数学物理学报, 2026, 46(4): 1360-1373

带有规范场的非线性 Schrödinger 方程在不定位势下的驻波解——献给邓引斌教授 70 寿辰

丁雪彤,, 黄文涛,*

华东交通大学理学院 南昌 330013

Standing Waves for a Gauged Nonlinear Schrödinger Equation with Indefinite Potential

Ding Xuetong,, Huang Wentao,*

School of Science, East China Jiaotong University, Nanchang 330013

通讯作者: * 黄文涛,E-mail: wthuang1014@aliyun.com

收稿日期: 2025-12-19   修回日期: 2026-03-1  

基金资助: 国家自然科学基金(12001198)
江西省自然科学基金(20232BAB201009)

Received: 2025-12-19   Revised: 2026-03-1  

Fund supported: NSFC(12001198)
Natural Science Foundation of Jiangxi Province(20232BAB201009)

作者简介 About authors

丁雪彤,E-mail:13576737379@163.com

摘要

该文主要考虑平面上带有 Chern-Simons 规范场的非线性 Schrödinger 方程驻波解的存在性. 与文献中大多数现有工作相比, 该文主要新颖之处在于允许 Schrödinger 算子 $-\Delta+V$ 的符号是不定的, 因此相应的变分泛函不满足山路几何结构. 通过局部环绕技巧和无穷维 Morse 理论, 作者得到了该问题的一个非平凡解. 此外, 在非线性项为奇函数的情况下, 作者通过喷泉定理建立了该问题无穷多高能量解的存在性.

关键词： Chern-Simons 规范场; 不定位势; 驻波解; 临界群

Abstract

In this paper, we mainly study the existence of standing wave solutions for nonlinear Schrödinger equations with the Chern-Simons gauge field on the plane. Compared with most existing works in the literature, the main novelty of this paper lies in allowing the sign of the Schrödinger operator $-\Delta+V$ to be indefinite, so that the corresponding variational functional does not satisfy the mountain pass geometry. By using a local linking technique and the infinite-dimensional Morse theory, we obtain a nontrivial solution to the problem. Moreover, under the assumption that the nonlinearity is odd, we establish the existence of infinitely many high-energy solutions via the fountain theorem.

Keywords： Chern-Simons gauge field; indefinite potential; standing waves; critical groups

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本文引用格式

丁雪彤, 黄文涛. 带有规范场的非线性 Schrödinger 方程在不定位势下的驻波解——献给邓引斌教授 70 寿辰[J]. 数学物理学报, 2026, 46(4): 1360-1373

Ding Xuetong, Huang Wentao. Standing Waves for a Gauged Nonlinear Schrödinger Equation with Indefinite Potential[J]. Acta Mathematica Scientia, 2026, 46(4): 1360-1373

1 引言及主要结果

本文研究的核心是以下带有规范场的非线性 Schrödinger 方程

$\begin{cases}& {\rm i}{D_0}\phi + ({D_1}{D_1} + {D_2}{D_2})\phi + U(x)\phi + f(x,\phi)=0,\\& {\partial _0}{A_1} - {\partial _1}{A_0} = - {\mathop{\rm Im}\nolimits} (\bar \phi {D_2}\phi ),\\& {\partial _0}{A_2} - {\partial _2}{A_0} = {\mathop{\rm Im}\nolimits} (\bar \phi {D_1}\phi ),\\& {\partial _1}{A_2} - {\partial _2}{A_1} = - \frac{1}{2}{\left| \phi \right|^2},\\\end{cases}$

其中 i 表示虚数单位, 对于$ (t,x_1,x_2)\in \mathbb{R}^{1+2}$, ${\partial _0} = \frac{\partial }{{\partial t}}$, ${\partial _1} = \frac{\partial }{{\partial x_1}}$, ${\partial _2} = \frac{\partial }{{\partial x_2}}$, $\phi :{\mathbb{R}^{1 + 2}} \to \mathbb{C}$ 表示复标量场, $A_\mu :{\mathbb{R}^{1 + 2}}\to \mathbb{R}$ 是规范场, $D_\mu=\partial_\mu+{\rm i} A_\mu$ ($\mu=0,1,2$) 是协变导数且$ U(x):\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ 表示一个外部位势.

问题 (1.1) 所描述的数学模型, 在文献 [15],[16],[17] 中首次提出, 通常称为 Chern-Simons-Schrödinger 系统. 它是一个非相对论量子模型, 用于描述平面上大量粒子的动力学行为. 这些粒子既直接相互作用, 又通过自身产生的电磁场发生间接作用. 该模型的这一特性在高温超导、分数量子霍尔效应及 Aharonov-Bohm 散射的研究中具有重要意义. 关于问题 (1.1) 更多的数学与物理背景, 我们可以参见文献 [12],[13] 及其相关参考文献.

当外部位势$ U(x)\equiv0$ 时, 系统 (1.1) 不再受外部电磁场的约束. 在此情形下, 研究者们已在文献 [3],[4],[8],[9],[14],[18],[27],[28],[32] 中对问题 (1.1) 驻波解的存在性进行了广泛研究. 此外, 问题 (1.1) 的适定性、全局存在性、爆破现象、散射行为与唯一性等相关结果也在文献 [2],[7],[13],[21],[22] 中得到研究.

若$ U(x)\neq 0$, 则系统 (1.1) 受外部磁场的束缚. 在特殊的调和位势下 (其特征为$ U(x)=|x|^2$), Huh[13] 通过运用 Niederer 在文献 [26] 中提出的物镜变换方法, 证明了问题 (1.1) 爆破解的存在性. 进一步地, Luo[24] 通过结合约束极小化方法和极小极大原理, 证明了问题 (1.1) 至少存在两个规范化解: 一个基态解和一个激发态解. 关于其他约束情形, 可以参见文献 [29],[30],[31],[33],[34],[35],[36] 及其相关参考文献. 需要着重指出的是, 上述研究成果大多基于位势函数$ U(x)$ 非负性的假设, 从而构成均匀约束的情形. 据我们所知, 当位势函数呈现变号特性 (对应于非均匀约束情况) 时, 关于系统 (1.1) 的研究结果仍然十分有限. 为此, 本文主要研究系统 (1.1) 在不定位势作用下驻波解的存在性与多重性.

