Delta u={|u|^{p-1}}u+au,\quad &(x,t)\in{\mathbb{R}^n}\times(-1,0),\hfill\\u(\cdot,-1)={u_0}\in{L^{{q_c}}}({\mathbb{R}^n}),\quad &x\in{\mathbb{R}^n},\hfill\\\end{aligned}\right.$

这个问题中解的存在性和唯一性已经在文献 [3],[27] 中给出, 并且

$u\in C([0,1);{L^{{q_c}}}({\mathbb{R}^n}))\cap L_{\rm loc}^\infty((-1,0);{L^\infty}({\mathbb{R}^n}))\cap{C^{2,1}}({\mathbb{R}^n}\times(-1,0)).$

为证明定理 1.1, 我们运用反证法. 假设 $\mathop{\lim\inf}\limits_{t\to0}{\|{u(\cdot,t)}\|_{{L^{{q_c}}}({\mathbb{R}^n})}}<\infty$. 更确切地说, 也就是假设对任意 $k\geqslant1$, 存在常数 $M>0$ 和单调递增序列的 $\{{{T_k}}\}_{k=1}^\infty\subset(-1,0)$, 满足当 $k\to\infty$ 时,

$\mbox{有 }{T_k}\to0, \mbox{且 }{\|{u(\cdot,{T_k})}\|_{{L^{{q_c}}}({\mathbb{R}^n})}}\leqslant M.$

定义伸缩解序列

${u_k}(x,t)\triangleq{(-{T_k})^{\frac{1}{{p-1}}}}u(\sqrt{-{T_k}}x,(-{T_k})t),x\in{\mathbb{R}^n},{T_k}^{-1}\leqslant t <0.$

则 $u_k$ 满足

${\partial_t}{u_k}-\Delta{u_k}={|{{u_k}}|^{p-1}}{u_k}+a(-{T_k}){u_k},(x,t)\in{\mathbb{R}^n}\times({T_k}^{-1},0).$

通过 ${L^{{q_c}}}({\mathbb{R}^n})$ 范数的伸缩不变性和 (2.3) 式可以得出

${\|{{u_k}(\cdot,-1)}\|_{{L^{{q_c}}}({\mathbb{R}^n})}}=\|{u(\cdot,{T_k})}\|\leqslant M,k\geqslant1.$

对 $\tilde x\in{\mathbb{R}^n},\,-1<t<\tilde t\leqslant0,$ 定义 Giga-Kohn 能量 $E$ 为

$\begin{split}E(t)&={E_{(\tilde x,\tilde t)}}(t)\\&\triangleq{(\tilde t-t)^{\frac{2}{{p-1}}+1}}\int_{{\mathbb{R}^n}}{\left({\frac{{{{|{\nabla u}|}^2}}}{2}-\frac{{{{|u|}^{p+1}}}}{{p+1}}+\frac{{{{|u|}^2}}}{{2(p-1)(\tilde t-t)}}-\frac{a}{2}{{|u|}^2}}\right)}{K_{(\tilde x,\tilde t)}}(x,t){\rm d}x,\end{split}$

其中 ${K_{(\tilde x,\tilde t)}}(x,t)\triangleq{(\tilde t-t)^{-\frac{n} {2}}}{{\rm e}^{-\frac{{{{|{x-\tilde x}|}^2}}} {{4({\tilde t-t})}}}}.$ 通过相似变量替换

$\eta\triangleq\frac{{x-\tilde x}}{{{{({\tilde t-t})}^{\frac{1}{2}}}}}, \tau\triangleq-\log({\tilde t-t}),$

可定义伸缩解 $\omega$ 和其对应的 Giga-Kohn 能量 $J[\omega](\tau)$ 如下,

$\begin{split}&\omega ({\eta,\tau } ) = {\omega _{ ( {\tilde x,\tilde t} )}} ( {\eta,\tau } ) \triangleq {{\rm e}^{ - \frac{1}{{p - 1}}\tau }}u(\tilde x + {{\rm e}^{ - \frac{1}{2}\tau }}\eta,\tilde t-{{\rm e}^{ - \tau }}),\\ &J[\omega ]( \tau ) = {J_{(\tilde x,\tilde t)}}[\omega ]( \tau ) \triangleq \int_{{\mathbb{R}^n}} {\left( {\frac{{{{| {\nabla \omega } |}^2}}}{2} - \frac{{{{| \omega |}^{p + 1}}}}{{p + 1}} + \frac{{{{| {\omega ( {\eta,\tau } )} |}^2}}}{{2( {p - 1} )}} - \frac{a}{2}{{\rm e}^{ - \tau }}{{| \omega |}^2}}\right )} \rho (\eta ){\rm d}\eta,\end{split}$

其中 $\rho(\eta) \triangleq {{\rm e}^{ - \frac{{{{ | \eta |}^2}}}{4}}}$. 通过计算可以发现,

${E_{(\tilde x,\tilde t)}}(t) ={J_{(\tilde x,\tilde t)}}[\omega]( \tau ),\tau=-\log ({\tilde t - t}).$

令 ${\tau _0} \triangleq-\log ( {\tilde t + 1} )$, 则 $\omega$ 满足

$\begin{split}&\rho {\omega _\tau } = \nabla \cdot ( {\rho \nabla \omega } ) - \beta \rho \omega + {| \omega |^{p - 1}}\omega \rho + \rho a{{\rm e}^{ - \tau }}\omega,\\& \beta = \frac{1}{{p - 1}},(\eta,\tau ) \in {\mathbb{R}^n} \times ( {{\tau _0},\infty }).\end{split}$

对于能量 $J[\omega](\tau)$ 我们可以证明如下单调性公式.

引理2.1 对任意 $\tilde x \in {\mathbb{R}^n}$, $- 1 < \tilde t \leqslant 0$, $\tau > {\tau _0} = - \log ( {t + 1} ),$ 有

$\frac{{{\rm d}{J}[\omega ]}}{{{\rm d}\tau }}( \tau ) = - \int_{{\mathbb{R}^n}} {{{| {{\partial _\tau }{\omega}(\eta,\tau )} |}^2}} \rho (\eta ){\rm d}\eta + \frac{a}{2}{{\rm e}^{ - \tau }}\int_{{\mathbb{R}^n}} {{{| {{\omega}(\eta,\tau )} |}^2}\rho (\eta )}{\rm d}\eta$

成立. 特别地, 当 $a \leqslant 0$ 时, 有 $J[\omega ]( \tau )$ 单调不增.

证 由分部积分可知

$\frac{\rm d}{{{\rm d}\tau }}\int_{{\mathbb{R}^n}} {{{\left| {\nabla \omega } \right|}^2}} \rho{\rm d}\eta = - \frac{\rm d}{{{\rm d}\tau }}\int_{{\mathbb{R}^n}} {\omega \left( {\nabla \cdot \left( {\rho \nabla \omega } \right)} \right)}{\rm d}\eta = - 2\int_{{\mathbb{R}^n}} {{\omega _\tau }\left( {\nabla \cdot \left( {\rho \nabla \omega } \right)} \right)}{\rm d}\eta,$

再结合 (2.10) 和 (2.8) 式可知

$\begin{aligned} \frac{\rm d} {{{\rm d}\tau }}J[\omega ](\tau ) & =\int_{{\mathbb{R}^n}} { - {\omega _\tau }( {\nabla \cdot ( {\rho \nabla \omega } )} ) - {{| \omega |}^{p - 1}}\omega {\omega _\tau }\rho + \rho \frac{1}{{p - 1}}\omega {\omega _\tau } - \frac{a}{2}\rho {{\rm e}^{ - \tau }}} \omega ( {2{\omega _\tau } - \omega } ){\rm d}\eta \hfill \\& =\int_{{\mathbb{R}^n}} {{\omega _\tau }( - \rho {\omega _\tau } + \rho a{{\rm e}^{ - \tau }}\omega ) - \frac{a}{2}\rho {{\rm e}^{ - \tau }}} \omega ( {2{\omega _\tau } - \omega } ){\rm d}\eta \hfill \\& =-\int_{{\mathbb{R}^n}} {{{| {{\omega _\tau }} |}^2}} \rho{\rm d}\eta + \frac{a} {2}{{\rm e}^{ - \tau }}\int_{{\mathbb{R}^n}} {{{| \omega |}^2}\rho }{\rm d}\eta.\hfill \\ \end{aligned} $

注2.1 对 $\omega$ 进行求导可以得到

${\partial _\tau }{\omega _{( {\tilde x,\tilde t} )}}( {\eta,\tau } )=-{( {\tilde t - t} )^{\frac{1}{{p - 1}}}}{S_{( {\tilde x,\tilde t} )}}[u]( {x,t} ),$

其中

${S_{( {\tilde x,\tilde t} )}}[u]( {x,t} ) \triangleq \frac{{u( {x,t} )}}{{p - 1}} + \frac{{x - \tilde x}}{2} \cdot \nabla u( {x,t} ) - ( {\tilde t - t} ){u_t}( {x,t} ).$

由 $J[\omega](\tau)$ 的单调性可以得出下述性质.

引理2.2 对任意的 $\tilde x \in {\mathbb{R}^n}, - 1 < \tilde t \leqslant 0,{\tau _0} < \tau' <\tau,$ 存在 $C=C(n,p)>0,$ 使得

$\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{{\rm d}\tau }}\int_{{\mathbb{R}^n}} {{{| {{\omega _{( {\tilde x,\tilde t} )}}(\eta,\tau )} |}^2}\rho (\eta ){\rm d}\eta } = - 2J[\omega ]( \tau ) + \frac{{p - 1}}{{p + 1}}\int_{{\mathbb{R}^n}} {{{| {{\omega _{( {\tilde x,\tilde t} )}}(\eta,\tau )} |}^{p + 1}}\rho (\eta ){\rm d}\eta },$
$J[\omega ]( \tau ) \geqslant 0,\int_{{\mathbb{R}^n}} {{{| {{\omega _{( {\tilde x,\tilde t} )}}(\eta,\tau )} |}^2}\rho (\eta ){\rm d}\eta } \leqslant C{\left( {J[\omega ]( {\tau '} )}\right)^{\frac{2}{{p + 1}}}}.$

证 对 (2.10) 式两边同乘 $\omega$ 后积分, 再分部积分可得

$\int_{{\mathbb{R}^n}} {\omega \nabla \cdot ( {\rho \nabla \omega } ){\rm d}\eta } = - \int_{{\mathbb{R}^n}} {\nabla \omega ( {\rho \nabla \omega } ){\rm d}\eta } = - \int_{{\mathbb{R}^n}} {{{| {\nabla \omega } |}^2}\rho{\rm d}\eta }, $

再结合 (2.8) 式有

$\begin{aligned} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{{\rm d}\tau }}\int_{\mathbb{R}^n} {{{| \omega |}^2}\rho{\rm d}\eta } &= \int_{{\mathbb{R}^n}} {\rho ( {{\omega _\tau }\omega } ){\rm d}\eta } \\&= \int_{{\mathbb{R}^n}} {\left( { - {{| {\nabla \omega } |}^2}\rho - \frac{1}{{p - 1}}{{| \omega |}^2}\rho + {{| \omega |}^{p + 1}}\rho + a{{\rm e}^{ - \tau }}{{| \omega |}^2}\rho } \right){\rm d}\eta } \\&=-2J[\omega ]( \tau ) + \int_{{\mathbb{R}^n}} {\left( {{{| \omega |}^{p + 1}}\rho - \frac{{2{{| \omega |}^{p + 1}}}}{{p + 1}}\rho } \right){\rm d}\eta } \hfill \\&=-2J[\omega ]( \tau ) + \int_{{\mathbb{R}^n}} {{\frac{p-1}{p+1}}{{| \omega |}^{p + 1}}\rho{\rm d}\eta }. \hfill \\ \end{aligned} $

因此 (2.12) 式得证.

由 Hölder 不等式可知

$C\int_{{\mathbb{R}^n}} {{{| \omega |}^{p + 1}}\rho{\rm d}\eta } = C\int_{{\mathbb{R}^n}} {{{( {{{| \omega |}^2}} )}^{\frac{{p + 1}}{2}}}\rho{\rm d}\eta } \geqslant {\left( {\int_{{\mathbb{R}^n}} {{{| \omega |}^2}\rho{\rm d}\eta } } \right)^{\frac{{p + 1}}{2}}}.$

再结合 $J[\omega](\tau)$ 的单调性得

$\begin{aligned} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{{\rm d}\tau }}\int_{{\mathbb{R}^n}} {{{| \omega |}^2}\rho{\rm d}\eta } & = - 2J[\omega ](\tau ) + \int_{{\mathbb{R}^n}} {{\frac{p-1}{p+1}}{{| \omega |}^{p + 1}}\rho{\rm d}\eta } \hfill \\&\geqslant - 2J[\omega ]( {\tau '} ) + C{\left( {\int_{{\mathbb{R}^n}} {{{| \omega |}^2}\rho{\rm d}\eta } } \right)^{\frac{{p + 1}}{2}}}. \hfill \\ \end{aligned} $

由文献 [13,命题 2.1,命题 2.2] 和文献 [21,命题 23.8] 可知 (2.13) 式成立.

由 (2.2) 式可知 $u \in C([ - 1,0);{L^{{q_c}}}({\mathbb{R}^n})),$ 因此存在 $\delta_1=\delta_1(T_1)>0$ 满足 $(1+\delta_1)T_1>-1,$ 使得

${\| {u( \cdot,t)} \|_{{L^{{q_c}}}({\mathbb{R}^n})}} \leqslant 2M,(1 + {\delta _1}){T_1} \leqslant t \leqslant {T_1}.$

下述引理给出了 $J[\omega](\tau)$ 的一致估计, 证明参考文献 [20].

