我们考虑一类带有吸引库仑势的非线性 Schrödinger 方程, 该问题可通过下列方程描述

其中 $p>2$, 非线性项描述了量子场 $\psi$ 的自相互作用, 库仑势描述了与外部静电势的相互作用. 非线性 Schrödinger 方程在物理学多个应用领域具有重要意义, 其中在二维空间中可用来描述玻色-爱因斯坦凝聚态的动力学特性 (参见文献 [11],[12],[14]) 等诸多物理现象. 接下来我们将重点讨论方程 (1.1) 的驻波解, 即形如以下形式的解

其中 $\lambda\in\mathbb{R}$, $u\in H^1(\mathbb{R}^3)$ 为下面方程的解

在固定参数 $\lambda\in\mathbb{R}$ 的条件下求解方程 (1.2), 已发展出成熟的理论体系, 其中正解的存在性, 唯一性, 稳定性的相关研究参见文献 [2],[4],[13]. 对应 Cauchy 问题解的全局适定性, 爆破, 散射的相关研究参见文献 [17]. 算子 $-\Delta -|x|^{-1}$ 的谱包含位于 $[0, +\infty)$ 的连续谱以及位于 $(-\infty, 0)$ 的有界、有限重数的点谱, 详见文献 [19]. 最近人们开始关注在给定质量条件

下寻求方程 (1.2) 的解, 即所谓的正规化解, 此时参数 $\lambda\in\mathbb{R}$ 将作为未知量出现. 带有库伦势的 Schrödinger 程广泛出现于原子物理, 量子化学与分子物理, 凝聚态物理学与材料科学, 天体物理与等离子体物理等多个领域, 若其解存在且始终满足质量守恒条件 (1.3) 式, 则从物理视角而言, 对正规化解的研究更具实际意义.

我们接下来在正规化约束 (1.3) 式下关注方程 (1.2) 在条件 $\frac{10}{3}<p<6$ 下解的存在性. 此时方程的解为如下 $C^2$ 能量泛函

在集合

上的临界点. 我们用 $\|\cdot\|_p$ 表示 $L^p(\mathbb{R}^3)$ 空间中的范数. 当 $\frac{10}{3}<p<6$ 时, $F(u)$ 在集合 $S(c)$ 上下方无界. 因此, 我们需要寻找新的约束条件来证明方程 (1.2) 解的存在性. 定义

由文献 [7,引理 2.7] 可知, $F(u)$ 限制在 $S(c)$ 上的所有临界点 (由此可得方程 (1.2) 的任何解) 均满足 $P(u)=0$. 设 $L^2$-Pohozaev 流形

对固定的 $u\in S(c)$, 设 $u_t(x):=t^{\frac32}u(tx)$. 注意到 $L^2$-Pohozaev 流形 $\tau (c)$ 与如下纤维化映射密切相关

我们首先关注当 $\frac{10}{3}<p<6$ 时, 在正规化约束 (1.3) 式下方程 (1.2) 基态解的存在性.

定义1.1 若 $u_0$ 是 $F(u)$ 约束在 $S(c)$ 上的一个临界点, 且满足 $F(u_0)=\inf\limits_{u\in \tau (c)}F(u)$, 则称 $u_0\in S(c)$ 是方程 (1.2) 的一个基态解.

为了得到基态解的存在性, 我们先要确定一个精确值 $c_0>0$, 使得对任意 $0<c<c_0$, 都存在一个集合 $V(c)\subset S(c)$, 且具有如下性质

其中

这里 $\rho_0>0$ 是一个依赖于 $c_0$ 的常数. 我们的第一个结果陈述如下.

定理1.1 当 $\frac{10}{3}<p<6$ 时, 存在一个 $c_0>0$, 使得对任意的 $0<c<c_0$, $m(c)$ 由某个 $u_c\in V(c)$ 达到, 并且 $u_c$ 是方程 (1.2) 的一个基态解.

由引理 2.6 可知, 集合 $\tau (c)$ 可以分解为不交并 $\tau (c)=\tau^- (c)\cup\tau^+ (c)$, 其中

定理 1.1 中得到的基态解 $u_c\in S(c)$ 实际上处于 $\tau^- (c)$ 中, 并有如下性质

由于 $F(u)$ 在集合 $S(c)$ 上下方无界, 因此很自然地可以预期 $F(u)$ 在 $S(c)$ 上存在山路类型的第二个临界点. 我们定义

我们的第二个结果陈述如下.