在研究系统 (1.1) 的驻波解时, 采用如下稳态变换

$\phi (t,x) = u(\left| x \right|){\mathrm{e}^{-{\rm i}\omega t}},\ \ \text{ }{A_0}(t,x) = {A_0}(\left| x \right|),$
${A_1}(t,x) = \frac{{{x_2}}}{{{{\left| x \right|}^2}}}h(\left| x \right|),\ \ \ \text{ }{A_2}(t,x) = - \frac{{{x_1}}}{{{{\left| x \right|}^2}}}h(\left| x \right|),$

函数$ u$ 则满足下列方程

$- \Delta u + (U(|x|)-\omega+\xi) u + \Big(\frac{{{h^2}(\left| x \right|)}}{{{{\left| x \right|}^2}}} + \int_{\left| x \right|}^{ + \infty } {\frac{{h(s)}}{s}} {u^2}(s)\mathrm{d}s\Big)u = f(|x|,u), \,\, u \in H_r^{1}(\mathbb{R}^2).$

此处$ \xi \in \mathbb{R}$ 表示$ A_0$ 的积分常数, 具体而言,

$ A_{0}(r)=\xi+ \int_{r}^{+\infty}\frac{h(s)}{s}u^2(s)\mathrm{d}s,$ $h(s) = \frac{1}{2}\int_0^s {r{u^2}(r)\mathrm{d}r}.$

众所周知, 对任意$ \chi \in C^\infty$, 在如下定义的规范变换下

$ \phi \mapsto \phi \mathrm{e}^{{\rm i}\chi},\ \ A_{\mu}\mapsto A_{\mu}-\partial_{\mu}\chi, $

系统 (1.1) 在 Chern-Simons 理论框架下具有不变性. 此外, 若$ u$ 是系统 (1.1) 的一个驻波解, 取 $ \chi=Ct$, 我们令$ u$、$A_1(x)$ 和$ A_2(x)$ 保持不变, 且做如下替换

$ \omega \to \omega-C, \ \ A_{0}(x)\to A_{0}(x)-C, $

则可得到系统 (1.1) 的另外一个驻波解. 因此, 常数$ \omega-\xi$ 是系统 (1.1) 驻波解的规范不变量. 因此, 我们可在下文中设$ \xi=0$, 即

$\lim_{|x|\to +\infty}A_{0}(x)=0,$

该假设在文献 [17],[27] 中已被采用. 因此函数$ u$ 满足如下方程

$- \Delta u + V(x) u + \Big(\frac{{{h^2}(\left| x \right|)}}{{{{\left| x \right|}^2}}} + \int_{\left| x \right|}^{ + \infty } {\frac{{h(s)}}{s}} {u^2}(s)\mathrm{d}s\Big)u = f(|x|,u), \,\, u \in H_r^{1}(\mathbb{R}^2),$

其中

$ V(x):=V(|x|)=U(|x|)-\omega.$

在本文中, 我们用$ {H_r^1}({\mathbb{R}^2})$ 表示$ {H^1}({\mathbb{R}^2})$ 的径向对称子空间, 定义为

$ H_r^1({\mathbb{R}^2}):=\Big\{u\in {H^1}({\mathbb{R}^2})\ \big| \ u(x)=u(|x|) \Big\}, $

并赋予内积和范数分别为

$(u,v): = \int_{{\mathbb{R}^2}} {\nabla u\nabla v}\mathrm{d}x + \int_{{\mathbb{R}^2}} {uv}\mathrm{d}x,$
${\left\| u \right\|} := (\left\| {\nabla u} \right\|_2^2 + \left\| u \right\|_2^2)^{\frac{1}{2}},$

其中$ \|\cdot\|_{p}$ 表示$ {L^p}({\mathbb{R}^2})$ 的范数, 定义为

$ {\left\| u \right\|_p}: = {\Big({\int_{{\mathbb{R}^2}} {\left| u \right|} ^p}\mathrm{d}x\Big)^{\frac{1}{p}}}, \ \ 1 \le p < \infty. $

显然, 方程 (1.3) 具有变分结构. 其对应的能量泛函$ I: H_{r}^{1}(\mathbb{R}^2) \rightarrow \mathbb{R}$ 定义如下

$I(u):=\frac{1}{2}\int_{{\mathbb{R}^2}} {{{\left| {\nabla u} \right|}^2}}\mathrm{d}x+\frac{1}{2}\int_{{\mathbb{R}^2}} {{{V(x)\left| {u} \right|}^2}}\mathrm{d}x + \frac{1}{2}\int_{{\mathbb{R}^2}} {\frac{{{{\left| u \right|}^2}}}{{{{\left| x \right|}^2}}}} {\Big(\int_0^{\left| x \right|} {\frac{s}{2}} {u^2}(s)\mathrm{d}s\Big)^2}\mathrm{d}x - \int_{{\mathbb{R}^2}}F(|x|,u)\mathrm{d}x,$

其中

$ F(|x|,u)=\int_{0}^{u}f(|x|,t)\mathrm{d}t. $

为给出主要结果, 我们需要对$ V(x)$ 和$ f$ 作如下假设

($\boldsymbol {V}$) 函数$ V(x)=V(|x|)\in \mathcal{C}(\mathbb{R}^2,\mathbb{R})$ 是有界的. 此外, 积分

$ Q(u)=\frac12\int_{\mathbb{R}^2}\Big(|\nabla u|^{2}+V(|x|)u^2\Big)\mathrm{d}x, $

是非退化的, 且$ Q$ 的负空间是有限维的.

($\boldsymbol {F_1}$) 函数$ f\in \mathcal{C}(\mathbb{R}^2\times\mathbb{R},\mathbb{R})$, 且存在常数$ C>0$ 和$ p\in (2,+\infty)$, 使得

$|f(|x|,t)|\leq C(t+|t|^{p-1}),$

关于$ x\in \mathbb{R}^{2}$ 一致成立.

($\boldsymbol {F_2}$) 当$ t\to 0$ 时, $F(|x|,t)=o(t^{2})$ 关于$ x\in \mathbb{R}^{2}$ 一致成立. 此外, 它在无穷远处是$ 6$-超线性的, 即

$\lim_{|t|\to +\infty}\frac{F(|x|,t)}{t^6}=+\infty,\,\text{ 对任意的} \, \, x \in \mathbb{R}^2.$

($\boldsymbol {F_3}$) $f(|x|,t)t\geq 6 F(|x|,t) \text{对于任意的} x\in \mathbb{R}^2 \text{和} t\in \mathbb{R}$.

($\boldsymbol {F_4}$) $f(|x|,-t)=-f(|x|,t) \text{对于任意的} x\in \mathbb{R}^{2} \text{和} t\in \mathbb{R}$.

注1.1 在位势$ V$ 的假设下, 我们可在空间$ X:=H_{r}^{1}(\mathbb{R}^2)$ 上选取一个等价范数$ \|\cdot\|$, 使得

$Q(u)=\frac{1}{2}(\|u^+\|^2-\|u^-\|^2),$
$ u=u^{+}+u^{-}, \ \ u^{\pm}\in X^{\pm},$

其中$ X^{+}$ 与$ X^{-}$ 分别表示$ Q$ 的正空间与负空间, 且满足$ X=X^{+}\oplus X^{-}$. 此外, 存在正常数$ \kappa>0$ 使得

$\pm Q(u)\geq \kappa \|u\|^2, \ \ u\in X^{\pm}.$

注1.2 假设$ V:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ 是连续函数, 使得

$ \lim_{|x|\to +\infty}V(|x|)=v_{\infty}\in (0,+\infty), $

且不使得$ 0$ 成为 Schrödinger 算子$ -\Delta+V$ 的谱点, 则该位势函数满足我们的假设$ (V)$.