引理2.3 对任意 $\tilde x \in {\mathbb{R}^n},{T_1} < \tilde t \leqslant 0,\tau \geqslant {\tau _1} \triangleq -\log ( {\tilde t - {T_1}} ),$ 存在 $C=C( {n,p,M,{\delta _1}} ) > 0,$ 使得

$J[\omega ]( \tau ) \leqslant C.$

引理2.4 对任意的 $\tilde x \in {\mathbb{R}^n}, {T_1} < \tilde t \leqslant 0,\tau >\tau '> {\tau _1} \triangleq -\log ( {\tilde t - {T_1}}),$ 存在 $C=C(n,p,M,$ $\delta_1)>0$ 使得

$\begin{aligned} \int_{\tau '}^\tau J[\omega ](\sigma ){\rm d}\sigma \leqslant C {\int_{\tau '}^\tau \int_{{\mathbb{R}^n}} {| \omega |} ^{p + 1}}\rho{\rm d}\eta {\rm d}\sigma \hfill + C{(\tau - \tau ')^{\frac{{p - 1}}{{2(p + 1)}}}}{({\int_{\tau '}^\tau \int_{{\mathbb{R}^n}} {| \omega |} ^{p + 1}}\rho{\rm d}\eta {\rm d}\sigma )^{\frac{1}{{p + 1}}}}.\hfill \\ \end{aligned} $

证 由 (2.12) 式可得

$\left| {J[\omega ](\tau )} \right| \leqslant C\left| {\int_{\mathbb{R}^n} {\left| \omega \right|} ^{p + 1}\rho{\rm d}\eta } \right| + C\left| {\frac{\rm d}{{{\rm d}\tau }}\int_{{\mathbb{R}^n}} {{{\left| \omega \right|}^2}} \rho \eta } \right|.$

由 Cauchy-Schwarz 不等式可得

$J[\omega ](\tau ) \leqslant C{\left( {{{\int_{{\mathbb{R}^n}} {\left| \omega \right|}^2}}\rho{\rm d}\eta } \right)^{\frac{1}{2}}}{\left( {{{\int_{{\mathbb{R}^n}} {\left| {{\omega _\tau }} \right|}^2}}\rho{\rm d}\eta } \right)^{\frac{1}{2}}} + C{\int_{{\mathbb{R}^n}} {\left| \omega \right|} ^{p + 1}}\rho{\rm d}\eta.$

再利用 (2.11) 式可得

$J[\omega ](\tau ) \leqslant C{\left( - \frac{{{\rm d}J[\omega ](\tau )}}{{{\rm d}\tau }}\right)^{\frac{1}{2}}}{\left({\int_{{\mathbb{R}^n}} {| \omega |} ^2}\rho{\rm d}\eta \right)^{\frac{1}{2}}} + C{\int_{{\mathbb{R}^n}} {| \omega |} ^{p + 1}}\rho{\rm d}\eta.$

因为 $J[\omega](\tau)\geqslant 0,$ 所以对不等式 (2.15) 两边同时积分可得

$\int_{\tau '}^\tau {J[\omega ](\sigma )} {\rm d}\sigma \leqslant C\int_{\tau '}^\tau {{{\left( - \frac{{{\rm d}J}} {{{\rm d}\tau }}\right)}^{\frac{1}{2}}}{{\left({\int_{{\mathbb{R}^n}} {\left| \omega \right|} ^2}\rho{\rm d}\eta \right)}^{\frac{1}{2}}}} {\rm d}\sigma + C\int_{\tau '}^\tau {{\int_{{\mathbb{R}^n}} {\left| \omega \right|}^{p + 1}}\rho{\rm d}\eta } {\rm d}\sigma.$

由 Hölder 不等式和引理 2.3 可知

$\begin{aligned} \int_{\tau '}^\tau {{{\left( - \frac{{{\rm d}J}}{{{\rm d}\tau }}\right)}^{\frac{1}{2}}}{{\left({\int_{{\mathbb{R}^n}} {\left| \omega \right|} ^2}\rho{\rm d}\eta \right)}^{\frac{1}{2}}}} {\rm d}\sigma \hfill \leqslant C{\left( {\int_{\tau '}^\tau {{\int_{{\mathbb{R}^n}} {\left| \omega \right|} ^2}\rho{\rm d}\eta {\rm d}\sigma } } \right)^{\frac{1}{2}}}.\hfill \\ \end{aligned}$

又

$\begin{aligned} \int_{\tau '}^\tau {{\int_{{\mathbb{R}^n}} {\left| \omega \right|} ^2}\rho{\rm d}\eta } {\rm d}\sigma = {\left(\int_{\tau '}^\tau {{\int_{{\mathbb{R}^n}} {\left| \omega \right|}^{p + 1}}\rho{\rm d}\eta } {\rm d}\sigma \right)^{\frac{2}{{p + 1}}}}{(\tau - \tau ')^{\frac{{p - 1}}{{p + 1}}}}, \hfill \\ \end{aligned} $

所以

$\int_{\tau '}^\tau {J[\omega ](\sigma )} {\rm d}\sigma \leqslant C{\left(\int_{\tau '}^\tau {{\int_{{\mathbb{R}^n}} {\left| \omega \right|} ^{p + 1}}\rho{\rm d}\eta } {\rm d}\sigma \right)^{\frac{1}{{p + 1}}}}{(\tau - \tau ')^{\frac{{p - 1}} {{2(p + 1)}}}} + C\int_{\tau '}^\tau {{\int_{{\mathbb{R}^n}} {\left| \omega \right|}^{p + 1}}\rho{\rm d}\eta } {\rm d}\sigma.$

引理2.5 对任意的 $\tilde x \in {\mathbb{R}^n},{T_1} < \tilde t \leqslant 0,\tau >\tau '> {\tau _1} \triangleq -\log ( {\tilde t - {T_1}}),$ 存在 $C=C(n,p,M,\delta_1)>0$ 使得

$\int_{\tau '}^\tau {\int_{{\mathbb{R}^n}} {|\omega {|^{p + 1}}} } \rho{\rm d}\eta {\rm d}\sigma \leqslant Cf(J[\omega ](\tau '))f(\tau - \tau '),$

其中 $f(s)\triangleq s+s^\frac{1}{2},s\geqslant0.$

证 通过 (2.12) 式, Cauchy-Schwarz 不等式以及 (2.11) 式可得

$\begin{aligned}{\int_{{\mathbb{R}^n}} {| \omega |} ^{p + 1}}\rho{\rm d}\eta&= \frac{{p + 1}}{{2(p - 1)}}\frac{\rm d}{{{\rm d}\tau }}{\int_{{\mathbb{R}^n}} {| \omega |} ^2}\rho{\rm d}\eta + \frac{{2( {p + 1})}}{{p - 1}}J[\omega ]( \tau ) \hfill\\&\leqslant C{\left( - \frac{{{\rm d}J}}{{{\rm d}\tau }}\right)^{\frac{1}{2}}}{\left({\int_{{\mathbb{R}^n}} {| \omega |} ^2}\rho{\rm d}\eta \right)^{\frac{1}{2}}} + CJ[\omega ](\tau ). \hfill\end{aligned}$

由 Cauchy-Schwarz 不等式, (2.13) 式以及 $J(\tau)$ 的单调不增性可得

$\begin{aligned} \int_{\tau '}^\tau {\int_{{\mathbb{R}^n}} {|\omega } {|^{p + 1}}\rho{\rm d}\eta {\rm d}\sigma } &\leqslant C\int_{\tau '}^\tau {{\left( - \frac{{{\rm d}J}}{{{\rm d}\tau }}\right)^{\frac{1}{2}}}{\left(\int_{{\mathbb{R}^n}} {|\omega {|^2}} \rho{\rm d}\eta \right )^{\frac{1}{2}}}{\rm d}} \sigma + C\int_{\tau '}^\tau {J[\omega ](\sigma )} {\rm d}\sigma \hfill \\ &\leqslant C{(J(\tau ') - J(\tau ))^{\frac{1}{2}}}{\left(\int_{\tau '}^\tau {C{J^{\frac{2}{{p + 1}}}}(\tau ')} {\rm d}\sigma \right)^{\frac{1}{2}}} + C\int_{\tau '}^\tau {J[\omega ](\sigma )} {\rm d}\sigma \hfill \\ &\leqslant C{(J(\tau '))^{\frac{1}{2}}}{((\tau - \tau '){J^{\frac{2}{{p + 1}}}}(\tau '))^{\frac{1} {2}}} + CJ(\tau ')(\tau - \tau '). \hfill \\ \end{aligned} $

最后由 $s^{\frac{1}{2}+\frac{1}{p+1}}\leqslant Cf(s),s\geqslant 0$ 可得

$\int_{\tau '}^\tau {\int_{{\mathbb{R}^n}} {|\omega {|^{p + 1}}} \rho{\rm d}\eta {\rm d}\sigma } \leqslant Cf(J(\tau '))f(\tau - \tau ').$

通过引理 2.5, 我们给出 Morrey 型一致估计, 证明细节参考文献 [20]. 在本文中, 我们记 $B_r(x):= \{y \in \mathbb{R}^n ;|x-y|<r \}$ 和 $B_r:=B_r(0)$, 其中 $r>0$, $x \in \mathbb{R}^n$.

引理2.6 对任意的 $\tilde x \in {\mathbb{R}^n},{T_1} <t\leqslant 0$, 存在 $C=C(n,p,M,\delta_1)>0$, 使得

$\begin{aligned} & (1.1) {( - t)^{\frac{2}{{p - 1}}-\frac{n}{2}}}\int_t^{\frac{t}{2}} {\int_{{B_{\sqrt { - \frac{t}{2}} }}(\tilde x)} {({{| {\nabla u} |}^2} + {{| u |}^{p + 1}})} } {\rm d}x{\rm d}s \leqslant C, \\& (1.2) {( - t)^{\frac{2}{{p - 1}}-\frac{n}{2}+ 1}}\int_t^{\frac{t}{2}}{\int_{{B_{\sqrt { - \frac{t}{2}} }}(\tilde x)} {{{| {{u_t}} |}^2}} }{\rm d}x{\rm d}s\leqslant C. \end{aligned}$

接下来, 我们对 (2.4) 式定义的 $u_k$ 进行估计. 对任意 $\tilde x \in {\mathbb{R}^n},k\geqslant1,T_k^{-1}<t<\tilde{t}\leqslant0,$ 定义能量和函数如下

$\left\{\begin{aligned}&{E_k}(t) = {E_{k,(\tilde x,\tilde t)}}(t) \triangleq {(\tilde t - t)^{\frac{2}{{p - 1}} + 1}}\\&\qquad\quad \times \int_{{\mathbb{R}^n}} {\left( {\frac{{{{| {\nabla {u_k}} |}^2}}}{2} - \frac{{{{| {{u_k}} |}^{p + 1}}}}{{p + 1}} + \frac{{{{| {{u_k}} |}^2}}}{{2(p - 1)(\tilde t - t)}} + \frac{a}{2}{T_k}{{| {{u_k}} |}^2}} \right)} {K_{(\tilde x,\tilde t)}}{\rm d}x, \hfill\\&{\omega _k}( {\eta,\tau } ) = {\omega _{k,( {\tilde x,\tilde t} )}}( {\eta,\tau } ) \triangleq {{\rm e}^{ - \frac{1}{{p - 1}}\tau }}{u_k}(\tilde x + {{\rm e}^{ - \frac{1}{2}\tau }}\eta,\tilde t - {{\rm e}^{ - \tau }}), \hfill\\&{J_k}[\omega ]( \tau ) = {J_{k,(\tilde x,\tilde t)}}[\omega ]( \tau ) \triangleq \int_{{\mathbb{R}^n}} {\left( {\frac{{{{| {\nabla {\omega _k}} |}^2}}}{2} - \frac{{{{| {{\omega _k}} |}^{p + 1}}}}{{p + 1}} + \frac{{{{| {{\omega _k}} |}^2}}}{{2( {p - 1} )}} + \frac{a}{2}{T_k}{{\rm e}^{ - \tau }}{{| \omega |}^2}}\right)} \rho{\rm d}\eta, \hfill \\\end{aligned} \right.$

其中 $\rho \triangleq {{\rm e}^{ - \frac{{{{ | \eta |}^2}}}{4}}}.$ 通过计算可知

$\mbox{当 }\tau = - \log (\tilde t - t)\mbox{ 时},\mbox{ 有 }{E_{k,(\tilde x,\tilde t)}}(t) = {J_{k,(\tilde x,\tilde t)}}[\omega ]( \tau ).$

由于 $u_k$ 满足 (2.5) 式, 所以对应的伸缩序列 $\omega_k$ 满足

$\rho {\partial _\tau }{\omega _k} - \nabla \cdot ( {\rho \nabla {\omega _k}} ) + \frac{1}{{p - 1}}{\omega _k}\rho - {| {{\omega _k}} |^{p - 1}}{\omega _k}\rho + a{T_k}{{\rm e}^{ - \tau }}{\omega _k}\rho = 0,(\eta,\tau ) \in ({\tau _k},\infty ),$

其中 ${\tau _k} \triangleq - \log (\tilde t - T_k^{ - 1}).$

接下来可通过类似引理 2.1 和引理 2.2 的证明方法得到 ${J_k}[\omega](\tau)$ 的单调公式.

引理2.7 对任意的 $\tilde x\in{\mathbb{R}^n},k\geqslant1,T_k^{-1}<\tilde{t}\leqslant0,\tau>\tau_k,$ 有

$\frac{{{\rm d}{J_k}}}{{{\rm d}\tau }} = - \int_{{\mathbb{R}^n}} {{{\left| {{\partial _\tau }{\omega _k}} \right|}^2}} \rho{\rm d}\eta - \frac{a}{2}{T_k}{{\rm e}^{ - \tau }}\int_{{\mathbb{R}^n}} {{{\left| {{\omega _k}} \right|}^2}\rho }{\rm d}\eta,$

并且 $J_k$ 关于 $\tau$ 单调不增. 进一步地, 对任意的 $k\geqslant1,\tau>\tau'>\tau_k$ 存在 $C=C(n,p)>0$, 使得

$\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{{\rm d}\tau }}\int_{{\mathbb{R}^n}} {{{| {{\omega _k}} |}^2}\rho{\rm d}\eta}=-2{J_k}+\frac{{p-1}}{{p+1}}\int_{{\mathbb{R}^n}} {{{| {{\omega _k}} |}^{p + 1}}\rho{\rm d}\eta },$
${J_k} \geqslant 0,\int_{{\mathbb{R}^n}} {{{| {{\omega _k}} |}^2}\rho{\rm d}\eta } \leqslant C{( {{J_k}( {\tau '} )} )^{\frac{2}{{p + 1}}}}.$

另外, 我们给出 ${J_k}[\omega](\tau)$ 的一致估计.

引理2.8 对任意 $\tilde x \in {\mathbb{R}^n},k \geqslant 1, - \frac{{{T_1}}} {{{T_k}}} < \tilde t \leqslant 0,\tau\geqslant {\tau '_k} \triangleq-\log (\tilde t + \frac{{{T_1}}}{{{T_k}}}),$ 存在 $C=C(n,p,M,\delta_1)>0$ 使得

${J_k}[\omega ]( \tau ) \leqslant C.$

证 通过 (2.18) 式, 变量替换和 (2.9) 式, 可以得出

$\begin{aligned}{J_{k,(\tilde x,\tilde t)}}[\omega ](\tau )&= {E_{k,(\tilde x,\tilde t)}}(t) = {E_{(\sqrt{-{T_k}} \tilde x,-{T_k}\tilde t)}}(-{T_k}t) \hfill\\&= {J_{({\sqrt { - {T_k}} \tilde x, - {T_k}\tilde t})}}[\omega ](\tau - \log ( - {T_k})). \hfill \\\end{aligned}$

因为 $T_1<-{T_k}{\tilde t}\leqslant0,\tau{-{\rm log}(-T_k)}\geqslant-{\rm log}(-{T_k}{\tilde t}-T_1),$ 所以运用引理 2.3 该定理得证.

引理 2.8 和 2.8 可推导出与引理 2.4 和 2.5 类似的结论.