定理1.2 当 $\frac{10}{3}<p<6$ 时, 设 $c_0>0$ 为定理 1.1 中给定的常数, 对任意 $0<c<c_0$, 方程 (1.2) 存在一个激发态解 $v_c\in S_r(c)$, 且满足

其中

这里

当 $\frac{10}{3}<p<6$ 时, 由于 $F(u)$ 在集合 $S(c)$ 上下方无界, 水平子集 $E^r:=\{u\in S(c): F(u)\leq r\}$ 的亏格总是无穷大. 因此, 基于 Kranoselski 亏格的经典理论 (参见文献 [18]) 无法用于得到 $F(u)$ 限制在 $S(c)$ 上的无穷多临界点的存在性. 受到 $S_r(c)$ 上能量泛函 $F(u)$ 的喷泉定理启发, 我们采用与文献 [1] 相同的论证思路, 提出了一种新型的环绕几何结构. 通过运用极小极大方法, 得到了 $F(u)$ 在 $S_r(c)$ 上存在无穷多个临界点.

定理1.3 当 $\frac{10}{3}<p<6$ 时, 对任意 $c>0$, 方程 (1.2) 存在一列径向对称解 $\{(v_n, \lambda_n)\}\subseteq S_r\times\mathbb{R}^-$. 此外, 当 $n\rightarrow+\infty$ 时, $\|v_n\|^2_{H_r^1(\mathbb{R}^3)}\rightarrow+\infty$ 且 $F(v_n)\rightarrow+\infty$.

在下文中, 我们将利用以下经典不等式: 设 $u\in H^1(\mathbb{R}^3)$, 存在一个最佳常数 $\mathcal{M}>0$, 使得

参见文献 [20]. 利用 Hölder 不等式和 Hardy 不等式, 可得

参见文献 [6].

我们考虑定义在 $(0,+\infty) \times (0,+\infty)$ 上的函数 $f(c,\rho)$:

对任意 $c>0$, 在 $(0,+\infty)$ 上定义函数 $\rho\mapsto g_c(\rho):=f(c,\rho)$.

引理2.1 当 $\frac{10}{3}<p<6$ 时, 对任意 $c > 0$, 函数 $g_c(\rho)$ 存在唯一的全局最大值, 且存在 $c = c_0$ 使得 $\max\limits_{\rho>0} g_{c_0}(\rho) = 0$, 其中

证 由 $g_c(\rho)$ 的定义可知

因此, 方程 $g'_c(\rho)=0$ 有唯一解

注意到, 当 $\rho\searrow 0$ 时, $g_c(\rho)\rightarrow -\infty$. 当 $\rho\rightarrow+\infty$ 时, $g_c(\rho)\rightarrow -\infty$. 故 $ \rho_c$ 为唯一的全局最大值点, 并且

由 $c_0$ 的定义可知 $\mathop{\max}\limits_{\rho>0}g_{c_0}(\rho)=0$.

我们定义 $\rho_0:=\rho_{c_0}=\Big(\frac{3p-10}{6p-16}\Big)^{\frac{p-4}{p-2}}\Big(\frac{2p}{(3p-10)\mathcal{M}}\Big)^{\frac{2}{p-2}}$. 由引理 2.1 可知 $f(c_0,\rho_0)=0$, 并且对任意 $0<c<c_0$, 都有 $f(c,\rho_0)>0$. 设

受文献 [8] 的启发, 我们将考虑如下局部约束极小问题: 对任意 $0<c<c_0$, $m(c):=\mathop{\inf}\limits_{u\in V(c)}F(u).$

引理2.2 当 $\frac{10}{3}<p<6$ 时, 对任意 $0<c<c_0$, 如下命题成立

(i) $m(c)=\mathop{\inf}\limits_{u\in V(c)}F(u)<0<\mathop{\inf}\limits_{u\in \partial V(c)}F(u)$;

(ii) $m(c)$ 是一个连续函数;

(iii) 对所有 $\alpha\in(0,c)$, 我们有 $m(c)\leq m(\alpha)+m(c-\alpha)$, 且若 $m(\alpha)$ 或 $m(c-\alpha)$ 可达, 则该不等式严格成立.

证 (i) 对任意 $u\in \partial V(c)$, 我们有 $\|\nabla u\|_2^2=\rho_0$. 因此

对固定的 $u\in S(c)$, 我们设 $u_t(x):=t^{\frac32}u(tx)$. 我们在 $(0,+\infty)$ 上定义映射

注意到当 $t\searrow 0$ 时, $\psi_u(t)\nearrow 0$. 则存在充分小的 $t_0>0$, 使得 $\|\nabla u_{t_0}\|_2^2=t_0^2\|\nabla u\|_2^2<\rho_0$, 且 $F(u_{t_0})=\psi_u(t_0)<0$, 故 $m(c)<0$;

(ii) 设 $\{c_n\}\subset(0,c_0)$ 为收敛于 $c$ 的序列. 根据 $m(c)$ 的定义, 对任意 $\varepsilon>0$, 存在 $u_n\in V(c_n)$ 使得