在本文中, 我们需要着重指出的是, 与以往的研究结果 (如文献 [24],[30],[31],[33],[34],[35],[36]) 有所不同, 他们均需假设位势函数$ V(x)$ 具有非负性, 而本文的主要目标是处理位势函数$ V(x)$ 可变号的情形. 我们的主要结果可归纳如下

定理1.1 假设$ (V)$ 和$ (F_1)$-$(F_3)$ 成立, 则方程 (1.3) 存在一个非平凡解.

若进一步假设$ f(|x|,\cdot)$ 是奇函数, 我们借助喷泉定理可以证明方程 (1.3) 存在无穷多解.

定理1.2 假设$ (V)$ 和$ (F_1)$-$(F_4)$ 成立, 则方程 (1.3) 存在一列解$ \{u_n\}\subset X$, 使得$ I(u_n)\to +\infty$.

现在我们将阐述主要结果证明中的核心困难. 当位势函数$ V$ 为正时, 泛函的二次型$ Q(u)$ 是正定的, 从而形成山路几何结构, 此时可应用山路定理[38]. 然而, 在本研究情形中, 由于二次型$ Q(u)$ 可能具有非平凡的负空间$ X^-$, 这时山路几何结构将不复存在. 为克服这一困难, 我们转而采用环绕定理 (参见 [38,定理 2.12]), 这一方法在文献 [10],[11] 中已有应用. 为此, 我们定义集合

$ N=\{u\in X^+ \mid \|u\|=\rho_1\},$ $M=\{u \in X^{-}\oplus \mathbb{R} \varphi \mid \|u\|\leq \rho_2\}, $

其中$ \rho_2 > \rho_1 > 0$, 且$ \varphi \in X^{+} \setminus \{0\}$. 若泛函$ I$ 满足 Palais-Smale 条件 (通常简称为$ (P.S.)$ 条件), 且对某个$ \rho_2 > \rho_1 > 0$ 满足以下性质

$b=\inf_{N}I(u)>\max_{\partial M}I(u),$

据此, 由环绕定理可得$ I$ 存在非平凡临界点. 在此证明中, 验证 (1.6) 式的关键在于$ I(u)\leq 0$ 在负空间$ X^-$ 上成立. 然而, 泛函$ I(u)$ 中的 Chern-Simons 项, 其定义为

$\int_{{\mathbb{R}^2}} {\frac{{{{\left| u \right|}^2}}}{{{{\left| x \right|}^2}}}} {\Big(\int_0^{\left| x \right|} {\frac{s}{2}} {u^2}(s)\mathrm{d}s\Big)^2}\mathrm{d}x,$

可能产生较大数值, 这会导致在$ \partial M \cap X^-$ 上存在满足$ I(u)\geq b$ 的点$ u$. 因此, 泛函$ I$ 可能无法形成所需的环绕几何结构. 为解决这一问题, 我们引入文献 [19],[23] 中所述的局部环绕定理, 并借鉴 Chang[5] 和 Mawhin-Willem[25] 的研究方法, 运用无穷维 Morse 理论. 此外, 由于二次型$ Q$ 的不定性, 验证$ (P.S.)$ 序列的有界性变得复杂. 在定理 1.3 的证明中, 我们提出了一种建立$ (P.S.)$ 序列有界性的通用方法.

本文的结构安排如下: 在第 2 节中, 我们将给出一些预备性结果, 并证明泛函$ I$ 的$ (P.S.)$ 序列具有有界性且满足$ (P.S.)$ 条件. 在第 3 节中, 我们将介绍无穷维 Morse 理论中的一些结果与概念. 此外, 我们分析了泛函$ I$ 在无穷远处的临界群, 并在此基础上给出了定理 1.1 的详细证明. 在第 4 节中, 若$ f(|x|,\cdot)$ 是奇函数, 我们将得到无穷多解并完成定理 1.2 的证明.

2 预备性结果

在本文中, 为了方便, 我们记$ X:=H_{r}^{1}(\mathbb{R}^2)$. 根据注 1.1, 对应方程 (1.3) 的能量泛函$ I: X \rightarrow \mathbb{R}$ 可重写为

$I(u)=\frac{1}{2}(\|u^+\|^2-\|u^-\|^2) + \frac{1}{2}\int_{{\mathbb{R}^2}} {\frac{{{{\left| u \right|}^2}}}{{{{\left| x \right|}^2}}}} {\Big(\int_0^{\left| x \right|} {\frac{s}{2}} {u^2}(s)\mathrm{d}s\Big)^2}\mathrm{d}x - \int_{{\mathbb{R}^2}}F(|x|,u)\mathrm{d}x.$

下文我们定义

$K(u): = \frac{1}{2}\int_{{\mathbb{R}^2}} {\frac{{{{\left| u \right|}^2}}}{{{{\left| x \right|}^2}}}} {(\int_0^{\left| x \right|} {\frac{s}{2}} {u^2}(s)\mathrm{d}s)^2}\mathrm{d}x. $

引理2.1[3] 泛函$ K \in {\mathcal{C}^1}(X,\mathbb{R})$, 对任意$ \varphi\in X$,

$\begin{align*} \langle K'(u), \varphi\rangle&=\displaystyle\int_{{\mathbb{R}^2}} \frac{{{h^2}(\left| x \right|)}}{{{{\left| x \right|}^2}}}u\varphi \mathrm{d}x +\int_{{\mathbb{R}^2}}\frac{u^2}{|x|^2}(\int_0^{|x|}\frac{s}{2}u^2(s)\mathrm{d}s)(\int_0^{|x|}{s}u(s)\varphi(s)\mathrm{d}s)\mathrm{d}x\\ &=\displaystyle\int_{{\mathbb{R}^2}} \Big(\frac{{{h^2}(\left| x \right|)}}{{{{\left| x \right|}^2}}} + \int_{\left| x \right|}^{ + \infty } {\frac{{h(s)}}{s}} {u^2}(s)\mathrm{d}s\Big)u\varphi \mathrm{d}x. \end{align*}$

此外, 若当$ n\rightarrow+\infty$ 时$ {u_n} \rightharpoonup u$ 于$ X$, 则

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } K({u_n}) = K(u), \text{ } \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \langle K'({u_n}),{u_n}\rangle =\langle K'(u), u\rangle \text{ 且 } \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \langle K'({u_n}), \varphi\rangle = \langle K'(u), \varphi\rangle,$

对任意的$ \varphi\in X $.