引理2.9 对任意 $\tilde x \in {\mathbb{R}^n},k \geqslant 1, - \frac{{{T_1}}}{{{T_k}}} < \tilde t \leqslant 0,\tau \geqslant {\tau '_k},$ 存在 $C=C(n,p,M,\delta_1)>0$ 使得

$\begin{aligned}\int_{\tau '}^\tau {J_{k,(\tilde x,\tilde t)}}{\rm d}\sigma \leqslant& C \int_{\tau '}^\tau {\int_{{\mathbb{R}^n}} {| {{\omega _{k,(\tilde x,\tilde t)}}} |} ^{p + 1}}\rho{\rm d}\eta {\rm d}\sigma \hfill\\ &+ C{(\tau - \tau ')^{\frac{{p - 1}}{{2(p + 1)}}}}{\left({\int_{\tau '}^\tau \int_{{\mathbb{R}^n}} {|{{\omega_{k,(\tilde x,\tilde t)}}} |} ^{p + 1}}\rho{\rm d}\eta {\rm d}\sigma \right)^{\frac{1}{{p + 1}}}} \hfill,\end{aligned}$
${\int_{\tau '}^\tau \int_{{\mathbb{R}^n}} {| {{\omega _{k,(\tilde x,\tilde t)}}(\eta,\sigma )} |} ^{p + 1}}\rho{\rm d}\eta {\rm d}\sigma \leqslant Cf({J_{k,(\tilde x,\tilde t)}}(\tau '))f(\tau - \tau ').$

证 由 (2.20) 式移项, Hölder 不等式和 (2.19) 式可得对 $\tau > {\tau_k}$ 有

${J_k}[\omega ](\tau ) \leqslant C{\left( - \frac{{{\rm d}{J_k}[\omega ](\tau )}} {{{\rm d}\tau }}\right)^{\frac{1}{2}}}{\left({\int_{{\mathbb{R}^n}} {\left| {{\omega _k}} \right|} ^2}\rho{\rm d}\eta \right)^{\frac{1} {2}}} + C{\int_{{\mathbb{R}^n}} {\left| {{\omega _k}} \right|} ^{p + 1}}\rho{\rm d}\eta. $

对上述不等式两边同时积分有

$\int_{\tau '}^\tau {{J_k}[\omega ](\sigma )} {\rm d}\sigma \leqslant C\int_{\tau '}^\tau {{{\left( - \frac{{{\rm d}{J_k}}}{{{\rm d}\tau }}\right)}^{\frac{1}{2}}}{{\left({\int_{{\mathbb{R}^n}} {\left| {{\omega _k}} \right|} ^2}\rho{\rm d}\eta \right)}^{\frac{1}{2}}}} {\rm d}\sigma + C\int_{\tau '}^\tau {{\int_{{\mathbb{R}^n}} {\left| {{\omega _k}} \right|} ^{p + 1}}\rho{\rm d}\eta } {\rm d}\sigma. $

由 Hölder 不等式和引理 2.8 可得到 (2.23) 式成立. 接下来类似于引理 2.5 的证明过程, 首先, 通过对 (2.20) 式移项, Hölder 不等式和 (2.19) 式, 可知对 $\tau > {\tau_k}$ 有

$\begin{aligned}{\int_{{\mathbb{R}^n}} {| {{\omega _k}} |} ^{p + 1}}\rho{\rm d}\eta\leqslant C{\left( - \frac{{{\rm d}{J_k}}}{{{\rm d}\tau}}\right)^{\frac{1}{2}}}{\left({\int_{{\mathbb{R}^n}} {| {{\omega _k}} |} ^2}\rho{\rm d}\eta \right)^{\frac{1}{2}}} + C{J_k}(\tau ). \hfill\end{aligned}$

最后, 对 (2.25) 式积分并利用 Hölder 不等式, 引理 2.7 和 Young 不等式 $s^{\frac{1}{2}+\frac{1}{p+1}}\leqslant Cf(s)$ 可得 (2.24) 式.

引理2.10 对任意的 $\tilde x \in {\mathbb{R}^n},R>0,k,$ 其中 $k$ 满足 $\frac{T_1}{2R^2}<T_k<0.$ 存在 $C=C(n,p,M,\delta_1)$ $>0,$ 使得

$\begin{aligned} & (1.1) \int_{ - 2{R^2}}^{ - {R^2}} {\int_{{B_R}(\tilde x)} {({{| {\nabla {u_k}} |}^2} + {{| {{u_k}} |}^{p + 1}})} } {\rm d}x{\rm d}t \leqslant C{R^{n - \frac{4}{{p - 1}}}}, \\ & (1.2) \int_{ - 2{R^2}}^{ - {R^2}} {\int_{{B_R}(\tilde x)} {({{| {{\partial _t}{u_k}} |}^2})} } {\rm d}x{\rm d}t \leqslant C{R^{n - \frac{4}{{p - 1}} - 2}}. \end{aligned}$

证 通过变量替换和引理 2.6 可得

$\begin{aligned} & \int_{-2 R^2}^{-R^2} \int_{B_R(\tilde{x})}\left(\left|\nabla u_k\right|^2+\left|u_k\right|^{p+1}\right) {\rm d}x{\rm d}t \\ =&\left(-T_k\right)^{\frac{2}{p-1}-\frac{n}{2}} \int_{2 T_k R^2}^{T_k R^2} \int_{B_{\sqrt{-T_k} R}\left(\sqrt{-T_k} \tilde{x}\right)}\left(|\nabla u|^2+|u|^{p+1}\right) {\rm d}y{\rm d}s \leqslant C R^{n-\frac{4}{p-1}}, \end{aligned}$

以及

$\begin{aligned} & \int_{-2 R^2}^{-R^2} \int_{B_R(\tilde{x})}\left|\partial_t u_k\right|^2 {\rm d}x{\rm d}t \\ =&\left(-T_k\right)^{\frac{2}{p-1}-\frac{n}{2}+1} \int_{2 T_k R^2}^{T_k R^2} \int_{B_{\sqrt{-T_k} R}\left(\sqrt{-T_k} \tilde{x}\right)}\left|\partial_t u\right|^2 {\rm d}y{\rm d}s \leqslant C R^{n-\frac{4}{p-1}-2}. \end{aligned}$

基于 (2.25) 式, 我们给出关于 $u_k(\cdot,t)$ 在固定时间 $t$ 时的空间积分的一致估计. 证明方法与文献 [20] 类似, 这里不再叙述.

引理2.11 令 $R>0$, 存在序列 $u_k$ 满足下述结论, 对几乎所有 $t \in(-\infty,0),$ 存在常数 $k_t\geqslant 1,$ $k_t$ 依赖于 $t$, 以及 $C_t=C(n,p,M,\delta_1,R,t)>0,$ 对任意 $k\geqslant k_t,$ 使得

$\int_{{B_R}} {( {{{| {\nabla {u_k}(x,t)} |}^2} + {{| {{u_k}(x,t)} |}^{p + 1}} + {{| {{\partial _t}{u_k}(x,t)} |}^2}} )}{\rm d}x\leqslant {C_t}.$

最后, 通过使用假设 (2.3) 式, 我们给出 $u_k$ 在 $t=-1$ 时空间积分的一致估计.

引理2.12 令 $R>0,$ 对任意 $k\geqslant1,$ 存在 $C=C(n,p,M,\delta_1,R)>0$ 使得

$\int_{{B_R}} {( {{{| {\nabla {u_k}(x, - 1)} |}^2} + {{| {{u_k}(x, - 1)} |}^{p + 1}}} )}{\rm d}x \leqslant C.$

证 令 $(\tilde{x}, \tilde{t})=(0,0)$ 为缩放中心. 由 (2.3) 式, Hölder 不等式和 (2.6) 式可知,

$\int_{\mathbb{R}^{n}}\left|u_{k}(x,-1)\right|^{p+1} K_{(0,0)}(x,-1){\rm d}x \leqslant C\left(\int_{\mathbb{R}^{n}}\left|u_{k}(x,-1)\right|^{q_{c}}{\rm d} x\right)^{\frac{p+1}{q_{c}}} \leqslant C.$

因此我们得到了 $\left|u_{k}(\cdot,-1)\right|^{p+1}$ 所需的估计. 由 (2.17) 式且 $a<0,T_k<0$, 我们可以得到

$\int_{\mathbb{R}^{n}}\left|\nabla u_{k}(x,-1)\right|^{p+1} K_{(0,0)}(x,-1){\rm d}x \leqslant 2 E_{k,(0,0)}(-1)+C.$

由 (2.18) 式和引理 2.8 可得 $E_{k}(-1)=J_{k}(0) \leqslant C$. 因此我们得到了 $\left|\nabla u_{k}(\cdot,-1)\right|^{2}$ 所需的估计. 综上所述, 引理 2.12 得证.

3 缺陷测度

令 $u$ 为 (2.1) 式的古典解, 且满足 (2.3) 式, 并按 (2.4) 式定义了 $u_k$. 在本节中, 我们证明如下强收敛性质

命题3.1 假设 (2.3) 式成立, 则存在定义在 ${\mathbb{R}^n} \times ( - \infty,0)$ 上的序列 $u_k$ 和函数 ${\bar u},$ 使得当 $k \to \infty$ 时, 在 $L_{\rm loc}^{p + 1}({\mathbb{R}^n} \times ( - \infty,0))$ 中有强收敛

${u_k} \to \bar u,$

在 $L_{\rm loc}^2({\mathbb{R}^n} \times ( - \infty,0))$ 中有强收敛

$\nabla {u_k} \to \nabla \bar u.$

下面定义 $\mathcal{Q} \triangleq {\mathbb{R}^n} \times ( - \infty,0),$ 构造爆破极限 $\bar{u}$ 为 $u_k$ 的弱极限.

引理3.1 存在子列 $u_k$ 和定义在 $\mathcal{Q}$ 上的函数 $\bar u$, 使得当 $k \to \infty$ 时, 有下列性质成立

(1) $\{ {u_k}\} _{k = 1}^\infty \subseteq L_{\rm loc}^{p + 1}(\mathcal{Q})$ 弱收敛于 $\bar u \in L_{\rm loc}^{p + 1}(\mathcal{Q})$, 记为在 $L_{\rm loc}^{p + 1}(\mathcal{Q})$ 中 $u_{k} \rightharpoonup \bar{u}$;

(2) 在 $L_{\rm loc}^2(\mathcal{Q})$ 中 $\nabla {u_k} \rightharpoonup \nabla \bar u$, 在 $L_{\rm loc}^2(\mathcal{Q})$ 中 ${\partial _t}{u_k} \rightharpoonup {\partial _t}\bar u $;

(3) 对任意 $1 \leqslant q < p + 1$, 有 $\{ {u_k}\} _{k = 1}^\infty \subseteq L_{\rm loc}^q(\mathcal{Q})$ 强收敛于 $\bar u \in L_{\rm loc}^q(\mathcal{Q})$, 记为在 $L_{\rm loc}^q(\mathcal{Q})$ 中 $u_{k} \to \bar{u}$;

(4) 对任意 $1 \leqslant r < 2$, 在 $L_{\rm loc}^r(\mathcal{Q})$ 中有 $\nabla u_{k} \to \nabla \bar{u}$;

(5) 在 $\mathcal{Q}$ 中有 ${u_k}$ 几乎处处收敛于 $\bar u$, 且 $\nabla {u_k}$ 几乎处处收敛于 $\nabla \bar u$.

证 对于 (1)-(3). 令 $\tilde{x} \in \mathbb{R}^{n},R>0$, 记 $\mathcal{Q}_{R}(\tilde{x})\triangleq B_{R}(\tilde{x}) \times \left(-2 R^{2},-R^{2}\right)$. 由引理 2.10 可知在 $L^{p+1}\left(\mathcal{Q}_{R}(\tilde{x})\right)$ 中 $u_{k} \rightharpoonup \bar{u}$, 在 $L^{2}\left(\mathcal{Q}_{R}(\tilde{x})\right)$ 中 $\nabla u_{k} \rightharpoonup \nabla \bar{u}$ 且 $\partial_{t} u_{k} \rightharpoonup \partial_{t} \bar{u}$. 因为在 $W^{1,2}\left(\mathcal{Q}_{R}(\tilde{x})\right)$ 中 $u_{k} \rightharpoonup \bar{u}$, 所以由 Rellich-Kondrachov 定理可知在 $L^{1}\left(\mathcal{Q}_{R}(\tilde{x})\right)$ 中 $u_{k}\to\bar{u}$. 对 $1 \leqslant q<p+1$, 由标准插值可以证得当 $0 \leqslant \theta \leqslant 1$ 时, 有

$\begin{aligned} \left\|u_{k}-\bar{u}\right\|_{L^{q}\left(\mathcal{Q}_{R}(\tilde{x})\right)} &\leqslant\left\|u_{k}-\bar{u}\right\|_{L^{1}\left(\mathcal{Q}_{R}(\tilde{x})\right)}^{\theta}\left\|u_{k}-\bar{u}\right\|_{L^{p+1}\left(\mathcal{Q}_{R}(\tilde{x})\right)}^{1-\theta} \\ & \leqslant C\left\|u_{k}-\bar{u}\right\|_{L^{1}\left(\mathcal{Q}_{R}(\tilde{x})\right)}^{\theta} \rightarrow 0. \end{aligned}$

又由于 $\tilde{x}$ 和 $R$ 是任意的, 所以 (1)-(3) 得证.

对于 $(4)$, $(5)$. 令 $t_{1}<t_{2}<t_{3}<t_{4}<0$, $\varphi \in C_{0}^{\infty}(\mathcal{Q})$ 满足 $0 \leqslant \varphi \leqslant 1$, 且

$ \varphi = \left\{ \begin{aligned} 1,\quad & (x,t)\in B_{R}(\tilde{x}) \times\left(t_{2}, t_{3}\right), \hfill \\ 0,\quad & (x,t) \notin B_{2 R}(\tilde{x}) \times\left(t_{1}, t_{4}\right). \hfill \\ \end{aligned} \right. $

令 ${v_k} \triangleq \varphi {u_k}$, 根据 (2.1) 式可得

$\begin{cases}\partial_{t} v_{k}-\Delta v_{k}=f_{k}, & (x,t) \in \mathbb{R}^{n} \times\left(-t_{1}, 0\right), \\ v_{k}\left(\cdot,-t_{1}\right)=0, & x \in \mathbb{R}^{n},\end{cases}$

其中 ${f_k} \triangleq \varphi {\left| {{u_k}} \right|^{p - 1}}{u_k} + \varphi a( - {T_k}){u_k} + \left( {{\varphi _t} - \Delta \varphi } \right){u_k} - 2\nabla \varphi \nabla {u_k}. $ 由引理 2.10 的不等式可知 ${\left\| {{f_k}} \right\|_{{L^{\frac{{p + 1}}{p}}}({\mathbb{R}^n} \times ( - {t_1},0))}} \leqslant C, $ 其中 $C>0$ 且不依赖于 $k$. 由极大正则性 (见文献 [16,定理 7.3]) 可确保 $\left\|\partial_{t} v_{k}\right\|_{L^{(p+1) / p}\left(\mathbb{R}^{n} \times\left(t_{1}, 0\right)\right)}+\left\|\Delta v_{k}\right\|_{L^{(p+1) / p}\left(\mathbb{R}^{n} \times\left(t_{1}, 0\right)\right)} \leqslant C$. 因此,

$\left\|\partial_{t} u_{k}\right\|_{L^{(p+1) / p}(\mathcal{B} \times \mathcal{I})}+\left\|\Delta u_{k}\right\|_{L^{(p+1) / p}(\mathcal{B} \times \mathcal{I})} \leqslant C,$

其中 $\mathcal{B}\triangleq B_{R}(\tilde{x})$, $\mathcal{I}\triangleq \left(t_{2}, t_{3}\right)$. 由一个 Aubin-Lions 型紧性结果 (见文献 [19,附录 B]) 可以得到一个紧嵌入

$\begin{aligned} & W^{1, \frac{p+1}{p}}\left(\mathcal{I} ; L^{\frac{p+1}{p}}(\mathcal{B})\right) \cap L^{\frac{p+1}{p}}\left(\mathcal{I} ; W^{2, \frac{p+1}{p}}(\mathcal{B})\right) \\ & \hookrightarrow \hookrightarrow L^{\frac{p+1}{p}}\left(\mathcal{I} ;\left(L^{\frac{p+1}{p}}(\mathcal{B}), W^{2, \frac{p+1}{p}}(\mathcal{B})\right)_{\frac{1}{2}, \frac{p+1}{p}}\right)=L^{\frac{p+1}{p}}\left(\mathcal{I} ; B_{\frac{p+1}{p}, \frac{p+1}{p}}^{1}(\mathcal{B})\right), \end{aligned}$

其中 $\mathcal{B}\triangleq B_{R}(\tilde{x})$ 和 $\left(L^{(p+1) / p}, W^{2,(p+1) / p}\right)_{1 / 2,(p+1) / p}$ 是插值偶. 通过 $B_{(p+1) / p,(p+1) / p}^{1}(\mathcal{B}) \hookrightarrow W^{1,(p+1) / p}(\mathcal{B}),$ (见文献 [25,第 327 页]) 有在 $L^{(p+1) / p}(\mathcal{B} \times \mathcal{I})$ 中 $\nabla u_{k} \to \nabla \bar{u}$. 由于 $\tilde{x}, R, t_{2}$ 和 $t_{3}$ 是任意的, 这个插值证明了 $(4).$ 由 $(3),$ $(4)$ 的强收敛性并选择一个子列可知 $(5)$ 成立.