设 $\widetilde{u_n}=\sqrt{\frac{c}{c_n}}u_n$, 则 $\widetilde{u_n}\in S(c)$. 我们断言 $\widetilde{u_n}\in V(c)$. 事实上, 若 $c_n\geq c$, 则

若 $c_n<c$, 因为 $g_{c_n}(\rho_0)>g_{c_0}(\rho_0)=0$, $g_{c_n}(\frac{c_n}{c}\rho_0)>g_{c}(\rho_0)>g_{c_0}(\rho_0)=0$, 所以对所有 $\rho\in [\frac{c_n}{c}\rho_0, \rho_0]$, 都有 $g_{c_n}(\rho)>0$. 注意到 $g_{c_n}(\|\nabla u_n\|_2^2)<0$, 则 $\|\nabla u_n\|_2^2<\frac{c_n}{c}\rho_0$, 进一步

考虑到 $\frac{c}{c_n}\to1$, 则

其中当 $n\rightarrow+\infty$ 时, $o_n(1)\rightarrow0$. 结合 (2.4) 式和 (2.5) 式可知

类似地, 通过逆向推导可得

因此, 由于 $\varepsilon>0$ 是任意的, 我们可推得 $m(c_n)\to m(c)$, 故命题 (ii) 成立;

(iii) 固定 $\alpha\in(0,c)$, 由 $m(\alpha)$ 定义可知, 对任意 $\varepsilon>0$, 存在 $u\in V(\alpha)$ 使得

因为 $g_{\alpha}(\rho_0)>g_{c_0}(\rho_0)=0$, $g_{\alpha}(\frac{\alpha}{c}\rho_0)>g_{c}(\rho_0)>g_{c_0}(\rho_0)=0$, 则对所有 $\rho\in [\frac{\alpha}{c}\rho_0, \rho_0]$, 都有 $g_{\alpha}(\rho)>0$. 注意到 $g_{\alpha}(\|\nabla u\|_2^2)<0$, 则 $\|\nabla u\|_2^2<\frac{\alpha}{c}\rho_0$.

对任意 $\theta\in(1,\frac{c}{\alpha}]$, 设 $v=\sqrt{\theta}u$. 故 $\| v\|_2^2=\theta\| u\|_2^2=\theta\alpha$, $\|\nabla v\|_2^2=\theta\|\nabla u\|_2^2<\rho_0$. 因此, $v\in V(\theta\alpha)$, 并且

因为 $\varepsilon>0$ 是任意的, 我们有

若 $m(c)$ 可达, 则 $\varepsilon=0$, 进一步上述不等式严格成立. 所以, 我们有

其中若 $m(\alpha)$ 可达, 上述不等式严格成立.

引理2.3 当 $\frac{10}{3}<p<6$ 时, 设 $0<c<c_0$, 若 $\{u_n\}\subset V(c)$ 满足 $F(u_n)\to m(c)$, 则存在序列 $\{y_n\}$ 使得 $u_n(x+y_n)$ 强收敛于某个 $u_c$ 于 $H^1(\mathbb{R}^3)$.

证 我们首先断言: 存在序列 $\{y_n\}$ 及正数 $R_0$ 和 $\eta$, 使得

反之, 假设 (2.6) 式不成立, 则对任意 $R>0$, 存在序列 $\{u_{n_k}\}$ 使得

由 [15,定理 8.10] 可推得, 对任意 $2<p<6$, $u_{n_k}\xrightarrow{k}0$ 于 $L^p(\mathbb{R}^3)$. 结合 (2.2) 式可得

由于 $f(c_0,\rho_0)=0$, 则 $\frac12-c_0^{\frac12}\rho_0^{-\frac12}=\frac{\mathcal{M} c_0^{\frac{6-p}{4}}}{p}\rho_0^{\frac{3p-10}{4}}>0$. 所以, $F(u_{n_k})\geq o_n(1)$. 这与 $m(c)<0$ 矛盾, 故断言成立. 进一步存在 $u_c\neq0$, 使得

我们的目标是证明 $w_n:=u_n(x+y_n)-u_c$ 在 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中强收敛于 $0$. 显然，

而且,

我们接下来断言

由 Fatou 引理可知, $\| u_c\|_2^2\leq c$. 若 $\| u_c\|_2^2=c$ 成立, 则断言得证. 我们使用反证法, 假设 $\| u_c\|_2^2<c$. 基于 (2.7) 式, 当 $n$ 充分大时, 我们有 $\|\nabla w_n\|_2^2\leq \|\nabla u_n\|_2^2<\rho_0$. 所以我们有 $w_n\in V(\| w_n\|_2^2)$. 基于 (2.8) 式, 我们有

根据引理 2.2 (ii) 和 (2.7) 式可知

由 Fatou 引理可知 $u_c\in V(\| u_c\|_2^2)$, 则 $F(u_c)\geq m(\| u_c\|_2^2)$. 若 $F(u_c)> m(\| u_c\|_2^2)$, 由引理 2.2 (iii) 可得

产生矛盾, 故 $F(u_c)=m(\| u_c\|_2^2)$, 即 $u_c$ 为 $V(\| u_c\|_2^2)$ 中极小可达元.