对任意的$ u, \varphi\in X$, 由 Fubini 定理可得

$\begin{align*} \langle I'(u),\varphi \rangle&=\int_{{\mathbb{R}^2}} {\nabla u\nabla \varphi }\mathrm{d}x + \int_{{\mathbb{R}^2}} V(|x|) {u\varphi }\mathrm{d}x + \int_{{\mathbb{R}^2}} \frac{{{h^2}(\left| x \right|)}}{{{{\left| x \right|}^2}}}u\varphi \mathrm{d}x \\ &\quad+ \int_{{\mathbb{R}^2}}\frac{u^2}{|x|^2}(\int_0^{|x|}\frac{s}{2}u^2(s)\mathrm{d}s)(\int_0^{|x|}{s}u(s)\varphi(s)\mathrm{d}s)\mathrm{d}x- \int_{\mathbb{R}^2} f(|x|,u)\varphi \mathrm{d}x\\ &=\int_{{\mathbb{R}^2}} {\nabla u\nabla \varphi }\mathrm{d}x + \int_{{\mathbb{R}^2}}V(|x|) {u\varphi }\mathrm{d}x + \int_{{\mathbb{R}^2}} \Big(\frac{{{h^2}(\left| x \right|)}}{{{{\left| x \right|}^2}}}\mathrm{d}x + \int_{\left| x \right|}^{ + \infty } {\frac{h(s)}{s}} {u^2}(s)\mathrm{d}s\Big)u\varphi \mathrm{d}x \\ &\quad - \int_{\mathbb{R}^2} f(|x|,u)\varphi \mathrm{d}x. \end{align*}$

因此, 我们称$ u\in X$ 是方程 (1.3) 的弱解, 当且仅当对每个$ \varphi \in X$ 均有

$\begin{split}\langle I'(u),\varphi \rangle &=\int_{{\mathbb{R}^2}} {\nabla u\nabla \varphi }\mathrm{d}x + \int_{{\mathbb{R}^2}}V(|x|) {u\varphi }\mathrm{d}x \\& \quad + \int_{{\mathbb{R}^2}} \Big(\frac{{{h^2}(\left| x \right|)}}{{{{\left| x \right|}^2}}}\mathrm{d}x+ \int_{\left| x \right|}^{ + \infty } {\frac{h(s)}{s}} {u^2}(s)\mathrm{d}s\Big)u\varphi \mathrm{d}x - \int_{\mathbb{R}^2} f(|x|,u)\varphi \mathrm{d}x.\end{split}$

引理2.2[3] 泛函$ I\in {\mathcal{C}^1}(X,\mathbb{R})$, 且$ I$ 在$ X$ 上的临界点即为方程 (1.3) 的弱解.

引理2.2[3] 对任意$ u\in X$, 下列性质成立

$\int_{{\mathbb{R}^2}} {{{\left| u \right|}^4}}\mathrm{d}x \le 4{\Big(\int_{{\mathbb{R}^2}} {{{\left| {\nabla u} \right|}^2}}\mathrm{d}x\Big)^{\frac{1}{2}}}{\Big(\int_{{\mathbb{R}^2}} {\frac{{{{\left| u \right|}^2}}}{{{{\left| x \right|}^2}}}} {\big(\int_0^{\left| x \right|} {\frac{s}{2}} {u^2}(s)\mathrm{d}s\big)^2}\mathrm{d}x\Big)^{\frac{1}{2}}}.$

此外, 等号成立当且仅当

$\left\{ {{u(l,x)} = \frac{{\sqrt 8 l}}{{1 + {{\left| {lx} \right|}^2}}} \in H_r^1({\mathbb{R}^2})\mid l \in (0, + \infty )} \right\}$

和

$\frac{1}{4}\int_{{\mathbb{R}^2}} {{{\left| {{u(l,x)}} \right|}^4}}\mathrm{d}x = \int_{{\mathbb{R}^2}} {{{\left| {\nabla {u(l,x)}} \right|}^2}}\mathrm{d}x = \int_{{\mathbb{R}^2}} {\frac{{{{\left| {{u(l,x)}} \right|}^2}}}{{{{\left| x \right|}^2}}}} {(\int_0^{\left| x \right|} {\frac{s}{2}} {u^2(l,s)}\mathrm{d}s)} \mathrm{d}x= \frac{{16}}{3}\pi {l^2}.$

引理2.4 令$ u\in X$, 则

$2K(u):=\int_{{\mathbb{R}^2}} {\frac{{{{\left| u \right|}^2}}}{{{{\left| x \right|}^2}}}} {(\int_0^{\left| x \right|} {\frac{s}{2}} {u^2}(s)\mathrm{d}s)^2}\mathrm{d}x \le \frac{1}{{16{\pi ^2}}}\left\| {\nabla {u}} \right\|_2^2\left\| {{u}} \right\|_2^4.$

证 由 Hölder 不等式可得

$\begin{array}{rl}\displaystyle\int_0^{\left| x \right|} {\frac{s}{2}} {u^2}(s)\mathrm{d}s &= \displaystyle\frac{1}{{4\pi }}\int_{B_{|x|}(0)}{{u^2(s)}}\mathrm{d}s \\&\le \displaystyle\frac{1}{{4\pi }}{(\int_{B_{|x|}(0)} {{u^4}}\mathrm{d}s )^{\frac{1}{2}}} \cdot {(\int_{B_{|x|}(0)} {{1^2}}\mathrm{d}s )^{\frac{1}{2}}} \\&\le \displaystyle\frac{1}{{4\pi }}{(\int_{{\mathbb{R}^2}} {{u^4}}\mathrm{d}x )^{\frac{1}{2}}} \cdot {(\pi {x^2})^{\frac{1}{2}}} \\&= \displaystyle\frac{1}{{4\sqrt \pi }}\left| x \right| \cdot {(\int_{{\mathbb{R}^2}} {{u^4}}\mathrm{d}x )^{\frac{1}{2}}}.\\\end{array}$

进一步地, 由 (2.3) 式及引理 2.3 可得

$\begin{array}{rl}\displaystyle \int_{{\mathbb{R}^2}} {\frac{{{{\left| u \right|}^2}}}{{{{\left| x \right|}^2}}}} {(\int_0^{\left| x \right|} {\frac{s}{2}} {u^2}(s)\mathrm{d}s)^2\mathrm{d}x}&\le \displaystyle\frac{1}{{16\pi }}\left\| u \right\|_4^4\left\| u \right\|_2^2\ \\ &\leq \displaystyle\frac{1}{{4\pi }}\Big[\int_{{\mathbb{R}^2}} {\frac{{{{\left| u \right|}^2}}}{{{{\left| x \right|}^2}}}} {(\int_0^{\left| x \right|} {\frac{s}{2}} {u^2}(s)\mathrm{d}s)^2}\mathrm{d}x \Big]^{\frac{1}{2}}\|u\|_{2}^{2}\|\nabla u\|_{2}. \end{array}$

因此

$\int_{{\mathbb{R}^2}} {\frac{{{{\left| u \right|}^2}}}{{{{\left| x \right|}^2}}}} {(\int_0^{\left| x \right|} {\frac{s}{2}} {u^2}(s)\mathrm{d}s)^2} \le \frac{1}{{16{\pi ^2}}}\|\nabla u\|_{2}^2 \|u\|_{2}^{4}.$

引理2.5 假设$ \{u_n\}$ 是$ I$ 的$ (P.S.)$ 序列, 即满足

$ \sup_{n\in \mathbb{N}}|I(u_n)|< +\infty, \ \ I'(u_n)\to 0, $

则$ \{u_n\}$ 在$ X$ 中是有界的.