接下来研究对几乎所有 $t$ 关于 ${u_k}(\cdot,t)$ 的极限.

引理3.2 令 $\bar{u}$ 和引理 3.1 一致. 存在子列 $u_k$ 对几乎所有 $t \in(-\infty, 0)$, 当 $k \to \infty$ 时有下列性质成立

(1) 在 $\mathbb{R}^{n}$ 中, 有 $u_{k}(\cdot, t)$ 几乎处处收敛于 $\bar{u}(\cdot, t)$, 且 $\nabla u_{k}(\cdot, t)$ 几乎处处收敛于 $\nabla \bar{u}(\cdot, t)$;

(2) 在 $L_{\rm loc}^{p+1}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ 中, $u_{k}(\cdot, t) \rightharpoonup \bar{u}(\cdot, t)$;

(3) 在 $L_{\rm loc}^{2}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ 中, $\nabla u_{k}(\cdot, t) \rightharpoonup \nabla \bar{u}(\cdot, t)$ 且 $\partial_{t} u_{k}(\cdot, t) \rightharpoonup \partial_{t} \bar{u}(\cdot, t)$;

(4) 对任意 $1 \leqslant q<p+1,$ 在 $ L_{\rm loc}^{q}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ 中有 $u_{k}(\cdot,t)\to \bar{u}(\cdot,t)$.

证 $(1)$ 由引理 3.1 $(5)$ 结果可以直接得到.

$(2),$ $(3),$ $(4)$ 令 $R>0$. 对几乎所有 $t \in(-\infty, 0)$, 引理 2.11 证明了存在子列在 $L^{p+1}\left(B_{R}\right)$ 中有 $u_{k}(\cdot, t) \rightharpoonup \tilde{u}(\cdot, t)$. 同时在 $L^{2}\left(B_{R}\right)$ 中有 $\nabla u_{k}(\cdot, t) \rightharpoonup \nabla \tilde{u}(\cdot, t)$ 和 $\partial_{t} u_{k}(\cdot, t) \rightharpoonup \partial_{t} \tilde{u}(\cdot, t)$. 特别地, 在 $W^{1,2}\left(B_{R}\right)$ 中有 $u_{k}(\cdot, t) \rightharpoonup \tilde{u}(\cdot, t)$, 所以在 $L^{1}\left(B_{R}\right)$ 中有 $u_{k}(\cdot, t) \to \tilde{u}(\cdot, t)$ 成立. 接下来, 由插值可知对任意 $1\leqslant q<p+1$, 在 $L^{q}\left(B_{R}\right)$ 中有 $u_{k}(\cdot, t)\to\tilde{u}(\cdot, t)$. 对几乎所有 $t \in(-\infty, 0)$, 一些子列 $u_{k}(\cdot, t)$ 在 $B_{R}$ 上几乎处处收敛于 $\tilde{u}(\cdot, t)$. 由 $(1)$ 和几乎处处收敛的唯一性可知, $\tilde{u}(\cdot, t)=$ $\bar{u}(\cdot, t)$ 在 $B_{R}$ 上对几乎所有 $t \in(-\infty, 0)$ 成立. 因为 $R>0$ 是任意的, 所以 (2)-(4) 得证.

下面在 $t=-1$ 时, 我们得到了 $u_{k}(\cdot,-1)$ 在 $L_{\rm loc}^{p+1}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ 中的强收敛极限.

引理3.3 存在子列 $u_k,$ 使得当 $k \to \infty$ 时, 在 $L_{\rm loc}^{p+1}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ 中有 $u_{k}(\cdot,-1) \to \bar{u}(\cdot,-1)$.

证 由 (2.6) 式并选取一个子列, 在 $L^{q_{c}}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ 中有 $u_{k}(\cdot,-1) \rightharpoonup \bar{u}(\cdot,-1)$. 由范数的弱下半连续性可知

$\|\bar{u}(\cdot,-1)\|_{L^{q_{c}}\left(\mathbb{R}^{n}\right)} \leqslant \liminf _{k \rightarrow \infty}\left\|u_{k}(\cdot,-1)\right\|_{L^{q_{c}}\left(\mathbb{R}^{n}\right)} \leqslant M.$

令 $R>0$. 由引理 2.12 可得在 $L^{2}\left(B_{R}\right)$ 中 $\nabla u_{k}(\cdot,-1) \rightharpoonup \nabla \bar{u}(\cdot,-1)$. 且在 $W^{1,2}\left(B_{R}\right)$ 中有 $u_{k}(\cdot,-1) \rightharpoonup \bar{u}(\cdot,-1)$, 因此在 $L^{1}\left(B_{R}\right)$ 中 $u_{k}(\cdot,-1) \to \bar{u}(\cdot,-1)$. 通过 $p+1<q_{c}$ (由于 $p>p_{S}$) 使用插值, 可证得在 $L^{p+1}\left(B_{R}\right)$ 中 $u_{k}(\cdot,-1) \to \bar{u}(\cdot,-1)$. 引理得证.

我们构造了对应弱极限 $u_{k} \rightharpoonup \bar{u}$ 的缺陷测度. 在本文中,如果测度 $\mu$ 是 Borel 正则且局部有限的, 则 $\mu$ 称为 Radon 测度. 相关细节可参考文献 [8,第 1.1.3 节].

引理3.4 存在子列 $u_k$ 使得 $(1)$ 和 $(2)$ 均成立

$(1)$ 存在定义在 $\mathcal{Q}$ 上的非负 Radon 测度 $\mu$, 使得当 $k \to \infty$ 时, 在 $\mathcal{M}(\mathcal{Q})$ 中有 $\left|u_{k}\right|^{p+1} \rightharpoonup |\bar{u}|^{p+1}+\mu$. 也就是说, 对任意 $\varphi \in C_{0}(\mathcal{Q})$, 有

$\int_{-\infty}^{0} \int_{\mathbb{R}^{n}} \varphi\left|u_{k}\right|^{p+1} {\rm d}x{\rm d}t \to \int_{-\infty}^{0} \int_{\mathbb{R}^{n}} \varphi|\bar{u}|^{p+1} {\rm d}x{\rm d}t+\iint_{\mathcal{Q}} \varphi {\rm d}\mu;$

$(2)$ 对几乎所有 $t \in(-\infty, 0)$, 存在定义在 $ \mathbb{R}^{n}$ 上的非负 Radon 测度 $\mu_{t}$, 使得当 $k \to \infty$ 时, 在 $\mathcal{M}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ 中有 $\left|u_{k}(\cdot, t)\right|^{p+1} \rightharpoonup |\bar{u}(\cdot, t)|^{p+1}+\mu_{t}$. 也就是说, 对任意 $\phi \in C_{0}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$, 有

$\int_{\mathbb{R}^{n}} \phi\left|u_{k}(x, t)\right|^{p+1}{\rm d}x \rightarrow \int_{\mathbb{R}^{n}} \phi|\bar{u}(x, t)|^{p+1}{\rm d}x+\int_{\mathbb{R}^{n}} \phi {\rm d}\mu_{t},$

并且, $\mu_{t}$ 在 $t=-1$ 时是有定义的且满足 $\mu_{-1}=0$ 在 $\mathbb{R}^{n}$ 上.

证 对于断言 $(1)$, 由引理 3.1 $(1)$ 和 Radon 测度的弱紧性 (见文献 [8,定理 1.41]), 存在定义在 $\mathcal{Q}$ 上的子列 $u_{k}$ 和非负 Radon 测度 $\mu$, 使得当 $k \to \infty$ 时, 对任意 $\varphi \in C_{0}(\mathcal{Q})$ 有

$\iint_{\mathcal{Q}} \varphi\left|u_{k}-\bar{u}\right|^{p+1} {\rm d}x{\rm d}t \rightarrow \iint_{\mathcal{Q}} \varphi {\rm d}\mu.$

令 $\mathcal{Q}_{\varphi}\triangleq \operatorname{supp} \varphi$. 因为由引理 3.1 $(1)$ 可知 $u_{k}$ 在 $L^{p+1}\left(\mathcal{Q}_{\varphi}\right)$ 有界, 由引理 3.1 $(5)$ 可知 $u_{k}$ 几乎处处收敛于 $\bar{u}$ 在 $\mathcal{Q}_{\varphi}$ 上. 所以这里我们可以使用 Brezis-Lieb 引理[4]. 接下来此引理结合上述关于 $\left|u_{k}-\bar{u}\right|^{p+1}$ 的极限可证得

$\begin{aligned} & \left|\iint_{\mathcal{Q}} \varphi|u_{k}|^{p+1} {\rm d}x{\rm d}t-\iint_{\mathcal{Q}} \varphi|\bar{u}|^{p+1} {\rm d}x{\rm d}t-\iint_{\mathcal{Q}} \varphi {\rm d}\mu \right| \\ & \leqslant\iint_{\mathcal{Q}_{\varphi}}\left||u_{k}|^{p+1}-|\bar{u}|^{p+1}-|u_{k}-\bar{u}|^{p+1} \right| {\rm d}x{\rm d}t \\ & \quad+\left|\iint_{\mathcal{Q}} \varphi| u_{k}-\bar{u}|^{p+1} {\rm d}x{\rm d}t-\iint_{\mathcal{Q}} \varphi {\rm d}\mu \right| \to 0. \end{aligned}$

因此 $(1)$ 成立. 由引理 3.2 的 $(1)$ 和 $(2)$ 可证明 $(2)$ 的前半部分. 由引理 3.2 可证明 $(2)$.

通过文献 [28,引理 4.1] 中磨光技巧, 我们可以证明在 $\nabla u_{k}$ 的弱极限意义下 $\mu_{t}$ 和 $\mu$ 也是缺陷测度.

引理3.5 当 $k \to \infty $ 时, 存在序列 $u_k$ 使得 ${\left| {\nabla {u_k}} \right|^2} \rightharpoonup {\left| {\nabla \bar u} \right|^2}+\mu$ 在 $\mathcal{M}(\mathcal{Q})$ 中成立. 并且对几乎所有的 $t\in(-\infty,0),$ 有 ${\left| {\nabla {u_k}( \cdot,t)} \right|^2} \rightharpoonup {\left| {\nabla \bar u( \cdot,t)} \right|^2} + {\mu _t}$ 在 $\mathcal{M}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ 中成立.

证 由引理 3.1, 引理 3.2 和引理 3.4, 存在定义在 $\mathcal{Q}$ 上的 $u_{k}$, 非负 Radon 测度 $\tilde{\mu}$ 和定义在 $\mathbb{R}^{n}$ 上的 $\tilde{\mu}_{t}$, 使得当 $k \to \infty$ 时, 有 $\left|\nabla u_{k}\right|^{2} \rightharpoonup |\nabla \bar{u}|^{2}+\tilde{\mu}$ 在 $\mathcal{M}(\mathcal{Q})$ 中成立. 并且, 对几乎所有 $t \in (-\infty, 0),$ 有 $\left|\nabla u_{k}(\cdot, t)\right|^{2} \rightharpoonup |\nabla \bar{u}(\cdot, t)|^{2}+\tilde{\mu}_{t}$ 在 $\mathcal{M}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ 成立. 接下来, 我们即将分别证明 $\mu=\tilde{\mu}$ 和 $\mu_{t}=\tilde{\mu}_{t}$ 在 $t \in(-\infty, 0)$ 时几乎处处成立.