利用引理 2.2 (iii) 中的严格不等式可得

产生矛盾. 因此, $\| u_c\|_2^2=c$ 并且断言成立.

为了证明 $w_n$ 在 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中收敛于 0, 只需证明 $\|\nabla w_n\|_2^2\to0$. 事实上, $u_c\in V(c)$, 则 $F(u_c)\geq m(c)$. 由 (2.8) 式可知

另一方面, 基于 (2.7) 式, 对于充分大的 $n$, 我们有 $\|\nabla w_n\|_2^2\leq \|\nabla u_n\|_2^2<\rho_0$. 由 (2.1) 式, (2.2) 式和 (2.9) 式可得

故 $\|\nabla w_n\|_2^2\to0$.

引理2.4 当 $\frac{10}{3}<p<6$ 时, 设 $0<c<c_0$, $m(c)$ 可由 $u_c$ 达到.

证 设 $\{u_n\}\subset V(c)$ 为 $m(c)$ 的一列极小化序列, 即 $F(u_n)\to m(c)$. 由引理 2.3 可知, 存在一个 $u_c\in V(c)$, 使得 $u_n(x+y_n)$ 在 $H^1(\mathbb{R}^3)$ 中强收敛于 $u_c$, 故 $F(u_c)=m(c)$. 由此保证了 $F(u)$ 在 $V(c)$ 上极小可达元的存在性.

引理2.5 当 $\frac{10}{3}<p<6$ 时, 设 $0<c<c_0$, 任意 $u\in S(c)$, 函数 $\psi_u(t)$ 有两个临界点 $t_{u}^-$ 和 $t_{u}^+$, 其中 $0<t_{u}^-<t_{u}^+$, $\psi_u(t)$ 的定义由 (2.3) 式给出, 并且

(i) $t_{u}^-$ 是 $\psi_u(t)$ 的一个局部极小值点, 且满足 $F(u_{t_{u}^-})<0$ 和 $u_{t_{u}^-}\in V(c)$;

(ii) $t_{u}^+$ 是 $\psi_u(t)$ 的一个全局极大值点, 且满足对所有 $t>t_{u}^+$ 都有 $\psi'_u(t)<0$ 并且 $F(u_{t_{u}^+})\geq\mathop{\inf}\limits_{u\in \partial V(c)}F(u)>0.$

证 因为当 $t\searrow 0$ 时, $\psi_u(t)\nearrow 0$, $\|\nabla u_t\|_2^2\searrow 0$, 并且当 $u_t\in \partial V(c)$ 时, $\psi_u(t)=F(u_t)>0$, 则 $\psi'_u(t)$ 存在第一个零点 $t_{u}^->0$, 该点对应一个局部极小值点. 特别地, $u_{t_{u}^-}\in V(c)$ 并且 $F(u_{t_{u}^-})=\psi_u(t_{u}^-)<0$. 注意到当 $t\rightarrow+\infty$ 时, $\psi_u(t)\rightarrow-\infty$, 则 $\psi'_u(t)$ 存在第二个零点 $t_{u}^+>t_{u}^-$, 该点对应 $\psi_u(t)$ 的一个全局最大值点, 并且 $F(u_{t_{u}^+})\geq\mathop{\inf}\limits_{u\in \partial V(c)}F(u)>0$.

接下来只需证明 $\psi'_u(t)$ 至多有两个零点, 而这等价于证明函数 $t\mapsto \frac{\psi'_u(t)}{t}$ 至多有两个零点. 注意到

以及

因为 $\beta'(t)=0$ 存在唯一解, 故 $\beta(t)$ 最多有两个零点.

引理2.6 当 $\frac{10}{3}<p<6$ 时, 设 $0<c<c_0$, $\tau (c)=\tau^- (c)\cup\tau^+ (c)$, 其中

并且,

其中 $u_c$ 由引理 2.3 得到.

证 注意到

对任意 $u\in \tau (c)$, 则 $\psi'_u(1)=P(u)=0$, 故 $t=1$ 是 $\psi_u(t)$ 的一个临界点. 基于引理 2.5, 若 $t_{u}^-=1$, 则 $F(u)=F(u_{t_{u}^-})<0$; 若 $t_{u}^+=1$, 则 $F(u)=F(u_{t_{u}^+})\geq\mathop{\inf}\limits_{u\in \partial V(c)}F(u)>0$. 故 $\tau (c)=\tau^- (c)\cup\tau^+ (c)$.