证 反证法, 我们不妨设$ \|u_n\|\to +\infty$. 令$ v_n=\|u_n\|^{-1}u_n$, 则

$ v_{n}=v_{n}^{+}+v_{n}^{-}\rightharpoonup v=v^{+}+v^{-}\in X, \ \ v_{n}^{\pm}, \, v^{\pm}\in X^{\pm}. $

下面将证明分为两种情形并分别进行论证.

若$ v=0$, 根据假设$ \dim X^{-}<+\infty$, 可得

$v_{n}^{-}\to v^{-}=0,\,\text{当} \ \ n\to +\infty.$

由于

$\|v_{n}^{+}\|^2+\|v_{n}^{-}\|^2=1,$

则由 (2.6) 式和 (2.7) 式可得

$ \|v_{n}^{+}\|^2-\|v_{n}^{-}\|^2\geq \frac{1}{2}, \, \, \text{当} \ \ n \to +\infty. $

因此, 由条件$ (F_3)$ 可得, 对充分大的$ n$, 有

$\begin{align*} & \ \ \ \ 1+\sup_{n\in \mathbb{N}}|I(u_n)|+\|u_n\| \\ &\geq I(u_n)-\frac{1}{6}\langle I'(u_n),u_n\rangle \\ &=\frac{1}{3}\int_{\mathbb{R}^2}\Big(|\nabla u_n|^2+V(|x|)|u_n|^2\Big)\mathrm{d}x +\int_{\mathbb{R}^2}\left(\frac{1}{6}f(|x|,u_n)u_n-F(|x|,u_n)\right)\mathrm{d}x \\ &=\frac{1}{3}\|u_n\|^2(\|v_{n}^{+}\|-\|v_{n}^{-}\|^2) +\int_{\mathbb{R}^2} \left(\frac{1}{6}f(|x|,u_n)u_n-F(|x|,u_n) \right)\mathrm{d}x\\ &\geq \frac{1}{6}\|u_n\|^2, \end{align*}$

这里我们应用了一个重要等式$ 6K(u)=\langle K'(u),u\rangle$. 这与假设$ \|u_n\|\to +\infty$ 矛盾.

若假设$ v\neq 0$, 并设集合$ \Omega=\{v\neq 0\}$ 具有正勒贝格测度. 对任意$ x\in\Omega$, 由$ |u_n(x)|\to +\infty$ 及条件$ (F_2)$ 可得

$ \frac{F(|x|,u_{n})}{u_{n}^6}v_{n}^{6}\to +\infty,\,\text{当}\ n\to +\infty. $

此外, 由 Fatou 引理可得

$\int_{\Omega}\frac{F(|x|,u_n)}{u_{n}^{6}}v_{n}^{6}\to +\infty,\,\text{当}\ n\to +\infty.$

另一方面, 当$ n$ 充分大时, 由引理 2.4 可得

$\begin{align*} & \int_{\Omega}\frac{F(|x|,u_n)}{u_{n}^{6}}v_{n}^{6}\mathrm{d}x \\ &=\frac{1}{\|u_n\|^6}\int_{v\neq 0}F(|x|,u_n)\mathrm{d}x\leq \frac{1}{\|u_n\|^6}\int_{\mathbb{R}^2}F(|x|,u_n)\mathrm{d}x \\ &=\frac{1}{\|u_n\|^6}\left(\frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^2}\Big(|\nabla u_n|^2+V(|x|)u_n^2\Big)\mathrm{d}x+ \frac{1}{2}\int_{{\mathbb{R}^2}} {\frac{{{{\left| u_n \right|}^2}}}{{{{\left| x \right|}^2}}}} {\Big(\int_0^{\left| x \right|} {\frac{s}{2}} {u^2}(s)\mathrm{d}s\Big)^2}\mathrm{d}x-I(u_n)\right) \\ &\leq 1+ \frac{1}{2\|u_n\|^6}\int_{{\mathbb{R}^2}} {\frac{{{{\left| u_n \right|}^2}}}{{{{\left| x \right|}^2}}}} {\Big(\int_0^{\left| x \right|} {\frac{s}{2}} {u_n^2}(s)\mathrm{d}s\Big)^2} \mathrm{d}x\\ &\leq 1+ \frac{1}{{32{\pi ^2}}\|u_n\|^6}\|\nabla u_n\|_{2}^2 \|u_n\|_{2}^{4} \leq 1+ C, \end{align*}$

这与 (2.8) 式矛盾. 由此证得$ \{u_n\}$ 在$ X$ 中是有界的.

引理2.6 设$ u_n \rightharpoonup u$ 于$ X$ 中, 则

$ \liminf_{n\to +\infty}\langle K'(u_n), u_n-u\rangle \geq 0. $

证 根据引理 2.1, 我们得到

$ \liminf_{n\to+\infty}K(u_n)\geq K(u),$
$\lim_{n\to+\infty}\langle K'(u_n),u\rangle=\langle K'(u),u\rangle. $

因此,

$\begin{align*} \liminf_{n\to +\infty}\langle K'(u_n),u_n-u\rangle&=\liminf_{n\to +\infty}\big(\langle K'(u_n),u_n\rangle-\langle K'(u_n),u\rangle\big) \\ &=\liminf_{n\to+\infty}\big(6K(u_n)-\langle K'(u_n),u\rangle\big) \\ &\geq 6K(u)-\langle K'(u),u\rangle=0. \end{align*}$

引理2.7 泛函$ I$ 满足$ (P.S.)$ 条件.