首先, 为证明 $\mu=\tilde{\mu}$, 通过 Radon 测度的内、外正则性 (见文献 [8,定理 1.8]) 和 $C^{\infty}$-Urysohn 引理 (见文献 [10,第 245 页]), 只需证明

$\iint_{\mathcal{Q}} \varphi d \tilde{\mu}=\iint_{\mathcal{Q}} \varphi {\rm d}\mu \quad \mbox {对任意 } \varphi \in C_{0}^{2,1}(\mathcal{Q}).$

对 (2.5) 等式两边同乘 $\varphi u_{k}$ 并积分, 通过分部积分可得

$\begin{align*} &\iint u_{k} \varphi \partial_{t} u_{k}+\iint\left|\nabla u_{k}\right|^{2} \varphi+\iint u_{k} \nabla \varphi \cdot \nabla u_{k}\\ =&\iint\left|u_{k}\right|^{p+1} \varphi-a{T_k}\iint|u_{k}|^{2}\varphi, \end{align*}$

其中, 当没有歧义时我们一般记 $\iint(\cdots)=\iint_{\mathcal{Q}}(\cdots){\rm d}x{\rm d}t$. 由 Hölder 不等式, 并因为 $2<p+1$, 所以同时利用引理 3.1 $(2)$ 和 $(3)$ 可知

$\begin{aligned} & \left|\iint u_{k} \varphi \partial_{t} u_{k}-\iint \bar{u} \varphi \partial_{t} \bar{u}\right| \\ \leqslant& \left(\iint\left|u_{k}-\bar{u}\right|^{2}|\varphi|\right)^{\frac{1}{2}}\left(\iint\left|\partial_{t} u_{k}\right|^{2}|\varphi|\right)^{\frac{1}{2}}+\left|\iint \bar{u} \varphi\left(\partial_{t} u_{k}-\partial_{t} \bar{u}\right)\right| \to 0. \end{aligned}$

同理 $\iint u_{k} \nabla \varphi \cdot \nabla u_{k} \to \iint \bar{u} \nabla \varphi \cdot \nabla \bar{u}$. 其次, 由 $\tilde{\mu}$ 的定义和引理 3.4 $(1)$, 可以得到

$\iint \bar{u} \varphi \partial_{t} \bar{u}+\iint|\nabla \bar{u}|^{2} \varphi+\iint_{\mathcal{Q}} \varphi d \tilde{\mu}+\iint \bar{u} \nabla \varphi \cdot \nabla \bar{u}=\iint|\bar{u}|^{p+1} \varphi+\iint_{\mathcal{Q}} \varphi {\rm d}\mu.$

事实上, 上式为对 (*) 式求极限而得. 其中, 当 $k \to \infty$, 有 $T_{k} \to 0,\iint |u_k|^{2}\varphi \to \iint |\bar{u}|^{2}\varphi.$ 且由 $\bar{u} \in L_{\rm loc}^2(\mathcal{Q})$ 可知 $\iint |\bar{u}|^{2}\varphi \leqslant C.$ 因此, $aT_{k}\iint |u_k|^{2}\varphi \to 0.$

最后, 只需检验

$\iint \bar{u} \varphi \partial_{t} \bar{u}+\iint|\nabla \bar{u}|^{2} \varphi+\iint \bar{u} \nabla \varphi \cdot \nabla \bar{u}=\iint|\bar{u}|^{p+1} \varphi.$

令 $\tilde{\varphi} \in C_{0}^{2,1}(\mathcal{Q})$. 对 (2.5) 式两边同乘 $\tilde{\varphi}$ 并积分, 通过分部积分可得

$ \iint \tilde{\varphi} \partial_{t} u_{k}+\iint \nabla \tilde{\varphi} \cdot \nabla u_{k}=\iint\left|u_{k}\right|^{p-1} u_{k} \tilde{\varphi}-a{T_k}\iint|u_{k}|^{2}\tilde{\varphi}, $

因为 $p<p+1$, 所以由引理 (3.1) $(3)$ 可得

$ \begin{aligned} & \left|\iint\left(\left|u_{k}\right|^{p-1} u_{k}-|\bar{u}|^{p-1} \bar{u}\right) \tilde{\varphi}\right| \\ & \leqslant C\left(\iint\left|u_{k}-\bar{u}\right|^{p}|\tilde{\varphi}|\right)^{\frac{1}{p}}\left(\iint\left(\left|u_{k}\right|+|\bar{u}|\right)^{p}|\tilde{\varphi}|\right)^{\frac{p-1}{p}} \to 0. \end{aligned} $

令 $k \to \infty$, 将 $\varphi u_{k}$ 代入 $\tilde{\varphi}$, 可以得到

$\begin{align*} \iint \varphi u_{k} \partial_{t} \bar{u}+\iint u_{k} \nabla \varphi \cdot \nabla \bar{u} +\iint \varphi \nabla u_{k} \cdot \nabla \bar{u}=\iint|\bar{u}|^{p-1} \bar{u} u_{k} \varphi. \end{align*}$

事实上, 当 $k \to \infty$, 有 $T_{k} \to 0,\iint |u_k|^{2}\tilde{\varphi} \to \iint |\bar{u}|^{2}\tilde{\varphi}.$ 且由 $\bar{u} \in L_{\rm loc}^2(\mathcal{Q})$ 可知 $\iint |\bar{u}|^{2}\varphi \leqslant C.$ 因此, $aT_{k}\iint |u_k|^{2}\tilde{\varphi} \to 0.$ 由 $u_{k}$ 的弱收敛性可知 (**) 式左边收敛到 (3.3) 式左边. 因为 $u_{k} \in L_{\rm loc}^{p+1}(\mathcal{Q})$ 和 $|\bar{u}|^{p-1} \bar{u} \in L_{\rm loc}^{(p+1)/p}(\mathcal{Q})$, 由引理 3.1 $(1)$ 可证 (**) 式的右边也收敛到 (3.3) 式的右边, 所以 (3.3) 式成立, 则 (3.2) 式成立. 因此 $\mu=\tilde{\mu}$. 另外, 通过使用引理 3.2 相同的方法可证明 $\mu_{t}=\tilde{\mu}_{t}$ 在 $t \in(-\infty, 0)$ 时几乎处处成立.

下面我们证明 $\mu_{t}$ 的乘积测度与一维 Lebesgue 测度与时空缺陷测度 $\mu$ 一致.

引理3.6 对任意非负函数 $\varphi \in C_{0}(\mathcal{Q})$, 有

$\iint_{\mathcal{Q}} \varphi {\rm d}\mu=\int_{-\infty}^{0} \int_{\mathbb{R}^{n}} \varphi {\rm d}\mu_{t}{\rm d}t.$

特别地, ${\rm d}\mu={\rm d}\mu_{t}{\rm d}t$.

证 令

$e_{k}(x,t)\triangleq \frac{\left|\nabla u_{k}\right|^{2}}{2}-\frac{\left|u_{k}\right|^{p+1}}{p+1}, \quad \bar{e}(x,t)\triangleq \frac{|\nabla \bar{u}|^{2}}{2}-\frac{|\bar{u}|^{p+1}}{p+1}.$

由引理 3.4 和引理 3.5 可知, 对几乎所有 $t \in(-\infty,0),$ 当 $k \rightarrow \infty$ 时,

$\mbox{在 }\mathcal{M}\left(\mathbb{R}^{n}\right)\mbox{ 中 }e_{k}(\cdot, t){\rm d}x \rightharpoonup \bar{e}(\cdot, t){\rm d}x+c_{p} {\rm d}\mu_{t},$

并且

$\mbox{在 }\mathcal{M}(\mathcal{Q})\mbox{ 中 }e_{k} {\rm d}x{\rm d}t \rightharpoonup \bar{e} {\rm d}x{\rm d}t+c_{p} {\rm d}\mu,$

其中 $c_{p}\triangleq (p-1)/(2(p+1))$. 令 $\varphi \in C_{0}(\mathcal{Q})$. 定义

$f_{k}(t)\triangleq \int_{\mathbb{R}^{n}}|\varphi|^{2} e_{k}{\rm d}x,\quad f_{\infty}(t)\triangleq \int_{\mathbb{R}^{n}}|\varphi|^{2} \bar{e}{\rm d}x+c_{p} \int_{\mathbb{R}^{n}}|\varphi(x, t)|^{2} {\rm d}\mu_{t}.$

令 $R>0$, $t_{1}<t_{2}<0$ 满足 $\operatorname{supp} \varphi \subset B_{R} \times\left(t_{1}, t_{2}\right)$. 我们断言

$\lim _{k \rightarrow \infty} \int_{t_{1}}^{t_{2}} f_{k}(t){\rm d}t=\int_{t_{1}}^{t_{2}} f_{\infty}(t){\rm d}t.$

由 (3.4) 式, 对几乎所有 $t \in\left(t_{1}, t_{2}\right)$, 当 $k \to \infty$ 时, 有 $f_{k}(t) \to f_{\infty}(t)$. 选择 $k_{\varphi} \geqslant 1$, 使得对任意 $k \geqslant k_{\varphi}$, 有 $-T_{1} / T_{k}<t_{1}$ 成立. 由分部积分和 (2.5) 式可以证得

$\begin{aligned} \frac{{\rm d} f_{k}}{{\rm d} t}(t)=&2 \int_{\mathbb{R}^{n}} \varphi \varphi_{t} e_{k}{\rm d}x-2 \int_{\mathbb{R}^{n}} \varphi \partial_{t} u_{k} \nabla \varphi \cdot \nabla u_{k}{\rm d}x \hfill \\ &-\int_{\mathbb{R}^{n}}|\varphi|^{2}\left|\partial_{t} u_{k}\right|^{2}{\rm d}x -a{T}_{k}\int_{\mathbb{R}^{n}}u_{k}\partial_{t} u_{k}|\varphi|^{2}{\rm d}x.\end{aligned}$

并且对所有 $k \geqslant k_{\varphi}$ 和 $T_{k}^{-1}<t^{\prime \prime}<t^{\prime}<0$, 有

$f_{k}\left(t^{\prime}\right)-f_{k}\left(t^{\prime \prime}\right)=\int_{t^{\prime \prime}}^{t^{\prime}} \int_{\mathbf{R}^{n}}\left(2 \varphi \varphi_{t} e_{k}-2 \varphi \partial_{t} u_{k} \nabla \varphi \cdot \nabla u_{k}-|\varphi|^{2}\left|\partial_{t} u_{k}\right|^{2}-a{T}_{k}{u}_{k}\partial_{t}{{u}_{k}}|\varphi|^2\right).$

一方面, 我们给出 $f_{k}$ 的一致上界. 令 $t \in\left(t_{1}, t_{2}\right)$ 且 $k \geqslant k_{\varphi}$. 在 (3.7) 式中让 $t^{\prime}=t,$ $t^{\prime \prime}=$ $-T_{1} / T_{k}$, 再通过 $f_{k}$ 的定义和 Young 不等式可以得出

$\begin{aligned} f_{k}(t)=&f_{k}\left(-\frac{T_{1}}{T_{k}}\right)+\int_{-\frac{T_{1}}{T_{k}}}^{t} \int_{\mathbb{R}^{n}}(2 \varphi \varphi_{t} e_{k}-2 \varphi \partial_{t} u_{k} \nabla \varphi \cdot \nabla u_{k} \\ &-|\varphi|^{2}\left|\partial_{t} u_{k}\right|^{2}-a{T}_{k}{u}_{k}\partial_{t} {{u}_{k}}|\varphi|^2) \\ \leqslant & C_{\varphi} \int_{B_{R}}\left|\nabla u_{k}\left(x,-\frac{T_{1}}{T_{k}}\right)\right|^{2}{\rm d}x+C_{\varphi} \int_{t_{1}}^{t_{2}} \int_{B_{R}}\left(\left|\nabla u_{k}\right|^{2}+\left|u_{k}\right|^{p+1}\right) \\ &+ C_{\varphi}\int_{t_{1}}^{t_{2}}\int_{B_{R}}|u_k|^2, \end{aligned}$

其中 $C_{\varphi}>0$ 依赖于 $\varphi$ 但不依赖于 $k$ 和 $t$. 然后通过 (2.4) 式和引理 2.10 可以得到

$\begin{aligned} f_{k}(t) \leqslant & C_{\varphi}\left(-T_{k}\right)^{\frac{2}{p-1}+1} \int_{B_{R}}\left|\nabla u\left(\sqrt{-T_{k}} x, T_{1}\right)\right|^{2}{\rm d}x \\ &+C_{\varphi} +{C_\varphi }\int_{{t_1}}^{{t_2}}{(\int_{{B_R}} {|{u_k}{|^{p + 1}}{)^{\frac{2}{{p + 1}}}}} } \int_{{t_1}}^{{t_2}} {{C_R}}\\ \leqslant & C_{\varphi}\left(-T_{k}\right)^{\frac{2}{p-1}+1} \int_{B_{R}}\left|\nabla u\left(\sqrt{-T_{k}} x, T_{1}\right)\right|^{2}{\rm d}x+C_{\varphi}\\ \triangleq & C_{\varphi}\left(-T_{k}\right)^{\frac{2}{p-1}+1} I_{k}+C_{\varphi}. \end{aligned}$

接下来估计 $I_{k}$. 由 Lorentz 空间 (见文献 [15,命题 2.1]) 上的卷积不等式和变量替换得

$\begin{aligned} I_{k}= & \left(-T_{k}\right)^{-\frac{n}{2}} \int_{B \sqrt{-T_{k}} R}\left|\nabla u\left(y, T_{1}\right)\right|^{2}{\rm d}y \leqslant C \int_{\mathbb{R}^{n}}\left|\nabla u\left(y, T_{1}\right)\right|^{2} K_{(0,0)}\left(y, T_{k}\right){\rm d}y \\ \leqslant & C\left(\left(-\delta_{1}T_{1}\right)^{-\frac{n}{2q_{c}}-\frac{1}{2}}\left\|u\left(\cdot,\left(1+\delta_{1}\right) T_{1}\right)\right\|_{L^{q_{c}}\left(\mathbb{R}^{n}\right)}\right)^{2} \\ & +C\left(-T_{k}\right)^{-\frac{n}{2}}\left\|U_{2}\right\|_{L^{\frac{n(p-1)}{p+1}, \infty}\left(\mathbb{R}^{n}\right)}^{2}\left\|{\rm e}^{-\frac{|\cdot|^{2}}{8\left(-T_{k}\right)}}\right\|_{L^{\frac{2 n(p-1)}{n(p-1)-2(p+1)},2}{\left(\mathbb{R}^{n}\right)}}^{2}, \end{aligned}$

其中 $\delta_{1}$ 是 (2.14) 式中的常数, $U_{2}=|u|^p+|au|$. 然后, 由 $T_{1}<T_{k}<0$ 和类似于引理 2.3 的证明可得

$\begin{aligned} I_{k} & \leqslant C M^{2}\left(-\delta_{1} T_{1}\right)^{-\frac{2}{p-1}-1}+C \left(M^{2 p}+M^2\right)\left(-T_{k}\right)^{-\frac{2}{p-1}-1} \\ & \leqslant C\left(M^{2} \delta_{1}^{-\frac{2}{p-1}-1}+M^{2 p}+M^2 \right)\left(-T_{k}\right)^{-\frac{2}{p-1}-1}. \end{aligned}$

上述计算过程可以说明对所有 $t \in\left(t_{1}, t_{2}\right)$ 和 $k \geqslant k_{\varphi}$ 有 $f_{k}(t) \leqslant C_{\varphi}$ 成立. 需要注意的是, $C_{\varphi}$ 依赖于 $T_{1}$, 但是当 $k \geqslant 2$ 时, 不依赖于 $T_{k}$.