对任意 $u\in \tau^- (c)$,

由 (2.2) 式可得

进一步

所以, $ \tau^- (c)\subset V(c)$. 由于 $F$ 在 $V(c)$ 上的极小可达元属于 $\tau^- (c)$, 我们结合 $ \tau^- (c)$ 的定义可得

定理 1.1 的证明. 该证明直接由引理 2.4 和引理 2.6 可得.

受文献 [10] 的启发, 我们考虑定义在 $(0,+\infty)\times H^1(\mathbb{R}^3)$ 上的泛函 $\tilde{F}$, 其表达式为

引理3.1 当 $\frac{10}{3}<p<6$ 时, 设 $0<c<c_0$, $\tilde{F}$ 在能量水平 $\tilde{H}(c)$ 处具有山路几何结构

其中 $\tilde{\Gamma}(c):=\{\tilde{h}\in C([0,+\infty),(0,+\infty)\times S_r(c)):\tilde{h}(0)\in (1,\tau_r^- (c)), \exists\, t_{\tilde{h}}, \, {\rm s.t.}\, \tilde{h}(t)\in (1,X_c), \forall t\geq t_{\tilde{h}}\}$. 并且 $\tilde{H}(c)=H^0(c)$, 其中 $H^0(c)$ 的定义见 (1.4) 式.

证 设 $h(t)\in \Gamma^0(c)$, 因为 $\tilde{h}(t)=(1,h(t))\in \tilde{\Gamma}(c)$, 并且对所有 $t>0$, 都有 $\tilde{F}(\tilde{h}(t))=F(h(t))$. 所以我们得到 $H^0(c)\geq\tilde{H}(c)$. 另一方面, 对所有 $\tilde{h}(t)=(s(t),u(t))\in\tilde{\Gamma}(c)$, 我们有 $s(0)=1$, $u(0)\in\tau_r^- (c)$, 并且存在一个 $t_{\tilde{h}}>0$, 使得对所有 $t\geq t_{\tilde{h}}$, 都有 $s(t)=1$, $u(t)\in X_c$. 设 $h(t)=u(t)_{s(t)}$, 则 $h(t)\in\Gamma^0(c)$ 并且 $\tilde{F}(\tilde{h}(t))=F(u(t)_{s(t)})=F(h(t))$. 所以, $\tilde{H}(c)\geq H^0(c)$, 从而 $\tilde{H}(c)=H^0(c)$.

我们接下来断言对所有 $0<c<c_0$, 都有 $H^0(c)>0$. 事实上, 设 $h(t)\in \Gamma^0(c)$, 则 $h(0)\in\tau_r^- (c)\subset V(c)$. 由引理 2.2 (i) 可得对 $t>0$ 充分大, $h(t)\notin V(c)$. 由 $h(t)$ 的连续性可知, 存在一个 $t_0>0$ 使得 $h(t_0)\in \partial V(c)$. 再次利用引理 2.2 (i) 可得断言成立. 注意到 $\max\{\tilde{F}(\tilde{h}(0)),\tilde{F}(\tilde{h}(t_{\tilde{h}}))\}=\max\{F(h(0)),F(h(t_{\tilde{h}}))\}<0$, 故对任意 $0<c<c_0$, $\tilde{F}$ 在能量水平 $\tilde{H}(c)$ 处具有山路几何结构.

引理3.2 当 $\frac{10}{3}<p<6$ 时, 对于任意 $0<c<c_0$, 泛函 $F$ 存在一列处于能量水平 $H^0(c)$ 处的 Palais-Smale 序列 $u_n\in S_r(c)$, 且满足当 $n\rightarrow+\infty$ 时, $P(u_n)\rightarrow0$.

证 设

则 $Y\cap Z=\phi$, 且

对任意 $A\in X$, 存在一个 $h_0\in\tilde{\Gamma}(c)$, 使得 $A=h_0([0,+\infty))$, 并且

所以存在一个 $t_0\in[0,+\infty)$, 使得 $\tilde{H}(c)\leq\tilde{F}(h_0(t_0))$, 故 $h_0(t_0)\in Z$. 因此,

利用 (3.1) 式和 (3.2) 式, 我们运用文献 [5,定理 5.2] 可得一个 $\tilde{F}\big|_{\mathbb{R}_+\times S_r(c)}$ 在能量水平 $\tilde{H}(c)$ 处的 Palais-Smale 序列, 且满足 $\partial_t\tilde{F}(t_n,w_n)\to 0$. 设 $u_n=t_n^{\frac{3}{2}}w_n(t_nx)$, 则 $\{u_n\}$ 是一个 $F\big|_{ S_r(c)}$ 在能量水平 $H^0(c)$ 处的 Palais-Smale 序列. 而且 $\partial_t\tilde{F}(t_n,w_n)=\partial_t\tilde{F}(1,u_n)=P(u_n)\to 0$.