证 假设$ \{u_n\}$ 是$ I$ 的$ (P.S.)$ 序列. 由引理 2.5 可知$ \{u_n\}$ 在$ X$ 中有界. 不失一般性, 我们可设存在子列使得$ u_n \rightharpoonup u$ 于$ X$. 由此可得,

$ \int_{\mathbb{R}^2}\Big(\nabla u_n \nabla u+ V(|x|)u_nu\Big)\mathrm{d}x\to \int_{\mathbb{R}^2}\Big(|\nabla u|^2+V(|x|)u^2\Big)\mathrm{d}x=\|u^+\|^2-\|u^-\|^2. $

因此

$\begin{matrix} o_{n}(1)&=\langle I'(u_n), u_n-u\rangle \\ &=\int_{\mathbb{R}^2}\Big(\nabla u_n\nabla(u_n-u)+V(|x|)u_n(u_n-u)\Big)\mathrm{d}x+\langle K'(u_n), u_n-u\rangle \\ & \ \ \ -\int_{\mathbb{R}^2}f(|x|,u_n)(u_n-u)\mathrm{d}x \\ &=\int_{\mathbb{R}^2}\Big(|\nabla u_n|^2+V(|x|)u_n^2\Big)\mathrm{d}x-\int_{\mathbb{R}^2}\Big(\nabla u_n\nabla u +V(|x|)u_nu\Big)\mathrm{d}x \\ & \ \ \ +\langle K'(u_n), u_n-u\rangle-\int_{\mathbb{R}^2}f(|x|,u_n)(u_n-u)\mathrm{d}x \\ &=(\|u_n^+\|^2-\|u_n^-\|^2)-(\|u^+\|^2-\|u^-\|^2) +\langle K'(u_n), u_n-u\rangle-\int_{\mathbb{R}^2}f(|x|,u_n)(u_n-u)\mathrm{d}x. \end{matrix}$

由于$ \dim X^{-} < +\infty$, 我们可断言$ u_{n}^{-} \to u^{-}$, 因而有$ \|u_n^{-}\| \to \|u^{-}\|$. 进一步地, 结合 (2.9) 式及上述收敛性质可得

$\|u_n^+\|^2-\|u^+\|^2=\int_{\mathbb{R}^2}f(|x|,u_n)(u_n-u)\mathrm{d}x-\langle K'(u_n), u_n-u\rangle+o_{n}(1).$

由于 Sobolev 嵌入$ H_{r}^{1}(\mathbb{R}^2)\hookrightarrow L^{q}(\mathbb{R}^2)$ 是紧的, 其中$ q\in(2,+\infty)$, 则

$\limsup_{n\to +\infty} \int_{\mathbb{R}^2}f(|x|,u_n)(u_n-u)\mathrm{d}x= 0.$

结合引理 2.6 与 (2.10)-(2.11) 式可得

$\begin{align*} & \limsup_{n\to +\infty} (\|u_n^+\|^2-\|u^+\|^2)\\&=\limsup_{n\to +\infty}\left(\int_{\mathbb{R}^2} f(|x|,u_n)(u_n-u)\mathrm{d}x-\langle K'(u_n), u_n-u\rangle \right) \\ &=\limsup_{n\to +\infty}\int_{\mathbb{R}^2} f(|x|,u_n)(u_n-u)\mathrm{d}x-\liminf_{n\to +\infty}\langle K'(u_n), u_n-u\rangle \\ & \leq\limsup_{n\to +\infty}\int_{\mathbb{R}^2} f(|x|,u_n)(u_n-u)\mathrm{d}x \\&\leq 0. \end{align*}$

此外, 由范数的弱下半连续性, 得

$ \|u^+\|^2\leq \liminf_{n\to +\infty} \|u_{n}^{+}\|^2\leq \limsup_{n\to +\infty} \|u_n^{+}\|^2 \leq \|u^+\|^2. $

由此可得$ \|u_n^+\|\to \|u^+\|$, 进而有$ \|u_n\|\to \|u\|$ 且$ u_n \to u$ 于$ X$.

3 临界群与定理 1.1 的证明

我们通过回顾无穷维 Morse 理论文献 [5],[25] 中的一些概念与结果来开启本节的讨论.

设$ X$ 为 Banach 空间, $\varphi: X \to \mathbb{R}$ 是$ \mathcal{C}^1$ 泛函, $u$ 是$ \varphi$ 的孤立临界点且$ \varphi(u)=c$, 则称

$ C_{\ell}(\varphi,u):=H_{\ell}(\varphi_c,\varphi_{c}\setminus\{0\}), \ \ \ell=0,1,2, \cdots $

为$ \varphi$ 在$ u$ 处的第$ \ell$ 阶临界群, 其中$ \varphi_{c}:=\varphi^{-1}(-\infty,c]$, $H_{\ell}$ 表示系数在$ \mathbb{Z}$ 中的奇异同调群.

由 Bartsch-Li[1] 的定义, 若$ \varphi$ 满足$ (P.S.)$ 条件且其临界值均以$ \alpha$ 为下界, 则称

$ C_{\ell}(\varphi, \infty):=H_{\ell}(X,\varphi_{\alpha}), \ \ \ell=0,1,2\cdots, $

为$ \varphi$ 在无穷远处的第$ \ell$ 阶临界群, 其中右侧的同调群与$ \alpha$ 的选取无关.

下述命题在我们的主要结果的证明中起着重要作用.

命题3.1[1] 若$ \varphi\in \mathcal{C}^{1}(X,\mathbb{R})$ 满足$ (P.S.)$ 条件, 且存在$ k\in \mathbb{N}$ 使得$ C_{k}(\varphi,0)\neq C_{k}(\varphi,\infty)$, 则$ \varphi$ 必存在非平凡临界点.

命题3.2[20] 设$ \varphi\in \mathcal{C}^{1}(X,\mathbb{R})$ 在原点具有局部环绕结构, 即存在空间分解$ X=Y\oplus Z$ 及常数$ \rho>0$, 使得

$\begin{align*} \varphi(u)&\leq 0 \,\text{对于} \, u\in Y \cap B_{\rho}(0), \\ \varphi(u)&>0 \,\text{对于} \, u\in (Z\setminus\{0\})\cap B_{\rho}(0), \end{align*}$

其中$ B_\rho(0)=\{u\in X \mid \|u\|\leq \rho\}$. 若$ k=\text{dim }Y<+\infty$, 则$ C_{k}(\varphi,0)\neq 0$.

由于$ I$ 满足$ (P.S.)$ 条件 (已由引理 2.7 证明), 因此$ I$ 在无穷远处的临界群$ C_{*}(I,\infty)$ 是有明确意义的. 在证明定理 1.1 之前, 我们不妨假设$ I$ 仅存在有限个临界点. 为研究$ C_{*}(I,\infty)$, 我们需要以下引理.