另一方面, 我们证明 $f_{k}$ 的一致下界. 令 $t \in\left(t_{1}, t_{2}\right)$, $k \geqslant k_{\varphi}$. 因为当 $k \to \infty$ 时, 有 $T_{k} \to 0$, 所以存在 $k^{\prime} \geqslant k$ 使得 $t_{2}<-T_{k^{\prime}} / T_{k}<0$. 在 (3.7) 式中令 $t^{\prime}=-T_{k^{\prime}} / T_{k}$ 和 $t^{\prime \prime}=t$, 然后再运用 $\operatorname{supp} \varphi \subset B_{R} \times\left(t_{1}, t_{2}\right)$, 我们可以得到

$\begin{aligned} f_{k}(t) = & f_{k}\left(-\frac{T_{k^{\prime}}}{T_{k}}\right)-\int_{t}^{-\frac{T_{k^{\prime}}}{T_{k}}} \int_{\mathbb{R}^{n}} \bigg(2 \varphi \varphi_{t} e_{k} -2 \varphi \partial_{t} u_{k} \nabla \varphi \cdot \nabla u_{k} \\ &-|\varphi|^{2}\left|\partial_{t} u_{k}\right|^{2} -a{T}_{k}{u}_{k}\partial_{t} {{u}_{k}}|\varphi|^2\bigg) \\ \geqslant & {-C}_{\varphi} \int_{B_{R}}\left|u_{k}\left(x,-\frac{T_{k^{\prime}}}{T_{k}}\right)\right|^{p+1}{\rm d}x-C_{\varphi} \int_{t_{1}}^{t_{2}} \int_{B_{R}}\bigg(\left|\nabla u_{k}\right|^{2}+\left|u_{k}\right|^{p+1}+|u_k|^{2}\bigg). \end{aligned}$

代换回原始变量并利用 Hölder 不等式可得

$\begin{aligned} f_{k}(t) &\geqslant-C_{\varphi}\left(-T_{k}\right)^{\frac{p+1}{p-1}} \int_{B_{R}}\left|u\left(\sqrt{-T_{k}} x, T_{k^{\prime}}\right)\right|^{p+1}{\rm d}x-C_{\varphi} \\ &\geqslant-C_{\varphi}\left(\int_{B_{\sqrt{-T_{k}} R}}\left|u\left(y,T_{k^{\prime}}\right)\right|^{q_{c}}{\rm d}y\right)^{\frac{p+1}{q_{c}}}-C_{\varphi} \geqslant-C_{\varphi}\left(M^{p+1}+1\right). \end{aligned}$

因此, $f_{k}(t) \geqslant-C_{\varphi}$.

最后, 结合前面证明而得的上界和下界, 我们可以得到对所有 $t \in\left(t_{1}, t_{2}\right)$ 和 $k \geqslant k_{\varphi}$ 有 $\left|f_{k}(t)\right| \leqslant C_{\varphi}$ 成立. 由 Lebesgue 控制收敛定理可证得 (3.6) 式. 因此, 当 $k \to \infty$ 时, 对任意非负 $\tilde{\varphi} \in C_{0}(\mathcal{Q})$ 有

$\iint_{\mathcal{Q}} \tilde{\varphi} e_{k} {\rm d}x{\rm d}t \to \iint_{\mathcal{Q}} \tilde{\varphi} \bar{e} {\rm d}x{\rm d}t+c_{p} \int_{-\infty}^{0} \int_{\mathbb{R}^{n}} \tilde{\varphi} {\rm d}\mu_{t}{\rm d}t. $

再结合 (3.5) 式和 $\mathcal{M}(\mathcal{Q})$ 中弱极限的唯一性可证得本引理.

因为 $a\leq0$, 所以我们可用与文献 [19,引理 5.10,第 5.3 节] 相同的方法可以证明 $\bar{u}$ 的反向自相似性 (也可见文献 [23,定理 8.1]).

引理3.7 对几乎所有 $(x, t) \in \mathcal{Q}$, 爆破解 $\bar{u}$ 满足: 对任意 $\lambda>0$, 有

$\bar{u}(x, t)=\lambda^{\frac{2}{p-1}} \bar{u}\left(\lambda x, \lambda^{2} t\right).$

下面我们证明 $\mu$ 在下述意义下也是反向自相似的. 当 $a=0$ 时, 文献 [20], [28] 已有相关结论, 当 $a\leq 0$ 时, 我们给出下述引理及证明.

引理3.8 对任意 $\lambda>0$, $\varphi \in C_{0}^{\infty}(\mathcal{Q})$ 满足 $0 \leqslant \varphi \leqslant 1$, 有缺陷测度 $\mu$ 满足

$\begin{aligned}& \iint_{\mathcal{Q}}(-t)^{\frac{p+1}{p-1}} K_{(0,0)}(x, t) \varphi(x, t) {\rm d}\mu \\=& \lambda^{-2} \iint_{\mathcal{Q}}(-t)^{\frac{p+1}{p-1}} K_{(0,0)}(x, t) \varphi\left(\frac{x}{\lambda}, \frac{t}{\lambda^{2}}\right) {\rm d}\mu.\end{aligned}$

证 令 $\varphi \in C_{0}^{\infty}(\mathcal{Q})$ 满足 $0 \leqslant \varphi \leqslant 1$. 挑选 $R>0$ 和 $t_{1}<t_{2}<0$ 使得 $\operatorname{supp} \varphi \subset B_{R} \times\left(t_{1}, t_{2}\right)$. 对任意 $k \geqslant 1$ 和 $\lambda>0$, 构造

$\begin{aligned} g_{k}(\lambda)\triangleq & \lambda^{-n-2} \iint_{\mathcal{Q}}(-t)^{\frac{2}{p-1}+1}\left(\frac{\left|\nabla u_{k}(x, t)\right|^{2}}{2}-\frac{\left|u_{k}(x, t)\right|^{p+1}}{p+1}\right. \\ & \left.+\frac{\left|u_{k}(x, t)\right|^{2}}{2(p-1)(-t)}\right) K_{(0,0)}\left(\frac{x}{\lambda}, \frac{t}{\lambda^{2}}\right) \varphi\left(\frac{x}{\lambda}, \frac{t}{\lambda^{2}}\right) {\rm d}x{\rm d}t. \end{aligned}$

由引理 3.1 $(3)$, 引理 3.4 $(1)$ 和引理 3.5 可得

$\begin{aligned} & \lim _{k \rightarrow \infty} g_{k}(\lambda)=\bar{g}(\lambda)+c_{p} \lambda^{-n-2} \iint_{\mathcal{Q}}(-t)^{\frac{2}{p-1}+1} K_{(0,0)}\left(\frac{x}{\lambda}, \frac{t}{\lambda^{2}}\right) \varphi\left(\frac{x}{\lambda}, \frac{t}{\lambda^{2}}\right) {\rm d}\mu, \\ & \lim _{k \rightarrow \infty} g_{k}(1)=\bar{g}(1)+c_{p} \iint_{\mathcal{Q}}(-t)^{\frac{p+1}{p-1}} K_{(0,0)}(x, t) \varphi(x, t) {\rm d}\mu, \end{aligned}$

其中 $c_{p}\triangleq (p-1) /(2(p+1)).$

$\begin{aligned} \bar{g}(\lambda) \triangleq & \lambda^{-n-2} \iint_{\mathcal{Q}}(-t)^{\frac{2}{p-1}+1}\left(\frac{|\nabla \bar{u}(x, t)|^{2}}{2}-\frac{|\bar{u}(x, t)|^{p+1}}{p+1}+\frac{|\bar{u}(x, t)|^{2}}{2(p-1)(-t)}\right) \\ & \times K_{(0,0)}\left(\frac{x}{\lambda}, \frac{t}{\lambda^{2}}\right) \varphi\left(\frac{x}{\lambda}, \frac{t}{\lambda^{2}}\right) {\rm d}x{\rm d}t. \end{aligned}$

因为 $g_{k}(\lambda)$ 和 $g_{k}(1)$ 存在, 又由引理 3.7 可知 $\bar{g}(\lambda)=$ $\bar{g}(1)$, 所以只需证明对任意 $\lambda>0$, 有

$\lim _{k \rightarrow \infty}\left|g_{k}(\lambda)-g_{k}(1)\right|=0,$

就可以证明本引理成立. 定义 $u_{k}^{\lambda}(y, s)\triangleq \lambda^{2 /(p-1)} u_{k}\left(\lambda y, \lambda^{2} s\right)$, 则它满足

${\partial _s}u_k^\lambda - \Delta u_k^\lambda = |u_k^\lambda {|^{p - 1}}u_k^\lambda - a{T_k}{\lambda ^2}u_k^\lambda.$

所以有

$\begin{aligned} g_{k}(\lambda)= & \iint_{\mathcal{Q}}(-s)^{\frac{2}{p-1}+1}\left(\frac{\left|\nabla u_{k}^{\lambda}(y, s)\right|^{2}}{2}-\frac{\left|u_{k}^{\lambda}(y, s)\right|^{p+1}}{p+1}+\frac{\left|u_{k}^{\lambda}(y, s)\right|^{2}}{2(p-1)(-s)}\right) \\ & \times K_{(0,0)}(y, s) \varphi(y, s) {\rm d}y{\rm d}s. \end{aligned}$

对 $g_{k}(\lambda)$ 关于 $\lambda$ 求微分, 通过分部积分和 $u_{k}^{\lambda}$ 满足的方程可知

$\begin{aligned}\frac{{\rm d} g_{k}}{{\rm d} \lambda}= & \iint_{\mathcal{Q}}(-s)^{\frac{2}{p-1}+1}\left(\nabla u_{k}^{\lambda} \cdot \nabla \frac{{\rm d} u_{k}^{\lambda}}{{\rm d} \lambda}-\left|u_{k}^{\lambda}\right|^{p-1} u_{k}^{\lambda} \frac{{\rm d} u_{k}^{\lambda}}{{\rm d} \lambda}\right. \\& \left.+\frac{u_{k}^{\lambda}}{(p-1)(-s)} \frac{{\rm d} u_{k}^{\lambda}}{{\rm d} \lambda}\right) K_{(0,0)} \varphi {\rm d}y{\rm d}s \\= & \iint_{\mathcal{Q}}(-s)^{\frac{2}{p-1}} S_{(0,0)}\left[u_{k}^{\lambda}\right](y, s) \frac{{\rm d} u_{k}^{\lambda}}{{\rm d} \lambda} K_{(0,0)}(y, s) \varphi(y, s) {\rm d}y{\rm d}s \\& -\iint_{\mathcal{Q}}(-s)^{\frac{2}{p-1}+1} \frac{{\rm d} u_{k}^{\lambda}}{{\rm d} \lambda}\left(\nabla u_{k}^{\lambda} \cdot \nabla \varphi\right) K_{(0,0)} {\rm d}y{\rm d}s\\&-a{T}_{k}{\lambda}^{2}\iint_{\mathcal{Q}} {{{( - s)}^{\frac{2}{{p - 1}} + 1}}}u_k^\lambda \frac{{{\rm d}u_k^\lambda }}{{{\rm d}\lambda }}{K_{(0,0)}}\varphi {\rm d}y{\rm d}s \\\triangleq & I_{k}(\lambda)-O_{k}(\lambda)-L_{k}(\lambda),\end{aligned}$

其中 $S$ 由注 2.1 已给出.

接下来, 首先计算 $I_{k}(\lambda)$. 由 $\operatorname{supp} \varphi \subset \mathbb{R}^{n} \times\left(t_{1}, t_{2}\right)$ 和

$\left\{\begin{array}{l}\frac{d u_{k}^{\lambda}}{d \lambda}(y, s)=2 \lambda^{\frac{2}{p-1}-1} S_{(0,0)}\left[u_{k}\right]\left(\lambda y, \lambda^{2} s\right) \\\partial_{s} u_{k}^{\lambda}(y, s)=\lambda^{\frac{2}{p-1}+2} \partial_{t} u_{k}\left(\lambda y, \lambda^{2} s\right) \\\nabla u_{k}^{\lambda}(y, s)=\lambda^{\frac{2}{p-1}+1} \nabla u_{k}\left(\lambda y, \lambda^{2} s\right)\end{array}\right.$

可得

$\begin{aligned} I_{k}(\lambda) & =\frac{2}{\lambda} \int_{t_{1}}^{t_{2}} \int_{\mathbb{R}^{n}}\left(-\lambda^{2} s\right)^{\frac{2}{p-1}}\left|S_{(0,0)}\left[u_{k}\right]\left(\lambda y, \lambda^{2} s\right)\right|^{2} K_{(0,0)}(y, s) \varphi(y,s){\rm d}y{\rm d}s \\ & =\frac{2}{\lambda^{3}} \int_{\lambda^{2} t_{1}}^{\lambda^{2} t_{2}} \int_{\mathbb{R}^{n}}(-t)^{\frac{2}{p-1}}\left|S_{(0,0)}\left[u_{k}\right](x, t)\right|^{2} K_{(0,0)}(x, t) \varphi\left(\frac{x}{\lambda}, \frac{t}{\lambda^{2}}\right) {\rm d}x{\rm d}t. \end{aligned}$

特别地, 注意到 $I_{k}(\lambda) \geqslant 0$. 因为 $0 \leqslant \varphi \leqslant 1$, 我们可以得到

$\begin{aligned}0 & \leqslant I_{k}(\lambda) \leqslant \tilde{I}_{k}(\lambda) \\& \triangleq \frac{2}{\lambda^{3}} \int_{\lambda^{2} t_{1}}^{\lambda^{2} t_{2}} \int_{\mathbb{R}^{n}}(-t)^{\frac{2}{p-1}}\left|S_{(0,0)}\left[u_{k}\right](x, t)\right|^{2} K_{(0,0)}(x,t){\rm d}x{\rm d}t.\end{aligned}$

通过注 2.1, 引理 2.7, $\tau=-\log (-t)$, 以及 $J_{k}(\tau)=E_{k}(t)$, 有

$\begin{aligned} 0 & \leqslant I_{k}(\lambda) \leqslant \tilde{I}_{k}(\lambda) \leqslant \frac{2}{\lambda^{3}} \int_{-\log \left(-\lambda^{2} t_{1}\right)}^{-\log \left(-\lambda^{2} t_{2}\right)}\left(-\frac{{\rm d} J_{k}}{{\rm d} \tau}(\tau)-\frac{a}{2}{\rm e}^{-\tau}\int_{\mathbb{R}^{n}}|\omega_k|^{2}\rho{\rm d}\eta\right) {\rm e}^{-\tau} {\rm d}\tau \\ & \leqslant \frac{-2 t_{1}}{\lambda} \int_{-\log \left(-\lambda^{2} t_{1}\right)}^{-\log \left(-\lambda^{2} t_{2}\right)}\left(-\frac{{\rm d} J_{k}}{{\rm d} \tau}(\tau) \right) {\rm d}\tau=\frac{-2 t_{1}}{\lambda}\left(E_{k}\left(\lambda^{2} t_{1}\right)-E_{k}\left(\lambda^{2} t_{2}\right)\right). \end{aligned}$

接下来, 考虑 $\lambda>1$ 时的情况, $0<\lambda<1$ 时的情况可以以相同的方式解决. 按照引理 2.11 的证明, 让 $k \rightarrow \infty$ 可得

$\begin{aligned}0 & \leqslant \int_{1}^{\lambda} I_{k}(l){\rm d}l \leqslant \int_{1}^{\lambda} \tilde{I}_{k}(l){\rm d}l \\& \leqslant -2 t_{1} \int_{1}^{\lambda} \frac{1}{l}\left(E_{k}\left(l^{2} t_{1}\right)-E_{k}\left(l^{2} t_{2}\right)\right){\rm d}l \rightarrow 0.\end{aligned}$

对于 $O_{k}(\lambda)$, 与文献 [20] 一样, 我们可证明

$0 \leqslant \int_{1}^{\lambda}\left|O_{k}(l)\right| {\rm d} l \rightarrow 0.$

最后, 考虑 $L_k(\lambda)$. 由 $\operatorname{supp} \varphi \subset \mathbb{R}^{n} \times\left(t_{1}, t_{2}\right)$, (3.13) 式并结合变量替换 $x=\lambda y,t={\lambda}^{2}s$ 可得