引理3.3 当 $\frac{10}{3}<p<6$ 时, 对任意 $0<c<c_0$, 在引理 3.2 中得到的 Palais-Smale 序列 $\{u_n\}$, 在子列意义下强收敛与某个 $v_c$ 于 $H^1_r(\mathbb{R}^3)$.

证 因为 $P(u_n)\rightarrow0$, 由 (2.2) 式可得

又因为 $F(u_n)\rightarrow H^0(c)$, 则 $\{u_n\}$ 在 $H^1_r(\mathbb{R}^3)$ 中有界. 故存在 $v_c\in H^1_r(\mathbb{R}^3)$, 使得在子列意义下 $u_n$ 在 $H^1_r(\mathbb{R}^3)$ 中弱收敛于 $v_c$, 且在 $L^p(\mathbb{R}^3)$ 中强收敛于 $v_c$, 其中 $2<p<6$. 现用反证法证明 $v_c\neq0$. 假设 $v_c=0$, 则 $\|u_n\|_p=o_n(1)$. 对任意 $R>0$,

先让 $n\to \infty$, 再让 $R\to \infty$ 可得 $\int_{\mathbb{R}^3}|x|^{-1}|u_n|^2{\rm d}x=o_n(1)$. 因为 $P(u_n)\rightarrow0$, 则 $\|\nabla u_n\|_2^2=o_n(1)$, 故 $F(u_n)\rightarrow0$, 这与 $H^0(c)>0$ 矛盾.

因为 $\{u_n\}$ 在 $H^1_r(\mathbb{R}^3)$ 中有界, 由文献 [3, 引理 3] 可知,

因此, 对任意 $\varphi\in H^1(\mathbb{R}^3)$,

其中

则 $\{\lambda_n\}\subset\mathbb{R}$ 有界, 并且在子列意义下, $\lambda_n\rightarrow\lambda$. 通过在 (3.3) 式中取极限, 我们可得

由 Pohozaev 恒等式可知

由 (3.4) 式可知

结合 (3.5) 式和 (3.6) 式可得

故 $P(v_c)=0$. 再次利用 (3.5) 式和 (3.6) 式可得

由 $\frac{10}{3}<p<6$ 可知 $\lambda<0$.

我们结合 $P(u_n)=o_n(1)$ 和 $P(v_c)=0$ 可得 $\|\nabla u_n\|_2^2\rightarrow\|\nabla v_c\|_2^2$. 在 (3.3) 式中取 $\varphi=u_n$, 又因为 $v_c$ 为方程 (3.4) 的一个解, 我们可得 $\| u_n\|_2^2\rightarrow\| v_c\|_2^2=c$, 进一步得到 $u_n$ 在 $H^1_r(\mathbb{R}^3)$ 中强收敛于 $v_c$.

设 $G(c):=\{u\in S(c): t_{u}^+>1\}$, 由引理 2.5 和 $G(c)$ 的定义可知,

引理3.4 当 $\frac{10}{3}<p<6$ 时, 对任意 $0<c<c_0$, $H^0(c)= H(c)=\mathop{\inf}\limits_{u\in \tau^+ (c)}F(u)$, 其中 $H^0(c)$ 的定义见 (1.4) 式,

其中

证 设 $h\in \Gamma(c)$, 因为对充分大的 $t$, $F(h(t))<2m(c)$, 由 (3.7) 式可得对于充分大的 $t$, $h(t)\notin G(c)$. 由 $h(t)$ 的连续性可得, 存在一个 $t_0>0$ 使得 $h(t_0)\in \partial G(c)$. 对任意 $0<c<c_0$,

通过参照文献 [9,引理 3.6] 的证明方法, 可证得

设 $u\in\tau_r^+ (c)$ 并且 $t_1>0$ 使得 $u_{t_1}\in X_c$. 定义映射

则 $h_u\in C([0,+\infty),S_r(c))$ 且 $h_u(0)=u_{t_u^-}\in\tau_r^-(c)$, $h_u(1)=u_{t_1}\in X_c$. 所以, $h_u\in\Gamma^0(c)$, 且

故

注意到 $\Gamma^0(c)\subset\Gamma(c)$, 则 $H^0(c)\geq H(c)$. 我们结合 (3.8)-(3.10) 式可得对任意 $0<c<c_0$, $H^0(c)= H(c)=\mathop{\inf}\limits_{u\in \tau^+ (c)}F(u)$.