引理3.1 设存在常数$ \widetilde{A}>0$, 若$ I(u)\leq -\widetilde{A}$, 则必有

$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|_{t=1}I(tu)<0.$

证 反证法, 假设存在序列$ \{u_n\}\subset X$ 满足$ I(u_n)\leq -n$, 但

$\langle I'(u_n),u_n \rangle=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|_{t=1}I(tu_n)\geq 0.$

那么, 基于上述假设, 我们可以证明

$ \begin{matrix} 2 (\|u_n^{+}\|^2-\|u_n^-\|^2) &\leq 2(\|u_n^+\|^2-\|u_n^-\|^2)+\int_{\mathbb{R}^2}\Big(f(|x|,u_n)u_n-6 F(|x|,u_n)\Big)\mathrm{d}x \\ &=6I(u_n)-\langle I'(u_n),u_n \rangle\\&\leq -6n. \end{matrix}$

设$ v_n=\|u_n\|^{-1}u_n$, 并令$ v_{n}^{\pm}$ 分别表示$ v_n$ 在子空间$ X^{\pm}$ 上的正交投影. 显然, 在$ \dim X^{-} < +\infty$ 的假设下, 存在$ v^{-}\in X^-$ 使得$ v_{n}^{-}\to v^{-}$. 由于$ \{v_n\}$ 在$ X$ 中有界, 则存在$ v\in X\setminus \{0\}$ 使得$ v_n\rightharpoonup v$ 于$ X$. 若$ v^{-}\neq 0$, 类似于引理 2.5 的论证可得

$ \int_{\mathbb{R}^2}\frac{f(|x|,u_{n})}{\|u_{n}\|^6}\mathrm{d}x \geq 6\int_{\mathbb{R}^2}\frac{F(|x|,u_n)}{\|u_n\|^6} \mathrm{d}x \geq 6\int_{v\neq 0}\frac{F(|x|,u_n)}{u_{n}^{6}}v_{n}^{6} \mathrm{d}x\to +\infty. $

因此, 由 (3.1) 式及引理 2.4, 容易得到

$\begin{align*} 0&\leq \frac{\langle I'(u_n), u_n\rangle}{\|u_n\|^6} \\ &= \frac{\|u_{n}^{+}\|^2-\|u_n^{-}\|^2}{\|u_n\|^6}+\frac{1}{\|u_n\|^6}\int_{{\mathbb{R}^2}} {\frac{{{{\left| u \right|}^2}}}{{{{\left| x \right|}^2}}}} {(\int_0^{\left| x \right|} {\frac{s}{2}} {u^2}(s)\mathrm{d}s)^2}\mathrm{d}x-\int_{\mathbb{R}^2}\frac{f(|x|,u_n)u_n}{\|u_n\|^6}\mathrm{d}x \\ &\leq 1+ C-\int_{\mathbb{R}^2}\frac{f(|x|,u_n)u_n}{\|u_n\|^6}\\& \to -\infty, \end{align*}$

这就产生了矛盾. 故$ v^-=0$. 由$ \|v_{n}^{+}\|^2 + \|v_{n}^{-}\|^2 = 1$, 我们可推得$ \|v_{n}^{+}\|\to 1$ 当$ n \to +\infty$. 因此, 根据$ v_n$ 的定义, 我们进而有

$ \|u_n^{+}\|=\|u_n\|\|v_{n}^{+}\|\geq \|u_n\|\|v_n^{-}\|=\|u_n^-\|, $

这与 (3.2) 式相矛盾.

引理3.2 $C_{\ell}(I,\infty)=0$ 对于一切$ \ell=0,1,2,\cdots$.

证 设$ B=\{v\in X \mid \|v\|\leq 1\}$, $S=\partial B$ 为$ X$ 中的单位球面, $\widetilde{A}>0$ 为引理 3.1 中给定的常数. 不失一般性, 我们假设 $ -\widetilde{A}<\inf_{\|u\|\leq 2} I(u). $ 直接计算表明, 当$ t\to +\infty$ 时,

$\begin{align*} I(tv)&=\frac{t^2}{2}(\|v^{+}\|^2-\|v^-\|^2)+\frac{ t^6}{2}\int_{{\mathbb{R}^2}} {\frac{{{{\left| v \right|}^2}}}{{{{\left| x \right|}^2}}}} {(\int_0^{\left| x \right|} {\frac{s}{2}} {v^2}(s)\mathrm{d}s)^2}\mathrm{d}x-\int_{\mathbb{R}^2}F(|x|,tv)\mathrm{d}x \\ &=t^6\left(\frac{\|v^{+}\|^2-\|v^-\|^2}{2t^4}+\frac{1}{2}\int_{{\mathbb{R}^2}} {\frac{{{{\left| v \right|}^2}}}{{{{\left| x \right|}^2}}}} {(\int_0^{\left| x \right|} {\frac{s}{2}} {v^2}(s)\mathrm{d}s)^2}\mathrm{d}x-\int_{\mathbb{R}^2}\frac{F(x,tv)}{t^6}\mathrm{d}x \right)\\&\to -\infty. \end{align*}$

因此存在$ t_{v}>0$ 使得$ I(t_vv)=-\widetilde{A}$. 令$ u=t_vv$, 则由引理 3.1 可得

$\begin{align*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mid_{t=t_v}I(tv)=\frac{1}{t_v}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\mid_{t=1}I(tu)<0. \end{align*}$

因此, 应用隐函数定理, 我们得到连续函数$ T: S \to (0,\infty)$, 定义为$ T(v)=t_{v}$, 使得对任意$ v\in S$ 均有$ I(T(v)v)=-\widetilde{A}$. 对于$ v\neq 0$, 定义$ \tilde{T}(v)=\frac{1}{\|v\|}T(\frac{v}{\|v\|})$. 则$ \tilde{T}\in C(X\setminus\{0\},\mathbb{R})$, 且对每个$ u\in X\setminus \{0\}$ 满足$ I(\tilde{T}(u)u)=-\widetilde{A}$.

根据文献 [37] 提出的方法, 引入形变收缩映射$ \eta:[0,1]\times (X\setminus B)\to I_{-\widetilde{A}}$, 其定义为

$ \eta(\beta,u)=(1-\beta)u+\beta \hat{T}(u)u,$

其中

$\hat{T}(u):=\begin{cases}\tilde{T}(u), \ \ \ \ \text{若} I(u)> -\widetilde{A}, \\1, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{若} I(u)\leq -\widetilde{A}.\end{cases}$

因此, 由奇异同调的同伦不变性可得$ I_{-\widetilde{A}}\simeq X \setminus B \simeq S$, 从而有

$ C_{\ell}(I,\infty)=H_{\ell}(X, I_{-\widetilde{A}})\cong H_{\ell}(X, X\setminus B)=0, \ \ \ell=0,1,2\cdots. $

接下来, 我们将给出定理 1.1 的证明.

定理 1.1 的证明 由条件$ (V)$ 和$ (F_2)$ 可知

$ I(u)=\frac{1}{2}(\|u^{+}\|^2-\|u^-\|^2)+o(\|u\|^2), \,\, \text{当} \ \ \|u\|\to 0. $

因此, 存在$ \rho>0$, 使得$ I$ 在$ (X^+ \setminus \{0\})\cap B_{\rho}(0)$ 上取正值, 在$ (X^- \setminus \{0\})\cap B_{\rho}(0)$ 上取负值, 这意味着$ I$ 关于空间分解$ X=X^+\oplus X^-$ 具有局部环绕性质. 故由命题 3.2, 我们得到

$ C_{k}(I,0)\neq 0, $

其中$ \dim X^-=k$ 是有限的. 另一方面, 由引理 3.2, 我们已得$ C_{k}(I,\infty)=0$. 因此, 结合命题 3.1, 我们断言$ I$ 必有一个非零临界点.