$\begin{aligned} {L_k}(\lambda )=& a{T_k}{\lambda ^2}\int_{{t_1}}^{{t_2}} {\int_{{B_R}} {{{( - s)}^{\frac{2} {{p - 1}} + 1}}} } u_k^\lambda (y,s)\frac{{{\rm d}u_k^\lambda }}{{{\rm d}\lambda }}{K_{(0,0)}}\varphi {\rm d}y{\rm d}s \hfill \\ =& 2a{T_k}{\lambda ^2}\int_{{t_1}}^{{t_2}} {\int_{{B_R}} {{{( - s)}^{\frac{2}{{p - 1}} + 1}}} } {\lambda ^{\frac{2}{{p - 1}} - 1}}{S_{(0,0)}}[{u_k}](\lambda y,{\lambda ^2}s)u_k^\lambda {K_{(0,0)}}(y,s)\varphi (y,s){\rm d}y{\rm d}s \hfill \\ =& 2a{T_k}\int_{{t_1}}^{{t_2}} {\int_{{B_R}} {{{( - {\lambda ^2}s)}^{\frac{2}{{p - 1}} + 1}}} } {\lambda ^{ - 2(\frac{2}{{p - 1}} + 1)}}{\lambda ^{\frac{2}{{p - 1}} - 1}}{\lambda ^2}{\lambda ^{\frac{2}{{p - 1}}}}{u_k}(\lambda y,{\lambda ^2}s)\\ &\times {S_{(0,0)}}[{u_k}](\lambda y,{\lambda ^2}s) \cdot \varphi (y,s) \cdot {K_{(0,0)}}(y,s){\rm d}y{\rm d}s \hfill \\ =& 2a{T_k}\int_{{\lambda ^2}{t_1}}^{{\lambda ^2}{t_2}} {\int_{{B_{\lambda R}}} {{{( - t)}^{\frac{2} {{p - 1}} + 1}}} } {\lambda ^{ - 1}}{u_k}(x,t){S_{(0,0)}}[{u_k}](x,t)\\ &\times \varphi (\frac{x}{\lambda },\frac{t}{{{\lambda ^2}}}) \cdot {\lambda ^n}{K_{(0,0)}}(x,t) \cdot {\lambda ^{ - n}}{\lambda ^{ - 2}}{\rm d}x{\rm d}t \hfill \\ =& \frac{{2a{T_k}}}{{{\lambda ^3}}}\int_{{\lambda ^2}{t_1}}^{{\lambda ^2}{t_2}} {\int_{{B_{\lambda R}}} {{{( - t)}^{\frac{2}{{p - 1}} + 1}}} } {u_k}(x,t){S_{(0,0)}}[{u_k}](x,t)\varphi (\frac{x}{\lambda },\frac{t} {{{\lambda ^2}}}){K_{(0,0)}}(x,t){\rm d}x{\rm d}t. \hfill \\ \end{aligned}$

由 Hölder 不等式和 (3.12) 式中 $\tilde{I}_{k}(\lambda)$ 的定义可以证得

$\begin{aligned} |{L_k}(\lambda )|=& |\frac{{2a{T_k}}}{{{\lambda ^3}}}\int_{{\lambda ^2}{t_1}}^{{\lambda ^2}{t_2}} {\int_{{B_{\lambda R}}} {{{( - t)}^{\frac{1}{{p - 1}}}}} } {S_{(0,0)}}[{u_k}](x,t)K_{(0,0)}^{\frac{1} {2}} \hfill \\ & \times {( - t)^{\frac{1}{{p - 1}} + 1}}{u_k}(x,t)\varphi (\frac{x}{\lambda },\frac{t}{{{\lambda ^2}}})K_{(0,0)}^{\frac{1}{2}}{\rm d}x{\rm d}t| \hfill \\ \leqslant & |\frac{{2a{T_k}}}{{{\lambda ^3}}}| \cdot {(\frac{{{\lambda ^3}{{\tilde I}_k}}}{2})^{\frac{1} {2}}}{(\int_{{\lambda ^2}{t_1}}^{{\lambda ^2}{t_2}} {\int_{{B_{\lambda R}}} {{{( - t)}^{\frac{1}{{p - 1}} + 2}}} } |{u_k}{|^2}|\varphi (\frac{x}{\lambda },\frac{t}{{{\lambda ^2}}}){|^2}{K_{(0,0)}}{\rm d}x{\rm d}t)^{\frac{1} {2}}} \hfill \\ \leqslant & \frac{{C{T_k}}}{{{\lambda ^{\frac{3}{2}}}}}{({{\tilde I}_k}(\lambda ))^{\frac{1} {2}}}{(\int_{{\lambda ^2}{t_1}}^{{\lambda ^2}{t_2}} {\int_{{B_{\lambda R}}} {{{( - t)}^{\frac{1} {{p - 1}} + 2}}} } |{u_k}{|^2}{K_{(0,0)}}{\rm d}x{\rm d}t)^{\frac{1}{2}}}. \hfill \\ \end{aligned}$

再由 (2.21) 式可得

$\begin{aligned} &\int_{{\mathbb{R}^n}} {{{( - t)}^{\frac{2}{{p - 1}}}}|{u_k}(x,t){|^2}{{\rm e}^{ - \frac{{|x{|^2}}}{{4( - t)}}}}{{( - t)}^{ - \frac{n}{2}}}{\rm d}x \leqslant C}, \hfill \\ &\int_{{\mathbb{R}^n}} {|{u_k}(x,t){|^2}{K_{(0,0)}}(x,t){{( - t)}^{\frac{2} {{p - 1}}}}{\rm d}x \leqslant C}. \hfill \\ \end{aligned}$

代入到 $|{L_k}(\lambda )|$ 得

$\begin{aligned} & \int_{{\lambda ^2}{t_1}}^{{\lambda ^2}{t_2}} {\int_{{B_{\lambda R}}} {{{( - t)}^{\frac{1} {{p - 1}} + 2}}|{u_k}{|^2}} } {K_{(0,0)}}(x,t){\rm d}x{\rm d}t \hfill \\ &= \int_{{\lambda ^2}{t_1}}^{{\lambda ^2}{t_2}} {{{( - t)}^2}\int_{{B_{\lambda R}}} {{{( - t)}^{\frac{2} {{p - 1}}}}} } |{u_k}{|^2}{K_{(0,0)}}(x,t){\rm d}x{\rm d}t \hfill \\ &\leqslant C\int_{{\lambda ^2}{t_1}}^{{\lambda ^2}{t_2}} {{t^2}}{\rm d}t = C{\lambda ^6}(t_2^3 - t_1^3) \leqslant C{\lambda ^6}. \hfill \\ \end{aligned}$

进一步, 有

$|{L_k}(\lambda )| \leqslant \frac{{C{T_k}}}{{{\lambda ^{\frac{3}{2}}}}}{({\tilde I_k}(\lambda ))^{\frac{1}{2}}}{\lambda ^3} = C{T_k}{\lambda ^{\frac{3}{2}}}.$

因此, 由 (3.13) 式可得当 $k \rightarrow \infty$ 时, 有

$\begin{aligned} 0 \leqslant \int_1^\lambda {|{L_k}(\lambda )|}{\rm d}l &\leqslant C{T_k}\int_1^\lambda {{l^{\frac{3}{2}}}{{({{\tilde I}_k}(l))}^{\frac{1}{2}}}}{\rm d}l \hfill \\ &\leqslant C{T_k}{\lambda ^{\frac{3}{2}}}\int_1^\lambda {{{({{\tilde I}_k}(l))}^{\frac{1}{2}}}}{\rm d}l \hfill \\ &\leqslant C{T_k}{\lambda ^{\frac{3}{2}}}{(\lambda - 1)^{\frac{1}{2}}}{(\int_1^\lambda {{{\tilde I}_k}(l)}{\rm d}l)^{\frac{1}{2}}} \to 0. \hfill \\ \end{aligned}$

综上所述, 结合 (3.10) 和 (3.13) 式可以证得当 $k \rightarrow \infty$ 时, 对任意 $\lambda>1$, 有

$\left|g_{k}(\lambda)-g_{k}(1)\right|=\left|\int_{1}^{\lambda} I_{k}(l){\rm d}l-\int_{1}^{\lambda}O_{k}(l){\rm d}l-\int_{1}^{\lambda}L_{k}(l){\rm d}l\right| \rightarrow 0.$

即当 $\lambda>1$ 时 (3.9) 式成立. 类似地, 当 $0<\lambda<1$ 时 (3.9) 式也成立.

命题 3.1 的证明 令 $\lambda>0$, 对 $R_{2}>R_{1}>0$ 和 $t_{1}<t_{2}<t_{3}<t_{4}<0$, 挑选 $\varphi \in C_{0}^{\infty}(\mathcal{Q})$ 满足 $0 \leqslant \varphi \leqslant 1,$ 且

$\varphi = \left\{ \begin{aligned} 1,\quad &(x,t) \in B_{R_{1}} \times\left(t_{2}, t_{3}\right),\hfill \\ 0,\quad &(x,t) \notin B_{R_{2}} \times\left(t_{1}, t_{4}\right).\hfill \\ \end{aligned} \right.$

然后, 由引理 3.6 和 Fubini 定理可以让 (3.8) 式中不等号左边可放缩为

$\begin{aligned} \iint_{\mathcal{Q}}(-t)^{\frac{p+1}{p-1}} K_{(0,0)}(x, t) \varphi(x, t) {\rm d}\mu & \geqslant \int_{t_{2}}^{t_{3}} \int_{B_{R_{1}}}(-t)^{\frac{p+1}{p-1}-\frac{n}{2}} {\rm e}^{-\frac{|x|^{2}}{4(-t)}} \varphi(x, t) {\rm d}\mu_{t} {\rm d} t \\ & \geqslant \int_{t_{2}}^{t_{3}}(-t)^{\frac{p+1}{p-1}-\frac{n}{2}} {\rm e}^{-\frac{R_{1}^{2}}{4(-t)}} \mu_{t}\left(B_{R_{1}}\right){\rm d}t. \end{aligned}$

让 (3.8) 式中不等号右边可放缩为

$\begin{aligned} & \lambda^{-2} \iint_{\mathcal{Q}}(-t)^{\frac{p+1}{p-1}} K_{(0,0)}(x,t) \varphi\left(\frac{x}{\lambda}, \frac{t}{\lambda^{2}}\right) {\rm d}\mu \\ &\leqslant \lambda^{-2} \int_{\lambda^{2} t_{1}}^{\lambda^{2} t_{4}} \int_{B_{\lambda R_{2}}}(-t)^{\frac{p+1}{p-1}-\frac{n}{2}} {\rm d}\mu_{t} d t=\lambda^{-2} \int_{\lambda^{2} t_{1}}^{\lambda^{2} t_{4}}(-t)^{\frac{p+1}{p-1}-\frac{n}{2}} \mu_{t}\left(B_{\lambda R_{2}}\right){\rm d}t \\ & =\lambda^{\frac{2(p+1)}{p-1}-n} \int_{t_{1}}^{t_{4}}(-s)^{\frac{p+1}{p-1}-\frac{n}{2}} \mu_{\lambda^{2} s}\left(B_{\lambda R_{2}}\right) {\rm d}s. \end{aligned}$

结合引理 3.8 可推出对任意 $t<0$ 和满足 $t+2 \delta<0$ 的 $\delta>0$, 有

$\int_{t_{2}}^{t_{3}}(-t)^{\frac{p+1}{p-1}-\frac{n}{2}} {\rm e}^{-\frac{R_{1}^{2}}{4(-t)}} \mu_{t}\left(B_{R_{1}}\right){\rm d}t \leqslant \lambda^{\frac{2(p+1)}{p-1}-n} \int_{t_{1}}^{t_{4}}(-t)^{\frac{p+1}{p-1}-\frac{n}{2}} \mu_{\lambda^{2} t}\left(B_{\lambda R_{2}}\right){\rm d}t$

和

$\begin{aligned} & \frac{1}{2 \delta} \int_{t-\delta}^{t+\delta}(-t)^{\frac{p+1}{p-1}-\frac{n}{2}} {\rm e}^{-\frac{R_{1}^{2}}{4(-t)}} \mu_{t}\left(B_{R_{1}}\right){\rm d}t \\ \leqslant& 2 \lambda^{\frac{2(p+1)}{p-1}-n} \frac{1}{4 \delta} \int_{t-2 \delta}^{t+2 \delta}(-t)^{\frac{p+1}{p-1}-\frac{n}{2}} \mu_{\lambda^{2} t}\left(B_{\lambda R_{2}}\right){\rm d}t. \end{aligned}$

令 $\delta \rightarrow 0$, 由 Lebesgue 微分定理可证, 对任意 $\lambda>0$, 有

${\rm e}^{-\frac{R_{1}^{2}}{4(-t)}} \mu_{t}\left(B_{R_{1}}\right) \leqslant 2 \lambda^{\frac{2(p+1)}{p-1}-n} \mu_{\lambda^{2} t}\left(B_{\lambda R_{2}}\right)$

在 $t \in(-\infty, 0)$ 上几乎处处成立. 令 $\lambda=(-t)^{-1/2}$, 因为引理 3.4 (1.2) 定义了 $\mu_{-1}=0$ 在 $\mathbb{R}^{n}$ 上, 所以我们有

$\mu_{t}\left(B_{R_{1}}\right) \leqslant 2(-t)^{\frac{n}{2}-\frac{p+1}{p-1}} {\rm e}^{\frac{R_{1}^{2}}{4(-t)}}\mu_{-1}\left(B_{R_{2}/\sqrt{-t}}\right)=0$

在 $t \in(-\infty, 0)$ 上几乎处处成立. 因此, 对任意 $R_{1}>0$, 有 $\mu\left(B_{R_{1}} \times(-\infty,0)\right) =\int_{-\infty}^{0}\mu_{t}\left(B_{R_{1}}\right){\rm d}t$ $=0$ 成立, 所以 $\mu=0$ 在 $\mathcal{Q}$ 上. 由引理 3.4 (1), 我们可以得到 $u_{k}\rightarrow \bar{u}$ 在 $L_{\rm loc}^{p+1}(\mathcal{Q})$ 上成立. 由引理 3.5, 我们可以得到当 $k\rightarrow\infty$ 时, 在 $L_{\rm loc }^{2}(\mathcal{Q})$ 中有 $\nabla u_{k}\rightarrow\nabla\bar{u}$. 命题得证.

4 改进的 $\varepsilon$-正则性

本节将证明 $\varepsilon$-正则性定理和类似的爆破极限的 $\varepsilon$-正则性. 在本节中, 对任意的 $(x, t) \in \mathbb{R}^{n+1}$ 和 $r>0$, 我们记 $Q_{r}(x, t) \triangleq B_{r}(x) \times\left(t-r^{2}, t\right)$ 以及 $Q_{r}\triangleq Q_{r}(0,0)$, 并且下述 $\delta_{1}$ 为 (2.14) 式中的常数.