定理 1.2 的证明 该证明直接由引理 3.2-3.4 可得.

设 $\{V_n\}\subset H_r^1(\mathbb{R}^3)$ 是一列严格递增的有限维线性子空间, 且满足 $\bigcup_n V_n$ 在 $H_r^1(\mathbb{R}^3)$ 中稠密. 我们用 $V_n^{\bot}$ 表示 $V_n$ 在 $H_r^1(\mathbb{R}^3)$ 中的正交补空间. 定义

我们接下来定义

其中

引理4.1 对于 $2<p<6$, 当 $n\rightarrow+\infty$ 时, $\lambda_n\rightarrow+\infty$.

证 对于任意 $u\in B_n$, $\epsilon>0$, 由 (2.2) 式可得

则

由文献 [1,引理 2.1] 可知 $\lim_{n\rightarrow\infty}s_n=+\infty$. 因为 $p>2$, 通过取 $\epsilon=\frac12-\frac1p$ 后, 引理得到证明.

为了建立极小极大方法, 设

观察到若 $u\in S_r(c)$, 则 $\kappa(\theta, u)\in S_r(c)$, 并且满足

因为 $V_n$ 是有限维空间, 我们可得到对于每一个 $n\in \mathbb{N}^+$, 都存在 $\theta_n>0$, 使得

且满足

定义

显然, $\bar{h}_n\in\Gamma_n$. 由文献 [16,引理 2.5] 可得如下环绕性质

引理4.2

接下来, 我们将证明序列 ${\gamma_n(c)}$ 确实是 $F(u)$ 限制在 $S_r(c)$ 上的一列临界值. 为此, 我们首先证明在每个能量水平 $\gamma_n(c)$ 处都存在一个有界的 Palais-Smale 序列. 在接下来的讨论中, 我们固定任意的 $n\in \mathbb{N}^+$. 为了找到这样的 Palais-Smale 序列, 我们采用文献 [7] 中所建立的方法. 首先, 我们引入如下辅助泛函

其中 $\kappa(\theta, u)$ 的定义见 (4.2) 式, 设

显然, 对任意 $h\in\Gamma_n$, $\hat{h}:=(0, h)\in\hat{\Gamma}_n$. 定义

我们断言 $\hat{\gamma}_n(c)=\gamma_n(c)$. 事实上, 定义映射

且满足

再结合 $\hat{\gamma}_n(c)$ 和 $\gamma_n(c)$ 的定义可推得断言成立.

我们把赋予范数 $\|\cdot\|^2_{W}=|\cdot|_{\mathbb{R}}^2+\|\cdot\|^2$ 的集合 $\mathbb{R} \times H_r^1(\mathbb{R}^3)$ 记为 $W$, 并用 $W^*$ 表示其对偶空间.

引理4.3 当 $\frac{10}{3}<p<6$ 时, 对于任意固定的 $c>0$, $F(u)$ 在能量水平 $\gamma_n(\lambda)$ 处存在一个有界的 Palais-Smale 序列 $\{v_{n_k}\}\subset S_r(c)$, 且满足当 $k\rightarrow\infty$ 时,

证 由 $\gamma_n(c)$ 的定义可知, 对于每一个 $k\in\mathbb{N}^+$, 都存在一个 $h_k\in\Gamma_n$ 使得

因为 $\hat{\gamma}_n(c)=\gamma_n(c)$, $\hat{h}_k=(0, h_k)\in\hat{\Gamma}_n$ 且满足

应用文献 [7,引理 2.3], 我们可得一列 $\{(\theta_k, u_k)\}\subset\mathbb{R} \times S_r(c)$, 使得

(i) $\hat{F}(\theta_k, u_k)\in[\gamma_n(c)-\frac1k, \gamma_n(c)+\frac1k]$;

(ii) $\min\limits_{0\leq t\leq1 \atop u\in S_r(c)\cap V_n}\|(\theta_k, u_k)-(0, h_k(t, u))\|_{W}\leq\frac{1}{\sqrt{k}}$;

(iii) $|\langle\hat{F}'(\theta_k, u_k), z\rangle_{W^*\times W}|\leq\frac{2}{\sqrt{k}}\|z\|_{W}$,

其中 $z\in \hat{D}_{(\theta_k, u_k)}:=\{(z_1, z_2)\in W, \langle u_k, z_2\rangle_{L^2}=0\}$. 设 $v_{n_k}=\kappa(\theta_k, u_k)$, 因为 $F(v_{n_k})=F(\kappa(\theta_k, u_k))=\hat{F}(\theta_k, u_k)$, 由 (i) 可得 $F(v_{n_k})\xrightarrow{k}\gamma_n(c)$, 注意到