4 定理 1.2 的证明

为证明定理 1.2, 我们将使用下述喷泉定理[38]. 设$ \{e_{j}\}_{j=1}^{+\infty}$ 是$ X$ 的一组完全标准正交基, 并定义

$X^{-}={\rm span}\{e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{k}\}, \,\,\,\, X^{+}=\overline{{\rm span}\{e_{k+1}, e_{k+2}, \cdots\}}, \,\, \,\, \,\, k\in \mathbb{N},$

其中$ \bar{A}$ 表示集合$ A$ 的闭包.

命题4.1 (喷泉定理) 设偶泛函$ I\in \mathcal{C}^{1}(X, \mathbb{R})$ 满足$ (P.S.)$ 条件. 若存在$ m_0>0$, 使得对任意$ m\geq m_0$, 存在$ \rho_{m}>r_{m}>0$ 满足

(i) $\displaystyle b_{m}=\inf_{u\in Z_{m},\|u\|=r_{m}}I(u)\to +\infty$, 当$ m\to +\infty$;

(ii) $\displaystyle a_{m}=\max_{u\in Y_{m}, \|u\|=\rho_{m}} I(u) \leq 0$.

则$ I$ 存在一列临界点$ \{u_m\}$, 使得$ I(u_m)\to +\infty$.

在本节中, 我们假设$ f$ 满足条件$ (F_1)$-$(F_4)$, 此时$ I\in C^{1}(X,\mathbb{R})$ 为偶泛函. 由引理 2.7 知$ I$ 满足$ (P.S.)$ 条件, 因此为证明定理 1.2, 只需验证命题 4.1 中的条件 (i) 与 (ii) 即可.

引理4.1 设$ Y$ 是$ X$ 的一个有限维子空间, 则$ I$ 在$ Y$ 上是反强制的, 即

$ I(u)\to -\infty, \ \ \text{当}\,\, \|u\|\to +\infty, \,\, u\in Y. $

证 反证法, 我们不妨设存在序列$ \{u_n\}\subset Y$ 及常数$ \gamma>0$, 使得

$\|u_n\|\to +\infty, \ \ \ \ I(u_n)\geq \gamma.$

令$ v_{n}=u_n\|u_n\|^{-1}$. 由于$ Y$ 是$ X$ 的有限维子空间, 因此可设存在子列及某个$ v\in Y$, 使得

$ \|v_n -v\|\to 0, \ \ v_{n}\to v \,\, \text{几乎处处于} \,\, \mathbb{R}^2. $

由于$ v\neq 0$, 类似于引理 2.5 的论证可得

$ \int_{\mathbb{R}^2}\frac{F(|x|,u_n)}{\|u_n\|^6}\mathrm{d}x \to +\infty. $

另一方面,

$\begin{align*} I(u_n) &=\frac{1}{2}(\|u_{n}^+\|^2-\|u_{n}^-\|^2) + \frac{1}{2}\int_{{\mathbb{R}^2}} {\frac{{{{\left| u_n \right|}^2}}}{{{{\left| x \right|}^2}}}} {\Big(\int_0^{\left| x \right|} {\frac{s}{2}} {u_n^2}(s)\mathrm{d}s\Big)^2}\mathrm{d}x - \int_{{\mathbb{R}^2}}F(|x|,u_n)\mathrm{d}x \\ &=\|u_n\|^6\left(\frac{\|u_{n}^+\|^2-\|u_{n}^-\|^2}{2\|u_n\|^6} + \frac{1}{2\|u_n\|^6}\int_{{\mathbb{R}^2}} {\frac{{{{\left| u_n \right|}^2}}}{{{{\left| x \right|}^2}}}} {\Big(\int_0^{\left| x \right|} {\frac{s}{2}} {u_n^2}(s)\mathrm{d}s\Big)^2}\mathrm{d}x- \int_{\mathbb{R}^2}\frac{F(|x|,u_n)}{\|u_n\|^6}\mathrm{d}x \right)\\ & \to -\infty, \end{align*}$

这与 (4.2) 式矛盾.

定理 1.2 的证明 对于$ m \in \mathbb{N}$, 我们定义

$ Y_{m}={\rm span}\{e_1,\cdots, e_m\}, \ \ \ \ Z_{m}=\overline{{\rm span}\{e_{m+1},e_{m+2},\cdots\}}. $

我们首先验证命题 4.1 的条件 (i). 若$ m>k$, 则$ Z_{m}\subset X^+$. 由 (1.4) 式可知存在正常数 $ \kappa>0$, 使得

$Q(u)\geq \kappa \|u\|^2, \ \ \forall u\in Z_{m}.$

根据文献 [6,引理 2.5] 中的证明方法, 我们亦可证得: 对任意$ p\in(2,+\infty)$, 有

$ \beta_{m}:=\sup_{u\in Z_{m},\|u\|=1}\|u\|_{p}\to 0, \ \text{当}\,\, m \to +\infty. $

由条件$ (F_1)$ 与$ (F_2)$ 可得: 对任意$ \varepsilon>0$, 存在$ C_{\varepsilon}>0$, 使得关于$ x$ 一致地有

$ |F(|x|,u)|\leq \varepsilon u^2+ C_{\varepsilon}|u|^{p}. $

由此, 直接计算表明对于$ u\in Z_{m}$ 有

$\begin{matrix} I(u)&=Q(u) + \frac{1}{2}\int_{{\mathbb{R}^2}} {\frac{{{{\left| u \right|}^2}}}{{{{\left| x \right|}^2}}}} {\Big(\int_0^{\left| x \right|} {\frac{s}{2}} {u^2}(s)\mathrm{d}s\Big)^2}\mathrm{d}x - \int_{{\mathbb{R}^2}}F(|x|,u)\mathrm{d}x \\ & \geq \kappa\|u\|^2- \varepsilon C_1\|u\|^2-C_{\varepsilon}\beta_{m}^{p}\|u\|^p. \end{matrix}$

取$ \varepsilon=\kappa/(2C_1)$ 并将 $\|u\|:=r_{m}=(C_{\varepsilon}p\beta_{m}^{p}/\kappa)^{1/(2-p)}$ 代入 4.3 式, 则可推得

$I(u)\geq \kappa(\frac{1}{2}-\frac{1}{p})(C_{\varepsilon}p\beta_{m}^{p}/\kappa)^{2/(2-p)}.$

由于$ \beta_{m}\to 0$ 且$ p>2$, 则有

$\displaystyle b_{m}=\inf_{u\in Z_{m},\|u\|=r_{m}}I(u)\to +\infty.$

接下来, 由于$ \dim Y_{m}=m<+\infty$, 则由引理 4.1 可得

$a_{m}=\max_{u\in Y_{m}, \|u\|=\rho_{m}} I(u) \leq 0,$

这意味着命题 4.1 中的条件 (ii) 成立. 最后, 根据命题 4.1, 我们即可证明定理 1.2.

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