定理4.1 令 $n \geqslant 3, p>p_{S}$, $u$ 为 (2.1) 式的 $L^{q_{c}}$-解且满足 (2.3) 式, 从而存在常数 $0<\varepsilon_{0}<1, A>1$, $C=C(n,p,M,\delta_{1})>0$ 使得如果有

$\delta^{\frac{4}{p-1}-n} \int_{-\delta^{2}}^{-\delta^{2} / 2} \int_{B_{A \delta}\left(x_{0}\right)}|u(x, t)|^{p+1} {\rm d}x{\rm d}t \leqslant \varepsilon_{0}$

对某些 $x_{0} \in \mathbb{R}^{n} $ 和 $0<\delta \leqslant \sqrt{-T_{1}}$ 成立, 则有

$\|u\|_{L^{\infty}\left(Q_{\delta / 16}\left(x_{0}, 0\right)\right)} \leqslant C \delta^{-\frac{2}{p-1}}. $

由平移不变性, 只要能证明 $x_{0}=0$ 的情况下成立就能证明定理 4.1 成立. 对任意 $\tilde{x} \in \mathbb{R}^{n}$, $-1<\tilde{t} \leqslant 0$ 以及 $\rho>0$, 构造

$I_{\rho}=I_{\rho}[u](\tilde{x}, \tilde{t})\triangleq (\rho / 2)^{\frac{4}{p-1}-n} \int_{\tilde{t}-\rho^{2} / 4}^{\tilde{t}-\rho^{2} / 16} \int_{B_{\rho / 2}(\tilde{x})}|u(x, t)|^{p+1}{\rm d}x{\rm d}t.$

我们回顾多维 $\varepsilon$-正则性 (见文献 [19]).

引理4.1 存在 $\varepsilon_{1}>0$, $C=C(n,p)>0$ 使得下述引理成立: 如果对任意 $\rho>0, \tilde{x} \in \mathbb{R}^{n}$ 和 $-1<\tilde{t} \leqslant 0$ 满足 $Q_{\rho}(\tilde{x}, \tilde{t}) \subset Q_{\delta / 2}$, 都存在 $\delta>0$ 使得 $I_{\rho}[u](\tilde{x}, \tilde{t}) \leqslant \varepsilon_{1},$ 则有 $\|u\|_{L^{\infty}\left(Q_{\delta / 16}\right)} \leqslant C \delta^{-2 /(p-1)}$.

证 运用抛物型 Morrey 空间 (见文献 [5,命题 4.1]) 的 $\varepsilon$-正则性, 细节参考文献 [19,引理 4.4].

在条件 (4.1) 中令 $x_{0}=0$ 可以推导出 $I_{\rho}$ 的估计, 其中常数 $0<\varepsilon_{0}<1$ 和 $A>1$ 将在后面确定.

引理4.2 对任意 $\rho>0, \tilde{x} \in \mathbb{R}^{n}$ 和 $-1<\tilde{t}\leqslant 0$ 满足 $Q_{\rho}(\tilde{x}, \tilde{t}) \subset Q_{\delta / 2}$, 存在 $C=C(n,p,M,\delta_{1})>0$ 使得

$I_{\rho}(\tilde{x}, \tilde{t}) \leqslant C h\left(\varepsilon_{0}+\mathcal{I}_{\delta}(\tilde{x}, \tilde{t})\right),$

其中

$ h(s)\triangleq s+s^{1/2(p+1)}, s\geqslant 0,$
$\mathcal{I}_{\delta}=\mathcal{I}_{\delta}(\tilde{x}, \tilde{t})\triangleq \delta^{\frac{4}{p-1}} \int_{-\delta^{2}}^{-\delta^{2} / 2} \int_{\mathbb{R}^{n} \backslash B_{A \delta}}|u(x, t)|^{p+1} K_{(\tilde{x},\tilde{t})}(x,t){\rm d}x{\rm d}t.$

同时我们还能得到 $\mathcal{I}_{\delta}$ 的估计. 在引理 4.3 和引理 4.4 的证明中, 由于 $a\leq 0$, 通过计算可知与之相关的项都可以放缩到小于等于 $0$, 其他项的估计参考文献 [20].

引理4.3 对任意 $\rho>0,\tilde{x} \in \mathbb{R}^{n}$ 和 $-1<\tilde{t} \leqslant 0$ 满足 $Q_{\rho}(\tilde{x}, \tilde{t}) \subset Q_{\delta / 2}$, 存在 $C=C(n,p,M,$ $\delta_{1})>0,$ 使得

$\mathcal{I}_{\delta}(\tilde{x}, \tilde{t}) \leqslant C {\rm e}^{-\frac{A^{2}}{C}}.$

定理 4.1 的证明 由引理 4.3 和引理 4.4 可知, 如果 $Q_{\rho}(\tilde{x}, \tilde{t}) \subset Q_{\delta / 2}$, 对任意 $0<\varepsilon_{0}<1$ 和 $A>1$, 存在 $\tilde{C}> 0$ 满足 $I_{\rho}(\tilde{x}, \tilde{t}) \leqslant \tilde{C} h\left(\varepsilon_{0}\right)+\tilde{C} h\left({\rm e}^{-A^{2} / \tilde{C}}\right)$, 其中 $\tilde{C}$ 不依赖于 $\delta$. 对引理 4.1 中的 $\varepsilon_{1}$, 挑选 $0<\varepsilon_{0}<1$ 和 $A>1$ 使得 $\tilde{C} h\left(\varepsilon_{0}\right)<\varepsilon_{1} / 2$ 和 $\tilde{C} h\left({\rm e}^{-A^{2} / \tilde{C}}\right)< \varepsilon_{1} / 2$ 成立. 然后, 如果 $Q_{\rho}(\tilde{x}, \tilde{t}) \subset Q_{\delta / 2}$, 就有 $I_{\rho}(\tilde{x}, \tilde{t}) \leqslant \varepsilon_{1}$. 因此可以使用引理 4.1 从而得到 $\|u\|_{L^{\infty}\left(Q_{\delta / 16}\right)} \leqslant C \delta^{-2 /(p-1)}$. 该定理得证.

用类似于定理 4.1 的方法, 我们证明了命题 3.1 中给出的爆破极限 $\bar{u}$ 的 $\varepsilon$-正则性.

引理4.4 存在常数 $0<\varepsilon_{*}<1, A>1$ 和 $C=C(n,p,M,\delta_{1})>0$ 使得: 如果对某些 $0<\delta \leqslant \sqrt{-T_{1}}$ 和 $\left(x_{0}, t_{0}\right) \in \mathbb{R}^{n} \times(-\infty, 0]$, 有

$\delta^{\frac{4}{p-1}-n} \int_{t_{0}-\delta^{2}}^{t_{0}-\delta^{2} / 2} \int_{B_{A \delta}\left(x_{0}\right)}|\bar{u}|^{p+1} {\rm d}x{\rm d}t \leqslant \varepsilon_{*}$

成立, 那么就有

$\|\bar{u}\|_{L^{\infty}\left(Q_{\delta/16}\left(x_{0},t_{0}\right)\right)}\leqslant C \delta^{-\frac{2}{p-1}}.$

证 通过平移不变性, 只需证明 $\left(x_{0}, t_{0}\right)=(0,0)$ 的情况即可. 证明的方法与定理 4.1 相同. 因为将 $I_{\rho}[u]$ 替换成 $I_{\rho}[\bar{u}]$ 引理 4.1 依旧成立, 所以我们对 $I_{\rho}\left[u_{k}\right]$ 展开关于 $k$ 的一致估计. 在得出估计后, 再令 $k \rightarrow \infty$ 取极限即可.

5 定理1.1的证明

本节主要证明定理 1.1. 令 $u$ 是满足 (2.1) 式的解, 我们用反证法证明结论. 下述 $\delta_{1}$ 和 $\varepsilon_{0}$ 分别是 (2.14) 式和定理 4.1 中的常数.

引理5.1 假设 (2.3) 式. 令 $0<\delta \leqslant \sqrt{-T_{1}}$. 则存在由 $\delta$ 和 $\varepsilon_{0}$ 决定的 $R>1$, 使得

$|u(x, t)| \leqslant C \delta^{-\frac{2}{p-1}}, \quad x \in \mathbb{R}^{n} \backslash B_{R},-\frac{\delta^{2}}{256}<t<0,$

其中常数 $C=C(n,p,M,\delta_{1})>0.$

证 令 $0<\delta \leqslant \sqrt{-T_{1}}$, 通过 (2.2) 式, 我们有 $u \in L^{q_{c}}\left(\mathbb{R}^{n} \times\left(-\delta^{2},-\delta^{2}/2\right)\right)$. 然后, 对 $\varepsilon^{\prime}>0$, 存在 $R_{\varepsilon^{\prime}}>1$ 使得

$\|u\|_{L^{q_{c}}\left(\left(\mathbb{R}^{n} \backslash B_{R_{\varepsilon^{\prime}}}\right) \times\left(-\delta^{2},-\delta^{2} / 2)\right)\right.} \leqslant \varepsilon^{\prime}.$

令 $x_{0}$ 满足 $B_{A \delta}\left(x_{0}\right) \subset \mathbb{R}^{n} \backslash B_{R_{\varepsilon^{\prime}}}$. 由 Hölder 不等式可知

$\delta^{\frac{4}{p-1}-n} \int_{-\delta^{2}}^{-\delta^{2} / 2} \int_{B_{A \delta}\left(x_{0}\right)}|u|^{p+1} {\rm d}x{\rm d}t \leqslant C \delta^{\frac{4}{p-1}-n+(n+2)\left(1-\frac{p+1}{q_{c}}\right)}\left(\varepsilon^{\prime}\right)^{p+1},$

其中 $C>0$ 不依赖于 $x_{0}$. 我们固定合适的 $\varepsilon^{\prime}$, 使得不等式右边比 $\varepsilon_{0}$ 小. 接下来, 由定理 4.1 可知 $\|u\|_{L^{\infty}\left(Q_{\delta / 16}\left(x_{0}, 0\right)\right)} \leqslant C \delta^{-2 /(p-1)}$, 其中 $C$ 不依赖于 $x_{0}$. 最后令 $R=R_{\varepsilon^{\prime}}+A \delta+1$, 便可证明所需的估计.

由引理 5.1, 我们不妨假设爆破发生在 $(0,0) \in \mathbb{R}^{n+1}$. 令 $\bar{u}$ 为引理 3.1 所给出的爆破极限. 然后, 我们可以证明 $|\bar{u}|^{p+1}$ 在原点 $(0,0) \in \mathbb{R}^{n+1}$ 周围的积分不消失. 特别地, $\bar{u} \not \equiv 0$.

引理5.2 对定理 4.1 给出 $\varepsilon_{0}$, 有

$\int_{-1}^{0} \int_{B_{A}}|\bar{u}(x, t)|^{p+1} {\rm d}x{\rm d}t \geqslant \varepsilon_{0}.$

接下来, 与引理 5.2 相反, 我们证明 $\bar{u} \equiv 0$. 因为我们假设 (2.3) 式, 所以在 $L^{q_{c}}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ 上有弱收敛的子列 $u\left(\cdot, T_{k}\right)$. 由弱极限的性质和在 (2.4) 式中令 $t=0$, 我们定义了 $u(\cdot,0)$ 和 $u_{k}(\cdot,0)$. 进一步, 由范数的弱下半连续性可知对任意 $k \geqslant 1$, 有

$\left\|u_{k}(\cdot,0)\right\|_{L^{q_{c}}\left(\mathbb{R}^{n}\right)}=\|u(\cdot,0)\|_{L^{q_{c}}\left(\mathbb{R}^{n}\right)} \leqslant \liminf_{k \rightarrow \infty}\left\|u\left(\cdot, T_{k}\right)\right\|_{L^{q_{c}}\left(\mathbb{R}^{n}\right)} \leqslant M.$

因此, 子列 $u_{k}(\cdot, 0)$ 在 $L^{q_{c}}\left(\mathbb{R}^{n}\right)$ 中弱收敛于函数 $\bar{u}(\cdot, 0)$, 从而 $\bar{u}$ 在最终时刻消失.

引理5.3 $\bar{u}(\cdot, 0)=0$ 在 $\mathbb{R}^{n}$ 上几乎处处成立.

引理5.4 对任意 $0<\delta \leqslant \sqrt{-T_{1}}$, 存在由 $\delta$ 和 $\varepsilon_{0}$ 确定的常数 $R>1$ 使得

$|\bar{u}(x, t)| \leqslant C \delta^{-\frac{2}{p-1}}$

对 $x \in \mathbb{R}^{n} \backslash B_{R},-\frac{\delta^{2}}{256}<t<0$ 几乎处处成立, 其中常数 $C=C(n,p,M,\delta_{1}).$

由文献 [26,引理 3.3] (也可见文献 [19,引理 5.12]) 中相似的结论, 给出 $\bar{u}$ 的部分正则性. 当 $t<0$ 时, 定义

$\Sigma(t)\triangleq \left\{x \in \mathbb{R}^n ; \bar{u}(\cdot, t) \notin L^{\infty}\left(B_\rho(x)\right) \mbox { 对任意 } \rho>0\right\}.$

我们用 $\operatorname{card}(\Sigma(t))$ 表示 $\Sigma(t)$ 的基数.

引理5.5 对任意 $t<0$, 存在 $C=C(n,p,M,\delta_1)>0$ 使得

$\operatorname{card}(\Sigma(t)) \leqslant C.$

上述引理证明是标准的, 细节见文献 [20]. 接下来, 我们证明定理 1.1.

定理 1.1 的证明 由反证法, 为得到矛盾, 我们假设 (2.3) 式成立. 由引理 5.1, 我们不妨假设 $u$ 的爆破发生在 $(0,0) \in \mathbb{R}^{n+1}$ 处. 则由引理 5.2 可以证明爆破极限 $\bar{u}$ 必须满足 $\bar{u} \not \equiv 0$.

基于引理 5.3 和引理 5.4, 我们运用 Escauriaza, Seregin 和 $\check{\rm S}$verák 的热方程的反向唯一性文献 [9,定理 5.1] 可以证得 $\bar{u}(x, t) \equiv 0 $ 对任意 $x \in \mathbb{R}^n \backslash B_R,-\frac{\delta^2}{256}<t \leqslant 0 $ 成立. 因为 $\bar{u}\left(x,-\delta^2 / 1024\right)$ $=\left(\delta^2 / 1024\right)^{-1 /(p-1)} \bar{U}(32 x / \delta)$, 所以我们有 $\bar{U} \equiv 0$ 在 $\mathbb{R}^n \backslash B_{32 R / \delta}$ 上成立. 通过直接计算和在引理 5.5 中令 $t=-1$, 我们可以证得 $\bar{U}=\bar{U}(z)$ 在经典意义上除了 $\mathbb{R}^n$ 的有限子集之外满足

$\Delta \bar{U}-\frac{1}{2} z \cdot \nabla \bar{U}-\frac{1}{p-1} \bar{U}+|\bar{U}|^{p-1} \bar{U}=0.$

然后通过在 $\mathbb{R}^n$ 的连通子集中应用椭圆方程的唯一延拓定理 (见文献 [1]), 我们可以得到 $\bar{U} \equiv 0$ 在 $\mathbb{R}^n$ 上成立. 因此我们得到了 $\bar{u} \equiv 0$ 在 $\mathbb{R}^n \times(-\infty, 0]$ 上成立, 矛盾. 故假设不成立, 原定理得证.

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