其中 $(1, 0)\in\hat{D}_{(\theta_k, u_k)}$. 所以, 由 (iii) 可得, $P(v_{n_k})\xrightarrow{k}0$. 我们接下来证明 $F'(v_{n_k})\mid_{S_r(c)}\xrightarrow{k}0$. 我们断言对于充分大的 $k\in\mathbb{N}^+$,

其中 $D_{v_{n_k}}:=\{w\in H^1_r(\mathbb{R}^3), \langle v_{n_k}, w\rangle_{L^2}=0\}$. 事实上, 对于 $w\in D_{v_{n_k}}$, 设 $\hat{w}=\kappa(-\theta_k, w)$,

注意到 $(0, \hat{w})\in \hat{D}_{(\theta_k, u_k)}\Leftrightarrow w\in D_{v_k}$. 由 (ii) 可得

故对于充分大的 $k\in\mathbb{N}^+$,

因此, 我们结合 (iii), (4.4) 式和 (4.5) 式可得, 当$ k\rightarrow\infty$

注意到

因为 $p\in(\frac{10}{3}, 6)$, 由 (4.1) 式和 (4.3) 式可得 $\{v_{n_k}\}\subset S_r(c)$ 有界.

引理4.4 设 ${v_{n_k}}\subset S_r(c)$ 为引理 4.3 中得到的 Palais-Smale 序列, 则存在 $v_n\in S_r(c)$ 和 $\mu_n<0$, 使得在子列意义下, 当 $k\rightarrow+\infty$ 时,

(i) $v_{n_k}\rightarrow v_n\neq0$ 于 $H^1_r(\mathbb{R}^3)$;

(ii) $\mu_k\rightarrow\mu_n$ 于 $\mathbb{R}$;

(iii) $-\Delta v_{n_k}-|x|^{-1}v_{n_k}-|v_{n_k}|^{p-2}v_k-\mu_kv_{n_k}\rightarrow0$ 于 $H^{-1}_r(\mathbb{R}^3)$.

(iv) $-\Delta v_n-|x|^{-1}v_n-|v_n|^{p-2}v_n-\mu_nv_n=0$ 于 $H^1_r(\mathbb{R}^3)$.

证 因为 $\{v_{n_k}\}\subset S_r(c)$ 有界, 在子列意义下, 存在 $v_n\in H^1_r(\mathbb{R}^3)$ 使得

若 $v_n=0$, 则 $\int_{\mathbb{R}^3}|x|^{-1}|v_{n_k}|^2{\rm d}x=o(1)$, $\|v_{n_k}\|_p^p=o(1)$. 因此, 由 $P(v_{n_k})=o(1)$ 可得 $\|\nabla v_{n_k}\|_2^2=o(1)$. 进一步, $F(v_{n_k})=o(1)$, 这与 $\gamma_n(c)\geq \lambda_n\geq1$ 矛盾. 由 $\{v_{n_k}\}$ 的有界性与 $F'(v_{n_k})\mid_{S_r(c)}\xrightarrow{k}0$, 以及文献 [引理 3] 可得

因此, 对任意 $\phi\in H^{1}_r(\mathbb{R}^3)$,

其中

因此, 我们得到 (iii). 进一步, 我们结合 (4.6) 式和 (4.7) 式可以得出结论 (iv) 成立. 利用 (2.1) 式和 (2.2) 式可得, $\mu_k$ 有界, 则在子列意义下, 存在 $\mu_n\in\mathbb{R}$ 使得当 $k\rightarrow+\infty$ 时, $\mu_k\rightarrow\mu_n$. 而且

因此, (ii) 成立. 由 (iii) 和 (iv) 可得

且

所以,

再结合 (4.8) 式可得 $\|\nabla v_{n_k}\|_2^2\xrightarrow{k}\|\nabla v_{n}\|_2^2$ 和 $\|v_n\|^2_{2}=c$. 因此, $v_{n_k}\xrightarrow{k}v_n$ 于 $H^1_r(\mathbb{R}^3)$.

定理 1.3 的证明 对任意固定的 $c>0$, 由引理 4.4 可得, 方程 (1.2) 存在一列径向对称解 ${(v_n, \mu_n)}\subseteq H^1_r(\mathbb{R}^3)\times\mathbb{R}^-$, 且满足 $|v_n|^2_{2}=c$. 由 (4.3) 式和引理 4.4 (i) 可得,

所以,

由引理 4.1 和 4.2 可得 $\gamma_n(\lambda)\geq \lambda_n\rightarrow+\infty$, 故 $\{v_n\}$ 在 $H^1_r(\mathbb{R}^3)$ 中无界. 至此, 证明完成.